UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ZVOK V TROBILIH DIPLOMSKO DELO

Transcript

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ZVOK V TROBILIH DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Bojan Golli, izr. prof. Kandidat: Simon Turk Ljubljana, november 2011

2 Zahvala Zahvaljujem se profesorju Bojanu Golliju za strokovno pomoč in nasvete pri nastajanju diplomskega dela, Gregorju Tarmanu za pomoč pri meritvah in Stanislavu Avscu za material, in nasvete pri izbiri le tega, potreben za izdelavo cevi prisekanega stoˇzca. Zahvaljujem se staršem za podporo pri študiju.

3 Povzetek V diplomskem delu predstavim glavne značilnosti trobil in princip njihovega delovanja. Podrobneje opišem zgradbo trobente. Sledi teoretična obravnava cilindričnih, neprisekanih stožčastih, Salmonovih in Besselovih cevi. V nadaljevanju se osredotočim na opis akustičnih lastnosti cevi v obliki prisekanega stoˇzca, za katero izpeljem analitične izraze za odvisnost akustičnega tlaka in akustičnega prostorninskega toka od razdalje ter za resonančne frekvence cevi. Teoretične ugotovitve z meritvami preverim na modelu cevi v obliki prisekanega stoˇzca. Na koncu preverim, kateri model cevi je ustrezen za opis resonančnih frekvenc trobente. Ugotovim, da je to model prisekanega stožca. Ključne besede: resonančne frekvence cevi, akustična impedanca, valovna enačba, akustični tlak, akustični prostorninski tok I

4 Sound in Brass Instruments -Abstract In the diploma thesis I present the main characteristics of the brass instruments and the principles how they work. I describe in detail the stucture of the trumpet. The theoretical treatment of cylindrical, conical, Salmon s and Bessel s tubes are outlined. In the following I focus on the description of acoustical properties of the truncated conical tube, for which I derive analytical expressions for the dependence of the acoustical pressure and the flow rate on the distance, as well as for resonant frequencies. I check the theoretical predictions on a model of the truncated conical tube. At the end I examine which model of a tube is suitable for the description of resonant frequencies of the trumpet. Key words: resonant frequency in tubes, acoustics impedance, wave equation, acoustics pressure, flow rate II

5 Kazalo 1 Uvod 1 2 Fizikalne osnove nastanka zvoka v trobilih Opis trobil Zvok v cilindričnih ceveh Stoječe valovanje Resonančne frekvence zaprtih in odprtih cevi Hitrost delov zraka pri zvoku v ceveh Akustični prostorninski tok Akustična impedanca Odboj in prepustnost valovanja na izhodu cevi Stožčaste cevi Neprisekane stoˇzčaste cevi Websterjeva enačba Salmonove cevi Besselove cevi Prisekane stoˇzčaste cevi Tlak v cevi prisekanega stoˇzca Resonančne frekvence prisekane stoˇzčaste cevi Meritve tlaka v cevi prisekanega stožca Analiza meritev Resonančne frekvence trobil Model cilindrične cevi Model stožčaste cevi Model Besselove cevi III

6 5 Zaključek 59 Literatura 78 IV

7 1 Uvod Pihala in trobila so sestavljena iz cevi zelo različnih oblik. Razlikujejo pa se ne le po obliki, temveč tudi po zvenu. Ta je posledica oblike cevi. Cev flavte je popolnoma ravna in ima po skoraj vsej svoji dolžini konstanten premer. Cev sopran saksofona ali oboe je v obliki stoˇzca z majhnim hitro razširjajočim se delom na koncu cevi. Brez teˇzav slišimo, da se zven flavte zelo razlikuje od zvena sopran saksofona ali oboe. Prav tako brez težav slišimo, da se zven klarineta zelo razlikuje od zvena sopran saksofona, katerega oblika je na prvi pogled podobna klarinetu. Prava posebnost glede oblike cevi inštrumentov pa so trobila. Cev trobil sestavlja del cevi s konstantnim presekom, temu sledi stožčast del in na koncu odmevnik. Odmevnik je del cevi na izhodu inštrumenta, ki se zelo močno razširi. Princip delovanja trobil in fizikalno ozadje nastanka zvoka v trobilih me zanima tudi zato, ker sam igram trobento. Kot dijaka in študenta me je pri fiziki iz tega razloga posebej pritegnila in zanimala obravnava valovanja in zvoka. To pomeni, da glasbeni inštrumenti lahko sluˇzijo kot motivacija pri obravnavi valovanja in zvoka. Obravnava glasbenih inštrumentov pri poučevanju fizike se mi zdi zelo uporabna, saj lahko nekatere pojme pri fiziki zvoka, kot so vozli in hrbti valovanja, frekvenca, valovna dolžina, razloˇzimo na primerih glasbenih inštrumentov, kot so kitara, flavta in klarinet. V drugem poglavju diplomskega dela so teoretična izhodišča. Ta so podana izključno na podlagi strokovne literature. Opisane so glavne značilnosti trobil in princip njihovega delovanja, podrobneje zgradba trobente. Opisani so nekateri osnovni pojmi, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju diplomske naloge. V tem poglavju je tudi teoretična obravnava cilin- 1

8 dričnih, neprisekanih stoˇzčastih, Salmonovih in Besselovih cevi. Salmonove in Besselove cevi so uporabne pri opisu hitro razširjajočih se delov, ki so zelo značilni prav za trobila. Kot model trobente sem uporabil cev prisekanega stožca, ker je zanjo razmeroma enostavno dobiti analitične izraze za polje akustičnega tlaka in iz tega izpeljati resonančne frekvence, ter ker je enostavno narediti model take cevi in na njem izvesti meritve. V tretjem poglavju sem s pomočjo literature računsko izpeljal enačbe, ki opisujejo potek tlaka in resonančne frekvence v cevi prisekanega stožca. Resonančne frekvence v cevi prisekanega stoˇzca so nekje med resonančnimi frekvencami na eni strani zaprte in na obeh straneh odprte cilindrične cevi ter niso harmonično razporejene. Opisal sem meritve v cevi prisekanega stožca in analiziral podatke, ki sem jih pridobil z meritvami. Primerjal sem rezultate meritev in računskih spoznanj o cevi prisekanega stoˇzca. V četrtem poglavju na podlagi ugotovitev iz drugega in tretjega poglavja analiziram ustreznost modelov cilindrične in stožčaste cevi za trobento. Ugotovim, da je model cevi prisekanega stožca ustrezen za obravnavo resonančnih frekvenc trobente. V zadnjem delu četrtega poglavja je zanimiv primer iz literature, pri katerem uporabimo model Besselovih cevi za razlago spreminjanja resonančnih frekvenc francoskega oziroma lovskega roga. 2

9 2 Fizikalne osnove nastanka zvoka v trobilih 2.1 Opis trobil Trobila uvrščamo med aerofona 1 glasbila [1]. V to skupino spadajo poleg trobil tudi pihala. Glavna značilnost, ki loči trobila od pihal, je način vzbujanja valovanja. Trobilci valovanje v trobilih vzbujajo z nihanjem ustnic. Frekvenco in amplitudo nihanja ustnic lahko s posebnimi tehnikami nadzorujejo. Trobilni inštrumenti za razliko od pihal praviloma nimajo stranskih odprtin v cevi, s pomočjo katerih bi lahko spreminjali višino tona. Izjema so rogovi iz ˇzivalskih rogov s štirimi odprtinami, ki se danes ne uporabljajo več v glasbi, ter cink, serpent in ofikleide (glej sliko 1), ki so bili popularni v začetku 19. stoletja. Z razvojem kakovostnejših trobil z Slika 1: Levo cink, sredina serpent, desno ofikleida [2], [3] in [4]. 1 Za to skupino glasbil je značilno, da so sestavljene iz različnih oblik cevi, ki omejujejo določen zračni stolpec. Pod določenimi pogoji se v tem zračnem stolpcu vzpostavi stoječe valovanje, ki se iz izhoda inštrumenta širi v prostor kot zvok. 3

10 ventili (glej sliko 4 in 2) so trobila s stranskimi odprtinami hitro utonila v pozabo. Trobila, ki se danes uporabljajo za izvajanje glasbe, so sestavljena iz štirih glavnih delov. Ti so ustnik, cev, podaljški in lijak (glej sliko 2) [1]. Ustnik olajša trobilcu vzbujanje valovanja v inštrumentu. Cev in podaljški cevi omejujejo zračni stolpec, v katerem se vzpostavljajo stoječa valovanja. Lijak je potreben za pravo barvo tona in glasnost trobila. Višino tona se pri trobilih spreminja s kombinacijo tehnike vzbujanja višjih resonančnih frekvenc cevi in z dodajanjem podaljškov cevi, oziroma z iztegom cevi pri pozavnah. Trobilec s posebno tehniko niha ustnici z ustrezno resonančno frekvenco trobila in na ta način proizvede ustrezen ton. Pri trobilih se za izvajanje različnih tonov uporablja 10 in več resonančnih frekvenc v posamezni cevi in podaljšku cevi. Vzemimo trobento za predstavnika trobil (glej sliko 2). Posamezne trobente se med sabo malo razlikujejo po obliki, vendar so te razlike za našo obravnavo zanemarljivo majhne. Celotna dolžina cevi trobente z ustnikom je pribliˇzno 137 cm [1]. Cev trobente se začne z ustnikom (glej sliko 3). Kotel ustnika ima premer pribliˇzno 16 mm in globino pribliˇzno 8 mm [5]. Premer grla ustnika je približno 3, 6 mm (glej sliko 3). Grlo ustnika je najožji del cevi trobente. Od grla do izhoda ustnika je cev dolga 6, 5 cm. Ta se stoˇzčasto razširi na pribliˇzno 9 mm. Cev trobente se nato počasi stoˇzčasto razširja v dolˇzini 12 do 24 cm do končnega premera 11 do 12 mm. Cev je nato cilindrična 2 do približno 44 cm pred izhodom cevi. Od tu naprej se močneje razširja vse do izhoda cevi, katerega premer je pribliˇzno 12 cm. V drugi polovici cilindričnega dela cevi se nahajajo ventili (glej sliko 4 in 2). S pritiskom na ventile preusmerimo zrak skozi doda- 2 Cilindrične cevi imajo konstanten premer. 4

11 Slika 2: Trobenta in njeni glavni deli. Slika 3: Ustnik trobente. tno dolˇzino cevi imenovano podaljˇsek. Trobenta ima tri podaljˇske. Prvi je dolg pribliˇzno 9 cm in zniˇza ton trobente za pol tona. Drugi podaljˇsek je dolg pribliˇzno 16, 5 cm in zniˇza ton trobente za cel ton. Tretji podaljˇsek je dolg pribliˇzno 27 cm, ta zniˇza ton trobente za ton in pol. S kombinacijami teh treh podaljˇskov lahko trobilec izvede vse tone med posameznimi resonanˇcnimi frekvencami cevi brez podaljˇskov. 5

12 Slika 4: Périnetov ventil trobente [6]. 2.2 Zvok v cilindričnih ceveh Stoječe valovanje V zraku se valovanje širi longitudinalno. To pomeni, da so odmiki zraka, po katerem se širi valovanje, vzporedni s smerjo širjena valovanja. Odmiki pri zvoku so zelo majhni in jih je praktično nemogoče meriti. Merimo pa lahko akustični tlak 3. Zato se bomo v nadaljevanju bolj kot odmikom in hitrosti delov zraka pri valovanju posvečali akustičnemu tlaku. Pri realnih inštrumentih zavoji cevi nimajo velikega vpliva na zven inštrumenta. Zato lahko cev z zavoji obravnavamo kot ravno. Če zanemarimo interakcije 3 Akustični tlak je razlika med povprečnim in trenutnim zračnim tlakom. 6

13 zraka s stenami cilindrične cevi, se zvok širi le v eni smeri. Označimo jo z x. Pri opisu valovanja v stoˇzčastih ceveh bomo smer širjenja zvoka označevali z r, ker je polje akustičnega tlaka odvisno le od razdalje od temena stožca. Splošna oblika enačbe, ki opisuje spreminjanje akustičnega tlaka pri širjenju valovanja po zraku v smeri osi x je p(x, t) = A sin(kx ± ωt), (1) kjer A predstavlja amplitudo valovanja, k je valovni vektor in ω kotna hitrost širjenja valovanja [1]. Znak minus med členoma kx in ωt v enačbi (1) pomeni, da se valovanje širi v smeri osi x. Znak plus med tema členoma pa pomeni, da se valovanje širi v nasprotni smeri. Pri širjenju valovanja v cevi se od idealno odprtega ali idealno zaprtega konca cevi 4 valovanje odbije. Valovanje se po odboju širi v nasprotno smer. Tako pride v cevi do medsebojnega vpliva dveh valovanj, ki ga imenujemo interferenca. Valovanji, ki potujeta v nasprotnih smereh se seštejeta. To opišemo z enačbo Z adicijskim izrekom p(x, t) = A sin(kx ωt) + A sin(kx + ωt). (2) sin(α β) + sin(α + β) = 2 sin( α + β 2 enačbo (2) prepišemo v obliko, ki opisuje stoječe valovanje ) cos( α β ) (3) 2 p(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt). (4) V enačbi za stoječe valovanje je amplituda valovanja 2A sin(kx) odvisna od lege. Tako je na nekaterih mestih, kjer je sin(kx) = 0, amplituda stoječega valovanja enaka 0. Ta mesta imenujemo vozli valovanja. Na drugih mestih, kjer je sin(kx) = 1, je amplituda stoječega valovanja maksimalna. 4 Idealno odprt je tisti konec cevi, pri katerem je hrbet odmikov in vozel tlaka. Idealno zaprt pa je tisti konec cevi, pri katerem je hrbet tlaka in vozel odmikov. 7

14 Ta mesta imenujemo hrbti valovanja. Frekvence stoječega valovanja imenujemo resonančne frekvence. Valovni vektor in kotno hitrost valovanja določimo z upoštevanjem robnih pogojev Resonančne frekvence zaprtih in odprtih cevi Nekatera pihala in trobila lahko v prvem pribliˇzku obravnavamo kot ravne idealno odprte ali zaprte cilindrične cevi. Flavto lahko v prvem približku obravnavamo kot na obeh koncih idealno odprto cilindrično cev [7]. Inštrumente kot je klarinet, lahko obravnavamo kot na vhodnem koncu idealno zaprto in na izhodnem koncu idealno odprto cilindrično cev. Cev na vhodnem koncu zapira jeziček. Za cevi, odprte na obeh koncih, v najenostavnejšem modelu velja, da je akustični tlak na obeh koncih cevi enak nič [7]. Tako dobimo pogoj k n = nπ/l, kjer je L dolˇzina cevi in n N. Valovni vektor in kotna hitrost valovanja sta povezana z enačbo ω = ck, kjer je c hitrost širjenja valovanja. Resonančne frekvence, ki se lahko pojavijo v taki, na obeh straneh odprti cevi, so enake ν n = nc/2l. Najniˇzjo moˇzno resonančno frekvenco ν 1 v cevi imenujemo osnovna resonančna frekvenca. Ostale resonančne frekvence so večkratniki osnovne resonančne frekvence (ν n = nν 1 ). V cilindričnih ceveh, v katerih vzbujamo stoječe valovanje z jezički oziroma vibrirajočimi ustnicami, je konec cevi, v katerega pihamo, zaprt [7]. Zato je tam vozel odmika in hrbet akustičnega tlaka. Drug konec cevi je odprt, zato je na tem mestu hrbet odmika in vozel akustičnega tlaka. Tako imamo drugačne začetne pogoje kot pri na obeh straneh odprti cevi. Osnovna resonančna frekvenca je v tem primeru enaka ν 1 = c/4l. Višje resonančne frekvence cevi pa so lihi mnogokratniki osnovne resonančne frekvence (ν n = (2n 1)ν 1 ). V tem primeru na enem koncu odprte in na 8

15 drugem koncu zaprte cevi so razmerja frekvenc ν 1 : ν 2 : ν 3... ν n enaka 1 : 3 : 5... (2n 1) Hitrost delov zraka pri zvoku v ceveh Postavimo cev v koordinatni sistem tako, da je začetek cevi na mestu x = 0 in konec cevi na mestu x = L. Amplitudo akustičnega tlaka, ki se širi v smeri osi x, označimo z A. Amplitudo akustičnega tlaka, ki se širi v nasprotni smeri, pa označimo z B. Tlak v cevi s kompleksnim zapisom opišemo s splošno enačbo p(x, t) = (Ae ikx + Be ikx )e iωt e βt, (5) kjer s faktorjem e βt v opis valovanja akustičnega tlaka v cevi vključimo še dušenje. Kompleksni zapis valovanja akustičnega tlaka smo izbrali, ker na ta način v obravnavo lažje vključimo časovne in krajevne fazne premike. Konstanti A in B sta lahko kompleksni. Tako lahko poleg amplitude s konstantama A in B opišemo tudi fazo valovanja. Na primer ie ikx = e i(kx π/2), kar ustreza faznemu premiku π/2. Pri ustrezni izbiri konstant A in B ter predpostavki, da pri valovanju v cevi ni dušenja (β = 0), enačba (5) postane ekvivalentna enačbi (4) v razdelku Povezavo med akustičnim tlakom in hitrostjo delov zraka dobimo z upoštevanjem drugega Newtonovega zakona (F = ma) na majhnem kvadru zraka dv [10]. Vpliv sile teže dela zraka in sile vzgona na del zraka lahko zanemarimo, saj je rezultanta teh dveh sil zanemarljivo majhna v primerjavi z gradientno silo akustičnega tlaka (F gr = dvgradp). Prav tako je pri obravnavi zvoka zaradi majhne amplitude odmikov totalni odvod hitrosti po času približno enak parcialnemu odvodu hitrosti po času a = dv/dt v/ t. Drugi Newtonov zakon za del zraka tako zapišemo 9

16 v obliki ρ 0 v t = gradp, (6) kjer ρ 0 prestavlja povprečno gostoto zraka. Če zanemarimo vpliv sten cilindrične cevi in vzamemo, da je cilindrična cev popolnoma ravna, so odmiki vzporedni z osjo x in so neodvisni od koordinat y in z. Zato lahko v tem primeru namesto gradp v enačbi (6) uporabimo p/ x in nadaljujemo z skalarnim zapisom Akustični prostorninski tok ρ 0 v t = p x. (7) Pri obravnavi širjenja valovanja po različnih ceveh, predvsem tistih, katerih presek se s krajem spreminja, je koristno namesto trenutne hitrosti premikanja delov zraka uporabljati akustični prostorninski tok U(x, t) [7]. Ta je definiran kot skalarni produkt med ploskvijo preseka cevi in trenutno hitrostjo delov zraka na mestu x U(x, t) = S(x) v(x, t). (8) Enačbo (7) lahko dodatno preoblikujemo tako, da na levi strani enačbe števec in imenovalec pomnoˇzimo s presekom cevi na mestu x, S(x). Enačbo (7) tako zapišemo v obliki ρ 0 S U t = p x. (9) Parcialni odvod akustičnega prostorninskega toka po času dobimo tako, da parcialni odvod akustičnega tlaka po legi x p x = ik( Ae ikx + Be ikx )e (iω β)t (10) 10

17 vstavimo v enačbo (9) in dobimo Z integriranjem enačbe (11) dobimo U t = S ρ 0 ik(ae ikx Be ikx )e (iω β)t. (11) U = S ρ Akustična impedanca ik iω β (Ae ikx Be ikx )e (iω β)t. (12) Pri nekaterih izračunih je uporabna akustična impedanca Z. Ta je definirana kot kvocient med akustičnim tlakom in akustičnim prostorninskim tokom Z = p a U. (13) Pri tem je potrebno poudariti, da je v enačbi (13) akustični in ne trenutni tlak. V nadaljevanju bomo večinoma uporabljali akustični tlak, zato bomo indeks a pri simbolu akustičnega tlaka izpuščali. [7] Pomen akustične impedance lahko predstavimo z analogijo na impedanco v električnih vezjih. Akustični tlak p je analogen električni napetosti, akustični prostorninski tok U električnemu toku in akustična impedanca Z impedanci elementov v električnih vezjih. Pri obravnavi električnih nihajnih krogov si večkrat pomagamo s kompleksnim zapisom električne napetosti, električnega toka in impedance elementov električnega nihajnega kroga. S takim zapisom laˇzje v obravnavo vključimo fazo valovanja. Podobno tudi pri obravnavi zvoka včasih uporabimo kompleksni zapis akustičnega tlaka, akustičnega prostorninskega toka in akustične impedance. Na ta način bolj enostavno upoštevamo krajevni in časovni fazni premik med akustičnim tlakom in akustičnim prostorninskim tokom. Z enačbo (5), ki opisuje, kako se spreminja akustični tlak v cevi, in enačbo (12), ki opisuje, kako se spreminja akustični prostorninski tok v 11

18 cevi, zapišemo akustično impedanco z enačbo Ae Z(x) = ikx + Be ikx Z 0 Ae ikx, (14) Beikx kjer je Z 0 = (iω β)ρ 0 /(iks) karakteristična impedanca cevi [8]. Če predpostavimo, da ni dušenja, se izraz karakteristične impedance cevi poenostavi do oblike Z 0 primeru brez dušenja. = cρ/s. Karakteristična impedanca cevi realna v Z akustično impedanco lahko analiziramo resonančne frekvence dveh vrst cilindričnih cevi iz razdelka 2.2.2: 1. Na vhodu in izhodu idealno odprta cev (pribliˇzek flavte). 2. Na vhodu idealno zaprta in na izhodu idealno odprta cev (pribliˇzek klarineta). Na idealno odprtem koncu cevi je akustična impedanca enaka nič, saj je na tistem mestu vozel tlaka in hrbet akustičnega prostorninskega toka. Na idealno zaprtem koncu cevi pa je situacija ravno obratna. Zato je tam akustična impedanca neskončna. Po tem razmisleku dobimo v prvem primeru dva začetna pogoja: Z(x = 0) = 0 in Z(x = L) = 0. Z upoštevanjem prvega začetnega pogoja Z(0) = Z 0 (A + B)/(A B) = 0 dobimo zahtevo A = B. S to zahtevo in drugim začetnim pogojem dobimo naslednjo zahtevo [9] Z(x = L) = Z 0 e ikl e ikl e ikl + e ikl = 0 Z 0 sh(ikl) ch(ikl) = 0 12

19 iz 0 tg(kl) = 0. (15) Iz zahteve (15) dobimo moˇzne rešitve za valovni vektor k = nπ/l, ki se ujemajo z ugotovitvami iz razdelka 2.2.2, ko smo obravnavali na obeh koncih odprto cev brez uporabe akustične impedance. Podobno postopamo v drugem primeru, ki se razlikuje od prvega po tem, da je vhod cevi zaprt. Začetna pogoja sta v tem primeru: Z(x = 0) = in Z(x = L) = 0. Z upoštevanjem prvega začetnega pogoja Z(0) = Z 0 (A + B)/(A B) = dobimo zahtevo A = B. S to zahtevo in drugim začetnim pogojem dobimo naslednjo zahtevo [9] Z(x = L) = Z 0 e ikl + e ikl Ae ikl e ikl = 0 Z 0 = ch(ikl) sh(ikl) = 0 iz 0 ctg(kl) = 0. (16) Iz zahteve (16) dobimo moˇzne rešitve za valovni vektor k = (2n 1)π/2L. Resonančne frekvence se izraˇzajo z enačbo ν n = (2n 1)c/4L, ki se ujema z ugotovitvami iz razdelka [8] Odboj in prepustnost valovanja na izhodu cevi V razdelku smo predpostavili, da se valovanje od idealno odprtega ali idealno zaprtega konca cevi odbije. Z akustično impedanco lahko to pokažemo z računom. Na koncu cevi (x = L) določa razmerje tlaka in prostorninskega pretoka impedanco Z L Z L = Z 0 (Ae ikl + Be ikl ) (Ae ikl Be ikl ) (17) 13

20 B A = e 2ikL Z L Z 0 Z L + Z 0. (18) Odbojni koeficient R je definiran kot razmerje jakosti zvoka vpadnega zvočnega valovanja j v in jakosti zvoka odbitega zvočnega valovanja j o. Ker je jakost zvočnega valovanja sorazmerna s kvadratom efektivnega akustičnega tlaka j p 2 e f, (19) lahko reflekcijski koeficient izrazimo z amplitudo akustičnega tlaka vpadnega valovanja in amplitudo akustičnega tlaka odbitega valovanja. Efektivni akustični tlak vpadnega valovanja je po definiciji enak p 2 e f v = 1 t0 p v 2 dt. (20) t 0 Kvadrat absolutne vrednosti akustičnega tlaka vpadnega valovanja je 0 p v 2 = p p = A Ae ikx e ikx e iωt e iωt = A A = A 2. (21) Tako je p 2 e f v = A 2. Podobno je kvadrat absolutne vrednosti akustičnega tlaka odbitega valovanja p v 2 = p p = B Be ikx e ikx e iωt e iωt = B B = B 2. (22) Kvadrat efektivne vrednosti akustičnega tlaka odbitega valovanja je p 2 e f o = B 2. Reflekcijski koeficient se tako izraˇza z enačbo R = j o j v = p2 e f o p 2 e f v = B 2 A 2 = Z L Z 0 Z L + Z 0 Iz enačbe 23) je očitno, da na izhodu cevi ni odboja, če je Z L 2. (23) = Z 0. To pomeni, da se vse valovanje iz izhoda cevi izseva v prostor. Popoln odboj nastane v primerih, če je Z L = 0 ali če je Z L =. Ker za cevi brez dušenja karakteristična impedanca cevi Z 0 nima imaginarnega dela, pride do popolnega odboja tudi, če ima Z L samo imaginarno komponento. [8] 14

21 Vsa trobila imajo veliko vhodno akustično impedanco. Pri veliki vhodni akustični impedanci valovanje v cevi z ustnicami laˇzje vzbudimo. Če je upor zraka v cevi dovolj velik, nihanje ustnic z odrivanjem zraka ustvari zgoščine in razredčine, ki se širijo po cevi kot valovanje. V nasprotnem primeru, ko je akustična impedanca na vhodu cevi zelo majhna, zrak v cevi ne predstavlja dovolj velikega upora. Ustnice v tem primeru z nihanjem v cevi ne ustvarjajo zgoščin in razredčin zraka, temveč se zrak samo premika, oziroma meša. Za nastanek zvoka v cevi je torej potrebna velika akustična impedanca na vhodu cevi. Ko se cev konča, se akustična impedanca naenkrat močno zmanjša. Iz enačbe (23) lahko sklepamo, da se v tem primeru večino zvoka od izhoda cevi odbije. Tako se zelo malo zvoka izseva v prostor. Da se bo več zvoka iz cevi izsevalo v prostor, moramo zagotoviti nek dober prehod iz velike impedance na vhodu inštrumenta do majhne impedance na izhodu inštrumenta. 2.3 Stoˇzčaste cevi Skupni lastnosti trobil sta njihova glasnost in njihov hitro razširjajoč se lijak. Zato je pri obravnavi trobil dobro raziskati zvok v ceveh, ki se razširjajo. Poleg cilindričnih cevi bomo obravnavali tudi stoˇzčaste cevi. Te se enakomerno razširjajo. Iskanja funkcije, ki podaja spreminjanje akustičnega tlaka v takih ceveh se bomo lotili z valovno enačbo 2 p = 1 c 2 2 p t 2. (24) Če zanemarimo interakcije s stenami cevi, je tlak v stoˇzčasti cevi odvisen le od razdalje do temena stoˇzca [7]. Zato si lahko reševanje valovne enačbe poenostavimo z vpeljavo sferičnih koordinat. Tako bo tlak odvisen 15

22 od ene same spremenljivke. Laplaceov operator ima v sferičnih koordinatah ob predpostavki, da je akustični tlak v cevi odvisen le od razdalje od izhodišča (p = p(r)), obliko 2 = 1/r 2 / r r 2 / r [10]. Valovna enačba ima v sferičnih koordinatah obliko 1 r 2 r r2 r p = 1 c 2 2 p t 2. (25) Enačbo (25) lahko zapišemo v bolj kompaktni obliki z uporabo nastavka p = R/r. 1 r 2 1 r 2 r r2 r ( r r2 R r R r r ( R r + R r + r 2 R r 2 1 r 2 2 R r 2 R r = 1 2 R c 2 t 2 r ) = 1 1 c 2 r ) 2 R t 2 = R c 2 r t 2 = 1 c 2 2 R t 2. (26) Valovna enačba v tej obliki je po obliki zelo podobna valovni enačbi za cilindrične cevi v kartezičnih koordinatah [7]. Če iščemo stacionarne rešitve, ki so oblike p(r, t) = p(r)e iωt, kjer je ω kotna hitrost valovanja, se enačba (26) poenostavi do oblike 2 R r 2 + k2 R = 0, (27) kjer je k valovni vektor in se izraža s kotno hitrostjo kot k = ω/c. Z reševanjem poenostavljene valovne enačbe stoječega valovanja, enačbe (27), dobimo splošno rešitev R = C 1 cos kr + C 2 sin kr. (28) Splošna rešitev, ki opisuje spreminjanje akustičnega tlaka je ( ) cos kr sin kr p(r, t) = C 1 + C 2 e iωt. (29) r r 16

23 2.3.1 Neprisekane stoˇzčaste cevi Nekatere glasbene inštrumente kot sta sopran saksofon in oboa lahko v prvem pribliˇzku obravnavamo kot na izhodu odprte neprisekane stoˇzčaste cevi [7]. Najprej obravnavajmo spreminjanje tlaka znotraj stoˇzčaste cevi. Iz splošne rešitve (enačba (29)), ki opisuje spreminjanje akustičnega tlaka v stožčastih ceveh, lahko z upoštevanjem robnih pogojev pridemo do bolj natančne enačbe. V enačbi (29) člen cos kr/r za neprisekano stoˇzčastno cev ne pride v poštev, saj mora imeti v temenu stoˇzca (pri r = 0) tlak končno vrednost. Temu zadošča člen sin kr/r, saj je sin kr lim r 0 r = k. Enačbo (29) lahko za primer cevi neprisekanega stoˇzca zapišemo krajše kot p = C sin kr e iωt. (30) r Pri valovanjih, ki se širijo v na izhodu odprti stožčasti cevi, dobimo ob upoštevanju robnega pogoja p(l) = 0, kjer je L višina stoˇzčaste cevi, vrednosti, ki jih lahko zavzema valovni vektor k n = nπ/l, kjer je n naravno število. Resonančne frekvence ν n v tem primeru zavzemajo vrednosti nc/2l. Te zavzemajo enake vrednostih kot v primeru enako dolge na obeh koncih odprte cilindrične cevi. Vendar je potrebno poudariti, da poteka akustičnega tlaka v stoˇzčasti cevi in na obeh straneh odprti cilindrični cevi nista enaka kljub temu, da so resonančne frekvence obeh cevi enake. Do največjih razlik v obliki funkcije tlaka pride na začetku cevi v prvi polovici valovne dolˇzine (glej sliko 5). Resonančne frekvence cilindrične cevi ν n, ki je na vhodu zaprta in na izhodu odprta, zavzemajo vrednosti (c/4l)(2n 1), kjer je n naravno število. Najnižja resonančna frekvenca stožčastega inštrumenta z jezičkom na eni strani, kot sta na primer sopran 17

24 Slika 5: Primerjava akustičnega tlaka v stoˇzčasti (modra krivulja) in cilindrični (rdeča krivulja) cevi dolžine 35 cm. Stožčasta cev je neprisekana, cilindrična cev je odprta na obeh straneh. Slika prikazuje 6. resonančno frekvenco (n = 6). saksofon in oboa, je po zgornjih izračunih enaka ν s1 = c/2l. Dvakrat višja (oktavo višja) od najnižje resonančne frekvence stožčastega inštrumenta je resonančna frekvenca cilindričnega inštrumenta iste dolžine, katere vhod je zaprt in izhod odprt. Enaka je ν c1 = c/4l. Primer takega inštrumenta je klarinet. Iz slike 5 oziroma iz enačbe (30) lahko opazimo, da so hrbti tlaka obratno sorazmerni z oddaljenostjo od koordinatnega izhodišča za razliko od primerov v cilindričnih ceveh, kjer so hrbti tlaka vzdolˇz cevi konstantni [7]. Vendar samo s podatki o amplitudi tlaka vzdolˇz cevi ne moremo veliko povedati o tem, kolikšen delež valovanja se od odprtega konca cevi odbije in kolikšen delež valovanja se izseva v prostor. To nam omogoča akustična impedanca cevi. Za izračun te potrebujemo podatek o akustičnem prostorninskem toku. Do njega pridemo preko drugega Newtonovega zakona, ki ga uporabimo na delu zraka v cevi dv (glej sliko 6) [10]. 18

25 Z upoštevanjem predpostavke, da sta totalni in parcialni odvod hitrosti po Slika 6: Osnovne oznake, ki so potrebne za izpeljavo akustičnega prostorninskega toka v stožcu. Oznaka dv predstavlja prostornino zraka med ploskvama S(r) in S(r + dr) ter stenami cevi. Oznaki p(r) in p(r + dr) predstavljata tlak na mestih r in r + dr. času pri obravnavi zvoka pribliˇzno enaka (dv/dt v/ t), lahko drugi Newtonov zakon za del zraka dv zapišemo v obliki m v t = p(r + dr)s(r + dr) + p(r)s(r). (31) Ploskev S je sorazmerna s kvadratom oddaljenosti od koordinatnega izhodišča (S r 2 ). Iz vektorske enačbe (31) lahko preidemo na skalarno, saj so vsi vektorji vzporedni z vektorjem r. Enačbo (31) lahko tako zapišemo v poenostavljeni obliki m v t = K(p(r + dr)(r + dr)2 p(r)s(r)) 19

26 ρkr 2 dr v t = K(p(r + dr)(r + dr)2 p(r)s(r)) ρ U t = K(p(r + dr)(r + dr)2 p(r)s(r)) ρ U t = K (pr2 ), (32) r kjer je ρ gostota zraka in K sorazmernostna konstanta med S in r 2 (S = Kr 2 ). Odvajamo desno stran enačbe (32) in dobimo ρ U t = K (r2 p) r = C(sin kr + kr cos kr)e iωt. (33) Z integriranjem enačbe (33) po času dobimo enačbo, ki opisuje krajevno in časovno spreminjanje akustičnega prostorninskega toka v cevi neprisekanega stožca U = C ρkc [sin(kr) + kr cos(kr)] ( i)eiωt. (34) Faktor i pred eksponentom e iωt pomeni, da je faza valovanja akustičnega prostorninskega toka premaknjeno za π/2 glede na fazo valovanja akustičnega tlaka. Vendar fazni premik ne vpliva na lego vozlov in hrbtov valovanja. Krajevno odvisnost valovanja akustičnega prostorninskega toka opisuje enačba U = C [sin(kr) + kr cos(kr)]. (35) ρkc Slika 7 prikazuje spreminjanje tlaka in prostorninskega pretoka v odvisnosti od lege v stoˇzčasti cevi. Za razliko od cilindrične cevi opazimo, da se vrhovi tlaka ne prekrivajo več z vozli akustičnega prostorninskega toka. To je še posebej očitno na začetku cevi. Hrbti akustičnega prostorninskega toka se povečujejo sorazmerno z razdaljo od temena stoˇzca, hrbti tlaka pa se z razdaljo od temena stoˇzca zmanjšujejo obratno sorazmerno. Stoˇzčasti del cevi tako deluje kot akustični transformator, ki spreminja visoko impedanco na vhodu cevi, v nizko impedanco na odprtem koncu cevi. V tako 20

27 Slika 7: Odvisnost tlaka in akustičnega prostorninskega toka v odvisnosti od lege v stoˇzčasti cevi za četrto resonančno frekvenco (n = 4). Cev je dolga 35 cm. oblikovanih menzurah se veliko večji del valovanja iz izhoda inštrumenta izseva v prostor. [7] 2.4 Websterjeva enačba Čeprav je veliko trobilnih inštrumentov sestavljenih iz večjih delov cilindričnih cevi, imajo vsa trobila na koncu cevi hitro razpirajoč se del, imenovan lijak. Tipična trobilna inštrumenta sta trobenta in pozavna. Njuna cev je približno polovico dolžine približno cilindrična. Ostali del sestavlja rahlo razpirajoča se cev in proti koncu cevi hitro razpirajoč se del cevi (lijak). Ostale vrste trobil imajo na začetku daljši stoˇzčast del. Dober predstavnik takih trobil je rog. Fizikalni vpogled v vpliv oblike menzure na resonančne frekvence tipičnih trobil nam omogoča tako imenovana Websterjeva enačba. Ime se je 21

28 obdrˇzalo, kljub temu da originalno izvira iz časov Bernoullija [8]. Websterjevo enačbo dobimo iz valovne enačbe ob predpostavki ravnih valovnih front. Zapišemo jo kot ( 1 S p ) = 1 2 p S x x c 2 t 2, (36) kjer S predstavlja presek cevi na mestu x. Če predpostavimo, da se cev ne razširja prehitro, se lahko s pribliˇzkom ravne valovne fronte kar dobro pribliˇzamo eksaktnim rezultatom in ohranimo bistveno fiziko. Če naredimo zamenjavo p = ψ S in iščemo rešitve stoječega valovanja (ψ(x)e iωt ), ima enačba (36) obliko 2 ψ x 2 + [ ( ω ) 2 1 c a 2 ] a x 2 ψ = 0, (37) v kateri je radij cevi a funkcija lege x [7]. Če člene zgornje enačbe malo premešamo, dobimo enačbo ( ω c ) 2 2 ψ ψ = x a a x 2 ψ (38) in opazimo, da je enačba (37) analogna stacionarni enodimenzionalni Schrödingerjevi enačbi [11] Eψ = h2 2 ψ + V(x)ψ. (39) 2m x2 E v prvem členu enačbe (39) predstavlja skupno energijo delca. Ta je analogna členu (ω/c) 2 v enačbi (38). Člen 1/a 2 a/ x 2 ψ v enačbi (38) je analogen členu V(x)ψ v Schrödingerjevi enačbi (39), ki predstavlja potencialno energijo. Člen 2 ψ/ x 2 iz enačbe (38) je analogen členu h 2 /2m 2 ψ/ x 2, ki predstavlja kinetično energijo v Schrödingerjevi enačbi (39), kjer je h Planckova konstanta in m masa delca. Zgornja analogija nam pomaga razumeti, kako oblika cevi vpliva na valovanje akustičnega tlaka v cevi. 22

29 Valovanje akustičnega tlaka v cevi obravnavamo analogno, kot obravnavamo delec pri kvantni mehaniki, ki se giblje v potencialu. Oblika te cevi določa neke vrste potencial cevi, ki vpliva na širjenje valovanja akustičnega tlaka v cevi. V členu enačbe (38), ki je analogen potencialu v Schrödingerjevi enačbi, a predstavlja radij cevi. Z uporabo pojma ukrivljenosti cevi κ = 1/R, kjer je R radij ukrivljenosti, lahko potencial cevi zapišemo bolj kompaktno [12]. Fizikalno ukrivljenost interpretiramo kot stopnjo spreminjanja tangentnega vektorja t vzdolˇz krivulje. Naj bo s dolˇzina loka krivulje med izbrano izhodiščno točko in opazovano točko na krivulji. Ukrivljenost cevi zapišemo z enačbo t s = a s x. (40) Pri dovolj majhnih spremembah ukrivljenosti cevi je a/ x a/ s. Radij ukrivljenosti cevi je v tem približku R ( 2 a/ x 2 ) 1. Potencial cevi v enačbi (38) lahko zapišemo kot 1/aR. Valovanje akustičnega tlaka v cevi začne eksponentno pojemati, ko je 1/aR > (ω/c) 2. (41) Podobno pričakujemo tudi pri kvantni mehaniki za delec, ki naleti na potencialno bariero, katere potencial je večji od energije delca. Na ta način lahko določimo kritično frekvenco ω c, nad katero obstajajo rešitve enačbe (37), ki opisujejo stoječe valovanje ω > ω c = c ar. (42) Za frekvence valovanja, ki so manjše od kritične frekvence ω c, rešitve enačbe (37) eksponentno pojemajo, kot e x/δ e iωt, kjer je δ = c/ ω 2 c ω 2. [7] Širjenje zvočnega valovanja v cevi je analogno širjenju valov, s katerimi opišemo delec v krajevno spreminjajočem se potencialu. Če je ukrivljenost cevi dovolj velika, se valovanje odbije preden doseže odprt izhod 23

30 inštrumenta. Vendar tako kot lahko delec v kvantni mehaniki tunelira skozi potencialno bariero, lahko valovanje akustičnega tlaka z manjšo frekvenco od kritične frekvence tunelira skozi hitro razširjajoč se del cevi v prostor [7]. Za take razširjajoče cevi, lahko iz enačbe (42) izrazimo pogoj, pri katerem se valovanje od razširjajočega dela cevi odbije. ω 2 odb. < c2 ar ar < 1 k 2 odb. (2π) 2 ar < λ odb. (43) Ko se cev razširja, se polmer cevi a povečuje. Hkrati se zmanjšuje radij ukrivljenosti R. Pri lijakih trobil se ukrivljenost cevi povečuje hitreje kot polmer cevi. To pomeni, da se radij ukrivljenosti cevi manjša hitreje kot polmer cevi. Iz pogoja (43) lahko sklepamo, da, za valovanja z manjšo valovno dolžino, točka odboja nastopi pozneje kot za valovanja z večjo valovno dolžino. Efektivna dolžina takih cevi, katerih premer se hitro povečuje s krajem, je krajša za nizke resonančne frekvence kot efektivna dolˇzina cevi visokih resonančnih frekvenc. To prikazuje slika Salmonove cevi Za cevi, ki se hitro razširjajo, a/ x ni več približno enak a/ s. Pribli- ˇzek ( 2 a/ x 2 ) 1 = R zato ni več ustrezen. Pri izračunu potenciala cevi pribliˇzka 1/(aR) ne moremo več uporabljati. Uporabiti moramo izraz 1/a 2 a/ x 2. Skupina posebnih oblik cevi, imenovanih Salmonove cevi, je za teoretično obravnavo zelo uporabna. Z njimi lahko pribliˇzno opišemo nekatere oblike delov cevi tipičnih trobil in jih analitično enostavno rešimo [8]. 24

31 Skupna značilnost Salmonovih cevi je v tem, da je potencial cevi in s tem kritična frekvenca ω c konstanten po celotni dolˇzini cevi. To zahtevo po konstantnem potencialu cevi zapišemo z diferencialno enačbo kjer je m 2 konstanta. Rešitve enačbe (44) so 2 a x 2 am2 = 0, (44) a = Ae mx + Be mx. (45) V bolj priročni obliki lahko zgornjo enačbo (45) zapišemo z uporabo hiperboličnih funkcij a = a 0 (cosh mx + T sinh mx), (46) kjer je T parameter, ki določa obliko Salmonove funkcije. Enačbo (37) lahko zapišemo v poenostavljeni obliki kot 2 ψ x 2 + [ ( ω ) 2 m 2] ψ = 0. (47) c Funkcije, ki opisujejo valovanje akustičnega tlaka v takih ceveh, imajo splošno obliko p(x) = p 0 a e i( k 2 m 2x ωt), (48) kjer je k = ω/c. Za cevi, pri katerih je k 2 > m 2, obstajajo rešitve enačbe, ki opisujejo stoječe valovanje. Za cevi, pri katerih to ne velja, je valovanje akustičnega tlaka v cevi eksponentno dušeno. Skupina cevi, ki jih opisuje enačba (46), ima tri degenerirane oblike. Prva je v primeru, ko je parameter T = 1. V tem primeru ima enačba (46) obliko eksponentne funkcije a = a 0 e mx. (49) Radij cevi se z lego eksponentno povečuje. Drugi degeneriran primer enačbe (46) je pri vrednosti parametra T = 0. V tem primeru je funkcija, 25

32 ki opisuje spreminjanje radija cevi z lego enaka a = a 0 cosh mx. (50) Za razliko od eksponentne funkcije radija cevi funkcija hiperboličnega kosinusa omogoča gladko sklopitev s cilindrično cevjo, saj je na mestu x = 0 odvod te funkcije po legi enak 0. Tretja degeneracija enačbe (46) je s parametrom T = x/x 0 m pri pogoju, da gre m proti 0. Tako dobimo degenerirano enačbo a = a 0 (1 + x/x 0 ). (51) Cevi, ki jih opisuje enačba (51), so stožčaste s temenom stožca pri x = x 0. V posebnem primeru, ko je x x 0, enačba (51) opisuje cilindrično cev. Potencial cevi je v teh primerih stoˇzčaste in cilindrične cevi enak 0, kar je v skladu s tem, da cilindrične in stoˇzčaste cevi nimajo kritične frekvence, pod katero bi bilo valovanje akustičnega tlaka eksponentno dušeno. Za Salmonove cevi, ki jih opisuje eksponentna funkcija ali funkcija hiperboličnega kosinusa, velja, da se valovanje s frekvenco, večjo od kritične frekvence ν c = mc/(2π), prosto širi vzdolˇz zračnega stolpca. Za frekvence širjenja valovanja, ki so manjše od kritične frekvence ν c, je valovanje eksponentno dušeno. 2.6 Besselove cevi Naslednja zanimiva skupina oblik cevi so Besselove cevi. Zanimive so, ker z njimi lahko opišemo realne zelo hitro razpirajoče se lijake, ki sestavljajo večino trobilnih inštrumentov [8]. Za te oblike cevi lahko analitično rešimo enačbo (37). Definirane so kot a = Bx m. Za določene vrednosti parametra m dobimo v okviru Besselovih funkcij nekatere degenerirane oblike. Če je parameter m = 0, dobimo funkcije oblike a = B, ki opisujejo cilindrične 26

33 cevi. Pri parametru m = 1 dobimo funkcije oblike a = Bx, ki opisujejo stoˇzčaste cevi. Enačba (37) se za Besselove cevi zapiše kot [ ( ω ) 2 m(m + 1) c 2 ψ x 2 + x 2 ] ψ = 0. (52) Če predpostavimo, da so valovne fronte v cevi ravne, so rešitve zgornje enačbe [9] ψ(x) = x 1 2 Jm+ 1 2 (kx). (53) Akustični tlak se s krajem od odprtega izhoda cevi proti vhodu spreminja po enačbi p(x) = Ax m+ 1 2 Jm+ 1 2 (kx), (54) kjer je J m+ 1 2 (kx) cilindrična oziroma Besselova funkcija reda m + 1/2, po kateri so take cevi dobile ime. Analitična rešitev nam pomaga pri obravnavi inštrumentov z zelo hitro razširjajočim se lijakom [8]. Pri tem se moramo zavedati, da so vsi ti izračuni narejeni na podlagi predpostavke ravne valovne fronte, ki pa za hitro razširjajoče cevi ni več ustrezna, saj je lahko na nekaterih mestih ukrivljenost valovne fronte celo večja od ukrivljenosti cevi. O tem se lahko prepričamo s kratkim razmislekom. V približku ravne valovne fronte je potencial cevi Besselovih cevi oblike m(m + 1)/x 2. Ta narašča v neskončnost, ko gre x proti 0. Potencial cevi narašča v neskončnost, ko se pribliˇzujemo izhodu cevi (glej sliko 8a ). Torej se bi moralo vse valovanje odbiti od odprtega izhoda cevi in se nebi nič valovanja izsevalo iz odprtega izhoda cevi. Boljši približek realni situaciji je približek sferičnih valovnih front (glej sliko 8b). Kljub velikim napakam zaradi pribliˇzka ravne valovne fronte, si lahko s temi izračuni ustvarimo pribliˇzno predstavno o vplivu hitro razširjajočega lijaka na resonančne frekvence [7]. Pomembna stvar pri tej obravnavi 27

34 Slika 8: Grafa prikazujeta potencial cevi v odvisnosti od lege v a) približku ravne valovne fronte in b) pribliˇzku sferične valovne fronte [8]. je način, kako hitro razširjajoč se del menzure potiska vozle akustičnega tlaka proti vhodu cevi. Efektivna dolžina cevi je zato skrajšana in resonančne frekvence se zvišajo. Ta pojav prikazuje slika 9. Efekt teh je najbolj opazen pri niˇzjih resonančnih frekvencah. Hitro razširjajoč se lijak in tudi vse menzure z navzven obrnjeno ukrivljenostjo sten cevi uničujejo harmoničnost resonančnih frekvenc. To je splošen rezultat za vse cevi z hitro razširjajočim lijakom. Zavedati se moramo, da na lego vozlov vpliva tudi ukrivljenost valovne fronte, kar malo spremeni frekvence resonanc. Vendar za kvalitativen opis zadoščajo tudi zgornji izračuni, v katerih smo vzeli približek ravne valovne fronte. 28

35 Slika 9: Osnovni in četrti nihajni način v Besselovi cevi z m = 1/2, dolˇzine 1, 5 m. Rdeča črta predstavlja amplitudo akustičnega tlaka v Besselovi cevi z m = 1/2, zelena črta pa k Besslovi funkciji ekstrapolirano sinusno funkcijo. Na zgornjem grafu je osnovni nihajni način, na spodnjem pa četrti. 29

36 3 Prisekane stoˇzčaste cevi Cev neprisekanega stoˇzca, ki smo jo obravnavali v razdelku 2.3.1, za trobila ni dober približek. Dodajanje ustnika oziroma mikrofona na vhod cevi zahteva, da teme stožca odrežemo in tako uporabljamo cev prisekanega stoˇzca. To lahko spremeni resonančne frekvence v stoˇzčasti cevi. 3.1 Tlak v cevi prisekanega stoˇzca Enačba (29) opisuje spreminjanje akustičnega tlaka znotraj stoˇzčaste cevi. Postavimo cev prisekanega stožca v koordinatni sistem, kot kaže slika 10. Črtkane črte prikazujejo navidezni del stoˇzca in polne črte prisekan stoˇzec. Oznaka d predstavlja razdaljo od koordinatnega izhodišča do vhoda cevi prisekanega stožca. Oznaka L predstavlja dolžino cevi prisekanega stožca. Oznaki r 1 in r 2 predstavljata polmer vhoda cevi in polmer izhoda cevi. Za Slika 10: Postavitev cevi prisekanega stožca v koordinatni sistem. razliko od primera neprisekanega stožca, v tem primeru ne moremo kar predpostaviti, da je člen enačbe (29), A cos(kr)/r, enak nič, saj vrednost tega člen na vhodu cevi ni neskončna. Enačbo (29) za primer prisekane 30

37 stoˇzčaste cevi zapišimo v bolj kompaktni obliki kot p(r) = C sin(kr + δ). (55) r Za opis valovanja v cevi je bolj pregledno, če je vhod cevi postavljen v koordinatno izhodišče. Zato moramo enačbo (55) popraviti. Dobimo enačbo p(r) = C sin(k(r + l)), (56) r + d kjer je l = d + δ/k in d razdalja od navideznega temena stoˇzca do vhoda cevi. Do koeficienta l pridemo s predpostavko, da je na vhodu cevi maksimum akustičnega tlaka. Tako dobimo pogoj p (r + d) = 0 iz katerega izhaja enačba [ C sin(kl) d 2 + k cos(kl) ] = 0 d dk cos(kl) = sin(kl) tg(kl) = dk l = arctg(dk), (57) k ki povezuje koeficient l z razdaljo vhoda cevi prisekanega stoˇzca do navideznega temena stoˇzca d. 3.2 Resonančne frekvence prisekane stoˇzčaste cevi Podobno kot v razdelku bomo tudi v tem razdelku z upoštevanjem robnih pogojev prišli do vrednosti, ki jih lahko zavzema valovni vektor v resonancah. Iz valovnega vektorja bomo nato sklepali na resonančne frekvence. Poleg predpostavke, da je na vhodu cevi maksimum akustičnega tlaka, ki smo jo uporabili v razdelku 3.1, na tem mestu uporabimo še predpostavko, da je na koncu cevi akustični tlak enak 0. Na ta način dobimo dva robna pogoja: 31

38 1. p (d) = 0 in 2. p(d + L) = 0, ki ju uporabimo pri reševanju enačbe (55). 1. Iz enačbe (55) in prvega začetnega pogoja, dobimo enačbo [ ] sin(k(d + δ)) k cos(k(d + δ)) A d 2 + = 0. (58) d Konstanta A v enačbi (58) mora biti različna od 0, saj v nasprotnem primeru dobimo samo trivialno rešitev. Enačbo (58) delimo z A in mnoˇzimo z d 2. Dobimo enačbo kd cos(k(d + δ)) = sin(k(d + δ)). (59) Enačbo (59) delimo s cos(k(d + δ)). Dobimo enačbo tg(k(d + δ)) = kd. (60) 2. Iz enačbe (55) in drugega začetnega pogoja dobimo enačbo sin(k(d + L + δ)) A d + L = 0. (61) Enačbo (61) delimo s konstanto A in mnoˇzimo z d + L. enačbo Dobimo sin(k(d + L + δ)) = 0. (62) Z osnovnimi obrazci trigonometričnih funkcij, sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, zapišimo enačbo (62) v obliki sin(k(d + δ)) cos(kl) + cos(k(d + δ)) sin(kl) = 0. (63) Enačbo (63) delimo s cos(k(d + δ)). Dobimo enačbo tg(k(d + δ)) cos(kl) + sin(kl) = 0. (64) 32

39 Z uporabo enačbe (60) lahko enačbo (64) zapišemo kot kd cos(kl) + sin(kl) = 0. (65) Enačbo (65) delimo s cos(kl). Dobimo enačbo tg(kl) = kd. (66) Dobili smo enačbo, ki povezuje dolˇzino cevi L z razdaljo od koordinatnega izhodišča do vhoda cevi d. S podobnimi trikotniki (glej sliko 10) lahko določimo povezavo med dolžino cevi L in razdaljo med izhodiščem koordinatnega sistema in vhodom cevi d d r 1 = d + L r 2. (67) Zapišemo lahko enačbo, ki opisuje, kako se d spreminja z L v odvisnosti od razmerja polmerov R = r 2 /r 1 d = Z enačbo (68) lahko enačbo (66) prepišemo v obliko L R 1. (68) tg(kl) = kl R 1. (69) Iz enačbe (69) lahko sklepamo na resonančne frekvence v stoˇzčasti cevi, ki je zelo podobna cilindrični cevi. V limiti, ko postaja stoˇzčasta cev cilindrična, gre razmerje polmera izhoda in polmera vhoda cevi proti 1. Enačba (69) ima obliko tg(kl) =. Valovni vektor k lahko v tem primeru zavzema vrednosti (π/(2l))(2n 1). Resonančne frekvence v taki cevi so (c/(4l))(2n 1). Ta rezultat se ujema z izračuni na vhodu zaprte cilindrične cevi iz razdelka Do drugega limitnega primera pridemo, ko postaja premer cevi na vhodu zanemarljivo majhen v primerjavi 33

40 s premerom cevi na izhodu. Taka cev postaja podobna cevi neprisekanega stoˇzca. V limiti, ko gre razmerje R proti neskončno, ima enačba (69) obliko tg(kl) = 0. Valovni vektor k lahko v tem limitnem primeru zavzema vrednosti k = nπ/l. Tudi ta rezultat limitnega primera se ujema z izračunanimi rezultati v razdelku Opazimo lahko, da so resonančne frekvence v teh dveh primerih harmonično razporejene. To pomeni, da so višje resonančne frekvence vsi mnogokratniki osnovne (najnižje) resonančne frekvence. Za cevi med limitnima primeroma resonančne frekvence niso več harmonično razporejene. Odvisnost valovnega vektorja k od dolˇzine cevi lahko razberemo iz grafa na sliki 11. Na njem so narisane tri funkcije. Funkcija tg(kl) (rdeča črta), ki predstavlja levo stran enačbe (69), in funkciji f 1 (zelena črta) in f 2 (modra črta), ki sta oblike f 1,2 = kl R 1,2 1. predstavljata desno stran enačbe (69) za vrednosti razmerja polmerov izhoda in vhoda cevi R 1 = 1, 1 in R 2 = 10. Valovni vektor k je sorazmeren s frekvenco ν. Frekvenca se z valovnim vektorjem izraža z enačbo ν = kc/(2π), kjer je c hitrost širjenja valovanja. Rešitve enačbe (69) so x koordinate presečišča funkcije na levi strani enačbe (tg(kl)) in funkcije na desni strani enačbe ( kl/(r 1)). Na sliki 11 so presečišča označena s točkami od T1 do T6. Resonančne frekvence, ki smo jih s takim postopkom dobili za 35 cm dolgo cev prisekanega stoˇzca z razmerjem polmera izhoda in vhoda cevi R = 10, so v tabeli 1. Za primerjavo so v četrtem in petem stolpca tabele 1 resonančne frekvence na obeh straneh odprte cilindrične cevi enake dolžine in resonančne frekvence na vhodu zaprte in izhodu odprte cilindrične cevi enake dolˇzine. Iz tabele 1 lahko razberemo, da je prva resonančna frekvenca cevi prisekanega stoˇzca bolj podobna resonančni frekvenci na obeh straneh odprte cilindrične cevi kot resonančni Ti 34

41 Slika 11: Graf je namenjen grafičnemu reševanju enačbe (69). n kl ν[hz] ν o [Hz] ν z [Hz] 1 2, , , , , Tabela 1: Prvih pet resonančnih frekvenc 35 cm dolgih cevi. frekvenci na vhodu zaprte cilindrične cevi. Peta resonančna frekvenca cevi prisekanega stoˇzca je nasprotno bolj podobna resonančni frekvenci na vhodu zaprte cilindrične cevi kot resonančni frekvenci na obeh straneh odprte cevi. Do te ugotovitve lahko pridemo tudi direktno iz grafa na sliki 11. Oglejmo si najprej primer majhnih vrednosti valovnega vektorja. Če skle- 35

42 pamo iz enačbe (69), da je k = arctg( kl R 1 ) L 0, (70) ugotovimo, da mora biti kl/(r 1) 0 in posledično kl R 1. Z enačbo (68) lahko pogoj napišemo v bolj kompaktni obliki kd(r 1) (R 1) kd 1 oziroma d 2πλ. (71) V primeru velikih vrednostih valovnega vektorja iz enačbe (69) sklepamo, da je k = arctg( kl R 1 ) L π 2L (72) in ugotovimo, da mora biti kl/(r 1). Posledično velja kl R 1. Z enačbo (68) lahko pogoj napišemo v bolj kompaktni obliki kd(r 1) (R 1) kd 1 oziroma d 2πλ. (73) 36

43 3.3 Meritve tlaka v cevi prisekanega stoˇzca Teoretična ugotovitev, da so resonančne frekvence v cevi lahko neharmonično razporejene, je na prvi pogled malo nenavadna. Z namenom preveriti teoretične rezultate sem izvedel meritve tlaka v cevi prisekanega stožca. Postavitev meritve prikazujeta slika 12 in skica na sliki 13. Slika 12: 1 Stojalo za cev, 2 Mikrofon, 3 Cev prisekanega stoˇzca, 4 Palica za mikrofon, 5 Stojalo za mikrofon, 6 Stojalo za ravnilo, 7 Ravnilo, 8 Ojačevalnik, 9 Napajanje ojačevalnika, 10 Osciloskop, 11 Generator sinusne napetosti, 12 Stojalo za zvočnik, 13 Zvočnik. Iz trdne umetne mase sem izdelal cev prisekanega stoˇzca z višino 35 cm, z vhodom cevi premera 2 cm in izhodom premera 20 cm. Cev prisekanega stožca sem pripel s stojalom za cev tako, da je bila simetrijska os cevi 37

44 Slika 13: 1 Generator sinusne napetosti, 2 Zvočnik, 3 Stoˇzčasta cev, 4 Mikrofon, 5 Ojačevalnik, 6 Osciloskop. prisekanega stoˇzca vodoravna. K vhodu cevi sem s pomočjo stojala postavil zvočnik. Zvočnik sem postavil tako, da je bila membrana zvočnika 5 mm ali manj oddaljena od vhoda cevi. Premer membrane zvočnika je 4 cm. Zvočnik sem priklopil na generator sinusne napetosti. Z generatorjem sinusne napetosti sem lahko reguliral amplitudo napetosti ter frekvenco med 400 Hz in 3000 Hz. Na ta način sem lahko dosegel, da je membrana zvočnika nihala z ustrezno frekvenco in amplitudo. Majhen mikrofon premera 4 mm sem prilepil na dolgo tanko palico. Palico sem postavil na stojalo, ki je palico podpiralo na dveh točkah. Stojalo sem dvignil na tako višino in obrnil v tako smer, da se je palica lahko gibala le v smeri simetrijske osi prisekanega stožca. Nad palico sem s stojalom za ravnilo pripel ravnilo tik nad palico. Na palici sem si izbral referenčno točko in na ta način meril premike palice in mikrofona vzdolˇz simetrijske osi prisekanega stožca. Napetost iz mikrofona sem preko ojačevalnika, katerega sem napajal z napetostjo 8 V in 8 V, peljal na osciloskop. Iz osciloskopa sem lahko odčital frekvenco valovanja in amplitudo napetosti. Amplituda napetosti je sorazmerna z amplitudo akustičnega tlaka. Na ta način sem preko amplitude napetosti, ki sem jo odčital na osciloskopu meril ampli- 38

45 tudo akustičnega tlaka na mestu, kjer je bil postavljen mikrofon. Meritev sem postavil tako, da se je zvok iz cevi lahko prosto širil ven. S tem sem preprečil nastanek stoječega valovanja, ki bi bilo posledica odboja valovanja od kakšne stene. Meritve sem začel tako, da sem mikrofon postavil čim bliˇze vhodu cevi. Tam sem, po izračunih iz razdelka 3.1, pričakoval hrbet akustičnega tlaka pri stoječem valovanju vseh resonančnih frekvenc. Spreminjal sem frekvenco zvočnika ter na osciloskopu opazoval spreminjanje amplitude. Frekvence, pri katerih sem opazil lokalni maksimum amplitude, sem si izpisal ter jih označil kot potencialne resonančne frekvence cevi prisekanega stožca. Nato sem brez premikanja zvočnika odstranil cev prisekanega stožca ter pri frekvenčnem območju okrog posameznih potencialnih resonančnih frekvenc izmeril amplitudo akustičnega tlaka na različnih oddaljenostih od mikrofona. S tem sem pokazal, da maksimumi akustičnega tlaka niso nastali zaradi stoječega valovanja, ki ni povezano s cevjo. Izmerki so zapisani v prilogi 1 in grafično predstavljeni na slikah 14, 15 in 16. Prepričati se je potrebno še, da posamezni maksimumi akustičnega tlaka niso posledica frekvenčne karakteristike zvočnika in mikrofona. Frekvenčno karakteristiko zvočnika in mikrofona sem izmeril tako, da sem blizu zvočnika postavil mikrofon in pri različnih frekvencah odčital amplitudo tlaka. Izmerki so zapisani v prilogi 2 in grafično predstavljeni na sliki 17. Na ta način sem dobil tri frekvence, pri katerih se je pojavil maksimum akustičnega tlaka, ki ni posledica stoječega valovanja, ki bi nastalo zaradi odboja od kakšnih predmetov, ali posebne frekvenčne karakteristike mikrofona in zvočnika. Za te frekvence sem predpostavil, da so resonančne frekvence cevi prisekanega stoˇzca. Brez premikanja mikrofona sem postavil cev prisekanega stožca na prvotno mesto in pričel z merjenji 39

46 amplitude tlaka v odvisnosti od lege mikrofona pri resonančnih frekvencah. Izmerki so zapisani v prilogi 3 in grafično prestavljeni na slikah 18, 19 in Analiza meritev Pri analiziranju izmerjenih podatkov in risanju grafov sem si pomagal z računalniškim programom Gnuplot. Pri določanju funkcije, ki se najbolj prilega izmerkom je program Gnuplot zelo uporaben. Dovolj je, da poznamo obliko funkcije za katero menimo, da se bo najbolj prilegala izmerkom, na primer y(x) = A sin(kx + δ), in približno vrednost nekaterih njenih parametrov, na primer k = 2 in δ = π/2. S programom Gnuplot lahko izračunamo vrednosti parametrov, za katere se dana funkcija najbolj prilega izmerkom. Najprej sem analiziral meritve amplitude akustičnega tlaka v odvisnosti od razdalje od zvočnika brez cilindrične cevi. Iz predpostavke, da v tem primeru ni stoječega valovanja, sledi, da se amplituda akustičnega tlaka spreminja obratno sorazmerno z razdaljo. Na ta način sem določil obliko funkcije, ki se najbolj prilega izmerkom kot p(r) = a r + d. (74) S programom Gnuplot sem določil parametra funkcije a in d, podana z enačbo (74). Parametri in statistična napaka parametrov funkcije, ki jih določi program Gnuplot, so predstavljeni v tabeli 2. Ker nas absolutna amplituda akustičnega tlaka pri obravnavi resonančnih frekvenc ne zanima, bomo v nadaljevanju amplitudo akustičnega tlaka navajali v relativnih (brezdimenzijskih) enotah. Meritve in funkcije, ki se najbolj prilagajo meritvam so predstavljene na slikah 14, 15 in 16. Nato sem grafično predstavil 40

47 Slika 14: Meritve amplitude akustičnega tlaka v odvisnosti od razdalje mikrofona od zvočnika na frekvenčnem območju od 1100 Hz do 1220 Hz. Slika 15: Meritve amplitude akustičnega tlaka v odvisnosti od razdalje mikrofona od zvočnika na frekvenčnem območju od 1500 Hz do 1800 Hz. meritve frekvenčne karakteristike zvočnika in mikrofona (glej sliko 17). Iz grafa na sliki 17 razberemo, da v bližnji okolici resonančnih frekvenc ni 41

48 Slika 16: Meritve amplitude akustičnega tlaka v odvisnosti od razdalje mikrofona od zvočnika na frekvenčnem območju od 1850 Hz do 2250 Hz. Vrednost pri frekvenci Parameter 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz a 0.029(1 ± 0.020) 0.032(1 ± 0.029) 0.038(1 ± 0.025) d 0.014(1 ± 0.028) m 0.015(1 ± 0.041) 0.019(1 ± 0.036) m Tabela 2: Vrednosti parametrov pri prilagajanju funkcije p(r) izmerkom amplitude akustičnega tlaka v odvisnosti od razdalje do zvočnika brez cevi. Meritve so bile izvedene na območju frekvenc resonančnih frekvenc cevi. Poleg vrednosti parametrov so navedene njihove statistične napake, ki jih je določil program Gnuplot. maksimumov frekvenčne karakteristike zvočnika in mikrofona. Na podlagi tega sklepamo, da so izmerjene frekvence 1176 Hz, 1660 Hz in 2077 Hz res resonančne frekvence cevi prisekanega stožca. Za določitev funkcije, ki se najbolj prilega meritvam odvisnosti akustičnega tlaka od lege v cevi prisekanega stoˇzca pri resonančnih frekvencah, moramo najprej ugotoviti obliko funkcije. V razdelku 3.1 smo prišli 42

49 Slika 17: Meritve odvisnosti amplitude akustičnega tlaka od frekvence zvočnika. Mikrofon je bil postavljen na razdalji 3 cm od zvočnika. do ugotovitve, da se tlak v cevi prisekanega stoˇzca spreminja po enačbi (56). Zavedati se moramo, da smo merili le amplitudo, zato moramo pri prilagajanju funkcije meritvam vzeti absolutno vrednost funkcije v enačbi (56). Dobimo funkcijo p(r) = C sin(k(r + l)) r + d. (75) Približno oceno valovnega vektorja k lahko dobimo iz podatka o resonančni frekvenci iz enačbe k = (2π/c)ν. Pribliˇzno oceno konstante C dobimo iz enačbe p(0) C /k, kjer smo s C označili amplitudo pri vhodu cevi. Parameter d je približno razdalja med navideznim temenom prisekanega stožca in vhodom cevi. Izračunamo ga lahko preko enačbe (68). Ta parameter je enak pri vseh treh resonančnih frekvencah. Parameter l lahko izračunamo po enačbi (57). Pri izmerkih je opazno, da moramo pri prilagajanju funkcije izmerkom, poleg oblike enačbe (56) upoštevati tudi neke vrste ozadje. Zato moramo za boljše prilagajanje enačbe izmerkom 43

50 enačbi (75) dodati še člen b/(x + d). Funkcija, ki jo bomo v nadaljevanju prilagajali meritvam ima obliko p(r) = C sin(k(r + l)) r + d + b x + d. (76) Prilagajali bomo parametre k, C, d, l in b. Parametri in njihove napake so predstavljeni v tabeli 3. Vrednost pri frekvenci Parameter 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz k 21.6m 1 ± 0.2m m 1 ± 0.2m m 1 ± 0.3m 1 C ± ± ± d 0.042m ± 0.001m 0.038m ± 0.001m 0.039m ± 0.001m l 0.033m ± 0.002m 0.026m ± 0.001m 0.027m ± 0.001m b ± ± ± Tabela 3: Vrednosti parametrov pri prilagajanju funkcije p(r) izmerkom amplitude akustičnega tlaka v odvisnosti od razdalje do zvočnika. Meritve so bile izvedene pri resonančnih frekvencah cevi. Poleg vrednosti parametrov so navedene njihove statistične napake, ki jih je določil program Gnuplot. Preverimo v kolikšni meri se parametri dobljeni s prilagajanjem izmerkom ujemajo s pričakovanimi vrednostmi. Parameter d predstavlja razdaljo od vhoda cevi do navideznega temena stoˇzca. Ta je za našo cev pri vseh meritvah enaka 0, 35m ± 0, 01m d = = 0, 038m ± 0, 005m. (77) 0,2m±0,01m 0,02m±0,002m 1 Vse dobljene vrednosti parametra d (glej tabelo 3) se v okviru natančnosti ujemajo z vrednostjo v enačbi 77. Pri 10 C in 50 % vlažnosti je hitrost širjenja zvoka v zraku 337 m/s [7]. Napako pri meritvi frekvence je 2 44

51 %. Iz podatkov o frekvenci in hitrosti širjenja zvoka izračunamo vrednosti valovnega vektorja. Te prikazuje tabela 4. Opazimo, da so odstopanja izračunanih vrednosti valovnega vektorja (glej tabelo 4) in vrednosti dobljene s prilagajanjem funkcije meritvam (glej tabelo 3) nekoliko večja, vendar se v okviru natančnosti ujemajo. ν k ν [m 1 ] 1176 Hz 21, 9 ± 0, Hz 31, 0 ± 0, Hz 38, 7 ± 0, 8 Tabela 4: Iz hitrosti širjenja zvoka in resonančnih frekvenc izračunane vrednosti valovnih vektorjev. Prilagajanje funkcij meritvam in meritve same so predstavljene na slikah 18, 19 in 20. Rdeča krivulja predstavlja funkcijo p(r), ki ima obliko enačbe (76). Modra krivulja predstavlja funkcijo p 1 (r), ki ima obliko enačbe (56). Parametri te funkcije a, k, l in d so enaki kot pri funkciji p(r). Funkcija p 1 (r) ponazarja odvisnost akustičnega tlaka v cevi prisekanega stoˇzca, kot smo jo izračunali v razdelku 3.1. Efektivno dolžino cevi lahko določimo iz grafov na slikah 18, 19 in 20. Efektivna dolžina cevi je dolžina, ki bi jo imela idealna cev (brez dušenja in iztočnih popravkov) pri enakih frekvencah. Pri cevi, ki jo obravnavamo, je efektivna dolˇzina cevi kar razdalja od vhodu cevi najbliˇzjega maksimuma do izhodu cevi najbližjega minimuma akustičnega tlaka. Dobljeni rezultati so predstavljeni v tabeli 5. S podatki o efektivni dolžini cevi lahko popravimo vrednosti resonančnih frekvenc v tabeli 1. Nove vrednosti so zapisane v tretjem stolpcu tabele 6. Iz vrednosti valovnih vektorjev, ki smo jih dobili pri prilagajanju funkcije p(r), katero opisuje enačba (76), in 45

52 Slika 18: Izmerjena amplituda akustičnega tlaka v odvisnosti od lege v cevi prisekanega stoˇzca pri resonančni frekvenci 1176 Hz. Slika 19: Izmerjena amplituda akustičnega tlaka v odvisnosti od lege v cevi prisekanega stožca pri resonančni frekvenci 1660 Hz. iz podatka o hitrosti širjenja zvoka, izračunamo valovnim vektorjem pripadajoče resonančne frekvence. Izračunani podatki so zapisani v drugem 46

53 Slika 20: Izmerjena amplituda akustičnega tlaka v odvisnosti od lege v cevi prisekanega stoˇzca pri resonančni frekvenci 2077 Hz. n L e f [m] 3 0, , , 39 Tabela 5: Efektivna dolˇzina cevi prisekanega stoˇzca, na kateri smo izvajali meritve. Dobili smo jo grafično iz grafov na slikah 18, 19 in 20. stolpcu tabele 6. V prvem stolpcu tabele 6 so zapisane direktno izmerjene resonančne frekvence cevi prisekanega stoˇzca. Iz tabele 6 lahko razberemo, da se resonančne frekvence dobljene na vse tri načine v okviru natančnosti ujemajo. Oglejmo si še, kako se v cevi prisekanega stožca spreminja akustična impedanca. Da jo lahko izračunamo, moramo najprej izračunati akustični prostorninski tok U(x). Izračunamo ga z enačbo (34), ki povezuje aku- 47

54 ν mer ν f it ν teo 1176Hz ± 50Hz 1160Hz ± 10Hz 1170Hz 1660Hz ± 50Hz 1650Hz ± 10Hz 1650Hz 2077Hz ± 50Hz 2020Hz ± 20Hz 2020Hz Tabela 6: Primerjava resonančnih frekvenc. stični tlak in akustični prostorninski tok. Z odvajanjem z r 2 pomnoˇzene enačbe p(r, t) = [ sin(k(r + l)) a + b ] e iωt, (78) r + d r + d ki opisuje spreminjanje akustičnega tlaka v cevi prisekanega stožca, dobimo odvod akustičnega prostorninskega toka po času [ C ( (r + 2d) sin(k(r + l))+ U t = K ρ r (r + d) 2 +k(r + d) cos(k(r + l)) ) ] + b(r + 2d) e iωt. (79) Z integriranjem enačbe (79) dobimo odvisnost akustičnega prostorninskega toka od lege v cevi U(r) = K k [ r (r + d) 2 C ( (r + 2d) sin(k(r + l))+ ] +k(r + d) cos(k(r + l)) ) + b(r + 2d) e iωt. (80) Na sliki 21 je prikazan akustični tlak s členom ozadja. Dodali smo ga pri analizi meritev odvisnosti akustičnega tlaka od lege v cevi prisekanega stožca pri resonančnih frekvencah (glej enačbo (76)). Iz enačbe (76), ki opisuje akustični tlak, smo izračunali akustični prostorninski tok. Iz enačbe (56), ki ne vsebuje člena ozadja, dobimo odvisnost akustičnega prostorninskega toka od lege v cevi kot U(r) = K C k r (r + d) 2 [ (r + 2d) sin(k(r + l)) + k(r + d) cos(k(r + l)) 48 ]. (81)

55 Slika 21: Akustični tlak in akustični prostorninski tok v odvisnosti od lege v cevi prisekanega stoˇzca za četrto resonančno frekvenco (n = 4). Cev je dolga 35 cm. Akustični tlak in akustični prostorninski tok brez člena ozadja v odvisnost od lege v cevi sta prikazana na sliki 22. Slika 22: Akustični tlak in akustični prostorninski tok brez člena ozadja v odvisnosti od lege v cevi prisekanega stožca za četrto resonančno frekvenco (n = 4). Cev je dolga 35 cm. 49

56 Iz slik (21) in (22) lahko razberemo, da se proti izhodu stoˇzčaste cevi akustični prostorninski tok povečuje in akustični tlak zmanjšuje. Torej tudi cev prisekanega stožca deluje kot akustični transformator, ki spreminja veliko akustično impedanco na vhodu cevi v majhno akustično impedanco na izhodu cevi. 50

57 4 Resonančne frekvence trobil 4.1 Model cilindrične cevi Preverimo, ali je model cilindrične cevi ustrezen za obravnavo trobente. V cevi trobente lahko brez uporabe ventilov trobilec izvede tone zapisane v tabeli 7. Cev trobente je dolˇzine pribliˇzno 137 cm. Na vhodu je Ton b 1 f 1 b 2 d 2 f 2 ν [Hz] Tabela 7: Toni in pripadajoče frekvence. zaprta s trobilčevimi ustnicami in na izhodu odprta. V takih ceveh so resonančne frekvence ν n = (c/(4l))(2n 1) (glej razdelek 2.2.2), kjer je c hitrost zvoka, ki je pri temperaturi 20 C in normalnem zračnem tlaku 1013 mbar približno 343, 4 m/s. Najnižja frekvenca take cevi je ν 1 63 Hz. Višje resonančne frekvence so lihi mnogokratniki osnovne frekvence. Najniˇzja resonančna frekvenca enako dolge na obeh straneh odprte cevi je dvakrat večja ν Hz. Njene višje resonančne frekvence so vsi mnogokratniki najnižje resonančne frekvence. Natančne dolžine cevi trobente ne poznamo. Prav tako ne poznamo efektivne dolžine cilindrične cevi, s pomočjo katere ˇzelimo opisati trobento. S prilagajanjem efektivne dolˇzine cilindrične cevi, lahko doseˇzemo najboljše moˇzno ujemanje med frekvencami trobente in frekvencami, ki jih napoveduje model cilindričnih cevi. Prva frekvenca trobente je lahko druga ali tretja resonančna frekvenca cilindrične cevi. S programom Gnuplot za obliko funkcije ν z (n) = c 4L e f (2n 1), poiščimo vrednost parametra L e f, pri katerem se funkcija najbolj ujema s frekvencami trobente. Za hitrost širjenja zvoka 51

58 sem vzel 343, 4 m/s. Pri prilagajanju efektivne dolˇzine na vhodu zaprte cilindrične cevi dobimo dva rezultata. a) Prva frekvenca trobente je druga resonančna frekvenca zaprte cilindrične cevi. Parameter efektivne dolˇzine je L e f = 1, 3m ± 0, 03m. b) Prva frekvenca trobente je tretja resonančna frekvenca zaprte cilindrične cevi. Parameter efektivne dolžine je L e f = 1, 63m ± 0, 03m. Oglejmo si še kolikšno ujemanje lahko dobimo z modelom na obeh koncih odprte cilindrične cevi. Oblika funkcije je v tem primeru ν o (n) = c 2L e f n, kjer sem za c vzel vrednost 343, 4 m/s. Pri prilagajanju efektivne dolžine na obeh koncih odprte cilindrične cevi, dobimo dva rezultata: a) Prva frekvenca trobente je druga resonančna frekvenca zaprte cilindrične cevi. Parameter efektivne dolˇzine je L e f = 1, 472m ± 0, 003m. b) Prva frekvenca trobente je tretja resonančna frekvenca zaprte cilindrične cevi. Parameter efektivne dolžine je L e f = 1, 81m ± 0, 06m. Najmanjše odstopanje dobimo z modelom na obeh straneh odprte cilindrične cevi in ne z modelom na vhodu zaprte cilindrične cevi. To se lepo vidi iz grafov na slikah 23 in 24 Za cilindrične cevi velja pribliˇzek [8] L e f = L(1 + 0, 61m 1 a), (82) s katerim lahko izračunamo efektivno dolžino cevi. V enačbi (82) smo z L e f označili efektivno dolžino cevi, z L dejansko dolžino cevi in z a polmer cevi v metrih. Pri igranju trobente, na frekvenco tonov vpliva veliko dejavnikov. Najpomembnejša sta temperatura v prostoru in tehnika igranja posameznega trobilca. Te vplive lahko trobilci kompenzirajo z iztegom 52

59 Slika 23: Model odprte (ν o ) in na vhodu zaprte (ν z ) cilindrične cevi pri predpostavki, da je prva frekvenca trobente druga resonančna frekvenca cilindrične cevi. Slika 24: Model odprte (ν o ) in na vhodu zaprte (ν z ) cilindrične cevi pri predpostavki, da je prva frekvenca trobente tretja resonančna frekvenca cilindrične cevi. (podaljšanjem) cevi. Trobenti se pri kompenzaciji z iztegom, cev lahko podaljša ali skrajša tudi za 2 cm. Izračunajmo efektivno podaljšanje cilin- 53

60 drične cevi, s katero opisujemo trobento. Največjo efektivno dolˇzino bomo dobili, če bomo za polmer cevi, s katero opisujemo trobento, vzeli največji polmer cevi trobente. Ta je 6 cm. Efektivna dolžina take cevi je L e f = (1, 37m ± 0, 02m)(1 + 0, 61m 1 0, 06m) = 1, 42m ± 0, 02m. (83) Ugotovimo, da se v cilindričnih ceveh vrednosti dobljene s prilagajanjem efektivne dolžine cevi v okviru napak ne ujemajo z izračunom v enačbi (83). Vse vrednosti s prilagajanjem dobljene efektivne dolˇzine so večje od izračunane efektivne dolˇzine. Izjema je a) primer pri zaprti cilindrični cevi, katerega efektivna dolžina je opazno krajša od dejanske dolžine. Ta rezultat je napačen, saj po enačbi (82) efektivna dolžina cevi ne more biti krajša od dejanske dolˇzine. To, da so vrednosti s prilagajanjem dobljene efektivne dolˇzine cevi večje od izračunanih, pomeni, da za neujemanje z izračunom efektivne dolžine cevi ni kriva napačna izbira polmera cevi trobente. Izbrali smo namreč največji polmer cevi. To pomeni največje možno efektivno podaljšanje dejanske dolˇzine cevi. Model cilindrične cevi za trobento ni ustrezen. Bolj ustrezen je model stožčaste cevi. 4.2 Model stoˇzčaste cevi V razdelku 4.1 smo ugotovili, da se resonančne frekvence na obeh straneh odprte cilindrične cevi zelo dobro ujemajo s frekvencami trobente. Dobro ujemanje resonančnih frekvenc s frekvencami trobente bomo dosegli z modelom, katerega resonančne frekvence so enake kot frekvence v cilindrični na obeh straneh odprti cevi. Resonančne frekvence v cevi neprisekanega stoˇzca (glej razdelek 2.3.1) so enake kot resonančne frekvence na obeh koncih odprte cilindrične cevi (glej razdelek 2.2.2). Z modelom cevi neprise- 54

61 kanega stoˇzca se lahko dobro pribliˇzamo frekvencam trobente. Kljub ujemanju v frekvencah, model neprisekane stoˇzčaste cevi ni ustrezen za opis trobente, ker moramo pri dodajanju ustnika na cev, teme stožca odstraniti (glej razdelek 3). Iz računskih izpeljav v razdelku 3.2 lahko ugotovimo, da so za prisekane stoˇzčaste cevi, katerih prisekani deli so majhni v primerjavi z valovno dolˇzino valovanja v cevi, resonančne frekvence zelo podobne resonančnim frekvencam neprisekane stožčaste cevi. Pričakujemo lahko, da se bodo nižje resonančne frekvence modela cevi prisekanega stoˇzca bolj ujemale kot višje resonančne frekvence. Vzemimo pribliˇzek, da je cev trobente po celotni dolˇzini popolnoma stožčasta. Razmerje njunih premerov (glej razdelek 2.1) je približno R = d izh. 120mm d vh. 3, 6mm 33. (84) To razmerje je kar veliko. Pribliˇzno trikrat večje je od razmerja pri cevi prisekanega stoˇzca, ki smo jo uporabljali pri meritvah v razdelku 3.3. Na Slika 25: Graf je namenjen grafičnemu reševanju enačbe (69). sliki 25 je graf, s katerim podobno kot v razdelku 3.2 poiščemo vrednosti 55

62 kl pri resonancah v cevi prisekanega stoˇzca. Vrednosti kl, ugotovljene iz grafa na sliki 25, so zapisane v tabeli 8. Ker ne poznamo efektivne dolˇzine n kl 1 0, 97π 2 1, 94π 3 2, 91π 4 3, 89π 5 4, 86π n kl 6 5, 84π 7 6, 81π 8 7, 79π 9 8, 77π 10 9, 76π Tabela 8: Grafično dobljene vrednosti resonančnih frekvenc prisekane stoˇzčaste cevi z razmerjem polmerov R = 33. cevi, s programom Gnuplot poiščimo najbolj ustrezno efektivno dolˇzino. Iščemo ujemanje resonančnih frekvenc prisekanega stožca ν pr.s. in resonančnih frekvenc na obeh straneh odprte cilindrične ν o.cil., ki so zelo podobne frekvencam trobente (glej razdelek 4.1). ν pr.s. = ν o.cil (kl)c 2πL e f.s. = nc 2πL e f.c. (kl) = L e f.s. L e f.c. n (85) V enačbi (85) smo z L e f.s. označili efektivno dolˇzino cevi prisekanega stoˇzca in z L e f.c. efektivno dolžino na obeh straneh odprte cilindrične cevi. Vzemimo obliko funkcije y(x) = L e f.s. L e f.c. x in s prilagajanjem parametra L e f.s. poiščimo funkcijo, ki se najbolj prilagaja vrednostim iz tabele 8. Pri vrednosti parametra L e f.s. = 1, 4337 m se funkcija y(x) najbolj prilagaja pričakovanim vrednostim. Odstopanje je le 0, 06 %. Prilagajanje funkcije y(x) pričakovanim vrednostim je prikazano na grafu slike 26. Z zgornjo 56

63 Slika 26: Prilagajanje funkcije y(x) vrednostim iz tabele 8 obravnavo smo ugotovili, da z modelom cevi prisekanega stoˇzca lahko doseˇzemo dobro ujemanje med resonančnimi frekvencami cevi in frekvencami trobente. Efektivna dolžina take cevi prisekanega stožca je 1, 43 m. Iz grafičnega določanja efektivne dolžine cevi prisekanega stožca (glej tabelo 5) ugotovimo, da s pribliˇzkom v enačbi (82) lahko opišemo efektivno dolˇzino cevi prisekanega stoˇzca, v kateri smo izvajali meritve. Pri tem moramo za polmer cevi vzeti polmer izhoda cevi L e f = 0, 35m(1 + 0, 61m 1 0, 2m) = 0, 39m. Efektivna dolžina cevi prisekanega stožca, s katero opišemo cev trobente, se v okviru napak ujema z izračunom efektivne dolˇzine trobente v enačbi (83). 57

64 4.3 Model Besselove cevi S sliko 9 si lahko predstavljamo, na kakšen način lahko igralec francoskega (glej sliko 27) ali lovskega roga pomembno vpliva na višino tona s premikanjem roke v notranjost lijaka. S potiskom roke v lijak se akustične Slika 27: Francoski rog lastnosti lijaka spremenijo [7]. Postanejo bolj podobne lastnostim počasi razširjajočega lijaka. Na ta način se zmanjša učinek efektivnega skrajšanja cevi zaradi hitro razširjajočega lijaka. Višino tona lahko na ta način zniža tudi za polton. Zniˇzanje tona za polton pomeni, da se frekvenca valovanja zmanjša (1 12 2) krat. Višino tona lahko igralec francoskega roga s premikanjem roke še bolj v notranjost inštrumenta tudi zviša za pribliˇzno pol tona. S tem z roko skoraj popolnoma zapre notranjost menzure. To povzroči velike spremembe robnih pogojev. Efektivna dolˇzina cevi se zmanjša. Zaradi povečanja akustične impedance na izhodu inštrumenta, se večji del valovanja od izhoda inštrumenta odbije. Zvok, ki ga oddaja inštrument, je tišji, v njem pa je prisotnih tudi več višjih harmonskih frekvenc. To zaznamo kot bistveno spremembo barve zvoka inštrumenta. 58