תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים)"

Transcript

1 תורת ההסתברות : או הסתברות ותהליכים סטוכסטים סוכם על ידי תום חן בדצמבר 04 שימו לב יתכנו שגיאות בטקסט עידכונים יתבצעו במהלך הסמסטר נא לדווח שגיאות ל או לחלופין שלשמור כהערות בקובץ ולשלוח לי חזרה תקציר סיכום ההרצאות בקורס בתורת ההסתברות סמסטר ב' 04 מהרצאותיו של אורי גוראל גורביץ.

2 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים 3 כמה דוגמאות ראשונות לשאלות הסתברותיות: סילבוס הקורס: חזרה על תורת המידה: הסתברות בסיסית יחסית: כמה טענות בסיסיות בהסתברות: משתנים מקריים: סדרות של משתנים מקריים: התפלגויות של משתנים מקריים: תוחלת של משתנה מקרי וכמה תכונות: התכנסות בהסתברות של משתנים מקריים: ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: הקדמה ודוגמאות ראשונות: החוק החלש והחזק של המספרים הגדולים: כמה דוגמאות משעשעות: חזרה לריכוז מידה: מרטינגלים: 5 3 מרטינגלים בדידים: תוחלת מותנית: פילטרציות ומרטינגלים: זמני עצירה: על\תת מרטינגלים: מרטינגלים וריכוז מידה: דוגמאות משעשעות עם מרטינגלים: התכנסות של מרטינגלים: שרשראות מרקוב: מחזוריות והתכנסות לסטציונריות: נשנות של שרשראות מרקוב: משפט הגבול המרכזי: התכנסות חלשה: משפט הגבול המרכזי: קצת הקדמה להוכחה: פונקציות אופייניות: התכנסות של פונקציות אופייניות: הוכחת משפט הגבול המרכזי: תנועה בראונית:

3 כמה דוגמאות ראשונות לשאלות הסתברותיות: ספרים: Durrett: Probability Theory & Examples. Varadhan: Porbability Theory. Williams - Probability with Martingales. כמה דוגמאות ראשונות לשאלות הסתברותיות: להלן כמה דוגמאות לשאלות מעניינות בהסתברות: דוגמה. הכד של פוליה Urn ::Polya s בכד בשלב ראשון יש שני כדורים, שחור ולבן. בכל שלב מוציאים כדור באקראי באופן אחיד ומחזירים אותו ועוד כדור באותו צבע. נסמן ב a n את מספר הכדורים הלבנים בצעד ה n. נשאלת השאלה מה a.s.u Uniform 0, כאשר an n+ ההתפלגות של סדרת המשתנים המקריים...,.a, a מתברר ש U תרגיל: עבור N N קבוע מתקיים } + N.a N U {,..., נגדיר = 0 0 X ובאינדוקציה: { X n + P = X n+ = X n P = דוגמה. הילוך השיכור Walk :Random שאלות אפשריות שעולות: מה ההסתברות שקיים > 0 N כך ש = 0 N X התשובה היא ומכך בהסתברות קיימים אינסוף ערכי N כך ש = 0 N X. מהי ההתפלגות של זמן החזרה הראשונה ובפרט מהי התוחלת שלה מתברר שהתוחלת היא. ניתן להכליל את הבעיה הזו למהלך על שריג דו ממדי כאשר נגדיר 0,0 = 0 X ובאינדוקציה: X n + 0, P = 4 X n + 0, P = X n = 4 X n +, 0 P = 4 X n +, 0 P = 4 וכן הלאה ניתן להכליל את התהליך למימדים יותר גבוהים. בפרט מתברר שעבור =, n ההילוך הוא נשנה Recurrent כלומר בהסתברות קיים > 0 N כך ש X. N = X 0 מאידך עבור > 3 n הנ"ל כבר לא מתרחש בהסתברות. אפשר להראות שמבחינה עבור > 3.n n אסימפטוטית הסיכוי לחזור לנקודת ההתחלה מתנהג כמו דוגמה.3 פרקולציה על שריג: נתבונן בשריג הדו ממדי Z ובהסתברות,0 p כל אחת מהצלעות בשריג נמחקת או נשארת בהסתברות p. נשאלת p < השאלה מה קורה לשריג. למשל ניתן לשאול כתלות ב p האם יהיה רכיב קשירות אינסופי בגרף שנשאר. ניתן להראות שעבור > p בהסתברות נשאר רכיב קשירות אינסופי והוא יחיד. בנוסף עבור בהסתברות לא נשאר רכיב קשירות אינסופי ועבור = p מתברר שאין רכיב קשירות אינסופי. דוגמה.4 השרדות של שם משפחה: נניח שמספר הצאצאים הזכרים של אדם מפולג בהתפלגות F כלשהי למשל {n U,},,... והנ"ל נכון גם עבור הצאצאים וצאצאי הצאצאים וכן הלאה באופן בלתי תלוי. נשאלת השאלה מה הסיכוי שקיים דור שבו לא יוולדו צאצאים זכרים בכלל או לחילופין הסיכוי ששם המשפחה ישרוד לעד. אפשר להראות שאם התוחלת של ההתפלגות גדולה מ אז בהסתברות חיובית אז שם המשפחה ישרוד לעד ואם התוחלת קטנה מ אז השם לא שורד. כמו כן אם התוחלת היא אז יש שרידות רק אם בכל שלב יש צאצא אחד בדיוק. 3

4 . סילבוס הקורס: כמה דוגמאות ראשונות לשאלות הסתברותיות: הערה.5 ניתן לייצג את הבעיה הזו בתור עץ אינסופי שמבצעים עליו פרקולציה ונשאלת השאלה האם נשאר מסלול אינסופי. דוגמה.6 ערבוב של חפיסת קלפים: נניח שיש לנו חבילת כלפים מסודרת בת 5 קלפים ואנחנו חותכים את החפיסה במקום מקרי לפי התפלגות מסוימת ואז מערבבים באופן מסוים שגם נתון על ידי חוקיות מסוימת. נשאלת כמה ערבובים צריך לבצע כדי ששיטת הערבוב תהיה שקולה לבחירה מקרית ואחידה מ S 5 פרמוטציות של 5 איברים. בפועל באף שיטה סבירה לא נקבל אף פעם באמת פילוג אחיד מ S 5 אבל אפשר לשאול עד כמה שיטת הערבוב מתקרבת לכך אחרי מספר מסוים של ערבובים וכמה צעדים נדרשים כדי להתקרב מספיק כאשר מגדירים מרחק בין התפלגויות באופן מסוים. דוגמה.7 הקלדה של רצף אותיות מסוים: קופים מקלידים אותיות ב ABC באופן אחיד ואקראי וכבר ידוע לנו שכל רצף של אותיות יוקלד בשלב מסוים בהסתברות. נשאל לדוגמה כמה זמן צריך לחכות בתוחלת עד שנראה את הרצף.ABRAKEDABRA לצאת אבל מאחר ואנחנו מקלידים ברצף בניגוד לבחירת רצף כל 6 לכל רצף של אותיות מתוך 6 אותיות יש הסתברות של פעם מחדש ללא המשכיות וגם מאחר ויש חפיפה בין הסוף וההתחלה של הרצף יקח דווקא יותר זמן עד שנראה את הרצף הזה. באופן כללי לרצפים שיש בהם פחות חפיפה יקח פחות זמן להופיע מאשר לרצפים שיש בהם יותר חפיפה. דוגמה.8 חידה: נתונה חפיסת קלפים מעורבבת ושולפים קלפים זה אחר זה מראש הערימה ומסתכלים בהם ובכל שלב ניתן להחליט שעוצרים ולא שולפים יותר. כאשר עוצרים מקבלים ± לפי צבע הקלף הבא. נשאלת השאלה מה האסטרטגיה האופטימלית כדי למקסם את הרווח.. סילבוס הקורס:. תהליכים סטוכסטיים סדרות של משתנים מקריים והתכנסויות.. פונקציות אופיניות ומשפט הגבול המרכזי. 3. מרטינגלים שם קוד לסדרה של הימורים הוגנים. 4. שרשראות מרקוב. 5. סטיות גדולות..6 ריכוז מידה Measure.Concentration of 7. תנועה בראונית. 4

5 חזרה על תורת המידה: חזרה על תורת המידה: הגדרה. אלגברה על קבוצה: בהנתן קבוצה Ω משפחת קבוצות Ω F P תקרא אלגברה אם היא מקיימת:. F.. אם A F אז.A c F.3 אם A, B F אז.A B F לפעמים דורשים סגירות לחיתוך במקום לאיחוד והנ"ל שקול שכן יש סגירות למשלים. כמו כן באינדוקציה מקבלים שאלגברה סגורה לאיחודים וחיתוכים סופיים. דוגמה. דוגמאות:. אוסף האיחודים של קטעים חצי פתוחים [,0] [b,a הוא אלגברה.. בהנתן Ω =,0} { N נגדיר קבוצת צילינדר בסיסית ע"י: { } C b,...,b k = a n n= {0, }N a i = b i i k כלומר קבוצת כל הסדרות ש k המקומות הראשונים שלהן הם b,..., b k עבור } {0, k b,..., b נתונים. אוסף כל האיחודים הסופיים של כל קבוצות הצילנידר הוא אלגברה על { N,0}. 3. אוסף כל תת הקבוצות הסופיות\קו סופיות של Ω הוא אלגברה. הגדרה.3 סיגמה אלגברה: בהנתן קבוצה Ω משפחת קבוצות Ω F P תקרא סיגמה אלגברה אם היא אלגברה והיא סגורה גם לאיחודים בני מנייה. הגדרה.4 סיגמה אלגברה נוצרת: בהנתן S Ω ה σ אלגברה הנוצרת על ידי S שתסומן S σ היא ה σ אלגברה המינימלית שמכילה את S ובאופן שקול חיתוך כל ה σ אלגבראות המכילות את S. הגדרה.5 סיגמה אלגברת בורל: בהנתן מרחב טופולוגי T,X נגדיר את σ אלגברת בורל על X שתסומן X B בתור T B. X =: σ כלומר ה σ אלגברה שנוצרת על ידי כל הקבוצות הפתוחות באופן שקול אפשר להגדיר גם באמצעות סגורות. הגדרה.6 מרחב מדיד: מרחב מדיד הוא זוג F,Ω כאשר Ω היא קבוצה ו F היא σ אלגברה על Ω. דוגמה.7 נגדיר את N S P להיות אוסף הקבוצות A N שיש להן צפיפות אסימפטוטית, כלומר קיים הגבול: A {,..., n} lim n בפרט S איננה σ אלגברה שכן ניתן לבחור קבוצה בת מנייה שאין לה צפיפות אסימפטוטית והיא תהיה איחוד בן מנייה של יחידונים שכמובן יש להם צפיפות אסימפטוטית ולכן S לא סגורה לאיחודים בני מנייה בבירור. אפשר להראות גם ש S איננה אלגברה ולשם כך מספיק למצוא שתי קבוצות בעלות צפיפות אסימפטוטית שלאיחוד או לחיתוך שלהם אין צפיפות אסימפטוטית. פתרון: נקח את A להיות כל הזוגיים ואת B להיות הקבוצה שמכילה את כל הזוגיים עד מיליון, כל האי זוגיים בין מיליון ומיליארד, כל הזוגיים בין מיליארד למיליארד ומאה מיליון וכן הלאה. לשתי הקבוצות הללו תהיה צפיפות אסימפטוטית אולם לחיתוך יהיו ולכן לא תהיה צפיפות אסימפטוטית. פלקטואציות בצפיפות שתשתנה בין 0 לבערך 5

6 חזרה על תורת המידה: הגדרה.8 מידה על מרחב מדיד: בהנתן מרחב מדיד F,Ω פונקציה [,0] F µ : תקרא מידה אם היא מקיימת את התכונות הבאות:.µ = 0..A F לכל µ A 0..µ n= A n =.3 סיגמה אדיטיביות: בהנתן קבוצות זרות A, A,.. F מתקיים n n= µ A בפרט אם < Ω µ נאמר כי µ היא מידה סופית ואם = Ω µ אז זוהי מידת הסתברות. הגדרה.9 מרחב מידה\הסתברות: מרחב מידה הוא שלשה µ,ω,f כאשר F,Ω הוא מרחב מדיד ו µ היא מידה על F,Ω. הערה.0 בפרט אם µ היא מידת הסתברות נאמר כי המרחב הוא מרחב הסתברות. תזכורת. כמה תכונות של מידה: יהא µ,ω,f מרחב מידה, מתקיימים הדברים הבאים:. מונוטוניות: עבור A, B F כך ש A B מתקיים B.µ A µ.µ n= A n. תת אדיטיביות: בהנתן A, A,... F מתקיים n n= µ A 3. רציפות מלמטה: בהנתן סדרה עולה A n F מתקיים: lim µ A n = µ A n n=.4 רציפות מלמעלה: בהנתן סדרה יורדת A n F כך שקיים N שעבורו < N µ A מתקיים: lim µ A n = µ A n n= הערה. פונקציית קבוצות [,0] F µשהינה : אדיטיבית סופית ומקיימת = 0 µ היא מידה אמ"מ היא מקיימת את תכונה 3 או.4 הגדרה.3 מידה על אלגברה :Pre-Measure בהנתן אלגברה A פונקציית קבוצות ] [0, A µ : תקרא מידה על האלגברה אם = 0 µ וגם לכל A, A,... A זרות כך.µ n= A n = מתקיים n n= µ A ש n= A n A משפט.4 משפט ההרחבה של :Caratheodory תהא F 0 היא אלגברה ותהא µ 0 מידה עליה. אזי קיימת מידה µ על 0 F =: σ F כך ש µ. F0 = µ 0 הנ"ל מכונה הרחבה של המידה µ 0 מהאלגברה F 0 ל σ אלגברה הנוצרת ממנה. בפרט אם µ 0 היא מידה סופית למעשה גם σ סופית אז ההרחבה הנ"ל יחידה. הערה.5 באמצעות המשפט הנ"ל ניתן להרחיב מידות שמוגדרות על אלגברה לסיגמה אלגברה הנוצרת. לדוגמה:. הרחבת מידת האורך µ 0,a] [b = b a מהאלגברה שנוצרת על ידי תת קטעים ל σ אלגברה שהם יוצרים שהיא R B.. הרחבת מידת הטלת מטבעות מהאלגברה הנוצרת על ידי צילינדרים ל σ אלגברה הנוצרת. 6

7 3 הסתברות בסיסית יחסית: משפט.6 מסקנה ממשפט π λ משפט דינקין: יהא F Ω, מרחב מדיד כך ש 0 F = σ F ויהיו µ, µ מידות סופיות על F.Ω, אזי אם F 0 סגורה לחיתוכים וגם E µ E = µ לכל E F 0 אז E µ E = µ לכל.E F משפט.7 משפט תנאי למדידות תרגיל: יהא µ Ω, F, מרחב מידה כך ש 0 F = σ F כאשר F 0 היא אלגברה. אזי לכל A F ולכל > 0 ε קיימת A 0 F 0 כך ש: µ A A 0 = µ A\A 0 A 0 \A < ε המשמעות היא שבמובן מסוים ניתן לקרב קבוצות ב σ אלגברה ע"י קבוצות באלגברה. lim sup E n = lim inf E n = 3 הסתברות בסיסית יחסית: 3. כמה טענות בסיסיות בהסתברות: הגדרה 3. ה Limsup/Liminf של סדרת מאורעות: יהא F Ω, מרחב מדיד, בהנתן סדרה E, E,... F נגדיר: m= n>m m= n>m בפרט ה Liminf של הסדרה הוא אוסף ה ω Ω כך ש ω E n פרט למספר סופי של ערכי n וה Limsup הוא אוסף ה ω Ω כך ש ω E n עבור אינסוף ערכי.n בפרט אם = n P lim sup E אז אינסוף מהמאורעות E n קורים כמעט תמיד ואם = n P lim inf E אז כל המאורעות E n פרט למספר סופי קורים כמעט תמיד. P lim inf E n P lim sup E n E n משפט 3. הלמה של :Fatou יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ויהיו,E, E,... F אזי: lim inf P E n E n lim sup P E n P lim sup E n = P הוכחה: := m A ונקבל כי,A m lim inf E n לכן מרציפות של מידה נקבל כי:. נגדיר n>m E n lim inf P E n P A m m P lim inf E n כאשר א"ש המסומן נובע מכך ש A m E n לכל n > m ולכן n P A m P E לכל.n > m c lim sup E n = lim inf ומכך על סמך הטענה הראשונה נקבל כי:. נשים לב כי Ec n c lim inf E n lim inf P Ec n = lim inf P Ec n = lim sup P E n 7

8 3. כמה טענות בסיסיות בהסתברות: 3 הסתברות בסיסית יחסית: מעבירים אגפים ומקבלים את הנדרש. למה 3.3 הלמה הראשונה של בורל קנטלי: אזי = 0 n.p lim sup E יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ותהא E, E,... F כך ש < n n= P E P הוכחה: נשים לב כי לכל m N מתקייים,lim sup E n n>m E n מכך נקבל כי: lim sup E n P n>m E n n>m P E n m 0 P. למשל לא בהכרח נובע ש > 0 n lim sup E הערה 3.4 נשים לב כי הטענה הזו איננה אמ"מ, כלומר אם = n =n P E. n= P E n = n= n עבור n] E n = 0, ו ] 0, = Ω עם מידת הסתברות אחידה נקבל כי = n lim sup E אולם = הגדרה 3.5 אי תלות של סדרת σ אלגבראות ושל סדרת מאורעות: :F i F סדרה של תת σ אלגבראות {F i } יהא P,Ω,F מרחב הסתברות ותהא תהא.P n A i = n P A i מתקיים i =,..., n A i F i ולכל בחירה של n N בלתי תלויה אם לכל {F i }. נאמר ש. נאמר שסדרת מאורעות A, A,... F היא בלתי תלויה אם הסדרה } i σ {A i } = {, Ω, A i, A c בלתי תלויה. הערה 3.6 בשני המקרים הסדרות יכולות להיות סופיות בשינוי מתאים של ההגדרה. טענה 3.7 הגדרה שקולה לאי תלות של אוסף וסדרת מאורעות תוספת: יהא P,Ω,F מרחב הסתברות: m.p j= A k j = m j= P. מאורעות A,..., A N F הם ב"ת אם לכל k <... < k m N מתקיים A kj. מאורעות A, A,... F הם ב"ת אם לכל N N המאורעות A,..., A N בלתי תלויים. הגדרה 3.8 אי תלות בזוגות של סדרת σ אלגבראות וסדרת מאורעות: {F i } של תת σ אלגבראות F i F בלתי תלויה בזוגות אם לכל i j ו יהא P,Ω,F מרחב הסתברות נאמר שסדרה A F i ו B F j מתקיים B.P A B = P A P באופן מתאים נאמר שסדרת מאורעות E, E,... F בלתי תלויים בזוגות אם אם הסדרה } c σ {E i } = {, Ω, E i, Ei בלתי תלויה בזוגות. הערה 3.9 אי תלות כמובן תמיד גוררת אי תלות בזוגות אבל ההפך לא נכון. למה 3.0 תנאי לאי תלות של שתי תת σ אלגבראות במרחב הסתברות: יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ויהיו S, S F תת קבוצות סגורות לחיתוכים כך שלכל A S ו B S מתקיים P A B = P A P B אזי σ S ו σ S הן ב"ת. 8

9 3 הסתברות בסיסית יחסית: 3. כמה טענות בסיסיות בהסתברות: הערה 3. באופן כללי יותר אם S, S,..., S n F סגורות לחיתוכים ומתקיים: n n P A i = P A i לכל A i S i אז n σ S,..., σ S ב"ת. הוכחה: נקבע A S ונגדיר A P B = P B P ו A P B = P B עבור כל.B σ S נשים לב כי P, P הן מידות סופיות על Ω, σ S ומתקיים B P B = P לכל.B S לכן ממשפט דינקין מאחר ש S סגורה לחיתוכים נובע שהשוויון מתקיים לכל.B σ S כעת נסמן T = σ S ו,T = σ S גם אלו הן קבוצות שסגורות לחיתוכים, נקבע B T ונגדיר A P A = P B P ו A P A = P B עבור כל.A σ S אלו הן מידות סופיות על Ω, σ S ועל סמך מה שהוכחנו מתקיים A P A = P לכל.A S לכן שוב ממשפט דינקין מתקיים השוויון הנ"ל לכל.A σ S סה"כ ניתן לראות שלכל B σ S ולכל A σ S מתקיים B P A P B = P A ומכך ישנה אי תלות כנדרש. למה 3. הלמה השנייה של בורל קנטלי: אזי = n.p lim sup E יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ותהא E, E,... F סדרת מאורעות ב"ת כך ש = n n= P E P. lim inf נשים לב כי: הוכחה: מספיק שנראה כי = 0 n Ec P = P E n e PEn = e PE n n>m = 0 n>m E c n n>m n>m n>m P E n. בפרט מכך נסיק כי: כאשר השתמשנו בכך ש PEn P E n e וגם P lim inf Ec n = P n= n>m E c n = 0 הגדרה σ אלגברת 3.3 זנב של סדרת σ אלגבראות: n= {F n } סדרת σ אלגבראות חלקיות של,F נגדיר: יהא F,Ω מרחב מדיד ותהא T n = σ {F n, F n+,...} = σ F n = T, הנ"ל מכונה σ אלגברת הזנב של הסדרה =n F} n } נשים לב כי, } {Ω T ולכן הנ"ל לא ריקה. כמו כן נגדיר =n T n n>m הערה 3.4 כל מאורע של T מכונה גם "מאורע זנב"..lim sup E n T וגם lim inf E n T אז n לכל E n F n כך ש {E n } n= תרגיל: אם נקח סדרת מאורעות משפט 3.5 משפט 0 של קולמוגורוב:.P A {0, } מתקיים A T אזי לכל סדרה ב"ת של σ אלגבראות {F n } n= יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ותהא F P דוגמה 3.6 דוגמה קנונית שבד"כ משתמשים בה כדי להתבונן בהתנהגות של סדרה ב"ת של σ אלגבראות ומאורעות זנב בה היא הדוגמה שבה Ω = {0, } N ו 0} = n.f n = σ {ω : ω 9

10 3 הסתברות בסיסית יחסית: 3. משתנים מקריים: הוכחה: חסרים פרטים ראשית נראה ש..., T, F, F ב"ת. בהנתן A T לכל n N מתקיים A T n ולכן בהנתן מאורעות A i F i נקבל כי: n n P A A i = P A P A i כאשר השוויון הנ"ל נובע מכך ש n T n, F,,... F הן ב"ת על סמך הגרסה הכללית יותר של למה 3.0. כעת שהראינו ש T כאשר הנ"ל נובע שוב מלמה 3.0 כאשר משתמשים באי תלות, בכך ש σ {F, F,...} ב"ת ב T ב"ת נסיק ש T, F, F,... זוהי איננה σ אלגברה אך כן אלגברה סגורות לחיתוכים ובכך שמתקיים: n= σ n ו i F n σ {F, F,...} = σ σ F i לסיום מאחר ש...}, T σ {F, F ומאי התלות הנ"ל נקבל שלכל A T מתקיים A P A = P A A = P A P ולכן.P A {0, } n= תרגיל: האם הטענה נכונה גם במקרה שהסדרה ב"ת רק בזוגות? 3. משתנים מקריים: הגדרה 3.7 פונקציה מדידה: יהיו F X, ו G Y, מרחבים מדידים. העתקה g : X Y תקרא G, F מדידה אם g B F לכל.B G הערה 3.8 בד"כ ה σ אלגברה בטווח פחות רלוונטית ולכן נרשום באופן מקוצר שההעתקה היא F מדידה. הערה 3.9 העתקה מדידה m f : R n, B n R m, B תקרא מדידה בורל. בפרט כל רציפה היא מיידית מדידה בורל. הגדרה 3.0 משתנה מקרי: יהיו P,Ω,F מרחב הסתברות, משתנה מקרי מ"מ הוא פונקציה F מדידה מ F,Ω למרחב מדיד G,Y כלשהו. משתנה מקרי ממשי הוא פונקציה F מדידה מ F,Ω ל B,R. הערה 3. כאשר נרשום ש X הוא מ"מ הכוונה תמיד תהיה שהתחום הוא מרחב הסתברות והטווח הוא B,R. תהא S G כך ש g [A] F לכל A S אז g היא תזכורת 3. תנאי מספיק למדידות ראינו במידה: יהיו F X, ו G Y, מרחבים מדידים ותהא.g : X Y S, F מדידה. σ בפרט אם σ S = G אז g היא F מדידה. מסקנה 3.3 תנאי מספיק למדידות של מ"מ ממשי: יהיו F Ω, מרחב מדיד ותהא B.f : Ω, F R, אזי f היא F מדידה אמ"מ f [, t]] F לכל.t R הוכחה: מיידי מהטענה הקודמת ומכך ש {R, } [t t יוצרת את B. הערה 3.4 מתקיים B B n = σ B ובפרט: B n = σ {, t ], t n ] t,..., t n R} כלומר σ אלגברת בורל ב R n היא ה σ אלגברה שנוצרת על ידי מכפלות של קבוצות בורל ובפרט של קרנות. מסקנה 3.5 וקטור מקרי הוא משתנה מקרי מדיד Ω: R יהא F Ω, מרחב מדיד ויהיו X, Y משתנים מקריים. אזי X, Y : Ω R הוא וקטור מקרי למרחב R, B. 0

11 3 הסתברות בסיסית יחסית: 3.3 סדרות של משתנים מקריים: הערה 3.6 כמובן שהנ"ל נכון גם עבור וקטור מקרי X,..., X n : Ω R n והנ"ל מדיד כפונקציה n.ω, F R n, B הוכחה: מספיק להראות ש s]] X, Y [, t], היא F מדידה לכל t, s R וזה נובע מיידית מכך ש: X, Y [, t], s]] = X [, t]] Y [, s]] טענה 3.7 הרכבת פונקציות מדידות היא מדידה: אזי תהא f : X Y העתקה F מדידה ותהא g : Y Z העתקה G מדידה. יהיו H X, F, Y, G, Z, מרחבים מדידים. g f : X Z היא F מדידה. הוכחה: תהא A, H מההנחה כי g היא G מדידה נקבל כי g. A G מההנחה כי f היא F מדידה נובע כי: g f A = f g A F מכך ניתן לראות כי g f היא F מדידה כנדרש. מסקנה 3.8 מסקנה מיידית מהטענה הקודמת: יהא F,Ω מרחב מדיד ויהיו,X Y משתנים מקריים אזי X + Y הוא משתנה מקרי כלומר הוא F מדיד. הוכחה: מיידי מכך שהעתקת החיבור : R R + היא רציפה ולכן מדידה בורל. טענה 3.9 אריתמטיקה כללית יותר של פונקציות מדידות ללא הוכחה: יהיו B f, g : X, F R, פונקציות F מדידות ויהיו α, β R אזי:. הקבוצה x} {x X f x > g היא F מדידה כנ"ל עבור =, <,,.,. הפונקציות αf, f + α ו αf + βg הן F מדידות. f g היא F מדידה..3 הפונקציה f g היא F מדידה ואם 0 g אז.4 הפונקציות g} max {f, ו g} min {f, הן F מדידות. 5. הפונקציה f היא F מדידה..6 הפונקציות + f ו f הן F מדידות. 7. הפונקציה f היא F מדידה. 3.3 סדרות של משתנים מקריים: את חלק מההגדרות בקטע הבא אני הוספתי מאחר והן רלוונטיות לדיון שהתקיים בהרצאה. טענה 3.30 כמה תכונות בסיסיות של סדרות משתנים מקריים: יהא F X, מרחב מדיד ותהא B f n : X, F R, סדרת פונקציות F מדידות אזי הפונקציות: sup f n x, n N inf f n x, n N lim sup f n x, lim inf f n x הן פונקציות F מדידות יש לשים לב כי הפונקציות הללו יכולות לקבל גם את הערכים ±.

12 3.3 סדרות של משתנים מקריים: 3 הסתברות בסיסית יחסית: { sup f n [, a]] = n N { inf f n [, a]] = n N x X sup f n x < a n N x X inf n N f n x < a } = {x X f n x < a} = n= n= הוכחה: נשים לב כי לכל a R מתקיים: n= } = {x X f n x < a} = n= fn [, a] F fn [, a] F מכך sup, inf הם F מדידים על סמך למה 3.3 ולכן מיידית גם lim sup וגם lim inf הן F מדידות שכן: lim sup f n x = inf sup f k x n N lim inf f n x = sup n N k n inf k n f k x טענה 3.3 אוסף נקודות ההתכנסות של סדרת משתנים מקריים היא קבוצה מדידה: { } } n {X סדרת מ"מ אזי ω Ω lim X n ω exists היא F מדידה. n= יהא F,Ω מרחב מדיד ותהא הוכחה: אם ω X n לא מתכנסת ל ± באף ω Ω אז פשוט נקבל כי: { } { } ω Ω lim X n ω exists = ω Ω lim inf X n ω = lim sup X n ω מאחר ש lim sup X n ו lim inf X n הן F מדידות ידוע שקבוצת הנקודות שעליהן הן משתוות היא קבוצה מדידה, כנדרש. הערה 3.3 אם מאפשרים לסדרה להתכנס ל ± צריך לעבוד קצת יותר אבל הטענה נשארת נכונה. הגדרה 3.33 התכנסות כמעט תמיד של סדרת משתנים מקריים: =n X} n } סדרת מ"מ. נאמר כי הנ"ל מתכנסת כמעט תמיד כ"ת למ"מ X אם: יהא P,Ω,F מרחב הסתברות ותהא { } P ω Ω lim X n ω X ω = 0.X n a.s כלומר X n מתכנסת נקודתית ל X פרט אולי על תת קבוצה מהסתברות אפס. נסמן זאת X הגדרה 3.34 סיגמה אלגברה הנוצרת ע"י משתנה מקרי וע"י סדרת משתנים מקריים: יהא P,Ω,F מרחב הסתברות ויהא X משתנה מקרי:. נגדיר את X σ להיות ה σ אלגברה המינימלית על Ω שעבורה X מדיד. באופן שקול } B.σ X = σ { X B B.n מדיד לכל X n כך ש Ω המינימלית על להיות ה σ אלגברה σ {X n } n= נגדיר את {X n} n=. עבור סדרת מ"מ הגדרה 3.35 אי תלות של סדרת משתנים מקריים: n= {X n} היא ב"ת אם n= {σ X n } היא סדרה ב"ת של σ אלגבראות. יהא P,Ω,F מרחב הסתברות נאמר כי סדרת מ"מ הערה 3.36 גם כאן אפשר לדבר כמובן על אי תלות של מספר סופי של מ"מ בשינוי מיידי של ההגדרה.

13 3.3 סדרות של משתנים מקריים: 3 הסתברות בסיסית יחסית: טענה 3.37 הגדרה שקולה לאי תלות של אוסף וסדרת משתנים מקריים תוספת: יהא P,Ω,F מרחב הסתברות: X ב"ת. [B ],..., X. משתנים מקריים X,..., X N הם ב"ת אם לכל B,..., B N F המאורעות N] N [B. משתנים מקריים..., X, X הם ב"ת אם לכל N N המשתנים X,..., X N ב"ת. הגדרה 3.38 אי תלות של מ"מ בסדרת מ"מ: תהא n= {X n} סדרת מ"מ. נאמר כי מ"מ Y ב"ת בסדרה אם Y σ ו n= σ {X n } ב"ת. הגדרה 3.39 אי תלות של מאורע בסדרת מ"מ: תהא n= {X n} סדרת מ"מ. נאמר כי A F ב"ת בסדרה אם {A} σ ו n= σ {X n } ב"ת. הגדרה 3.40 סיגמת אלגברת זנב של סדרת משתנים מקריים: = T, הנ"ל היא σ אלגברת הזנב של הסדרה. בפרט תהא n= {X n } סדרת מ"מ נגדיר...}, n+ T n := σ {X n, X ונגדיר n= T n כל מאורע A T יכונה מאורע זנב של הסדרה..T σ {X n } n= שכן σ מדיד {X n} n= הערה 3.4 נשים לב שאם Y הוא מ"מ T מדיד אז הוא מיידית גם למה 3.4 משתנים מקריים T מדידים הם ב"ת בסדרה ב"ת ללא הוכחה: תהא =n X} {n סדרת מ"מ ב"ת ותהא σ אלגברת T הזנב של הסדרה. אזי אם Y הוא מ"מ T מדיד אזי Y ב"ת ב =n X}. n } הערה 3.43 אפשר להראות גם שכל מאורע זנב של סדרה הוא ב"ת בסדרה ללא צורך שהסדרה תהיה ב"ת. משפט 3.44 גרסה של חוק 0 של קולמוגורוב תרגיל: תהא n= {X n} סדרת מ"מ ב"ת ויהא Y משתנה מקרי n= σ מדיד {X n } כך ש..., Y, X, X הם בלתי תלויים. אזי Y קבוע כ"ת כלומר קיים c R כך ש = c} P {ω Ω Y ω = ובפרט ניתן להראות ש: c = sup { a R : P Y [, a]] = 0 } הערה 3.45 נזכיר שבמשפט 0- הקודם הראינו שמאורע זנב של סדרת מאורעות הוא ב"ת בסדרה ומכך הסקנו שהוא ב"ת תלוי בעצמו ולכן טריוויאלי. במשפט הזה התנאים קצת שונים ונתון לנו מ"מ שהוא ב"ת בסדרה שהיא בעצמה ב"ת וצריך להסיק שהמשתנה הנ"ל טריוויאלי..n לכל σ X n היא דרישה חלשה בהרבה מאשר להיות מדיד ביחס ל σ {X n } n= הערה 3.46 להיות מדיד ביחס ל דוגמה 3.47 דוגמאות: { } A := ω Ω X n ω < n= n= {X n } הקבוצה:. בהנתן סדרת מ"מ היא F מדידה וגם מהווה מאורע זנב של הסדרה. בנוסף ω A הוא משתנה מקרי n= σ מדיד {X n } וב"ת ב...,.X, X לכן אם..., X, X היא סדרה ב"ת אז A הוא קבוע כ"ת. הנ"ל שקול לכך שהמאורע A מתרחש בהסתברות 0 או הטור מתכנס על קבוצה ממידה או לא מתכנס על קבוצה ממידה. 3

14 3.3 סדרות של משתנים מקריים: 3 הסתברות בסיסית יחסית: A := { ω Ω lim n n= {X n } הקבוצה:. בהנתן סדרת מ"מ } X i ω exists.y ω = lim היא מאורע זנב. לכן אם הסדרה ב"ת אז = 0, A P וכאשר = A P אפשר להגדיר מ"מ ω n n= X i בפרט הנ"ל הוא T מדיד ולכן ב"ת ב..., X, X ומכך קבוע כ"ת. n= תרגיל: נתבונן בסדרה המוגדרת ע"י: X n = { n P = n P = Ω P {ω האפשרויות הן.0, מתברר שהתשובה n= X n ω < } היא סדרה ב"ת מהו הערך של {X n } n= נניח ש היא והדרך להראות זאת משתמשת בא"ש צ'בישב ובכך שסכום השוניות של המשתנים המקריים הללו מתכנס. תרגיל: משתנה מקרי שמדיד ביחס למשתנה מקרי אחר הוא פונקציה שלו: יהא P Ω, F, ויהיו B X, Y : Ω, F R, מ"מ כך ש Y הוא X σ מדיד אזי קיימת f : R R מדידה כך ש X.Y = f דוגמה 3.48 דוגמה מעניינת לשאלות על מאורעות זנב פרקולציה בגרף אינסופי: נתבונן בשריג אינסופי בן מנייה E G =,V גם E וגם V בני מנייה שבו דרגת הקודקודים היא חסומה. בהנתן מנייה = E {.., e}, e נבצע פרקולציה על השריג עם הסתברות p נמחק כל קשת בהסתברות p ונשאיר אותה בהסתברות p באופן בלתי תלוי ונקבל גרף חדש E G = V, כאשר E כמובן. כעת נגדיר סדרת מ"מ } {en E X n = ונגדיר סדרת σ אלגבראות E =.T בפרט עבור כל קשת e n מתקיים: σ X n = { Ω,, { E e n E }, על ידי n,f n = σ X,..., X נתבונן בזנב n= F n {E e n / E }} G" הוא מאורע מדיד הערה 3.49 נשים לב שעבור קודקוד v V כלשהו המאורע "הקודקוד שייך לרכיב קשירות אינסופי בגרף ביחס לזנב שכן הוא המשלים של איחוד המאורעות "v שייך לרכיב קשירות מגודל k עבור k N כלשהו". לכן המאורע "קיים רכיב קשירות אינסופי" הוא גם כן מדיד ביחס לזנב כאיחוד על פני כל v V של המאורעות הללו. למעשה נרצה לחשוב על רכיבי הקשירות כמיוצגים על ידי צלעות ולא על ידי קודקודים שכן כל הפורמליזם של הבעיה מנוסח על פי מצב הקשתות בגרף. לאחר שהשתכנענו שהמאורע = A "קיים רכיב קשירות אינסופי" הוא מדיד ביחד לזנב נקבל ממשפט קולמוגורוב שהוא בעל הסתברות {,0} A P. כעת אפשר להראות ש A P יכולה רק לעלות כאשר p גדל. כלומר A ϕ p = P p היא פונקציה עולה ולכן מכך ש } {0, A P p לכל p נסיק שקיים ערך קריטי ] [0, c p כך ש {p>pc}.ϕ p A = אפשר להראות שתמיד מתקיים.p c הזה אפשר להראות ש = במקרה. נתבונן במקרה הפרטי של השריג Z 3 p c 3 < 3 p. נשים לב שמספר המסלולים הפשוטים מאורך n ב Z שמתחילים בראשית הוא לכל היותר נבצע פרקולציה עם n 3 4. הסיכוי של מסלול כנ"ל לשרוד את הפרקולציה הוא כמובן p n ולכן תוחלת מספר המסלולים מאורך n שמתחילים 3 n p n 4 ומכך בהכרח בראשית ושורדים את הפרקולציה היא לכל היותר 3n p n.4 עבור < 3 p נקבל כי 0 ההסתברות שהראשית תהיה שייכת לרכיב קשירות אינסופי היא אפס אחרת התוחלת הזו הייתה שואפת למשהו גדול מאפס. מאחר והנ"ל נכון לא רק לראשית אלא עבור כל קודקוד נסיק שהסיכוי של כל קודקוד להופיע ברכיב קשירות אינסופי הוא < 3 p ההסתברות שקיים רכיב קשירות אינסופי היא אפס. אפס ולכן כאשר עבור > 3 p נראה שבהסתברות חיובית קיים רכיב קשירות שמכיל את הראשית. נתבונן בגרף הדואלי ל Z הגרף שבו הפאות הן קודקודים וקשרתות עוברות בין פאות סמוכות בגרף המקורי. רכיב הקשירות של הראשית הוא סופי אמ"מ קייים מסלול בגרף הדואלי מאורך שמקיף את הראשית. אפשר להראות שמספר המסלולים הדואליים מאורך n שמקיפים את הראשית הוא לכל היותר 3n n והסיכוי של מסלול כזה לחסום את הראשית הוא pn. עבור > 3 p נקבל כי: n= n 3n p n < 4

15 3.4 התפלגויות של משתנים מקריים: 3 הסתברות בסיסית יחסית: לכן מבורל קנטלי יש רק מספר סופי של ערכי n ככה שיש מסלול דואלי מאורך n סביב הראשית. מהמסקנה הזו אפשר.p > 3 להראות שבהכרח קיים רכיב קשירות אינסופי לא בהכח שמכיל את הראשית עבור כל התובנה העיקרית שצריך כדי להראות ש = c p היא שהגרף הדואלי ל Z הוא גם כן Z אבל ההוכחה מסובכת. 3.4 התפלגויות של משתנים מקריים: הגדרה 3.50 התפלגות של משתנה מקרי: יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ויהא X מ"מ ממשי, אזי X משרה מידת הסתברות על R שנתונה ע"י A µ A = P X לכל A. B בפרט מוגדרת פונקציית ההתפלגות המצטברת CDF של X שנתונה ע"י: F X t def = µ, t] = P X, t] = P X t טענה 3.5 תכונות של ה CDF של משתנה מקרי ממשי: יהא X מ"מ ממשי עם התפלגות מצטברת F X אזי:. X F היא מונוטונית עולה חלש..F X t t t F X t ו..F X t t s F X s רציפה מימין F.3 בנוסף כל פונקציה F שמקיימת את תכונות 3 היא CDF של משתנה מקרי ממשי. כלומר קיימת מידת הסתברות µ F כך ש: x R : µ F, x] = F x F X b F X a = µ, b] µ, a] = µ a, b] 0 ובפרט לכל [a, b] R מתקיים a.µ F [a, b] = F b F הוכחה: להלן ההוכחה מהקורס בתורת המידה:. יהיו < b < a <, נשים לב כי: לכן F מונוטונית לא יורדת. נראה רציפות מימין, יהא x R ותהא x} n } R סדרה כך ש x. n x מכך נקבל כי = [x, ומכך מרציפות מלמטה של מידות כאשר כאן משתמשים בסופיות של המידה בפרט נקבל: n=, x n] lim F X x n = lim µ, x n] = µ, x] = F X x ובאופן דומה מראים את הגבול השני. ולכן: n=, x n] = מכך נקבל כי.x n כך ש {x n } n= כעת תהא R lim F X x n = lim µ, x n] = µ = 0 מאחר והנ"ל נכון לכל סדרה כך ש n x נסיק כי = 0 x lim F X x. נגדיר } b S := {a, b] a < ונגדיר = F ו = 0.F לכל a, b] S נגדיר: µ F a, b] = F b F a זוהי מידה σ אדיטיבית על S ולכן נוכל להרחיב את המידה הזו ל B באמצעות משפט Caratheodory ובכך נסיים. תרגיל: חידה: יהיו X, Y, Z מ"מ ב"ת אחידים בקטע ] [0, הראו ש ] [0, U.XY Z 5

16 3 הסתברות בסיסית יחסית: 3.5 תוחלת של משתנה מקרי וכמה תכונות: X n או D הגדרה 3.5 התכנסות בהתפלגות Distribution/Law :Convergence in תהא X n סדרת מ"מ לא בהכרח באותו מרחב הסתברות נאמר ש Xn מתכנסת בהתפלגות למ"מ X ונסמן X.F שהיא נקודת רציפות של t בכל F n t F t אם L X n L X הערה 3.53 הגדרה חילופית כאשר כל המשתנים מוגדרים באותו מרחב הסתברות היא שיש התכנסות חלשה של סדרת המידות.µ A = P X A למידה µ n A = P Xn המושרות A 3.5 תוחלת של משתנה מקרי וכמה תכונות: הגדרה 3.54 תוחלת של משתנה מקרי אינטגרציה: יהא P,Ω,F מרחב הסתברות ויהא X מ"מ, נגדיר את התוחלת של X ע"י: ˆ ˆ E [X] = XdP = xdµ X Ω R כאשר האינטגרלים הם אינטגרלי לבג ו µ X היא המידה שמשרה X על R. הערה 3.55 בפרט נאמר ש X בעל תוחלת אם < [ X ] E או לחילופין P.X L Ω, הערה 3.56 התוחלת של משתנה מקרי X תלויה רק בהתפלגות של X ולא במרחב ההסתברות. [ הגדרה 3.57 מומנט של משתנה מקרי: יהא X מ"מ נגדיר את המומנט ה k N של X ע"י k] E [ X כאשר נאמר שהנ"ל קיים כאשר < k].e X הערה 3.58 אפשר להראות שאם ל X קיים מומנט k אז קיימים כל המומנטים עבור l. k Var X def [ = E X E [X] ] = E [ X ] E [X] הגדרה 3.59 שונות של משתנה מקרי: יהא X מ"מ נגדיר את השונות של X על ידי: בפרט הנ"ל קיימת אמ"מ X בעל מומנט שני. משפט 3.60 אי שוויון ינסן Inequality :Jensen תהא ϕ פונקציה ממשית קמורה בקטע b,a ויהא X מ"מ בעל תוחלת שמקבל את ערכיו ב b,a אזי: ϕ E X E [ϕ X] בתנאי ש X] E [ϕ קיים אפילו במובן הרחב ובפרט אם < X ]. E [ ϕ הערה 3.6 ברור שעבור פונקציה קעורה אי השוויון מתהפך. הוכחה: מההנחה כי a < X < b ומכך ש P היא מידת הסתברות נקבל כי: a = E a < E [X] < E [b] = b מכך ש ϕ קמורה קיים β x R כך שעבור b x := E [X] a, לכל b X z a, מתקיים: ϕ X z ϕ E [X] + β x X z E [X] 6

17 3 הסתברות בסיסית יחסית: 3.6 התכנסות בהסתברות של משתנים מקריים: ˆ ˆ E [ϕ X] = ϕ X dp [ϕ E [X]] dp + β x E [X] E [E [X]] Ω ˆ = ϕ E [X] Ω Ω dp + β x E [X] E [E [X]] = ϕ E [X] + β x 0 = ϕ E [X] נקח את האינטגרל dp על שני האגפים ונקבל: [ X ] הערה 3.6 בפרט x, x, e x כולן קמורות ולכן מקבלים את אי השוויונות המתאימים. כמו כן x קעורה ולכן [X].E E תרגיל: [ X ] האם אפשר לקבל חסם תחתון מעניין על E במקרה ש X הוא מ"מ פואסוני עם פרמטר λ? משפט 3.63 אי שוויון הלדר:.E [ X Y ] p E [ X p ] q E [ Y q ] מ"מ אזי X, Y ויהיו p + q יהיו > q p, אקספוננטים צמודים = [ ] הוכחה: בה"כ אפשר להניח ש 0 Y X, ומהומוגניות בשני האגפים אפשר להצטמצם למקרה שבו = P E X וגם = ] q.e [ Y xy xp ומכך נקבל כי: p + yq q E XY E [Xp ] p מכך מספיק להראות ש [ Y E. X ] מא"ש Young ידוע לנו ש + E [Y q ] q = p + q = f x = xp מקיימת f x = x p y וגם p + yq q עבור הוכחת א"ש Young נשים לב כי עבור 0 y קבוע הפונקציה xy x = y היא נקודת מינימום של הפונקציה שבה ערך הפונקציה p = y מכך הנקודה q x > 0 לכל f x = p x p > 0 הוא 0 ומהעברת אגפים מקבלים את הנדרש. p + q ויהיו X, Y מ"מ אזי: תרגיל: א"ש מינקובסקי: יהיו > q,p אקספוננטים צמודים = p E X + Y p E p [ X p ] + p E [ Y p ] ובפרט ] p x = p E [ X מגדירה נורמה על P L p Ω, מרחב המשתנים המקריים X : Ω R כך ש < ] p.e [ X 3.6 התכנסות בהסתברות של משתנים מקריים: הגדרה 3.64 התכנסות בהסתברות: P יהא P Ω, F, מרחב הסתברות. נאמר שסדרת מ"מ X n מתכנסת בהסתברות ונסמן X n X אם לכל > 0 :ε P X n X > ε 0 או לחילופין לכל > 0 ε קיים N N כך שלכל n N מתקיים.P X n X > ε < ε למה 3.65 התכנסות בהסתברות גוררת התכנסות כ"ת של תת סדרה:.X nk a.s X כך ש X nk אזי קיימת ת"ס X n P תהא X n סדרת מ"מ כך ש X 7

18 3.6 התכנסות בהסתברות של משתנים מקריים: 3 הסתברות בסיסית יחסית: הוכחה: מהתכנסות בהסתברות בהנתן k N קיים N k כך שלכל n N k מתקיים: P { X x X n x > k} < k ω ולכן i=k Ec i אז ω / נגדיר k} E k := { X ω X Nk ω > ונקבל כי.P E k < k נשים לב כי אם i=k E i ω / A על סמך מה שראינו אם,A := lim sup E k כעת נגדיר.X Ni ω i X ω כלומר k i לכל X ω X Ni ω < i k i X Ni ω וכמו כן ניתן לראות כי לכל k N מתקיים: אז ω X P A = P E i P E i i = k+ X n k= i=k i=k i=k,x Nk כנדרש. a.s לכן בהכרח = 0 A P ומכך X משפט 3.66 התכנסות כ"ת גוררת התכנסות בהסתברות גוררת התכנסות בהתפלגות: יהא P,Ω,F מרחב הסתברות ותהא X n סדרת מ"מ ו X מ"מ. אזי: a.s P X = X n X = L X n L X הוכחה: ניתן סקיצה של ההוכחות:. נראה שהתכנסות כ"ת גוררת התכנסות בהסתברות. נגדיר {ε A ε n = X } n X < ונקבל שהתכנסות כ"ת שקולה לכך שעבור P. lim inf כעת מהלמה של Fatou נקבל כי: כל > 0 ε מתקיים = n Aε = P lim inf Aε n lim inf P Aε n = lim inf P Aε P n = = X n X. נראה שהתכנסות בהסתברות גוררת התכנסות בהתפלגות. נשים לב כי: X n a X n X > ε X a + ε P X n a P X a + ε + P X n X > ε מכך נקבל כי: מכך מהתכנסות בהסתברות לכל > 0 ε קיים N מספיק גדול כך שלכל n N מתקיים: F a + ε ε F n a F a + ε + ε lim sup F n a lim F a + ε = F a ε 0 lim inf F n a lim F a + ε = ε 0 }{{} F a continuity points בפרט נקבל כי:. lim לכן נקבל כי בנקודות רציפות של F מתקיים a F n a = F 8

19 3.6 התכנסות בהסתברות של משתנים מקריים: 3 הסתברות בסיסית יחסית: הערה 3.67 התכנסות כ"ת איננה תכונה טופולוגית במרחב של משתנים מקריים: } כך ש.x nkl x עובדה: במרחב טופולוגי {x n } X מתכנסת ל x X אמ"מ לכל ת"ס } nk {x קיימת ת"ס {x nkl שמתכנסת בהסתברות ולא מתכנסת כ"ת. בהנתן ת"ס } nk X} גם היא מתכנסת בהסתברות ולכן } {X n } n ניתן למצוא סדרה שמתכנסת כ"ת. כלומר הסדרה } n X} מקיימת את התכונה שלכל ת"ס שלה יש ת"ס מהלמה שהוכחנו יש לה ת"ס X} nkl מתכנסת כ"ת אבל היא בעצמה לא מתכנסת כ"ת ולכן לא ייתכן שהתכנסות כ"ת מגיעה מטופולוגיה. משפט 3.68 משפט ההתכנסות החסומה Theorem :Bounded Convergence.E [X n ] E [X] אזי n לכל X n M וגם X n P X או X n a.s תהא X n סדרת מ"מ כך ש X משפט 3.69 משפט ההתכנסות המונוטונית Theorem :Monotone Convergence.E [X n ] E [X] אזי X n P X או X n.e [X n ] E [X] אזי n לכל X n Y מ"מ בעל תוחלת כך ש Y יהא.X n a.s תהא X n סדרה עולה של מ"מ כך ש X משפט 3.70 משפט ההתכנסות הנשלטת Theorem :Dominated Convergence P X או X n a.s תהא X n סדרת מ"מ כך ש X 9

20 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: 4. הקדמה ודוגמאות ראשונות: ריכוז מידה של מ"מ מתעניין בכמה משתנה מקרי מפוזר סביב התוחלת שלו, כלומר בחסמים על ε P. X E [X] > תזכורת 4. א"ש מרקוב וצ'בישב: עבור משתנה מקרי X מתקיימים הדברים הבאים: P X a E X a. א"ש מרקוב: לכל > 0 a מתקיים ] E[X P X a ובפרט אם < ] E [ X אז:. א"ש צ'בישב: לכל > 0 a מתקיים a P X E [X] a Var X a.3 עבור פונקציה g : R R לא יורדת ואי שלילית בטווח של X ולכל > 0 a מתקיים: P X a E [g X] g a בפרט אי השוויון הקודם הוא מקרה פרטי של כך עבור g. t = t תזכורת 4. משפט פוביני בגרסת הסתברותית: אם X, Y הם משתנים מקריים ב"ת ובעלי תוחלת אזי ] [Y.E [X Y ] = E [X] E הערה 4.3 הניסוח הזה לא נראה כמו הניסוח הקלאסי של משפט פוביני בתורת המידה אבל הוא נובע מהמשפט הכללי יותר. הגדרה 4.4 שונות משותפת ומ"מ בלתי מתואמים: יהיו,X Y מ"מ בעלי תוחלת נגדיר את השונות המשותפת של,X Y ע"י: Cov X, Y = E [X E [X] Y E [Y ]] Cov X, Y = E [X Y ] E [X] E [Y ] אפשר בקלות להראות שמתקיים: ובפרט = 0 Y Cov X, אמ"מ ] [Y,E [X Y ] = E [X] E במקרה זה נאמר ש X ו Y בלתי מתואמים.Uncorrelated הערה 4.5 בפרט ניתן לראות שאי תלות גוררת חוסר תיאום אולם ההפך לא בהכרח נכון. S n = n ונשים לב כי = 0 [S] E וגם: n דוגמה 4.6 יהיו..., X, X מ"מ כך ש = = i,p X i = = P X נגדיר X i E [ S ] = n E [ Xi ] Independence {}}{ + E [X i X j ] = i<j<n n + i<j<n =0 =0 {}}{{}}{ E [X i ] E [X j ] = n מכך מא"ש צ'בישב נקבל כי: P S > λ n λ 0

21 4. הקדמה ודוגמאות ראשונות: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: בפרט ברור שעבור λ < n החסם הנ"ל חסר תועלת והוא משתפר ככל ש λ גדל. כמו כן עבור λ = n נקבל כי: P S = n = P S n n כאשר בפרט S = n רק כאשר.X =... = X n

22 4. הקדמה ודוגמאות ראשונות: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: שאלה: השתמשנו כאן באי תלות כדי לקבל את החסם, נבחן מה קורה אם יש רק אי תלות בזוגות. תרגיל: שיטה לבניית מ"מ ב"ת בזוגות: יהיו Y,..., Y m מ"מ ב"ת כך ש {±} i Y בהסתברות. עבור כל m} = A P {,..., נגדיר.X A := j A Y j אזי עבור כל B A המ"מ X A ו X B הם ב"ת כלומר האוסף m}} {X A A {,..., ב"ת בזוגות. הערה 4.7 מאידך כבר לא מתקיימת אי תלות בשלשות שכן למשל {} X X. {,} = X {} הערה 4.8 באמצעות וריאציה על השיטה הזו אפשר לבנות אוספים של משתנים מקריים ב"ת בשלשות, רבעיות וכו'. מסקנה 4.9 בהנחה שהוכחנו את התרגיל הנ"ל נשים לב כי: ניתן להגדיר m משתנים מקריים שונים מהצורה X A שכולם ב"ת בזוגות. מתקיים = A X לכל m} A {,..., רק אם = m Y =... = Y והנ"ל קורה בהסתברות m. S = X A = m A {,...,m} במקרה שבו = m Y =... = Y נקבל כי: קיבלנו שעבור m n = אי תלות בזוגות הספיקה לנו כדי לקבל ש: P S = n = n + P S = n n שראינו בדוגמה הקודמת הוא כמעט הדוק אפילו אם דורשים רק אי תלות בזוגות כי הנ"ל מראה לנו שהחסם יש דוגמה שמשיגה את החסם ולכן לא יכול להיות חסם הרבה יותר טוב עבור אי תלות בזוגות. S n = n נקבל כי אם יש אי תלות דוגמה 4.0 נשים לב כי עבור מ"מ X,..., X n כך ש {±} i X עם הסתברות ו X i או אפילו אי תלות ברביעיות מספיק אפילו אי תיאום ברביעיות אז מתקיים: E [ S 4] Independence {}}{ = n E [ Xi 4 ] 4 + i<j n = {}}{ E [ X i X j ] = n + 6 n n 3n P S > λ 3n ובפרט: מכך נקבל כי λ 4 P S = n 3 n לכן ניתן לראות שקיבלנו חסם יותר קטן שדועך יותר מהר על ההסתברות ש n P S = מאשר במקרה שהנחנו אי תלות רק בזוגות. אפשר להראות שבמקרה של אי תלות בשלשות מקבלים ש = 0 [3 E [ S ולכן לא ניתן להשיג חסם מעניין בשיטה הזו. שאלה: מה ההתנהגות של n P S = במקרה זה, האם היא דומה לזו של אי תלות בזוגות או לזו של אי תלות ברביעיות?

23 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: 4. החוק החלש והחזק של המספרים הגדולים: 4. החוק החלש והחזק של המספרים הגדולים: תרגיל: עבור זוג מאורעות,A B מתקיים ש,A B ב"ת אמ"מ המ"מ המציינים A, B הם בלתי מתואמים. למה 4. הלמה השנייה של בורל קנטלי עבור מ"מ ב"ת בזוגות: אזי = n.p lim sup A יהא P Ω, F, מרחב הסתברות ויהיו A, A,... F מאורעות ב"ת בזוגות כך ש = i P A.S n = n מאחר שהנחנו אי תלות בזוגות נקבל כי Cov X i, X j = δ ij ומכך נקבל כי: הוכחה: נגדיר X i := Ai ו X i Var S n = {}}{ n Var X i + Cov X i, X j = i j =0 [ n ] E [S n ] = E X i = VarX i n {}}{ P A i P A i n E [X i ] = S n P n P A i > ε = P S n Var S n ε n P A i n P A i n P A i נשים לב כי מכך מא"ש צ'בישב נקבל כי: n n P A i > ε P A i n P A i ε n P A i = ε n P A 0 i ומכך בהנתן > 0 ε קיים n כך ש: S n E[S n] S n P E [S n ] < ε ε P מאחר והנ"ל נכון לכל > 0 ε קיבלנו כי P E [S n ] גורר ש n S ולכן עבור כל > 0 ε וכל > 0 M קיים n גדול מספיק כך ש הנ"ל בשילוב עם כך ש a.s P S n > M ε כלומר למעשה n S ומהגדרת S n המשמעות של כך היא שאינסוף A i קורים כמעט תמיד. למה 4. יהא 0 X מ"מ אי שלילי בעל תוחלת אזי לכל > 0 ε קיים K N כך ש: E X {X K} < ε בנוסף {X<K} X הוא בעל מומנט שני סופי. הוכחה: נתבונן ב {x<k} Y, K = X מאחר ש X אי שלילי ברור כי Y k X כאשר K ולכן ממשפט ההתכנסות המונוטונית: E [Y K ] K E [X] = E X {X K} = E [X YK ] = E [X] E [Y K ] K 0 [ X ] E {X<K} = E [ X ] [ {X<K} E K ] = K < בנוסף ניתן לראות כי: 3

24 4. החוק החלש והחזק של המספרים הגדולים: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים:. n S n משפט 4.3 החוק החלש של המספרים הגדולים: P µ אזי,S n = n תהא X i סדרת מ"מ שווי התפלגות, ב"ת בזוגות ובעלי תוחלת.E [X i ] = µ נסמן X i הוכחה: מקרה ראשון: ראשית נניח ש X i בעלי מומנט שני סופי כך ש < i,var X מכך מא"ש צ'בישב נקבל כי: P S n µn > εn n Var X ε n = Var X ε 0 n Var S n = n Var X i = nvar X כאשר השתמשנו בכך שמאי תלות בזוגות של X i נובע כי: כעת באופן כללי יותר: מאחר ו X i = X + i X i בה"כ נניח כי 0 i.x יהא > 0,ε על סמך הלמה הקודמת קיים K N כך ש: E X i {Xi K} < ε נשים לב כי {Xi<K} X i = X i {Xi K} + X i ומכך: S n = { S n }} { n X i {Xi<K} + { S n }} { n X i {Xi K} ] [ E.µ = מכך ש µ µ = µ + נקבל כי: X i {Xi K} ו µ = E [ X i {Xi<K}] נסמן n µ n > ε S n + P n µ n ε > S P S n µn > εn P X i הוא בעל מומנט שני ובפרט nµ Var S n = נקבל מא"ש צ'בישב כי: S P n µ n > ε Chebyshev n {}}{ nµ ε n 4µ ε n כעת מאחר ש n] E [ S ולכן: ε n נקבל כי µ = E [ X i {Xi K}] כמו כן מאחר ו < ε P S n µ n > ε n P S n > ε Markov n {}}{ ε n ε מכך ניתן לראות כי: n = ε P S n µn > εn 4µ ε + ε ε n מאחר והנ"ל נכון לכל > 0 ε נסיק את השאיפה בהסתברות, כנדרש. הערה 4.4 נשים לב שכאשר X i הם מ"מ בעלי מומנט ראשון ושני חסומים באופן אחיד אבל לא בהכרח זהים החוק החלש נובע מיידית מא"ש צ'בישב ולא צריך לדרוש שוויון התפלגות. 4

25 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: 4. החוק החלש והחזק של המספרים הגדולים:. n S n משפט 4.5 החוק החזק של המספרים הגדולים: a.s תהא X i סדרת משתנים מקריים ש"ה, ב"ת בזוגות ובעלי תוחלת E X] i ] = µ אזי µ הערה 4.6 אם מניחים אי תלות ברביעיות וקיום של מומנט רביעי אז אפשר להוכיח את המשפט באותם כלים שהשתמשנו בהם בחוק K n שמסתכם לערך סופי ולכן החלש באמצעות פירוק של המשתנים המקריים ושימוש בחסמים. בפרט מקבלים חסם מהצורה של מהלמה הראשונה של מבורל קנטלי תהיה סטייה של n S n מ µ רק מספר סופי של פעמים. הוכחה: מקרה ראשון: ראשית נניח כי i X ולכן כל המומנטים סופיים ובנוסף בה"כ = 0 ] i E. X] באופן מיידי כך ש i X ] [ E Var X i ומכך מא"ש צ'בישב נקבל כי: Xi נובע כי k= P S n > εn Var S n ε n Sk ε k.p מאחר ש < k > ε ε k {}}{ = nvar X i ε n n ε n = ε n כאשר המעבר המסומן נובע מא"ת בזוגות. נתבונן בת"ס n k = k עבורה { } Sn בהסתברות קורה רק מספר סופי של פעמים ומאחר והנ"ל נכון לכל k נסיק מהלמה הראשונה של בורל קנטלי שהמאורע > ε a.s > 0 ε נסיק כי 0 S n S k = n i=k +. S k כעת נשים לב כי אם + k k n נקבל כי: k X i n {}}{ X i k + k + = k X i i=k + S n n S k n + k n S k n + n n = S k k + a.s 0 n מכך נקבל כי: lim sup בהסתברות. בהנתן k N נסמן S n n מקרה שני: בה"כ אפשר להניח כי 0,X נסמן ] i µ = E [X ונראה כי 4µ X i = X i + X i כאשר } k X i = X i {Xi ו } k.x i = X i {Xi> כמו כן נסמן: k S k = S + k S = X k i + k X i S k = S נקבל כי: + S k מאחר ש k S k P k > µ = P S k > µ k P S µk + P S k k > 0 ] E ולכן מא"ש צ'בישב נקבל כי: [S = ] k k כמו כן µ [X E i = k P S µk = P k P S > 0 = P k Var S k k µ k µ µ S k µk µ k {}}{ {}}{ k Var X E i = µ k X i > 0 k S P k µ k µ k [ ] X i µ k := α k כאשר המעבר המסומן נובע מא"ת בזוגות. כמו כן ניתן לראות כי: P X i > 0 = k P X i > 0 = k P X i k 5

26 4. החוק החלש והחזק של המספרים הגדולים: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: k= נסמן X i := X הנחנו שוויון התפלגות ונסמן i+.p i = P i X נשים לב כי: k P X i k = k p i = α k = k= k= k= i=k E [ Xi ] {X i k } µ k µ k=i p i i k p i i E [X] < k= k k= p i i k = µ k k p i i k= {}}{ = µ p i i k µ p i i µ E [X] < ולכן מהלמה הראשונה של בורל קנטלי בהסתברות קיים k 0 כך שלכל k > k 0 מתקיים k= P S k > µ k S n n lim sup בהסתברות. לסיום X i = X i + X i ו n S n = S n + S כמו קודם. על סמך המקרה הראשון כמו כן ניתן לראות כי: מכך נסיק כי < 4µ ולכן Sn n S k+ k 4µ מתקיים k n ו k+ k מכך עבור כל k 0. S k k µ?e [X i ] = µ אמ"מ Sn n ] [ E ונסמן בהנתן > 0 ε נבחר K כך ש X i {K>k} < ε a.s µ נקבל כי S n ועל סמך מה שראינו כעת נקבל כי בהסתברות מתקיים: n lim sup lim sup S n n 4µ 4ε S n n µ 5ε, Sn כנדרש. n מכך נקבל כי בהסתברות מתקיים: a.s מאחר והנ"ל נכון לכל > 0 ε נסיק כי µ תרגיל: a.s נניח ש X i ב"ת וש"ה אך לא בהכרח בעלי תוחלת סופית האם µ הערה 4.7 החוק החלש\חזק של המשתנים הגדולים מאששים את האינטואיציה שמשחק שבו תוחלת הרווח היא פונקציה של התפלגות מסוימת נעדיף לשחק משחק שבו ההתפלגות היא בעלת תוחלת גדולה יותר במיוחד אם נעשה חזרות רבות על המשחק. 4.. כמה דוגמאות משעשעות: דוגמה 4.8 פרדוקס שתי המעטפות: נניח שישנן שתי מעטפות שבאחת יש X כסף ובשנייה יש X כסף X משתנה מקרי מפולג בצורה כלשהי. נותנים לנו מעטפה שבה יש Y כסף X או X בהסתברות. אנחנו מסתכלים בתוכן של המעטפה ושואלים אותנו באקראי הסתברות מתקיים Y = X ואז החלפה תתן לנו האם נרצה לשמור את המעטפה או להחליף למעטפה השנייה. לכאורה בהסתברות Y = Y ובהסתברות מתקיים Y = X ואז החלפה תתן לנו Y, = Y מכך נקבל כי לכאורה אם נחליף אז מתקיים: [ ] E Y Y = Y + Y [ = 4 Y = E Y ] [ [ ]] = E E Y Y = 4 E [Y ] [ Y היא גם הסכום של מעטפה מקרית ולכן צריך להתקיים ] Y] E Y [ = E ובפרט נגיע למסקנה הלא הגיונית שתמיד אולם צריך להחליף. הסיבה שאין כאן פרדוקס היא שהחישוב שעשינו כאן איננו תקין מאחר ולא לקחנו בחשבון את האינפורמציה שגלומה בכך שראינו את Y כלומר את הפילוג של X. 6

27 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: 4.3 חזרה לריכוז מידה: נתבונן במקרה שבו X = 3 N כאשר P N = n = n ונשים במעטפות X ו.3X נניח שקיבלנו מעטפה וראינו,Y = 3 k הנ"ל קורה בשני מקרים: אם X = 3 k וקיבלנו את המעטפה עם X הנ"ל קורה בהסתברות k.p = אם k X = 3 וקיבלנו את המעטפה עם 3X הנ"ל קורה בהסתברות k.p = בפרט ניתן לראות שהמאורע הראשון סביר פי מהמאורע השני. [ P Y = 3Y Y = 3 k] = P [Y = Y3 ] Y = 3k = כעת אם נחליף ונסמן ב Y את הסכום שנקבל אז מנוסחת Bayes נקבל כי: k k + k = 3 k k + k = 3 [ ] E Y Y = 3 3Y + 3 Y [ 3 = 9 Y = E Y ] [ [ ]] = E E Y Y = 9 E [Y ] מכך נקבל כי: Y הם בעלי אותה התפלגות ולכן צריך לכן ניתן לראות [ שלכאורה כדאי לנו תמיד להחליף לא משנה מה ראינו. מצד שני Y ו להתקיים ] Y] E. Y [ = E הסיבה שאין כאן פרדוקס למרות שכאן בניגוד למקרה קודם כן ידועה לנו ההתפלגות של X היא.E [ Y [ > E Y] ] הוא תקין לחלוטין שכן לא נובע ממנו ש E [ פשוט שמתקיים = ] [Y E ולכן השוויון ] [Y Y ] = 9E נכפיל את מה תרגיל: נניח שישנו משחק שבו בכל שלב אם מהמרים על סכום x אז בהסתברות חצי נפסיד את הכל ובהסתברות שהימרנו. כעת בהנתן שיש לנו סכום התחלתי x 0 ומשחקים k סיבובים על המשחק שבכל סיבוב j k נהמר על x j שהוא חלקי ל j x שהוא הסכום שהיה לנו בסוף הסיבוב הקודם. נשאלת השאלה מהי אסטרטגיית ההימור החלק היחסי מ j x שנרצה להמר עליה במשחק ה j כך שנמקסם את חציון הסכום שיהיה לנו אחרי k סיבובים שאותו נסמן x. k 4.3 חזרה לריכוז מידה: הגדרה 4.9 פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי:.E [ e יהא X מ"מ הפונקציה יוצרת מומנטים של X היא tx] ϕ X t := E [ e כאשר הנ"ל מוגדרת בכל נקודה שבה < ] tx הערה 4.0 אפשר לראות ש = 0 X ϕ בהכרח ולכן ϕ X תמיד מוגדרת באפס. = tx e ומכך בתנאי התכנסות מסוימים נקבל כי: k=0 tk X k k! הערה 4. עבור משתנה מקרי X אפשר להגדיר E [ e tx] = t k E [ X k] k=0.ϕ k X מכך ניתן לראות ϕ X היא הפונקציה היוצרת שמוגדרת על ידי הסדרה n= {E [X n ]} ובפרט לכל k N מתקיים k] = E [ X 0 הערה 4. ישנם מקרים שבהם ל X יש את כל המומנטים שלו והם סופיים אך ϕ X לא מוגדרת באף נקודה פרט לאפס. k! למה 4.3.ϕ Sn t = n ϕ i t אזי,S n = n X i ו ϕ i t = E [ e txi ] יהיו X,..., X n מ"מ ב"ת, נסמן הוכחה: באינדוקציה פשוטה. 7

28 4.3 חזרה לריכוז מידה: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: דוגמה 4.4 נניח ש X n היא סדרת מ"מ ב"ת המקבלים את הערכים ± בהסתברות, מכך נקבל כי: E [ e tx] = e t + e t = k t k + t k = t k k! k! t k k k! = e t ϕ Sn t k=0 Independence {}}{ = n ϕ i t = k=0 k=0 S n = n ונקבל כי לכל > 0 t מתקיים: נסמן X i n E [ e txi] e t n P S n > λ = P Markov {}}{ e tsn > e tλ E [ ] e tsn e λ ומכך נסיק כי: n e tλ e t n e tλ = e t n tλ לכן נקבל כי: הפונקציה f t = e t n tλ מקבלת מינימום בנקודה t = λ n שערכו P S n > λ e λ n נכליל את הדוגמה הזו: דוגמה 4.5 נניח ש X i היא סדרת מ"מ ב"ת כך ש i X וגם = 0 ] i.e [X.P S n λ כלשהו נרצה לחסום את ההסתברות λ ועבור 0 S n = n נסמן X i P S n λ = P Markov {}}{ e tsn e tλ E [ ] e tsn = ϕ Sn t e tλ e tλ ראשית ניתן לראות כי לכל 0 t מתקיים: E [ e txi] E [X i] x נקבל כי: מאחר ש e tx קמורה ב t ומכך שלכל x מתקיים ] [0, e tx = e x +x t+ t x e t + + x e t מכך נקבל שלכל i מתקיים: e t + + E [X i] e t = e t + e t =0 {}}{ + E [X i ] e t + e t ] [ E ϕ Xi t = ומכך: e txi t כבר ראינו ש e t + e t e t ולכן קיבלנו שלכל i מתקיים e n n P S n λ ϕ Sn t e tλ = ϕ Xi t e tλ e t e tλ = e n t tλ P S n λ e n λ n λ n בפרט t = λ n היא נקודת מינימום של e n t tλ ומכך נקבל כי: = e λ n הערה 4.6 נשים לב שחייבים לדרוש ש 0 λ שכן האנליזה שעשינו הייתה עבור 0 t. הערה 4.7 בפרט ניתן לראות שהמקרה שבו = ± i X בהסתברות משיג את החסם הנ"ל. 8

29 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: 4.3 חזרה לריכוז מידה: על סמך הדוגמה הזו ננסח את המשפט הבא שכרגע הוכחנו למעשה: משפט 4.8 משפט חסם הופדינג Bound :Hoeffding.P n X i λ e λ תהא X i סדרת מ"מ ב"ת כך ש i X וגם = 0 ] i E [X אזי לכל 0 λ מתקיים n e λ כפונקציה של λ מתחילה רק ב λ = n ולכן עבור λ < n החסם הנ"ל נותן ש הערה 4.9 נשים לב שהדעיכה של n = λ P S n וזה כמובן טריוויאלי. הערה 4.30 אם במקום ההנחה ש i X נניח ש X i C i לכל i אז אפשר להראות באמצעות אותה אנליזה שמתקיים: n P X i λ n e C i λ n דוגמה 4.3 נתבונן במקרה של λ, = an במקרה הנ"ל נקבל כי: Sn P n a e a n.rate Function ה מכונה I a := lim n log P S n n אפשר להראות שקיים הגבול a דוגמה 4.3 במובן מסוים חסם הופדינג עשוי להיות רחוק מאופטימלי, נסתכל למשל במקרה שבו: P = p X i = P = p 0 P = p עבור 3 n p = נקבל ש Var S n = n 3 וסטיית התקן היא n 6. מאידך הדעיכה של חסם הופדינג מתחילה רק ב λ = n שזה הרבה מעבר לסדר של סטיית תקן אחת של S n כאשר n גדול. היינו רוצים לקבל אומדן טוב לריכוז המידה סביב התוחלת באזור של כמה סטיות תקן בודדות מהתוחלת. משפט 4.33 משפט חסם צ'רנוף Bound :Chernoff תהא X i סדרת מ"מ ב"ת כך ש i E [X i ] = 0, X ו < i.var X i = V נסמן: V := Var S n = n V i n P X i λ } max {e λ 4V, e λ אזי לכל 0 λ מתקיים: הערה 4.34 בפרט בדוגמה הקודמת עבור λ מסדר של התוחלת. K n 6 כדי לקבל חסם על ריכוז המידה באזור של K סטיות תקן סביב הוכחה: ראשית על סמך הפיתוח של e tx לטור חזקות נקבל כי לכל i מתקיים: E [ =0 e txi] {}}{ t k E [ ] Xi k = + t E [X i ] + k! k= 9

30 4.3 חזרה לריכוז מידה: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: E [ e txi] = + ] [ ] [ E V i = ולכן: Xi E X k מכך ש i X ו = 0 ] [Xi E נקבל כי לכל k מתקיים i t k E [ ] Xi k + V i k! k= k= t k k! = + V i e t t +x ex {}}{ e Viet t כעת לא קשה להראות שעבור t 0 מתקיים e t t t ומכך עבור t כנ"ל נקבל כי: E [ e tsn] = E [ e txi] e Viet t e V it n E [ e txi] n e Vit = e n V it = e V t לכן על סמך פיתוחים שעשינו קודם נקבל שאם t 0 אז לכל 0 λ מתקיים: P S n λ E [ e tsn] e tλ e V t e tλ = e V t tλ e. λ לסיום נפריד לשני מקרים: 4V λ V = e λ 4V שערכו הוא t = λ V כמו כן הפונקציה ev t tλ מקבלת מינימום כאשר.P S n λ e λ אם λ V אז t 0 ולכן על סמך האנליזה הזו נקבל כי 4V אם λ V אז נקח = t ונקבל כי.P S n λ e λ מכך סה"כ נקבל את המסקנה הנדרשת. הערה 4.35 נשים לב שללא הניתוח שעשינו כדי לקבל ש e t t t עדיין נקבל שבכל מקרה מתקיים: P S n λ e V et t λt d e V et t λt = V e t λ dt ניתן לראות כי: t. = log λ אם נציב זאת נקבל כי: הנ"ל מקבל מינימום ב + V P S n λ e V λ V + log λ V + λ log λ V + = e λ λ+v log λ V + אם λ < V נוכל להשתמש באנליזה שעשינו קודם. מאידך אם λ > V אז נקבל כי: P S n λ e λ λ+v log λ V + e λ λ log λ V + = e λlog λ V + P S n λ e λlog λ + λ log λ V V e 8 אפשר להראות שכאשר λ > V אז מתקבל החסם הבא: P S n λ max { } e λ λ log V λ 4V, e 8 לכן סה"כ נקבל את החסם: 30

31 4.3 חזרה לריכוז מידה: 4 ריכוז מידה של סדרות משתנים מקריים: דוגמה 4.36 נרצה להראות שבמובן מסוים החסם הנ"ל הוא הדוק. נתבונן במקרה שבו :X i Ber n n P S n λ P S n = λ =.Var X i = n n ניתן לראות כי = 0 ] [Xi E וגם.Var S n = n ובפרט S n Bin n, n כמו כן Pois על סמך כך ש S n מפולג בקירוב Pois נקבל כי לכל k n 0 מתקיים: e λ +! e e λ+ logλ+ λ+ logλ = e n Var S n אז החל מ = λ מתקיים λ > V ולכן על סמך החסם שפיתחנו נקבל כי: מאחר ש e λ+ logλ λ log λ V P S n λ e 8. λ log λ הנ"ל מראה ש λ log P Sn דועך בסדר גודל של V דוגמה 4.37 מודל הצפרדעים: יש גרף אינסופי שעל כל קודקוד בו יושבת צפרדע, בהתחלה כולן ישנות, מעירים צפרדע כלשהי והיא מתחילה לעשות הילוך מקרי על הגרף מעבר לקודקוד סמוך בהסתברות אחידה. כל פעם שצפרדע מגיעה לקודקוד שיש בו צפרדע שעוד לא התעוררה היא מתעוררת ומתחילה מהלך מקרי זהה. אפשר לשאול כתלות בגרף האם כל הצפרדעים מתעוררות. כמו כן אפשר לעשות ווריאציה של השאלה שבה יש יותר מצפרדע אחת בכל קודקוד. בפרט ידוע שעבור עץ 00 רגולרי שבו יש הרבה התפצלויות כאשר יש צפרדע אחת בכל קודקוד לא כל הצפרדעים מתעוררות. נעשה קצת אנליזה פשוטה של הבעיה: נשים לב כי בכל שלב לכל היותר מספר הצפרדעים הערות מוכפל במקרה שכל הצפרדעים העירו צפרדע ישנה. לכן לאחר n צעדים של הבעיה מספר הצפרדעים שהתעוררו הוא לכל היותר. n נתבונן בעץ 00 רגולרי שבו 99 קשתות עולות למעלה וקשת אחת יורדת למטה בכל קודקוד. אפשר לראות שלאחר n צעדים תוחלת הגובה של הצפרדע שהתחילה את התהליך ביחס לגובה שבו היא התחילה היא E [S n ] = 0.98n כאשר: S n = n {The frog went up on the i th step} מכך על סמך חסם צ'רנוף אפשר להסיק שעבור הצפרדע המקורית צפרדע הסיכוי להיות בגובה 0 הגובה שבו היא התחילה לאחר n צעדים דועך בצורה אקספוננציאלית כפונקציה של n. כלומר: P S n = 0 e Kn עבור קבוע K שנתון מהחסם והוא פונקציה של = 00 d דרגת כל הקודקודים והעובדה ש 99 קשתות עולות. להראות שעבור דרגת קודקודים = 99 d מתקיים ש.e Kn 3 n אפשר נשים לב שעבור כל צפרדע שמתעוררת ההתפלגות של הגובה שלה לאחר שהתהליך עבור n צעדים היא זהה להתפלגות של S n שכן אנחנו מעירים כל צפרדע בגובה התחלתי מתאים. מאחר שיש n צפרדעים ערות לכל היותר לאחר n צעדים וההסתברות לרדת לגבהים נמוכים היא כל כך נמוכה כך שלמשל שההסתברות לרדת לגובה n שואפת לאפס כאשר n. לכן לא נכסה את כל עץ במקרה הנ"ל. 3

32 5 מרטינגלים: 5 מרטינגלים: 5. מרטינגלים בדידים: תזכורת 5. בהנתן מרחב הסתברות P Ω, Ω, עם Ω סופית\בת מנייה ומאורע B Ω כך ש 0 B P ניתן להגדיר מידת הסתברות מותנית על Ω,Ω ע"י: P B A = P A B = P A B P B בפרט לכל מ"מ X : Ω, Ω R מוגדרת התוחלת של X בהנתן B שתסומן [X B] E בתור התוחלת ביחס למידה.P B דוגמה 5. נתבונן בהסתברות הבאה המוגדרת על {3,}, : Ω כאשר נייצג את הקוארדינטות כמ"מ,X: Y Y \X ניתן לראות ש 3} {,, U X עם = [X] E וניתן לשאול מהי a] E [Y X = כלומר לכל 3} {,, a ניתן לשאול מה התוחלת של Y בהנתן המאורע.X = a אפשר לחשב ולהראות ש = a] E [Y X = לכל 3} {,,.a כמו כן אפשר להראות ש = 4 ] Y E [X ומתקיים: 9 E [XY ] = E [E [Y X] X] E [Y X] a = E [Y X = a] כאשר E [Y X] : Ω, Ω R היא הפונקציה כך ש: כאשר נחשוב עליה כפונקציה שתלויה רק בקוארדינטה הראשונה והיא מדידה ביחס ל σ אלגברה על Ω,Ω שנוצרת ע"י X תזכורת 5.3 משתנה מקרי בדיד אם התמונה שלו בת מנייה בפרט סופית או באופן שקול:.P X = a i מתקיים > 0 a Im X היא קבוצה בת מנייה כך שלכל Im X R קיימת קבוצה בת מנייה A R כך ש = A.P X נזכיר שאם התמונה של משתנה מקרי איננה בת מנייה אז לא ייתכן שלכל X a Im מתקיים > 0 a P. X = דוגמה 5.4 בהנתן מרחב הסתברות P Ω, F, וסדרת מ"מ בדידים..., X, X נניח שמתקיים: E [X k+ X = a,..., X k = a k ] = 0 S k = k ונתבונן בתוחלת המותנית הבאה: עבור כל k N ועבור כל a,..., a k בטווח של.X,..., X k נתבונן בסכום X i E [S k+ i k S i = t i ] E [S k + X k+ i k S i = t i ] = E [S k + X k+ i k S i = t i ] = E [S k i k S i = t i ] + E [X k+ i k S i = t i ] = t k + E [X k+ i k S i = t i ] = t k + 0 = t k נשים לב כי: כאשר המעבר לפני האחרון נובע מכך שמהסדרה } k {S,..., S ניתן לשחזר בדיוק את } k {X,..., X ומההנחה. 3

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן -

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן - פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 0 חודשי הולדת לכל ילד אפשרויות,לכן לכן - 0 A 0 מספר קומבינציות שלא מכילות את חודש תשרי הוא A) המאורע המשלים ל- B הוא "אף תלמיד לא נולד באחד מהחודשים אב/אלול",

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי.

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי. 1 תורת ההסתברות מהי? העולם שבו אנחנו חיים הוא עולם של אי-ודאות. מכיוון שאין לנו דרך לקבוע בוודאות את תוצאותיו של תהליך אקראי, אנו מנסים לצמצם את אלמנט אי-הודאות ולהעריך את הסיכויים של התוצאות האפשריות

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

או מעוותים, אשר הביא לכך שבציבור הרחב יש שתי דעות מנוגדות לגבי סטטיסטיקה: ה"תמימה"; אשרמבוססתעלכבודרבלמדעכולוולסטטיסטיקהבפרט,מהשגורםלקבלת

או מעוותים, אשר הביא לכך שבציבור הרחב יש שתי דעות מנוגדות לגבי סטטיסטיקה: התמימה; אשרמבוססתעלכבודרבלמדעכולוולסטטיסטיקהבפרט,מהשגורםלקבלת פרק מבוא לסטטיסטיקה. סטטיסטיקה מהי? הסטטיסטיקה היא מדע העוסק בנתונים כמותיים, איסופם, עיבודם, הצגתם והסקת מסקנות מהם וזאת כדי לסייע בפתרון בעיות מסוגים שונים. בימינו, קשה להעלות על הדעת איזה תחום בחיינו,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לסטטיסטיקה תאורית ולהסתברות

מבוא לסטטיסטיקה תאורית ולהסתברות מבוא לסטטיסטיקה תאורית ולהסתברות פרופ' משה חביב, המחלקה לסטטיסטיקה, האוניברסיטה העברית מבוסס על קורס "יסודות הסתברות נתונים ומחשבים" (52220 תודות רשימות אלו נכתבו ברובן על ידי דנה אוגוסט במהלך קורס שניתן

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

קושי של קירובים עפ"י הרצאות של ד"ר גיא קינדלר סמסטר א', תש"ע

קושי של קירובים עפי הרצאות של דר גיא קינדלר סמסטר א', תשע 1 קושי של קירובים עפ"י הרצאות של ד"ר גיא קינדלר סמסטר א', תש"ע סיכם: שיר פלד, באמצעות LYX גרסה 1.6.1 תיקונים יתקבלו בברכה בכתובת מייל shirpeled@cs 1 מבוא היסטורי ישנם שני נושאים שהתפתחו ולבסוף נפגשו ויצרו

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?

הרצאה נושאי הקורס 0.2 אב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? הרצאה 1 0.1 נושאי הקורס 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? בקורס זה נעסוק בבעיות חישוב הנקראות בעיות הכרעה. בהינתן קלט, אנו נבצע "חישוב" ובסופו נחזיר תשובה האם הקלט

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 1 מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1 גאומטריית המישור אוקלידס

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת

Διαβάστε περισσότερα

למידה חישובית אלי דיין 1.

למידה חישובית אלי דיין 1. למידה חישובית אלי דיין תקציר מסמך זה יביא את סיכומי השיעורים מהקורס למידה חישובית, שהועבר על ידי פרופ ישי מנצור בסמסטר א בשנה ל תשע ג. תוכן עניינים 5 מה זה למידה חישובית? 5 סוגי

Διαβάστε περισσότερα