Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής του πεδίου βαρύτητας. βαρύτητας

Transcript

1 Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου διανυσµατική µορφή αποτυπώνουν τη βασική παραδοχή ότι το σύµπαν είναι ισοτροπικό δηλαδή δεν υπάρχει κάποια επιλεγµένη ή προτιµητέα διεύθυνση. βρίσκεται ένας παρατηρητής και προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και αν κοιτάζει θα διακρίνει τα ίδια γενικά χαρακτηριστικά. 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος Ο νόµος της παγκόσµιας έλξης της βαρύτητας είναι ένα τυπικό τέτοιο παράδειγµα (όπως είναι και οι νόµοι της κίνησης) Ωστόσο η περιγραφή πεδίου των ελκτικών βαρυτικών δυνάµεων µε διανύσµατα σε κάθε σηµείο χώρου είναι µια σηµαντικά πολύπλοκη υπολογιστική διαδικασία Προηγούµενα είδαµε ότι Για τον υπολογισµό γήινου πεδίου βαρύτητας απαιτείται η γνώση των x διανυσµατικών συνιστωσών Fx, Fx, F, F, Fz της βαρυτικής ελκτικής δύναµης Προηγούµενα είδαµε ότι m(x,,z ) z dmi(x,,z) x Fnet = Οι υπολογισµοί στο πεδίο των ελκτικών δυνάµεων της βαρύτητας απλουστεύονται Αν αντί της διανυσµατικής συνάρτησης µε την οποία Οι υπολογισµοί στο πεδίο των ελκτικών δυνάµεων της βαρύτητας απλουστεύονται διανύσµατα διότι µε τον τρόπο αυτό οι φυσικοί νόµοι παίρνουν µια µορφή ανεξάρτητη από και ισχύουν ανεξαρτήτως από την επιλογή συστήµατος αναφοράς. π.χ., Οι νόµοι Νεύτωνα θα ισχύουν αν το σύστηµα αναφοράς περιστραφεί σε σχέση µε την αρχή L dfi Μια σηµαντική διευκόλυνση Γενικά στη Φυσική, χρησιµοποιούµε τα m(x,,z ) z Μια σηµαντική διευκόλυνση παριστάνεται η εκάστοτε δύναµη έλξης σε κάθε µάζα ύλης (σωµατίδιο, αντικείµενο ή εκτεταµένο σώµα), Τρεις συνιστώσες της ελκτικής δύναµης, δύναµης, σε κάθε σηµείο Να χρησιµοποιηθεί µια κατάλληλη βαθµωτή συνάρτηση δυναµικού που να περιγράφει το πεδίο, εξ ίσου ακριβώς σε κάθε σηµείο στο χώρο Ένας πραγµατικός αριθµός, αριθµός, σε κάθε σηµείο Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής πεδίου βαρύτητας unifom with espect to viewing angle Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής πεδίου βαρύτητας Οι νόµοι της φύσης όταν εκφράζονται σε δηλαδή σε οποιαδήποτε θέση και να Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής πεδίου βαρύτητας dfi L dmi(x,,z) ρ dv dm dfi = G m L = G m 3 L 3 L L σώµα V V Η έννοια δυναµικού Η έννοια δυναµικού σχετίζεται µε το έργο που παράγεται ή καταναλώνεται από την κίνηση µιας µάζας Για την κίνηση µιας µάζας Ένας πραγµατικός αριθµός, αριθµός, σε κάθε σηµείο Τρεις συνιστώσες της ελκτικής δύναµης, δύναµης, σε κάθε σηµείο απαιτείται η άσκηση δύναµης σε αυτή (1ος (1ος νόµος της κίνησης) κίνησης) Έργο σταθερής δύναµης ; Έργο µεταβλητής δύναµης ;

2 Παραδοσιακά η ικανότητα να παραχθεί έργο συνεπάγεται την παραγωγή ενέργειας Όλες οι δυνάµεις δεν παράγουν αναγκαστικά και έργο Σχέση ενέργειας και έργου ιατήρηση της ενέργειας Έργο = ύναµη x Μετατόπιση Έργο = ύναµη x Μετατόπιση SI µονάδα µέτρησης = Joule 1 J = 1 N m = 1 kg m2/s2 εν υπάρχει W = F cosθ x = Fx x Έργο = ύναµη x Μετατόπιση Μια δύναµη είναι συντηρητική όταν: Το έργο της δύναµης εξαρτάται µόνο από την τελική και αρχική θέση αντικειµένου πάνω στο οποίο δρα, είναι δηλ. ανεξάρτητο της διαδροµής που ακολουθεί το αντικείµενο κατά την κίνηση. Η βαρυτική έλξη της Γης στη Σελήνη πόσο έργο παράγει; µηδέν h Το συνολικό έργο που παράγει ή καταναλώνει µια συντηρητική δύναµη σε ένα αντικείµενο όταν αυτό διαγράψει µια κλειστή τροχιά (κλειστό βρόχο) είναι µηδέν. Α mg h h 1 Β Συντηρητικές δυνάµεις µαθηµατικός ορισµός Συντηρητικές δυνάµεις µαθηµατικός ορισµός Ένα πεδίο δυνάµεων F, που ορίζονται παντού 1.Η περιστροφή ή 2.Το έργο W που επιτελείται από τη δύναµη F όταν κινεί ένα σωµατίδιο κατά µήκος µιας πορείας που αρχίζει και τελειώνει στην ίδια θέση δίνεται από τη σχέση κλίση µιας βαθµωτής συνάρτησης δυναµικού δύναµη προέρχεται από το γεγονός ότι, όταν υπάρχει µια τέτοια δύναµη, αυτή εξοικονοµεί µηχανική ενέργεια. Κίνηση µάζας κινητική ενέργεια 3. Η δύναµη µπορεί να εκφραστεί ως η αρνητική στροβιλισµός πεδίου είναι µηδέν, culf = otf = xf = 0 Ο όρος συντηρητική Σύµφωνα µε τον 1ο και 2ο νόµο της κίνησης, η κίνηση µιας µοναδιαίας µάζας m (=1) περιγράφεται από τις σχέσεις F = Fx i + F j + Fz k d 2 F (t ) = m &&(t ) = m 2 dt (t ) = x(t ) i + (t ) j + z (t ) k & (t ) = x& (t ) i + & (t ) j + z& (t ) k = v (t ) = v B d ds στο χώρο (ή σε έναν απλά συνεκτικό όγκο χώρου), ονοµάζεται συντηρητικό πεδίο ή πεδίο συντηρητικών δυνάµεων, εφόσον πληροί κάποιον από ς τρεις ακόλουθους ισοδύναµους όρους: mg mg Συντηρητικές δυνάµεις εναλλακτικός ορισµός 2 π.χ., η βαρύτητα W = F cosθ x = Fx x Συντηρητικές δυνάµεις έργο εάν δεν υπάρχει συνιστώσα της δύναµης στην κατεύθυνση της µετατόπισης (t ) Η έννοια δυναµικού ψ A ) ( t o όπου, στη διανυσµατική µορφή νόµου, µε την ισότητα µεταξύ της ασκούµενης δύναµης και της επιτάχυνσης που προκαλεί εννοείται ισότητα των συνισταµένων ς.

3 Κίνηση µάζας κινητική ενέργεια Η κινητική ενέργεια της µάζας m, που κινείται µε ταχύτητα v 1 B 2 K( t) = mv d 2 ψ Συνάγεται εύκολα ότι F v = F & = ( m & ) & =... = 2 1 d( v ) F = F cosψ ds = F & = K& ( t) = Fs ds 2 dt (t) A (t o ) ds στοιχειώδες µήκος δρόµου που διανύθηκε από τη µάζα d Μεταβολή της διανυσµατικής ακτίνας (εφαπτόµενο διάνυσµα στο δρόµο που διανύεται) ds Κίνηση µάζας κινητική ενέργεια Ολοκληρώνοντας την προηγούµενη σχέση Μεταβολή της κινητικής ενέργειας της µάζας m, t o t F & = K& ( t) = = K( t) K( t B A t t o F & dt = K& ( t) dt = ) =... = o B A F v dt = B A F d (t) A (t o ) B d Έργο που παράχθηκε από τη δύναµη F µε τη δράση της στη µάζα m, t o t ψ ds Βασικοί συµβολισµοί S ιπλό ολοκλήρωµα σε υποσύνολο R 2 Τριπλό ολοκλήρωµα σε υποσύνολο R 3 Επικαµπύλιο ολοκλήρωµα πάνω σε µία προσανατολισµένη καµπύλη Θετικά προσανατολισµένη: Όταν η είναι κλειστή καµπύλη που περικλείει ένα χωρίο στον R 2, περπατώντας πάνω της το χωρίο της είναι στα αριστερά µας Επιφανειακό ολοκλήρωµα πάνω σε µία προσανατολισµένη επιφάνεια S Όταν η S είναι κλειστή επιφάνεια που περικλείει ένα 3D-χωρίο στον R 3 η θετική κατεύθυνση της είναι προς τα έξω, σε σχέση µε το χωρίο που περικλείει Βασικές έννοιες διανυσµατικού λογισµού Λογισµός: η µαθηµατική µελέτη της αλλαγής, κατά τον ίδιο τρόπο που η γεωµετρία είναι η µελέτη σχήµατος και η άλγεβρα είναι η µελέτη των πράξεων Λογισµός των απειροστών µεγεθών ή λογισµός των ορίων Λογισµός των παραγώγων (ή διαφορικός λογισµός), και λογισµός των ολοκληρωµάτων (ή ολοκληρωτικό λογισµός) Ο Νεύτωνας ανέπτυξε τη χρήση λογισµού σς νόµους της κίνησης και της βαρύτητας Βασικές έννοιες διανυσµατικού λογισµού Για να περιγραφούν οι ιδιότητες και χαρακτηριστικά γήινου δυναµικού της βαρύτητας απαιτείται προηγουµένως να εξετάσουµε µια σειρά από Θεµελιώδη θεωρήµατα απειροστικού λογισµού που ισχύουν σε διανυσµατικά πεδία, και ενώνουν τις δύο µορφές λογισµού τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό Βασικές έννοιες διανυσµατικού λογισµού Αναφέροντας στη συνέχεια τις µαθηµατικές διατυπώσεις και προεκτάσεις ς, στα θεωρήµατα Geen, Gauss, και και εξετάζοντας συγκεκριµένα τις διατυπώσεις και ερµηνεία ς, όπως αυτά χρησιµεύουν στη Φυσική Γεωδαισία Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού James Gego ( ) Isaac Baow ( ) Συνδέειτιςέννοιες παραγώγιση (διαφόριση) και ολοκλήρωση συναρτήσεων Ησύλληψηκαιηπρώτηαναφορά τοποθετείται χρονικά στο δεύτερο µισό 17ου αιώνα, στο έργο των Βρετανών µαθηµατικών James Gego ( ) και Isaac Baow ( ) Isaac Newton ( ) Gottfied Wilhelm Leibniz ( ) Η απόδειξη αποδίδεται στον Leibniz και τον Νεύτωνα που, παρουσιάζοντας σχετικές µε το θέµα έρευνες, περί το 1675, επινόησαν ανεξάρτητα το µαθηµατικό πεδίο απειροστικού λογισµού. Ο Leibniz πιστώνεται ότι ανέπτυξε ένα µεγάλο µέρος συµβολισµού που χρησιµοποιείται µέχρι και σήµερα Isaac Newton ( ) Gottfied Wilhelm Leibniz ( ) Από γεωµετρική σκοπιά, γενικά συσχετίζει ανοικτά γεωµετρικά αντικείµενα δηλ. (σηµεία, ανοικτές καµπύλες ή επιφάνειες, χωρικές περιοχές, ) µε τα αντίστοιχα σύνορά ς δηλ. (σηµεία, ζεύγη σηµείων, κλειστές καµπύλες, κλειστές επιφάνειες) σηµαντικές µαθηµατικές γενικεύσεις και φυσικές προεκτάσεις

4 Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Το 1ο Θεµελιώδες Απειροστικού Λογισµού αναφέρει ότι: Η αόριστη ολοκλήρωση της παραγώγου µιας συνάρτησης F(x), σε ένα σηµείο πεδίου ορισµού της, ισούται µε την ίδια την συνάρτηση F(x). Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Μια άµεση συνέπεια 1ου Θεµελιώδους Θεωρήµατος που έχει σπουδαία πρακτική αξία είναι ότι ισχύει η πρόταση (γνωστή και ως 2ο Θ.Θ.Α.Λ.): Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [a,b] και F(x) είναι συνεχής και F (x)= )=f(x) στο [a,b] 2ο Θ.Θ. Η ορισµένη ολοκλήρωση της παραγώγου µιας συνάρτησης F(x), σε ένα διάστηµα (a, b), ισούταιµετηνδιαφοράτωντιµώντης συνάρτησης F(x) στα άκρα διαστήµατος αυτού S: επίπεδη επιφάνεια Geen S: καµπύλη επιφάνεια V: τρισδιάστατο σώµα Gauss Το Θεµελιώδες θεώρηµα α.λ. έχει σηµαντικές µαθηµατικές γενικεύσεις και φυσικές προεκτάσεις. Gauss Geen Gauss Geen Gauss Geen al F. Gauss ( ) Geoge Geen ( ) Gabiel ( ) al F. Gauss ( ) Ίσως ο σηµαντικότερος Γερµανός µαθηµατικός όλων των εποχών Το έργο Θεωρία της κίνησης των ουρανίων σωµάτων που κινούνται σε κωνικές τοµές περί τον Ήλιο περιείχε µια πραγµάτευση της Μεθόδου των Ελάχιστων Τετραγώνων, που χρησιµοποιείται για να ελαχιστοποιήσει την επίδραση των σφαλµάτων στις µετρήσεις Geoge Geen ( ) Ο πρώτος που επιχείρησε να διατυπώσει µια µαθηµατική θεωρία για τον Ηλεκτρισµό και τον Μαγνητισµό ιατύπωσε το φερώνυµο θεώρηµα στο έργο An Essa on the Application of Mathematical Analsis to the Theoies of Electicit and Magnetism το Gauss Geen Οι έρευνες έθεσαν την επιστήµη της ρευστοδυναµικής σε νέα βάση, ενώ είχε σηµαντική συνεισφορά στην κυµατική θεωρία φωτός Στη διαφορική γεωµετρία, το φερώνυµο θεώρηµα απλουστεύει και γενικεύει πολλά θεωρήµατα διανυσµατικού λογισµού Gabiel ( ) Geen Τοθεώρηµα Geen αποτελείµια επέκταση θεµελιώδους θεωρήµατος απειροστικού λογισµού. Αυτόσυσχετίζειµίαεπίπεδη "ανοικτήεπιφάνεια" µε το σύνορό της. Ο εφαρµοζόµενος τελεστής σε αυτήνείναιτοδιπλόεπιφανειακόολοκλήρωµα. Υπενθυµίζεται ότι το σύνορο µίας επίπεδης "ανοικτής επιφάνειας" είναι µία επίπεδη "κλειστή καµπύλη". Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επικαµπύλιο Ολοκλήρωµα. Geen Απλά συνεκτική περιοχή (simpl connected domain) F d = 0 Μια περιοχή στις επιφάνειες τρισδιάστα ευκλείδειου χώρου αν κάθε κλειστή καµπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή µπορεί να «συρρικνωθεί», παραµένοντας πάνω στην επιφάνεια, σε ένα µόνο σηµείο.

5 Geen Απλά συνεκτική περιοχή (simpl connected domain) F d = 0 Μη συνεκτικές περιοχές µε οπές διπλό χωρίο An Essa on the Application of Mathematical Analsis to the Theoies of Electicit and Magnetism ιατυπώθηκε το 1828 σε ένα δοκίµιο περί των Θεωριών Ηλεκτρισµού και Μαγνητισµού Geen Απλά συνεκτική περιοχή (simpl connected domain) F d = 0 Ένα συντηρητικό πεδίο µπορεί να αναγνωριστεί αν για κάθε απλή κλειστή καµπύλη σε αυτό ισχύει το εικονιζόµενο επικαµπύλιο ολοκλήρωµα οποίου η τιµή είναι µηδέν. Geen Απλά συνεκτική περιοχή (simpl connected domain) F d = 0 Ωστόσο υπάρχουν άπειρες τέτοιες απλές κλειστές καµπύλες και είναι αδύνατο να ελεγχθούν όλες. Γιααυτότολόγο, αυτήηιδιότηταδενµπορεί να χρησιµοποιηθεί ως κριτήριο για να αναγνωριστεί ένα βαθµωτό/συντηρητικό πεδίο. Geen Στα µαθηµατικά, δίνει τη σχέση µεταξύ ενός γραµµικού ολοκληρώµατος γύρω από µια απλή κλειστή καµπύλη (που συχνά συµβολίζεται και ως D) στο επίπεδο, µε θετικό προσανατολισµό και ενός διπλού ολοκληρώµατος πάνω στην επιφάνεια D που οριοθετείται από την χ Συχνά αντί D χρησιµοποιούνται οι συµβολισµοί R ή S, από ς αγγλικούς όρους egion ή suface Διανυσµατικό πεδίο Geen χ Τα βέλη στην κλειστή καµπύλη υποδηλώνουν το θετικό προσανατολισµό της καµπύλης δηλ., εάν βαδίσουµε κατά µήκος της καµπύλης στη συγκεκριµένη φορά, η περιοχή D θα ευρίσκεται αριστερά µας Με διανυσµατικές συνιστώσες Μ, και Ν στο επίπεδο x Διανυσµατικό πεδίο Geen Οι συναρτήσεις M, N είναι συνεχείς συναρτήσεις των x και και έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους στην περιοχή D χ Με διανυσµατικές συνιστώσες Μ, και Ν στο επίπεδο x Διανυσµατικό πεδίο Οµαλή κλειστή καµπύλη Επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Geen Geen παρότι το θεώρηµα Geen διατυπώθηκε για απλά συνεκτικές περιοχές, η ισχύς µπορεί να αποδειχθεί και για περιοχές µε οπές αν και αυτό απαιτεί γνώσεις τοπολογίας και βαθύτερης έρευνας των ιδιοτήτων γεωµετρικών σχηµάτων Geen παρότι το θεώρηµα Geen διατυπώθηκε για απλά συνεκτικές περιοχές, η ισχύς µπορεί να αποδειχθεί και για περιοχές µε οπές αν και αυτό απαιτεί γνώσεις τοπολογίας και βαθύτερης έρευνας των ιδιοτήτων γεωµετρικών σχηµάτων Συσχετίζειµίαεπίπεδη ανοικτήεπιφάνεια" D (τοντόπο (περιοχή) επιπέδου x) µετoσύνορότης (µιααπλήκλειστήκαµπύλη ) που είναι µία επίπεδη "κλειστή καµπύλη". Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επικαµπύλιο Ολοκλήρωµα.

6 Geen διανυσµατική µορφή D D D Υπενθυµίζεται ότι η ροή, cul F, ενός διανυσµατικού πεδίου F δίνεται από τη σχέση 0 0 N M N M F cul F iˆ ˆ = = + j + kˆ z z x x και στο επίπεδο x, ( xf) k = culf k = δεξιόµέροςθεωρήµατος Geen στοιχειώδες εµβαδόν Geen ανακεφαλαιώνοντας Geen ανακεφαλαιώνοντας Geen ανακεφαλαιώνοντας χ Συνδέει Μια κλειστή περιοχή D επιπέδου x που οριοθετείται από είναι µια θετικά προσανατολισµένη, τµηµατικά οµαλή, απλή κλειστή καµπύλη,... χ... µε συναρτήσεις Μ(x,), Ν(x,) τις συνιστώσες συνάρτησης F µε πεδίο τιµών στο επίπεδο x- που ορίζονται σε µια ανοικτή περιοχή που περιέχει την περιοχή D, είναι συνεχείς στα x και και έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους εκεί Πρακτικά που χρησιµεύει? 1. ότανέχουµεναυπολογίσουµεένα (επικαµπύλιο) ολοκλήρωµα που περιέχει δύο συναρτήσεις που περιγράφουν µια περίεργη ή σχετικά πολύπλοκη καµπύλη να το µετασχηµατίσουµε σε ένα επιφανειακό ολοκλήρωµα µε την ελπίδα ότι η διαφορά ( Ν/ x) - ( M/ ) θα µπορούσε πάρει µια απλουστευµένη µορφή ή ακόµα και να µηδενιστεί Geen ανακεφαλαιώνοντας Πρακτικά που χρησιµεύει? 2.όταν έχουµε µια µη συνεκτική περιοχή, π.χ. µε ανοίγµατα ή οπές ή άλλες πολύπλοκες µορφές, της οποίας π.χ. ζητείται το εµβαδόν να αναγάγουµε ς υπολογισµούς σε ένα απλούστερο επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Geen εφαρµογές Η εφαρµογή θεωρήµατος Geen γενικά διευκολύνει τον υπολογισµό διαφόρων ολοκληρωµατικών τύπων στη Φυσική Γεωδαισία π.χ. συµβολικές γλώσσες υπολογισµού, όπως η Maple, η Mathematica, παρέχουν και κατάλληλα αριθµητικά εργαλεία A MATLAB ompanion fo Multivaiable alculus Geen εφαρµογές Μια πιο γνώριµη τοπογραφική εφαρµογή Μέτρηση εµβαδών, π.χ. από χάρτη, εικόνα,

7 Geen εφαρµογές Εµβαδόµετρα - αρχή λειργίας Η µέτρηση εµβαδών Το θεώρηµα µε εµβαδόµετρα αποτελεί µια υπολογιστική διαδικασία γνωστή από το 19ο αι. Τα εµβαδόµετρα ή επιπεδόµετρα είναι µηχανικές συσκευές που επιτρέπουν τον υπολογισµό της έκτασης κλειστών περιοχών στο επίπεδο Geen είναι ο κλασικός τρόπος για να εξηγηθεί η λειργία ς Η πρώτη τέτοια εξήγηση δόθηκε από τον Ιταλό Guido Ascoli το 1947 Geen µέτρηση εµβαδών Geen µέτρηση εµβαδών EE == DD de de == DD dxd dxd Geen µέτρηση εµβαδών Geen µέτρηση εµβαδών Η διαδικασία µέτρησης Το θεώρηµα Geen περιγράφει τον τρόπο µε τον οποίο κινείται ο τροχός στο κινούµενο άκρο των βραχιόνων ενός εµβαδόµετρου F (x,) (a,b) Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το εµβαδόµετρο καθορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο στο οποίο το διάνυσµα που προσαρτάται σε κάποιο σηµείο δίνει την κατεύθυνση στην οποία κυλάει ο τροχός όταν η ακίδα εµβαδόµετρου διέρχεται πάνω το σηµείο. καταγράφει τον αριθµό των περιστροφών που έχει ολοκληρώσει ο τροχός. Geen µέτρηση εµβαδών Η διαδικασία µέτρησης καθορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο στο οποίο το διάνυσµα που προσαρτάται σε κάποιο σηµείο δίνει την κατεύθυνση στην οποία κυλάει ο τροχός όταν η ακίδα εµβαδόµετρου διέρχεται πάνω το σηµείο. Geen µέτρηση εµβαδών F Geen µέτρηση εµβαδών (x,) dε Το εµβαδόν της κλειστής περιοχής D είναι E = D de = D dxd αρκεί να επιλέξουµε κατάλληλα τις συναρτήσεις F1 και F2 (a,b)

8 Geen µέτρηση εµβαδών Τέτοιες επιλογές είναι π.χ. να θέσουµε F 1 (x,)=-, F 2 (x,)=x, F 2 / x=1, και F 1 / =-1 η σχέση θεωρήµατος γίνεται dx + xd = 2 dx d D 2 x εµβαδόν της περιοχής D ή F 1 (x,)=0, F 2 (x,)=x, E = D xd ή F 1 (x,)=-, F 2 (x,)=0, E = - D dx Προσοχή στα όρια της ολοκλήρωσης!! Οι υπολογισµοί θα πρέπει να γίνουν αντίστοιχα για το δεξιό, το αριστερό (αριστερόστροφα) και το µεσαίο (δεξιόστροφο) τµήµα της καµπύλης Συµβατικός τρόπος υπολογισµού: παραµετροποίηση των καµπυλών 1 και 2, και ολοκλήρωση Ευκολότερος τρόπος υπολογισµού: Με τη χρήση θεωρήµατος Geen

9 Gauss Εννοιολογικά είναι µια περαιτέρω επέκταση θεµελιώδους θεωρήµατος απειροστικού λογισµού. Αυτό συσχετίζει µία "χωρική περιοχή" τρισδιάστα χώρου µε το σύνορό της. Το πεδίο ολοκλήρωσης είναι ένα χωρίο 3- D χώρου. Ο εφαρµοζόµενος τελεστής σε αυτήν είναι το τριπλό ολοκλήρωµα όγκου. εδοµένου ότι, το σύνορο µίας "χωρικής περιοχής" είναι µία κλειστή επιφάνεια Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επιφανειακό Ολοκλήρωµα. Gauss Αν S είναι µια κλειστή επιφάνεια, που περικλείει τον όγκο V, n το µοναδιαίο κάθετο προς τα έξω διάνυσµα και ds = n ds, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα Gauss (x,,z) Για κάθε διανυσµατικό πεδίο δυνάµεων F (π.χ. το πεδίο βαρύτητας ή το πεδίο ταχυτήτων ασυµπίεσ ρευστού) στον χώρο µέσα και έξω από την επιφάνεια S ισχύει Gauss Gauss Gauss Αποκαλείται και θεώρηµα της απόκλισης (x,,z) Αν F παριστάνει ένα πεδίο βαρύτητας που προκύπτει από µια µονόµετρη συνάρτηση δυναµικού V τότε µπορεί να δειχθεί ότι Επιπλέον για τη συνιστώσα της F σε διεύθυνση κάθετο στην επιφάνεια S ισχύει F n = V/ n = F n και µετά από τις αντίστοιχες αντικαταστάσεις στη σχέση θεωρήµατος Gauss (x,,z) Προκύπτει ο ολοκληρωµατικός τύπος Gauss για το δυναµικό το δεξιό σκέλος εκφράζει τη βαρυτηµετρική ροή (=το ποσό της ροής βαρυτικών δυνάµεων που διέρχεται από την επιφάνεια S) Gauss ανακεφαλαιώνοντας Αυτό συσχετίζει µία "χωρική περιοχή" τρισδιάστα χώρου µε το σύνορό της. Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε κυρτό χώρο που µπορεί να υποδιαιρεθεί σε πεπερασµένο αριθµό κυρτών κανονικών περιοχών. Αν αντικατασταθεί η διανυσµατική συνάρτηση F µε το γινόµενο f ( h) κατάλληλων βαθµωτών συναρτήσεων f και h, µε συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ταυτότητες Geen που είναι χρήσιµες στην επίλυση συνοριακών προβληµάτων στη Φυσική Γεωδαισία Θ. Gauss Ταυτότητες Geen 1η ταυτότητα 2η ταυτότητα 3η ταυτότητα Gauss Αν S είναι µια κλειστή επιφάνεια, που περικλείει τον όγκο V, n το µοναδιαίο κάθετο προς τα έξω διάνυσµα και ds = n ds, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα Gauss n ds 3 S = 0 2π 4π Στο εξωτερικό της S Επάνω στην S Στο εσωτερικό της S (x,,z)

10 Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα

11 Εννοιολογικά είναι µια περαιτέρω σηµαντική επέκταση θεµελιώδους θεωρήµατος απειροστικού λογισµού. Συσχετίζει µια οποιαδήποτε ανοικτή (π.χ. δύο όψεων) επιφάνεια τρισδιάστα χώρου µε το σύνορό της. Τοπεδίοολοκλήρωσηςείναιέναχωρίο 3-D χώρου. Ο εφαρµοζόµενος τελεστής σε αυτήν είναι το διπλό επιφανειακό ολοκλήρωµα. εδοµένου ότι, το σύνορο µίας «επίπεδης ανοικτής επιφάνειας" είναι µία τρισδιάστατη κλειστή καµπύλη Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι επίσης το κλειστό Επιφανειακό Ολοκλήρωµα. F : διανυσµατικό πεδίο στην περιοχή που περιέχει την επιφάνεια S µε σύνορο την κλειστή καµπύλη που διαγράφεται κατά τη θετική φορά Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της εφαπτοµενικής συνιστώσας της F, σε καµπύλη ισούται µε το επιφανειακό ολοκλήρωµα της κάθετης συνιστώσας διανύσµατος στροβιλισµού πάνω στην επιφάνεια S Το θεώρηµα της απόκλισης Gauss είναι µια απλούστευση θεωρήµατος Επιλογές για ποια επιφάνεια S? Επιλογές για ποια επιφάνεια S?

12 Απόδειξη της ισοδυναµίας των µαθηµατικών ορισµών συντηρητικού πεδίων 1 2: Έστω είναι κάθε απλή κλειστή διαδροµή (δηλαδή, µια πορεία που αρχίζει και τελειώνει στο ίδιο σηµείο και δεν έχει διασταυρώσεις), και επιπλέον µια επιφάνεια S της οποίας η καµπύλη είναι το όριο ( Σ). Ανατρέχοντας, στο θεώρηµα που αναφέρει ότι στροβιλισµός πεδίου d ( F ) da = F d συνάγεται αµέσως ότι εάν culf = x F (ο στροβιλισµός πεδίου) είναι µηδέν, η αριστερή πλευρά της σχέσης είναι µηδέν Συνεπώς, ο ορισµός #2 αληθεύει. ανακεφαλαιώνοντας Είναι το ανάλογο θεωρήµατος Geen, αλλά για καµπύλες R 3. Το θεώρηµα της απόκλισης Gauss είναι µια απλούστευση θεωρήµατος Η φυσική ερµηνεία είναι ότι η κυκλοφορία ενός πεδίου F κατά µήκος απλής κλειστής, τµηµατικά λείας και θετικά προσανατολισµένης καµπύλης ισούται µε τη ροή της κυκλοφορίας πεδίου που διέρχεται µέσω επιφάνειας S που έχει ως σύνορο την καµπύλη. Την επόµενη φορά Μάζες Ελκτικές δυνάµεις Γήινο δυναµικό Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Το ορισµένο ολοκλήρωµα της παραγώγου µιας συνάρτησης, σε ένα διάστηµα (a, b) 1ο Θ.Θ. 2ο Θ.Θ. Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [a,b] και F(x) είναι συνεχής και F (x)= )=f(x) στο [a,b]