Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής του πεδίου βαρύτητας. βαρύτητας

Transcript

1 Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής πεδίου βαρύτητας Γενικά στη Φυσική, χρησιµοποιούµε τα διανύσµατα διότι µε τον τρόπο αυτό οι φυσικοί νόµοι παίρνουν µια µορφή ανεξάρτητη από και ισχύουν ανεξαρτήτως από την επιλογή συστήµατος αναφοράς. π.χ., Οι νόµοι Νεύτωνα θα ισχύουν ακόµα και αν το σύστηµα αναφοράς περιστραφεί σε σχέση µε την αρχή 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος Ο νόµος της παγκόσµιας έλξης της βαρύτητας είναι ένα τυπικό τέτοιο παράδειγµα (όπως είναι και οι νόµοι της κίνησης) Ωστόσο η περιγραφή πεδίου των ελκτικών βαρυτικών δυνάµεων µε διανύσµατα σε κάθε σηµείο χώρου είναι µια σηµαντικά πολύπλοκη υπολογιστική διαδικασία Προηγούµενα είδαµε ότι Για τον υπολογισµό γήινου πεδίου βαρύτητας απαιτείται η γνώση των x διανυσµατικών συνιστωσών Fx, Fx, Fy, Fy, Fz της βαρυτικής ελκτικής δύναµης z r Προηγούµενα είδαµε ότι m(x,y,z ) z r dmi(x,y,z) dmi(x,y,z) x Fnet = df = G m σ µα i ώ Αν αντί της διανυσµατικής συνάρτησης µε την οποία dfi L y r Οι υπολογισµοί στο πεδίο των ελκτικών δυνάµεων της βαρύτητας απλουστεύονται βρίσκεται ένας παρατηρητής και προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και αν κοιτάζει θα διακρίνει τα ίδια γενικά χαρακτηριστικά. y r Οι υπολογισµοί στο πεδίο των ελκτικών δυνάµεων της βαρύτητας απλουστεύονται δηλαδή σε οποιαδήποτε θέση και να r d F i L Μια σηµαντική διευκόλυνση διανυσµατική µορφή αποτυπώνουν τη βασική παραδοχή ότι το σύµπαν είναι ισοτροπικό δηλαδή δεν υπάρχει κάποια επιλεγµένη ή προτιµητέα διεύθυνση. m(x,y,z ) Μια σηµαντική διευκόλυνση παριστάνεται η εκάστοτε δύναµη έλξης σε κάθε µάζα ύλης (σωµατίδιο, αντικείµενο ή εκτεταµένο σώµα), Τρεις συνιστώσες της ελκτικής δύναµης, δύναµης, σε κάθε σηµείο Να χρησιµοποιηθεί µια κατάλληλη βαθµωτή συνάρτηση δυναµικού που να περιγράφει το πεδίο, εξ ίσου ακριβώς σε κάθε σηµείο στο χώρο Ένας πραγµατικός αριθµός, αριθµός, σε κάθε σηµείο Οι νόµοι της φύσης όταν εκφράζονται σε uniform with respect to viewing angle Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής πεδίου βαρύτητας Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής πεδίου βαρύτητας V ρ dv L3 L = G m V dm L L3 Η έννοια δυναµικού Η έννοια δυναµικού σχετίζεται µε το έργο που παράγεται ή καταναλώνεται από την κίνηση µιας µάζας Για την κίνηση µιας µάζας Ένας πραγµατικός αριθµός, αριθµός, σε κάθε σηµείο Αντί για τις τρεις συνιστώσες της ελκτικής δύναµης, δύναµης, σε κάθε σηµείο απαιτείται η άσκηση δύναµης σε αυτή (1ος (1ος νόµος της κίνησης) κίνησης) Έργο σταθερής δύναµης ; Έργο µεταβλητής δύναµης ;

2 Η έννοια δυναµικού Παραδοσιακά η ικανότητα να παραχθεί έργο συνεπάγεται την παραγωγή ενέργειας Όλες οι δυνάµεις δεν παράγουν αναγκαστικά και έργο Σχέση ενέργειας και έργου: (W+,KE ), (W-,KE ) ιατήρηση της ενέργειας Έργο = ύναµη x Μετατόπιση SI µονάδα µέτρησης = Joule 1 J = 1 N m = 1 kg m /s Έργο = ύναµη x Μετατόπιση W = F cosθ x = F x x εν υπάρχει έργο εάν δεν υπάρχει συνιστώσα της δύναµης στην κατεύθυνση της µετατόπισης Έργο = ύναµη x Μετατόπιση Συντηρητικές δυνάµεις Συντηρητικές δυνάµεις W = F cosθ x = F x x Η βαρυτική έλξη της Γης στη Σελήνη πόσο έργο παράγει; µηδέν Οι δυνάµεις µπορούν να χωριστούν: σε διατηρητικές (ή συντηρητικές) και µηδιατηρητικές. Τυπικό παράδειγµα διατηρητικών δυνάµεων είναι η βαρύτητα και η ηλεκτροµαγνητική δύναµη Παράδειγµα µη διατηρητικής δύναµης είναι η τριβή και η αντίσταση αέρα. Μια δύναµη είναι συντηρητική όταν: Το έργο της δύναµης εξαρτάται µόνο από την τελική και αρχική θέση αντικειµένου πάνω στο οποίο δρα, είναι δηλ. ανεξάρτητο της διαδροµής που ακολουθεί το αντικείµενο κατά την κίνηση. h mg h mg π.χ.,., η βαρύτητα h mg Συντηρητικές δυνάµεις εναλλακτικός ορισµός Το συνολικό έργο που παράγει ή καταναλώνει µια συντηρητική δύναµη σε ένα αντικείµενο όταν αυτό διαγράψει µια κλειστή τροχιά (κλειστό βρόχο) είναι µηδέν. 1 Α Β Ο όρος συντηρητική δύναµη προέρχεται από το γεγονός ότι, όταν υπάρχει µια τέτοια δύναµη, αυτή εξοικονοµεί (διατηρεί) µηχανική ενέργεια. Συντηρητικές δυνάµεις µαθηµατικός ορισµός Βαθµωτά (ή βαθµιδωτά ή σκαλινά) πεδία (gradient fields) είναι ιδιαίτερα σηµαντικά σε διάφορες εφαρµογές στη Φυσική επειδή δρουν σε σώµατα, χωρίς να καταναλώνουν ενέργεια. Με άλλα λόγια, µπορούν και διατηρούν τη συνολική ενέργειας ενός συστήµατος. Για το λόγο αυτό, λέµε ότι τέτοια (συνεχή) βαθµωτά πεδία προέρχονται συντηρητικά διανυσµατικά πεδία. Συντηρητικές δυνάµεις µαθηµατικός ορισµός Ένα πεδίο δυνάµεων F, που ορίζονται παντού στο χώρο (ή σε έναν απλά συνεκτικό όγκο χώρου), ονοµάζεται συντηρητικό πεδίο ή πεδίο συντηρητικών δυνάµεων, εφόσον πληροί κάποιον από ς τρεις ακόλουθους ισοδύναµους όρους: 1.Η περιστροφή ή στροβιλισµός πεδίου είναι µηδέν, curlf = rotf = xf = 0

3 Συντηρητικές δυνάµεις µαθηµατικός ορισµός.το έργο W που επιτελείται από τη δύναµη F όταν αυτή κινεί ένα σωµατίδιο κατά µήκος µιας πορείας που αρχίζει και τελειώνει στην ίδια θέση δίνεται από τη σχέση 3. Η δύναµη F µπορεί να εκφραστεί ως η αρνητική κλίση µιας βαθµωτής συνάρτησης δυναµικού V Κίνηση µάζας κινητική ενέργεια Έστω ότι η εικονιζόµενη καµπύλη στο χώρο R 3, αναπαριστά τη διαδροµή που B dr διανύει, συναρτήσει χρόνου, µια µάζα κινούµενη ψ από ένα σηµείο Α, µε διάνυσµα θέσης r(t o ), σε ένα άλλο σηµείο Β, ds r( A r(t o ) µε διάνυσµα θέσης r(, εντός ενός πεδίου δυνάµεων στο οποίο η εκάστοτε ασκούµενη δύναµη F είναι συνεχής συνάρτηση της θέσης σηµείου ενδιαφέροντος Η διανυσµατική µορφή ου νόµου της κίνησης για να έχει έννοια απαιτεί ότι οι συνισταµένες της δύναµης και της επιτάχυνσης µετασχηµατίζονται µε τον ίδιο τρόπο όταν οι καρτεσιανοί άξονες στραφούν αλλιώτικα δεν θα ισχύει ο ίδιος νόµος σε όλα τα συστήµατα αναφοράς ανεξαρτήτως από την κατεύθυνση ς στο χώρο. r( A ψ ds r(t o ) B dr Σύµφωνα µε τον 1ο και ο νόµο της κίνησης, η κίνηση µιας µοναδιαίας µάζας m (=1) περιγράφεται από τις σχέσεις B F = F iˆ + F ˆj + F kˆ dr x y d r F ( = m( dt r( = x( iˆ + y( ˆj + z( kˆ z r( A r(t o ) d r( = vx ( iˆ + vy ( ˆj + vz ( kˆ = v( = v dt όπου, στη διανυσµατική µορφή νόµου, µε την ισότητα µεταξύ της ασκούµενης δύναµης και της επιτάχυνσης που προκαλεί εννοείται ισότητα των συνισταµένων ς. ψ ds Κίνηση µάζας κινητική ενέργεια Η κινητική ενέργεια της µάζας m, που κινείται µε ταχύτητα v 1 B K ( = mv dr ψ Συνάγεται εύκολα ότι r( A r(t o ) ds στοιχειώδες µήκος δρόµου που διανύθηκε από τη µάζα dr Μεταβολή της διανυσµατικής ακτίνας r (εφαπτόµενο διάνυσµα στο δρόµο που διανύεται) ds Κίνηση µάζας κινητική ενέργεια Βασικές έννοιες διανυσµατικού λογισµού Λογισµός: η µαθηµατική µελέτη της αλλαγής, κατά τον ίδιο τρόπο που η γεωµετρία είναι η µελέτη σχήµατος και η άλγεβρα είναι η µελέτη των πράξεων Λογισµός των απειροστών µεγεθών ή λογισµός των ορίων Λογισµός των παραγώγων (ή διαφορικός λογισµός), και λογισµός των ολοκληρωµάτων (ή ολοκληρωτικό λογισµός) Ο Νεύτωνας ανέπτυξε τη χρήση λογισµού σς νόµους της κίνησης και της βαρύτητας Βασικές έννοιες διανυσµατικού λογισµού Για να περιγραφούν οι ιδιότητες και χαρακτηριστικά γήινου δυναµικού της βαρύτητας απαιτείται προηγουµένως να εξετάσουµε µια σειρά από Θεµελιώδη θεωρήµατα απειροστικού λογισµού που ισχύουν σε διανυσµατικά πεδία, και ενώνουν τις δύο µορφές λογισµού τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό Βασικοί συµβολισµοί S ιπλόολοκλήρωµασευποσύνολο R Τριπλόολοκλήρωµασευποσύνολο R 3 Επικαµπύλιο ολοκλήρωµα πάνω σε µία προσανατολισµένη καµπύλη Θετικά προσανατολισµένη: Όταν η είναι κλειστή καµπύλη που περικλείει ένα χωρίο στον R, περπατώντας πάνω της το χωρίο της είναι στα αριστερά µας Επιφανειακό ολοκλήρωµα πάνω σε µία προσανατολισµένη επιφάνεια S Όταν η S είναι κλειστή επιφάνεια που περικλείει ένα 3D-χωρίο στον R 3 η θετική κατεύθυνση της είναι προς τα έξω, σε σχέση µε το χωρίο που περικλείει

4 Βασικές έννοιες διανυσµατικού λογισµού Αναφέροντας στη συνέχεια τις µαθηµατικές διατυπώσεις και προεκτάσεις ς, στα θεωρήµατα Green, Gauss, και και εξετάζοντας συγκεκριµένα τις διατυπώσεις και ερµηνεία ς, όπως αυτά χρησιµεύουν στη Φυσική Γεωδαισία Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού James Gregory ( ) Isaac Barrow ( ) Πρόκειται ουσιαστικά για δύο βασικά θεωρήµατα που συνδέουν τις έννοιες της διαφόρισης (παραγώγισης) και της ολοκλήρωσης συναρτήσεων Η σύλληψη και η πρώτη αναφορά τοποθετείται χρονικά στο δεύτερο µισό 17ου αιώνα, στο έργο των Βρετανών µαθηµατικών James Gregory ( ) και Isaac Barrow ( ) Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Isaac Newton ( ) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Η απόδειξη αποδίδεται στον Leibniz και τον Νεύτωνα οι οποίοι, παρουσιάζοντας σχετικές µε το θέµα έρευνες, περί το 1675, επινόησαν ανεξάρτητα το µαθηµατικό πεδίο απειροστικού λογισµού. Ο Leibniz πιστώνεται ότι ανέπτυξε ένα µεγάλο µέρος συµβολισµού που χρησιµοποιείται µέχρι και σήµερα Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Isaac Newton ( ) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Από γεωµετρική σκοπιά, γενικά συσχετίζει ανοικτά γεωµετρικά αντικείµενα δηλ. (σηµεία, ανοικτές καµπύλες ή επιφάνειες, χωρικές περιοχές, ) µε τα αντίστοιχα σύνορά ς δηλ. (σηµεία, ζεύγη σηµείων, κλειστές καµπύλες, κλειστές επιφάνειες) σηµαντικές µαθηµατικές γενικεύσεις και φυσικές προεκτάσεις Θεµελιώδες θεώρηµα απειροστικού λογισµού Το1ο Θεµελιώδες Απειροστικού Λογισµού αναφέρει ότι: Η αόριστη ολοκλήρωση της παραγώγου f(x) µιας συνάρτησης F(x), σε ένα σηµείο πεδίου ορισµού της, ισούται µε την ίδια την συνάρτηση F(x). Μια άµεση συνέπεια 1ου Θεµελιώδους Θεωρήµατος που έχει σπουδαία πρακτική αξία είναι ότι ισχύει η πρόταση (γνωστή και ως ο Θ.Θ.Α.Λ.): ο Θ.Θ. Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [a,b] και F(x) είναι συνεχής και F (x)= )=f(x) στο [a,b] Η ορισµένη ολοκλήρωση της παραγώγου µιας συνάρτησης F(x), σε ένα διάστηµα (a, b), ισούται µε την διαφορά των τιµών της συνάρτησης F(x) στα άκρα διαστήµατος αυτού S: επίπεδη επιφάνεια Green S: καµπύλη επιφάνεια V: τρισδιάστατο σώµα Gauss Το Θεµελιώδες θεώρηµα α.λ. έχει σηµαντικές µαθηµατικές γενικεύσεις και φυσικές προεκτάσεις. arl F. Gauss ( ) Gauss Green George Green ( ) Gabriel ( ) arl F. Gauss ( ) Gauss Green Ίσως ο σηµαντικότερος Γερµανός µαθηµατικός όλων των εποχών Το έργο Θεωρία της κίνησης των ουρανίων σωµάτων που κινούνται σε κωνικές τοµές περί τον Ήλιο περιείχε µια πραγµάτευση της Μεθόδου των Ελάχιστων Τετραγώνων, που χρησιµοποιείται για να ελαχιστοποιήσει την επίδραση των σφαλµάτων στις µετρήσεις

5 George Green ( ) Gauss Green Ο πρώτος που επιχείρησε να διατυπώσει µια µαθηµατική θεωρία για τον Ηλεκτρισµό και τον Μαγνητισµό ιατύπωσε το φερώνυµο θεώρηµα στο έργο An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism το 188. Gauss Green Οι έρευνες έθεσαν την επιστήµη της ρευστοδυναµικής σε νέα βάση, ενώ είχε σηµαντική συνεισφορά στην κυµατική θεωρία φωτός Στη διαφορική γεωµετρία, το φερώνυµο θεώρηµα απλουστεύει και γενικεύει πολλά θεωρήµατα διανυσµατικού λογισµού Gabriel ( ) Green Το θεώρηµα Green αποτελεί µια επέκταση θεµελιώδους θεωρήµατος απειροστικού λογισµού. Αυτό συσχετίζει µια επίπεδη "ανοικτή επιφάνεια" µε το σύνορό της. Ο εφαρµοζόµενος τελεστής σε αυτήνείναιτοδιπλόεπιφανειακόολοκλήρωµα. Υπενθυµίζεται ότι το σύνορο µίας επίπεδης "ανοικτής επιφάνειας" είναι µία επίπεδη "κλειστή καµπύλη". Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επικαµπύλιο Ολοκλήρωµα. Green Απλά συνεκτική περιοχή (simply connected domain) Μια περιοχή στις επιφάνειες τρισδιάστα ευκλείδειου χώρου F dr = 0 αν κάθε κλειστή καµπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή µπορεί να «συρρικνωθεί», παραµένοντας πάνω στην επιφάνεια, σε ένα µόνο σηµείο. π.χ., µια σφαίρα, επειδή κάθε βρόχος (στην επιφάνεια της) µπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σηµείο Green Απλά συνεκτική περιοχή (simply connected domain) F dr = 0 Μη συνεκτικές περιοχές µε οπές διπλό χωρίο An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism ιατυπώθηκε το 188 σε ένα δοκίµιο περί των Θεωριών Ηλεκτρισµού και Μαγνητισµού Ένα συντηρητικό (βαθµωτό ή σκαλινό) πεδίο µπορεί να αναγνωριστεί αν για κάθε απλή κλειστή καµπύλη σε αυτό ισχύει το εικονιζόµενο επικαµπύλιο ολοκλήρωµα οποίου η τιµή είναι µηδέν Ωστόσο υπάρχουν άπειρες τέτοιες απλές κλειστές καµπύλες και είναι αδύνατο να ελεγχθούν όλες Για αυτό το λόγο, αυτή η ιδιότητα δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως κριτήριο για να αναγνωριστεί ένα συντηρητικό πεδίο F dr = 0 Στα µαθηµατικά, το Green δίνει τη σχέση µεταξύ ενός γραµµικού ολοκληρώµατος γύρω από µια απλή κλειστή καµπύλη (που συχνά συµβολίζεται και ως D) στο επίπεδο, µε θετικό προσανατολισµό και ενός διπλού ολοκληρώµατος πάνω στην επιφάνεια D που οριοθετείται από την y χ Συχνά αντί D χρησιµοποιούνται οι συµβολισµοί R ή S, από ς αγγλικούς όρους region ή surface y Διανυσµατικό πεδίο χ Ταβέληστηνκλειστή καµπύλη υποδηλώνουν το θετικό προσανατολισµό της καµπύλης δηλ., εάν βαδίσουµε κατά µήκος της καµπύλης στη συγκεκριµένη φορά, ηπεριοχή Dθα ευρίσκεται αριστερά µας Με διανυσµατικές συνιστώσες Μ, και Ν στο επίπεδο xy, σε µια περιοχή που περιέχει την επιφάνεια D και έχουν συνεχείς παραγώγους εκεί Διανυσµατικό πεδίο Οµαλή κλειστή καµπύλη Επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Green Συσχετίζειµίαεπίπεδη ανοικτήεπιφάνεια" D (τοντόπο (περιοχή) επιπέδου xy) µε τo σύνορό της (µια απλή κλειστή καµπύλη ) που είναι µια επίπεδη "κλειστή καµπύλη". Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επικαµπύλιο Ολοκλήρωµα.

6 Παρότι το Green διατυπώθηκε για απλά συνεκτικές περιοχές, η ισχύς µπορεί να αποδειχθεί καιγιαπεριοχέςµε οπές αν και αυτό απαιτεί γνώσεις τοπολογίας και βαθύτερης έρευνας των ιδιοτήτων γεωµετρικών σχηµάτων Green παρότι το θεώρηµα Green διατυπώθηκε για απλά συνεκτικές περιοχές, η ισχύς µπορεί να αποδειχθεί και για περιοχές µε οπές αν και αυτό απαιτεί γνώσεις τοπολογίας και βαθύτερης έρευνας των ιδιοτήτων γεωµετρικών σχηµάτων Green διανυσµατική µορφή Υπενθυµίζεται D D D ότι ο στροβιλισµός, curl F, ενός διανυσµατικού πεδίου F δίνεται από τη σχέση Γιαένα δισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο F(x,y), ο D D D στροβιλισµός πεδίου δίνεται από τη σχέση: και η z-συνιστώσα διανύσµατος curlf= xf είναι ( xf) k = curlf k = δεξιό µέρος θεωρήµατος Green στοιχειώδες εµβαδόν Tο θεώρηµα Green µπορεί να εκφραστεί σε κανονική και σε εφαπτοµενική µορφή κάτι πού είναι πολύ χρήσιµο όταν υπολογίζουµε τη ροή και την κυκλοφορία ενός διανυσµατικού πεδίου στο επίπεδο. Η κανονική µορφή (normal form) θεωρήµατος λέει ότιηροήέξωαπότηνπεριοχή Dείναιίσηµετοδιπλό ολοκλήρωµαστην Dτηςαπόκλισηςπεδίου F. Η εφαπτοµενική µορφή (tangential form) θεωρήµατος λέει ότι στροβιλισµός/κυκλοφορία κατά µήκος της καµπύλης ( συνόρου της D) είναι ίση µε το διπλό ολοκλήρωµα στην D της k-συνιστώσας πεδίου F. Green Divergence-Normal form n το εξωτερικό µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην καµπύλη (το σύνορο της επιφάνειας D) (rightward normal, κάθετο διάνυσµα προς την ταχύτητα της ροής) D Green irculation-tangential form D u -µοναδιαίο διάνυσµα εφαπτόµενο σε ένα στοιχείο επιφάνειας ds Αυτή η µορφή θεωρήµατος αποκαλείται και µορφή της κυκλοφορίας D Green ανακεφαλαιώνοντας Πρακτικά που χρησιµεύει? 1. ότανέχουµεναυπολογίσουµεένα (επικαµπύλιο) ολοκλήρωµα που περιέχει δύο συναρτήσεις που περιγράφουν µια περίεργη ή σχετικά πολύπλοκη καµπύλη να το µετασχηµατίσουµε σε ένα επιφανειακό ολοκλήρωµα µε την ελπίδα ότι η διαφορά ( Ν/ x) - ( M/ y) θα µπορούσε πάρει µια απλουστευµένη µορφή ή ακόµα και να µηδενιστεί

7 Green ανακεφαλαιώνοντας Πρακτικά που χρησιµεύει?.όταν έχουµε µια µη συνεκτική περιοχή, π.χ. µε ανοίγµατα ή οπές ή άλλες πολύπλοκες µορφές, της οποίας π.χ. ζητείται το εµβαδόν να αναγάγουµε ς υπολογισµούς σε ένα απλούστερο επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Green εφαρµογές Η εφαρµογή θεωρήµατος Green γενικά διευκολύνει τον υπολογισµό διαφόρων ολοκληρωµατικών τύπων στη Φυσική Γεωδαισία π.χ. συµβολικές γλώσσες υπολογισµού, όπως η Maple, η Mathematica, παρέχουν και κατάλληλα αριθµητικά εργαλεία A MATLAB ompanion for Multivariable alculus Tοθεώρηµα Green δείχνει την "µικροσκοπική κυκλοφορία" στην περιοχή D (µικροί πράσινο κύκλοι µε προσανατολισµό) Ακόµα σε περιοχές µε οπές E = D Green εφαρµογές Μια πιο γνώριµη τοπογραφική εφαρµογή Μέτρηση εµβαδών, π.χ. από χάρτη, εικόνα, Green εφαρµογές Η µέτρηση εµβαδών µε εµβαδόµετρα αποτελεί µια υπολογιστική διαδικασία γνωστή από το 19 ο αι. Τα εµβαδόµετρα ή επιπεδόµετρα είναι µηχανικές συσκευές που επιτρέπουν τον υπολογισµό της έκτασης κλειστών περιοχών στο επίπεδο Εµβαδόµετρα - αρχή λειργίας Το θεώρηµα Green είναι ο κλασικός τρόπος για να εξηγηθεί η λειργία ς Η πρώτη τέτοια εξήγηση δόθηκε από τον Ιταλό Guido Ascoli το 1947 Green µέτρηση εµβαδών E = D de = D dxdy E = D de = D dxdy Green µέτρηση εµβαδών Το θεώρηµα Green περιγράφει τον τρόπο µε τον οποίο κινείται ο τροχός στο κινούµενο άκρο των βραχιόνων ενός εµβαδόµετρου Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το εµβαδόµετρο καταγράφει τον αριθµό των περιστροφών που έχει ολοκληρώσει ο τροχός.

8 F Green µέτρηση εµβαδών (x,y) (a,b) Η διαδικασία µέτρησης καθορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο στο οποίο το διάνυσµα που προσαρτάται σε κάποιο σηµείο δίνει την κατεύθυνση στην οποία κυλάει ο τροχός όταν η ακίδα εµβαδόµετρου διέρχεται πάνω το σηµείο. Green µέτρηση εµβαδών Η διαδικασία µέτρησης καθορίζει ένα διανυσµατικό πεδίο στο οποίο το διάνυσµα που προσαρτάται σε κάποιο σηµείο δίνει την κατεύθυνση στην οποία κυλάει ο τροχός όταν η ακίδα εµβαδόµετρου διέρχεται πάνω το σηµείο. Green µέτρηση εµβαδών F (x,y) (a,b) Green µέτρηση εµβαδών Green µέτρηση εµβαδών Προσοχή στα όρια της ολοκλήρωσης dε Το εµβαδόν της κλειστής περιοχής D είναι E = D de = D dxdy αρκεί να επιλέξουµε κατάλληλα τις συναρτήσεις F 1 και F Τέτοιες επιλογές είναι π.χ. να θέσουµε F 1 (x,y)=-y, F (x,y)=x, F / x=1, και F 1 / y=-1 η σχέση θεωρήµατος γίνεται ydx+ xdy= dx dy D x εµβαδόν της περιοχής D ή F 1 (x,y)=0, F (x,y)=x, E = D xdy ή F 1 (x,y)=-y, F (x,y)=0, E = - D ydx!! Οι υπολογισµοί θα πρέπει να γίνουν αντίστοιχα για το δεξιό, το αριστερό (αριστερόστροφα) και το µεσαίο (δεξιόστροφο) τµήµα της καµπύλης Συµβατικός τρόπος υπολογισµού: παραµετροποίηση των καµπυλών 1 και, και ολοκλήρωση Ευκολότερος τρόπος υπολογισµού: Με τη χρήση θεωρήµατος Green

9 0 Για µια συνεχή συνάρτηση V(x,y)δύοµεταβλητών, µε συνεχείς µερικές παραγώγους και ένα διανυσµατικό πεδίο F=gradV που προκύπτει από την κλίση της καθορισµένης συνάρτησης V, µπορεί να δειχθεί ότι για κάθε κλειστή καµπύλη ισχύει F dr= 0 Όπως συνάγεται εύκολα από την εφαρµογή Θ. Green V x V y F dr=, ( dx,dy ) = = oµ έλος Θ. Green= V V dx+ dy = x y V V dxdy= 0 y x x y Gauss Εννοιολογικά είναι µια περαιτέρω επέκταση θεµελιώδους θεωρήµατος απειροστικού λογισµού. Αυτό συσχετίζει µία"χωρική περιοχή" τρισδιάσταχώρουµετοσύνορότης. Το πεδίο ολοκλήρωσης είναι ένα χωρίο 3- D χώρου. Ο εφαρµοζόµενος τελεστής σε αυτήν είναι το τριπλό ολοκλήρωµα όγκου. εδοµένου ότι, το σύνορο µιας "χωρικής περιοχής" είναι µια κλειστή επιφάνεια Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επιφανειακό Ολοκλήρωµα. Το ολοκλήρωµα της απόκλισης ενός διανυσµατικού πεδίου πάνω σε έναν τυχόντα όγκο D ισούται µε το επιφανειακό ολοκλήρωµα πεδίου πάνω στην κλειστή επιφάνεια D που περικλείει αυτόν τον όγκο Είναι η γενίκευση θεωρήµατος Green σε 3 διαστάσεις Με άλλα λόγια: το ολοκλήρωµα της παραγώγου της διανυσµατικής συνάρτησης F ισούται µε τις τιµές της συνάρτησης F στο σύνορο S της περιοχής ολοκλήρωσης D (δηλ., από ολοκλήρωµα σε τρεις διατάσεις πάµε σε ολοκλήρωµα δύο διαστάσεων) Η σχέση Gauss αποκαλείται και Απόκλισης (σε τρεις διαστάσεις) και ισχύει για κάθε κυρτό χώρο που µπορεί να υποδιαιρεθεί σε πεπερασµένο αριθµό κυρτών κανονικών περιοχών.

10 Αν S είναι µια κλειστή επιφάνεια, που περικλείει τον όγκο V, n το µοναδιαίο κάθετο προς τα έξω διάνυσµα και ds = n ds, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα Gauss για κάθε διανυσµατικό (x,y,z) πεδίο δυνάµεων F (π.χ. τα πεδία βαρύτητας ή των ταχυτήτων ενός ρευστού) στον χώρο µέσα και έξω από την επιφάνεια S ισχύει Gauss Αποκαλείται και θεώρηµα της απόκλισης (x,y,z) Gauss Αν F παριστάνει ένα πεδίο βαρύτητας που προκύπτει από µια µονόµετρη συνάρτηση δυναµικού V τότε µπορεί να δειχθεί ότι Gauss Επιπλέον για τη συνιστώσα της F σε διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια S ισχύει F n = V/ n = F n και µετά από τις αντίστοιχες αντικαταστάσεις στη σχέση θεωρήµατος Gauss (x,y,z) Προκύπτει ο ολοκληρωµατικός τύπος Gauss για το δυναµικό το δεξιό σκέλος εκφράζει τη βαρυτηµετρική ροή (=το ποσό της ροής βαρυτικών δυνάµεων που διέρχεται από την επιφάνεια S) Gauss ανακεφαλαιώνοντας Αυτό συσχετίζει µία "χωρική περιοχή" τρισδιάστα χώρου µε το σύνορό της. Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε κυρτό χώρο που µπορεί να υποδιαιρεθεί σε πεπερασµένο αριθµό κυρτών κανονικών περιοχών. Αν αντικατασταθεί η διανυσµατική συνάρτηση F µε το γινόµενο f ( h) κατάλληλων βαθµωτών συναρτήσεων f και h, µε συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ταυτότητες Green που είναι χρήσιµες στην επίλυση συνοριακών προβληµάτων στη Φυσική Γεωδαισία Θ. Gauss Ταυτότητες Green 1η ταυτότητα η ταυτότητα 3η ταυτότητα Gauss Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Αν S είναι µια κλειστή επιφάνεια, που περικλείει τον όγκο V, n το µοναδιαίο κάθετο προς τα έξω διάνυσµα και ds = n ds, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα Gauss (x,y,z) n r ds r S 3 = 0 π 4π Στο εξωτερικό της S Επάνω στην S Στο εσωτερικό της S

11 Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Gauss παράδειγµα Εννοιολογικά είναι µια περαιτέρω σηµαντική επέκταση θεµελιώδους θεωρήµατος απειροστικού λογισµού. Συσχετίζει µια οποιαδήποτε ανοικτή (π.χ. δύο όψεων) επιφάνεια τρισδιάστα χώρου µε το σύνορό της. Τοπεδίοολοκλήρωσηςείναιέναχωρίο 3-D χώρου. Ο εφαρµοζόµενος τελεστής σε αυτήν είναι το διπλό επιφανειακό ολοκλήρωµα. εδοµένου ότι, το σύνορο µίας «επίπεδης ανοικτής επιφάνειας" είναι µία τρισδιάστατη κλειστή καµπύλη Ο εφαρµοζόµενος τελεστής στο σύνορο είναι επίσης το κλειστό Επιφανειακό Ολοκλήρωµα.

12 Ο προσανατολισµός τηςεπιφάνειας S καθορίζει τον θετικό προσανατολισµό της συνοριακής καµπύλης. F : διανυσµατικό πεδίο στην περιοχή που περιέχει την επιφάνεια S µε σύνορο την κλειστή καµπύλη που διαγράφεται κατά τη θετική φορά Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της εφαπτοµενικής συνιστώσας της F, σε καµπύλη ισούται µε το επιφανειακό ολοκλήρωµα της κάθετης συνιστώσας διανύσµατος στροβιλισµού πάνω στην επιφάνεια S Το θεώρηµα Green είναι µια απλούστευση θεωρήµατος z dx+ x dy+ y dz=? F = z ˆ j+ x ˆj + y kˆ curlf = ˆ j+ ˆj + kˆ H καµπύλη είναι προσανατολισµένη δεξιόστροφα και εποµένως το µοναδιαίο διάνυσµα n κάθετο στην επιφάνεια είναι προς τα έξω =...= π g( x, y, z) = y+ z = 0 n = g = g 1 ˆj + 1 kˆ

13 Απόδειξη της ισοδυναµίας των µαθηµατικών ορισµών συντηρητικού πεδίων 1 : Έστω είναι κάθε απλή κλειστή διαδροµή (δηλαδή, µια πορεία που αρχίζει και τελειώνει στο ίδιο σηµείο και δεν έχει διασταυρώσεις), και επιπλέον µια επιφάνεια S της οποίας η καµπύλη είναι το όριο ( Σ). Ανατρέχοντας, στο θεώρηµα που αναφέρει ότι στροβιλισµός πεδίου ( F ) da = F συνάγεται αµέσως ότι εάν curlf = x F (ο στροβιλισµός πεδίου) είναι µηδέν, η αριστερή πλευρά της σχέσης είναι µηδέν Συνεπώς, ο ορισµός # αληθεύει. dr dr ανακεφαλαιώνοντας Είναι το ανάλογο θεωρήµατος Green, αλλά για καµπύλες R 3. Το θεώρηµα της απόκλισης Gauss είναι µια απλούστευση θεωρήµατος Η φυσική ερµηνεία είναι ότι η κυκλοφορία ενός πεδίου F κατά µήκος απλής κλειστής, τµηµατικά λείας και θετικά προσανατολισµένης καµπύλης ισούται µε τη ροή της κυκλοφορίας πεδίου που διέρχεται µέσω επιφάνειας S που έχει ως σύνορο την καµπύλη. Την επόµενη φορά Χρήσεις και ερµηνεία: Γήινο δυναµικό