0 1/16 1/8 1/16 1/16 1 1/32 1/16 1/8 1/16 2 1/32 1/32 1/16 1/8 3 1/32 1/32 1/32 1/16

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, 7/6/ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. (Qrˆlmpo Qrlˆmpou (.5 monˆd To % twn EllhnokuprÐwn o- nomˆzonti Qrˆlmpo Qrlˆmpou. To ntðstoiqo posostì gi tou ElldÐte eðni.%. Se èn pnepist mio, upˆrqoun 9% ElldÐte ki % EllhnokÔprioi. An epilèxoume èn ˆtomo sthn tôqh ki utì onomˆzeti Qrˆlmpo Qrlˆmpou, poi eðni h pijnìtht n eðni EllhnokÔprio?. (Gormiti 'Eqoume èn set pì diforetikè kˆrte Gormiti, ek twn opoðwn èn eðni o Mgmion ki èn ˆllo o Eletrion. 'Estw to kìloujo peðrm: epilègw sthn tôqh kˆrte, qwrð epnˆjesh, ki qwrð kˆpoi protðmhsh ston sundusmì twn krt n pou j epilèxw. Apnt ste st kìlouj erwt mt: (þ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht sthn epilog mou n upˆrqei o Mgmion? (bþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht h epilog mou n poteleðti pì ton Mgmion ki ton Eletrion? (gþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht h epilog mou n perilmbˆnei ton Mgmion ton Eletrion (ki endeqomènw ki tou dôo? (dþ (.5 monˆd D ste èn tôpo (qwrð n kˆnete ti prˆxei pou n dðnei epkrib thn pijnìtht n brw ton Mgmion krib 7 forè n epnlˆbw to peðrm forè, ki t epnlmbnìmen peirˆmt eðni nexˆrtht metxô tou.

2 . (Suneq T.M. ( monˆde DÐneti mi suneq T.M. me puknìtht Ðsh me x, x [, ], f X (x, x [, ]. N upologðsete thn mèsh tim th E(X ki thn disporˆ th VAR(X. 4. (Sqolikì Prwtˆjlhm 'Estw podosfirikì g n sqolikoô prwtjl - mto. An X eðni t gkol th omˆd pou pðzei entì èdr ki Y t gkol th omˆd pou pðzei ektì èdr, tìte dðneti ìti oi X, Y eðni pì koinoô dikritè T.M. me pì koinoô mˆz pijnìtht pou dðneti ston kìloujo pðnk: N pnt sete st kìlouj: y x /6 /8 /6 /6 / /6 /8 /6 / / /6 /8 / / / /6 (þ (.5 monˆd Poiè eðni oi perij rie mˆze twn X, Y? (bþ (.5 monˆd EÐni oi X,Y nexˆrthte? (gþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht n kerdðsei (dhld n bˆlei perissìter gkol pì thn ˆllh omˆd h omˆd pou pðzei entì èdr? (dþ ( monˆd UpologÐste t E(X, E(Y, COV(X, Y. 5. (Cissé O Cissé se kˆje g n bˆzei èn rijmì pì gkol X pou eðni tuqðo, ki èqei thn kìloujh ktnom : p X ( 8, p X( 8, p X( 8, p X( 8. Epiplèon, t gkol pou bˆzei se diforetikoô g ne eðni nexˆrtht metxô tou. (þ (.5 monˆd N upologðsete th mèsh tim E(X ki th disporˆ VAR(X tou rijmoô twn gkol pou bˆzei o Cissé se kˆje piqnðdi. (bþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht o Cissé se trð piqnðdi n bˆlei jroistikˆ 8 gkol? (gþ ( monˆd Poi eðni h pijnìtht, proseggistikˆ, se piqnðdi o Cissé n bˆlei, jroistikˆ, toulˆqiston (dhld perissìter gkol?

3 TUPOLOGIO PIJANOTHTWN A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Ditˆxei k ntik. pì N : (N k!, SundusmoÐ k ntik. pì N ( : N k N! k!(n k!, Epnlhptikè ditˆxei m kou k pì N ntik.: N k, EpnlhptikoÐ sundusmoð k ntik. pì N ( ( N+k : k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} dimèrish, (B i} dimèrish. A, B nexˆrtht P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Diwn(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np(p, k X Gewm(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Uper(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n n x n n!, X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j.

4 E(X f(x dx lim t t P (X B X U[, b], f(x f(x dx, B xf(x dx, E(g(X, b X Ekj(θ, f(x R f(x dx lim t + f(t dt, P [ X b] t f(x dx, f(x dx lim t b f(x dx t lim t t f(x dx, f(x dx, F (x P (X x f(x dx + x lim t t + f(x dx lim f(t dt, g(xf(x dx, E(X + b E(X + b, E( ig i(x σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, gi x [, b],, gi x [, b], θ e x/θ, gi x,, gi x <, X N(µ, σ, f(x, x <, x F (x b, x b,, x > b, F (x E(X + b t + t f(x dx, f(x dx, F (x f(x, ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. (b, VAR(X,, x, e x θ, x, E(X θ, VAR(X θ, πσ e (x µ /σ, gi x R, E(X µ, VAR(X σ, X N(µ, σ X µ N(,, σ Z N(,, φ(z e z /, Φ(z π R (x, y : x b, φ (x y φ (x}, R (x, y : y b, φ (y x φ (y}, [,b] [,d] f(x, y da P [(X, Y R] f XY (x, y da, P ( X b, Y d f X(x f XY (x, y dy, f Y (y [,b] [,d] R R ( d ( b µ P ( X b Φ σ z e x / dx, π f(x, y da f(x, y da f(x, y dy dx f XY (x, y da f XY (x, y dx, E(g(X, Y Φ ( µ σ, Φ(x Φ( x. ( φ (x f(x, y dy dx, φ (x ( φ (y f(x, y dx dy, d d k φ (y ( f(x, y dx dy, ( d fxy (x, ydy dx, ( b fxy (x, ydx dy, g(x, yf XY (x, y dxdy, K K E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y E(g k (X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B f XY (x, y f X(xf Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, f X+Y (z E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i VAR(X i + k i<j n f X(tf Y (z t dt, COV(X i, X j. X, > P (X E(X, > P ( X E(X VAR(X, X, X,... nex. me koin kt., E(X i µ, XN N ɛ >, P ( X i X N µ < ɛ, kj N, N P ( lim N XN µ, ( N VAR(X i σ, SN N σ Xi Nµ P ( S N b Φ(b Φ(, kj N, (X i µ N σ P ( SN Φ(, kj N, N P ( SN Φ(, kj N. 4

5 Timè th tupik knonik sunˆrthsh ktnom Φ(z gi jetikˆ orðsmt z. Oi grmmè dðnoun to kèrio mèro ki to pr to dekdikì yhfðo, ki oi st le to deôtero dekdikì yhfðo tou orðsmto z. Gi n upologðsoume ti timè th Φ(z qrhsimopoioôme thn idiìtht Φ(z Φ( z

6 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, 7/6/ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. (ES (.5 monˆd To % twn neosullèktwn se èn strtìpedo tou EllhnikoÔ StrtoÔ sqoloôntn prin thn ktˆtxh tou susthmtikˆ me to kun gi. H pijnìtht ut n n epitôqoun se èn test skopobol sto opoðo upobˆllonti ìloi oi neosôllektoi eðni 7%, en gi tou upìloipou, pou den sqoloôntn susthmtikˆ me to kun gi, eðni mìli %. An kˆpoio neosôllekto petôqei sto test, poi eðni h pijnìtht n sqoloôtn susthmtikˆ me to kun gi?. (Mgi: The Gthering 'Eqoume èn set pì 6 diforetikè kˆrte Mgi: The Gthering, ek twn opoðwn h mi eðni h Firefly ki ˆllh mi h Mgmsur. 'Estw to kìloujo peðrm: epilègw sthn tôqh kˆrte pì ti 6, qwrð epnˆjesh, ki qwrð kˆpoi protðmhsh ston sundusmì twn krt n pou j epilèxw. Apnt ste st kìlouj erwt mt: (þ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht sthn epilog mou n upˆrqei h Firefly? (bþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht h epilog mou n poteleðti pì thn Firefly ki thn Mgmsur? (gþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht h epilog mou n perilmbˆnei thn Firefly thn Mgmsur (ki endeqomènw ki ti dôo? (dþ (.5 monˆd D ste èn tôpo (qwrð n kˆnete ti prˆxei pou n dðnei epkrib thn pijnìtht n brw thn Firefly krib 5 forè n epnlˆbw to peðrm forè, ki t epnlmbnìmen peirˆmt eðni nexˆrtht metxô tou. 6

7 . (Suneq T.M. ( monˆde DÐneti mi suneq T.M. me puknìtht Ðsh me f X (x x, x [, ],, x [, ]. N upologðsete thn mèsh tim th E(X ki thn disporˆ th VAR(X. 4. (Sqolikì Prwtˆjlhm 'Estw podosfirikì g n sqolikoô prwtjl - mto. An X eðni t gkol th omˆd pou pðzei entì èdr ki Y t gkol th omˆd pou pðzei ektì èdr, tìte dðneti ìti oi X, Y eðni pì koinoô dikritè T.M. me pì koinoô mˆz pijnìtht pou dðneti ston kìloujo pðnk: N pnt sete st kìlouj: y x /8 /6 / /6 /8 /6 / / /6 /8 /6 / /6 /8 (þ (.5 monˆd Poiè eðni oi perij rie mˆze twn X, Y? (bþ (.5 monˆd EÐni oi X,Y nexˆrthte? (gþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht n kerdðsei (dhld n bˆlei perissìter gkol pì thn ˆllh omˆd h omˆd pou pðzei entì èdr? (dþ ( monˆd UpologÐste t E(X, E(Y, COV(X, Y. 5. (Mirlls O Mirlls se kˆje g n bˆzei èn rijmì pì gkol X pou eðni tuqðo, ki èqei thn kìloujh ktnom : p X ( 8, p X( 8, p X( 8, p X( 8. Epiplèon, t gkol pou bˆzei se diforetikoô g ne eðni nexˆrtht metxô tou. (þ (.5 monˆd N upologðsete th mèsh tim E(X ki th disporˆ VAR(X tou rijmoô twn gkol pou bˆzei o Mirlls se kˆje piqnðdi. (bþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht o Mirlls se trð piqnðdi n bˆlei jroistikˆ 8 gkol? (gþ ( monˆd Poi eðni h pijnìtht, proseggistikˆ, se piqnðdi o Mirlls n bˆlei, jroistikˆ, toulˆqiston (dhld perissìter gkol? 7

8 TUPOLOGIO PIJANOTHTWN A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Ditˆxei k ntik. pì N : (N k!, SundusmoÐ k ntik. pì N ( : N k N! k!(n k!, Epnlhptikè ditˆxei m kou k pì N ntik.: N k, EpnlhptikoÐ sundusmoð k ntik. pì N ( ( N+k : k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} dimèrish, (B i} dimèrish. A, B nexˆrtht P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Diwn(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np(p, k X Gewm(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Uper(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n n x n n!, X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j. 8

10 Timè th tupik knonik sunˆrthsh ktnom Φ(z gi jetikˆ orðsmt z. Oi grmmè dðnoun to kèrio mèro ki to pr to dekdikì yhfðo, ki oi st le to deôtero dekdikì yhfðo tou orðsmto z. Gi n upologðsoume ti timè th Φ(z qrhsimopoioôme thn idiìtht Φ(z Φ( z

11 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -, ΟΜΑΔΑ Α. (Χαράλαμπος Χαραλάμπους Το % των Ελληνοκυπρίων ονομάζονται Χαράλαμπος Χαραλάμπους. Το αντίστοιχο ποσοστό για τους Ελλαδίτες είναι.%. Σε ένα πανεπιστήμιο, υπάρχουν 9% Ελλαδίτες και % Ελληνοκύπριοι. Αν επιλέξουμε ένα άτομο στην τύχη και αυτό ονομάζεται Χαράλαμπος Χαραλάμπους, ποια είναι η πιθανότητα να είναι Ελληνοκύπριος; Λύση: Εστω X το ενδεχόμενο το τυχαία επιλεγμένο άτομο να ονομάζεται Χαράλαμπος Χαραλάμπους. Εστω επίσης E το ενδεχόμενο να είναι Ελλαδίτης, και K E να είναι Ελληνοκύπριος. Δίνεται ότι P (E.9, P (K., P (X K., και P (X E.. Καλούμαστε να υπολογίσουμε την δεσμευμένη πιθανότητα P (K X. Με εφαρμογή του κανόνα του Byes έχουμε P (K X P (KX P (X P (X KP (K P (X KP (K + P (X EP (E (Gormiti Εχουμε ένα σετ από διαφορετικές κάρτες Gormiti, εκ των οποίων ένας είναι ο Mgmion και ένας άλλος ο Eletrion. Εστω το ακόλουθο πείραμα: επιλέγω στην τύχη κάρτες, χωρίς επανάθεση, και χωρίς κάποια προτίμηση στον συνδυασμό των καρτών που θα επιλέξω. Απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα: (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα στην επιλογή μου να υπάρχει ο Mgmion; (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα η επιλογή μου να αποτελείται από τον Mgmion και τον Eletrion; (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα η επιλογή μου να περιλαμβάνει τον Mgmion ή τον Eletrion (και ενδεχομένως και τους δύο; (δʹ Δώστε ένα τύπο (χωρίς να κάνετε τις πράξεις που να δίνει επακριβώς την πιθανότητα να βρω τον Mgmion ακριβώς 7 φορές αν επαναλάβω το πείραμα φορές, και τα επαναλαμβανόμενα πειράματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Λύση: (αʹ Υπάρχουν ( ισοπίθανοι συνδυασμοί ζευγών. Το ενδεχόμενο A που ερευνούμε αντιστοιχεί σε 99 συνδυασμους. Πράγματι, αν η μία κάρτα είναι ο Mgmion, για την άλλη κάρτα έχουμε 99 επιλογές. Άρα η πιθανότητα του A είναι P (A Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με την πιθανότητα η πρώτη κάρτα να είναι ο Mgmion, που είναι, συν την πιθανότητα η δεύτερη κάρτα να είναι ο Mgmion, που είναι επίσης. (Επειδή δεν έχω επανάθεση, η πιθανότητα να είναι και οι δύο ο Mgmion είναι. (βʹ Υπάρχουν ( ισοπίθανοι συνδυασμοί ζευγών. Το ενδεχόμενο B που ερευνούμε αντιστοιχεί σε ένα μόνο συνδυασμό, άρα η πιθανότητά του είναι P (B ( ( Εναλλακτικά, παρατηρήστε πως η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με την πιθανότητα η πρώτη κάρτα να είναι ένας από τους δύο Gormiti που ψάχνουμε, που συμβαίνει με πιθανότητα, επί την δεσμευμένη πιθανότητα ο δεύτερος να είναι αυτός που ψάχνουμε, με δεδομένο ότι ήδη βρήκαμε έναν. 99 (γʹ Εστω C το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα του συμπληρώματός του, C, δηλαδή του ενδεχόμενο να μην βρούμε κανέναν από τους δύο Gormiti. Και πάλι, υπάρχουν ( ισοπίθανοι συνδυασμοί ζευγών, και στο C αντιστοιχούν ( 98. Άρα τελικά ( 98 P (C 98!98!! !!! P (C (

12 Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του C ως εξής: Δεν θα βρω κανέναν από τους δύο αν ο πρώτος που θα επιλέξω δεν είναι κάποιος από αυτούς, που συμβαίνει με πιθανότητα 98, και, με δεδομένο ότι ο πρώτος δεν είναι κάποιος από αυτούς, να μην είναι και ο δεύτερος. Αυτό έχει πιθανότητα (δʹ Εκτελώ πειράματα, καθένα με πιθανότητα επιτυχίας 5, όπως βρήκαμε στο πρώτο σκέλος, άρα η κατανομή του πλήθους M των καρτών του Mgmion που βρίσκω είναι η διωνυμική, με παραμέτρους N, p 5. Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι η ( P (M 7 7 Η προσέγγιση Poisson δίνει πιθανότητα.595. ( 5 7 ( (Συνεχής Τ.Μ. Δίνεται μια συνεχής Τ.Μ. με πυκνότητα ίση με x, x [, ], f X (x, x [, ]. Να υπολογίσετε την μέση τιμή της E(X και την διασπορά της VAR(X. Λύση: Για την μέση τιμή της X, κατά τα γνωστά από τη θεωρία έχουμε: E(X xf X (x dx x(x dx ( x [ x x dx x ] (x x dx Για να υπολογίσουμε την διασπορά, χρειαζόμαστε πρώτα την E(X, που υπολογίζεται ως εξής: Τελικά, έχουμε E(X x f X (x dx ( x 4 x [ x 4 dx x (x dx x VAR(X E(X (E(X ] (Σχολικό Πρωτάθλημα Εστω ποδοσφαιρικός αγώνας σχολικού πρωταθλήματος. Αν X είναι τα γκολ της ομάδας που παίζει εντός έδρας και Y τα γκολ της ομάδας που παίζει εκτός έδρας, τότε δίνεται ότι οι X, Y είναι από κοινού διακριτές Τ.Μ. με από κοινού μάζα πιθανότητας που δίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Να απαντήσετε στα ακόλουθα: (αʹ Ποιές είναι οι περιθώριες μάζες των X, Y ; (βʹ Είναι οι X,Y ανεξάρτητες; x y /6 /8 /6 /6 / /6 /8 /6 / / /6 /8 / / / /6 (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει (δηλαδή να βάλει περισσότερα γκολ από την άλλη ομάδα η ομάδα που παίζει εντός έδρας; (δʹ Υπολογίστε τα E(X, E(Y, COV(X, Y. Λύση:

13 (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, οι περιθώριες μάζες προκύπτουν προσθέτοντας τις από κοινού μάζες κατά τις αντίστοιχες γραμμές και στήλες. Το αποτέλεσμα φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: (βʹ Οι X, Y δεν είναι ανεξάρτητες, καθώς (γʹ Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η x y p Y (y /6 /8 /6 /6 / / /6 /8 /6 9/ / / /6 /8 8/ / / / /6 5/ p X (x 5/ 8/ 9/ / p X (p Y ( 5 6 p XY (,. P (X > Y p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, (δʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X , E(Y , E(XY , COV(X, Y E(XY E(XE(Y (Στον υπολογισμό της E(XY δεν γράψαμε τους όρους που είναι ίσοι με το. 5. (Cissé Ο Cissé σε κάθε αγώνα βάζει ένα αριθμό από γκολ X που είναι τυχαίος, και έχει την ακόλουθη κατανομή: p X ( 8, p X( 8, p X( 8, p X( 8. Επιπλέον, τα γκολ που βάζει σε διαφορετικούς αγώνες είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. (αʹ Να υπολογίσετε τη μέση τιμή E(X και τη διασπορά VAR(X του αριθμού των γκολ που βάζει ο Cissé σε κάθε παιχνίδι. (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα ο Cissé σε τρία παιχνίδια να βάλει αθροιστικά 8 γκολ; (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα, προσεγγιστικά, σε παιχνίδια ο Cissé να βάλει, αθροιστικά, τουλάχιστον (δηλαδή ή περισσότερα γκολ; Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, η μέση τιμή και η διασπορά υπολογίζονται ως εξής: E(X , E(X , VAR(X E(X (E(X.

14 (βʹ Για να απαντήσουμε το ερώτημα, έστω X, X, X τα γκολ που θα βάλει ο Cissé στα τρία παιχνίδια, αντίστοιχα. Εστω A το ενδεχόμενο να βάλει 8 γκολ. Θα έχουμε: P (A P (X X, X } X X, X } X X, X } P (X X, X + P (X X, X + P (X X, X P (X P (X P (X + P (X P (X P (X +P (X P (X P (X (γʹ Θα χρησιμοποιήσουμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Εστω X i το πλήθος των γκολ που θα βάλει ο Cissé στο παιχνίδι i, όπου i,...,. Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, P ( X i P P ( X i ( X i P (Z.95 Φ( Με βοήθεια υπολογιστή, προκύπτει πως η πιθανότητα, χωρίς προσέγγιση, είναι Αν δεν είχαμε εισάγει τον όρο, το αποτέλεσμα θα ήταν

15 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -, ΟΜΑΔΑ Β. (ΕΣ Το % των νεοσυλλέκτων σε ένα στρατόπεδο του Ελληνικού Στρατού ασχολούνταν πριν την κατάταξη τους συστηματικά με το κυνήγι. Η πιθανότητα αυτών να επιτύχουν σε ένα τεστ σκοποβολής στο οποίο υποβάλλονται όλοι οι νεοσύλλεκτοι είναι 7%, ενώ για τους υπόλοιπους, που δεν ασχολούνταν συστηματικά με το κυνήγι, είναι μόλις %. Αν κάποιος νεοσύλλεκτος πετύχει στο τεστ, ποια είναι η πιθανότητα να ασχολούταν συστηματικά με το κυνήγι; Λύση: Εστω K το ενδεχόμενο ο νεοσύλλεκτος να είναι κυνηγός, και T το ενδεχόμενο να πετύχει στο τεστ. Μας δίνεται ότι P (K., P (T K.7, και P (T K.. Πρέπει να βρούμε την δεσμευμένη πιθανότητα P (K T. Με χρήση του κανόνα του Byes, έχουμε: P (K T P (KT P (T P (T KP (K P (T KP (K + P (T K P (K (Mgi: The Gthering Εχουμε ένα σετ από 6 διαφορετικές κάρτες Mgi: The Gthering, εκ των οποίων η μια είναι η Firefly και άλλη μια η Mgmsur. Εστω το ακόλουθο πείραμα: επιλέγω στην τύχη κάρτες από τις 6, χωρίς επανάθεση, και χωρίς κάποια προτίμηση στον συνδυασμό των καρτών που θα επιλέξω. Απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα: (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα στην επιλογή μου να υπάρχει η Firefly; (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα η επιλογή μου να αποτελείται από την Firefly και την Mgmsur; (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα η επιλογή μου να περιλαμβάνει την Firefly ή την Mgmsur (και ενδεχομένως και τις δύο; (δʹ Δώστε ένα τύπο (χωρίς να κάνετε τις πράξεις που να δίνει επακριβώς την πιθανότητα να βρω την Firefly ακριβώς 5 φορές αν επαναλάβω το πείραμα φορές, και τα επαναλαμβανόμενα πειράματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Λύση: (αʹ Υπάρχουν ( 6 ισοπίθανοι συνδυασμοί ζευγών. Το ενδεχόμενο A που ερευνούμε αντιστοιχεί σε 59 συνδυασμους. Πράγματι, αν η μία κάρτα είναι η Firefly, για την άλλη κάρτα έχουμε 59 επιλογές. Άρα η πιθανότητα του A είναι P (A 59. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με την πιθανότητα η πρώτη κάρτα να είναι η Firefly, που είναι 6, συν την πιθανότητα η δεύτερη κάρτα να είναι ο Firefly, που είναι επίσης 6. (Κατά τα δοσμένα, η πιθανότητα να είναι και οι δύο η Firefly είναι, γιατί δεν έχουμε επανάθεση. (βʹ Υπάρχουν ( 6 ισοπίθανοι συνδυασμοί ζευγών. Το ενδεχόμενο B που ερευνούμε αντιστοιχεί σε ένα μόνο συνδυασμό, άρα η πιθανότητά του είναι P (B ( 6 ( Εναλλακτικά, παρατηρήστε πως η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με την πιθανότητα η πρώτη κάρτα να είναι μια από τις δύο που ψάχνουμε, που συμβαίνει με πιθανότητα 6, επί την πιθανότητα 59 η δεύτερη να είναι αυτή που ψάχνουμε, με δεδομένο ότι ήδη βρήκαμε μια. (γʹ Εστω C το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα του συμπληρώματός του, C, δηλαδή του ενδεχόμενο να μην βρούμε καμία από τις δύο κάρτες. Και πάλι, υπάρχουν ( 6 ισοπίθανοι συνδυασμοί ζευγών, και στο C αντιστοιχούν ( 58. Άρα τελικά ( 58 P (C 58!58!! !!6! P (C ( 6 5

16 Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του C ως εξής: Δεν θα βρω καμία από τις δύο αν η πρώτη που θα επιλέξω δεν είναι κάποια από αυτές, που συμβαίνει με πιθανότητα 58 6, και, με δεδομένο ότι η πρώτη δεν είναι κάποια από αυτές, να μην είναι και η δεύτερη. Αυτό γίνεται με πιθανότητα 57 (δʹ Εκτελώ πειράματα, καθένα με πιθανότητα επιτυχίας, όπως βρήκαμε στο πρώτο σκέλος, άρα η κατανομή του πλήθους M των καρτών του Firefly που βρίσκω είναι η διωνυμική, με παραμέτρους N, p. Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι η ( P (M 5 5 ( Η προσέγγιση Poisson μας δίνει πιθανότητα.. 5 ( (Συνεχής Τ.Μ. Δίνεται μια συνεχής Τ.Μ. με πυκνότητα ίση με f X (x x, x [, ],, x [, ]. Να υπολογίσετε την μέση τιμή της E(X και την διασπορά της VAR(X. Λύση: Για την μέση τιμή της X, κατά τα γνωστά από τη θεωρία έχουμε: E(X xf X (x dx [ x 4 x 6 ] ( x x dx [ ] x x dx 59. ( x 4 x dx 6 Για να υπολογίσουμε την διασπορά, χρειαζόμαστε πρώτα την E(X, που υπολογίζεται ως εξής: E(X x f X (x dx ( x x4 8 [ x dx ( x x dx x4 8 ] Τελικά, έχουμε VAR(X E(X (E(X (Σχολικό Πρωτάθλημα Εστω ποδοσφαιρικός αγώνας σχολικού πρωταθλήματος. Αν X είναι τα γκολ της ομάδας που παίζει εντός έδρας και Y τα γκολ της ομάδας που παίζει εκτός έδρας, τότε δίνεται ότι οι X, Y είναι από κοινού διακριτές Τ.Μ. με από κοινού μάζα πιθανότητας που δίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Να απαντήσετε στα ακόλουθα: (αʹ Ποιές είναι οι περιθώριες μάζες των X, Y ; (βʹ Είναι οι X,Y ανεξάρτητες; x y /8 /6 / /6 /8 /6 / / /6 /8 /6 / /6 /8 (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει (δηλαδή να βάλει περισσότερα γκολ από την άλλη ομάδα η ομάδα που παίζει εντός έδρας; (δʹ Υπολογίστε τα E(X, E(Y, COV(X, Y. Λύση: 6

17 (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, οι περιθώριες μάζες προκύπτουν προσθέτοντας τις από κοινού μάζες κατά τις αντίστοιχες γραμμές και στήλες. Το αποτέλεσμα φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: (βʹ Οι X, Y δεν είναι ανεξάρτητες, καθώς (γʹ Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η x y p Y (y /8 /6 / 7/ /6 /8 /6 / 9/ / /6 /8 /6 9/ / /6 /8 7/ p X (x 7/ 9/ 9/ 7/ p X (p Y ( p XY (,. P (X > Y p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, (δʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X , E(Y , E(XY , COV(X, Y E(XY E(XE(Y (Στον υπολογισμό της E(XY δεν γράψαμε τους όρους που είναι ίσοι με το. 5. (Mirlls Ο Mirlls σε κάθε αγώνα βάζει ένα αριθμό από γκολ X που είναι τυχαίος, και έχει την ακόλουθη κατανομή: p X ( 8, p X( 8, p X( 8, p X( 8. Επιπλέον, τα γκολ που βάζει σε διαφορετικούς αγώνες είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. (αʹ Να υπολογίσετε τη μέση τιμή E(X και τη διασπορά VAR(X του αριθμού των γκολ που βάζει ο Mirlls σε κάθε παιχνίδι. (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα ο Mirlls σε τρία παιχνίδια να βάλει αθροιστικά 8 γκολ; (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα, προσεγγιστικά, σε παιχνίδια ο Mirlls να βάλει, αθροιστικά, τουλάχιστον (δηλαδή ή περισσότερα γκολ; Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, η μέση τιμή και η διασπορά υπολογίζονται ως εξής: E(X , E(X , VAR(X E(X (E(X. 7

18 (βʹ Για να απαντήσουμε το ερώτημα, έστω X, X, X τα γκολ που θα βάλει ο Mirlls στα τρία παιχνίδια, αντίστοιχα. Εστω A το ενδεχόμενο να βάλει 8 γκολ. Θα έχουμε: P (A P (X X, X } X X, X } X X, X } P (X X, X + P (X X, X + P (X X, X P (X P (X P (X + P (X P (X P (X +P (X P (X P (X (γʹ Θα χρησιμοποιήσουμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Εστω X i το πλήθος των γκολ που θα βάλει ο Mirlls στο παιχνίδι i, όπου i,...,. Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, P ( X i P P ( X i ( X i P (Z.95 Φ( Με βοήθεια υπολογιστή, προκύπτει πως η πιθανότητα, χωρίς προσέγγιση, είναι Αν δεν είχαμε εισάγει τον όρο, το αποτέλεσμα θα ήταν

19 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός, κινητού τηλεφώνου, και παρεμφερών συσκευών. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα (όχι εδώ. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει.. Σε όλες τις ασκήσεις, αρκεί να δώσετε τα αποτελέσματα σαν εκφράσεις που περιλαμβάνουν βασικές πράξεις μεταξύ ακεραίων και παραγοντικά. Δεν χρειάζεται να κάνετε κανενός είδους απλοποίηση.. Επιπλέον, μπορείτε να δώσετε αριθμητικά αποτελέσματα που περιέχουν την συνάρτηση Φ( χωρίς να έχετε υπολογίσει την τιμή της. JEMATA. (Kun gi Q n DÔo kunhgoð, o A ki o B, kunhgoôn q ne me ton kìloujo trìpo: oi q ne emfnðzonti didoqikˆ, ki ìpote emfnðzeti mi, thn puroboloôn ki oi dôo tutìqron. O A petuqðnei thn q n me pijnìtht, en o B thn petuqðnei me pijnìtht 4. T potelèsmt twn purobolism n eðni nexˆrtht metxô tou. H q n skot neti n thn petôqei èstw èn, ki epizeð n stoq - soun ki oi dôo. Epeid oi purobolismoð eðni tutìqronoi, n h q n skotwjeð kneð pì tou A ki B den eðni sðgouro ìti ìntw thn pètuqe. (þ (.5 monˆd Apì ti q ne pou emfnðzonti, ti posostì glit nei, ki ti posostì qtupièti ki pì tou dôo? (bþ (.5 monˆd Me dedomèno ìti mi q n èqei qtuphjeð, poi eðni h pijnìtht ìti thn pètuqe o A mìno? (gþ (.5 monˆd An emfnistoôn sunolikˆ q ne, poi eðni h pijnìtht n epibi soun krib? (dþ (.5 monˆd An pì ti pr te 5 q ne èqoun ìle epibi sei, poi eðni h pijnìtht h pr th pou j skotwjeð n eðni h 8h?

20 . (Seven Crd Stud Se èn piqnðdi Seven Crd Stud kˆje pðkth lmbˆnei 7 fôll pì mi sunhjismènh trˆpoul me 5 fôll. (þ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou A èn pðkth n èqei 7 fôll th Ðdi ful /qr mto? (Gi prˆdeigm, 7 koôpe. (bþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou B èn pðkth n èqei toulˆqiston 5 fôll th Ðdi ful? (Gi prˆdeigm 5, 6, 7 koôpe. (gþ ( monˆd Poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou C èn pðkth n èqei trð zeôgh llˆ kmð triˆd tetrˆd? ('En potèlesm pou n kei sto endeqìmeno eðni t fôll (,, 7, 7, K, K, 8.. (Puknìtht pijnìtht DÐneti h kìloujh puknìtht pijnìtht: f(x e 4 x, x, ìpou ˆgnwsth jetik prˆmetro. Apnt ste st kìlouj: (þ (.5 monˆd Poie eðni h tim th prmètrou, h mèsh tim E(X ki h disporˆ VAR(X? (bþ (.5 monˆd UpologÐste, epkrib, thn pijnìtht P ( X >. (gþ (.5 monˆd UpologÐste to frˆgm Chebyhev gi thn P ( X >. 4. (DÔo exetˆsei 'En upoy fio gi eisgwg se mi strtiwtik sqol prèpei n d sei dôo exetˆsei, mi fusik n iknot twn ki mi nohtik n iknot twn. 'Estw X, Y t potelèsmt sti dôo exetˆsei, ìpou, lìgw knonikopoðhsh, dðneti ìti X, Y π/. 'Estw pw h pì koinoô puknìtht pijnìtht twn dôo exetˆsewn eðni h kìloujh: f XY (x, y os(x y, x, y π,, lloô. (þ (.5 monˆd UpologÐste ti perij rie puknìthte f X (x, f Y (y. (bþ (.5 monˆd EÐni oi X, Y, nexˆrthte? (gþ ( monˆd UpologÐste thn pijnìtht P (π/4 X, Y π/. 5. (Tzèngki Qn (.5 monˆd Ne tere rqiologikè ki istorikè èreune epibebðwsn thn prdosik doxsð ìti o Tzèngki Qn eðqe krib 4 pidiˆ (gioô ki kìre. Upojètont ìti to fôllo tou kjenì pidioô eðni nexˆrthto pì t ˆll, ki ìti to kˆje pidð eðni giì me pijnìtht 5%, upologðste proseggistikˆ, me qr sh tou K.O.J., thn pijnìtht oi gioi tou Tzèngki Qn n tn sto pl jo metxô 49 ki 5 (sumperilmbnomènwn twn ˆkrwn 49, 5.

21 TUPOLOGIO A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Ditˆxei k ntik. pì N : (N k!, SundusmoÐ k ntik. pì N ( : N k N! k!(n k!, Epnlhptikè ditˆxei m kou k pì N ntik.: N k, EpnlhptikoÐ sundusmoð k ntik. pì N ( ( N+k : k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} dimèrish, (B i} dimèrish. A, B nexˆrtht P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Diwn(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np(p, k X Gewm(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Uper(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n n x n n!, X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j.

23 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ -. (Κυνήγι Χήνας Δύο κυνηγοί, ο A και ο B, κυνηγούν χήνες με τον ακόλουθο τρόπο: οι χήνες εμφανίζονται διαδοχικά, και όποτε εμφανίζεται μια, την πυροβολούν και οι δύο ταυτόχρονα. Ο A πετυχαίνει την χήνα με πιθανότητα, ενώ ο B την πετυχαίνει με πιθανότητα 4. Τα αποτελέσματα των πυροβολισμών είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η χήνα σκοτώνεται αν την πετύχει έστω ένας, και επιζεί αν αστοχήσουν και οι δύο. Επειδή οι πυροβολισμοί είναι ταυτόχρονοι, αν η χήνα σκοτωθεί κανείς από τους A και B δεν είναι σίγουρος ότι όντως την πέτυχε. (αʹ Από τις χήνες που εμφανίζονται, τι ποσοστό γλιτώνει, και τι ποσοστό χτυπιέται και από τους δύο; (βʹ Με δεδομένο ότι μια χήνα έχει χτυπηθεί, ποια είναι η πιθανότητα ότι την πέτυχε ο A μόνο; (γʹ Αν εμφανιστούν συνολικά χήνες, ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσουν ακριβώς ; (δʹ Αν έχουν εμφανιστεί 5 χήνες και έχουν όλες επιβιώσει, ποια είναι η πιθανότητα η πρώτη που θα σκοτωθεί να είναι η 8η; Λύση: (αʹ Εστω A το ενδεχόμενο να πετύχει ο κυνηγός A την χήνα και B το ενδεχόμενο να την πετύχει ο κυνηγός B. Η χήνα γλιτώνει με πιθανότητα P (A B P (A P (B 4 8. Η πρώτη ισότητα προέκυψε λόγω της ανεξαρτησίας των A, B, άρα και των A, B (γνωστή ιδιότητα της ανεξαρτησίας. Άρα το ποσοστό που γλιτώνει είναι το 8 %. Η χήνα χτυπιέται και από τους δύο με πιθανότητα P (A B P (AP (B 4 8, όπου και πάλι χρησιμοποιήσαμε την ανεξαρτησία των A, B, στην πρώτη ισότητα. χτυπιέται και από τους δύο είναι το 8 %. (βʹ Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Άρα, το ποσοστό που P (A B A B P ((A B (A B P (A B P (A B P (A B P (AP (B P (A B 4 8 (γʹ Κάθε μια από τις χήνες γλιτώνει ανεξάρτητα από τις άλλες, και όλες έχουν την ίδια πιθανότητα επιβίωσης, P (A B 8. Επομένως, το πλήθος των χηνών που θα επιβιώσουν περιγράφεται από την διωνυμική κατανομή, με παραμέτρους N και p 8. Κατά τα γνωστά από την διωνυμική κατανομή, η ζητούμενη πιθανότητα είναι η ( ( ( ( ( ( (δʹ Παρατηρήστε πως ο αριθμός των προσπαθειών μέχρι την πρώτη κατάρριψη περιγράφεται από την γεωμετρική κατανομή, με πιθανότητα επιτυχίας P (A B P (A B 5 8. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της έλλειψης μνήμης, προκύπτει πως η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με την πιθανότητα η πρώτη χήνα που θα σκοτωθεί να είναι η η, δηλαδή ( (Seven Crd Stud Κατά τα γνωστά, μια τράπουλα αποτελείται από 4 5 φύλλα, που χωρίζονται, με δύο διαφορετικούς τρόπους, σε 4 φυλές (,,, και νούμερα (A,,,...,, J, Q, K. Σε ένα παιχνίδι Seven Crd Stud κάθε παίκτης λαμβάνει 7 φύλλα από μια τράπουλα. (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου A ένας παίκτης να έχει 7 φύλλα της ίδιας φυλής; (Για παράδειγμα, 7 κούπες.

24 (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου B ένας παίκτης να έχει τουλάχιστον 5 φύλλα της ίδιας φυλής; (Για παράδειγμα 5,6 ή 7 κούπες. (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου C ένας παίκτης να έχει τρία ζεύγη αλλά καμία τριάδα ή τετράδα; ( Ενα αποτέλεσμα που ανήκει στο ενδεχόμενο είναι να έχει τα φύλλα (,, 7, 7, K, K, 8. Λύση: (αʹ Συνολικά, οι συνδυασμοί φύλλων που μπορούμε να έχουμε είναι ( 5 7. Οι συνδυασμοί φύλλων μιας συγκεκριμένης φυλής είναι ( 7, και επειδή υπάρχουν 4 φυλές, τελικά η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με P (A 4( ( 5 7 Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε δεσμευμένες πιθανότητες. απόδειξη; Μπορείτε να γράψετε την (βʹ Και πάλι, υπάρχουν ( 5 7 συνδυασμοί φύλλων που μπορεί να έχει ένας παίκτης. Οι συνδυασμοί που περιλαμβάνουν ακριβώς 5 κούπες είναι ( ( 9 ( 5, αφού έχουμε ( 5 επιλογές για τις 5 κούπες, και 9 για τα άλλα φύλλα. Επειδή έχουμε 4 φυλές, προκύπτει τελικά ότι υπάρχουν 4 ( ( 9 5 συνδυασμοί που περιλαμβάνουν 5 ακριβώς φύλλα μιας φυλής. Με παρόμοιο τρόπο, προκύπτει πως υπάρχουν 4 ( ( 9 6 συνδυασμοί που περιλαμβάνουν 6 ακριβώς φύλλα μιας φυλής. Στο άνω σκέλος, βρήκαμε πως υπάρχουν 4 ( ( 9 ( συνδυασμοί που περιλαμβάνουν 7 ακριβώς φύλλα μιας φυλής. Άρα, τελικά P (B 4( ( 9 ( ( 9 ( ( ( 5 7 (γʹ Και πάλι, οι συνδυασμοί όλου του δειγματικού χώρου είναι ( 5 7. Θα μετρήσουμε τους συνδυασμούς που αντιστοιχούν στο ενδεχόμενο C. Εχουμε ( επιλογές για τα τρία ζεύγη που μπορούμε να έχουμε. Εχουμε επίσης ( 4 για τα από τα 4 φύλλα που θα απαρτίζουν το κάθε ζεύγος. Τέλος, έχουμε 4 επιλογές για το έβδομο φύλλο. Άρα τελικά P (C 4( ( ( ( (Πυκνότητα πιθανότητας Δίνεται η ακόλουθη πυκνότητα πιθανότητας: ( 5 7 f(x e 4 x, x, όπου άγνωστη θετική παράμετρος. Απαντήστε στα ακόλουθα: (αʹ Ποια είναι η τιμή της παραμέτρου ; (βʹ Πόση είναι η μέση τιμή E(X ; (γʹ Πόση είναι η διασπορά VAR(X; (δʹ Υπολογίστε, χωρίς να κάνετε κάποια προσέγγιση, την πιθανότητα P ( X >. (εʹ Υπολογίστε το φράγμα Chebyhev για την πιθανότητα P ( X >. Λύση: (αʹ Η τιμή της θα προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την απαίτηση το ολοκλήρωμα της πυκνότητας στο R να ισούται με τη μονάδα: f(x dx e 4x dx + e 4x dx e 4x dx ] [ e 4x 4. Η δεύτερη ισότητα προκύπτει με αλλαγή μεταβλητής x x στο πρώτο ολοκλήρωμα, ή πιο απλά παρατηρώντας ότι η f(x είναι άρτια.

25 (βʹ Εφαρμόζοντας τον ορισμό της E(X, προκύπτει ότι (γʹ E(X xf(x dx xe 4x dx + xe 4x dx xe 4x dx + xe 4x dx. Η τρίτη ισότητα προκύπτει με αλλαγή μεταβλητής x x στο πρώτο ολοκλήρωμα, ή πιο απλά παρατηρώντας ότι η xf(x είναι περιττή. VAR(X E(X (E(X E(X x f(x dx x e 4x dx + x e 4x dx 4 x ( e 4x [ dx x e 4x] + xe 4x dx x(e 4x dx [ xe 4x ] + e 4x dx 8 x e 4x dx (e 4x dx 8. Η πέμπτη ισότητα προκύπτει είτε με αλλαγή μεταβλητής x x, είτε παρατηρώντας ότι η x f(x είναι άρτια. Το όρια που εμφανίζονται είναι όλα, όπως προκύπτει με απλή εφαρμογή του κανόνα του L Hôpitl. (δʹ Από τον ορισμό της πυκνότητας, προκύπτει πως P ( X P (X + P (X e 4x dx + e 4x dx 4 e 4x dx ( e 4x dx e. Η τρίτη ισότητα και πάλι προκύπτει με αλλαγή μεταβλητής x x, ή παρατηρώντας ότι η f(x είναι άρτια. (εʹ Εφαρμόζοντας την ανισότητα Chebyhev, προκύπτει πως P ( X P ( X VAR(X/ ( ( 8 /. Οπως αναμένεται, το φράγμα Chebyhev είναι μεγαλύτερο από την πραγματική τιμή της πιθανότητας, που υπολογίσαμε στο προηγούμενο σκέλος. 4. (Δύο εξετάσεις Ενας υποψήφιος για εισαγωγή σε μια στρατιωτική σχολή πρέπει να δώσει δύο εξετάσεις, μια φυσικών ικανοτήτων και μια νοητικών ικανοτήτων. Εστω X, Y τα αποτελέσματα στις δύο εξετάσεις, όπου, λόγω κανονικοποίησης, δίνεται ότι X, Y π/. Εστω πως η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των δύο εξετάσεων είναι η ακόλουθη: f XY (x, y os(x y, x, y π,, αλλού. (αʹ Υπολογίστε τις περιθώριες πυκνότητες f X (x, f Y (y. (βʹ Είναι οι X, Y, ανεξάρτητες; (γʹ Υπολογίστε την πιθανότητα P (π/4 X, Y π/. Λύση: Αν και δεν ζητείται να το δείξετε, παρατηρήστε πως, όπως πρέπει, το ολοκλήρωμα της από κοινού πυκνότητας είναι μονάδα: ( π π ( π π f XY (x, y dxdy os(x y dx dy R R (sin(x y dx dy π (sin( π π y + sin y dy sin y dy [ os y] π. Στην τέταρτη ισότητα σπάσαμε το ολοκλήρωμα στα δύο, και εφαρμόσαμε στο πρώτο την αλλαγή μεταβλητής x π x.

26 (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία: f X (x f XY (x, y dy π sin x sin(x π (sin x + os x. Λόγω συμμετρίας, αμέσως προκύπτει πως επιπλέον θα έχουμε os(x y dy π ( sin(x y dy f Y (y (sin y + os y. (βʹ Για να είναι οι X, Y ανεξάρτητες, θα πρέπει f XY (x, y f X (xf Y (y, για κάθε x, y [, π/]. Η ισότητα όμως,δεν ισχύει για πολλά ζεύγη, για παράδειγμα όταν x y, οπότε και f XY (x, y f X (xf Y (y. (γʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία: P (π/4 X, Y π/ f XY (, os(, f X( f Y ( +, π/ π/4 π/ π/4 ( π/ f XY (x, y dx dy π/4 π/ π/4 [sin(π/ y sin(π/4 y] dy [ sin(x y π/ π/4 (sin(π/ sin(π/4 os(π/4 + os /. ] π/ π/4 dy [sin y os(π/4 y] dy 5. (Τζένγκις Χαν Νεώτερες αρχαιολογικές και ιστορικές έρευνες επιβεβαίωσαν την παραδοσιακή δοξασία ότι ο Τζένγκις Χαν είχε ακριβώς 4 παιδιά (γιούς και κόρες. Υποθέτοντας ότι το φύλλο του καθενός παιδιού είναι ανεξάρτητο από τα άλλα, και ότι το κάθε παιδί είναι γιός με πιθανότητα 5%, υπολογίστε προσεγγιστικά, με χρήση του Κ.Ο.Θ., την πιθανότητα οι γιοι του Τζένγκις Χαν να ήταν στο πλήθος μεταξύ 49 και 5 (συμπεριλαμβανομένων των άκρων 49, 5. Λύση: Εστω X i, i,...,, τυχαίες μεταβλητές Bernoulli. Η X i αν το i-οστό παιδί είναι αγόρι, και X i αν το i-οστό παιδί είναι κορίτσι. Οι X i έχουν μέση τιμή µ και διασπορά σ ( 4, συνεπώς τυπική απόκλιση σ. Για την ζητούμενη πιθανότητα έχουμε: P (49 X i 5 P ( X i 5.5 P ( P P ( (. X i 5.5 X i 5.5 X i. P (. Z. Φ(. Φ(. Φ( Στην πέμπτη (προσεγγιστική ισότητα, εφαρμόσαμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. 4

27 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, 5/6/ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. (Eklogè [.5 monˆd] 'Estw tetrmel epitrop poteloômenh pì tou A, B, C, D, h opoð suzhtˆ gi thn ègkrish mi dpˆnh. Kˆje èn pì t tèsser mèlh th epitrop j yhfðsei upèr th dpˆnh, me pijnìtht /, ktˆ, me pijnìtht /. Oi epilogè twn mel n eðni nexˆrthte metxô tou. Gi n egkrijeð h dpˆnh piteðti y fo upèr th dpˆnh toulˆqiston tri n tìmwn. (þ [.5 monˆd] Poi eðni h pijnìtht n egkrijeð h dpˆnh? (bþ [ monˆd] Me dedomèno ìti h dpˆnh egkrðjhke, poi h pijnìtht n èqei yhfðsei upèr o A?. (Puknìtht Pijnìtht [.5 monˆd] 'Estw pw h T.M. X èqei thn puknìtht pijnìtht xe x, x, f(x, x <. (þ [.5 monˆd] UpologÐste thn tim th stjerˆ. (bþ [.5 monˆd] UpologÐste th mèsh tim E(X. (gþ [.5 monˆd] UpologÐste thn pijnìtht P (X <.. (Lqeiofìro gorˆ [ monˆde] Se mi lqeiofìro gorˆ upˆrqoun lqnoð, ek twn opoðwn kerdðzoun oi dôo, pì èn d ro o kjèn (t dôo d r eðni pnomoiìtup. DÔo ˆtom gorˆzoun pì dôo lqnoô o kjèn. 'Estw X, Y,, } to pl jo twn d rwn pou kerdðzei o kjèn.

28 (þ [.5 monˆd] N upologðsete thn pì koinoô mˆz pijnìtht p XY (x, y P (X x, Y y, gi kˆje x,, }, y,, }. Apotup ste th se èn pðnk. (Upìdeixh: gi prˆdeigm, h p XY (, P (X, Y eðni h pijnìtht n mhn kerdðsei kneð knèn d ro. (bþ [.5 monˆd] Bˆsei tou prohgoômenou skèlou, poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou A n pˆroun ki t dôo d r oi dôo digwnizìmenoi? Poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou B èn (opoiosd pote pì tou dôo n pˆrei ki t dôo d r? EpÐsh, upologðste ti mˆze p X (x, p Y (y, ti mèse timè E(X, E(Y, ki thn sundikômnsh COV(X, Y. D ste ìl t potelèsmt se morf pl n klsmˆtwn. 4. (Peltstè [ monˆde] Prìsfte rqiologikè nskfè epibebðwsn thn nforˆ tou Hrìdotou ìti èn AjhnÐo peltst th klssik epoq mporoôse n rðxei to dìru se mi pìstsh X omoiìmorf ktnemhmènh metxô twn 4 ki mètrwn, mporoôse n ektoxeôsei èn lðjo me qr sh sfentìn se mi pìstsh Y epðsh omoiìmorf ktnemhmènh metxô twn 6 ki 4 mètrwn, ki, epiplèon, t X, Y tn nexˆrtht. Bˆsei twn ˆnw: (þ [ monˆd] Grˆyte ekfrˆsei gi ti puknìthte f X (x, f Y (y, f XY (x, y. E- pðsh, d ste mi èkfrsh gi thn pijnìtht P (X > Y se morf diploô oloklhr mto. (bþ [ monˆd] UpologÐste thn P (X > Y. (Den eðni prðthto n kˆnete oloklhr sei. ArkeÐ èn klì sq m sto epðpedo xy. 5. (RebÐji [ monˆde] Se mi kllièrgei, t rebðji, foô xerjoôn ki perˆsoun pì èlegqo poiìtht, èqoun bˆro eðte Ðso me 6 grmmˆri (me pijnìtht /, eðte Ðso me 7 grmmˆri (me pijnìtht epðsh /. UpologÐste th mèsh tim ki th disporˆ tou bˆrou enì rebijioô. UpologÐste, proseggistikˆ, thn pijnìtht rebðji n èqoun bˆro pˆnw pì 65 grmmˆri. H pˆnths s mporeð n perièqei ìrou th morf Φ(x ìpou Φ h ktnom th tupik knonik T.M.

29 TUPOLOGIO PIJANOTHTWN A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Ditˆxei k ntik. pì N : (N k!, SundusmoÐ k ntik. pì N ( : N k N! k!(n k!, Epnlhptikè ditˆxei m kou k pì N ntik.: N k, EpnlhptikoÐ sundusmoð k ntik. pì N ( ( N+k : k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} dimèrish, (B i} dimèrish. A, B nexˆrtht P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Diwn(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np(p, k X Gewm(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Uper(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n n x n n!, X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j.

31 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, 5/6/ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. (Eklogè [.5 monˆd] 'Estw tetrmel epitrop poteloômenh pì tou A, B, C, D, h opoð suzhtˆ gi thn ègkrish mi dpˆnh. Kˆje èn pì t tèsser mèlh th epitrop j yhfðsei upèr th dpˆnh, me pijnìtht /4, ktˆ, me pijnìtht /4. Oi epilogè twn mel n eðni nexˆrthte metxô tou. Gi n egkrijeð h dpˆnh piteðti y fo upèr th dpˆnh toulˆqiston tri n tìmwn. (þ [.5 monˆd] Poi eðni h pijnìtht n egkrijeð h dpˆnh? (bþ [ monˆd] Me dedomèno ìti h dpˆnh egkrðjhke, poi h pijnìtht n èqei yhfðsei upèr o A?. [.5 monˆd] (Puknìtht Pijnìtht 'Estw pw h T.M. X èqei thn puknìtht pijnìtht xe x, x, f(x, x <. (þ [.5 monˆd] UpologÐste thn tim th stjerˆ. (bþ [.5 monˆd] UpologÐste th mèsh tim E(X. (gþ [.5 monˆd] UpologÐste thn pijnìtht P (X <.. (Lqeiofìro gorˆ [ monˆde] Se mi lqeiofìro gorˆ upˆrqoun 8 lqnoð, ek twn opoðwn kerdðzoun oi dôo, pì èn d ro o kjèn (t dôo d r eðni pnomoiìtup. DÔo ˆtom gorˆzoun pì dôo lqnoô o kjèn. 'Estw X, Y,, } to pl jo twn d rwn pou kerdðzei o kjèn. 5

32 (þ [.5 monˆd] N upologðsete thn pì koinoô mˆz pijnìtht p XY (x, y P (X x, Y y, gi kˆje x,, }, y,, }. Apotup ste th se èn pðnk. (Upìdeixh: gi prˆdeigm, h p XY (, P (X, Y eðni h pijnìtht n mhn kerdðsei kneð knèn d ro. (bþ [.5 monˆd] Bˆsei tou prohgoômenou skèlou, poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou A n pˆroun ki t dôo d r oi dôo digwnizìmenoi? Poi eðni h pijnìtht tou endeqìmenou B èn (opoiosd pote pì tou dôo n pˆrei ki t dôo d r? EpÐsh, upologðste ti mˆze p X (x, p Y (y, ti mèse timè E(X, E(Y, ki thn sundikômnsh COV(X, Y. D ste ìl t potelèsmt se morf pl n klsmˆtwn. 4. (Peltstè [ monˆde] Prìsfte rqiologikè nskfè epibebðwsn thn nforˆ tou Hrìdotou ìti èn Sprtiˆth peltst th klssik epoq mporoôse n rðxei to dìru se mi pìstsh X omoiìmorf ktnemhmènh metxô twn 6 ki 5 mètrwn, mporoôse n ektoxeôsei èn lðjo me qr sh sfentìn se mi pìstsh Y epðsh omoiìmorf ktnemhmènh metxô twn 9 ki mètrwn, ki, epiplèon, t X, Y tn nexˆrtht. Bˆsei twn ˆnw: (þ [ monˆd] Grˆyte ekfrˆsei gi ti puknìthte f X (x, f Y (y, f XY (x, y. E- pðsh, d ste mi èkfrsh gi thn pijnìtht P (X > Y se morf diploô oloklhr mto. (bþ [ monˆd] UpologÐste thn P (X > Y. (Den eðni prðthto n kˆnete oloklhr sei. ArkeÐ èn klì sq m sto epðpedo xy. 5. (Fsìli [ monˆde] Se mi kllièrgei, t fsìli, foô xerjoôn ki perˆsoun pì èlegqo poiìtht, èqoun bˆro eðte Ðso me 5 grmmˆri (me pijnìtht /, eðte Ðso me 6 grmmˆri (me pijnìtht epðsh /. UpologÐste th mèsh tim ki th disporˆ tou bˆrou enì fsolioô. UpologÐste, proseggistikˆ, thn pijnìtht fsìli n èqoun bˆro pˆnw pì 55 grmmˆri. H pˆnths s mporeð n perièqei ìrou th morf Φ(x ìpou Φ h ktnom th tupik knonik T.M. 6

33 TUPOLOGIO PIJANOTHTWN A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Ditˆxei k ntik. pì N : (N k!, SundusmoÐ k ntik. pì N ( : N k N! k!(n k!, Epnlhptikè ditˆxei m kou k pì N ntik.: N k, EpnlhptikoÐ sundusmoð k ntik. pì N ( ( N+k : k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} dimèrish, (B i} dimèrish. A, B nexˆrtht P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Diwn(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np(p, k X Gewm(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Uper(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n n x n n!, X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j. 7

35 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -, ΟΜΑΔΑ Α. (Εκλογές Εστω τετραμελής επιτροπή αποτελούμενη από τους A, B, C, D, η οποία συζητά για την έγκριση μιας δαπάνης. Κάθε ένα από τα τέσσερα μέλη της επιτροπής θα ψηφίσει υπέρ της δαπάνης, με πιθανότητα /, ή κατά, με πιθανότητα /. Οι επιλογές των μελών είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Για να εγκριθεί η δαπάνη απαιτείται ψήφος υπέρ της δαπάνης τουλάχιστον τριών ατόμων. (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα να εγκριθεί η δαπάνη; (βʹ Με δεδομένο ότι η δαπάνη εγκρίθηκε, ποια η πιθανότητα να έχει ψηφίσει υπέρ ο A; Λύση: Καταρχήν, έστω A το ενδεχόμενο να ψηφίσει ο A υπέρ της δαπάνης και επομένως A το ενδεχόμενο να ψηφίσει κατά. Ομοίως ορίζουμε τα ενδεχόμενα B, B, C, C, D, D. Εστω E το ενδεχόμενο να εγκριθεί η δαπάνη. (αʹ Παρατηρούμε πως P (E P (ABCD ABC D AB CD A BCD ABCD P (ABCD + P (ABC D + P (AB CD + P (A BCD + P (ABCD 4 ( ( Η δεύτερη ισότητα προέκυψε γιατί έχουμε ένωση ξένων ενδεχόμενων, ενώ η τρίτη λόγω ανεξαρτησίας των επιλογών των μελών της επιτροπής. (βʹ Παρατηρούμε πως P (A E P (AE P (E Ο παρονομαστής έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο σκέλος. προηγούμενο σκέλος έχουμε και τελικά P (ABCD ABC D AB CD ABCD P (E P (AE P (ABCD ABC D AB CD ABCD Σχετικά με τον αριθμητή, παρόμοια με το P (ABCD + P (ABC D + P (AB CD + P (ABCD ( ( , P (A E P (AE P (E (Πυκνότητα Πιθανότητας Εστω πως η Τ.Μ. X έχει την πυκνότητα πιθανότητας xe x, x, f(x, x <. (αʹ Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς. (βʹ Υπολογίστε τη μέση τιμή E(X. (γʹ Υπολογίστε την πιθανότητα P (X <. Λύση: (αʹ Παρατηρήστε πως f(x dx xe x dx [ xe x] + x ( e x dx e x dx 4 ( e x dx 4.

36 Στα άνω, χρησιμοποιήσαμε τα γνωστά όρια lim x e x, lim x xe x. Επειδή πρέπει, κατά τα γνωστά από τη θεωρία, το άνω ολοκλήρωμα να είναι μονάδα, προκύπτει πως 4. (βʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X xf(x dx 4x e x dx x ( e x [ dx x e x] + 4xe x dx. Στην τελευταία ισότητα, χρησιμοποιήσαμε το γνωστό όριο lim x x e x. Στο τελευταίο ολοκλήρωμα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι της δοσμένης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας στο σύνολο όπου αυτή είναι θετική, και άρα θα ισούται με τη μονάδα. (γʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, P (X < e + f(x dx 4xe x dx ( e x dx e e + e. x ( e x [ dx xe x ] + e x dx. (Λαχειοφόρος αγορά Σε μια λαχειοφόρο αγορά υπάρχουν λαχνοί, εκ των οποίων κερδίζουν οι δύο, από ένα δώρο ο καθένας (τα δύο δώρα είναι πανομοιότυπα. Δύο άτομα αγοράζουν από δύο λαχνούς ο καθένας. Εστω X, Y,, } το πλήθος των δώρων που κερδίζει ο καθένας. (αʹ Να υπολογίσετε την από κοινού μάζα πιθανότητας p XY (x, y P (X x, Y y, για κάθε x,, }, y,, }. Αποτυπώστε τη σε ένα πίνακα. (βʹ Βάσει του προηγούμενου σκέλους, ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου A να πάρουν και τα δύο δώρα οι δύο διαγωνιζόμενοι; Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου B ένας (οποιοσδήποτε από τους δύο να πάρει και τα δύο δώρα; Επίσης, υπολογίστε τις μάζες p X (x, p Y (y, τις μέσες τιμές E(X, E(Y, και την συνδιακύμανση COV(X, Y. Δώστε όλα τα αποτελέσματα σε μορφή απλών κλασμάτων. Λύση: (αʹ Αφού X, Y,, }, πρέπει να υπολογίσουμε 9 τιμές συνολικά. Παρατηρήστε όμως ότι p XY (, p XY (, p XY (,, αφού έχουμε μόνο δώρα. Επιπλέον, λόγω συμμετρίας, p XY (, p XY (, και p XY (, p XY (,. Άρα, τελικά μας μένει να υπολογίσουμε 4 τιμές της από κοινού πυκνότητας, τις p XY (,, p XY (,, p XY (,, p XY (,. Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να πάρουμε 4 λαχνούς από, εκ των οποίων δύο κερδίζουν, και να μην επιλέξουμε κανέναν από τους δύο. Άρα, ( 8 4 p XY (, (. 4 Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να επιλέξει ο πρώτος παίκτης λαχνούς ανάμεσα στους, και να πετύχει και τους δύο λαχνούς που κερδίζουν. Άρα, p XY (, 45. Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να επιλέξει ο πρώτος παίκτης λαχνούς ανάμεσα στους, και να πετύχει ένα λαχνό που κερδίζει, ενώ ο δεύτερος να επιλέξει λαχνούς ανάμεσα σε 8 λαχνούς που περιέχουν ένα που κερδίζει και να μην τον βρει. Άρα, p XY (, 8 ( 7 ( ( (

37 Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να επιλέξει ο πρώτος παίκτης λαχνούς ανάμεσα στους, και να πετύχει ένα λαχνό που κερδίζει, ενώ ο δεύτερος να επιλέξει ανάμεσα σε 8 λαχνούς που περιέχουν ένα που κερδίζει και να τον βρει. Άρα, p XY (, ( 8 7 ( Συγκεντρωτικά, έχουμε τον πίνακα x y 5/45 /45 /45 /45 4/45 /45 (βʹ Με χρήση του πίνακα, βρίσκουμε πως P (A p XY (, + p XY (, + p XY (, , P (B p XY (, + p XY (, Εχοντας την από κοινού πυκνότητα, εύκολα βρίσκουμε πως ενώ λόγω συμμετρίας Άρα, και p X ( p XY (, + p XY (, + p XY (, 8 45, p X ( p XY (, + p XY (, + p XY (, 6 45, p X ( p XY (, + p XY (, + p XY (, 45, p Y ( 8 45, p Y ( 6 45, p Y ( 45. E(X E(Y , COV(X, Y E(XY E(XE(Y 4 45 ( (Πελταστές Πρόσφατες αρχαιολογικές ανασκαφές επιβεβαίωσαν την αναφορά του Ηρόδοτου ότι ένας Αθηναίος πελταστής της κλασσικής εποχής μπορούσε να ρίξει το δόρυ σε μια απόσταση X ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των 4 και μέτρων, μπορούσε να εκτοξεύσει ένα λίθο με χρήση σφεντόνας σε μια απόσταση Y επίσης ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των 6 και 4 μέτρων, και, επιπλέον, τα X, Y ήταν ανεξάρτητα. Βάσει των άνω: (αʹ Γράψτε εκφράσεις για τις πυκνότητες f X (x, f Y (y, f XY (x, y. Επίσης, δώστε μια έκφραση για την πιθανότητα P (X > Y σε μορφή διπλού ολοκληρώματος. (βʹ Υπολογίστε την τιμή του διπλού ολοκληρώματος του προηγούμενου σκέλους. Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, f XY (x, y f X (x 6, 4 x,, αλλού, 48, 4 x, 6 y 4,, αλλού, f Y (y 8, 6 y 4,, αλλού, P (X > Y f XY (x, y da. (x,y:x>y}

38 y 4 f XY (x,y A xy 6 B f XY (x,y 4 6 x Σχήμα : Άσκηση 4. (βʹ Παρατηρούμε πως η από κοινού πυκνότητα είναι θετική (και ίση με C (x, y : x [4, ], y [6, 4]}. Άρα, P (X > Y f XY (x, y da (x,y:x>y} C (x,y:x>y} 48 μόνο εντός του ορθογωνίου 48 da B 48 da, όπου B C (x, y : x > y} είναι το υποσύνολο του C όπου επιπλέον x > y. Και τα δύο, καθώς και το υποσύνολο A του C όπου y > x, έχουν σχεδιαστεί στο Σχήμα. Παρατηρήστε ότι καλούμαστε να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα μιας σταθερής συνάρτησης επί ενός τριγωνικού χωρίου εμβαδού Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι P (X > Y (Ρεβίθια Σε μια καλλιέργεια, τα ρεβίθια, αφού ξεραθούν και περάσουν από έλεγχο ποιότητας, έχουν βάρος είτε ίσο με 6 γραμμάρια (με πιθανότητα /, είτε ίσο με 7 γραμμάρια (με πιθανότητα επίσης /. Υπολογίστε, προσεγγιστικά, την πιθανότητα ρεβίθια να έχουν βάρος πάνω από 65 γραμμάρια. Λύση: Εστω X i, i,...,, τα βάρη των ρεβιθιών. Παρατηρούμε πως E(X i 6 + 7, E(X i , VAR(X i E(X i (E(X i Εχουμε: P ( X i > 65 P P ( X i > (/4 65 (/4 ( Z > 6/ ( Φ 6/.89. Στην πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιήσαμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. 4

39 ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -, ΟΜΑΔΑ Β. (Εκλογές Εστω τετραμελής επιτροπή αποτελούμενη από τους A, B, C, D, η οποία συζητά για την έγκριση μιας δαπάνης. Κάθε ένα από τα τέσσερα μέλη της επιτροπής θα ψηφίσει υπέρ της δαπάνης, με πιθανότητα /4, ή κατά, με πιθανότητα /4. Οι επιλογές των μελών είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Για να εγκριθεί η δαπάνη απαιτείται ψήφος υπέρ της δαπάνης τουλάχιστον τριών ατόμων. (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα να εγκριθεί η δαπάνη; (βʹ Με δεδομένο ότι η δαπάνη εγκρίθηκε, ποια η πιθανότητα να έχει ψηφίσει υπέρ ο A; Λύση: Καταρχήν, έστω A το ενδεχόμενο να ψηφίσει ο A υπέρ της δαπάνης και επομένως A το ενδεχόμενο να ψηφίσει κατά. Ομοίως ορίζουμε τα ενδεχόμενα B, B, C, C, D, D. Εστω E το ενδεχόμενο να εγκριθεί η δαπάνη. (αʹ Παρατηρούμε πως P (E P (ABCD ABC D AB CD A BCD ABCD P (ABCD + P (ABC D + P (AB CD + P (A BCD + P (ABCD 4 ( ( Η δεύτερη ισότητα προέκυψε γιατί έχουμε ένωση ξένων ενδεχόμενων, ενώ η τρίτη λόγω ανεξαρτησίας των επιλογών των μελών της επιτροπής. (βʹ Παρατηρούμε πως P (A E P (AE P (E P (ABCD ABC D AB CD ABCD P (E Ο παρονομαστής έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο σκέλος. προηγούμενο σκέλος έχουμε Σχετικά με τον αριθμητή, παρόμοια με το και τελικά P (AE P (ABCD ABC D AB CD ABCD P (ABCD + P (ABC D + P (AB CD + P (ABCD ( ( , P (A E P (AE P (E (Πυκνότητα Πιθανότητας Εστω πως η Τ.Μ. X έχει την πυκνότητα πιθανότητας xe x, x, f(x, x <. (αʹ Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς. (βʹ Υπολογίστε τη μέση τιμή E(X. (γʹ Υπολογίστε την πιθανότητα P (X <. Λύση: (αʹ Παρατηρήστε πως f(x dx xe x dx [ xe x] + x ( e x dx e x dx 9 ( e x dx 9. Στα άνω, χρησιμοποιήσαμε τα γνωστά όρια lim x e x, lim x xe x. Επειδή πρέπει, κατά τα γνωστά από τη θεωρία, το άνω ολοκλήρωμα να είναι μονάδα, προκύπτει πως 9. 5

40 (βʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X xf(x dx 9x e x dx x ( e x dx [ x e x] + 9xe x dx. Στην τελευταία ισότητα, χρησιμοποιήσαμε το γνωστό όριο lim x x e x. Στο τελευταίο ολοκλήρωμα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι της δοσμένης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας στο σύνολο όπου αυτή είναι θετική, και άρα θα ισούται με τη μονάδα. (γʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, P (X < 6e 6 + f(x dx 9xe x dx ( e x dx 6e 6 e 6 + 7e 6. x ( e x [ dx xe x ] + e x dx. (Λαχειοφόρος αγορά Σε μια λαχειοφόρο αγορά υπάρχουν 8 λαχνοί, εκ των οποίων κερδίζουν οι δύο, από ένα δώρο ο καθένας (τα δύο δώρα είναι πανομοιότυπα. Δύο άτομα αγοράζουν από δύο λαχνούς ο καθένας. Εστω X, Y,, } το πλήθος των δώρων που κερδίζει ο καθένας. (αʹ Να υπολογίσετε την από κοινού μάζα πιθανότητας p XY (x, y P (X x, Y y, για κάθε x,, }, y,, }. Αποτυπώστε τη σε ένα πίνακα. (βʹ Βάσει του προηγούμενου σκέλους, ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου A να πάρουν και τα δύο δώρα οι δύο διαγωνιζόμενοι; Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου B ένας (οποιοσδήποτε από τους δύο να πάρει και τα δύο δώρα; Επίσης, υπολογίστε τις μάζες p X (x, p Y (y, τις μέσες τιμές E(X, E(Y, και την συνδιακύμανση COV(X, Y. Δώστε όλα τα αποτελέσματα σε μορφή απλών κλασμάτων. Λύση: (αʹ Αφού X, Y,, }, πρέπει να υπολογίσουμε 9 τιμές συνολικά. Παρατηρήστε όμως ότι p XY (, p XY (, p XY (,, αφού έχουμε μόνο δώρα. Επιπλέον, λόγω συμμετρίας, p XY (, p XY (, και p XY (, p XY (,. Άρα, τελικά μας μένει να υπολογίσουμε 4 τιμές της από κοινού πυκνότητας, τις p XY (,, p XY (,, p XY (,, p XY (,. Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να πάρουμε 4 λαχνούς από 8, εκ των οποίων δύο κερδίζουν, και να μην επιλέξουμε κανέναν από τους δύο. Άρα, ( 6 p XY (, ( Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να επιλέξει ο πρώτος παίκτης λαχνούς ανάμεσα στους 8, και να πετύχει και τους δύο λαχνούς που κερδίζουν. Άρα, p XY (, ( 8 8. Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να επιλέξει ο πρώτος παίκτης λαχνούς ανάμεσα στους 8, και να πετύχει ένα λαχνό που κερδίζει, ενώ ο δεύτερος να επιλέξει λαχνούς ανάμεσα σε 6 λαχνούς που περιέχουν ένα που κερδίζει και να μην τον βρει. Άρα, p XY (, 6 ( 5 ( 6 7. ( 8 Η p XY (, ισούται με την πιθανότητα να επιλέξει ο πρώτος παίκτης λαχνούς ανάμεσα στους 8, και να πετύχει ένα λαχνό που κερδίζει, ενώ ο δεύτερος να επιλέξει ανάμεσα σε 6 λαχνούς που περιέχουν ένα που κερδίζει και να τον βρει. Άρα, p XY (, ( 6 5 (

41 Συγκεντρωτικά, έχουμε τον πίνακα x y 6/8 8/8 /8 8/8 4/8 /8 (βʹ Με χρήση του πίνακα, βρίσκουμε πως P (A p XY (, + p XY (, + p XY (, , P (B p XY (, + p XY (, Εχοντας την από κοινού πυκνότητα, εύκολα βρίσκουμε πως ενώ λόγω συμμετρίας Άρα, και p X ( p XY (, + p XY (, + p XY (, 5 8, p X ( p XY (, + p XY (, + p XY (, 7, p X ( p XY (, + p XY (, + p XY (, 8, p Y ( 5 8, p Y ( 7, p Y ( 8. E(X E(Y , COV(X, Y E(XY E(XE(Y 7 ( (Πελταστές Πρόσφατες αρχαιολογικές ανασκαφές επιβεβαίωσαν την αναφορά του Ηρόδοτου ότι ένας Σπαρτιάτης πελταστής της κλασσικής εποχής μπορούσε να ρίξει το δόρυ σε μια απόσταση X ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των 6 και 5 μέτρων, μπορούσε να εκτοξεύσει ένα λίθο με χρήση σφεντόνας σε μια απόσταση Y επίσης ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των 9 και μέτρων, και, επιπλέον, τα X, Y ήταν ανεξάρτητα. Βάσει των άνω: (αʹ Γράψτε εκφράσεις για τις πυκνότητες f X (x, f Y (y, f XY (x, y. Επίσης, δώστε μια έκφραση για την πιθανότητα P (X > Y σε μορφή διπλού ολοκληρώματος. (βʹ Υπολογίστε την τιμή του διπλού ολοκληρώματος του προηγούμενου σκέλους. Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, f XY (x, y f X (x 9, 6 x 5,, αλλού, 8, 6 x 5, 9 y,, αλλού, f Y (y, 9 y,, αλλού, P (X > Y f XY (x, y da. (x,y:x>y} (βʹ Παρατηρούμε πως η από κοινού πυκνότητα είναι θετική (και ίση με C (x, y : x [6, 5], y [9, ]}. Άρα, P (X > Y f XY (x, y da (x,y:x>y} C (x,y:x>y} 8 μόνο εντός του ορθογωνίου 8 da B 8 da, όπου B C (x, y : x > y} είναι το υποσύνολο του C όπου επιπλέον x > y. Και τα δύο, καθώς και το υποσύνολο A του C όπου y > x, έχουν σχεδιαστεί στο Σχήμα. Παρατηρήστε ότι καλούμαστε 7

42 y 5 f XY (x,y A xy 9 B f XY (x,y x Σχήμα : Άσκηση 4. να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα μιας σταθερής συνάρτησης επί ενός τριγωνικού χωρίου εμβαδού Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι P (X > Y (Φασόλια Σε μια καλλιέργεια, τα φασόλια, αφού ξεραθούν και περάσουν από έλεγχο ποιότητας, έχουν βάρος είτε ίσο με 5 γραμμάρια (με πιθανότητα /, είτε ίσο με 6 γραμμάρια (με πιθανότητα επίσης /. Υπολογίστε, προσεγγιστικά, την πιθανότητα φασόλια να έχουν βάρος πάνω από 55 γραμμάρια. Λύση: Εστω X i, i,...,, τα βάρη των φασολιών. Παρατηρούμε πως E(X i 5 + 6, E(X i , VAR(X i E(X i (E(X i Εχουμε: P ( X i > 55 P P ( X i > (/4 55 (/4 ( Z > 4/ ( Φ 4/.. Στην πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιήσαμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. 8

43 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. ( monˆde (Asnsèr 'Estw kt rio me 5 orìfou. (Stou 5 orìfou den upologðzeti to isìgeio. EpÐsh, den upˆrqei upìgeio. 'Estw pw 4 ˆtom, oi,,,4, mpðnoun, pì to isìgeio, sto snsèr. Kjèn pì utˆ kteujôneti pro èn pì tou 5 orìfou. Kˆje èn pì t ˆtom j bgei se kˆpoion ìrofo nexˆrtht pì t ˆll ˆtom, qwrð kˆpoi protðmhsh w pro ton ìrofo. (þ (.5 monˆd OrÐste deigmtikì q ro gi to ˆnw tuqðo peðrm. Pìs potelèsmt perilmbˆnei ki ti pijnìtht èqei to kjèn? (bþ (.5 monˆd Poi h pijnìtht n bgoun pì to snsèr ìl t ˆtom ston Ðdio ìrofo? (gþ (.5 monˆd Poi h pijnìtht n pˆne ìl t ˆtom se diforetikì, to kjèn, ìrofo? (dþ (.5 monˆd Poi h pijnìtht n bgoun dôo (opoid pote ˆtom mzð se ènn (opoiond pote ìrofo ki t dôo ˆll epðsh mzð se ènn ˆllo (opoiod pote ìrofo?. ( monˆde (KljosfÐrish Se èn g n metxô twn omˆdwn P ki O, h P kerdðzei me pijnìtht.6 ki h O me pijnìtht.4. (Den upˆrqei isoplð. DidoqikoÐ g ne metxô twn omˆdwn eðni pˆnt nexˆrthtoi. (þ (.5 monˆd An oi omˆde pðxoun g ne, n dojeð tôpo gi thn pijnìtht n kerdðsei h P perissìterou g ne pì thn O. Mhn kˆnete proseggðsei. Den qreiˆzeti n upologðsete thn tim th pijnìtht, pl n d sete èn tôpo.

44 (bþ (.5 monˆd An oi omˆde pðzoun didoqikoô g ne mèqri n kerdðsei h O gi pr th forˆ, poi h pijnìtht n pðxoun krib 6 g ne? (gþ (.5 monˆd An oi omˆde pðzoun mèqri n kerdðsei h O dôo g ne (ìqi prðtht didoqikoô, poi h pijnìtht n pðxoun krib 5 g ne? (dþ (.5 monˆd An oi omˆde pðxoun didoqikoô g ne mèqri kˆpoi pì ti dôo n kerdðsei 4 sunolikˆ g ne (ìqi prðtht didoqikoô, poi h pijnìtht n piqtoôn sunolikˆ krib 6 g ne?. ( monˆde (Puknìtht Pijnìtht DÐneti h puknìtht pijnìtht, x, f(x [ b x b ], x b,, lloô, ìpou oi, b eðni ˆgnwste jetikè prgmtikè prˆmetroi. DÐneti epðsh ìti P ( X /. (þ ( monˆd N sqedisteð h f(x. N prosdioristoôn oi, b. (bþ ( monˆd N upologðsete ti E(X, VAR(X. (MporeÐte n lôsete utì to skèlo pr t, pl h pˆnths s j eðni sunrt sei twn, b. 4. (.5 monˆd (Ag n PodosfÐrou 'Estw g n podosfðrou metxô twn omˆdwn A ki B. To pl jo twn gkol pou bˆzei h omˆd A eðni mi T.M. X pou lmbˆnei ti kèrie timè,,, ìle me pijnìtht /, en to pl jo twn gkol pou bˆzei h omˆd B eðni mi T.M. Y pou lmbˆnei ti kèrie timè,,,, ìle me pijnìtht /4. Oi T.M. X, Y eðni nexˆrthte. (þ (.5 monˆd DeÐxte se èn pðnk thn pì koinoô mˆz pijnìtht p XY (x, y. Pìsh eðni h sundikômnsh twn X, Y? (bþ ( monˆd UpologÐste thn ktnom th T.M. Z X Y ki th mèsh tim E(Z. 5. (.5 monˆde (Mèso ìro bjmologð Gi n pofoit sei, èn foitht prèpei n perˆsei 6 mj mt. 'Estw pw h bjmologð tou se kˆje mˆjhm pou pernˆ eðni mi tuqð metblht X pou lmbˆnei ti timè 5, 6, 7, 8, 9, ki, kˆje mi me pijnìtht /6. (þ ( monˆd N upologðsete ti E(X ki VAR(X. (bþ (.5 monˆd AkoloÔjw, upologðste, proseggistikˆ me qr sh tou K.O.J., thn pijnìtht o mèso ìro bjmologð tou foitht sthn pofoðths tou n pernˆ to 8. H pˆnths s mporeð n perièqei thn sunˆrthsh Φ(. Ston upologismì tou mèsou ìrou, ìl t mj mt èqoun to Ðdio bˆro.

45 TUPOLOGIO PIJANOTHTWN A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Ditˆxei k ntik. pì N : (N k!, SundusmoÐ k ntik. pì N ( : N k N! k!(n k!, Epnlhptikè ditˆxei m kou k pì N ntik.: N k, EpnlhptikoÐ sundusmoð k ntik. pì N ( ( N+k : k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} dimèrish, (B i} dimèrish. A, B nexˆrtht P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex n xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x n n!, ( + bn ( n i b n i. i X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Diwn(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np( p, k X Gewm(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Uper(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k i p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j.

47 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ. (Ασανσέρ Εστω κτήριο με 5 ορόφους. (Στους 5 ορόφους δεν υπολογίζεται το ισόγειο. Επίσης, δεν υπάρχει υπόγειο. Εστω πως 4 άτομα, οι,,,4, μπαίνουν, από το ισόγειο, στο ασανσέρ. Καθένας από αυτούς κατευθύνεται προς ένας από τους 5 ορόφους. Κάθε ένα από τα άτομα θα βγει σε κάποιον όροφο ανεξάρτητα από τα άλλα άτομα, χωρίς κάποια προτίμηση ως προς τον όροφο. (αʹ Ορίστε δειγματικό χώρο για το άνω τυχαίο πείραμα. Πόσα αποτελέσματα περιλαμβάνει και τι πιθανότητα έχει το καθένα; (βʹ Ποια η πιθανότητα να πάνε όλα τα άτομα σε έναν μόνο (αλλά οποιονδήποτε όροφο; (γʹ Ποια η πιθανότητα να πάνε όλα τα άτομα σε διαφορετικούς ορόφους; (δʹ Ποια η πιθανότητα να βγουν δύο (οποιαδήποτε άτομα μαζί σε έναν (οποιονδήποτε όροφο και τα δύο άλλα επίσης μαζί σε έναν άλλο (οποιοδήποτε όροφο; Λύση: (αʹ Ο πιο προφανής τρόπος να οριστεί ο δειγματικός χώρος είναι ως όλες οι τετράδες της μορφής (x, x, x, x 4, όπου x i,,, 4, 5}, i,,, 4, είναι ο όροφος όπου θα κατέβει από το ασανσέρ το άτομο i. Ο δειγματικός χώρος απαρτίζεται από αποτελέσματα, και βάσει των υποθέσεων κάθε ένα από αυτά έχει πιθανότητα /65 να προκύψει. (βʹ Εστω A το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Από τα 5 4 αποτελέσματα, υπάρχουν ακριβώς 5, ένα για κάθε όροφο, που περιλαμβάνονται στο ενδεχόμενο A. Άρα, P (A (γʹ Εστω B το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Φανταστείτε πως τα 4 άτομα αποφασίζουν διαδοχικά για το που θα βγουν. Υπάρχουν 5 επιλογές για τον, 4 επιλογές για τον, κ.ο.κ., άρα τελικά P (B (δʹ Εστω C το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Για να μετρήσουμε τα αποτελέσματα από τα οποία αποτελείται, παρατηρούμε πως υπάρχουν ( 5 επιλογές για τους ορόφους στους οποίους θα καταλήξουν ζεύγη. Με δεδομένους τους ορόφους αυτούς, υπάρχουν ( 4 6 τρόποι με τους οποίους μπορούν να κατανεμηθούν τα 4 άτομα. Άρα, τελικά ( 5 ( 4 P (C Μπορείτε να απαντήσετε τα άνω ερωτήματα με χρήση δεσμευμένων πιθανοτήτων; Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι απαντήσεις σας θα είναι απλούστερες αυτών που δόθηκαν εδώ.. (Καλαθοσφαίριση Σε ένα αγώνα μεταξύ των ομάδων Π και Ο, η Π κερδίζει με πιθανότητα.6 και η Ο με πιθανότητα.4. (Δεν υπάρχει ισοπαλία. Διαδοχικοί αγώνες μεταξύ των ομάδων είναι πάντα ανεξάρτητοι. (αʹ Αν οι ομάδες παίξουν αγώνες, να δοθεί τύπος για την πιθανότητα να κερδίσει η Π περισσότερους αγώνες από την Ο. Μην κάνετε προσεγγίσεις. Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε την τιμή της πιθανότητας, απλώς να δώσετε ένα τύπο. (βʹ Αν οι ομάδες παίζουν διαδοχικούς αγώνες μέχρι να κερδίσει η Ο για πρώτη φορά, ποια η πιθανότητα να παίξουν ακριβώς 6 αγώνες; (γʹ Αν οι ομάδες παίζουν μέχρι να κερδίσει η Ο δύο αγώνες (όχι απαραίτητα διαδοχικούς, ποια η πιθανότητα να παίξουν ακριβώς 5 αγώνες; (δʹ Αν οι ομάδες παίξουν διαδοχικούς αγώνες μέχρι κάποια από τις δύο να κερδίσει 4 συνολικά αγώνες (όχι απαραίτητα διαδοχικούς, ποια η πιθανότητα να παιχτούν συνολικά ακριβώς 6 αγώνες;

48 Λύση: (αʹ Επειδή το πλήθος των αγώνων είναι προκαθορισμένο, και οι αγώνες ανεξάρτητοι, το πλήθος των αγώνων που θα κερδίσει η Π δίνεται από την διωνυμική κατανομή, με αριθμό πειραμάτων N και πιθανότητα επιτυχίας p.6. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι να έχουμε 6 έως επιτυχίες, δηλαδή ( p.6 i (.6 i.6. i i6 (βʹ Αφού έχουμε διαδοχικούς αγώνες μέχρι να προκύψει ένα αποτέλεσμα από τα δύο, και οι αγώνες είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, ο αριθμός των αγώνων που θα γίνουν ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας να συμβεί το συγκεκριμένο αποτέλεσμα, δηλαδή q.6.4. Άρα, η πιθανότητα να χρειαστούν 6 προσπάθειες ισούται με p δηλαδή η πιθανότητα να έχουμε 5 νίκες της ομάδας Π, και ακολούθως νίκη της ομάδας Ο. (γʹ Το ενδεχόμενο C να κερδίσει τον δεύτερο αγώνα της η ομάδα Ο στον 5ο αγώνα ισούται με την τομή του ενδεχόμενου A να κερδίσει η Ο έναν από τους 4 πρώτους αγώνες, και του ενδεχόμενου B να κερδίσει η Ο τον 5ο αγώνα. Παρατηρήστε ότι τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα, γιατί αφορούν διαφορετικά σετ αγώνων (δηλαδή τους πρώτους 4 και τον 5ο, και επιπλέον η πιθανότητα του ενδεχόμενου A προκύπτει με άμεση χρήση της διωνυμικής κατανομής. Τελικά, έχουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με ( 4 p P (C P (A B P (AP (B.4 ( (δʹ Το ενδεχόμενο D να παιχτούν 6 αγώνες αποτελείται από τα ξένα ενδεχόμενα E να κατακτήσει η ομάδα Π την τέταρτη νίκη της στον 6ο αγώνα, και το ενδεχόμενο F να κατακτήσει η ομάδα Ο την τέταρτη νίκη της στον 6ο αγώνα. Οι πιθανότητες P (E και P (F μπορούν να υπολογιστούν όπως και στο προηγούμενο σκέλος: P (E ( , P (F. (Πυκνότητα Πιθανότητας Δίνεται η πυκνότητα πιθανότητας, [ ] x, b x f(x b, x b,, αλλού, ( , p 4 P (D P (E + P (F.995. όπου οι, b είναι άγνωστες θετικές πραγματικές παράμετροι. Δίνεται επίσης ότι P ( X /. (αʹ Να σχεδιαστεί η f(x και να προσδιοριστούν οι τιμές των παραμέτρων, b. (βʹ Να υπολογίσετε τις E(X, VAR(X. (Μπορείτε να λύσετε αυτό το σκέλος πρώτα, απλώς η απάντησή σας θα είναι συναρτήσει των, b. Λύση: (αʹ Η πυκνότητα έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα. Για τον υπολογισμό των παραμέτρων, παρατηρούμε καταρχήν πως P ( X f(x dx, αφού το άνω ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές και. Άρα, χρησιμοποιώντας την υπόθεση, καταρχήν έχουμε. Παρατηρούμε επίσης πως P ( X f(x dx (b b 4, αφού το ολοκλήρωμα ισούται με το εμβαδόν τριγώνου βάσης (b και ύψους. Παρατηρούμε επίσης πως, αφού η πυκνότητα είναι μηδενική εκτός του διαστήματος [, ], θα πρέπει P ( X + P ( X P ( X.

49 f(x x b Σχήμα : Άσκηση. Άρα, τελικά, b 4 b. Η πυκνότητα γίνεται, x, x f(x 4, x,, αλλού. (βʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, έχουμε E(X xf(x dx x dx + 4 ( xx dx [ ] x 4 x 4 + [ ], E(X + 4 x f(x dx ( x dx + 4 [ VAR(X E(X (E(X 5 ( x dx + 4 ( xx dx (x x4 dx [ ] x ] 5, ] [x x4 4 ( x x dx 4. (Αγώνας Ποδοσφαίρου Εστω αγώνας ποδοσφαίρου μεταξύ των ομάδων A και B. Το πλήθος των γκολ που βάζει η ομάδα A είναι μια Τ.Μ. X που λαμβάνει τις ακέραιες τιμές,,, όλες με πιθανότητα /, ενώ το πλήθος των γκολ που βάζει η ομάδα B είναι μια Τ.Μ. Y που λαμβάνει τις ακέραιες τιμές,,,, όλες με πιθανότητα /4. Οι Τ.Μ. X, Y είναι ανεξάρτητες. (αʹ Υπολογίστε την από κοινού μάζα πιθανότητας p XY (x, y. Πόση είναι η συνδιακύμανση των X, Y ; (βʹ Υπολογίστε την κατανομή της Τ.Μ. Z X Y και τη μέση τιμή E(Z. Λύση: (αʹ Κατά τα δοσμένα, η X έχει τη μάζα p X ( p X ( p X (, ενώ η Y έχει τη μάζα p Y ( p Y ( p Y ( p Y ( 4. Επειδή οι X, Y είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι p XY (x, y p X (xp Y (y, x,,, y,,,.

50 Άρα, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: x y / / / / / / / / / / / / Με δεδομένο ότι οι X, Y είναι ανεξάρτητες, η συνδιακύμανσή τους είναι μηδέν, δηλαδή COV(X, Y. (βʹ Παρατηρούμε πως p Z ( P (X Y p XY (, + p XY (, + p XY (, 4, p Z ( P (X Y + + P (Y X + p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, 5, p Z ( P (X Y + + P (Y X + p XY (, + p XY (, + p XY (,, p Z ( P (Y X + p XY (,. E(Z zp Z (z z 5. (Μέσος όρος βαθμολογίας Για να αποφοιτήσει, ένας φοιτητής πρέπει να περάσει 6 μαθήματα. Εστω πως η βαθμολογία του σε κάθε μάθημα που περνά είναι μια τυχαία μεταβλητή X που λαμβάνει τις τιμές 5, 6, 7, 8, 9, και, κάθε μια με πιθανότητα /6. (αʹ Να υπολογίσετε τις E(X και VAR(X. (βʹ Ακολούθως, υπολογίστε, προσεγγιστικά με χρήση του Κ.Ο.Θ., την πιθανότητα ο μέσος όρος βαθμολογίας του φοιτητή στην αποφοίτησή του να περνά το 8. Η απάντησή σας μπορεί να περιέχει την συνάρτηση Φ(. Στον υπολογισμό του μέσου όρου, όλα τα μαθήματα έχουν το ίδιο βάρος. Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X E(X x5 x5 xp X (x , x p X (x , ( 5 5. VAR(X E(X (E(X 55 6 (βʹ Εστω X i, i,..., 6, οι βαθμοί που λαμβάνει ο φοιτητής στα 6 μαθήματα. Ο μέσος όρος του είναι η τυχαία μεταβλητή 6 6 X i. Κατά τα γνωστά από τη θεωρία για το Κ.Ο.Θ., έχουμε: ( 6 ( 6 P X i > 8 P X ( i > 6 8 5/ P Z > 5/ 5/ 5 ( Φ Με χρήση υπολογιστή, βρίσκουμε ότι η πιθανότητα είναι.54. Το σφάλμα δεν είναι αμελητέο, καθώς το πλήθος των X i είναι σχετικά μικρό. 4

51 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. [ monˆde] (Tournouˆ Se èn tournouˆ kljosfðrish summetèqoun 8 omˆde A, B, G, D, E, Z, H, J. To tournouˆ diexˆgeti se trei gôrou, sômfwn me to Sq m. Kˆje g n èqei nikht ki qmèno (den upˆrqoun isoplðe ki o nikht prokrðneti ston epìmeno gôro. Oi omˆde topojetoônti sti jèsei èw 8 me kl rwsh, qwrð protðmhsh sto potèlesm. Prthr ste ìti diexˆgeti mìno mi kl rwsh, sthn rq tou tournouˆ, ki ìti j gðnoun krib 7 g ne. 'Ole oi omˆde eðni isodônme, ki epomènw t dôo potelèsmt enì g n eðni isopðjn. Upojètont pw h kl rwsh den èqei gðnei kìm, (þ Poi eðni h pijnìtht oi omˆde A,B n pðxoun metxô tou ston telikì gôro? (bþ Poi eðni h pijnìtht oi omˆde A,B n pðxoun metxô tou se opoiond pote pì tou trei gôrou? (gþ Me pìsou diforetikoô trìpou mporeð n gðnei h kl rwsh ston pr to gôro, n den m noiˆzei h seirˆ pou pðzoun oi omˆde se èn g n, se opoiod pote stˆdio tou digwnismoô?. [ monˆde] (Mprelìk 'Estw èn mprelìk me 6 kleidiˆ, ek twn opoðwn èn mìno noðgei mi pìrt. Dokimˆzoume t kleidiˆ sthn pìrt, qwrð kˆpoi protðmhsh sth seirˆ, mèqri n broôme utì pou thn noðgei. Exetˆzoume dôo peript sei: (þ 'Otn elègxoume ìti èn kleidð den noðgei thn pìrt, to bˆzoume sthn ˆkrh, ki den to xndokimˆzoume. (bþ 'Estw enllktikˆ pw (lìgw tou ìti pˆsqoume pì mnhsð ìtn elègxoume ìti èn kleidð den noðgei thn pìrt, den to bˆzoume sthn ˆkrh, llˆ to epistrèfoume sto mprelìk ki xnrqðzoume thn nz thsh entel pì thn rq. UpologÐste, ki gi ti dôo peript sei, ( ktˆ mèso ìro pìse prospˆjeie j kˆnoume gi n broôme to swstì kleidð, ki (b thn pijnìtht n qreistoôme krib 4 prospˆjeie mèqri n broôme to swstì kleidð.

52 . [ monˆde] (Gkol Se èn g n podosfðrou, t gkol pou bˆzoun oi dôo omˆde eðni T.M. X ki Y (gi thn pr th ki thn deôterh omˆd ntistoðqw me pì koinoô mˆz pou dðneti pì ton pðnk tou Sq mto. (þ Poi pì ti dôo omˆde eðni pio pijnì n kerdðsei? (bþ Poi eðni h mˆz twn jroðsmto Z X + Y? (gþ Me dedomèno ìti mp kn gkol, poi eðni h pijnìtht n èqei èrjei o g n isoplð? (dþ UpologÐste thn sundikômnsh COV(X, Y. 4. [ monˆde] (Kèrm 'Estw T.M. X omoiìmorf ktnemhmènh sto [, ]. 'Estw Y T.M. ekjetikˆ ktnemhmènh me prˆmetro θ. 'Estw T.M. Z pou orðzeti w ex : rðqnoume èn dðkio kèrm ki n èrjei grˆmmt, tìte Z X. An èrjei kor n, tìte Z Y. (þ Poi eðni h pijnìtht P ( Z <? (bþ UpologÐste thn ktnom ki thn puknìtht tou Z. 5. [ monˆde] ( b mt To m ko pou klôptei èn ˆtomo me èn b m eðni T.M. X omoiìmorf ktnemhmènh sto diˆsthm [.9,.] mètr. (þ UpologÐste thn mèsh tim E(X ki th disporˆ VAR(X. (bþ To sugkekrimèno ˆtomo kˆnei b mt ki dhl nei ìti h pìstsh pou diènuse eðni mètr. Poi eðni h pijnìtht to sfˆlm sthn pìstsh j eðni, kt' pìluto tim, meglôtero tou enì mètrou? Sthn pˆnths s mporeð n emfnðzeti h sunˆrthsh Φ(. Προημιτελικοί Ημιτελικοί Τελικός Νικητής x y /6 /6 / /4 /6 / /4 /4 / /4 /4 /4 8 Σχήμα : Το τουρνουά της Άσκησης και η από κοινού μάζα της Άσκησης.

54 E(X f(x dx lim t t P (X B X U[, b], f(x f(x dx, B xf(x dx, E(g(X, b X Ekj(θ, f(x R f(x dx lim t + f(t dt, P [ X b] t f(x dx, f(x dx lim t b f(x dx t lim t f(x dx, t f(x dx, F (x P (X x f(x dx + lim t + x f(x dx lim f(t dt, g(xf(x dx, E(X + b E(X + b, E( ig i(x σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, gi x [, b],, gi x [, b], θ e x/θ, gi x,, gi x <, X N(µ, σ, f(x, x <, x F (x b, x b,, x > b, F (x E(X + b t + t t f(x dx, f(x dx, F (x f(x, ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. (b, VAR(X,, x, e x θ, x, E(X θ, VAR(X θ, πσ e (x µ /σ, gi x R, E(X µ, VAR(X σ, X N(µ, σ X µ N(,, σ Z N(,, φ(z e z /, Φ(z π R (x, y : x b, φ (x y φ (x}, R (x, y : y b, φ (y x φ (y}, [,b] [,d] f(x, y da P [(X, Y R] f XY (x, y da, P ( X b, Y d f X(x f XY (x, y dy, f Y (y [,b] [,d] R R ( d ( b µ P ( X b Φ σ z e x / dx, π f(x, y da f(x, y da f(x, y dy dx f XY (x, y da f XY (x, y dx, E(g(X, Y Φ ( µ σ, Φ(x Φ( x. ( φ (x f(x, y dy dx, φ (x ( φ (y f(x, y dx dy, d d k φ (y ( f(x, y dx dy, ( d fxy (x, ydy dx, ( b fxy (x, ydx dy, g(x, yf XY (x, y dxdy, K K E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y E(g k (X, Y, X, Y nexˆrthte P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B f XY (x, y f X(xf Y (y x, y, X, Y nexˆrthte E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, f X+Y (z E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i VAR(X i + k i<j n f X(tf Y (z t dt, COV(X i, X j. X, > P (X E(X, > P ( X E(X VAR(X, X, X,... nex. me koin kt., E(X i µ, XN N ɛ >, P ( X i X N µ < ɛ, kj N, N P ( lim N XN µ, ( N VAR(X i σ, SN N σ Xi Nµ P ( S N b Φ(b Φ(, kj N, (X i µ N σ P ( SN Φ(, kj N, N P ( SN Φ(, kj N. 4

55 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -, ΟΜΑΔΑ Α. (Τουρνουά Σε ένα τουρνουά καλαθοσφαίρισης συμμετέχουν 8 ομάδες Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η,Θ. Το τουρνουά διεξάγεται σε τρεις γύρους, σύμφωνα με το Σχήμα. Κάθε αγώνας έχει νικητή και χαμένο (δεν υπάρχουν ισοπαλίες και ο νικητής προκρίνεται στον επόμενο γύρο. Οι ομάδες τοποθετούνται στις θέσεις έως 8 με κλήρωση, χωρίς προτίμηση στο αποτέλεσμα. Παρατηρήστε ότι διεξάγεται μόνο μια κλήρωση, στην αρχή του τουρνουά, και ότι θα γίνουν ακριβώς 7 αγώνες. Ολες οι ομάδες είναι ισοδύναμες, και επομένως τα δύο αποτελέσματα ενός αγώνα είναι ισοπίθανα. Υποθέτοντας πως η κλήρωση δεν έχει γίνει ακόμα, (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα οι ομάδες Α,Β να παίξουν μεταξύ τους στον τελικό γύρο; (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα οι ομάδες Α,Β να παίξουν μεταξύ τους σε οποιονδήποτε από τους τρεις γύρους; (γʹ Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η κλήρωση στον πρώτο γύρο, αν δεν μας νοιάζει η σειρά που παίζουν οι ομάδες σε ένα αγώνα, σε οποιοδήποτε στάδιο του διαγωνισμού; Λύση: (αʹ Υπάρχουν ( 8 8 ζεύγη ομάδων, και δεν υπάρχει κάποιο ζεύγος ομάδων που να έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να φτάσει στον τελικό από κάποιο άλλο. Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 8. Εναλλακτικά παρατηρήστε πως υπάρχει πιθανότητα 4 7 να τοποθετηθούν οι Α,Β σε διαφορετικές τετράδες (ώστε να μπορούν να κερδίσουν η κάθε μια και τους δύο αγώνες μέχρι τον τελικό και να συναντηθούν εκεί και όχι νωρίτερα. Πράγματι, με δεδομένο ότι ξέρουμε που έχει κληρωθεί η πρώτη ομάδα, η δεύτερη ομάδα πρέπει να κληρωθεί σε 4 από 7 επιλογές. Με δεδομένο αυτό το ενδεχόμενο, έχουμε πιθανότητα να 4 κερδίσουν και τους 4 αγώνες που έχουν να δώσουν ( αγώνες η κάθε μια, άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι (βʹ Οι Α,Β θα παίξουν μαζί είτε σε προημιτελικό, είτε σε ημιτελικό, είτε σε τελικό. Τα ενδεχόμενα αυτά είναι ξένα, επομένως αρκεί να υπολογίσουμε και να προσθέσουμε τις πιθανότητές τους. i. Το πρώτο ενδεχόμενο θα συμβεί αν οι ομάδες κληρωθούν στον ίδιο προημιτελικό. Αν φανταστούμε ότι έχει τοποθετηθεί η πρώτη ομάδα, η δεύτερη θα τοποθετηθεί στον ίδιο προημιτελικό με πιθανότητα 7. ii. Για να συμβεί το δεύτερο ενδεχόμενο, πρέπει να κληρωθούν οι ομάδες στην ίδια τετράδα αλλά όχι στο ίδιο ζεύγος (κάτι που συμβαίνει με πιθανότητα 7, και ακολούθως να νικήσουν μια φορά η μια (αυτό γίνεται με πιθανότητα 4. Τελικά η πιθανότητα είναι iii. Το τελευταίο ενδεχόμενο έχει υπολογιστεί στο προηγούμενο σκέλος, και ισούται με 8. Προσθέτοντας, προκύπτει τελικά πως η πιθανότητα είναι 4. (γʹ Παρατηρήστε πως υπάρχουν 8! μεταθέσεις με τις οποίες μπορούμε να βάλουμε τις ομάδες στις 8 θέσεις. Ομως, για κάθε μετάθεση όπου στο πρώτο ζεύγος εμφανίζονται δύο συγκεκριμένες ομάδες, υπάρχει μια άλλη μετάθεση όπου εμφανίζονται οι ίδιες ομάδες με αντίστροφη σειρά. Επειδή η σειρά δεν έχει σημασία, πρέπει να διαιρέσουμε με το. Παρόμοια πρέπει να διαιρέσουμε με το και για τα άλλα ζεύγη. Καταλήγουμε έτσι σε 8!/ 4 αποτελέσματα, εκ των οποίων και πάλι ορισμένα εμφανίζονται πολλές φορές. Πράγματι, δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι νικητές των ζευγαριών στους προημιτελικούς, άρα πρέπει να διαιρέσουμε με ένα. Τέλος, με παρόμοια λογική πρέπει να διαιρέσουμε με ένα ακόμα λόγω της συμμετρίας που εμφανίζεται στον τελικό. Άρα τελικά υπάρχουν 8!/ 7 5 τρόποι για να γίνει η κλήρωση. Εναλλακτικά, μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής. Αν τοποθετηθούν σε μια αυθαίρετη σειρά (π.χ. αρχαιότητας οι ομάδες, και επιλέγουν αντιπάλους με σειρά αρχαιότητας, ο πρώτος που θα επιλέξει έχει 7 επιλογές, ο δεύτερος 5, ο τρίτος, και ο τελευταίος. Τοποθετούμε εκ των υστέρων τα 4 ζεύγη σε μια αυθαίρετη σειρά, και το πρώτο εξ αυτών επιλέγει το δικό του ζευγάρι, με τρόπους. Σε αυτό το σημείο, το τουρνουά έχει προσδιορισθεί πλήρως. Υπάρχουν λοιπόν τρόποι για να γίνει η κλήρωση.. (Μπρελόκ Εστω ένα μπρελόκ με 6 κλειδιά, εκ των οποίων ένα μόνο ανοίγει μια πόρτα. Δοκιμάζουμε τα κλειδιά στην πόρτα, χωρίς κάποια προτίμηση στη σειρά, μέχρι να βρούμε αυτό που την ανοίγει. Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

56 Προημιτελικοί Ημιτελικοί Τελικός 4 Νικητής Σχήμα : Το τουρνουά της Άσκησης. (αʹ Οταν ελέγξουμε ότι ένα κλειδί δεν ανοίγει την πόρτα, το βάζουμε στην άκρη, και δεν το ξαναδοκιμάζουμε. (βʹ Εστω εναλλακτικά πως (λόγω του ότι πάσχουμε από αμνησία όταν ελέγξουμε ότι ένα κλειδί δεν ανοίγει την πόρτα, δεν το βάζουμε στην άκρη, αλλά το επιστρέφουμε στο μπρελόκ και ξαναρχίζουμε την αναζήτηση εντελώς από την αρχή. Υπολογίστε, και για τις δύο περιπτώσεις, (α κατά μέσο όρο πόσες προσπάθειες θα κάνουμε για να βρούμε το σωστό κλειδί, και (β την πιθανότητα να χρειαστούμε ακριβώς 4 προσπάθειες μέχρι να βρούμε το σωστό κλειδί. Λύση: Εστω X το πλήθος των φορών που θα δοκιμάσουμε αν ανοίγει την πόρτα ένα κλειδί. (αʹ Σε αυτή την περίπτωση, η Τ.Μ. X είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο σύνολο,,, 4, 5, 6}, και επομένως επομένως P (X i, i,..., 6, 6 P (X 4 6, E(X (βʹ Στη δεύτερη περίπτωση, η Τ.Μ. X ακολουθεί την εκθετική κατανομή, με πιθανότητα επιτυχίας p 6, επομένως ( 5 P (X 4 ( p p 6 6 5, E(X /p (Γκολ Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου, τα γκολ που βάζουν οι δύο ομάδες είναι Τ.Μ. X και Y (για την πρώτη και την δεύτερη ομάδα αντιστοίχως με από κοινού μάζα που δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα: x y /6 /6 / /4 /6 / /4 /4 / /4 /4 /4

57 (αʹ Ποια από τις δύο ομάδες είναι πιο πιθανό να κερδίσει; (βʹ Ποια είναι η μάζα των αθροίσματος Z X + Y ; (γʹ Με δεδομένο ότι μπήκαν γκολ, ποια είναι η πιθανότητα να έχει έρθει ο αγώνας ισοπαλία; (δʹ Υπολογίστε την συνδιακύμανση COV(X, Y. Λύση: (αʹ Παρατηρήστε πως P (X > Y P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y +P (X, Y + P (X, Y 5, P (X Y P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y 7 4, P (X < Y P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y 7 4, (βʹ Άρα η ομάδα που είναι πιο πιθανό να κερδίσει είναι η πρώτη. p Z ( P (X Y 6, p Z ( P (X, Y + P (X, Y, p Z ( P (X, Y + P (X Y + P (X, Y 4, p Z ( P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y 8, p Z (4 P (X, Y + P (X, Y, p Z (5 P (X, Y 4, (γʹ Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας, έχουμε (δʹ P (X Y X + Y P (X Y, X + Y P (X + Y P (X Y P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y + +. E(XY + ( , ( E(X ( ( ( , 4 ( E(Y ( ( , COV(X, Y E(XY E(XE(Y 4.

58 4. (Κέρμα Εστω Τ.Μ. X ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [, ]. Εστω Y Τ.Μ. εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο θ. Εστω Τ.Μ. Z που ορίζεται ως εξής: ρίχνουμε ένα δίκαιο κέρμα και αν έρθει γράμματα, τότε Z X. Αν έρθει κορώνα, τότε Z Y. (αʹ Ποια είναι η πιθανότητα P ( Z < ; (βʹ Υπολογίστε την κατανομή και την πυκνότητα του Z. Λύση: Εστω T το ενδεχόμενο το κέρμα να είναι γράμματα. (αʹ Από τον κανόνα της ολικής πιθανότητας, έχουμε ( P Z < ( P Z < ( T P (T + P Z < ( T P (T P X < ( + P Y < ( + e 4 + e. (βʹ Και πάλι με εφαρμογή του κανόνα της ολικής πιθανότητας, μπορούμε να υπολογίσουμε την κατανομή του Z ως εξής: F Z (z P (Z z P (Z z T P (T + P (Z z T P (T P (X z + P (Y z. Κατόπιν, παίρνουμε περιπτώσεις. i. Καταρχήν, αν z < τότε ii. Αν z, τότε iii. Τέλος, αν z > έχουμε Συνοψίζοντας, F Z (z P (X z + P (Y z +. F Z (z P (X z + P (Y z F Z (z P (X z + P (Y z + ( z + e z. ( e z, z <, F Z (z (z + e z, z, e z /, z >, και με παραγώγιση άμεσα προκύπτει, z <, f Z (z ( + e z, z, e z /, z >. Η πυκνότητα και η κατανομή έχουν σχεδιαστεί στο Σχήμα. ( e z. 5. ( βήματα Το μήκος που καλύπτει ένα άτομο με ένα βήμα είναι Τ.Μ. X ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [.9,.] μέτρα. (αʹ Υπολογίστε την μέση τιμή E(X και τη διασπορά VAR(X. (βʹ Το συγκεκριμένο άτομο κάνει βήματα και δηλώνει ότι η απόσταση που διένυσε είναι μέτρα. Ποια είναι η πιθανότητα το σφάλμα στην απόσταση θα είναι, κατ απόλυτο τιμή, μεγαλύτερο του ενός μέτρου; Στην απάντησή σας μπορεί να εμφανίζεται η συνάρτηση Φ(. Λύση: 4

59 f(z z F (z z Σχήμα : Η πυκνότητα και η κατανομή της Άσκησης 4. (αʹ Η πυκνότητα f(x της Τ.Μ. X δίνεται, κατά τα γνωστά από την ομοιόμορφη κατανομή, από την εξίσωση f(x..9 5, x [.9,.],, x [.9,.]. Λόγω συμμετρίας, η μέση τιμή αναμένουμε να ισούται με E(X. Πράγματι, E(X xf(x dx..9 5x dx 5..9 ( x 5 ( dx..9. Σχετικά με τη διασπορά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γνωστό τύπο. Εναλλακτικά, από τον ορισμό έχουμε: E(X x f(x dx..9 VAR(X E(X (E(X. 5x dx 5..9 ( x 5 ( dx..9, (βʹ Εστω X i, i,..., το μήκος του κάθε βήματος. Επειδή το πλήθος των βημάτων είναι μεγάλο, μπορούμε να εφαρμόσουμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Επομένως, ( ( P X i > P X i > P / ( Z > ( ( Φ.8. 5

60 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. JEMATA. (Age of Empires Logi ( monˆd polemikoð elèfnte ki pezikˆrioi epiqeiroôn n epibibstoôn se èn pobtikì skˆfo ki pì utoô epilègonti mìno oi, qwrð protðmhsh sto poioi j epibibstoôn, oôte sto eðdo tou. Poi eðni h pijnìtht n epibibstoôn toulˆqiston 7 elèfnte? (Upìdeixh: mhn epiqeir sete n upologðsete thn tim th zhtoômenh pijnìtht. ArkeÐ n d sete èn tôpo.. (Age of Empires Rush 8 toxìte epitðjenti se 5 qwrikoô, tou A, B, C, D, E. Kˆje toxìth epilègei n epitejeð se èn qwrikì sthn tôqh, qwrð protðmhsh sto qwrikì, ki nexˆrtht pì tou ˆllou toxìte. (þ (.5 monˆd 'Estw X to pl jo pì toxìte pou j epitejoôn ston qwrikì A. Grˆyte th mˆz tou X. (bþ ( monˆd 'Estw Y to pl jo twn qwrik n pou den j deqteð epðjesh pì knèn toxìth. UpologÐste thn E(Y. (gþ (.5 monˆd 'Estw Z to pl jo twn qwrik n stou opoðou epitðjeti toulˆqiston èn toxìth. UpologÐste thn pijnìtht P (Z. (dþ ( monˆd UpologÐste ti pijnìthte P (Z, P (Z, ìpou h Z orðzeti sto prohgoômeno skèlo.

61 . (Age of Empires Religion Kˆje monqì èqei thn iknìtht n proshlutðzei ènn ippìth metˆ pì kt qhsh diˆrkei X h opoð eðni suneq T.M. me puknìtht f X (x (x /, x [, 4],, x [, 4]. (þ ( monˆd Poi eðni h ktnom pijnìtht F X (x ki h mèsh tim E(X th X? (bþ ( monˆd Pènte monqoð epiqeiroôn n proshlutðsoun èn ippìth, ki oi qrìnoi kt qhsh pou pitoônti gi ton kjèn monqì eðni nexˆrthtoi ki koloujoôn thn f X (x tou prohgoômenou skèlou. Oi kthq sei ki twn 5 xekinˆne tutìqron. 'Estw Y o qrìno metxô th ènrxh th kt qhsh ki tou pr tou proshlutismoô. Poi eðni h ktnom pijnìtht tou Y? 4. (Age of Empires Duels 'En ippìth mˆqeti me èn ktpèlth mèqri jnˆtou. O ippìth j epitôqei thn exìntwsh tou ktpèlth se qrìno pou montelopoieðti w suneq T.M. X ktnemhmènh omoiìmorf metxô twn qrìnwn ki. O ktpèlth j petôqei thn exìntwsh tou ippìth se qrìno pou montelopoieðti w suneq T.M. Y ekjetikˆ ktnemhmènh me prˆmetro θ 5. Oi T.M. X, Y eðni nexˆrthte metxô tou. (þ (.5 monˆd Grˆyte nlutikˆ w kldik sunˆrthsh thn pì koinoô puknìtht f XY (x, y twn X, Y. Sqediˆste sto epðpedo xy to qwrðo ìpou h f XY (x, y lmbˆnei jetikè timè. (bþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht P (X > Y n exont sei o ktpèlth pr to ton ippìth? 5. (Age of Empires Towers Kˆje qtôphm enì peltst prokleð sto stìqo tou p lei X monˆdwn zw, ìpou X T.M. me thn kìloujh mˆz pijnìtht: (x 4/K, x 5, 6, 7, 8, 9,, p X (x, x 5, 6, 7, 8, 9,. (þ (.5 monˆd Poi eðni h tim th stjerˆ K? (bþ (.5 monˆd Poi eðni h mèsh tim ki h disporˆ th X? (gþ ( monˆd An o peltst qtupˆei epnlmbnìmen èn pôrgo me 85 monˆde zw, poi h pijnìtht (proseggistikˆ n qˆsei o pôrgo ìle ti monˆde zw tou me ligìter qtup mt? T qtup mt eðni nexˆrtht metxô tou. MporeÐte n grˆyete thn pˆnths s sunrt sei th mèsh tim ki th disporˆ tou prohgoômenou skèlou, qwrð n èqete upologðsei ti timè tou. D ste thn pˆnths s qrhsimopoi nt thn sunˆrthsh Φ(.

64 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -. (Age of Empires Logi πολεμικοί ελέφαντες και πεζικάριοι επιχειρούν να επιβιβαστούν σε ένα αποβατικό σκάφος και από αυτούς επιλέγονται μόνο οι, χωρίς προτίμηση στο ποιοι θα επιβιβαστούν. Ποια είναι η πιθανότητα να επιβιβαστούν τουλάχιστον 7 ελέφαντες; (Υπόδειξη: μην επιχειρήσετε να υπολογίσετε την τιμή της ζητούμενης πιθανότητας. Αρκεί να δώσετε ένα τύπο. Λύση: Παρατηρούμε ότι υπάρχουν θέσεις για 5 άτομα, και επομένως ο δειγματικός χώρος έχει ( 5 συνδυασμούς. ( Μετράμε καταρχήν τους συνδυασμούς με τους 7 ελέφαντες (και προφανώς πεζικάριους. Εχουμε 7 τρόπους για να διαλέξουμε τους 7 ελέφαντες από τους διαθέσιμους, και μένουν θέσεις που πρέπει να γεμίσουν με από τους πεζικάριους. Αυτό μπορεί να γίνει με ( τρόπους, και τελικά υπάρχουν ακριβώς ( ( 7 συνδυασμοί με 7 ελέφαντες. Παρόμοια μπορεί να υπολογιστούν οι συνδυασμοί με 8, 9, ελέφαντες, και τελικά το ενδεχόμενο A να υπάρχουν τουλάχιστον 7 ελέφαντες έχει πιθανότητα ( ( ( 7 + ( ( 8 + ( ( 9 + P (A ( 5. (Age of Empires Rush 8 τοξότες επιτίθενται σε 5 χωρικούς, τους A, B, C, D, E. Κάθε τοξότης επιλέγει να επιτεθεί σε ένα χωρικό στην τύχη, χωρίς προτίμηση στο χωρικό, και ανεξάρτητα από τους άλλους τοξότες. (αʹ Εστω X το πλήθος από τοξότες που θα επιτεθούν στον χωρικό A. Γράψτε τη μάζα του X. (βʹ Εστω Y το πλήθος των χωρικών που δεν θα δεχτεί επίθεση από κανένα τοξότη. Υπολογίστε την E(Y. (Υπόδειξη: E( Y i E(Y i. (γʹ Εστω Z το πλήθος των χωρικών στους οποίους επιτίθεται τουλάχιστον ένας τοξότης. πιθανότητα P (Z. (δʹ Υπολογίστε τις πιθανότητες P (Z, P (Z, όπου η Z ορίζεται στο προηγούμενο σκέλος. Λύση: Υπολογίστε την (αʹ Υπάρχουν 8 τοξότες, κάθε ένας από τους οποίους επιλέγει τον A με πιθανότητα 5 ανεξάρτητα από τους υπόλοιπους. Αν θεωρήσουμε ότι για κάθε τοξότη εκτελείται ένα πείραμα που είναι επιτυχημένο αν ο τοξότης επιλέξει τον A, προκύπτει τελικά πως η κατανομή του X είναι διωνυμική με παραμέτρους N 8 πειράματα, και πιθανότητα επιτυχίας του κάθε πειράματος p /5. (βʹ Εστω Y i, i,..., 5 Τ.Μ. Bernoulli που είναι ίσες με όταν ο χωρικός i δε δεχτεί επίθεση από κανένα, και αλλιώς. Παρατηρήστε πως E(Y i P (Y i ( και πως Y Y i. Επομένως, ( 5 E(Y E Y i 5 ( 8 4 E(Y i (γʹ Παρατηρήστε πως ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει 5 8 επαναληπτικές διατάξεις. Για παράδειγμα, η επαναληπτική διάταξη (A, E, B, D, C, C, C, B σημαίνει ότι ο πρώτος τοξότης επιτίθεται στον χωρικό A, ο δεύτερος τον χωρικό E, κοκ. Ακολούθως, παρατηρούμε πως από τις 5 8 διατάξεις, μόνο 5 αντιστοιχούν στο να δεχτεί επίθεση μόνο ένας χωρικός, οι (A, A,..., A, (B, B,..., B,..., (E, E,..., E. Άρα, τελικά P (Z

65 (δʹ i. Από τις 5 8 διατάξεις, υπάρχουν ( 5 υποσύνολα διατάξεων (ένα για κάθε ζεύγος χωρικών μεγέθους 8 το καθένα που αντιστοιχούν στο ενδεχόμενο όλα τα βέλη να έχουν καταλήξει σε δύο χωρικούς. Από αυτά τα υποσύνολα, δύο επαναληπτικές διατάξεις σε καθένα από αυτά αντιστοιχούν στο ενδεχόμενο όλα τα βέλη να τα έχει δεχτεί ένας εκ των δύο χωρικών, και πρέπει να αφαιρεθούν από το πλήθος των διατάξεων που πρέπει να μετρήσουμε. Τελικά: ( 5 ( 8 P (Z ii. Με παρόμοιους συλλογισμούς, τελικά καταλήγουμε στην ( 5 [ 8 ( 8 ] P (Z iii. Αν και η εκφώνηση δεν τις ζητά, παρατηρούμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές των P (Z 4, P (Z 5 με ανάλογο τρόπο. Αν θέσουμε τότε προκύπτει P (Z 5w, P (Z 58 w, w 8, w 8 w, ( 4 w w w 4, ( ( 5 5 w w 4 w w 5, ( 5 ( 5 w w 5 8, P (Z 5 8, P (Z 4 5w 4 5 8, P (Z 5 w 5 5 8, που μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι αθροίζονται στη μονάδα. (Τι εκφράζουν τα w i ; Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις άνω, μπορούμε να υπολογίσουμε την E(Z, και από εκεί την E(Y του δεύτερου σκέλους, αφού Y + Z 5.. (Age of Empires Religion Κάθε μοναχός έχει την ικανότητα να προσηλυτίζει έναν ιππότη μετά από κατήχηση διάρκειας X η οποία είναι συνεχής Τ.Μ. με πυκνότητα (x /, x [, 4], f X (x, x [, 4]. (αʹ Ποια είναι η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F X (x και η μέση τιμή E(X της X; (βʹ Πέντε μοναχοί επιχειρούν να προσηλυτίσουν ένα ιππότη, και οι χρόνοι κατήχησης που απαιτούνται για τον καθένα είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και ακολουθούν την πυκνότητα του προηγούμενου σκέλους. Οι κατηχήσεις και των 5 ξεκινάνε ταυτόχρονα. Εστω Y ο χρόνος μεταξύ της έναρξης της κατήχησης και του πρώτου προσηλυτισμού. Ποια είναι η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας του Y ; Λύση: (αʹ Σχετικά με την κατανομή F X (x, παίρνουμε περιπτώσεις. Αν x <, τότε Αν x 4, τότε Τέλος, αν x > 4, τότε F X (x x F X (x F X (x x f(t dt x x f(t dt f(t dt t 4 x dt t dt. (t 4 dt x (t 4 4 (x. 4.

66 Σχήμα : Άσκηση 4. Συγκεντρωτικά, Σχετικά με τη μέση τιμή, έχουμε, x <, (x F (x 4, x 4,, x > 4. E(X xf(x dx 4 x(x / dx 4 ( x 6 x dx (βʹ Εστω X i, i,..., 5 οι χρόνοι που χρειάζονται οι 5 μοναχοί για να επιτύχουν προσηλυτισμό. Από την υπόθεση τα X i είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και έχουν την κατανομή του X του προηγούμενου σκέλους. Παρατηρούμε πως F Y (y P (Y y P (Y > y P (X > y, X > y,..., X 5 > y, y <, 5 [P (X > y] 5 [ F X (y] 5 ( (y 4, y 4,, y > (Age of Empires Duels Ενας ιππότης μάχεται με ένα καταπέλτη μέχρι θανάτου. Ο ιππότης θα επιτύχει την εξόντωση του καταπέλτη σε χρόνο που μοντελοποιείται ως συνεχής Τ.Μ. X κατανεμημένη ομοιόμορφα μεταξύ των χρόνων και. Ο καταπέλτης θα πετύχει την εξόντωση του ιππότη σε χρόνο που μοντελοποιείται ως συνεχής Τ.Μ. Y εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο θ 5. Οι Τ.Μ. X, Y είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. (αʹ Γράψτε αναλυτικά ως κλαδική συνάρτηση την από κοινού πυκνότητα f XY (x, y των X, Y. Σχεδιάστε στο επίπεδο xy το χωρίο όπου η f XY (x, y λαμβάνει θετικές τιμές. (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα P (X > Y να εξοντώσει ο καταπέλτης πρώτος τον ιππότη; Λύση: (αʹ Εχουμε f X (x, x [, ],, x [, ], Επομένως, λόγω της ανεξαρτησίας των X, Y, f Y (y 5 e y/5, y,, y <. f XY (x, y f X (xf Y (y 5 e y/5, x, y,, αλλού. Η πυκνότητα έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα (αριστερά, όπου φαίνεται και το ζητούμενο χωρίο.

67 (βʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, P (X > Y f XY (x, y da, R όπου R (x, y : x > y}. Επειδή όμως η πυκνότητα είναι μηδενική εκτός του χωρίου R (x, y : x, y }, εν τέλει η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με το ακόλουθο διπλό ολοκλήρωμα στο χωρίο R R R x, y x}. (Παρατηρήστε πως μπορούμε να αντικαθιστούμε ανισοϊσότητες με ανισότητες χωρίς πρόβλημα, προκειμένου να ολοκληρώνουμε πυκνότητες. P (X > Y R e y/5 da [ e x/5] dx + 5 ( x 5 e y/5 dy dx [ e x/5] dx + 5 Η πιθανότητα που υπολογίσαμε ισούται με τον όγκο του στερεού στο Σχήμα (δεξιά. ( x [ e y/5] dy dx [e /5 e /5] 5. (Age of Empires Towers Κάθε χτύπημα ενός πελταστή προκαλεί στο στόχο του απώλεια X μονάδων ζωής, όπου X Τ.Μ. με την ακόλουθη μάζα πιθανότητας: (x 4/K, x 5, 6, 7, 8, 9,, p X (x, x 5, 6, 7, 8, 9,. (αʹ Ποια είναι η τιμή της σταθεράς K; (βʹ Ποια είναι η μέση τιμή και η διασπορά της X; (γʹ Αν ο πελταστής χτυπάει επαναλαμβανόμενα ένα πύργο με 85 μονάδες ζωής, ποια η πιθανότητα (προσεγγιστικά να χάσει ο πύργος όλες τις μονάδες ζωής του με ή λιγότερα χτυπήματα; Τα χτυπήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Μπορείτε να γράψετε την απάντησή σας συναρτήσει της μέσης τιμής και της διασποράς του προηγούμενου σκέλους, χωρίς να έχετε υπολογίσει τις τιμές τους. Μπορείτε να δώσετε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας την συνάρτηση Φ(. Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, έχουμε x5 (βʹ Επίσης κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X E(X x5 x5 p X (x K K K xp X (x ( , x p X (x ( , VAR(X E(X (E(X 5 ( 5 9. (γʹ Θα χρησιμοποιήσουμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Το κάθε χτύπημα i, i,,..., του πελταστή επιφέρει για τον πύργο απώλεια μονάδων ζωής X i με E(X i µ 5 και VAR(X i σ 9. Τα X i εξ υποθέσεως είναι ανεξάρτητα. Εχουμε P ( X i 85 P ( X i µ σ ( 85 µ σ 85 µ P Z σ ( 85 µ Φ Φ(.8.8. σ 4

68 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: OdhgÐe. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε τα θέματα με τις λύσεις. Οτιδήποτε γράψετε στο παρόν δίφυλλο ΔΕΝ θα βαθμολογηθεί.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει.. Οι τελικές απαντήσεις σας μπορούν να εμφανίζουν τις τέσσερις αλγεβρικές πράξεις, συνδυασμούς, και την συνάρτηση Φ(. JEMATA. (Ppoutsoj kh Se mi ppoutsoj kh upˆrqoun zeugˆri ppoôtsi, ki sunep sunolikˆ ppoôtsi. AnoÐgoume thn ppoutsoj kh ki pðrnoume 4 ppoôtsi, qwrð protðmhsh sto sundusmì tou. Poi eðni h pijnìtht nˆmes st 4 ppoôtsi pou p rme (þ (.5 monˆd N mhn upˆrqei oôte èn zeugˆri? (bþ ( monˆd N upˆrqei èn zeugˆri? (gþ (.5 monˆd N upˆrqoun dôo zeugˆri?. (PÐtse ki mkronˆde ( monˆd 'En oikodespìth etoimˆzeti n upodeqteð klesmènou gi fghtì. Kˆje klesmèno me thn ˆfix tou j jel sei n fˆei pðts me pijnìtht p.6 ki mkronˆd me pijnìtht p.4, nexˆrtht pì tou upìloipou. O oikodespìth, prokeimènou n mhn qronotrib soun, prggèlnei pì prin 6 pðtse ki mkronˆde. Poi eðni h pijnìtht n brejeð toulˆqiston èn klesmèno o opoðo n mhn mporeð n fˆei to fghtì th epilog tou?. (Upèrbre poskeuè To bˆro mi poskeu eðni suneq T.M. X me puknìtht f(x Ke (x, x,, x <.

69 (þ (.5 monˆd UpologÐste thn tim th prmètrou K. (bþ (.5 monˆd UpologÐste thn mèsh tim E(X. (gþ (.5 monˆd 'Estw M to bˆro pèrn tou opoðou mi poskeu krðneti u- pèrbrh. An h eroporik etirð epijumeð n bgðnei upèrbro to % twn poskeu n, pìso prèpei n jèsei to M? (dþ (.5 monˆd 'Estw pw to M orðzeti pì to prohgoômeno skèlo. An kttejoôn poskeuè, poi eðni h mˆz tou pl jou Y twn poskeu n pou j brejoôn upèrbre? T bˆrh twn poskeu n eðni nexˆrtht metxô tou. 4. (Soublˆki ki MpÔre 'Estw X to pl jo pì soublˆki (me pðt ki Y to pl jo pì mpôre pou ktnl nei kˆpoio ˆtomo se èn geôm. DÐneti ìti kˆje soublˆki èqei 6 jermðde ki kˆje mpôr èqei jermðde. Oi X, Y perigrˆfonti pì thn kìloujh pì koinoô puknìtht pijnìtht: y x /8 /8 /8 /8 /8 /6 /6 /6 /6 /6 / / (þ (.5 monˆd UpologÐste ti mˆze twn X, Y. (bþ ( monˆd Ktˆ mèso ìro, pìse jermðde ktnl nei to ˆtomo se kˆje geôm pou montelopoieðti w ˆnw? (gþ (.5 monˆd Poi eðni h pijnìtht n ktnl sei to ˆtomo perissìtere pì jermðde? 5. (Kgkourì SÔmfwn me ègkrite melète Austrl n lmtolìgwn, èn en - liko kgkourì ekteleð ˆlmt tuqðou m kou X me mèsh tim µ mètr ki tupik pìklish σ mètro n eðni rsenikì, ki me mèsh tim µ.9 mètr ki tupik pìklish σ mètro n eðni jhlukì. (þ (.5 monˆd UpologÐste thn pijnìtht, n èn rsenikì kgkourì kˆnei didoqikˆ ˆlmt, h sunolik pìstsh pou j dinôsei n uperbðnei t 5 mètr. Epnlˆbete ton upologismì gi thn perðptwsh pou to kgkourì eðni jhlukì. (bþ (.5 monˆd 'En kgkourì èqei pijnìtht.5 n eðni rsenikì (ki profn.5 n eðni jhlukì. An prthr soume ìti didoqikˆ ˆlmt kgkourì eðqn sunolikì m ko meglôtero twn 5 mètrwn, poi eðni h pijnìtht to kgkourì n eðni rsenikì?

72 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ -. (Παπουτσοθήκη Σε μια παπουτσοθήκη υπάρχουν ζευγάρια παπούτσια, και συνεπώς συνολικά παπούτσια. Ανοίγουμε την παπουτσοθήκη και παίρνουμε 4 παπούτσια, χωρίς προτίμηση στο συνδυασμό τους. Ποια είναι η πιθανότητα ανάμεσα στα 4 παπούτσια που πήραμε (αʹ Να μην υπάρχει ούτε ένα ζευγάρι; (βʹ Να υπάρχει ένα ζευγάρι; (γʹ Να υπάρχουν δύο ζευγάρια; Λύση: Εστω X το πλήθος από ζευγάρια παπουτσιών με το οποίο καταλήγουμε. Παρατηρούμε πως η Τ.Μ. X μπορεί να λάβει τις τιμές,,. Θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες με τις οποίες λαμβάνει τις τιμές αυτές χρησιμοποιώντας συνδυαστική. Παρατηρούμε καταρχήν πως υπάρχουν παπούτσια από τα οποία επιλέγονται τα 4, και επομένως υπάρχουν ( 4 συνδυασμοί παπουτσιών που μπορεί να προκύψουν. (αʹ Μετράμε καταρχήν τους συνδυασμούς παπουτσιών στους οποίους δεν υπάρχει ζευγάρι. Υπάρχουν ( 4 τρόποι να επιλεγούν τα ζευγάρια από τα οποία να επιλέξουμε ακριβώς ένα παπούτσι, και εκ των υστέρων έχουμε επιλογές για το παπούτσι που θα πάρουμε από κάθε ένα από τα 4 ζευγάρια. Επομένως, ( 4 P (X 4 ( 4 4. (βʹ Μετράμε τώρα τους συνδυασμούς παπουτσιών που περιέχουν ένα ζευγάρι ακριβώς. Υπάρχουν τρόποι να επιλέξουμε το ζευγάρι, ( 9 τρόποι για να επιλέξουμε τα άλλα δύο ζευγάρια που θα εκπροσωπηθούν στην επιλογή μας, και για κάθε ένα από αυτά υπάρχουν δύο επιλογές για το ποιο από τα δύο παπούτσια θα επιλεγεί. Τελικά, P (X ( (γʹ Τέλος, παρατηρούμε πως υπάρχουν ( συνδυασμοί παπουτσιών που αποτελούνται από ακριβώς από τα διαθέσιμα ζευγάρια, και επομένως, P (X ( 4 ( ( 4.. (Πίτσες και μακαρονάδες Ενας οικοδεσπότης ετοιμάζεται να υποδεχτεί καλεσμένους για φαγητό. Κάθε καλεσμένος με την άφιξή του θα θελήσει να φάει πίτσα με πιθανότητα p.6 και μακαρονάδα με πιθανότητα p.4, ανεξάρτητα από τους υπόλοιπους. Ο οικοδεσπότης, προκειμένου να μην χρονοτριβήσουν, παραγγέλνει από πριν 6 πίτσες και μακαρονάδες. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον ένας καλεσμένος ο οποίος να μην μπορεί να φάει το φαγητό της επιλογής του; Λύση: Εστω A το ενδεχόμενο να μην φάει ένας καλεσμένος το φαγητό της επιλογής του. Το A μπορεί να γραφεί ως η ένωση δύο ξένων ενδεχόμενων A και A, όπου A είναι το ενδεχόμενο να ζητήσουν πάνω από 6 άτομα πίτσα, και A το ενδεχόμενο να ζητήσουν περισσότερα από άτομα μακαρονάδα, ή αλλιώς λιγότερα από 8 άτομα πίτσα. Εστω X το πλήθος των ατόμων που επιλέγουν πίτσα. Παρατηρούμε πως το X ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους N (το πλήθος των πειραμάτων και p.6 (η πιθανότητα επιτυχίας. Παρατηρούμε, τέλος, πως P (A P (A A P (A + P (A x,,,4,5,6,7,7,8,9, x7 P (X x + (.6 x.4 x.7. x 7 P (X x x

73 . (Υπέρβαρες αποσκευές Το βάρος μιας αποσκευής είναι συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα Ke (x, x, f(x, x <. (αʹ Υπολογίστε την τιμή της παραμέτρου K. (βʹ Υπολογίστε την μέση τιμή E(X. (γʹ Εστω M το βάρος πέραν του οποίου μια αποσκευή κρίνεται υπέρβαρη. Αν η αεροπορική εταιρία επιθυμεί να βγαίνει υπέρβαρο το % των αποσκευών, πόσο πρέπει να θέσει το M; (δʹ Εστω πως το M ορίζεται από το προηγούμενο σκέλος. Αν κατατεθούν αποσκευές, ποια είναι η μάζα του πλήθους Y των αποσκευών που θα βρεθούν υπέρβαρες; Τα βάρη των αποσκευών είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Λύση: (αʹ Παρατηρούμε πως f(x dx Ke (x dx K [ e (x ] dx K( K, και επειδή το άνω ολοκλήρωμα πρέπει να είναι μονάδα, προκύπτει τελικά ότι K. Εναλλακτικά, παρατηρούμε απλώς πως η πυκνότητα είναι η πυκνότητα της εκθετικής Τ.Μ., με παράμετρο, μετατοπισμένη δεξιά κατά. (βʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, έχουμε E(X f(x dx [ xe (x ] + xe (x dx [ x e (x ] dx e (x dx +. Παρατηρήστε πως το τελευταίο ολοκλήρωμα έχει ουσιαστικά υπολογιστεί στο προηγούμενο σκέλος. Επίσης, η παράσταση [ xe (x ] υπολογισμένη στο ισούται με την τιμή του αντίστοιχου ορίου, που είναι το, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του Κανόνα του L Hôpitl. (γʹ Η παράμετρος M προφανώς είναι μεγαλύτερη του και πρέπει να επιλέγει έτσι ώστε να ισχύει ότι M e (x dx M [ e (x ] dx e (M M + log. (δʹ Μπορούμε να φανταστούμε ότι το ζύγισμα κάθε αποσκευής είναι ένα πείραμα που καταλήγει σε επιτυχία αν η αποσκευή είναι υπέρβαρη, με πιθανότητα., και σε αποτυχία αν η αποσκευή δεν είναι υπέρβαρη, με πιθανότητα.. Αφού τα βάρη των αποσκευών είναι ανεξάρτητα, η κατανομή των υπέρβαρων αποσκευών είναι η διωνυμική, με παραμέτρους N (το πλήθος των πειραμάτων και p. (η πιθανότητα επιτυχίας του κάθε πειράματος. 4. (Σουβλάκια και Μπύρες Εστω X το πλήθος από σουβλάκια (με πίτα και Y το πλήθος από μπύρες που καταναλώνει κάποιο άτομο σε ένα γεύμα. Δίνεται ότι κάθε σουβλάκι έχει 6 θερμίδες και κάθε μπύρα έχει θερμίδες. Οι X, Y περιγράφονται από την ακόλουθη από κοινού πυκνότητα πιθανότητας: (αʹ Υπολογίστε τις μάζες των X, Y. x y /8 /8 /8 /8 /8 /6 /6 /6 /6 /6 / / (βʹ Κατά μέσο όρο, πόσες θερμίδες καταναλώνει το άτομο σε κάθε γεύμα που μοντελοποιείται ως άνω; (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα να καταναλώσει το άτομο περισσότερες από θερμίδες;

74 Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, οι μάζες των X, Y προκύπτουν προσθέτοντας αντίστοιχα τις γραμμές και τις στήλες: p X ( 5 6, p X( 4, p X( 7, p X( 7, p Y (, p Y ( 5 6, p Y ( 6. (βʹ Σε κάθε γεύμα, το άτομο καταναλώνει 6X + Y θερμίδες, με μέση τιμή E(6X + Y 6E(X + E(Y ( ( (γʹ Το άτομο θα καταναλώσει άνω των θερμίδων αν το ζεύγος (X, Y ισούται με (,, (,, (,, ή (,. Η πιθανότητα να προκύψει ένα εκ των άνω αποτελεσμάτων είναι p p XY (, + p XY (, + p XY (, + p XY (, (Καγκουρό Σύμφωνα με έγκριτες μελέτες Αυστραλών αλματολόγων, ένα ενήλικο καγκουρό εκτελεί άλματα τυχαίου μήκους X με μέση τιμή µ μέτρα και τυπική απόκλιση σ μέτρο αν είναι αρσενικό, και με μέση τιμή µ.9 μέτρα και τυπική απόκλιση σ μέτρο αν είναι θηλυκό. (αʹ Υπολογίστε την πιθανότητα, αν ένα αρσενικό καγκουρό κάνει διαδοχικά άλματα, η συνολική απόσταση που θα διανύσει να υπερβαίνει τα 5 μέτρα. Επαναλάβετε τον υπολογισμό για την περίπτωση που το καγκουρό είναι θηλυκό. (βʹ Ενα καγκουρό έχει πιθανότητα.5 να είναι αρσενικό (και προφανώς.5 να είναι θηλυκό. Αν παρατηρήσουμε ότι διαδοχικά άλματα καγκουρό είχαν συνολικό μήκος μεγαλύτερο των 5 μέτρων, ποια είναι η πιθανότητα το καγκουρό να είναι αρσενικό; Λύση: (αʹ Θα εφαρμόσουμε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Κ.Ο.Θ.. Εστω X i, i,...,, τα μήκη των διαδοχικών αλμάτων του καγκουρό. Θα έχουμε: ( ( P X i > 5 P X ( i µ σ 5 µ > σ P Z > ( Φ, όπου η Z N(, και η προσεγγιστική ισότητα ισχύει λόγω του Κ.Ο.Θ. Επίσης, με ανάλογο τρόπο, όταν το καγκουρό είναι θηλυκό έχουμε ( ( P X i > 5 P X i µ σ 5 µ > σ P όπου και πάλι η Z N(, και η προσεγγιστική ισότητα ισχύει λόγω του Κ.Ο.Θ. ( Z > Φ (, (βʹ Εστω A το ενδεχόμενο το καγκουρό να είναι αρσενικό, και επομένως A το ενδεχόμενο να είναι θηλυκό. Επίσης, έστω B το ενδεχόμενο το καγκουρό να υπερβεί με άλματα τα 5 μέτρα. Από το προηγούμενο σκέλος έχουμε P (B A Φ (, P (B A Φ Από τον κανόνα του Byes έχουμε: ( ( P (B AP (A P (A B P (B AP (A + P (B A P (A Φ ( ( Φ (. ( ( + Φ Φ ( Φ ( ( Φ.

75 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει. ΘΕΜΑΤΑ. (Πινιάτα (.5 μονάδα Μια πινιάτα σπάει αν δεχτεί ένα δυνατό χτύπημα ή δύο μέτρια χτυπήματα. Σε ένα πάρτι, αν ένα παιδί χτυπήσει την πινιάτα έχει πιθανότητες 4 να δώσει ένα δυνατό χτύπημα, 4 να δώσει ένα μέτριο χτύπημα, και να αστοχήσει. 4 παιδιά μπαίνουν σε σειρά για να χτυπήσουν μια πινιάτα, διαδοχικά, και μια φορά το καθένα. Ποια είναι η πιθανότητα να τη σπάσουν;. (Κολοκύθες (.5 μονάδες Κάθε εβδομάδα, ένα μανάβης έχει X πελάτες που ζητούν να αγοράσουν μια κολοκύθα, εφόσον έχουν μείνει απούλητες κολοκύθες, όπου η Τ.Μ. X έχει την ακόλουθη συνάρτηση μάζας πιθανότητας: p X (x 9 x, x 5, 6, 7, 8. Στην αρχή της εβδομάδας ο μανάβης αγοράζει κολοκύθες προς ευρώ τη μια, ενώ κατά τη διάρκεια της εβδομάδας τις πουλά προς 4 ευρώ τη μία. Στο τέλος της εβδομάδας ο μανάβης πετά όσες κολοκύθες του έχουν απομείνει. Αν ο μανάβης θέλει να μεγιστοποιήσει το αναμενόμενο ΚΑΘΑΡΟ κέρδος του, πόσες κολοκύθες πρέπει να αγοράσει στην αρχή της εβδομάδας; (Υπόδειξη: υπολογίστε τα αναμενόμενα καθαρά κέρδη του μανάβη αν αγοράσει στην αρχή της εβδομάδας x κολοκύθες, με x 5, 6, 7, 8, και συγκρίνετέ τα. (Διαγωνισμός ( μονάδες Σε ένα διαγωνισμό συμμετέχουν 5 άντρες και 5 γυναίκες. Κατατάσσονται σύμφωνα με την επίδοσή τους, και δεν προβλέπεται δύο

76 ή περισσότερα άτομα να καταταγούν στην ίδια θέση. Υπάρχουν! δυνατές κατατάξεις, και δίνεται πως είναι όλες ισοπίθανες. Εστω X η υψηλότερη σειρά που κατέλαβε γυναίκα. (Για παράδειγμα, έχουμε X αν πρώτη αναδείχτηκε μια γυναίκα, οποιαδήποτε από τις 5, ενώ έχουμε X 6 αν οι 5 γυναίκες κατέλαβαν τις τελευταίες 5 θέσεις. Να βρείτε την μάζα του X. 4. (Πεπόνια ( μονάδες Σε ένα καλάθι υπάρχουν 5 πεπόνια, εκ των οποίων τα είναι καλά, και τα άλλα τρία χαλασμένα. Αρχίζουμε και κόβουμε τα πεπόνια, μέχρι να βρούμε και τα δύο καλά, και μετά σταματάμε. (Επομένως, ενδεχομένως υπάρχουν κάποια χαλασμένα πεπόνια που δεν θα κόψουμε. Εστω X το πλήθος των πεπονιών που κόβουμε μέχρι να βρούμε το πρώτο καλό, και έστω Y το πλήθος των ΕΠΙΠΛΕΟΝ πεπονιών που κόβουμε μέχρι να βρούμε και το δεύτερο καλό. Επομένως, οι Τ.Μ. X, Y λαμβάνουν τις τιμές,,, 4. Ποια είναι η από κοινού μάζα πιθανότητας των Τ.Μ. X, Y ; Υπολογίστε τις E(X, E(Y, COV(X, Y. 5. (Πατάτες Πρόσφατες έρευνες γεωπόνων έδειξαν ότι το βάρος μιας πατάτας Τριπόλεως είναι Τ.Μ. X με πυκνότητα x + bx, < x <, f(x, αλλού. Δίνεται επίσης ότι E(X. (αʹ ( μονάδα Προσδιορίστε τις τιμές των παραμέτρων, b. (βʹ ( μονάδα Να υπολογίσετε τα P (X < και VAR(X. (Αν δεν έχετε υπολογίσει τις τιμές των, b, δώστε τη λύση σας συναρτήσει αυτών.

77 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B A B, (A B A B, P (A A F, P (Ω, A i A j P (A A P (A + P (A +, P (A P (A, P (, P (A, A B P (A P (B, P (A B P (A P (A B, P (A B P (A + P (B P (A B, P (A B P (A + P (B, P (A B C P (A + P (A B + P (A B C, P (A B C P (A + P (B + P (C P (A B P (A C P (B C + P (A B C, P (A P (A B + P (A B. N! Διατάξεις k αντικ. από N:, Συνδυασμοί k αντικ. από N: ( N (N k! k N!, k!(n k! Επαναληπτικές διατάξεις μήκους k από N αντικ.: N k, Επαναληπτικοί συνδυασμοί k αντικ. από N: ( ( N+k k N+k N. P (B A P (A B P (A B, P (A A... A n P (A P (A A P (A A A... P (A n A A... A n, P (B P (A P (A BP (B + P (A B P (B, P (A BP (B P (A P (B A P (A BP (B P (A P (A P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + + P (A B N P (B N P (A BP (B P (A BP (B + P (A B P (B, (B i} διαμέριση, (B i} διαμέριση. A, B ανεξάρτητα P (AB P (AP (B P (B P (B A P (A P (A B. p X(x P (X x P (ω : X(ω x} x S X, F X(x P (X x, lim (t P (X < x, t x F E(X E(g(X g(xp X(x, E(X + b E(X + b, E( ig i(x x S X σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, x k x, kx k x ( x, k x k k k k x( + x ( x, ex n xp X(x, x S X ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. x n n!, ( + bn ( n i b n i. i X Bern(p, p X( p, p X( p, E(X p, VAR(X p( p, ( N X Διων(N, p, p X(k p k ( p N k, E(X Np, VAR(X Np( p, k X Γεωμ(p, p X(k ( p k p, E(X /p, VAR(X ( p/p, P (X m + n X > n P (X m, m, n, ( k N k X Υπερ(N, k, n, p X(m m( n m, E(X nk nk(n k(n n, VAR(X, N N (N E(g(X, Y x,y p XY (x, y P (X x, Y y x S X, y S Y, p X(x ( N n X Poisson(λ, p X(k e λ λ k, E(X λ, VAR(X λ. k! y S Y p XY (x, y, p Y (y K g(x, yp XY (x, y, E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y k i p XY (x, y, x S X K E(g k (X, Y, COV(X, Y E [( X E(X ( Y E(Y ] E(XY E(XE(Y, VAR(X + Y VAR(X + VAR(Y + COV(X, Y, X, Y ανεξάρτητες P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B p XY (x, y p X(xp Y (y x, y, X, Y ανεξάρτητες E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, p X+Y (m p X(kp Y (m k, m Z, E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i k VAR(X i + k i<j n COV(X i, X j.

78 E(X f(x dx lim t t P (X B X U[, b], f(x f(x dx, B xf(x dx, E(g(X, b X Εκθ(θ, f(x R f(x dx lim t + f(t dt, P [ X b] t f(x dx, f(x dx lim t b f(x dx t lim t t f(x dx, f(x dx, F (x P (X x f(x dx + x lim t t + f(x dx lim f(t dt, g(xf(x dx, E(X + b E(X + b, E( ig i(x σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, για x [, b],, για x [, b], θ e x/θ, για x,, για x <, X N(µ, σ, f(x, x <, x F (x b, x b,, x > b, F (x E(X + b t + t f(x dx, f(x dx, F (x f(x, ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. (b, VAR(X,, x, e x θ, x, E(X θ, VAR(X θ, πσ e (x µ /σ, για x R, E(X µ, VAR(X σ, X N(µ, σ X µ N(,, σ Z N(,, φ(z e z /, Φ(z π R (x, y : x b, φ (x y φ (x}, R (x, y : y b, φ (y x φ (y}, [,b] [,d] f(x, y da P [(X, Y R] f XY (x, y da, P ( X b, Y d f X(x f XY (x, y dy, f Y (y [,b] [,d] R R ( d ( b µ P ( X b Φ σ z e x / dx, π f(x, y da f(x, y da f(x, y dy dx f XY (x, y da f XY (x, y dx, E(g(X, Y Φ ( µ σ, Φ(x Φ( x. ( φ (x f(x, y dy dx, φ (x ( φ (y f(x, y dx dy, d d k φ (y ( f(x, y dx dy, ( d fxy (x, ydy dx, ( b fxy (x, ydx dy, g(x, yf XY (x, y dxdy, K K E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y E(g k (X, Y, X, Y ανεξάρτητες P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B f XY (x, y f X(xf Y (y x, y, X, Y ανεξάρτητες E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, f X+Y (z E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i VAR(X i + k i<j n f X(tf Y (z t dt, COV(X i, X j. X, > P (X E(X, > P ( X E(X VAR(X, X, X,... ανεξ. με κοινή κατ., E(X i µ, XN N ɛ >, P ( X i X N µ < ɛ, καθώς N, N P ( lim N XN µ, ( N VAR(X i σ, SN N σ Xi Nµ P ( S N b Φ(b Φ(, καθώς N, (X i µ N σ P ( SN Φ(, καθώς N, N P ( SN Φ(, καθώς N. 4

79 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ -4. (Πινιάτα Μια πινιάτα σπάει αν δεχτεί ένα δυνατό χτύπημα ή δύο μέτρια χτυπήματα. Σε ένα πάρτι, αν ένα παιδί χτυπήσει την πινιάτα έχει πιθανότητες 4 να δώσει ένα δυνατό χτύπημα, 4 να δώσει ένα μέτριο χτύπημα, και να αστοχήσει. 4 παιδιά μπαίνουν σε σειρά για να χτυπήσουν μια πινιάτα, διαδοχικά, και μια φορά το καθένα. Ποια είναι η πιθανότητα να τη σπάσουν; Ολα τα χτυπήματα είναι ανεξάρτητα. Λύση: Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P (F τα 4 παιδιά να μην καταφέρουν να σπάσουν την πινιάτα, που προκύπτει κάπως πιο εύκολα. Εστω M i το ενδεχόμενο το παιδί i να προσπάθησε να χτυπήσει την πινιάτα και να αστόχησε, έστω S i το ενδεχόμενο το παιδί i να προσπάθησε να χτυπήσει την πινιάτα και να την χτύπησε δυνατά, και έστω A i το ενδεχόμενο το παιδί i να προσπάθησε να χτυπήσει την πινιάτα και να την χτύπησε μέτρια. Στα άνω, i,,, 4. Θα έχουμε P (F P (M M M M 4 + P (A M M M 4 + P (M A M M 4 + P (M M A M 4 + P (M M M A , και τελικά η πιθανότητα να σπάσει η πινιάτα είναι (Κολοκύθες Κάθε εβδομάδα, ένα μανάβης έχει X πελάτες που ζητούν να αγοράσουν μια κολοκύθα, εφόσον έχουν μείνει απούλητες κολοκύθες, όπου η Τ.Μ. X έχει την ακόλουθη συνάρτηση μάζας πιθανότητας: p X (x 9 x, x 5, 6, 7, 8. Στην αρχή της εβδομάδας ο μανάβης αγοράζει κολοκύθες προς ευρώ τη μια, ενώ κατά τη διάρκεια της εβδομάδας τις πουλά προς 4 ευρώ τη μία. Στο τέλος της εβδομάδας ο μανάβης πετά όσες κολοκύθες του έχουν απομείνει. Αν ο μανάβης θέλει να μεγιστοποιήσει το αναμενόμενο ΚΑΘΑΡΟ κέρδος του, πόσες κολοκύθες πρέπει να αγοράσει στην αρχή της εβδομάδας; (Υπόδειξη: υπολογίστε τα αναμενόμενα καθαρά κέρδη του μανάβη αν αγοράσει στην αρχή της εβδομάδας x κολοκύθες, με x 5, 6, 7, 8, και συγκρίνετέ τα Λύση: Ο μανάβης βγάζει ευρώ καθαρό κέρδος για κάθε κολοκύθα που αγοράζει και κατόπιν πουλάει, και καθαρό κέρδος για κάθε κολοκύθα που αγοράζει και δεν καταφέρνει να μεταπωλήσει. Εστω Z το αναμενόμενο καθαρό κέρδος του μανάβη. Το αναμενόμενο κέρδος του εξαρτάται από το πόσες κολοκύθες επιλέγει να αγοράσει. Παίρνουμε περιπτώσεις: (αʹ Εστω πως ο μανάβης αγοράζει 8 κολοκύθες. Εχουμε: 8 6, με πιθανότητα, 7, με πιθανότητα Z, 6 8, με πιθανότητα, 5 4, με πιθανότητα 4. με μέση τιμή E(Z (βʹ Εστω πως ο μανάβης αγοράζει 7 κολοκύθες. Εχουμε: 7 4, με πιθανότητα, Z 6, με πιθανότητα, 5 6, με πιθανότητα 4. με μέση τιμή E(Z

80 (γʹ Εστω πως ο μανάβης αγοράζει 6 κολοκύθες. Εχουμε: 6, με πιθανότητα 6 Z, 5 8, με πιθανότητα 4. με μέση τιμή E(Z (δʹ Εστω πως ο μανάβης αγοράζει 5 κολοκύθες. Θα τις πουλήσει σίγουρα όλες, άρα θα έχει κέρδος. Άρα, τελικά, συμφέρει τον μανάβη να αγοράσει 6 κολοκύθες, διότι τότε μεγιστοποιείται το αναμενόμενο κέρδος του.. (Διαγωνισμός Σε ένα διαγωνισμό συμμετέχουν 5 άντρες και 5 γυναίκες. Κατατάσσονται σύμφωνα με την επίδοσή τους, και δεν προβλέπεται δύο ή περισσότερα άτομα να καταταγούν στην ίδια θέση. Υπάρχουν! δυνατές κατατάξεις, και δίνεται πως είναι όλες ισοπίθανες. Εστω X η υψηλότερη σειρά που κατέλαβε γυναίκα. (Για παράδειγμα, έχουμε X αν πρώτη αναδείχτηκε μια γυναίκα, οποιαδήποτε από τις 5, ενώ έχουμε X 6 αν οι 5 γυναίκες κατέλαβαν τις τελευταίες 5 θέσεις. Να βρείτε την μάζα του X. Λύση: Η Τ.Μ. X μπορεί να λάβει τις τιμές,,, 4, 5, 6. Υπολογίζουμε την πιθανότητα να προκύψει η κάθε μια από τις άνω τιμές χωριστά. Παρατηρούμε καταρχήν ότι υπάρχουν! διαφορετικές διατάξεις για τα άτομα. (αʹ Λόγω συμμετρίας, P (X. (βʹ Σε αυτή την περίπτωση, πρώτος βγαίνει ένας άντρας, και ακολουθεί μια γυναίκα. Υπάρχουν 5 επιλογές για τον πρώτο άντρα, 5 επιλογές για την πρώτη γυναίκα, και 8! επιλογές για την διάταξη των υπολοίπων ατόμων. Άρα, P (X 5 5 8!! 5 8. (γʹ Ομοίως, υπάρχουν 5 επιλογές για τον πρώτο άντρα, 4 για τον δεύτερο, 5 επιλογές για την πρώτη γυναίκα, και 7 επιλογές για τα υπόλοιπα άτομα. Άρα, (δʹ Ομοίως, (εʹ Ομοίως, (ϛʹ Τέλος, P (X !! P (X !! P (X !! P (X 6 Παρατηρήστε πως από τις άνω τιμές προκύπτει πως όπως θα έπρεπε. 5! 5!! 6 P (X i, (Πεπόνια Σε ένα καλάθι υπάρχουν 5 πεπόνια, εκ των οποίων τα είναι καλά, και τα άλλα τρία χαλασμένα. Αρχίζουμε και κόβουμε τα πεπόνια, μέχρι να βρούμε και τα δύο καλά, και μετά σταματάμε. (Επομένως, ενδεχομένως υπάρχουν κάποια χαλασμένα πεπόνια που δεν θα κόψουμε. Εστω X το πλήθος των πεπονιών που κόβουμε μέχρι να βρούμε το πρώτο καλό, και έστω Y το πλήθος των ΕΠΙΠΛΕΟΝ πεπονιών που κόβουμε μέχρι να βρούμε και το δεύτερο καλό. Επομένως, οι Τ.Μ. X, Y λαμβάνουν τις τιμές,,, 4. Ποια είναι η από κοινού μάζα πιθανότητας των Τ.Μ. X, Y ; Υπολογίστε τις E(X, E(Y, COV(X, Y.

81 Λύση: Αφού οι X, Y λαμβάνουν τις τιμές,,, 4, συνολικά πρέπει να εξετάσουμε περιπτώσεις, για να προσδιορίσουμε την από κοινού μάζα πιθανότητας. Εχουμε: P (X, Y 5 4, P (X, Y 5 4, P (X, Y 5 4, P (X, Y 4 5 4, P (X, Y 5 4, P (X, Y 5 4, P (X, Y 5 4, P (X, Y 5 4, P (X, Y 5 4, P (X 4, Y 5 4. Ολα τα άλλα ζεύγη έχουν μηδενική πιθανότητα να συμβούν. Δεν είναι τυχαίο ότι όλα τα ζεύγη με θετική πιθανότητα έχουν την ίδια πιθανότητα. Πράγματι, έχουμε να τοποθετήσουμε τα δύο καλά πεπόνια σε δύο από 5 διαθέσιμες θέσεις. Αυτό μπορεί να γίνει με ( 5 τρόπους, όλους με την ίδια πιθανότητα (λόγω συμμετρίας, άρα αυτή η πιθανότητα είναι. Προκύπτει επομένως η ακόλουθη από κοινού μάζα: Ακολούθως, εύκολα έχουμε x 4 y p Y (y / / / / 4/ / / / / / / / 4 / / p X (x 4/ / / / E(X , E(Y , E(XY 5 ( , COV(X, Y E(XY E(XE(Y 5. Ηταν αναμενόμενο ότι η συνδιακύμανση είναι αρνητική. Πράγματι, αν αργήσουμε να βρούμε το πρώτο καλό πεπόνι, σημαίνει ότι έχουνε ανοίξει πολλά χαλασμένα, επομένως θα είναι πλέον πιο εύκολο να βρούμε το δεύτερο καλό πεπόνι. 5. (Πατάτες Πρόσφατες έρευνες γεωπόνων έδειξαν ότι το βάρος μιας πατάτας Τριπόλεως είναι Τ.Μ. X με πυκνότητα x + bx, < x <, f(x, αλλού. Δίνεται επίσης ότι E(X.

82 (αʹ Προσδιορίστε τις τιμές των παραμέτρων, b. (βʹ Να υπολογίσετε τα P (X < και VAR(X. (Αν δεν έχετε υπολογίσει τις τιμές των, b, δώστε τη λύση σας συναρτήσει αυτών. Λύση: Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, το ολοκλήρωμα της πυκνότητας πρέπει να είναι μονάδα: f(x dx (x + bx dx Επιπλέον, δίνεται ότι E(X, επομένως xf(x dx x dx + b ( x + bx dx x dx + b x dx [ x x dx [ x ] ] [ x 4 + b 4 [ x + b ] ] + 8 b b. Από το γραμμικό σύστημα εξισώσεων που προκύπτει, μπορούμε να βρούμε ότι και b 4. Επομένως, P (X < E(X [ x (x + bx dx ] [ x + b ] x (x + bx dx 4 + b 5 6 5, x dx + b + b, VAR(X E(X (E(X x dx + b x dx x 4 dx ] [ [ x4 x 5 + b 4 5 ] 4

83 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Οποιοδήποτε τελικό αριθμητικό αποτέλεσμα μπορεί να περιλαμβάνει εκφράσεις της μορφής n!, ( m k, Φ(z, κοκ. 9. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες.. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει.. ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΥ ΔΙΑΠΙΣΤΩΘΕΙ (ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΕΙΤΕ ΤΗΣ ΔΙΟΡΘΩ- ΣΗΣ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΕΙΤΕ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗΣ ΘΑ ΕΝΗΜΕΡΩΘΟΥΝ ΤΑ ΑΡΜΟΔΙΑ ΟΡΓΑΝΑ, ΠΟΥ ΕΝΔΕΧΕΤΑΙ ΝΑ ΕΠΙΒΑΛΛΟΥΝ ΣΟΒΑΡΕΣ ΚΥΡΩΣΕΙΣ. ΘΕΜΑΤΑ. (Anti-doping ontrol ( μονάδες Μια αποστολή ποδοσφαίρου αποτελείται από άτομα. Εξ αυτών, επιλέγονται οι, από την υπηρεσία ελέγχου A, χωρίς κάποια ιδιαίτερη προτίμηση στον συνδυασμό που επιλέγεται και στη σειρά επιλογής, για να περάσουν από έλεγχο nti-doping. Κατόπιν επιλέγονται, από άλλη υπηρεσία, συγκεκριμένα την υπηρεσία B, 5 άτομα από τα, χωρίς προτίμηση στο συνδυασμό που επιλέγεται και στη σειρά επιλογής, και χωρίς να λαμβάνεται υπόψη ο έλεγχος που έχει ήδη γίνει από την υπηρεσία A. Επομένως, οι επιλογές των συνδυασμών που κάνουν οι δύο υπηρεσίες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. (αʹ ( μονάδα Εστω ένα συγκεκριμένο άτομο M. Ποια είναι η πιθανότητα ο M να ελεγχθεί z φορές, για z,, ; (βʹ ( μονάδα Εστω X το πλήθος των ατόμων που ελέγχονται τουλάχιστον μια φορά. Ποια είναι η πιθανότητα P (X x για x,,,, 4, 5; (Μπορείτε να δώσετε ως απάντηση ένα γενικό τύπο. (γʹ ( μονάδα Υπολογίστε τη μέση τιμή E(X της Τ.Μ. του προηγούμενου σκέλους χωρίς να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα του προηγούμενου σκέλους, ορίζοντας κατάλληλες βοηθητικές Τ.Μ. Bernoulli.. (Ασθένειες (.5 μονάδα Σύμφωνα με το γιατρό του, ένας ασθενής έχει μία ακριβώς από τις ασθένειες A, B, C, με πιθανότητες / για κάθε μια. Ο γιατρός υποβάλει τον ασθενή σε μια εξέταση με δύο δυνατά αποτελέσματα, το θετικό και το αρνητικό. Η εξέταση έχει το θετικό αποτέλεσμα με πιθανότητες.9 αν έχει την ασθένεια A,.5 αν έχει την ασθένεια B, και. αν έχει την ασθένεια C. Η εξέταση τελικά προκύπτει με το θετικό αποτέλεσμα. Ποιες είναι οι νέες πιθανότητες ο ασθενής να έχει τις ασθένειες A, B, και C;

84 . (Ακέραιο μέρος ( μονάδες Εστω η συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα πιθανότητας + x f(x, x <, 4, αλλού. (αʹ (.5 μονάδα Ποια είναι η τιμή της σταθεράς ; (βʹ (.5 μονάδα Ποια είναι η μέση τιμή E(X; (γʹ ( μονάδα Ορίζουμε την Τ.Μ. Y X, δηλαδή το ακέραιο μέρος του X. (Επομένως, το Y είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος από τον X. Ποια είναι η μάζα του Y ; 4. (Από κοινού συνεχείς Τ.Μ. ( μονάδες Οι από κοινού συνεχείς Τ.Μ. X, Y έχουν την από κοινού πυκνότητα (x + y, (x, y [, ] [, ], f XY (x, y 5, αλλιώς. (αʹ ( μονάδα Ποια είναι η μέση τιμή E[XY ]; (βʹ ( μονάδα Ποιες είναι οι περιθώριες f X (x, f Y (y; 5. (Καρπούζια (.5 μονάδα Ενα ανοιχτό φορτηγάκι μπορεί να αντέξει συνολικά κιλά φορτίου πριν πάθει βλάβη. Το βάρος κάθε καρπουζιού από μια καλλιέργεια είναι Τ.Μ. με μέση τιμή 5 κιλά και τυπική απόκλιση κιλό. Εστω N το μέγιστο πλήθος των καρπουζιών που μπορούμε να φορτώσουμε στο φορτηγάκι ώστε η πιθανότητα να υπερβεί το βάρος τους τα κιλά να είναι μικρότερη από 4. Βρείτε μια συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί το N. Η συνθήκη μπορεί να εμφανίζει τη συνάρτηση Φ(.

87 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ -4. (Anti-doping ontrol Μια αποστολή ποδοσφαίρου αποτελείται από άτομα. Εξ αυτών, επιλέγονται οι, από την υπηρεσία ελέγχου A, χωρίς κάποια ιδιαίτερη προτίμηση στον συνδυασμό που επιλέγεται και στη σειρά επιλογής, για να περάσουν από έλεγχο nti-doping. Κατόπιν επιλέγονται, από άλλη υπηρεσία, συγκεκριμένα την υπηρεσία B, 5 άτομα από τα, χωρίς προτίμηση στο συνδυασμό που επιλέγεται και στη σειρά επιλογής, και χωρίς να λαμβάνεται υπόψη ο έλεγχος που έχει ήδη γίνει από την υπηρεσία A. Επομένως, οι επιλογές των συνδυασμών που κάνουν οι δύο υπηρεσίες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. (αʹ Εστω ένα συγκεκριμένο άτομο M. Ποια είναι η πιθανότητα ο M να ελεγχθεί z φορές, για z,, ; (βʹ Εστω X το πλήθος των ατόμων που ελέγχονται τουλάχιστον μια φορά. Ποια είναι η πιθανότητα P (X x για x,,,, 4, 5; (Μπορείτε να δώσετε ως απάντηση ένα γενικό τύπο. (γʹ Υπολογίστε τη μέση τιμή E(X της Τ.Μ. του προηγούμενου σκέλους χωρίς να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα του προηγούμενου σκέλους, ορίζοντας κατάλληλες βοηθητικές Τ.Μ. Bernoulli. Λύση: (αʹ Εστω A το ενδεχόμενο να εξεταστεί το άτομο M από την υπηρεσία ελέγχου A, έστω B το ενδεχόμενο να εξεταστεί από την υπηρεσία ελέγχου B, και έστω Z το πλήθος των ελέγχων που γίνονται στο άτομο M. Παρατηρήστε πως το Z μπορεί να λάβει τις τιμές,,. Επίσης, P (A, P (B 5 6, με τα ενδεχόμενα A και B ανεξάρτητα, σύμφωνα με την υπόθεση. Επομένως: ( P (Z P (A B P (A P (B ( P (A( P (B ( 6 8, P (Z P (AB P (AP (B 6 8, P (Z P (Z P (Z Για τον υπολογισμό της P (Z χρησιμοποιήσαμε το ότι αν είναι ανεξάρτητα δύο ενδεχόμενα, τότε είναι ανεξάρτητα και τα συμπληρώματά τους. (βʹ Καταρχήν παρατηρήστε ότι για να έχουμε X, πρέπει αυτοί που θα ελεγχθούν από την δεύτερη εταιρεία να έχουν όλοι ήδη ελεγχθεί από την πρώτη εταιρεία. Αυτό μπορεί να γίνει με ( 5 συνδυασμούς, από τους συνολικά ( 5 συνδυασμούς. Επομένως, ( 5 P (X ( 5 Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και με χρήση κανόνων της δεσμευμένης πιθανότητας. Στη γενικότερη περίπτωση, θα έχουμε X x αν και μόνο αν η δεύτερη εταιρεία ελέγξει 5 x από τους που έχουν ήδη ελεγχθεί, και 5 (5 x x από τους που δεν έχουν ήδη ελεγχθεί. Αυτό μπορεί να γίνει με ( ( 5 x x τρόπους. Άρα: ( ( ( ( 5 ( 5 ( ( ( 5 ( ( 4 ( 5 P (X x 5 x ( 5 x, και με αντικατάσταση έχουμε P (X.8, P (X P (X 95.6, P (X 5944 P (X , P (X 5 4 ( ( 4 ( 5 ( ( ( 5 ( ( 5 ( , ,

88 Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι το πλήθος των ατόμων που επιλέχθηκαν από την εταιρεία B αλλά όχι από την εταιρεία A ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή. (Μπορείτε να συμπληρώσετε τις λεπτομέρειες; (γʹ Εστω οι Τ.Μ. Bernoulli X i, για i,...,, για τις οποίες X i αν το άτομο i περάσει από έλεγχο, και X i αλλιώς. Παρατηρήστε πως E(X i P (X i + P (X i P (X i P (X i P (Z 8 8, όπου η P (Z έχει υπολογιστεί στο πρώτο σκέλος. Ακολούθως, έχουμε E(X E ( X i E(X i Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει αν χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της μέσης τιμής και τα αποτελέσματα του προηγούμενου σκέλους: E(X P (X + P (X + P (X + P (X + 4 P (X P (X (Ασθένειες (.5 μονάδα Σύμφωνα με το γιατρό του, ένας ασθενής έχει μία ακριβώς από τις ασθένειες A, B, C, με πιθανότητες / για κάθε μια. Ο γιατρός υποβάλει τον ασθενή σε μια εξέταση με δύο δυνατά αποτελέσματα, το θετικό και το αρνητικό. Η εξέταση έχει το θετικό αποτέλεσμα με πιθανότητες.9 αν έχει την ασθένεια A,.5 αν έχει την ασθένεια B, και. αν έχει την ασθένεια C. Η εξέταση τελικά προκύπτει με το θετικό αποτέλεσμα. Ποιες είναι οι νέες πιθανότητες ο ασθενής να έχει τις ασθένειες A, B, και C; Λύση: Εστω A, B, C, τα ενδεχόμενα ο ασθενής να έχει τις ασθένειες A, B, και C αντιστοίχως. Είναι δοσμένο ότι P (A P (B P (C. Παρατηρήστε ότι τα A, B, C είναι διαμέριση του δειγματικού χώρου. Εστω επίσης K το ενδεχόμενο να προκύψει θετικό αποτέλεσμα στην εξέταση. Εχουμε, με εφαρμογή του Κανόνα του Byes: P (A K P (B K P (K AP (A P (K AP (A + P (K BP (B + P (K CP (C , P (K BP (B P (K AP (A + P (K BP (B + P (K CP (C , P (C K P (A K P (B K (Ακέραιο μέρος ( μονάδες Εστω η συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα πιθανότητας + x f(x 4, x <,, αλλού. (αʹ Ποια είναι η τιμή της σταθεράς ; (βʹ Ποια είναι η μέση τιμή E(X; (γʹ Ορίζουμε την Τ.Μ. Y X, δηλαδή το ακέραιο μέρος του X. (Επομένως, το Y είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος από τον X. Ποια είναι η μάζα του Y ; Λύση: (αʹ Παρατηρούμε πως f(x dx ( + x dx 4 (x + x dx Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι το ολοκλήρωμα της f(x ισούται με το εμβαδόν τραπεζίου ύψους και βάσεων με μήκη και +.

89 (βʹ Εχουμε: E(X xf(x dx ( x 4 + x dx 4 4 (x + x dx 4 ( x + x (γʹ Η Τ.Μ. Y μπορεί να λάβεις τις τιμές και, και η μάζα της υπολογίζεται ως εξής: P (Y P ( X < P (Y P (Y 5 8. f(x dx 4 (x + dx 4 dx ( ( x + x dx 8, Οι άνω πιθανότητες θα μπορούσαν να υπολογιστούν παρατηρώντας ότι η πρώτη ισούται με το εμβαδόν τραπεζίου ύψους και πλευρών 4 και, και η δεύτερη ισούται με το εμβαδόν τραπεζίου ύψους και πλευρών και (Από κοινού συνεχείς Τ.Μ. Οι από κοινού συνεχείς Τ.Μ. X, Y έχουν την από κοινού πυκνότητα f XY (x, y 5 (αʹ ( μονάδα Ποια είναι η μέση τιμή E[XY ]; (βʹ ( μονάδα Ποιες είναι οι περιθώριες f X (x, f Y (y; Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, (x + y, (x, y [, ] [, ],, αλλιώς. E(XY xyf XY (x, y da xy(x + y da ( ( x y + xy dy dx R R 5 [,] [,] 5 ( ( x y + 5 xy dy dx (x x dx [ x ] x 5. (βʹ Επίσης κατά τα γνωστά από τη θεωρία, έχουμε f X (x f XY (x, y dy, f Y (y Υπολογίζουμε καταρχήν την f X (x. Οταν x [, ], έχουμε f X (x f XY (x, y dy 5 (x + y dy 5 f XY (x, y dx. ( xy + y dy (x + 4, 5 ενώ όταν x [, ], Συγκεντρωτικά, f X (x f X (x dy. 5 (x + 4, x [, ],, x [, ]. Με ανάλογο τρόπο, όταν y [, ], έχουμε f Y (y f XY (x, y dx 5 (x + y dx 5 ( x + xy dx 5 ( + y,

90 ενώ όταν y [, ], Συγκεντρωτικά, f Y (y dy. f Y (y 5 ( + y, y [, ],, y [, ]. 5. (Καρπούζια Ενα ανοιχτό φορτηγάκι μπορεί να αντέξει συνολικά κιλά φορτίου πριν πάθει βλάβη. Το βάρος κάθε καρπουζιού από μια καλλιέργεια είναι Τ.Μ. με μέση τιμή 5 κιλά και τυπική απόκλιση κιλό. Εστω N το μέγιστο πλήθος των καρπουζιών που μπορούμε να φορτώσουμε στο φορτηγάκι ώστε η πιθανότητα να υπερβεί το βάρος τους τα κιλά να είναι μικρότερη από 4. Βρείτε μια συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί το N. Η συνθήκη μπορεί να εμφανίζει τη συνάρτηση Φ(. Λύση: Το N είναι ο μέγιστος ακέραιος N για τον οποίο ισχύει το ακόλουθο: ( N ( N P X n > < 4 P X n > 4 n P ( N n X n 5N N n 5N N > 4 P ( 5N Z > 4 N ( 5N Φ > 4 5N > Φ ( 4, N N όπου η Τ.Μ. Z είναι, σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα, τυπική κανονική Τ.Μ. Η τελευταία ισοδυναμία προκύπτει από το ότι η Φ( είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Παρατηρήστε ότι το αριστερό σκέλος της τελευταίας ανισότητας, όταν N R και N >, είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του N, έχει όριο το για N + και όριο το για N. Επομένως, πράγματι, όπως αναμενόταν από τη διαίσθησή μας, η συνθήκη ικανοποιείται για όλα τα θετικά ακέραια N μέχρι κάποιο μέγιστο ακέραιο N. Ακολούθως, θα βρούμε το N. Θέτουμε Φ ( 4, X N και λύνουμε την εξίσωση 5X 5X X 5X + X X X ± X 4.87 N Στην τέταρτη ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το ότι το Φ ( 4.79 (όπως προκύπτει με χρήση πινάκων ή Η/Υ και το ότι το X >. Επειδή το N είναι ακέραιο, προκύπτει το πασίγνωστο εμπειρικό αποτέλεσμα ότι μπορούμε να φορτώσουμε μέχρι 96 καρπούζια ένα φορτηγάκι χωρίς η πιθανότητα βλάβης να υπερβεί το 4. 4

91 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Οποιοδήποτε τελικό αριθμητικό αποτέλεσμα μπορεί να περιλαμβάνει εκφράσεις της μορφής n!, ( m k, Φ(z, κοκ. 9. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες.. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει.. ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΥ ΔΙΑΠΙΣΤΩΘΕΙ (ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΕΙΤΕ ΤΗΣ ΔΙΟΡΘΩ- ΣΗΣ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΕΙΤΕ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗΣ ΘΑ ΕΝΗΜΕΡΩΘΟΥΝ ΤΑ ΑΡΜΟΔΙΑ ΟΡΓΑΝΑ, ΠΟΥ ΕΝΔΕΧΕΤΑΙ ΝΑ ΕΠΙΒΑΛΛΟΥΝ ΣΟΒΑΡΕΣ ΚΥΡΩΣΕΙΣ. ΘΕΜΑΤΑ. (Αυτιά και μύτες Ο Σταύρος έχει μεγάλη μύτη και η Μαρία έχει μεγάλα αυτιά. Ο Σταύρος και η Μαρία κάνουν 5 παιδιά. Καθένα από αυτά κληρονομεί τα μεγάλα αυτιά της Μαρίας με πιθανότητα / και τη μεγάλη μύτη του Σταύρου με πιθανότητα /. Κάθε παιδί κληρονομεί τη μεγάλη μύτη του Σταύρου ανεξάρτητα από το αν κληρονομεί τα μεγάλα αυτιά της Μαρίας, και ανεξάρτητα από το τι συνέβη στα άλλα παιδιά. (αʹ (.5 μονάδα Εστω X το πλήθος των παιδιών που έχουν κληρονομήσει και τα μεγάλα αυτιά του Σταύρου και τη μεγάλη μύτη της Μαρίας. Γράψτε ένα μαθηματικό τύπο για την πιθανότητα P (X x, αναφέροντας τις δυνατές τιμές του x. (βʹ (.5 μονάδα Εστω Y το πλήθος των παιδιών που έχουν κληρονομήσει είτε τα μεγάλα αυτιά, είτε τη μεγάλη μύτη, είτε και τα δύο. Γράψτε ένα μαθηματικό τύπο για την πιθανότητα P (Y y, αναφέροντας τις δυνατές τιμές του y. (γʹ ( μονάδα Μια πλαστική επέμβαση που επαναφέρει τη μύτη σε κανονικό μέγεθος κοστίζει ευρώ και μια πλαστική επέμβαση που επαναφέρει τα αυτιά (και τα δύο σε κανονικό μέγεθος κοστίζει 4 ευρώ. Αν ο Σταύρος και η Μαρία επιδιορθώσουν με πλαστική όλες τις μεγάλες μύτες και τα μεγάλα αυτιά των κοριτσιών τους, ποια είναι η μέση τιμή των χρημάτων που θα χρειαστούν;. (Ιούλιος 4 (.5 μονάδα Το πλήθος των επιβατικών αεροσκαφών διεθνών αερογραμμών που συντρίβεται κάθε μέρα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο p. Τα πλήθη των συντριβών σε διαφορετικές ημέρες είναι ανεξάρτητα. Δίνεται συγκεκριμένο διάστημα 8 συνεχόμενων ημερών. Να υπολογίσετε την πιθανότητα σε αυτό το διάστημα να πέσουν ακριβώς αεροπλάνα.

92 . (Συνδυασμός πυκνοτήτων Εστω f(x και g(x δύο πυκνότητες πιθανότητας, των Τ.Μ. X και Y αντίστοιχα. Εστω η συνάρτηση h(x f(x + ( g(x, όπου (,. (αʹ (.5 μονάδα Να δείξετε ότι η h(x είναι επίσης πυκνότητα πιθανότητας, έστω μιας Τ.Μ. Z. (βʹ (.5 μονάδα Πόση είναι η E(Z; (γʹ (.5 μονάδα Πόση είναι η E (Z ; (δʹ (.5 μονάδα Πόση είναι η VAR(Z; Οι απαντήσεις σας στα σκέλη (β, (γ, (δ να δοθούν συναρτήσει των E(X, E(Y, E (X, E (Y και. 4. (Αμπελώνας Σύμφωνα με τις πιο πρόσφατες οινολογικές μελέτες, η ποιότητα ενός είδους κρασιού Eiswein που παράγεται σε ένα αμπελώνα, σε μια κλίμακα με άριστα το, ισούται με Z X + Y X Y, όπου X είναι το πλήθος των ημερών που βρέχει και Y το πλήθος των ημερών που χιονίζει κατά το μήνα που προηγείται της συγκομιδής των σταφυλιών. Η από κοινού μάζα των X, Y, είναι η ακόλουθη: y 4 5 x /5 /5 /5 /5 / 4 /5 /5 /5 /5 / 5 /5 / / / / (αʹ (.5 μονάδα Ποια είναι η συνδιακύμανση των X, Y ; (βʹ ( μονάδα Ποια είναι η μάζα της Τ.Μ. Z; (γʹ (.5 μονάδα Πόση είναι η μέση τιμή E(Z της Τ.Μ. Z; 5. (Μπιφτέκια Ενας μάγειρας θέλει να φτιάξει μπιφτέκια. Ετοιμάζει το μείγμα, και αρχίζει να πλάθει τα μπιφτέκια, σκοπεύοντας το καθένα να έχει βάρος γραμμάρια. Επειδή δεν μπορεί να υπολογίσει το βάρος του κάθε μπιφτεκιού επακριβώς, τα μπιφτέκια έχουν βάρη, σε γραμμάρια, που μοντελοποιούνται ως συνεχείς Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα [8, ]. (αʹ ( μονάδα Αν το μείγμα που έχει στη διάθεσή του ο μάγειρας έχει βάρος γραμμάρια, ποια είναι η πιθανότητα να μπορέσει να φτιάξει τουλάχιστον μπιφτέκια; (βʹ (.5 μονάδα Πόσο μείγμα πρέπει να έχει στη διάθεσή του ο μάγειρας ώστε η πιθανότητα να μπορέσει να φτιάξει τουλάχιστον μπιφτέκια να είναι τουλάχιστον 99%; Υποθέστε ότι και το τελευταίο μπιφτέκι που θα φτιάξει ο μάγειρας πρέπει να έχει την άνω κατανομή. Δηλαδή, ο μάγειρας δεν προχωρά στην κατασκευή ενός μπιφτεκιού που, κατά την εκτίμησή του, είναι μικρότερο του κανονικού.

95 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4. (Αυτιά και μύτες Ο Σταύρος έχει μεγάλη μύτη και η Μαρία έχει μεγάλα αυτιά. Ο Σταύρος και η Μαρία κάνουν 5 παιδιά. Καθένα από αυτά κληρονομεί τα μεγάλα αυτιά της Μαρίας με πιθανότητα.5 και τη μεγάλη μύτη του Σταύρου με πιθανότητα.5. Κάθε παιδί κληρονομεί τη μεγάλη μύτη του Σταύρου ανεξάρτητα από το αν κληρονομεί τα μεγάλα αυτιά της Μαρίας, και ανεξάρτητα από το τι συνέβη στα άλλα παιδιά. (αʹ Εστω X το πλήθος των παιδιών που έχουν κληρονομήσει και τα μεγάλα αυτιά του Σταύρου και τη μεγάλη μύτη της Μαρίας. Γράψτε ένα μαθηματικό τύπο για την πιθανότητα P (X x, αναφέροντας τις δυνατές τιμές του x. (βʹ Εστω Y το πλήθος των παιδιών που έχουν κληρονομήσει είτε τα μεγάλα αυτιά, είτε τη μεγάλη μύτη, είτε και τα δύο. Γράψτε ένα μαθηματικό τύπο για την πιθανότητα P (Y y, αναφέροντας τις δυνατές τιμές του y. (γʹ Μια πλαστική επέμβαση που επαναφέρει τη μύτη σε κανονικό μέγεθος κοστίζει ευρώ και μια πλαστική επέμβαση που επαναφέρει τα αυτιά (και τα δύο σε κανονικό μέγεθος κοστίζει 4 ευρώ. Αν ο Σταύρος και η Μαρία επιδιορθώσουν με πλαστική όλες τις μεγάλες μύτες και τα μεγάλα αυτιά των κοριτσιών τους, ποια είναι η μέση τιμή των χρημάτων που θα χρειαστούν; Λύση: (αʹ Το ενδεχόμενο A ένα παιδί να έχει μεγάλα αυτιά και το ενδεχόμενο B να έχει μεγάλη μύτη είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επομένως, η πιθανότητα να συμβαίνουν και τα δύο ενδεχόμενα ισούται με P (AB P (AP (B 4. Κάθε παιδί έχει μεγάλα αυτιά και μύτη ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα, επομένως το πλήθος των παιδιών με μεγάλα αυτιά και μύτη ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους N 5 και p 4. Επομένως, ( ( x ( 5 x 5 P (X x, x,,,, 4, 5. x 4 4 (βʹ Το ενδεχόμενο A ένα παιδί να έχει μεγάλα αυτιά και το ενδεχόμενο B να έχει μεγάλη μύτη είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επομένως, η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο ενδεχόμενα είναι P (A B P (A + P (B P (AB Κάθε παιδί έχει μεγάλα αυτιά ή μεγάλη μύτη ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα, επομένως το πλήθος των παιδιών με μεγάλα αυτιά ή μεγάλη μύτη ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους N 5 και p 4. Επομένως, P (X x ( 5 x ( 4 x ( 5 x, x,,,, 4, 5. 4 (γʹ Εστω W το πλήθος από κορίτσια με μεγάλη μύτη. Εστω επίσης V το πλήθος από κορίτσια με μεγάλα αυτιά. Παρατηρήστε ότι ορισμένα κορίτσια ενδέχεται να ανήκουν και στις δύο ομάδες. Παρατηρήστε επίσης ότι κάθε παιδί θα είναι κορίτσι με μεγάλη μύτη ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα παιδιά με πιθανότητα 4 (γιατί τα ενδεχόμενα να έχει μεγάλη μύτη και να είναι κορίτσι είναι επίσης ανεξάρτητα, επομένως η Τ.Μ. W ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους N 5 και p 4, και μέση τιμή E(W Np 5 4. Εντελώς ανάλογα, η Τ.Μ. V ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με τις ίδιες παραμέτρους N 5 και p 4, και μέση τιμή επίσης E(V Np 5 4. Τα χρήματα που θα δαπανηθούν είναι η Τ.Μ. Z W + 4V, με μέση τιμή E(W + 4V E(W + 4E(V 75.. (Ιούλιος 4 Το πλήθος των επιβατικών αεροσκαφών διεθνών αερογραμμών που συντρίβεται κάθε μέρα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο p. Τα πλήθη των συντριβών διαφορετικών ημερών είναι ανεξάρτητα. Δίνεται συγκεκριμένο διάστημα 8 συνεχόμενων ημερών. Να υπολογίσετε την πιθανότητα σε αυτό το διάστημα να πέσουν ακριβώς αεροπλάνα. Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι να υπολογιστεί η απάντηση.

96 Ο πιο εύκολος είναι να παρατηρήσουμε πως το άθροισμα δύο ανεξάρτητων Τ.Μ. Poisson με παραμέτρους λ και µ είναι επίσης Poisson με παράμετρο λ + µ. Με επαγωγή, το αποτέλεσμα μπορεί να γενικευτεί για οποιοδήποτε πλήθος Τ.Μ. Poisson, και επομένως το πλήθος των αεροπλάνων που θα συντριβούν σε αυτές τις 8 μέρες είναι επίσης Poisson με παράμετρο 8p. Επομένως, η πιθανότητα να συντριβούν ακριβώς αεροπλάνα είναι P (X (8p e 8p.! Ο δεύτερος τρόπος να λύσουμε την άσκηση είναι να παρατηρήσουμε πως θα πέσουν ακριβώς αεροπλάνα με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: (αʹ Θα πέσουν και τα τρία την ίδια μέρα. Αυτό μπορεί να γίνει με 8 τρόπους, ο καθένας εκ των οποίων έχει πιθανότητα ( p! e p (e p 7. (Παρατηρήστε ότι τις άλλες 7 μέρες δεν πρέπει να πέσει ούτε ένα αεροπλάνο. (βʹ Θα πέσουν δύο την ίδια μέρα, και άλλο ένα κάποια άλλη μέρα. Αυτό μπορεί να γίνει με τρόπους, καθένας εκ των οποίων έχει πιθανότητα ( p! e p (pe p (e p 6. (γʹ Θα πέσουν σε τρεις διαφορετικές μέρες. Αυτό μπορεί να γίνει με ( 8 56 τρόπους, καθένας εκ των οποίων έχει πιθανότητα (pe p (e p 5. Επομένως, η πιθανότητα να συντριβούν ακριβώς αεροπλάνα στις συγκεκριμένες 8 ημέρες είναι ( ( p p P (X 8 (e p pe p (e p (pe p (e p 5,! e p! e p που πολύ εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι είναι ίση με την απάντηση στην οποία φτάνουμε με τον πρώτο, πολύ πιο απλό, τρόπο.. (Συνδυασμός πυκνοτήτων Εστω f(x και g(x δύο πυκνότητες πιθανότητας, των Τ.Μ. X και Y αντίστοιχα. Εστω η συνάρτηση h(x f(x + ( g(x, όπου (,. (αʹ Να δείξετε ότι η h(x είναι επίσης πυκνότητα πιθανότητας, έστω μιας Τ.Μ. Z. (βʹ Πόση είναι η E(Z; (γʹ Πόση είναι η E ( Z ; (δʹ Πόση είναι η VAR(Z; Οι απαντήσεις σας στα σκέλη (β, (γ, (δ να δοθούν συναρτήσει των E(X, E(Y, E ( X, E ( Y και. Λύση: (αʹ Η h(x είναι παντού μη αρνητική, αφού >, >, f(x, και g(x. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι έχει ολοκλήρωμα στο διάστημα (, ίσο με τη μονάδα. Πράγματι, h(x dx (f(x + ( g(x dx f(x dx+( g(x dx +(. Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το ότι οι f(x και g(x είναι πυκνότητες, επομένως το ολοκλήρωμά τους είναι μονάδα. (βʹ Θα έχουμε: E(Z xh(x dx (γʹ Με ανάλογες πράξεις, έχουμε E ( Z x h(x dx x (f(x + ( g(x dx xf(x dx + ( xg(x dx E(X + be(y. x (f(x + ( g(x dx x f(x dx + ( x g(x dx E ( X + ( E ( Y.

97 (δʹ Συνδυάζοντας τα δύο προηγούμενα σκέλη, έχουμε τελικά VAR(Z E ( Z (E(Z E ( X + ( E ( Y (E(X + ( E(Y. 4. (Αμπελώνας Σύμφωνα με τις πιο πρόσφατες οινολογικές μελέτες, η ποιότητα ενός είδους κρασιού Eiswein που παράγεται σε ένα αμπελώνα, σε μια κλίμακα με άριστα το, ισούται με Z X + Y X Y, όπου X είναι το πλήθος των ημερών που βρέχει και Y το πλήθος των ημερών που χιονίζει κατά το μήνα που προηγείται της συγκομιδής των σταφυλιών. Η από κοινού μάζα των X, Y, είναι η ακόλουθη: (αʹ Ποια είναι η συνδιακύμανση των X, Y ; (βʹ Ποια είναι η μάζα της Τ.Μ. Z; (γʹ Πόση είναι η μέση τιμή E(Z της Τ.Μ. Z; Λύση: y 4 5 x /5 /5 /5 /5 / 4 /5 /5 /5 /5 / 5 /5 / / / / (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, ( E(X ( ( , ( E(Y ( ( ( ( , E(XY , COV(X, Y E(XY E(XE(Y (βʹ Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζεται η τιμή της συνάρτησης Z για κάθε ζεύγος (X, Y Από τον άνω πίνακα, προκύπτει πως y 4 5 x

98 P (Z , P (Z , P (Z , P (Z , P (Z. (γʹ Εχοντας τη μάζα της Z, εύκολα υπολογίζουμε πως E(Z (Μπιφτέκια Ενας μάγειρας θέλει να φτιάξει μπιφτέκια. Ετοιμάζει το μείγμα, και αρχίζει να πλάθει τα μπιφτέκια, σκοπεύοντας το καθένα να έχει βάρος γραμμάρια. Επειδή δεν μπορεί να υπολογίσει το βάρος του κάθε μπιφτεκιού επακριβώς, τα μπιφτέκια έχουν βάρη, σε γραμμάρια, που μοντελοποιούνται ως συνεχείς Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα [8, ]. (αʹ Αν το μείγμα που έχει στη διάθεσή του ο μάγειρας έχει βάρος γραμμάρια, ποια είναι η πιθανότητα να μπορέσει να φτιάξει τουλάχιστον μπιφτέκια; (βʹ Πόσο μείγμα πρέπει να έχει στη διάθεσή του ώστε η πιθανότητα να μπορέσει να φτιάξει τουλάχιστον μπιφτέκια να είναι τουλάχιστον 99%; Υποθέστε ότι και το τελευταίο μπιφτέκι που θα φτιάξει ο μάγειρας πρέπει να έχει την άνω κατανομή. Δηλαδή, ο μάγειρας δεν προχωρά στην κατασκευή ενός μπιφτεκιού που, κατά την εκτίμησή του, είναι μικρότερο του κανονικού. Λύση: Εστω X i, i,..., τα βάρη, σε γραμμάρια, των διαδοχικών μπιφτεκιών που φτιάχνει ο μάγειρας. Επειδή τα X i είναι ομοιόμορφες Τ.Μ., κατά τα γνωστά από τη θεωρία έχουμε µ E(X i 8 +, σ ( 8 4. (αʹ Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα το άθροισμα των X i να μην υπερβαίνει τα γραμμάρια, για την οποία έχουμε P X i P ( X i 4 P Z Στην πρώτη προσεγγιστική ισότητα, χρησιμοποιήσαμε το Κ.Ο.Θ. 4 4 ( Φ (βʹ Εστω πως ο μάγειρας έχει στη διάθεσή του μείγμα βάρους K. Εχουμε, ανάλογα με το προηγούμενο σκέλος, P X i K P ( P Z K 4 X i 4.99 Φ K 4 K 4.99 K 4 Φ (.99 K + Φ (.99 K 69. 4

99 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει.. Σύμφωνα με τον κανονισμό εξετάσεων, σε περίπτωση που διαπιστωθεί (κατά τη διάρκεια της εξέτασης είτε της διόρθωσης αντιγραφή είτε απόπειρα αντιγραφής, θα ενημερωθούν τα αρμόδια όργανα του ιδρύματος. ΘΕΜΑΤΑ. (Κινητά τηλέφωνα Σε μια αλυσίδα παραγωγής ενός κινεζικού εργοστασίου, δύο εργάτες, ο A και ο B, φτιάχνουν κινητά τηλέφωνα. Ο A φτιάχνει το 6% των τηλεφώνων, και ο B το υπόλοιπο 4%. Το 5% των τηλεφώνων που φτιάχνει ο A είναι ελαττωματικά. Αντίστοιχα, το % των τηλεφώνων που φτιάχνει ο B είναι ελαττωματικά. (αʹ [ μονάδα] Επιλέγουμε, από την αλυσίδα παραγωγής, ένα τηλέφωνο στην τύχη, και παρατηρούμε πως είναι ελαττωματικό. Ποια είναι τότε η πιθανότητα να το έχει φτιάξει ο A; (βʹ [ μονάδα] Επιλέγουμε, τυχαία, δύο τηλέφωνα. Υποθέτουμε ότι οι επιλογές των δύο τηλεφώνων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι κάθε τηλέφωνο που έχει επιλεγεί είναι ελαττωματικό ανεξάρτητα από το αν είναι ελαττωματικό και ποιος έχει επιλέξει το άλλο τηλέφωνο. Διαπιστώνουμε ότι τα δύο τηλέφωνα έχουν γίνει από τον ίδιο εργάτη (αλλά δεν ξέρουμε ποιον και επιπλέον είναι και τα δύο ελαττωματικά. Με αυτά το δεδομένα, ποια είναι η πιθανότητα να έχουν γίνει και τα δύο από τον A;. (Μονόπολη Η ελληνική έκδοση του επιτραπέζιου παιχνιδιού της Μονόπολης έχει 4 διακριτούς σταθμούς τραίνου (Πειραιώς, Τατοΐου, Λαρίσης, και Πελοποννήσου. Ενα παιχνίδι Μονόπολης παίζεται μεταξύ 5 ατόμων (A, B, C, D, και E και μετά από λίγους γύρους έχουν αγοραστεί όλοι οι σταθμοί. Κάθε σταθμός καταλήγει στην κατοχή κάποιου από τους 5 παίκτες χωρίς προτίμηση σε κάποιον παίκτη, και ανεξάρτητα από το τι έχει συμβεί στους άλλους σταθμούς ή παίκτες. (αʹ [.5 μονάδα] Ορίστε ένα δειγματικό χώρο για το πείραμα που περιγράφει την κατανομή των σταθμών σε παίκτες. Ποιο είναι το πλήθος των αποτελεσμάτων του; (βʹ [.5 μονάδα] Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου E 4 όλοι οι σταθμοί να καταλήξουν σε διαφορετικούς παίκτες, δηλαδή κάθε παίκτης να έχει το πολύ ένα σταθμό στην κατοχή του; (γʹ [.5 μονάδα] Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου E να υπάρχει ένας (οποιοσδήποτε παίκτης που να έχει όλους τους σταθμούς;

100 (δʹ [ μονάδα] Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου E να υπάρχουν ακριβώς παίκτες που να έχουν όλους τους σταθμούς; (εʹ [.5 μονάδα] Εστω X το πλήθος των σταθμών που καταλήγουν στον παίκτη A. Ποια είναι η μάζα της X; (ϛʹ [.5 μονάδα] Εστω, επιπλέον, Y το πλήθος των σταθμών που καταλήγουν στον παίκτη B. Να προσδιορίσετε την από κοινού μάζα των X και Y. (Υπόδειξη: Κάθε ένα από τα άνω υποερωτήματα, εκτός του πρώτου, μπορεί να απαντηθεί σχεδόν ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα.. (Πυκνότητα πιθανότητας Εστω Τ.Μ. X με την ακόλουθη πυκνότητα: f(x xe x/k, x,, x <. (αʹ [ μονάδα] Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς k. (βʹ [ μονάδα] Υπολογίστε την μέση τιμή της X. 4. (Tnkionline Σε ένα online παιχνίδι, όποτε ένα τανκ εκτελεί μια βολή, η βολή (i είναι άστοχη με πιθανότητα %, οπότε και προκαλείται στον αντίπαλο ζημία μονάδων ζωής (hit points, ή (ii είναι απλώς επιτυχημένη με πιθανότητα 6%, οπότε προκαλείται στον αντίπαλο ζημιά μονάδων ζωής, ή (iii είναι εξαιρετικά επιτυχημένη (ritil hit με πιθανότητα %, οπότε και προκαλείται στον αντίπαλο ζημιά 4 μονάδων ζωής. (αʹ [.5 μονάδα] Εστω Τ.Μ. X οι μονάδες ζωής της ζημιάς που προκαλείται από μια βολή. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή E(X και τη διασπορά VAR(X. (βʹ [ μονάδα] Ποια είναι η πιθανότητα, μετά από βολές, το άθροισμα όλων των ζημιών να υπερβαίνει τις 7 μονάδες ζωής; Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αιτιολογημένες προσεγγίσεις.

102 E(X f(x dx lim t t P (X B X U[, b], f(x f(x dx, B xf(x dx, E(g(X, b X Εκθ(θ, f(x R f(x dx lim t + f(t dt, P [ X b] t f(x dx, f(x dx lim t b f(x dx t lim t f(x dx, t f(x dx, F (x P (X x f(x dx + lim t + x f(x dx lim f(t dt, g(xf(x dx, E(X + b E(X + b, E( ig i(x σ VAR(X E [ (X µ ] E(X (E(X, για x [, b],, για x [, b], θ e x/θ, για x,, για x <, X N(µ, σ, f(x, x <, x F (x b, x b,, x > b, F (x E(X + b t + t t f(x dx, f(x dx, F (x f(x, ie(g i(x, VAR(X + b VAR(X. (b, VAR(X,, x, e x θ, x, E(X θ, VAR(X θ, πσ e (x µ /σ, για x R, E(X µ, VAR(X σ, X N(µ, σ X µ N(,, σ Z N(,, φ(z e z /, Φ(z π R (x, y : x b, φ (x y φ (x}, R (x, y : y b, φ (y x φ (y}, [,b] [,d] f(x, y da P [(X, Y R] f XY (x, y da, P ( X b, Y d f X(x f XY (x, y dy, f Y (y [,b] [,d] R R ( d ( b µ P ( X b Φ σ z e x / dx, π f(x, y da f(x, y da f(x, y dy dx f XY (x, y da f XY (x, y dx, E(g(X, Y Φ ( µ σ, Φ(x Φ( x. ( φ (x f(x, y dy dx, φ (x ( φ (y f(x, y dx dy, d d k φ (y ( f(x, y dx dy, ( d fxy (x, ydy dx, ( b fxy (x, ydx dy, g(x, yf XY (x, y dxdy, K K E(X + by + E(X + be(y +, E( g k (X, Y E(g k (X, Y, X, Y ανεξάρτητες P (X A, Y B P (X AP (Y B A, B f XY (x, y f X(xf Y (y x, y, X, Y ανεξάρτητες E(g(Xh(Y E(g(XE(h(Y, COV(X, Y, f X+Y (z E( ix i + b ie(x i + b, VAR( X i VAR(X i + k i<j n f X(tf Y (z t dt, COV(X i, X j. X, > P (X E(X, > P ( X E(X VAR(X, X, X,... ανεξ. με κοινή κατ., E(X i µ, XN N ɛ >, P ( X i X N µ < ɛ, καθώς N, N P ( lim N XN µ, ( N VAR(X i σ, SN N σ Xi Nµ P ( S N b Φ(b Φ(, καθώς N, (X i µ N σ P ( SN Φ(, καθώς N, N P ( SN Φ(, καθώς N. 4

103 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 4-5. (Κινητά τηλέφωνα Σε μια αλυσίδα παραγωγής ενός κινεζικού εργοστασίου, δύο εργάτες, ο A και ο B, φτιάχνουν κινητά τηλέφωνα. Ο A φτιάχνει το 6% των τηλεφώνων, και ο B το υπόλοιπο 4%. Το 5% των τηλεφώνων που φτιάχνει ο A είναι ελαττωματικά. Αντίστοιχα, το % των τηλεφώνων που φτιάχνει ο B είναι ελαττωματικά. (αʹ Επιλέγουμε, από την αλυσίδα παραγωγής, ένα τηλέφωνο στην τύχη, και παρατηρούμε πως είναι ελαττωματικό. Ποια είναι τότε η πιθανότητα να το έχει φτιάξει ο A; (βʹ Επιλέγουμε, τυχαία, δύο τηλέφωνα. Υποθέτουμε ότι οι επιλογές των δύο τηλεφώνων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι κάθε τηλέφωνο που έχει επιλεγεί είναι ελαττωματικό ανεξάρτητα από το αν είναι ελαττωματικό και ποιος έχει επιλέξει το άλλο τηλέφωνο. Διαπιστώνουμε ότι τα δύο τηλέφωνα έχουν γίνει από τον ίδιο εργάτη (αλλά δεν ξέρουμε ποιον και επιπλέον είναι και τα δύο ελαττωματικά. Με αυτά το δεδομένα, ποια είναι η πιθανότητα να έχουν γίνει και τα δύο από τον A; Λύση: (αʹ Εστω A το ενδεχόμενο να έχει φτιάξει το τηλέφωνο ο A, και έστω E το ενδεχόμενο το τηλέφωνο να είναι ελαττωματικό. Εξ υποθέσεως, P (A.6, P (A.4, P (E A.5, και P (E A.. Με εφαρμογή του κανόνα του Byes, έχουμε: P (A E P (E AP (A P (E AP (A + P (E A P (A (βʹ Εστω A και A τα ενδεχόμενα να έχει φτιάξει ο εργάτης A το πρώτο και το δεύτερο τηλέφωνο αντίστοιχα. Ομοίως, ορίζουμε τα ενδεχόμενα B, B. Εστω επίσης E και E τα ενδεχόμενα να είναι ελαττωματικά το πρώτο και το δεύτερο τηλέφωνο αντίστοιχα. Εχουμε: P (A A E E (A A B B P (A A E E (A A B B P (E E (A A B B P (A A E E P (E E (A A B B P (A A E E P (E E A A + P (E E B B. Ομως, από την υπόθεση, έχουμε επομένως P (A A E E P (A P (A A P (E A A P (E E A A P (A P (A P (E A P (E A.6.5, P (B B E E P (B P (B B P (E B B P (E E B B P (A A E E (A A B B P (B P (B P (E B P (E B.4., (Μονόπολη Η ελληνική έκδοση του επιτραπέζιου παιχνιδιού της Μονόπολης έχει 4 διακριτούς σταθμούς τραίνου (Πειραιώς, Τατοΐου, Λαρίσης, και Πελοποννήσου. Ενα παιχνίδι Μονόπολης παίζεται μεταξύ 5 ατόμων (A, B, C, D, και E και μετά από λίγους γύρους έχουν αγοραστεί όλοι οι σταθμοί. Κάθε σταθμός καταλήγει στην κατοχή κάποιου από τους 5 παίκτες χωρίς προτίμηση σε κάποιον παίκτη, και ανεξάρτητα από το τι έχει συμβεί στους άλλους σταθμούς ή παίκτες. (αʹ Ορίστε ένα δειγματικό χώρο για το πείραμα που περιγράφει την κατανομή των σταθμών σε παίκτες. Ποιο είναι το πλήθος των αποτελεσμάτων του; (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου E 4 όλοι οι σταθμοί να καταλήξουν σε διαφορετικούς παίκτες, δηλαδή κάθε παίκτης να έχει το πολύ ένα σταθμό στην κατοχή του;

104 (γʹ Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου E να υπάρχει ένας (οποιοσδήποτε παίκτης που να έχει όλους τους σταθμούς; (δʹ Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου E να υπάρχουν ακριβώς παίκτες που να έχουν όλους τους σταθμούς; (εʹ Εστω X το πλήθος των σταθμών που καταλήγουν στον παίκτη A. Ποια είναι η μάζα της X; (ϛʹ Εστω, επιπλέον, Y το πλήθος των σταθμών που καταλήγουν στον παίκτη B. Να προσδιορίσετε την από κοινού μάζα των X και Y. (Υπόδειξη: Κάθε ένα από τα άνω υποερωτήματα, εκτός του πρώτου, μπορεί να απαντηθεί σχεδόν ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα. Λύση: (αʹ Παρατηρήστε πως ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από διαφορετικές επαναληπτικές διατάξεις με τις οποίες 5 αντικείμενα (οι παίκτες μπορούν να τοποθετηθούν σε 4 διακριτές θέσεις (σταθμούς. (βʹ Από όλες τις επαναληπτικές διατάξεις του δειγματικού χώρου, 5 4 αντιστοιχούν σε αποτελέσματα όπου ο κάθε σταθμός βρίσκεται στην κατοχή διαφορετικού παίκτη. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι P (E (γʹ Από τις 5 4 επαναληπτικές διατάξεις του δειγματικού χώρου, υπάρχουν ακριβώς 5 που αποτελούν το ενδεχόμενο E (οι AAAAA, BBBBB, CCCCC, DDDDD, και EEEEE επομένως P (E (δʹ Παρατηρήστε πως υπάρχουν συνολικά ( 5 διαφορετικά ζεύγη παικτών. Εστω, για παράδειγμα, το ζεύγος A, B. Εστω E A το ενδεχόμενο να έχει όλους τους σταθμούς ο A, E B το ενδεχόμενο να έχει όλους τους σταθμούς ο B, E A B να ανήκουν όλοι σταθμοί στον A ή στον B, και E A B να ανήκουν κάποιοι από τους σταθμούς στον A, και κάποιοι στον B. Θα βρούμε το P (E A B. Εχουμε, όμως, P (E A B P (E A + P (E B + P (E A B, καθώς τα E A, E B, E A B είναι διαμέριση του E A B. Επομένως P (E A B P (E A B P (E A P (E B ( 4 5 ( 4 5 ( Επειδή υπάρχουν συνολικά ( 5 ζευγάρια παικτών, καθένα εκ των οποίων είναι εξίσου πιθανό να καταλήξει να έχει όλους τους σταθμούς, έχουμε P (E P (E A B 8 5. (εʹ Κάθε σταθμός καταλήγει στον παίκτη A ανεξάρτητα από το τι θα συμβεί στους υπόλοιπους, επομένως το πλήθος X των σταθμών του παίκτη A ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους (πλήθος πειραμάτων N 4 και (πιθανότητα επιτυχίας του κάθε πειράματος p 5. (ϛʹ Για να προσδιορίσουμε την από κοινού μάζα των X, Y, πρέπει να προσδιορίσουμε τις πιθανότητες P (X x, Y y για x, y,,,, 4, δηλαδή συνολικά 5 πιθανότητες. Καθώς όμως υπάρχουν συνολικά 4 σταθμοί, προκύπτει πως όλες οι ακόλουθες είναι μηδενικές: P (X 4, Y, P (X 4, Y, P (X 4, Y, P (X 4, Y 4, P (X, Y, P (X, Y, P (X, Y 4, P (X, Y, P (X, Y 4, P (X, Y 4. Επιπλέον, λόγω συμμετρίας, για τις υπόλοιπες πιθανότητες έχουμε P (X, Y P (X, Y, P (X, Y P (X, Y, P (X, Y P (X, Y, P (X 4, Y P (X, Y 4, P (X, Y P (X, Y, P (X, Y P (X, Y. Οπότε, συνολικά πρέπει να υπολογίσουμε 9 πιθανότητες. Σε κάθε μια από τις 9 αυτές περιπτώσεις, πρέπει να μετρήσουμε πόσες τις 65 επαναληπτικές διατάξεις του δειγματικού χώρου αντιστοιχούν στο κάθε ενδεχόμενο.

105 Εχουμε: P (X, Y , P (X, Y , ( 4 P (X, Y , P (X, Y , P (X, Y , P (X, Y , P (X, Y , P (X, Y , ( 4 P (X, Y Ολες οι άνω πιθανότητες προκύπτουν μετρώντας τα αποτελέσματα (δηλαδή τις επαναληπτικές διατάξεις που αντιστοιχούν στο συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Για παράδειγμα, έχουμε P (X, Y 4 5 διότι 4 υπάρχουν 4 τρόποι να επιλέξουμε το ξενοδοχείο που θα πάρει ο A, τρόποι για να επιλέξουμε το ξενοδοχείο που δεν θα πάρει ούτε ο A ούτε ο B, και τρόποι για να επιλέξουμε ποιος θα είναι ο παίκτης (από τους C, D, E που θα το πάρει. Παρόμοια μπορούν να προκύψουν και οι άλλες πιθανότητες. Συγκεντρωτικά, έχουμε: y 4 x 8/65 8/65 54/65 /65 /65 8/65 8/65 6/65 4/65 54/65 6/65 6/65 /65 4/65 4 /65 Παρατηρήστε ότι οι άνω πιθανότητες πράγματι αθροίζονται όλες στη μονάδα.. (Πυκνότητα πιθανότητας Εστω Τ.Μ. X με την ακόλουθη πυκνότητα: f(x xe x/k, x,, x <. (αʹ Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς k. (βʹ Υπολογίστε την μέση τιμή της X. Λύση: (αʹ Παρατηρούμε πως xe x/k dx ( x ke x/k dx Στα άνω, χρησιμοποιήσαμε τα όρια lim x e x/k [ kxe x/k] + k και lim x xe x/k e x/k dx k ( e x/k dx k. (το δεύτερο προκύπτει με απλή εφαρμογή του Κανόνα του L Hôpitl. Επομένως, προκειμένου το ολοκλήρωμα της f(x να είναι μονάδα, πρέπει k k.

106 (βʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, E(X xf(x dx x e x/k dx. Ομως, x e x/k dx ( k kx e x/k + k ( x e x/k dx kx e x/k + k xe x/k dx x ( e x/k dx kx e x/k k xe x/k + k e x/k dx Επομένως, kx e x/k k xe x/k k e x/k + C. E(X [ kx e x/k k xe x/k k e x/k] k. Στην τελευταία ισότητα, χρησιμοποιήσαμε τα όρια lim e x/k, lim xe x/k, και lim x e x/k x x x (το δεύτερο και το τρίτο προκύπτουν με απλή εφαρμογή του Κανόνα του L Hôpitl. 4. (Tnkionline Σε ένα online παιχνίδι, όποτε ένα τανκ εκτελεί μια βολή, η βολή (i είναι άστοχη με πιθανότητα %, οπότε και προκαλείται στον αντίπαλο ζημία μονάδων ζωής (hit points, ή (ii είναι απλώς επιτυχημένη με πιθανότητα 6%, οπότε προκαλείται στον αντίπαλο ζημιά μονάδων ζωής, ή (iii είναι εξαιρετικά επιτυχημένη (ritil hit με πιθανότητα %, οπότε και προκαλείται στον αντίπαλο ζημιά 4 μονάδων ζωής. (αʹ Εστω Τ.Μ. X οι μονάδες ζωής της ζημιάς που προκαλείται από μια βολή. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή E(X και τη διασπορά VAR(X. (βʹ Ποια είναι η πιθανότητα, μετά από βολές, το άθροισμα όλων των ζημιών να υπερβαίνει τις 7 μονάδες ζωής; Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αιτιολογημένες προσεγγίσεις. Λύση: (αʹ Κατά τα γνωστά από τη θεωρία, έχουμε: E(X , E ( X , VAR(X E ( X (E(X 44. (βʹ Εστω X i, i,..., N, N, οι μονάδες ζωής που αφαιρεί η βολή i. Θα εφαρμόσουμε το Κ.Ο.Θ. Εχουμε ότι οι X i έχουν μέση τιμή µ E(X i 6 και τυπική απόκλιση σ VAR(X i. Επομένως, P ( X i > 7 P ( X i N µ σ N P ( Z > > 7 N µ σ N 7 6 P ( Z > 5 Φ 6 (

107 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΚΑΘ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 5 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά σας άνω, και παραδώστε το παρόν με τις λύσεις.. Διάρκεια εξέτασης: ΩΡΕΣ.. Απαγορεύεται η αναχώρηση από την αίθουσα πριν την συμπλήρωση λέπτου. 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. 5. Οι λύσεις πρέπει να γραφούν αποκλειστικά στην παρεχόμενη κόλλα. 6. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε μολύβι ή/και στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός από κόκκινο. 7. Οι λύσεις πρέπει να είναι το κατά δυνατόν αναλυτικές. Πρέπει να φαίνονται όλα τα ενδιάμεσα βήματα στους υπολογισμούς. Τοποθετήστε τα τελικά αποτελέσματα εντός πλαισίου. 8. Ξεκινήστε από αυτές τις ασκήσεις που ξέρετε και/ή δίνουν πολλές μονάδες. 9. Προχωρήστε κάθε άσκηση όσο μπορείτε! Θα δοθούν μονάδες για ασκήσεις λυμένες εν μέρει.. Στις απαντήσεις αρκεί να δοθούν μαθηματικές εκφράσεις, δεν χρειάζεται να κάνετε πράξεις. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αιτιολογημένες προσεγγίσεις.. Σύμφωνα με τον κανονισμό εξετάσεων, σε περίπτωση που διαπιστωθεί (κατά τη διάρκεια της εξέτασης είτε της διόρθωσης αντιγραφή είτε απόπειρα αντιγραφής, θα ενημερωθούν τα αρμόδια όργανα του ιδρύματος. ΘΕΜΑΤΑ. (Αύξουσα σειρά ( μονάδα Εστω 5 φύλλα αριθμημένα από το έως το 5. Σηκώνουμε διαδοχικά 5 από αυτά, χωρίς επανάθεση, και χωρίς προτίμηση στη διάταξη που προκύπτει. Ποια είναι η πιθανότητα να σηκώσουμε τα φύλλα σε αύξουσα σειρά; (Π.χ., να σηκώσουμε τα φύλλα 5,, 4, 4, 5, με αυτή τη σειρά.. (Tnkionline ( μονάδες Ενα παιχνίδι διεξάγεται μεταξύ δύο ομάδων (των `μπλε και των `κόκκινων, με κάθε ομάδα να αποτελείται από άτομα. Μεταξύ ατόμων που συμμετέχουν, υπάρχουν 4 φίλοι. Στην αρχή του παιχνιδιού διεξάγεται κλήρωση προκειμένου να οριστούν οι ομάδες. Ολοι οι συνδυασμοί παικτών που μπορούν να απαρτίσουν την κάθε ομάδα είναι ισοπίθανοι. Εστω Ω ο δειγματικός χώρος, έστω A το ενδεχόμενο και οι τέσσερις φίλοι να καταλήξουν συμπαίκτες, B το ενδεχόμενο ένας (οποιοσδήποτε να βρεθεί αντίπαλος των υπολοίπων, και C το ενδεχόμενο να υπάρχουν φίλοι σε κάθε ομάδα. (αʹ (.5 μονάδα Βρείτε το πλήθος των αποτελεσμάτων στον δειγματικό χώρο Ω. (βʹ (.5 μονάδα Υπολογίστε την P (A. (γʹ (.5 μονάδα Υπολογίστε την P (B. (δʹ (.5 μονάδα Υπολογίστε την P (C.. (Η μέθοδος της γάτας (.5 μονάδες Ενας διδάσκων διορθώνει γραπτά τελικών εξετάσεων Πιθανοτήτων με τη μέθοδο της γάτας. Συγκεκριμένα, απλώνει τα γραπτά στο πάτωμα ενός δωματίου, και βάζει μια γάτα να κάνει πατημασιές πάνω σε αυτά. Κάθε πατημασιά είναι εξίσου πιθανό να καταλήξει σε οποιοδήποτε από τα γραπτά, ανεξάρτητα από τις άλλες πατημασιές. Ο βαθμός κάθε φοιτητή είναι ίσος με το πλήθος των πατημασιών στο γραπτό του, εκτός αν το πλήθος αυτό ξεπερνά το, οπότε ο βαθμός είναι. Επομένως, δεν επιτρέπονται ημιακέραιοι βαθμοί. Ο φοιτητής περνά το μάθημα αν πάρει βαθμό 5 και άνω.

108 (αʹ (.5 μονάδα Εστω ένας συγκεκριμένος φοιτητής A. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει βαθμό ο A; (βʹ (.5 μονάδα Κατά μέσο όρο πόσες πατημασιές έχει το γραπτό του A; (γʹ (.5 μονάδα Ποια είναι η πιθανότητα να περάσει ο φοιτητής A το μάθημα; (δʹ ( μονάδα Ποια είναι η μέση τιμή του πλήθους των φοιτητών που θα περάσουν; 4. (Η μέθοδος του ανεμιστήρα ( μονάδες Ενας διδάσκων διορθώνει γραπτά τελικών εξετάσεων Πιθανοτήτων με τη μέθοδο του ανεμιστήρα. Συγκεκριμένα, αφήνει κάθε γραπτό μπροστά από ένα ανεμιστήρα. Το γραπτό πέφτει στο πάτωμα σε απόσταση X από τον διδάσκοντα, που μοντελοποιείται ως Τ.Μ. με την ακόλουθη πυκνότητα: f X (x v e x/v, x,, x <. Η τιμή v είναι μια παράμετρος που εξαρτάται από την ένταση του ανεμιστήρα. Αν X, τότε ο βαθμός Y που λαμβάνει ο φοιτητής είναι. Αλλιώς, ο βαθμός Y που λαμβάνει ο φοιτητής είναι το ακέραιο μέρος X του X, δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος του X. Επομένως, δεν επιτρέπονται ημιακέραιοι βαθμοί. Ο φοιτητής περνά το μάθημα αν πάρει βαθμό 5 και άνω. (αʹ ( μονάδα Αν ο διδάσκων θέλει να περάσει ακριβώς το % των φοιτητών, πόση πρέπει να είναι η τιμή του v; (βʹ ( μονάδα Να δώσετε μια μαθηματική έκφραση για την πιθανότητα P (Y k, για κάθε ένα k,,,...,. 5. (Απρόσεκτος οδηγός (.5 μονάδες Ενας απρόσεκτος οδηγός δέχεται X κλήσεις για υ- περβολική ταχύτητα και Y κλήσεις για παράνομη στάθμευση κάθε βδομάδα. Η από κοινού μάζα πιθανότητάς τους είναι η ακόλουθη: y 4 x /8 /6 /6 /6 /6 /8 /8 /6 /6 /6 /6 /8 Οι κλήσεις για υπερβολική ταχύτητα συνοδεύονται από πρόστιμο 5 ευρώ και οι κλήσεις για παράνομη στάθμευση συνοδεύονται από πρόστιμο 5 ευρώ. Ο οδηγός πάντα πληρώνει τα πρόστιμα και δεν δέχεται κλήσεις για άλλο λόγο. (αʹ (.5 μονάδα Ποιες είναι οι μάζες πιθανότητας των X και Y ; (βʹ ( μονάδα Ποια είναι η μάζα πιθανότητας, η μέση τιμή, και η διασπορά του ποσού Z που πληρώνει κάθε εβδομάδα ο οδηγός για πρόστιμα; (γʹ ( μονάδα Ποια είναι η πιθανότητα σε εβδομάδες, ο οδηγός να πληρώσει πάνω από ευρώ;

Δείτε περισσότερα