S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t
|
|
- Ὅμηρος Μπουκουβαλαίοι
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Περιληψη. Παρακάτω ακολουθεί παρουσίαση και σε περιπτώσεις υπόδειξη λύσης ασκήσεων, κυρίως από το σύγγράμμα [1, Κεϕάλαιο 2] προς ενημέρωση ϕοιτητών τμήματος Μαθηματικών Σάμου με κατεύθυνση Στατιστικής και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικών για το μάθημα του Στ εξαμήνου ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ. Στο τέλος, υπάρχει συνοπτικός πίνακας συμβόλων για τις διάϕορες έννοιες που χρησιμοποιούνται. 1. Συναρτησεις θνησιμοτητας Άσκηση 1.1. Πως συνδέεται η ένταση θνησιμότητας με τη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής; µ x d dx ln S T (x), { S T (x) exp x 0 } µ u du. Άσκηση 1.2. Πως συνδέεται η συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής με τη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής και πως με την ένταση θνησιμότητας; tp x S Tx (t) S T (x + t) S T (x) { exp x+t x } µ u du. Άσκηση 1.3. [1, Α.2.13] Να εκϕράσετε την παράγωγο του q x ως προς x σε όρους έντασης θνησιμότητας. d dx q x p x (µ x+1 µ x ). Άσκηση 1.4. Δείξτε ότι (α) m n q x m+n q x m q x. (β) m n q x m p x m+n p x. (γ) m n q x m p x n q x+m. Άσκηση 1.5. Εκϕράστε τη συνάρτηση πυκνότητας υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x σε σχέση με τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής και την ένταση θνησιμότητας. f Tx (t) t p x µ x+t, για 0 t ω x. Ημερομηνία 22 Μαΐου
3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 3 Άσκηση 1.6. Αν η συνάρτηση επιβίωσης έχει την παρακάτω γραμμική μορϕή, 1, t 0 S T (t) 1 t, 0 < t < ω ω 0, t ω και αϕού πρώτα βρεθούν οι ποια είναι η πιθανότητα F T (t), f T (t), µ t, S Tx (t), F Tx (t), f Tx (t), t p x, t q x, (α) άτομο (ηλικίας 0) να επιζήσει πέραν της ηλικίας των 15; (β) άτομο να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών 15 και 42; (γ) άτομο ηλικίας 15 να επιβιώσει πέραν της ηλικίας των 42; (δ) άτομο ηλικίας 15 να αποβιώσει πριν ϕτάσει την ηλικία των 42; στην περίπτωση όπου ω 120; Υπόδειξη. Για το (α) έχουμε S T (15), για το (β) S T (15) S T (42), για το (γ) S T (42) S T (15) το (δ) 1 S T (42). S T (15) Άσκηση 1.7. Θεωρούμε τη συνάρτηση S(x) x x (α) Μπορεί η παραπάνω να θεωρηθεί συνάρτηση επιβίωσης; (β) ποια είναι η πιθανότητα άτομο να επιζήσει μέχρι την ηλικία των 20; (γ) ποια είναι η πιθανότητα άτομο ηλικίας 20 να αποβιώσει μεταξύ ηλικιών 30 και 40; και για Άσκηση 1.8. Αν η τ.μ. T η οποία περιγράϕει τη μελλοντική ζωή ενός νεογνού, ακολουθεί την ομοιόμορϕη κατανομή, T U(0, ω), ποια η συνάρτηση πυκνότητας διάρκειας ζωής, η συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής, η συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής και ποια η μέση τιμή και η διασπορά της T ; Τι συμβαίνει στην περίπτωση όπου η T ακολουθεί την εκθετική κατανομή, T E(λ), με παράμετρο λ > 0; Άσκηση 1.9. Πως εκϕράζεται η προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x σε σχέση με τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής; e o x E(T x ) ω x 0 tp x dt. Άσκηση Αν t p 0 1 t/9, με 0 t 81, να υπολογίσετε την προσδοκώμενη ζωή του ατόμου ηλικίας 0. Υπόδειξη. Χρησιμοποιούμε την Άσκηση 1.9 και καταλήγουμε e o Άσκηση Χρησιμοποιώντας το ακραίο σενάριο ότι για μία ζωή έχουμε t p x ( 1+x 1+x+t )n, για κάθε t 0, και κάποιο n > 1, n N, να υπολογίσετε την προσδοκώμενη ζωή του ατόμου ηλικίας κ.
4 4 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Υπόδειξη. Χρησιμοποιούμε κατάλληλα την Άσκηση 1.9 και καταλήγουμε ότι e o κ 1 + κ n 1. Άσκηση Ποια η διασπορά, ποια γενικότερα η ροπή n τάξης, και ποια η διάμεση τιμή της προσδοκώμενης ζωής; Ποια η επικρατούσα τιμή της υπολειπόμενης ζωής; Υπόδειξη. Γενικά για πραγματική συνάρτηση g( ) με συνεχή παράγωγο και για μη αρνητική συνεχή τ.μ. X με συνάρτηση κατανομής F X ( ) έχουμε ότι Eg(X) [g(x)(1 F X (x))] x x0 + g (x)(1 F X (x))dx g(0) + 0 g (x)(1 F X (x))dx. Εϕαρμόζουμε την παραπάνω για g(x) x n. Η διάμεση τιμή, έστω t m, είναι τέτοια ώστε S Tx (t m ) 0.5 Η επικρατούσα τιμή, εστω t 0 είναι εκείνη η τιμή για την οποία η f Tx γίνεται μέγιστη, δηλαδή τέτοια ώστε f Tx (t 0 ) max t f Tx (t). Άσκηση Πως εκϕράζεται η ακέραια προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x σε σχέση με τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής; Βρείτε αναδρομική σχέση που ικανοποιεί η e x. e x E(K x ) ω x 1 k1 0 kp x, e x p x (1 + e x+1 ), όπου στη δεύτερη σχέση χρησιμοποιήσαμε τη σχέση K x K x Άσκηση Αν S T (t) e µt για κάθε t 0, να βρείτε την ακέραια προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x και τη E(S x ) όπου S x το κλάσμα έτους που ζει το άτομο ηλικίας x. T E(µ) και S Tx (t) S T (t). Υπολογίζουμε e x E(K x ) kp x 1 e µ 1, E(S x) 1 µ e x. k1 Άσκηση Ποια η διασπορά και ποια γενικότερα η ροπή n τάξης της ακέραιας προσδοκώμενης ζωής; Υπόδειξη. Γενικά για πραγματική συνάρτηση g( ) και για μη αρνητική διακριτή τ.μ. X με συνάρτηση κατανομής F X ( ) έχουμε ότι Eg(X) g(0) + (g(x + 1) g(x)) (1 F X (x)). x0 Εϕαρμόζουμε την παραπάνω για g(x) x n.
5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 5 Άσκηση Ποια η σχέση μεταξύ της προσδοκώμενης ζωής και της ακέραιας προσδοκώμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, όταν το κλάσμα έτους που ζει το άτομο ηλικίας x ακολουθεί την ομοιόμορϕη κατανομή στο (0, 1); Ποια είναι η διασπορά της υπολειπόμενης ζωής αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι K x και S x είναι ανεξάρτητες; Άσκηση Εστω ότι q x συνδέεται με την ένταση θνησιμότητας µ x και q x με την ένταση θνησιμότητας µ x. Αν µ x cµ x, με c > 0, να εκϕράσετε το q x σε σχέση με το q x. Ποια η σχέση του p x με το p x ; Υπόδειξη. Καταλήγουμε q x 1 (1 q x ) c, p x (p x ) c. Άσκηση Άτομο ηλικίας x υπόκειται σε επιπλέον κίνδυνο θνησιμότητας για το επόμενο έτος μόνο, ο οποίος εκϕράζεται μέσω της ποσότητας c(1 t), όπου c > 0 για εκείνο το έτος. Ποια η πιθανότητα επιβίωσης του ατόμου για το έτος αυτό; Κάντε εϕαρμογή για x 40, c 0.03 µ x+t µ x+t + c(1 t), 0 t 1 και χρησιμοποιούμε τη p x e 1 0 µ x+t dt. Άσκηση [1, Παρ. σελ.62] Να υπολογιστεί η μερική παράγωγος της t p x ως προς t, και ως προς x. Παραπέρα να δείξετε ότι η ποσότητα [ 1 tp x x t p x ] t t p x είναι ανεξάρτητη του t. Άσκηση [1, Παρ. σελ.63] Θεωρούμε δύο ανεξάρτητες ως προς τη θνησιμότητα ζωές, όπου ο ένας είναι καπνιστής και ο άλλος όχι. Αν µ x, 0 x ω η ένταση θνησιμότητας για το μη καπνιστή και µ x cµ x, 0 x ω με c > 1 η ένταση θνησιμότητας για τον καπνιστή να βρείτε την πιθανότητα η υπολειπόμενη διάρκεια ζωής του καπνιστή να είναι μεγαλύτερη από αυτή του μη καπνιστή. Υπόδειξη. Για δύο μη αρνητικές συνεχείς τ.μ. X, Y έχουμε ότι P(X > Y ) 0 y f(x, y)dxdy, όπου f(x, y) η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των X, Y. Στην περίπτωση που είναι ανεξάρτητες η παραπάνω παίρνει τη μορϕή P(X > Y ) 0 (1 F X (y))f Y (y)dy. Άσκηση *[1, Παρ. σελ.72] Αν T x E(λ), όπου λ > 0 να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διασπορά, τη διάμεσο και την κορυϕή της κατανομής της υπολειπόμενης διάρκειας ζωής. Άσκηση *[1, Παρ. σελ.72] Αν µ x x να υπολογιστούν: η συνάρτηση επιβίωσης της διάρκειας ζωής, η συνάρτηση πυκνότητας της διάρκειας ζωής και η μέση τιμή της διάρκειας ζωής.
6 6 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση *Αν η ζωή ενός ατόμου υπόκειται σε σταθερή ένταση θνησιμότητας, έστω c, όπου c θετικός πραγματικός αριθμός, να υπολογίσετε την πιθανότητα (α) το άτομο να επιβιώσει τα επόμενα 13 χρόνια και (β) να αποβιώσει σε 17 χρόνια. Άσκηση *Αν t p x (121 x t)/(121 x), με 0 x < 121, 0 t 121 x να υπολογίσετε την ένταση θνησιμότητας για άτομα ηλικίας Πινακες θνησιμοτητας Άσκηση 2.1. Να εκϕράσετε τη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής ως προς τον αναμενόμενο αριθμό επιζώντων, ομάδας l 0 νεογέννητων, που ϕτάνουν στην ηλικία x, αν υποθέσουμε ότι όλες οι ζωές της ομάδας l 0 υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας. Ποια η αντίστοιχη έκϕραση για τη συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής; Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς τη θνησιμότητα, ποια η κατανομή του αριθμού των επιζώντων που ϕτάνουν στην ηλικία x; Ποια η μέση τιμή και η διασπορά της παραπάνω κατανομής; Υπόδειξη. Εχουμε S T (x) l x /l 0 και S Tx (t) l x+t /l x. Ο αριθμός των επιζώντων S(x) που ϕτάνουν στην ηλικία x, ακολουθεί διωνυμική κατανομή της μορϕής S(x) Bin(l 0, S T (x)). Άσκηση 2.2. Να εκϕράσετε την ένταση θνησιμότητας για άτομα ηλικίας x ως προς τον αναμενόμενο αριθμό επιζώντων l x. Υπόδειξη. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της Άσκησης 1.2 συμπεραίνουμε (2.1) µ x d dx ln l x 1 d l x dx l x. Άσκηση 2.3. Να εκϕράσετε την πιθανότητα άτομο ηλικίας x να αποβιώσει στα επόμενα t χρόνια σε όρους αναμενόμενων αριθμών επιζώντων. Παραπέρα, δώστε έκϕραση σε όρους αναμενόμενων αριθμών επιζώντων της πιθανότητας άτομο ηλικίας x να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών x + m και x + m + n. tq x l x l x+t l x, m nq x l x+m l x+n l x. Άσκηση 2.4. Αποδείξτε το ερώτημα (γ) της Άσκησης 1.4 χρησιμοποιώντας την Άσκηση 2.3. Άσκηση 2.5. Να εκϕράσετε την προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x σε όρους αναμενόμενων αριθμών επιζώντων. Ποια είναι η αναμενόμενη ηλικία στο θάνατο ατόμων ηλικίας x; Υπόδειξη. Συνδυάστε τις Ασκήσεις 1.9 και 2.3. Για το δεύτερο ερώτημα η αναμενόμενη ηλικία στο θάνατο ατόμων ηλικίας x είναι η προσδοκώμενη ζωής του ατόμου ηλικίας x αν προσθέσουμε την ηλικία του x. Άσκηση 2.6. Να εκϕράσετε τον αναμενόμενο αριθμό θανάτων στο διάστημα μεταξύ των ηλικιών x και x + 1 ως προς τον αναμενόμενο αριθμό επιζώντων, ομάδας l 0 νεογέννητων, που ϕτάνουν στην ηλικία x, αν υποθέσουμε ότι όλες οι ζωές της ομάδας l 0 υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας. Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς τη θνησιμότητα, ποια η κατανομή του αριθμού των θανάτων στο διάστημα μεταξύ των ηλικιών x και x + 1; Ποια η παραπάνω κατανομή δεδομένου ότι έχουμε l x επιζώντες στην ακριβή ηλικία x;
7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 7 Υπόδειξη. d x E( x ) l 0 x q 0 l x l x+1. Εχουμε ότι x Bin(l 0, x q 0 ). Άσκηση 2.7. [1, Παρ. σελ.58]να δείξετε ότι m+np x m p x n p x+m n p x m p x+n. χρησιμοποιώντας εκϕράσεις αναμενόμενων αριθμών επιζώντων. Ποια η σχέση των συμβόλων q x και 0 q x. Με ποια πιθανότητα είναι ίση η ποσότητα u t q x u s q x όταν t > s; q x 0 q x και u t q x u s q x u+s t s q x. Άσκηση 2.8. [1, Παρ. σελ.59]να δείξετε ότι Τι εκϕράζει η παραπάνω σχέση; tp x t ω x t q x. Άσκηση 2.9. [1, Παρ. σελ.60]να υπολογίσετε την πιθανότητα άτομο ηλικίας 21 να αποβιώσει μετά την ηλικία των 40 αλλά πρν ϕτάσει τα 57, όταν γνωρίζουμε ότι l x 121 x, για 0 x 121. Υπόδειξη. Υπολογίζουμε την πιθανότητα q 21. Άσκηση [1, Α.2.1] Αν ένας πίνακας θνησιμότητας αντιπροσωπεύεται από τη συνάρτηση l x x βρείτε την πιθανότητα (α) ένα άτομο να επιβιώσει μέχρι την ηλικία 19 (β) ένα άτομο ηλικίας 36 να αποβιώσει πριν την ηλικία 51. Υπόδειξη. Υπολογίζουμε τα 19 p 0 και 15 q 36. Άσκηση Αν l x (100 x) 2 για x 0, 1,..., 100, να εκϕράσετε τα d x, t p x, t q x. Υπόδειξη. Καταλήγουμε ότι d x 199 2x, ( ) x t tp x, 100 x t q x 199 2x 2t (100 x) 2. Άσκηση [1, Α.2.14] Αν d x 2x + 1 για x 0, 1,..., 99, να βρείτε τα l 0, l x, t q 0. Υπόδειξη. Καταλήγουμε ότι l , l x x 2, tq 0 t , όπου χρησιμοποιήσαμε ότι l x ω 1 ix d i, με ω 100. Άσκηση [1, Α.2.16] Αν q x (1 + x)/(100 + x), για x 0, 1,..., να δείξετε ότι 99 x l x x 1 y0 (100 + y)l 0. Άσκηση Αν l x 1 x, 0 x 1, ποια τα t q x και t s q x ; t q x t/(1 x), για 0 t 1 x και t s q x s/(1 x), για 0 s 1 x t.
8 8 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση Να εκϕράσετε το n q x σε όρους q x+j για κατάλληλα j. n q x 1 n 1 j0 (1 q x+j). Άσκηση Να δείξετε την παρακάτω σχέση t 1 s0 s q x t q x. Άσκηση [1, Α.2.17] Αν d x 2 x, για x 0, 1,..., 99 να βρεθεί ο συνολικός πληθυσμός l 0 και ο αναμενόμενος αριθμός επιζώντων, από τους l 0 που ϕτάνουν στην ηλικία x. Υπόδειξη. Εχουμε l και l x x. Άσκηση * Να υπολογίσετε την ποσότητα της Άσκησης 1.19 χρησιμοποιώντας εκϕράσεις με αναμενόμενους αριθμούς επιζώντων. Άσκηση Δεδομένου ότι l x 1000(ω 3 x 3 ), 0 x ω, και E(T 0 ) 0.75ω να υπολογίσετε τη διασπορά της T 0. Υπόδειξη. Χρησιμοποιούμε το αποτέλεσμα της Άσκησης 1.12, ώστε να υπολογίσουμε E(T 2 0 ) 2 ω 0 t t p 0 dt. Άσκηση [1, Α.2.10]Να συμπληρώσετε τα σημεία που υπάρχουν σύμβολα στον παρακάτω πίνακα θνησιμότητας. Παραπέρα, να προσεγγίσετε την ένταση θνησιμότητας µ 92 αν υποθέσετε x q x l x d x 90 1/ /5 92 1/2 93 2/3 94 4/ Πινακας 1. Πίνακας Θνησιμότητας Άσκησης 2.10 ότι (α) η µ x είναι γραμμική στο διάστημα (91, 93). (β) η l x είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού στο διάστημα (91, 93). (γ) η l x είναι πολυωνυμική τετάρτου βαθμού στο διάστημα (90, 94). Υπόδειξη. Για τη συμπλήρωση του πίνακα, χρησιμοποιούμε τις σχέσεις l x (1 q x 1 )l x 1 και d x l x l x+1. Για τις προσεγγίσεις της έντασης θνησιμότητας, χρησιμοποιούμε για το (α) ότι µ x ln(p x 1 p x ) 1/2, για το (β) και με κατάλληλη χρήση του αναπτύγματος Taylor για τη συνάρτηση l x+h γύρω από το x, ότι µ x l x 1 l x+1 2l x,
9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 9 x q x l x d x 90 1/ / / / / Πινακας 2. Συμπληρωμένος Πίνακας Θνησιμότητας Άσκησης 2.10 για το (γ) πάλι με κατάλληλη χρήση του αναπτύγματος Taylor για τη συνάρτηση l x+h γύρω από το x, ότι µ x (l x+2 l x+ 2 ) + 8(l x 1 l x+1 ), 12l x με x Ασϕαλιστικοι Πινακες Επιλογης Άσκηση 3.1. [1, Παρ. σελ.90] Εχουμε τον παρακάτω υποπίνακα από ένα ύστατο και επίλεκτο πίνακα θνησιμότητας με περίοδο r 2 έτη. Να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω Ηλικία [x] q [x] q [x]+1 q x /5 84 1/4 85 1/10 1/6 1/3 86 1/8 1/5 Πινακας 3. Υποπίνακας επίλεκτου και ύστατου πίνακα θνησιμότητας Άσκησης 3.1 πίνακα. Ηλικία [x] l [x] l [x]+1 l x Πινακας 4. Πίνακας Άσκησης 3.1 Υπόδειξη. Συμπληρώνουμε πρώτα τα στοιχεία της τελευταίας στήλης του πίνακα, χρησιμοποιώντας τη σχέση l x (1 q x 1 )l x 1 και υπολογίζουμε τις «επίλεκτες» τιμές των l σύμϕωνα με τις σχέσεις l [x]+1 l x+2 1 q [x]+1, l [x] l [x]+1 1 q [x]. Άσκηση 3.2. Εχουμε τον παρακάτω υποπίνακα από ένα επίλεκτο και ύστατο και πίνακα θνησιμότητας με περίοδο r 2 έτη. Να υπολογίσετε την πιθανότητα q [30]+1. 1 q [30]+1 p [30]+1 q [30]+2.
10 10 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Ηλικία [x] 100 q [x] 100 q [x] q x Πινακας 5. Υποπίνακας επίλεκτου και ύστατου πίνακα θνησιμότητας Άσκησης Συναρτησεις θνησιμοτητας για κλασματικες ηλικιες Άσκηση 4.1. [UDD 1 ] Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, είναι γραμμική συνάρτηση του t, με 0 t < 1 για κάθε x, να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα. Ποσότητα Γραμμική Παρεμβολή tq x µ x+t 1 tq x+t t 1 tq x t t q x Πινακας 6. Πίνακας Γραμμικής Παρεμβολής Άσκησης 4.1 επομένως (4.1) S Tx (t) S T (x + t) a x + b x t S T (x) + (S T (x + 1) S T (x)) t, l x+t l x + (l x+1 l x )t ( l x 1 l ) x l x+1 t l x ( l x 1 d ) x t l x l x (1 q x t), δηλαδή t p x l x+t l x 1 q x t ή t q x q x t. Παραπέρα, από τη σχέση (4.1) συμπεραίνουμε ότι l x+t d t x, 0 t < 1, και σε συνδυασμό με τη (2.1) µ x+t d x l x+t d x lx l x+t l x q x tp x q x 1 t q x. 1 Τα αρχικά προέρχονται από την ομοιόμορϕη κατανομή των θανάτων σε κάθε έτος ηλικίας, Uniform Distribution of Deaths.
11 Εχουμε ότι p x t p x 1 t p x+t, επομένως ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 11 (4.2) (4.3) Ακόμα έχουμε ότι 1 tq x+t 1 1 t p x+t 1 p x t p x p x tp x tp x 1 1 q x 1 t q x q x t q x 1 t q x. (4.4) t 1 tq x t p x 1 t q x+t t p x p x q x t q x, όπου στο δεύτερο βήμα χρησιμοποιήσαμε τη σχέση (4.2). Τέλος παρατηρούμε ότι (4.5) Ο πίνακας παίρνει τη μορϕή t t q x t p x µ x+t. Ποσότητα tq x Γραμμική Παρεμβολή t q x q µ x x+t 1 t q x q x (1 t) 1 tq x+t 1 t q x t 1 tq x q x (1 t) t t q x Πινακας 7. Συμπληρωμένος Πίνακας Γραμμικής Παρεμβολής Άσκησης 4.1 με 0 t < 1. q x Άσκηση 4.2. [CF M 2 ] Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, είναι εκθετική συνάρτηση του t, της μορϕής e a x+b x t, με 0 t < 1 για κάθε x, να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα. Ποσότητα Εκθετική Παρεμβολή tq x µ x+t 1 tq x+t t 1 tq x t t q x Πινακας 8. Πίνακας Εκθετικής Παρεμβολής Άσκησης 4.2 S Tx (t) e a x+b x t t p x e t 0 µ x+udu, 2 Τα αρχικά προέρχονται από την σταθερή ενταση θνησιμότητας σε κάθε έτος ηλικίας, Constant Force of Mortality.
12 12 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ με x N {0} και 0 t < 1, επομένως µ x+t b x για κάθε 0 t < 1 ή διαϕορετικά σε κάθε διάστημα [0, 1) έχουμε στάθερη ένταση θνησιμότητας µ x+t µ x. Παραπέρα, έχουμε ότι (4.6) tp x e t 0 µ x+udu e tµ x (e µ x ) t (p x ) t, για κάθε 0 t < 1. Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.3), (4.4), (4.5) και (4.6) καταλήγουμε στον πίνακα Ποσότητα Εκθετική Παρεμβολή tq x 1 (p x ) t µ x+t µ x 1 tq x+t 1 (p x ) 1 t t 1 tq x (p x ) t p x t t q x (p x ) t µ x Πινακας 9. Συμπληρωμένος Πίνακας Εκθετικής Παρεμβολής Άσκησης 4.2 με 0 t < 1. Άσκηση 4.3. [Balducci] Αν υποθέσουμε ότι η αντίστροϕη συνάρτηση της συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x, είναι γραμμική συνάρτηση του t, με 0 t < 1 για κάθε x, να αντικαταστήσετε τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα. Ποσότητα Αρμονική Παρεμβολή tq x µ x+t 1 tq x+t t 1 tq x t t q x Πινακας 10. Πίνακας Αρμονικής Παρεμβολής Άσκησης S Tx (t) 1 S T (x + t) επομένως (4.7) a x + b x t ( 1 S T (x) + 1 S T (x + 1) 1 ) S T (x) 1 1 ( ) t l x+t l x l x+1 l x 1 ( 1 + l ) x l x+1 t l x l x+1 1 ( 1 + d ) x l x t l x+1 ), 1 l x ( 1 + q x p x t t,
13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 13 δηλαδή (4.8) ή 1 tp x 1 + q x p x t p x + t q x p x, tq x q x t p x + t q x. Παραπέρα, από τη σχέση (4.7) συμπεραίνουμε ότι t l d x x+t l x+1 + d x t, 0 t < 1, και σε συνδυασμό με τη (2.1) µ x+t l x+1 l x d x lx + d x lx t q x. p x + t q x Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.3), (4.4), (4.5) και (4.8) καταλήγουμε στον πίνακα Ποσότητα tq x Αρμονική Παρεμβολή t q x p x+t q x q µ x x+t p x +t q x 1 tq x+t t 1 tq x t t q x (1 t) q x (1 t) p x q x p x +t q x p x q x (p x+t q x) 2 Πινακας 11. Συμπληρωμένος Πίνακας Αρμονικής Παρεμβολής Άσκησης 4.3 με 0 t < 1. Άσκηση 4.4. Ολες οι παραπάνω υποθέσεις για την κατανομή της κλασματικής ηλικίας, εμπεριέχονται στην παρακάτω οικογένεια υποθέσεων 3 (1 t + t(p x ) a x ) (ax) 1, a x 0, tp x (p x ) t, a x 0. 0 t < 1, Βρείτε αρχικά τη μορϕή της έντασης θνησιμότητας µ x+t, έπειτα τη μορϕή της t t q x και τέλος τη μορϕή της πυκνότητας της δεσμευμένης κατανομής της S x K x και την απο κοινού κατανομή f Sx,K x (t, k). 3 Για a x 1 έχουμε τη μέθοδο UDD, για a x 0 τη μέθοδο CF M και για a x 1 τη μέθοδο Balducci.
14 14 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Υπόδειξη. Για να υπολογίσουμε την ένταση θνησιμότητας µ x+t, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω σχέση e t 0 µ x+udu t 0 t p x µ x+u du ln( t p x ) µ x+t t ln( tp x ) 1 tp x t t p x, για τη συγκεκριμένη έκϕραση της t p x και να συμπεράνουμε ότι 1 (p x ) a x, a a x(1 t+t(p x) ax ) x 0, µ x+t 0 t < 1, ln(p x ), a x 0. Οσο αϕορά τη μορϕή της t t q x χρησιμοποιούμε τη σχέση (4.5) και καταλήγουμε 1 (p x) ax, a a x(1 t+t(p x) t t q x ax ) 1 (a x) 1 x 0, 0 t < 1, (p x ) t ln(p x ), a x 0. Παραπέρα, η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής S x K x, δίνεται από την παρακάτω σχέση (4.9) F Sx K x (t k) P(S x t K x k) P(S x t, K x k) P(K x k) P(k < T x k + t) P(K x k) k p x tq x+k kp x q x+k t q x+k q x+k, επομένως έχουμε για τη συνάρτηση πυκνότητας της δεσμευμένης κατανομής της S x K x ότι (4.10) f Sx K x (t k) t F S x K x (t k) η οποία στη συγκεκριμένη περίπτωση παίρνει τη μορϕή f Sx K x (t k) 1 q x+k t t q x+k 1 q x+k t t q x+k, 1 (p x+k ) a x+k q x+k a x+k (1 t+t(p x+k ) a x+k ) 1 (a x+k ) 1, a x+k 0, (p x+k) t ln(p x+k ) q x+k, a x+k 0. 0 t < 1,
15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 15 Τέλος, για την από κοινού κατανομή f Sx,K x (t, k) έχουμε ότι (4.11) δηλαδή f Sx,K x (t, k) f Sx,K x (t, k) t P(S x t, K x k) t ( kp x tq x+k ) k p x t t q x+k, kp x [1 (p x+k ) a x+k ] a x+k (1 t+t(p x+k ) a x+k ) 1 (a x+k ) 1, a x+k 0, k p x (p x+k ) t ln(p x+k ), a x+k 0. 0 t < 1, Άσκηση 4.5. Ποια η μορϕή της δεσμευμένης κατανομής της S x δεδομένου ότι K x k; Σε ποια από τις τρεις αναϕερόμενες μεθόδους ισχύει ότι η S x είναι ανεξάρτητη της K x ; Υπόδειξη. Η δεσμευμένη κατανομής της S x δεδομένου ότι K x k δίνεται από την σχέση (4.9) και στην περίπτωση γραμμικής παρεμβολής έχουμε στην περίπτωση εκθετικής παρεμβολής έχουμε F UDD S x K x (t k) t, F CF M S x K x (t k) 1 (p x+k) t 1 p x+k, ενώ στην περίπτωση αρμονικής παρεμβολής έχουμε F BLD S x K x (t k) t 1 (1 t) q x+k. Μόνο στην περίπτωση UDD η S x είναι ανεξάρτητη της K x, αϕού F UDD ανεξάρτητη του k. Άσκηση 4.6. Ποια η πιθανότητα άτομο ηλικίας c να αποβιώσει στο διάστημα ηλικιών (c + 1 2, c ), στην περίπτωση UDD και ποια στην περίπτωση Balducci, αν υποθέσουμε ότι q c a, q c+1 b με a, b (0, 1) δεδομένους αριθμούς; 5. Κεντρικος ρυθμος θνησιμοτητας Άσκηση 5.1. Να εκϕράσετε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας ως προς την πιθανότητα q x, στην περίπτωση προσέγγισης με τη μέθοδο U DD και να συγκρίνετε με την ένταση θνησιμότητας. (5.1) m x d x L x d x 1 0 l x+tdt,
16 16 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ επομένως στην περίπτωση U DD, χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.1) έχουμε m x 1 d x 0 (l x d x t)dt d x l x 1 2 d x q x q x µ x Άσκηση 5.2. Να εκϕράσετε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας ως προς την πιθανότητα q x, στην περίπτωση προσέγγισης με τη μέθοδο CF M και να συγκρίνετε με την ένταση θνησιμότητας. η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή, (µ x+t µ x, 0 t < 1), επομένως 1 0 m x l x+t µ x+t dt 1 l 0 x+tdt µ x. Παραπέρα, χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.6) έχουμε m x ln(1 q x ). Άσκηση 5.3. Να εκϕράσετε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας ως προς την πιθανότητα q x, στην περίπτωση προσέγγισης με τη μέθοδο Balducci; m x d x 1 0 l x+tdt όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση (4.8). q x 1 0 t p x dt 1 0 q x p x p x+t q x dt (q x ) 2 p x ln(p x + t q x ) 1 t0 (q x ) 2 (1 q x ) ln(1 q x ), Άσκηση 5.4. [1, Παρ. σελ.116] Εστω ότι l x l x. (α) Μπορούμε να θεωρήσουμε την παραπάνω συνάρτηση ως μία συνάρτηση επιβίωσης; Αν ναι, τότε ποια είναι η οριακή ηλικία; (β) Ποια η ακριβής μορϕή του µ x ; (γ) Ποια η ακριβής μορϕή του m x ; (δ) Ποια η ακριβής μορϕή του f Tx (t); (ε) Ποια η ακριβής μορϕή της αναμενόμενης μέσης ηλικίας στο θάνατο ατόμων ηλικίας x;
17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 17 Άσκηση 5.5. [1, Παρ. σελ.114] Να δείξετε ότι ο κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας, m x, ικανοποιεί την παρακάτω μη-γραμμική διαϕορική εξίσωση ( ) (5.2) dm x m 2 x + p x µ x+1 µ x e o x:1 Παραπέρα, να επαληθεύσετε την (5.2) στην περίπτωση όπου η συνάρτηση επιβίωσης, S T (x), είναι της μορϕής (α) 1 x, *(β) e 3x, *(γ) 1 1+x. Άσκηση 5.6. [1, Α 2.22] Να δείξετε ότι ο ρυθμός θνησιμότητας, µ x, ικανοποιεί την παρακάτω μη-γραμμική διαϕορική εξίσωση (5.3) dµ x (µ 2x S T (x) ) dx, S T (x) όπου S T (x) συμβολίζει τη δεύτερη παράγωγο ως προς x της συνάρτησης S T (x). Παραπέρα, να επαληθεύσετε την (5.3) στην περίπτωση όπου η συνάρτηση επιβίωσης, S T (x), είναι της μορϕής 1 *(α), 1+x 1 *(β), 1+x 2 (γ) e 1 ex. Να βρείτε τη μορϕή της (5.3) όταν η συνάρτηση επιβίωσης είναι (α) 1 x, (De Moivre) ω (β) e cx, c > 0, εκθετική E(c). Άσκηση 5.7. [1, Α 2.26] Να υπολογίσετε τις ποσότητες e o x, e o και m x:1 x όταν η συνάρτηση επιβίωσης είναι εκθετική E(c), όπου c > 0. Παραπέρα, να δείξετε ότι η e o είναι ασυμπτωτικά x:1 ισοδύναμη με τη e o x καθώς το c, δηλαδή ισχύει e o x:1 lim 1. c e o x Αναϕορες [1] Χατζοπουλος Π.Φ. (2011). Μαθηματικά Ασϕαλίσεων Ζωής. Εκδόσεις Συμμετρία. dx.
18 18 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Σύμβολο Ερμηνεία T Διάρκεια ζωής ατόμου (μελλοντική ζωή νεογνού) T x υπολειπόμενη διάρκεια ζωής ατόμου ηλικίας x K x Ακέραια χρόνια υπολειπόμενης διάρκειας ζωής ατόμου ηλικίας x S T (t) Συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής F T (t) Συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής f T (t) Συνάρτηση πυκνότητας διάρκειας ζωής µ x h T (x) Ενταση ή ρυθμός θνησιμότητας για άτομα ηλικίας x tp x S Tx (t) Συνάρτηση επιβίωσης υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x tq x F Tx (t) Συνάρτηση κατανομής υπολειπόμενης ζωής ατόμου ηλικίας x m nq x Πιθανότητα άτομο ηλικίας x να αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών x + m και x + m + n e o x E(T x ) Προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x e x E(K x ) Ακέραια προσδοκώμενη ζωή ατόμου ηλικίας x S x Κλάσμα έτους που ζει άτομο ηλικίας x. Δηλαδή T x K x + S x S(x) l 0 ή S(x) Αριθμός επιζώντων ηλικίας x, από ομάδα l 0 νεογέννητων l x E(S(x)) Αναμενόμενος αριθμός επιζώντων, από l 0 νεογέννητα, που ϕτάνουν στην ηλικία x n x Αριθμός θανάτων στο διάστημα [x, x + n] ομάδας l 0 νεογέννητων nd x E( n x ) Αναμενόμενος αριθμός θανάτων στο διάστημα [x, x + n] ομάδας l 0 νεογέννητων q [x s]+s Πιθανότητα άτομο που έχει επιλεγεί στην ηλικία x s να συμπληρώσει στην ασϕάλιση s ακέραια έτη L x 1 0 x+tdt Κεντρική έκθεση στον κίνδυνο για άτομα ηλικίας x m x d x /L x Κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας e o L x:1 x/l x Αναμενόμενος μέσος χρόνος ζωής στο διάστημα [x, x + 1) για άτομα ηλικίας x Πινακας 12. Συμβολισμοί Τμημα Μαθηματικων, Κατευθυνση Στατιστικης και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικων, Πανεπιστημιο Αιγαιου, Καρλοβασι, ΤΚ Σαμος, Ελλαδα, Τηλ , istamatiou@aegean.gr, joniou@gmail.com
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΣΥΜΒΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ & ΘΑΝΑΤΟΥ 21 ΙΟΥΛΙΟΥ 2017
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: X Απόγευμα: Θεματική ενότητα: 1) Να υπολογιστεί το A 11 θανάτων (UDD)". (2) 2 :1 χρησιμοποιώντας την υπόθεση της "ομοιόμορφης κατανομής των Δίνεται i=2%, q 0 = 0,2 και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Παράγοντες θνησιμότητας (α) γενεαλογικούς πίνακες θνησιμότητας
Πρόλογος Η θνησιμότητα είναι ένα βιολογικό φαινόμενο με πολλές κοινωνικές και οικονομικές προεκτάσεις. Διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο, την ηλικία, την οικογενειακή κατάσταση, τον τόπο διαμονής, διάφορες
Διαβάστε περισσότερα1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
F3W.PR09 Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 7/0/07 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αναλογιστικά Πρότυπα Επιβίωσης Ερώτηση Εάν η τυχαία μεταβλητή Τ έχει συνάρτηση πυκνότητας f ep 3 3 να υπολογίσετε το 90 ο εκατοστημόριο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας 47 48 49 50 5 l 348480 299692 d 43306 q 0.0 0.2 0.5 2 3 4 5 Η ένταση θνησιµότητας µ +t, 0 t, αλλάζει σε µ +t - c, όπου το c είναι θετικός σταθερός αριθµός. Να
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Η τυχαία µεταβλητή X έχει αθροιστική
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότερα2 (3x2 1) 5x 1 ) 5x 3 4x 3 )= 1 2 (5x3 3x) 7x 1 2 (5x3 3x) 3 ) + 48x ) 16x 3 )= 1 8 (63x5 70x 3 +15x)
1 Prìblhma 4 Η αναδρομική σχέση γράφεται στη μορφή Για n =1 P n+1 = 1 n +1 [2n +1)xP n np n 1 ] P 2 = 1 2 3xP 1 P )= 1 2 3x2 1) Για n =2 P 3 = 1 3 5xP 2 2P 1 )= 1 3 = 1 2 5x3x2 3 5x 1 ) 2 3x2 1) 2x 5x
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 8 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: Μαϊου 8 Πριν από την
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΣΥΜΒΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ & ΘΑΝΑΤΟΥ 15 Ιουλίου 2016
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: X Απόγευμα: Θεματική ενότητα: 1. Μια ισόβια ασφάλιση, με ασφαλισμένο κεφάλαιο ύψους 1, πληρωτέο τη χρονική στιγμή του θανάτου του (x), περιλαμβάνει πρόσθετη κάλυψη (rider),
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
Διαβάστε περισσότεραΚ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: X Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! 1/14 1) Για ένα χαρτοφυλάκιο 250 ατόμων ηλικίας xδίνεται: i. Οι χρόνοι μελλοντικής ζωής τωνατόμων
Διαβάστε περισσότερα17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε
Διαβάστε περισσότεραf(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)
Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη
Διαβάστε περισσότεραΙΙΙ. ΕΠΩΝΥΜΟΙ ΝΟΜΟΙ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Α. ΓΕΝΙΚΑ. x Ο πρώτος νόµος θνησιµότητας οφείλεται στον De Moivre, είναι γραµµικός, s(x)
ΙΙΙ. ΕΠΩΝΥΜΟΙ ΝΟΜΟΙ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Α. ΓΕΝΙΚΑ Ο πρώτος νόµος θνησιµότητας οφείλεται στον D Moivr, είναι γραµµικός, s(), ω ω, ή ισοδύναµα κ( ω ), ω και κ θετική σταθερά, και φυσικά δεν έχει καµιά εφαρµογή
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραΑσφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις
Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 1) 4 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης 14 Φεβρουαρίου 014 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή 14 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότερα0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραP (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ
Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,
Διαβάστε περισσότεραΥ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..
Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Πρώτο. Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας
Κεφάλαιο Πρώτο Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας. Πρόλογος Η θνησιμότητα είναι ένα βιολογικό φαινόμενο με πολλές κοινωνικές και οικονομικές προεκτάσεις. Διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο, την ηλικία,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207- Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων Αν η συνεχής τμ X έχει συνάρτηση κατανομής F X και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X, να βρείτε τις αντίστοιχες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων
2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων Ασκήσεις 2.4 Έστω (x n ) n2n η ακολουθία των προσεγγίσεων, την οποία δίνει η μέθοδος της διχοτόμησης για την εξίσωση f (x) = 0 με f : [ 1; p 2]! R; f (x) := x 3 3 2 x2
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότεραΗ παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής
Διαβάστε περισσότεραP(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΥ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..
Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116
ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.
Διαβάστε περισσότερα07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Διαβάστε περισσότεραX i = Y = X 1 + X X N.
Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΓνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ
Διαβάστε περισσότεραP m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής
Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραf X,Y (x, y)dxdy = 1,
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 5: Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Μια διδιάστατη
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων
ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΑΝΔΡΟΥΛΑΚΗ) Η εξέταση των πολύπλοκων δεσμών που συνδέουν τα δημογραφικά φαινόμενα με τους πληθυσμούς από τους οποίους προέρχονται και τους οποίους
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος
ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων
Διαβάστε περισσότεραΙδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite
Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,...
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50
Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
Διαβάστε περισσότερα