ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 1 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα 1 Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Θέμα 5 Θέμα 5* Βαθμός ΝΠΣ ΠΠΣ / / / / / /1 / / / / / / /1 ΘΕΜΑ 1: Στο ράφι με τα γάλατα σε ένα σούπερ μάρκετ υπάρχουν 1 μπουκάλια γάλα του ενός λίτρου, από τα οποία τα είναι χθεσινά ενώ τα υπόλοιπα είναι σημερινά. α) Να βρεθεί η πιθανότητα αν πάρουμε δύο γάλατα στην τύχη, να είναι και τα δύο σημερινά. β) Ποια η προηγούμενη πιθανότητα αν είναι γνωστό ότι το ένα τουλάχιστον από τα γάλατα είναι σημερινό; γ) Υποθέστε ότι πριν πάτε εσείς στο ράφι είχαν πουληθεί μπουκάλια. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πάρουμε δύο γάλατα στην τύχη και να είναι και τα δύο σημερινά; (στο τελευταίο μπορείτε αν θέλετε, να σημειώσετε μόνο τις πράξεις) ΘΕΜΑ : Ένα δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 6 μαύρες μπάλες. Βγάζουμε τυχαία τρεις μπάλες, μία-μία με επανάθεση. Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που μετράει πόσες από τις τρεις είναι άσπρες. α) να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η συνάρτηση κατανομής της Χ. β) η πιθανότητα οι άσπρες μπάλες να είναι περισσότερες από τις μαύρες γ) η πιθανότητα την πέμπτη φορά που θα επαναληφθεί το πείραμα να πετύχουμε για δεύτερη φορά μαύρες μπάλες περισσότερες από τις άσπρες. ΘΕΜΑ 3: Δίνεται ότι η κατανομή των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι η τυπική κανονική N(,1) και ότι οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια της Ζ=α+βX +γυ όπου α, β και γ είναι γνωστές σταθερές. Να βρεθούν με δύο τρόπους η μέση τιμή και η διασπορά της Ζ. Πότε η τ.μ. Ζ ακολουθεί κανονική κατανομή και γιατί; ì x < 1-cosx ΘΕΜΑ 4: Η τ.μ. Χ έχει συνάρτηση κατανομής F( x) = ï í x ï ïî 1 x > α) Να βρεθεί η διάμεσος x δ και η μέση τιμή της κατανομής æ ö β) Να υπολογισθεί η πιθανότητα P < x< με δύο τρόπους. è4 3 ΘΕΜΑ 5: Έστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με τις ακόλουθες συναρτήσεις πιθανότητας x y P(x) P(y) α) να βρεθεί η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας της (X,Y) και η πιθανότητα PX ( 3, Y 6). β) αν Ζ=Χ+Υ να βρεθεί η πιθανότητα P(Z=7) γ) Να βρεθούν: η μέση τιμή της τ.μ. W=ΧΥ, ο συντελεστής συσχέτισης των Χ,Υ και η διασπορά της τ.μ. Τ=Υ-5. ΟΙ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΠΣ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΟΥΝ ΟΠΟΙΟ ΘΕΛΟΥΝ ΑΠΟ ΤΑ 5 ΚΑΙ 5* ΘΕΜΑ 5*: Σε μία μακρόστενη κασετίνα μήκους 5 εκατοστών τοποθετούνται με τυχαίο τρόπο δύο μολύβια με μήκη 1 και 7 εκατοστά αντίστοιχα. Με ποια πιθανότητα τα μολύβια δεν επικαλύπτονται;. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ :3 ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

2 Απαντήσεις Θεμάτων Θεωρίας Πιθανοτήτων Ι, Φεβρουαρίου 1 ΘΕΜΑ 1 Στο ράφι με τα γάλατα σε ένα σούπερ μάρκετ υπάρχουν 1 μπουκάλια γάλα του ενός λίτρου, από τα οποία τα είναι χθεσινά ενώ τα υπόλοιπα είναι φρέσκα. α) Να βρεθεί η πιθανότητα αν πάρουμε δύο γάλατα στην τύχη, να είναι και τα δύο φρέσκα. β) Ποια η προηγούμενη πιθανότητα αν είναι γνωστό ότι το ένα τουλάχιστον από τα γάλατα είναι φρέσκο; γ) Υποθέστε ότι πριν πάτε εσείς στο ράφι είχαν πουληθεί μπουκάλια. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πάρουμε δύο γάλατα στην τύχη και να είναι και τα δύο φρέσκα; (στο τελευταίο μπορείτε αν θέλετε, να σημειώσετε μόνο τις πράξεις) α) Θέτουμε Α={Τα δύο γάλατα που αγοράζουμε είναι και τα δύο σημερινά), æ1ö è Τότε PA ( ) = = = æ1ö è β) Ζητάμε το P(Α Β) όπου Β={Ένα τουλάχιστον από τα γάλατα είναι σημερινό}. Τότε Β ={Και τα δύο είναι όχι χθεσινά}. Άρα æö è P( B ) = = = και PB ( ) = 1 -P( B ) = 1- = æ1ö è PAB ( ) PA ( ) 66 / οπότε PA ( B ) = PB ( ) = PB ( ) = 49 / (3 149) = 199 γ) Τα που πουληθήκανε μπορεί να ήταν από όλα σημερινά μέχρι όλα χθεσινά. Θέτουμε: Α k ={ Τα k γάλατα ήταν χθεσινά και τα -k ήταν σημερινά. Έχουμε PA ( ) = PA ( A ) PA ( ) + PA ( A1 ) PA ( 1) PA ( A) PA ( ) = æ kö æ 1 ö æö + è è- k è k = æ 1ö æ1ö è è Άρα 1 ( + k)! 1! æö PA ( ) = = æ1ö æ1ö k! (48 k)! ( k)! ( k)! k = è è è 1 99 / 1 98! æö = = æ1ö æ1 ö (48 k)! ( k)! k + - è è è æ148ö 1 æ 98 öæö è 148!! 1! 66 = æ 1 ö = = = k k 1! 98! 1! 149 è - è æ ö è è που σημαίνει ότι δεν έχει σημασία πότε θα πάμε στο ράφι!! Σημείωση: ( Οι πράξεις στο (γ) δεν ζητούνταν στις εξετάσεις)

3 Άλλος τρόπος Θέτουμε Σ κ ={το κ-στο μπουκάλι που διαλέγουμε είναι σημερινό), κ=1, 1 Τότε P( S 1) = =, P( S ) = P( S S1) P( S 1) + P( S S 1 ) P( S 1 ) = + = = Έτσι: α) P( SS 1 ) = P( S1) P( S S 1) = = P( SS 1 Ç( S1ÈS)) P( SS 1 ) 99 β) P( SS S1ÈS ) = == = = P( SÈS ) P( SÈS 1 ) διότι P( SÈS 1 ) = P( S 1) + P( S) -P( SS 1 ) = + - = γ) Αν από τα που πουληθήκανε τα k ήταν χθεσινά τότε στο ράφι έμειναν -k χθεσινά και +k σημερινά. Θέτουμε: Α k ={ Τα k γάλατα ήταν χθεσινά και τα -k ήταν σημερινά. Έχουμε PA ( ) = PA ( A) PA ( ) + PA ( A) PA ( ) PA ( A) PA ( ) = 1 1 = P( SS A) PA ( ) = P( S A) P( S S A) PA ( ) 1 k 1 1 æ 1 ö æö + k 49 + k è -k è k = = 1 99 æ1ö è 1 1! æö = ( + k) (49 + k) = æ1ö 1 99 ( -k )! ( + k )! èk è ! æö = = æ1 ö (-k)! (48 + k)! è k 1 99 è æ148ö 1 æ 98 ö æö è 148!!1! 66 = = æ1ö è-k è k = = æ 1ö! 98! 1! 149 è è k ΘΕΜΑ α) Η X B(3, 4 1) κατανομή, γιατί πληρούνται όλες οι προυποθέσεις. Η σ.κ.είναι ì x ï.16 x < 1 F( x) = ï í x <.936 x < 3 ï ïî 1 x ³ 3 β) Για να είναι οι άσπρες μπάλες περισσότερες από τις μαύρες θα πρέπει x= ή x=3 æ3ö æ 3ö 3 P( { X = } È { X = 3 }) = P( X = ) + P( X = 3) = =.35 è è3

4 γ) Η πιθανότητα να βγάλουμε μαύρες μπάλες περισσότερες από τις άσπρες είναι 1-.35=.648. Εάν Υ η τ.μ. που αναφέρεται στις αποτυχημένες επαναλήψεις του πειράματος μέχρι την δεύτερη φορά που θα πετύχουμε μαύρες μπάλες περισσότερες από τις άσπρες, η Υ ακολουθεί αρνητική æ3+ - 1ö 3 διωνυμική κατανομή και η πιθανότητα που ζητάμε είναι PY ( = 3) = =.73 è 3 Άλλος τρόπος: Αν Μ σημαίνει ότι οι μαύρες είναι περισσότερες από τις άσπρες και Α το αντίθετο τότε το ζητούμενο συμβαίνει αν έρθει ΜΑΑΑΜÈΑΜΑΑΜÈΑΑΜΑΜÈΑΑΑΜΜ που έχει πιθανότητα =.73. ΘΕΜΑ 3 Αφού X N(,1), Y N(,1) η ροπογεννήτρια και της Χ και της Υ δίνεται στο τυπολόγιο. Άρα α) Η ροπογεννήτρια της Ζ εξ ορισμού είναι: tz ( a+ bx + gy ) t at btx gty at at b t g t at+ b t + g t Z () = = = = X( b ) Y( g ) = = M t Ee Ee Ee Ee Ee e M t M t e e e e β) Από την ροπογεννήτρια: η παράγωγος της M () t είναι και στο t= EZ at t t at t t ( e + b + g ) = ( a+ b t/+ g t/)( e + b + g ) = a. Παραγωγίζοντας δεύτερη φορα στο t= βρίσκουμε Z Var( Z) = b + g Χωρίς την ροπογεννήτρια EZ = E( a + bx + gy ) = a + bex + gey = a + + = a και Var( Z) = Var( a + bx + gy ) = b Var( X ) + g Var( Y ) = b + g at+ b t + g t at ( ) t γ) Είναι πάντα κανονική διότι η ροπογεννήτρια της Ζ γράφεται e = e + b + g που ισούται με τη ροπογεννήτρια της Ν(α, β +γ ). Και είναι γνωστό ότι αν δύο κατανομές έχουν την ίδια ροπογεννήτρια έχουν και την ίδια κατανομή. ΘΕΜΑ 4 ìï 1 sin( x ) x Η σ.π.π. της Χ είναι f( x) = ï í ïïï î alloύ α) Η διάμεσος x d δίνεται από την εξίσωση F( x d ) =.5 ή 1 - cos( x ) d =.5 xd = / x EX = ò sin( x) dx = / (ολοκλήρωση κατά παράγοντες). æ 1 β) Πρώτος τρόπος P x ö F( ) F( - < < = - ) = =.15 è Δεύτερος τρόπος 3 3 æ ö sin x 1 P < x< = dx= ( - cos x ) =.15 è4 3 ò 4 4

5 ΘΕΜΑ 5 α) Επειδή Χ,Υ είναι ανεξάρτητες PX ( = xy, = y) = PX ( = xpy ) ( = y) " xy, Η από κοινού λοιπόν κατανομή της (Χ,Υ) είναι Υ Χ P( X 3, Y 6) = P(,1) + P(,3) + P(4,1) + P(4,3) + P(6,1) + P(6,3) =.18 β) PZ ( = 7) = PX ( + Y= 7) = PX ( = 1, Y= 6) + PX ( = 3, Y= 4) + PX ( = 5, Y= ) = = =.11 γ) EW = EXY = EX EY = 55. = 6 διότι EX = 5, EY = 5. και Χ, Υ είναι ανεξάρτητες. Εναλλακτικά μπορεί να υπολογιστεί από τον πίκακα με τον τύπο EW = EXY = x y P( X = x, Y = y) Cov( X, Y ) EXY -EX EY r = = =, αναμενόμενο (ανεξάρτητες συνεπάγεται και ασυσχέτιστες) VarX VarY VarX VarY VarT = Var( Y - 5) = VarY = EY -( EY ) = 4-5. = 1.96 ΘΕΜΑ 5 * Έστω x το αριστερό άκρο του μεγάλου μολυβιού, και y το αριστερό άκρο του μικρού μολυβιού. Τότε είναι φανερό ότι x 15 και y 18. Έτσι σε κάθε εκτέλεση του πειράματος επιλέγεται ένα σημείο στο ορθογώνιο με πλευρές 15 και 18 εκατοστά. Άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γεωμετρικές πιθανότητες. Υπάρχουν δύο τρόποι να συμβεί το ζητούμενο, να είναι αριστερά το μεγάλο μολύβι και δεξιά το μικρό (οπότε x y) ή αντίστροφα (y x). x 18 1 Τ 1 y Αν x y, τότε πρέπει y x+1, ενώ αν y x πρέπει x y+7. Αυτό συμβαίνει για τα σημεία (x,y) των σκιαγραφημένων τμημάτων Τ 1 και Τ αντίστοιχα Το εμβαδόν των σκιασμένων τμημάτων είναι (8 +8 )/=64 τ.ε. ενώ το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 15 18=7 τ.ε. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι =64/7=.37. Τ