Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijkog inženjertva i tehnologije Zavod za matematiku Kolegij: Matematičke metode u kemijkom inženjertvu LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA IVANA ŠOLJIĆ 3487 Zagreb, rujan 4.

2 Sadržaj. Uvod. Laplaceova tranformacija i inverzna Laplaceova tranformacija 3. Svojtva Laplaceovih tranformacija 4. Parcijalni razlomci 5. Primjena Laplaceovih tranformacija 6. Ovrt na z-tranformaciju 7. Literatura 8. Prilozi 8.. Prilog. Tablica Laplaceovih tranformacija 8.. Prilog. Tablica z-tranformacija

3 . Uvod Laplaceova tranformacija je metoda rješavanja linearnih diferecijalnih jednadžbi. Metoda e atoji od tri koraka. U prvom koraku diferencijalna jednadžba e tranformira u algebarku jednadžbu. Tako dobivena jednadžba e riješi, a u trećem koraku e rješenje tranformira u traženo rješenje originalne diferencijalne jednadžbe. U tehničkoj literaturi, poebice u radovima o vođenju procea, dinamici procea i l. općenito je prihvaćena i uobičajena primjena Laplaceove tranformacije. Pomoću te e tranformacije računki potupci vode na algebarke, mogu e prikladno vrtati, upotreba tranformacijkih tablica kraćuje rad, granični i početni uvjeti e uključuju ami po ebi, dobivaju e itodobno rješenja za prijelazna i tacionarna tanja, a lako e rješavaju i lučajevi dikontinuiranim ulazima. Klaičan pritup rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi kontantnim koeficijentima uključuje tri koraka: određivanje općeg rješenja, određivanje poebnog rješenja, određivanje kontanta integracije iz početnih uvjeta. Što je red jednadžbe viši to takav potupak rješavanja potaje teži. Naprotiv uz pomoć Laplaceove tranformacije prelikavaju e veličine koje u funkcije vremena t, u nove veličine koje u funkcije komplekne varijable = σ + iω i na taj način tvarnoj funkciji f(t) pridružuje odgovarajuća funkcija F() kao njena lika. Zadatak e iz realnog područja prenoi u matematički izvedeno Laplaceovo područje u kojem pojedine računke operacije iz realnog područja poprimaju jednotavni oblik, pa zadatak potaje prikladniji za itraživanje i lakše e dolazi do njegovog rješenja. Laplaceova tranformacija vrijedi amo za kontinuirane funkcije, točnije za po dijelovima neprekinute funkcije. Kod dikretnih zapia imamo z- tranformaciju. Njezina važnot e javlja pri analizi dikretnih utava, koji u uz današnju primjenu računala vrlo četi. PIERE SIMON DE LAPLACE (749-87), veliki francuki matematičar i fizičar, jedan od utemeljitelja metričkog utava, bavio e teorijom potencijala i matematičkom tatitikom. Dokazao tabilnot unčevog utava. 3

4 . Laplaceova tranformacija i inverzna Laplaceova tranformacija Laplaceova tranformacija je integralna tranformacija koja je tijeno povezana Fourierovom i ima analogna vojtva. Pomoću Laplaceove tranformacije veličine koje u funkcije vremena t prelikavaju e u nove veličine koje u funkcije komplekne varijable, = σ + iω i na taj e način tvarnoj funkciji f(t) pridružuje odgovarajuća funkcija F() kao njena lika. Zadatak e iz realnog područja (t-domena) prenoi u matematički izvedeno Laplaceovo područje (-domena) ( lika.). Slika. Laplaceova tranformacija Za funkciju f(t) realne varijable t kažemo da je original (dakle pripada području definicije Laplaceove tranformacije), ako je ona definirana za t, integrabilna na intervalu (,), i ako je f t Ke σ σ () t ( ), i K = cont. Ako je komplekna varijabla, tj. = σ + iω, onda funkciju t F( ) = e f ( t) dt () nazivamo likom (tranformatom) funkcije f(t) i pišemo F()=α[f(t)]. Integral () apolutno konvergira za Re{} > σ, odnono σ > σ, pri čemu je σ kontanta iz (). Odavde lijedi da je lika F() definirana u poluravnini σ > σ. Tranformat F() je u toj poluravnini analitička funkcija od, i ona teži prema nuli za σ i otaje omeđena u bilo kojoj poluravnini σ > σ. Dalje će e uzimati da je realna varijabla. Slika. - domena i područje konvergencije 4

5 Primjer. Nađimo područje konvergencije Laplaceove tranformacije ako je: a) f(t) = za t > F() = α[f(t)] = t t t f ( t) e dt = e dt = e = Laplaceova tranformacija F() potoji za ve >. b) f(t) = e -at za t > i a je realni broj F() = α[f(t)] = at t ( + a) t ( + a) t e e dt = e dt = e = + a + a Laplaceova tranformacija F() potoji za ve > - a. Integrali u izračunati za različite realne funkcije, i atavljene u tablice tranformacijkih parova (Prilog ). Ita tablica luži za prelikavanje iz realnog područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za razliku od F() = α[f(t)], kao izravne tranformacije, inverzna e tranformacija označavaja f(t) = α - [F()] : gdje je c tako izabran da integral (3) konvergira. c+ j f(t) = α - [F()]= t F( ) e d π j (3) c j 3. Svojtva Laplaceovih tranformata Funkcija f(t) e može tranformirati ako zadovoljava lijedeće uvjete: a) definirana je i jednoznačna za t > b) po odječcima je kontinuirana unutar vakog konačnog intervala < a < t < b c) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan Sljedeći teoremi čine onovu za široku primjenu Laplaceove tranformacije. Nazivi teorema odgovaraju operacijama funkcijama-orginalima, oim kod teorema početne i konačne vrijednoti.. Teorem Ako je k kontanta ili veličina nezavina od t i, i ako e funkcija f(t) može tranformirati, tada vrijedi α{ k f(t) } = k α{ f(t) } = k F(). Teorem o linearnoti. Laplaceova tranformacija je linearna operacija, dakle za bilo koje funkcije f(t) i g(t) za koje Laplaceova tranformacija potoji i bilo koju kontantu a i b imamo: α{ ( ) ( )} af t + bg t = aα(f)+bα(g) 5

6 Dokaz. Prema definiciji, α{ ( ) + ( )} = t [ ( ) + ( )] af t bg t e af t bg t dt t t = a e f ( t) dt + b e f ( t) dt = aα(f)+bα(g). Primjer. ( at at e + e ) Ako je f(t) = coh at =. Koriteći teorem. i rezultat iz primjera.a dobivamo: at a at α( coh at ) = α ( e ) + α( e ) = + a Kad je > a, tada je: α ( co at) = 3. Teorem o pomaku. + a Ako je α[f(t)] = F() kada je >, tada je t α[ e f(t)] = F( - a ) ( > + a); Dakle, množenje e a t u realnom području ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području. Dokaz. Prema definiciji, Primjer 3. = t F( ) e f ( t) dt ( a) t t at F( a) e f ( t) dt e e f ( t) dt = = = α [e at f(t)]. Dokažimo da je α[e at a coωt)] =. ( a) + ω a prema teoremu o pomaku, α[coωt] = + ω α[e at a coωt] =. ( a) + ω 6

7 4. Teorem o diferenciranju. Ako je Laplaceov tranformat od f(t) jednak F() i ako e prva derivacija od f(t) po vremenu d f ( t ), možemo tranformirati, tada je dt d α f ( t ) dt = F() - f() d Dokaz. Promatramo lučaj kada je f ( t ) kontinuirana za ve t. Tada, prema definiciji i dt pomoću parcijalnog integriranja, d α f ( t ) dt = t d e f ( t) dt e t = f ( t) + e t f ( t) dt = f () + dt α [f(t)] Član f() je granična vrijednot funkcije f(t) kad e vrijednoti t = približavamo dene trane. Tranformacija druge derivacije je: Tranformacija n-te derivacije je: d α f ( t) = F() - f() - f'() dt n d α f ( t) n = n F() n- f() n- f'() f n- () dt Vidimo da e kod diferencijalnih jednadžba početni uvjeti f(), f'()..... f n- () uključuju automatki, dok e kod klaičnih metoda rješavanja oni uvode odvojeno u rješenje. Primjer 4. t Ako je f(t) = treba naći α(f). Pošto je f() =, f '() =, f ''(t) =. Kako je α (f '') = α() = = t α(f) ili α = Teorem o integriranju. Ako je Laplaceov tranformat od f(t) jednak F(), tada je tranformat integrala f(t): t α f ( τ ) dτ = F( ) + f ( ) ( >, > ). 7

8 f je kontanta integracije. Jednaka je vrijednoti integrala kad e vrijednoti t = približavamo dene trane. Tranformacija dvotrukog intergrala je F( ) f { } ( ) f ( ) α f ( t) dtdt = + + a tranformacija integrala n-tog reda n F( ) f { } ( ) f ( ) f ( ) α... f ( t) dt... dt = n n n Član ( ) 6. Teorem o retardaciji. Ako je Laplaceov tranformat od f(t) jednak F(), tada za vremenki pomak funkcije f(t) za vrijdnot a (pozitivan realni broj) daje tranformat: α[f(t - a)u a (t)] = a e F() gdje je u a (t) Heaviideova funkcija (jedinična kokomična funkcija): za t<a ua ( t) = (a ) za t>a Dokaz. F( ) =α [f(τ)] = e -a F() = τ e f ( τ ) dτ ( τ + a) e f ( τ ) d τ uptitucija: τ + a = t e -a t F() = e f ( t a) dt a Želimo da granice integracije budu od do. Radi toga funkciju f( t a ) zamjenimo funkcijom koja je jednaka nuli na intervalu t < a i jednaka je f( t - a ) za t > a: e -a F() = za t<a f ( t a) ua ( t) = f ( t a ) za t>a t e f ( t a) u ( t) dt = α[f(t - a)u a (t)]. a 8

9 Primjer 3. Slika 4. Ilutracijki primjer f(t-a)u a (t) gdje je f(t)=cot 7. Teorem početne vrijednoti. d Ako e f(t) i f ( t ) mogu tranformirati i ako je tranformat od f(t) jednak F(), a lim dt f(t) potoji kad t, tada je: lim F( ) = lim f ( t) Dakle vladanje f(t) u blizini t = odgovara vladanju F() u blizini =. Ako F() ima Vrijednoti od za koje potaje bekonačan, tada nema niti jedne konačne vrijednoti od f(t) i teroem ne vrijedi. 8. Teorem konačne vrijednoti. d Ako e f(t) i f ( t ) mogu tranformirati i ako je tranformat od f(t) jednak F(),a dt potoji lim F(), tada je : lim F( ) = lim f ( t) t Dakle vladanje f(t) u blizini t = odgovara vladanju F() u blizini =. Pomoću teorema početne vrijednoti i konačne vrijednoti možemo naći vrijednoti funkcije u realnom području f(t) kod dva ektrema, t = i t =, i to bez korištenja inverzne tranformacije. t 9

10 4. Parcijalni razlomci Za primjene je oobito važna inverzna tranformacija razlomljene racionalne funkcije obzirom na. Takve funkcije ratavljamo na parcijalne razlomke i onda e prema teoremu o linearnoti možemo ograničiti na inverzne tranformacije parcijalnih razlomaka. Rješenje je tada zbroj vih pojedinih razlomaka prelikanih u realno područje. Općenito e tranformat F() može prikazati kao omjer dvaju polinoma G() i H(), koji u redova m i n, i koji e mogu prikazati padajućim redom potencija varijable : m G( ) am + a + + a + a F( ) = = n H ( ) + b + + b + b m m n n a m i b n u realne kontante, a koeficijent najviše potencije od u nazivniku može e izjednačiti jedinicom. Uz to pretptavljamo da je n > m i da je toga F() pravi razlomak. Jedan od načina da e nađu parcijalni razlomci funkcije F() je pomoću algebarke metode tzv. Heaviideovog razvoja. Kao konačni oblik dobijemo: F( ) G( ) α α α α αn H ( ) + β + β + β + β + β 3 i = = i n gdje je H() reda n, a β i u uprotne vrijednoti korijena jednadžbe H() =. Koeficijenti α i e dobiju pomoću lijedećeg generaliziranog izraza: G( ) αi = lim ( + βi ) βi H ( ) no, imamo li poeban lučaj da e korijeni β jednadžbe H() = ponavljaju: G( ) αm αm α αi F( ) = = H ( ) korijeni α i e dobiju na ljedeći način: m m ( + β ) ( + β ) + β ( + βi ) α k ( + β ) m G( ) = αm + αm β α β H ( ) m ( + β ) G( ) α m = lim β H ( ) k ( ) ( ) m k m d ( + β ) G( ) = lim (k=,,,m-) β ( )! m k m k d H ( )

11 Koeficijente α i možemo dobiti i metodom neodređenih koeficijenata. Dobivene parcijalne razlomke možemo primjenom tablice ada lako preveti u realno područje: α f ( t ) = Λ - [F()] =Λ - α ( + β) + Λ - α ( + β ) + Λ - 3 αi ( + β3 ) + βi α....+λ - n ( + βn ) Primjer. Pronađi inverznu tranformaciju od: G( ) + Y ( ) = = H 3 ( ) Λ - ( ) + Prikažimo Y() u obliku parcijalnih razlomaka: Y ( ) + A A A3 ( )( + 3) + 3 = = + + Nađimo koeficijente: / ( + ) A = = ( )( + 3) 6 = + 3 B = = = + C = = ( ) 5 = / ( + 3) 3 Imamo: 3 Y ( ) = + 6 ( ) 5( + 3) Inverzna tranformacija: Λ - [Y()]= 3 + e 6 t 3 t e 5. Primjena Laplaceovih tranformacija Primjer. Diferencijalna jednadžba koja opiuje linearni proce prvog reda ima oblik: dy( t) τ + y = kx( t) dt Radi ipitivanja dinamičkog vladanja procea uvodi e jedinična kokomična pobuda (x(t) je Heaviideova funkcija). Nađimo prijelaznu pojavu tog procea (y(t)) uz nulte početne uvjete y() = x() =.

12 Prevođenje u Laplaceovo područje: [ ] [ τ + ] = τ Y ( ) y() + y( ) = kx ( ) Y ( ) kx ( ) k Y ( ) = X ( ) τ + u Laplaceovom području X() = k k k Y ( ) = = = τ τ + τ ( + ) ( + ) τ τ k K = τ K A B Y ( ) = = + ( + ) + τ τ K = A + B( + ) τ = : K = A( ) + B ( ) A ( ) A k τ τ + = = τ τ τ = : K = A + B( + ) = B B = k τ τ Y( ) = k k + + τ Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području vraćamo e u realno područje: t y( t ) = Λ - τ [Y()] = k e + k t y( t) = k( e τ ) Primjer. Nađimo partikularno rješenje linearne diferencijalne jednadžbe: y ( t) 3 y ( t) y( t) 4t e 3t + = +, y() =, y'() = -. Prevođenje te jednadžbe u Laplaceovo područje: 4 3 Y( ) + 3( Y( ) ) + Y( ) = +

13 Riješimo to po Y() i prikažimo Y() u obliku parcijalnih razlomaka: Nađemo koeficijente: G Y ( ) = = H + A A B C D = A 4 3 ( ) ( ) ( 3)( 3 ) G( ) = = = ( 3)( 3 + ) 6 = A = = = 4 3 d G( ) d d H ( ) d ( 3)( 3 ) = + = G( ) = = ( 3 ) B + = 3 = G( ) = C ( 3)( ) = = G( ) ( 3)( ) = D = Imamo: Y ( ) = + ( 3) ( ) Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području vraćamo e u realno područje: y(t)=λ - [Y()]=Λ - + ( 3) ( ) y( t) = t + e e e 3t t t 6. Ovrt na z-tranformaciju U dikretnim utavim, umijeto funkcija, javljaju e nizovi. Dana, uz ve veću primjenu računala na važnoti dobivaju vremenki dikretni zapii. Matematičke tehnike za analizu takvih dikretnih utava u jednadžbe diferencija i z-tranformacija. Pretpotavimo da uzorkujemo kontinuiranu varijablu koja je funkcija vremena f(t). Budući da uzorkovane vrijadnoti kontinuirane funkcije f(t) potoje amo u trenutku 3

14 uzorkovanja, niz brojeva koji odgovaraju vrijednoti funkcije u vremenu uzorkovanja možemo zapiati kao: f ( mt ) = gdje je T interval uzorkovanja. f ( t ) za m=,,,... inače Vremenki dikretni zapi kontinuirane funkcije f(t) označiti ćemo f * (t). Budući da je vremenki dikretni zapi f * (t) podkup od kontinuirane funkcije f(t), možemo primjeniti Laplaceovu tranformaciju na f * (t) : * * t F ( ) f ( t) e dt = Budući f * (t) potoji amo u trenutku uzorkovanja integral možemo zamijeniti a umom: * * t mt F ( ) = f ( t) e dt = f ( mt ) e m= Uvodeći uptituciju z T = e imamo: * mt m F = f mt e = f mt z = F z m= m= ( ) ( ) ( ) ( ) Dakle, z- tranformacija kontinuirane funkcije f(t) uzorkovane intervalom uzorkovanja T je definirana ljedećim izrazom: * m Z f ( t) = F( z) = f ( mt ) z m= Kako je z-tranformacija zapravo amo Laplaceova tranformacija vremenkog dikretnog zapia, kao takva naljeđuje mnoga vojtva Laplaceove tranformacije koja u navedena gore. Tablica z- tranformacija e nalazi u prilogu (Prilog.). Prelikavanje -područja u z-područje otvareno je lijedećim izrazom: z e T = koji mapira cijelu lijevu tranu - područja u ravninu omeđenu jediničnom kružnicom, tzv. z- područje (Slika 5.). 4

15 Slika 5. - područje i z- područje Kako je z- tranformacija bekonačni red potencija, ona potoji amo za one vrijednoti varijable z za koje red konvergira konačnoj umi. Područje konvergencije z- tranformacije je kup vih vrijednoti z za koje F(z) potiže konačne vrijednot. Primjer. Odredimo z- tranformaciju i njezino područje konvergencije ljedećeg ignala (F =): ( ) ( ) m k X z = δ m k z = z = m= k z X(z) potoji za ve vrijednoti z oim z=. Područje konvergencije je cijelo z-područje oim z= (Slika 6.). Slika 6. Područje konvergencije z-tranformacije primjera. 5

16 Primjer. Odredimo z-tranformaciju niza: { f ( m )} = {,3,,, 4,,,} = m= F( z) f ( m) z m F( z) = + 3z + z + 4z 4 Primjer 3. Odredimo z-tranformaciju Heaviideove funkcije uzorkovane pri T =: { ( )} = {,,,,,... } x m m= kako je : imnamo: 3 m X ( z) z z z z = i= X ( z) = m= z m i a =, a < a z X ( z) = = z z. Primjer 4. Dikretni utav je određen lijedećom jednadžbom diferencija: 3 x( m + ) x( m + ) + x( m) = u( m) početnim uvjetima x()=, x()= 5.Nađimo odziv utava na Heaviideovu funkciju,u(m) kao pobudu. 6

17 Prijelaz u z-područje: 3 z z X ( z) z x() zx() [ zx ( z) zx() ] + X ( z) = z Riješimo po X(z): 3 z 5 3 z z z + X ( z) = + z + ( ) z 3 [ + ( + )( ) ] z z z z X ( z) = = ( z )( z ) ( z ) ( z ) ( z ) Nađimo parcijalne razlomke od X ( z) z : X ( z) = z A B C = + + z ( z ) ( z ) ( z ) z z z A = = = z z= z C = = = ( z ) z= z = A( z ) + B( z )( z ) + C( z ) z : = B + C = B + B= z z X ( z) = + ( z ) z Inverzna z-tranformacija (tablica z-tranformacija): m x( m) = m +. 7

18 7. Literatura. Ervin Kreyzig: Advanced Engineering Mathematic econd edition, John Wiley & Son, Inc. New York-London-Sydney 967. I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički priručnik za inženjere i tudente, Tehnička knjiga, Zagreb J. Božićević: Automatko vođenje procea, Tehnička knjiga, Zagreb (Chemical and Proce Engineering, Univerity of Newcatle Upon Tyne) 5. ~ mordor/mat3.pdf 8

19 8. Prilozi 8.. Prilog.: Tablica Laplaceovih tranformacija.. c 3. t n 4. t 5. f ( t) F ( ) π t 6. at e 7. at 8. in at 9. co at. t a c n! n+ + a te ( ) in at. t coat. e at in bt 3. e at cobt + a a + a + a ( ) + a a ( + a ) b ( + a) + b + a ( + a) + b 4. e at f ( t) F ( + a ) 5. f ( t) F ( ) f ( ) 6. f ( t) F( ) f ( ) f ( ) 9

20 Prilog.: Tablica z- tranformacija