Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος

Transcript

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 33 Η ΣΣΥΜΜΕΕΤΤΑΒΛΗΤΤΟΤΤΗΤΤΑ ΤΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΕΓΓΕΕΘΩΝ.. (ΣΣΥΣΣΧΕΕΤΤΙ ( ΙΣΣΗ) ) Γραµµική και Μη Γραµµική Συσχέτιση. Συντελεστής Αυτοσυσχέτισης. Μνήµη Χρονοσειρών F F F3 F4 F5 F6 F7 F

2 3. Η ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ. ( ΕΙ Η ΣΥΜΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Στα περισσότερα οικονοµικά µεγέθη οι τιµές τους συµµεταβάλονται µεταξύ τους. Αυτή η συµµεταβολή µπορεί να αναφέρεται είτε σε χρονοσειρές, είτε σε διαστρωµατικά δεδοµένα, είτε ακόµη και σε συνδυασµούς στοιχείων χρονοσειρών µε διαπραγµατικά δεδοµένα. Στο χρονοδιάγραµµα 3. παρουσιάζουµε γραφικά τη (διαχρονική) συµµεταβολή των δαπανών για διαφήµιση και τις αντίστοιχες πωλήσεις µιας εταιρείας καλλυντικών M A D V E R M A L E Χρονοδιάγραµµα 3.. απάνες για ιαφήµιση και Πωλήσεις µιας Εταιρείας Καλλυντικών. Θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ως συµµεταβολή δύο ή περισσοτέρων οικονοµικών µεγεθών την οµόρροπη ή αντίρροπη κίνηση των τιµών τους, είτε αυτή είναι ανοδική είτε καθοδική. Στον Πίνακα 3. και 3. παρουσιάζουµε τις τιµές δύο µεγεθών που κινούνται οµόρροπα και αντίρροπα αντιστοίχως. Επιπλέον στον πίνακα 3.3 παρουσιάζουµε τη διαχρονική συµµεταβολή δύο χρονοσειρών που παρουσιάζουν µερικές (θετικές και αρνητικές) αντίρροπες κινήσεις. Πρόκειται για στοιχεία που αφορούν την εταιρεία Pngham(

3 ΠΙΝΑΚΑΣ 3. Οµόρροπη Συµµεταβολή ύο Μεγεθών. ( Ανοδική Συµµεταβολή) Μεταβολή Μεταβολή ΧΡΟΝΟΣ Υ Χ Της Υ Της Χ / A A A Πηγή: Υποθετικά Στοιχεία.( ΝΑ σηµαίνει αδύνατος υπολογισµός) ΠΙΝΑΚΑΣ 3. Οµόρροπη Συµµεταβολή ύο Μεγεθών. ( Καθοδική Συµµεταβολή) ΧΡΟΝΟΣ Υ Χ Μεταβολή Της Υ Μεταβολή Της Χ A A A Πηγή: Υποθετικά Στοιχεία.( ΝΑ σηµαίνει αδύνατος υπολογισµός). ΠΙΝΑΚΑΣ 3.3 Αντίρροπη Συµµεταβολή ύο Μεγεθών. ΧΡΟΝΟΣ Υ Χ Μεταβολή Της Υ Μεταβολή Της Χ A A A Πηγή: Υποθετικά Στοιχεία.( ΝΑ σηµαίνει αδύνατος υπολογισµός).

4 3. Γραφικός Εντοπισµός της Ύπαρξης Συσχέτισης στις Τιµές ύο Μεγεθών. Ένας τρόπος να εντοπίσουµε συσχετίσεις µεταξύ δυο µεγεθών είναι η γραφική µέθοδος. Συγκρίνουµε γραφικά τις δύο χρονοσειρές µε ένα ακιδωτό (caer) διάγραµµα όπως αυτά που παρουσιάζουµε στο Σχεδιάγραµµα 3.. Σχεδιάγραµµα 3. Πιθανά Ακιδωτά σχήµατα µεταξύ δύο µεγεθών. Σχεδιάγραµµα 3..(α): Ισχυρή Οµόρροπη Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(b): Ισχυρή Αντίρροπη Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(c): Οµόρροπη Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(d): Αντίρροπη Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(e): Ασθενής Οµόρροπη Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(f): Ασθενλης Αντίρροπη Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(g): Καµµία Συµµεταβολή. Σχεδιάγραµµα 3..(h): Αδυναµία Εντοπισµού Συµµεταβολήσ.

5 Γραµµική και µη Γραµµική Συµµεταβολή των Οικονοµικών Μεγεθών. (Lnear and on-lnear Covarabl). Η συµµεταβολή µεταξύ των οικονοµικών µεγεθών µπορεί να είναι γραµµική ή µη γραµµική. Μια γραφική προσέγγιση µιας γραµµικής και µιας µη γραµµικής συσχέτισης δίδεται στο Σχεδιάγραµµα 3.. Στην γραµµική συσχέτιση ό λόγος της µεταβολής της µεταβλητής προς την µεταβολή της µεταβλητής είναι σταθερός. Στη µη γραµµική συσχέτιση ο λόγος των µεταβολών των µεταβλητών και δεν είναι σταθερός αλλά τις περισσότερες φορές µεταβάλλεται συστηµατικά σε σχέση µε κάποια από τις δύο µεταβλητές και µερικές φορές και σε σχέση και µε τις δυο µεταβλητές. Γραµµική Συσχέτιση Μη Γραµµική Συσχέτιση Σχεδιάγραµµα 3. Γραµµική και µη Γραµµική συσχέτιση µεταξύ δύο Μεγεθών.

6 Μια παρουσίαση της γραµµικής και της µη γραµµικής συσχέτισης δίδεται στους παρακάτω Πίνακες. Πίνακας 3.4 Γραµµική και µη γραµµική συσχέτιση Υ Υ Χ Γραµµική συσχέτιση Μη γραµµική συσχέτιση Υ/ Χ Υ/ Χ Υ -Υ Χ -Χ Υ / Χ c Υ / Χ c Υ 3 -Υ Χ 3 -Χ Υ 3 / Χ 3 c Υ 3 / Χ 3 c Υ 4 -Υ 3 Χ 4 -Χ 3 Υ 4 / Χ 4 c Υ 4 / Χ 4 c Υ 5 -Υ 4 Χ 5 -Χ 4 Υ 5 / Χ 5 c Υ 5 / Χ 5 c c σταθερή τιµή Πίνακας 3.5 Γραµµική Συµµεταβολή ύο Μεγεθών. Μεταβολή της :( ) Μεταβολή της Χ: ( ) / ΧΡΟΝΟΣ Υ Χ A A Πηγή: Υποθετικά Στοιχεία.( ΝΑ Σηµαίνει αδύνατος υπολογισµός). Πίνακας 3.6 Μη Γραµµική Συµµεταβολή ύο Μεγεθών. Μεταβολή Μεταβολή ΧΡΟΝΟΣ Υ Χ Της Υ Της Χ / A A Πηγή: Υποθετικά Στοιχεία.( ΝΑ Σηµαίνει αδύνατος υπολογισµός).

7 Στους Πίνακες 3.4, 3.5 και 3.6 παρουσιάζονται τα αριθµητικά παραδείγµατα µεταβλητών που σχετίζονται γραµµικά και µη γραµµικά αντιστοίχως. Στον Πίνακα 3.4 παρατηρούµε ότι ο λόγος των µεταβολών των δύο µεταβλητών είναι σταθερός και πάντοτε ίσος µε. 4 συνδέονται µη γραµµικά δεδοµένου ότι ο λόγος. Στον πίνακα 3.5 οι δύο µεταβλητές και σταθερά δεν είναι σταθερός. Γενικά για δύο µεταβλητές πρέπει να περιµένουµε ότι : και όταν έχουµε γραµµική συσχέτιση θα σταθερά φ() φ( ) φ( ) (3.) Σε αντίθετη περίπτωση όταν έχουµε την ύπαρξη µη γραµµικής συσχέτισης: σταθερά φ( ) φ( ) φ( ) (3.) Επιπλέον όταν: σταθερά φ( ) φ( ) φ( ) (3.3) τότε δεν έχουµε την ύπαρξη κάποιου σχήµατος συσχέτισης. Στα επόµενα µέρη θα προσεγγίσουµε την γραµµική συσχέτιση σε διαστρωµµατικά στοιχεία και σε στοιχεία χρονοσειρών.

8 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ. Η Γραµµική Συσχέτιση των Οικονοµικών Μεγεθών. Ο Συντελεστής Γραµµικής Συσχέτισης. Έστω και οι τιµές δύο µεταβλητών για µία χρονική περίοδο,...,. Ο Συντελεστής Γραµµικής Συσχέτισης υπολογίζεται µε βάση την σχέση: ( )( ) [ ] ( ) ( ) r, r [-, +] ( ) ( ) n n n ή + r r όπου : ( )( ), ( ), ( ), µε βάση τον τρόπο καθορισµού του συντελεστή συσχέτισης r οι τιµές του κυµαίνονται στο διάστηµα τιµών r [-,+] Στο Παράρτηµα υπό µορφή Άσκησης παρουσιάζουµε την διαδικασία σχηµατοποίησης της σχέσης (3.).

9 Αριθµητική Εφαρµογή. Στον πίνακα 3.6 δίδουµε τις τιµές των µεταβλητών και για πέντε χρονικές περιόδους. (Ετήσια στοιχεία της περιόδου ). Να υπολογισθεί ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης Πίνακας 3.5 Αριθµητικός Υπολογισµός του Συντελεστή Συσχέτισης. ( ) ( ) ( )( ) ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ Πηγή: Υποθετικά Στοιχεία. Χρησιµοποιώντας τους τύπους 3.4 έως 3.0 οι εκτιµήσεις του συντελεστή συσχέτισης θα είναι:, , ( )( ), ( ), , 5 ( ) r * r [ ( )( )] ( ) ( ) [( 5.675)( ) ] ( 5.675) ( )

10 Ο Στατιστικός Έλεγχος της Γραµµικής Συσχέτισης. Η εκτίµηση του συντελεστή γραµµικής συσχέτισης r είναι µία εκτίµηση του ανάλογου συντελεστή γραµµικής συσχέτισης του πληθυσµού. Είναι, λοιπόν, απαραίτητος ο στατιστικός του έλεγχος για να ελεγχθεί πόσο είναι αντιπροσωπευτικός του αντίστοιχου συντελεστή ρ χ 0 στον πληθυσµό. Αποδεικνύεται ότι στη περίπτωση που ο συντελεστής συσχέτισης στον πληθυσµό είναι κοντά στο µηδέν, δηλαδή ρ χ 0, η κατανοµή δειγµατοληψίας του r πλησιάζει σχετικά γρήγορα την κανονική κατανοµή, καθώς αυξάνει το µέγεθος του δείγµατος. Στο Σχεδιάγραµµα 3.5 παρουσιάζουµε τα αποτελέσµατα ενός πειραµατισµού όπου αυξάνοντας το µέγεθος του δείγµατος υπολογίσαµε διαδοχικά τις κατανοµές δειγµατοληψίας του συντελεστή συσχέτισης r. Είναι εµφανές ότι αυξανοµένου του µεγέθους του δείγµατος η κατανοµή δειγµατοληψίας του r πλησιάζει την κανονική κατανοµή F F F3 F4 F5 F6 F7 F Σχεδιάγραµµα 3.3 Κατανοµή Συχνοτήτων του Συντελεστή Συσχέτισης για ιαφορετικά (Αυξητικά) είγµατα. Αυτό µας επιτρέπει για µεγέθη πάνω από 0 παρατηρήσεις να χρησιµοποιήσουµε την στατιστική r r (3.) για να ελέγξουµε στατιστικά την υπόθεση του πληθυσµού Ho:ρ 0 (3.) Έναντι των υποθέσεων: H : ρ >0 (3.3 α ) H : ρ <0 (3.3β) H 3 :ρ 0 (3.3γ)

11 Επιπλέον το ότι η κατανοµή του κριτηρίου (3.) κατανέµεται µε βάση την κατανοµή του uden επιβεβαιώνεται στο Σχεδιάγραµµα 3.4 Για διαφορετικά δείγµατα αυξανοµένου κάθε φορά µεγέθους, υπολογίζαµε την κατανοµή δειγµατοληψίας της στατιστικής (3.). Είναι εµφανές ότι όσο αυξάνει το µέγεθος του διαθέσιµου δείγµατος, η κατανοµή δειγµατοληψίας της στατιστικής ελέγχου της γραµµικής συσχέτισης πλησιάζει την κατανοµή της κατανοµής -uden F F F3 F4 F5 F6 F7 F Σχεδιάγραµµα 3.4 Σύγκλιση της Κατανοµής ειγµατοληψίας της στατιστικής (3.) στην κατανοµή -uden καθώς αυξάνει ο αριθµός των διαθέσιµων παρατηρήσεων του δείγµατος εκτίµησης της στατιστικής. Αριθµητική εφαρµογή: µε βάση τα στοιχεία του Πίνακα 3.5 προκύπτουν οι εξής έλεγχοι της γραµµικής συσχέτισης : (0.6649) ~ - Επειδή,54 και η αντίστοιχη τιµή της -στατιστικής για Ν-5-3 βαθµούς ελευθερίας και επίπεδο σηµαντικότητας 0,05 είναι : 3,8 αποδεχοµεθα την υπόθεση µηδέν :H O :ρ 0, δηλαδή αποδεχόµεθα ότι ο συντελεστής συσχέτισης του πληθυσµού είναι µηδέν.

12 Πώς Προέκυψε ο Συντελεστής Συσχέτισης; Το να καταλήξει κάποιος στην χρησιµοποίηση του τύπου: r [ ( )( )] ( ) ( ), R [-, +] για την µέτρηση της συσχέτισης µεταξύ δυο µεγεθών έχει µια σηµασία που κατά την γνώµη µας είναι χρήσιµο οι ενδιαφερόµενοι για την χρησιµότητα των στατιστικών µεθόδων πρέπει να γνωρίζουν. Θα µπορούσαµε να περιγράψουµε τα στάδια κατάληξης στην περαπάνω σχέση µε τα εξής βήµατα: Βήµα. Ένας τρόπος να προσεγγίσουµε αριθµητικά την συσχέτιση θα ήταν να υπολογίσουµε το Άθροισµα του γινόµενου των δύο µεγεθών: r 3.86 Βήµα. Το µέγεθος αυτό εξαρτάτε και από το υψος των τιµών του κάθε µεγέθους. Θα ήταν λοιπόν προτιµότερο να πάρουµε το κάθε µέγεθος σε αποκλίσεις από τους µέσους. T r ( )( ). Βήµα 3. Η µορφή που έχει ο παραπάνω τρόπος υπολογισµού µας επιτρέπει να τυποποιήσουµε την εκτίµηση του συντελεστή συσχέτισης διαιρώντας µε το γινόµενο των τυπικών αποκλίσεων των δυο µεγεθών: r 3 [( )( ) ] ( ) ( )