ΕΙΑΓΨΓΙΚΕ ΔΙΑΛΕΞΕΙ ΒΑΙΚΟΤ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟΤ ΥΤΙΚΗ I

Transcript

1 ΕΙΑΓΨΓΙΚΕ ΔΙΑΛΕΞΕΙ ΒΑΙΚΟΤ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟΤ ΥΤΙΚΗ I Ευςτϊθιο τυλιϊρη Αναπληρωτό Καθηγητό υντονιςτό Εργαςτηρύων Υυςικό I Με την ςυνδρομό των Καθηγητών: Α. Καραμπαρμπούνη, Κ.Ν. Παπανικόλα και του π. Ν. Μαμαλούγκου (ΕΣΕΠ) E. STILIARIS, UoA Oct-07

2 ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΥΤΙΚΗ «Καύςαρ Δ. Αλεξόπουλο» Διαδυκτιακό Σόπο Web: e-class: Διευθυντό Εργαςτηρύου Καθηγητό Γεώργιο Παπαώωϊννου υντονιςτό Εργαςτηρύων Υυςικό I Ευςτϊθιο τυλιϊρη stlars@phys.uoa.gr Σηλϋφωνο Γραφεύου: E. STILIARIS, UoA Oct-07

3 Α αμαξίδ ιο φ αιθητήρας κίνηηςθέης d Moton Detector h Γ Β 3 E. STILIARIS, UoA Oct-07 3

4 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΟ ΔΙΑΛΕΞΕΨΝ Πειραματικό Μϋθοδο Μϋτρηςη και Πειραματικό Αβεβαιότητα (φϊλμα) Σύποι φαλμϊτων: τατιςτικό & υςτηματικό φϊλμα Διϊδοςη φαλμϊτων ύγκριςη Θεωρύα & Πειρϊματο: Προςαρμογό Θεωρητικό Καμπύλη (Ft) χεδιαςμό και Προετοιμαςύα Πειρϊματο Διεξαγωγό Μετρόςεων Παρουςύαςη Αποτελεςμϊτων Διαδικαςύε και Κανονιςμού του Εργαςτηρύου Υυςικό E. STILIARIS, UoA Oct-07 4

5 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η Υυςικό εύναι πειραματικό επιςτόμη. ΠΕΡΙ ΜΕΣΡΗΕΨΝ Η γνώςη μα για τον φυςικό κόςμο προϋρχεται (όπω και για κϊθε επιςτόμη) από παρατόρηςη ό από πεύραμα. Απορρύπτουμε ό διευρύνουμε το ερμηνευτικό μα πλαύςιο (θεωρύα ό πρότυπο / μοντϋλο ώςτε να ςυνϊδει με τα πειραματικϊ δεδομϋνα) Παρατόρηςη: Η καταγραφό μεγεθών που αφορούν φαινόμενα μη ελεγχόμενα και ςυνόθω μη επαναλόψιμα (λ.χ. μια ϋκρηξη Supernova, κϊποιο ςειςμό). Πεύραμα: Η καταγραφό μεγεθών που αφορούν φαινόμενα ελεγχόμενα και επαναλόψιμα (π.χ. η μϋτρηςη τη θερμικό αγωγιμότητα κϊποιου υλικού, η ςκϋδαςη ςωματύων από κϊποιο πυρόνα...) E. STILIARIS, UoA Oct-07 5

6 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΓΚΡΙΗ ΘΕΨΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΣΟ Πότε και με ποια βεβαιότητα μπορούμε να ιςχυριςτούμε ότι κϊποιο πειραματικό αποτϋλεςμα απορρύπτει η επιβεβαιώνει κϊποια θεωρητικό πρόβλεψη; Θεωρητικό Πρόβλεψη: Ιςοδύναμο με ςυγκεκριμϋνη πρόταςη ό αριθμητικό αποτϋλεςμα που μπορεύ όμω να απορριφθεύ πειραματικϊ. Πειραματικό αποτϋλεςμα: Ιςοδύναμο με αποτϋλεςμα μϋτρηςη. Πϊντα χαρακτηρύζεται από κϊποια αβεβαιότητα (ςφϊλμα). E. STILIARIS, UoA Oct-07 6

7 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΨΡΗΣΙΚΕ ΠΡΟΒΛΕΧΕΙ Θεωρητικό Πρόβλεψη: Ιςοδύναμο με ςυγκεκριμϋνη πρόταςη ό αριθμητικό αποτϋλεςμα που μπορεύ να απορριφθεύ πειραματικϊ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Σο ηλεκτρόνιο εύναι ςταθερό (ςτο χρόνο) ςωμϊτιο. Σο πρωτόνιο ϋχει χρόνο ημιζωό ϋτη. ώματα μαζών M και m ϋλκονται με δύναμη: Η περύοδο (T) ςυςτόματο ελατηρύου (Κ) και μϊζα m εύναι: T m K H ακτύνα του πυρόνα του μολύβδου εύναι: F G Mm R R 5.80 E. STILIARIS, UoA Oct m

8 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑ Πειραματικό αποτϋλεςμα: Ιςοδύναμο με αποτϋλεςμα μϋτρηςη. Πϊντα χαρακτηρύζεται από κϊποια αβεβαιότητα (ςφϊλμα). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Σο πρωτόνιο ϋχει χρόνο ημιζωό μεγαλύτερο από: ϋτη (90% cf*) H ακτύνα του πυρόνα του μολύβδου εύναι: Θεωρητικό Πρόβλεψη R ( R m ) 0 5 m *confdence level = επύπεδο εμπιςτοςύνη E. STILIARIS, UoA Oct-07 8

9 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΣΡΗΕΙ ΑΠΑΙΣΗΕΙ (Κλαςικό Υυςικό) Αποτϋλεςμα ανεξϊρτητο των οργϊνων μϋτρηςη Αποτϋλεςμα ανεξϊρτητο του παρατηρητό Να υπϊρχει επαναληψιμότητα Παρϊγοντε που επηρεϊζουν Περιβϊλλον και ςυνθόκε μϋτρηςη Όργανα Μϋτρηςη: Ακρύβεια και Βαθμονόμηςη Επανερχόμενοι ςτο προηγούμενο ερώτημα: Πώ και με ποια βεβαιότητα μπορούμε από τα πειραματικϊ δεδομϋνα να επιβεβαιώςουμε ό να απορρύψουμε μια θεωρητικό πρόβλεψη; E. STILIARIS, UoA Oct-07 9

10 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΣΡΗΕΙ Πειραματικό αποτϋλεςμα: Ιςοδύναμο με αποτϋλεςμα μϋτρηςη. Πϊντα χαρακτηρύζεται από κϊποια αβεβαιότητα ό ςφϊλμα. Ϋ ακόμη καλύτερα (τιμό) ± (ςφϊλμα / αβεβαιότητα) (τιμό) ± (ςτατιςτικό ςφϊλμα) ± (ςυςτηματικό ςφϊλμα) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Η μϊζα του ηλεκτρονύου εύναι: ( )MeV Η παγκόςμια ςταθερϊ βαρύτητα εύναι: G ( ) 0 3 m kg s E. STILIARIS, UoA Oct-07 0

11 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΣΡΗΗ ΚΑΙ ΑΙΘΗΣΗΡΕ Ακρύβεια Φαρακτηριςτικό του οργϊνου και τη τεχνολογύα ςτην οπούα βαςύζεται. Βαθμονόμηςη Μα οδηγεύ ςτην ανϊγκη αναγωγό των μετρόςεων μα ςε ςύγκριςη με κϊποια γνωςτϊ (πρότυπα) μεγϋθη. Καταγραφό Παραδοςιακϊ (ο ϊνθρωπο ςαν όργανο καταγραφό). Απευθεύα ςε ηλεκτρονικό υπολογιςτό. Σότε τα όργανα μϋτρηςη αποκαλούνται «αιθητήρες». E. STILIARIS, UoA Oct-07

12 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ Πότε υπειςϋρχεται ςτατιςτικό αβεβαιότητα ςε μύα μϋτρηςη φυςικού μεγϋθου;. ε φαινόμενα όπου το ύδιο το ςύςτημα χαρακτηρύζεται από διακυμϊνςει: Ο χρόνο ημιζωό ραδιενεργού πυρόνα Η διακύμανςη τη μϋςη θερμοκραςύα κϊποια ςυγκεκριμϋνη μϋρα του χρόνου. Όπου η «ανϊγνωςη» του οργϊνου ειςϊγει πολυπλοκότητα και αςτϊθμητου (χαοτικό ςυμπεριφορϊ) παρϊγοντε: Η παρουςύα θορύβου ςτο ςόμα (λ.χ. ςε ηλεκτρονικϊ όργανα) Η διακύμανςη ςτον χρόνο τη αντύδραςη του παρατηρητό E. STILIARIS, UoA Oct-07

13 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΣΗΜΑΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ Τι καθορύζει την πειραματικό αβεβαιότητα ςε μύα μϋτρηςη φυςικού μεγϋθου; Η ακρύβεια του οργϊνου μϋτρηςη Η βαθμονόμηςη του οργϊνου μϋτρηςη Ο μη απόλυτο ϋλεγχο (ό γνώςη) των πειραματικών ςυνθηκών Η πειραματικό αυτό αβεβαιότητα αναφϋρεται ω «ςυςτηματικό». Όςε φορϋ και να επαναλϊβουμε μια τϋτοια μϋτρηςη δεν εύναι δυνατό να ξεπερϊςουμε του περιοριςμού αυτού. Απλϊ επαναλαμβϊνουμε το ύδιο ςφϊλμα. E. STILIARIS, UoA Oct-07 3

14 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΟ ΥΑΛΜΑ ΑΝΑΓΝΨΗ Ψ ΤΣΗΜΑΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ Τι καθορύζει το ςφϊλμα ανϊγνωςη ενό οργϊνου; Για τα αναλογικϊ όργανα εξαρτϊται από την απόςταςη ανϊμεςα ςτι υποδιαιρϋςει του οργϊνου. Για τα ψηφιακϊ όργανα ςυνόθω εύναι το μιςό του τελευταύου ψηφύου. Ακρύβεια οργϊνου εύναι η αβεβαιότητα που προκύπτει λόγω τη καταςκευό του οργϊνου και ςυνόθω δύδεται από τον καταςκευαςτό. Κατϊ κανόνα το ςφϊλμα οργϊνου εύναι μικρότερο από το ςφϊλμα ανϊγνωςη. E. STILIARIS, UoA Oct-07 4

15 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΡΟΠΟ ΓΡΑΥΗ ΥΑΛΜΑΣΨΝ (τιμό ± αβεβαιότητα) G δg ( ) 0 3 m kg s τιμό (αβεβαιότητα) G 6.673() 0 3 m kg s ΦΕΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ η δ Απόλυτο αριθμό που μπορεύ να εκφραςτεύ και ποςοςτιαύα. δg G ή δg G 0.65 % E. STILIARIS, UoA Oct-07 5

16 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ Παραδεύγματα διακριτών τιμών Ρύψη ενό νομύςματο Ρύψη ενό ζαριού ΤΦΝΟΣΗΣΑ ΕΜΥΑΝΙΗ ΤΦΝΟΣΗΣΑ ΕΜΥΑΝΙΗ ΕΠΑΝΑΛΗΧΕΙ Πεύραμα Πόςε φορϋ ϋρχεται «κεφαλή» ςτι 0 ρύψει ΕΠΑΝΑΛΗΧΕΙ Πεύραμα Πόςε φορϋ ϋρχεται «εξάρα» ςτι 60 ρύψει E. STILIARIS, UoA Oct-07 6

17 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ Παρϊδειγμα ςυνεχού κατανομό: Καταγρϊφουμε τη μϋςη θερμοκραςύα ενό τόπου ςε ςυγκεκριμϋνη ημερομηνύα για μια ςειρϊ ετών Αποτϋλεςμα μετϊ από 70 ϋτη Μετϊ από ϊπειρε καταγραφϋ ο C ο C ύμφωνα με την ςτατιςτικό θεωρύα, αν το φαινόμενο εύναι πραγματικϊ τυχαύο, η οριακό κατανομό (μετϊ από ϊπειρε μετρόςει του φαινομϋνου) που θα προκύψει θα εύναι μια κατανομό Gauss (κανονικό κατανομό). E. STILIARIS, UoA Oct-07 7

18 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ Φρόνο ζωό λαμπτόρων πυρακτώςεω E. STILIARIS, UoA Oct-07 8

19 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ (Gauss) Η ποςότητα (μ ± ς) μα υποδεικνύει ότι η πιθανότητα μια μϋτρηςη να βρύςκεται ςτο διϊςτημα αυτό εύναι 68.3 %. Η ποςότητα (μ ± ς) μα υποδεικνύει ότι η πιθανότητα μια μϋτρηςη να βρύςκεται ςτο διϊςτημα αυτό εύναι 95.5 %. f() μ ς π e (μ) ς (μ ± ς): % (μ ± ς): % (μ ± 3ς): % (μ ± 4ς): % E. STILIARIS, UoA Oct-07 9

20 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ P μ e π Κατανομό Gauss P d μ: μϋςη τιμό ς: τυπικό ό μϋςη τετραγωνικό απόκλιςη ς : διαςπορϊ δ : ςφϊλμα μϋςη τιμό μ δ E. STILIARIS, UoA Oct-07 0

21 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ E. STILIARIS, UoA Oct-07

22 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ (Gauss) Full Wdth at Half Mamum FWHM = Γ Γ f f (0) μ ς Γ lnς f() π e (μ) ς Γ.35ς E. STILIARIS, UoA Oct-07

23 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ (Gauss) Απόδειξη Γ f f (0) f() μ ς π e (μ) e / π e Γ lnς π / / E. STILIARIS, UoA Oct-07 3 e 0 ln

24 τατιςτικό Αβεβαιότητα Ϊςτω ότι μετρούμε Ν φορϋ την ύδια ποςότητα και βρύςκουμε τι τιμϋ, όπου =,,,. Μϋςη Σιμό ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ δ Δύνουμε ςαν απϊντηςη: (τιμό) ± (αβεβαιότητα) ( ) (δ) Αβεβαιότητα (φϊλμα) Μϋςη Σιμό E. STILIARIS, UoA Oct-07 4

25 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Παρϊδειγμα: Μϋτρηςη του βϊρου Β (ςε Ν) ενό ςώματο δύνει τα αποτελϋςματα του παρακϊτω πύνακα για ςυνολικϊ 6 μετρόςει: (B B ) 0 3 B B δb ( ) 65 3 B δb 0.0 E. STILIARIS, UoA Oct

26 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Παρϊδειγμα: Μϋτρηςη του βϊρου Β (ςε Ν) ενό ςώματο δύνει τα αποτελϋςματα του παρακϊτω πύνακα για ςυνολικϊ 6 μετρόςει: (B B ) B δb E. STILIARIS, UoA Oct-07 6

27 ΣΑΣΙΣΙΚΟ ΚΑΙ ΤΣΗΜΑΣΙΚΟ ΥΑΛΜΑ Παρϊδειγμα: Κϊποιο μετρϊει 6 φορϋ το μόκο ενό αντικειμϋνου και βρύςκει τι ακόλουθε τιμϋ (ςε cm): Με βϊςη τα προηγούμενα βρύςκει: L δl Και δύνει ςαν αποτϋλεςμα: L δl Αν όλε οι μετρόςει ϋδιναν 3.6 ποιό θα όταν το ςφϊλμα τη μϋςη τιμό; Μηδϋν; Αν το ςφϊλμα ανϊγνωςη του οργϊνου εύναι 0.cm τότε η ςωςτό απϊντηςη εύναι: L δl E. STILIARIS, UoA Oct-07 7

28 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΣΑΣΙΣΙΚΗ τρογγυλοπούηςη αποτελϋςματο Να αποδώςετε με ςτρογγυλοπούηςη τα παρακϊτω πειραματικϊ αποτελϋςματα, τα οπούα πριν την ςωςτό εκτύμηςη των ςημαντικών ψηφύων ϋχουν ω ακολούθω: E. STILIARIS, UoA Oct-07 8

29 ΔΙΑΔΟΗ ΥΑΛΜΑΣΟ Ϊςτω παρϊγωγο φυςικό μϋγεθο u = f(, y, z, ), όπου, y, z, εύναι οι ϊμεςα μετρούμενε ποςότητε. Γνωρύζοντα τι μϋςε τιμϋ και τα ςφϊλματα των μεγεθών αυτών, y, z,... και, y, z,... ιςχύει: u f (, y,z,...) Σο ςφϊλμα τη μϋςη τιμό δu υπολογύζεται με τη βοόθεια των μερικών παραγώγων τη ςυνϊρτηςη u ω προ τι μεταβλητϋ, y, z,, οι οπούε δομούν ςυντελεςτϋ βαρύτητα ςτην τετραγωνικό ϊθροιςη των επιμϋρου ςφαλμϊτων (διϊδοςη ςφϊλματο): δu u δ u y δy u z δz... E. STILIARIS, UoA Oct-07 9

30 ΔΙΑΔΟΗ ΥΑΛΜΑΣΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τπολογιςμό τη επιτϊχυνςη ςε ευθύγραμμη, ομαλϊ μεταβαλλόμενη κύνηςη, μϋςω μϋτρηςη του αντύςτοιχου διαςτόματο s και χρόνου t. s a s ( ) m t (.0 0.5)s t Η μϋςη τιμό τη επιτϊχυνςη a υπολογύζεται: a s t m/s Σο ςφϊλμα τη μϋςη τιμό δa υπολογύζεται: δa a s δs a t δt t δs - 4s δt 3 t Σο τελικό αποτϋλεςμα εύναι: a δa ( ) m/s E. STILIARIS, UoA Oct-07 30

31 ΔΙΑΔΟΗ ΥΑΛΜΑΣΟ Ο τύπο τη διϊδοςη ςφϊλματο για παρϊγωγο φυςικό μϋγεθο u = f(, y, z) τη μορφό u = λ y μ z ν απλουςτεύεται με τη χρόςη του ςχετικού ςφϊλματο. Εύκολα αποδεικνύεται πω: δu u λ δ μ δy y ν δz z το προηγούμενο παρϊδειγμα τη επιτϊχυνςη ιςχύει δηλαδό: δa a δs s δt t και κατϊ ςυνϋπεια: δα a με τελικό αποτϋλεςμα: a δa ( ) m/s E. STILIARIS, UoA Oct-07 3

32 ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ Μϋθοδο Μαθηματικό Βελτιςτοπούηςη Σο κλαςςικό πρόβλημα: Η βϋλτιςτη ευθεύα που περιγρϊφει πειραματικϊ ςημεύα ενό γραμμικϊ εξαρτημϋνου φυςικού μεγϋθου. Απόκλιςη ημεύου Γy y ep y th E. STILIARIS, UoA Oct-07 3

33 ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ Μϋθοδο Μαθηματικό Βελτιςτοπούηςη Επύλυςη: Ελαχιςτοπούηςη τη ςυνϊρτηςη κόςτου, η οπούα ορύζεται ω το ςυνολικό ϊθροιςμα των τετραγωνικών αποκλύςεων. χ υνϊρτηςη Κόςτου ep y y th mnχ Ελαχιςτοπούηςη του χ Απόκλιςη ημεύου Γy y ep y th E. STILIARIS, UoA Oct-07 33

34 ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ Μϋθοδο Μαθηματικό Βελτιςτοπούηςη Ερώτημα: Γιατύ το ϊθροιςμα των τετραγωνικών αποκλύςεων; ο Παύκτη Ωθροιςμα Αποκλύςεων: + = Ωθροιςμα Σετραγωνικών Αποκλύςεων: + = Κερδύζει ο ο Παύκτη! ο Παύκτη Ωθροιςμα Αποκλύςεων: 0 + = Ωθροιςμα Σετραγωνικών Αποκλύςεων: 0 + = 4 E. STILIARIS, UoA Oct-07 34

35 ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ Οι ςυντελεςτϋ Α και Β τη βϋλτιςτη ευθεύα καθορύζονται από το κριτόριο ελαχιςτοπούηςη τη ςυνϊρτηςη χ. Υ Τ = ΑΦ + Β χ ep th y y mn Χ E. STILIARIS, UoA Oct-07 35

36 Μπορούμε να υπολογύςουμε τα Α και Β και να χαρϊξουμε τη βϋλτιςτη ευθεύα ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ B A y y y B y y A όπου οι ςυντελεςτϋ Α και Β δύνονται από τι ςχϋςει: E. STILIARIS, UoA Oct-07 36

37 Σα ςφϊλματα των Α και Β (δα, δβ) υπολογύζονται: ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ y y δb, δa όπου: B A y y E. STILIARIS, UoA Oct-07 37

38 b) (a, χ y b a χ b a f() Ν ι ι ι ι ι 0 y ) b (a 0 y ) b (a 0 y ) b (a 0 y ) b (a 0 b χ 0 a χ Εφόςον Εύρεςη των παραμϋτρων τη ευθεύα a και b Η ελαχιςτοπούηςη τη ποςότητα χ, η οπούα εξαρτϊται μόνο από τα a και b, επιτυγχϊνεται με μηδενιςμό των μερικών παραγώγων: ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ E. STILIARIS, UoA Oct-07 38

39 ι ι ι ι ι ι y b a y b a Καταλόγουμε ϋτςι ςτο γραμμικό ςύςτημα των δύο εξιςώςεων ω προ a και b: Παρατηρούμε πω οι υπειςερχόμενοι ςυντελεςτϋ εύναι αθρούςματα δυναμοςειρών του και ροπών του y. Αν για διευκόλυνςη ορύςουμε αντύςτοιχα ι k k ι k k y W, S τότε το ςύςτημα γρϊφεται: 0 0 W bs as W bs as ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ E. STILIARIS, UoA Oct-07 39

40 Οι λύςει του ςυςτόματο αυτού δύνουν: S S S S W S W S b, S S S S S W S W a W bs as W bs as y y b, y y a οι οπούε δύνουν τι προηγούμενε εκφρϊςει για τι τιμϋ των a και b: ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ ημεύωςη: την παραπϊνω απόδειξη ϋχουν ςυμπεριληφθεύ και τα ςφϊλματα των μετρόςεων ς, τα οπούα παύζουν τον ρόλο ςυντελεςτών βαρύτητα ςτην ςυνολικό διαμόρφωςη τη ποςότητα χ. E. STILIARIS, UoA Oct-07 40

41 ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΦΙΣΨΝ ΣΕΣΡΑΓΨΝΨΝ Παρϊδειγμα για δεδομϋνα (Ν=7) Y=a+bX E. STILIARIS, UoA Oct-07 4

42 ΑΝΑΛΤΗ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΨΝ ΜΕΣΡΗΕΨΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΥΙΘΕΑΣΡΟΤ για τον προςδιοριςμό ςταθερϊ ελατηρύου k Για δοςμϋνη μϊζα m μϋτρηςη τη περιόδου T και τη επιμόκυνςη του ελατηρύου Δ. E. STILIARIS, UoA Oct-07 4

43 ΑΝΑΛΤΗ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΨΝ ΜΕΣΡΗΕΨΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΥΙΘΕΑΣΡΟΤ για τον προςδιοριςμό ςταθερϊ ελατηρύου k Νόμο του Ηοοk: F = mg = k Δ E. STILIARIS, UoA Oct-07 43

44 ΑΝΑΛΤΗ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΨΝ ΜΕΣΡΗΕΨΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΥΙΘΕΑΣΡΟΤ για τον προςδιοριςμό ςταθερϊ ελατηρύου k Νόμο του Ηοοk: F = mg = k Δ Fk Γ E. STILIARIS, UoA Oct-07 44

45 ΑΝΑΛΤΗ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΨΝ ΜΕΣΡΗΕΨΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΥΙΘΕΑΣΡΟΤ για τον προςδιοριςμό ςταθερϊ ελατηρύου k Σαλϊντωςη Ελατηρύου: Σ = π (m/k) / E. STILIARIS, UoA Oct-07 45

46 ΑΝΑΛΤΗ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΨΝ ΜΕΣΡΗΕΨΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΥΙΘΕΑΣΡΟΤ για τον προςδιοριςμό ςταθερϊ ελατηρύου k Σαλϊντωςη Ελατηρύου: Σ = π (m/k) / Tp (T/π) π m k Τ E. STILIARIS, UoA Oct-07 46

47 ΑΝΑΛΤΗ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΨΝ ΜΕΣΡΗΕΨΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΥΙΘΕΑΣΡΟΤ για τον προςδιοριςμό ςταθερϊ ελατηρύου k Σελικϊ αποτελϋςματα με ανϊλυςη ελαχύςτων τετραγώνων Νόμο του Ηοοk Σαλϊντωςη Ελατηρύου Fk Γ m k π Τ k ( ) /m k ( ) /m E. STILIARIS, UoA Oct-07 47

48 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΣΡΗΕΙ ΜΕ ΦΡΗΗ ΒΕΡΝΙΕΡΟΤ Perre Verner ( ) Ωςκηςη Α6 Παχύμετρο ό Διαςτημόμετρο (Ακρύβεια 0.05mm) Φρηςιμοποιόθηκε αρχικϊ για τη μϋτρηςη μηκών με μεγαλύτερη ακρύβεια. E. STILIARIS, UoA Oct-07 48

49 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΣΡΗΕΙ ΜΕ ΦΡΗΗ ΒΕΡΝΙΕΡΟΤ Ϊχει δύο κλύμακε: ςταθερό (4) και κινητό (6) (βερνιϋρου). Γινόταν αρχικϊ υποδιαύρεςη τη κλύμακα του βερνιϋρου ώςτε να αντιςτοιχούν 0 υποδιαιρϋςει του ςε 9 τη κυρύα κλύμακα. Αυτό ϋδινε τη δυνατότητα να εκτιμηθεύ με ϊνεςη κλϊςμα τη κυρύα κλύμακα με ακρύβεια /0. όμερα οι υποδιαιρϋςει γύνονται ςτο /0 (0.05 ακρύβεια) και υπϊρχουν και ςε ϊλλε μετρόςει π.χ. γωνιών. E. STILIARIS, UoA Oct-07 49

50 7, 35 mm κλίμακα βερμιέρος E. STILIARIS, UoA Oct-07 50

51 Μικρόμετρο Ωςκηςη Α6 (0,0mm) E. STILIARIS, UoA Oct-07 5

52 (6,50 + 0,5)=6,65mm 6,00 mm 6,50 mm E. STILIARIS, UoA Oct-07 5