ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I Ευτάθιος Στυλιάρης Αναπληρωτής Καθηγητής Συντονιτής Εργατηρίων Φυικής I Με την υνδρομή των: Α. Καραμπαρμπούνη, Κ.Ν. Παπανικόλα, Ν. Μαμαλούγκου

2 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ «Καίαρ Δ. Αλεξόπουλος» Διαδικτυακός Τόπος Web: physlab.phys.uoa.gr e class: Διευθυντής Εργατηρίου Αναπ. Καθηγητής Έκτορας Νιταζάκης Συντονιτής Εργατηρίων Φυικής I Ευτάθιος Στυλιάρης stlars@phys.uoa.gr Τηλέφωνο Γραφείου: : E. STILIARIS - UoA (Oct 08)

3 Α αμαξίδ ιο φ αιθητήρας κίνηηςθέης d Moton Detector h Γ Β 3 E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 3

4 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ Πειραματική Μέθοδος Μέτρηη και Πειραματική Αβεβαιότητα (Σφάλμα) Τύποι Σφαλμάτων: Στατιτικό & Συτηματικό Σφάλμα Διάδοη Σφαλμάτων Σύγκριη Θεωρίας & Πειράματος: Προαρμογή Θεωρητικής Καμπύλης (Ft) Σχεδιαμός και Προετοιμαία Πειράματος Διεξαγωγή Μετρήεων Παρουίαη Αποτελεμάτων Διαδικαίες και Κανονιμοί του Εργατηρίου Φυικής E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 4

5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η Φυική είναι πειραματική επιτήμη. ΠΕΡΙ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Η γνώη μας για τον φυικό κόμο προέρχεται (όπως και για κάθε επιτήμη) από παρατήρηη ή από πείραμα. Απορρίπτουμε ή διευρύνουμε το ερμηνευτικό μας πλαίιο (θεωρία ή πρότυπο / μοντέλο ώτε να υνάδει με τα πειραματικά δεδομένα) Παρατήρηη: Η καταγραφή μεγεθών που αφορούν φαινόμενα μη ελεγχόμενα και υνήθως μη επαναλήψιμα (λ.χ. μια έκρηξη Supernova, κάποιος ειμός). Πείραμα: Η καταγραφή μεγεθών που αφορούν φαινόμενα ελεγχόμενα και επαναλήψιμα (π.χ. η μέτρηη της θερμικής αγωγιμότητας κάποιου υλικού, η κέδαη ωματίων από κάποιο πυρήνα...) E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 5

6 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Πότε και με ποια βεβαιότητα μπορούμε να ιχυριτούμε ότι κάποιο πειραματικό αποτέλεμα απορρίπτει ή επιβεβαιώνει κάποια θεωρητική πρόβλεψη; Θεωρητική Πρόβλεψη: Ιοδύναμο με υγκεκριμένη πρόταη ή αριθμητικό αποτέλεμα που μπορεί όμως να απορριφθεί πειραματικά. Πειραματικό αποτέλεμα: Ιοδύναμο με αποτέλεμα μέτρηης. Πάντα χαρακτηρίζεται από κάποια αβεβαιότητα (φάλμα). E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 6

7 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Θεωρητική Πρόβλεψη: Ιοδύναμο με υγκεκριμένη πρόταη ή αριθμητικό αποτέλεμα που μπορεί να απορριφθεί πειραματικά. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Το ηλεκτρόνιο είναι ταθερό (το χρόνο) ωμάτιο. Το πρωτόνιο έχει χρόνο ημιζωής έτη. Σώματα μαζών M και m έλκονται με δύναμη: Η περίοδος (T) υτήματος ελατηρίου (Κ) και μάζας m είναι: π m H ακτίνα του πυρήνα του μολύβδου είναι: T K r F G Mm R R m E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 7

8 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Πειραματικό αποτέλεμα: Ιοδύναμο με αποτέλεμα μέτρηης. Πάντα χαρακτηρίζεται από κάποια αβεβαιότητα (φάλμα). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Το πρωτόνιο έχει χρόνο ημιζωής μεγαλύτερο από: έτη (90% cf*) H ακτίνα του πυρήνα του μολύβδου είναι: Θεωρητική Πρόβλεψη R ( R m ± ) 0 5 m *confdence level επίπεδο εμπιτούνης E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 8

9 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ (Κλαική Φυική) Αποτέλεμα ανεξάρτητο των οργάνων μέτρηης Αποτέλεμα ανεξάρτητο του παρατηρητή Να υπάρχει επαναληψιμότητα Παράγοντες που επηρεάζουν Περιβάλλον και υνθήκες μέτρηης Όργανα Μέτρηης: Ακρίβεια και Βαθμονόμηη Επανερχόμενοι το προηγούμενο ερώτημα: Πώς και με ποια βεβαιότητα μπορούμε από τα πειραματικά δεδομένα να επιβεβαιώουμε ή να απορρίψουμε μια θεωρητική πρόβλεψη; E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 9

10 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Πειραματικό αποτέλεμα: Ιοδύναμο με αποτέλεμα μέτρηης. Πάντα χαρακτηρίζεται από κάποια αβεβαιότητα ή φάλμα. Ή ακόμη καλύτερα (τιμή) ± (φάλμα / αβεβαιότητα) (τιμή) ± (τατιτικό φάλμα) ± (υτηματικό φάλμα) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Η μάζα του ηλεκτρονίου είναι: ( ± )MeV Η παγκόμια ταθερά βαρύτητας είναι: G (6.673± 0.0) 0 3 m kg s E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 0

11 Ακρίβεια ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ Χαρακτηριτικό του οργάνου και της τεχνολογίας την οποία βαίζεται. Βαθμονόμηη Μας οδηγεί την ανάγκη αναγωγής των μετρήεων μας ε ύγκριη με κάποια γνωτά (πρότυπα) μεγέθη. Καταγραφή Παραδοιακά (ο άνθρωπος αν όργανο καταγραφής). Απευθείας ε ηλεκτρονικό υπολογιτή. Τότε τα όργανα μέτρηης αποκαλούνται «αιθητήρες». E. STILIARIS - UoA (Oct 08)

12 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Πότε υπειέρχεται τατιτική αβεβαιότητα ε μία μέτρηη φυικού μεγέθους;. Σε φαινόμενα όπου το ίδιο το ύτημα χαρακτηρίζεται από διακυμάνεις: Ο χρόνος ημιζωής ραδιενεργού πυρήνα Η διακύμανη της μέης θερμοκραίας κάποια υγκεκριμένη μέρα του χρόνου. Όπου η «ανάγνωη» του οργάνου ειάγει πολυπλοκότητα και ατάθμητους (χαοτικής υμπεριφοράς) παράγοντες: Η παρουία θορύβου το ήμα (λ.χ. ε ηλεκτρονικά όργανα) Η διακύμανη τον χρόνο της αντίδραης του παρατηρητή E. STILIARIS - UoA (Oct 08)

13 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Τι καθορίζει την πειραματική αβεβαιότητα ε μία μέτρηη φυικού μεγέθους; Η ακρίβεια του οργάνου μέτρηης Η βαθμονόμηη του οργάνου μέτρηης Ο μη απόλυτος έλεγχος (ή γνώη) των πειραματικών υνθηκών Η πειραματική αυτή αβεβαιότητα αναφέρεται ως «υτηματική». Όες φορές και να επαναλάβουμε μια τέτοια μέτρηη δεν είναι δυνατό να ξεπεράουμε τους περιοριμούς αυτούς. Απλά επαναλαμβάνουμε το ίδιο φάλμα. E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 3

14 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ ΩΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Τι καθορίζει το φάλμα ανάγνωης ενός οργάνου; Για τα αναλογικά όργανα εξαρτάται από την απόταη ανάμεα τις υποδιαιρέεις του οργάνου. Για τα ψηφιακά όργανα υνήθως είναι το μιό του τελευταίου ψηφίου. Ακρίβεια οργάνου είναι η αβεβαιότητα που προκύπτει λόγω της κατακευής του οργάνου και υνήθως δίδεται από τον κατακευατή. Κατά κανόνα το φάλμα οργάνου είναι μικρότερο από το φάλμα ανάγνωης. E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 4

15 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΡΟΠΟΣ ΓΡΑΦΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ (τιμή ± αβεβαιότητα) G ± δg (6.673± 0.0) 0 3 m kg s τιμή (αβεβαιότητα) G () 0 3 m kg s ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ η δ Απόλυτος αριθμός που μπορεί να εκφρατεί και ποοτιαία. δg G ή δg G 0.65 % E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 5

16 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Παραδείγματα διακριτών τιμών Ρίψη ενός νομίματος Ρίψη ενός ζαριού ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ Πείραμα Πόες φορές έρχεται «κεφαλή» τις 0 ρίψεις ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ Πείραμα Πόες φορές έρχεται «εξάρα» τις 60 ρίψεις E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 6

17 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Παράδειγμα υνεχούς κατανομής: Καταγράφουμε τη μέη θερμοκραία ενός τόπου ε υγκεκριμένη ημερομηνία για μια ειρά ετών Αποτέλεμα μετά από 70 έτη Μετά από άπειρες καταγραφές ο C ο C Σύμφωνα με την τατιτική θεωρία, αν το φαινόμενο είναι πραγματικά τυχαίο, η οριακή κατανομή (μετά από άπειρες μετρήεις του φαινομένου) που θα προκύψει θα είναι μια κατανομή Gauss (κανονική κατανομή). E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 7

18 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ Χρόνος ζωής λαμπτήρων πυρακτώεως E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 8

19 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (Gauss) Η ποότητα (μ ± ) μας υποδεικνύει ότι η πιθανότητα μια μέτρηη να βρίκεται το διάτημα αυτό είναι 68.3 %. Η ποότητα (μ ± ) μας υποδεικνύει ότι η πιθανότητα μια μέτρηη να βρίκεται το διάτημα αυτό είναι 95.5 %. f() μ π e (μ ) (μ ± ): % (μ ± ): % (μ ± 3): % (μ ± 4): % E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 9

20 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ P ( ) ( ) ( μ ) e π Κατανομή Gauss P ( ) d μ: μέη τιμή : τυπική ή μέη τετραγωνική απόκλιη : διαπορά δ : φάλμα μέης τιμής μ δ ( ) ( ) E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 0

21 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ E. STILIARIS - UoA (Oct 08)

22 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (Gauss) Full Wdth at Half Mamum FWHM Γ Γ Γ f f (0) μ Γ ln f() π e (μ ) Γ.35 E. STILIARIS - UoA (Oct 08)

23 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (Gauss) Γ Απόδειξη Γ f f (0) f() μ π e (μ ) e ( Γ / ) π e Γ ln π ( Γ / ) ( Γ / ) E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 3 e 0 ln

24 Στατιτική Αβεβαιότητα Έτω ότι μετρούμε Ν φορές την ίδια ποότητα καιβρίκουμε τις τιμές, όπου,,,,. Μέη Τιμή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ δ Δίνουμε αν απάντηη: (τιμή) ± (αβεβαιότητα) ( ) ± (δ) Αβεβαιότητα (Σφάλμα) Μέης Τιμής ( ) ( ) E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 4

25 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παράδειγμα: Μέτρηη του βάρους Β (ε Ν) ενός ώματος δίνει τα αποτελέματα του παρακάτω πίνακα για υνολικά 6 μετρήεις: (B B ) 0 3 B B δb ( ) B ± δb 0.0 ± E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 5 0.6

26 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παράδειγμα: Μέτρηη του βάρους Β (ε Ν) ενός ώματος δίνει τα αποτελέματα του παρακάτω πίνακα για υνολικά 6 μετρήεις: (B B ) B ± δb 0.0 ± 0.6 E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 6

27 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ Παράδειγμα: Κάποιος μετράει 6 φορές το μήκος ενός αντικειμένου και βρίκει τις ακόλουθες τιμές (ε cm): Με βάη τα προηγούμενα βρίκει: L δl Και δίνει αν αποτέλεμα: L ± δl ± 0.07 Αν όλες οι μετρήεις έδιναν 3.6 ποιό θα ήταν το φάλμα της μέης τιμής; Μηδέν; Αν το φάλμα ανάγνωης του οργάνου είναι 0.cm τότε η ωτή απάντηη είναι: L ± δl 3.60 ± 0.0 E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 7

28 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στρογγυλοποίηη αποτελέματος Να αποδώετε με τρογγυλοποίηη τα παρακάτω πειραματικά αποτελέματα, τα οποία πριν την ωτή εκτίμηη των ημαντικών ψηφίων έχουν ως ακολούθως: E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 8

29 ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Έτω παράγωγο φυικό μέγεθος u f(, y, z, ), όπου, y, z, είναιοι άμεα μετρούμενες ποότητες. Γνωρίζοντας τις μέες τιμές και τα φάλματα των μεγεθών αυτών, y, z,... και δ, δ y, δz,... ιχύει: u f (, y, z,...) Το φάλμα της μέης τιμής δu υπολογίζεται με τη βοήθεια των μερικών παραγώγων της υνάρτηης uωςπροςτιςμεταβλητές, y, z, z, οιοποίεςδομούνυντελετές βαρύτητας την τετραγωνική άθροιη των επιμέρους φαλμάτων (διάδοη φάλματος): δu u δ + u y δy + u z δz +... E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 9

30 ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Υπολογιμός της επιτάχυνης ε ευθύγραμμη, ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηη, μέω μέτρηης του αντίτοιχου διατήματος sκαιχρόνουt. s a s (35.0 ± 0.0) m t (.0 ± t Η μέη τιμή της επιτάχυνης a υπολογίζεται: s 35. a t m/s 0.5)s Το φάλμα της μέης τιμής δa υπολογίζεται: δa a s δs + a t δt t δs + - 4s 3 t δt Το τελικό αποτέλεμα είναι: a ± δa (0.49 ± 0.04) m/s E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 30

31 ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Ο τύπος της διάδοης φάλματος για παράγωγο φυικό μέγεθος u f(, y, z) της μορφής u λ y μ z ν απλουτεύεται με τη χρήη του χετικού φάλματος. Εύκολα αποδεικνύεται πως: δu u λ δ + μ δy y + ν δz z Στο προηγούμενο παράδειγμα της επιτάχυνης ιχύει δηλαδή: δa a δs s + δt t και κατά υνέπεια: δ α a με τελικό αποτέλεμα: a ± δa (0.49 ± 0.04) m/s E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 3

32 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Μέθοδος Μαθηματικής Βελτιτοποίηης Το κλαικό πρόβλημα: Η βέλτιτη ευθεία που περιγράφει πειραματικά ημεία ενός γραμμικά εξαρτημένου φυικού μεγέθους. Απόκλιη Σημείου Δy y ep y th E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 3

33 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Μέθοδος Μαθηματικής Βελτιτοποίηης Επίλυη: Ελαχιτοποίηη της υνάρτηης κότους, η οποία ορίζεται ως το υνολικό άθροιμα των τετραγωνικών αποκλίεων. Συνάρτηη Κότους χ ( ep th y y ) mn χ Ελαχιτοποίηη του χ Απόκλιη Σημείου Δy y ep y th E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 33

34 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Μέθοδος Μαθηματικής Βελτιτοποίηης Ερώτημα: Γιατί το άθροιμα των τετραγωνικών αποκλίεων; ος Παίκτης Άθροιμα Αποκλίεων: : + Άθροιμα Τετραγωνικών Αποκλίεων: : + Κερδίζει ο ος Παίκτης! ος Παίκτης Άθροιμα Αποκλίεων: : 0 + Άθροιμα Τετραγωνικών Αποκλίεων: : E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 34

35 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Οι υντελετές Α και Β της βέλτιτης ευθείας καθορίζονται από το κριτήριο ελαχιτοποίηης της υνάρτηης χ. Υ Υ ΑΧ + Β χ ( ep th y y ) mn Χ E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 35

36 Μπορούμε Μπορούμε να να υπολογίουμε υπολογίουμε τα τα Α και και Β και και να να χαράξουμε χαράξουμε τη τη βέλτιτη βέλτιτη ευθεία ευθεία ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ B A y + y y B y y A όπου όπου οι οι υντελετές υντελετές Α και και Β δίνονται δίνονται από από τις τις χέεις χέεις: E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 36

37 Τα φάλματα των Α και Β (δα δα, δβ δβ) υπολογίζονται: ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ y y δb, δa όπου: ( ) B A y y E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 37

38 (a,b) χ y b a χ b a f() Ν ι + + [ ] [ ] [ ] [ ] ι ι ι ι 0 y ) b (a 0 y ) b (a 0 y ) b (a 0 y ) b (a 0 b χ 0 a χ Εφόον Εύρεη Εύρεη των των παραμέτρων παραμέτρων της της ευθείας ευθείας a και και b Η ελαχιτοποίηη της ποότητας χ, η οποία εξαρτάται μόνο από τα aκαιb, επιτυγχάνεται με μηδενιμό των μερικών παραγώγων: ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 38

39 + + ι ι ι ι ι ι y b a y b a Καταλήγουμε έτι το γραμμικό ύτημα των δύο εξιώεων ως προς a και b: Παρατηρούμε πως οι υπειερχόμενοι υντελετές είναι αθροίματα δυναμοειρών δυναμοειρών του του και και ροπών ροπών του του y. Αν για διευκόλυνη ορίουμε αντίτοιχα ι k k ι k k y W, S τότε το ύτημα γράφεται: W bs as W bs as ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 39

40 Οι λύεις του υτήματος αυτού δίνουν: S S S S W S W S b, S S S S S W S W a W bs as W bs as y y b, y y a οι οποίες δίνουν τις προηγούμενες εκφράεις για τις τιμές των a και b: ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Σημείωη Σημείωη: Στην Στην παραπάνω παραπάνω απόδειξη απόδειξη έχουν έχουν υμπεριληφθεί υμπεριληφθεί και και τα τα φάλματα φάλματα των των μετρήεων μετρήεων, τα τα οποία οποία παίζουν παίζουν τον τον ρόλο ρόλο υντελετών υντελετών βαρύτητας βαρύτητας την την υνολική υνολική διαμόρφωη διαμόρφωη της της ποότητας ποότητας χ. E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 40

41 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Παράδειγμα γιαδεδομένα(ν7) Ya+bX E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 4

42 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Για δομένη μάζα m μέτρηη της περιόδου T και της επιμήκυνης του ελατηρίου Δ. E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 4

43 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Για δομένη μάζα m μέτρηη της περιόδου T και της επιμήκυνης του ελατηρίου Δ. Πειραματικάδεδομένατης8 ης Οκτωβρίου 08 (Αμφιθέατρο ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ) E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 43

44 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Για δομένη μάζα m μέτρηη της περιόδου T και της επιμήκυνης του ελατηρίου Δ. X ±0.00 m m (kg) π/t (s ) D (m) Δ (m) ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 44

45 Δu Δv 0.05 E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 45 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Νόμος του Hooke: : F mg k Δ

46 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Νόμος του Hooke: : F mg k Δ F k Δ E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 46

47 Δu 0.0 Δv E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 47 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Ταλάντωη Ελατηρίου: Τ π (m/k) /

48 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Ταλάντωη Ελατηρίου: Τ π (m/k) / Tp (T/π) T m k π E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 48

49 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ για τον προδιοριμό ταθεράς ελατηρίου k Τελικά αποτελέματα με ανάλυη ελαχίτων τετραγώνων Νόμος του Hooke Ταλάντωη Ελατηρίου F k Δ m k T π k (3.63± 0.0) /m k (3.64± 0.) /m E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 49

50 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΕΡΝΙΕΡΟΥ Perre Verner ( ) Άκηη Α6 Παχύμετρο ή Διατημόμετρο (Ακρίβειας 0.05mm) Χρηιμοποιήθηκε αρχικά για τη μέτρηη μηκών με μεγαλύτερη ακρίβεια. E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 50

51 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΕΡΝΙΕΡΟΥ Έχει δύο κλίμακες: ταθερή (4) και κινητή (6) (βερνιέρου). Γινόταν αρχικά υποδιαίρεη της κλίμακας του βερνιέρου ώτε να αντιτοιχούν 0 υποδιαιρέεις του ε 9 της κυρίας κλίμακας. Αυτό έδινε τη δυνατότητα να εκτιμηθεί με άνεη κλάμα της κυρίας κλίμακας με ακρίβεια /0. Σήμερα οι υποδιαιρέεις γίνονται το /0 (0.05 ακρίβεια) και υπάρχουν και ε άλλες μετρήεις π.χ. γωνιών. E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 5

52 7, 35 mm κλίμακα βερνιέρος E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 5

53 Μικρόμετρο Άκηη Α6 (0,0mm) E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 53

54 (6, 6,50 + 0,5)6,65 6,65mm 6,00 mm 6,50 mm E. STILIARIS - UoA (Oct 08) 54