Vanjska simetrija kristâla
|
|
|
- Θεοφάνια Παπαφιλίππου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
2 Vizualna simetrija Što je simetrija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
3 Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
4 Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
5 Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
6 Može li malo preciznije? Što je simetrija? Geometrijski objekt X (zanimaju nas isključivo slučajevi kad je X R n, n = 1, 2, 3) je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije je točka, pravac ili ravnina obzirom na koji se može zrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopi sam sa sobom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
7 Može li malo preciznije? Što je simetrija? Geometrijski objekt X (zanimaju nas isključivo slučajevi kad je X R n, n = 1, 2, 3) je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije je točka, pravac ili ravnina obzirom na koji se može zrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopi sam sa sobom. Razlikujemo centre simetrija, ravnine simetrija i osi simetrija (gire) te složene elemente simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
8 Centri simetrije Što je simetrija? Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C R n je izometrija 1 : R n R n sa svojstvom da za sve T R n vrijedi da je C polovište dužine polovište dužine T 1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = X kažemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se često označava i s i. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
9 Centri simetrije Što je simetrija? Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C R n je izometrija 1 : R n R n sa svojstvom da za sve T R n vrijedi da je C polovište dužine polovište dužine T 1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = X kažemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se često označava i s i. Slika: C 2 H 2 F 2 Cl 2 Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
10 Ravnine simetrije Što je simetrija? Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrija m : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da se polovište dužine Tm(T ) podudara sa sjecištem okomice iz T na Π s Π. Ako za neku ravninu Π vrijedi m(x ) = X kažemo da X posjeduje zrcalnu simetriju. Zrcaljenje se takoder često označava sa σ, a ravnina simetrije s P. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
11 Ravnine simetrije Što je simetrija? Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrija m : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da se polovište dužine Tm(T ) podudara sa sjecištem okomice iz T na Π s Π. Ako za neku ravninu Π vrijedi m(x ) = X kažemo da X posjeduje zrcalnu simetriju. Zrcaljenje se takoder često označava sa σ, a ravnina simetrije s P. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
12 Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
13 Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer očito vrijedi da ako je rotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegov cjelobrojni višekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π n odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n, dok os tada označavamo s L n. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajući elementi simetrije (osi) zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
14 Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer očito vrijedi da ako je rotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegov cjelobrojni višekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π n odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n, dok os tada označavamo s L n. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajući elementi simetrije (osi) zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira. Napomenimo da se centralna simetrija može promatrati kao kompozicija rotacije za kut π i zrcaljenja obzirom na ravninu okomitu na os rotacije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
15 Što je simetrija? (a) (b) (c) (d) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
16 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
17 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
18 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no iz praktičnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz već navedene izometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) još se kao simetrije objekata pojavljuju i: Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
19 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no iz praktičnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz već navedene izometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) još se kao simetrije objekata pojavljuju i: Translacija za neki vektor a: izometrija t a : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je orijentirana dužina Tt a (T ) predstavnik vektora a. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
20 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
21 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
22 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
23 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
24 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
25 Što je simetrija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
26 Što je simetrija? Kod kristala su, kako ćemo kasnije dokazati, moguće samo osi simetrije (bilo rotacije bilo rotoinverzije ili rotorefleksije) reda 2, 3, 4 ili 6. Sve rotorefleksne osi tih redova mogu se shvatiti kao rotoinverzne: 1 = 2, 2 = 1, 3 = 6, 4 = 4, 6 = 3. Mi stoga u daljnjem nećemo spominjati rotorefleksiju. Napomenimo ovdje da je engleski izraz za rotorefleksiju improper rotation te se u prikazima simetrija kristala i molekula one preferiraju u odnosu na rotoinverziju. Slika: Ekvivalencije rotoinverzija i rotorefleksija Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
27 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
28 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
29 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora 1 odredenih ravninama u kojima leže plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjek neomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
30 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora 1 odredenih ravninama u kojima leže plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjek neomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
31 Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
32 Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dviju zrcalnosimetričnih piramida), trapezoedar (formu čine deltoidi), romboedar (formu čini šest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu čine trokuti kojima su sve tri stranice različite duljine). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
33 Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dviju zrcalnosimetričnih piramida), trapezoedar (formu čine deltoidi), romboedar (formu čini šest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu čine trokuti kojima su sve tri stranice različite duljine). Plohe svakog kristala mogu se rasporediti u forme tj. pripadni poliedar je presjek jedne ili više formi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
34 A što su zone? Zone, forme Zona je skup ploha kristala koje su paralelne istom smjeru pravaca; svaki pravac tog smjera zove se os zone. Očigledno svake dvije neparalelne plohe odreduju jednu zonu. Ravnine ploha iste zone sijeku se u paralelnim pravcima (ti svi pravci naravno imaju smjer osi zone). Zonska ravnina je bilo koja ravnina koja je okomita na os zone; normale na plohe zone su paralelne zonskoj ravnini. Treći kristalografski zakon glasi: Svaka ploha kristala pripada bar dvjema zonama. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
35 Zone, forme Prvi kristalografski zakon Prvi kristalografski zakon poznat je i kao zakon o stalnosti kuteva. Izrekao ga je Niels Stensen (Nicolaus Steno). Zakon glasi: Kutevi izmedu odgovarajućih ploha na svim kristalima neke mineralne vrste jednaki su, bez obzira nalazište kristala, uz uvjet da se mjere uz isti tlak i temperaturu. Dakle, svaka mineralna vrsta ima odredene tipične kuteve koji se mogu pojaviti medu plohama kristala te vrste te se temeljem uočenih kuteva 2 može utvrditi može li dani uzorak kristala pripadati nekoj mineralnoj vrsti ili ne. 2 Naprave za mjerenje kuteva medu plohama kristalâ zovu se goniometri. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
36 Zone, forme Vježbe Na modelima naći i po mogućnosti imenovati: Elemente simetrije (C, m, 2, 3, 4, 6, 4); Forme (obavezno razlikovati otvorene i zatvorene!); Zone Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16
Kristalografske točkine grupe
Kristalografske točkine grupe Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2017. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 1 / 29 Elementi simetrije Elementi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Analitička geometrija prostora
Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi:
Franka Miriam Brückler. Listopad 2008.
Rešetke Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad 2008. 1 / 22 Vanjska simetrija kristâla navela je ljude na zaključak da joj je uzrok
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina
Poglavlje 7 Stereometrija Stereometrijom nazovamo geometriju (trodimenzionalnog euklidskog) prostora. Osnovni elementi prostora su točke, pravci i ravnine. Aksiome geometrije prostora nećemo navoditi.
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Analitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
je B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Analitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Predavanja iz Elementarne geometrije
Predavanja iz Elementarne geometrije Jurica Perić 2017./2018. Sadržaj Povijesni pregled ii 1. Planimetrija - geometrija ravnine 1 1.1. Aksiomi euklidske geometrije ravnine.................. 1 1.1.1. Aksiomi
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da