Vanjska simetrija kristâla

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vanjska simetrija kristâla"

Transcript

1 Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

2 Vizualna simetrija Što je simetrija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

3 Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

4 Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

5 Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

6 Može li malo preciznije? Što je simetrija? Geometrijski objekt X (zanimaju nas isključivo slučajevi kad je X R n, n = 1, 2, 3) je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije je točka, pravac ili ravnina obzirom na koji se može zrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopi sam sa sobom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

7 Može li malo preciznije? Što je simetrija? Geometrijski objekt X (zanimaju nas isključivo slučajevi kad je X R n, n = 1, 2, 3) je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije je točka, pravac ili ravnina obzirom na koji se može zrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopi sam sa sobom. Razlikujemo centre simetrija, ravnine simetrija i osi simetrija (gire) te složene elemente simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

8 Centri simetrije Što je simetrija? Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C R n je izometrija 1 : R n R n sa svojstvom da za sve T R n vrijedi da je C polovište dužine polovište dužine T 1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = X kažemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se često označava i s i. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

9 Centri simetrije Što je simetrija? Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C R n je izometrija 1 : R n R n sa svojstvom da za sve T R n vrijedi da je C polovište dužine polovište dužine T 1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = X kažemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se često označava i s i. Slika: C 2 H 2 F 2 Cl 2 Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

10 Ravnine simetrije Što je simetrija? Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrija m : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da se polovište dužine Tm(T ) podudara sa sjecištem okomice iz T na Π s Π. Ako za neku ravninu Π vrijedi m(x ) = X kažemo da X posjeduje zrcalnu simetriju. Zrcaljenje se takoder često označava sa σ, a ravnina simetrije s P. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

11 Ravnine simetrije Što je simetrija? Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrija m : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da se polovište dužine Tm(T ) podudara sa sjecištem okomice iz T na Π s Π. Ako za neku ravninu Π vrijedi m(x ) = X kažemo da X posjeduje zrcalnu simetriju. Zrcaljenje se takoder često označava sa σ, a ravnina simetrije s P. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

12 Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

13 Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer očito vrijedi da ako je rotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegov cjelobrojni višekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π n odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n, dok os tada označavamo s L n. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajući elementi simetrije (osi) zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

14 Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer očito vrijedi da ako je rotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegov cjelobrojni višekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π n odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n, dok os tada označavamo s L n. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajući elementi simetrije (osi) zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira. Napomenimo da se centralna simetrija može promatrati kao kompozicija rotacije za kut π i zrcaljenja obzirom na ravninu okomitu na os rotacije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

15 Što je simetrija? (a) (b) (c) (d) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

16 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

17 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

18 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no iz praktičnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz već navedene izometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) još se kao simetrije objekata pojavljuju i: Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

19 Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no iz praktičnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz već navedene izometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) još se kao simetrije objekata pojavljuju i: Translacija za neki vektor a: izometrija t a : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je orijentirana dužina Tt a (T ) predstavnik vektora a. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

20 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

21 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

22 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

23 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

24 Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

25 Što je simetrija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

26 Što je simetrija? Kod kristala su, kako ćemo kasnije dokazati, moguće samo osi simetrije (bilo rotacije bilo rotoinverzije ili rotorefleksije) reda 2, 3, 4 ili 6. Sve rotorefleksne osi tih redova mogu se shvatiti kao rotoinverzne: 1 = 2, 2 = 1, 3 = 6, 4 = 4, 6 = 3. Mi stoga u daljnjem nećemo spominjati rotorefleksiju. Napomenimo ovdje da je engleski izraz za rotorefleksiju improper rotation te se u prikazima simetrija kristala i molekula one preferiraju u odnosu na rotoinverziju. Slika: Ekvivalencije rotoinverzija i rotorefleksija Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

27 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

28 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

29 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora 1 odredenih ravninama u kojima leže plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjek neomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

30 Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora 1 odredenih ravninama u kojima leže plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjek neomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

31 Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

32 Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dviju zrcalnosimetričnih piramida), trapezoedar (formu čine deltoidi), romboedar (formu čini šest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu čine trokuti kojima su sve tri stranice različite duljine). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

33 Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dviju zrcalnosimetričnih piramida), trapezoedar (formu čine deltoidi), romboedar (formu čini šest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu čine trokuti kojima su sve tri stranice različite duljine). Plohe svakog kristala mogu se rasporediti u forme tj. pripadni poliedar je presjek jedne ili više formi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

34 A što su zone? Zone, forme Zona je skup ploha kristala koje su paralelne istom smjeru pravaca; svaki pravac tog smjera zove se os zone. Očigledno svake dvije neparalelne plohe odreduju jednu zonu. Ravnine ploha iste zone sijeku se u paralelnim pravcima (ti svi pravci naravno imaju smjer osi zone). Zonska ravnina je bilo koja ravnina koja je okomita na os zone; normale na plohe zone su paralelne zonskoj ravnini. Treći kristalografski zakon glasi: Svaka ploha kristala pripada bar dvjema zonama. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

35 Zone, forme Prvi kristalografski zakon Prvi kristalografski zakon poznat je i kao zakon o stalnosti kuteva. Izrekao ga je Niels Stensen (Nicolaus Steno). Zakon glasi: Kutevi izmedu odgovarajućih ploha na svim kristalima neke mineralne vrste jednaki su, bez obzira nalazište kristala, uz uvjet da se mjere uz isti tlak i temperaturu. Dakle, svaka mineralna vrsta ima odredene tipične kuteve koji se mogu pojaviti medu plohama kristala te vrste te se temeljem uočenih kuteva 2 može utvrditi može li dani uzorak kristala pripadati nekoj mineralnoj vrsti ili ne. 2 Naprave za mjerenje kuteva medu plohama kristalâ zovu se goniometri. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

36 Zone, forme Vježbe Na modelima naći i po mogućnosti imenovati: Elemente simetrije (C, m, 2, 3, 4, 6, 4); Forme (obavezno razlikovati otvorene i zatvorene!); Zone Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad / 16

Kristalografske točkine grupe

Kristalografske točkine grupe Kristalografske točkine grupe Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2017. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 1 / 29 Elementi simetrije Elementi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijski trikovi i metode bez imena

Geometrijski trikovi i metode bez imena Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

12 1. UVODNI DIO c 2 ) 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ). (F1)

12 1. UVODNI DIO c 2 ) 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ). (F1) 11 1. Uvodni dio Da bi se s potpunim razumijevanjem mogao pratiti sadržaj ove knjige, nužna su neka znanja iz srednjoškolske nastave matematike. To se u prvom redu odnosi na temeljne pojmove geometrije

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Flag-tranzitivni linearni prostori

Flag-tranzitivni linearni prostori Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 Millerovi indeksi. jer vektori

1 Millerovi indeksi. jer vektori Millerovi indeksi U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi u euklidskom prostoru R 3. Matematički model kristala je kristalna rešetka definirana jediničnom ćelijom kristala. Jedinična

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

8 Tangencijalna ravnina plohe

8 Tangencijalna ravnina plohe 8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA /2012.

MATEMATIKA /2012. MATEMATIKA 2 2011./2012. 1 MATEMATIKA 2 1 MATEMATIKA 2 2 MATEMATIKA 2 3 MATEMATIKA 2 4 2 ρ O 0 1 ϕ T=(ϕ,ρ) MATEMATIKA 2 5 MATEMATIKA 2 6 z z T'' 1 O ϕ ρ T=(ϕ,ρ,z) T'=(ϕ,ρ) Π z z z0 T'' 0 z0=z0 ravnina

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre

Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre 1 Kristalne rešetke Definicija 1 Rešetka u afinom prostoru A s koordinatnim sustavom (O; a 1,..., a n ) je skup svih točaka prosotora sa cjelobrojnim

Διαβάστε περισσότερα

1. PROJICIRANJE Uvod

1. PROJICIRANJE Uvod 1. PROJICIRANJE 1.1. Uvod Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogućuju prikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnoj ravnini i rješavanje prostornih

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra

Linearna algebra Linearna algebra 2 Siniša Miličić cinik@studentmathhr 2462004 Molim da se sve uočene greške i primjedbe pošalju na mail Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograničeno umnažati, mijenjati i koristiti

Διαβάστε περισσότερα

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI - 59-6 KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u

Διαβάστε περισσότερα