Franka Miriam Brückler. Listopad 2008.

Transcript

1 Rešetke Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

2 Vanjska simetrija kristâla navela je ljude na zaključak da joj je uzrok pravilna unutrašnja grada. Preciznije je tu ideju prvi formulirao R. J. Haüy ( ), koji je zamislio kristale kao izgradene od sičušnih kockica. Ta je ideja potvrdena otkrićem da kristali difraktiraju rentgensko zračenje. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

3 Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

4 Direktni prostor i jediniča ćelija Euklidski prostor R 3 je direktan prostor kristala ako njegove točke interpretiramo kao stvarne pozicije točaka u kristalu (npr. pozicije atoma u kristalu). Kao baza pripadnog vektorskog prostora fiksira se neka baza koju ćemo označavati s {a, b, c}. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

5 Direktni prostor i jediniča ćelija Euklidski prostor R 3 je direktan prostor kristala ako njegove točke interpretiramo kao stvarne pozicije točaka u kristalu (npr. pozicije atoma u kristalu). Kao baza pripadnog vektorskog prostora fiksira se neka baza koju ćemo označavati s {a, b, c}. Kockica čije kopije čine kristal zove se jedinična ćelija. Jedinična ćelija je svaki podskup prostora oblika četverostrane prizme čijim translacijama u tri linearno nezavisna smjera dobivamo čitav kristal. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

6 Direktni prostor i jediniča ćelija Euklidski prostor R 3 je direktan prostor kristala ako njegove točke interpretiramo kao stvarne pozicije točaka u kristalu (npr. pozicije atoma u kristalu). Kao baza pripadnog vektorskog prostora fiksira se neka baza koju ćemo označavati s {a, b, c}. Kockica čije kopije čine kristal zove se jedinična ćelija. Jedinična ćelija je svaki podskup prostora oblika četverostrane prizme čijim translacijama u tri linearno nezavisna smjera dobivamo čitav kristal. Još preciznije: Definicija Dvije točke P, Q R 3 zovemo ekvivalentnim (P Q) ako postoji cjelobrojna linearna kombinacija vektora baze t = ka + lb + mc takva da je r P = r Q + t. Radi se o relaciji ekvivalencije (dokažite!), a svaka klasa ekvivalencije se zove jedinična ćelija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

7 Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

8 Baza {a, b, c} se bira tako da tim vektorima odredeni paralelepiped bude jediniča ćelija u skladu s kristalografskim konvencijama, te da cijeli (beskonačni) kristal bude jednak svim translacijama jedinične ćelije za cjelobrojne linearne kombinacije vektora te baze. Uočimo da je volumen jedinične ćelije V = (a, b, c) = a (b c) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

9 Baza {a, b, c} se bira tako da tim vektorima odredeni paralelepiped bude jediniča ćelija u skladu s kristalografskim konvencijama, te da cijeli (beskonačni) kristal bude jednak svim translacijama jedinične ćelije za cjelobrojne linearne kombinacije vektora te baze. Uočimo da je volumen jedinične ćelije V = (a, b, c) = a (b c) Pokazuje se (lako se vidi): jedinična ćelija može se shvatiti kao [0, 1 3 tj. kao skup svih točaka prostora kojima su koordinate izmedu 0 i 1. Direktan prostor se (geometrijski) onda može shvatiti kao Kartezijev produkt oblika [0, 1 3 Z 3 : za potpuno opisati neku točku prostora potrebno je znati poziciju njoj ekvivalentne točke u jediničnoj ćeliji i poziciju odgovarajućeg translata ishodišta. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

10 Rešetke Unutrašnja grada kristâla Neka je u prostoru R n odabrana baza B = {b i } i=1,...,n i ishodište O R n. Definicija Vektorska rešetka odredena bazom B je skup { n } L = m i b i : m 1,..., m n Z, i=1 a (točkovna) rešetka je skup { L = T R n : v L v = } OT = {(m 1,..., m n ) R n : m 1,..., m n Z}. Jedinična ćelija se sad može definirati i kao skup { } U = T R n : n OT = x i b i, x 1,..., x n [0, 1. i=1 Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

11 Vidimo da možemo prvo definirati jediničnu ćeliju pa temeljem nje rešetku ili obrnuto, no u svakom slučaju prvo dolazi odabir prikladne baze prostora. Prvi pristup je prikladniji u kristalografiji jer se u praksi baza bira paralelno s jediničnom ćelijom. Konvencije o odabiru jedinične ćelije su: ona treba imati što manji volumen i odražavati simetriju strukture. Zapravo, pojam rešetke je nešto širi od opisanog: trenutna definicija rešetke dozvoljava da se u rešetki nalaze samo točke kojima su sve koordinate cjelobrojne. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

12 Vidimo da možemo prvo definirati jediničnu ćeliju pa temeljem nje rešetku ili obrnuto, no u svakom slučaju prvo dolazi odabir prikladne baze prostora. Prvi pristup je prikladniji u kristalografiji jer se u praksi baza bira paralelno s jediničnom ćelijom. Konvencije o odabiru jedinične ćelije su: ona treba imati što manji volumen i odražavati simetriju strukture. Zapravo, pojam rešetke je nešto širi od opisanog: trenutna definicija rešetke dozvoljava da se u rešetki nalaze samo točke kojima su sve koordinate cjelobrojne. Kristalografska baza za danu vektorsku rešetku L je svaka baza n-dimenzionalnog prostora takva da su sve cjelobrojne linearne kombinacije vektora te baze elementi od L. Ako vrijedi i obrnuto: svaki vektor rešetke je cjelobrojna linearna kombinacija vektora baze, onda kristalografsku bazu zovemo primitivnom bazom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

13 Simetrije objekta X R 3, ako smo odabrali koordinatni sustav, možemo opisati s f (x) = Ax + b, gdje je A M 3 (R) ortogonalna matrica, a b M 3,1 (R) R 3 neki fiksan vektor. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

14 Simetrije objekta X R 3, ako smo odabrali koordinatni sustav, možemo opisati s f (x) = Ax + b, gdje je A M 3 (R) ortogonalna matrica, a b M 3,1 (R) R 3 neki fiksan vektor. Ako je b = 0, onda se radi o ortogonalnom operatoru te on ima jednu fiksnu točku (ishodište koordinatnog sustava). Rotacije su one simetrije koje imaju b = 0 i det(a) = 1. One ne mijenjaju orijentaciju koordinatnog sustava. Simetrije s b = 0 i det(a) = 1 zovemo zrcaljenjima ili nepravim rotacijama; one mijenjaju orijentaciju koordinatnog sustava. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

15 Simetrije objekta X R 3, ako smo odabrali koordinatni sustav, možemo opisati s f (x) = Ax + b, gdje je A M 3 (R) ortogonalna matrica, a b M 3,1 (R) R 3 neki fiksan vektor. Ako je b = 0, onda se radi o ortogonalnom operatoru te on ima jednu fiksnu točku (ishodište koordinatnog sustava). Rotacije su one simetrije koje imaju b = 0 i det(a) = 1. One ne mijenjaju orijentaciju koordinatnog sustava. Simetrije s b = 0 i det(a) = 1 zovemo zrcaljenjima ili nepravim rotacijama; one mijenjaju orijentaciju koordinatnog sustava. Može se pokazati da se svaki ortogonalan operator na R 3 može prikazati kao kompozicija od tri ili manje zrcaljenja (specijalni slučaj Cartan-Dieudonné-ovog teorema o ortogonalnim grupama). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

16 Simetrije objekta X R 3, ako smo odabrali koordinatni sustav, možemo opisati s f (x) = Ax + b, gdje je A M 3 (R) ortogonalna matrica, a b M 3,1 (R) R 3 neki fiksan vektor. Ako je b = 0, onda se radi o ortogonalnom operatoru te on ima jednu fiksnu točku (ishodište koordinatnog sustava). Rotacije su one simetrije koje imaju b = 0 i det(a) = 1. One ne mijenjaju orijentaciju koordinatnog sustava. Simetrije s b = 0 i det(a) = 1 zovemo zrcaljenjima ili nepravim rotacijama; one mijenjaju orijentaciju koordinatnog sustava. Može se pokazati da se svaki ortogonalan operator na R 3 može prikazati kao kompozicija od tri ili manje zrcaljenja (specijalni slučaj Cartan-Dieudonné-ovog teorema o ortogonalnim grupama). Eulerov teorem o rotaciji pak garantira da su svaka dva koordinatna sustava u prostoru sa zajedničkim ishodištem su povezana rotacijom oko nekog pravca kroz ishodište odnosno da svaka rotacija trodimenzionalnog prostora ima fiksan pravac (os rotacije). Ukratko, gornja definicija rotacije je u skladu s geometrijskom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

17 Eulerov teorem o rotaciji Teorem (Euler) Ako je A rotacija prostora R 3, onda postoji svojstveni vektor v za A koji pripada svojstvenoj vrijednosti 1 takav da je restrikcija od A na ravninu smjera v rotacija u toj ravnini. 1 Po A vector proof of Euler s theorem on rotations od E 3, M. K. Fort, Am. Math. Monthly, Vol. 64, No. 6 (1957), 428. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

18 Eulerov teorem o rotaciji Teorem (Euler) Ako je A rotacija prostora R 3, onda postoji svojstveni vektor v za A koji pripada svojstvenoj vrijednosti 1 takav da je restrikcija od A na ravninu smjera v rotacija u toj ravnini. Dokaz. 1 Uzmimo koordinatni sustav odreden kanonskom ortonormiranom bazom {i, j, k}. Neka je Ai = i, Aj = j i Ak = k. Budući je A ortogonalna s determinantom 1, slijedi da je {i, j, k } takoder desna ortonormirana baza. Sad se može elementarnim računom pokazati da je mješoviti produkt (i i, j j, k k ) jednak nuli pa su vektori i i, j j, k k komplanarni. 1 Po A vector proof of Euler s theorem on rotations od E 3, M. K. Fort, Am. Math. Monthly, Vol. 64, No. 6 (1957), 428. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

19 Eulerov teorem o rotaciji Teorem (Euler) Ako je A rotacija prostora R 3, onda postoji svojstveni vektor v za A koji pripada svojstvenoj vrijednosti 1 takav da je restrikcija od A na ravninu smjera v rotacija u toj ravnini. Dokaz. 1 Uzmimo koordinatni sustav odreden kanonskom ortonormiranom bazom {i, j, k}. Neka je Ai = i, Aj = j i Ak = k. Budući je A ortogonalna s determinantom 1, slijedi da je {i, j, k } takoder desna ortonormirana baza. Sad se može elementarnim računom pokazati da je mješoviti produkt (i i, j j, k k ) jednak nuli pa su vektori i i, j j, k k komplanarni. Slijedi da postoji vektor v 0 koji je ortogonalan na sva tri te je v i = v i i analogno za ostala dva. 1 Po A vector proof of Euler s theorem on rotations od E 3, M. K. Fort, Am. Math. Monthly, Vol. 64, No. 6 (1957), 428. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

20 Eulerov teorem o rotaciji Teorem (Euler) Ako je A rotacija prostora R 3, onda postoji svojstveni vektor v za A koji pripada svojstvenoj vrijednosti 1 takav da je restrikcija od A na ravninu smjera v rotacija u toj ravnini. Dokaz. 1 Uzmimo koordinatni sustav odreden kanonskom ortonormiranom bazom {i, j, k}. Neka je Ai = i, Aj = j i Ak = k. Budući je A ortogonalna s determinantom 1, slijedi da je {i, j, k } takoder desna ortonormirana baza. Sad se može elementarnim računom pokazati da je mješoviti produkt (i i, j j, k k ) jednak nuli pa su vektori i i, j j, k k komplanarni. Slijedi da postoji vektor v 0 koji je ortogonalan na sva tri te je v i = v i i analogno za ostala dva. Sad imamo: Av = A((v i)i + (v j)j + (v k)k) = (v i)i + (v j)j + (v k)k = (v i )i + (v j )j + (v k )k = v. 1 Po A vector proof of Euler s theorem on rotations od E 3, M. K. Fort, Am. Math. Monthly, Vol. 64, No. 6 (1957), 428. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

21 Slijedi da je v = A 1 v. Za svaki vektor u ortogonalan na v je Au v = u A 1 v = u v = 0, pa je dvodimenzionalni prostor v = {u : u v} invarijantan za A (invarijantan potprostor V prostora W za linearan operator A je onaj koji ima svojstvo AV V ). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

22 Slijedi da je v = A 1 v. Za svaki vektor u ortogonalan na v je Au v = u A 1 v = u v = 0, pa je dvodimenzionalni prostor v = {u : u v} invarijantan za A (invarijantan potprostor V prostora W za linearan operator A je onaj koji ima svojstvo AV V ). Svojstvene vrijednosti od A su {1, λ, λ } s λλ = det A = 1. Kako je determinanta restrikcije A v jednaka produktu λλ = 1 slijedi da je A v isto rotacija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

23 Slijedi da je v = A 1 v. Za svaki vektor u ortogonalan na v je Au v = u A 1 v = u v = 0, pa je dvodimenzionalni prostor v = {u : u v} invarijantan za A (invarijantan potprostor V prostora W za linearan operator A je onaj koji ima svojstvo AV V ). Svojstvene vrijednosti od A su {1, λ, λ } s λλ = det A = 1. Kako je determinanta restrikcije A v jednaka produktu λλ = 1 slijedi da je A v isto rotacija. Kako v odreduje ravninu kroz ishodište, slijedi da je pravac kroz ishodište kojemu je vektor smjera v tražena os rotacije. Q.E.D. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

24 Slijedi da je v = A 1 v. Za svaki vektor u ortogonalan na v je Au v = u A 1 v = u v = 0, pa je dvodimenzionalni prostor v = {u : u v} invarijantan za A (invarijantan potprostor V prostora W za linearan operator A je onaj koji ima svojstvo AV V ). Svojstvene vrijednosti od A su {1, λ, λ } s λλ = det A = 1. Kako je determinanta restrikcije A v jednaka produktu λλ = 1 slijedi da je A v isto rotacija. Kako v odreduje ravninu kroz ishodište, slijedi da je pravac kroz ishodište kojemu je vektor smjera v tražena os rotacije. Q.E.D. Kao korolar ovog teorema može se pokazati i da je svako zrcaljenje B (ortogonalni operator determinante 1) kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu i rotacije oko osi okomite na tu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

25 Kristalografska restrikcija Osnovni teorem o mogućim simetrijama kristala je Teorem Jedine moguće simetrije rešetke u R 3 (ili R 2 ) koje su rotacije su rotacije oko osi 1, 2, 3, 4 i 6. Postoji više načina dokaza ovog teorema, a mi ćemo odabrati dokaz pomoću teorije matrica. Ako je A rotacija oko neke osi koja je element simetrije kristala, onda je kristalna rešetka L invarijantna za A tj. Ar L za svaki vektor r L. Odaberemo li kao bazu prostora neku primitivnu bazu direktnog prostora {a, b, c}, onda svi r L imaju cjelobrojne koordinate, pa su svi elementi matrice operatora A u toj bazi cjelobrojni. Nadalje, trag je invarijanta operatora tj. svi matrični prikazi istog operatora imaju isti trag: ako je B = M 1 AM prikaz istog operatora u drugoj bazi, onda imamo tr(b) = tr(m 1 AM) = tr(mm 1 A) = tr(a) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

26 jer za sve matrice X, Y M n vrijedi tr(xy ) = tr(yx ). Slijedi da je trag operatora rotacije koja je simetrija rešetke cjelobrojan. Možemo sad odabrati drugi matrični prikaz tog operatora, i to u nekoj bazi u kojoj se z-os podudara s osi rotacije. Poznato je da u toj bazi (uz oznaku α = 2π n ) operator A ima matricu cos α sin α 0 sin α cos α Slijedi da je tr(a) = cos α Z tj. cos α { 1, 1 2, 0, 1 2, 1}. Stoga su jedine moguće simetrije kristala koje su rotacije (ili rotoinverzije) one oko osi 1, 2, 3, 4, 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

27 Pet ravninskih rešetki Unutrašnja grada kristâla Jedini mogući tip rešetke na pravcu R n je niz točaka takav da je razmak svake dvije susjedne jednak. Po definiciji, rešetka u ravnini kao jediničnu ćeliju uvijek ima paralelogram, uzet ćemo da je odreden primitivnom bazom. Obzirom na simetriju, ravninske rešetke klasificiramo na pet tipova. Svima je zajedničko da su im medu simetrijama translacije za cjelobrojne linearne kombinacije dva vektora baze, dakle moguće je razlikovanje samo obzirom na simetrije koje fiksiraju jednu točku (ishodište). Kako je suprotan broj cijelog broja cijeli broj, slijedi da svaka ravninska rešetka kao simetriju posjeduje i centralnu simetriju. Nadalje, dovoljno je rešetke klasificirati prema simetrijama koje fiksiraju jednu točku (ishodište rešetke 0). Ako rešetka ne posjeduje nikakvu drugu simetriju, radi se o paralelogramskoj rešetki. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

28 Ukoliko ravninska rešetka posjeduje os rotacije kao element simetrije, ona može ležati u ravnini ili biti okomita na nju (i naravno, mora prolaziti kroz O). Ravninska rešetka kao element simetrije ne može imati trigiru. Takoder, nepotrebno je pri klasifikaciji uzimati u obzir rotoinverzne osi, jer se one zbog prisustva centra simetrije svode na obične osi rotacije. 2 Tzv. Eulerova ili Rodriguesova konstrukcija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

29 Ukoliko ravninska rešetka posjeduje os rotacije kao element simetrije, ona može ležati u ravnini ili biti okomita na nju (i naravno, mora prolaziti kroz O). Ravninska rešetka kao element simetrije ne može imati trigiru. Takoder, nepotrebno je pri klasifikaciji uzimati u obzir rotoinverzne osi, jer se one zbog prisustva centra simetrije svode na obične osi rotacije. Kako je centar simetrije ravninske rešetke ekvivalentan digiri okomitoj na ravninu, eventualne dodatne digire mogu se pojaviti samo kao podskupovi ravnine rešetke. Ako imamo neku digiru u ravnini rešetke, kompozicija rotacija oko te dvije digira povlači 2 postojanje treće digire okomite na obadvije. Ako su bazni vektori rešetke okomiti, dobili smo pravokutnu rešetku, a ako nisu, onda se mogu odabrati jednako dugima te se rešetka zove rompska. 2 Tzv. Eulerova ili Rodriguesova konstrukcija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

30 Ukoliko ravninska rešetka posjeduje os rotacije kao element simetrije, ona može ležati u ravnini ili biti okomita na nju (i naravno, mora prolaziti kroz O). Ravninska rešetka kao element simetrije ne može imati trigiru. Takoder, nepotrebno je pri klasifikaciji uzimati u obzir rotoinverzne osi, jer se one zbog prisustva centra simetrije svode na obične osi rotacije. Kako je centar simetrije ravninske rešetke ekvivalentan digiri okomitoj na ravninu, eventualne dodatne digire mogu se pojaviti samo kao podskupovi ravnine rešetke. Ako imamo neku digiru u ravnini rešetke, kompozicija rotacija oko te dvije digira povlači 2 postojanje treće digire okomite na obadvije. Ako su bazni vektori rešetke okomiti, dobili smo pravokutnu rešetku, a ako nisu, onda se mogu odabrati jednako dugima te se rešetka zove rompska. Ukoliko rešetka posjeduje tetragiru okomitu na rešetku, rezultat je kvadratna rešetka. Zadnja mogućnost je da rešetka posjeduje heksagiru okomitu na rešetku, dobivamo heksagonsku rešetku. 2 Tzv. Eulerova ili Rodriguesova konstrukcija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

31 Pet ravninskih rešetki Unutrašnja grada kristâla Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

32 Sedam kristalnih sustava Sličnom metodom iscrpljivanja možemo zaključiti da je u prostoru moguće dobiti sedam simetrijski različitih rešetki koje zovemo kristalni sustavi. Kao i za ravninske rešetke, uzimamo primitivnu bazu, uvijek je prisutan centar simetrije i dovoljno je klasificirati rešetke obzirom na prave osi rotacije kroz ishodište. Skup svih simetrija rešetke koje fiksiraju jednu točku zove se holoedrija rešetke. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

33 Sedam kristalnih sustava Sličnom metodom iscrpljivanja možemo zaključiti da je u prostoru moguće dobiti sedam simetrijski različitih rešetki koje zovemo kristalni sustavi. Kao i za ravninske rešetke, uzimamo primitivnu bazu, uvijek je prisutan centar simetrije i dovoljno je klasificirati rešetke obzirom na prave osi rotacije kroz ishodište. Skup svih simetrija rešetke koje fiksiraju jednu točku zove se holoedrija rešetke. Najopćenitiji je triklinski sustav - kao simetrije rešetke pojavljuju se samo translacije i centralna simetrija. Jedinična ćelija tad ima oblik kose četverostrane prizme. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

34 Sedam kristalnih sustava Sličnom metodom iscrpljivanja možemo zaključiti da je u prostoru moguće dobiti sedam simetrijski različitih rešetki koje zovemo kristalni sustavi. Kao i za ravninske rešetke, uzimamo primitivnu bazu, uvijek je prisutan centar simetrije i dovoljno je klasificirati rešetke obzirom na prave osi rotacije kroz ishodište. Skup svih simetrija rešetke koje fiksiraju jednu točku zove se holoedrija rešetke. Najopćenitiji je triklinski sustav - kao simetrije rešetke pojavljuju se samo translacije i centralna simetrija. Jedinična ćelija tad ima oblik kose četverostrane prizme. Pretpostavimo da rešetka kao simetriju posjeduje rotaciju oko osi o reda n {2, 3, 4, 6}. Za n = 3, 4, 6 su za svaku točku rešetke A 1 njeni obzirom na o zarotirani položaji A 2,..., A n komplanarne točke iste rešetke. I za n = 2 se takoder može pokazati da postojanje osi rotacije povlači postojanje ravninske podrešetke okomite na tu os. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

35 Nadalje, ako zbrojimo sve vektore OA i, i = 1,..., n, dobivamo vektor paralelan s o te slijedi da na osi o leži beskonačno mnogo točaka rešetke. Nadalje, svaka ravnina simetrije rešetke takoder mora sadržavati beskonačno mnogo točaka rešetke (ravninsku rešetku) je istovremeno postojanje centra simetrije i ravnine simetrije povlači postojanje digire okomite na ravninu simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

36 Nadalje, ako zbrojimo sve vektore OA i, i = 1,..., n, dobivamo vektor paralelan s o te slijedi da na osi o leži beskonačno mnogo točaka rešetke. Nadalje, svaka ravnina simetrije rešetke takoder mora sadržavati beskonačno mnogo točaka rešetke (ravninsku rešetku) je istovremeno postojanje centra simetrije i ravnine simetrije povlači postojanje digire okomite na ravninu simetrije. Ako rešetka kao element simetrije posjeduje digiru, njen vektor smjera mora biti neki od baznih vektora, recimo a. Tada je OA = a za neku točku A L. Ako je OB = b i OC = c, onda ravnine OAB i OAC odreduju dvije ravninske podrešetke od L i naša digira leži u obadvije. Slijedi da su te dvije podrešetke pravokutne ili rompske. Pokazuje se da se može uzeti da su obje pravokutne ili obje rompske. U oba slučaja govorimo o monoklinskom kristalnom sustavu - elementi simetrije su centar simetrije i jedna digira te zrcalna ravnina okomita na digiru. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

37 Holoedrija monoklinskog sustava uz obvezni centar simetrije posjeduje još točno dva elementa simetrije: jednu digiru i na nju okomitu ravninu simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

38 Holoedrija monoklinskog sustava uz obvezni centar simetrije posjeduje još točno dva elementa simetrije: jednu digiru i na nju okomitu ravninu simetrije. Moguće je i da rešetka kao elemente simetrije posjeduje tri medusobno okomite digire. U tom slučaju imamo rompski kristalni sustav čija holoedrija kao elemente simetrije ima spomenute tri medusobno okomite digire, centar simterije i tri medusobno okomite ravnine simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

39 Trigonski sustav dobivamo kad rešetka kao element simetrije posjeduje jednu trigiru. Pokazuje se da se tada primitivna baza može odabrati tako da su njeni vektori iste duljine i svaka dva zatvaraju isti (ali ne pravi) kut. Holoedrija trigonskog sustava sadrži i tri digire te četiri ravnine simetrije. Trigonski sustav se često promatra kao podvrsta heksagonskog. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

40 Trigonski sustav dobivamo kad rešetka kao element simetrije posjeduje jednu trigiru. Pokazuje se da se tada primitivna baza može odabrati tako da su njeni vektori iste duljine i svaka dva zatvaraju isti (ali ne pravi) kut. Holoedrija trigonskog sustava sadrži i tri digire te četiri ravnine simetrije. Trigonski sustav se često promatra kao podvrsta heksagonskog. Ako rešetka kao element simetrije posjeduje heksagiru, dobivamo heksagonski sustav. Holoedrija heksagonskog sustava kao elemente simetrije uz heksagiru posjeduje i šest digira i sedam ravnina simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

41 Trigonski sustav dobivamo kad rešetka kao element simetrije posjeduje jednu trigiru. Pokazuje se da se tada primitivna baza može odabrati tako da su njeni vektori iste duljine i svaka dva zatvaraju isti (ali ne pravi) kut. Holoedrija trigonskog sustava sadrži i tri digire te četiri ravnine simetrije. Trigonski sustav se često promatra kao podvrsta heksagonskog. Ako rešetka kao element simetrije posjeduje heksagiru, dobivamo heksagonski sustav. Holoedrija heksagonskog sustava kao elemente simetrije uz heksagiru posjeduje i šest digira i sedam ravnina simetrije. Pri postojanju jedne tetragire imamo tetragonski sustav; u holoedriji se uz nju pojavljuju i četiri digire i četiri ravnine simetrije. Jediničnu ćeliju tetragonskog sustava možemo zamisliti kao uspravnu kvadratnu prizmu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

42 Trigonski sustav dobivamo kad rešetka kao element simetrije posjeduje jednu trigiru. Pokazuje se da se tada primitivna baza može odabrati tako da su njeni vektori iste duljine i svaka dva zatvaraju isti (ali ne pravi) kut. Holoedrija trigonskog sustava sadrži i tri digire te četiri ravnine simetrije. Trigonski sustav se često promatra kao podvrsta heksagonskog. Ako rešetka kao element simetrije posjeduje heksagiru, dobivamo heksagonski sustav. Holoedrija heksagonskog sustava kao elemente simetrije uz heksagiru posjeduje i šest digira i sedam ravnina simetrije. Pri postojanju jedne tetragire imamo tetragonski sustav; u holoedriji se uz nju pojavljuju i četiri digire i četiri ravnine simetrije. Jediničnu ćeliju tetragonskog sustava možemo zamisliti kao uspravnu kvadratnu prizmu. Kubični sustav kao elemente simetrije holoedrije posjeduje tri medusobno okomite tetragire, četiri trigire, šest digira te devet ravnina simetrije. Jedinična ćelija je oblika kocke. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

43 Sedam kristalnih sustava Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

44 Kako prepoznati iz kojeg sustava je naš kristal? Karakteristične za kubični sustav su četiri trigire (eventualno rotoinverzne). Ako kristal kubičnog sustava posjeduje tetragiru kao element simetrije, onda ih ima četiri. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

45 Kako prepoznati iz kojeg sustava je naš kristal? Karakteristične za kubični sustav su četiri trigire (eventualno rotoinverzne). Ako kristal kubičnog sustava posjeduje tetragiru kao element simetrije, onda ih ima četiri. Tetragonski sustav prepoznajemo po točno jednoj tetragiri, heksagonski sustav po točno jednoj heksagiri, a trigonski po točno jednoj trigiri. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22

46 Kako prepoznati iz kojeg sustava je naš kristal? Karakteristične za kubični sustav su četiri trigire (eventualno rotoinverzne). Ako kristal kubičnog sustava posjeduje tetragiru kao element simetrije, onda ih ima četiri. Tetragonski sustav prepoznajemo po točno jednoj tetragiri, heksagonski sustav po točno jednoj heksagiri, a trigonski po točno jednoj trigiri. Triklinski sustav prepoznajemo po odsustvu svih elemenata simetrije osim eventualno centra simetrije, a monoklinski po jednoj ravnini simetrije i/ili jednoj digiri. Za preostali rompski sustav karakteristične su tri medusovno okomite digire ili jedna digira kojom prolaze dvije medusobno okomite ravnine simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad / 22