Predavanja iz Elementarne geometrije

Transcript

1 Predavanja iz Elementarne geometrije Jurica Perić 2017./2018.

2 Sadržaj Povijesni pregled ii 1. Planimetrija - geometrija ravnine Aksiomi euklidske geometrije ravnine Aksiomi incidencije Aksiomi uredaja Aksiomi metrike Aksiomi simetrije Aksiom o paralelama Neka svojstva izometrija i osnih simetrija Kutovi Aksiom o paralelama Neki poučci o kutovima Sukladnost trokuta Sličnost trokuta Neki teoremi o kružnici Tangencijalni i tetivni četverokut Poligoni i površina Poligoni Površina poligona Stereometrija - geometrija prostora Aksiomi euklidske geometrije prostora Poliedri i

3 Povijesni pregled Po mišljenju mnogih povjesničara znanosti, matematika se razvila iz planimetrije - geometrije ravnine. Riječ geometrija potječe od grčke riječi γεωµετ ρια što znači zemljomjerstvo (grč. geo = Zemlja, metria = mjerenje), no nisu Grci prvi koji su se njome bavili. Zabilježeno je da su se geometrijom bavili još stari Egipćani (20. st. pr. Kr.). Primjenjivali su je pri odredivanju meda zemljišnih parcela poslije svake poplave Nila, pri gradnji kanala za natapanje, pri gradnji grandioznih hramova i piramida, pri klesanju sfinga i slično. Egipćani su znali točne formule za površinu trokuta, pravokutnika i trapeza, a kod površine kruga za broj π su koristili približnu vrijednost No do svih tih znanja su dolazili empirijski izvodeći iz toga neke opće zaključke. Stoljećima se geometrija razvijala upravo tako, kao induktivna znanost, znanost u kojoj se empirijskim putem dolazilo do pojedinačnih spoznaja iz kojih su se zatim indukcijom izvodile opće tvrdnje. Geometriju su, čistom, teorijskom, apstraktnom znanošću učinili Grci u razdoblju od stoljeća prije Krista. Prvi poznati grčki matematičar koji se bavio geometrijom bio je Tales iz Mileta (7. st.pr.kr.). Sljedeći veliki korak u razvoju geometrije je napravio Pitagora (6. st.pr.kr.), a geometrija se učila i u Platonovoj školi (5. st.pr.kr.). Platon je zahtijevao da se u geometriju uvede deduktivnost i stroga logičnost koja je postojala u njegovim filozofskim djelima. Konačno, Aristotel (4. st.pr.kr.) je postavio opći deduktivno-logički sustav izgradnje neke znanosti (Aristotelova logika) i time stvorio teorijske temelje na kojima se potom mogla zasnovati stroga deduktivnost geometrije, tj. izgraditi njezina aksiomatika. Prvu aksiomatiku geometrije je dao Euklid (330. pr.kr pr.kr.). U svom poznatom djelu Elementi, koji se sastoji od 13 knjiga, Euklid je sistematski izložio gotovo čitavu grčku matematiku svoga vremena, a današnja elementarna geometrija se u malo čemu razlikuje od geometrije izložene u tom djelu. Naime, u Euklidovim Elementima je geometrija prezentirana kao deduktivna disciplina jer je izgradena u duhu Platonove i Aristotelove formalno-logičke koncepcije. Prema toj koncepciji, najprije se utvrde osnovni pojmovi, koji se ne definiraju, a zatim odaberu temeljne činjenice (postulati i aksiomi), tj. tvrdnje koje se po dogovoru uzimaju kao istinite i njihova istinitost se ne dokazuje. Na temelju toga se formalno-logičkom dedukcijom dokazuju nove tvrdnje i definiraju se novi, izvedeni pojmovi. Sustav aksioma koje je on postavio bio je prilično nedorečen, osnovne pojmove nije eksplicite naveo, mada se iz postavljenih postulata i aksioma može naslutiti koje je pojmove smatrao osnovnima. Poslije su postavljeni savršeniji sustavi aksioma geometrije od onog kojeg je postavio Euklid; posebno se tu izdvaja Hilbertova aksiomatika geometrije ( ), dok se u novije vrijeme najčešće koristi tzv. metrička aksiomatika- od nje ćemo mi krenuti. Postoji još i aksiomatika u kojima je ii

4 POVIJESNI PREGLED iii osnovni pojam gibanje, kao i vektorska aksiomatika i sve su one u skladu s načelima suvremene aksiomatike koja nalažu sljedeće: Aksiomatsko zasnivanje bilo koje matematičke teorije u početku traži da se odrede osnovni pojmovi i osnovne tvrdnje - aksiomi. Pomoću osnovnih pojmova definiraju se svi ostali izvedeni pojmovi te teorije, a sve tvrdnje se dokazuju iz aksioma ili već dokazanih tvrdnji. Za odabrani sustav aksioma moraju vrijediti sljedeća tri načela: načelo neprotuslovnosti, načelo potpunosti i načelo nezavisnosti. Za sustav aksioma {A 1,...,A n } teorije A kažemo da je neprotuslovan ako se iz tih aksioma ne mogu dokazati medusobno suprotne tvrdnje T i T, tj. istinita je točno jedna od sljedećih tvrdnji: {A 1,..., A n } T ili {A 1,..., A n } T. Smatramo da je aksiomatika potpuna ako su svaka dva modela te teorije izomorfna, tj. ako, do na izomorfizam, postoji jedan jedini model te teorije. Ako postoje dva neizomorfna modela smatra se da sustav aksioma nije potpun. Načelo potpunosti katkad zovemo i načelom kategoričnosti. Načelo nezavisnosti znači da se ni jedan aksiom ne može dokazati pomoću ostalih aksioma, tj. svaki aksiom mora biti neizvediv od ostalih. Dakle, sustav aksioma {A 1,..., A n } je nezavisan ako vrijedi A 1,..., A i 1, A i+1,..., A n A i, za svaki i = 1,..., n. Nezavisnost aksioma A i u sustavu aksioma {A 1,..., A n } obično se provjerava tako da se nade neki model u kojem vrijede svi aksiomi osim njega, tj. model sustava aksioma {A 1,..., A i 1, A i+1,..., A n }, i provjeri je li izomorfan modelu sustava {A 1,..., A n }.

5 Poglavlje 1. Planimetrija - geometrija ravnine 1. Aksiomi euklidske geometrije ravnine 2. Neka svojstva izometrija i osnih simetrija 3. Rotacija i centralna simetrija 4. Kutovi 5. Neki poučci o kutovima 6. Sukladnost trokuta 7. Neki poučci o trokutima i četverokutima 8. Sličnost trokuta 9. Četiri karakteristične točke trokuta 10. Neki teoremi o kružnici 11. Tangencijalni i tetivni četverokut 1.1. Aksiomi euklidske geometrije ravnine 1

6 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 2 Euklidska ravnina ili kraće ravnina je skup M čije elemente nazivamo točkama (označavat ćemo ih velikim slovima A, B,...), a neke njezine istaknute podskupove nazivamo pravcima (označavat ćemo ih malim slovima p, q...). Točka i pravac su osnovni pojmovi u aksiomatskoj izgradnji planimetrije. Ravninu obično predstvaljamo sa M Ta dva tipa objekata zadovoljavaju pet grupa aksioma: I. Aksiome incidencije ili pripadanja II. Aksiome uredaja III. Aksiome metrike IV. Aksiome simetrije V. Aksiom o paralelama Aksiomi incidencije Relacija incidencije ili pripadanja je osnovna relacija. Oznaka A M znači da točka A pripada ili leži u ravnini M, a oznaka A p da točka A pripada ili leži na pravcu p. Za pravac p M kažemo da pripada ili leži u ravnini M. Aksiom I-1. Za svake dvije različite točke A, B M postoji jedinstveni pravac iz M kojemu one pripadaju. Taj se pravac označava sa AB. Aksiom I-2. Na svakom pravcu leže barem tri različite točke. Aksiom I-3. Postoje tri nekolinearne točke, tj. tri točke koje ne leže na istom pravcu. Iz Aksioma I-3 slijedi da su pravci pravi podskupovi ravnine M, tj. smijemo pisati p M Aksiomi uredaja Aksiom II-1. Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva medusobno suprotna linearna uredaja. Označimo linearne uredaje iz Aksioma II-1 sa i. Za pravac p M kažemo da je orijentiran ako smo na njemu odabrali jedan od ta dva linearna uredaja kao uredaj pozitivnog smjera. Njemu suprotan uredaj je tada uredaj negativnog smjera. Na slikama se obično pozitivni smjer orijentiranog pravca označava strelicom.

7 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 3 Aksiom II-1 nam omogućava da definiramo pojam ležati izmedu, te pomoću njega pojam polupravca i dužine. Neka su A, B M dvije različite točke ravnine M. Po Aksiomu I-1 postoji jedinstveni pravac AB na kojemu leže točke A i B. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je A B. Kažemo da točka T AB leži izmedu točaka A i B ako je A T B. Kažemo da točke A i B leže sa suprotnih strana točke T AB ako je A T B, tj. ako točka T leži izmedu točaka A i B. Za točke A i B kažemo da leže s iste strane točke T AB ako je T A B ili A B T. Definicija Neka je p M proizvoljan pravac ravnine M i A p proizvoljna točka pravca p. Skup svih točaka T pravca p koje leže s iste strane točke A, uključujući u taj skup i točku A, nazivamo polupravcem s vrhom u točki A i označavamo sa Ax. Pravac na kojemu leži polupravac Ax označavamo sa (Ax). Primijetimo da su na proizvoljnom pravcu definirana točno dva različita polupravca s vrhom u nekoj njegovoj zadanoj točki A. Takve polupravce koji leže na istom pravcu i imaju isti vrh, a ne podudaraju se, nazivamo komplementarnim polupravcima. Polupravac je jednoznačno odreden vrhom A i još jednom njegovom točkom B različitom od A. Definicija Neka su A, B M dvije točke ravnine M i p M pravac na kojemu leže točke A i B. Skup {T p: A T B} nazivamo dužinom i označavamo AB. Točke A i B nazivamo krajevima ili rubnim točkama dužine AB, a točke koje leže izmedu točaka A i B nazivamo unutarnjim točkama dužine AB. Primjedba Primijetimo da je po definiciji točka takoder dužina. Definicija Za skup K M kažemo da je konveksan ako za svake njegove dvije točke A, B K vrijedi da je AB K. Prazan skup je po definiciji konveksan. Iz tranzitivnosti uredaja odmah slijedi da su dužina, polupravac i pravac konveksni skupovi (dokazati za DZ). Primjedba Presjek konačno mnogo konveksnih skupova je konveksan skup... dokazati za DZ. Takoder, presjek proizvoljno mnogo konveksnih skupova je konveksan skup.

8 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 4 Definicija Neka je S proizvoljan podskup ravnine M. Konveksna ljuska od S, u oznaci conv S, je presjek svih konveksnih skupova iz M koji sadrže S. Primijetimo da je konveksna ljuska nekog skupa konveksan skup (jer je presjek konveksnih skupova konveksan skup). Konveksna ljuska je, dakle, najmanji (u smislu relacije inkluzije ) konveksan skup koji sadrži S. Na primjer: Ako je S = {A, B}, onda je conv S = AB, tj. konveksna ljuska dviju različitih točaka A i B je dužina AB. Definicija Neka su A, B, C tri različite nekolinearne točke i = {A, B, C}. Konvesnu ljusku od nazivamo trokutom i označavamo conv = ABC. Točke A, B, C nazivamo vrhovima toga trokuta, a dužine AB, BC i CA stranicama trokuta. Aksiom II-2. (Paschov aksiom) Ako pravac siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda on siječe barem još jednu stranicu toga trokuta. Iz ovog odmah slijedi da pravac koji siječe trokut, a ne prolazi niti jednim njegovim vrhom, mora sjeći točno dvije stranice toga trokuta. Naime vrijedi: Propozicija Ako pravac siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim njegovim vrhom, onda on siječe točno još jednu stranicu toga trokuta. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da pravac p ne prolazi niti jednim vrhom trokuta ABC, a siječe sve tri njegove stranice. Neka je P BC p, Q AC p i R AB p.

9 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 5 C A B Točke P, Q i R su tri medusobno različite točke pravca p i bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da točka P leži izmedu točaka Q i R, tj. da je P QR. Gledamo trokut ARQ i pravac BC. Budući je P BC, to je P QR BC, pa pravac BC siječe dužinu QR u točki P. No, pravac BC ne siječe dužinu AQ (AQ AC, C BC AC, a C / AQ jer je Q unutarnja točka dužine AC) i ne siječe dužinu AR (AR AB, a B BC AB,a B / AR jer je R unutarnja točka dužine AB) što je kontradikcija s Paschovim aksiomom za trokut AQR i pravac BC. Primjedba Razmisliti: ako u prethodnom dokazu pravac BC siječe pravac AC u točki C, zašto ne može siječi dužinu AQ? Aksiomi metrike Funkciju d: M M R nazivamo metrikom ili razdaljinskom funkcijom na M ako vrijedi: Aksiom III-1. ( A, B M) d(a, B) 0 i d(a, B) = 0 A = B. Aksiom III-2. ( A, B M) d(a, B) = d(b, A). Aksiom III-3. ( A, B, C M) d(a, B) d(a, C) + d(c, B) i pri tomu znak jednakosti vrijedi ako i samo ako je C AB. Aksiom III-4. Za svaki polupravac Ox i za svaki realan broj a > 0 postoji jedinstvena točka T na tom polupravcu takva da je d(o, T ) = a. Broj d(a, B) nazivamo udaljenošću točaka A i B ili duljinom dužine AB i označavamo sa AB. Aksiom III-3 stoga možemo izreći i ovako: Zbroj duljina dviju stranica trokuta uvijek je veći od duljine treće stranice. To je razlog zašto se Aksiom III-3 naziva još i nejednakost trokuta. Često umjesto duljina stranice kažemo samo stranica, pa Aksiom III-3 skraćeno glasi: Zbroj dviju stranica trokuta veći je od preostale treće stranice.

10 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 6 Metrika nam omogućava da definiramo pojam izometrije. Definicija Reći ćemo da je preslikavanje f : M M izometrija ravnine M ako je d(f(a), f(b)) = d(a, B) za sve A, B M. Odmah se vidi da je svaka izometrija injekcija i da je kompozicija izometrija opet izometrija. Naime, f(a) = f(b) AIII-1 d(f(a), f(b)) = 0 izom. d(a, B) = 0 AIII-1 A = B. Nadalje, ako su f i g izometrije ravnine M, onda je d ((g f) (A), (g f) (B)) = d (g (f (A)), g (f (B))) g izom = d (f (A), f (B)) f izom = d (A, B), pa je kompozicija g f izometrija od M. Primijetimo da je identiteta id M : M M primjer izometrije ravnine M. Definicija Neka je f : M M izometrija. Reći ćemo da je točka T M fiksna točka izometrije f ako je f(t ) = T Aksiomi simetrije Aksiom IV-1. Za svaki pravac p M postoji jedinstvena izometrija s p : M M različita od id M za koju je s p (T ) = T, za svaki T p. Ta se izometrija zove osna simetrija obzirom na pravac p, a pravac p se zove os simetrije. Osna simetrija s p djeluje kao presavijanje ravnine po pravcu p ili zrcaljenje obzirom na pravac p. Aksiom IV-2. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca s vrhom u točki O postoji barem jedan pravac p takav da je s p (Ox) = Oy.

11 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 7 Poslije ćemo pokazati da je takav pravac jedinstven (Propozicija 1.8.). Neka je u ravnini M dan pravac p. Definirajmo binarnu relaciju ρ na M \ p na način: AρB ako vrijedi AB p =. Na slici vidimo AρB i A /ρc. Propozicija Relacija ρ na skupu M \p je relacija ekvivalencije koja skup M \p rastavlja na dvije klase ekvivalencije. Dokaz. Refleksivnost... AρA, jer A M \ p (koristimo AA = A). Simetričnost... AρB AB p = BA p = BρA. Tranzitivnost... treba dokazati da ako su A, B, C M \ p takve da je AB p = i BC p =, onda je i AC p =. Pretpostavimo suprotno, tj. da vrijedi AC p. Medutim ako pravac p siječe stranicu AC trokuta ABC, onda prema Paschovom aksiomu mora siječi barem još jednu stranicu tog trokuta, što dovodi do kontradikcije (pretpostavka je da vrijedi AB p =, BC p = ). slijedi da stvarno vrijedi AC p = i dokazali smo tranzitivnost. Primijetimo da tranzitivnost nismo niti trebali dokazivati jer je prethodna tvrdnja ekvivalentna Paschovom aksiomu, jer je ona njegov obrat po kontrapoziciji. Stoga tvrdnja vrijedi, pa je relacija ρ i tranzitivna. Dokazali smo da je ρ je relacija ekvivalencije na skupu M \ p. Dokažimo još da postoje točno dvije klase ekvivalencije ρ. Uzmimo neku točku P p i povucimo kroz tu točku pravac q različit od p (takav postoji jer po Aksiomu I-3 postoje tri nekolinearne točke). Sada na pravcu q odaberimo točke A 1 i A 2 koje leže s različitih strana točke P i za koje je d(p, A 1 ) = d(a 2, P ) = 1 (takve postoje po Aksiomu III-4).

12 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 8 Točke A 1 i A 2 ne pripadaju pravcu p (u protivnom je q = p), pa su A 1, A 2 M \p i A 1 A 2 p = {P }, što znači da A 1 /ρa 2, tj. [A 1 ] [A 2 ]. Dakle, postoje barem dvije različite klase evivalencije ρ. Pokažimo da su to i jedine dvije klase. Neka je T M \ p bilo koja točka skupa M \ p. Razlikujemo dva slučaja: (a) Ako je T q, onda se točka T mora nalaziti s iste strane točke P s koje se nalazi točka A 1 ili točka A 2, pa je T [A 1 ] ili je T [A 2 ]. (b) Ako je T / q, onda točke T, A 1 i A 2 definiraju trokut T A 1 A 2 i pravac p ne prolazi niti jednim vrhom toga trokuta. Budući pravac p siječe A 1 A 2, to p siječe još točno jednu od dužina T A 1 i T A 2 (po Propoziciji 1.1.), pa je T [A 1 ] ili je T [A 2 ]. Time smo pokazali da ρ definira točno dvije klase ekvivalencije ρ. Definicija Klasu relacije ekvivalencije ρ nazivamo poluravninom odredenom pravcem p. Zatvorena poluravnina je unija poluravnine i pripadnog graničnog pravca p. Znamo da je preslikavanje d : R R R definirano sa d(x, y) = x y, za sve x, y R, metrika na R. Pokažimo sada da je svaki pravac iz M izometričan brojevnom pravcu R s obzirom na ovu metriku, tj. da postoji bijekcija f : M R za koju je udaljenost točaka jednaka udaljenosti njihovih slika. Propozicija Za svaki orijentirani pravac p M i za svaku točku O p postoji jedinstvena rastuća bijekcija f : p R takva da je f(o) = 0 i d (f (A), f (B)) = f(a) f(b) = d(a, B), za sve A, B p. Napomena Primjetimo da ako je funkcija rastuća bijekcija, onda je i strogo rastuća. Dokaz. Neka su Ox = {T p : O T } i Ox = {T p : T O} dva polupravca odredena pravcem p s vrhom u točki O. Definirajmo funkciju f : p R na sljedeći način { d(o, T ), T Ox, f(t ) = d(o, T ), T Ox. Dokažimo da funkcija f ima tražena svojstva. f(o) = 0 Kako je O Ox, slijedi f(o) = d(o, O) = 0. Za O Ox dobijamo takoder f(o) = d(o, O) = 0 (primijetimo da smo dokazali i da je funkcija f dobro definirana). f izometrija Podijelit ćemo po slučajevima. Npr. ako je A, B Ox, A B, tada imamo d(f(a), { f(b)) = f(a) f(b) = d(o, A) d(o, B) } = koristimo nejednakost trokuta d(o, B) = d(o, A) + d(a, B) = d(a, B) = d(a.b). Slično ako je A Ox, B Ox, imamo d(f(a), f(b)) = f(a) f(b) =

13 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 9 d(o, A) d(o, B) = d(o, A) + d(o, B) = d(a, B) = d(a.b). Ostale slučajeve sami. f bijekcija Kako je f izometrija, prema prije dokazanom f je injekcija. Preostalo nam je dokazati surjektivnost. Uzmimo t R. Ako je t > 0, prema Aksiomu III-4 postoji A Ox t.d. d(o, A) = t, tj. f(a) = t. Ako je t < 0, takoder prema Aksiomu III-4 postoji A Ox t.d. d(o, A) = t, tj. f(a) = t. Ako je t = 0 znamo da za O vrijedi f(o) = 0. f rastuća Neka je A B. Ponovo podijelimo na slučajeve. Npr. ako je A, B Ox, tada imamo d(o, B) = d(o, A) + d(a, B) d(o, A), tj. f(a) f(b). Ako je A Ox, B Ox, tada imamo f(a) 0, f(b) 0, tj. f(a) f(b). Ostale slučajeve sami. Jedinstvenost takve funkcije Pretpostavimo da funkcija g koja zadovoljava svojstva kao u izreci Propozicije. Neka je A Ox. Tada vrijedi d(o, A) = d(g(o), g(a)) = d(o, g(a)). S druge strane vrijedi i d(o, A) = d(f(o), f(a)) = d(o, f(a)). Sada imamo da su f(a) i g(a) jednako udaljene od 0 na brojevnom pravcu R.. Kako su f i g rastuće vrijedi i da se f(a) i g(a) nalaze na pozitivnom dijelu brojevnog pravca. Slijedi da je f(a) = g(a), A Ox. Analogno se dokaže i za A Ox, tj. vrijedi f g. Realan broj f (T ) nazivamo apscisom točke T p na orijentiranom pravcu p. Korolar Za svake dvije različite točke A, B M postoji jedinstvena točka C na pravcu AB takva da je d(a, C) = d(b, C) i točka C leži izmedu točaka A i B. Dokaz. Ako orijentiramo pravac AB tako da je A B, onda je po Aksiomu III-4 točka C Ax = {T AB : A T } jednoznačno odredena jednakošću d(a, C) = 1 d(a, B). 2 Budući da točka C leži na polupravcu Ax, to je A C, tj. točka A ne leži izmedu točaka B i C. Takoder, točka B ne može ležati izmedu točaka A i C jer bi tada, po Aksiomu III-3, vrijedilo d(a, C) = d (A, B) + d(b, C) d(b,c) 0 d (A, B) što je kontradikcija sa d(a, C) = 1 d(a, B) < d(a, B). Stoga C leži izmedu točaka 2 A i B, te vrijedi d(a, B) = d (A, C) + d(c, B) d(a,c)= 1 2 d(a,b) d(a, C) = d(b, C) Definicija Točku C koja leži na pravcu AB i za koju je d(a, C) = d(b, C) nazivamo polovištem dužine AB.

14 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE Aksiom o paralelama Aksiom V-1. Točkom van danog pravca prolazi najviše jedan pravac koji dani pravac ne siječe. Ovim aksiomom je dovršena aksiomatika Euklidske geometrije ravnine. Ovako aksiomatski definirana Euklidska geometrija ima apstraktni karakter i kao takva dopušta realizaciju u različitim modelima. Tako bi jedan njezin model bio model u kojem je osnovni prostor euklidska polusfera bez glavne kružnice, točke su točke te polusfere, a pravci glavne polukružnice. No, intuitivno najbliži model je onaj koji su koristili još stari Grci i koji je svakom čovjeku jasan i prepoznatljiv. To je tzv. klasični model u kojem se ravnina shvaća kao ravna neograničena ploha (poput neograničenog lista papira), točke kao njezini beskonačno mali nedjeljivi dijelovi, a pravci kao neograničene ravne crte. Definirajući geometriju ravnine aksiomatski, Euklid ju je apstrahirao i odvojio od klasičnog modela u kojem je početno bila realizirana. No, unatoč tomu što se aksiomatskom postavkom geometrija ravnine može predočiti u različitim modelima, klasični model je ostao najprihvaćeniji i najprisutniji jer je intuitivno čovjeku najbliži i najjasniji. Napomena Aksiom V-1 se zove Playfairov oblik Euklidovog petog postulata. Izvorno, peti Euklidov postulat o paralelama glasi: Ako pravac koji siječe dva druga pravca tvori s njima s iste strane unutarnje kutove čiji je zbroj manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca neograničeno produžena sastaju s one strane na kojoj je taj zbroj manji od dva prava kuta. Taj postulat nije toliko očigledan i ne može se iskustveno provjeriti. Osim toga, ima dugu i kompliciranu formulaciju, pa je vrlo brzo postavljena hipoteza da to i nije postulat, nego teorem kojega bi trebalo dokazati iz ostalih Euklidovih postulata i aksioma. Danas je poznato nekoliko stotina vrlo ozbiljnih pokušaja dokaza petog Euklidovog postulata, i to od strane vrsnih matematičara. Bez obzira na neuspjeh svih tih pokušaja dokazivanja petog postulata, do početka 19. stoljeća nitko nije sumnjao u istinitost Euklidova postulata o paralelama i cijele geometrije. Da bi se riješio taj problem bio je potreban novi matematički genij, netko sposoban uhvatiti se u koštac sa starim uvjerenjima i novim poimanjem problema. Takav je bio Nikolaj Ivanovič Lobačevski. Kao i mnogi drugi matematičari, i Lobačevski je najprije pokušao dokazati peti postulat. U svojim je istraživanjima najprije obradio onaj dio geometrije koji se može izvesti bez upotrebe petog postulata. Zatim je pretpostavio da je kroz jednu točku izvan pravca moguće povući više pravaca koji zadani pravac na presijecaju (tzv. aksiom Lobačevskog). Ako je peti postulat posljedica drugih Euklidovih aksioma, onda bi ova njegova negacija trebala dovesti do proturječnosti. Medutim, polazeći od te tvrdnje i izvodeći iz nje nove zaključke, Lobačevski je utvrdio da tu nema nikakvog logičkog proturječja, već dobiveni zaključci i rezultati formiraju novu logičnu i skladnu geometriju, drukčiju od Euklidove. To ga je uvjerilo da peti postulat ne ovisi o drugim aksiomima Euklidove geometrije, da ne proizlazi ih njih, pa ga stoga nije moguće ni dokazati. Tako je riješen problem petog postulata. Novu geometriju Lobačevskog Gauss je nazvao neeuklidovom, a mi je danas nazivamo hiperboličkom geometrijom. Iako otkriće neeuklidske geometrije ide u red najvećih otkrića u povijesti mate-

15 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 11 matike, njegovi ga suvremenici nisu priznali, a njegova geometrija je bila dočekana s potpunom ravnodušnošću, čak s ironijom. Samo su dvojica njegovih suvremenika podržavali njegove ideje: János Bolyai i Gauss. Lobačevski je preminuo godine nepriznat i zaboravljen, ali već 70-ih godina 19. st. njegovo je ime bilo poznato matematičarima diljem svijeta i njegova se geometrija počela ubrzano razvijati. Poslije su se proučavale i druge geometrije koje su se razvile na osnovu aksioma da se svi pravci sijeku, tj. da točkom izvan danog pravca ne prolazi ni jedan pravac koji ne siječe dani pravac. Tako je nastala tzv. Riemannova eliptička geometrija. Napomena Rezultate dobivene na osnovu prve četiri skupine tih aksioma nazivamo apsolutnom geometrijom ravnine i oni su neovisni o tome je li točkom van pravca možemo povući jedan i samo jedan pravac ili pak više pravaca koji ne sijeku dani pravac. Da bi završili aksiomatizaciju Euklidske geometrije ravnine potreban je i Euklidov aksiom o paralelama. No, dodamo li aksiomima apsolutne geometrije, umjesto Euklidov aksiom o paralelama, aksiom Lobačevskog dobivamo aksiomatiku hiperboličke geometrije Neka svojstva izometrija i osnih simetrija Definirali smo izometrije ravnine i posebno istakli osne simetrije s p ( id M ) kao izometrije kojima su sve točke osi simetrije p fiksne točke. Pokazali smo da su izometrije injekcije, a ubrzo ćemo pokazati i da su izometrije surjekcije, dakle bijekcije. No, najprije primijetimo da izometrije čuvaju relaciju biti izmedu iz čega odmah slijedi da čuvaju i kolinearnost točaka. Naime, ako točka B leži izmedu točaka A i C, onda po Aksiomu III-3 slijedi da je d(a, B) + d(b, C) = d(a, C). Ako je f izometrija, onda je to ekvivalentno sa d(f(a), f(b)) + d(f(b), f(c)) = d(f(a), f(c)), a to povlači (opet po Aksiomu III-3) da točka f(b) leži izmedu točaka f(a) i f(c). No, ovo znači da su te točke i kolinearne, pa izometrije čuvaju i kolinearnost točaka. Štoviše, poslije ćemo dokazati da je izometrična slika pravca opet pravac. Propozicija Neka je f : M M izometrija. Tada vrijedi: (a) Ako su A i B različite fiksne točke izometrije f, onda je i svaka točka pravca AB fiksna točka od f. (b) Ako je f(a) = B i f(b) = A, onda je polovište dužine AB fiksna točka od f. (c) Ako su A, B, C M tri nekolinearne fiksne točke izometrije f, onda je f identiteta. Dokaz. (a) : Neka su A i B fiksne točke izometrije f i neka je T AB. Tada vrijedi d (A, T ) = d (f (A), f (T )) = d (A, f (T )) i d (B, T ) = d (f (B), f (T )) = d (B, f (T )), pa je f (T ) = T jer je svaka točka pravca jednoznačno odredena svojim udaljenostima od dviju različitih točaka toga pravca.

16 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 12 (b) : Neka je f(a) = B i f(b) = A i neka je C polovište dužine AB. Izometrija f čuva kolinearnost točaka, pa je točka f (C) f (A) f (B) = AB. Nadalje, d (B, f (C)) = d (f (A), f (C)) izom. = d (A, C) pol. = d (B, C) = d (f (B), f (C)) = d (A, f (C)), pa je i točka f (C) polovište dužine AB, a zbog jedinstvenosti polovišta slijedi da je f (C) = C. Stoga je C fiksna točka izometrije f. (c) : Neka su A, B, C M tri nekolinearne fiksne točke izometrije f. Tada su sve točke pravaca AB, AC, BC fiksne točke izometrije f (po tvrdnji (a) ove propozicije). Neka je T M bilo koja točka ravnine M koja ne leži na tim pravcima i neka je p pravac koji spaja točku T s jednom unutarnjom točkom dužine BC. Stoga pravac p siječe stranicu BC, pa po Paschovom aksiomu primjenjenom na pravac p i trokut ABC, pravac p siječe još jednu stranicu toga trokuta. No, tada pravac p ima dvije različite fiksne točke, pa su sve točke pravca p fiksne točke izometrije f (po tvrdnji (a) ove propozicije). Budući je T p, to je i T fiksna točka, odnosno, f (T ) = T za sve T M, tj. f = id M. Iz ovoga slijedi: Propozicija Neka su p, p M dva pravca u ravnini M. Ako je s p = s p, onda je p = p. Dokaz. Neka je s p = s p. Pretpostavimo da je p p. Tada postoji točka T p koja ne leži na pravcu p. Odaberimo na pravcu p dvije različite točke A i B. Točke A, B i T su tri nekolinearne fiksne točke osne simetrije s p. Naime, iz A, B p slijedi da su A i B fiksne točke osne simetrije s p, a kako je s p (T ) = s p (T ) T p = T, to je i T fiksna točka od s p. To, po prethodnoj propoziciji (tvrdnja (c)), znači da je s p = id M, što je kontradikcija s pretpostavkom da je s p osna simetrija.

17 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 13 Propozicija Svaka osna simetrija s p je involucija, tj. s p s p = id M. Posebno, s p je bijekcija čiji je inverz jednak s p, tj. s 1 p = s p. Osna simetrija s p nema drugih fiksnih točaka osim točaka na osi p. Poluravnina odredena pravcem p se osnom simetrijom s p preslikava u drugu poluravninu odredenu tim istim pravcem. Dokaz. Osna simetrija s p je izometrija ravnine M, pa je i kompozicija s p s p izometrija od M. Budući je svaka točka pravca p fiksna točka izometrije s p s p, to je, po Aksiomu IV-1, s p s p = s p ili je s p s p = id M. No, s p s p s p jer bi u protivnom za sve A M vrijedilo (s p s p ) (A) = s p (A) s p (s p (A)) = s p (A) injek. s p (A) = A, pa bi s p = id M što je nemoguće. Stoga je s p s p = id M, pa je s p bijekcija i s 1 p = s p. Osna simetrija s p nema drugih fiksnih točaka osim točaka pravca p (uprotivnom bi, po Propoziciji 1.4. (tvrdnja (c)), s p bila identiteta). Neka je T M \ p iz jedne poluravnine odredene pravcem p. Onda je polovište P dužine T s p (T ) fiksna točka od s p (s p šalje T u s p (T ), a s p šalje s p (T ) u s p (s p (T )) = T, pa koristimo Propoziciju 1.4. (tvrdnja (b))). Stoga je P p, pa slijedi T s p (T ) p, tj. T /ρs p (T ), što povlači [s p (T )] [T ], tj. s p (T ) i T se nalaze u različitim poluravninama odredenima sa pravcem p. Propozicija Neka su A, B M dvije različite točke ravnine M. Tada postoji jedinstveni pravac p takav da je s p (A) = B i s p (B) = A (osna simetrija koja zamjeni A i B). Dokaz. Egzistencija. Neka je O polovište dužine AB, a Ox (odnosno Oy) polupravac s početkom u točki O koji sadrži točku A (odnosno B). Prema Aksiomu IV-2 postoji pravac p takav da je s p (Ox) = Oy. Iz ovog odmah slijedi da je s p (O) = O (zbog toga što izometrija čuva relaciju biti izmedu, čuva i uredaj, pa ako je O najmanja točka usmjerenog polupravca Ox, onda i njezina slika mora biti najmanja točka usmjerenog polupravca Oy, a to je točka O). Budući je A Ox i s p (Ox) = Oy slijedi s p (A) Oy. Vrijedi i d(o, s p (A)) = d(s p (O), s p (s p (A))) = d(o, A) = d(o, B). Kako je i B Oy prema Aksiomu III-4 slijedi s p (A) = B. Analogno i s p (B) = A (ili koristimo involutarnost osne simetrije).

18 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 14 Jedinstvenost. Neka su p i p pravci za koje je s p (A) = B i s p (B) = A, te s p (A) = B i s p (B) = A. Tada su s p i s p izometrije kojima A i B zamjene mjesta, pa su točke A i B fiksne točke izometrije s p s p. No tada je, po Propoziciji 1.4. (tvrdnja (a)), svaka točka pravca AB fiksna točka izometrije s p s p. Sada je ili s p s p = id M ili s p s p = s AB. Znamo da s AB preslikava poluravnine odredene pravcem AB jednu u drugu. Uzmimo sada C M \ AB. Neka je AC p = {T } (ostali slučajevi sami). BSOMP A C T. Kako izometrija čuva relaciju uredaja slijedi s p (A) s p (C) s p (T ), tj. B s p (C) T. Slijedi da s p čuva poluravninu odredenu sa AB. Analogno dobijamo i da s p čuva poluravninu odredenu sa AB pa i njihova kompozicija s p s p čuva poluravninu odredenu sa AB, pa mora vrijediti s p s p s AB. Sada nam je jedino preostalo s p s p = id M, tj. s p = s p. Sada iz Propozicije 1.5. slijedi da je p = p. Propozicija Neka su Ox i Oy dva polupravca s zajedničkim vrhom O. Tada postoji jedinstveni pravac p koji prolazi točkom O takav da je s p (Ox) = Oy. Primjedba Dokazati za domaću zadaću. Dokaz. Egzistencija pravca p slijedi iz Aksioma IV-2. slijedi da je s p (O) = O, odnosno da je O p. Nadalje, iz s p (Ox) = Oy

19 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 15 Ostaje još dokazati jedinstvenost pravca p. Neka su A Ox, B Oy takve da je d(o, A) = d(o, B) > 0. Iz s p (Ox) = Oy slijedi da je s p (A) = B. Ako je Ox = Oy, onda je A = B, pa je p = OA i Ox p. Ako je Ox Oy, onda je A B, pa je p os simetrije koja zamjeni A i B, a po Propoziciji 1.7. ona je jedinstvena. Iz ove konstrukcije je jasno da je pravac p jedinstven. Definicija Neka su Ox i Oy dva polupravca s zajedničkim vrhom O. Jedinstveni pravac p koji prolazi vrhom O i za kojeg je s p (Ox) = Oy nazivamo simetralom polupravaca Ox i Oy. Propozicija Neka su A, B M dvije različite točke ravnine M. Skup svih točaka iz M koje su jednako udaljene od točaka A i B je os p jedinstvene osne simetrije s p koja zamjeni A i B. Taj pravac nazivamo simetralom dužine AB. Dokaz. Po Propoziciji 1.7. postoji jedinstveni pravac p takav da je s p (A) = B i s p (B) = A. Dokažimo da je p = {T M : d (A, T ) = d (T, B)} Ako je T p, onda je T fiksna točka od s p, pa je d(a, T ) = d(s p (A), s p (T )) = d(b, T ). Stoga je p {T M : d (A, T ) = d (T, B)}. Obratno, neka je T M takva da je d(a, T ) = d(b, T ). Neka je T x polupravac s vrhom u T koji prolazi točkom A, a T y polupravac s vrhom u T koji prolazi točkom B. Po Propoziciji 1.8. postoji jedinstveni pravac q takav da je s q (T x) = T y i T q. Kako je A T x, to je s q (A) T y. Vrijedi i d(t, s q (A)) = d(s q (T ), s q (s q (A))) = d(t, A) = d(t, B). Sada imamo da su s q (A) i B točke na istom polupravcu i jednako su udaljene od vrha tog polupravca. Sada prema Aksiomu III-4 vrijedi s q (A) = B, a onda je p = q (zbog jedinstvenosti osne simetrije koja zamjeni A i B), pa je T p, tj. Dakle, vrijedi {T M : d (A, T ) = d (T, B)} p. p = {T M : d (A, T ) = d (T, B)}.

20 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 16 Primjedba Simetrala dužine AB prolazi polovištem dužine AB. Definicija Kažemo da je pravac p M okomit ili ortogonalan na pravac q M, i pišemo p q, ako je p q i s p (q) = q. Propozicija Relacija je simetrična relacija na skupu svih pravaca u ravnini. Simetrala dužine AB je okomita na pravac AB. Dokaz. Neka je q p, tj. q p, s q (p) = p. Neka je A p \ q (postoji, jer q p), te neka je s q (A) = B. Očito, B A (jer A / q) i B p (jer A p). Kako je s q (B) = s q (s q (A)) = A (involutarnost osne simetrije) slijedi da je polovište P dužine AB p fiksna točka od s q. Takoder, kako je q os osne simetrije koja zamijeni mjesta od A i B, a takva os je jedinstvena, slijedi da je q simetrala dužine AB. Sada iz q p, AB p imamo da je simetrala dužine AB okomita na AB, a iz P q imamo da simetrala dužine AB prolazi polovištem dužine AB. Kako je q simetrala dužine AB, slijedi d(a, T ) = d(b, T ), T q. d(s p (A), s p (T )) = d(a, T ) = d(b, T ) = d(s p (B), s p (T )), T q. Kako su A, B p, slijedi d(a, s p (T )) = d(b, s p (T )), T q, tj. s p (q) je simetrala dužine AB. Kako je simetrala dužine jedinstvena, slijedi da je s p (q) = q, tj. p q. Iz prethodnog dokaza je jasno da vrijedi: Propozicija Kroz svaku točku A M ravnine M prolazi točno jedan pravac okomit na dani pravac p M. Primjedba Dokazati za domaću zadaću. Dokaz. Ako A / p, onda traženi pravac prolazi točkom B = s p (A), pa to može biti samo pravac AB. Naime, slika pravca AB pri osnoj simetriji s p je pravac s p (A)s p (B) = BA, tj. s p (AB) = AB, pa je AB p.

21 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 17 Ako je A p, onda je tražena okomica os jedine osne simetrije koja zamjenjuje dva polupravca pravca p s vrhom u točki A (Propozicija 1.8.). Theorem (Osnovni teorem o izometrijama) Svaka izometrija f : M M je ili osna simetrija ili kompozicija najviše triju osnih simetrija. Dokaz. Neka je f : M M proizvoljna izometrija. Ako je f = id M, onda je f = s p s p, za proizvoljan pravac p M. Stoga pretpostavimo da je f id M. Tada postoji točka A M takva da je f(a) = A A. Neka je a simetrala dužine AA. Tada za izometriju g : M M, g = s a f, vrijedi g(a) = (s a f)(a) = s a (f(a)) = s a (A ) sa(a )=A = A, pa je g izometrija kojoj je A fiksna točka. Ako je g = id M, onda je s a f = id M f = (s a ) 1 = s a. Ako je g id M, onda postoji B M takva da je g(b) = B B. Budući je g(a) = A i g(b) B, to je A B. Neka je b simetrala dužine BB. Stoga je s b (B) = B, s b (B ) = B. Promotrimo izometriju h: M M, h = s b g. Vrijedi pa je A b i Dakle, A je fiksna točka za h. Nadalje, d(a, B) = d(g(a), g(b)) = d(a, B ), h(a) = (s b g)(a) = s b (g(a)) = s b (A) = A. h(b) = (s b g)(b) = s b (g(b)) = s b (B ) = B, pa je i B fiksna točka izometrije h. Ako je h = id M, onda je id M = h = s b g = s b s a f f = s a s b. Ako je pak h id M, onda je pravac c = AB fiksni pravac izometrije h (jer su joj A i B fiksne točke) i to su jedine fiksne točke od h (inače bi h bila identiteta). Stoga je h = s c, pa je s c = s b g = s b s a f f = s a s b s c. Time je teorem dokazan. Navedimo nekoliko posljedica ovog teorema. Korolar Svaka izometrija f ravnine M je bijekcija. Dokaz. Svaka osna simetrija je bijekcija, a kompozicija konačno mnogo bijekcija je bijekcija. Tvrdnja sada slijedi iz prethodnog teorema. Korolar Ako je f : M M izometrija, onda je i f 1 : M M izometrija.

22 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 18 Dokaz. Prvo primijetimo da kako je f izometrija, onda je bijekcija, pa postoji f 1. Za izometriju f vrijedi jedno od sljedećeg: f = s a f 1 = s 1 a = s a, f = s a s b f 1 = s 1 b s 1 a = s b s a, f = s a s b s c f 1 = s 1 c s 1 b s 1 a = s c s b s a. Iz ovog slijedi da je f 1 izometrija. Korolar Ako se dvije izometrije f, g : M M podudaraju u tri nekolinearne točke, onda je f = g. Dokaz. Neka su A, B, C M tri nekolinearne točke za koje je f (A) = g (A), f (B) = g (B) i f (C) = g (C). Tada je h = g 1 f izometrija kojoj su A, B, C fiksne točke. Stoga je h = id M, tj. g 1 f = id M, pa je f = g. Odavde odmah slijedi da je svaka izometrija potpuno odredena vrijednostima na trojki nekolinearnih točaka Kutovi S pojmom kuta je oduvijek u nastavi bilo problema jer se pod njih podrazumijevaju različite stvari. Gledajući ga kao figuru koja se sastoji od dva polupravca sa zajedničkim vrhom, pod pojmom kuta često se misli na dio ravnine, par polupravaca, pa čak i na neku mjeru (kutnu mjeru). Mi ćemo ovdje dati preciznu definiciju kuta. Definicija Kažemo da su parovi polupravaca (Ox, Oy) i (O x, O, y ) kongruentni ako postoji izometrija f ravnine M takva da je f(ox) = O x i f(oy) = O y. Lako se provjeri da je ovako definirana relacija kongruencije relacija ekvivalencije na skupu svih parova polupravaca sa zajedničkim vrhom (dokazati za domaću zadaću).

23 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 19 Pripadne klase ekvivalencije nazivamo neorijentiranim kutovima. Klasu ekvivalencije koja sadrži par (Ox, Oy) označavat ćemo sa xoy := [(Ox, Oy)]. Sa K ćemo označavati skup svih neorijentiranih kutova. Ako je Ox = Oy, tj. ako su Ox i Oy podudarni polupravci, onda neorijentirani kut xoy = xox = [(Ox, Ox)] nazivamo nul - kutom. Ako su polupravci Ox i Oy komplementarni, onda neorijentirani kut xoy dobiven od para takvih polupravaca nazivamo ispruženim kutom. Nul kut se obilježava sa 0, a ispruženi sa ω. Propozicija Neka je Ox polupravac, a P zatvorena poluravnina odredena pravcem (Ox). Za svaki neorijentirani kut α postoji jedinstveni reprezentant oblika (Ox, Oy), gdje je Oy P. Drugim riječima, preslikavanje Oy xoy je bijekcija sa skupa polupravaca iz P s vrhom O na skup neorijentiranih kutova. Dokaz. Razmisliti za domaću zadaću. Klasu xoy dobivenu od para okomitih polupravaca nazivamo pravim kutom. Taj kut ćemo označavati sa δ. Neka su Ox i Oy dva polupravca sa zajedničkim vrhom O, koja ne leže na istom pravcu. Uredenom paru (Ox, Oy) pridružimo pripadni otvoreni kutni isječak dobiven kao presjek poluravnine P x koja sadrži polupravac Oy, a odredena je pravcem (Ox) i poluravnine P y koja sadrži polupravac Ox, a odredena je pravcem (Oy). Zatvoreni kutni isječak pridružen uredenom paru (Ox, Oy) se dobiva kao presjek zatvorenih poluravnina P x i P y. Relacije uredaja na skupu neorijentiranih kutova Odaberimo pravac p, polupravac Ox p i zatvorenu poluravninu P odredenu pravcem p. Za svaki α K neka je Oy P tako da α = xoy.

24 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 20 Ako polupravci Ox i Oy ne leže na istom pravcu pridružimo kutu α = xoy zatvoreni kutni isječak S α odreden sa Ox i Oy. Ako je α ispruženi kut stavimo da je S α = P, a ako je α nul-kut stavimo da je S α = Ox. Na skupu K definiramo relaciju na način: α β S α S β Relacija je relacija linearnog uredaja na skupu K (razmisliti) i ne ovisi o izboru para (Ox, P ). Ispruženi kut je najveći element u K, dok je nul-kut najmanji. U daljnjem ćemo pod pojmom kuta podrazumijevati neorijentirani kut. Zbrajanje i mjerenje kutova Neka je α = xoy kut različit od ispruženog kuta i nul-kuta. Sa S(Ox, Oy) označimo zatvoreni kutni isječak omeden polupravcima Ox i Oy ako je Ox Oy. U slučaju da je Ox = Oy stavljamo da je S(Ox, Oy) = Ox. U slučaju da su Ox i Oy komplementarni polupravci stavljamo da je S(Ox, Oy) = P. Definicija Reći ćemo da je kut γ zbroj kutova α i β, i pisati γ = α + β, ako postoje polupravci Ox, Oy, Oz takvi da je α = xoy, β = yoz, γ = xoz i S(Ox, Oz) = S(Ox, Oy) S(Oy, Oz).

25 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 21 Primijetimo da zbroj α + β nije uvijek definiran (donja slika). Ako je Oz polupravac komplementaran sa Ox, onda je a + β ispruženi kut i kažemo tada da je β suplement od α. Mjeru kuta definirat ćemo pomoću predstavnika kuta. Neka je α = xoy reprezentiran parom (Ox, Oy), gdje je Ox zadani polupravac, a Oy polupravac sadržan u zatvorenoj poluravnini P odredenoj pravcem (Ox). Definicija Mjera neorijentiranih kutova je svaka strogo rastuća funkcija ϕ : K R + 0 takva da je ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β), kad god je suma α + β definirana. Theorem Za svaki realni broj s > 0 postoji jedinstvena mjera neorijentiranih kutova ϕ : K R + takva da je ϕ(ω) = s i ϕ : K [0, s] je bijekcija. Na ovaj način je mjera kuta definirana sasvim elementarno i strogo matematički. Posebno, ako je s = 180, onda se realni broj ϕ(α) zove mjera kuta α u stupnjevima i piše se ϕ(α) = α 0. Za s = π dobiva se mjera u radijanima, a za s = 200 dobiva se mjera u gradima. Iz svega ovog slijedi da je kutna mjera pravog kuta u stupnjevima jednaka 90 0, a u radijanima π. Svaki kut čija je mjera izmedu 2 00 i 90 0 (odnosno u radijanima izmedu 0 i π ) nazivamo šiljastim kutom, a onaj čija je 2 mjera izmedu 90 0 i (odnosno izmedu π i π) tupim kutom. 2 Još su nam iz osnovne škole poznati i tzv. izbočeni kutovi, tj. kutovi čija je mjera veća od 180, no po našoj definiciji kuta njegova mjera ne može prijeći 180. Stoga ćemo pojam kuta proširi na sljedeći način: Ako je zadan kut α = xoy, onda je njime potpuno odreden njegov kutni isječak S α M. Dogovorno se uzima da je komplementarni zatvoreni isječak (M \ S α )

26 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 22 (Ox Oy) takoder isječak nekog kuta, koji ima iste krakove kao i polazni kut. Takav kut nazivamo izbočenim kutom. Dogovorno uzimamo da je mjera takvog kuta α 0, odnosno 2π α u radijanima. Kut i njemu pridruženi izbočeni kut zovu se eksplementarni kutovi. Dogovorno smatramo da postoji tzv. puni kut kojemu je mjera ili 2π radijana i da je zbroj bilo kojeg kuta i njemu eksplementarnog kuta puni kut Aksiom o paralelama Definicija Pravce p i q nazivamo paralelnim ili usporednim pravcima ili paralelama ako se oni ili podudaraju ili se ne sijeku. Aksiom V-1 glasi: Točkom van danog pravca prolazi najviše jedan pravac koji dani pravac ne siječe. Postavlja se pitanja: Postoji li barem jedan pravac koji prolazi točkom van danog pravca i dani pravac ne siječe? Definicija Rotacija s centrom O M (oko točke O) je izometrija ravnine M koja je ili jednaka identiteti id M ili joj je O jedina fiksna točka. Definicija Neka je O M točka ravnine M. Centralna simetrija s O : M M je izometrija definirana na način: za T M je s O (T ) = T točka sa svojstvom da je O polovište dužine T T. Točka O se naziva centar simetrije s O.

27 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 23 Napomena Za domaću zadaću: i) s O s O = id M, tj. s O je involucija ii) O je jedina fiksna točka centralne simetrije s O Propozicija Neka je p pravac u ravnini M, a O točka iz M koja ne leži na p. Tada pravac p, centralno simetričan sa p obzirom na točku O, ne siječe p. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, neka se p i p sijeku u točki A. Kako je s O (p) = p, slijedi s O (p ) = s O (s O (p)) = p. Stavimo s O (A) = B A (jer je O jedina fiksna točka od s O, a O / p, A p). Kako s O šalje A u B, a s O šalje B u s O (B) = s O (s O (A)) = A, prema Propoziciji 1.4. b) slijedi da je polovište P dužine AB fiksna točka od s O. Takoder kako su A, B p, vrijedi i da je P p. Kako je jedina fiksna točka centralne simetrije s O točka O slijedi da je P = O što je kontradikcija (jer O / p, P p) Propozicija Za svaki pravac p M i svaku točku T / p, T M postoji barem jedan pravac koji prolazi točkom T i ne siječe p. Dokaz 1. Odaberimo na p bilo koju točku P. Neka je O polovište dužine P T. Prema prethodnoj propoziciji pravac s O (p) ne siječe p, a po definiciji centralne simetrije T s O (p). Dokazat ćemo prethodnu propoziciju na drugi način. Treba nam idući rezultat. Propozicija Različiti pravci p i p okomiti na pravac q se ne sijeku. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, p i p se sijeku u točki T. Medutim okomica iz T na pravac q je jedinstvena, pa slijedi p = p, što je kontradikcija sa pretpostavkom da su p i p različiti.

28 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 24 Dokažimo sada Propoziciju na drugi način. Dokaz 2. Neka je T točka izvan danog pravca p. Neka je q 1 okomica iz T na pravac p. Neka je q okomica iz T na pravac q 1. Prema prethodnoj propoziciji p i q se ne sijeku (p i q okomice na q 1, p i q različiti pravci, jer T / p). Sada imamo: točkom van danog pravca prolazi točno jedan pravac koji ne siječe dani pravac. Napomena Aksiom o paralelama (ovako formuliran) zove se Playfairov oblik Euklidovog petog postulata o paralelama koji kaže: Ako se dva polupravca Ax i By nalaze sa iste strane pravca AB i ako je zbroj kutova xab + yba strogo manji od ispruženog kuta, onda se ti polupravci sijeku Neki poučci o kutovima Definicija Neka su dana dva različita paralelna pravca p i q. Svaki pravac t koji siječe pravce p i q nazivamo transverzalom ili presječnicom pravaca p i q.

29 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 25 Kutove α i α 1, β i β 1, γ i γ 1, te δ i δ 1 nazivamo protukutima, Kutove γ i α 1, te δ i β 1 nazivamo unutarnjim izmjeničnim kutovima, Kutove α i γ 1, te β i δ 1 nazivamo vanjskim izmjeničnim kutovima, Kutove α i δ 1, te β i γ 1 nazivamo vanjskim prikutima, Kutove γ i β 1, te δ i α 1 nazivamo unutarnjim prikutima. Propozicija (Poučak o transverzali) Različiti paralelni pravci zatvaraju sa svakom transverzalom jednake protukute, jednake izmjenične kutove i suplementarne prikute. I obrnuto, ako dva pravca p i q presječemo trećim pravcem t, te ako je α = α 1, onda su pravci p i q paralelni. Slično vrijedi ako je α = γ 1, odnosno ako je α + δ 1 ispruženi kut, tj. ako su α i δ 1 suplementarni. Dokaz. Sami. Neka je dan trokut ABC s vrhovima A, B, C i stranicama BC, CA, AB. Duljine stranica toga trokuta označavamo sa a = BC, b = AC, c = AB. Katkad stranicu trokuta identificiramo s njezinom duljinom. Sa CAB označimo kut odreden polupravcima kojima je vrh u točki A, te jedan od njih prolazi točkom B, a drugi točkom C. Primijetimo da njemu pripadni kutni isječak S CAB sadrži trokut ABC. Analogno definiramo i kutove BCA i ABC. Kutove CAB, BCA i ABC nazivamo unutarnjim kutovima trokuta ABC ili kraće kutovima trokuta ABC. Njihove mjere redom označavamo sa α, β, γ. Uobičajeno je kut identificirati s njegovom mjerom i pisati α = CAB, β = ABC, γ = BCA. Kažemo još da se kut α nalazi nasuprot stranice duljine a, kut β nasuprot stranice duljine b, a kut γ nasuprot stranice duljine c. Duljine stranica trokuta i njegove kutove nazivamo osnovnim elementima trokuta. Propozicija Zbroj (unutarnjih) kutova u trokutu jednak je ispruženom kutu, tj. iznosi ili π radijana.

30 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 26 Dokaz. Neka je ABC dani trokut. Točkom C povucimo paralelu p s pravcem AB (po prethodnom ta paralela postoji i jedinstvena je). Gledajući transverzalu AC, odnosno BC paralelnih pravaca AB i p slijedi da je α = α i β = β (unutarnji izmjenični kutovi). Stoga je α + β + γ = α + β + γ = Definicija Trokut nazivamo pravokutnim trokutom ako mu je jedan unutarnji kut pravi. Stranice uz pravi kut nazivamo katetama, a stranicu nasuprot pravom kutu hipotenuzom. Primijetimo da su u pravokutnom trokutu ostala dva kuta šiljasta. Definicija Za trokut kažemo da je tupokutan ako mu je jedan kut tupi. Trokut koji nije ni pravokutan ni tupokutan zove se šiljastokutan i u njemu su sva tri unutarnja kuta šiljasta. Očito, svaki trokut ima najviše jedan pravi ili tupi kut. Definicija Vanjski kut trokuta ABC pri vrhu A je kut izmedu polupravca AC i polupravca koji je komplementaran polupravcu AB. Propozicija Svaki vanjski kut trokuta jednak je zbroju onih unutarnjih kutova trokuta koji s njime nisu susjedni. Dokaz. α + δ = π = α + β + γ δ = β + γ Sukladnost trokuta Definicija Neka su ABC i A B C dva trokuta. Kažemo da su ti trokuti sukladni ili kongruentni ako postoji bijekcija f : {A, B, C} {A, B, C } takva da je f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C i da je a = a, b = b, c = c, α = α, β = β, γ = γ.

31 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 27 Ukratko, trokuti su sukladni ako su im korespondentne stranice jednake duljine i korespodentni kutovi jednaki. Za sukladne trokute pišemo ABC = A B C. Dokazat ćemo sada četiri karakterizacije sukladnosti trokuta. U svim tim karakterizacijama je smjer nužnosti (smjer u kojem je pretpostavka da su trokuti sukladni) trivijalno dokazati jer slijedi direktno iz definicije sukladnosti, pa ćemo dokazivati samo smjer dovoljnosti. Theorem (Poučak S S S) Dva su trokuta sukladna ako i samo ako se podudaraju u sve tri stranice. Dokaz. Neka se ABC i A B C podudaraju u sve tri stranice, tj. a = a, b = b i c = c. Treba dokazati da je ABC = A B C. Kako je c = c postoji izometrija g : M M takva da je g(a) = A i g(b) = B. Dokažimo da je tada i g(c) = C. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da je g (C) = C C. Gledamo dva slučaja. Prvo pretpostavimo da C i C leže u istoj poluravnini odredenoj sa A B. Neka je O polovište dužine C C. Kako je b = b, slijedi d(a, C ) = d(a, C) = d(g(a), g(c)) = d(a, C ), te A leži na simetrali dužine C C, pa je A O C C. Na isti način dobivamo da je B O C C, pa imamo dvije okomice na C C u točki O što je u kontradikciji s jedinstvenošću okomice. Stoga je C = C. Sada traženu bijekciju f : {A, B, C} {A, B, C } definiramo kao f = g {A,B,C}. Izometrija g čuva udaljenost točaka (stoga čuva duljine stranica) i preslikava kut α u α, β u β te γ u γ. Ako se C i C nalaze u različitim poluravninama odredenim sa A B, tada traženu bijekciju definiramo sa f = (s A B g) {A,B,C}. Time je teorem dokazan. Theorem (Poučak S K S) Dva su trokuta sukladna ako i samo ako se podudaraju u dvije stranice i kutu izmedu njih. Dokaz. Neka su trokuti ABC i A B C takvi da je b = b, c = c i α = α. Po definiciji jednakosti kutova α = α S α = S α, pa postoji izometrija g : M M

32 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 28 takva da je g(a) = A, g(ax) = A x, g(ay) = A y. Budući je g izometrija, c = c i b = b, to je g(c) = C i g(b) = B. No, onda vrijedi a = d(b, C) = d(g(b), g(c)) = d(b, C ) = a, pa su, po Poučku S S S, trokuti ABC i A B C sukladni. Theorem (Poučak K S K) Dva su trokuta sukladna ako i samo ako se podudaraju u jednoj stranici i dva kuta uz tu stranicu. Dokaz. Neka su trokuti ABC i A B C takvi da je c = c, α = α i β = β. Neka je g : M M izometrija ravnine M za koju je g(a) = A i g(b) = B. Ako točke C i g (C) leže u istoj poluravnini obzirom na pravac A B, onda iz α = α slijedi da je g(ax) = A x, a iz β = β slijedi g(by) = B y. Dokažimo da je g(c) = C. Kako je g bijekcija, to je g (C) = g (Ax By) = g (Ax) g (By) = A x B y = C. Sada, po Poučku S K S, slijedi da je ABC = A B C. Ako točke C i g (C) leže u različitim poluravninama obzirom na pravac A B, onda se umjesto izometrije g uzme kompozicija g s A B, pa se problem svede na prethodni slučaj. Propozicija Neka je ABC neki trokut. Tada vrijedi: (a) AC = AB β = γ. (b) Nasuprot većoj stranici leži veći kut, i obratno. Dokaz. (a) : Neka u trokutu ABC vrijedi da je AB = AC. Dokažimo da je γ = β.

33 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 29 Neka je P polovište stranice BC. Kako je BP = P C, AB = AC i AP zajednička stranica trokutima ABP i P CA, to su, po Poučku S S S, ti trokuti sukladni. Iz toga slijedi da je ABC = ACB, tj. β = γ. : Neka je ABC = ACB. Spustimo okomicu iz A na pravac BC i nožište označimo sa P. Sada trokuti ABP i P CA imaju jednu zajedničku stranicu AP i jednake kutove na njoj, pa po Poučku K S K ti trokuti sukladni. Stoga je AB = AC. (b) Dokažimo da nasuprot većoj stranici leži veći kut, i obratno. : Neka je a < c. Dokažimo da je α < γ. Produljimo stranicu BC preko vrha C do točke D tako da je BD = AB. Trokut ABD je jednakokračan, pa je DAB = ADB i taj kut označimo δ. Po propoziciji o vanjskom kutu trokuta je BCA = CAD + ADC, tj. γ = CAD + δ, pa je γ > δ, a kako je po definiciji δ > α, to je γ > α. : Neka u trokutu ABC vrijedi α < γ. Treba dokazati da je BC < AB. Pretpostavimo suprotno, tj. da je BC AB. Ako je BC = AB, onda iz tvrdnje (a) ove propozicije slijedi da je α = γ, a to je kontradikcija s pretpostavkom. Ako vrijedi BC > AB, onda prema prethodno dokazanom slijedi α > γ, što je takoder kontradikcija s prepostavkom. Dakle, BC < AB. Definicija Za trokut ABC kažemo da je jednakokračan ako bilo koje dvije stranice toga trokuta imaju jednaku duljinu. Takve dvije stranice nazivamo kracima, a preostalu stranicu osnovicom ili bazom. Po Propoziciji u jednakokračnom trokutu kutovi na bazi su jednaki. Definicija Ako sve tri stranice trokuta imaju jednaku duljinu, onda takav trokut nazivamo jednakostraničnim trokutom. Svi kutovi u jednakostraničnom trokutu su jednaki i iznose Svojstva jednakokračnog i jednakostraničnog trokuta omogućavaju konstrukciju kutova s mjerom 15 0, 30 0, 45 0, 60 0, Theorem (Poučak S > S K) Dva su trokuta sukladna ako i samo ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj od njih. Dokaz. Neka su a = a, b = b, a > b, α = α.

34 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 30 Neka je g : M M izometrija ravnine M takva da je g(a) = A, g(ax) = A x i g(ay) = A y (takva postoji jer je α = α ). Budući je g izometrija i b = b, to je i g(c) = C. Treba još pokazati da je g(b) = B. Pretpostavimo suprotno tj. da je g(b) = B B. Tada B ili leži izmedu točaka A i B ili je A B B (jer je g(ax) = A x, B Ax). Pretpostavimo da B leži izmedu točaka A i B, tj. da je A B B. Tada je C B = a (jer je g izometrija), a po pretpostavci je i B C = a, pa je trokut B B C jednakokračan. Stoga je C B B šiljast, što znači da je njegov suplement tup. Sada po Propozicije (nasuprot većoj stranici leži veći kut i obratno) slijedi da je b > a, tj. b > a što je protivno pretpostavci. Slično se vidi da ne može biti ni A B B. Stoga je g (B) = B, i slijedi da je c = c. Prema Poučku S-S-Sslijedi da su trokuti sukladni. Zadatak Pokažite primjerom da dva trokuta ne moraju biti sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot manjoj od njih. Rješenje. Gledamo šiljastokutan trokut ABC gdje je b < a. Povučemo dužinu CC tako da je CA = CC. U trokutima ABC i BCC se podudaraju stranice AC, CC i BC, BC i u kutu kod vrha B. Ali trokut ABC je šiljastokutan, a trokut BCC je tupokutan, te oni ne mogu biti sukladni. Definicija Reći ćemo da su dva skupa S, S M sukladna ili kongruentna i pisati S = S, ako postoji izometrija f : M M takva da je f(s) = S. Neka su u ravnini zadane četiri točke A, B, C i D i neka su AB, BC, CD i DA njima pripadne dužine. Ako se nikoje dvije te dužine ne sijeku u svojoj unutarnjoj točki, onda uniju dužina AB BC CD DA nazivamo zatvorenom poligonalnom crtom ili jednostavno poligonalnom crtom. Dio ravnine omeden tom poligonalnom crtom nazivamo četverokutom i obilježavamo ga s ABCD. Parove AB i CD te BC i AD nazivamo nasuprotnim stranicama četverokuta.

35 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 31 Trapez je četverokut kojemu barem jedan par nasuprotnih stranica leži na paralelnim pravcima. Te paralelne stranice zovu se osnovice ili baze trapeza, a ostale dvije krakovi trapeza. Paralelogram je četverokut kojemu oba para nasuprotnih stranica leže na paralelnim pravcima. Pravokutnik je paralelogram kod kojeg je jedan kut pravi (a onda su mu i svi drugi kutovi pravi). Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice medusobno jednake. Romb je paralelogram kojemu su sve stranice medusobno jednake. Propozicija (a) Nasuprotne stranice i nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki. (b) Četverokut je paralelogram ako i samo ako mu se dijagonale raspolavljaju. (c) Ako za četverokut ABCD vrijedi da je AD = BC i AD BC onda je on paralelogram. Dokaz. (a) Povucimo dijagonalu AC. Trokuti ABC i ADC imaju jednu zajedničku stranicu- stranicu AC, te je CAB = ACD i DAC = BCA (po Poučku o transverzali). Sada, po Poučku K S K, slijedi da su trokuti ABC i ADC sukladni, pa su im i sve druge odgovarajuće stranice, kao i odgovarajući kutovi, jednaki. Time je tvrdnja dokazana. (b) : Neka je četverokut ABCD paralelogram.

36 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 32 Tada je AB = CD (po (a)), te je ABM = CDM, MAB = MCD (po Poučku o transverzali). Stoga su, po Poučku K S K, trokuti ABM i DMC sukladni, pa se popudaraju i u duljinama drugih dviju stranica. Iz toga slijedi da se dijagonale raspolavljaju. : Neka je ABCD četverokut kojem se dijagonale AC i BD raspolavljaju. Dokažimo da je ABCD paralelogram. Označimo sa M sjecište tih dijagonala. Vrijedi: AM = MC, MD = BM i AMD = CMB (vršni kutovi), pa su trokuti AMD i CMB sukladni (po Poučku S K S). Stoga je i DAC = BCA, pa je AD CB (po Poučku o transverzali). Na isti način se pokazuje da je AB CD. (c) Neka za četverokut ABCD vrijedi da je AD = BC i AD BC. Povucimo dijagonalu BD. Po Poučku o transverzali je BDA = DBC, pa su trokuti ABD i BCD sukladni (po Poučku S K S jer im je BD zajednička stranica). Stoga je i CDB = ABD, pa po Poučku o transverzali slijedi da je AB CD što znači da je ABCD paralelogram. Zadatak Dokažite da su dijagonale romba simetrale unutarnjih kutova romba, da su medusobno okomite, te da se medusobno raspolavljaju. Rješenje. Prema Propoziciji b) slijedi da se dijagonale romba medusobno raspolavljaju. Neka se sijeku u točki M.

37 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 33 Prema Poučku S-S-S vrijedi da su AMD i DMC sukladni. Slijedi AMD = DMC. Kako očito vrijedi i AMD + DMC = π, slijedi AMD = π, tj. dijagonale su medusobno okomite. 2 Takoder iz ove sukladnosti slijedi DAM = MAB i ADM = ABM. Iskoristimo još Poučak o transverzali i dobijamo da su dijagonale simetrale unutarnjih kutova romba. Definicija Srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta. Theorem 1.7. (O srednjici trokuta). Srednjica trokuta paralelna je trećoj stranici trokuta i jednaka je polovini te stranice. Dokaz. Neka je P 1 polovište stranice AC i P 2 polovište stranice BC, tj. P 1 P 2 je srednjica trokuta ABC. Neka je D točka t.d P 1 P 2 D i P 1 P 2 = P 2 D. P 1 BDC je paralelogram (jer mu se dijagonale raspolavljaju). Slijedi BD = P 1 C i BD P 1 C. Očito sada vrijedi BD = AP 1 i AP 1 BD, tj. i ABDP 1 je paralelogram. Slijedi P 1 P 2 AB i P 1 P 2 = 1 2 P 1D = 1 2 AB. Definicija Srednjica trapeza je dužina koja spaja polovišta krakova trapeza. Theorem 1.8. (O srednjici trapeza). Srednjica trapeza s paralelna je osnovicama trapeza i jednaka je polovini zbroja osnovica, tj. s = a+c 2. Dokaz. Neka je E polovište dužine AD. Gledamo trokut ACD. Uzmimo P AC t.d. je EP srednjica trokuta ACD. Prema Teoremu 1.7. slijedi EP CD i EP = 1 CD. Produljimo EP preko točke P i označimo presjek sa BC sa F. 2

38 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 34 Očito P F AB. Kako je P polovište od AC i P F AB, vrijedi da je P F srednjica trokuta ABCi imamo da je F polovište od BC i P F = 1 2 AB. Slijedi EF je srednjica trapeza ABCD ( AB, CD) i s = EF = EP + P F = 1 2 DC AB = a + c 2. Napomena Primijetimo da vrijedi: Ako paralelni pravci a, b, c na jednom kraku kuta odsjecaju dužine jednakih duljina, onda to čine i na drugom kraku kuta. To slijedi iz sukladnosti trokuta AA 1 B 1, B 1 C 1 B 2, B 2 C 2 B 3,... Stoga ćemo dužinu AB podijeliti na n jednakih dijelova, n N, tako da uzmemo n dužina jednakih duljina na polupravcu AA 1, spojimo krajnju točku A n s točkom B i iz točaka A i vučemo paralele s dužinom A n B Sličnost trokuta Definicija Neka su zadane dužine AB i CD. Pod omjerom dužina AB i CD podrazumijevamo omjer duljina tih dužina, tj. realni broj AB : CD def = AB CD. Kažemo da su dužine AB, CD i A B, C D proporcionalne ili razmjerne ako je AB CD = A B C D.

39 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 35 Propozicija (Talesov poučak o proporcionalnosti) Neka je dan kut xoy te paralelni pravci a i b koji sijeku krakove kuta u točkama A, A, B i B, gdje je A = Ox a, A = Oy a, B = Ox b, B = Oy b. Tada su dužine OA, OB i OA, OB proporcionalne. Štoviše, vrijedi OA OA = OB OB = AA BB. Dokaz. Dokaz provodimo samo u posebnom slučaju kad je OA OB = n m Q. Neka je A 1 točka polupravca Ox takva da je OA = n OA1. Tada je OB m = n OA = m OA1. Kroz točku A 1 povucimo paralelu s pravcem a (a onda i s b jer su a i b paraleleni) i njeno sjecište s krakom Oy označimo sa A 1. Vrijedi (po prethodnom zadatku) OA = n OA 1 i OB = m OA 1. Sada je tj. OB = m OA 1 = m 1 OA n OA OB = n m = OA OB, a to se i tvrdilo. Dokažimo i drugi dio tvrdnje, tj. dokažimo da je OA OB = AA BB. Kroz točku A povucimo pravac p paralelan pravcu (Oy) te neka je C = p b.

40 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 36 Červerokut A B CA je paralelogram. Paralelni pravci p i y sijeku kut OBB, pa je BA BC = BO BB. Odavde imamo OB OA OB = BB B C BB B C = AA = OA AA 1 = 1 OB BB OA OB = AA BB, pa su dužine OA, OB i AA, BB proporcionalne. BB AA BB Definicija Neka su dani trokuti ABC i A B C. Kažemo da su oni slični, i pišemo ABC A B C, ako postoji bijekcija vrhova f : {A, B, C} {A, B, C } takva da je f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C i da je α = α, β = β, γ = γ a i = b = c, tj. odgovarajući kutovi su jednaki, a odgovarajuće stranice a b c proporcionalne. Napomena Relacija (biti sličan) je relacija ekvivalencije na skupu svih trokutova. Nadalje, ako su trokuti sukladni, onda su sigurno i slični ( ABC = A B C ABC A B C ). Propozicija Ako paralela s jednom stranicom trokuta ABC siječe preostale stranice tog trokuta (a ne prolazi nasuprotnim vrhom), onda ona u tom trokutu odsijeca sličan trokut. Dokaz. ABC AB C (po Talesovom su poučku stranice proporcionalne, jedan kut je zajednički, a dva su jednaka prema Poučku o transverzali).

41 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 37 No, vrijedi i obrat ove tvrdnje. Propozicija Ako su trokuti ABC i AB C slični, i točke A, B, B i A, C, C leže na istim pravcima, onda su BC i B C paralelni pravci. Primjedba Dokazati za zadaću. Dokaz. (a) Ako točke B i C leže na pravcima AB, odnosno AC, ali ne i na stranicama trokuta ABC : Označimo li sa B točku na BB tako da je B A = AB i sa C točku na C C tako da je AC = AC, imamo da je AB C = AB C (po Poučku S K S), pa je onda i AB C ABC. Dakle, B C BC. Kako je četverokut B C B C paralelogram (dijagonale mu se raspolavljaju), to je onda B C B C B C BC. (b) Ako točke B i C leže na stranicama trokuta ABC :

42 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 38 Pretpostavimo suprotno, tj. ako su trokuti ABC i AB C slični ali da pravci BC i B C nisu paralelni. Označimo D = BC B C. Neka je q pravac koji prolazi točkom C i paralelan je pravcu B C. Označimo B = AB q. Tada je B B. Nadalje, vrijedi AB C AB C, pa je AB. Po pretpostavci je = AC AB AC ABC AB C AB, pa vrijedi = AC. Iz ovog slijedi da je AB = AB, AB AC AB AB tj. AB = AB, a kako B, B i B leže na istom pravcu, to je B = B što je kontradikcija. Vrijede ovakvi poučci o sličnosti trokuta. Theorem (Poučak 1. K-K-K s) Dva su trokuta slična ako i samo ako su im odgovarajući kutovi jednaki. Dokaz. Nužnost je trivijalna. Pretpostavimo α = α, β = β, γ = γ. BSOMP b < b. Uzmimo D na polupravcu CA, E na polupravcu CB tako da CD = b, CE = a. Prema Poučku S K S vrijedi da je CDE = A B C. Slijedi CDE = α = α, pa prema Poučku o transverzali slijedi DE AB. Sada Talesov poučak b daje = a = c b = a = c, tj. ABC AC BC DE b a c A B C. Slučaj b b sami. Prethodni teorem, zbog α + β + γ = π, obično iskazujemo na način: Korolar (Poučak K K s) Dva su trokuta slična ako i samo ako su im jednaka dva odgovarajuća kuta. Theorem (Poučak 2. S S S s) Dva su trokuta slična ako i samo ako su im odgovarajuće stranice proporcionalne. Dokaz. Nužnost je trivijalna. Pretpostavimo a = b = c. BSOMP b < b. Uzmimo D na AC ta ko da CD = b. a b c Povucimo kroz točku D pravac p paralelan sa AB, tj. p AB, D p. Kada bi bilo p BC, tada bi zbog tranzitivnosti bilo i AB BC, što je kontradikacija sa definicijom trokuta (degenerirani slučaj po našoj definiciji nije trokut). Dakle p siječe BC i označimo p BC = {E}.

43 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 39 Prema Poučku o transverzali slijedi CDE = α. Poučak K K s ABC DEC b = c = a. Prema pretpostavci b DE CE teorema slijedi DE = c, CE = a. Sada Poučak S S S daje CDE = A B C. Imamo ABC CDE = A B C i slijedi ABC = A B C. Theorem (Poučak 3. S K S s) Dva su trokuta slična ako i samo ako su im dvije stranice proporcionalne a kutovi medu njima jednaki. Dokaz. Nužnost je trivijalna. BSOMP b b = c c, α = α. BSOMP b < b. Uzmimo D na AB tako da AD = c. Kroz D povucimo pravac p paralelan sa BC. Neka p siječe AC u točki E. b Prema Poučku K K s vrijedi ADE ABC što povlači = c AE = AE c b. Sada prema Poučku S K S vrijedi ADE = A B C. Iz ADE = A B C, ADE ABC slijedi ABC A B C. Theorem (Poučak 4. S > S K s) Dva su trokuta slična ako i samo ako su im dvije stranice proporcionalne, a kutovi nasuprot većim stranicama podudaraju. Dokaz. Nužnost je trivijalna. BSOMP a a = c c, c > a, γ = γ. Ako je c = c tada Poučak S S S povlači ABC = A B C ABC A B C. Pretpostavimo c < c. Uzmimo D AB tako da vrijedi AD = A B = c. Povucimo kroz D pravac p paralelan sa BC. Neka p siječe AC u točki E. K K s ABC ADE a c = ED c ED = a. S > S K ADE = A B C ABC ADE, ADE = A B C ABC A B C.

44 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 40 U pravokutnom trokutu ABC s pravim kutom u vrhu C uvedimo oznake. Propozicija (Euklidov poučak) U pravokutnom trokutu vrijedi v c = pq, a = cp, b = cq. Dokaz. Uočimo da su trokuti ABC, ACC i CC B slični trokuti, dakle i odgovarajuće su im stranice proporcionalne. Iz sličnosti ABC ACC slijedi AC AC AC AB = odakle je AC 2 = AC AB, tj. b = cq. Iz sličnosti ABC CC B dobivamo a = cp, a iz sličnosti ACC CC B slijedi v c = pq. Propozicija (Pitagorin poučak) U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata obje katete. Dokaz. Iz Euklidovog poučka slijedi a 2 + b 2 = cp + cq = c(p + q) = c 2. Pojmovi: visina, simetrala kuta i težišnica u trokutu vidljivi su na slici: Visina trokuta je dužina koja spaja vrh trokuta sa sjecištem okomice na pravac koji prolazi nasuprotnom stranicom. Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh trokuta sa polovištem nasuprotne stranice.

45 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 41 Definicija Neka je O M neka točka ravnine M, te r > 0 realan broj. Kružnica k(o, r) sa središtem O i polumjerom r je skup k(o, r) = {T M : OT = r}. Theorem Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta točka je središte tome trokutu opisane kružnice. Dokaz. Neka je s a simetrala stranice BC, a s b simetrala stranice AC. Neka se s a i s b sijeku u točki S. Znamo da vrijedi SB = SC, SC = SA, pa slijedi i SC = SA, tj. S se nalazi na simetrali stranice AB i dokazali smo da se simetrale stranica trokuta sijeku u jednoj točki. Kako je S jednako udaljena od A, B i C, slijedi da je S središte kružnice koja prolazi vrhovima trokuta, tj. S je središte tome trokutu opisane kružnice. Vrijedi i obrat, ako imamo kružnicu koja prolazi svim vrhovima trokuta, onda je njeno središte jednako udaljeno (radijus) od svih triju vrhova trokuta, pa se nalazi na simetralama stranica. Točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta zove se središte trokutu opisane kružnice. Theorem Simetrale kutova trokuta sijeku se u jednoj točki. središte tome trokutu upisane kružnice. Dokaz. Dokazati sami. Ta točka je Točka u kojoj se sijeku simetrale kutova trokuta zove se središte trokutu upisane kružnice. Theorem Pravci na kojima leže visine trokuta sijeku se u jednoj točki. Dokaz. Povucimo kroz točku C pravac paralelan sa AB, kroz A pravac paralelan sa BC i kroz B pravac paralelan sa AC i njihova sjecišta označimo sa A, B i C.

46 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 42 Kako je ABA C paralelogram, vrijedi AB = A C. Kako je ABCB paralelogram vrijedi AB = B C. Slijedi da je C polovište dužine A B. Analogno dobijamo da je A polovište dužine B C, te B polovište dužine A C. Prema konstrukciji, pravci koji leže na visinama trokuta ABC su simetrale stranica trokuta A B C, a one se sijeku je jednoj točki. Točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta nazivamo ortocentar trokuta. Propozicija Točka u kojoj se sijeku dvije težišnice trokuta dijeli težišnicu u omjeru 2 : 1 (računajući od vrha). Dokaz. Neka je dan trokut ABC i označimo polovište stranice BC sa A, a polovište stranice AC sa B. Neka je točka T sjecište težišnica AA i BB. Označimo sa L i M polovišta dužina AT i BT. Kako je B A srednjica trokuta ABC, slijedi B A = 1 AB, AB 2 A B. Kako je LM srednjica trokuta ABT, slijedi LM = 1 AB, AB LM. 2 Sada iz LM A B i LM = A B slijedi da je LMA B paralelogram, što povlači LT = T A, MT = T B AT = 2 LT = 2 T A, BT = 2 MT = 2 T B. Iz ove propozicije slijedi da se sve tri težišnice trokuta sijeku u jednoj točki. Točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta naziva se težište trokuta. Propozicija Težište, središte opisane kružnice i ortocentar trokuta leže na istom pravcu (tzv. Eulerovom pravcu). Dokaz. Označimo sa A, B, C polovišta dužina BC, CA, AB redom, sa T težište trokuta i sa S središte opisane kružnice. Povucimo pravac T S i na njemu odaberimo točku V tako daje V T = 2 T S. Euler

47 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 43 Prema prethodnoj propoziciji je AT = 2 T A. Kako je i ST A = V T A (vršni kutovi), po poučku (S-K-S s) zaključujemo da je AV T T A S. Sada znamo da je pravac AV A S. (po Propoziciji 1.23.). Budući je SA BC onda je i AV BC. Dakle, ortocentar leži na pravcu AV. Analogno se pokazuje da je CT V ST C pa je pravac CV SC. Kako je SC AB onda je CV AB pa ortocentar leži i na pravcu CV. Kako se CV i AV sijeku u točki V zaključujemo da je V ortocentar. Definicija Neka je O točka ravnine M, te neka je k realni broj različit od 0. Definirajmo preslikavanje f : M M na sljedeći način: i) f(o) = O, ii) za T O je f (T ) točka koja leži na pravcu OT s iste strane točke O kao i točka T ako je k > 0,a sa suprotne ako je k < 0, iii) Of(T ) = k OT. Preslikavanje f naziva se homotetija s koeficijentom k i centrom O.

48 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 44 Propozicija Neka je f : M M homotetija s koeficijentom k i centrom O. Tada je f(a)f(b) = k AB za svaki A, B M. Dokaz. Provedimo dokaz za slučaj kada je k > 0 (za k < 0 provodi se analogno). Ako je A = O ili B = O, onda tvrdnja slijedi iz definicije homotetije. Stoga pretpostavimo da je A O B. Tada su trokuti OAB Of(A)f(B) Naime, AOB = f(a)of(b) im je zajednički kut, a Of(A) = k OA i Of(B) = k OB ), pa je OA Of(A) = 1 k = OB Of(B), te po Poučku S K S s slijedi da su ti trokuti slični. Stoga je i 1 k = AB f(a)f(b) f(a)f(b) = k AB. Definicija Preslikavanje f : M M naziva se preslikavanje sličnosti ili ekviformno preslikavanje ako postoji realan broj s > 0 takav da je f(a)f(b) = s AB za svaki A, B M. Broj s naziva se koeficijent sličnosti. Napomena ) Homotetija s koeficijentom k je primjer preslikavanja sličnosti s koeficijentom sličnosti s = k. 2) Izometrija je primjer preslikavanja sličnosti s koeficijentom s = 1. Theorem Neka su ABC i A B C dva trokuta u ravnini M. Ti su trokuti slični ako i samo ako postoji preslikavanje sličnosti f : M M tako da je f( ABC) = A B C Neki teoremi o kružnici Neka je k(o, r) kružnica sa središtem O i radijusom r. Ako su A, B k(o, r) dvije točke na kružnici onda se dužina AB zove tetiva kružnice s krajevima A i B.

49 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 45 Svaka tetiva koja sadrži O naziva se dijametar (ili promjer) kružnice. Očito svaki promjer ima duljinu 2r i to je najdulja tetiva kružnice. Ako je AB tetiva kružnice koja ne prolazi središtem O onda AOB zovemo središnji kut nad tetivom AB. Svaka tetiva kružnice dijeli kružnicu na dva dijela. Svaki od tih dijelova zovemo lukom kružnice. Te lukove bilježimo ÂT 1 B i ÂT 2 B gdje su T 1 i T 2 bilo koje točke kružnice s različitih strana pravca AB. Lako se vidi da su središnji kutovi nad tetivama jednake duljine jednaki (po Poučku S S S). Mi ćemo pod lukom ÂB uvijek smatrati luk ÂT 2 B, tj. manji od dva luka odredena tetivom AB. Neka je AB tetiva koja nije dijametar, tj. ne prolazi kroz središte kružnice. Kut AOB nazivamo središnjim kutom nad lukom ÂT 2 B, a njegom eksplementarni kut zovemo središnjim kutom nad lukom ÂT 1 B. Kut AT 1 B zovemo obodni kut nad lukom ÂT 2 B, a kut AT 2 B obodni kut nad lukom ÂT 1 B. Theorem (Teorem o obodnom i središnjem kutu) Središnji je kut nad nekim lukom jednak dvostrukom obodnom kutu nad istim tim lukom, tj. obodni kut jednak je polovini pripadnog središnjeg kuta. Dokaz. Neka je lukom ÂB. ÂB luk kružnice i neka je α = AT B bilo koji obodni kut nad Razlikujemo tri slučaja ovisno o dužini AT.

50 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 46 U slučaju (a) imamo: AOB = OBT + OT B (vanjski kut trokuta) i to je jednako 2 OT B (trokut jednakokračan). Slučaj (b): AOB = AOS + SOB = 2 AT S + 2 ST B = 2( AT S + ST B) = 2 AT B. Slučaj (c): AOB = SOB SOA = 2 ST B 2 ST A = 2( ST B ST A) = 2 AT B. Korolar Svi obodni kutovi nad istim lukom su jednaki. Korolar (Talesov poučak o kutu nad promjerom) Ako je AB dijametar kružnice, a T bilo koja točka kružnice različita od A i B, onda je AT B pravokutan trokut s pravim kutom kod točke T Tangencijalni i tetivni četverokut Definicija Neka je k k(s, r) kružnica sa središtem S i radijusom r, a T k bilo koja točka kružnice k, tj. ST = r. Pravac t koji prolazi točkom T i okomit je na pravac ST zove se tangenta te kružnice u točki T. Točka T se zove diralište tangente t. Za tangentu se još kaže i da dira kružnicu. Propozicija Tangenta kružnice ima s tom kružnicom samo jednu zajedničku točku. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. neka t siječe kružnicu osim u točki T još i u točki T 1. Tada je ST 1 T 2 jednakokračan trokut i ST T 1 = ST 1 T = π, što je kontradikcija jer bi trokut ST 1 T 2 imao dva prava 2 kuta. Definicija Za četverokut ABCD kažemo da je tangencijalni ako su mu stranice tangente iste kružnice To specijalno znači da je tangencijalni četverokut onaj kojemu se može upisati kružnica.

51 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 47 Theorem Četverokut je tangencijalan ako i samo ako mu je zbroj nasuprotnih stranica jednak. Dokaz. Neka je ABCD tangencijalni četverokut opisan kružnici sa središtem O i radijusom r. Neka su nožišta okomica iz točke O na stranice AB, BC, CD, DA redom P, Q, R, S. Pogledajmo trokute SAO i AP O. Vrijedi SO = P O = r, OSA = OP A = π i imaju zajedničku stranicu AO koja je i veća od ostalih stranica 2 trokuta, jer je hipotenuza u pravokutnom trokutu. Prema Poučku S > S K slijedi da su SAO i AP O sukladni trokuti, pa imamo AS = AP. Analogno pokazujemo i BP = BQ, CQ = CR, DR = RS. Tada imamo a + c = AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS = b + d. Neka je ABCD četverokut u kojemu vrijedi AB + DC = BC + DA ( ) Konstruirajmo kružnicu k koja dodiruje dužine AB, BC, CD (primijetimo da to možemo, gledamo sjecište simetrala kutova ABC i BCD). Dokažimo da k dira AD.

52 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 48 Pretpostavimo da k ne dira AD. Konstruirajmo iz D tangentu na k različitu od DC i neka ona siječe AB u točki E. Tada je A E. Četverokut EBCD je tangencijalni četverokut pa mora vrijediti EB + DC = BC + DE. ( ) Tada ( )-( ) daje AB EB = AD DE, tj. ± AE = AD DE, a to je u kontradikciji s nejednakošću trokuta. Definicija Za četverokut ABCD kažemo da je tetivni, ako su mu stranice tetive iste kružnice (to posebno znači da se tetivnom četverokutu može opisati kružnica). Theorem π. Červerokut je tetivni ako i samo ako je zbroj nasuprotnih kutova Dokaz. ( ) Neka je ABCD tetivni četverokut upisan u kružnicu k sa središtem O. Tada je prema Poučku o središnjem i obodnom kutu α + γ = 1ω ω 2 2 = 1 (ω ω 2 ) = 1 2π = π. 2 Slično se dokazuje da je β + δ = π. ( ) Neka je α + γ = β + δ = π. Pretpostavimo suprotno da B, C, i D leže na kružnici k (primijetimo da to možemo, gledamo sjecište simetrala stranica BC i CD) i da A / k. Spojimo A sa B i presjek označimo sa E.

53 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 49 Sada je EBCD tetivni četverokut pa je α + γ = π. Slijedi da je α = α. Sada prema Poučku o transverzali slijedi AD DE, što je kontradikcija. Korolar Jednakokračnom trapezu se može opisati kružnica. Dokaz. Neka je ABCD jednakokračan trapez, tj. neka je b = d. Neka je E točka na stranici AB tako da je AD CE. Kako je AECD paralelogram, slijedi AD = EC. Prema Poučku o transverzali slijedi CEB = DAB = α. Trokut EBC je jednakokračan, pa vrijedi CEB = EBC = β. Ponovo prema Poučku o transverzali imamo β + γ = π, pa imamo α + γ = β + γ = π. Analogno se pokazuje β + δ = α + δ = π.

54 Poglavlje 2. Poligoni i površina 1. Poligoni 2. Površina poligona 2.1. Poligoni Definicija Izlomljena linija je unija od konačno mnogo različitih dužina A 0 A 1, A 1 A 2,..., A n 1 A n u ravnini zadanih tako da se jedna krajnja točka svake dužine (osim eventualno zadnje) podudara s jednom krajnjom točkom naredne dužine. Dužine A 0 A 1, A 1 A 2,..., A n 1 A n koje čine izlomljenu crtu nazivamo stranicama izlomljene linije, a njihove krajeve nazivamo njezinim vrhovima. Prvi vrh prve dužine A 0 A 1 zove se početak, a drugi vrh zadnje dužine A n 1 A n kraj izlomljene linije. Izlomljenu liniju n A i 1 A i kraće zapisujemo samo pomoću vrhova A 0 A 1 A n 1 A n. i=1 50

55 2. POLIGONI I POVRŠINA 51 Definicija Izlomljena linija A 0 A 1 A n 1 A n je zatvorena ako je A 0 = A n. Izlomljena linija je jednostavna ako svaka njezina točka leži ili samo na jednoj njezinoj stranici ili na točno dvjema stranicama kojima je ta točka jedan kraj. Zatvorena izlomljena linija se zove jednodimenzionalni poligon. Ako je ta linija još i jednostavna onda se ona zove poligonalna kružnica. Za podskup G M ravnine M kažemo da je područje ako je G otvoren i povezan skup, tj. ako ima sljedeća dva svojstva: 1. Za svaku točku A G postoji krug sa središtem u A koji je sadržan u G, tj. ( A G) ( r > 0) K(A, r) G. 2. Svake dvije točke mogu se spojiti poligonalnom linijom koja je sadržana u G. Na gornjoj slici je G 1 područje, G 2 nije područje ali M \ G 2 jest područje, te G 3 i G 4 nisu područja. Theorem (Jordan 1 ) Svaka poligonalna kružnica J M rastavlja ravninu M na točno dva područja koja zovemo unutrašnjost i vanjština poligonalne kružnice J. Dokaz nećemo provoditi. Pogledajmo smisao ovog teorema. Uzmimo bilo koje dvije točke P, Q M \ J. Ako P i Q možemo spojiti izlomljenom linijom koja ne siječe J onda su P i Q u istom području, a ako svaka izlomljena linija izmedu P i Q siječe J onda su one u različitim područjima. Jedno od ta dva područje sadrži pravac, a drugo ne. Ono područje koje sadrži pravac je neomedeno područje i zove se vanjština od J, a ono drugo (koje ne sadrži niti jedan pravac) je omedeno i zove se unutrašnjost područja J. 1 Camile Jordan, , francuski matematičar.

56 2. POLIGONI I POVRŠINA 52 Prividna očitost Jordanovog teorema leži u tome da mi obično imamo u vidu neku jednostavnu figuru za poligonalnu kružnicu, ali već jednostavni labirint pokazuje svu složenost Jordanovog teorema. Definicija Jednostavni dvodimenzionalni poligon je unija jednostavnog jednodimenzionalnog poligona (tj. poligonalne kružnice) i njegove unutrašnjosti. Jednostavni jednodimenzionalni poligon se tada zove rub ili obod danog dvodimenzionalnog poligona. Ako poligon ima n-vrhova nazivamo ga n-terokutom. Primjedba Termin poligon u nastavku koristimo u smislu jednostavni dvodimenzionalni poligon. Definicija Kažemo da je poligon konveksan ako se čitav nalazi u jednoj poluravnini obzirom na svaku njegovu stranicu, tj. obzirom na pravac odreden tom stranicom. Propozicija Konveksan poligon u ravnini je konveksan skup. Dokaz. Neka je zadan konveksan poligon P = A 0 A 1... A n. Nerka je M i zatvorena poluravnina odredena stranicom A i A i+1 (uz oznaku A n+1 = A 0 ).

57 2. POLIGONI I POVRŠINA 53 M i su konveksni skupovi, a očito vrijedi P = M 0 M 1 M n. Presjek konveksnih skupova je konveksan skup, pa je i P konveksan skup. Definicija Kut BAC poligona kod vrha A kojeg čine stranice AB i AC je onaj od dva kuta čiji presjek s dovoljno malim krugom oko A leži u unutrašnjosti poligona. Propozicija Svaki poligon ima bar jedan (unutarnji) kut manji od π. Primjedba Dokazati za zadaću. Dokaz. Svakim vrhom povucimo pravce koji su medusobno paralelni, a nisu paralelni niti jednoj stranici poligona. Neka je A najviši vrh. Tad čitav poligon leži u poluravnini odredenoj pravcem kroz A, pa je i unutarnji kut kod A manji od ispruženog kuta. Definicija Kažemo da je poligon P zbroj poligona P 1 i P 2, i pišemo P = P 1 + P 2, ako je P = P 1 P 2 i ako poligoni nemaju zajedničkih unutarnjih točaka.

58 2. POLIGONI I POVRŠINA 54 Propozicija 2.3. (O zbroju poligona). U svakom poligonu sa brojem vrhova većim od 3 postoji dijagonala koja ga dijeli na dva poligona. Drugim riječima, svaki je poligon P zbroj dva poligona kojima je jedna dijagonala od P zajednička stranica. Dokaz. Neka je BAC kut poligona P manji od π. Ako unutar trokuta ABC i na stranicama tog trokuta nema drugih vrhova poligona P (osim A, B i C) onda je BC tražena dijagonala. U protivnom, provucimo kroz sve vrhove poligona P koji su unutar trokuta ABC (osim kroz A) paralelu sa BC. Medu tim vrhovima odaberimo onaj vrh T

59 2. POLIGONI I POVRŠINA 55 koji je na paraleli najudaljenijoj od BC. Neka ta paralela siječe trokut ABC u točkama D i E. Tvrdnja: AT je tražena dijagonala. Dokažimo: AT ne siječe rub poligona u svojoj unutarnjoj točki. Pretpostavimo suprotno, neka je T 1 AT unutarnja točka od AT i neka je na rubu poligona. T 1 nije vrh poligona (jer bi paralela sa BC kroz T 1 bila udaljenija od BC nego DE). Slijedi, T 1 je unutarnja točka neke stranice poligona P, npr. stranice RS. Barem jedna od točaka R, S leži na udaljenijoj paraleli nego DE (npr. točka R). Slijedi da R mora biti izvan trokuta ABC, pa dužina RS siječe ili AD ili AE, što je kontradikcija (rub poligona je jednostavan). Znači AT ne siječe rub poligona u svojoj unutarnjoj točki. Dio dijagonale AT leži u kutu BAC, pa prema prethodno dokazanom cijela dijagonala AT leži u unutrašnjosti poligona P, pa je AT tražena dijagonala. Korolar Svaki se poligon P može prikazati kao zbroj od konačno mnogo trokuta čije su sve stranice dijagonale ili stranice od P. Dokaz. Višestruka primjena prethodne Propozicije 2.3. Kažemo stoga da se svaki poligon može triangulirati bez uvodenja novih vrhova. Triangulacija poligona je svaki prikaz tog poligona kao unije od konačno mnogo trokuta koji nemaju zajedničkih unutarnjih točaka, već se dva trokuta ili ne sijeku ili imaju zajednički vrh ili zajedničku stranicu. Nadalje, znamo da se svaki poligon može triangulirati bez uvodenja novih vrhova. Theorem (O sumi kutova poligona) Suma kutova u svakom n-terokutu je (n 2)π. Dokaz. (Indukcijom po n) Za n = 3 tvrdnja očigledno vrijedi ((3 2)π = π, a dokazali smo da je za trokut suma unutarnjih kutova stvarno π). Neka je tvrdnja točna za sve prirodne brojeve koji su manji ili jednaki od n 1. Prema Propoziciji 2.3.

60 2. POLIGONI I POVRŠINA 56 postoji dijagonala n-terokuta koja ga dijeli na dva poligona, recimo na n 1 -terokut i n 2 -terokut. Pri tome su n 1, n 2 < n i n 1 + n 2 = n + 2. Primjenom induktivne pretpostavke, suma njihovih kutova je (n 1 2)π i (n 2 2)π. Stoga je suma S kutova n-terokuta jednaka S = (n 1 2)π + (n 2 2)π = (n 1 + n 2 4)π = (n + 2 4)π = (n 2)π. Definicija Za poligon kažemo da je pravilan ako su mu sve stranice jednake i svi kutovi jednaki.

61 2. POLIGONI I POVRŠINA Površina poligona U ovoj točki ćemo malo poopćiti pojam poligona. Poligonom ćemo smatrati zbroj od konačno mnogo jednostavnih poligona, tj. poligon je unija od konačno mnogo jednostavnih poligona od kojih nikoja dva nemaju zajedničkih unutarnjih točaka. Primjedba Jednostavni dvodimenzionalni poligon je poligon, ali obrat ne vrijedi. Definicija Kažemo da su dva skupa S, S M sukladna ili kongruentna i pisati S = S ako postoji izometrija f : M M tako da je f(s) = S. Definicija Neka je P skup svih poligona u ravnini M (uključujući i ). Površina ili ploština p na skupu P je svaka funkcija p : P R koja ima sljedeća svojstva: (P1) p(p ) 0, P P (aksiom pozitivnosti) (P2) p(p 1 + P 2 ) = p(p 1 ) + p(p 2 ), P 1, P 2 P (aksiom aditivnosti) (P3) P 1 = P2 p(p 1 ) = p(p 2 ) (invarijantnost obzirom na sukladnost) (P4) Postoji barem jedan kvadrat K sa stranicom duljine 1 takav da je p(k) = 1 (aksiom normiranosti). Broj p(p ) se naziva površina poligona P. Iz (P3) i (P4) slijedi da je površina svakog kvadrata stranice 1 jednaka 1. Nadalje, iz (P1) i (P2) slijedi da je funkcija p monotono rastuća funkcija, tj. da vrijedi P P p(p ) p(p ).

62 2. POLIGONI I POVRŠINA 58 pa je Zaista, ako je P P onda postoje poligoni P 1,..., P n takvi da je P = P + P P n p(p ) p(p ) + n p(p i ) = p(p ). Pokažimo da je i p( ) = 0. Zaista, iz P = P +, po (P2) slijedi i=1 p(p ) = p(p + ) = p(p ) + p( ) p( ) = 0. Važno je napomenuti da je sustav aksioma (P1) - (P4) nezavisan, tj. da niti jedan aksiom nije posljedica preostalih aksioma. Dokažimo da je aksiom (P2) nezavisan od ostalih aksioma. Definirajmo funkciju p 1 : P R, p 1 (P ) := 1, P P. p 1 očito zadovoljava aksiome (P1), (P3) i (P4), ali ne i (P2), tj. (P2) je nezavisan od ostalih aksioma. Dokažimo da je aksiom (P4) nezavisan od ostalih aksioma. Definirajmo funkciju p 2 : P R, p 2 (P ) := 0, P P. p 2 očito zadovoljava aksiome (P1), (P2) i (P3), ali ne i (P4), tj. (P4) je nezavisan od ostalih aksioma. Theorem (Površina pravokutnika) Ako postoji površina p, te ako je P = ABCD pravokutnik takav da je AB = a i BC = b, onda je p(abcd) = ab. Dokaz. Dokaz ćemo najprije provesti u posebnom slučaju kada su a, b Q. Tada je uvijek moguće postići da je a = m, b = m, gdje su m, n n m, n N. Neka je K kvadrat sa stranicom 1. Podijelimo svaku stranicu kvadrata K i stranice pravokutnika P na dijelove duljine 1. Stranice od K su tako podijeljene na n jednakih dijelova, dok su n stranice od P podijeljene na m, odnosno m jednakih dijelova. Povučemo li diobenim točkama paralele sa stranicama dobit ćemo da je kvadrat K zbroj od n 2 kvadrata K n stranice 1 n, a pravokutnik P zbroj od mm takvih kvadrata. Svi su ti kvadrati medusobno sukladni pa zbog (P3) imaju jednaku površinu. Neka je K n jedan od tih kvadrata. Prema (P2) dobivamo p(k) = n 2 p(k n ), p(p ) = mm p(k n ).

63 2. POLIGONI I POVRŠINA 59 Prema (P4) je p(k) = 1 pa je 1 = n 2 p(k n ) p(k n ) = 1 n 2, a onda p(p ) = mm p(k n ) = mm 1 n = m 2 n Time je posebni slučaj dokazan. m n = ab. Neka su zadani a, b R, a, b > 0. Tada za svaki dovoljno veliki n N postoje prirodni brojevi a n, b n takvi da vrijedi a n n a < a n + 1 n, b n n b < b n + 1 n. (2.1) Označimo sa P n pravokutnik AB n C n D n sa stranicama an n AB nc nd n sa stranicama an+1 i bn+1. n n i bn n, a sa P n pravokutnik Očito vrijedi P n P P n, pa monotonost funkcije p povlači p(p n ) p(p ) < p(p n), tj. kako su a n i b n prirodni brojevi možemo primijeniti posebni slučaj i dobijamo Iz nejednakosti (2.1) očito vrijedi Sada iz (2.2) i (2.3) imamo p(p ) ab < (a n + 1)(b n + 1) n 2 a n b n n 2 p(p ) < (a n + 1)(b n + 1) n 2. (2.2) a n b n n 2 ab < (a n + 1)(b n + 1) n 2. (2.3) a nb n n 2 = a n + b n + 1 n 2 n(a + b) + 1 n 2. Za ɛ > 0 odaberimo n N tako da vrijedi a+b < ɛ, 1 < ɛ. Sada slijedi p(p ) ab < n 2 n 2 2 a+b + 1 < ɛ + ɛ = ɛ. Kako to vrijedi za svaki ɛ > 0, slijedi p(p ) ab = 0, odnosno n n p(p ) = ab.

64 2. POLIGONI I POVRŠINA 60 Theorem (Površina paralelograma i trokuta) Neka je P QRS paralelogram sa stranicom a i njoj pripadnom visinom v, a trokut ABC sa stranicom c i pripadnom visinom v C. Ako površina p postoji, onda je: a) p(p QRS) = av; b) p( ABC) = 1 2 cv C. Dokaz. a) Označimo sa P Q = a, te SS = RR = v, gdje su SS i RR visine paralelograma nad stranicom P Q. Trokuti P S S i QRR su sukladni (po (K-S-K)) pa je zbog (P3) p( P S S) = p( QRR ). Četverokut P R RS jednak je zbroju paralelograma PQRS i trokuta QRR, a isto tako i zbroju pravokutnika S R RS i trokuta P S S, pa po (P2) slijedi da je p(p R RS) = p(s R RS) + p( P S S) i p(p R RS) = p(p QRS) + p( QR R). Oduzimanjem slijedi da je p(p QRS) = p(s R RS) b) Neka je D četvrti vrh paralelograma ABDC. Teorem = av. Tada je prema a) p(abdc) = cv C = p( ABC) + p( BDC). No, kako je ABC = BDC (po Poučku (S-S-S)) slijedi da je 2 p( ABC) = cv C p( ABC) = 1 2 cv C. Korolar Postoji jedna i samo jedina funkcija p : P R koja zadovoljava aksiome (P1) -(P4).

65 Poglavlje 3. Stereometrija - geometrija prostora 1. Aksiomi euklidske geometrije prostora 2. Prizme, piramide, valjci i stošci 3. Poliedri i obujam 4. Oplošje plohe 3.1. Aksiomi euklidske geometrije prostora Euklidski prostor ili kraće prostor je skup E čije elemente nazivamo točkama, a neke njegove istaknute poskupove nazivamo pravcima i ravninama, a ta tri tipa objekata zadovoljavaju sljedeće aksiome: (E1) U svakoj ravnini α E vrijede aksiomi euklidske ravnine; (E2) Ako su dane tri točke A, B, C E, onda postoji barem jedna ravnina π E koja sadrži te točke; (E3) Ako ravnina π E sadrži dvije različite točke nekog pravca p E, onda ona sadrži i taj pravac, tj. p π; (E4) Ako su α, β E dvije različite ravnine prostora E onda je ili α β = ili je α β pravac; (E5) Postoji funkcija d : E E R, koju zovemo metrika na prostoru E, za koju vrijedi: (M1) d(a, B) 0, A, B E, d(a, B) = 0 A = B; 61

66 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 62 (M2) d(a, B) = d(b, A), A, B E; (M3) d(a, B) d(a, C) + d(c, B), A, B, C E, i pritom znak jednakosti vrijedi onda i samo onda ako je C AB; (M4) Ako je na bilo kojem pravcu p dana točka O i jedan linearni uredaj, onda je svakom nenegativnom broju x 0 pridružena jedinstvena točka T p tako da je O T i d(o, T ) = x. (Primjetimo da smo pojam udaljenosti u ravnini proširili na cijeli prostor.) Izvedimo neke jednostavne posljedice aksioma prostora. Propozicija Ako su A, B, C E tri nekolienarne točke prostora E, onda postoji jedinstvena ravnina π E koja sadrži točke A, B, C. Dokaz. Egzistencija Prema (E2) postoji bar jedna ravnina π koja sadrži točke A, B, C. Jedinstvenost Označimo sa α bilo koju ravninu u E koja sadrži točke A, B, C. Pokažimo da je α = π. Pretpostavimo suprotno, tj. da je α π. Kako je A α to je α π, pa je po (E4), α π pravac. No kako su A, B, C α π, to proizilazi da su A, B, C kolinearne točke, što je u kontradikciji s pretpostavkom. Propozicija Neka je A E točka prostora E i a E pravac koji ne sadrži A, tj. A / a. Tada postoji jedinstvena ravnina π E koja sadrži točku A i pravac a. Dokaz. Egzistencija Odaberimo bilo koje dvije različite točke B, C a. Točke A, B i C su nekolinearne pa prema prethodnoj propoziciji postoji jedinstvena ravnina π sa svojstvom da su A, B, C π. Iz B, C a i B, C π, po (E3), odmah slijedi da je a π. Jedinstvenost Neka je ϕ bilo koja ravnina koja sadrži pravac a i točku A. Neka su B, C neke dvije različite točke pravca a. Tada iz B, C a i a ϕ proizlazi da su B, C ϕ, pa su A, B, C ϕ tri nekolinearne točke ravnine ϕ. Sada po Propoziciji 3.1. odmah slijedi da je ϕ = π. Propozicija Ako se pravci a, b E sijeku, onda postoji jedinstvena ravnina π E koja sadrži pravce a i b.

67 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 63 Dokaz. Egzistencija Neka je C = a b. Odaberimo bilo koju točku A pravca a i bilo koju točku B pravca b tako da je A C i B C. Točke A, B, C ne pripadaju istom pravcu, pa po Propoziciji 3.1. postoji jedinstvena ravnina π takva da je A, B, C π. Iz A, C a i A, C π po (E3) slijedi da je a π, a isto tako je i b π (jer su B, C b π). Jedinstvenost Neka je ϕ bilo koja ravnina koja sadrži pravce a, b. Odatle slijedi da su A, B, C ϕ pa je zbog jedinstvenosti ravnine kroz tri nekolinearne točke nužno ϕ = π. Definicija Za pravce a, b E prostora E kažemo da su paralelni pravci ako pripadaju jednoj ravnini i ako je a = b ili je a b = (oznaka a b). Za dvije ravnive α, β E prostora E kažemo da su paralelne ravnine ako je α = β ili je α β = (oznaka α β). Za pravac a E kažemo da je paralelan ravnini α E ako je a α ili a α = (oznaka a α). Primjetimo da se u definiciji paralelnosti pravaca u prostoru E zahtijeva pripadanje pravaca istoj ravnini. Naime, u prostoru E je moguća tzv. mimoilaznost pravaca. To su pravci koji nisu paralelni a isto imaju prazan presjek. Točnije, precizno se definira da su mimoilazni pravci oni koji se ne sijeku i koji ne pripadaju istoj ravnini. Posebno, iz Propozicije 3.3. se vidi da su pravci koji se sijeku nemimoilazni (ako se sijeku onda pripadaju nekoj ravnini). Propozicija Ako su a, b E različiti paralelni pravci, onda postoji jedinstvena ravnina π E koja sadrži pravce a i b.

68 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 64 Dokaz. Egzistencija Prema definiciji paralelnih pravaca postoji neka ravnina π E takva da je a, b π i a b =. Jedinstvenost Odaberimo bilo koju točku A pravca a. Svaka ravnina koja sadrži pravce a i b sadrži i točku A i pravac b, a takva je, prema Propoziciji 3.2. jedinstvena. Propozicija Neka je B E bilo koja točka i a E bilo koji pravac prostora E. Tada postoji jedinstveni pravac b E koji sadrži točku B i paralelan je s pravcem a. Dokaz. Ako je B a tada je pravac a jedini pravac koji sadrži točku B i paralelan je sa a, tj. tvrdnja je očita. Neka je B / a. Egzistencija Jednoznačno je odredena ravnina π koja sadrži a i B. U ravnini π postoji jedinstveni (u toj ravnini) pravac b π tako da je B b, a b (jer u svakoj ravnini vrijede aksiomi Euklidske geometrije, pa koristimo Aksiom o paralelama). Po definiciji paralelnosti u prostoru, b je traženi pravac. Jedinstvenost Neka je b bilo koji pravac tako da je B b, b a. Po definiciji paralelni pravci a i b leže u nekoj ravnini π. Ta ravnina onda sadrži i B (jer B b, b π ). Kako je ravnina koja sadrži pravac a i točku B / a jedinstvena, slijedi π = π. Stoga je b π, pa zbog Aksioma o paralelama slijedi b = b (u ravnini π postoji jedan jedini pravac paralelan danom pravcu koji prolazi kroz točku van danog pravca). Propozicija Neka je α E bilo koja ravnina i B E bilo koja točka prostora E. Tada postoji jedinstvena ravnina β E takva da je B β i β je paralelna sa α. Dokaz. Dokazati za zadaću. Definicija Preslikavanje f : E E naziva se izometrija prostora ako vrijedi d(f(a), f(b)) = d(a, B), A, B E. Propozicija Ako su A, B i C nekolinearne fiksne točke izometrije f : E E, onda je i svaka točka ravnine odredene tim točkama fiksna točka izometrije f. Dokaz. Dokazati za zadaću (samo primijeniti Propoziciju 3.1. i aksiom (E1)). Propozicija Ako izometrija prostora f ima četiri nekomplanarne fiksne točke, onda je f = id E. Dokaz. Neka su A i, i = 1, 2, 3, 4 nekomplanarne fiksne točke izometrije f. Neka je T E bilo koja točka. Povucimo točkom T pravac p koji siječe dvije od ravnina odredenih točkama A i, i = 1, 2, 3, 4 u točkama P i Q.

69 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 65 Prema Propoziciji 3.7. vrijedi f(p ) = P, f(q) = Q. Slijedi da su sve točke pravca P Q fiksne točke izometrije f. Kako je T p, slijedi f(t ) = T. Napomena Skup svih izometrija prostora obzirom na kompoziciju kao grupovnu operaciju je grupa. Razmisliti za zadaću. Propozicija Ako se dvije izometrije prostora f, g : E E podudaraju u četiri nekomplanarne točke, onda je f = g. Dokaz. Neka su A i, i = 1, 2, 3, 4 nekomplanarne točke tako da vrijedi f(a i ) = g(a i ), i = 1, 2, 3, 4. Preslikavanje h = g 1 f je takoder izometrija prostora (prema prethodnoj napomeni) i vrijedi h(a i ) = A i, i = 1, 2, 3, 4. Znači izometrija h ima četiri nekomplanarne fiksne točke, pa je h = g 1 f = id E i slijedi f = g Poliedri Neka je S E bilo koja točka prostora E i r > 0. Skup Sf(S, r) = {T E : d(s, T ) = r} naziva se sfera kojoj je S središte a r radijus. Skup Kg(S, r) = {T E : d(s, T ) r} naziva se kugla sa središtem S i radijusom r. Neka je X E neki podskup prostora E. Točka T E naziva se unutrašnja točka skupa X ako postoji kugla Kg(T, r) takva da je Kg(T, r) X (odmah

70 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 66 slijedi da je T X). Skup svih unutrašnjih točaka skupa X zove se unutrašnje područje ili nutrina tog skupa. Reći ćemo da je T E vanjska točka skupa X E ako postoji kugla Kg(T, r) takva sa je Kg(T, r) X = (odmah se vidi da T E \ X). Skup svih vanjskih točaka skupa X zove se vanjsko područje ili vanjština tog skupa. Točka T E naziva se rubna točka skupa X E ako svaka kugla Kg(T, r) ima svojstvo Kg(T, r) X i Kg(T, r) (E \ X). Rubna točka može pripadati ili skupu X ili njegovom komplementu E\X. Skup svih rubnih točaka skupa X naziva se rub tog skupa. Analogno kao što smo definirali pojam poluravnine definira se i pojam poluprostora. Za danu ravninu π E definiramo binarnu relaciju ρ na E \ π na sljedeći način: AρB def. AB π = Relacija ρ je relacija ekvivalencije na skupu E \ π i rastavlja E \ π na dvije klase ekvivalencije E 1 i E 2 koje se nazivaju otvoreni poluprostori. Svaki od dva skupa E 1 π i E 2 π naziva se zatvoreni poluprostor. Ravnina π dijeli prostor E na dva otvorena poluprostora kojima je π zajednički rub. Dokažimo da je ρ relacija ekvivalencije. Refleksivnost... AρA, jer A E \ π povlači AA π = (zbog AA = A). Simetričnost... AρB AB π = BA π = BρA. Tranzitivnost... treba dokazati da ako su A, B, C E \ π takve da je AB π = i BC π =, onda je i AC π =. Pretpostavimo suprotno, neka se AC i π sijeku, označimo točku u kojoj se sijeku sa T. Prema Aksiomu (E2) postoji ravnina π 1 koja sadrži točke A, B i C. Prema Aksiomu (E4) ravnine π i π 1 se sijeku u pravcu (očito nisu jednake ravnine, jer A π 1, A / π), označimo taj pravac sa p.

71 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 67 Očito, T p. Kako je AB π = slijedi AB p =. Kako je BC π = slijedi BC p =. Sada u ravnini π 1 imamo: AB p =, BC p = i AC p = {T }, što je kontradikcija sa tranzitivnošću relacije ρ u ravnini (Propozicija 1.2.). Slijedi AC π =, tj. relacija je tranzitivna. Primjedba Dokazati za zadaću: relacija ρ rastavlja E \ π na dvije klase ekvivalencije Neka su π 1 i π 2 dvije različite paralelne ravnine. Neka je E 1 onaj otvoreni poluprostor s rubom π 1 koji sadrži ravninu π 2, a sa E 2 onaj otvoreni poluprostor s rubom π 2 koji sadrži ravninu π 1. Skup (E 1 E 2 ) π 1 π 2 naziva se zatvoreni sloj. Neka je u ravnini π dan n-terokut A 1 A 2 A n i neka je p bilo koji pravac koji nije paralelan s ravninom π. Unija svih pravaca, paralelnih sa p, koji prolaze nekom točkom n-terokuta A 1 A 2 A n zove se neomedena n-terokutna prizma nad n- terokutom A 1 A 2 A n. Neka je dana jedna neomedena n-terokutna prizma nad n- terokutom A 1 A 2 A n i ravnina π π paralelna s ravninom π tog n-terokuta. Ravnine π i π odreduju zatvoreni sloj S s rubom π π. Presjek promatrane neomedene n-terokutne prizme sa zatvorenim slojem S naziva se n-terokutnom prizmom. Presjeci neomedene prizme s ravninama π i π su dva n-terokuta koji se zovu osnovke prizme. Presjeci pojedinih stranica neomedene prizme sa slojem S su paralelogrami koji se zovu pobočke prizme. Dužine koje spajaju odgovarajuće vrhove osnovki nazivaju se pobočni bridovi. Prizma kojoj su osnovice paralelogrami naziva se paralelopiped, prizma kojoj su sve stranice pravokutnici naziva se kvadar, a prizma kojoj su sve stranice kvadrati naziva se kocka. Okomica iz bilo kojeg vrha jedne osnovke prizme na ravninu druge njezine osnovke zove se visina prizme. Ako je pravac p π i n-terokut A 1 A 2 A n pravilan govorimo o pravilnoj uspravnoj prizmi. Ako je prizma uspravna onda je duljina visine jednaka duljini bilo kojeg pobočnog brida.

72 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 68 Neka je u ravnini π dan n-terokut A 1 A 2 A n i neka je V bilo koja točka koja ne pripada ravnini π. Unija svih dužina kojima je V jedan kraj, a drugi je bilo koja točka n-terokuta A 1 A 2 A n naziva se n-terokutna piramida. Točke V, A 1, A 2,..., A n nazivaju se vrhovi, n-terokut A 1 A 2 A n naziva se osnovkom, trokuti V A i A i+1, i = 1, 2,..., n 1 nazivaju se pobočke, a dužine V A i, i = 1, 2,..., n, pobočni bridovi piramide. Ako je n-terokut A 1 A 2 A n pravilan i svi pobočni bridovi jednakih duljina govorimo o pravilnoj piramidi. Dužina koja spaja vrh V i središte opisane kružnice osnovke pravilne piramide naziva se visina piramide. Općenito, okomica iz vrha V na ravninu osnovke piramide zove se visina piramide. Što su za planimetriju poligoni, to su za stereometriju poliedri. U stereometriji se proučavaju skupovi točaka u prostoru koji su poput fizičkih tijela, pa se obično i nazivaju tijelima. Krenimo od najjednostavnijih. Neka su A, B, C, D bilo koje točke prostora E koje ne pripadaju istoj ravnini. Konveksna ljuska skupa {A, B, C, D} zove se tatraedar (primjetimo da je to trostrana piramida).

73 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 69 Taj pojam ćemo sada poopćiti. Neka je S E bilo koji konačan skup točaka u prostoru E. Konveksna ljuska skupa S naziva se konveksni poliedar. Rub konveksnog poliedra je unija od konačno mnogo konveksnih poligona. Svaki od tih poligona naziva se stranica poliedra. Najjednostavniji konveksni poliedar je tetraedar. Prizme i piramide kojima su osnovice konveksni n-terokuti su primjeri konveksnih poliedara. Definicija Svaki skup točaka u prostoru E koji se može prikazati kao unija od konačno mnogo konveksnih poliedara, od kojih nikoja dva nemaju zajedničkih unutrašnjih točaka naziva se poliedar. Reći ćemo da je poliedar P zbroj poliedara P 1 i P 2 i pisati P = P 1 + P 2, ako je P = P 1 P 2, te poliedri P 1 i P 2 nemaju zajedničkih unutrašnjih točaka. Pojam zbroja dvaju poliedara može se proširiti na zbroj konačno mnogo poliedara. Propozicija Svaki poliedar može se prikazati kao zbroj konačno tetraedara. Definicija Neka je P skup svih poliedara u prostoru E (uključujući i ). Volumen ili obujam na skupu P je funkcija v : P R za koju vrijedi: (v1) v(p ) 0, P P; (v2) Ako je poliedar P zbroj poliedara P 1 i P 2 onda je v(p ) = v(p 1 ) + v(p 2 ), tj. v(p 1 + P 1 ) = v(p 1 ) + v(p 2 ); (v3) Ako je P 1 = P2 onda je v(p 1 ) = v(p 2 );

74 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 70 (v4) Postoji bar jedna kocka K s bridom 1 takva da je v(k) = 1. (v1) se zove aksiom pozitivnosti, (v2) aksiom aditivnosti, (v3) invarijantnost obzirom na sukladnost, a (v4) aksiom normiranosti. Iz aksioma (v1) (v4) odmah slijedi da je v( ) = 0, te da je v monotono rastuća funkcija tj. P 1 P 2 v(p 1 ) v(p 2 ) (razmatranja su analogna kao kod površine). Analogno kao kod površine dokazuje se egzistencija funkcije v : P R. Ulogu koju je kod površine imao trokut, kod volumena ima tetraedar. Teorem Ako postoji volumen v i ako je P kvadar s duljinama bridova jednakim a, b i c, onda vrijedi v(p ) = abc. Dokaz. Dokaz ćemo provesti u dva dijela. Dokažimo da se volumeni kvadara sa zajedničkom bazom odnose kao njihove visine. Neka su P = ABCDA B C D i P = ABCDA B C D dva kvadra sa zajedničkom bazom ABCD i visinama AA i AA. BSOMP AA < AA. Označimo njihove volumene sa V = v(p ), V = v(p ). Podijelimo visinu AA na n jednakih dijelova (svaki dio je duljine AA ). Neka m tih djelišnih točaka n leži na AA. Vrijedi: AA n m AA < AA n (m + 1) : AA m n AA AA < m + 1 n (3.1)

75 3. STEREOMETRIJA - GEOMETRIJA PROSTORA 71 Sada djelišnim točkama povucimo ravnine paralelne sa bazom. One dijele kvadar P na n izometričnih kvadara, svaki od njih ima volumen V (prema n (V2) i (V3)). Sada iz monotonosti volumena imama: V n m V < V (m + 1) : V n m n V < m + 1 V n Iz (3.1) i (3.2) slijedi: V AA V AA < m + 1 m n n = 1 n 0. n Kako je n po volji velik, slijedi V V = AA AA. (3.2) Drugi dio: uzmimo jediničnu kocku K (volumena 1), te kvadre sa duljinama bridova 1, 1, a (volumena V 1 ), pa a, 1, b (volumena V 2 ), pa a, b, c (volumena V ). Prema prvom dijelu dokaza slijedi: V 1 1 = a 1. Prema prvom dijelu dokaza slijedi: V 2 V 1 = b 1.