Algoritmi i strukture podataka (450)
|
|
- Καλλιγένεια Κουβέλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algoritmi i strukture podataka (450) Analiza složenosti algoritama Sadržaj Algoritmi Analiza složenosti algoritma T(N) složenost algoritma Određivanje reda algoritma Algoritmi i strukture podataka 2 1
2 Algoritmi Algoritam je jasno određen niz (jednostavnih) naredbi koje treba izvršiti odgovarajućim redoslijedom kako bi se riješio zadani problem. Analiza složenosti algoritma definira koliko efikasno taj algoritam rješava dani problem. Analiza složenosti algoritama omogućava: procjenu vremena izvršavanja» smanjenje vremena izvršavanja; memoriju potrebnu za izvršavanje algoritma. Algoritmi i strukture podataka 3 Primjer pretraživanja Za sortirani niz X od n članova potrebno je pronaći član čija je vrijednost A? Sekvencijalno pretraživanje: int br = 0; while (br < n && X[br]!= A) br ++; Binarno pretraživanje: int p = 0, k = n - 1, s; int br = 0; while (p < k && br == 0) { s = (p+k)/2; if( A == X [s] ) br = s; else if (A < X[s]) k = s -1; else p = s +1; Ako se traži broj veći od svih koji postoje u nizu? Broj usporedbi Veličina niza Sekven. Binarno Algoritmi i strukture podataka 4 2
3 Primjer sortiranja Algoritmi i strukture podataka 5 Analiza složenosti algoritma Kako bi analiza bila moguća potrebno je poznavati model izvođenja algoritma uz slijedeće pretpostavke i ograničenja: Model je standardno računalo kod kojeg se naredbe izvršavaju sekvencijalno; Model sadrži standardan niz jednostavnih naredbi kao što su zbrajanje, množenje, usporedba i sve te operacije traju jednako; Ne određuje se stvaran broj ciklusa procesora (ovisi o tipu procesora); Ne broje se sve naredbe koje se izvršavaju jer to ovisi o programskom jeziku u kojem je algoritam pisan. Nedostatci ovakvog pristupa: Kod stvarnih računala različite operacije ne traju jednako; Zanemaruje se učinak brze i virtualne memorije Algoritmi i strukture podataka 6 3
4 Analiza složenosti algoritma Efikasnost algoritma tj. vrijeme izvođenja algoritma se definira kao broj ponavljanja osnovnih operacija ovisno o broju ulaznih parametara!!!! Osnovne operacije u algoritmu se odabere određena naredba ili grupa naredbi tako da je ukupno vrijeme izvršavanja algoritma proporcionalno s brojem ponavljanja te naredbe ili grupe naredbi. Ignoriraju se kompleksni detalji (uvećavanje petlje ili pokazivača). Broj ulaznih parametara ovisi o algoritmu i tipu podataka: jednodimenzionalni nizovi broj elemenata; dvodimenzionalni nizovi broj redaka * broj stupaca. Algoritmi i strukture podataka 7 Analiza složenosti algoritma Odabir osnovne operacije ovisi o tome što se analizira. U primjeru algoritma za sekvencijalno pretraživanje: int br = 0; // * - osnovne operacije while (br < n && X[br]!= A) // * - operacije koje se ne smatraju br ++; // osnovnima Kod sortiranja zamjenom (exchange sort) postoje dvije osnovne operacije: for(i = 0; i< n-1; i++) for(j = i+1; j<n; j++) if (x[i] < x[j]) zamjena(x[i], x[j]); // usporedba vrijednosti // zamjena Algoritmi i strukture podataka 8 4
5 Analiza složenosti algoritma Vrijeme izvršavanja algoritma ovisi o: broju ulaznih parametara: Primjer: Zbrajanje elemenata niza: Osnovna operacija se uvijek radi isti broj puta za isti N. Definira se T(N) every-case složenost algoritma mjera koliko se puta izvršava osnovna operacija za slučaj N ulaznih parametara. o vrijednostima ulaznih parametara: Primjer: Sekvencijalnog pretraživanja: ako se traži element niza koji je prvi u nizu o. o. se radi samo 1; ako se traži element koji ne postoji u nizu o. o. se radi N puta. W(n) worst-case sl. alg, definira maksimalni br. izvršavanja o. op; A(n) average-case sl. alg, definira prosječan br. izvršavanja o. op; B(n) best-case sl. alg, najmanji mogući br. izvršavanja o. operacije. Algoritmi i strukture podataka 9 T(n) every-case složenost algoritma T(n) definira se kao broj izvršavanja osnovne operacije za n ulaznih parametara, u slučaju kada broj izvršavanja ne ovisi o vrijednostima ulaznih parametara. Primjer 1: Zbrajanje n elemenata niza X: sum = 0; for(int i = 0; i < n; i++) sum += X[i]; // 1. definirati osnovnu operaciju // 2. definirati broj ulaznih parametara osnovna operacija: uvećavanje sum broj ulaznih parametara: n Zaključak: bez obzira na vrijednosti elemenata niza, osnovna operacija će se izvršiti n puta: T(n) = n Algoritmi i strukture podataka 10 5
6 T(n) every-case složenost algoritma Primjer 2: Sortiranje zamjenom n elemenata niza x for(i = 0; i< n-1; i++) for(j = i+1; j<n; j++) if (x[i] < x[j]) zamjena(x[i], x[j]); osnovna operacija: usporedba x[i] i x[j] broj ulaznih parametara: n U ovom slučaju treba odrediti koliko ima prolazaka kroz for petlje: for (i) => n-1 prolazak for(j): 1. prolazak kroz for(i) uzrokuje n-1 prolazak kroz for(j) 2. prolazak kroz for(i) uzrokuje n-2 prolazak kroz for(j) Zaključak: T(n) = (n-1) + (n-2) + (n-3) + + 1=(n-1)*n/2 Algoritmi i strukture podataka 11 T(n) every-case složenost algoritma Primjer 3: Množenje matrica for(int i = 0; i< n; i++) for(int j = 0; j<n; j++) { C[i][j] = 0; for (int k = 0; k< n; k++) C[i][j] += A[i][k]*B[k][j]; osnovna operacija: računanje C[i][j] elementa u for(k) petlji broj ulaznih parametara: n redaka i n stupaca U ovom slučaju treba odrediti koliko ima prolazaka kroz for petlje: uvijek ima n prolazaka kroz for (i) petlju: svaki prolazak kroz for(i) uzrokuje n prolazaka kroz for(j) petlju svaki prolazak kroz for(j) uzrokuje n prolazaka kroz for(k) petlju Zaključak: T(n) = n*n*n = n 3 Algoritmi i strukture podataka 12 6
7 Osnovna pravila za računanje T(n) 1. Vrijeme izvršavanja for petlje je vrijeme izvršavanja osnovnih operacija unutar petlje, pomnoženo s brojem ponavljanja petlje. 2. Ugniježđene for petlje se analiziraju od unutra prema vani. Ukupno vrijeme izvršavanja osnovnih naredbi unutar petlji je jednako vremenu izvršavanja naredbi pomnoženom s brojem izvršavanja svih petlji. 3. Vremena izvođenja uzastopnih petlji se zbrajaju. 4. Vrijeme izvođenja if/else izraza je jednako vremenu izvođenja uvjeta uvećanom za vrijeme izvođenja bloka koji traje duže. Algoritmi i strukture podataka 13 Primjena teoretskog razmatranja Ako se neki algoritam riješi na dva različita načina i za jedan je T(n) = n, a za drugi T(n) = n 2, koji je algoritam efikasniji? T(n) n n*n n Interesantan je relativni porast vrijednosti, a ne trenutna vrijednost. Algoritmi i strukture podataka 14 7
8 Primjena teoretskog razmatranja A za T(n) = 100*n, a za drugi T(n) = 0.01*n 2, koji je algoritam efikasniji? T(n) *n 0.01*n^ n Interesantan je relativni porast vrijednosti, a ne trenutna vrijednost. Bilo koji linearni algoritam će u konačnici biti efikasniji od bilo kojeg kvadratnog algoritma, jer se u teoretskoj analizi algoritama promatra krajnje ponašanje algoritma. Algoritmi i strukture podataka 15 Određivanje reda ( ordrer ) algoritama g(n) = 0.1n 2 + n n 0.1n 2 0.1n 2 +n Tablica pokazuje da kvadratni član u konačnici dominira funkcijom Zbog toga je moguće odbaciti sve članove nižeg reda i označiti funkciju kao čistu kvadratnu. Niz svih funkcija složenosti koje se mogu opisati čistom kvadratnom funkcijom se naziva Θ(n 2 ) i ta funkcija je n 2 reda. Algoritmi i strukture podataka 16 8
9 Određivanje reda algoritama Kojem redu pripada algoritam za sortiranje zamjenom? ( n 1)* n T( n) = 2 T(n) Θ(n 2 ) Neke od najčešćih kategorija složenosti su: Θ(log 2 n) Θ(n) Θ(n*log 2 n) Θ(n 2 ) Θ(n 3 ) Θ(2 n ) T(n) n log2 n n n*log2 n n*n n*n*n 2^n Algoritmi i strukture podataka 17 Određivanje reda algoritama T(n) daje više informacija o vremenu izvršavanja algoritma nego samo poznavanje reda algoritma (Θ), ali se Θ koristi jer je ponekad vrlo teško odrediti T(n) i važnije je poznavati relativni porast vrijednosti nego njenu trenutnu vrijednost. Za detaljniju definiciju reda algoritma koriste se O(f(n)) big O predstavlja gornju asimptotu funkcije, tj. opisuje kako će se funkcija složenosti algoritma ponašati u najgorem slučaju. o(f(n)) little o predstavlja gornju asimptotu funkcije s još strmijim porastom Ω(f(n)) predstavlja donju asimptotu funkcije, tj. opisuje kako će se funkcija složenosti algoritma ponašati u najboljem slučaju. Algoritmi i strukture podataka 18 9
10 Određivanje reda algoritama Svojstva reda: 1. Ako je b > 1, a > 1 tada log a n Θ(log b n) Sve logaritamske funkcije složenosti su istog reda i on se predstavlja sa Θ(log 2 n). 2. Ako je b > a > 0 tada a n o(b n ) Sve eksponencijalne funkcije složenosti nisu istog reda. 3. Za sve a > 0 a n o(n!), podrazumijeva da je n! lošiji od bilo koje eksp. f-je. 4. Θ(log 2 n) Θ(n) Θ(n log 2 n) Θ(n 2 ) Θ(n j ) Θ(n k ) Θ(a n ) Θ(b n ) Θ(n!) za k > j > 2 i b > a > 1 Ako je g(n) u kategoriji lijevo od f(n) tada je g(n) o(f(n)). Algoritmi i strukture podataka 19 Za niz brojeva A 0, A 1, A 2, A N-1 (mogu biti i pozitivni i negativni) potrebno je odrediti maksimalnu sumu podniza. Npr. za niz 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 maksimalna suma podniza je 11 (A 0 do A 7 ) ili Max j k= i A = 11, i= 0 j= 7 k Osnovne operacije: Uvećanje sume Usporedba Algoritmi i strukture podataka 20 10
11 Algoritam 1: int MaxSumaPodniza1(int A[], int N) { /*1*/ int trensuma, maxsuma = 0, i, j, k; /*2*/ for(i = 0; i < N; i++) /*3*/ for(j = i; j < N; j++) { /*4*/ trensuma = 0; /*5*/ for(k = i; k<=j; k++) /*6*/ trensuma += A[k]; /*7*/ if(trensuma > maxsuma) /*8*/ maxsuma = trensuma; /*9*/ return maxsuma; Koliki je red izvođenja ovog algoritma? O(N 3 ) tj. Θ(N 3 ) Algoritmi i strukture podataka 21 Algoritam 2: int MaxSumaPodniza2(int A[], int N) { int trensuma, maxsuma, i, j; maxsuma = 0; /*1*/ for(i = 0; i < N; i++) { /*2*/ trensuma = 0; /*3*/ for(j = i; j < N; j++) { /*4*/ trensuma += A[j]; /*5*/ if(trensuma > maxsuma) /*6*/ maxsuma = trensuma; return maxsuma; Red ovog algoritma je O(N 2 ). Algoritmi i strukture podataka 22 11
12 Algoritam 3: Rekurzivni algoritam za kojeg vrijedi O(N*logN); Koristi divide-and-conquer pristup, tj. ideja je da se osnovni problem razbije na dva približno jednaka dijela koja se zatim rješavaju rekurzivno. Kod ovog problema maksimalna suma podniza se može nalaziti na jednom od tri mjesta: lijevoj polovini niza rješava se rekurzivno; desnoj polovini niza rješava se rekurzivno; u sredini i obuhvaća obije polovine pronađe se najveća suma u lijevoj polovini - počevši od zadnjeg elementa te polovine i najveća suma desne polovine - koja počevši od prvog elementa te polovine. Algoritmi i strukture podataka 23 Algoritam 3: primjer za niz: 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 lijeva polovina desna polovina Maks. suma podniza s lijeve strane je 6 (A 0 - A 2 ) Maks. suma podniza s desne strane je 8 (A 5 - A 6 ) Maks. suma lijevog podniza koja uključuje zadnji element podniza je 4 (A 0 - A 3 ) Maks. suma desnog podniza koja uključuje prvi element podniza je 7 (A 4 - A 6 ) To znači da je maksimalna suma podniza 11 koja se dobije zbrajanjem elemenata (A 0 - A 6 ). Algoritmi i strukture podataka 24 12
13 Algoritam 3: int MaxSumaPodniza3(int A[], int L, int D) { int maxlsum, maxdsum, maxlgransum, maxdgransum, lgransum, dgransum, sredina, i; /* 1*/ if(l == D) /* 2*/ if(a[l] > 0) return A[L]; /* 3*/ else return 0; /* 4*/ sredina = (L + D)/2; /* 5*/ maxlsum = MaxSumaPodniza3(A, L, sredina); /* 6*/ maxdsum = MaxSumaPodniza3(A, sredina+1, D); /* 7*/ maxlgransum = lgransum = 0; /* 8*/ for(i = sredina; i >= L; i--) { /* 9*/ lgransum += A[i]; /*10*/ if(lgransum > maxlgransum) maxlgransum = lgransum; /*11*/ maxdgransum = dgransum = 0; /*12*/ for(i = sredina + 1; i <= D; i++) { /*13*/ dgransum += A[i]; /*14*/ if(dgransum > maxdgransum) maxdgransum = dgransum; /*15*/ return Max3(maxLSum, maxdsum, maxlgransum + maxdgransum); Algoritmi i strukture podataka 25 Algoritam 3 Analiza algoritma: Za N = 1 => T(1) = 1 (linije od 1-3) Za niz veličine N vrijeme potrebno da se riješi problem je T(N): 2 for petlje (linije 8-10, 12-14) Zajedno obrađuju sve elemente od A 0 A N-1 => O(N) dodjela vrijednosti (linije 4, 7, 11, 15) Zanemarive u usporedbi s for petljama pa se ne računa 2 rekurzivna poziva (linije 5 i 6) Šalje se upola manje elemenata pa vrijedi => T(N/2) tj. 2*T(N/2) T(N) = 2*T(N/2) + N T(1) = 1 T(2) = 2*T(1) + 2 = 4 T(4) = 2*T(2) + 4 = 12 T(8) = 2*T(4) + 8 = 32 T(16) = 2*T(8) + 16 = 80 T(N) = N*log 2 N + N T(N) = N*log 2 N => O(N*log 2 N) Algoritmi i strukture podataka 26 13
14 Algoritam 4: int MaxSumaPodniza4(int A[], int N) { int maxsum, trensum, i; /* 1*/ maxsum = trensum = 0; /* 2*/ for(i = 0; i<n; i++) { /* 3*/ trensum += A[i]; /* 4*/ if(trensum > maxsum) maxsum = trensum; /* 5*/ else if(trensum < 0) trensum = 0; /* 6*/ return maxsum; T(N) O(N) Algoritmi i strukture podataka 27 Ispit - primjer Za donje primjere napravi analizu vremena izvođenja (T(N) i O(T(N))) ako je osnovna operacija uvećanje sume. sum = 0; for(i = 0; i<n; i++) sum ++; sum = 0; for(i = 0; i < N; i++) for(j= 0; j < N; j++) sum++; sum = 0; for(i = 0; i < N; i++) for(j= 0; j < N*N; j++) sum++; sum = 0; for(i = 0; i < N; i++) for(j= 0; j < i; j++) sum++; sum = 0; for(i = 0; i <N; i++) for(j= 0; j < i*i; j++) for(k = 0; k < j; k++) sum++; Algoritmi i strukture podataka 28 14
15 Analiza složenosti algoritama Kraj 15
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMetode sortiranja nizova
Metode sortiranja nizova Sortiranje niza u neopadajućem ili nerastućem poretku podrazumeva nalaženje jedne permutacije elemenata niza u kojoj se elementi pojavljuju u neopadajućem tj. nerastućem poretku.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραKonstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραRačunanje sume članova polja
Računanje sume članova polja Zadatak: napisati funkciju koja računa sumu članova polja. Najjednostavnije rješenje: enje: int suma1 (int polje[], int n) { složenost O(n) int i, suma = 0; for (i = 0; i
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka
Algoritmi i strukture podataka vežbe 1 Mirko Stojadinović 6. oktobar 2015 1 1 Složenost algoritama Postoje 3 mere na osnovu kojih se porede efikasnosti algoritama: 1. najgori mogući slučaj 2. prosečan
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραProgram za tablično računanje Microsoft Excel
Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSortiranje spajanjem (Merge( Sort) Algoritam sortiranja spajanjem: ulaz je lista a 1. ,,, a n/2. , izlaz sortirana lista
Sortiranje spajanjem (Merge( Sort) Algoritam sortiranja spajanjem: ulaz je lista a 1,,, a n, izlaz sortirana lista 1. podijeli listu na dva jednaka dijela 2. sortiraj listu a 1,,, a n/2 3. sortiraj listu
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Informatika2. 4. Ciklična algoritamska struktura 5. Jednodimenzionalno polje.
Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet Informatika2 4. Ciklična algoritamska struktura 5. Jednodimenzionalno polje Milica Ćirić Ciklična algoritamska struktura Ciklična struktura (petlja)
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα