Metode sortiranja nizova

Transcript

1 Metode sortiranja nizova Sortiranje niza u neopadajućem ili nerastućem poretku podrazumeva nalaženje jedne permutacije elemenata niza u kojoj se elementi pojavljuju u neopadajućem tj. nerastućem poretku. Selection sort Metoda sortiranja izborom najmanjeg elementa odnosi se na sortiranje niza podataka x sa n elemenata u neopadajući poredak (slično izbor najvećeg elementa obezbeđuje sortiranje u nerastuci poredak). Prvo se nalazi najmanji element niza i on se "dovodi" na prvo mesto, zatim se nalazi najmanji od preostalih n - 1 elemenata i on se "dovodi" na drugo mesto, nalazi najmanji od preostalih n-2 elemenata i dovodi na treće mesto, itd, zaključno sa nalaženjem manjem od poslednja dva elementa i njegovim "dovođenjem" na pretposlednje mesto. Na poslednjem mestu će ostati element koji nije manji ni od jednog u nizu (najveći element). Implementacije algoritama sortiranja /* Poredimo i-ti i j-ti element niza a */ int uporedi(int a[], int i, int j) { br_poredjenja++; return a[i] > a[j]; /* Menjamo i-ti i j-ti element niza a */ void zameni(int a[], int i, int j) { br_zamena++; int tmp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = tmp; /* Selection sort */ void selection_sort_1(int a[], int n) { int i, j; for (i = 0; i < n-1; i++) for (j = i+1; j < n; j++) if (uporedi(a, i, j)) zameni(a, i, j); void selection_sort_2(int a[], int n) { int i, j, min; for (i = 0; i < n - 1; i++) { min = i; for (j = i+1; j < n; j++) if (uporedi(a, min, j)) min = j; if (i!= min) zameni(a, i, min); Šta možete reći o broju izvršenih zamena i poređenja kod ove dve implementacije? Vidi eksperiment dole!

2 Insertion sort Ako je dat niz (x n ) sa elementima nekog, uređenog tipa T, koji treba urediti u neopadajući poredak, ova metoda sortiranja polazi od pretpostavke da imamo uređen početni deo niza, (to svakako važi za i = 2, jer je podniz sa jednim elementom uređen) i u svakom koraku, počevši od i = 2 i povećanjem i, i-ti element se stavlja na pravo mesto u odnosu na prvih (uređenih) i i 1. /* Insertion sort */ void insertion_sort_1(int a[], int n) { int i, j; for (i = 1; i < n; i++) for (j = i; j > 0 && uporedi(a, j-1, j); j--) zameni(a, j-1, j); /* Broj dodela se moze redukovati tako sto se umesto zamena koristi dodela privremenoj promenljivoj */ void insertion_sort_2(int a[], int n) { int i, j; for (i = 1; i < n; i++) { int tmp = a[i]; for (j = i; j > 0 && a[j-1] > tmp; j--){ a[j] = a[j-1]; a[j] = tmp; Šta možete reći o broju izvršenih zamena i poređenja kod ove dve implementacije? Vidi eksperiment dole! Bubble sort Ova metoda je elementarna: ponavlja se prolazak kroz niz elemenata i razmenjuju se susedni elementi, ako je potrebno, sve dok se ne završi prolaz koji ne zahteva nijednu razmenu. Tada je niz sortiran. /* Bubble Sort */ /* Najjednostavnija implementacija - menjamo uzastopne dok god ima promena */ void bubble_sort_1(int a[], int n) { int bilo_zamena; do { int i; bilo_zamena = 0; for (i = 0; i < n-1; i++) if (uporedi(a, i, i+1)) { zameni(a, i, i+1); bilo_zamena = 1; while(bilo_zamena); /* Malo ubrzanje se moze postici ukoliko se primeti da posle svakog prolaza najveci ispliva na kraj, tako da se svaki naredni prolaz skracuje za jednu poziciju. */ void bubble_sort_2(int a[], int n) {

3 int i, j; for (i = n-1; i > 0; i--) for (j = 0; j < i; j++) if (uporedi(a, j, j+1)) zameni(a, j, j+1); /* Kombinujemo prethodnu optimizaciju sa prvobitnim kriterijumom zaustavljanja. */ void bubble_sort_3(int a[], int n) { int i, j; int bilo_zamena = 1; for(i = n-1; bilo_zamena; i--) { bilo_zamena = 0; for (j = 0; j < i; j++) { if (uporedi(a, j, j+1)) { zameni(a, j, j+1); bilo_zamena = 1; Šta možete reći o broju izvršenih zamena i poređenja kod ove tri implementacije? Vidi eksperiment dole! Shell sort Šelsort je jednostavno proširenje sortiranja umetanjem koje dopušta direktnu razmenu udaljenih elemenata. Proširenje se sastoji u tome da se kroz algoritam umetanja prolazi više puta, u prvom prolazu, umesto koraka 1 uzima se neki korak h koji je manji od n (što omogućuje razmenu udaljenih elemenata) i tako se dobija h-sortiran niz, tj. niz u kome su elementi na rastojanju h sortirani, mada susedni elementi to ne moraju biti. U drugom prolazu kroz isti algoritam sprovodi se isti postupak ali za manji korak h. Sa prolazima se nastavlja sve do koraka h = 1, u kome se dobija potpuno sortirani niz. /*Shell sort*/ void shell_sort_1(int a[], int n) { int sirina; int i, j, k; for (sirina = n/2; sirina >= 1; sirina /= 2) for (k = 0; k < sirina; k++) /* Elementi k-te kolone su: a[k], a[k+sirina], a[k+2*sirina],... Sortiramo je koristeci insertion sort... */ for (i = k + sirina; i < n; i += sirina) for (j = i; j > k && uporedi(a, j-sirina, j); j -= sirina) zameni(a, j-sirina, j); /* Malo pametnija implementacija - ne sortiramo jednu kolonu nakon druge, vec dopustamo da sortiranje tece paralelno. Nakon sto element neke kolone pronadje svoje mesto, prelazimo na obradu elementa do njega, umesto elementa ispod njega. Ovim se ne dobija sustinsko ubrzanje, ali cini kod malo jednostavnijim. */ void shell_sort_2(int a[], int n) { int sirina; int i, j, k; for (sirina = n/2; sirina >= 1; sirina /= 2)

4 for (i = sirina; i < n; i++) for (j = i; j >= sirina && uporedi(a, j-sirina, j); j -= sirina) zameni(a, j-sirina, j); Quick sort Ovo je najčešće upotrebljavan algoritam sortiranja. Osnovni oblik algoritma dao je 1960, Hor (Hoare). Nije težak za implementaciju, a koristi manje resursa (vremena i prostora) nego bilo koji drugi algoritam sortiranja, u većini slučajeva. Algoritam ne zahteva dodatnu memoriju, samo n*log(n) operacija u proseku za sortiranje n elemenata, i ima izuzetno kratku unutrašnju petlju. Loše strane algoritma su što je rekurzivan (nerekurzivna varijanta je mnogo složenija), u najgorem slučaju izvršava oko n 2 operacija. Postoje i verzije ovog algoritma koje ga poboljšavaju. Algoritam je vrlo osetljiv na implementaciju (efikasnost se može narušiti lošim izborom npr. pivota u implementaciji). Ako se ne želi analizirati najbolja implementacija, bolje je primeniti šelsort. Ideja algoritma sastoji se u particioniranju niza prema odabranom elementu particioniranja koji se dovodi na pravo mesto, i u primeni algoritma brzog sortiranja na svaku od dve dobijene particije. Rekurzivni poziv se završava kada se primeni na particiju sa manje od dva elementa. /* Quick sort */ void quicksort(int a[], int l, int d) { int s = (l+d) / 2; int piv = a[s], t, m; if (l >= d) return; /* Pvi korak je razdvojiti niz tako da bude oblika < < < < piv >= >= >= Ovo se odvija u nekoliko koraka. */ swap(a, l, s); /* piv x x x x x x x x x */ /* piv < < < >= >= >= x x */ /* m t */ m = l; for (t = l+1; t <= d; t++) if (a[t] < piv) swap(a, t, ++m); /* piv < < < < >= >= >= >= */ /* m */ swap(a, l, m); /* < < < < piv >= >= >= >= */ quicksort(a, l, m-1); quicksort(a, m+1, d); Merge sort Sortiranje spajanjem ili "merge sort" je algoritam sortiranja zasnovan na poređenju. To je rekurzivni algoritam. Njegova vremenska složenost proporcionalna je sa O(n*log(n)), a u srednjem slučaju je uvek efikasniji od algoritma brzog sortiranja (quick sort). U većini implementacija je stabilan, što znači da zadržava početni redosled jednakih elemenata u sortiranom nizu. Predstavlja primer algoritamske paradigme "podeli pa vladaj". Konstruisao ga je Džon fon Nojman (John von Neumann) godine. Konceptualno, algoritam sortiranja spajanjem "radi" na sledeći način:

5 1. Ako niz ima nula ili jedan element, onda je vec soritran. Inače, 2. Podeliti nesortirani niz u dva podniza približno jednake dužine. 3. Sortirati svaki podniz rekurzivno ponovnom primenom algoritma sortiranja spajanjem. 4. Spojiti dva sortirana podniza u jedan sortirani niz. Algoritam sortiranja spajanjem ukljucuje dva važna principa kojima poboljšava (smanjuje) vreme izvršavanja: 1. kratki niz je moguce sortirati u manjem broju koraka nego dugacki (osnova za deljenje niza na dva podniza) 2. manje koraka je potrebno za konstrukciju sortiranog niza od dva sortirana podniza nego od dva nesortirana podniza (osnova za spajanje). /* Merge sort */ void mergesort(int a[], int l, int d) { int s = (l + d)/2; static int b[100]; int i, j, k; if (l >= d) return; mergesort(a, 0, s); mergesort(a, s+1, d); i = l; j = s+1; k = 0; while (i <= s && j <= d) { if (a[i] < a[j]) { b[k++] = a[i++]; else { b[k++] = a[j++]; while(i <= s) b[k++] = a[i++]; while(j <= d) b[k++] = a[j++]; for (k = 0, i = l; i<=d; k++, i++) a[i] = b[k]; Složenost algoritma (vremenska ili prostorna) je obično neka funkcija koja povezuje veličinu problema (ulaza) sa brojem koraka izvršavanja algoritma(vremenska složenost) ili brojem potrebnih memorijskih lokacija (prostorna složenost). Uobičajeno je da se složenost algoritama (vremenska ili prostorna) procenjuje u asimptotskom smislu, tj. da se funkcija složenosti procenjuje za dosta velike dužine ulaza. Za to se koriste "veliko O" notacija(o()), "omega notacija" (Ω()), i "tetanotacija" (Θ()). "Veliko O" notacija, poznata kao Landau ili Bahman-Landau notacija, opisuje granično ponašanje funkcije kada argument teži nekoj specifičnoj vrednosti ili beskonačnosti, obično u terminima jednostavnijih funkcija. "Veliko O" notacija - dobila je ime od "order of" ili "red veličine" pa ćemo za vremensku složenost koja je reda O(f(n)) govoriti da je "proporcionalna" sa f(n). Analiza vremenske složenosti algoritma ne mora biti precizna (da prebroji svaki korak u izvršavanju algoritma), već je dovoljno da odredi najveće elemente takvih proračuna. Analiza složenosti Metoda sortiranja Vremenska složenost Prostorna složenost Stabilnost Selection sort O(n 2 ) O(1) Stabilan Insertion sort O(n 2 ) O(1) Stabilan

6 Bubble sort O(n 2 ) O(1) Stabilan Shell sort O(nlog 2 (n)) O(1) Zavisi Merge sort O(nlog(n)) O(n) Stabilan Quicksort O(nlog(n)) O(log(n)) Zavisi Eksperimentalni test elementarnih metoda sortiranja Svi nizovi su nizovi slučajnih generisanih brojeva. Dimenzija niza: 1000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 2000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort

7 Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 3000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 4000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 5000 elemenata

8 Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 6000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 7000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort

9 Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 8000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: 9000 elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort

10 Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort

11 Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort

12 Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata

13 Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort

14 Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort

15 Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort

16 Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort

17 Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort Dimenzija niza: elemenata Selection sort Selection sort Insertion sort Insertion sort Bubble sort Bubble sort Bubble sort Shell sort Shell sort

18 Grafici - eksperimentalni test Sortiranje nizova slučjano generisanih brojeva

19 Sortiranje obrnuto sortiranih nizova

20 Sortiranje već sortiranih nizova