CURS 1 oct Prof.univ.dr.ing Iulian Lupea
|
|
- Νεοπτόλημος Κασιδιάρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 VIBRATII -> SISTEME DISCRETE CU UN GRAD DE LIBERTATE CURS 1 oct. 1 Prof.univ.dr.ing Iulian Lupea 1.1. Modelarea şi analiza vibraţiilor Prin MODELAREA unui sistem mecanic înţelegem descrierea matematică a comportamentului sistemului. Fenomen real ingineresc FRI -> model fizic MF-> model matematic MM -în modelul real (complex legile fizicii se aplică cu mare dificultate. Modelul fizic se obţine prin eliminarea detaliilor şi reţinerea esenţialului. - în MF se pot aplica legile fizicii Modelul matematic MM se obţine în urma aplicării legilor fizicii în MF ANALIZA este procesul de rezolvare a MM şi găsirea soluţiei problemei Vibraţia este mişcarea oscilatorie a sistemului mecanic SM în jurul poziţiei de echilibru; exemple: leagăn, pendul, pom, atomii în jurul poziţiei de echilibru, timpanul urechii exterioare, corzile instrumentelor muzicale, corzile vocale, motorul autovehiculului pe suporţi, toate componentele unui vehicul (automobil, tren, vapor, avion vibrează la deplasarea acestuia, vibraţiile arborilor în timpul rotaţiei, maşinile unelte în timpul prelucrării sau mersului în gol etc. Inregistrarea poziţiei unui sistem mecanic real deformabil oarecare în timpul vibraţiei se face printr-o mulţime (o infinitate grade de libertate independente (între ele. Fiecare dof înregistrează poziţia liniară sau unghiulară a unei particule din sistem. Fiecare gdl (dof are origine, sens şi valoare la un moment t. Simboluri 1.. Clasificarea vibraţiilor 1. După numărul gradelor de libertate sau complexitatea geometrică a SM Sisteme cu un grad de libertate (1dof
2 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Sisteme cu grade de libertate (dof Sisteme cu mai multe (n grade de libertate (ndof: M & x&+ Cx& + Kx = F(t - sisteme mecanice modelate prin FEM unde fiecare nod al reţelei prezintă maxim 6dof (rezolvare numerică Sisteme cu masă continuă (o infinitate de dof; Ex: o bară de masă continuă încastrată la un capăt (Fig.x. Se poate menţiona aproximarea sistemelor cu masa continuă prin metoda elementelor finite.. Vibraţiile pot fi neamortizare (sisteme idealizate: m & x + kx = şi amortizate (sistemele reale: m & x + cx& + kx = unde c& x exprimă f. amortizare vâscoasă. 3. Vibraţii liniare mişcarea sm x(t este descrisă prin ecuaţii diferenţiale liniare: m & x + cx& + kx = V. neliniare mişcarea sm este descrisă de ecuaţii diferenţiale neliniare; exemplul pendulului: g ml & ϕ = mgl sinϕ > & ϕ + sinϕ = l După liniarizare obţinem: g ϕ& & + ϕ = > ω = g / l l 4. Sistemele mecanice efectuează vibraţii libere (neforţate m & x + cx& + kx = şi forţate: m & x + cx& + kx = f (t Forţele de excitaţie pot fi cunoscute la orice moment (sunt deterministice => răspunsul sm este cunoscut. Vibraţii aleatoare: fortele de vibraţie sunt necunoscute la momentul t fiind caracterizate statistic (prin medie şi deviaţia standard => răspunsul de asemenea caracterizat statistic. V. aleatoare: generate de vânt asupra unui pom, antenă etc., de valuri asupra unei ambarcaţiuni, excitaţia autovehiculului provenita de la drum. V. haotice au loc în sisteme neliniare, ca răspuns la diverse excitaţii, vibraţia fiind foarte dependentă de condiţiile iniţiale. Vibraţii tranzitorii sau cu regim rapid schimbător caz în care forţele sunt de durată scurtă şi neperiodice:
3 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 apar la pornirea unui motor, mişcarea solului sau a construcţiilor la cutremure, Exemplu de modelare simplificată a unui automobil M, J M, K J M, J
4 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, Funcţia armonică Mişcarea oscilatorie armonică este cea mai simplă formă de mişcare periodică fiind descrisă de funcţia armonică (1 şi reprezentată ca o curbă sinusoidală (Fig.1. Funcţia armonică este de forma: x(t = a cos ( ω t + ϕ x(t= a sin ( ω t + ϕ (1.1 unde t este timpul, a este amplitudinea [m] oscilaţiei, ω π este pulsaţia circulară [rad/s], ω = πf =, f este T frecvenţa [s -1 sau Hz], T perioada [s], iar φ este faza [rad] la originea timpului (fig.1.1. La originea timpului amplitudinea este a cos(φ. Timpul asociat maximului de amplitudine dinaintea originii timpului se deduce din relaţia: x ( t = a cos ( ω t + ϕ = 1 t = ϕ / ω Pentru deducerea vitezei şi acceleraţiei vibraţiei se derivează funcţia armonică în raport cu timpul: x(t = a cos ( ω t + ϕ x& (t= aω sin ( ω t + ϕ = aω cos ( ω t + ϕ + π / & x (t= aω cos( ω t + ϕ = ω x( t = aω cos ( ω t + ϕ + π Observăm amplitudinile deplasării (X varf =a, vitezei (V varf =aω şi acceleraţiei (A varf =aω punctului material sau corpului care descrie mişcare armonică. Rescriem tabelar expresiile pentru mişcarea armonică şi pentru viteza şi acceleraţia asociată: x(t = X f cos ( ω t + ϕ var x& (t=v f cos ( ω t + ϕ + π / var & x (t= Avar f cos( ω t + ϕ + π Observăm faptul că faza vitezei întrece faza deplasării cu 9º şi faza acceleraţiei întrece faza vitezei cu 9º. Alte mărimi utile pentru descrierea mişcării armonice sunt media valorilor absolute X mean şi rădăcină din media pătratelor valorilor X rms (rms = root mean square (. T 1 1 X mean = x t dt X rms x t dt T ( = T ( ( Fig.x amplitudinea, media val. abs şi rms Valoarea RMS este importantă fiindcă este o măsură strâns legată de energia vibraţiei. Relaţia de dependenţă dintre amplitudine, medie şi rms este: X rms = π X mean = 1 X var f sau: T
5 X rms =.771 X X X f mean =.6366 var var f Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Vector rotitor în planul complex In continuare se urmăreşte descrierea vibraţiei armonice printr-un vector rotitor în planul complex. Folosim dezvoltarea în serie de funcţii Taylor în jurul valorii x. ' '' ''' ( n f ( x ( ( 3 ( ( ( f x f x f x n f x + x = f x + x+ x + x + x + Rn 1!! 3! n! (1 Pentru x= obţinem relaţia MacLaurin: f ( x ' '' ''' ( n f ( f ( f ( 3 f ( n = f ( + x+ x + x + x + Rn 1!! 3! n! In cazul unor funcţii cunoscute se obţin relaţiile: n x = x e (1, jx x x x x e = j(x ( 1 n= n!! 4! 3! 5! cos n n (x= (-1 x (1, sin n+1 n (x= (-1 x (1 n= (n! n= (n+ 1! Prin înlocuirea relaţiilor (1 şi (1 în expresiile e jx (1 respectiv e -jx, rezultă relaţiile (1.: e jx = cos(x+ j sin(x e -jx = cos(x - j sin(x 1 (1. Din ultimele două relaţii (prin adunare respectiv prin scădere se deduc formulele lui Euler: jx -jx jx e +e - -jx e e cos (x= (1. şi sin(x= 3 (1.3 j Funcţia armonică poate fi reprezentată printr-un vector rotitor în planul complex: j( ωt+ ϕ Z(t= ae = a[ cos ( ω t + ϕ + jsin ( ω t + ϕ ] (1.4 unde s-a înlocuit variabila x cu funcţia de timp: x(t= ωt+φ ωt+φ înmulţeşte pe j şi reprezintă unghiul vectorului rotitor la momentul t t [s] este variabila timp care pune în mişcare vectorul rotitor ω [rad/s] este viteza unghiulară a vectorului φ [rad] este poziţia vectorului la originea timpului t=. Proiecţia pe axa reală a vectorului rotitor este funcţia armonică din relaţia 1.1 Exemplu: se consideră vectorul de modul, ω=3rad/s, φ=π/: j( 3t+ π / e = [ cos ( 3 t + π / + j sin ( 3 t + π / ] La momentul t=1s se obţine: e j ( 3+ π = [ cos ( j sin ( ] iar proiecţia reală este cos ( = (.1411 Derivatele vectorului complex sunt: Z& (t= jωz(t Z & (t= ω Z(t Z & &&(t= j 3 ω Z(t (1.4a Se observă că derivarea în raport cu timpul se traduce în înmulţirea funcţiei cu jω. Expresia jω se poate pune sub forma: π j π π jω = ω( cos + j sin = ω e (1.4b (1
6 Din relaţiile (1.4a şi (1.4b se poate scrie: jπ π Z Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 & ae j( t + j( ωt+ ϕ+ = ω e ω ϕ = aω e (1.5 jπ j( t+ π Z & ω ϕ j( ωt+ ϕ+ π = ω e + aωe = aω e (1.5 Astfel, prin derivare noul vector viteză Z & este rotit (poziţionat cu 9 în sens trigonometric faţă de Z iar modulul este înmulţit cu ω. La variaţia parametrului timp t, cei doi vectori se rotesc cu aceeaşi viteză unghiulară ω dar vectorul viteză va fi tot timpul înaintea vectorului deplasare cu 9. Acelaşi fenomen se observă între vectorii acceleraţie şi viteză. Vectorii acceleraţie şi deplasare se vor roti cu aceeaşi viteză unghiulară ω dar vor fi tot timpul în opoziţie de fază (18 grade. Proiecţiile pe axa reală a vectorilor complecşi deplasare, viteză şi acceleraţie Z, Z,Z & &... sunt egale cu derivatele de ordin corespunzător a funcţiei armonice (1.1. În figura 1. este proiectat vectorul rotitor complex M(t iar proiecţia este urmărită în timp. Un vector complex poate fi reprezentat într-o diagramă amplitudine-frecvenţă în care faza nu este observabilă, numită diagramă spectrală (Fig.1.3 sau în diagrama din figura 1.4 unde faza este vizibilă. Sistemul cu un grad de libertate Se va începe studiul vibraţiilor prin alegerea celui mai simplu sistem, acesta fiind descris printr-un singur gdl. Se pot observa multe sisteme reale care în urma unor simplificări cu reţinerea esenţialului pot fi modelate printr-un sistem cu un grad de libertate Vibraţii libere neamortizate Scriem ecuaţia diferenţială de mişcare a corpului de masă m din figura 1.5 pe baza legii a doua a adinamicii, considerând amortizarea nulă: m & x(t= - kx(t Trecem termenul drept în membrul stâng şi împărţim cu m: & + ω x = (1.6 x k/m unde s-a notat ω =. Semnificaţia mărimii ω se va observa mai târziu. Integrăm relaţia diferenţială (1.6 pentru a cunoaşte legea de mişcare a masei m, adică poziţia x a masei în funcţie de timp. Privind relaţiile (1.4 şi (1.4a observăm că funcţia Z este proporţională cu Z &, fapt ce justifică alegerea unei funcţii de forma; x(t = a st e ca soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.6. k c m x (t
7 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Mărimile a şi s sunt necunoscute. Înlocuim soluţia în ecuaţia diferenţială (1.6 şi împărţim cu mărimea pozitivă ae st. Se obţine ecuaţia caracteristică în s de forma: + s ω = (1.7 având ca soluţii valorile s 1, = ± jω. Inlocuind valorile lui s în soluţia propusă, legea de mişcare a masei m va fi de forma: x(t = j a e ω t + -j t 1 ae ω (1.7a Exprimăm vectorii rotitori prin funcţii trigonometrice e jx = cos(x+ j sin(x şi obţinem: Se grupează termenii reali şi cei imaginari şi se obţine legea de mişcare a masei m: x(t = c1cosω t +csinωt (1.7b unde s-a notat: c1 = a1 + a, c = j( a1 a Constantele de integrare c 1 şi c se determină din condiţiile iniţiale de pornire a vibraţiei sistemului, mai exact poziţia x(=x şi viteza x (=v la t=. Legea de mişcare (1.7b trebuie să verifice şi condiţiile iniţiale: x& (= v x( = x => x = c 1, x( & = v => v = c ω Din cele două ecuaţii obţinute se deduc constantele de integrare c 1, c şi se introduc in relaţia (1.7 rezultând: v x(t = x cosωt + sinωt (1.8 ω Relaţia se poate pune şi sub forma unei funcţii armonice: x(t = acos ( ωt -ϕ (1.9 v / ω x Se introduc notaţiile: sin ϕ =, cosϕ = x + v x + v, ω ω v astfel încât se verifică relaţia: sin ϕ + cos ϕ = 1, iar tg ϕ = x ω Se înlocuiesc x şi v /ω în relaţia (1.8 şi se obţine: sau mai compact: x(t = a1[cos (x+ j sin(x ] +a[cos(x j sin(x ] cu amplitudinea şi faza iniţială de forma: v x(t = x + (cosω t cosϕ + sinω t sinϕ ω x(t = a(cosω t ϕ v v a = x + ω şi ϕ = arctg (1.1 ω x Observăm că amplitudinea mişcării armonice este direct proporţională cu poziţia iniţială x şi cu raportul v /ω. Reprezentarea în planul complex se observă în figura 1.. Observând relaţia (1.9 este explicabilă notaţia ω = k/m făcută mai sus, în relaţia (1.6, reprezentând pulsaţia naturală a sistemului deoarece în urma oricăror condiţii iniţiale (poziţie, viteză mişcarea sistemului rezultă armonică de pulsaţie ω aceasta fiind dependentă numai de masă şi de rigiditatea arcului. Frecvenţa naturală rezultă de forma: 1 k f = π m
8 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Pulsaţia naturală se referă întotdeauna la sistemul neamortizat. În realitate sistemul este amortizat iar pulsaţia reală este mai mică decât cea naturală deci perioada mai mare. Exemplul 1: Să se calculeze pulsaţia proprie a unui sistem cu un grad de libertate format dintr-o masă m=kg suspendată de un arc elicoidal fără masă şi de constantă de rigiditate k=n/m. ω = k/m = rad/s, f = ω /(π = 5.33 Hz. Să se determine poziţia masei după 5 secunde de la pornirea vibraţiei: v x(5= x cos( sin( x(5=.511 x +.7 v Poziţia masei după 5 secunde de oscilaţie este deci dependentă de poziţia şi viteza masei la momentul iniţial. Exemplul : Se consideră un cilindru de suprafaţă S şi lungine l în care oscilează un piston de masă m. Coloana de aer se comportă ca un arc de constantă de elasticitate k = pa γ S / L. Prin asemănare cu sistemul masă arc elicoidal se poate scrie pulsaţia naturală a sistemului [ ]: ω = unde p ml a este presiunea atmosferică, iar γ este o constantă care pentru aer ia valoarea 1.4 şi participă la calculul modulului de compresibilitatea (bulk modulus în cadrul relaţiei K=γp (p este presiunea din gaz. Coloană de aer asimilată cu un arc O asemănare cu sistemul arc - masă se întâlneşte la incinta de volum V ce conţine aer cu rol de resort (Fig. XX şi un tub sau gâtuirea circulară de lungime L şi secţiune S a cărui masă a aerului conţinut joacă rol de piston. Masa din zona îngustată este m=ρsl iar constanta arcului asociat aerului din incintă este: K = ρs c / V Pulsaţia naturală a sistemului asimilat cu un grad de libertate este: ω K c S = == m π VL Rezonatorul Helmholtz Masa aerului din tubul de secţiune S şi lungime l joacă rolul unui piston: m = ρlv Volumul mare de aer V din interiorul incintei se va comporta ca un resort de constantă k: k = ρs c / V Unde c este viteza sunetului în aer iar ρ este densitatea aerului. Pulsaţia naturală a sistemului este: ω = k / m = c S vl p a γ S 1.5. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă Considerăm din nou sistemul din figura 1.5 şi aplicăm legea a doua a dinamicii: m& x = cx& kx. Termenul - cx& reprezintă forţa de amortizare vâscoasă, proporţională cu viteza, pentru viteze mici. Se trec toţi termenii în membrul stâng şi se împarte cu masa: c & x + x & + ω x = m (1.11 Observând relaţiile (1.4, (1.4a şi (1.11 rezultă că soluţia este de forma: x(t = ae st, care se înlocuieşte în ecuaţia diferenţială a sistemului amortizat având un grad de libertate. Rezultă ecuaţia caracteristică:
9 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 c + s + s ω = cu soluţiile: m c c s ω 1, = ± (1.1 m 4 m În continuare se va observa comportamentul sistemului pentru diferite valori ale constantei de amortizare cu păstrarea masei m şi a rigidităţii arcului k, constante. Pentru început să calculăm valoarea particulară a constantei de amortizare c notată c, pentru care discriminantul se anuleză. Rezultă amortizarea critică de forma: c = mω sau c = m k/m = km (1.13 Din motive practice, se introduce o mărime relativă denumită raport de amortizare ζ = c/ c pe care o vom folosi în locul constantei c. Raportul de amortizare se poate exprima de asemenea în procente, astfel pentru ζ=1% constanta de amortizare c este 1% din amortizarea critică c. Ecuaţia diferenţială (1.11 se rescrie: ζ & x +c x+ & ω x = m Se înlocuieşte c din relaţia (1.13 rezultând: & x + ζ x+ ω & ω x = (1.14 Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sau polii sistemului în funcţie de ζ devin: s1, = - ζ ω ± ω ζ - 1 sau: s 1, = -ζ ω ± jω 1 ζ Iniţial s-a propus soluţia x(t = ae st. Legea de mişcare a masei în timp este o combinaţie liniară a celor două soluţii corespunzătoare celor doi poli determinaţi: x(t = s c e 1 t t +c es 1 (1.15 Observăm că soluţia x(t are trei forme distincte în funcţie de valoarea expresiei ζ - 1 de sub radical. Valoarea acestei expresii depinde de raportul de amortizare şi prin urmare de valoarea constantei de amortizare. 1. Cazul amortizării subcritice ( ζ < 1 Dacă ζ < 1 sub radical se obţine o valoare negativă, polii sistemului sunt complex conjugaţi: s 1, = - ζ ω ± jω 1- ζ Se înlocuiesc polii în expresia legii de mişcare (1.15 rezultând: -ζ j 1- t j 1- t x(t= ω t ω ζ ω ζ e [c1 e +c e ] Se trece la exprimarea prin funcţii trigonometrice. Expresia legii de mişcare x(t indică vibraţie amortizată de forma (1.16 în care amplitudinea vibraţiei descreşte exponenţial: x(t= e - ζ ω t ζ [c1 cos( ω 1- ζ t+c sin( ω 1 - t] (1.16 Pentru condiţiile iniţiale x(=x, x& (= v se determină constantele c 1 şi c : v + ς ω x c1 = x, c = ω 1-ζ Urmărind o exprimare mai compactă, rezultă: -ζ x(t= ω t ae cos ( ω 1-ζ t -ϕ (1.17 sau: -σ t x(t = ae cos( ωd t -ϕ (1.17 Se introduc astfel două noţiuni, pulsaţia amortizată ω d şi factorul de amortizare σ :
10 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 ω d = ω 1-ζ si σ = ζω (1.18 respectând relaţia: ω d + σ = ω. Din condiţiile iniţiale x, v se pot calcula constantele a şi φ. Polii pot fi scrişi şi în forma s = σ jω. 1, ±. Cazul amortizării critice ( ζ = 1 În această situaţie ( ζ = 1sau c = c discriminantul ecuaţiei caracteristice se anulează şi polii rezultă confundaţi: s1 = s = -ω Legea de mişcare este de forma: - x(t = ω t e (c1 + ct (1.19 Din condiţiile iniţiale rezultă constantele: c1 = x, c = v + ωx Reprezentând grafic legea de mişcare observăm că mişcarea este aperiodică amortizată. 3. Cazul amortizării supracritice ( ζ > 1 Polii sistemului sunt de forma: iar legea de mişcare rezultată este: Din condiţiile iniţiale rezultă constantele: d s1, = - ζ ω ± ω ζ - 1 -ζω x(t = e t -1 t - -1 t ( ω ζ ω ζ c e +c e (1. 1 c1 = [ v + ( ς + ς -1 ωx ]/(ω ς -1 c = [ v + ( ς + ς -1 ωx ]/(ω ς -1 În figura 1.6 este prezentată amplasarea polilor în planul complex în funcţie de amortizarea din sistem, corespunzător celor trei cazuri mai sus tratate plus cazul vibraţiei neamortizate. Raza cercului pe care rămân tot timpul polii este egală cu pulsaţia proprie ω sau modulul polilor complecşi, fiind constantă deoarece depinde numai de m şi k. Pe axa reală se măsoară mărimea factorului de amortizare σ = -ζ ω = ω cos( β iar pe axa imaginară se măsoară pulsaţia amortizată
11 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 sau pseudopulsaţia ωd = ω 1- ζ. Observăm relaţia ζ = cos ( β. Polii situaţi pe axa imaginară au ζ = corespunzând cazului vibraţiei neamortizate. Polii amplasaţi pe axa reală pot fi confundaţi la abscisa -ω (cazul amorizării critice sau simetrici faţă de abscisa -ζω în cazul amortizării supracritice, caz în care răspunsul la excitaţia exterioară este o descreştere exponenţială a amplitudinii fără treceri repetate prin poziţia de echilibru static. Pentru amortizare subcritică polii nu sunt aşezaţi pe axele de coordonate ci în semiplanul negativ a axei reale iar fenomenul de vibraţie are loc. Cu cât un pol este amplasat mai aproape de axa imaginară, amortizarea este mai mică, atingând cazul ideal, fără amortizare, pentru situarea lui pe axa imaginară. Exemplul : Se consideră un sistem format dintr-o masă m=1kg, un arc având coeficientul de rigiditate k=1n/m şi un amortizor. Coeficientul de amortizare se consideră pe rând de valoare c=4 Ns/m, Ns/m, 1Ns/m. Efectuând calculele se obţine pulsaţia naturală a sistemului ω = 1, independentă de amortizare şi coeficientul critic de amortizare c = mω de valori c o1 =, c =1, c 3 =.5 corespunzător celor trei amortizoare. Exemplul 3: Pentru reprezentarea grafică a răspunsului în timp al unui sistem cu un grad de libertate se poate folosi următoarea funcţie scrisă în Matlab: function Vib_amo(m,c,k,x,v,tf w=sqrt(k/m; z=c/(*w*m; wd=w*sqrt(1-z^; fprintf('frecventa naturala este %.3g rad/s.\n',w; fprintf('raportul de amortizare este %.3g.\n',z; fprintf('frecventa proprie amortizata este %.3g.\n',wd; t=:tf/1:tf; if z < 1 A=sqrt(((v+z*w*x^+(x*wd^/wd^; phi=atan(x*wd,v+z*w*x; x=a*exp(-z*w*t.*sin(wd*t+phi; fprintf('a= %.3g\n',A; fprintf('phi= %.3g\n',phi; elseif z==1 a1=x;%(1.46 a=v+w*x;%(1.46 fprintf('a1= %.3g\n',a1; fprintf('a= %.3g\n',a; x=(a1+a*t.*exp(-w*t; else a1=(-v+(-z+sqrt(z^-1*w*x//w/sqrt(z^-1; a=(v+(z+sqrt(z^-1*w*x//w/sqrt(z^-1; fprintf('a1= %.3g\n',a1; fprintf('a= %.3g\n',a; x=exp(-z*w*t.*(a1*exp(-w*sqrt(z^-1*t+a*exp(w*sqrt(z^-1*t; end plot(t,x xlabel('timpul' ylabel('deplasarea' Funcţia Vib_amo( poate fi apelată cu parametri: m, c, k, x, v, tf unde x, v şi tf sunt poziţia iniţială, viteza iniţială şi timpul de simulare a fenomenului şi cu parametri: zeta, w, x, v şi tf unde w este pulsatia naturală [rad/s].
12 Oct. 1 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 În funcţie de tipul disipării energiei din sistemele ce efectuează vibraţii, pe lângă amortizarea vâscoasă, s-au realizat şi alte modelări cum sunt amortizarea histeretică sau structurală şi cea coulombiană sau prin frecare uscată Studiul vibrogramei Acest caz realizează identificarea unor parametrii pe baza evoluţiei fenomenului în domeniul timp. Se pune o problemă practică. Având înregistrarea în timp (vibrograma, Fig.9. a mişcării oscilatorii amortizate să calculăm raportul de amortizare şi pulsaţia naturală a sistemului neamortizat. Pentru aceasta se foloseşte noţiunea de decrement logaritmic a cărui mărime este măsurabilă, definită prin relaţia următoare: x(t δ = ln (9.1 x(t +T d Se fac înlocuiri rezultând: -ζ a ωt e cos( ωd t -ϕ δ = ln = ζ - ωt d (9. ζ a ω (t+t d e cos( ωd t + ωd T d -ϕ Considerând relaţiile: π T d = şi ωd = ω 1- ζ se ωd obţine: π δ = ζ 1-ζ Se explicitează raportul de amortizare: δ ζ = (9.3 δ + 4π Considerând că δ este foarte mic comparativ cu π 4, se neglijează, rescriindu-se relaţia (9.3: δ ζ (9.4 π În continuare pulsaţia naturală se calculează cu relaţia ωd π ω = = (9.5 1-ζ T 1-ζ d Identificarea începe prin măsurarea pe vibrogramă a mărimilor x(t, x(t+t d şi T d la un moment t oarecare.
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραFIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Oscilatii mecanice ş.l. dr. Marius COSTACHE 3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Oscilaţii mecanice Oscilaţia fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departamentul de Automatică Str. Dorobanţilor 7, sala C2, tel: 0264-40267 Str. Bariţiu 26, sala C4, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότεραLucrul si energia mecanica
Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL MISCARII OSCILATORII FORTATE
STUDIUL MISCARII OSCILATORII FORTATE Scopul lucrării: În acestă lucrare se studiază mişcarea oscilatorie forţată a unei coloane de lichid, aflată sub acţiunea unei forţe exterioare periodice. Se determină
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραA1. Valori standardizate de rezistenţe
30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea
Διαβάστε περισσότεραCURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 71-73, sala C21, tel: 0264-401267 Str. Baritiu 26-28, sala C14, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul
INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic şi energia mecanică.
ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα(k= constanta elastică a resortului, = coeficientul de frecare vâscoasă al mediului). Fig.3.1 Oscilaţii amortizate. m 2
CURS 3 OSCILAŢII 3.1 Oscilaţii amortizate Un sistem real aflat în mişcarea oscilatorie întâmpină o anumită rezistenţă din partea mediului în care oscilează efectuează oscilaţii amortizate = amplitudinea
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότερα1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă.
.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o a unei sîrme de oţel dacă mărim de n ori : a)sarcina, b)secţiunea, c) diametrul, d)lungimea? Răspuns: a) creşte de n ori, b) scade de n ori, c) scade de n,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL OSCILAŢIILOR LIBERE ŞI A OSCILAŢIILOR FORŢATE FOLOSIND PENDULUL POHL
STUDIUL OSCILAŢIILOR LIBERE ŞI A OSCILAŢIILOR FORŢATE FOLOSIND PENDULUL POHL 1. Introducere În acestă lucrare veţi studia caracteristicile mişcării oscilatorii libere şi ale mişcării oscilatorii forţate
Διαβάστε περισσότεραCircuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL MISCARII OSCILATORII CU AJUTORUL PENDULULUI DE TORSIUNE
STUDIUL MISCRII OSCILTORII CU JUTORUL PENDULULUI DE TORSIUNE 1. Scopul lucrării: I. naliza oscilatiilor libere: 1. determinarea momentului de torsiune prin metoda statică şi prin metoda dinamică;. determinarea
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότερα2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότερα( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul
Διαβάστε περισσότεραOSCILAŢII ŞI UNDE Dumitru Luca Cristina Stan Universitatea Al. I. Cuza Iaşi Universitatea Politehnica Bucureşti 11 februarie 2007
OSCILAȚII ŞI UNDE Dumitru Luca Universitatea Al. I. Cuza Iaşi Cristina Stan Universitatea Politehnica Bucureşti 11 februarie 2007 Cuprins 1 Mişcarea oscilatorie 1 1.1 Oscilații liniare libere.................................
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραDeterminarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita
Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita 1. Generalităţi Există mai multe metode pentru a determina
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic. Puterea mecanică.
1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia
1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα