Mit v astronomiji. Najprej je bil mit, nato znanost. Uvod

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mit v astronomiji. Najprej je bil mit, nato znanost. Uvod"

Transcript

1 Kdo smo? Od kod smo prišli? Zakaj je tako? Kje je še tako kot tu? Kam gremo? je nekaj vprašanj, ki si jih človek pogosto zastavlja že od svojega biološkega zavedanja. Vzporedno z razvojem človeštva so bili odgovori na ta vprašanja v različnih obdobjih človeške družbe različni in so se glede na razvojno stopnjo družbe ustrezno spreminjali. Ko je človek v davnini strmel v zvezde, je pojasnjeval zvezdno nebo oziroma vesolje in telesa in pojave v njem predvsem z miti. Saj drugih možnosti ni bilo, vsaj človek jih ni poznal. Vprašanja Kdo smo? Od kod smo prišli? Kam gremo? še vedno vznemirjajo človeka in ostajajo odprta. Uvod Mit v astronomiji Poskus poljudnega razmišljanja in pisanja. To preprosto napisati ni enostavno, ker nisem na filozofiji na univerzi poslušal teorije mita, če je to sploh predmet predavanj. Ni vedno vse tako, kot piše. Najprej je bil mit, nato znanost. Recimo, da bi vprašali otroka ali tudi povprečno izobraženega odraslega, kaj misli o vesolju. Večinoma bi dobili nekako takle odgovor: ''To je nebo. Tam so zvezde, Sonce, Luna, planeti,. Tam letajo rakete. Tam potujejo vesoljske ladje,. Tam so že bili astronavti. Tja bo nekoč odšel človek.'' Morda bi še kdo zakrilil z rokama nad seboj, da bi pokazal, kje je vesolje. Ne pričakujmo preveč. Vesolje, vesolje, vesolje,? Vsak ga dojema in sprejema po svoje: otrok in odrasel, naravoslovec in družboslovec, matematik in jezikoslovec, filozof in tehnik, slikar in pesnik, sploh pa umetniška duša, Kaj je pravzaprav to vesolje? Gre za enega temeljnih in zelo zapletenih vprašanj, ki si ga je človek zastavljal že pred daljnimi tisočletji, ko se je začel zavedati samega sebe, smisla svojega žitja in bitja. Odgovor nanj še danes buri človeštvo. Besedo kozmos (grško κόσμος: kosmos vesolje, (vesoljni) red, ureditev, harmonija; nasprotje je neurejen kaos, iz katerega je nastal kozmos) je prvič uporabil veliki grški filozof, matematik in mistik Pitagora pri opredelitvi svojega svetovnega sistema ali zgradbe vesolja, to je harmonije njegovih sestavnih delov (6. stol. pr. n. š.). Pojasnjevanje besede oziroma pojma kozmos se zdi pomembno v vesoljsko-nazorskem, filozofsko etičnem, šolsko-izobraževalnem in tudi praktično-opazovalnem pogledu. Zato so v različnih zgodovinskih obdobjih na taka vprašanja gledali različno in jih tudi pojasnjevali različno, odvisno od

2 razvojne stopnje družbe. Starodavni pogledi na vesolje so do danes doživeli velike in korenite spremembe. Značilno za današnji čas je, da smo na eni strani priča hitri in siloviti spremembi oziroma prenovi osnovnih predstavljanj o vesolju, na drugi strani pa se je zaradi široke razširjenosti in praktičnosti oblikoval povsem uporabniški pogled na vesolje, kot npr. na nek popolnoma svoboden in odprt prostor okrog Zemlje, ki ga lahko človek osvaja in si ga prilagaja (kolonizira) za svoje potrebe kot neko novo proizvodno sredino, ki jo izkorišča za svoje potrebe. Morda se je zaradi takšnih zelo nasprotujočih gledišč (znanstvenega in ozko uporabniškega) pri nekaterih ljudeh pojavilo povečano zanimanje za različne neobičajne vesoljske pojave, kot so na primer NLP, obiski zunajzemeljskih prebivalcev (nezemljanov), obstoj drugih vzporednih svetov (= vesolj). Danes kar precej objavljenih del poskuša prikazati, kako so v različnih zgodovinskih obdobjih odgovarjali ali pojasnjevali na začetku zastavljena vprašanja. Kdaj je naš davni prednik uprl pogled v zvezdno nebo in se prvič zamislil nad tem, kaj je svet (= vesolje)? Mar današnja znanost sploh razpolaga z resnimi dokazi, da bi lahko odgovorila na to zapleteno vprašanje. No, take možnosti so. Po nekaterih arheoloških raziskavah so naši davni predniki živeli na Zemlji že pred nekaj milijoni let (po Ledi Cosmides (*1957), eni od utemeljiteljic razvojne psihologije z univerze California v Santa Barbari, je 'v 4,5 milijona letih naravni izbor postopoma izoblikoval človeške možgane'. Zvrstila se je dolga vrsta rodov (sto tisoč). Človek gleda zvezde let, odkar je prišel iz jam. Pred kakšnimi leti je prišlo do velike spremembe - intelektualnega izbruha. Človek homo sapiens in hkrati tehnika sta se začela naglo razvijati. Kaj se je takega zgodilo? Za kakšen dogodek gre, da se je v vsega petsto rodov sprožil tak plaz dosežkov, tak silovit sunek, ki je pripeljal do današnje stopnje človekovega uma do fantastičnih dosežkov znanosti, tehnike in tudi družbenih odnosov? Leda Cosmides, ameriška psihologinja, je skupaj z možem, antropologom Johnom Toobyjem osnovala evolucijsko psihologijo.

3 Tak dogodek je bil nastanek govora. Omogočilo ga je človekovo delo. Delo je torej razvijalo, usmerjalo in urejevalo govor. Vzporedno je treba omeniti še pojav človeške družbe pojav človeka kot družbenega bitja, torej tudi pojav njegove zavesti. Znanje, ki z izbranimi besedami, z matematičnimi zapisi in raznimi naravoslovnimi simboli, umetniškimi liki in izdelki, tehnološkimi obrazci in drugimi umskimi možnostmi, je bilo na tak način mogoče posredovati drugemu, kar je bilo in je še vedno velika odlika in dostojanstvo človeške družbe. Kot posledica človeške zavesti je nastal tudi dialog. Človeške oči so gledale, opazovale, opazile, odkrivale. Človek je videl obdajajoče se vesolje, spremembe v njem in ga začel spoznavati. Vodilna misel njegovega razuma in duševnosti, osnovna želja njegovega stremljenja je bilo spoznavati, raziskovati, odkrivati, in na koncu vsaj delno razumeti in nadalje pojasnjevati obdajajoči svet. Na žalost je bilo znanje našega davnega prednika silno skromno. Toda starodavni človek se je že naučil misliti in je našel izhod. Ta izhod je bil mit o vesolju, njegovemu nastanku, razvoju in dogajanjih v njem. Morda bi lahko rekli, da je človek postal pravi človek tisti trenutek, ko je prvič imenoval zvezde nad svojo glavo, na zvezdnem nebu, in se zavedel, da je tudi sam del tistega nad glavo, kar opazuje, to je vesolja. To bi bilo mogoče celo pojasniti, npr. v jezikoslovju (z analizo zgodovinsko zgodaj nastalih besed v zvezi z vesoljem, s smiselnostjo in pomenov imen in povezav med njimi). Prve še ne urejene predstave o vesolju so prišle do nas v obliki mita. Zakaj? Človek, ki se je komaj naučil misliti, je raziskoval in polagoma odkrival okolni svet, poln ugank, nevarnosti, nejasnosti, nerazumljivosti, nedoločnosti. Ko se je pojavila potreba oziroma želja po spoznavanju in razumevanju tega sveta, je nastala mitologija. Mit bi bilo mogoče umestiti med elementarno miselnostjo preprostega človeka in pošastno zamotanim kaosom, ki obkroža Zemljino resničnost. Da bi se rešil spon nerazumljivosti in nejasnosti, oziroma, da bi jih zadovoljivo pojasnjeval, je prvobitni človek dal svetu (= vesolju) mitološko razlago. To ga je rešilo pred bremenom nerazumevanja in napolnilo z določeno vsebino. Mit pa je služil tudi kot opora magiji, s katero si je človek poskušal podrediti druge in se zoperstaviti naravnim silam, ki so mu bile pogosto sovražne. Mit se razlikuje od zgodbe. S svojo neverjetno bogato domišljijsko obarvano pripovednostjo je več in globlje podaja vsebino kot kakršna koli zgodba in tudi pravljica. Človek ga sprejema kot nekaj resničnega, no, vsaj zdi se mu verjeten. Starodavni človek druge izbire (možnosti) pojasnjevanja zapletenih vesoljskih ugank ni imel. Miti so nastali že v arhajični (prvobitni) družbeni ureditvi, to je v času od začetka socialnih družbenih odnosov do pojavljanja razredne družbe. V teh razmerah se je mit pokazal kot nekaj edinega, kar je dostopno človeku, sposobnemu najpreprostejšega mišljenja zunaj okvirja njegovih plemenskih odnosov. Mit davnemu človeku ni nadomestil znanja. Nadomestil je le številne

4 vrzeli v znanju, torej neznanje oz. neznano. Ob prehodu k razredni družbi je v ospredje polagoma začela prihajati druga vloga mita njegova družbena uporaba (korist). Mit se je začel spreminjati v kult. Končno se je začelo oblikovati razumevanje mita kot abstraktna posplošitev nečesa. Glavni del davne mitologije sestavljajo naravoslovni miti, katerih značilna oznaka je verovanje v nadnaravne sile v naravi, poosebljanje naravnih sil in pojavov. Zgodovinski spomin vseh narodov hrani številne ustrezne legende in ustna izročila. Danes npr. uporabljamo imena planetov in ozvezdij, ki smo jih dobili na osnovi starogrških mitov. Trije nebesni orjaki oziroma silaki: Heraklej, Orion in Perzej, prikazani kot ozvezdja v starih zvezdnih kartah. Miti, ki nebesne junake opisujejo in povzdigujejo njihova nenavadna junaštva, se berejo dosti bolje od katere koli druge zgodbe (tudi pravljice). Na zvezdnem nebu tako najdemo junake, kot so Heraklej, Perzej, Orion, Dvojčka (Kastor in Poluks) in druge, čaščene kot ozvezdja. Najsvetlejša nebesna telesa Sonce, Luno in planete so poimenovali po bogovih, ki so veljali za njihove vladarje: Zevs, Hermes, Afrodita, Ares, Kronos, Apolon in Artemida (sedem nebesnih teles sedem dni v tednu), ki so s svojimi rimskimi imeni Jupiter, Merkur, Venera, Mars, Saturn, Sol in Luna ostali uradni nebesni»prebivalci«do današnjega dne.

5 Jupiter (po starem Zevsova zvezda ali kar Zevs), svetla Venera (Afrodita), Mars (Ares) in Merkur (Hermes) - gospodarji na zgodnjem jutranjem nebu oktobra leta Vsa ta in tudi še številna druga vesoljska telesa so povezana z miti. Prve kozmologije Miti so veliko bolj zanimivi in dinamični od realnih zgodb. Mitološko videnje vesolja v bistvu pelje v antropologizem, to je, da so vsi opazovani objekti (sonce, zvezde, drevesa, reke, vetrovi ) in pojavi v naravi živa bitja, ki živijo podobno kot ljudje, da prav tako kot človek prepotujejo čas rojstva, rasti, vrhunca, pojemanja moči in smrt. Zakaj ima zaznavanje sveta v prvobitnem človeku prvenstveno mitološki značaj? Zanj je bil mit pač edini dostopen način razmišljanja izven splošno rodbinskih odnosov. Razumevanje mita kot abstraktna posplošitev nečesa je nastalo precej pozneje. Prvo sliko sveta (= vesolja), ki jo je možno upoštevati kot znanstveno, so formulirali v antiki. Relativna razvitost suženjskega družbenega reda glede na brezrazredno družbo in praktično življenjske potrebe v tistem času so zahtevale rešitve številnih znanstveno uporabnih nalog: razvoj geografije (potovanja v neznane dežele in uporaba zemljevidov), zvezdne navigacije (orientiranje po zvezdah), izpopolnjevanje koledarja (setev, žetev), merjenje časa itn. Pitagora, avtor izraza kozmos, je predlagal pirocentrični sistem zgradbe sveta (= vesolja), v katerem Sonce, Luna in planeti pod nebesnimi sferami krožijo okrog izmišljenega središčnega ognja. Antično znanja o vesolju se je odražalo v nespremenljivosti in popolnosti same zgradbe vesolja. Tak svetovni nazor pogled na svet oziroma vesolje je bil statičen.

6 Homer (8. stol. pr. n. š.) se z vprašanjem sveta, tj. vesolja, ne ukvarja. Naslanja se na mitologijo. Nebo je sestavljeno iz dveh delov: zgornji del je eter, spodnji zrak. V zgornjem delu je izvor svetlobe, v spodnjem megle. Zemlja je obdana z ogromno količino vode, je ploščata in negibna, je v središču med zgornjim nebom in spodnjim svetom, ki ga predstavlja noč in večni hlad had (pekel). Morda nekoliko jasneje pozneje pojasnjuje pojmovanje nastanka Zemlje (in človeka) pesnik Heziod (okoli 700 pr. n. š.) v svojem rodoslovnem delu Teogonija (Nastanek bogov; v 1022 heksametrih). Tu prikazuje nastanek sveta in celo prvič poda poreklo grških bogov. Na kratko (ena verzija, kjer se ne spuščamo v podrobnosti): v začetku je bil Kaos. Iz njega je nastala Gea (Zemlja) in skupaj z njo Eros (simbol ljubezni) želja po razmnoževanju. Iz Kaosa sta se rodila Ereb (simbol mraka) in Noč. Poročila sta se in iz ljubezni se jima je rodila Eter (nebesna luč, sicer simbol svetlobe na splošno) in Dan (zemeljska luč). Gea je nato sama rodila Urana (Nebo), se nato poročila z njim in rodili so se jima Okean in Tetida, potem pa še Kiklopi, Titani in Giganti (personifikacije posameznih naravnih sil). Najpomembnejši Titan je bil najmlajši Kronos, ki je postal vodja grških bogov. Proti Kronosu se je postavil njegov sin Zevs. Uspelo mu je premagati svojega očeta in tako je postal vrhovni poglavar vseh grških bogov na Olimpu. Tales iz Mileta ( pr. n. š.) je na splošno menil, da je Zemlja nastala iz vode, da je ploščata in plava na vodi. Ne priznava božanskega vpliva na svet!! Talesov učenec Anaksimander je menil, da ima Zemlja obliko valja, ki lebdi v zraku in je enako oddaljen od vseh nebesnih teles, Anaksimandrov učenec Anaksimen pa, da Zemlja ni ploščata in ne visi v zraku, je pa negibna. Menil je, da se Sonce ne giblje okrog Zemlje, temveč se ponoči skriva za visokimi hribi in se pojavi šele naslednji dan, vsa nebesna telesa pa so se razvila iz Zemlje. Od Zemlje naj bi se oddelil kos, ki naj bi hitro krožil in tako naj bi se oblikovalo svetlo Sonce. Vse naj bi nastalo iz snovi iz zraka. Če se snov razredči, nastane ogenj, če se zgosti, veter, če se še bolj zgosti, nastane voda. S še močnejšim zgoščevanjem pa nastane zemlja, kamenje in skale. Procesi v vesolju se po njem odvijajo periodično. Po sholastiki je vesolje večno. No, periodično se lahko sicer poruši, da bi se ponovno sestavilo v naslednjem kozmičnem ciklu. Razruši pa se lahko le spremenljivi podlunski svet, predeli višje oziroma dlje od Lune pa so večni. Zvezde so sestavljene iz božanske snovi (kvintesence), so večne, zato imajo v oblasti vse, kar je in nastaja v podlunskem svetu.

7 Notranji del pirocentričnega svetovnega sestava ali zgradbe vesolja po pitagorejski šoli (Filolaj, 5 stol. pr. n. š.). Pitagora (idealist, mistik, matematik, astronom, glasbenik) je v številu videl bistvo vseh stvari v naravi. Število 10 je imel za najpopolnejše število. Predstavljalo mu je božanstvo. Tudi v vesolju pozna 10 teles, ki krožijo okrog večnega središčnega ognja v središču vesolja. To so Sonce, Luna, Merkur, Venera, Mars, Jupiter, Saturn, Rimska cesta in seveda Zemlja in Protizemlja Antipod oz. Antihton (da se izpolni število 10, je Protizemlja izmišljena). Zemlja in Protizemlja sta si vedno v nasprotnih legah glede na večni središčni ogenj. Ko ta telesa krožijo okrog središčnega ognja, oddajajo določene zvoke (tone). Tako naj bi nastajala neka vrsta glasbe harmonija sfer, ki mu pomeni najvišji zakon in se mu pokorava vse v vesolju. Pozneje je to misel delno povzel Kepler. Pitagorova filozofska teza (celo zahteva) pa je, da taka harmonija vlada tudi v življenju na Zemlji. Kozmologije antike nosijo zelo živ razumski značaj. Vesolje je nespremenljivo, je večno in popolno, zato ga upravlja božanstvo. Antični bogovi so posplošene ideje o vesolju ali, drugače povedano, so zakoni, ki jih upravljajo bogovi. Kozmologije srednjega veka so se napajale iz biblije in Aristotlovega učenja. Okolni svet (= vesolje) so si predstavljali kot ogromen simbolični sistem. V vseh nastajajočih in obdajajočih pojavih so videli božje delo. Antični svet ni poznal absolutnega monoteizma (enoboštva), absolutne oblasti ustvarjalca nad svetom, torej vesoljem oziroma nad vsem. Kozmologija srednjeveškega krščanstva (in tudi drugih monoteizmov) pa ni osnovana na

8 primatu čutno materializirane narave, ampak na priznavanju absolutnega duha (misli, mnenja) neke osebnosti. Ta osebnost je bog in izstopa kot sila, ki brezpogojno vlada nad vesoljem, torej nad vsem, in ga celo zgradi po lastni volji. (V tem vesolju je deloval tudi hudič človeškega rodu; od njega pride vse slabo; gre za negativca, ki mu je ime Lucifer.) V primerjavi z antičnim vesoljem pa se je srednjeveško vesolje odlikovalo z eno splošno, vendar zelo značilno lastnostjo s skrajnim pesimizmom glede pogleda na življenje, pač v skladu s katoliškim razpoloženjem čakanja na konec sveta. To duhovno ozračje apokalipse se je posebno zgostilo v času pred reformacijo. Vrhunec srednjeveške kozmologije je bila podoba sveta, ki jo je zgradil s silno pesniško domišljijo Dante Alighieri ( ) v epu Božanska komedija. S svojo slikovito shemo Dante predstavi vesolje v celoti tako, da služi razlagam in potrebam določenim družbenim strukturam srednjega veka. Nebesa raj odkriva kot harmonijo in enovitost človeka in kozmosa. Značilna kulturna lastnost preporoda je, da se novo rojeva z veliko muko po trdem boju s staro že utrjeno miselnostjo. Božje resnice, osnove oblikovanja pogleda na svet itn. pa so nenadoma postale dostopne človeškemu razumu. Pot do spoznanja teh resnic je šla mimo domišljijske zmesi idej antične filozofije, krščanske mistike, magije vse do eksperimentalnih metod raziskovanja osnovnih fizikalnih zakonitosti in njihovemu teoretičnemu pojasnjevanju in posploševanju. Dnevi v tednu, prikazani Začetek v obliki sedemkrake zvezde V antiki so poznali pet planetov, vidnih s prostim očesom: Merkur, Venera, Mars, Jupiter in Saturn. Planetom so prištevali še premičnici Sonce in Luno, tako da jih je bilo sedem, kolikor dni ima teden. Vsak dan v tednu so namreč poimenovali po enem planetu ter Soncu in Luni.

9 Omenimo nekaj najpomembnejših idej. Že v 12. stol. je andaluzijski polimat Averroes predlagal koncepcijo dvojne resnice teološko (versko) in znanstveno. Cerkev oziroma krščanska sholastika je seveda to idejo takoj ovrgla. Vseeno pa je odigrala pomembno vlogo glede spoznavanja vesolja. V traktatih škofa in kardinala Nikolaja Kuzanskega (15. stol.) je že nakazan prehod od srednjeveške sholastike k eksperimentalnim metodam raziskovanja, saj vsebujejo vrsto načelno pomembnih kozmogoničnih idej, kot npr. zanikanje absolutnega središča vesolja in argument proti geocentrizmu. Spreminjanje kozmogoničnih idej na prelomu srednjega veka v novi vek (16. stoletje) se nadaljuje v knjigah antiaristotlovca filozofa Italijana Bernardina Telesija in filozofa Hrvata iz Cresa, Franja Petriševića (Patricija). Slednji v svojem delu Nova filozofija vesolja radikalno predela koncepcijo neoplatonikov: vesolje je božji blagoslov in hkrati prostorsko bistvo, ki oblikuje snov. Petriševićevo vesolje je neskončno in nenaseljen prostor. Končni korak v razvoju te ideje je naredil Giordano Bruno (zaradi krivoverstva 1600 sežgan na grmadi), ki je napolnil neskončno vesolje z naseljenimi telesi, podobnimi Zemlji, to je s planeti. Leta 1543 sta izšli dve skrajno pomembni knjigi, Kopernikova O kroženju nebesnih sfer in Vesalijeva O zgradbi človeškega telesa. Označili sta totalni prelom s srednjeveškimi pogledi na makro in mikro kozmos na vesolje in na človeka ter nakazali prehod k vzročnemu pojasnjevanju naravnih pojavov na osnovi obstoječih (objektivnih) mehanskih zakonitosti. Kopernikov heliocentrični sistem zgradbe vesolja je med drugim desakraliziral (da niso (tako) svete) kategorije prostora in časa, njihovo tolmačenje skozi razumevanje mehaničnega gibanja. Revizija oziroma nova interpretacija prejšnjega nazora, Ptolemajevega geocentričnega sistema, je bila mukotrpna in dolgotrajna. Znameniti francoski matematik, fizik in filozof B. Pascal (sredina 17. stoletja) je približno takole izjavil:»nismo sposobni vsrkati niti vsestranskega znanja niti ne moremo biti popolni nevedci. Plavamo v brezmejnosti, ne vemo pa, kam gremo, kaj nas žene in premetava iz ene strani (skrajnosti) na drugo. Okrog nas ni nič določenega.«seveda se v tem času še vedno pojavljajo novi mistični pogledi na»videnje«(nastanek in zgradbo) vesolja. Takšni sta npr. Okultna filozofija nemškega zdravnika-alkimista H. C. Agrippe von Nettesheimskega (16. stol.) in nauk o tajnih naravnih silah in mističnih koncepcijah kozmosa, nemškega filozofa-jasnovidca in mistika Jakoba Boehmeja (17. stol.). Ti mistični sistemi pogledi na vesolje so imeli nadaljevalce v 18. stoletju v švedskem mistiku Emanuelu Swedenborgu, ki je zagovarjal teozofske teze glede medsebojnih odvisnosti nebesnih in zemeljskih pojavov. Izdelal je celo kozmogonično hierarhijo dobrih in zlih sil, s katerimi je možno priti v stik.

10 Nova predstavljanja o vesolju Celo resni astronomi se niso mogli popolnoma otresti zastarelih predstav o vesolju. Tako je na primer Tycho Brahe ob pojavu Velikega kometa 1577 menil, da gre za povezavo med kmečkimi upori in koncem sveta. Kepler pa je izpeljal reformo (svoje) astrologije, pri čemer je povezoval politične in kulturne dogodke v Evropi s pojavi v vesolju. Zarodek mehanske slike vesolja ob koncu renesanse je označeval začetek nove dobe glede razvoja predstav o vesolju. Obdobje prve znanstvene revolucije so s svojimi deli napolnili Bacon, Galilei, Descartes, Spinoza, Leibnitz, Newton. Njihova dela so privedla misel k oblikovanju nove podobe o vesolju. Ustavimo se le pri osnovnih potezah Newtonovega pogleda na vesolje. Vesolje, ki ga je ''naredil'' Newton, je bilo preprosto in nenavadno hkrati. V pustem brezmejnem prostranstvu, ki se pokorava evklidski geometriji, se od nastanka gibljejo telesa, ki se pokoravajo zakonu splošne privlačnosti teles (gravitaciji). Ne samo prostor, tudi čas je po Newtonu absoluten. Čas teče enakomerno, je sinhron(iziran) v vseh točkah prostora in je neodvisen. Ura teče enako v vseh kotičkih njegovega neskončnega vesolja. Newton je predpostavil, da so zvezde v povprečju enakomerno razporejene po vesolju. Za stabilnost vesolja skrbi 'božja volja', vzrok privlačnosti je v nematerialnem dejavniku, povzročitelju (stvarniku, stvaritelju, tvorcu) bogu (pantokratorju). Kljub slabostim in protislovjem pa je Newtonova matematična teorija vesolja rešila vrsto praktično pomembnih nalog. Zgradila je teorijo o gibanju Lune, pojasnila gibanje planetov in kometov, plimo in oseko itn. Newtonovo teorijo so razvijali njegovi nasledniki v 18. in 19. stoletju. Pri tem so uprizorili zmagoslavni pohod astronomije in mehanike (fizike v znanosti). Vsi ti uspehi so povezani z imeni prvovrstnih znanstvenikov, kot so Euler, Clairaut, Dalembert, Lagrange, Kant, Laplace, Leverierre in drugi. Laplace je izdelal teorijo stabilnosti gibanja planetov okrog Sonca brez pomoči stvarnika tvorca vesolja. Znana je krilatica Laplaceov odgovor Napoleonu na vprašanje o vlogi boga v njegovi hipotezi o nastanku vesolja: 'V tej hipotezi ga ne potrebujem'. Newtonovo vesolje je imelo še eno pomanjkljivost. Bilo je statično. Ni se razvijalo. Ohranjalo je lastnosti, torej vsa tista svojstva, dobljena od stvaritelja boga prvega dne svojega nastanka. To pomanjkljivost je pozneje odpravil Kant in neodvisno od njega Laplace. Oba sta namreč izrekla hipotezo o nastanku (razvoju) Osončja iz nebularnega oblaka. Po Newtonu je bilo vesolje nekakšen božji hram. Pri njegovem raziskovanju se človek spozna z brezmejno modrostjo Pantokratorja (Vsevladarja) tvorca vesolja, ob prerokovanjih, vsebovanih v verskih tekstih glede nastanka sveta (vesolja) pa lahko ugotovi njegovo vsemogočnost in namere glede človeštva in vesolja v celoti. Newtonov bog sicer ostane še vedno vsemogočni pantokrator, vendar se v naravi njegova oblast začenja šele na

11 mejah našega neznanja o naravnih pojavih. Malo spominja na Spinozovega boga, ki ga je kar poistovetil z naravo. Benedikt Spinoza ( ), veliki dvomljivec v resnice religioznega učenja svojega časa, je celo postavil bog = nescio (ne vem, ne poznam, ne razumem, nekaj čudnega). V 18. stol. so ponovno odločno utesnili teologijo iz sfere znanj o vesolju. Baron Paul Holbach ( ), borec proti teologiji in metafiziki, ateist, v svojem delu Naravni sistem (1770) izjavlja, da je v bistvu na svetu samo narava, ki predstavlja nešteto različnih materialnih pojavov, človek pa je njeno najvišje stvarjenje. Zagovarja materialno enotnost vesolja, kjer se vse spreminja. Immanuel Kant ( ) njegova znamenita kozmogonijska hipoteza o nastanku Osončja, ki jo je pozneje neodvisno razvil, potrdil in dopolnil Laplace, je imela ogromen naravoslovno-filozofski pomen, saj je naredila prvi korak k fizikalnemu razmišljanju o nastanku razvijajočega se vesolja (in tudi življenja). Življenje vesolja zanj predstavlja večno spremembo nastajanja in propadanja. 'Dajte mi snov in povem vam, kako je nastal svet', je zapisal. Vendar je večina učenjakov 18. stol. še vedno imela človeka za božje stvarjenje, ostalo naravo pa so imeli za nekaj mehanskega, podrejenega človeku. Principielno razliko med živo in neživo naravo je prvi postavil Comte de Buffon ( ) v svojem delu Naravna zgodovina. To, da narava na splošno bolj stremi k življenju kot smrti, je pozneje razvil J. B. Lamarck ( ) (uvedel je termin biologija), ki je prvi pisal o celostni koncepciji evolucije žive narave. V 19. stol. je Ch. Darwin ( ) s svojo selekcijsko naravno teorijo razvil koncepcijo zgodovinskega razvoja žive narave kot evolucijski proces. A. Humboldt ( ), imenovan Aristotel 19. stoletja, v svojem glavnem delu Kozmos sistematično razlaga fizikalni opis vesolja. Gre za podano enciklopedično znanje o vesolju v sredini 19. stol. Pomembne prispevke fizikalni misli o vesolju so prispevali Faraday, Maxwell, Carnot, Joule, Thompson (lord Kelvin), Bolzmann in dr. Za fizike 19. stoletja se je zdelo, da so uspeli zaključiti oblikovanje fizikalnih teorij skoraj do popolnosti, razen

12 pojasnitve sevanja črnega telesa v UV delu spektra in teorijo etra. Pravijo, da so v 20. stol. kot odgovor na prvo vprašanje morali zgraditi kvantno mehaniko, za odgovor na drugo pa teorijo relativnosti dve novi znanstveni panogi. Velik napredek glede filozofskega gledanja na vesolje je bil dosežen v delih G. W. F. Hegla ( ). Zanj je vesolje v neprestanem gibanju in razvijanju. Na osnovi Heglovih zakonov dialektike, posebno negacije negacije, pa je Fr. Engels v Dialektiki narave formuliral princip vsesplošnega razvoja narave. Še druge koncepcije o vesolju S kozmologijo so se nekdaj ukvarjale mitologije in religije. Še pred nekaj desetletji kozmologija ni veljala za resno znanost. Zdaj pa se je nabralo že toliko opazovanj in teoretičnih izsledkov, da si je mogoče narediti smiselno sliko o zgradbi vesolja in njegovem razvoju. Izjava našega znanega fizika (okoli 1970) Globoke družbene spremembe v 20. stol. so se odvijale vzporedno s korenito prenovo vseh znanstvenih in tehničnih znanj, vplivale so druga na drugo in privedle do posplošitve nastalih sprememb in znanj o vesolju. Bistveno so se spremenila in z novo vsebino napolnila tudi znanstvena predstavljanja o vesolju. Navedemo nekaj najpomembnejših idej glede novega pogleda na vesolje: koncepcija Ciolkovskega o človeštvu kot ustvarjalnem dejavniku, ki osvaja in oblikuje (kolonizira) vesoljski prostor, koncepcija Vernardskega o noosferi kot o principielno novem stanju biosfere, ki postaja izhodišče znanstvene misli in tehnične dejavnosti človeštva, revolucija v informatiki, nastanek informacijskega vesolja, koncepcija vesolja kot enotnega samo organizacijskega evolucijskega sistema, zbližanje problemov kozmologije in fizike mikrosveta, nastanek sinergetike, nauka o kolektivnih učinkih pri samo organizacijskih procesih, koncepcija številnih vesolj, revolucionarni uspehi znanosti o živem in o človeku (genetika, molekularna biologija, biokemija, biofizika, psihologija), razvoj kvantne kozmologije, različne variante interpretacije vloge opazovalca v določenem sistemu, začetek industrijskega osvajanja vesolja kot nove sredine proizvodne dejavnosti človeštva itn. Vrh razvoja vesolja je seveda razumsko življenje. Vesolje lahko različno obravnavamo. Po eni varianti naj bi bilo vesolje, ki ga opazujemo, rezultat že

13 vnaprej premišljenega oziroma opredeljenega (dogovorjenega, predpisanega) načrta. Večina fizikov in filozofov zavrača to nevsakdanjo stvariteljsko interpretacijo in daje prednost razlagi različnih drugih variant kozmogonskih modelov. Pangeneza narisal Čeh Ludek Pešek, vesoljski krajinar, ilustrator številnih in najrazličnejših astronomskih (večinoma domišljijskih) vsebin. Antični pogled na vesolje se je odlikoval s celovitostjo in z neokrnjenostjo. Pomembno mesto v tem vesoljskem sistemu je dodelilo človeku. V srednjem veku se je ohranila enotnost makro in mikrokozmosa. Znanstvena revolucija novega veka pa je korenito spremenila to stanje. Vesoljska posplošenost se je porazgubila, človek pa kot bi izpadel iz tega sistema, zreduciran na golo mesto (pozicijo) prebivalca ogromne in skoraj popolnoma puste vesoljske vojašnice, kot so si predstavljali vesolje po Newtonovih delih. Določena mesta (položaji) človeka v vesolju so bila seveda dodeljena v obravnavo teologiji. Človeka je ponovno vrnila v vesolje znanost 20. stoletja, čeprav so v filozofskem in svetovno nazorskem pogledu ta problem začeli obravnavati že ob koncu 19. stoletja (posebno Rusi Fedorov, Solov'jov, Florenski, Ciolkovski). Utemeljitelj astronavtike K. E. Ciolkovski ( ) ni samo vrnil človeka v vesolje, ampak je celo izdelal znanstveni program človekovega osvajanja vesoljskih prostranstev. Postopoma je postalo jasno, da je življenje človeka tesno povezano tudi s procesi v vesolju. Pojavi na Soncu znatno vplivajo na biosfero. Prvi je zveze Sonce-Zemlja raziskoval A. L. Čiževskij ( ).

14 Dogodki v preteklih geoloških dobah, kot padci velikih meteoritov na Zemljo, bližnji zelo tesni mimoleti kometov itn. so mogli povzročiti katastrofalne posledice na biosfero, zaradi česar je prišlo do masovnega uničenja večjega števila živalskih vrst (npr. izumrtje dinozavrov, tunguski dogodek - razdejanje pokrajine morda zaradi padca meteorita, manjšega asteroida ali tudi kometa leta 1908). To je le del problema. Sovjetski naravoslovec V. I. Vernadskij ( ) je razvil koncepcijo noosfere. Pritegnil je pozornost s tem, da trenutna tehnična dejavnost človeka dosega že tak razmah, da lahko pomembno vpliva na geološke in biosferske procese. Sledi sklep: 'Če želi človeštvo zbežati pred ekološko katastrofo, do katere neogibno vodi nepremišljena in neodgovorna dejavnost ljudi, je zanj en edini najboljši izhod, namreč da v svoji naravovarstveni brigi strogo upošteva priporočila znanosti (ekologija).' Odnos znanosti do neznanih letečih predmetov (NLP) Se mar tam, kjer znanost zataji ali ne zna dovolj uspešno pojasniti stvari, spet začenja mit? Vstop človeka v vesolje in začetek industrijskega osvajanja okoli Zemljinega vesoljskega prostora pomeni pomembno vesoljsko dejavnost človeštva. Pri osvajanju vesolja pa se mora človek strogo pokoravati načelu vesoljske ekologije. Današnje predstave o vesolju se živahno, revolucionarno razvijajo. Teoretiki razmišljajo o možnosti obstoja vzporednih vesolj, katerih osnovne lastnosti (osnovne konstante, fizikalni zakoni itn.) se lahko bistveno razlikujejo od nam znanih. Ni izključeno, da morda med temi vesolji obstajajo nam neznane zveze. Lahko bi rekli, da 'vidimo' nekako do kakšnih 13,7 milijarde let nazaj v oblikovano naše vesolje. Specialisti kozmologi razmišljajo o principielnih možnostih glede zgradbe prostorskih tunelov za skrajno hitre medzvezdne prelete (možnosti prostorskega in časovnega stroja). Veliko vprašanje je, kakšne bi utegnile biti praktične posledice novih teoretskih odkritij. Večkrat je slišati: 'Tam, kjer znanost molči (zataji), se začenja mit.' Kako je s to stvarjo? Za mitološko obravnavanje vesolja je treba iskati trdno zasidranost v preteklosti. Danes se glede znanja o vesolju povsem naslanjamo na znanstveni (kritični) pogled na svet. Vendar pa ljudje pogosteje, kot se govori, živijo z miti. Zakaj se je mitični pogled na vesolje mogel ohraniti do dandanes? Po Newtonovih delih so menili, da je edini vir znanja v resničnosti, o kateri razpolaga človeštvo, intelektualna obdelava informacij, dobljenih iz natančnih opazovanj in eksperimentov. Newton je dopuščal še en neodvisni vir informacij božje (božansko) razodetje, sodobno naravoslovje pa v osnovi odvrže vse podobne načine.

15 Mitološki in znanstveni pogled na svet (svetovni nazor) sta si diametralno nasprotna. Mit, pa čeprav naj bi se opiral na resničnost, to resničnost nekako popači ali zamegli že samo z neutemeljeno samovoljnostjo, ko razglaša, da je vse povezano z vsem, da so možne še poljubne povezave (zveze) med opazovanimi pojavi v vesolju. To seveda ne pomeni, da znanost in mit izključujeta drug drugega, ampak se oba pristopa dopolnjujeta in skupno prispevata v splošno kulturno zakladnico. Današnja teorija mita neguje verovanje v mit kot realnost, se opira na globino človekove duševnosti, na notranje vezi človeka, ki ga je vesolje vedno plašilo, igra na njegovo neodločenost, in stremi posredovati človekovemu razumu dostopne (ustrezne oz. primerne) razumsko oblikovane sheme. To nalogo rešiti z znanstvenimi metodami je zelo zamotano. Danes so znani kozmogonični miti, miti o prišlekih iz drugih svetov, miti kozmične enotnosti oz. kolektivne zavesti, informacijski miti, miti in antimiti o astronavtiki (predvsem ruski) itn. Primer kozmogoničnega mita je esej Padec Luciferja, kjer je navedena hipoteza o bivši arhitektoniki Osončja, v središču katerega je bila poleg Sonca še ena zvezda Lucifer z 10 krat večjo maso od Sončeve. Namesto današnjega pasa planetoidov je bila tam Prageja planet, na katerem je cvetelo življenje. Sateliti Prageje so bili sedanji Zemlja, Mars, Venera, Luna. Prišlo pa je do katastrofe kolapsa Luciferja, ki se je spremenil v črno luknjo. Današnje človeštvo je žalostno potomstvo titanov, ki so umrli pri katastrofi. In kje so dokazi??? Glede mitov o prišlekih sta najbolj znani dve verziji: izvenzemeljska bitja nas obiskujejo zdaj kot NLP (ufologija); taki obiski so bili tudi v preteklosti (paleovizitologija). Znana alegorija iz srednjega veka: pogled v vesolje, objavil N. C. Flammarion, 1888.

16 Morda gre pri NLP za nek naravni pojav, katerega lastnosti in mehanizem nastajanja in delovanja znanost še ni odkrila. Izrečene so bile številne hipoteze o naravi NLP, npr. povezovanje NLP z medsebojnim delovanjem našega vesolja s paralelnimi vesolji ali z neobičajnimi elektromagnetnimi polji kozmičnega izvora. Hipotez ne moremo obsojati, saj nimamo na razpolago vsega neogibno potrebnega otipljivega materiala za končno sodbo. Glede povezave NLP z obiski nezemljanov na Zemlji bi lahko rekli, da bi bili takšni obiski v načelu možni, čeprav skrajno malo verjetni. Analize objavljenih materialov kažejo, da za potrditev takih obiskov še ni zadostnih znanstvenih dokazov. Znanost ima na splošno negativen ali najmanj skeptičen odnos do NLP. NLP so opazovali več kot krat. Večina astronomov meni, da pojav NLP naj ne bi imel nobene zveze z izven zemeljskimi bitji. Taki obiski so skrajno malo verjetni. Za NLP je znanstveno zanesljiva informacija o obiskih izven zemeljskih bitij nična (je ni). Eni namigujejo, da morda NLP pripadajo svetu več (najmanj petih) dimenzij. Glede (ustnih) izročil o prišlekih iz vesolja v preteklosti (paleovizitologija) potekajo resna raziskovanja na osnovi znanstvene metodologije. Trdnih dokazov, da so predstavniki drugih civilizacij v preteklih zgodovinskih obdobjih obiskovali naš planet, ni. Dokazi v starih mitih in nekakšna ustna izročila niso dovolj zanesljiva. Posebna lastnost tega mita je, da ima značaj informacijske nedoločenosti. To lastnost pa imajo seveda vse hipoteze o paleoviziti. Spominjamo se še, kako smo bili navdušeni ob izstrelitvi prvega umetnega Zemljinega satelita, prvega človeškega poleta v vesolje, prvega koraka astronavtov na Luni itn. Tako so nastali nekakšni astronavtični miti. Začetnik astronavtične mitizacije je bil politik in državnik N. S. Hruščov. Napovedal je, da bodo do 1980 v SZ zgradili komunizem, ki naj bi večkrat prerastel raven industrijske proizvodnje ZDA, po moči raket pa so bili že tedaj boljši. Medtem pa se je realna slika glede dosežkov astronavtike spreminjala v korist ZDA (pristanek posadke na Luni, poleti avtomatskih sond k Marsu, Jupitru in drugim planetom, zgradba globalnega sistema vez itn.). Z evolucijo civilizacije se spreminja tudi mit. Spreminja svojo vlogo. Poskuša globlje osmisliti svojo vlogo in pomen v kulturi. Mitizacija je ena od stopenj vzpona k višjim nivojem znanja o okoliški resničnosti in vesolja v celoti. Mitizacija in znanstveni pogled na svet čeprav nasprotnih polov spoznavanja resničnosti dandanes ne izključujeta drug drugega. Lahko živita v svojevrstnem sožitju. Mit je pogosto prvi osvajal in prvi pojasnjeval neznana in nerazumljena področja, kjer znanost zaradi različnih razlogov ni mogla dati jasnega zaključka. To seveda velja le do določene meje, od katere je odvisno, če se mit spreminja v spolitizirano ideologijo, ki je v nasprotju z znanstvenim pogledom na svet. Kdo smo? Od kod smo prišli? Kam gremo?

17 Zadnje vprašanje je najpomembnejše, če naj bi izhajali po Vernadskem iz koncepcije noosfere sfere razuma kot najvišjega štadija razvoja biosfere v procesu njene evolucije. Ko razpravljamo o nastanku in razvoju Osončja, zvezd, galaksij in vesolja sploh, ko govorimo o velikem poku, črnih luknjah, temni snovi in temni energiji v prostoru itn., se na nek način spet nekako vračamo ali približujemo mitu, recimo mu (da bo lepše zapisano, zvenelo in bolj sprejeto) znanstveni mit. Marsikaj je treba preprosto verjeti, pa če se ti zdi prav ali ne. Zdi se mi, da je današnja teorija nastanka vesolja (modeli, ki so blizu modela velikega poka) kot voda na mlin številnim religijam. Zakaj? Vsega tukaj ni mogoče razvijati, povedati in pojasnjevati. Dalje lahko razmišljate sami. Poiščite na internetu zanimive misli našega filozofa in biologa ddr. Jožeta Hlebša. Vesoljska sonda Pionir 10 (izstreljena 1972 in po nekaterih podatkih še vedno leti proti ozvezdju Bik) nosi kovinsko ploščico velikosti 7,5 cm krat 5 cm. Na njej morebitnim zunajzemeljskim civilizacijam sporoča, da je v bližini zvezde, ki ji rečemo Sonce, planet, na katerem je življenje. Ali je to uspešna zgodba ali mit o izrednem astronavtskem dosežku? Zanimivo pa je, da tisti del astronomskega mita, ki»leži«na nebu, torej zvezdni mit, ki ga z užitkom beremo, dobro in živahno pripovedujemo, na koncu izpade najbolj zanimiv, prijeten in tudi razumljiv, celo preprostemu človeku. Miti o zvezdah in ozvezdjih so preprosto lepi. Zato jih ima človek najrajši, pa če je v njih še toliko bujne domišljije, nenavadnosti in nerazumljivosti. Priznati moramo, da navsezadnje živimo tudi za take stvari. Mislim, da na Zemlji skoraj ni človeka, ki ob pogledu na zvezdno nebo ne bi občudoval te nebesne lepote in veličastnosti, ki se mu ne bi vzbudila želja spoznati njegove skrivnosti tudi zaradi čudovitih zvezdnih mitov, ki neverjetno notranje bogatijo, pomirjajo in se stapljajo s človekom v začarano neskončnost prostora in časa. Tega občutka se ne da opisati, preprosto ga moraš doživeti in z njim živeti. Zbrano po različnih virih Kranj, Majo Prosen

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR - 4. LETNIK. Veliki pok. Avtor: Daša Rozmus. Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter. Ljubljana, Marec 2011

SEMINAR - 4. LETNIK. Veliki pok. Avtor: Daša Rozmus. Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter. Ljubljana, Marec 2011 SEMINAR - 4. LETNIK Veliki pok Avtor: Daša Rozmus Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter Ljubljana, Marec 2011 Povzetek Že stoletja pred našim štetjem so se ljudje spraševali kaj nas obdaja,

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice

GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice Moderna fizika - seminarska naloga GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice Domžale, dne 20. 2. 2004 Marjan Grilj, 3.l. fizika vsš, FMF Vsebina: (1) Osnove: (a) opazovanje (b) določanje oddaljenosti

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

Svetovno leto fizike: POMEN EINSTEINOVIH ODKRITIJ. R ik R 2 g ik = 8πG c 4 T ik E = mc 2 ALI ZGODBA O KONCU FIZIKE. R. Krivec Institut J.

Svetovno leto fizike: POMEN EINSTEINOVIH ODKRITIJ. R ik R 2 g ik = 8πG c 4 T ik E = mc 2 ALI ZGODBA O KONCU FIZIKE. R. Krivec Institut J. 1 Svetovno leto fizike: POMEN EINSTEINOVIH ODKRITIJ K = hν W 0 R ik R 2 g ik = 8πG c 4 T ik E = mc 2 ALI ZGODBA O KONCU FIZIKE R. Krivec Institut J. Stefan 2 Domišljija je pomembnejša od znanja. Albert

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

ZEMLJOMOR ALI GEOCID ARGUMENTI ZA IN PROTI. Zakaj bi želeli razbiti Zemljo? Vi, vi nori, bedasti, manijak! ZAKAJ?

ZEMLJOMOR ALI GEOCID ARGUMENTI ZA IN PROTI. Zakaj bi želeli razbiti Zemljo? Vi, vi nori, bedasti, manijak! ZAKAJ? 1 Andrej Ivanuša, december 2010 ZEMLJOMOR ALI GEOCID Odločili ste se, da izvršite zemljomor ali, če rečemo s tujko, geocid. Torej, odločili ste se, da razstrelite Zemljo. Da jo razstavite na prafaktorje,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

kg 2 Naredimo miselni poskus.

kg 2 Naredimo miselni poskus. 41 3.1 3.2 3.3 F F Kako je angleški fizik Newton odkril gravitacijski zakon, pripoveduje tale anekdota. Nekega dne je ob popoldanskem čaju počival v senci jablane. Ko je zapihal vetrič, je z drevesa padlo

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Frančiškov prijatelj. Vzgoja

Frančiškov prijatelj. Vzgoja Frančiškov prijatelj Vzgoja 11 14 20 1 2018 32 2 Vsebina Uvodnik 3 Uvodnik... 3 Vzgoja Božja beseda... 4 Ob izviru... 5 Oče nas brezpogojno ljubi Ob svetem pismu... 6 Vse, kar si mi naročil, bom naredil,

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

PRILOGA za spletno stran k mojemu ČLANKU TEST ZNANJA O ASTRONOMIJI IN SILAH ZA REVIJO FIZIKA V ŠOLI 2/2011, december 2011

PRILOGA za spletno stran k mojemu ČLANKU TEST ZNANJA O ASTRONOMIJI IN SILAH ZA REVIJO FIZIKA V ŠOLI 2/2011, december 2011 PRILOGA za spletno stran k mojemu ČLANKU TEST ZNANJA O ASTRONOMIJI IN SILAH ZA REVIJO FIZIKA V ŠOLI /0, december 0 Test V prispevek sem uvrstil test, ki preverja znanje astronomije in osnovno znanje o

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

7/2016, št. 14. Kriza vzgoje in izobraževanja na zahodu in vloga filozofije - 2. del

7/2016, št. 14. Kriza vzgoje in izobraževanja na zahodu in vloga filozofije - 2. del 7/2016, št. 14 Kriza vzgoje in izobraževanja na zahodu in vloga filozofije - 2. del Laserska tehnologija odkrila ogromno srednjeveško mesto v Kambodži Kako doseči stabilnost in notranji red nova akropola

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9 .cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti

Διαβάστε περισσότερα

Mišljenje krize kriza mišljenja

Mišljenje krize kriza mišljenja Marko Uršič Mišljenje krize kriza mišljenja (predavanje kot prispevek za»filozofski maraton«, FF, 14. nov. 2012, zapisano naslednjega dne, nekoliko razširjeno 24. nov. 2012) Mišljenje krize ki je dandanes

Διαβάστε περισσότερα

Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica drugega telesa, ki nanj učinkuje.

Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica drugega telesa, ki nanj učinkuje. 2. Dinamika 2.1 Sila III. PREDNJE 2. Dinamika (sila) Grška beseda (dynamos) - sila Gibanje teles pod vplivom zunanjih sil 2.1 Sila Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica

Διαβάστε περισσότερα

Effect of Fibre Fineness on Colour and Reflectance Value of Dyed Filament Polyester Fabrics after Abrasion Process Izvirni znanstveni članek

Effect of Fibre Fineness on Colour and Reflectance Value of Dyed Filament Polyester Fabrics after Abrasion Process Izvirni znanstveni članek Učinek finosti filamentov na barvne vrednosti in odbojnost svetlobe 8 Učinek finosti filamentov na barvne vrednosti in odbojnost svetlobe barvanih poliestrskih filamentnih tkanin po drgnjenju July November

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Multivariatna analiza variance

Multivariatna analiza variance (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti

Διαβάστε περισσότερα

1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:

1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: 1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: A) Telo miruje ali se giblje enakomerno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo enaka nič. B) Če rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo ni

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Odnos med subjektom in objektom, med človekom in naravo v moderni znanosti

Odnos med subjektom in objektom, med človekom in naravo v moderni znanosti Odnos med subjektom in objektom, med človekom in naravo v moderni znanosti Trije primeri iz fizike: I. vloga opazovalca (referenčnega okvira) v Einsteinovi relativnostni teoriji II. III. pomen zavesti

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Gimnazija Murska Sobota POROČILO K LABORATORIJSKI VAJI MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Sandra Gorčan, 4.c prof. Edita Vučak Murska Sobota,8.10.2003 UVOD: Mikroskop je naprava, ki služi za gledanje mikroskopsko

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

I. del: Dinamika prozornega vesolja Vsebino občasno dopolnim! Če nimate radi matematike, preberite prvih 16 strani in zaključek.

I. del: Dinamika prozornega vesolja Vsebino občasno dopolnim! Če nimate radi matematike, preberite prvih 16 strani in zaključek. I. del: Dinamika prozornega vesolja Vsebino občasno dopolnim! Če nimate radi matematike, preberite prvih 16 strani in zaključek. Dinamika vesolja krivulje velikosti vesolja v odvisnosti od časa, glede

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ TVORBA AORISTA: Grški aorist (dovršnik) izraža dovršno dejanje; v indikativu izraža poleg dovršnosti tudi preteklost. Za razliko od prezenta ima aorist posebne aktivne, medialne in pasivne oblike. Pri

Διαβάστε περισσότερα

PITAGORA, ki je večino svojega življenja posvetil številom, je bil mnenja, da ves svet temelji na številih in razmerjih med njimi.

PITAGORA, ki je večino svojega življenja posvetil številom, je bil mnenja, da ves svet temelji na številih in razmerjih med njimi. ZGODBA O ATOMU ATOMI V ANTIKI Od nekdaj so se ljudje spraševali iz česa je zgrajen svet. TALES iz Mileta je trdil, da je osnovna snov, ki gradi svet VODA, kar pa sploh ni presenetljivo. PITAGORA, ki je

Διαβάστε περισσότερα

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013 Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 WP 14 R T d 9 10 11 53 d 2015 811/2013 WP 14 R T 2015 811/2013 WP 14 R T Naslednji podatki o izdelku izpolnjujejo zahteve uredb U 811/2013, 812/2013, 813/2013 in 814/2013 o dopolnitvi smernice 2010/30/U.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Bézierove krivulje. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani. MARS 2009, Koper, / 54

Bézierove krivulje. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani. MARS 2009, Koper, / 54 1 / 54 Bézierove krivulje Emil Žagar Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani MARS 2009, Koper, 18.8.2009 Slika: Prepoznate lik na sliki? 2 / 54 Slika: Kaj pa ta dva? 3 / 54 Slika: In te?

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov Ruolf Klnik: Fizik z srenješolce Set elektrono in too Električno olje (11), gibnje elce električne olju Strn 55, nlog 1 Kolikšno netost or releteti elektron, se njego kinetičn energij oeč z 1 kev? Δ W

Διαβάστε περισσότερα

Algebraične strukture

Algebraične strukture Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Tokovi v naravoslovju za 6. razred

Tokovi v naravoslovju za 6. razred Tokovi v naravoslovju za 6. razred Bojan Golli in Nada Razpet PeF Ljubljana 7. december 2007 Kazalo 1 Fizikalne osnove 2 1.1 Energija in informacija............................... 3 2 Projekti iz fizike

Διαβάστε περισσότερα

RAZISKOVALNO ASTRO NOMSKI KROŽE K internetna stran:

RAZISKOVALNO ASTRO NOMSKI KROŽE K internetna stran: ISSN 1580-3562 LETNIK VII, APRIL 2006 internetna stran: www.astromaister.sc-rm.net e-mail: AstroMaister@sc-rm.net RAZISKOVALNO ASTRO NOMSKI KROŽE K internetna stran: www.rak.sc-rm.net e-mail: Rak@sc-rm.net

Διαβάστε περισσότερα

UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU

UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži

Διαβάστε περισσότερα

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Dragi polinom, kje so tvoje ničle? 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα