Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν"

Transcript

1 Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Τ Ε Τ Α Ρ Τ Ο Θ Ε Μ Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 0331 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ Προτεινω στους φιλους μαθητες να ξεφυλλισουν το βιβλιο αυτο και να εχουν την ευκαιρια να προσπαθησουν πρωτα μονοι τους να λυσουν την ασκηση ( με τη μικρη βοηθεια που τους παρεχεται στην εκφωνηση ). Μονο στην αναγκη να γυρισουν σελιδα για να δουν τη λυση. Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

3 Α λ λ γ γ ε ε β β ρ ρ α α B Α Λ Λ υ υ κ κ ε ε ι ι ο ο υυ Με πολυ μερακι Για τους καλους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014 H δικη μου αποψη για την τραπεζα θεματων

4 Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 1. Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α

5 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 5 Θ ε μ α 1 ο Για τις ηλικιες των μελων μιας τριμελους οικογενειας ισχυουν τα παρακατω: Η ηλικια της μητερας ειναι τριπλασια απο την ηλικια του παιδιου. Ο λογος της ηλικιας το πατερα προς την ηλικια του παιδιου ισουται με. Επιπλεον το αθροισμα των ηλικιων και των τριων ισουται με 115 χρονια. α) Να εκφρασετε τα δεδομενα με ενα συστημα τριων εξισωσεων με τρεις αγνωστους. (Μοναδες 13) β) Να βρειτε την ηλικια του καθενος. (Μοναδες 1) Συστημα 3x3. Τροπος Λυσης : Απαλειφουμε τον ιδιο αγνωστο και στις τρεις εξισωσεις. Επιλεγουμε δυο ζευγη εξισωσεων και εφαρμοζουμε μεθοδο αντιθετων συντελεστων. Λυνουμε το συστημα x που προκυπτει μετα την απαλειφη. Αντικαθιστουμε τους αγνωστους που βρηκαμε σε μια απ τις αρχικες εξισωσεις προκειμενου να βρουμε και τον τριτο αγνωστο.... χ ρ η σ ι μ ο

6 6 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Eστω x, η ηλικια της μητερας y, η ηλικια του παιδιου z, η ηλικια του πατερα Απ τα δοσμενα η ηλικια της μητερας ειναι τριπλασια απο την ηλικια του παιδιου : x = 3y Ο λογος της ηλικιας το πατερα προς την ηλικια του παιδιου ισουται με 11 3 : z = 11 3z = 11y y 3 το αθροισμα των ηλικιων και των τριων ισουται με 115 χρονια : x + y + z = 115 Eτσι προκυπτει το συστημα x = 3y (Σ) : 3z = 11y x + y + z = 115 β) x = 3y x = 3y x = 3y x = 3 15 x = 3y (Σ) : 3z = 11y z = y z = y z = y z = x + y + z = y + 3y + 11y = 345 3y = 345 y = 15 3y + y + y = x = 45 η μητερα ειναι 45 ετων z = 55 ο πατερας ειναι 55 ετων y = 15 το παιδι ειναι 15 ετων

7 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 7 Θ ε μ α ο Δινονται οι ευθειες με εξισωσεις, αντιστοιχα και. α) Για τις διαφορες τιμες του, να βρειτε τη σχετικη θεση των δυο ευθειων. (Μοναδες 13) β) Στην περιπτωση που οι ευθειες τεμνονται, να βρειτε τις συντεταγμενες του σημειου τομης Α των δυο ευθειων. (Μοναδες 7) γ) Να βρειτε την τιμη του για την οποια το σημειο Α ανηκει στην ευθεια με εξισωση: (Μοναδες 5)... χ ρ η σ ι μ ο

8 8 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η x + (λ + )y = 3 Για το συστημα (Σ) : των εξισωσεων των ευθειων ε και ε, ειναι 1 (λ - )x + 5y = 3 1 λ + D = = 5 - (λ + )(λ - ) = 5 - (λ - 4) = 9 - λ = (3 + λ)(3 - λ) λ λ + D = = 15-3(λ + ) = 3(5 - λ - ) = 3(3 - λ) x D = = 3-3(λ - ) = 3(1 - λ + ) = 3(3 - λ) y λ - 3 α) 3 + λ 0 λ - 3 D 0 και και (Σ) εχει μοναδικη λυση ε, ε τεμνονται λ 0 λ 3 x - y = 3 το (Σ) ειναι x - y = 3 λ = - 3 (Σ) : 3 ε, ε παραλληλες αδυνατο λ = 0-5x + 5y = 3 x - y = - 5 D = 0 η η 3 - λ = 0 το (Σ) εχει x + 5y = 3 λ = 3 (Σ) : ε, ε ταυτιζονται απειρες λυσεις 1 x + 5y = 3 β) D D 3(3 - λ) 3(3 - λ) 3 3,, =, D D (3 + λ) (3 - λ) (3 + λ) (3 - λ) 3 + λ 3 + λ 3 3 οι ευθειες ε και ε, τεμνονται στο σημειο A 1, 3 + λ 3 + λ x y (x, y) = = γ) P ( A B ) Εστω (ε) : x + y = 3. Toτε A (ε) λ x + y = 3 + = = 3 + λ λ = λ 3 + λ

9 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 9 Θ ε μ α 3 ο Δινεται το συστημα:, με παραμετρο α) Να αποδειξετε οτι αν το συστημα εχει μοναδικη λυση την, τοτε (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις τιμες του για τις οποιες το συστημα: i. εχει απειρες σε πληθος λυσεις και να δωσετε τη μορφη τους. (Μοναδες 6) ii. δεν εχει λυση. (Μοναδες 4) γ) Να εξετασετε τις σχετικες θεσεις των δυο ευθειων που προκυπτουν απο τις εξισωσεις του παραπανω συστηματος για. (Μοναδες 5)... χ ρ η σ ι μ ο

10 10 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α D = = (α + 1)(α - 1) - 3 = α = α - 4 = (α + )(α - ) 1 α D = = 3(α + 1) - 9 = 3(α + 1-3) = 3(α - ) x 3 α + 1 α D = = 3(α - 1) - 3 = 3(α - 1-1) = 3(α - ) y 1 3 α) Το συστημα εχει μοναδικη λυση την (x, y ), αν 0 0 α + 0 α - D 0 και και και α - 0 α β) i) D D x y (x, y ) = = 0 0, D D 3(α - ) 3(α - ), 3 3 =, x = y 0 0 (α + ) (α - ) (α + ) (α - ) α + + α = - D = 0 (α + )(α - ) = 0 η (Σ) εχει απειρες λυσεις και και α = α = δεκτη αφου D = D 0 3(α - ) = 0 = x y και α = x + 3y = 3 κ για α = τοτε (Σ) : x + 3y = 3, απειρες λυσεις μορφης: κ, 1 - x + 3y = 3 3 ii) α = - D = 0 (α + )(α - ) = 0 η (Σ) αδυνατο και και α = α = - D = D 0 3(α - ) 0 x y και α γ) Για α = 3 : D = 5 0 το (Σ) εχει μοναδικη λυση και οι 3 3 ευθειες τεμνονται στο σημειο Α,. 5 5 Για α = : (Σ) εχει απειρες λυσεις και οι ευθειες ταυτιζονται. Για α = - : (Σ) ειναι αδυνατο και οι ευθειες ειναι παραλληλες.

11 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 11 Θ ε μ α 4 ο 0336 Δινεται το συστημα: α) Να αποδειξετε οτι το συστημα εχει λυση για οποιονδηποτε πραγματικο αριθμο λ. (Μοναδες 7) β) Να βρειτε τα x και y συναρτησει του λ. (Μοναδες 8) γ) Να προσδιορισετε την τιμη του λ, για την οποια οι ευθειες: x - 4y = 1 λ, x + 6y = λ + και 16x + 16y = 19 διερχονται απο το ιδιο σημειο. (Μοναδες 10)... χ ρ η σ ι μ ο

12 1 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 0336 α) Ειναι - 4 D = = 6-1 (- 4) = = oποτε το συστημα εχει λυση για καθε πραγματικο αριθμο λ. β) 1 - λ - 4 D = = 6( 1 - λ) + 4( λ + ) = 6-6λ + 4λ + 8 = - λ + 14 = (7 - λ) x λ λ D = = ( λ + ) - ( 1 - λ) = λ λ = 3λ + 3 = 3(λ + 1) y 1 λ + Ετσι D D (7 - λ) 3(λ + 1) 7 - λ 3(λ + 1),,, D D x y (x, y) = = = γ) Για να διερχονται οι τρεις ευθειες απ το ιδιο σημειο πρεπει το σημειο τομης των ευθειων με εξι- σωσεις x - 4y = 1 - λ, x + 6y = λ +, που ειναι απ το ερωτημα (α) το Μ να ειναι σημειο της ευθειας με εξισωση 16x + 16y = 19. Δηλαδη οι συντεταγμενες του σημειου Μ να επαληθευουν την εξισωση της. Eτσι 16x + 16y = λ λ 3(λ + 1), (λ + 1) = λ + 3λ + 3 = 19 λ = 16

13 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α. Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α

14 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

15 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 15 Θ ε μ α 5 ο Ο Κωστας εχει τρια παιδια. Δυο διδυμα κοριτσια και ενα αγορι. Στην ερωτηση ποσων χρονων ειναι τα παιδια του απαντησε ως εξης. 1. Το αθροισμα των ηλικιων και των τριων παιδιων ειναι 14. Το γινομενο της ηλικιας της κορης μου επι την ηλικια του γιου μου ειναι 4 3. Το αθροισμα των ηλικιων των κοριτσιων ειναι μικροτερο απο την ηλικια του αγοριου. α) Να γραψετε τις εξισωσεις που περιγραφουν τα στοιχεια 1. και. που εδωσε ο Κωστας. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις ηλικιες των παιδιων του Κωστα. (Μοναδες 15) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα.

16 16 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η Eστω x, η ηλικια των διδυμων κοριτσιων y, η ηλικια του αγοριου α) Απ τα δοσμενα (1) : x + y = 14 () : x y = 4 β) απ το (α) προκυπτει (3) : x < y το συστημα x + y = 14 y = 14 - x y = 14 - x y = 14 - x x y = 4 x (14 - x) = 4 14x - x = 4 x - 7x + 1 = 0 αθροισμα ριζων : 7 γινομενο ριζων : 1 x = 3 x = 3 y = 14 - x δεκτη απο (3) : x < y 6 < 8 y = 14-3 y = 8 x = 3 x = 3 η η η y = 8 x = 4 x = 4 x = 4 απορριπτεται απο (3) : x < y 8 < 6 y = 14-4 y = 6 Ετσι τα κοριτσια ειναι 3 ετων και το αγορι ειναι 8 ετων.

17 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 17 Θ ε μ α 6 ο 0335 Η Αλκηστη και η Ελενη αγαπουν την πεζοπορια και βρισκονται το καλοκαιρι στην Αμοργο. Αποφασιζουν να περπατησουν ενα μονοπατι περιπου 16 χιλιομετρων που συνδεει τη Χωρα με τον ορμο της Αιγιαλης. Η Αλκηστη ανηφοριζει το μονοπατι απο την Αιγιαλη για να συναντησει την Ελενη που μενει στη Χωρα. Υπολογιζει οτι η ταχυτητα της εχει σταθερο μετρο,4 χιλιομετρα την ωρα. Την ιδια στιγμη, ομως, ξεκινα η Ελενη να κατηφοριζει το ιδιο μονοπατι και υπολογιζει οτι η ταχυτητα της εχει σταθερο μετρο 4 χιλιομετρα την ωρα. Μια δεδομενη χρονικη στιγμη σε καποιο σημειο της διαδρομης συναντα την Αλκηστη. α) Αν t ειναι ο χρονος που περπατησαν μεχρι να συναντηθουν και s η αποσταση του σημειου συναντησης απο την Αιγιαλη, να κατασκευασετε ενα συστημα δυο εξισωσεων με αγνωστους το t και το s, το οποιο να περιγραφει την παραπανω κατασταση. (Μοναδες 10) β) Σε ποση αποσταση απο τη Χωρα και ποια χρονικη στιγμη θα συναντηθουν οι δυο κοπελες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 15) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα.

18 18 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 0335 α) Tα κοριτσια θα συναντηθουν μετα απο χρονο t και σε αποσταση s του σημειου συναντησης απ την Αιγιαλη. Τη χρονικη στιγμη t: Η Αλκηστη διανυσε s km με ταχυτητα υ1 =,4 km h. Η Eλενη διανυσε (16 s) km με ταχυτητα υ = 4 km h. Ετσι s =,4 = 4 t σταθερη υ =, 4 1 t s =,4 t s =, 4 t (Σ): υ = 4 ταχυτητα 16 - s 16 - s = 4t s = 16-4t β) Ειναι s =,4 t s t =,4 s =,4 t s =,4 t s =,4 t 16 16t - s t = 4 s = 16-4t,4 t = 16-4t 6,4 t = 16 t = 6,4 s =,4,5 s = 6 t =,5 t =,5 Δηλαδη τα κοριτσια θα συναντηθουν,5 ωρες μετα την στιγμη που ταυτοχρονα ξεκινησαν και σε αποσταση 16 s = 16 6 = 10 χιλιομετρα απο τη Χωρα.

19 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 19 Θ ε μ α 7 ο 0337 Ενα ορθογωνιο παραλληλογραμμο με περιμετρο ιση με 4cm εχει την ακολουθη ιδιοτητα: αν αυξησουμε το μηκος του κατα 3cm και ελαττωσουμε το πλατος του κατα cm, θα προκυψει ενα ορθογωνιο με εμβαδον διπλασιο του εμβαδου του αρχικου ορθογωνιου. α) Να εκφρασετε την παραπανω κατασταση με ενα συστημα δυο εξισωσεων με δυο αγνωστους. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις διαστασεις του ορθογωνιου. (Μοναδες 15) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα. Oρθογωνιο διαστασεων x, y : Π = (x + y) E = xy

20 0 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 0337 α) Αν x cm το μηκος και y cm το πλατος του ορθογωνιου : Περιμετρος : Π = (x + y) Eμβαδον : E = xy Ετσι, απ τα δοσμενα Π = 4 (x + y) = 4 x + y = 1 Ε = Ε τελικο αρχικο (x + 3)(y - ) = xy xy - x + 3y - 6 = xy x + y = 1 (Σ): xy + x - 3y = - 6 Για να εχει νοημα το (Σ) πρεπει y > > 0 (αφου αφαιρεσαμε και ειναι πλατος) και 0 < x < 10 (αφου ειναι μηκος και πρεπει να ειναι δυνατη η x + y = 1). β) Ειναι x + y = 1 y = 1 - x xy + x - 3y = - 6 x(1 - x) + x - 3(1 - x) = - 6 y = 1 - x αθροισμα : 17, γινομενο 30 y = 1 - x y = 1 - x x = 1x - x + x x = - 6 x - 17x + 30 = 0 ριζες και 15 η x = 15 x = x = δεκτη αφου y = 1 - y = 10 0 < x < 10, y > μηκος ορθογωνιου : cm η η πλατος ορθογωνιου : 10 cm x = 15 x = 15 απορριπτεται y = 1-15 y = - 3 < 0 x > 10, y <

21 Α λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 3. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

22 Α λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

23 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 3 Θ ε μ α 8 ο Δινεται η συναρτηση α) Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης. (Μοναδες 5) β) Να εξετασετε αν η συναρτηση ειναι αρτια η περιττη. (Μοναδες 8) γ) Αν η συναρτησης ειναι γνησιως φθινουσα στο πεδιο ορισμου της, να επιλεξετε ποια απο τις παρακατω τρεις προτεινομενες, ειναι η γραφικη της παρασταση και στη συνεχεια να υπολογισετε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της. Ι ΙΙ ΙΙΙ (Μοναδες 7) δ) Να αιτιολογησετε γραφικα η αλγεβρικα, γιατι οι συναρτησεις και δεν ειναι ουτε αρτιες ουτε περιττες.... χ ρ η σ ι μ ο Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε x Α και f ( - x ) = f ( x ). Η γραφικη της παρασταση ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα y y. Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε - x Α και f ( - x ) = - f ( x ). Η γραφικη της παρασταση ειναι συμμετρικη ως προς την αρχη των αξονων (0, 0). (Μοναδες 5)

24 4 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Πρεπει 8 - x 0 x 8 και και Α = [- 8, 8] f 8 + x 0 x - 8 β) Για καθε x [- 8, 8] τοτε και - x [- 8, 8] (το [- 8, 8] ειναι συμμετρικο ως προς το 0). f(- x) = 8 - (- x) x = 8 + x x = - ( 8 - x x) = Ετσι η συναρτηση f ειναι περιττη για καθε x [- 8, 8]. γ) Η f ειναι γνησιως φθινουσα στη περιπτωση (ΙΙΙ) και εχει - f(x) μεγιστη τιμη στη θεση x = - 8, την f(- 8) = = 16 = 4 ελαχιστη τιμη στη θεση x = 8, την f(8) = = - 16 = - 4 δ) Εστω η g ειναι αρτια στο [- 8, 8], τοτε f περιττη g(- x) = g(x) f(- x) - 3 = f(x) f( x) - 3 = f(x) - 3 f( x) = 0 f( x) = 0 ατοπο η g ειναι περιττη στο [- 8, 8], τοτε f περιττη g(- x) = - g(x) f(- x) - 3 = - f(x) f( x) - 3 = - f(x) = 3 ατοπο Oποτε η συναρτηση g δεν ουτε αρτια ουτε περιττη. Ch Cf Η Ch δεν ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα y y, οποτε η h(x) = f(x + 3) δεν ειναι αρτια. Η Ch δεν ειναι συμμετρικη ως προς την αρχη των αξονων Ο(0, 0), οποτε η h(x) = f(x + 3) δεν ειναι περιττη.

25 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 5 Θ ε μ α 9 ο 033 Δινονται οι συναρτησεις και α) Να αποδειξετε οτι για καθε και στη συνεχεια, με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης της συναρτησης φ να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση f. (Μοναδες 10) y = - x β) Με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης της f να βρειτε: i. Τα διαστηματα στα οποια η συναρτηση f ειναι γνησιως μονοτονη. ii. Το ολικο ακροτατο της f καθως και τη θεση του. iii. Το πληθος των ριζων της εξισωσης f ( x) = κ, κ <. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.... χ ρ η σ ι μ ο y 0 x (Μοναδες 5) (Μοναδες 5) (Μοναδες 5)

26 6 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 033 α) Ειναι για καθε x y f(x) = - x + x +1 f(x) = - x + x + -1 f(x) = - (x -x +1) + f(x) = - (x -1) + Δηλαδη f(x) = φ(x -1) + Προκειμενου να βρουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f με την βοηθεια της γραφικης παραστασης της συναρτησης φ(x) = - x : Μεταφερουμε τη Cφ κατα 1 μοναδα οριζοντια προς τα δεξια και κατα μοναδες κατακορυφα προς τα πανω. β) Με τη βοηθεια βοηθεια της γραφικης παραστασης της f : i) η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (-, 1] η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα [1, + ) ii) παρουσιαζει (ολικο) μεγιστο στη θεση x = 1, το f(1) = iii) το πληθος των ριζων της εξισωσης f(x) = κ, κ < (οι τετμημενες των σημειων τομης της Cf με τη γραφικη παρασταση της εξισωσης f(x) = κ ) ειναι δυο, αφου με κ < η γραφικη της παρασταση τεμνει τη Cf σε δυο σημεια. Cφ Cf 1 f(x) = κ Ο 1 x

27 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 4. Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς

28 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

29 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 9 Θ ε μ α 1 0 ο 1784 Δινεται η συναρτηση: με θετικες σταθερες, η γραφικη παρασταση της οποιας διερχεται απο τα σημεια α) Με βαση τα δεδομενα, να κατασκευασετε ενα συστημα δυο ε- ξισωσεων με αγνωστους τους και να υπολογισετε την τιμη τους. (Μοναδες 10) β) Θεωρωντας γνωστο οτι. i. να βρειτε τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της συναρτησης f με τους αξονες. (Μοναδες 3) ii. να μεταφερετε στην κολα σας το συστημα συντεταγμενων που ακολουθει, να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f και να εξηγησετε πως αυτη σχετιζεται με τη γραφικη παρασταση της συναρτησης (Μοναδες 6) iii. με βαση την παραπανω γραφικη παρασταση, να βρειτε το ακροτατο της συναρτησης f, τα διαστηματα στα οποια η f ειναι μονοτονη, καθως και το ειδος της μονοτονιας της σε καθενα απο αυτα τα διαστηματα. (Μοναδες 6)... χ ρ η σ ι μ ο A = (0, 16) B = (4, 0) - Ο

30 30 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η 1784 α) Ειναι 1 (-) (- c) - d = 16 A C f f(0) = 16 c - d = 3 c - d = 3 B C f(4) = 0 1 f 16-8c + c - d = 0 8c = 48 (4 - c) - d = d = d = 3 d = 4 d = c = 6 c = 6 c = 6 c = 6 β) Για c = 6, d = η συναρτηση γινεται 1 f(x) = (x - 6) -, x i) Η Cf τεμνει τον y y ( για x = 0) : 1 36 f(x) = (0-6) - = - = 16 στο σημειο Α(0, 16). Η Cf τεμνει τον x x ( για f(x) = 0) : ii) 1 0 = (x - 6) - (x - 6) - 4 = 0 (x )(x ) = 0 (x - 4)(x - 8) = 0 x = 4 x = 8 στa σημειa B(4, 0) και Γ(8, 0). H Cf προκυπτει απο μεταφορα της Cg κατα 6 μοναδες οριζοντια προς τα δεξια και κατα μοναδες κατακορυφα προς τα κατω. iii) Με τη βοηθεια βοηθεια της γραφικης παραστασης της f : η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα [6, + ) η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα (-, 6] παρουσιαζει (ολικο) ελαχιστο στη θεση x = 6, το f(6) = - Cg Α = (0, 16) Cf B = (4, 0) - Ο Γ = (8, 0)

31 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 31 Θ ε μ α 1 1 ο 0334 Στο σχημα δινονται οι γραφικες παραστασεις y μιας παραβολης f(x) = αx + βx + γ και της 8 ευθειας g(x) = x +. α) Δεδομενου οτι η παραβολη διερχεται απο τα σημεια Α, Β, Γ, να βρειτε τα α, β, γ. (Μοναδες 8) Δ 6 4 β) Αν α =, β = 0 και γ =, να βρειτε αλγεβρικα τις συντεταγμενες των κοινων ση- μειων ευθειας και παραβολης. (Μοναδες 8) -5 B A 5 x γ) Αν μετατοπισουμε την παραβολη κατα 4,5 μοναδες προς τα πανω, να δειξετε οτι η - Γ ευθεια και η παραβολη θα εχουν ενα μονο κοινο σημειο. (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο

32 3 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η 0334 α) Ειναι Α C 0 = α + β + γ 4α + β = α + β = 1 (+) Β Γ f C 0 = α (- ) + β (- ) + γ 4α - β = f α - β = 1 C - = α 0 + β 0 + γ γ = - f γ = α = α = α = α - β = β = 1 β = 0 γ = - γ = - γ = - β) 1 1 Για α =, β = 0 και γ = - : f(x) = x - Ετσι y = x - - x + = x - y = - x + y = - x + y = - x + y = - x x + 4 = x - 4 x + x - 8 = 0 y = - x + y = - x + y = - x + x + 4x - x - 8 = 0 x(x + 4) - (x + 4) = 0 (x + 4)(x - ) = 0 x = - 4 x = - 4 y = - x + y = - x + y = 4 + y = 6 x + 4 = 0 x = - 4 (- 4, 6) η η κοινα σημεια η η x = x = (,0) x - = 0 x = y = - + y = 0 γ) Αν μετατοπισουμε την παραβολη κατα 4,5 μοναδες προς τα πανω : f(x) = x +,5 Ετσι y = - x + y = - x + y = - x + y = - x y = x +,5 y = x +,5 - x + = x +,5 - x + 4 = x + 5 y = - x + y = - x + y = 1 + y = 3 κοινο σημειο (- 1, 3) x + x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = - 1 x = - 1 1

33 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 5. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς

34 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

35 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 35 Θ ε μ α 1 ο α) Να λυσετε το συστημα: (Μοναδες 1) β) Με τη βοηθεια του ερωτηματος (α) και του τριγωνομετρικου κυκλου, να βρειτε ολες τις γωνιες ω με, που ικανοποιουν τη σχεση και να τις απεικονισετε πανω στον τριγωνομετρικο κυκλο. Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν ω ημω συνω χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 13)

36 36 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι x + y = - 1 x = - y - 1 x = - y - 1 x = - y - 1 x + y = 1 (- y - 1) + y = 1 y + y y = 1 y + y = 0 x = 0-1 x = - 1 x = - y - 1 x = - y - 1 y = 0 x = - y - 1 y = 0 y = 0 y = 0 η η y(y + 1) = 0 η η y + 1 = 0 x = 1-1 x = 0 y = - 1 y = - 1 y = - 1 β) Απ'τη δοσμενη σχεση συνω + ημω = - 1 και την βασικη ταυτοτητα συν ω + ημ ω = 1 προκυπτει το συστημα συνω + ημω = - 1 συν ω + ημ ω = 1 συνω = - 1 ημω = 0 (α) η συνω = 0 ημω = < ω < π ω = π η 3π ω = π 3π

37 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 6. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

38 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

39 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 39 Θ ε μ α 1 3 ο 0331 Η θερμοκρασια μιας περιοχης σε βαθμους Κελσιου ( o C) κατα τη διαρκεια ενος εικοσιτετραωρου δινεται κατα προσεγγιση απο τη συναρτηση: ( t ο χρονος σε ωρες) α) Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη θερμοκρασια κατα τη διαρκεια του εικοσιτετραωρου. β) Να βρειτε τις χρονικες στιγμες που η θερμοκρασια ειναι ιση με 0 ο C. γ) Να παραστησετε γραφικα την f για t [0, 4]. δ) Να βρειτε, με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης, ποτε η θερμοκρασια ειναι πανω απο 0 o C. Μορφη : f(x) = ρ ημ(ω x + φ) + μ (ρ, ω > 0) Μεγιστη τιμη : ρ + μ (- ρ + μ, αν ρ < 0) Ελαχιστη τιμη : - ρ + μ (ρ + μ, αν ρ < 0) Περιοδος :... χ ρ η σ ι μ ο Γραφικη παρασταση : Αρχικα κατασκευαζουμε τη γραφικη παρασταση της f(x) = ρ ημ(ω x) : ρ : Μεταβαλλει το συνολο τιμων [- 1, 1] σε [- ρ, ρ]. ω : Μεταβαλλει τη περιοδο π (διαιρει το π και προκυπτει νεα περιοδος). φ : Μετατοπιζει τη γραφικη παρασταση της f(x) = ρ ημ(ω x) : κατα φ μοναδες προς τα δεξια (οριζοντια) αν φ < 0. κατα φ μοναδες προς τα αριστερα (οριζοντια) αν φ > 0. μ : Μετατοπιζει τη γραφικη παρασταση της f(x) = ρ ημ(ω x) : κατα μ μοναδες προς τα κατω (κατακορυφα) αν μ < 0. κατα μ μοναδες προς τα πανω (κατακορυφα) αν μ > 0. (Μοναδες 7) (Μοναδες 6) (Μοναδες 7) (Μοναδες 5)

40 40 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 0331 α) Μορφη : f(t) = ρ συν(ω t + φ) + μ με ρ = - 8, ω = π 1, φ = 0 και μ = 4 Μεγιστη τιμη της f : - ρ + μ = = 1 πt πt 1-4 πt πt f (t) = 1-8συν + 4 = 1 συν = συν = - 1 συν = συνπ max t 4 πt = κπ + π t = 4κ + 1 t = 1 0 4κ κ = 0 1 Ελαχιστη τιμη της f : ρ + μ = = - 4 β) πt πt πt πt f (t) = - 4-8συν + 4 = - 4 συν = συν = 1 συν = συν0 min t 4 πt t = 0 = κπ t = 4κ 1 0 4κ 4 0 κ 1 κ = 0 η κ = 1 t = 4 πt πt - 4 πt 1 πt π πt π f(t) = 0-8συν + 4 = 0 συν = συν = συν = συν = κπ t 4 t = 4κ + 4 t = t = κ κ κ = η (κ ) 0 t 4 t = 4κ - 4 t = t = κ κ κ = γ) Θεωρουμε την : φ(t) = και πt - 8συν με ρ = - 8, ω = π 1 1 π φ (t) = 8, φ (t) = - 8 και Τ = = 4 max min π 1 H Cf προκυπτει απο μεταφορα της Cφ κατα 4 μοναδες κατακορυφα προς τα πανω. t Cφ Cf h δ) Η θερμοκρασια ειναι πανω απο 0 0 C, οταν η Cf ειναι πανω απ τον αξονα x x. Δηλαδη 0 < t < 0.

41 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 7. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς

42 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

43 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 43 Θ ε μ α 1 4 ο Δινεται η συναρτηση με και, η οποια εχει μεγιστη τιμη 3 και περιοδο 4. α) Να δειξετε οτι και. β) Για i. να λυθει η εξισωση. (Μοναδες 7) (Μοναδες 10) ii. να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f στο διαστημα.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8)

44 44 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Η συναρτηση f ειναι της μορφης f(x) = ρ ημ(ωx), με ρ = α + 1 και ω = βπ, β > 0. Ετσι η f παρουσιαζει μεγιστο το α + 1 και ελαχιστο το - α + 1 π π εχει περιοδο : Τ = = =, β > 0 βπ βπ β Οποτε α + 1 = 3 α = α + 1 = 3 η η α + 1 = - 3 α = Τ = 4 = 4 β = β = β 4 β) 1 πx Για α = και β = : f(x) = 3ημ ι) Eιναι πx π = κπ + πx πx πx π f(x) = 3 3ημ = 3 ημ = 1 ημ = ημ πx π = κπ + π - x = 4κ + 1, κ ii) Η f ειναι της μορφης : f(x) = ρ ημ(ωx) με ρ = - 8, ω = π και π f (t) = 3, f (t) = - 3 και Τ = = 4 max min π Η f ειναι ημιτονοειδης συναρτηση και η Cf στο διαστημα [0, 8] φαινεται στο διπλανο σχημα

45 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 45 Θ ε μ α 1 5 ο Δινεται το συστημα: με παραμετρο α) Να λυσετε το συστημα για τις διαφορες τιμες του (Μοναδες 10) β) Αν και ειναι η αντιστοιχη λυση του συστηματος, να βρειτε γωνια τετοια ωστε και. (Μοναδες 7) γ) Αν και ειναι η αντιστοιχη λυση του συστηματος, να δειξετε οτι δεν υπαρχει γωνια ω, τετοια ωστε και.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν ω ημω συνω

46 46 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι D = = - λ - D = = λ - λ = - λ D = = - λ - 1 x y 1 λ λ λ 1 λ 1) Αν D 0 - λ - 0 λ -, το συστημα εχει μοναδικη λυση, την D D x y - λ - λ - 1 λ λ + 1 (x, y) =, =, =, D D - λ - - λ - λ + λ + ) Αν D = 0 - λ - = 0 λ = - και β) D = - λ = - (- ) = 0 x οποτε το συστημα ειναι αδυνατο Α λ λ ι ω ς Για λ = - το συστημα γινεται - x + y = 1 x - y = - 1 το συστημα ειναι αδυνατο x - y = - x - y = - ν λ = - 1 θ = π και θ [0, π] (x, y ) = = (- 1, 0) (συνθ, ημθ) = (- 1, 0) θ = π 0 0, θ = η θ = π γ) Αν λ = (x, y ) = = (συνω, ημω) = 1,,, ισχυει συν ω + ημ ω = 1 + = 1 + = 1 = 1 ατοπο Αρα, δεν υπαρχει γωνια ω, τετοια ωστε x = συνω 1 και y 1 = ημω.

47 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 47 Θ ε μ α 1 6 ο Η Αλικη και η Αθηνα διασκεδαζουν στη ροδα του λουνα παρκ. Η αποσταση, σε μετρα, του καθισματος τους απο το εδαφος τη χρονικη στιγμη t sec δινεται απο τη συναρτηση και α) Να βρειτε το ελαχιστο και το μεγιστο υψος στο οποιο φτανει το καθισμα, καθως και τις στιγμες κατα τις οποιες το καθισμα βρισκεται στο ελαχιστο και στο μεγιστο υψος. (Μοναδες 8) β) Να υπολογισετε την ακτινα της ροδας. (Μοναδες 3) γ) Να βρειτε την περιοδο της κινησης, δηλαδη το χρονο στον οποιο η ροδα ολοκληρωνει μια περιστροφη. Ποσους γυρους εκαναν οι δυο φιλες στο διαστημα απο 0 εως 180 sec; (Μοναδες 4 + = 6) δ) Να μεταφερετε στην κολα σας τον πινακα τιμων και το συστημα συντεταγμενων που δινονται παρακατω και: i. να συμπληρωσετε τον πινακα τιμων της συναρτησης του υψους h(t) (Μοναδες 3) ii. να σχεδιασετε στο συστημα συντεταγμενων το τμημα της γραφικης παραστασης της συναρτησης h(t) με. (Μοναδες 5) h(t) χ ρ η σ ι μ ο

48 48 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Μορφη : h(t) = ρ ημ(ω t ) + μ με ρ = 6, ω = π 30 και μ = 8 Ελαχιστη τιμη της f : - ρ + μ = = πt πt - 8 πt πt 3π πt π h (t) = 6ημ + 8 = ημ = ημ = - 1 ημ = ημ = κπ - min t 180 t = 60κ - 15 t = 45 η t = 105 η t = κ κ κ = 1,,3 4 4 Μεγιστη τιμη της f : ρ + μ = = 14 β) πt πt 14-8 πt πt π πt π h (t) = 14 6ημ + 8 = 14 ημ = ημ = 1 ημ = ημ = κπ + max t 180 t = 60κ + 15 t = 15 η t = 75 η t = κ κ κ = 0,1, 4 4 Αν δ η διαμετρος και R η ακτινα της ροδας : δ h - h 14-1 max min R = = = = = 6 m γ) T = π = π 60 sec 30 O ι δυο φιλες, στο διαστημα απο 0 εως 180 sec, εκαναν = 3 γυρους. δ) i) t h(t) h t

49 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 49 Θ ε μ α 1 7 ο Δινονται οι συναρτησεις α) Να μεταφερετε στην κολα σας και να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα τιμων των συναρτησεων f και g. Στη συνεχεια, να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα αξονων τις γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f(x) και g(x), για. f(x) g(x) 0 (Μοναδες 8) β) Με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης, να προσδιορισετε το πληθος των λυσεων της εξισωσης (1) στο διαστημα (Μοναδες 4) γ) Να λυσετε αλγεβρικα την εξισωση (1) στο διαστημα και να σημειωσετε πανω στο σχημα του ερωτηματος (α) τις συντεταγμενες των κοινων σημειων των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g. (Μοναδες 13)... χ ρ η σ ι μ ο Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν ημ συν εφ σφ

50 50 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) x 0 π 4 f ( x ) 1 π 0-3π 4 π -1-5π 4 3π 7π 4 0 g( x) π π π π 3π π π f(0) = συν0 = 1 f = συν = f = συν = 0 f = συν π- = - συν = π π π 3π 3π f(π) = συνπ = -1 f = συν π + = - συν = - f = συν = π π π f = συν π - = συν = f(π) = συνπ = 1 g(0) = συν0 = 1 π π π 3π π π g = συν = 0 g = συνπ = -1 g = συν π- = - συν = g(π) = συνπ = 1 5π π π 3π g = συν π + = συν = 0 g = συν(π + π) = συνπ = π π π g = συν 8π - = συν = 0 g(π) = συν4π = 1 4 (0,1) (π,1) β) h Η C και η C τεμνονται σε 4 σημεια, οποτε 4 f g 1 ειναι και οι λυσεις της εξισωσης. γ) συνx = συνx 0 x π : x = κπ (1) x = κπ + x κ x = κπ - x κπ x = () 3 κοινο 0 κπ π κ = 0 x = 0 f(0) = 1 (0,1) σημειο κοινο 0 κ 1 κ = 1 x = π f(π) = 1 (π,1) σημειο κοινο κ = 0 x = 0 f(0) = 1 (0,1) σημειο κοινο π π 1 π 1 κπ κ = 1 x = f( ) = -,- 0 π 3 3 σημειο 3 3 κοινο 0 κ 3 4π 4π 1 4π 1 κ = x = f( ) = -,- 3 3 σημειο 3 κοινο κ = 3 x = π f(π) = 1 π, 1 σημειο π 1 0 π π -1 π 1, - 3 4π 1, - 3

51 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 51 Θ ε μ α 1 8 ο Ενα σωμα ταλαντωνεται κατακορυφα στο ακρο ενος ελατηριου. Η αποσταση του σωματος απο το εδαφος (σε cm), δινεται απο την συναρτηση: οπου t ο χρονος σε ωρες. α) Να βρειτε την περιοδο της ταλαντωσης. (Μοναδες 7) β) Να βρειτε την αποσταση του σωματος απο το εδαφος τις χρονικες στιγμες και. (Μοναδες 8) γ) Να βρειτε κατα το χρονικο διαστημα απο εως, ποια χρονικη στιγμη η αποσταση του σωματος απο το εδαφος ειναι ελαχιστη. Ποια ειναι η αποσταση αυτη; (Μοναδες 10)... χ ρ η σ ι μ ο

52 5 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Μορφη : h(t) = ρ ημ(ω t ) + μ με ρ = 1, ω = π 4 και μ = 13 Ελαχιστη τιμη της h : - ρ + μ = = 1 (1) Περιοδος της h : β) Ειναι π π T = = = 8 ωρες ω π 4 5π π π f(5) = 1ημ + 13 = 1ημ π = 1(- ημ ) + 13 = = π f( 8) = 1ημ + 13 = 1ημπ + 13 = = 13 4 Το σωμα απεχει απ το εδαφος : 13-6 cm τη χρονικη στιγμη t = 5 και 13 cm τη χρονικη στιγμη t = 8. γ) πt πt 1-13 πt πt 3π (1) : f(t) = 1 1ημ + 13 = 1 ημ = ημ = - 1 ημ = ημ t 8 πt 3π t = 8κ + 6 t = t = 6 = κπ κ κ κ = η (κ ) η (κ ) πt 3π 0 t 8 = κπ + π - t = 8κ - t = t = κ - 8 κ κ = Eτσι, η αποσταση του σωματος απο το εδαφος ειναι ελαχιστη τη χρονικη στιγμη t = 6 ωρες.

53 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 53 Θ ε μ α 1 9 ο 0338 Στο παρακατω σχημα, δινεται η γραφικη παρασταση μιας συναρτησης f, που ειναι της μορφης οπου α, β πραγματικοι αριθμοι. α) Mε βαση τη γραφικη παρασταση της f, να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της. (Mοναδες 4) β) Ποια ειναι η περιοδος Τ της συναρτησης f ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 4) γ) Mε βαση τα δεδομενα του σχηματος, να αποδειξετε οτι: α = και β = 6. (Μοναδες 8) δ) Να προσδιορισετε αλγεβρικα τα κοινα σημεια της γραφικης παραστασης της f με την ευθεια y = 1 στο διαστημα [0, π]. (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο

54 54 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 0338 Μορφη : f(t) = ρ ημ(ω t ) + μ με ρ = β, ω = και μ = α Μεγιστη τιμη της f : β + α (1) Ελαχιστη τιμη της f : - β + α () Περιοδος της f : α) π T = ω (3) Απ τη γραφικη παρασταση προκυπτει Μεγιστη τιμη της f : 4 Ελαχιστη τιμη της f : - 8 β) Απ'τη (3) και απ'το οτι ω =, η περιοδος της συναρτησης ειναι π π T = = = π ω γ) Απ'το (β) και τις (1), () προκυπτει : β = 6 - β + α = - 8 α = - 4 α = - α = - (+) β + α = 4 β + α = 4 β - = 4 δ) Για α = - κα β = 6 η συναρτηση γινεται : f(x) = - + 6συνx. Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια της Cf με την ευθεια y = 1, λυνουμε την εξισωση : π f(x) = συνx = 1 συνx = συνx = συνx = συν 6 3 π π x =, 1 0 x π π 6 6 π x = κπ + x = κπ + 6 π π 7π 0 κπ + π - κ κ = 0, x = κοινα, η (κ ) η (κ ) σημεια π 5π 5π 0 x π π x =, 1 x = κπ - x = κπ π κπ - π κ κ = 1, π x = 11π, 1 6 6

55 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 8. Τ ρ ι γ κ o ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ

56 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

57 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ 57 Θ ε μ α 0 ο Για τη γωνια ω ισχυει οτι α) Να δειξετε οτι β) Αν για τη γωνια ω επιπλεον ισχυει, τοτε: i. να δειξετε οτι και ii. να υπολογισετε την τιμη της παραστασης:... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 10) (Μοναδες 8) (Μοναδες 7)

58 58 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ Α π α ν τ η σ η α) Ειναι 5συνω + 8συνω + 1 = 0 5(συν ω - 1) + 8συνω + 1 = 0 10συν ω συνω + 1 = 0 10συν ω + 8συνω + 16 = 0 5συν ω + 14συνω + 8 = 0 5συν ω + 10συνω + 4συνω + 8 = 0 5συνω(συνω + ) + 4(συνω + ) = 0 συνω = - < -1 αδυνατη συνω + = 0 η η 4 5συνω + 4 = 0 συνω = - 5 β) i) Ειναι (συνω + )(5συνω + 4) = 0 4 συνω = ημ ω + συν ω = 1 ημ ω + - = 1 ημ ω = 1 - ημ ω = π < ω < π 9 3 ημω = ± ημω = Ετσι 5 ημω > συνω = συν ω - 1 = - 1 = - 1 = - = ημω = ημωσυνω = - = ii) 13 [ ημ ω + συν ω] Π = = = 18 εφω σφω + 5 [ημω + συνω] = = = =

59 Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς h t t p :// d r m a t h s 5 8 d e m o.b l o g s p o t. g r Μετα απο καιρο, αποφασισα να ασχοληθω με την τραπεζα θεματων διαβαθμισμενης δυσκολιας και να παρουσιασω ενα βοηθημα, που το επιμεληθηκα με πολυ μερακι. Πιστευω, μια αξιοπρεπης προσπαθεια με σκοπο να βοηθησει τους μαθητες της Α Λυκειου να προσπαθησουν να λυσουν τις ασκησεις της τραπεζας η εστω να τις διαβασουν χωρις ιδιαιτερο κοπο. Ελπιζω το βοηθημα αυτο να ανταποκριθει στις προσδοκιες μου και στις προσδοκιες των μαθητων που θα το χρησιμοποιησουν. (με τον ιδιο τροπο, θα συνεχισω) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων-4ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ

Τράπεζα Θεμάτων-4ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ Τράπεζα Θεμάτων-ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ (178) Δίνεται η συνάρτηση f (x) f x 8 x 8 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2. α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: x2 )

2. α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: x2 ) 1. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 συνx, x R α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της f; β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι.1 έως και.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 1. 1. 1 1 1. 4. 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 6. 1 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 1η έκδοση: 30 11 014 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 17833 α) Πρέπει : 8 x 0 x 8 & 8 x 8 8 x 0 x 8,άρα 8,8. f β) x 8,8 : x 8,8 & f x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x f x γ) Γνησίως φθίνουσα είναι η III γραφική παράσταση. Έχει μέγιστο στο -8 το f 8 16 0 4. Έχει ελάχιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: )

(Έκδοση: ) (Έκδοση: 06 11-014) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 11 014 (συνεχής ανανέωση) ( προστέθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2 Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 1ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 05 03 2015)

(Έκδοση: 05 03 2015) (Έκδοση: 05 03 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 05 03 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα