ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014

Transcript

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 60. Α. α) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 3. β) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 3. γ) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 33. Α3. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β f = + 9 = = = α) ( ) ( ) = ( 6+ 9) + = ( 3) +. Άρα f( ) = ( 3) +. β) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά (οριζόντια μετατόπιση) και κατά μονάδα προς τα πάνω (κατακόρυφη μετατόπιση).

2 ΘΕΜΑ Γ Γ. α) Πρέπει να είναι 0 και 0. Το σύστημα γράφεται: + = + = 4 3 = 4 3 = Αν θέσουμε = ω και = ϕ, το σύστημα παίρνει τη μορφή: ω+ϕ= 4ω ϕ= 4 4ω ϕ= 4 4ω 3ϕ= 4ω 3ϕ= ϕ= ω 4 ( 3) = 4 ω+ 4 6= 4 ω= 4 ω= ϕ= 3 ϕ= 3 ϕ= 3 ϕ= 3 Επομένως έχουμε: ω= = = ϕ= 3 = 3 = 3 Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) = (, ). 3 β) + z = () + 4z = 4 () 4 + z = 3 (3) Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε την () ως προς z, και αντικαθιστούμε στις άλλες δύο. Έτσι έχουμε: + z = z = + (4) οπότε οι εξισώσεις () και () γράφονται: + 4z = 4 + 4( + ) = = = 0 ()

3 4 + z = ( + ) = = = 8 (6) Οι (), (6) ορίζουν το γραμμικό σύστημα 6 9 = 0, 3 + = 8 από την επίλυση του οποίου βρίσκουμε: 6 9 = = = = = = 36 3 = 46 = 6 38 = 0 6 = 48 = 8. = = = Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των και στην (4) και βρίσκουμε z= + z= 8+ z= 9+ 0 z=. Άρα η λύση του αρχικού συστήματος είναι η τριάδα (,,z) = (8,,) + = γ). Επειδή =, προκύπτει ότι 0 και 0, οπότε έχουμε = = =. Αντικαθιστούμε την τιμή του στην πρώτη εξίσωση και έχουμε: = + = + = + 4 = + 4 = 0 Θέτουμε =ω 0 και η παραπάνω εξίσωση γίνεται: ω ω+ 4 = 0 ω= ή ω= 4 Επομένως έχουμε ω= = =± ω= 4 = 4 =± Από τη σχέση = θα βρούμε τις αντίστοιχες τιμές του για = είναι = = για = είναι = =

4 για = είναι για = είναι = = = = Άρα το σύστημα έχει λύσεις τα ζεύγη: (, ), (, ), (,), (, ) Γ. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D,D και D του συστήματος λ =λ 3 + ( λ 4) = Συγκεκριμένα έχουμε: λ 3 λ 4 λ D = = λ λ 4 λ 4 + =λ 4λ λ+ 8+ = D= =λ 4λ+ 3= ( λ )( λ 3) ( )( ) ( ) =λ λ+ = λ D = =λ 3( λ ) =λ 3λ+ 6= λ+ 6= ( λ 3) λ λ 3 Βρίσκουμε για ποιες τιμές του λ ισχύει D= 0. Έχουμε: D= 0 ( λ )( λ 3 ) = 0 ( λ = 0 ή λ 3 = 0 ) λ= ή λ= 3 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν D 0 λ και λ 3, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, τη: D ( λ 3 ) λ 3 = = = D ( λ )( λ 3) λ και D ( λ 3) = = = D λ λ 3 λ ( )( ) Αν D 0 ή 3 = λ= λ=, τότε το σύστημα είτε είναι αδύνατο είτε έχει άπειρες λύσεις. Εξετάζουμε ξεχωριστά καθεμία από τις τιμές αυτές του λ.

5 Για λ=, D = 4 0, το σύστημα γίνεται: =,το οποίο είναι αδύνατο. 3 3 = Για λ= 3, D = D = 0, το σύστημα γίνεται: 3 = 3 = = 3 3 = Για = κ είναι = 3κ, άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις,, = κ,3κ, με κ R. όλα τα ζεύγη της μορφής ( ) ( ) Γ3. D + D + D = D 6D + 0D 3 D + D + D D + 6D 0D + 3 = 0 D D + D + 6D + D 0D ( ) ( ) ( ) ( D ) ( D 3) ( D ) 0 D D + + D + 6D D 0D + = = D = 0 και D + 3 = 0 και D = 0 D = και D = 3 και D = D Επομένως έχουμε D = 3, D = = D =. Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) = ( 3,) ΘΕΜΑ Δ συνθ ηµθ συνθ ηµθ συνθ ηµθ Δ. = = = + εϕθ + σϕθ ηµθ συνθ συνθ + ηµθ ηµθ + συνθ + + συνθ ηµθ συνθ ηµθ συν θ ηµ θ συν θ ηµ θ = = = συνθ + ηµθ συνθ + ηµθ συνθ + ηµθ ( συνθ ηµθ) ( συνθ + ηµθ ) = = συνθ ηµθ συνθ + ηµθ

6 π ηµ ( 4π ω) συν( 37π ω) εϕ( π+ω) σϕ ω Δ. Α= 7π 3π 7π ηµ +ω συν ω εϕ( 4π+ω) σϕ +ω Ας δούμε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό ξεχωριστά ηµ ( 4π ω ) = ηµ ( ω ) = ηµω συν( 37π ω ) = συν( 36π + π ω ) = συν( π ω ) = συνω εϕ( π + ω ) = εϕ( 4π + π + ω ) = εϕ( π + ω ) = εϕω 0 π π π 0 π π σϕ ω = σϕ + ω = σϕ π + ω = σϕ ω = εϕω 7 6 π π π 8 π π ηµ + ω = ηµ + + ω = ηµ π + + ω = ηµ + ω = συνω 3 π π π π συν ω = συν + ω = συν π + ω = π π π = συν 0π + π + ω = συν π + ω = συν ω = ηµω εϕ( 4 ) π + ω = εϕω 7 6 π π π 3 π σϕ + ω = σϕ + ω = σϕ π + ω = π π π = σϕ π + π + ω = σϕ π + ω = σϕ ω = εϕω Επομένως η παράσταση Α γίνεται: Δ3. ( ) ( ) ( ) ηµω συνω εϕω εϕω Α= = συνω ηµω εϕω εϕω α) συν θ ηµ θ ηµ θ συν θ Β= = = = συν θ ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ ηµ θ

7 β) ( ) ( ) Γ = συν θ + εϕθ + εϕθ = = συν θ ( + εϕθ + εϕ θ + εϕθ ) + εϕ θ = ( ) ( ) = συν θ + εϕ θ = συν θ + εϕ θ = γ) Για τη γωνία ω, με π<ω< ( + εϕ θ) = + εϕ θ 3π Β Έχουμε σϕω = σϕω = Γ εϕω = εϕω =. Επίσης ισχύει συν ω = = =, + εϕ ω + 4 συν ω = συνω = ± συνω =. Τέλος από την ταυτότητα, θα ισχύει ότι: εϕω > 0, σϕω > 0, ηµω < 0, συνω < 0.. Από την ταυτότητα εϕω σϕω = θα έχουμε: συν ω =, συνεπώς + εϕ ω συνω = ± συνω = ±, δεκτό το ηµ ω + συν ω =, έχουμε: 4 ηµ ω + = ηµ ω = ηµ ω = άρα δεκτό το ηµω = ηµω = ± ηµω = ± ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΟΡΦΥΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS