ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2 Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης Μιχάλης Μιχαήλογλου Στέλιος Πανούσης Γιώργος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμπάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος Φανέλη Αναστασία Φερεντίνου Σταυρούλα

3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 0) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 5) α) Έστω το γραμμικό σύστημα x y 0 () () ( ) : 0x 0y 6. xy 4 Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο. β) Το σύστημα παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Άρα δεν υπάρχει σημείο τομής οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. _6954 Δίνεται η εξίσωση: 8x + y = 7 () α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την εξίσωση (). (Μονάδες 0) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 5) α) Παίρνουμε την εξίσωση 8x+y=5. Λύνουμε το γραμμικό σύστημα 8x y 7 () () ( ) : 0x 0 y 8. Το σύστημα είναι αδύνατο. 8xy 5 Άρα η 8x+y=5 δεν έχει καμιά κοινή λύση με την εξίσωση 8x+y=7.

4 β) Το σύστημα είναι αδύνατο διότι παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Άρα δεν υπάρχει σημείο τομής οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. _ 6957 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες ) Έστω ότι η ηλικία του Μάρκου είναι: x και του Βασίλη είναι: y. Έχουμε ότι x+y=7 και x>y. α) Η εξίσωση x+y=7 είναι γραμμική εξίσωση α βαθμού άρα έχει άπειρες λύσεις. Επομένως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός. β) Μας δίνεται η πληροφορία ότι x-y=5. Λύνουμε το σύστημα λοιπόν x y 7 () () ( ) : x x 6 x y 5 Μάρκος είναι 6 χρονών και ο Βασίλης χρονών..επομένως () y 7 6. Άρα ο _ 6960 α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και (η). (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους. (Μονάδες )

5 α) Έστω y λx β η εξίσωση της (ε) Επειδή διέρχεται από τα σημεία 0, και λ 0 β β β,0, ισχύει ότι: β, άρα ε: y x 0 λ β 0 λ λ λ O συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας η είναι ίσος με 45 Η ευθεία η έχει εξίσωση της μορφής y x, R. To σημείο (4,0) ανήκει στην (η) οπότε : Άρα η εξίσωση της ευθείας η είναι : y x 4 x y () () β) Λύνω το σύστημα ( ) : x 6 x. Άρα () y. x y 4 Άρα το σημείο τομής τους είναι το (,-). _7647 xy 8 Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους,,. ax y α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, -). (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες ) α) Επειδή το ζεύγος, είναι λύση του συστήματος επαληθεύει την εξίσωση αx βy γ, άρα α β γ (). Παρατηρούμε ότι τα α, β, γ μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί που επαληθεύουν τη σχέση (). Για α 0 και β είναι γ 0, οπότε αυτές μπορούν να είναι τιμές των α,β,γ για τις οποίες το σύστημα έχει λύση το ζεύγος,. β) Το σύστημα είναι αδύνατο όταν κατ αρχάς έχει D 0. D 0 0 β α 0 β α α β x y 8 Έστω α, τότε β και το σύστημα γίνεται:. x y γ Είναι φανερό ότι το σύστημα είναι αδύνατο για κάθε γ 8.

6 _7650 Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm, περίμετρο ίση με 8 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά cm και μειώσουμε το πλάτος του κατά 4 cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων xy, του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) α) Επειδή το αρχικό ορθογώνιο έχει περίμετρο 8 cm ισχύει ότι: : x y 8 x y 9 () Το εμβαδόν του αρχικού ορθογωνίου είναι E x y και το εμβαδόν του καινούργιου ορθογωνίου είναι: E x y 4 xy 4x y 8 Επειδή τα δύο ορθογώνια έχουν το ίδιο εμβαδό, ισχύει ότι: E E xy xy : 4x y 8 4x y 8 x y 4 () x y 9 Το ζητούμενο σύστημα είναι το. x y 4 5 β) Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (),() έχουμε: x 5 x 5 και από τη σχέση () 5 y 9 y 4 x x y y 4 _765 Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 0 το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 80 και το πλήθος των τροχών τους 700. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες ) α) Έστω x τα δίκυκλα και y τα τετράτροχα οχήματα που βρίσκονται στο δημοτικό parking εκείνη την ώρα. Επειδή το σύνολο των οχημάτων που έχουν παρκάρει εκείνη την ώρα στο δημοτικό parking είναι 80, ισχύει ότι: x y 80. Οι τροχοί των δίτροχων είναι συνολικά x και των τετράτροχων είναι 4y, οπότε αφού το σύνολο των τροχών είναι.700, ισχύει ότι: Το ζητούμενο σύστημα είναι το x y 80 x y.50 : x 4y.700 x y.50. 4

7 x y 80 x 80 y x 80 y β) x y y y.50 y x x 0 y 50 y 50 Τα δίτροχα είναι 0 και τα τετράτροχα 50 _768 ( ) x y Δίνεται το σύστημα :, με παράμετρο. 4 x ( ) y 6 α) Αν λ = -, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μια λύση. (Μονάδες 8) β) Αν λ =, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν λ = 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 9) ( ) x y α) Για λ=- το σύστημα 4 x ( ) y 6 x y x y γίνεται: x y. 4x 4y 6 (: ) x y Οπότε αν x=κ με κr,τότε Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, y),, και μία λύση του π.χ. για κ=0 είναι ( xy, ) 0, ( ) x y 4x y ( ) β) Για λ= το σύστημα γίνεται: 0x 0 y 9 άρα το 4 x ( ) y 6 4x y 6 σύστημα είναι αδύνατο. ( ) x y γ) Για λ=0 το σύστημα γίνεται: 4 x ( ) y 6 x y () () () x y y y 4 y 4x y 6() 9x 9 x x x ( xy, ),. Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση 5

8 _770 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: : x y : x y 6, με παράμετρο R α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι παράλληλες. β) Να παραστήσετε γραφικά τις ε και ε, για λ=. γ) Υπάρχει τιμή του R, ώστε οι ευθείες ε και ε να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) α) : x y y x : x y 6 y x 6 α τρόπος Για να είναι οι ευθείες ε και ε παράλληλες θα πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή και διαφορετικά σημεία τομής με τον άξονα y y (διαφορετικά β) το οποίο ισχύει 6 β τρόπος x y Για να είναι οι ευθείες ε και ε παράλληλες θα πρέπει το σύστημα: x y 6 είναι αδύνατο : D και όταν αντικαταστήσουμε το λ= να προκύψουν διαφορετικές εξισώσεις ευθειών να Για η εξίσωση της (ε ) γίνεται yx 6. Επομένως η ζητούμενη τιμή είναι λ= 6

9 β) Για : y x : yx 6 Σχηματίζουμε για την καθεμία ευθεία ξεχωριστά τον πίνακα τιμών της έχουμε: και 0 y Με βάση τους πίνακες αυτούς προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών. γ) Για να ταυτίζονται οι δύο ευθείες πρέπει το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων,δηλαδή : D 0 και όταν αντικαταστήσουμε το λ= να προκύψει η ίδια εξίσωση Για η εξίσωση της (ε ) γίνεται yx 6. Άρα δεν υπάρχει R ώστε οι ευθείες και να ταυτίζονται. _7709 Δίνονται οι ευθείες ε : x + y = 5, ε : -x + y = 9 και ε : x + y = 7. α) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε και ε. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε και ε. (Μονάδες ) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α), να δείξετε ότι το κοινό σημείο των ε και ε είναι σημείο της ε. (Μονάδες ) α) x y 5 Δίνεται το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών: x y 9 x y 7 i. Για τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε πρέπει να λύσουμε το x y 5 σύστημα: προσθέτω κατά μέλη και έχω 4y 4 y άρα η x y 9 x y 5 γίνεται x 5 x 6 x Οπότε το σημείο τομής των ευθειών ε και ε είναι Α, ii. Για τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε πρέπει να λύσουμε το σύστημα: x y 5 y 5 x y 5 x y 5 x x y 7 x (5 x) 7 x 0 4x 7 x 4x 7 0 7

10 y 5 x y 5 x y 5 y x x x x Οπότε το σημείο τομής των ευθειών ε και ε είναι Α, β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες ε, ε και ε τέμνονται στο σημείο Α, άρα και οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο Α, αφού οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. _777 Ένα θέατρο έχει 5 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια από τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 4 καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του πάνω διαζώματος έχει 6 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 74 καθίσματα. α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. (Μονάδες ) β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες ) α)έστω x οι σειρές του κάτω διαζώματος και y οι σειρές του πάνω διαζώματος. Επειδή το σύνολο των σειρών είναι 5 θα έχουμε την εξίσωση x y 5 Κάθε σειρά του κάτω διαζώματος έχει 4 καθίσματα και κάθε σειρά του πάνω διαζώματος έχει 6 καθίσματα. Αφού το σύνολο των καθισμάτων είναι 74 θα έχουμε την εξίσωση: 4x 6y 74. Άρα θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα: x y 5 4x 6 y 74 β) Πρέπει να λύσουμε το σύστημα: x y 5 y 5 x y 5 x 4x 6 y 74 4x 6(5 x) 74 4x 400 6x 74 y 5 x y 5 x y 5 y x 6 x x x Άρα οι σειρές που έχει το πάνω διάζωμα είναι και οι σειρές που έχει το κάτω διάζωμα είναι. 8

11 _774 Δίνονται οι ευθείες: ε : x + y = 6 και ε : x - y = - α) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες ) β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, η ευθεία x + αy = α + 5 διέρχεται από το Μ. (Μονάδες ) α)για να προσδιορίσω το σημείο τομής των ευθειών αρκεί να λύσω το σύστημα των εξισώσεων τους: x y 6 y 6 x y 6 x y 6 x x y x (6 x) x 4x x 4x 9 8 y 6x y 6 y 6 y y 6x x 9 x x x x Άρα το σημείο τομής των δυο ευθειών είναι Μ 9, 5 5 β) Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε : x + αy = α + 5 αφού η ευθεία διέρχεται από αυτό. Άρα οι συντεταγμένες του σημείου θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. ( 5) 9 a a 5 7 a 5a 5 7a a x y 9 Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους α, β, γ. x y α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, -4). (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες ) α). Για να έχει μοναδική λύση το σύστημα την (,-4) πρέπει D 0 δηλαδή 0 άρα 0. a Για να έχει λύση το ζεύγος (,-4) πρέπει οι συντεταγμένες του ζεύγους να επαληθεύουν το σύστημα δηλαδή πρέπει: ( 4) ( 4) 4 4 Για α=- και β= και γ= - το σύστημα θα γίνεται: 9

12 x y 9 προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε y 4 θα είναι και x y x ( 4) 9 δηλαδή x 8 9. Άρα x= Επομένως έχει μοναδική λύση την (x,y)=(,4) β)για να είναι το σύστημα αδύνατο ή αόριστο πρέπει D 0 0. xy 9 Για α=,β=- και γ=0 έχουμε το σύστημα που είναι αδύνατο. x y 0 _868 x y Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους α, β,γ ax y α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (-, 5). (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει άπειρες λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες ) α) Έχουμε το σύστημα το οποίο για να έχει μοναδική λύση πρέπει D a Για να έχει λύση το ζεύγος (-,5) πρέπει οι συντεταγμένες του ζεύγους να επαληθεύουν το σύστημα δηλαδή πρέπει: ( ) 5 5 a ( ) 5 a 5 a 5 Για α= και για β= και γ=4 έχουμε το σύστημα : x y () () () x x x x y 4 () x y 4 y 4 y 5 0

13 β) Για να αδύνατο ή να έχει άπειρες λύσεις πρέπει : D a x y Για β= και α= έχουμε το σύστημα : x y x y για γ= προκύπτει το σύστημα x y x y το οποίο έχει άπειρες λύσεις.άρα για α=, β= και γ= το σύστημα που προκύπτει έχει άπειρες λύσεις. Η γραφική παράσταση του συστήματος είναι δύο ευθείες που ταυτίζονται ( ε : x+y=) ΘΕΜΑ 4ο 4_784 Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω: Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού. Ο λόγος της ηλικίας το πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με. Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με 5 χρόνια. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες ) α) Έστω x(>0) η ηλικία μητέρας, y(>0) η ηλικία του παιδιού και z (>0) : η ηλικία του πατέρα. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε : z x y, z y και 5 y x y z x y Άρα έχουμε το σύστημα ( ) : y z x y z 5 x y () x y β) ( ) : y z z y () x y z 5 x y z 5 ()

14 (),() () y y y 5 9y y y 45 y 45 y 5 5 () x 5 45 () z 5 55 Άρα η μητέρα είναι 45 χρονών, το παιδί 5 και ο πατέρας 55. 4_785 Δίνονται οι ευθείες και με εξισώσεις x ( ) y, ( ) x 5y αντίστοιχα και. α) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών. (Μονάδες ) τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του β) Στην περίπτωση που οι ευθείες και σημείου τομής των δύο ευθειών. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σημείο ανήκει στην ευθεία με εξίσωση: xy. (Μονάδες 5) x λ y α) Θεωρούμε το σύστημα των δύο εξισώσεων των δύο ευθειών: λ x 5y Η ορίζουσα του συστήματος, είναι: λ D 5 λ λ 5 λ 4 5 λ 4 9 λ λ λ λ 5 Αν D 0 λ λ 0 λ 0 λ και λ 0 λ σύστημα έχει μοναδική λύση οπότε οι δύο ευθείες τέμνονται. Αν D0 λ ή λ, έχουμε: x 5y Για λ το σύστημα γίνεται: x 5y. x 5y Στη περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες ταυτίζονται με την x 5y., το x y x y Για λ το σύστημα γίνεται:, οπότε το σύστημα είναι 5x 5y x y 5 αδύνατο και οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. β) Η μοναδική λύση του συστήματος είναι: x y D y λ D λ λ D λ x D λ λ λ, δηλαδή το σημείο τομής τους είναι το λ γ) Όταν το Α ανήκει στην ευθεία με εξίσωση x y, την επαληθεύει, δηλαδή: και A, λ λ.,

15 λ 6 λ 9 λ λ 9 λ λ 0 λ 0 4_789 (α )x y Δίνεται το σύστημα:, με παράμετρο. x (α )y α) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την ( x0, y 0), τότε x 0 y 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το σύστημα: i. έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους. (Μονάδες 6) ii. δεν έχει λύση. (Μονάδες 4) γ) Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από τις εξισώσεις του παραπάνω συστήματος για α =, α =, α = -. (Μονάδες 5) α) Έχουμε ότι : D 4, Dx 9 6 ( ) Dy 6 ( ) Επειδή το σύστημα έχει μοναδική λύση τότε D και Dx 0 ( ) xo D ( ) ( ), Dy ( ) yo D ( ) ( ).Άρα : x0 y0 β) Για να είναι αδύνατο ή να έχει έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει : D 0 a 4 0 a xy i) Για α= έχουμε το σύστημα x y x y xy Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής (,), R ii) Για α=- έχουμε το σύστημα x y (: ) x y,το οποίο είναι αδύνατο x y x y

16 γ) Για α= : D 5 0 οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ με συντεταγμένες x o=y o= 5 Για α= το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και οι ευθείες ταυτίζονται Για α=- το σύστημα είναι αδύνατο και οι ευθείες είναι παράλληλες _7659 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο y x α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα: x y (Μονάδες 5) β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α). (Μονάδες 0) α) y x y x y x x y xx x ( x) 0 y x y y x y ή x 0 x0 x 0 x Επομένως οι λύσεις του συστήματος είναι οι (x,y)=(,) ή (x,y)=(0,) β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της παραβολής yx με την ευθεία x y. ΘΕΜΑ 4ο 4_7850 Ο Κώστας έχει τρία παιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση πόσων χρονών είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής.. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι 4. Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι 4. Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού. α) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία. και. που έδωσε ο Κώστας. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα. (Μονάδες 5) 4

17 α) Έστω x (>0) χρονών είναι η ηλικία κάθε κοριτσιού και y (>0) του αγοριού Τότε από : x x y 4 και από : xy 4 β) Λύνουμε το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων x y 4 y 4 x y 4 x y 4 x x y 4 x 4 x 4 4 xx 4 x 4x 4 0 Η εξίσωση x 4x 4 0 έχει διακρίνουσα και ρίζες 4 x, x και x 4 4 Επομένως: για x έχουμε y4 y 8 και για x 4 έχουμε y4 4 y 6. Όμως από. πρέπει x y που ισχύει όταν x και y 8 Επομένως τα κορίτσια είναι χρονών και το αγόρι 8 χρονών. 5

18 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ ο _696 Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f : διέρχεται από τα σημεία (5, ) και (4,9). α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση f (5 x). (Μονάδες ) α) Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α και Β ισχύει ότι: f 5 f 4 9. και και f 5 f 4 Είναι 5 4 φθίνουσα. και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, είναι γνησίως β) f 5 x f 5 x f 5 f 5 x 5 x 0 x 0 _7688 x Δίνεται η συνάρτηση f ( x), x x α) Να δείξετε ότι f( x) (Μονάδες 8) β) Είναι το η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια η περιττή (Μονάδες 9) x x 0 α) f ( x) x x 0 x x 0 ( x ) που ισχύει για κάθε x x β) Nαι διότι παρατηρούμε ότι για x έχουμε f (). Aρα από το ερώτημα α έχουμε f ( x) f ( x) f () για κάθε x επομένως το f () είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης. γ) Για κάθε x R, x R.Επίσης για κάθε x ισχύει ( x) x x f ( x) f ( x). Άρα η συνάρτηση είναι περιττή. ( x) x x 6

19 _7698 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R. Nα απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f ( x), f ( x) και f( x ) (Μονάδες 0) β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο R ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 0) γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο x ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 5) Λύση α) Από τη γραφική παράσταση, αν προβάλλουμε στον y y άξονα τα σημεία με τετμημένες x, x, x συμπεραίνουμε ότι f x f x f x β) Η συνάρτηση f δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα ούτε γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της, άρα δεν είναι γνησίως μονότονη. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι είναι γνησίως μονότονη κατά διαστήματα. Πιο αναλυτικά: Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για x x x αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για x x x θα ίσχυε f x f x f x ενώ θα ίσχυε f x f x f x Όμως από το ερώτημα έχουμε ότι f x f x f x Άρα η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη. γ) Η γραφική παράσταση δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο x γιατί δεν ισχύει ότι f x f x, για κάθε x. (όπως φαίνεται από το σχήμα f ( x4) f ( x) ) 7

20 _77 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f:, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β (4,5). α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες ) β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο -, να δείξετε ότι f (0) 0. (Μονάδες ) Λύση α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Α(,) αυτό σημαίνει ότι f ( ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Β(4,5) αυτό σημαίνει ότι f ( 4) 5. Παρατηρούμε ότι για <4, ισχύει f ( ) f (4) και αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα. β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα x x στο - δηλαδή ισχύει ότι f ( ) 0. Επειδή -<0 και αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα θα είναι f ( ) f (0) δηλαδή 0 f (0) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 4 _78 Δίνεται η συνάρτηση f (x) 8 x 8 x. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 8) γ) Αν η συνάρτησης f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Μονάδες 7) δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g(x) = f (x) και h(x) = f (x + ) δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. (Μονάδες 5) : α)πρέπει 8 x 0 x 8 και 8 x 0 x 8. Άρα : A 8,8 f 8

21 β) Για κάθε x f, x f.επίσης και για κάθε x f έχουμε : f ( x ) 8 ( x ) 8 ( x ) 8 x 8 x 8 x 8 x ) f ( x ). Άρα η f είναι περιττή. γ) Η γραφική παράσταση που αντιστοιχεί η f είναι η ΙΙΙ. f 8 8 ( 8) 8 ( 8) και f f(-8)=4 και f(8)=-4. Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε το f(-8) είναι ολικό μέγιστο και το f(8) ολικό ελάχιστο. δ) αλγεβρικά: g( x) f ( x) g(x) 8 x 8 x με [ 8,8] γραφικά: Για κάθε x A, x Ag Για κάθε g x A έχουμε g( x) 8 x 8 x g Επομένως g( x) g( x),g(x) και η g δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή h( x) f ( x ) h( x) 8 ( x ) 8 ( x ) h( x) 5 x x h [,5]. Το Ah, Ah Άρα η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή f Οι συναρτήσεις g και h δεν έχουν άξονα συμμετρίας ούτε τον y y ούτε την αρχή των αξόνων, άρα δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ _6965 Δίνεται η συνάρτηση ΘΕΜΑ ο f ( x) x 4x 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f x ( ) ( x ). (Μονάδες ) β) Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοπίζοντας κατάλληλα την y x (Μονάδες ) 9

22 : α) f x x 4x 5 x 4x 4 x β) Αρχικά μετατοπίζουμε την y x θέσεις δεξιά και στη συνέχεια θέση πάνω. _86 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι παραβολές C f και C g που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το R. Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της C f προκύπτει η Cg. (Μονάδες 5) : α) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ) και η f στο x0 παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή fmin f( ) β) γραφική παράσταση της g προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση κατά 4 μονάδες προς τα κάτω και οριζόντια μετατόπιση 4 μονάδες προς τα δεξιά δηλ g( x) f ( x 4) 4 0

23 _864 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 9 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή: f ( x) ( x ) f ( x) ( x ) (Μονάδες 0) β) Δίπλα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( x) x.στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 5) α) : 9 9 f x x x x x x x ( ) 9 ( 6 ) ( ) x x ( x ) Άρα f ( x) ( x ) 8 9 β) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά μονάδες προς τα δεξιά (οριζόντια μετατόπιση) και κατά μονάδα προς τα πάνω ( κατακόρυφη μετατόπιση) _994 Δίνεται η συνάρτηση f x x 5, x α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x =0. (Μονάδες 8) β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Με ποια μετατόπιση της g x α) Είναι x προκύπτει η C f ; (Μονάδες 9) : (), όμως f 0 5, άρα η () γίνεται: x 0 x 5 5 η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0. f x f 0, οπότε β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι το, ισχύει ότι: για κάθε x και x. Είναι f x x 5 x 5 f x άρα η f είναι άρτια. γ) Η f C προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά 5 θέσεις προς τα κάτω.

24 ΘΕΜΑ 4ο 4_784 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) ( x c) d, x με c, d θετικές σταθερές, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία A(0, 6) και B(4, 0). α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τους c, d και να υπολογίσετε την τιμή τους. (Μονάδες 0) β) Θεωρώντας γνωστό ότι c = 6 και d =, i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. (Μονάδες ) ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( x) x (Μονάδες 6) iii. με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα (Μονάδες 6) α) Aφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α και Β θα έχουμε ότι c d 6 () f (0) 6. Aρα δημιουργούμε το σύστημα f (4) 0, όπου με αφαίρεση 4 c d 0 () κατά μέλη των εξισώσεων () και () παίρνουμε την εξίσωση c 4 c 6 c 4 c c 6 8 c c 8 c 48 c 6. Aντικαθιστώντας στην σχέση () παίρνουμε 4 6 d 0 d β) Για c6, d η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f ( x) ( x 6), x i) Το σημείο τομής με τον άξονα yy είναι το A(0, 6) Για το σημείο τομής με τον άξονα xx λύνουμε την εξίσωση

25 x 6 x 8 f ( x) 0 ( x 6) 0 x 6 4 x 6. x 6 x 4 Άρα βρήκαμε δυο σημεία του xx τα B(4, 0), Γ(8,0) ii) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f παρατηρούμε ότι σε σχέση με τη συνάρτηση g είναι μετατοπισμένη κατά 6 μονάδες δεξιά στον άξονα xx και κατά μονάδες προς τα κάτω στον άξονα yy. iii) Από το γράφημα του ερωτήματος ii) παρατηρούμε ότι στο διάστημα,6 η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο διάστημα 6, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Το σημείο Δ είναι το ακρότατο της συνάρτησης στη θέση x 6 με τιμή f (6) το όποιο είναι το ολικό ελάχιστο της f.

26 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο _766 Αν 0 x και ( x) (5 x 4) 0, τότε: 4 α) Να αποδείξετε ότι: x 5 β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Η εξίσωση ( συνx + ) ( 5συνx 4 ) = 0 συνx + =0 ή 5συνx 4=0 x ή 4 x 5. Επειδή 0 x : συνx>0. 4 Άρα τελικά x 5 β) Γνωρίζουμε ότι : x x x x x x x Αλλά 0 x τότε ημx>0.επομένως x x Έχουμε 5 x 4 x και x 5 x 4 4 x 5 5 ΘΕΜΑ 4ο 4_7844 x y α) Να λύσετε το σύστημα: x y (Μονάδες ) 4

27 β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις γωνίες ω με 0 ω π, που ικανοποιούν τη σχέση συνω + ημω = - και να τις απεικονίσετε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο. (Μονάδες ) α) Λύνουμε την ως προς και αντικαθιστούμε στη. Έχουμε x y x y Επομένως: x y y y y y y y y y y 0 y y 0 y 0 ή y Από την για y 0 έχουμε x και για y έχουμε x 0 Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις, τις,0 και 0, β) Η δοσμένη σχέση, μαζί με τη σχέση σχηματίζουν το σύστημα: με 0 x y x Αν θέσουμε x και y προκύπτει το σύστημα: με x y y x x 0 που με τη βοήθεια του ερωτήματος προκύπτει ότι: ή y 0 y Αντικαθιστώντας έχουμε: ή 0 Στον διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο απεικονίζονται οι γωνίες ω που είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος. 5

28 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΘΕΜΑ ο _7699 Δίνεται, όπου φ η οξεία γωνία που 5 σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του διπλανού σχήματος. α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 5) α) Από την ταυτότητα προκύπτει ότι Αντικαθιστούμε το ημφ με 5 και έχουμε Επειδή φ οξεία γωνία είναι β) Από το σχήμα προκύπτει ότι και Άρα : , οπότε έχουμε

29 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο _7656 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x, x. α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της f ; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. (Μονάδες 0) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) α) x x αρα y max= και ymin=.η περίοδος είναι β)έχουμε τον πίνακα x x 0 συνx 0-0 x 0 0 γ) Αν f(x)= τότε x συνx= που είναι αδύνατο γιατί x 7

30 _7704 Δίνεται η συνάρτηση f (x) συνx, x α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες ) β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας περιόδου. (Μονάδες ) x 0 π 4 π π 4 π x συνx f( x) συνx α)έχουμε τη συνάρτηση f (x) συνx, x π Για την περίοδο έχουμε T με ω= άρα είναι ω Επίσης έχουμε ότι συνx (πολ/ζω με -) ( ) συνx - συνx - συνx f ( x) f (0) f ( x) f Οπότε η μέγιστη τιμή της f είναι το ( f ) και ελάχιστη τιμή της f είναι το -( f ) min max 8

31 β) x 0 π 4 π π 4 π x 0 π π π π συνx 0-0 f( x) συνx _775 Δίνεται η συνάρτηση π f ( x) ημ(π - x) συν( x), x α) Να δείξετε ότι f ( x) ημx (Μονάδες 0) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) π α)έχουμε ότι f ( x) ημ(π - x) συν( x). Xρησιμοποιώντας παραπληρωματικά και συμπληρωματικά τόξα έχουμε f ( x) ημx ημx δηλαδή θα είναι f ( x) ημx π π β) Θα πρέπει να υπολογίσουμε την περίοδο T με ω= άρα T ω π x 0 6 π π 6 π π x 0 π π π ημx f( x) ημx

32 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο _6968 α) Είναι η τιμή x λύση της εξίσωσης 4x 0 ; 4 Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) 4x με την ευθεία y=-. (Μονάδες 5) α) Για να είναι η τιμή π x λύση της εξίσωσης συν4x 0 πρέπει να την επαληθεύει, 4 δηλαδή: συν 4 π 0 συνπ που ισχύει 4 β) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y είναι οι λύσεις της εξίσωσης f x. Είναι: π π f x συν4x συν4x συνπ 4x κπ π x κ, κ 4 _765 Δίνεται γωνία που ικανοποιεί τη σχέση: ( ) α) Να αποδείξετε ότι είτε 0 είτε 0. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας. (Μονάδες ) α) ημ ωσυν ω ημω συνω ημ ω ημω συνω συν ω ημω συνω ημω συνω 0 ημω 0 ή συνω 0 β) ημω 0 ω κπ, κ ή π συνω 0 ω κπ, κ _768 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x, x α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. β) Για ποια τιμή του x [ 0, ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή; 0 (Μονάδες 0) (Μονάδες 5)

33 α) Ισχύει ότι x x f ( x) Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι fmax και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f είναι fmin. β) Έχουμε f ( x) x x x x x[0, ] x, Z x _769 ΘΕΜΑ α) Να δείξετε ότι x x 0 β) Να βρείτε τις τιμές του α) ( ) (Μονάδες 0) x 0, για τις οποίες ισχύει x x (Μονάδες 5) x x x x x x Άρα x x x ( x) 0 α β) x x x x x x x x x 0 x 0 x, x 0, 0 x αρα x τότε. αρα x Επειδή

34 _769 α) Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς 7,, (Μονάδες ) β) Αν x x να συγκρίνετε τους αριθμούς ( x) και ( x) (Μονάδες ) α) Έχουμε ότι : Επειδή η συνάρτηση f ( x) x είναι γνησίως φθίνουσα στο[0,π] άρα Επομένως έχουμε β) Παρατηρούμε ότι ( x ) x και ( x ) x. Επομένως αφού x x και η συνάρτηση f ( x) x στο διάστημα, είναι γνησίως αύξουσα τότε x x x x ( x ) < ( x ). _776 ημ x Δίνεται η παράσταση: Α=, με x κπ,. συνx α) Να αποδείξετε ότι Α = +συνx (Μονάδες ) ημ x β) Να λύσετε την εξίσωση συνx στο διάστημα (0, π). (Μονάδες ) α) ημ x συν x ( συνx)( συνx) A ( συνx) συνx συνx συνx

35 ημ x β) λόγω του (α) ερωτήματος είναι συνx π π x συνx - συνx -συν x συν(π- ) x άρα x ή x με Έχουμε το διάστημα (0, π) άρα είναι: π και επειδή θα είναι κ=0 Άρα x 8 Έχουμε και 0 x 0 8 και επειδή θα είναι κ= ή κ=. 6 4 Για x= : x 4 Για x= : x _779 Έστω γωνία x, για την οποία ισχύουν: x και ημ(π-x)-ημ(π x) α) Να αποδείξετε ότι x (Μονάδες ) β) Να βρείτε την γωνία x. (Μονάδες ) α)για π x π έχουμε ότι: ά ό ημ(π-x)-ημ(π x) ημx-ημ( x) ί ό ημx ημx ό ά ημx ημx π π β) x ημx ημ x κπ 6 6 ή π 5 x κπ π- x, Z 6 6 π π Για x κπ και x π έχουμε ότι 6

36 π άρα και επειδή θα είναι αδύνατο. 5π π Για x κπ και x π έχουμε ότι π άρα και επειδή θα είναι κ=0 άρα x 0 π οπότε 6 5π x 6 _774 ημx ημx α) Να αποδείξετε ότι :, όπου x κπ, (Μονάδες ) -συνx συνx x ημx ημx 4 β) Να λύσετε την εξίσωση: -συνx συνx (Μονάδες ) α)για x κπ ημx ημx ημx( συνx) ημx(-συνx) ημx ημxσυνx ημx-ημxσυνx -συνx συνx ( συνx)(συνx) συν x x x x ημx ημx 4 β) από (α) ερώτημα θα έχουμε ότι -συνx συνx 4 π 4ημx ημx= ημx ημ ημx Οπότε x ή x,. Άρα θα είναι: π π x κπ ή x κπ με.δεκτές αφού x κπ 4

37 ΘΕΜΑ 4ο 4_787 Δίνεται η συνάρτηση f (x) ( x) με και 0, η οποία έχει μέγιστη τιμή και περίοδο 4. α) Να δείξετε ότι ή 4 και. (Μονάδες 7) β) Για και, (Μονάδες 0) i. να λυθεί η εξίσωση f (x) ii. να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0,8]. (Μονάδες 8) α) Η μέγιστη τιμή της f είναι fmax α. Όμως fmax, άρα α α, δηλαδή α α ή α α 4 π Η περίοδος της f είναι f. Επειδή η f έχει περίοδο 4, ισχύει ότι: βπ β 4 4β β. β 4 β) Για α και β είναι πx f x ημ πx πx π x i. f x ημ ημ κπ π x 4κ, κ ii. Αρχικά κάνουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης. x fx

38 4_7840 x y Δίνεται το σύστημα:, με παράμετρο. x y α) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ R. (Μονάδες 0) β) Αν λ = - και (x 0, y 0) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία θ [0, π) τέτοια ώστε x 0 = συνθ και y 0 = ημθ. (Μονάδες 7) γ) Αν λ = και (x, y ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x = συνω και y = ημω. (Μονάδες 8) α) Αρχικά υπολογίζουμε τις ορίζουσες του συστήματος: D D Dx Dx Dy Dy Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: i) Αν D 0 0,τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση: την D x x, D y y δηλαδή την (x,y)=(, D D ii) Αν,τότε το σύστημα γίνεται: x y x y. Επομένως αν λ=- τότε το σύστημα είναι αδύνατο. x y x y β) Αν λ=-και (x 0,y 0) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, τότε 0 (από το ερώτημα ) x0, y0 0 [0, ] Επομένως (x 0,y 0) (,0),οπότε 0 γ) Αν λ=και (x,y ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος τότε (από το ερώτημα ) x, y Επομένως.Όμως αν υπήρχε τέτοια γωνία θ θα έπρεπε: 6

39 4 5 άτοπο Άρα δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x και y 4_784 Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα παρκ. Η απόσταση, σε μέτρα, του καθίσματός τους από το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τη συνάρτηση t ht ( ) και 0. α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οποίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες ) γ) Να βρείτε την περίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οποίο η ρόδα ολοκληρώνει μια περιστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 80 sec; (Μονάδες 4+=6) δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον πίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων που δίνονται παρακάτω και : i. να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t). (Μονάδες ) ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 t 90. (Μονάδες 5) t h(t) t α) Για την ht ( ) 8 6 με t t ισχύει ότι 0 t t 6 ( ) t h( t) 4 h(45) h( t) h(5) 0 7

40 Άρα το μέγιστο ύψος της h είναι hmax 4 και το ελάχιστο ύψος της συνάρτησης h είναι hmin. Το μέγιστο ύψος της h συμβαίνει τις στιγμές t για τις οποίες ht ( ) 4 t t t t , t 60 5 () Όμως t Επειδή ο αριθμός κ είναι ακέραιος κ=0 ή κ= ή κ= Όταν κ=0 τότε () t=5 sec Όταν κ= τότε () t=75 sec Όταν κ= τότε () t=5 sec Το ελάχιστο ύψος της h συμβαίνει τις στιγμές t για τις οποίες ht () t t t t, t 60 5 () 0 Όμως t Επειδή ο αριθμός κ είναι ακέραιος κ= ή κ= ή κ= Όταν κ= τότε () t=45 sec Όταν κ= τότε () t=05 sec Όταν κ= τότε () t=65 sec β) Ισχύει : ά ό hmax hmin 4 m οπότε ά ό ί ό 6 m γ) Η περίοδος της κίνησης είναι T 60 sec. 0 Oι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 80 sec, έκαναν γύρους 8

41 δ) i t h(t) δ) ii) 4_784 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η οποία είναι της μορφής f(x) = ρ ημ(ωx) + k, με ρ, ω, k πραγματικές σταθερές. α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να βρείτε: i. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες ) ii. την περίοδο T της συνάρτησης f (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών ρ, ω και k. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) γ) Θεωρώντας γνωστό ότι ρ =, και k =, να προσδιορίσετε αλγεβρικά την 7 τετμημένη x 0 του σημείου x0, της γραφικής παράστασης, που δίνεται στο σχήμα. (Μονάδες 0) α) i) Από το γράφημα της συνάρτησης παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της είναι το 5 και η ελάχιστη το -. ii) Η περίοδος Τ είναι το διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών τετμημένων των σημείων στα οποία η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο. Οπότε 5 4,όπου 5π και π είναι τα διαδοχικά μέγιστα. β) 4 4 Από τη μορφή του γραφήματός βλέπουμε ότι 0 άρα μέγιστη τιμή της συνάρτησης f είναι k ενώ η ελάχιστη τιμή είναι k. Άρα με βάση το ερώτημα α) 9

42 k 5 δημιουργούμε το σύστημα όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε k k 4 k και k 5 5 k γ) Για ρ =, και k = έχουμε f ( x) x.το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της f οπότε : 7 7 f ( x0 ) x0 x0 x0 x0 6 x0 x0 4 6,,. 5 x0 x0 4 6 Λόγω του γραφήματος της f αυτές οι λύσεις για το x πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα 5,6 άρα ή ή ή ή. Επειδή από τις δυο ανισώσεις έχουμε ότι η μόνη τιμή του κ είναι για τη δεύτερη ανίσωση το 5 7 οποίο μας δίνει ότι x0 4 x0 4_7846 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = συνx και g(x) = συνx. α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και g (x), για x [0, π]. (Μονάδες 8) x f x g x 40

43 β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης συνx = συνx () στο διάστημα [0, π]. (Μονάδες 4) γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση () στο διάστημα [0, π] και να σημειώσετε πάνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. α) Η συνάρτηση f x x είναι περιοδική με περίοδο και σύνολο τιμών το, 0, 0,, 0, Πιο αναλυτικά: f 0 0 Άρα f f f f f f 0 f f 0 f 0 f 4 4 f f f Η συνάρτηση g x x είναι περιοδική με περίοδο και σύνολο τιμών το, Άρα g 0, g 0, g, g 0, g, g 0, g, g 0, g 4 4 Με βάση τα παραπάνω σχηματίζεται ο παρακάτω πίνακας τιμών: 4

44 x f x 0-0 g x Με βάση τον παραπάνω πίνακα τιμών προκύπτουν οι διπλανές γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων. β) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων προκύπτει ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν 4 κοινά σημεία, άρα η εξίσωση x x έχει 4 λύσεις. γ) x x x x x x 0 x x x 0 x x x 0 x x x x x x x 0 x x 0 0 x ή x x 0 ή x x x ή ή, x 4

45 Οι λύσεις πρέπει να ανήκουν στο διάστημα 0, δηλαδή: ή ( ) Επομένως : x 0 ήx Επομένως x Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι: x 4 0,,,,,,, Ένα παιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι. Το ύψος του από το πάτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση: h( t) a ( t), όπου α, ω, β πραγματικές σταθερές. Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα είναι 0cm και το μέγιστο 00cm. Τη χρονική στιγμή t=0 το ύψος παίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμία-ελάχιστο) είναι 6 sec. α) Να δείξετε ότι (Μονάδες 5) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 6) γ) Να υπολογίσετε το ύψος του παιγνιδιού από το πάτωμα 4sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης. (Μονάδες 8) δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 t. (Μονάδες 6) α) Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης είναι η περίοδος της άρα 6sec και Έχουμε: 6 6 t Για t 0 παίρνει την ελάχιστη τιμή της οπότε : h () β) ht t ht 4

46 Επίσης τη μέγιστη τιμή της θα την λαμβάνει στο sec h () Προσθέτοντας τις () και (): 0 60 οπότε γ) Το ύψος του από το πάτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση: ht 40 t 60 Το ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα 4 sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης: 4 h =80 δ) ht 40 t 60 t 0 t t 40 t t Γραφική παράσταση: 44

47 Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος t από το έδαφος (σε cm), δίνεται από την συνάρτηση: f (t), όπου t ο χρόνος 4 σε ώρες. α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές t = 5 και t = 8. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από t = 0 έως t = 8, ποια χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Μονάδες 0) α) Γνωρίζουμε ότι σε κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx + κ η περίοδος είναι ίση με t Τ. Οπότε για τη συνάρτηση f (t) είναι και η περίοδος της ταλάντωσης θα είναι 8 ώρες. 4 β) Η ζητούμενη απόσταση δίνεται από την f(t), οπότε θα υπολογίσουμε τις τιμές f(5) και f(8) της συνάρτησης f. 5 4 f (5) cm. 8 f (8) 0 cm. 4 γ) Γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx, με ρ > 0, είναι η ρ οπότε η ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx + κ, με ρ > 0, θα είναι η ρ + κ. t Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (t) θα είναι + =, έτσι 4 έχουμε: t 4 t t t f (t) η t 4 45

48 t 4 t η t 8 t 8, Z 4 t 4 Άρα η ελάχιστη τιμή της f παρατηρείτε τη χρονική στιγμή t 8, για Z. Όμως αυτή θα πρέπει να βρίσκεται στο χρονικό διάστημα από t = 0 έως t = 8, (δηλαδή στο χρονικό διάστημα μιας περιόδου Τ = 8 ωρών) 5 0 t Το Zάρα κ =. 4 4 Επομένως η απόσταση του σώματος από το έδαφος θα είναι ελάχιστη τη χρονική στιγμή t = 8 = 6, και η ελάχιστη απόσταση θα είναι f(6) = cm. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΜΑ ο _7664 Δίνονται οι γωνίες ω, θ με 0 και 0για τις οποίες ισχύει: ω + θ = 5. Να αποδείξετε ότι: α) ( ) (Μονάδες 0) β) (Μονάδες 5) α) εφω θ εφ5 εφ80 45 εφ45 εφω εφθ εφ ω θ εφω εφθ εφωεφθ εφωεφθ εφω εφθ εφω εφθ β) _99 α) Να αποδείξετε ότι: x x x (Μονάδες ) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα (0, π) την εξίσωση: x x 0 (Μονάδες ) 46

49 α) β) π π π ημx ημx συν συνx ημ ημx συνx π π συνx ημx 0 ημ x 0 ημ x ημ0 π π x κπ x κπ, κ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α ΘΕΜΑ ο _99 Δίνεται γωνία ω για την οποία ισχύει ότι: 5 0 α) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 5 0 (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες ) α) συνω 5ημω 0 ημ ω 5ημω 0 ημ ω 5ημω 0 ημ ω 5ημω 0 () β) Έστω ημω x, x,, τότε η () γίνεται: Η τελευταία είναι εξίσωση ου βαθμού με x 5x και ρίζες ΘΕΜΑ 4ο 4 _788 Για τη γωνία ω ισχύει ότι 5συνω + 8συνω + = 0. 4 α) Να δείξετε ότι: (Μονάδες 0) 5 β) Αν για τη γωνία ω επιπλέον ισχύει τότε: 7 4 i. να δείξετε ότι: και (Μονάδες 8) 5 5 ii. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 5 (Μονάδες7 ) 47

50 (:) α)η εξίσωση γίνεται : Θέτουμε x=συνω με xοπότε έχουμε 5x 4x και x x ή x 0 0 (απορρίπτεται) 4 7 β) i) Έχουμε : συνω=συν ω Επίσης : x Όμως τότε ημω<0. Άρα ii)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 17833 α) Πρέπει : 8 x 0 x 8 & 8 x 8 8 x 0 x 8,άρα 8,8. f β) x 8,8 : x 8,8 & f x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x f x γ) Γνησίως φθίνουσα είναι η III γραφική παράσταση. Έχει μέγιστο στο -8 το f 8 16 0 4. Έχει ελάχιστο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 1η έκδοση: 30 11 014 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 05 03 2015)

(Έκδοση: 05 03 2015) (Έκδοση: 05 03 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 05 03 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( ημ ) + σφ =, g( ) ημ ημ = και h( ) ημ( ) αποδειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και η h ούτε άρτια ούτε περιττή Να εξετασθεί αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 1ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f.

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f. wwwaskisopolisgr Ασκήσεις 1 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x 5συνx 1 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f x συν x 8 f

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα