Interactive Physics και να περιγράψουν το φαινόµενο που εξελίσσεται στο στην οθόνη του υπολογιστή τους. Οι µαθητές εύκολα διαπιστώνουν το φαινόµενο τη

Transcript

1 Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ Ι ΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΤΑΞΗ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE - ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΙΑΡΚΕΙΑ: 5 διδακτικές ώρες Βασική ιδέα: Η µαθηµατική µοντελοποίηση της κατακόρυφης βολής προς τα πάνω ενός σώµατος. ιδακτικοί στόχοι: 1. Να συνδέσουν οι µαθητές ένα φυσικό φαινόµενο µε τις µαθηµατικές έννοιες που εµπλέκονται σε αυτό. 2. Να βρίσκει ο µαθητής γεωµετρικά και αλγεβρικά τις τιµές x 0 όπου η f (x 0) γίνεται ίση µε µηδέν. 3. Μέσω της γεωµετρικής εποπτείας, οι µαθητές να φτάσουν από µόνοι τους στη διατύπωση του θεωρήµατος Rolle και Μέσης Τιµής. 4. Να διαπιστώσει ο µαθητής, ότι το θεώρηµα Μέσης Τιµής είναι γενίκευση του θεωρήµατος Rolle. 5. Να εµβαθύνουν και να ταξινοµήσουν οι µαθητές τις εφαρµογές των θεωρηµάτων. 6. Να µπορούν οι µαθητές να εφαρµόσουν τα δύο θεωρήµατα. 7. Να συνεργαστούν µεταξύ τους σε οµάδες και το διδάσκοντα συζητώντας τις ιδέες τους. ιδακτικό υλικό: Θα χρησιµοποιηθεί το λογισµικό Sketchpad, πρόγραµµα που τρέχει από Windows και δίνει τη δυνατότητα να σχεδιαστούν µε µεγαλύτερη ακρίβεια περίπλοκα σχήµατα, τα οποία µπορούν να µετασχηµατιστούν κατά άπειρους τρόπους, δίχως την ανάγκη εκ νέου σχεδίασης. Η εφαρµογή της δραστηριότητας θα ξεκινήσει µε χρήση του λογισµικού Interactive Physics το οποίο δίνει τη δυνατότητα σε µαθητές και εκπαιδευτικούς να κατασκευάζουν µαθηµατικά µοντέλα και να τα διερευνούν µε τη µορφή παρουσιάσεων και γραφηµάτων. Οργάνωση τάξης: H δραστηριότητα θα πραγµατοποιηθεί στο εργαστήριο Η/Υ του σχολείου. Το προβλεπόµενο διδακτικό µοντέλο είναι αυτό της καθοδηγού- µενης διερευνητικής συνεργατικής µάθησης. Οι µαθητές είναι χωρισµένοι σε οµάδες των δύο ατόµων και ο κάθε µαθητής έχει ένα συγκεκριµένο ρόλο µέσα στην οµάδα π.χ. ο ένας χειρίζεται τον υπολογιστή και ο άλλος ελέγχει και µεταφέρει τα αποτελέσµατα. Ο καθηγητής απευθύνεται άλλοτε σε όλες τις οµάδες και άλλοτε σε κάθε οµάδα ξεχωριστά, εξειδικεύοντας τις παρεµβάσεις του ανάλογα µε τις ανάγκες που προκύπτουν κατά τη διαδικασία της διερεύνησης και διαχειρίζεται το χρόνο ώστε να µην υπάρχει µεγάλη διαφορά µεταξύ των οµάδων. Έχουµε φορτώσει από πριν στους υπολογιστές τα αρχεία «σχέδιο1.gsp», «σχέδιο2.gsp», «σχέδιο3.gsp», «Rolle.gsp» του Sketchpad και «κατακόρυφη βολή.ip» του Interactive Physics. Στη συνέχεια δίνουµε στους µαθητές το φύλλο εργασίας Ι. Σενάριο διδασκαλίας: Μοιράζουµε στους µαθητές το φύλλο εργασίας Ι και αρχικά τους προτρέπουµε να ανοίξουν το αρχείο «Κατακόρυφη βολή» του 1

2 Interactive Physics και να περιγράψουν το φαινόµενο που εξελίσσεται στο στην οθόνη του υπολογιστή τους. Οι µαθητές εύκολα διαπιστώνουν το φαινόµενο της κατακόρυφης βολής, προς τα πάνω, ενός σώµατος µε αρχική ταχύτητα 10m/s και επιστροφή του στο σηµείο βολής. Για αναλυτικότερη µελέτη της κίνησης τους προτρέπουµε να συµπληρώσουν τον πίνακα µε τις ταχύτητες που έχει το σώµα συγκεκριµένες χρονικές στιγµές. Με τη δραστηριότητα 1γ, 1δ, 1ε φέρουµε στη µνήµη των µαθητών τη φυσική και γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου συνάρτησης σε σηµείο, και παράλληλα καλλιεργούµε στο µαθητή τον προβληµατισµό της ύπαρξης σηµείων στη γραφική παράσταση συνάρτησης στα οποία η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον άξονα x x και στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει δύο διαφορετικά σηµεία της µε την ίδια τεταγµένη. Προκειµένου να ενισχύσουµε τον παραπάνω προβληµατισµό τους, προτρέπουµε τους µαθητές, στη δραστηριότητα 2, να ανοίξουν το αρχείο Rolle.gsp του Sketchpad και να πειραµατιστούν σύροντας τους µεταβολείς και πατώντας τα κουµπιά εµφάνισης Γ και εµφάνισης εφαπτοµένης. Στη συνέχεια τους ζητάµε να εκφράσουν τις παρατηρήσεις τους, µε δικά τους λόγια, διατυπώνοντας µια εικασία. Οι προσπάθειές τους έχουν σαν αποτέλεσµα να καταλήξουν στο συµπέρασµα ότι: «Μπορούµε να βρούµε ένα τουλάχιστον σηµείο πάνω στην καµπύλη, στο οποίο η εφαπτόµενη είναι παράλληλη στον x x και στην ευθεία που ενώνει δύο διαφορετικά σηµεία της καµπύλης µε ίδια τεταγµένη». Τη δεύτερη διδακτική ώρα, µε τον προβληµατισµό της δραστηριότητας 1ε επιχειρείται η αποσταθεροποίηση της βεβαιότητας που µέχρι τώρα υπάρχει. Στη συνέχεια προτρέπουµε τους µαθητές να ανοίξουν σταδιακά τα αρχεία «σχέδιο1.gsp», «σχέδιο2.gsp», «σχέδιο3.gsp» του Sketchpad, να εκτελέσουν τις δραστηριότητες 2, 3, 4 του φύλλου εργασίας όπου από µόνοι τους ανακαλύπτουν τις συνθήκες που πρέπει να πληρούνται προκειµένου να ισχύει πάντα η προηγούµενη εικασία τους. ιατυπώνεται το τελικό θεώρηµα Rolle ως εξής: «Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [x 1, x 2], παραγωγίσιµη στο (x 1, x 2) και f(x 1)=f(x 2), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (x 1, x 2), τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης στο σηµείο (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον x x». Στη συνέχεια προτρέπουµε τους µαθητές να επαναδιατυπώσουν το παραπάνω θεώρηµα σε πιο τυπική γλώσσα. Με τη δραστηριότητα 5 στοχεύουµε να συνδέσουµε το θεώρηµα Μέσης τιµής µε το θεώρηµα Rolle. Προτρέπουµε και πάλι τους µαθητές να κάνουν µια διατύπωση αυτού πρώτα σε γεωµετρική και έπειτα σε αλγεβρική γλώσσα. Στην τρίτη διδακτική ώρα, µοιράζουµε στους µαθητές το φύλλο εργασίας II όπου παρουσιάζονται κάποιες βασικές εφαρµογές αυτών των δύο θεωρηµάτων σε διάφορα θέµατα όπως: α) Ύπαρξη ρίζας της παραγώγου συνάρτησης. β) Υπολογισµός της παραγώγου συνάρτησης σε σηµείο της (όταν δεν γνωρίζουµε τον τύπο της). γ) Πλήθος ριζών συνάρτησης. δ) Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων. Την 4 η ώρα προτρέπουµε τους µαθητές να ανοίξουν το αρχείο «Ερωτήσεις ανοικτού και κλειστού τύπου» και ατοµικά να συµπληρώσουν το φύλλο αξιολόγησης µέσα από το οποίο θα έχει τη δυνατότητα ο διδάσκων να ελέγξει αν η όλη διαδικασία απέδωσε τα αναµενόµενα αποτελέσµατα. Θα ακολουθήσει συζήτηση των απαντήσεων µέσα στην τάξη. Ως εργασία για το σπίτι αναθέτουµε στους µαθητές τις ερωτήσεις ανοικτού και κλειστού τύπου της αντίστοιχης ενότητας του σχολικού εγχειριδίου. 2

3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ I 1. Ανοίξτε το αρχείο κατακόρυφη βολή.ip του Interactive Physics. Τρέξτε την εφαρµογή, πατώντας το κουµπί «Εκτέλεση». α) Περιγράψτε το φαινόµενο που εξελίσσεται στην οθόνη του υπολογιστή σας. β) Κάντε κλικ στο κουµπί «Βήµα προς τα εµπρός» και συµπληρώστε τον πίνακα που ακολουθεί. Χρόνος t(sec) Ταχύτητα υ(m/s) γ) Στο γράφηµα y-t, ερµηνεύστε γεωµετρικά την τιµή της ταχύτητας υ(1) του Πίνακα δηλ. την τιµή της ταχύτητας του σώµατος τη χρονική στιγµή t=1s. δ) Να ερµηνεύσετε αλγεβρικά την τιµή του πίνακα υ(1). ε) Στο γράφηµα y-t, παρατηρήστε τη σχετική θέση που έχουν στο επίπεδο η ευθεία που ενώνει τα σηµεία (0, y(0)) και (2, y(2)) και η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της y=y(t) σηµείο (1, y(1)). 2. Ανοίξτε το αρχείο Rolle.gsp του Sketchpad. Κάντε διπλό κλικ στο κουµπί Εµφάνιση Γ και αυξοµειώστε το µεταβολέα α ή β ώστε το Γ να γίνει παράλληλο στον x x. Στη συνέχεια κάντε διπλό κλικ στο κουµπί Εµφάνιση εφαπτοµένης και µετά σύρτε το σηµείο Ρ κατά µήκος της καµπύλης. 3

4 α) Υπάρχει σηµείο της καµπύλης στο οποίο η εφαπτοµένη της είναι παράλληλη στην Γ η οποία µε τη σειρά της είναι παράλληλη στον x x; β) Το σηµείο αυτό είναι µοναδικό; γ) Μεταβάλλοντας τις τιµές των µεταβολέων εξασφαλίζοντας τη Γ //x x επαναλάβατε τις ερωτήσεις 2α, 2β. Τι παρατηρείτε; δ) ιατυπώστε µια εικασία µε τη µορφή: «Εάν.. τότε υπάρχει, τέτοιο ώστε.» ε) Είναι δυνατόν η παραπάνω εικασία να ισχύει για οποιαδήποτε καµπύλη; 3. Ανοίξτε το αρχείο «σχέδιο1.gsp» του Sketchpad και κάντε διπλό κλικ στο κουµπί ενέργειας Πρόσθεση κίνησης. α) Ισχύει στην περίπτωση αυτή η εικασία που διατυπώσατε στη δραστηριότητα 1δ; f ( x) f (0) β) Υπολογίστε τα όρια: lim = και x 0 x 0 f ( x) f (0) lim =. Τι παρατηρείτε; + x 0 x 0 γ) Επαναδιατυπώστε την εικασία της δραστηριότητας 1δ. 4. Ανοίξτε το αρχείο «σχέδιο3.gsp» του Sketchpad. α) Κάντε διπλό κλίκ στο κουµπί ενέργειας Πρόσθεση κίνησης. Ισχύει η εικασία που διατυπώσατε στη δραστηριότητα 1δ; β) Υπολογίστε το lim f ( x) = και το f(0)=.. + x 0 4

5 γ) Ποια συνθήκη επιπλέον πρέπει να ικανοποιείται ώστε να ισχύει η εικασία της δραστηριότητας 1δ. 5. Ανοίξτε το αρχείο «σχέδιο2.gsp» του Sketchpad. α) Σύρατε το σηµείο Ρ κατά µήκος της καµπύλης. Υπάρχει σηµείο της καµπύλης στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον x x και στην ευθεία Γ ταυτόχρονα; β) Σύρατε το σηµείο x 1 ή x 2 κατά µήκος του άξονα x x και επαναλάβατε τη δραστηριότητα 3α. Τι παρατηρείτε; γ) Ποια άλλη συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται ώστε να ισχύει η εικασία της δραστηριότητας 1δ; δ) ιατυπώστε σε «αλγεβρική γλώσσα» το τελικό θεώρηµα του Rolle. 6. Ανοίξτε και πάλι το αρχείο «Rolle.gsp» του Sketchpad, κάντε διπλό κλικ στα κουµπιά Εµφάνιση Γ και Εµφάνιση Εφαπτοµένης. α) Αυξοµειώστε τις τιµές στους µεταβολείς α ή β. Σε όποια στιγµιότυπα της καµπύλης θέλετε σύρτε το σηµείο Ρ κατά µήκος της. Παρατηρείστε τις τιµές f ( x2 ) f ( x1) που παίρνει ο λόγος και η f (x P). Τι συµπεραίνετε; x2 x1 β) Αλλάξτε τα άκρα του διαστήµατος [x 1,x 2], σύροντας τα σηµεία x 1, x 2 κατά µήκος του x x. Για το νέο διάστηµα που πήρατε, επαναλάβατε τη δραστηριότητα 4α. Τι παρατηρείτε; γ) ιατυπώστε την παραπάνω παρατήρηση σε τυπική αλγεβρική γλώσσα. Το παραπάνω αποτελεί το θεώρηµα της Μέσης τιµής του ιαφορικού Λογισµού. 7. Ποιο από τα δύο παραπάνω θεωρήµατα αποτελεί γενίκευση του άλλου; 5

6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ II 1 η κατηγορία: Είναι απλή εφαρµογή του θεωρήµατος Rolle. 2 ίνεται η συνάρτηση f(x)= 4 x, x [ 2,2]. Να εξετάσετε αν εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle στο δοσµένο διάστηµα, και αν ναι, να βρείτε το x 0 που υπόσχεται το θεώρηµα ότι υπάρχει. 2 η κατηγορία: Το θεώρηµα Rolle έχει µεγάλη χρησιµότητα σε θέµατα ριζών. ίνεται η δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση f στο [1, 5] µε f(1)=f(3)=f(5). είξτε ότι υπάρχει x 0 στο (1, 5) τέτοιο ώστε f (x 0)=0. (i)εφαρµόστε το θεώρηµα Rolle για την f στο [1, 3]. Άρα υπάρχει x 1 (ii) Εφαρµόστε το θεώρηµα Rolle για την f στο [3, 5]. Άρα υπάρχει x 2. (iii) Εφαρµόστε το θεώρηµα Rolle για την f στο [x 1, x 2]. Άρα υπάρχει x 0. 3 η κατηγορία: Το θεώρηµα Rolle χρησιµεύει για να απαντάµε πόσες το πολύ ρίζες έχει µια συνάρτηση f. Aν η f (x) 0 τότε η f έχει µία το πολύ ρίζα. (i) Ξεκινήστε µε χρήση της απαγωγής σε άτοπο. Έστω ότι η f (ii) Εφαρµόστε το θεώρηµα Rolle στο διάστηµα των ριζών της f Άρα υπάρχει x 0 Άτοπο. Άρα η f(x)=0 έχει Γενικεύοντας αν η f (κ) (x) 0 τότε. 4 η κατηγορία: To Θ.Μ.Τ. βρίσκει εφαρµογή στην απόδειξη διπλής ή απλής ανισότητας όπου εµφανίζεται διαφορά τιµών συνάρτησης. β α β β α Αν 0<α<β να αποδείξετε ότι: < ln <. β α α (i) Μπορείτε να γράψετε την ισοδύναµη της προς απόδειξη ανισότητας;. (ii) Θεωρείστε τη συνάρτηση f(x)=lnx, x [ a, β ] και εφαρµόστε το Θ.Μ.Τ. 6

7 (iii) Έχουµε: 0<α<ξ<β ξ 1 <.. 5 η κατηγορία: Το Θ.Μ.Τ. µας βοηθάει να αντικαθιστούµε την τιµή της παραγώγου µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, όταν δεν ξέρουµε τον τύπο της. ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α)=f(β). Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ 1, ξ 2 (α, β): f (ξ 1)+f (ξ 2)=0. a+ β (i) Εφαρµόστε το Θ.Μ.Τ. για την f στο a, 2 α + β (ii) Κάντε το ίδιο για την f στο, β 2 (iii) Τα επιµέρους βήµατα (i) και (ii) δίνουν ότι: f (ξ 1)+f (ξ 2)=.. 6 η κατηγορία: Τα θεωρήµατα αυτά µας βοηθούν να ερµηνεύουµε κατάστάσεις της καθηµερινής ζωής. Ένα αυτοκίνητο διήνυσε µια διαδροµή 200 km σε 2,5 ώρες. Να απόδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγµή, κατά τη διάρκεια της διαδροµής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 80 km την ώρα. (i) (ii) Αν υ(t) είναι η συνάρτηση της ταχύτητας και x(t) η συνάρτηση θέσης του κινητού, θέλουµε να δείξουµε ότι:. Εφαρµόστε στο χρονικό διάστηµα κίνησης [0, 2.5] το θεώρηµα µέσης τιµής για τη συνάρτηση χ(t) οπότε έχουµε: 7

8 Βιβλιογραφία 1. Αναλυτικά προγράµµατα µαθηµατικών για τη δευτεροβάθµια εκπαίδευση (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο). 2. Σχολικά εγχειρίδια µαθηµατικών Sketchpad. Εγχειρίδιο χρήσης. 6. Interactive Physics. Εγχειρίδιο χρήσης. 8