4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης"

Transcript

1 4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα, καθώς και την απόδειξή του. Τέλος η δραστηριότητα κλείνει με μια εφαρμογή αυτού του θεωρήματος για τη μελέτη συνάρτησης ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται οι μαθητές: Να συνδέσουν τη μονοτονία μιας συνάρτησης με τα πρόσημα των κλίσεων των χορδών με άκρα πάνω σε αυτή. Να προσεγγίσουν διαισθητικά την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και στη συνέχεια να οδηγηθούν στους τυπικούς ορισμούς. Να κατανοήσουν την ανάγκη μελέτης των υποδιαστημάτων του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης, στα οποία αυτή είναι μονότονη. Να μπορέσουν να χειριστούν σε συνδυασμό συμβολικές και γραφικές αναπαραστάσεις, για να οδηγηθούν στην εικασία, την κατανόηση, τη διατύπωση του θεωρήματος Μονοτονίας και τέλος στην απόδειξή του. Να αντιληφθούν την αναγκαιότητα των υποθέσεων του θεωρήματος, καθώς και την αδυναμία αντιστροφής του. Να χρησιμοποιήσουν τo θεώρημα για τη μελέτη της μονοτονίας και των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Να συμπληρώνουν και να ερμηνεύουν τον πίνακα μεταβολών μιας συνάρτησης. Λογική της δραστηριότητας Η δομή της δραστηριότητας διαμορφώνεται ως εξής: Στο πρώτο μέρος επιχειρείται μέσω του λογισμικού μία προσπάθεια διαισθητικής σύνδεσης του προσήμου της κλίσης ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τις σχετικές θέσεις των άκρων του Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης. Η μελέτη των 1

2 διαστημάτων αριστερά και δεξιά ενός ακροτάτου οδηγεί στους ορισμούς της μονοτονίας συνάρτησης. Το είδος της συνδέεται γραφικά και αλγεβρικά με το πρόσημο των κλίσεων των χορδών με άκρα πάνω στη γραφική παράσταση ή αντίστοιχα των λόγων μεταβολής. Ακολούθως μέσω της γραφικής παράστασης το πρόσημο της παραγώγου συνδέεται διαισθητικά με τη μονοτονία και οι μαθητές οδηγούνται βήμα προς βήμα στην εικασία του θεωρήματος μονοτονίας, την αυστηρή διατύπωση και τέλος την τυπική του απόδειξη. Στο τελευταίο μέρος οι μαθητές, μέσω των γραφικών παραστάσεων, καλούνται να συνδέσουν πληροφορίες για τη συνάρτηση και την παράγωγό της. Στη συνέχεια θα πρέπει να χρησιμοποιήσουν τα προηγούμενα θεωρήματα, για να οδηγηθούν στον αλγεβρικό λογισμό που απαιτείται για τη συμπλήρωση του κλασικού πίνακα μεταβολών. Οι μαθητές συλλέγουν τις πληροφορίες συνδυάζοντας αλγεβρικές, αριθμητικές και γραφικές αναπαραστάσεις, τις οποίες παρέχει το λογισμικό. Η αλγεβρική επεξεργασία και η συμπλήρωση του πίνακα μεταβολών έρχονται ως το τελικό επιστέγασμα μετά την εννοιολογική κατανόηση των εννοιών που προηγήθηκαν και όχι ως κεντρικός ή και αποκλειστικός διδακτικός στόχος. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί για τα εξής θέματα: A) Την εισαγωγή της έννοιας της μονοτονίας. Αυτό το μέρος, εφόσον δε χρησιμοποιεί την έννοια της παραγώγου, θα μπορούσε να εισαχθεί και σε ένα αρχικό μάθημα Άλγεβρας μικρότερης τάξης (όπως π.χ. στην Α Λυκείου) σε μια εισαγωγή στις συναρτήσεις. Β) Την εισαγωγή, την απόδειξη και τη χρήση του θεωρήματος Μονοτονίας στη μελέτη συνάρτησης στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικού λογισμού. Ανάλογα με τους επιμέρους διδακτικούς στόχους η δραστηριότητα μπορεί να δοθεί στο σύνολό της ή παραλείποντας κάποια τμήματα, όπως για παράδειγμα εκείνα που περιέχουν αποδείξεις. Η εκτέλεση της εκτιμάται ότι απαιτεί 3 διδακτικές ώρες. 2

3 4.5.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) δίνεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 1/1/2009. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει τις περιόδους που ο πληθυσμός της αγέλης αυξάνεται και τις περιόδους που μειώνεται. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, στο οποίο έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης P. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το πλήθος των ελαφιών της αγέλης κατά την περίοδο σαν συνάρτηση του χρόνου x. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του εργαλείου Συντεταγμένες Σημείου που εμφανίζει και μετακινεί ένα σημείο Μ πάνω σε αυτή προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε1: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι αυξάνει το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Σε αυτήν, όπως και στην επόμενη ερώτηση Ε2, ο επιθυμητός στόχος έγκειται στο να μπορέσουν οι μαθητές να συνδέσουν την αύξηση ή την μείωση των τιμών της συνάρτησης με τη μορφή της γραφικής της παράστασης (ανεβαίνει ή κατεβαίνει αντίστοιχα από αριστερά προς τα δεξιά). Ε2: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι μειώνεται το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για τη μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Ο στόχος του παρακάτω αρχείου καθώς και της ερώτησης Ε3 είναι να εξοικειωθούν οι μαθητές με την έννοια της κλίσης ενός ευθυγράμμου τμήματος καθώς και να 3

4 συνειδητοποιήσουν ότι το πρόσημο της κλίσης εξαρτάται από τις σχετικές θέσεις των άκρων του. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, ώστε να δείτε τα δύο σημεία Α και Β, καθώς επίσης και το μετρητή της κλίσης 1 του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μπορείτε να μετακινήσετε οποιοδήποτε από τα δύο σημεία Α ή Β και να παρατηρήσετε το πρόσημο για τις διαφορές y2 y1 και x2 x1, καθώς επίσης και το πρόσημο της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια του μετρητή. Η μετατόπιση των σημείων γίνεται με Ctrl+1 και στη συνέχεια πάτημα του ποντικιού πάνω στο σημείο και σύρσιμο με το αριστερό πλήκτρο πατημένο. Ε3: Μετά από τις παρατηρήσεις που κάνατε μετακινώντας κατά βούληση τα δύο σημεία, ποιες πρέπει να είναι οι σχετικές θέσεις των Α και Β, ώστε η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να είναι: α. Θετική; β. Αρνητική; γ. Μηδέν; Ο καθηγητής θα μπορούσε ίσως να συμπληρώσει κάποια ερωτήματα, όπως: Εάν το Β είναι δεξιά του Α, έχουμε πάντα θετική κλίση; Με το Β πάνω από το Α έχουμε πάντα θετική κλίση; κ.λ.π. Η ειδική περίπτωση όπου x 1 = x 2 προφανώς δεν αντιμετωπίζεται από το λογισμικό και για αυτό το λόγο χρήζει ίσως κάποιου σχολιασμού. Πρόκειται για την εξέταση κατακόρυφων ευθειών, για τις οποίες δεν ορίζεται κλίση 2. Αφού κλείσετε το αρχείο 4.5.2, στο προηγούμενο αρχείο πατήστε στα πλήκτρα Τοπικό Μέγιστο, που εμφανίζει ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης και Χορδή ΑΒ, ώστε να εμφανίσετε τα δύο σημεία x, Px ( ) Β x, Px ( ) πάνω στη γραφική παράσταση της Α ( ) και ( ) Εδώ ίσως θα ήταν χρήσιμο ο καθηγητής να υπενθυμίσει εκ νέου την έννοια της κλίσης ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο, ώστε αυτή να είναι κατά το δυνατόν αποσαφηνισμένη για τους μαθητές στη συνέχεια της δραστηριότητας. 2 Γενικότερα ίσως αξίζει τον κόπο με διάφορες αφορμές, να αναφέρεται και να τονίζεται η εγγενής ανεπάρκεια του υπολογιστικού μέσου όταν εμφανίζεται παρονομαστής μηδέν σε κλασματική παράσταση, ώστε να αποφευχθούν κάποιες από τις παρανοήσεις των μαθητών. 4

5 συνάρτησης, την αντίστοιχη χορδή ΑΒ, καθώς και το μετρητή της κλίσης της. Πατώντας Ctrl+2 και στη συνέχεια με το ποντίκι μπορείτε να μετακινήσετε κατά βούληση τα Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση Μ x, Px ( ), τι παρατηρείτε της συνάρτησης αριστερά του σημείου ( ) 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν ότι στο τμήμα της γραφικής παράστασης, όπου ο πληθυσμός αυξάνεται, οι κλίσεις των χορδών παραμένουν θετικές. Ε5: Ποιος αλγεβρικός τύπος εκφράζει την κλίση της χορδής ΑΒ; Px ( 2) Px ( 1) Αναμένεται να γραφεί ο τύπος. x x 2 1 Ε6: Παίρνοντας x1 < x2, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( 1) και Px ( 2) ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Οι μαθητές αναμένεται να απαντήσουν ότι με x1 < x2 προκύπτει Px ( 1) < Px ( 2) (1). Αυτό μπορούν να το παρατηρήσουν άμεσα από τη γραφική παράσταση και στη συνέχεια να οδηγηθούν στο συλλογισμό ότι, εφόσον ο λόγος μεταβολής είναι θετικός και x1 < x2, τότε ισχύει το συμπέρασμα (1). Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως αύξουσα στο Δ. Ε7: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Αναμένεται από τους μαθητές να είναι σε θέση να διατυπώσουν τον τυπικό ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης, ενώ ο καθηγητής θα πρέπει να συμβάλει στη θεσμοθέτηση και την ερμηνεία του καθολικού ποσοδείκτη 3 x1, x2 Δ. Αυτός ο 3 Το πρόβλημα του ποσοδείκτη είναι πολλαπλό: εννοιολογικό, συμβολικό κ.λ.π. Εδώ χρησιμοποιείται με την έννοια της καθολικότητας και αυτό δυσκολεύει τις άμεσες αποδείξεις. 5

6 ορισμός, εξαιτίας της συχνής αδυναμίας πρακτικής χρήσης του, θα αποτελέσει στη συνέχεια και το κίνητρο για τη μελέτη της μονοτονίας συνάρτησης με τη βοήθεια διαφορετικών εργαλείων, όπως το πρόσημο της παραγώγου της. Ε8: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση Μ x, Px ( ), τι παρατηρείτε της συνάρτησης δεξιά του σημείου ( ) 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν ότι στο τμήμα της γραφικής παράστασης, όπου ο πληθυσμός μειώνεται, οι κλίσεις των χορδών παραμένουν αρνητικές. Ε9: Παίρνοντας x1 < x2, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( 1) και Px ( 2) ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Οι μαθητές αναμένεται να απαντήσουν ότι με x 1 < x 2 προκύπτει τώρα Px ( 1) > Px ( 2). Αυτό μπορούν να το παρατηρήσουν άμεσα από τη γραφική παράσταση και στη συνέχεια να συμπεράνουν ότι, εφόσον ο λόγος μεταβολής είναι αρνητικός και x1 < x2, τότε ισχύει το συμπέρασμα. Μια συνάρτηση που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως φθίνουσα στο Δ. Ε10: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Αναμένεται από τους μαθητές να δώσουν τον τυπικό ορισμό για μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, ισχύει δε η προηγούμενη παρατήρηση που αφορά στον ποσοδείκτη «για κάθε». Στην περίπτωση όπου κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται με τις αυστηρές διατυπώσεις θα τους δοθούν οι τυπικοί ορισμοί μετά από κάποιες λεκτικές επεξηγήσεις, όπως: «Καθώς μεγαλώνουν οι τιμές του x, οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης μεγαλώνουν ή μικραίνουν κ.λ.π.». Μια συνάρτηση g που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ θα την ονομάσουμε γνησίως μονότονη στο Δ. Ο στόχος των δύο ερωτήσεων που ακολουθούν είναι να συνοψίσουν όλα τα προηγούμενα ισχυροποιώντας τη σύνδεση ανάμεσα στη μονοτονία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της ή και σε όλο το, με τη διατήρηση σταθερού προσήμου για τις κλίσεις όλων των δυνατών χορδών με άκρα στη γραφική της παράσταση. 6

7 Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και δύο τυχαία σημεία x1, x2 Δ με x1 x2. Ε11: i) Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το f ( x2) f( x1) πρόσημο του λόγου μεταβολής ; x2 x1 ii) Εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το f ( x2) f( x1) πρόσημο του λόγου μεταβολής ; x x 2 1 Μπορεί να δοθεί γραφική ή αλγεβρική αιτιολόγηση για τα πρόσημα. Εδώ επιχειρείται η σύνδεση του είδους της μονοτονίας μιας συνάρτησης με το πρόσημο του λόγου μεταβολής για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Για τη συνέχεια της δραστηριότητας μας ενδιαφέρει η αντίστροφη σύνδεση, δηλαδή κατά πόσον το σταθερό πρόσημο των λόγων μεταβολής για οποιαδήποτε δύο σημεία του διαστήματος Δ μπορεί να εξασφαλίσει το είδος μονοτονίας της συνάρτησης. Αντίστροφα: Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x. f ( x2) f( x1) Ε12: i) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής x2 x1 είναι θετικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f στο Δ; f ( x2) f( x1) ii) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι x2 x1 αρνητικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης g στο Δ; Εδώ πλέον θα πρέπει ο καθηγητής, κάνοντας τη σύνδεση με τις προηγούμενες ερωτήσεις, να βοηθήσει τους μαθητές να φτάσουν στο φυσιολογικό συμπέρασμα ότι το είδος μονοτονίας μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μεταφέρεται στο πρόσημο της κλίσης (λόγου μεταβολής) για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα σημεία A( x1, f( x 1)) και Bx ( 2, f( x 2)) του εν λόγω διαστήματος (δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία: Η συνάρτηση f : Δ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, εάν και μόνο εάν ισχύει ότι f( x2) f( x1) > 0 x1, x2 Δμε x1 x2). Η όλη διαδικασία, σε αυτό το στάδιο, x2 x1 συνδέει τη γραφική αναπαράσταση (εικόνα) με την αλγεβρική προσέγγιση (πρόσημα, πράξεις κ.λ.π.). 7

8 Στο σημείο αυτό μπορεί να γίνει μια συζήτηση που θα συνδέσει τη μονοτονία με το πρόβλημα εντοπισμού τοπικών ακροτάτων. Το θεώρημα Fermat μας παρέχει την πληροφορία για το τι συμβαίνει, όταν έχουμε τοπικά ακρότατα σε εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος, όπου η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (και κατά συνέπεια ένα πιθανό τρόπο αναζήτησης των τοπικών ακροτάτων στο σύνολό τους). Όμως δεν απαντά στο ερώτημα ποιες από τις ρίζες της παραγώγου αποτελούν τοπικά ακρότατα και εάν υπάρχουν και άλλα που δεν είναι ρίζες της παραγώγου. Επίσης δεν παρέχει πληροφορίες για το είδος τους. Επομένως παραμένει ανοικτό το πρόβλημα του προσδιορισμού των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Οι επόμενες ερωτήσεις έχουν ως στόχο να οδηγήσουν στην δυνατότητα εύρεσης των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης με τη βοήθεια των διαστημάτων μονοτονίας της. E13: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και x 0 εσωτερικό σημείο του Δ. Ποιες συνθήκες κοντά στο x 0 αρκεί να ικανοποιεί η f, ώστε να παρουσιάζει: Α) Τοπικό μέγιστο; Β) Τοπικό ελάχιστο; Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει π.χ. τοπικό μέγιστο σε ένα σημείο αν είναι γνησίως αύξουσα αριστερά του και γνησίως φθίνουσα δεξιά του. Ακολούθως ο καθηγητής μπορεί να τυποποιήσει την απάντηση με την ακόλουθη διατύπωση: Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 εσωτερικό σημείο του Δ. Αν υπάρχουν διαστήματα της μορφής ( α, x ] και [ x, β ) 0 0 αριστερά και δεξιά του σημείου x 0 στα οποία η συνάρτηση έχει διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε αυτή παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0. Επίσης μπορεί να γίνει αναφορά στην περίπτωση που η συνάρτηση παρουσιάζει διαφορετικό είδος μονοτονίας σε διαστήματα της μορφής ( α, x ) και ( x, β ). Στην 0 0 περίπτωση αυτή απαιτείται η συνέχεια στο x για να είναι αυτό σημείο τοπικού 0 ακροτάτου. Μπορούν να δοθούν μερικά απλά παραδείγματα γραφικών παραστάσεων που να δείχνουν ότι, αν η f δεν είναι συνεχής στο x, η αλλαγή της μονοτονίας 0 αριστερά και δεξιά του σημείου δεν εξασφαλίζει πάντα την ύπαρξη ακροτάτου. Τέλος στα πλαίσια περαιτέρω διερεύνησης μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να ανοίξουν το αρχείο activity.gr.euc όπου παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση 1 x ημ, x 0 f ( x) = x, η οποία, αν και συνεχής στο x = 0, όπου παρουσιάζει 0 0, x = 0 ολικό ελάχιστο, εντούτοις δε διαθέτει κανένα διάστημα της μορφής ( α,0] ή [0, β ), στο οποίο αυτή να είναι γνησίως μονότονη. Αυτό το αντιπαράδειγμα δείχνει ότι η προηγούμενη συνθήκη με τα διαστήματα μονοτονίας είναι ικανή για την ύπαρξη εσωτερικών ακροτάτων αλλά όχι αναγκαία. 8

9 Ε14: Τι μπορεί να μας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; Ως λογική συνέπεια της απάντησης στην προηγούμενη ερώτηση Ε14 αναμένεται οι μαθητές να αναφερθούν στα διαστήματα του πεδίου ορισμού, όπου η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. 9

10 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Σύνδεση μονοτονίας και πρόσημου της παραγώγου Σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι εύκολο να ελέγξουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης με χρήση του ορισμού (π.χ. πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε με τη χρήση του ορισμού ότι η συνάρτηση f ( x ) = 2 x, x είναι γνησίως αύξουσα;). Με αφορμή αυτή τη δυσκολία μπορεί να γίνει μέσα στην τάξη μια συζήτηση, η οποία θα οδηγήσει στην αναγκαιότητα εύρεσης εργαλείων που θα βοηθούν στη μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης. Η σύνδεση της μονοτονίας με τη διατήρηση σταθερού πρόσημου των κλίσεων των χορδών, που μελετήθηκε στο Φύλλο Εργασίας 4.5.1, θα οδηγήσει μέσω του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο πρόσημο της παραγώγου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις χρονικές περιόδους, όπου ο αριθμός των ελαφιών της αγέλης που αναφέρεται στο φύλλο εργασίας αυξάνεται ή μειώνεται; Η χρήση της παραγώγου και η συμβολή της στη μελέτη συνάρτησης έχει ήδη θεσμοθετηθεί στη δραστηριότητα 4.3 με το θεώρημα Fermat. Εδώ θα μπορούσε να γίνει μια επιπλέον συζήτηση για τη σύνδεσή της με τη μονοτονία. Και οι δύο αυτές έννοιες μπορούν να συσχετιστούν μέσω των κλίσεων των χορδών κατά τον εξής τρόπο: Η μεν μονοτονία έχει ήδη συνδεθεί με το πρόσημο των κλίσεων των χορδών στο 4.5.1, η δε παράγωγος παραπέμπει στην εφαπτομένη ως όριο τεμνουσών. Κατά συνέπεια οι κλίσεις των χορδών είναι ένα θέμα που αναμένεται να τεθεί προς συζήτηση πριν από την ερώτηση Ε7 που ακολουθεί. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, όπου εμφανίζεται η γραφική παράστασης μίας συνάρτησης P. Αυτή εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Πατήστε το πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της P σε ένα τυχαίο σημείο Κ ( xκ, Px ( Κ) ). Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Κ δίνεται από το μετρητή και μπορεί να σχεδιαστεί με την πένα όταν το σημείο Κ μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει μεταβάλλοντας την τετμημένη x Κ του σημείου, ενώ ταυτόχρονα κρατάτε πατημένο το πλήκτρο F7. Μπορείτε να παρατηρήσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης στο μετρητή και ταυτόχρονα τη γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης y = P'( x) που σχεδιάζεται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Αυτή η γραφική παράσταση είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο Σ ( x, '( )) Κ P x κ καθώς μεταβάλλεται η τετμημένη x Κ. Με Ctrl+z μπορείτε να αναιρείτε (με την αντίστροφη σειρά) όλες τις τελευταίες ενέργειες που κάνετε πάνω στο πρόγραμμα.

11 Ε1: Σε ποια διαστήματα η παράγωγος της P είναι θετική, σε ποια διαστήματα είναι αρνητική και σε ποια σημεία μηδενίζεται; Για τους μαθητές αναμένεται μια πρώτη επαφή με τη σύνδεση της γραφικής παράστασης και του προσήμου της παραγώγου. Μπορούν να μετακινήσουν το σημείο Κ πάνω στη γραφική παράσταση με τη βοήθεια της τετμημένης του, ώστε να διαπιστώσουν, είτε οπτικά είτε με τη βοήθεια του μετρητή, τα διαστήματα στα οποία η κλίση της εφαπτομένης είναι θετική ή αρνητική καθώς και τα σημεία μηδενισμού της (ρίζες της παραγώγου). Οι μαθητές πειραματίζονται με το λογισμικό και αναμένεται να συνδέσουν την αριθμητική πληροφορία με την εικόνα που τους παρέχει η γραφική αναπαράσταση. Επιπλέον μπορούν να έχουν στην ίδια οθόνη τις γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης και της παραγώγου της, από όπου να συμπεράνουν το πρόσημο και τις ρίζες της τελευταίας και να τα συνδέσουν με τη μονοτονία και τα ακρότατα της αρχικής. Η γραφική παράσταση της P ' μπορεί να αναιρείται με Ctrl+2, προκειμένου να μπορούν να πειραματιστούν οι μαθητές. Ε2: Τι συμπεραίνετε παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της παραγώγου P ' σε σχέση με αυτή της αρχικής συνάρτησης P ; Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να συνδέσουν οι μαθητές τη μονοτονία με το πρόσημο της παραγώγου Ε3: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Στόχος είναι οι μαθητές να παρατηρήσουν πρώτα από τη γραφική παράσταση τη σύνδεση της μονοτονίας με το πρόσημο της παραγώγου και στη συνέχεια να φτάσουν στην αλγεβρική απόδειξη. f( x) f( x0) Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα, με x x θα είναι > 0 και άρα, 0 x x0 f( x) f( x0) αφού είναι παραγωγίσιμη, ισχύει lim 0 για κάθε x του διαστήματος. 0 x x0 x x0 f( x) f( x0) Η περίπτωση, όπου ενδέχεται να ισχύει > 0 για κάθε x με x x0 x x0 αλλά f '( x 0) = 0, θα πρέπει να σημειωθεί. Ως παράδειγμα θα μπορούσε να αναφερθεί η 3 συνάρτηση g( x) = x στο σημείο x 0 = 0. 11

12 Ε4: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Ισχύουν οι αντίστοιχες παρατηρήσεις με την προηγούμενη ερώτηση. Επίσης μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να αποδείξουν το συμπέρασμα της Ε4 χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα της Ε3 και το ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η f είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης θα μπορούσε να ζητηθεί από τους μαθητές να δώσουν ένα παράδειγμα αντίστοιχο με της προηγούμενης ερώτησης όπως π.χ. τη 3 συνάρτηση y = x. Ε5: Νομίζετε ότι το πρόσημο της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μπορεί να καθορίσει τη μονοτονία της; Αν ναι, διατυπώστε την εικασία που νομίζετε ότι ισχύει. Στόχος είναι οι μαθητές να οδηγηθούν στην εικασία ότι η διατήρηση του προσήμου της παραγώγου μίας συνάρτησης σε ένα διάστημα εξασφαλίζει τη γνήσια μονοτονία της. Για το σκοπό αυτό μπορούν να δοκιμάσουν και άλλες συναρτήσεις, ώστε να οδηγηθούν στη διατύπωση της εικασίας. Οι διαισθητικές απαντήσεις των μαθητών είναι σε αυτό το σημείο επαρκείς. Οι επόμενες ερωτήσεις έχουν στόχο να οδηγήσουν τους μαθητές στην απόδειξη της εικασίας. Έστω διάστημα Δ και δύο σημεία x1, x2 Δ με x1 x2. Στην οθόνη πατήστε στο πλήκτρο Χορδή ΑΒ, για να εμφανίσετε τη χορδή ΑΒ με άκρα Α ( x1, Px ( 1) ) και Β ( x2, Px ( 2) ) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Μετακινήστε (Ctrl+2) με το ποντίκι τα δύο σημεία μέσα στο διάστημα (6, 8), όπου αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Ε6: Πώς παριστάνεται γεωμετρικά στο σχήμα ο λόγος μεταβολής Px ( ) Px ( ) 2 1 ; x x 2 1 Επιθυμητή απάντηση είναι η κλίση της χορδής. Ε7: Πώς μπορεί να συνδεθεί η κλίση της χορδής ΑΒ με την παράγωγο; Στόχος της ερώτησης είναι οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το Θ.Μ.Τ. Όσοι αντιμετωπίσουν δυσκολία μπορούν να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό πατώντας στο πλήκτρο Θεώρημα, για να δουν το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τη χορδή και έτσι να οδηγηθούν στο Θ.Μ.Τ. 12

13 Ε8: Επαναδιατυπώστε, αν νομίζετε ότι χρειάζεται, και αποδείξτε την εικασία που κάνατε στην Ε5. Στόχος αυτής της ερώτησης είναι οι μαθητές να διατυπώσουν και να αποδείξουν το παρακάτω θεώρημα: Έστω συνάρτηση f :[ α, β ] συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ). Τότε αν f '( x ) > 0 για κάθε x ( α, β ) η f είναι γνησίως αύξουσα και αν f '( x ) < 0 για κάθε x ( α, β ) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Οι υποθέσεις του θεωρήματος θα προκύψουν από τη χρήση του Θ.Μ.Τ. Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει την αναγκαιότητα της συνέχειας στα άκρα του διαστήματος. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Σε αυτό μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο Β παράλληλα προς τον άξονα y' y με τη βοήθεια της τεταγμένης του y Β και να κάνετε τις παρατηρήσεις σας. Ε9: Μπορείτε να ελέγξετε από τη γραφική παράσταση του παραδείγματος εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος; Η μονοτονία της συνάρτησης επηρεάζεται από τη θέση του σημείου Β; Εάν ναι, με ποιο τρόπο; Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να φανεί η αναγκαιότητα της υπόθεσης της συνέχειας της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος για να ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος. Στην αρχική της θέση η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος. Η δυνατότητα κατακόρυφης μετακίνησης του σημείου Β και η εξέταση της μονοτονίας της συνάρτησης για τις διάφορες θέσεις του δείχνει ότι η ασυνέχεια της συνάρτησης σε ένα από τα δύο άκρα μπορεί να οδηγήσει σε συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη. Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το αντίστροφο του θεωρήματος μονοτονίας της ερώτησης Ε8; Η δυνατότητα αντιστροφής ενός θεωρήματος στα μαθηματικά (αλλά και γενικότερα οποιουδήποτε λογικού συμπερασμού από την πραγματική ζωή) είναι ένα ζήτημα που ποτέ δεν είναι και τόσο ξεκάθαρο για τους μαθητές και αξίζει ίσως λίγο χρόνο σχολιασμού. Ε11: Εξετάστε εάν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας. 13

14 Μέσα από αυτή την ερώτηση πρέπει να γίνει προσπάθεια να κατανοήσουν οι μαθητές ότι απαιτείται αντιπαράδειγμα για να τεκμηριωθεί ότι μια πρόταση δεν ισχύει. Οι μαθητές προτρέπονται να διατυπώσουν εικασίες σχετικά με την παραπάνω ερώτηση. Οι παρακάτω ενέργειες μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να απαντήσουν στην Ε11. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc για να εμφανίσετε τη γραφική παράσταση της 3 συνάρτησης f ( x) = x. Μπορείτε να μετακινήσετε με το ποντίκι το σημείο Α, για να δείτε τις μεταβολές της κλίσης της εφαπτομένης καθώς αυτό διατρέχει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Προσπαθήστε να απαντήσετε τώρα στην ερώτηση Ε11. 14

15 4.5.3 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης Σε αυτό το φύλλο εργασίας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει τον πληθυσμό της αγέλης ελαφιών και ζητείται από τους μαθητές να βρουν τα διαστήματα μονοτονίας της καθώς και τα τοπικά και ολικά ακρότατα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο δίνεται από τη συνάρτηση Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, 4 με x 10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε: Α) Τις χρονικές περιόδους, όπου αυτός αυξάνεται ή μειώνεται; Β) Τις χρονικές στιγμές, όπου γίνεται προς στιγμή μέγιστος ή ελάχιστος; Γ) Τις χρονικές στιγμές, όπου παίρνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή σε ολόκληρη τη χρονική περίοδο που μελετούμε; Ε1: Μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα για τη συνάρτηση P ; Η εφαρμογή του θεωρήματος Μονοτονίας θα πρέπει να οδηγήσει στην παραγώγιση της συνάρτησης και στη συνέχεια την εύρεση των ριζών της παραγώγου (με παραγοντοποίηση ή σχήμα Horner) και την επίλυση της σχετικής ανίσωσης 3 ου βαθμού. Εάν κάποιοι από τους μαθητές αντιμετωπίσουν δυσκολίες με το λογισμό, η παρέμβαση του καθηγητή ή /και ο χωρισμός των μαθητών σε ομάδες μπορούν να επιταχύνουν τη διαδικασία. Ε2: Για κάθε διάστημα που βρήκατε στην ερώτηση Ε1 να συμπληρώσετε τα κενά του ακόλουθου πίνακα μεταβολών με το πρόσημο της παραγώγου (+ ή -) καθώς και τα σύμβολα ή για γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αντίστοιχα. x P (x) P(x) 15

16 Ε3: Σε ποια διαστήματα η προηγούμενη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα; Ε4: Για ποιες τιμές της μεταβλητής x η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Ε5: Παρουσιάζει η συνάρτηση P ολικά ακρότατα; Εάν ναι, για ποιες τιμές της μεταβλητής x ; Ε6: Μπορείτε να απαντήσετε τώρα στα ερωτήματα (Α), (Β) και (Γ) του αρχικού προβλήματος για τον πληθυσμό της αγέλης; Ε7: Μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, της οποίας η παράγωγος ικανοποιεί τις συνθήκες του πίνακα: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) 3 (3, + ) g'( x ) Η αντίστροφη δυνατότητα, δηλαδή από το πρόσημο και τις ρίζες της παραγώγου να εξάγονται κάποια χαρακτηριστικά για τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, μπορεί να εμπλουτίσει αυτή τη διασύνδεση για τους μαθητές. 16

17 4.5.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) δίνεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 1/1/2009. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει τις περιόδους που ο πληθυσμός της αγέλης αυξάνεται και τις περιόδους που μειώνεται. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, στο οποίο έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης P. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το πλήθος των ελαφιών της αγέλης κατά την περίοδο σαν συνάρτηση του χρόνου x. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του εργαλείου Συντεταγμένες Σημείου που εμφανίζει και μετακινεί ένα σημείο Μ πάνω σε αυτή προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε1: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι αυξάνει το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Ε2: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι μειώνεται το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για τη μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; 17

18 Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, ώστε να δείτε τα δύο σημεία Α και Β, καθώς επίσης και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μπορείτε να μετακινήσετε οποιοδήποτε από τα δύο σημεία Α ή Β και να παρατηρήσετε το πρόσημο για τις διαφορές y2 y1 και x2 x1, καθώς επίσης και το πρόσημο της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια του μετρητή. Η μετατόπιση των σημείων γίνεται με Ctrl+1 και στη συνέχεια πάτημα του ποντικιού πάνω στο σημείο και σύρσιμο με το αριστερό πλήκτρο πατημένο. Ε3: Μετά από τις παρατηρήσεις που κάνατε μετακινώντας κατά βούληση τα δύο σημεία, ποιες πρέπει να είναι οι σχετικές θέσεις των Α και Β, ώστε η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να είναι: α. Θετική; β. Αρνητική; γ. Μηδέν; Αφού κλείσετε το αρχείο 4.5.2, στο προηγούμενο αρχείο πατήστε στα πλήκτρα Τοπικό Μέγιστο, που εμφανίζει ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, και Χορδή ΑΒ, ώστε να εμφανίσετε τα δύο σημεία Α ( x, Px ( )) και Β( x, Px ( )) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, την αντίστοιχη χορδή ΑΒ, καθώς και το μετρητή της κλίσης της. Πατώντας Ctrl+2 και στη συνέχεια με το ποντίκι μπορείτε να 18

19 μετακινήσετε κατά βούληση τα Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αριστερά του σημείου Μ ( x, Px ( )), τι παρατηρείτε 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Ε5: Ποιος αλγεβρικός τύπος εκφράζει την κλίση της χορδής ΑΒ; Ε6: Παίρνοντας x < x, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( ) και Px ( ); 1 2 Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως αύξουσα στο Δ. 19

20 Ε7: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Ε8: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης δεξιά του σημείου Μ ( x, Px ( )), τι παρατηρείτε 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Ε9: Παίρνοντας x < x, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( ) και Px ( ); 1 2 Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; 20

21 Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως φθίνουσα στο Δ. Ε10: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ θα την ονομάσουμε γνησίως μονότονη στο Δ. Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και δύο τυχαία σημεία x, x Δ με x x. Ε11: i) Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του λόγου μεταβολής f ( x ) f ( x ) 2 1 ; x x 2 1 ii) Εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του λόγου μεταβολής f ( x ) f ( x ) 2 1 ; x x

22 Αντίστροφα: Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x. f ( x ) f ( x ) 2 1 Ε12: i) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής x x 2 1 είναι θετικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f στο Δ; f ( x ) f ( x ) 2 1 ii) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι x x 2 1 αρνητικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f στο Δ; E13: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και x 0 εσωτερικό σημείο του Δ. Ποιες συνθήκες κοντά στο x 0 αρκεί να ικανοποιεί η f, ώστε να παρουσιάζει: Α) Τοπικό μέγιστο; Β) Τοπικό ελάχιστο; Ε14: Τι μπορεί να μας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; 22

23 4.5.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σύνδεση μονοτονίας και προσήμου της παραγώγου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις χρονικές περιόδους, όπου ο αριθμός των ελαφιών της αγέλης που αναφέρεται στο φύλλο εργασίας αυξάνεται ή μειώνεται; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, όπου εμφανίζεται η γραφική παράστασης μίας συνάρτησης P. Αυτή εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Πατήστε το πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της P σε ένα τυχαίο σημείο Κ ( x, Px ( )). Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Κ δίνεται από το Κ Κ μετρητή και μπορεί να σχεδιαστεί με την πένα όταν το σημείο Κ μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει μεταβάλλοντας την τετμημένη x Κ του σημείου, ενώ ταυτόχρονα κρατάτε πατημένο το πλήκτρο F7. Μπορείτε να παρατηρήσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης στο μετρητή και ταυτόχρονα τη γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης y = P'( x) που σχεδιάζεται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Αυτή η γραφική παράσταση είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο Σ ( x, '( )) Κ P x κ καθώς μεταβάλλεται η τετμημένη x Κ. Με Ctrl+z μπορείτε να αναιρείτε (με την αντίστροφη σειρά) όλες τις τελευταίες ενέργειες που κάνετε πάνω στο πρόγραμμα. Ε1: Σε ποια διαστήματα η παράγωγος της P είναι θετική, σε ποια διαστήματα είναι αρνητική και σε ποια σημεία μηδενίζεται; 23

24 Ε2: Τι συμπεραίνετε παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της παραγώγου P ' σε σχέση με αυτή της αρχικής συνάρτησης P ; Ε3: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Ε4: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. 24

25 Ε5: Νομίζετε ότι το πρόσημο της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μπορεί να καθορίσει τη μονοτονία της; Αν ναι, διατυπώστε την εικασία που νομίζετε ότι ισχύει. Έστω διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x. Στην οθόνη πατήστε στο πλήκτρο Χορδή ΑΒ, για να εμφανίσετε τη χορδή ΑΒ με άκρα Α ( x, Px ( )) και Β ( x, Px ( )) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Μετακινήστε (Ctrl+2) με το ποντίκι τα δύο σημεία μέσα στο διάστημα (6, 8) όπου αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Ε6: Πώς παριστάνεται γεωμετρικά στο σχήμα ο λόγος μεταβολής Px ( ) Px ( ) 2 1 ; x x 2 1 Ε7: Πώς μπορεί να συνδεθεί η κλίση της χορδής ΑΒ με την παράγωγο; 25

26 Ε8: Επαναδιατυπώστε, αν νομίζετε ότι χρειάζεται, και αποδείξτε την εικασία που κάνατε στην Ε5. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Σε αυτό μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο Β παράλληλα προς τον άξονα y' y με τη βοήθεια της τεταγμένης του y Β και να κάνετε τις παρατηρήσεις σας. Ε9: Μπορείτε να ελέγξετε από τη γραφική παράσταση του παραδείγματος εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος; Η μονοτονία της συνάρτησης επηρεάζεται από τη θέση του σημείου Β; Εάν ναι, με ποιο τρόπο; Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το αντίστροφο του θεωρήματος μονοτονίας της ερώτησης Ε8; 26

27 Ε11: Εξετάστε εάν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc για να εμφανίσετε τη γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x. Μπορείτε να μετακινήσετε με το ποντίκι το σημείο Α, για να δείτε τις μεταβολές της κλίσης της εφαπτομένης καθώς αυτό διατρέχει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Προσπαθήστε να απαντήσετε τώρα στην ερώτηση Ε11. 27

28 4.5.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο δίνεται από τη συνάρτηση Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, 4 με x 10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε: Α) Τις χρονικές περιόδους, όπου αυτός αυξάνεται ή μειώνεται; Β) Τις χρονικές στιγμές, όπου γίνεται προς στιγμή μέγιστος ή ελάχιστος; Γ) Τις χρονικές στιγμές, όπου παίρνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή σε ολόκληρη τη χρονική περίοδο που μελετούμε; Ε1: Μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα για τη συνάρτηση P ; 28

29 Ε2: Για κάθε διάστημα που βρήκατε στην ερώτηση Ε1 να συμπληρώσετε τα κενά του ακόλουθου πίνακα μεταβολών με το πρόσημο της παραγώγου (+ ή -) καθώς και τα σύμβολα ή για γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αντίστοιχα. x P (x) P(x) Ε3: Σε ποια διαστήματα η προηγούμενη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα; Ε4: Για ποιες τιμές της μεταβλητής x η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Ε5: Παρουσιάζει η συνάρτηση P ολικά ακρότατα; Εάν ναι, για ποιες τιμές της μεταβλητής x; 29

30 Ε6: Μπορείτε να απαντήσετε τώρα στα ερωτήματα (Α), (Β) και (Γ) του αρχικού προβλήματος για τον πληθυσμό της αγέλης; Ε7: Μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, της οποίας η παράγωγος ικανοποιεί τις συνθήκες του πίνακα: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) 3 (3, + ) g'( x )

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα 4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου για το σχολικό έτος

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο 2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή, με αφορμή τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας, εισάγει στο όριο συνάρτησης σε σημείο. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 5: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία της παραγώγου. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και 13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ : ΠΡΟΣ : Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΣ : ΠΡΟΣ : Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Του Δημητρίου Α. Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Στο κείμενο που ακολουθεί διατυπώνουμε μια σειρά προτάσεων, καθεμιά από τις ο- ποίες, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε και να περιγράψουμε με σχετικά σύντομο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α A Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα