VOLUMEN I PLO[TINA KAKO BROJNI KARAKTERISTIKI NA n - DIMENZIONALNA TOPKA

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "VOLUMEN I PLO[TINA KAKO BROJNI KARAKTERISTIKI NA n - DIMENZIONALNA TOPKA"

Κήυξ Παχής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 VOLUMEN I PLO[TINA KAKO BROJNI KARAKTERISTIKI NA - DIMENZIONALNA TOPKA Vo ovaa tema geealo }e bidat obabotei sledite poimi: - vekto, adius vekto, dimezija - dolìa, astojaie, dimezioala topka - volume i plo{tia a dimezioala topka, opedele itegal Nekoi od iv se dobo pozati od sodìite pedvidei so pogamata za sedo obazovaie. Voveduvaweto a ovite poimi kako {to se dimezija, dimezioala topka }e bidat vovedei a pedago{ki opavda o zatoa pomalku stog matemati~ki pecize a~i. Vekto, adius vekto, dimezija Spoed geometiskata defiicija.vekto e oietiaa otse~ka. Neka e dadea boja oska defiiaa so fiksa to~ka O i edii~e adius vekto e (vekto so dolìa ~ij po~etok e vo to~kata O). So kaevite a site vektoi λ e, λ R, se dobivaat site to~ki od bojata pava. Spoed toa ako a e adius vekto a bilo koja to~ka od bojata pava toga{ siguo postoi skala λ (eale boj) taka {to a = λ e. Poadi toj fakt velime deka pavata ima dimezija i toa moèstvo to~ki }e go ae~eme edodimezioale posto. Neka sega se dadei fiksa to~ka O i dva edii~i adius vektoi e, e so ist po~etok vo O, takvi {to e λ e za sekoj eale boj λ 0. Moèstvoto to~ki kako kaji

2 to~ki od site adius vektoi dobiei so lieaa kombiacija λ e + λ e kade λ, λ R, }e go ae~eme amia i vo toj slu~aj soodvetata boja kaakteistika e dimezijata. Za~i amiata kako moèstvo to~ki e dimezioale posto. Na ist a~i so ti edii~i adius vektoi e, e, e, so zaedi~ki po~etok O, za koi se zae deka, e λ e, e λ e, e λ e, za sekoj eale boj λ 0, se doa a do vistiskiot eale geometiski posto kako tidimezioale koj ima dimezija. Moème da podolìme a ist a~i i poatamu i da dobivame apstakti postoi so dimezii 4, 5,...,, pi {to }e i bide potebo i voveduvawe a ovi poimi lieaa kombiacija i lieaa zavisost i ezavisost a vektoi. Pi toa piodo se apu{ta i geometiskata defiicija a vekto so voveduvawe a algebaska stuktua vektoski posto. Dimezijata e eda od bojite kaakteistiki a vektoskiot posto i moè da bide samo piode boj vo smisol a pogoata defiicija. Dolìa, astojaie, dimezioala topka Rastojaieto me u dve to~ki kako i dolìata a otse~ka se isto taka geometiski boji kaakteistiki za koi apime vo dade Dekatov pavoagole koodiate sistem se pozati i fomulite za ivo pesmetuvawe. Neka e dadea boja pava so fiksa to~ka O i boj >0, R. Moèstvoto to~ki od bojata pava koi se a astojaie pomalo ili edakvo a od to~kata O }e go ae~eme edodimezioala topka so ceta vo O i adius. Edodimezioala topka geometiski e vsu{ost otse~ka. O Dvodimezioala topka so ceta vo fiksa to~ka O i adius > 0 e podmoèstvo to~ki od dvodimezioale posto (geometiski amia) koi se a astojaie pomalo 48

3 ili edakvo a od to~kata O. Dvodimezioala topka geometiski e vsu{ost kug. O Todimezioala topka so ceta vo fiksa to~ka O i adius > 0 e podmoèstvo to~ki od tidimezioale posto (geometiski ealiot posto) koi se a astojaie pomalo ili edakvo a od to~kata O. Todimezioala topka geometiski e vsu{ost eala topka. Vo 4 dimezioaliot posto za defiicija a 4 dimezioala topka e potebo povtoo eda fiksa to~ka O (ceta a topkata) i adius > 0. Ne e te{ko da se podolì i za > 4, pi {to -dimezioalata topka vo tie slu~ai }e ema svoja geometiska itepetacija odoso petstavuvawe. Volume i plo{tia a dimezioala topka, opedele itegal Da se vatime a edodimezioalata topka so adius t.e. geometiski a otse~ka so dolìa. Nejziata dolìa kako boja kaakteistika za toa moèstvo to~ki }e ja defiiame kako ejzi volume. Za~i V () =. Za dvodimezioala topka so adius }e defiiame ejzi volume so bojata kaakteistika za kug, plo{tia a kug. Za~i V () = π. Za todimezioalata topka so adius }e defiiame ejzi volume so bojata kaakteistika za 4 geometiski volume a topka. Za~i V () = π. 49

4 Zabeleùvame deka vo fomulata za taka defiiaite volumei u~estvuva stepe a adiusot pomoè so ekoj boj, pi {to stepeoviot pokazatel e edakov a dimezijata a postoot vo koj se azgleduva topkata. Spoed toa moème da petpostavime deka fomulata za volumeot a dimezioala topka so adius }e bide od vid V () = C. Specijalo C =, C = π, C = 4 π. Za opedeluvawe a boevite C }e go upotebime opedeleiot itegal. Neka e dadea dvodimezioala topka (kug) so ceta vo O i adius i eka go pese~eme so otse~ka BC so kaji to~ki od kuìcata (tetiva) ~ie omalo astojaie od cetaot O e edakvo a x. O~igledo astojaieto x = OA moè da bide ajmogu. Ako AB = ρ,toga{ volumeot a edodimezioalata topka so ceta vo to~kata A i adius ρ (otse~kata BC) }e bide V (ρ) = C ρ. B ρ O x A C Od pavoagoliot tiagolik OAB se dobiva ρ = x i so V (x) = C x moème da defiiame fukcija od x a segmetot [, ]. Za da go opfatime celiot kug so takvi otse~ki ovaa fukcija }e bide defiiaa a segmetot [, ]. Toga{ opedeleiot itegal V x) dx ( }e go ae~eme 50

5 volume a dvodimezioalata topka. Za~i V () = = V x) dx ( C x dx. Opedeleiot itegal se e{ava so smea x = cosϕ i se dobiva V () = C π π. Za~i C = C. Bidej}i zaeme deka C =, se dobiva C = π pa za~i i V () = π koja e ista so pozatata fomula za plo{tia a kug. Za todimezioala topka so ceta vo to~kata O i adius spoed istata postapka se koisti pesek kug ~ie omalo astojaie od cetaot O e edakvo a x. O~igledo astojaieto x = OA mo`e da bide ajmogu. Ako AB = ρ,toga{ volumeot a dvodimezioalata topka so ceta vo to~kata A i adius ρ (geometiski kug so ceta vo A i adius ρ) }e bide V (ρ) = C ρ. B O x ρ A C Od pavoagoliot tiagolik OAB se dobiva ρ = x i so V (x) = C ( x ) se defiia fukcija od x a segmetot [, ] poadi istite pi~ii. Toga{ opedeleiot itegal V x) dx ( }e go ae~eme volume a todimezioalata topka. Za~i V() = V ( x) dx = C ( x ) dx = 4 C. Za~i 5

6 C = 4 C. Bidej}i zaeme deka C = π, se dobiva C = 4 π pa za~i i V () = 4 π koja e ista so pozatata fomula za volume a topka. Iteese e slu~ajot za ~etiidimezioala topka kaj koja e mo`eme geometiski da ja ilustiame istata postapka. Sepak za ~etiidimezioala topka so ceta vo to~kata O i adius spoed istata postapka so pesek topka (tidimezioala) ~ie omalo astojaie od cetaot O e edakvo a x, se dobiva pavoagole tiagolik. Ako adiusot a tidimezioalata topka e ρ,toga{ ejziiot volume }e bide V (ρ) = C ρ. Bidej}i i ovde ) ρ = x, se dobiva V ( x) = C ( x, pa opedeleiot itegal V x) dx ( }e go ae~eme volume a ~etiidimezioalata topka. Za~i V4() = V ( x) dx = C x 4 ) ( dx = π C 4. 8 Spoed toa C 4 = 8 π C. Bidej}i zaeme deka C = 4 π, se dobiva C 4 = π pa za~i i V 4 () = π 4. Koistej}i ja ovaa postapka i za dimezioala topka so adius so peseci so ( ) dimezioali topki so adiusi ρ i so volumei V - (ρ) = C - ρ -, se dobiva ρ = x i fukcija V ( ) x = C x = C ( x ) defiiaa a segmetot [, ]. Volumeot V () a dimezioalata topka so adius }e go defiiame so opedeleiot itegal V ( x) dx = ( x ) C dx. Ovoj itegal so smea x = cosϕ se tasfomia vo itegalot 5

7 π C - 0 si ϕ dϕ. So toa se dobiva i ekuetata vska za opedeluvawe a boevite C = C - 0 si π ϕ dϕ. Op{tata fomula za volume a dimezioala topka so adius moè da se izazi so pomo{ a eda specijala fukcija ae~ea Gama fukcija so ozaka G(x). Za~i V () = π. G( + ) Gama fukcijata ima ekolku edostavi osobii so pomo{ a koi moè leso da se pesmeta soodvetiot volume. Ovde }e gi avedeme bez dokaz. ( )! G() = ( )!, G(+a) = a G(a), G ( ) = π, G ( + ) = π, N. Pime: Da se ajde volume a 00 dimezioala i 0 dimezioala topka. So koistewe a fomulata i osobiite za gama fukcijata se dobiva: V 00 () = π = π. G(5) 5! V 0 () = π = π = 0 G( + ) G(5+ ) π π = π. 0! 0! π 5 Sega }e vovedeme ova boja kaakteistika P () ae~ea plo{tia a dimezioala topka so adius. Za = }e defiiame P () = kako plo{tia a edodimezioala topka (otse~ka) bidej}i otse~kata ima dve kaji to~ki koi obazuvaat koe~o moèstvo ~ija {to boja kaakteistika i ja azgleduvame (boj a elemeti od edo moèstvo). 5

8 Za = }e defiiame P () = π kako plo{tia a dvodimezioala topka (kug) bidej}i kugot ima kuìca ~ija {to boja kaakteistika i ja azgleduvame (dolìa a kuìca). Za = se dobiva geometiski topka i P () = 4 π kako plo{tia a topka }e bide po defiicija i geometiski plo{tia a todimezioala topka. I vo ovoj slu~aj zabeleùvame deka op{tata fomula za plo{tia a dimezioala topka so adius moè da se api{e vo vid P () = C -. Neka gi kompaiame (spoedime) ovie dve boji kaakteistiki plo{tiata i volumeot a dimezioala topka so adius. Ako se potsetime deka volumeot a todimezioala topka se dobiva so opeacijata itegiawe a fukcii koi kako volume a dvodimezioali topki se vsu{ost geometiski plo{tii a kugovi, a volume a dvodimezioala topka se dobiva so opeacijata itegiawe a fukcii koi kako volume a edodimezioali topki se vsu{ost dolìi a otse~ki (kivi), logi~ki doa ame do zaklu~okot deka so iveza opeacija a itegiaweto moè da se dobie bojata kaakteistika ae~ea plo{tia a dimezioala topka so adius. Bidej}i iveza opeacija a itegiawe e difeeciaweto }e ja dobieme vskata P () = V (), kade difeeciame vo odos a pomelivata. Za~i P () = V () =, P () = V () = π, P () = V () = 4 π. Spoed toa op{tata fomula za taka defiiaata boja kaakteistika a dimezioala topka so adius, ae~ea plo{tia, }e bide P () = V () = π. G( + ) Pime: Da se ajde plo{tia a ~etiidimezioala i 00 dimezioala topka. So koistewe a fomulata i osobiite za gama fukcijata se dobiva: P 4 () = π 50 99, P 00 () = 00π. 5! 54

Σχετικά έγγραφα

EGZISTENCIJA I KONSTRUKCIJA NA POLINOMNO RE[ENIE NA EDNA PODKLASA LINEARNI HOMOGENI DIFERENCIJALNI RAVENKI OD VTOR RED

8 MSDR 004, (33-38) Zbonik na tudovi ISBN 9989 630 49 6 30.09.- 03.0.004 god. COBISS.MK ID 6903 Ohid, Makedonija EGZISTENCIJA I KONSTRUKCIJA NA POLINOMNO RE[ENIE NA EDNA PODKLASA LINEARNI HOMOGENI DIFERENCIJALNI