9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I

Transcript

1 9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I Vo ovoj del prezentirani se osnovite na grafostatikata. Grafostatikata ja izu~uva ramnote`ata na nosa~ite. Vo ovaa oblast po grafi~ki pat, preku dijagrami, se pretstavuva optovaruvaweto na elementite od konstrukcijata vo pooddelnite preseci na nosa~ot. So pomo{ na ovie dijagrami se steknuva pretstava za optovarenosta na nosa~ite, a potoa vrz osnova na ova se odreduva sostojbata na napregawata vo nivnite kriti~ni (opasni) preseci i nosivosta na konstrukcijata vo celina. Pri re{avaweto na problemite od statikata se koristat osnovnite teoretski postavki, spored koi edna kruta plo~a vrz koja dejstvuva ramen sistem od sili }e bide vo ramnote`a ako bidat ispolneti trite analiti~ki, odnosno grafi~kite uslovi za ramnote`a. So primena na grafi~kata metoda, uslovite za ramnote`a se zadovoleni toga{ koga se konstruira zatvoren poligon na sili vo koj nasokite na silite se ni`at posleduvatelno i zatvoren veri`en poligon. Metodite vo grafostatikata nao aat mnogu {iroka primena vo tehnikata, pri konstruirawe i dimenzionirawe na elementite. Zatoa, nakratko }e bide objasneto kako se opredeluva goleminata na reakciite (otporite) vo osloncite na nosa~ite, kako se definiraat zakonite na promena na vnatre{nite sili (stati~ki golemini), transverzalnite sili, napadnite momenti i aksijalnite sili po dol`inata na istite, kako i grafi~kata prezentacija na navedenite golemini vo vid na dijagrami, mnogu ~esto vo literaturata nare~eni stati~ki dijagrami. Kako posebni primeri, vo ovoj del, definirana e ramnote`ata na slednite tipovi nosa~i: prosta greda, greda so prepust, konzola, tovareni so razli~ni vidovi na optovaruvawa. Voedno, dadeni se i osnovnite postavki za re{avawe na re{etkastite nosa~i Poim za nosa~ i vidovi le`i{ta Spored teoretskite postavki vo statikata, sekoe slobodno kruto telo tovareno so ramninski sistemi od sili {to ne e vo ramnote`a }e se dvi`i translatorno vo pravecot na napadnata linija na rezultantata, odnosno vo pravcite na koordinatnite oski, ili pak }e rotira okolu bilo koja to~ka vo ramninata na teloto. Zna~i, slobodnoto telo ima tri stepeni na sloboda: dve translacii i edna rotacija. Za da mo`e bilo koe kruto telo i prakti~no da se upotrebi, istoto treba da se vrze za nekoi nepodvi`ni to~ki ili da se potpre na le`i{ta. Na ovoj na~in site tovari {to deluvaat na teloto sega mo`e da se prenesat vo to~kite na potpiraweto. Sl. 9.1 Ramninski nosa~ Zatoa, sekoe kruto telo, 109

2 plo~a ili stap, koe mo`e da nosi zadaden sistem od nadvore{ni tovari i istiot preku sistemot le`i{ta da go prenese vrz potporite se nare~uva nosa~ (Sl.9.1). Rastojanieto L me u zglobovite na le`i{tata se vika raspon na nosa~ot, a rastojanieto Lo me u potporite, odnosno stolbo-vite ili yidovite se nare~uva otvor na nosa~ot (Sl.9.1). Nosa~ite sostaveni od edna kruta plo~a se prosti nosa~i, dodeka onie {to se sostaveni od dve ili pove}e kruti plo~i se nare~uvaat slo`eni nosa~i. Vo zavisnost od na~inot na deluvawe na tovarite, nosa~ite se delat na ramninski i prostorni. Ako site tovari {to dejstvuvaat na nosa~ot le`at vo edna ramnina, toga{ se veli deka nosa~ot e ramninski. Prostorni nosa~i se onie nosa~i kaj koi tovarite ne deluvaat vo edna ramnina. Ramninskite ili ramnite nosa~i mo`at da bidat polni ili re{etkasti. Pod poimot poln nosa~ se podrazbira nosa~ kaj koj popre~niot presek e poln, t.e. ispolnet so materijal koj u~estvuva vo noseweto na tovarite. Re{etkast nosa~ e takov tip na nosa~ koj e sostaven od stapovi koi me usebno se povrzani so zglobovi i pretstavuvaat edna celina (Sl.9.2). Stap pretstavuva kruto telo ~ii{to dve dimenzii, dimenziite na popre~niot presek, se pomali od tretata, negovata dol`ina L (Sl.9.3). Stap pricvrsten so potreben broj na le`i{ta se vika greda ili greden nosa~ (Sl.9.4). Gredite se konstruktivni elementi koi se proektirani da nosat tovari koi deluvaat upravno na nivnata oska (Sl.9.4). Sl.9.2 Re{etkast nosa~ Polnite nosa~i vo primenetata statika {ematski se pretstavuvaat so edna prava ili kriva linija, koja se poklopuva so nivnata oska (Sl.9.5). Pod oska na poln stap ili nosa~ se podrazbira linijata koja gi povrzuva te`i{tata na site zamisleni popre~ni preseci {to se pod prav agol so nea. Oskata na nosa~ot mo`e da bide prava ili kriva linija i zatoa ~esto polnite nosa~i se nare~uvaat i liniski nosa~i. Sl. 9.3 Poln stap Sl. 9.4 Greden nosa~ 110

3 A L B Sl. 9.5 [ematski prikaz na liniski nosa~ Vo zavisnost od na~inot na povrzuvawe na liniskite nosa~i so potporite se razlikuvaat slednite vidovi liniski polni nosa~i: a) Gredni nosa~i a.1 Prosta greda e nosa~ koj e vrzan so potporite so edno nepodvi`no i edno podvi`no le`i{te (Sl.9.6). ^esto se nare~uva i slobodno osloneta greda. a.2 Greda so prepust se formira toga{ koga nosa~ot preminuva preku osloncite. Ako nosa~ot preminuva samo preku edniot oslonec se vika greda so eden prepust (Sl.9.7a), a ako minuva preku dvata oslonci se vika greda so dva prepusti (Sl.9.7b). a.3 Gerberova greda e slo`en nosa~ sostaven od pove}e gredi ~ii oski se poklopuvaat, a me usebno se povrzani so zglobovi. Oskite na zglobovite se upravni na ramninata na dejstvoto na silite (Sl.9.8). a.4 Konzolen nosa~ (konzola) Greda povrzana za podlogata so pomo{ na vkle{tuvawe se vika konzola (Sl.9.9). Sl.9.6 Prosta greda prepusti Sl.9.7 Greda so prepust: (a) so eden prepust;(b) so dva Sl.9.8 Gerberova greda Sl.9.9 Konzola b) Ramovski nosa~i (ramki) Slo`eniot nosa~, sostaven od pove}e gredi ili konzoli, koi me usebno se kruto ili zglobno povrzani, taka {to oskite na gredite ili konzolite ne se poklopuvaat, se nare~uva ramovski nosa~ (Sl.9.10). v) Lak na tri zgloba Toa e slo`en nosa~ koj e sostaven od dve gredi so kriva oska, koi me usebno i so potporite se povrzani so zglobovi (Sl.9.11). Od dosega izlo`enoto mo`e da se zaklu~i deka vo primenetata statika ili grafostatikata se tretiraat samo onie prosti i slo`eni nosa~i ~ija ramnote`a 111

4 mo`e da bide opredelena so trite osnovni uslovi za ramnote`a na eden sistem od sili vo ramnina. Za da se obezbedi ramnote`a, nepodvi`nost i stabilnost na nosa~ite, odnosno konstrukciite, kako {to be{e ve}e naglaseno, istite preku soodvetni le`i{ta se potpiraat vrz yidovi ili stolbovi. Zna~i, sekoja in`enerska konstrukcija e sostavena od slednite elementi: nosa~, stolbovi i le`i{ta. Sl Ramovski nosa~ Sl Lak na tri zgloba Le`i{tata se konstruktivni elementi, na koi se potpiraat nosa~ite i preku koi sopstvenata te`ina i nadvore{nite tovari koi dejstvuvaat na nosa~ot se prenesuvaat vrz podlogata. Le`i{tata, isto taka, treba da ovozmo`at i dilatacii na konstrukcijata, predizvikani od temperaturnite promeni. Vo sekoe le`i{te dejstvuvaat dva vida sili: aktivni sili, t.e. sili so koi nosa~ot pritiska na potpira~ot, t.n. akcii, i pasivni sili, odnosno sili so koi potpira~ot se sprotivstavuva na nosa~ot, t.n. reakcii ili otpori (Sl.9.12). Ovie dve sili {to se javuvaat vo le`i{tata imaat ist pravec, ist intenzitet, a sprotivni nasoki, taka {to spored zakonot za akcija i reakcija tie me usebe se vramnote`uvaat. akcija reakcija Sl Akcija i reakcija vo le`i{te Od na~inot na izveduvaweto na vrskata me u nosa~ot i potporite, odnosno od konstrukcijata na le`i{tata, zavisi i kakvi reakcii }e se javat vo tie vrski. Pri re{avawe na prakti~nite zada~i vo statikata na polnite liniski nosa~i od posebna va`nost e vidot na le`i{teto i brojot na reaktivnite sili vo nego. Spored toa, vo zavisnot od konstrukcijata le`i{teto mo`e da bide: 112

5 1. Podvi`no le`i{te ili podvi`en zglob Konstrukcijata na podvi`noto le`i{te, glavno se sostoi od eden ili pove}e cilindri~ni valci koi mo`at da se dvi`at vo pravec paralelen na povr{inata vrz koja nalegnuvaat (Sl.9.13). (a) (b) (v) Sl Konstrukcija na podvi`no le`i{te: (a) so pove}e cilindri; (b) na nakloneta povr{ina na nalegnuvawe, so dva cilindra; (v) stapasto Glavna osobenost na podvi`noto le`i{te e toa {to se javuva reakcija ~ij{to pravec sekoga{ e upraven na ramninata na potpirawe, nezavisno od toa kakov e pravecot na dejstvuvawe na tovarite. Spored toa, kako nepoznata se javuva samo intenzitetot na reakcijata, za ~ie odreduvawe dovolen e samo eden uslov za ramnote`a, odnosno samo edna ravenka. Nasokata na reaktivnata golemina se pretpostavuva i voobi~aeno e taa da e orientirana od potporot kon potprenata to~ka. Dokolku pri presmetuvaweto se dobie negativna vrednost, toga{ treba so posebni konstruktivni merki da se obezbedi podignuvaweto na nosa~ot od potporot. Zaradi poednostavuvawe, podvi`noto le`i{te se pretstavuva {ematski, spored voobi~aenite {emi prika`ani na Sl Podvi`noto le`i{te mo`e da bide oformeno i so eden stap, t.n. stapasto podvi`no le`i{te (Sl.9.14g). a) A A A A b) v) α B B y = Bcosα α B x = Bsinα g) A B B nosa~ stap Sl [ematski prikaz na podvi`no le`i{te 2. Nepodvi`no le`i{te - zglob Nepodvi`noto le`i{te, zaradi zglobnata vrska so nosa~ot, dozvoluva nezna~itelno zavrtuvawe na nosa~ot okolu oskata koja minuva niz zglobot kako napadna to~ka na reakcijata, me utoa ne dozvoluva pomestuvawe, odnosno translacija na nosa~ot nitu vo horizontalen, nitu vo vertikalen pravec (Sl.9.15). 113

6 Reakcijata vo nepodvi`noto le`i{te mo`e da ima proizvolen pravec, vo op{t slu~aj taa e kosa, i mora da minuva niz geometriskoto sredi{te na zglobot kako odnapred fiksirana napadna to~ka, vo ramninata na dejstvo na silite. Za opredeluvawe na reakcijata vo nepodvi`noto le`i{te potrebni se dve ravenki, koi se sostavuvaat so pomo{ na dva uslovi za ramnote`a, od koi voglavno se definira pravecot i intenzitetot na reakcijata. So drugi zborovi, vo nepodvi`noto le`i{te se javuvaat dve nepoznati golemini, horizontalnata i vertikalnata komponenta na reakcijata (Sl.9.15a). Nepodvi`noto le`i{te na nosa~ot mo`e da se oformi so dva le`i{ni stapa koi se se~at vo edna to~ka, na oskata na gredata, ili nadvor od nea (Sl.9.15b). A a) F 1 A A y A y A b) A y A x A x h A x kako mala golemina se zanemaruva A x A y (v) g d Sl a)nepodvi`no le`i{te; (b) stapasto nepodvi`no le`i{te; v) prosta greda potprena so stapasti le`i{ta; g) i d) kinemati~ki labilni Ako nosa~ot e potpren na tri le`i{ni stapovi, za da se obezbedi potpolna stabilnost, nepodvi`nost, trite stapa ne treba da se prese~uvaat vo edna to~ka (9.15 g), nitu pak trite stapa da se paralelni (9.16 d), bidej}i toga{ tie se se~at vo edna to~ka vo beskone~nost. 3. Vkle{teno le`i{te, vkle{tuvawe Vkle{tenoto le`i{te pretstavuva takov konstruktiven element so koj se obezbeduva kruta vrska me u nosa~ot i potporata. Ova naj~esto se obezbeduva so vyiduvawe na nosa~ot, so {to se odzemaat site tri stepeni na sloboda na dvi`ewe. Poradi toa vkle{tuvaweto onevozmo`uva translacija i rotacija na nosa~ot. Reakcijata na vrskata vo vkle{tuvaweto e potpolno definirana so trite elementi: intenzitet, napadna to~ka i napadna linija, koi mo`e da se zamenat so horizontalnata i vertikalnata komponenta na reakcijata i so momentot na vkle{tuvawe, vkupno 3 nepoznati golemini. Komponentite na reakcijata se sprotivstavuvaat na translacijata, a momentot na vkle{tuvawe se sprotivstavuva na rotacijata (Sl.9.16). 114

7 Sl Vkle{tuvawe Reakcijata A e reducirana vo to~kata na potpirawe Ako site reakcii vo le`i{tata mo`at da se opredelat so koristewe na osnovnite uslovi za ramnote`a (rav.1), toga{ se veli deka nosa~ot e stati~ki opredelen. X = 0 Y = 0 M = 0 (1) So koristewe na trite ravenki (1) mo`no e da se opredelat samo tri nepoznati reaktivni golemini. Nosa~ite koi se taka potpreni {to imaat pove}e od tri nepoznati le`i{ni reakcii, koi ne mo`at da se opredelat so trite poznati uslovi za ramnote`a se narekuvaat stati~ki neopredeleni nosa~i. Nosa~ot e onolku pati stati~ki neopredelen, kolku {to e i brojot na prekubrojnite reaktivni golemini pogolem od tri, odnosno s=n-3, kade n pretstavuva vkupen broj na le`i{ni reakcii, a tri (3) e brojot na poznatite uslovi za ramnote`a. Stati~ki neopredelenite nosa~i se re{avaat so pomo{ na dopolnitelnite ravenki so koi se zemaat vo predvid i deforмaciite na istite. Nekoi pokarakteristi~ni primeri na stati~ki neopredeleni nosa~i se prika`ani na Sl a) greda na dve nepodvi`ni le`i{ta n = = 4 nepoznati s = n - 3 = 4-3 =1 stati~ki neopredelen b) nosa~ na edno vkle{teno i edno podvi`no le`i{te n = = 4 nepoznati s = n - 3 = 4-3 =1 stati~ki neopredelen Sl Stati~ki neopredeleni v) kontinuiran nosa~ n = = 5 nepoznati s = n - 3 = 5-3 =2 stati~ki neopredelen Stati~kata neopredelenost na nosa~ite koja e direktno vrzana so brojot na reakciite se vika nadvore{na stati~ka neopredelenost. 115

8 9.2. Vidovi tovari Tovarite koi dejstvuvaat na nosa~ite mo`at da bidat predizvikani od najrazli~ni pri~ini, kako na primer: tovari od sopstvenata te`ina na nosa~ot, tovari od lu e, tovari od razni prevozni sredstva, tovari od sneg ili veter, tovari od razna stoka {to se skladira vo prostoriite itn. Site ovie tovari zaedno so le`i{nite reakcii, so koi {to se vramnote`uvaat, pretstavuvaat nadvore{ni sili koi dejstvuvaat na nosa~ot. Spored na~inot na deluvaweto, tovarite mo`at da bidat koncentrirani i podeleni. Podelenite tovari, pak, mo`at da bidat ramnomerni i neramnomerni. Vo zavisnost od toa dali napadnite to~ki na deluvawe na nadvore{nite tovari se menuvaat ili ne, tovarite se delat na podvi`ni i nepodvi`ni. Tovarite mo`e da deluvaat posredno i neposredno na nosa~ot. Taka tovarite spored vremeto na traewe se delat na postojani (sopstvena te`ina) i promenlivi (sneg, veter). Site optovaruvawa mo`at da bidat vertikalni i kosi, a kako merna edinica se koristi osnovnata edinica wutn (N) ili izvedenite: kilowutn (kn) ili megawutn (MN). 1. Koncentrisan tovar Koncentrisaniot tovar e takvo optovaruvawe koe na nosa~ot dejstvuva vo edna to~ka. Vsu{nost, koncentrisani tovari ne postojat, bidej}i sekoj tovar se predava vrz nekoja povr{ina. Me utoa, koga intenzitetot na tovarot e golem vo sporedba so povr{inata na koja dejstvuva, bez golema gre{ka mo`e takviot tovar da se aproksimira da dejstvuva kako koncentrisana sila vo edna to~ka. a) Nepodvi`ni b) Podvi`ni Sl.9.18 Koncentrisan tovar Koncentrisanite tovari mo`at da bidat: a) Nepodvi`ni, (Sl.9.18a) koga rastojanijata me u tovarite kako i rastojanijata na sekoj od niv do osloncite na nosa~ot se nepromenlivi, fiksni. b) Podvi`ni, (Sl.9.18b) bidej}i sistemot od koncentrisani tovari se dvi`i po nosa~ot (primer: tovari od razni prevozni sredstva koi se predavaat na podlogata preku trkalata na istite). 116

9 2. Ramnomerno podelen tovar Dokolku intenzitetot na podeleniot tovar q(z) e konstanten, tovarot e ramnomerno podelen po celata dol`ina na nosa~ot. Obi~no, toa e tovar na sopstvenata te`ina, dejstvoto na veter ili sneg, i pretstavuva te`ina na edinica dol`ina q=g/l=(n/m') (kn/m) a) b) Sl Ramnomerno raspredeleno optovaruvawe: a) po cela dol`ina na nosa~ot; b) delumno na nosa~ot Za poednostavuvawe, pri opredeluvawe na reakciite na nosa~ite, kontinuiraniot tovar mo`e da se zameni so negovata rezultanta, ~ij intenzitet e ednakov na povr{inata na pravoagolnikot, Sl.9.19a, F q =ql (2) so napadna to~ka vo te`i{teto na povr{inata na polovina od dol`inata na koja deluva. Kontinuiraniot tovar mo`e da dejstvuva i delumno na nosa~ot, Sl.9.19b. 3. Triagolen tovar e podeleno optovaruvawe koe se menuva po linearen zakon pome u minimalnata vrednost ednakva na nula i maksimalnata so golemina q(kn'm), Sl.9.20a,b. Intenzitetot na rezultantata e ednakov na povr{inata na triagolnikot so napadna to~ka vo te`i{teto na triagolnikot na rastojanie 1/3 i 2/3 od dol`inata na triagolnikot. Sl Triagolen tovar: a) po celata dol`ina na nosa~ot; b) delumno na nosa~ot 4. Trapezen tovar Toa e podelen tovar koj se menuva liniski od edna po~etna vrednost q 0 do maksimalna vrednost q. Istiot najednostavno mo`e da bide aproskimiran so eden triagolen i ramnomerno raspredelen tovar, Sl

10 F q 1 F q 2 = q 0 L ( q q ) 0 L = (3) 2 Sl Trapezno raspredelen tovar 5. Neramnomerno podeleno optovaruvawe Intenzitetot na neramnomerno raspredelenoto optovaruvawe zavisi od rastojanieto na oslonecot, Sl.9.22, i e dadeno so ravenkata q=f(x). Sl Neramnomerno podeleno optovaruvawe Kone~no, tovarite mo`e da bidat: korisni tovari (predvidenite aktivni sili), sopstveni tovari (te`inata na nosa~ot) i slu~ajni tovari (sneg i veter). Vkupnoto optovaruvawe na nosa~ot spored ova, se sostoi od korisno optovaruvawe, sopstvena te`ina na nosa~ot i slu~ajnoto optovaruvawe. Sopstvenata te`ina vo praksata, ~esto se zanemaruva, me utoa za slu~ajnite optovaruvawa mora da se vodi smetka Definirawe na ramnote`ata kaj nosa~ite (opredeluvawe na reakciite) Vo statikata na ramninskite nos~i tovareni so proizvolen sistem na tovari od razli~en vid, kako osnovno se nametnuva najprvo da se opredelat reakciite vo le`i{tata. Le`i{nite reakcii se sili vo to~kite na potpiraweto na nosa~ot, koi se vo ramnote`a so tovarite koi dejstvuvaat na istiot. Pri definirawe na ramnote`ata na nosa~ite se pretpostavuva deka nosa~ot zamisleno se osloboduva od vrskite, odnosno od le`i{tata i nivnoto vlijanie se zamenuva so soodvetnite nepoznati le`i{ni reakcii. So postavuvaweto na uslovite za ramnote`a na vaka formiraniot ramninski sistem od nadvore{ni sili (vo koj se vklu~eni i nepoznatite le`i{ni reakcii), se dobiva sistem od ravenki ~ie {to re{enie vo potpolnost gi definira nepoznatite reaktivni sili so nivniot intenzitet i nasoka. 118

11 Nepoznatite le`i{ni reakcii mo`no e da bidat opredeleni na dva na~ina: analiti~ki i grafi~ki. Pri analiti~koto opredeluvawe na reakciite kaj stati~ki opredelenite nosa~i se koristat trite analiti~ki uslovi za ramnote`a na eden sistem od proizvolni sili vo ramnina. Grafi~ki reakciite vo le`i{tata se dobivaat so koristewe na grafi~kite uslovi za ramnote`a, odnosno so konstruirawe na zatvoren poligon na sili (vo koj silite se nadovrzuvaat posledovatelno vo ista nasoka) i zatvoren veri`en poligon. a) Analiti~ko opredeluvawe na reakciite Kaj stati~ki opredelenite ramninski nosa~i sistem prosta greda, greda so prepust i konzola se javuvaat tri nepoznati reaktivni golemini, tri te`inski reakcii, koi mo`at da se opredelat od trite analiti~ki uslovi za ramnote`a vo oblik: ΣX=0 ΣY=0 ΣM=0 (4) Voobi~aeno e pri presmetuvawe na reakciite da se koristi tretiot uslov za ramnote`a ΣM=0, pri {to za momentni to~ki se izbiraat to~kite niz koi {to minuvaat pogolem broj od nepoznatite reaktivni sili. Na ovoj na~in se dobivaat linearni ravenki vo koi figurira samo po edna nepoznata. Ostanatite dva uslova ΣX=0 i ΣY=0, obi~no slu`at za kontrola na to~nosta na opredelenite reakcii. Ova zna~i deka zbirot na aktivnite sili mora da bide ednakov na zbirot na le`i{nite reakcii. Prakti~no, opredeluvaweto na reakciite }e bide ilustrirano preku definiraweto na ramnote`ata na eden slobodno oslonet nosa~ AV, tovaren so zadaden sistem od vertikalni sili F 1, F 2,...F n, prika`ana na Sl Sl Reakcii kaj slobodno oslonet nosa~ od vertikalni tovari Vo op{t slu~aj, vo nepodvi`noto le`i{te A se javuva kosa reakcija, koja se razlo`uva na edna vertikalna komponenta Au upravna na oskata na nosa~ot i horizontalna komponenta Ah, koja se poklopuva so negovata oska, Sl Pravecot na reakcijata vo podvi`noto le`i{te V se poklopuva so normalata na ramninata po koja mo`e da se dvi`i le`i{teto, odnosno reakcijata V e vertikalna. Bidej}i pravecot na reakcijata vo podvi`noto le`i{te e paralelen so pravecot na napadnite linii na aktivnite 119

12 sili, proizleguva deka i pravecot na reakcijata na nepodvi`noto le`i{te mora da bide isto taka, paralelen so silite. Ova zna~i deka prvata ravenka Σx=0 od uslovite za ramnote`a avtomatski e zadovolena, zaradi toa {to na nosa~ot ne dejstvuvaat horizontalni sili, {to uslovuva horizontalnata komponenta na reakcijata Ah, da bide ednakva na nula: X = 0 A x = 0 (5) Koristej}i gi ostanatite dve ravenki od prviot alternativen oblik na uslovite za ramnote`a, M B = 0 i M A = 0 (6) kade momentnite to~ki V i A se to~kite na oslonuvawe na nosa~ot, se opredeluvaat oslone~kite reakcii A i V. Soodvetno va`no e da se napomene deka pri sostavuvaweto na ovie momentni ravenki, nasokata na nepoznatite reaktivni golemini se pretpostavuva, taka da se dobiva: M B = 0 ; A. L - F 1 b 1 - F 2 b F n b n = 0 A M A = 0 ; -B. L + F 1 a 1 + F 2 a F n b n =0 B 1 n = Fi bi L i= 1 1 n = Fi a L i= 1 i (7) (8) Dokolku pri presmetuvaweto se dobie negativna vrednost na reakcijata, toga{ vistinskata nasoka na reakcijata e sprotivna od po~etno pretpostavenata. Kontrolata, dali zadadeniot aktiven sistem od vertikalni sili se vramnote`uva so vertikalnite reaktivni golemini, se vr{i so koristewe na uslovot da algebarskiot zbir na site sili vo pravec na u-oskata da e ednakov na nula, odnosno: spored koj se dobiva: Y = 0 ; A+B-F 1 -F F n =0 (9) A + B = n F i i= 1 (10) Pri analiti~koto opredeluvawe na reakciite se koristi desniot pravoagolen koordinaten sisten so koordinaten po~etok vo edna od to~kite na oslonuvawe, obi~no vo leviot potpor, i h-oska {to se poklopuva so oskata na nosa~ot. Na Sl.9.24 prika`an e nosa~ot AV natovaren so nakloneti-kosi koncentrisani sili F 1, F 2,...F i do F n. Site horizontalni komponenti F ix na zadadeniot sistem sili Fi gi prima nepodvi`noto le`i{te vo A. Poradi toa zamisleno otstranetata nepodvi`na potpora A se zamenuva so dve sili, komponentite Ah i Au na nepoznatata reakcija A. Vo podvi`noto le`i{te V se javuva vertikalna reakcija upravna na le`i{nata plo~a. 120

13 Sl.9.24 Reakcii kaj nosa~ tovaren so kosi koncentrisani sili Vertikalnata komponenta Au na nepoznatata reakcija A se opredeluva so koristewe na tretiot ramnote`en uslov, pri {to za momentna to~ka se bira to~kata V: ΣM B =0; Ay. L - F 1 sinα 1 b F i sinα i b i F n sinα n b n = 0 A y = 1 L n i= 1 F i sinα b i i (11) Od momentnata ravenka vo odnos na nepodvi`noto le`i{te A se presmetuva reakcijata V: ΣM A =0; -B. L + F 1 sinα 1 a F i sinα i a i F n sinα n a n = 0 B = 1 L n i= 1 F i sinαia i (12) Horizontalnata komponenta Ah se opredeluva so uslovot za ramnote`a: ΣX=0; A x - F 1 cosα 1 - F 2 cosα F i cosα i F n cosα n = 0 A x = n i= 1 F i cosαi (13) Kontrola na ramnote`ata na nosa~ot za vertikalnite reakcii se vr{i od uslovot za ramnote`a. ΣY=0; A y - F 1 sinα 1 - F 2 sinα F i sinα i F n sinα n + B = 0 A y + B = n i= 1 F i sinα i (14) Intenzitetot na reakcijata vo nepodvi`noto le`i{te A iznesuva: 2 2 x y A = A + A (15) 121

14 dodeka pravecot na istata definiran so agolot α Sl.9.24, se dobiva kako odnos na komponentite Ah i Au: Ay tgα = A x Ay α = arctg (16) A x Ako nosa~ot AV e potpren na edno podvi`no le`i{te ~ija le`i{na povr{ina e nakloneta, toga{ i reakcijata vo A, ako se zanemari trieweto, mora da bide normalna na podlogata, na le`i{nata plo~a, Sl Reakciite na ovoj nosa~ se opredeluvaat spored istite principi, so koristewe na uslovite za zramnote`a, so taa razlika {to i pri vertikalni tovari dvete reakcii A i V se kosi. Od uslovite za ramnote`a po dolunavedeniot redosled se dobivaat nepoznatite reaktivni golemini Ah, Au, Vh i Vu: (17) L (1) ΣM B =0; Ay. L - F 1 b 1 - F 2 b 2 = 0 A y = Acos α = [ F b + F b ] Ay 1 A = = + cosα L cosα (2) ΣM A =0; -B. y L + F 1 a 1 + F 2 a 2 = 0 B y = [ F a + F a ] [ Fb Fb ] (18) (19) L (3)kontrola: ΣY=0; A y - F 1 - F 2 + B y = 0 Ay + By = F1 + F2 F1b 1 + F2b2 (4) ΣX=0; A x - B x = 0 Bx = Ax = Asin α = tgα (20) L Sl Oslone~ki reakcii kaj nosa~ so nakloneto podvi`no le`i{te Ova {to va`i za opredeluvawe na reakciite na nosa~ot tovaren so razli~ni vidovi na koncentrisani tovari, va`i i za nosa~ot tovaren so karakteristi~nite tipovi na podeleno optovaruvawe, bidej}i istoto kako {to be{e naglaseno vo to~ka 9.2., za poednostavuvawe se aproksimira so rezultantna sila vo te`i{teto na povr{inata na tovarot. 122

15 9.4. Vnatre{ni stati~ki golemini - poim za napaden moment, transverzalna i aksijalna sila Sl Definirawe na vnatre{nite stati~ki golemini Pri proektiraweto na konstruktivnite elementi od golema va`nost e da se opredeli sostojbata na napregawata, t.e., vnatre{- nite sili koi deluvaat na povr{inata na popre~niot presek na nosa~ot, bidej}i vrz osnova na toa se vr{i dimenzionirawe odnosno opredeluvawe na potrebnite dimenzii na presekot za da mo`e nosa~ot so dovolna sigurnost da gi nosi nadvore{nite sili (aktivnite i reaktivnite sili) koi se vo ramnote`a. Zna~i, otkoga e definirana ramnote`ata na nosa~ot, ponatamu treba da se prou~i {to se slu~uva vo karakteristi~nite preseci po dol`ina na nosa~ot pod dejstvotot na zadaden sistem od aktivni i soodvetniot vramnote`en sistem na reak-tivni (pasivni) sili. Za taa cel se koristi metodot na preseci pri {to elementot zamisleno se "se~e" so preseci upravni na oskata na nosa~ot vo to~kite kade {to e zna~ajno da se opredelat vnatre{nite sili. Ako eden nosa~ e vo ramnote`a, toga{ vo ramnote`a e i sekoj negov prese~en del, leviot ili desniot. Za da mo`e da se ilustrira na~inot, odnosno procedurata na opredeluvawe na vnatre{nite tovari vo konstruktivnite elementi, najednostavno e da se razgleduva slobodno osloneta greda tovarena so koncentrisani sili F 1 i F 2, 123

16 Sl.26a. Reaktivnite golemini Ah, Au i V, mo`e da se opredelat analiti~ki ili grafi~ki so koristewe na soodvetnite uslovi za ramnote`a, Sl.26b. Nosa~ot so eden zamislen presek S-S, se se~e na dva dela, pri {to dejstvoto na silite od edniot del se prenesuva na drugiot otse~en del. Silata koja{to vo nekoj presek se prenesuva od eden del na drug, pretstavuva rezultanta na site sili levo ili desno od presekot. Konkretno ako se nabquduva presekot S, beskrajno blisku desno, toga{ vlijanieto na silite Ah, Au i F 1, koi deluvaat na leviot otse~en del, se zamenuvaat so rezultantata R levo c, Sl.26a, koja ja se~e oskata na nosa~ot vo to~kata D. Poznato e deka daden sistem na sili vo ramnina mo`e da se zameni so ekvivalenten sistem koj se dobiva so redukcija na rezultantata na tie sili vo odnos na izbrana to~ka. Zatoa dejstvoto na rezultantata R levo c mo`e da se zameni so nejzinata redukcija vo odnos na te`i{teto na popre~niot presek vo presekot S desno, Sl.26v. Spored ova dejstvoto na nadvore{nite sili koi deluvaat levo od presekot se sveduvaat na rezultanta R levo c so napadna to~ka vo te`i{teto na presekot S i na eden moment M levo levo. c = R c a, koj pretstavuva algebarski zbir na stati~kite momenti na site nadvore{ni sili koi deluvaat levo od presekot. Ako sega se razgleduva leviot del od presekot vlijanieto na silite F 2 i V od desniot otse~en del se zamenuva so rezultantata R desno c, reducirana vo presekot S, beskrajno blisku levo. So redukcijata se dobiva rezultanta sili i redukcionen moment, koi imaat ist intenzitet, a sprotivna nasoka od nasokite na rezultantata i momentot na leviot otse~en del, taka {to tie me u sebe se vramnote`uvaat: R r r r r = A + A + F1 (21) r R levo c x r r y r desno levo c = B + F2 = Rc (22) odnosno M c levo = M i M = M (23) c desno c levo c desno Rezultanta R levo c, odnosno R desno c, koja dejstvuva vo te`i{teto na popre~niot presek vo S, se razlo`uva na dve komponenti: levo levo 1) Edna komponenta N c = Rc cosα, koja se poklopuva so oskata na nosa~ot i koja se nare~uva aksijalna sila ili nadol`na sila i dejstvuva normalno na povr{inata na popre~niot presek po dol`ina na nosa~ot. levo levo 2) Komponenta T c = Rc sinα, koja e upravna na oskata na nosa~ot i se nare~uva transverzalna sila ili popre~na sila. levo desno 3) Momentot M c, odnosno M c se nare~uva moment na svitkuvawe ili napaden moment. 124

17 Zna~i vo bilo koj proizvolen presek, na rastojanie h od koordinatniot po~etok, po dol`inata na gredata, dejstvoto na nadvore{nite sili levo odnosno desno od presekot, se sveduva na napaden moment, transverzalna i aksijalna sila. Ovie golemini se nare~uvaat i vnatre{ni stati~ki golemini. Ovie vnatre{ni stati~ki golemini predizvikuvaat i soodvetno dejstvo na popre~niot presek. Napadniot moment ili momentot na svitkuvawe, vr{i svitkuvawe na nosa~ot. Transverzalnata sila predizvikuva smolknuvawe, odnosno prese~uvawe na nosa~ot, dodeka aksijalnata sila te`i da go skrati ili izdol`i nosa~ot. Posle razjasnuvaweto na poimot za vnatre{nite stati~ki golemini va`no e da se dadat i to~nite definicii za sekoja od niv: (1) Momentot na svitkuvawe ili napadniot moment M vo proizvolen presek po dol`inata na eden nosa~ e algebarski zbir na stati~kite momenti na site sili levo ili desno na presekot vo odnos na te`i{teto na povr{inata na popre~niot presek. Napadniot moment za silite levo od presekot e pozitiven ako vrti vo nasokata na ~asovata strelka, a negativen ako vrti obratno od ~asovata strelka. Napadniot moment, pak, od site sili desno od presekot e pozitiven ako vrti obratno od nasokata na ~asovata strelka, a negativen ako vrti vo nasoka na ~asovata strelka (Sl. 27(a)). Spored ovaa definicija, napadniot moment vo presekot S-S za nosa~ot na slika 26 b, }e bide: levo M c = A x F ( x a) y 1 ( ) ( ) Mc desno = B l x F2 sinα 2 a2 x (24) sl Definirawe na znakot na napaden moment M Nezavisno od toa od koja strana e opredelen, napadniot moment vo presekot S-S mora da ima ista vrednost, odnosno: M c = M c levo = Mc desno (25) (2) Transverzalnata sila vo proizvolen popre~en presek na nosa~ot ednakva e na algebarskiot zbir na site sili upravni na oskata na nosa~ot, levo ili desno od presekot. Za delot na nosa~ot levo ili desno od presekot, transverzalnata sila e pozitivna ako vrti vo nasoka na ~asovata strelka, a negativna ako vrti obratno od nasokata na strelkata na ~asovnikot. 125

18 Sl Definicija i znak transverzalnata sila na proizvolen presek Transverzalnata sila vo presekot S-S od nosa~ot na Sl.26b, se dobiva kako suma od site vertikalni sili levo ili desno na presekot, bidej}i oskata na nosa~ot e horizontalna linija: T c levo = A F y 1 desno T c = B+ F2 sinα 2 (26) Ako razgleduvaniot nosa~ e vo ramnote`a, toga{ intenzitetot na transverzalnata sila levo i desno od presekot e ista. T c levo = Tc desno (27) (3) Ako na nosa~ot dejstvuvaat kosi sili, toga{ vo sekoj popre~en presek se javuvaat i sili koi{to se poklopuvaat so pravecot na oskata na nosa~ot, t.e., se javuvaat aksijalni sili. Aksijalnata sila vo eden proizvolen presek od nosa~ot e ednakva na algebarskiot zbir na site sili vo pravecot na oskata na nosa~ot, levo ili desno od presekot (sl.29v). Aksijalnata sila e pozitivna ako na presekot dejstvuva na zategnuvawe (sl.29a), a negativna ako dejstvuva na pritisok, odnosno te`i da ja namali dol`inata na zamisleno otse~eniot del (sl.29b) Sl Definicija i znak na aksijalna sila Vrz osnova na vaka definiranite postavki za transverzalnata sila, napadniot moment i aksijalnata sila, mo`no e da se opredelat goleminite na istite vo karakteristi~nite preseci po dol`inata na prostite i slo`enite polni nosa~i. Grafi~kata prezentacija na promenata na stati~kite golemini po dol`inata na nosa~ot, se vr{i so konstruirawe na nivnite dijagrami. Vo ovie 126

19 dijagrami apscisite ja opredeluvaat polo`bata na presekot, a ordinatite goleminata na soodvetnata stati~ka golemina i zatoa se vikaat u{te i dijagram na transverzalna sila, dijagram na napaden moment i dijagram na aksijalna sila. Pri re{avaweto na problemite vo grafostatikata, bitno e da se najde presekot dol` nosa~ot, vo koj ovie stati~ki golemini gi dostignuvaat svoite ekstremni vrednosti, (Tmax, Mmax i Nmax). Opredeluvaweto na transverzalnata sila, napadniot moment i aksijalnata sila se vr{i analiti~ki i grafi~ki. Pri analiti~koto opredeluvawe na stati~kite golemini, koordinatniot sistem se izbira, taka {to apscisnata oska h se poklopuva so oskata na nosa~ot, a koordinatniot po~etok voobi~aeno e da se poklopuva so zglobot na levoto le`i{te Zavisnost pome u tovarite, transverzalnata sila i napadniot moment Kako {to ve}e se konstatira vo sekoj presek od poln liniski nosa~, vo zavisnost od tipot na tovarite se javuvaat i soodvetnite stati~ki golemini. Vrz osnova na prezentiranite definicii za stati~kite golemini se poka`a deka silite koi dejstvuvaat normalno na oskata na nosa~ot predizvikuvaat transverzalni sili i napadni momenti, a silite {to dejstvuvaat vo pravec na oskata na nosa~ot predizvikuvaat aksijalni sili. Zna~i, transverzalnata sila i napadniot moment vo nekoj presek zavisat od tovarot koj {to dejstvuva na nosa~ot. Za da se dobie me usebnata zavisnost na transverzalnata sila i napadniot moment, najednostavno e da se definira ramnote`ata na eden elementaren del od nosa~ot so dol`ina dx (Sl.30b). Poznato e deka ako nosa~ot e vo ramnote`a, toga{ vo ramnote`a e i sekoj negov prese~en del. Ako pak prese- Sl Zavisnost pome u T i M: (a)nosa~; (b) elementaren del so dol`ina dx ~eniot elementaren del dx se izdvoi od nosa~ot toga{ mora dejstvoto na sekoj otstranet del, leviot i desniot, da se zameni so soodvetni stati~ki vlijanija. Na ovoj na~in na elementarniot del dejstvuvaat, od leviot prese~en del na nosa~ot, transverzalna sila T x i napaden moment M x, a dodeka od desniot prese~en del od gredata, transverzalna sila T x + dt x i napaden moment M x + dm x. 127

20 Pokraj ovie stati~ki golemini na elementarniot del dejstvuva i silata df q = q x. dx od kontinuiraniot tovar {to dejstvuva na elementarniot del dx od nosa~ot. Od uslov za ramnote`a na prese~eniot del se dobiva: ΣY = 0; T x - q x. dx - (T x + dt x ) = 0 dtx dx = q (28) x Od ovaa relacija proizleguva deka: prviot izvod na transverzalnata sila po apcisata h e ednakov na intenzitetot na kontinuiraniot tovar, vo presekot na rastojanie h, so sprotiven znak. Od analiti~kiot uslov za ramnote`a ΣM c' = 0, vo odnos na momentnata to~ka C' vo te`i{teto na presekot na elementarniot del dx, se dobiva: ΣM c' = 0; M x + T x. dx - q x. dx. dx/2 - (M x +dm x ) = 0 (29) Vo ovaa ravenka vlijanieto od podeleniot tovar q x. dx 2 /2 e golemina od vtor red i bidej}i ima beskone~no mala vrednost se zanemaruva (q x. dx 2 /2 = 0). Kone~no od relacijata (29) se dobiva deka; prviot izvod na napadniot moment po apcisata h e ednakov na transverzalnata sila vo presekot na rastojanie h. dm x = T (30) x dx Ako ravenkata (30) se diferencira u{te edna{ se dobiva deka: Vtoriot izvod na napadniot moment vo nekoj presek od nosa~ot e ednakov na prviot izvod na transverzalnata sila vo istiot presek, odnosno ednakov e na intenzitetot na podeleniot tovar so obraten znak. 2 d M 2 dx = dtx dx = q x (31) Od izvedenite relacii pome u tovarot, transverzalnata sila i napadniot moment vo nekoj presek na nosa~ot mo`no e da se izvle~at slednite nekolku zaklu~oci: (1) Zakonot za promena na transverzalnata sila vo nekoj presek e prv izvod od zakonot (odnosno ravenkata) na napadniot moment za istiot presek, dodeka zakonot za promena na tovarot pretstavuva vtor izvod od ravenkata na napadniot moment. Taka ravenkite na tovarot, transverzalnata sila i napadniot moment me usebe se razlikuvaat za po eden stepen. Primerno, ako na gredata dejstvuva ramnomerno podelen tovar q (x) =const., koj {to e od nulti stepen, toga{ ravenkata na transverzalnata sila e od prv red (nakloneta prava linija), dodeka ravenkata na napadniot moment e od vtor red, kvadratna parabola. q (x) = const; T (x) = f(x) - nakloneta prava linija; M (x) = f(x 2 )-kvadratna parabola. 128

21 Ako na nosa~ot dejstvuvaat samo koncentrisani sili, {to zna~i deka nema kontinuiran tovar (q x = 0), toga{ od relacijata (28) sleduva deka izvodot na transverzalnata sila po apcisata h e ednakov na nula, dtx = 0. Ova zna~i deka dx ravenkata na transverzalnata sila e od nulti red, taka {to vrednosta na transverzalnata sila vo nekoj presek me u dve koncentrisani sili e konstanta (T x = const), i grafi~ki vo dijagramot se pretstavuva so prava linija paralelna so oskata h. Ravenkata za napadniot moment e od prv red, odnosno nakloneta prava linija. (2) Maksimalnata vrednost na napadniot moment e vo presekot kade {to prviot izvod na momentot po apcisata e ednakov na nula, odnosno vo presekot kade {to transverzalnata sila ima vrednost nula. M = M max za x=x max dm dx = 0 ; T (x) = 0 (31) Uslovot T (x) = 0 za opredeluvawe na mestoto na maksimalniot moment va`i i za nosa~i tovareni so koncentrisani sili, bidej}i istiot se javuva tamu kade {to transverzalnata sila go menuva znakot i so skok ja presekuva apcisata h. (3) Vrednosta na napadniot moment vo nekoj presek h e ednakva na povr{inata na dijagramot na transverzalnata sila pome u koordinatniot po~etok i presekot h, {to proizleguva od ravenkata (30) od koja se dobiva: dm dx x = T dm = T dx (33) x x 9.6. Prosta greda Prosta greda e liniski nosa~ koj se sostoi od edna kruta plo~a slobodno osloneta na edno nepodvi`no i edno podvi`no le`i{te i koj za vertikalni tovari ima vertikalni reakcii, Sl Vo praksata naj~esto se koristi prosta greda so horizontalna oska i od teoriski aspekt toa pretstavuva eden od osnovnite nosa~i. Istata mo`e da bide tovarena so najrazli~ni vidovi na tovari pri {to za definirawe na ramnote`ata }e se koristat osnovnite postavki izvedeni do sega, koi }e bidat ilustrirani na soodvetni primeri prosledeni vo narednite paragrafi. Sl Prosta greda 129

22 Prosta greda tovarena so vertikalni koncentrisani sili Koga prostata greda kako liniski nosa~ e tovarena so vertikalni koncentrisani sili, toga{ vo to~kite na ) potpiraweto, le`i{tata A i V (Sl.30.1a), se javuvaat vertikalni reakcii koi imaat sprotivna nasoka od nasokata na dejstvoto na silite. Istite se opredeluvaat na ve}e definiraniot na~in so koristewe na osnovnite analiti~ki uslovi za ramnote`a. ) Ispituvaweto na ramnote`ata na vaka tovareniot nosa~, osven opredeluvaweto na otporite na osloncite, podrazbira i re{avawe, odnosno definirawe na zakonite na ) promenata na vnatre{nite stati~ki golemini (napadni momenti i transverzalni sili) i nivna grafi~ka prezentacija so pomo{ na soodvetnite dijagrami. Zakonot za promena na Sl Dijagram na vnatre{ni stati~ki golemini transverzalnite sili i napadniot moment vo proizvolniot presek S-S na rastojanie h od leviot oslonec A, spored ve}e iznesenite definicii za vnatre{nite stati~ki golemini (ako se nabquduva leviot prese~en del), se definira so slednite reakcii: T x = A - F 1 - F 2 (34) M x = A x - F 1 (x-a 1 ) - F 2 (x-a 2 ) (35) Na ovoj na~in, mo`no e da se definira promenata na transverzalnata sila i napadniot moment za site karakteristi~ni preseci po dol`inata na gredata, a potoa, da se konstruiraat i nivnite dijagrami. Primenuvaj}i gi osnovnite postavki za opredeluvawe na trasverzalnata sila vo eden presek, zakonite na promena na istite vo oddelni delovi me u koncentriranite sili se pretstaveni so slednite ravenki: (od silite levo od presekot ) A - S l : T (l) = A S d - D l : T (l) = A - F 1 D d - E l : T (l) = A - F 1 - F 2 = T h 130

23 (od silite desno od presekot ) E l - V : T (d) = - V T (l) = T (d) Vrz osnova na ovie zakoni i ravenkata za Th za proizvolen presek (34) (h) mo`e da se konstatira deka transverzalnata sila me u dve koncentrisani sili ima konstantna vrednost. Presmetanite vrednosti na transverzalnata sila vo sekoj karakteristi~en presek potoa, se nanesuvaat (grafi~ki) kako ordinati upravno na oskata na nosa~ot, konstruiraj}i go na toj na~in dijagramot na Sl.32b. Od dijagramot na transverzalnite sili mo`e da se konstatira slednoto: 1. Zakonot na promena na transverzalnata sila za koj i da e presek e od nulti red, odnosno vrednostite na transverzalnata sila pome u dve napadni to~ki od koncentriranite sili e konstantna. 2. Vrednosta na transverzalnata sila vo sekoj presek pod koncentriranite sili se menuva so skok, {to uslovuva linijata na transverzalnata sila vo dijagramot da ima skalesta forma. 3. Zbirot na site "skokovi" mora da bide ramen na zbirot na reakciite {to uslovuvaat "T" dijagramot da bide zatvoren. Ekstremnite vrednosti na transverzalnata sila se javuvaat vo to~kite na potpiraweto i se ednakvi na reakciite A i V. Preminuvaweto na transverzalnata sila od pozitivna vo negativna vrednost, e pod edna od koncentriranite sili so skok preku nula (pod sila F 2 na Sl.32b). Promenata na napadnite momenti vo karakteristi~ni preseci po dol`inata na nosa~ot e definirana so soodvetnite zakoni, odnosno ravenki, dobieni so primena na definicijata za napaden moment vo eden presek. Za dadeniot primer (Sl.32a) promenata na napadniot moment e ednozna~no definirana so relaciite za pooddelnite delovi me u koncentriranite sili, od site sili levo ili desno od presekot: A - S : M (l) = A. h ( 0 x a 1) S - D: M (l) = A. h - F 1 (h-a 1 ) ( a1 x a2) ili M (l) = A. (h+a 1 ) - F 1 h ( x c ) 0 1 D - E : M (l) = A. h - F 1 (h-a 1 ) - F 2 (h-a 2 ) ( a x a ) 2 3 ili M (l) = A. (h+a 2 ) - F 1 (a 2 -a 1 +h)- F 2 h ( x c ) (od silite desno od presekot ) 0 2 E - V : M (d) = + V(l -x) ( a3 x l) ili M (d) = V(b 3 -x) ( x b ) 0 3 So zadavawe na po~etnata i krajnata vrednost na apcisata za sekoja delnica me u koncentrisanite sili se dobiva i goleminata na napadniot moment vo karakteristi~nite to~ki dol` nosa~ot: h = 0 M A = 0 h = a 1 M C = A. a 1 h = a 2 M D = A. a 2 - F 1 (a 2 - a 1 ) 131

24 h = a 3 M E = A. a 3 - F 1 (a 3 - a 1 ) - F 2 (a 3 - a 2 ) x = l M B = 0 [knm] Vrz osnova na vaka presmetanite golemini se konstruira dijagram na napadnite momenti so slednite karakteristiki: 1. Zakonot na promena na napadniot moment na delot od gredata me u dve koncentrirani sili e od prv red i grafi~ki se pretstavuva so nakloneta (kosa) prava linija. 2. Dijagramot na napadni momenti ima poligonalna forma so prekr{uvawe pod koncentrisanite sili. 3. Napadniot moment e pozitiven po celata dol`ina na nosa~ot. 4. Agolot α na naklonot na kosite pravi linii na delot pome u dve koncentrirani sili se dobiva kako prv izvod od ravenkata na napadniot moment po apcisata (h) za soodvetnata delnica: dm x d tgα = = dx dx Ax F x + F a F x + F a = A F F = T ( levo) ( ) x (35) Ovaa relacija poka`uva deka tgα }e bide pozitiven ako transverzalnata sila vo presekot ima pozitivna vrednost. Ova zna~i deka so porastot na apcisata (h) }e raste i napadniot moment se dodeka transverzalnata sila T(h) ima pozitivna vrednost. Sprotivno na ova, napadniot moment }e se namaluva so rasteweto na apcisata (h), ako transverzalnata sila bide negativna. Tokmu zatoa, maksimalniot napaden moment se javuva pod edna od koncentriranite sili i toa vo presekot, kade transverzalnata sila go menuva znakot od pozitiven vo negativen i so skok ja se~e apcisata, odnosno oskata na nosa~ot. Aksijalnite sili, ili silite vo pravec na oskata na nosa~ot se ednakvi na nula bidej}i na gredata dejstvuvaat samo vertikalni sili, odnosno koncentrirani sili upravni na oskata na nosa~ot koi predizvikuvaat samo promena na transverzalnite sili i napadnite momenti dol` nosa~ot Prosta greda tovarena so kosi i vertikalni koncentrisani sili Ispituvaweto na ramnote`ata na prostata greda tovarena so kombinacija od kosi i vertikalni koncentrisani sili se sveduva na slu~ajot so vertikalni sili bidej}i so razlo`uvawe na kosite sili na komponenti po apcisnata oska (horizontalna sila) i po ordinatnata oska (vertikalni sili) se dobiva sistem od horizontalni i vertikalni sili. Horizontalnite komponenti od kosite sili dejstvuvaat vo pravec na oskata na gredata, aksijalno, i nemaat nikakvo vlijanie vrz promenata na transverzalnite sili i napadnite momenti po dol`ina na nosa~ot. Kako {to e ve}e poznato, vo nepo-dvi`noto le`i{te od nosa~ot se javuva kosa reakcija A, ~ija {to horizontalna kompo-nenta A h e ednakva na zbirot na horizon-talnite komponenti od kosite sili. Spored prviot uslov za ramnote`a: ΣX = 0 se dobiva: 132

25 ΣX = 0; A x - F 1x - F 2x = 0 A x = F 1x + F 2x (36) Taka vo sekoja oddelna delnica me u kosite sili F 1 i F 2, osven transverzalni sili se javuvaat i aksijalni sili koi se ednozna~no opredeleni so definicijata na aksijalnata sila vo eden proizvolen presek na rastojanie h po dol`ina na nosa~ot. ( levo) N ( ) = A F x x + 1 xili ( desno) N ( x) = F 2 (36) x Sl Dijagram na vnatre{ni stati~ki golemini Vrz osnova na ovoj op{t zakon, se definiraat i zakonite na promena na aksijalnata sila vo karakteristi~nite preseci: A - S l : N (l) = -A h S d -D l : N (d) = -F 2x {to zna~i deka vo presekot beskrajno blisku desno od to~kata S i od to~kata D se javuva skok vo dijagramot na aksijalnite sili. N cd = -A x + F 1x = -F 2x N Dd = 0 [kn] Grafi~kata prezentacija na zakonot na promenata na aksijalnite sili, (Sl.33g), poka`uva deka na delovite me u koncentriranite horizontalni sili aksijalnata sila e konstantna, a pod samite kosi koncentrirani sili se javuvaat skokovi vo dijagramot. Dijagramot na transverzalnite sili Sl.33b, i na napadnite momenti Sl.33v, se opredeleni vrz osnova na dejstvoto na vertikalnite sili vo karakteristi~nata to~ka. Pri konstrukcija na dijagramot na transverzalni sili, voobi~aeno e silite - ordinatite da se nanesuvaat vo nasoka na dejstvoto na silite i toa taka {to pozitivnata transverzalna sila se nanesuva nad horizontalnata oska, a negativnata pod horizontalnata oska. 133

26 Site aksijalni sili na zategnuvawe se pozitivni i po dogovor, mo`e da se nanesuvaat isto kako i transverzalnite sili nad oskata, a aksijalnite sili na pritisok se negativni i se nanesuvaat od obratnata strana Prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar Ramnomerno podeleniot tovar e naj~est vid na tovar {to deluva na elementite od konstrukciite. Voobi~aeno, gredite se dimenzioniraat vrz osnova na tovarite od sopstvenata te`ina i od korisniot tovar. Tovarot od sopstvena te`ina deluva po celata dol`ina na gredata, a dodeka korisniot tovar mo`e da bide rasporeden sparcijalno na del od nea. Na Sl.34 prika`an e slu~aj na tovarewe na prosta greda so ramnomerno raspredelen tovar na del od nejzinata dol`ina. Reakciite vo to~kite na potpiraweto se opredeluvaat so primena na analiti~kite uslovi za ramnote`a. Ramnomerno podeleniot tovar, samo za presmetuvawe na reakciite, mo`e da se aproksimira so koncentrisana sila F q =qb so napadna to~ka vo te`i{teto na povr{inata na optovaruvaweto. ΣM B = 0; A l q b( c + b 2 ) = 0 1 b A = qb c + l 2 (37) ΣM A = 0; B l + q b( c + b 2 ) = 0 1 b B = qb a + l 2 (38) Sl Prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar na opredelena dol`ina Ako e zadovolen ramnote`niot uslov, zbirot na site vertikalni tovari, aktivni i reaktivni, da e ednakov na nula: ΣY=0; A + B - q. b=0, toga{ vo ramnote`a e i sekoj prese~en del od gredata, {to e preduslov za opredeluvawe na stati~kite golemini. Transverzalnata sila dol` rasponot na gredata se menuva onaka kako {to se menuva i vidot na optovaruvaweto. Na delot od A-S transverzalnata sila e konstantna so vrednosta ednakva na reakcijata vo potporot A: A - S: T=A Istoto va`i i za delot od gredata me u desniot potpor i krajot na podeleniot tovar, bidej}i desno od presekot deluva samo reakcijata V koja predizvikuva negativna transverzalna sila: D - V: T= -V 134

27 Me utoa za optovareniot del od gredata, me u to~kite S i D, vo nekoj proizvolen presek na rastojanie h od leviot potpor, deluvaat samo dve vertikalni sili i toa reakcijata A i silata F q x =q(x-a). Primenuvaj}i ja definicijata za transverzalna sila vo eden proizvolen presek se dobiva slednata ravenka: C - D T (x) levo = A - q( x - a) a < x < (a+b) (39) Ovaa ravenka e od prv red i pretstavuva kosa prava linija. Ekstremnite vrednosti na transverzalnata sila na ovoj del se nao aat za x=a i x=a+b i toa: za x=a T S =A; za x=a+b T D =-B Mestopolo`bata na nultata vrednost na transverzalnata sila se dobiva od uslovot: h=h max T (h) =0 odnosno T (x) = A - q( x - a)= 0 (40) od kade sleduva: h mah =A/q+a (41) Vrz osnova na vrednostite na transverzalnite sili vo site karakteristi~ni to~ki e konstruiran dijagramot na transverzalnite sili. Ovoj dijagram e sostaven od tri dela (Sl.34b). Na delot od nosa~ot kade {to transverzalnite sili se konstantni, dijagramot e pretstaven so pravi paralelni so apcisnata oska pomesteni za vrednosta na transverzalnata sila vo potporite A i V. Linijata na transverzalnata sila me u to~kite S i D definirana so ravenkata T (x) = A - q( x - a), grafi~ki e prezentirana so nakloneta prava linija. Primenuvaj}i ja definicijata za napaden moment vo eden proizvolen presek n-n na rastojanie h od le`i{teto A na gredata i zemaj}i gi predvid silite levo od presekot, se dobivaat ravenkite za momentnata linija vo sekoj karakteristi~en del od nosa~ot. Na delot od gredata pome u le`i{teto A i po~etokot na ramnomerno podeleniot tovar, zna~i dol` rastojanieto a, kako i dol` rastojanieto s, promenata na momentot na svitkuvawe e linearna, bidej}i po definicija se dobivaat slednive relacii: A - C M = A. x 0 x a B - D M = B. x 0 x b (vo ovoj del apcisata ima sprotivna nasoka od V kon D). Za proizvolniot presek n-n, na optovareniot del na gredata, zakonot na promena na momentot e definiran so ravenkata: C - D ( ) ( ) M A x q x a x a A x q x a x = = (42) kade e: Fqx = q( x a) - intenzitet na ramnomerno podeleniot tovar levo od presekot n-n, a x a - rastojanie na koncentrisanata sila F qx, so koja e zamenet 2 podeleniot tovar, do presekot n-n. 135

28 Ovaa ravenka na momentnata linija e od vtor red i pretstavuva edna kvadratna parabola. Maksimalnata ordinata na ovaa kriva linija, odnosno mestopolo`bata na maksimalniot moment, ili t.n. opasen presek na gredata, se javuva vo onoj presek, kade {to izvodot na ravenkata za momentnata linija e ednakov na nula, t.e. vo presekot kade {to transverzalnata sila ima vrednost nula: dm x = A q( x a) = tgα = 0 (43) dx dm dx x A = Tx = 0 x max = + a (44) q Spored toa vrednosta na maksimalniot moment e: ( ) M A x q x max a max = max 2 2 Grafi~ki zakonot za promena na momentot dol` nosa~ot e prezentiran so dijagramot na napadnite momenti (Sl.34v), koj na neoptovareniot del od nosa~ot e pretstaven so nakloneta linija (liniski zakon) so ekstremi vo to~kite na oslonuvawe i po~etokot, odnosno krajot na podeleniot tovar. Ovie liniski delovi me u sebe, dol` optovareniot del se povrzani so edna kriva linija definirana so trite karakteristi~ni ordinati so vrednost za x=a M c = A. a za x=b M d = B. b za x=x max =A/q+a M max qx = A x max ( a) max 2 2 Zaradi toa {to ramnomerno podeleniot tovar deluva vertikalno, vo gredata ne se javuvaat aksijalni sili. Ako ramnomerno podeleniot tovar dejstvuva po celata dol`ina na nosa~ot, Sl.35, toga{ nosa~ot e simetri~en, bidej}i a=s=0; b=l. Poradi simetri~nost na tovarot, reakciite vo le`i{tata A i V se ednakvi me u sebe i iznesuvaat: A B q l = = 2 Sl Prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar po celata dol`ina Promenata na transverzalnata sila e definirana samo so eden zakon za proizvolniot presek n-n na rastojanie h od oslonecot A: q l A - B T( x ) = A q x = q x 2 136