Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na prostorni liniski sistemi

Transcript

1 Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... UDK Elizabeta HRISTOVSKA Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na prostorni liniski sistemi APSTRAKT Vo ovoj trud dadeni se teoretskite osnovi za globalna analizata na re[etkastata konstrukcija na nose~kite konzoli (streli) na rotira~kite bageri. Trudot ja prezentira i matemati~kata metodologijata za matri~na analiza na ovie konstrukcii, sveduvaj]i gi na prostorni liniski sitemi. Pokraj ova, trudot uka`uva na potrebata od kompjuterska analiza na vakvite konstrukcii i dava nasoki za nejzina primena.. Teoretski osnovi P ri analiza so matri~nite metodi koi se koristat vo konstruktivnata praksa, re[etkastata konstrukcija na bager se razgleduva kako zbir na konstruktivni elementi me\usebno povrzani vo jazolni to~ki - jazli. Elementite nezavisno od nivniot oblik mo`at da bidat edno, dvo ili tridimenzionalni. Re[etkastata konstrukcija na konzolite (strelite) na bagerot se analizira so ednodimenzionalni kone~ni elementi. Kaj ednodimenzionalnite (liniski) elementi se razlikuvaat dva tipa: stapovi i gredi. Stapovite imaat zglobovi na dvata kraja, pravoliniska oska i vo niv se javuva samo aksijalna sila. Osnovnata cel na analizata na konstrukcijata na konzolite na bagerite e opredeluvawe na nivnata deformaciona i naponska sostojba poradi izlo`enost na dadeni optovaruvawa, pri [to se koristat tri uslovi: - ramnote`a na silite - konstrukcijata razgleduvana kako celina mora da bide vo ramnote`a pod dejstvo na optovaruvawata i reakciite; Docent d-r dipl. ma{. in`. Prilozi (Contributions) ¼¼, 3, 3 4 5

2 Elizabeta Hristovska - kompatibilnost na deformaciite - toa zna~i deka pomestuvawata na kraevite na sekoj element mora da bidat kompatibilni so pomestuvawata na jazlite [to gi povrzuvaat; - Hukoviot zakon koj gi povrzuva silite so deformaciite, odnosno pomestuvawata. Vo zavisnost od redosledot na primena na uslovite za ramnote`a i kompatibilnost mo`e da se klasificiraat i metodite za analiza. Ako prvo se primenat uslovite za ramnote`a, a potoa za kompatibilnost, analizata se sproveduva po metodot na sili ili metodot na fleksibilnost odnosno poretko metodot na kompatibilnost. Metodot kaj koj prvo se primenuvaat uslovite za kompatibilnost, a potoa uslovite za ramnote`a se vika metod na deformacii ili metod na krutost odnosno poretko metod na ramnote`a. Pri analiza na konstrukciite po klasi~niot pristap metodot na sili ima mnogu ~esta primena. Kako nepoznati vo analizata se sili koi po nivnoto opredeluvawe slu`at za kone~no odbirawe na dimenziite na elementite i kontrola na naponskata sostojba, dodeka pomestuvawata ~esto ne se od poseben interes. Matri~nata formulacija na metodot na sili ne e e tolku prilagodliva za kompjuterska programa kako [to e metodot na deformacii. Metodot na deformacii pri kompjuterskata matri~na analiza na konstrukciite e osnova na kompjuterskite programi za analiza na konstrukciite. Vo metodot na deformacii kako nepoznati se javuvaat pomestuvawata na jazlite i sistemot algebarski ravenki od koi tie se opredeluvaat gi pretstavuvaat uslovite za ramnote`a. Ovoj metod koristi diskretizacija na konstrukcijata i nejzinata matrica na krutost e sostavena od matricite na krutost na oddelnite elementi. Vo zavisnost od metodot [to se primenuva za analiza na konstrukcijata, postojat dva tipa neopredelenost. Ako kako nepoznati vo analizata se usvojat sili ([to e slu~aj vo metodot na sili) neopredelenosta e stati~ka, dodeka ako nepoznatite se deformacii (vo metodot na deformacii) neopredelenosta e kinemati~ka. Pod stati~ka neopredelenost se podrazbira brojot na nadvore[nite ili vnatre[nite sili [to treba da se oslobodi od sistemot so cel toj da se preobrazuva vo stabilen stati~ki opredelen sistem. Vo procesot na osloboduvawe od silite se otstranuvaat soodvetnite vrski i taka dobieniot sistem se vika osnoven stati~ki opredelen sistem, a oslobodenite sili se zamenuvaat so identi~ni na niv nepoznati - prekubrojni. 5 Prilozi (Contributions) ¼¼, 4, 3 4

3 Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... Vo metodot na deformacii pomestuvawata na jazlite se razgleduvaat kako stepeni na sloboda i ako se tie poznati konstrukcijata e opredelena. Osven vo retki slu~aevi koga samo eden del od pomestuvawata na jazlite e poznat (obi~no toa se jazlite kade [to se vovedeni uslovite na potpiraweto). Vo drugiot del od jazlite pomestuvawata se nepoznati i tie se tretiraat kako kinemati~ki golemini i se vikaat kinemati~ki prekubrojni. Nivniot broj go opredeluva brojot na stepeni na sloboda na jazlite odnosno brojot na kinemati~kata neopredelenost na konstrukcijata. Analizata na kinemati~ki neopredelenite sistemi se sproveduva po osnoven kinemati~ki opredelen sistem koj se dobiva od zadadeniot. O~igledno e deka najednostaven kinemati~ki opredelen sistem se dobiva ako se spre~at pomestuvawata na site jazli, odnosno tie da bidat ednakvi na nula. Analizata na prostornite liniski sistemi na re[etkastite konzoli na rotira~kite bageri vo celost ja sledi postapkata na analiza na liniskite sistemi vo ramnina. Zemaweto predvid na tretata dimenzija voveduva promena samo vo matricata na krutost (fleksibilnost) na elementite, kako i vo matricite na transformacija. Metodot na deformacii skoro i redovno se koristi pri analiza na ovoj vid na konstrukcii. Postapkata pri analiza na prostornite liniski sistemi se sostoi od slednite fazi na analizata:. Se formira osnoven kinemati~ki opredelen sistem.. Konstrukcijata se diskretizira na elementi. 3. Se presmetuvaat matricite na krutost na elementite po lokalnite oski. 4. Ovie matrici se transformiraat po globalnite oski. 5. Se formira matrica na krutost na sistemot (po globalnite oski) od matricite na krutost na elementite. 6. Se opredeluva vektorot na optovaruvawa. Ako na konstrukcijata pokraj jazolnite optovaruvawa se prilo`eni i optovaruvawa po elementite, se opredeluvaat silite vo elementite vo f, a potoa ekvivalentnite jazolni tovari. Opredelenite jazolni optovaruvawa po lokalnite koordinati se transformiraat vo globalnite i se formira vektor na optovaruvawata. F = K U se opredeluvaat pomestuvawata na sistemot koi se po globalnite koordinati. sostojba na osnovniot kinemati~ki opredelen sistem { } os 7. Re[avaj]i go sistemot { } [ ]{ } Prilozi (Contributions) ¼¼, 3,

4 Elizabeta Hristovska 8. Se identifikuvaat pomestuvawata na elementite koi se po globalnite oski. 9. Ovie pomestuvawa se transformiraat po lokalnite oski.. Silite vo elementite po lokalnite oski se dobivaat preku nivnite matrici na krutost i pomestuvawata vo lokalnite oski. Ako elementot e optovaren pome\u kraevite se dobivaat silite{ } os f.. Matemati~ka metodologija Matricite na krutost na karakteristi~ni tipovi na elementi se izveduvaat po metodot na edini~no pomestuvawe. Matricite na krutost se izveduvaat so direktna primena na ravenkata: T [ k] [ ] [ D][ B]dV = ε (.) V koja poradi odredeni specifi~nosti mo`e da se uprosti. Vo ovaa ravenka [ ε ] pretstavuva matrica na dilatacii predizvikani od edini~ni pomestuvawa δu i = i taa najednostavno se opredeluva so spre~uvawe na site stepeni na sloboda so isklu~oka na δu i koe e ednakvo na edinica, a matricata [ B ] gi opredeluva dilataciite od sukcesivno prilo`eni edini~ni pomestuvawa. Ako sistemot ili elementot [to go razgleduvame e kinemati~ki opredelen, matricite [ ε ] i [ B ] se identi~ni, a ako e neopre- B pa ravenkata (.) glasi: delen matricata [ ε ] mo`e da se zeme kako [ ] T [ k] [ B] [ D][ B]dV = (.) V B pret- Pri ednodimenzionalni konstrukcii matricite [ ε ] i [ ] stavuvaat vektori { ε } i { } B. [D] e matrica na elasti~nost na elementot ili matrica na elasti~ni koeficienti, [D]=E za liniskite elementi. Matricata na krutost na element stap vo prostor vo lokalni i globalni koordinati se dobiva direktno od matricata na krutost za greden element vo prostor. Elementot-stap ima po tri stepeni na sloboda (translacija) na sekoj kraj, odnosno vkupno [est stepeni na sloboda. Lokalnata oska na elementot x e po negovata oska, a orientacijata na y L i z L e bez zna~ewe za analizata so ogled na pretpostavkata 54 Prilozi (Contributions) ¼¼, 4, 3 4

5 Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... deka zglobovite na kraevite ovozmo`uvaat rotacija okolu koja bilo oska. Obi~no oskata z L e zgodno da se zeme horizontalna odnosno da le- `i vo ramninata x G z G, pri [to oskata y L le`i vo vertikalnata ramnina koja se opredeluva so x G z G. Na slika. e daden stap od re[etkast nosa~ vo prostor so koordinati po lokalnite i globalnite oski. Matricata na krutost na elementot vo lokalnite oski (sl..-a) se izveduva od matricata na krutost na greden element ili u[te poednostavno direktno od slikata prilo`uvaj]i edini~ni pomestuvawa na jazlite i vo pravec na x L oska so sprotivna nasoka. Taa e dadena so ravenkata (.3). Y G YL 5 X L ZL X G Z G a) YG XG Z G b) Sl.. Koordinati na element-stap vo prostor po lokalnite i globalnite oski Prilozi (Contributions) ¼¼, 3,

6 Elizabeta Hristovska [ ] k L = EA l (.3) Pri analiza na konstrukciite silite i pomestuvawata na kraevite na elementite najprvo se definiraat vo nivnite lokalni koordinatni sistemi. Za da mo`at da se vr[at potrebnite operacii tie se izrazuvaat po oskite na globalniot koordinaten sistem. Ovaa transformacija e samo vo vid na rotacija na oskite. Matricata koja vospostavuva relacija me\u sili i pomestuvawa vo lokalen i globalen koordinaten sistem se vika matrica na rotacija [R]. Matricata na rotacija na elementot [R] se dobiva od matricata na rotacija na greden element, ~ie opredeluvawe e poslo`eno i taa gi sodr`i kosinusite na pravcite (kosinusite na aglite pome\u lokalniot i globalniot koordinaten sistem). Bidej]i orientacijata na y L i z L e bez zna~ewe za analizata, tie mo`e da bidat odbrani taka [to agolot α e nula so [to ravenkata na matricata na rotacija na greden element za slu~aj na re[etkast nosa~ e dadena kako ravenka (.4). Alolot α e agol pome\u lokalnata i globalnata y, odnosno z oska. Cx Cy Cz Cx Cy Cy Cz Cx + Cy R = Cx + Cy Cx + Cy (.4) Cz Cx Cx + Cy Cx + Cy [ ] λ ( ) = cos cx = λ c y = λ cz = λ3 x L x G λ = cos ( L y G ) 3 = x cos λ ( x ) L z G 56 Prilozi (Contributions) ¼¼, 4, 3 4

7 Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... Matricata na transformacija na rotaciite na dvata kraja na elementot okolu oskata x L e vo oblik: [ ] [] R T = (.5) [] [ R] [ ] So zamena na ravenkata (.4) vo (.5), a potoa vo [k] G =[T] T [k] L [T] se dobiva matricata na krutost na elementot po globalnite koordinati izrazena samo preku kosinusite na pravcite: [ k] G Cx Cy Cx EA Cz Cx = l Cx Cy Cx Cz Cx Cx Cy Cy Cz Cy Cx Cy Cy Cz Cy Cx Cz Cy Cz Cz Cx Cz Cy Cz Cz Cx Cy Cx Cz Cx Cx Cy Cx Cz Cx Cx Cy Cy Cz Cy Cx Cy Cy Cz Cy Cx Cz Cy Cz Cz Cx Cz Cy Cz Cz (.6) Matricata na krutost na cela konstrukcija mo`e da se dobie od matri~nata ravenka : [ ] [ χ] T [ k] [ χ] K (.7) = S kade [ χ ] e matrica na transformacija na pomestuvawata na sistemot (konstrukcijata) vo pomestuvawa na elementite, i se dobiva od slednata ravenka: { u} [ χ]{ U} = (.8) kade { u} - e vektor na pomestuvawa na elementite, a { U} - vektor na pomestuvawa na konstrukcijata. Matricata [ k ] S e so slednive elementi: Prilozi (Contributions) ¼¼, 3,

8 [ k] S = [ k] Elizabeta Hristovska [ k] O [ k] n (.9) k, k... k se matrici na krutost na elementite na konstrukcijata. kade [ ] [ ] [ ] n Pri konstrukcii so pove]e elementi, [to e redoven slu~aj vo praktikata, formiraweto na matricata na krutost na sistemot od matricite na krutost na elementite po gorespomenatata postapka doveduva do te[kotii i e neracionalno. Pri ovie konstrukcii matricite χ e vkupniot broj koordinati na ele- [ χ ] i [ k ] S se golemi. Redot na [ ] mentite pomno`en so brojot na koordinati na sistemot, a na [ k ] S u[te pogolem - vkupniot broj koordinati na elementite na kvadrat. Za izvr[uvawe na matri~nite operacii po ravenkata (.7) ova uslovuva anga`irawe na golem prostor vo memorijata na kompjuterot i postavuva opredeleni barawa za negoviot kapacite. Pokraj ova matricite k sodr`at golem broj elementi nuli so koi potoa se vr[at [ χ ] i [ ] S obemni aritmeti~ki operacii, koi se sosema izli[ni. Zna~itelna redukcija vo prostorot na aritmeti~kite operacii pri formiraweto na matricata na krutost na sistemot se postignuva so direktno vnesuvawe na u~estvoto na oddelnite elementi vo krutosta na celiot sistem. Matricata na krutost na elementite mo`e da se podeli na ~etiri bloka (ravenka.) vo koi vo dijagonalnite se grupirani posebno koordinatite na edniot i drugiot kraj (i i j), a vo vondijagonalnite e izrazeno nivnoto me\usebno vlijanie. i j [ k] [ ] ii k ij k = i (.) j [ k] ji [ k] jj [ ] Ovie blokovi vo zavisnost od brojot na stepenite na sloboda na kraevite na liniskite elementi, mo`at da bidat od razli~en red. Za stap vo prostor tie se od red Prilozi (Contributions) ¼¼, 4, 3 4

9 Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... Metodot na kodni broevi pretstavuva nagleden na~in za direktno konstruirawe na matricata na krutost na sistemot. Ovoj proces se sostoi vo prefrlawe na blokovite na matricite na krutost na elementite [ k ], [ k]...[ k] n vo matricata na krutost na sistemot [K]. Ova prefrlawe e rakovodeno od korespodencijata na broevite na jazlite na kraevite na elementite i jazlite na sistemot so [to e i definirana polo`bata na elementite vo sistemot. Poradi kompliciranosta na idejata na ovaa postapka, taa se ilustrira samo na konkreten primer. (Postapkata e prezentirana vo bibliografska edinica [4]). Ako na elementite od konstrukcijata na nosa~ot na rabotniot organ na rotira~kiot bager-stapovite dejstvuvaat samo koncentrirani sili, analizata mo`e da se sprovede na voobi~aen na~in voveduvaj]i jazli i koordinati vo to~kite kade [to se tie prilo`eni. Me\utoa na ovoj na~in se zgolemuva redot na [F] i [K] [to anga`ira pogolem prostor vo memorijata na kompjuterot i mo`e da dovede do namaluvawe na to~nosta na rezultatite. Poradi toa, standardna postapka za tretirawe na optovaruvawa koi ne se po koordinatite na sistemot e nivna zamena so stati~ki ekvivalentni jazolni optovaruvawa. Osnovna ravenka vo metodata na deformacii e: { } [ K]{ U} F = (.) i taa pretstavuva sistem linearni algebarski ravenki, so ~ie re[evawe se dobivaat pomestuvawata na jazolnite to~ki na konstrukcijata, odnosno elementite na vektorot na pomestuvaweto po globalnite oski { U }. Transformacijata na pomestuvawata po lokalnite oski se vr[i po ravenkata (.8). Ravenkata za definirawe na naponskata sostojba na elementite na konstrukcijata e slednata: { } = [ D ]{ ε} = [ D]{ B}{ u} σ (.) bidej]i e { ε } = { B}{ u}, a [ ] E D =. Vrskata me\u dilatacijata ε i pomestuvaweto u vo jazolnite to~ki se vospostavuva so pomo[ na vektorot {B} so ravenkata: Prilozi (Contributions) ¼¼, 3,

10 Elizabeta Hristovska { } = { B}{ u} = { B, B,...,B }{ u} ε (.3) za konstrukcija so n elementi. Za opredeluvawe na vektorot { Br }, r =,...n, potrebno e da se opredelat modelite na pomestuvawata na elementot-stap od edini~ni pomestuvawa po koordinatite. { } { N oska na elementot} { oska na elementot} n B r = (.4) Za element stap vo prostor : = (.5) l { B} { } r r Silite vo elemetite od konstrukcijata (stapovite) po lokalnite oski se opredeluvaat od slednata ravenka: {f}=[k]{u} (.6) 3. Kompjuterska analiza Vo svetski ramki, vo upotreba se pove]e kompjuterski programi (softverski paketi) nameneti za sproveduvawe na matri~nata analiza na konstrukciite. Sproveduvaweto na algoritamot za analiza na re[etkastata konstrukcija na bager so nekoja od matri~nite metodi e usloven so koristeweto na kompjuter i kompjuterska programa. Op[tata koncepcija na analizata na konstrukcijata so kompjuterska programa mo`e da se sistematizira vo pet ~ekori:. Vlezni podatoci [to ja opi[uvaat konstrukcijata.. Formirawe ciklus po site elementi vo konstrukcijata. 3. Specificirawe na optovaruvawata prilo`eni vo jazlite i elementite vo lista vo koja pokraj brojot na tovarniot jazol se ispi[ani silite po soodvetnite stepeni na sloboda. 4. Opredeluvawe na pomestuvawata po koordinatite na sistemot od matri~nata ravenka { F } = [ K]{ U}. 5. Formirawe ciklus po site elementi vo konstrukcijata. 6 Prilozi (Contributions) ¼¼, 4, 3 4

11 Teoretski osnovi i matemati~ka metodologija za globalna analiza na... Sl. 3. Blok dijagram na kompjuterska programa za matri~na analiza na konstrukciite po metodot na deformacii Prilozi (Contributions) ¼¼, 3, 3 4 6

12 4. Koristena literatura Elizabeta Hristovska [] Jonuzovic, E. : Staticka analiza liniskih sistema pomocu racunara, Gradjevinska knjiga, Beograd, 986. [] Kalajdjic, M. : Metod konacnih elemenata, Biro za gradjevinarstvo, Beograd, 978. [3] Pocevski, A. : Teorija na konstrukciite, Skopje, 986. [4] Simon~e, V. : Matri~na analiza na konstrukciite, Skopje, 989. * Avtorot ne dostavi rezime na angliski jazik 6 Prilozi (Contributions) ¼¼, 4, 3 4