Drag u~eniku! Ovaa kniga }e ti pomogne da gi izu~i{ predvidenite sodr`ini za VIII oddelenie. ]e u~i{ novi interesni sodr`ini za sli~nost na figuri. ]e

Transcript

1 JOVO STEANOVSKI NAUM CELAKOSKI 00 Skopje

2 Drag u~eniku! Ovaa kniga }e ti pomogne da gi izu~i{ predvidenite sodrìni za VIII oddelenie. ]e u~i{ novi interesni sodrìni za sli~nost na figuri. ]e nau~i{ tehniki za re{avawe linearni ravenki i linearni neravenki, kako i za re{avawe na nekoi sistemi linearni ravenki. ]e gi pro{iri{ znaewata za linearnata funkcija i za geometriskite tela i nivnata plo{tina i volumen. Knigava e podelena na ~etiri tematski celini, a sekoja od niv e podelena na pottemi. Tematskite celini zapo~nuvaat so sodrìna, a nastavnite edinici vo niv se numerirani. Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnosti, obvrski i drugi sugestii, i toa: Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e poznato. Potseti se! Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa }e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata. A, B So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi (porcii) koi se odnesuvaat na novite poimi. So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata i zada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvojot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoa treba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{ i razbere{. Najbitnoto e oboeno so òlta boja, pri {to formulaciite na teoremite se vo portokalova ramka. Treba da znae{: Proveri se! Zada~i Obidi se!... Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa, zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da go koristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri. Ovoj del sodrì pra{awa i zada~i so koi moè{ da se proveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za da moè{ da go primenuva{ i koristi{ vo sekojdnevniot ìvot. Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i. So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bide od golema polza. Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovoj del (ova ne e zadolìtelno). So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei. PROVERI GO TVOETO ZNAEWE Na krajot od sekoja tema ima{ test od pra{awa i zada~i. Re{i go samostojno testot i so toa }e gi proveri{ tvoite znaewa od izu~enata tema. Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otkaùvaj se, obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo. ]e n raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~en uspeh. Od avtorite

3 TEMA. SLI^NOST PROPORCIONALNI OTSE^KI. Razmer me u dve otse~ki4. Proporcionalni otse~ki 8 3. Delewe otse~ka na ednakvi delovi 4. Talesova teorema za proporcionalni otse~ki6 5. Zada~i so primena na Talesovata teorema 0 SLI^NI TRIAGOLNICI 6. Sli~ni figuri. Sli~ni triagolnici 4 7. Prv priznak za sli~ni triagolnici 7 8. Vtor i tret priznak za sli~ni triagolnici 3 9. Odnos na perimetrite i odnos na plo{- tinite na dva sli~ni triagolnici 33 PITAGOROVA TEOREMA 0. Sli~nosta vo pravoagolen triagolnik 37. Pitagorova teorema 4. Zada~i so primena na Pitagorovata teorema Populacija, primerok 48 Proveri go tvoeto znaewe 53 Proporcionalni otse~ki 3

4 PROPORCIONALNI OTSE^KI RAZMER ME\U DVE OTSE^KI Potseti se! Razmer ili odnos na brojot a i brojot b (b 0) e koli~nikot na a i b, t.e. a a : b ili b ; se ~ita: a sprema b; brojot a se vika prv ~len, a b vtor ~len na razmerot. Brojot {to se dobiva so izvr{uvawe na deleweto na a so b se vika vrednost na razmerot a : b i se ozna~uva so k. Vo toj slu~aj a : b = k, t.e. a = bk. Najdi ja vrednosta na razmerot: a) 8 : 4; b) 35 : 5; v) : 6; g),8 :,4. Za koi razmeri se veli deka se ednakvi? Koi od razmerite a) - g) se ednakvi? Najdi go nepoznatiot ~len na razmerot: a) x : 8, ako vrednosta mu e 4; b) 8 : y, ako vrednosta mu e. A. A C Na crteòt se dadeni dve otse~ki: pri {to AB = 6 cm, CD = 4 cm. Zapi{i go razmerot na mernite broevi od dolìnata na otse~kata AB i dolìnata na otse~kata CD. Koli~nikot 6 : 4 }e go smetame za razmer me u otse~kata AB i otse~kata CD. Op{to Razmer ili odnos me u dve otse~ki e koli~nikot od mernite broevi na nivnite dolìni pri ista merna edinica. Odnosot na edna otse~ka AB sprema druga otse~ka CD go zapi{uvame: D AB : CD ili AB CD. B Dali vtoriot ~len CD moè da bide ednakov na nula? Vo zada~ata, odnosot AB : CD e 6 : 4, a negovata vrednost e 3.. Najdi ja vrednosta na razmerot na otse~kata a sprema otse~kata b, ako: a) a = cm, b = 4 cm; b) a = 30 cm, b = 6 dm. Vnimavaj! Dolìnite na dvete otse~ki vo razmerot treba da se izrazeni so ista merna edinica. Razmerot na dvete otse~ki e neimenuvan broj. 4 Tema. Sli~nost

5 3. Sekoj ~len od razmerot 0,5 : 0,5: a) pomnoì go so 0; b) podeli go so 5. Potoa, vrednosta na dadeniot razmer sporedi ja so vrednostite na dobienite razmeri vo a) i b). [to zaklu~uva{? 4. Zapi{i go odnosot na otse~kata a = 6 cm sprema otse~kata b = 3 cm i odredi ja negovata vrednost. Potoa, odredi go odnosot a : b i negovata vrednost, ako dolìnite na otse~kite gi zapi{e{ vo: a) mm; b) dm; v) m. [to zaklu~uva{ za tie odnosi? So prethodnite dve zada~i se potseti deka: b a Razmerot a : b ne se menuva ako dvata negovi ~lenovi se pomnoàt ili se podelat so ist nenulti broj, t.e. ako a : b = k i m 0, toga{ (am) : (bm) = k i (a : m) : (b : m) = k. Ako odnosot na dva broja e a : b = k, toga{ na {to e ednakov brojot a? [to pokaùva brojot k za broevite a i b? Ako a : b = k, toga{ a = kb. Brojot k pokaùva kolku pati brojot b se sodrì vo brojot a. Zapomni Ako odnosot na dve otse~ki AB i CD e k, t.e. AB : CD = k, toga{ AB k CD. Odnosot k pokaùva kolku pati otse~kata CD se sodrì vo otse~kata AB, t.e. k e merniot broj na dolìnata na otse~kata AB koga za merna edinica }e se zeme otse~kata CD. B 5. Dadeni se otse~kite a =, dm, b = 8 cm. Zapi{i go razmerot a : b i presmetaj ja negovata vrednost. Zapi{i go razmerot b : a i presmetaj ja negovata vrednost. Za razmerot b : a se veli deka e obraten na razmerot a : b. Taka, razmerot 8 : e obraten na razmerot : Ana ima 5 godini, Biljana ima 0 godini, a Stojna ima 35 godini. Zapi{i go odnosot na godinite me u: a) Ana i Biljana; b) Biljana i Stojna; v) Ana i Stojna. Proporcionalni otse~ki 5

6 Razgledaj gi razmerite 5 : 0, 0 : 35 i voo~i deka imaat ne{to zaedni~ko. Vtoriot ~len od prviot razmer e ednakov so prviot ~len od vtoriot razmer. Zapomni! Razmerite a : b i b : c obi~no se zapi{uvaat kratko so a : b : c. Zapisot a : b : c se vika prodolèn razmer na a, b, c. Taka, 5 : 0 : 35 e prodolèn razmer {to e zamena za dvata razmera 5 : 0 i 0 : 35. Pokraj tie dva razmera, prodolèniot razmer go sodrì i razmerot 5 : Vozdu{nite rastojanija me u tri grada A, B, C se: AB = 40 km, BC = 00 km, CA = 0 km. Pretstavi gi tie rastojanija, na crte`, namaleni pati. Zapi{i go prodolèniot razmer CA : AB : BC vo {to poprost vid. V 8. Na crteòt se dadeni tri otse~ki AB, CD i PQ, takvi {to A B AB 5 PQ, CD 3PQ. C D Kolku pati otse~kata PQ se sodrì vo otse~kata a) AB; b) CD? P Q Voo~i deka otse~kata PQ, vo otse~kite AB i CD, se sodrì cel broj pati. Za otse~kata PQ se veli deka e zaedni~ka mera na otse~kite AB i CD. Op{to Za dve otse~ki se veli deka se somerlivi, ako postoi treta otse~ka koja{to se sodrì cel broj pati vo sekoja od niv. Razmerot na dve somerlivi otse~ki e racionalen broj (cel ili droben). Otse~kite AB i CD od zada~ata 8 se somerlivi. Takvi se i parovite otse~ki: AB, BC i BC, CA, vo zada~ata 7 (zaedni~ka mera im e otse~ka so dolìna, na primer, km). 9. Na crteòt e pretstaven kvadrat so strana a i dijagonala d. Izrazi ja dijagonalata d so pomo{ na stranata a. Pokaì deka razmerot d : a e iracionalniot broj. d a Voo~i deka Ima parovi otse~ki za koi ne postoi otse~ka {to bi se sodrèla cel broj pati vo sekoja od niv. Za takvi dve otse~ki se veli deka se nesomerlivi i nivniot razmer sekoga{ e iracionalen broj. 6 Tema. Sli~nost

7 Na primer, stranata a i dijagonalata d na kvadrat se nesomerlivi otse~ki; nivniot razmer d : a e brojot. Treba da znae{: da imenuva{ i da odredi{ razmer na dva broja i na dve otse~ki; da odredi{ vrednost na razmer i ednakvi razmeri; da zapi{e{ obraten razmer i prodolèn razmer; da odredi{ nepoznat ~len vo razmer. Proveri se! Dadeni se otse~kite AC cm (na crteòt). AB 8 cm i A C B Iskaì ja vrednosta na razmerot: a) AB : AC ; b) AC : CB ; v) CB : AC ; g) CB : AB. Iskaì go razmerot na a sprema b vo {to e mo`no poprost vid: a) a = 6, b = 8; b) a = 8 cm, b = 7 cm; v) a = kg, b = 800 g. Odredi ja vrednosta na sekoj od razmerite: a) 6 : 8; b) 50 : 00; v) 80 : 60; g) 0,8 : 0,4. Koi od niv se ednakvi? Vrednosta na razmerot x : 4 e 5. Kolku e x?. Zada~i Iskaì go razmerot a : b vo {to poprost vid, ako: a) a = 5 cm, b = dm; b) a = 6x, b = 4x; v) a = 6, b = 800 m6.. Zapi{i go obratniot razmer za sekoj od razmerite vo prethodnata zada~a. 3. Slednite razmeri pretstavi gi vo vid na razmeri ~ii ~lenovi se celi broevi. 4 a) 0,3 : 0,6; b) 0,35 : 0,7; v) : 5 3 ; 3 g) : 5, ; d) 35 5 :. 5 4 Koi od niv se ednakvi me u sebe? 4. Rastojanieto Skopje - Valandovo e 50 km, Skopje - Kriva Palanka e 00 km, a Skopje - Tetovo e 50 km. a) Zapi{i prodolèn razmer na tie rastojanija. b) Zapi{i go toj prodolèn razmer vo {to poprost vid. 5. Presmetaj go nepoznatiot ~len vo razmerot, ako e dadena negovata vrednost: a) x : 5 = 3; v) 6,5 : y = 3; b) x :,3 = 6; g) 4 : y Najdi go odnosot na stranata i perimetarot na: a) ramnostran triagolnik; b) ramnostran petagolnik; v) ramnostran {estagolnik. Proporcionalni otse~ki 7

8 7. Dadena e otse~ka AB 4 cm i na nea e izbrana to~ka C, taka {to AC = 8 cm. Da se najde: a) AC : CB b) razmerot na najkusata sprema najdolgata otse~ka. 8. Pomalata od dve otse~ki se sodrì vo pogolemata 7 pati i ostanuva otse~ka koja{to se sodrì vo pomalata otse~ka to~no pati. Kolku e dolga pogolemata otse~ka, ako se znae deka pomalata otse~ka e dolga cm? PROPORCIONALNI OTSE^KI 9. Vo pravoagolen triagolnik eden od aglite ima 60 o. Na {to e ednakov odnosot na hipotenuzata i pomalata kateta? 0. Zbirot od dolìnite na dve otse~ki e 35, a nivnata razlika e 7. Da se najde odnosot na tie otse~ki. Obidi se!... Tri koko{ki za tri dena nesat tri jajca. a) Kolku jajca nesat {est koko{ki za {est dena? b) Kolku koko{ki za 00 dena }e snesat 00 jajca? Potseti se! Kakvi se me u sebe razmerite : 8 i 6 : 4? [to pretstavuva ravenstvoto na ednakvite razmeri: : 8 = 6 : 4? Ako razmerite a : b i c : d se ednakvi, toga{ ravenstvoto a : b = c : d, t.e. a c b d se vika proporcija, a broevite a, b, c, d se ~lenovi na taa proporcija. Koj od tie broevi e prv ~len, a koj e tret ~len na proporcijata? Koi se nadvore{ni, a koi vnatre{ni ~lenovi? Najdi go proizvodot na nadvore{nite i proizvodot na vnatre{nite ~lenovi na proporcijata : 8 = 6 : 4. Kakvi se me u sebe tie proizvodi? A. Dadeni se ~etiri otse~ki so dolìni AB = 40 cm, PQ = 7 cm, CD = 8 cm, RS = 35 cm. Dali moè{ od niv da obrazuva{ proporcija? Sostavi od niv nekoja proporcija. Voo~i deka, na primer: 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm, t.e. od dolìnite na dadenite otse~ki moè da se formira proporcijata 40 : 8 = 35 : 7. Poradi toa, moè da se kaè deka parovite otse~ki AB, CD i RS, PQ se proporcionalni. Op{to Za dva para otse~ki a, b i c, d se veli deka se proporcionalni, ako nivnite dolìni obrazuvaat proporcija: 8 Tema. Sli~nost a : b = c : d, t.e. a = c b d

9 Vrednosta k na ednakvite razmeri a : b i c : d na parovite proporcionalni otse~ki a, b i c, d se vika koeficient na proporcionalnosta. Koj e koeficientot na proporcionalnosta na otse~kite AB, CD i RS, PQ od zada~ata? Kako }e go odredi{ koeficientot na proporcionalnosta na otse~kite? ]e ja odredam vrednosta na odnosot AB : CD, t.e. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5.. Dadeni se otse~kite a = cm, b =,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm. Pokaì deka a, b i c, d se proporcionalni. Koj e koeficientot na proporcionalnosta? Zapi{i proporcija na otse~kite a, b i c, d. Najdi go proizvodot na nadvore{nite ~lenovi i proizvodot na vnatre{nite ~lenovi. Kakvi se tie proizvodi me u sebe? a b d c Vaì i op{to! Proizvodot od nadvore{nite ~lenovi na edna proporcija e ednakov so proizvodot od nejzinite vnatre{ni ~lenovi, t.e. ako a : b = c : d, toga{ a d = b c Ova pravilo se vika osnovno svojstvo na proporciite. Za sekoja od ~etirite proporcionalni otse~ki a, b, c, d se veli deka e ~etvrta geometriska proporcionala na drugite tri. bc Na primer, d e ~etvrta geometriska proporcionala na otse~kite a, b, c vo a proporcijata a : b = c : d. 3. Najdi ja dolìnata na ~etvrtata geometriska proporcionala x na otse~kite a = 6 cm, b = 8 cm, c = cm vo proporciite: a) a : b = c : x; b) x : c = a : b; v) a : x = b : c. Sporedi go tvoeto re{enie za a) so dadenoto: a : b = c : x; 6 : 8 = : x; 6x = 8 ; x =6 cm. Potseti se! Za broevite 5 i 0 najdi broj x takov {to 5 : x = x : 0. [to pretstavuva brojot 50 ( 0 ) za broevite 5 i 0? Najdi ja geometriskata sredina na broevite i 3. B 4. Dadeni se otse~kite a = 9 cm i b = 4 cm. Najdi otse~ka x, takva {to a : x = x : b. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Proporcijata 9 : x = x : 4, spored osnovnoto svojstvo, se sveduva na ravenkata x = 9 4, pa x = 36 6 ; x = 6 cm. Proporcionalni otse~ki 9

10 Voo~i deka brojot 6 e geometriska sredina na broevite 4 i 9. Zapomni! Geometriska sredina (ili sredna geometriska proporcionala) na dve otse~ki so dolìni a i b se vika otse~ka so dolìna x takva {to a : x = x : b, t.e. a x x b x = ab x = ab 5. Najdi ja geometriskata sredina na otse~kite: a) a = cm, b = 7 cm; b) a = 5 cm, b = cm. 6. Utvrdi so merewe dali otse~kata b od crteòt e geometriska sredina na otse~kite a i c. c b a 8 0 V 7. Dadena e proporcijata. Pokaì deka e proporcija i ravenstvoto Vaì i op{to Ako a b c, toga{ a b c d. Obidi se da go dokaè{ toa. d b d Voo~i deka: od a b c sleduva d a b c ; potoa: d a b c d, t.e. a b c d. b b d d b d 8. Pokaì deka vaì i obratnoto tvrdewe. Ako a b c d, toga{ a c. b d b d Potseti se! Koga tri ili pove}e razmeri se ednakvi, toga{ tie moè da se zapi{at vo forma na prodolèna proporcija, kako na primer: a b c. a b c Za nea vaì: abc a b c a b c a b c 0 Tema. Sli~nost

11 A Treba da znae{: da go definira{ poimot proporcija; da odredi{ nepoznat ~len vo proporcija; da objasni{ koi parovi otse~ki se proporcionalni; da odredi{ geometriska sredina na dve otse~ki. Zada~i. Koj broj treba da stoi na mestoto od bukvata a za da bide to~no ravenstvo: 5 a a) 8 ; b) a 3 4 7?. Sostavi proporcija od dolìnite na ~etiri otse~ki: 8 cm; 6 cm;, dm;, dm. 3. Najdi ja dolìnata x na ~etvrtata geometriska proporcionala na otse~kite a, b, c vo proporcijata a : b = x : c, ako: 3 a) a dm, b dm, c dm; 4 3 b) a = m, b = 3 m, c = 4 m. 4. Vo ΔABC na crteòt e dadeno: CM : MA = CN : NB. Vo sekoja redica od tabelata se dadeni nekoi dolìni. Odredi gi dolìnite {to nedostasuvaat. C CM MA CN NB M a) N b) v) B 5. Najdi ja geometriskata sredina na otse~kite a i b, ako: a) a = cm, b = 8 cm; b) a 4 4 dm, b = cm; 5 v) a = 7 cm, b = 4cm. Proveri se! Najdi go nepoznatiot ~len vo proporcijata 0 : a = 5 : 6. Najdi ja dolìnata na ~etvrtata geometriska proporcionala x na otse~kite a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm vo proporcijata a : b = c : x. Najdi ja geometriskata sredina na otse~kite a = cm i b = 8 cm. 6. Vo pravoagolniot ΔABC na crteòt, otse~kata CD e visinata spu{tena kon hipotenuzata AB. C A D B So merewe, utvrdi deka: a) otse~kata CD e geometriska sredina na otse~kite AD i DB; b) otse~kata AC e geometriska sredina na otse~kite AD i AB. 7. Najdi gi x i y, ako: x y a) 3 7 y ; b) 4 5 x 6 4. a c 8. Pokaì deka od proporcijata b d moè da se dobijat proporciite: a b b d c d ; ;. c d a c a b 9. Dokaì deka: ako a c b d, toga{ a b c d. b d Proporcionalni otse~ki

12 3 DELEWE OTSE^KA NA EDNAKVI DELOVI Potseti se! Kako }e podeli{ dadena otse~ka na ednakvi delovi: a) na dva; b) na ~etiri? A. Na crteòt e pretstaven agol SOT i na krakot OS se naneseni ednakvi otse~ki OA = AB = BC. Za ΔGH i ΔPQR na crteòt e dadeno: α = α, β = β, G = PQ. H R α β G α β P Kakvi se me u sebe tie triagolnici? Kakvi se me u sebe soodvetnite strani na skladni triagolnici? Q Niz to~kite A, B i C se povle~eni me usebno paralelni pravi p, q i r, koi{to go se~at krakot OT vo to~kite A, B i C, soodvetno. Za otse~kite OA, A B i B C se veli deka se soodvetni na otse~kite (po red): OA, AB i BC. Izmeri gi otse~kite OA, A B, B C. [to zaklu~uva{?. Vo vrska so crteòt od zada~ata, obidi se da dokaè{ deka OA = AB =B C. Razgledaj go crteòt na koj se povle~eni u{te otse~kite A B i B C, paralelno so krakot OS, i se ozna~eni nekolku agli so broevi. Voo~i gi ΔOAA i ΔA B B i sogledaj deka: = 3, = 4 (Zo{to?) OA AB (Zo{to?) ΔOAA ΔA B B, pa OA A B (Zo{to?). Voo~i gi ΔA B B i ΔB C C. Pokaì deka i tie se skladni i deka AB =BC. Voo~i ja i zapomni ja slednata teorema za ednakvite otse~ki na kracite od eden agol. Ako na edniot krak od daden agol se naneseni ednakvi otse~ki i niz nivnite kraevi se povle~eni paralelni pravi {to go se~at drugiot krak na agolot, toga{ tie pravi otsekuvaat i na drugiot krak me usebno ednakvi otse~ki. Tema. Sli~nost

13 Vrz osnova na ovaa teorema moè{ da podeli{ dadena otse~ka na proizvolen broj ednakvi delovi. 3. Otse~kata AB na crteòt podeli ja na 5 ednakvi delovi. A B Kako }e ja upotrebi{ prethodnata teorema za da ja podeli{ otse~kata AB na 5 ednakvi dela? Vo to~kata A }e povle~am proizvolna poluprava i na nea so po~etok vo A }e nanesam 5 ednakvi otse~ki. Potoa }e povle~am paralelni pravi, spored teoremata. Sledi go re{avaweto i voo~i ja postapkata za podelba na otse~ka na ednakvi delovi. Povle~i proizvolna poluprava AS kako na crteòt. Na AS, po~nuvaj}i od A, petpati nanesi proizvolno izbrana otse~ka, na primer AE; so toa }e dobie{ pet to~ki; pettata ozna~i ja so C. Povle~i ja, prvo, pravata CB i potoa, niz sekoja od dobienite to~ki na AC, povle~i prava paralelna so pravata CB; tie pravi ja delat otse~kata AB na pet ednakvi delovi. Objasni zo{to tie 5 delovi se ednakvi me u sebe. 4. Nacrtaj otse~ka AB so dolìna 7 cm i podeli ja na 6 ednakvi delovi. 5. Nacrtaj edna otse~ka i odredi ja nejzinata sredina, koristej}i ja teoremata za ednakvite otse~ki. Potseti se! Na otse~kata AB e ozna~ena to~kata M B 6. Nacrtaj otse~ka AB od 6 cm. a) Podeli ja na 5 ednakvi delovi. b) Ozna~i to~ka M takva {to AM : MB = 3 :. taka {to: AM = 4 cm i MB = 3 cm. A M B Vo koj odnos to~kata M ja deli otse~kata AB? Proporcionalni otse~ki 3

14 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto na crteòt. 7. Nacrtaj otse~ka AB i podeli ja na dva dela ~ij{to odnos e 3 : 4. Prvo, podeli ja otse~kata AC na = 7 ednakvi delovi. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto na crteòt, na koj e zemeno AK = 3 AE i KM CB. Taka e dobieno AM : MB = 3 : 4. Objasni zo{to AM : MB = 3 : 4. Ovaa konstrukcija se vika podelba na otse~ka vo daden odnos. 8. Otse~kata AB na crteòt e podelena so to~kata M vo odnos 3 :. Isto taka, otse~kata CD so to~kata N e podelena vo istiot odnos 3 :. Sostavi proporcija za delovite od otse~kata AB i od otse~kata CD. A M B C N D Edna mo`nost e: AM : MB = CN : ND, {to zna~i AM, MB se proporcionalni so otse~kite CN, ND. Poradi toa se veli deka otse~kite AB i CD se podeleni proporcionalno. Op{to Za dve otse~ki se veli deka se podeleni proporcionalno, ako odnosot na delovite od ednata otse~ka obrazuva proporcija so odnosot od delovite na drugata otse~ka. 9. Nacrtaj dve otse~ki so dolìni 7 cm i 4 cm i podeli gi proporcionalno vo odnos :. 4 Tema. Sli~nost

15 Treba da znae{: Proveri se! da podeli{ otse~ka na ednakvi delovi i da ja objasni{ postapkata; da podeli{ otse~ka vo daden odnos; da objasni{ koga dve otse~ki se podeleni proporcionalno. Zada~i Nacrtaj otse~ka AB od 5 cm i podeli ja na 3 ednakvi delovi. Potoa, ozna~i to~ka M {to ja deli otse~kata AB vo odnos :. Zapi{i edna proporcija me u delovite na otse~kite PQ i RS koi{to so to~kite H i K na crteòt se podeleni proporcionalno. 6 P H Q 3 R K S. Nacrtaj otse~ka od 6 cm i podeli ja na ednakvi delovi: a) na tri; b) na sedum.. Nacrtaj otse~ka AB i podeli ja vo odnos a) : ; b) 5 :. 3. Nacrtaj otse~ka so dolìna 0 cm i podeli ja: a) na 7 ednakvi delovi; b) vo odnos 4 : 3; v) na tri otse~ki vo odnos : : Nacrtaj ΔABC i negovite strani podeli gi na po tri ednakvi delovi. 6. To~kata M ja deli otse~kata AB vo odnos AB : MB = 5 : 3. Dolìnata na otse~kata AM e 4,8 dm. Najdi ja dolìnata na otse~kata MB; AB. 7. Za kolku treba da se prodolì otse~kata AB = cm za da se dobie otse~ka AC {to ja zadovoluva proporcijata AC : BC = 5 :? 8. To~kata M ja deli otse~kata AB vo odnos AM : MB = 3 :. Najdi gi razmerite AM : AB i AB : MB. 5. Nacrtaj ΔABC i teì{nata linija AA. Odredi go teì{teto T na triagolnikot so toa {to AA }e ja podeli{ vo odnos AT : TA = :. Proporcionalni otse~ki 5

16 4 TALESOVA TEOREMA ZA PROPORCIONALNI OTSE^KI Potseti se! Kako se deli dadena otse~ka: a) na ednakvi delovi; b) vo daden odnos m : n? Objasni ja konstrukcijata. A. Na crteòt e daden ostar agol SOT. Na krakot OS e izbrana to~ka B, a na krakot OT to~ka D. Niz B i D e povle~ena prava p. T D p O B S Na otse~kata OB odredi to~ka A, taka {to OA : AB = 3 :. Niz to~kata A povle~i prava q p. Neka pravata q go se~e krakot OT vo to~kata C. Pokaì deka OC : CD = 3 :. [to }e koristi{ za da pokaè{ deka OC : CD = 3 :? ]e ja iskoristam postapkata i tvrdeweto za delewe otse~ka vo daden odnos. Na crteòt e dadeno re{enieto na zada~ata. Odgovori na slednite pra{awa. Kako e podelena otse~kata OB na 5 ednakvi delovi? Kako e odredena to~kata A taka {to OA : AB = 3 :? Zo{to OC : CD = OA : AB = 3 :? Voo~i go i zapomni go tvrdeweto nare~eno Talesova teorema za proporcionalni otse~ki. Ako kracite na eden agol se prese~at so dve razli~ni paralelni pravi, toga{ otse~kite {to se dobieni na edniot krak se proporcionalni so soodvetnite otse~ki na drugiot krak. D C AC BD OA : AB = OC : CD O A B. Na crteòt e zemeno AC BD. Ako OA = 4 dm, AB = 5 dm, OC = 8dm, najdi ja CD ; pokaì deka OA:OB=OC:OD. 6 Tema. Sli~nost

17 Vaì op{to: od ravenstvoto OA : AB = OC:CD (vo Talesovata teorema) se dobiva ravenstvoto OB :OA = OD: OC ili OA:OB=OC:OD. So koristewe na soodvetno svojstvo na proporcii, od AB : OA = CD : OC sleduva Pokaì deka OB :OA = OD: OC. (AB + OA): OA = (CD + OC): OC. 3. Na crteòt e daden ΔABC i prava MN AB {to gi se~e drugite dve strani AC i BC. Utvrdi deka stranite AC i BC so pravata MN se podeleni proporcionalno, t.e. CM:MA =CN:NB. Ako ti e neophodna pomo{... A B Prvo, sogledaj deka kracite na ACB se prese~eni so paralelnite pravi MN i AB. Potoa, primeni ja Talesovata teorema. M C N B 4. Nacrtaj agol SOT i nanesi otse~ki kako na crteòt: OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 3 cm, C D T OD = 4,5 cm. O A B S Uveri se deka otse~kite OA, OB i OC, OD se proporcionalni, t.e. OA :OB = OC: OD. Povle~i gi pravite AC i BD. Potoa, so pomo{ na dva triagolni linijari, proveri dali tie pravi se paralelni. Ako crta{e i mere{e dovolno precizno, sekako zaklu~i deka AC BD. Vaì op{to! Ako dve pravi otsekuvaat od kracite na nekoj agol proporcionalni otse~ki, toga{ tie pravi se paralelni. T D C O A B S OA : OB = OC : OD AC BD Ova svojstvo na proporcionalnite otse~ki e nare~eno obratna teorema na Talesovata. Proporcionalni otse~ki 7

18 5. Utvrdi za koi od slednive dolìni spored crteòt, }e bide MN PQ: R a) RM = 0, RP =, RN = 5, RQ = 8; b) RP=4, MP= 4, RQ =, NQ =6; M N v) RM=6, RP =8, RN=9, RQ =4. P Q Treba da znae{: da ja iskaè{ Talesovata teorema i da ja primeni{ vo ednostavni zada~i; da ja iskaè{ obratnata teorema na Talesovata i da ja primeni{ vo ednostavni zada~i. Proveri se! Na crteòt e dadeno deka PQ BC. Dopolni gi slednite tvrdewa za da bidat to~ni: a) AP : AB = : ; v) : = AQ : QC ; Q C b) AP : PB = : ; g) AC : AQ = :. Dali za nazna~enite otse~ki na crteòt }e bide BC DE? 35 A P B E 8 C 0 6 A B D Zada~i. Na crteòt e zemeno AC BD. C D. Vo ΔABC na crteòt e dadeno MN AB. C a) Najdi ja CN, ako: CM = ; CA = 8 ; BN = 8 ; M N Najdi ja OB, ako: O A B OA = 4 cm, OC = 6 cm, OD = 9 cm. b) Najdi ja CM, ako: CM = NB, MA = 4 i CN = 9. A B 8 Tema. Sli~nost

19 b 3. Vo sekoj od triagolnicite na crteòt e povle~ena otse~ka paralelna so osnovata i nazna~eni se dolìnite na nekoi otse~ki. a x c x d Vo site ~etiri slu~ai najdi go x, smetaj}i deka drugite bukvi se dadeni broevi. n x m k x 6. Pokaì deka od proporcijata OA : AB = OC : CD se dobivaat proporciite: O A B a) AB:OA=CD:OC; v) OB : AB = OD : CD ; b) OB : OA = OD : OC ; g) OA:OB=OC:OD. Obidi se!... Ne e zadolìtelno C D 4. Kracite na SOT (na crteòt) se prese~eni so paralelnite pravi AA, BB i CC, pri {to OA : AB : BC = : 3 : i OA = 6 cm. Najdi gi dolìnite na otse~kite A B i B C. 7. Na crteòt e daden ΔABC vo koj CD e simetralata na agolot pri temeto C. Potoa, prodolèna e stranata AC i povle~ena e pravata BE DC. a) Dokaì deka ΔBEC e ramnokrak so kraci BC = CE. 5. Za nazna~enite otse~ki na crteòt a); b), proveri dali }e bide BC DE. Obrazloì go tvojot odgovor. b) Dokaì deka simetralata na ACB vo ΔABC ja deli sprotivnata strana AB na dva dela {to se proporcionalni so drugite dve strani, t.e. AD : DB = CA : CB, t.e. (c - x) : x = b : a. a) 8 4 b) Proporcionalni otse~ki 9

20 5 ZADAÎ SO PRIMENA NA TALESOVATA TEOREMA Potseti se! Kako glasi Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki? Od proporcijata a : b = c : x izrazi ja x so pomo{ na a, b, c. Ako crta{e i mere{e dovolno precizno, sigurno zabeleà deka otse~kite AB, AB se proporcionalni so otse~kite BC, B C, t.e. A Kakvi se me u sebe odnosite AB : AB i AC : AC? Izmeri gi vnimatelno otse~kite AB, AB ; BC, B C i potoa presmetaj gi odnosite AB : AB i BC : BC. [to zabeleùva{?. Nacrtaj ΔABC. Potoa, povle~i prava B C {to gi se~e kracite na A i e paralelna so stranata BC, kako na crteòt. C A C B B Vaì op{to! AB : AB = BC :BC = AC : AC Ako vo eden triagolnik se povle~e prava {to e paralelna na edna strana i gi se~e drugite dve strani na triagolnikot, toga{ se dobiva nov triagolnik ~ii{to strani se proporcionalni na stranite od dadeniot triagolnik.. Obidi se da go dokaè{ tvrdeweto vo zada~ata, so primena na Talesovata teorema. Dadeno: vo ΔABC, pravata B C BC (kako na crteòt). C C a a Dokaì deka: kade {to: BC AC AB = = B C AC AB, t.e. a b c a b c BC = a, AC = b, AB = c, BC = a, AC = b, AB = c., A C B C B Dadeniot crte` e dopolnet so povlekuvawe na pravata B paralelna so AC. Kako }e ja primeni{ Talesovata teorema za da gi dokaè{ dadenite ravenstva? A B B ]e gi zapi{am proporciite od proporcionalnite otse~ki {to se dobieni za aglite: BAC i ABC. Potoa }e izvr{am sporeduvawe. Sporedi go tvoeto razmisluvawe i re{enie so dadenoto. 0 Tema. Sli~nost

21 BAC e prese~en so B C BC, pa spored Talesovata teorema: AB AC = AB AC () ABC e prese~en so B AC, pa spored Talesovata teorema: AB AB BC = C () êtiriagolnikot B CC e paralelogram (zo{to?), pa: C = BC ; po zamenuvaweto vo (), se dobiva AB BC = AB B C. (3) Od () i (3): BC AB AC = = BC AB AC, t.e. a c b. a c b Ova tvrdewe se vika u{te Talesova teorema za triagolnik. Vaì i obratno tvrdewe! Ako edna prava pri presekuvaweto na dve strani na triagolnikot gi razdeluva niv na proporcionalni otse~ki, toga{ taa prava e paralelna so tretata strana na triagolnikot. C m n A p G q B m : n = p : q G AB 3. Vo ΔABC na crteòt MN BC. Najdi go odnosot BC : MN, ako AM =, AB = 8. N C Najdi ja MN, ako AB = 5, BC = 0 i M e sredina na AB. Proveri go re{enieto za MN spored svojstvoto na srednata linija vo triagolnik! p q 4. Pravite p i q na crteòt se prese~eni so tri me usebno paralelni pravi. Pokaì deka soodvetnite otse~ki a, a' se pro- A B a a' porcionalni so otse~kite b, b', t.e. a : a' = b : b'. b b' Prosledi go re{enieto na zada~ata. Povle~i ja otse~kata AD, kako na crteòt, i voo~i deka kracite na CAD i na ADB se prese~eni so po dve paralelni pravi, pa: a : b = x : y i a' : b' = x : y. Bidej}i desnite strani na ravenstvata im se ednakvi, moè{ da zaklu~i{ deka a : b = a' : b' t.e. a : a' = b : b'. Spored prethodniot crte`, dadeno e a = 3, b = 5 i b' = 7. Najdi ja dolìnata na otse~kata b'. 5. Za trapezot ABCD na crteòt e dadeno: MN AB, AD = 8 cm, BC = 4 cm i DM = 3 cm Najdi gi BN i NC. Proporcionalni otse~ki A M A C C p A a b D x y M q B a' C D b' D N B B

22 B 6. Dadeni se otse~kite a, b, c kako na crteòt. Najdi otse~ka x takva {to a : b = c : x, t.e. konstruiraj ja ~etvrtata geometriska proporcionala na otse~kite a, b, c. c a b Ako ne moè{ sam da ja re{i{ zada~ata, }e ti pomognat slednite upatstva. Potseti se na Talesovata teorema. Nacrtaj agol SOT i nanesi gi otse~kite aoa, bab i coc, kako na crteòt. Povle~i prava niz B, paralelna so AC i presekot ozna~i go so D. xcd e baranata otse~ka. (Zo{to?) êtvrtata geometriska proporcionala x na otse~kite a, b, c moè da se dobie i spored drugiov crte`. Razgledaj go crteòv i obrazloì ja postapkata. 7. Za otse~kite a = 4 cm, b = 6 cm i c = 5 cm, konstruiraj ja ~etvrtata geometriska bc ac proporcionala: a) x ; G x. a b Prvo sogledaj deka od bc x moè{ da ja sostavi{ proporcijata x : c = b : a. a 8. Nacrtaj dve otse~ki a = 3 cm i b = cm. Konstruiraj otse~ka x, takva {to x = ab. Prvo sogledaj deka od x = ab moè{ da ja sostavi{ proporcijata : a = b : x; potoa izvedi ja konstrukcijata. Treba da znae{: da ja iskaè{ Talesovata teorema za triagolnik i da ja primeni{ vo ednostavni zada~i; da konstruira{ ~etvrta geometriska proporcionala na tri otse~ki. Proveri se! Za ΔABC e dadeno: MN AB. Najdi gi negovite strani spored podatocite na crteòt. Objasni ja postapkata za konstruirawe ~etvrta geometriska proporcionala x na tri dadeni otse~ki a, b, c. Tema. Sli~nost

23 Zada~i. Vo trapezot ABCD na crteòt, so osnovi AB, CD 5 i krak AD7, prodolèni se kracite AD i BC do nivniot presek S. Najdi ja SD.. Odredi ja visinata AB na edno drvo (na crteòt) ako negovata senka BC e 0 m, a vo isto vreme, senkata na stapot PQ od m e dolga,4 m. 3. Vo trapezot ABCD na crteòt, MN PQ AB. Najdi gi dolìnite na kracite AD i BC spored podatocite na crteòt. M 3 A 4. Vo ΔABC na crteòt C stranata BC e pok delena na tri ednakvi x delovi i niz delbenite k y to~ki se povle~eni pravi, paralelni so stranata k AB, ~ija{to dolìna e A 5 B 5 cm. Najdi ja dolìnata na sekoja od otse~kite, zafateni vo triagolnikot. 5. Konstruiraj ja ~etvrtata geometriska proporcionala na otse~kite a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c). P D 6 8 C Q 6 N B 6. Nacrtaj tri otse~ki a, b, c. Potoa, konstruiraj otse~ka x, takva {to: a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; v) a : b = x : c. 7. Nacrtaj otse~ki a i b. Potoa konstruiraj otse~ka x, takva {to x = a. 8. Nacrtaj otse~ki a i b. Potoa konstruiraj otse~ka x, takva {to a a) x ; b) b b x. a 9. Stranata DC na trapezot ABCD so osnovi AD8 i BC0, podelena e na tri ednakvi delovi i niz delbenite to~ki se povle~eni A B pravi paraleli so osnovite (kako na crteòt). Najdi gi dolìnite x i y na otse~kite zafateni vo trapezot. Pomo{. Povle~i ja pravata DM paralelna so AB i razgledaj go ΔDMC (potseti se kako ja re{i zada~ata 4). 0. Na crteòt e pretstavena situacija na terenot so nedostapna to~ka A i dostapna to~ka B. a) Najdi go nedostapnoto rastojanie BA. b) Presmetaj go BA, ako se izmereni dolìnite: BC 00 m, CE 50 m i CD 80 m. v) Najdi go rastojanieto EA, ako se izmereni: CE 50 m, CD 80 m i DB 96 m. D x y C Proporcionalni otse~ki 3

24 SLI^NI TRIAGOLNICI 6 SLI^NI IGURI. SLI^NI TRIAGOLNICI Potseti se! Kracite na agolot SOT se prese~ni so paralelnite pravi AC i BD. C D T Vo sekojdnevniot ìvot mnogu ~esto A sre}avame predmeti {to imaat ista forma, a razli~na ili ista golemina: avtomobil i negoviot model; dve ~a{i; dva stola itn. O A B S Spored crteòt, zapi{i razmer na otse~ki {to e ednakov so razmerot: a) OA : AB; G OC : OD. Spored koja teorema gi zapi{a razmerite? Na crteòt vaì proporcionalnosta na otse~kite: OA : AB OD : DC. C D O A Kakva polo`ba imaat pravite AD i BC? Kakvi se po golemina aglite: a) OAD i OBC; b) ODA i OCB? B Za dve geometriski figuri {to imaat sosema ista forma, a razli~na ili ista golemina, obi~no, velime deka se sli~ni.. Za koi od slednite figuri moème da re~eme deka se sli~ni: dva kvadrata; dva kruga; kvadrat i krug?. Dadeni se dve geografski karti na Makedonija. Prvata so razmer : , a vtorata so razmer : Dali tie karti se sli~ni? Na prvata karta, rastojanieto od Skopje do Kumanovo e 4 cm. Kolkavo e rastojanieto od Skopje do Kumanovo na vtorata karta? Koj e odnosot na rastojanieto Skopje-Kumanovo od prvata karta so rastojanieto Skopje- Kumanovo na vtorata karta? Kakov e odnosot na rastojanieto me u koi bilo dve mesta na prvata karta so rastojanieto me u soodvetnite dve mesta na vtorata karta? 4 Tema. Sli~nost

25 B 3. Razgledaj go crteòt na koj temiwata na triagolnicite ABC i C A B C leàt na polupravi so B T O B po~etna to~ka O i obrazuvaat proporcionalni A otse~ki: OA : OA : ; OB : OB : ; A S OC : OC :. Za triagolnicite ABC i A B C }e razlikuvame: soodvetni temiwa, soodvetni agli i soodvetni strani, t.e. soodvetni temiwa se: A i A ; B i B ; C i C ; soodvetni agli se: A i A, B i B, C i C ; soodvetni strani se: AB i A B ; BC i B C ; AC i A C. Pokaì deka soodvetnite strani na triagolnicite ABC i A B C se paralelni, t.e. AB A B ; BC B C i AC A C. Pokaì deka soodvetnite agli na triagolnicite se ednakvi, t.e. A = A ; B = B i C = C. Pokaì deka soodvetnite strani na triagolnicite se proporcionalni, t.e. AB : A B BC : B C AC : A C :. Sporedi go tvoeto re{enie na zada~ata so dadenoto. Bidej}i OA : OA : OB OB, od obratnata teorema na Talesovata, sleduva deka AB A B. Na ist na~in moè{ da pokaè{ deka BC B C i AC A C. Bidej}i AB A B i AC A C, sleduva deka A = A, kako agli so paralelni kraci. Na ist na~in moè{ da pokaè{ deka B = B i C = C. Potseti se na Talesovata teorema: ako kracite na agolot SOT se prese~eni so paralelnite pravi AB i A B, toga{ soodvetnite otse~ki AB i A B se proporcionalni so otse~kite OA i OA, t.e. OA : OA AB : AB :. Moè{ da pokaè{ deka ist razmer imaat i drugite soodvetni strani na triagolnicite, t.e. AB : A B BC : B C AC : A C :. C Za triagolnicite ABC i A B C pokaà deka soodvetnite agli im se ednakvi, a soodvetnite strani im se proporcionalni. Tie moàt da bidat dadeni i vo druga polo`ba, kako na crteòt, desno. C C C Ako triagolnikot ABC go nacrta{ na proyirna hartija, moè{ da go A B A C B postavi{ vo oblasta na ΔA B C (kako na crteòt), taka {to soodvetnite strani da im se paralelni. Voo~i deka ΔABC i ΔA B C imaat ista forma, no razli~na golemina, A B t.e. deka tie se sli~ni triagolnici. A B Sli~ni triagolnici 5

26 Zapomni! Za dva triagolnici se veli deka se sli~ni, ako soodvetnite agli im se ednakvi i soodvetnite strani im se proporcionalni. Za sli~nite triagolnici ABC i A B C zapi{uvame: ΔABC ΔA B C. Se ~ita: ΔABC e sli~en so ΔA B C. Koj e koeficientot na proporcionalnosta na stranite kaj sli~nite triagolnici ABC i A B C vo zada~ata 3? Vo zada~ata 3 sogleda deka koeficientot na proporcionalnosta na stranite na sli~nite triagolnici ABC i A B C e :, t.e.. Koeficientot na proporcionalnosta na soodvetnite strani na dva sli~ni triagolnici (ΔABC ΔA B C ) se vika i koeficient na sli~nosta. Ako zapi{e{ ΔABC ΔMNP, toa }e zna~i deka soodvetnite temiwa se: A i M, B i N, C i P. 4. Vo zada~ata 3 sogleda deka ΔABC ΔA B C i koeficientot na sli~nosta e. Zo{to ΔA B C ΔABC i koj e koeficientot na sli~nosta? Treba da znae{: ako ΔABC ΔXYZ, toga{ AB : XY BC : YZ AC : XZ k i A = X, B = Y, C = Z; da go odredi{ koeficientot na sli~nosta na dva sli~ni triagolnici. Proveri se! Na crteòt: ΔABC ΔMNP. Zapi{i gi soodvetnite: a) strani; b) agli. Odredi go koeficientot na sli~nosta. Odredi gi x i y. A C 3 4 B M 6 P y x N Zada~i. Daden e: ΔABC ΔRST. Zapi{i gi soodvetnite: a) strani, b) agli.. Nacrtaj dva ramnostrani triagolnika, prviot so strana a = 3 cm, a vtoriot so strana 4 cm. Pokaì deka tie se sli~ni. Odredi go koeficientot na sli~nosta. 6 Tema. Sli~nost 3. Na crteòt, ΔABC ΔPQR i nazna~eni se dolìnite na stranite. Odredi gi x i y. C R A 6 B x P 5 y Q 0

27 4. Na crteòt, ΔABC ΔMNC. Na C 5. Od toa {to ΔABC ΔA B C, dali sleduva deka ΔABC ΔA B C? Obrazloì. {to se ednakvi CB i MN, ako CM5 ; CN6 ; AB i M N 6. Neka M i N se sredini na stranite AC i BC vo triagolnikot ABC. Pokaì deka ΔMNC ΔABC. CA5? A B 7 PRV PRIZNAK ZA SLI^NI TRIAGOLNICI Potseti se! Za da utvrdi{ dali dva triagolnici ABC i A B C se sli~ni treba da proveri{ dali nivnite soodvetni agli se ednakvi i soodvetnite strani se proporcionalni t.e. A = A, B = B, C = C i AB : A B BC : B C AC : A C. Kracite na agolot MON se prese~eni so paralelnite pravi a i b, taka {to OB : OA OC : OD : Voo~i gi triagolnicite C N OAD i OBC, D a potoa: odredi go odnosot na O A B b stranite BC i AD; M a odredi kakvi se me u sebe soodvetnite agli na triagolnicite. Dali ΔOBC ΔOAD? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Na crteòt se dadeni ΔABC i ΔA B C, taka {to AB 3AB, A = A i B = B. Za da pokaè{ deka ΔA B C ΔABC treba da proveri{ dali se ispolneti {este barawa za sli~ni triagolnici, t.e. A. Nacrtaj ΔABC i otse~ka A B {to e tripati podolga od stranata AB. Potoa, nacrtaj triagolnik A B C so strana A B, B A C = A i A B C = B. Dali soodvetnite vnatre{ni agli na triagolnicite ABC i A B C se ednakvi? Zo{to? Soodvetnite agli se ednakvi; A = A i B = B, po konstrukcija; C = C, bidej}i C = 80 o - ( A + B) = = 80 o - ( A + B ) = C. Proveri so merewe dali soodvetnite strani na ΔA B C so ΔABC se proporcionalni. Odredi go koeficientot na proporcionalnosta. Obidi se da obrazloì{ deka soodvetnite strani na ΔA B C i ΔABC se proporcionalni i deka ΔA B C ΔABC. A = A, B = B, C = C i A B : AB B C : BC A C : AC. Sli~ni triagolnici 7

28 Ti pokaà deka soodvetnite agli na triagolnicite se ednakvi. Pretpostavi deka ΔABC e pomesten vo ΔA B C, taka {to: temeto A se sovpa a so A, B so B i temeto C so C ; A se sovpa a so A, B so A B C i C so B C A. Bidej}i A B C = B, sleduva deka B C B C. Spored crteòt, so pomo{ na Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki, ima{ pokaàno deka AB : AB AC : AC BC : BC 3:, t.e. AB : AB BC : BC AC: AC. Moè{ da zaklu~i{ deka ΔA B C ΔABC. Voo~i deka triagolnicite A B C i ABC {to gi nacrta imaat po dva agli soodvetno ednakvi i ti pokaà deka ΔA B C ΔABC. Spored toa, za da utvrdi{ dali dva triagolnici se sli~ni dovolno e da proveri{ dali tie imaat dva ednakvi soodvetni agli. Zapomni! Dva triagolnici se sli~ni, ako dva agli od edniot triagolnik se ednakvi so dva agli od drugiot triagolnik. Ova tvrdewe e nare~eno prv priznak za sli~ni triagolnici.. Na crteòt e dadeno: A = D = 30 o i to~kata C e presek na otse~kite AE i BD. Dokaì deka ΔABC ΔDEC. B 3. Vo ΔABC e povle~ena otse~ka MN paralelna so AB. C Pokaì deka α = α i β = β. Dokaì deka ΔABC ΔMNC. M α β N Voo~i go slednoto tvrdewe. A α β B Ako vo eden triagolnik e povle~ena prava {to e paralelna so edna od stranite i gi se~e drugite dve strani, toga{ se dobiva triagolnik {to e sli~en na dadeniot. Sporedi go ova tvrdewe so Talesovata teorema za triagolnik. 4. Vo ΔABC na crteòt, povle~eni se otse~kite: MN AB i NP AC. Kolku triagolnici voo~uva{? Zapi{i koi triagolnici se sli~ni me u sebe. A M C P N B 8 Tema. Sli~nost

29 Voo~i deka: R Sekoj triagolnik e sli~en sam na sebe. Dva skladni triagolnika se sli~ni. C Kolkav e nivniot koeficient na sli~nost? 5. Na crteòt se dadeni pravoagolnite triagolnici ABC i PQR, taka {to A = P = α. Pokaì deka ΔABC ΔPQR. A α B α P Q Voo~i deka triagolnicite imaat po dva agli soodvetno ednakvi: A = P i B = Q = 90 o. Spored prviot priznak za sli~ni triagolnici sleduva: Dva pravoagolni triagolnici se sli~ni ako eden ostar agol od edniot e ednakov so eden ostar agol od drugiot triagolnik. C 6. Vo triagolnikot ABC na crteòt e povle~ena visinata CD i otse~kata MN AB. Kolku pravoagolni triagolnici moè{ da voo~i{ i koi od niv se sli~ni me u sebe? A M D S N B 7. Na crteòt se dadeni dva ramnokraki triagolnici ABC i PQR, na koi aglite pri vrvot im se ednakvi, t.e. C = R = α. Pokaì deka A = P. Pokaì deka ΔABC ΔPQR. Op{to Dva ramnokraki triagolnici se sli~ni, ako agolot pri vrvot na edniot triagolnik e ednakov so agolot pri vrvot na drugiot tragolnik. 8. Nacrtaj dva ramnokraki tragolnici ABC i A B C so osnovi AB i A B soodvetno, pri {to A = A. Pokaì deka ΔABC ΔA B C. Iskaì drugo tvrdewe za sli~nost na dva ramnokraki tragolnici. Sli~ni triagolnici 9

30 Treba da znae{: da go iskaè{ prviot priznak za sli~nost na triagolnici; Proveri se! D koi se dovolni uslovi za sli~nost na dva pravoagolni, odnosno dva ramnokraki triagolnici; da utvrdi{ sli~nost na dva triagolnici; da odredi{ nepoznata strana kaj sli~ni triagolnici. Na kraevite na otse~kata AB se povle- ~eni otse~kite AC 3 cm i BD = 5 cm, normalni na AB. Vo koj odnos pravata s ja deli otse~kata AB? A C M s B Zada~i. Na crteòt e daden triagolnik ABC i MN AB. C. Daden e ΔABC so strani AB 0, BC i CA 6. Niz to~kata M {to leì na stranata BC e povle~ena prava paralelna so AB i ja se~e AC vo to~kata A M N B N. Odredi MN, ako CM Vo trapezot ABCD, so osnovi AB i CD dijagonalite AC i BD se se~at vo to~kata S. a) Dokaì deka ΔABS ΔCDS. Odredi go razmerot: a) Ako CM : MA 3 :, toga{ CM : CA ; b) Ako CM : MA 7 : 3, toga{ CN : NB ; v) Ako CM : CA 3 : 4, toga{ AB : MN. b) Odredi ja CD, ako AB, AS 6 i SC Konstruiraj triagolnik A B C sli~en na ΔABC so strani 4, 5, 6 ako: a) najmalata strana mu e 5; b) koeficientot na sli~nosta e Odredi ja visinata na edno drvo ~ija{to senka e dolga 0 m, a vo isto vreme, ~ovek visok,7 m ima senka dolga m. 30 Tema. Sli~nost

31 8 VTOR I TRET PRIZNAK ZA SLI^NI TRIAGOLNICI Potseti se! Koi {est barawa treba da bidat ispolneti za dva triagolnici ABC i A B C da bidat sli~ni? Koi se dovolni uslovi, spored prviot priznak za sli~nost na triagolnici, za da bide ΔABC ΔA B C? A. Nacrtaj ΔABC so A = 60 o i strani AB 3 cm, AC cm. Potoa nacrtaj ΔA B C so A = 60 o i strani AB 3AB, AC 3AC. Izmeri gi i sporedi gi: B i B, C i C, BC i BC. [to zaklu~i? Na crteòt se dadeni triagolnicite spored uslovite na zada~ata. Pretpostavi deka ΔABC e pomesten taka {to A se sovpa a so A i ΔABC se sovpa a so triagolnikot A B C. C C C Odredi gi odnosite: AB : AB ; AC : AC i BC : BC. Pokaì deka B = B i C = C. A B A B B Zo{to ΔABC ΔA B C? Koi soodvetni elementi na dvata triagolnici se dadeni i dali e toa dovolno da pokaè{ deka triagolnicite se sli~ni? Dadeni se po dve soodvetno proporcionalni strani i ednakvi agli {to gi obrazuvaat tie strani. Toa e dovolno da se pokaè deka triagolnicite se sli~ni. Voo~i deka moè da se iskaè priznak za sli~ni triagolnici. Toj e nare~en vtor priznak za sli~ni triagolnici. Ako dve strani od eden triagolnik se soodvetno proporcionalni na dve strani od drug triagolnik i aglite {to gi obrazuvaat tie strani se ednakvi, toga{ tie triagolnici se sli~ni.. Proveri dali se sli~ni triagolnicite ABC i A B C, ako: b) BC 0 AC ) C 50 o ; B C 30; A C 33 ) C 50 o. b) BC 5, AC 70 ) C70 o ; B o C 50; AC 39, ) C Vo ΔABC, na crteòt, to~kata M e sredina na stranata C AB, a N sredina na AC. Dokaì deka ΔABC ΔAMN. Pokaì deka srednata linija MN na ΔABC e polovina od dolìnata na soodvetnata strana BC. N A M B Sli~ni triagolnici 3

32 B 4. Nacrtaj ΔABC so strani AB 8 cm, BC 6 cm, AC 4 cm, a potoa ΔA B C so dvapati pomali strani od ΔABC. Izmeri gi i sporedi gi aglite: A i A, B i B, C i C. [to zaklu~i? Dali ΔABC ~ ΔA B C? Soodvetnite strani na dva triagolnici se proporcionalni. Dali e toa dovolno za da utvrdi{ deka tie se sli~ni? Za dva triagolnici da se sli~ni, dovolno e soodvetnite strani da se proporcionalni, bidej}i toga{ i soodvetnite agli se ednakvi. Voo~i deka moè da se iskaè u{te eden priznak za sli~ni triagolnici. Toj e nare~en tret priznak za sli~ni triagolnici. Ako trite strani od edniot triagolnik se proporcionalni so soodvetnite strani od drugiot triagolnik, toga{ tie triagolnici se sli~ni. 3. Dali se sli~ni triagolnicite so strani: a) 3, 4, 5 i 6, 8, 0; b) 5, 9, i 4, 3, 5; v),, 3 i 6,6, 8; g) ; 3; 4 i 3; 6; 4,5? Treba da znae{: da gi iskaè{ vtoriot i tretiot priznak za sli~ni triagolnici; da utvrdi{ sli~nost na dva triagolnici spored vtoriot ili tretiot priznak za sli~ni triagolnici; da odredi{ nepoznata strana kaj sli~ni triagolnici. Proveri se! Stranite na ΔABC se: a = 6 cm, b = 4 cm i c = 3 cm. Odredi go perimetarot na ΔA B C {to e sli~en na ΔABC, a negovata najmala strana e 6 cm. Proveri dali se sli~ni ΔABC i ΔPQR, ako: A = 55 o, AB cm, AC 8 cm, P = 55 o, PR cm, PQ 8 cm. Zada~i. Nacrtaj ΔABC i ΔPQR, a potoa zapi{i koi uslovi treba da gi ispolnuvaat za da bide ΔABC ΔPQR spored: a) vtoriot priznak; b) tretiot priznak.. Pokaì deka triagolnicite ABC i EDC se sli~ni i spored koj priznak. 3 A B 6 4 C Tema. Sli~nost 6 9 D E 3. Stranite na eden triagolnik se 6, 5 i 4. Najgolemata strana na drug triagolnik, sli~en so dadeniot e 9. Najdi go perimetarot na drugiot triagolnik. 4. Dali se sli~ni dva triagolnici, ako dva agli od edniot triagolnik se po 60 o i 70 o, a dva agli od drugiot triagolnik se po 50 o i 80 o. 5. Agolot pri vrvot na eden ramnokrak triagolnik e 70 o. Agolot pri osnovata na drug ramnokrak triagolnik e 55 o. Dokaì deka tie triagolnici se sli~ni.

33 6. Obrazloì dali ΔABC ΔMNR, ako: BAC = 50 o, NMR = 50 o, AB 4 cm, AC 6 cm ; MN 30 cm, MR = 45 cm. ΔABC ΔA B C. Zo{to? Odredi go rastojanieto od A do B ako BC 40 m, CB 5 m, a BA 6,5m. 7. Proveri dali triagolnicite ABC i A B C se sli~ni, ako nivnite strani se: a) 5, 7, 4 i 4,5; 5,; 7,; b) ; 8,; 0 i 55; 0,5; Kako }e odredi{ rastojanie od to~kata A do to~ka B, ako to~kata A e nedostapna? Voo~i go crteòt. Na teren, izbirame to~ki C i B na ista prava so B, taka {to BC m CB. So instrument odreduvame agol B ednakov so B. Na krakot od B odreduvame to~ka A, taka {to to~kite A, C i A da leàt na ista prava Kako }e go presmeta{ rastojanieto me u dostapnite to~ki A i B, na teren, ako me u to~kite A i B ima nedostapen del. Voo~i go crteòt. Izbrana e to~kata C i na prodolènijata AC i BC, izbrani se to~kite A i B, taka {to AC n CA i BC n CB. ΔABC ΔA B C. Zo{to? Odredi go rastojanieto od A do B ako AC 0 m, CA m i AB =3,5m. ODNOS NA PERIMETRITE I ODNOS NA PLO[TINITE NA DVA SLI^NI TRIAGOLNICI Potseti se! Presmetaj go perimetarot na triagolnik so strani: a = 5 cm, b = 9 cm i c = 8 cm. Presmetaj ja plo{tinata na triagolnik so strana a = 0 cm i soodvetna visina h = 6 cm. Ako tri i pove}e razmeri se ednakvi, toga{ tie moàt da se zapi{at vo forma na prodolèna proporcija, na primer: a b c, t.e. a : b : c = a a b c : b : c. Za proporcijata vaì: abc a b c k. a b c a b c A. Stranite na eden triagolnik ABC se a = 6 cm, b = 8 cm i c = cm. Najmalata strana na drug triagolnik A B C, sli~en na ΔABC e a = 3 cm. Odredi go koeficientot na sli~nosta na triagolnicite. Odredi gi stranite b i c na ΔA B C. Odredi gi perimetrite na ΔABC i ΔA B C. Sporedi go odnosot na perimetrite na triagolnicite so odnosot na soodvetnite strani. [to zaklu~i? Sli~ni triagolnici 33

34 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Poznati se dve soodvetni strani a i a na sli~nite triagolnici. Spored toa a a b c k b c 6, t.e. k =. 3 ; b = kb ; 8 = b ; b = 4 cm; c = kc ; = c ; c = 6 cm. Voo~i deka perimetarot L na ΔABC e: L = , t.e. L = 6 cm, a perimetarot L na ΔA B C e: L = , t.e. L = 3 cm Sogleda deka odnosot na perimetrite na sli~nite triagolnici e ednakov so odnosot na soodvetnite strani. Vaì op{to! Ako ΔABC ΔA B C, toga{ L a b c. L a b c Dokaz. Od sli~nosta na ΔABC i ΔA B C sleduva: a b c. Spored svojstvoto na prodol- a b c èna proporcija sleduva: b C a b C a abc a b c, t.e. a b c a b c L a b c. L a b c A c B c A B Zapomni Perimetrite na dva sli~ni triagolnici se odnesuvaat kako nivnite soodvetni strani.. Stranite na ΔABC se a = 6, b = 5 i c = 8, a ΔA B C e sli~en na dadeniot so koeficient na sli~nost k 3. Odredi go perimetarot L na ΔA B C. B 3. Triagolnicite ABC i A B C, na crteòt, se sli~ni. Povle~eni se soodvetnite visini CD i C D. C C Pokaì deka ΔADC ΔA D C. Pokaì deka soodvetnite visini CD i C D se proporcionalni so soodvetnite strani na triagolnicite. A D B A D B 34 Tema. Sli~nost

35 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Voo~i deka pravoagolnite triagolnici ADC i A D C imaat po eden ostar agol ednakov, t.e. A = A (bidej}i ΔABC ΔA B C ). Moè{ da zaklu~i{ deka ΔADC ΔA D C. Od toa sleduva: CD : CD AC : AC k. Od sli~nosta na ΔABC i ΔA B C sleduva: CD AC AB BC k. CD AC AB BC Kaj sli~nite triagolnici soodvetnite visini se proporcionalni so soodvetnite strani. Op{to Kaj dva sli~ni triagolnici soodvetnite visini, teì{ni linii, simetrali na agli, radiusi na vpi{anite i opi{anite kru`nici imaat ist odnos so soodvetnite strani. 4. Perimetrite na dva sli~ni triagolnici se 6 cm i 4 cm, a edna visina na prviot triagolnik e 9 cm. Odredi ja soodvetnata visina na vtoriot triagolnik. V 5. Na crteòt se dadeni sli~nite triagolnici ABC i A B C. Nivnite plo{tini se P i P. Zapi{i gi formulite za plo{tinite P i P spored dadenite strani i soodvetnite visini na triagolnicite. Zapi{i odnos ednakov na odnosot h : h. A c a h C b B c a C h b A B Obidi se da dokaè{ na {to e ednakov odnosot na plo{tinite na triagolnicite, t.e. P : P. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. P a h; P a h. : ah a h P ah a h PP :, t.e. P ah a h. Bidej}i ΔABC ΔA B C h sleduva deka a. h a Spored toa, P a a P a ;. P a a P a Na ist na~in moè da se pokaè deka: P b P c ;. P b P c Zapomni Odnosot na plo{tinite na dva sli~ni triagolnici e ednakov so odnosot na kvadratite na nivnite soodvetni strani. 6. Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici ABC i A B C se 49 cm i 36 cm, a edna strana na ΔABC e a = 7 cm. Odredi ja soodvetnata strana a na drugiot triagolnik i soodvetnite visini h i h. Sli~ni triagolnici 35

36 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. P : P = a : a ; 49 : 36 = 49 : a ; a = 36; a = 6 cm. a h P 49 P ; h ; h 4; h 4cm. a 7 Od ΔA B C odredi ja visinata h, spored poznatoto: P i a. Treba da znae{: da iskaè{ kakov odnos imaat perimetrite, a kakov odnos imaat plo{tinite na dva sli~ni triagolnici; da go iskaè{ tvrdeweto za odnosot na soodvetnite visini, teì{ni linii i simetrali na agli na dva sli~ni triagolnici; da gi primeni{ vo zada~i odnosite na perimetrite i odnosite na plo{tinite na dva sli~ni triagolnici. Zada~i Proveri se! Stranite na ΔABC se a = 8, b = 6 i c = 4, perimetarot na sli~en na nego ΔA B C e 45. Odredi gi stranite na ΔA B C. Niva vo forma na triagolnik e nacrtana vo razmer : 00. Koj e odnosot me u plo{tinata na triagolnikot od crteòt i plo{tinata na nivata?. Perimetarot na eden triagolnik e tri pati pogolem od perimetarot na sli~en na nego triagolnik. Ako najgolemata strana na prviot triagolnik e 4 cm, kolku e najgolemata strana na drugiot triagolnik?. Stranite na eden triagolnik se 8 cm, 5 cm, 9 cm. Perimetarot na drug triagolnik {to e sli~en na prviot e L = 96 cm. Odredi gi stranite na drugiot triagolnik. 3. Perimetrite na dva sli~ni triagolnici se odnesuvaat 5 :, a zbirot na najgolemite strani im e 4 cm. Odredi gi dolìnite na najgolemite strani. 4. Stranite a, b, c, na eden triagolnik ABC se odnesuvaat kako 3 : 4 : 6. Odredi gi stranite a, b, c na ΔA B C so perimetar L = 5 cm, koj{to e sli~en na dadeniot. 5. Vo ΔABC, na rastojanie cm od stranata AC e povle~ena prava MN AC. Odredi ja visinata kon stranata AC na 36 ΔABC, ako AB : MB 3 : 9. Tema. Sli~nost 6. Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici ABC i A B C se 8 i 5. Stranata b na ΔABC e 9. Odredi ja stranata b na ΔA B C i visinata h {to e povle~ena kon nea. 7. Nacrtaj triagolnik ABC i potoa konstruiraj sli~en na nego ΔA B C ~ija{to plo{tina e edna ~etvrtina od plo{- tinata na ΔABC. 8. Stranata a na ΔABC e 0, a visinata {to pripa a e 5. Odredi ja stranata a i soodvetnata visina h na ΔA B C {to e sli~en so ΔABC i ima plo{tina Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici se vo odnos 9 : 5. Odredi go nivniot koeficient na sli~nost. 0. Niva vo forma na triagolnik e nacrtana vo razmer : 500. Plo{tinata na triagolnikot na crteòt e,76 dm. Odredi ja plo{tinata na nivata vo hektari.

37 PITAGOROVA TEOREMA 0 SLI^NOSTA VO PRAVOAGOLEN TRIAGOLNIK Potseti se! Vo pravoagolniot ΔABC na crteòt, spu{tena e visinata CD kon hipotenuzata AB. Kakva zaemna polo`ba imaat kracite na aglite α i γ? Koi parovi od ozna~enite agli imaat zaemno normalni kraci? Koi od ozna~enite agli se ednakvi me u sebe? Dadeni se otse~kite a = 3 cm, c = cm. Presmetaj ja nivnata geometriska sredina. A Analogno, otse~kata DB se vika proekcija na katetata BC vrz hipotenuzata. Nejzinata dolìna e ozna~ena so p.. Voo~i gi sli~nite pravoagolni triagolnici ABC i CBD na crteòt i ozna~enite dolìni na nivnite strani.. Pravoagolniot triagolnik ABC na crteòt, so visinata CD spu{tena kon hipotenuzata AB, podelen e na dva pravoagolni triagolnici: ΔADC i ΔCDB. Objasni zo{to (spored koj priznak) se sli~ni triagolnicite: a) ΔABC ΔCBD; b) ΔABC ΔACD. Voo~i ja otse~kata AD vo ΔABC na crteòt. Za nea }e velime deka e proekcija na katetata AC vrz hipotenuzata AB. Nejzinata dolìna }e ja ozna~ime so q. Koi strani od ΔCBD se soodvetni so stranite c i a od ΔABC? Stranata c e hipotenuza vo ΔABC, a stranata a e hipotenuza vo ΔCBD. Spored toa: c e soodvetna na a; stranata a od ΔABC e soodvetna so p od ΔCBD. Objasni zo{to AB : CB BC : BD, t.e. c : a = a : p. Od proporcijata c : a = a : p se dobiva a = cp. [to pretstavuva katetata a za hipotenuzata c i proekcijata p? 3. Na crteòt vo zada~ata, voo~i gi sli~nite pravoagolni triagolnici ABC i ACD. Zapi{i gi parovite soodvetni strani. Objasni zo{to c : b = b : q, t.e. b = cq. Iskaì ja so zborovi vrskata na katetata b so hipotenuzata c i proekcijata q na b vrz c. Pitagorova teorema 37

38 Zapomni! Teorema o Sekoja kateta vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina od hipotenuzata i proekcijata na taa kateta vrz hipotenuzata. a = cp, a = cp b = cq, b = cq 4. Vo pravoagolniot ΔABC so kateti a = i b = 5 i hipotenuza c = 3, odredi gi proekciite na a i b vrz c. B 5. Vo pravoagolniot ΔABC e spu{tena visinata CD kon hipotenuzata. Zo{to CAD e ednakov so BCD? Voo~i gi ΔACD i ΔCBD na crteòt i pokaì deka tie se sli~ni. Koi se soodvetni strani od ΔCBD na stranite q i h od ΔACD? Objasni zo{to q : h = h : p, t.e. h = pq. Iskaì ja so zborovi vrskata na visinata h so proekciite p i q (na a i b vrz c). Zapomni! Teorema o Visinata h spu{tena kon hipotenuzata c vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina na proekciite p i q od katetite vrz hipotenuzata. h = pq h = pq. 6. Najdi go p, ako q = 4 i h = 6. Tvrdewata o i o, t.e. vrskite a = cp, b = cq, h = pq, gi dokaàl starogr~kiot matemati~ar Evklid ( god. p.n.e.) i poradi toa tie se vikaat Evklidovi teoremi. 38 Tema. Sli~nost

39 Potseti se! Na crteòt e dadena polukru`nica so dijametar AB i izbrana e to~ka C na polukru`nicata. Od kakov vid e agolot ACB? Kako glasi Talesovata teorema za periferiski agol nad dijametar? V 7. Nacrtaj dve otse~ki m i n, kako na crteòv. m n Potoa, konstruiraj ja geometriskata sredina na tie otse~ki (t.e. otse~ka x, takva {to x = m n). Sledi ja postapkata kako {to e pokaàno. Nacrtaj poluprava AT i nanesi gi na nea otse~kite mad i crteòt. ndb kako na Konstruiraj ja srednata to~ka O na otse~kata AB i nacrtaj polukru`nica so dijametar AB. Konstruiraj ja normalata na AB niz to~kata D i ozna~i go so C nejziniot presek so polukru`nicata. Spored teoremata o obrazloì zo{to dobienata otse~ka xcd e geometriska sredina na otse~kite m i n. 8. Konstruiraj ja geometriskata sredina x na otse~kite m = cm i n = 3 cm. Treba da znae{: da gi iskaè{ Evklidovite teoremi i da gi primeni{ vo zada~i; da konstruira{ geometriska sredina na dve otse~ki. Proveri se! Vo pravoagolniot ΔABC, p i q se proekciite na katetite a i b, soodvetno, vrz hipotenuzata c. a) Ako c = i p = 3, kolku e a? v) Ako q = i p = 8, kolku e h? b) Ako b = 3, kolku e cq? Kako se konstruira geometriskata sredina na dve otse~ki? (Opi{i ja postapkata.) Pitagorova teorema 39

40 Zada~i. Vrz osnova na crte`ot popolni gi ~lenovite {to nedostasuvaat vo proporcijata: 4. Konstruiraj ja geometriskata sredina na otse~kite: a) m =,5 cm i n = 3,5 cm; b) m =,5 cm i n = 3 cm. a) m? ;? n b)? x ; x m n y z m n 5. Vo pravoagolniot ΔABC e dadena katetata a = 8 i nejzinata proekcija p = 6,4. Presmetaj ja hipotenuzata c i drugata kateta b. v) x y = (m + n) ; x mn g).? 6. Vo pravoagolnikot ABCD e vpi{an pravoagolen ΔABM so prav agol vo temeto M (kako na crte`ot).. Vo pravoagolniot ΔABC, p i q se proekciite na katetite a i b, soodvetno, vrz hipotenuzata c. Odredi ja vrednosta na nepoznatite veli~ini. a) p =, q = 3, h =? b) a =, cp =? v) c = 8, p = 8, b =?, a =? 3. Vo pravoagolniot ΔABC e dadena visinata h =,4 spu{tena kon hipotenuzata i proekcijata na katetata b vrz hipotenuzata, q =,8. Najdi ja: a) otse~kata p; b) hipotenuzata c; v) katetata b; g) katetata a. Presmetaj ja plo{tinata na oboeniot del od pravoagolnikot ako CM 9 cm i DM 6 cm. 7. Konstruiraj kvadrat {to ima ednakva plo{tina so pravoagolnik ~ii dimenzii se a = 4 cm i b = 3 cm. 40 Tema. Sli~nost

41 PITAGOROVA TEOREMA Potseti se! Pitagorovata teorema ti e poznata od minatata u~ebna godina. Taa glasi: Vo pravoagolen triagolnik, kvadratot na hipotenuzata c e ednakov so zbirot od kvadratite na katetite, a i b, t.e. A. Na crteòt e pretstaven pravoagolen ΔAVS so dolìna na katetite a, b i dolìna na hipotenuzata c. Nad negovite strani se konstruirani kvadratite i nivnite plo{tini se ozna~eni so P a, P b i P c, soodvetno. c = a + b Kolkava e plo{tinata R na kvadrat so strana a = 5 cm? Zapi{i ja vrskata me u P a, P b i P c. Sogledaj deka: P a = a, P b = b i P c = c. Od c = a + b zaklu~i deka P c = P a + P b. Spored toa, Pitagorovata teorema moè da se iskaè i vaka: Vo koj bilo pravoagolen triagolnik plo{tinata na kvadratot nad hipotenuzata e ednakva na zbirot od plo{tinite na kvadratite nad katetite, t.e. P c = P a + P b.. So pomo{ na slednite upatstva obidi se da ja dokaè{ Pitagorovata teorema. Nacrtaj pravoagolen ΔABC so C = 90 o i spu{ti ja visinata CD kon hipotenuzata. Zapi{i ja vrskata me u sekoja kateta so hipotenuzata i soodvetnata proekcija, t.e. vrskata spored Evklidovite teoremi. Odredi go zbirot od levite i zbirot od desnite strani na ravenstvata. Sporedi go tvoeto razmisluvawe so dadeniot dokaz. Tvrdewe Dokaz Obrazloènie. CD AB E Visinata vo triagolnik e normalna na soodvetnata strana.. a = pc, b = qc E Katetata e geometriska sredina od hipotenuzata i soodvetnata proekcija. 3. a + b = pc + qc E Svojstvo na sobirawe ravenstva. 4. a + b = (p + q) c Distributivnost na mnoèweto vo odnos na sobiraweto. 5. a + b = c c, t.e. a + b = c. E E Princip na zamena (c = p + q). Pitagorova teorema 4

42 Kako moè{ da ja izrazi{ hipotenuzata c so pomo{ na katetite a i b? Kako }e ja izrazi{ ednata kateta so pomo{ na hipotenuzata i drugata kateta? Od c = a + b sleduva: c a b, a c b b c a., 3. Najdi ja hipotenuzata c na pravoagolen triagolnik, ako katetite mu se a = 5 i b = Dadena e hipotenuzata c = 9 i katetata a = 0 na eden pravoagolen triagolnik. Najdi ja drugata kateta. 5. Daden e ΔABC so strani a = 6 cm, b = 8 cm i c = 0 cm. B Pokaì deka e ispolneto ravenstvoto a + b = c. Konstruiraj go ΔABC i so merewe, uveri se deka toj e pravoagolen. Vaì i op{to Ako za eden triagolnik so strani a, b, c vaì ravenstvoto a + b = c, toga{ toj triagolnik e pravoagolen, so hipotenuza c. Ova tvrdewe e teorema, obratna na Pitagorovata teorema. 6. Stranite na ΔABC se: a) a = 7, b = 4, c = 5; b) c = 8, b = 0, c = 5. Proveri dali ΔABC e pravoagolen. 7. Presmetaj ja dolìnata d na dijagonalata na pravoagolnik so strani a = 6 dm i b = cm. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto upatstvo. D C Nacrtaj pravoagolnik ABCD i ozna~i gi stranite i dijagonalata, kako na crteòt. Sogledaj deka ΔABC e pravoagolen; negovata hipotenuza e dijagonalata d, a katetite mu se stranite a i b na pravoagolnikot. Primeni ja Pitagorovata teorema vo ΔABC: d = a + b = 60 + = = 3 7; d A 376; d = 6 cm. d a b B 8. Presmetaj ja visinata h na ramnokrak ΔABC so osnova a = 8 i krak b = 4. Razgledaj gi upatstvata i sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Nacrtaj ramnokrak ΔABC i spu{ti ja visinata CD kon osnovata, kako na crteòt. Sogleduva{ deka ΔADC e pravoagolen, so hipotenuza b i kateti a i h. 4 Tema. Sli~nost A b a h C D B

43 Primeni ja Pitagorovata teorema vo ΔADC: b = h + a ž žÿ ; ottuka: h = b - a ž žÿ = 4-9 = 68-8 = 600; h ; h = 40 cm. 9. Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova 0 i visina. Treba da znae{: da ja iskaè{ i dokaè{ Pitagorovata teorema; da ja presmeta{ dolìnata na edna strana vo pravoagolen triagolnik, ako se dadeni drugite dve. Proveri se! Najdi ja hipotenuzata c na pravoagolen triagolnik so kateti a = 8 i b = 5. Presmetaj ja visinata na ramnokrak triagolnik so osnova 0 cm i krak 6 cm. Zada~i. Najdi ja nepoznatata strana na pravoagolniot triagolnik so kateti a i b, i hipotenuza c, ako: a) a =, b = 35, c =? b) b = 56, c = 65, a =? v) a = 5, b = 3, c =?. Dali ΔABC e pravoagolen, ako negovite strani se: a) 4, 48, 50; b) 9,, 7; v) 5,6; 3,3; 6,5; g) 00, 60, 80? 3. Najdi ja dijagonalata na pravoagolnik so strani 0,8 dm i 0,96 dm. 4. Najdi go perimetarot na pravoagolnik so dijagonala 8,5 dm i edna strana,3 dm. 5. Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova 4 i visina Presmetaj ja pribli`no visinata h na ramnostran triagolnik so strana a =. 7. Katetata na eden pravoagolen triagolnik e 35 cm. Zbirot od hipotenuzata i drugata kateta e 49. Presmetaj ja hipotenuzata c i drugata kateta b. 8. Hipotenuzata na pravoagolen triagolnik e 35 cm. Odnosot na katetite e 3 : 4. Najdi gi katetite. 9. Plo{tinite na ramnostranite triagolnici nad katetite a, b i hipotenuzata c od pravoagolniot ΔABC se ozna~eni so P a, P b i P c. Pokaì deka P c = P a + P b. Proveri dali vaì takvata vrska, ako namesto pravilni triagolnici se konstruirani pravilni {estagolnici. Pitagorova teorema 43

44 Pitagorovi trojki Ova ne e zadolìtelno! Interesno e pra{aweto za trojkite prirodni broevi a, b, c {to go zadovoluvaat ravenstvoto a + b = c. Takvi trojki se, na primer: 3, 4, 5; 6, 8, 0; 5,, 3 i dr. Tie se vikaat Pitagorovi trojki. Proveri deka so slednite izrazi se dobivaat Pitagorovi trojki. o mn, m - n, m + n, za sekoi m, n N, m > n. o n +, n + n, n + n + ; za sekoj n N se dobiva po edna Pitagorova trojka. 3 o n, n n,, za sekoj neparen n N, n 3. 4 o n, n n,, žÿ žÿ za sekoj paren n N, n 4. ZADAÎ SO PRIMENA NA PITAGOROVATA TEOREMA Potseti se! Osnovite na ramnokrakiot trapez ABCD na crteòt se a AB 5cm i b CD 9 cm, a DE e visinata na trapezot. Presmetaj go x AE. Prese~nata to~ka na dijagonalite vo rombot EGH na crteòt e ozna~ena so S. Od koj vid e ΔES? Obrazloì go tvojot odgovor. Vo kru`nicata so centar O, na crteòt e nacrtana tetiva MN, a vo ΔMNO e spu{tena visinata OS kon stranata MN. Kakvi se me u sebe ΔMSO i ΔNSO? Zo{to? A. Presmetaj ja visinata h na ramnokrak trapez so osnovi 6 cm i 30 cm, a krak 5 cm. Ako ne moè{ sam da ja re{i{ zada~ata, sledi gi upatstvata. Nacrtaj ramnokrak trapez ABCD i povle~i gi negovite visini DE i C. Voo~i go, potoa, pravoagolniot ΔAED so hipotenuza c = 5 cm i kateti x i h. Voo~i isto taka od crteòt deka ab a = b + x, od kade {to x. Primeni ja Pitagorovata teorema za ΔAED; }e dobie{ a b h c x c ž žÿ 44 Tema. Sli~nost

45 So zamenuvawe na c, a i b, }e dobie{: h ž ; žÿ h 576 4; h = 4 cm.. Osnovite na ramnokrak trapez se 30 i 0, a krakot e 3. Presmetaj ja plo{tinata na trapezot. 3. Najdi go perimetarot na rombot ABCD so dijagonali AC 70 i BD 4. Na {to e ednakov perimetarot L na romb so strana a? Kako }e ja presmeta{ stranata a na rombot ako gi znae{ d negovite dijagonali? Vo rombot ABCD na crteòt, presekot na dijagonalite e ozna~en so S. d d Voo~i go ΔABS. Toj e pravoagolen (zo{to?) so hipotenuza a i kateti 35 i d. Spored Pitagorovata teorema: a d d ; žÿ žÿ a ; a = 37; L = 4 37 = Vo kru`nica so radius r = dm e povle~ena tetiva MN so dolìna t =,4 dm. Kolkavo e rastojanieto d na taa tetiva od centarot na kru`nicata? Ako ti e neophodna pomo{, razgledaj go crteòt. Voo~i go pravoagolniot ΔMSO, so hipotenuza r i kateti d i potoa, spored Pitagorovata teorema, }e dobie{: t, a d t r ž ; žÿ d 566 ; d =,6 dm. B 5. Dadeni se otse~kite a i b (a > b) kako na crteòt. a Konstruiraj otse~ka x, takva {to: a) x a b ; b) x a b Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto na crteòt: se konstruira pravoagolen triagolnik, za a) so kateti a i b, a za b) so hipotenuza a i kateta b. b a) b) Pitagorova teorema 45

46 6. Konstruiraj otse~ka so dolìna n, kade {to n =, 3, 4, 5, 6, 7... Konstrukcijata e prikaàna na crteòt. Otse~ka so dolìna e konstruirana taka {to e konstruiran ramnokrakiot pravoagolen ΔOAB, so kateti OA AB (cm, dm,...); hipotenuzata OB ima dolìna. (Zo{to?) Ako otse~kata OB se zeme za edna kateta, a otse~kata BC za drugata kateta na pravoagolniot ΔOBC, toga{ hipotenuzata na ΔOBC }e ima dolìna 3 (Zo{to?). Objasni kako se konstruirani otse~kite so dolìna 4, 5 itn. Konstrukcijata na x n moè da se izvede i "direktno#, so konstruirawe na geometriskata sredina na otse~kite so dolìna n i, kako na crteòt n =CD. 7. Konstruiraj otse~ka so dolìna x a ab. Konstruiraj ja geometriskata sredina na otse~kite so dolìna a i a + b. Treba da znae{: da ja primeni{ Pitagorovata teorema za presmetuvawe dolìni kaj ramninski geometriski fiugri; da re{ava{ odredeni konstruktivni zada~i so pomo{ na Pitagorovata teorema. Proveri se! Presmetaj go perimetarot na ramnokrak trapez so osnovi 30 i 4, a visina 5. Stranata na eden romb e a = 3 cm, a ednata dijagonala e 0 cm. Kolku e drugata dijagonala? Objasni kako se konstruira otse~ka so dolìna 3. Zada~i. Skala so dolìna 7,4 m e potprena na yid taka {to dolniot kraj od skalata e oddale~en,4 m od yidot. Do koja visina dostignala skalata? (Napravi skica.). Presmetaj gi: a) visinata, b) plo{- tinata, v) dijagonalata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 4 cm, b = 4 cm i krakot c = 4 cm. 46 Tema. Sli~nost

47 3. Dijagonalite na eden romb se d = 40 i d = 50. Kolku (pribli`no) iznesuva stranata a na toj romb? 4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 7 cm, a osnovite mu se dolgi 0 cm i 4 cm. Presmetaj go perimetarot na trapezot. 5. Stranite na eden deltoid se dolgi 5 cm i 5 cm, a dijagonalata {to ne e simetrala iznesuva 40 cm. Presmetaj ja plo{tinata na deltoidot. 6. Vo kru`nica so radius 3,4 cm e povle~ena tetiva na rastojanie,6 cm od centarot. Najdi ja dolìnata na tetivata. 7. Konstruiraj otse~ka so dolìna: a) ; b) 5 ; v) a a ; g) a ab ab, kade {to a i b se dadeni otse~ki. 8. Konstruiraj kvadrat ~ija{to plo{tina e ednakva so: a) zbirot, b) razlikata od plo{tinite na dvata dadeni kvadrati. 9. Vo kru`nica so radius 7 cm e vpi{an pravoagolnik. Najdi go perimetarot na toj pravoagolnik ako odnosot na negovite strani e 5 : Na drvo {to e oddale~eno 8 m od eden izvor se ka~eni dva majmuna - edniot na vrvot, a drugiot na m od zemjata. Koga oèdnele, majmunot od vrvot skoknal pravo na izvorot, a drugiot slegol od drvoto i oti{ol po zemja do izvorot. Pritoa, obata majmuni izminale ednakov pat. Kolku e visoko drvoto? Obidi se... ne e zadolìtelno! Dve kru`nici se dopiraat odnadvor i se smesteni vo treta, pogolema od niv kru`nica. Sekoja od trite kru`nici gi dopira drugite dve, a nivnite centri O, O, O leàt na ista prava, AB, kako na crteòt. Dadena e dolìnata t (na primer, t = 6 cm) na tetivata CD od golemata kru`nica {to e tangenta na malite kru`nici. Presmetaj ja plo{tinata P na delot od golemiot krug {to e nadvor od malite krugovi (t.e. na oboeniot del). Pitagorova teorema 47

48 S O R A B O T A P O D A T O C I 3 POPULACIJA. PRIMEROK A. Vo fabrikata za ~okoladi ima vraboten degustator. Negova zada~a e da proba od ~okoladite i da go proceni nivniot kvalitet. Razmisli i odgovori, dali degustatorot treba da ja proba sekoja ~okolada? Sekako ne. Degustatorot izbira odreden broj ~okoladi koi gi probuva. Mno{tvoto od site tie elementi, vo slu~ajov ~okoladi, koi se predmet na ispituvawe e populacija. Izbraniot del elementi, na koi se vr{i ispituvaweto se vika primerok.. Voo~i gi primerite za populacija i primerok. Populacija U~enici od I do VIII oddelenie vo edno u~ili{te udbalski timovi Site u~enici {to odat vo privatni u~ili{ta za angliski jazik Site u~enici od VII oddelenie vo R. Makedonija {to imaat ocenka 5 po matematika Primerok Po edna paralelka od I do VIII oddelenie vo istoto u~ili{te Po tri fudbaleri od sekoj tim Po eden u~enik od sekoe privatno u~ili{te za stranski jazik Po eden u~enik od VII oddelenie od sekoe u~ili{te vo R. Makedonija {to ima ocenka 5 po matematika Zapi{i tri primeri na populacija i primerok (del) od taa populacija. 3. Razmisli i odgovori. Za da se proveri dali u~enicite sakaat za vreme na golemiot odmor da im se pu{ta muzika, {to e podobro: da se pra{aat site u~enici vo site u~ili{ta ili da se pra{a primerok od po nekolku u~enici od sekoe u~ili{te? Obrazloì go tvojot odgovor. Naj~esto ne e mo`no da se napravi nekoe istraùvawe, testirawe ili proverka i ispituvawe na celata populacija. Zo{to? Moè toa da bide: - mnogu skapo; - da trae dolgo vreme; - da bide nevozmo`no da se dojde do sekoj ~len od populacijata (na primer, brojot na ribite vo Ohridskoto Ezero). 48 Tema. Sli~nost

49 4. B Zapi{i po edna pri~ina zo{to e podobro da se zeme primerok namesto celata populacija za sekoe od navedenite istraùvawa. Najgledana televiziska emisija vo eden grad od ìteli. Kvalitetot na sokovite vo edna sokara. Prose~niot broj knigi {to gi pro~ital sekoj ìtel na R. Makedonija vo prethodnata godina. Koga ima potreba da se napravi zaklu~ok ili da se izjavi ne{to za cela populacija a se zema primerok, primerokot treba da bide reprezentativen (soodveten na populacijata) Voo~i go primerov. Za da proveri kolku u~enicite od negovoto u~ili{te koristat gradski soobra}aj, Jovan zastanal na edna avtobuska postojka i pribral podatoci so pra{uvawe na lu eto {to se simnale od eden avtobus. Podatocite {to gi pribiral Jovan ne se soodvetni bidej}i primerokot ne e reprezentativen. Ako Jovan pra{uval u~enici od negovoto u~ili{te, dali primerokot }e bide reprezentativen? Obrazloì go svojot odgovor. Marija sakala da ja otkrie prose~nata dolìna na listovite na edno rastenie koe imalo dvapati pove}e mali listovi od golemi listovi. Koj primerok od listovi {to taa treba da go izbere e reprezentativen? a) Samo golemi listovi; v) ednakov broj mali i golemi listovi; b) samo mali listovi; g) dvapati pove}e mali listovi od golemi listovi. Obrazloì go svojot odgovor! Reprezentativen primerok moè da se izbere po metodot na slu~aen izbor i sistematski. Slu~aen izbor zna~i deka sekoj objekt ili lice od populacijata ima ednakvi {ansi da bide izbran. Za da izbereme, slu~ajno, 5 od 30 u~enici vo edna paralelka moè da gi zapi{eme nivnite broevi od oddelenskata kniga na liv~iwa, liv~iwata da gi izme{ame vo edna kutija, i da izvle~eme 5 liv~iwa. Ili, da izbereme eden broj (na primer 7), a potoa sistematski da go birame sekoj petti u~enik: ( = ; + 5 = 7 ; ; 7 ) 7. Ilija sakal da pra{a primerok u~enici od negovoto u~ili{te za toa dali sakaat da se vovede zadolìtelno nosewe u~ili{na uniforma. Obrazloì zo{to nitu eden od slednive na~ini za izbor na primerok ne e dobar: a) da gi pra{a prvite 0 lica {to }e vlezat vo u~ili{teto; b) da gi pra{a u~enicite od negovata paralelka; v) da gi pra{a u~enicite od matemati~kata sekcija. Rabota so podatoci 49

50 Kako treba Ilija da go izbere primerokot za da bide reprezentativen? Voo~i! Izborot na primerokot treba da e slu~aen i da bide sostaven od u~enici od site oddelenija ( od I do VIII oddelenie) za da moè da se izvle~e pravilen zaklu~ok. 8. Vo tabelata Ilija gi sredil podatocite od istra- ùvawata za zadolìtelno nosewe u~ili{na uniforma. Kolku vkupno u~enici broel primerokot na Ilija? Ako primerokot bil 0 % od populacijata, kolku vkupno u~enici imalo vo u~ili{teto? Koj e zaklu~okot na Ilija za noseweto u~ili{na uniforma? Zapi{i u{te eden zaklu~ok {to moè da se dobie od podatocite vo tabelata. Primerok Primerok Prvo Vtoro Treto êtvrto Petto [esto Sedmo Osmo Broj na odgovori Da Ne V Pribranite podatoci od reprezentativen primerok i dobienite merki za centralna tendencija ovozmoùvaat da se izvle~at zaklu~oci i da se napravat voop{tuvawa za cela populacija. 9. Voo~i go primerot: Pribrani podatoci Broj na filmovi godi{no 0 do 4 5 do 8 9 do 3 i pove}e Odgovori na ispitanici Vo edna naselba imalo ìteli postari od 5 godini. Ivan sakal da proceni kolkupati godi{no tie odat na kino. Toj za primerok izbral 50 lu e i po telefon gi pribral podatocite. Pribranite podatoci gi pretstavil vo tabela po kategorii spored brojot na filmovite gledani vo kino. Ivan ja dopolnil tabelata so vrednosti na frekfenciite (broj na odgovori za sekoja kategorija). Potoa presmetal procent za brojot na odgovorite vo sekoja kategorija od vkupniot broj ispitanici vo primerokot (50 lu e). 50 Tema. Sli~nost

51 Broj na filmovi godi{no 0 do 4 5 do 8 9 do 3 i pove}e Odgovori na ispitanici Vrednost na funkcijata Procent 00 = 4% = 3% = % = 6% = 8% 50 Na krajot procentite dobieni za primerokot, Ivan gi primenil na celata populacija. 4% od e 00 Ako 4% od primerokot ne odat vo kino, moè da se predvidi deka 4% od populacijata ne odat vo kino, {to e 00 lu e. Napravi voop{tuvawe za populacijata za ostanatite kategorii (broj na gledani filmovi vo kino - godi{no). 0. Mimoza sakala da proveri kolku se zagaduva okolinata so plasti~ni otpadoci frleni vo u~ili{niot dvor za vreme na golemiot odmor. Slu~ajno izbrala eden mesec vo koj pribrala podatoci, kako primerok od celata u~ebna godina. Vid otpadok Broj Pribranite podatoci gi pretstavila vo tabela. Plasti~ni }esi [i{iwa od jogurt [i{iwa od sok â{ki od puding a) Presmetaj po kolku otpadoci prose~no vo eden den bile frleni od sekoj vid. b) Ako u~ebnata godina ima 80 dena, upotrebi go odgovorot pod a) za da go predvidi{ brojot na sekoj vid otpadok vo tekot na u~ebnata godina. Treba da znae{: {to e populacija, a {to primerok; da proceni{ dali daden primerok e reprezentativen za dadena populacija; da odredi{ primerok {to e soodveten za dadeno istraùvawe; da voop{ti{ zaklu~ok dobien od primerok vrz populacija. Proveri se! Proceni i odgovori dali e dobar izborot na primerokot: "slu~aen izbor na 5% od populacijata od gradskiot telefonski imenik# za istraùvaweto: "mislewe za kvalitetot na gradskiot soobra}aj vo eden grad#. Obrazloì go svojot odgovor. Rabota so podatoci 5

52 A.. 3. B Zada~i Vo slednite tri slu~ai: odredi ja populacijata; proceni dali na~inot na izbor na primerokot e soodveten; predloì drug na~in na izbor na primerok. Stefan sakal da otkrie kolku zarabotuvaat studentite {to rabotat preku studentskata organizacija. Toj oti{ol vo bibliotekata vo studentskiot dom i pra{al 40 devojki. Za ~asot po geografija Bojan treba da odnese vo u~ili{te 5 primeroci po~va od svojata gradina. Toj zastanal vo sredinata na gradinata, frlil pari~ka i od tamu kade {to padnala pari~kata zel primeroci. Tawa sakala da proveri dali e to~no deka ènite vo Bitola ìveat podolgo od maìte. Taa pobarala podatoci od Zavodot za statistika od prethodnata godina. Vo slednite pet slu~ai: koi od primerocite se reprezentativni za populacijata i za istraùvaweto? Obrazloì go sekoj od tvoite odgovori Istrùvawe: efikasnosta na noviot lek za glavobolka. Primerok: site pacienti na eden lekar koi imaat ~esti glavobolki. Istraùvawe: kvalitetot na lebot od edna pekarnica. Primerok: sekoj dvaesetti kupuva~ vo edna prodavnica kade {to se prodava leb od taa pekarnica. Vo eden grad ima semejstva. Izbrani se 00 semejstva za istraùvaweto: koj e najomilen den za pazaruvawe. Podatocite se dadeni vo tabelata. Omilen den za pazaruvawe Den rekfencija Procent Ponedelnik Vtornik Sreda êtvrtok Petok Sabota Nedela Istrùvawe: mislewe za toa dali da se izgradi novo kafule. Primerok: slu~aen izbor od naj~estite posetiteli na gradskata biblioteka. Istrùvawe: dali ma{inata za pakuvawe "Smoki#, sekoe paket~e go pravi so ista gramaà. Primerok: prvite 50 paket~iwa "Smoki# {to izleguvaat od ma{inata vo eden den. Merena e nivnata masa. Nema omilen den Vkupno 8 00 a) Odredi gi procentite za sekoj den. b) Upotrebi go procentot od primerokot za da go predvidi{ brojot na semejstvata od celata populacija na koi omilen den za pazaruvawe im e petok. v) Kolku semejstva vo gradot nemaat omilen den za pazaruvawe? 5 Tema. Sli~nost

53 UÊ[E ZA SLI^NOST PROVERI GO TVOETO ZNAEWE. Dadeni se dva kvadrati, edniot so strana a = cm, a drugiot so strana b = 8 cm. Najdi go razmerot na nivnite: a) strani; b) perimetri; v) plo{tini. Dali nekoi od tie razmeri se ednakvi?. Otse~kata AB e dolga cm. Najdi go rastojanieto me u srednata to~ka S na otse~kata i to~kata M {to ja deli otse~kata vo odnos 3 : Najdi go nepoznatiot ~len vo proporcijata: a) x : 4 = 5 : ; b) 3 : x = : 6; v) 7 : 3 = 4 : (x + ). 4. Najdi ja dolìnata na otse~kata {to e geometriska sredina na otse~kite so dolìni 8 cm i 8 cm. 5. Nacrtaj proizvolna otse~ka i podeli ja na: a) 4; b) 5; v) 7 ednakvi delovi. 6. Daden e ΔABC i prava MN AB {to ja se~e AC vo M i BC vo N. Najdi ja: a) AC, ako CN 6 NB 3 i MA 4. b) BC, ako AC : CM 5 : i CN Nacrtaj agol SOT. Na krakot OS nanesi gi otse~kite OA 3 cm i OB 5 cm, a na krakot OT - otse~kite OC 4 5 cm i OD 7 5 cm. Nacrtaj gi pravite AC i BD. a) Proveri na crteòt dali pravite se paralelni. b) Objasni zo{to tvojot odgovor e pravilen. 8. Dadena e otse~ka so dolìna cm. Konstuiraj triagolnik so perimetar cm, taka {to stranite da mu se odnesuvaat kako 3 : 5 : Dali se sli~ni dva triagolnici, ako dva agli na edniot triagolnik se 40 o i 60 o, a na drugiot se 60 o i 80 o? Obrazloì! 0. Eden elektri~en stolb frla senka dolga 0 m, a vo isto vreme senkata na eden ~ovek visok,5 m e dolga,5 m. Odredi ja visinata na stolbot.. Eden par soodvetni strani na dva sli~ni triagolnici se: a = 5 dm i a = 6 dm, a visinata kon stranata a e 8 cm. Odredi ja visinata kon stranata a.. Dve soodvetni strani na dva sli~ni triagolnici se 7,5 cm i 0 cm. Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na pomaliot triagolnik, ako pogolemiot triagolnik ima perimetar 60 cm i plo{tina 80 cm. 3. Vo pravoagolen triagolnik se dadeni proekciite na katetite vrz hipotenuzata, p = i q = 8. Najdi gi: c, a, b, h. 4. Najdi go perimetarot na pravoagolnik so strana 300 i dijagonala Dali e pravoagolen triagolnikot so strani: a) 3, 4, 40; b) 0, 40, 50; v) 0,7;,4;,5? 6. Najdi go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova 8 i visina Presmetaj ja stranata na romb ~ii dijagonali imaat 9 cm i 5,6 cm. Proveri go tvoeto znaewe 53

54 54

55 TEMA. LINEARNA RAVENKA, LINEARNA NERAVENKA I LINEARNA UNKCIJA LINEARNI RAVENKI. Ravenstvo, ravenka, identitet 56. Vidovi ravenki Re{enie na ravenka. Ekvivalentni ravenki6 4. Teoremi za ekvivalentni ravenki Teoremi za ekvivalentni ravenki Op{t vid na linearna ravenka so edna nepoznata Primena na linearnite ravenki so edna nepoznata 78 LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA 8. Poim za neravenstvo i neravenka Re{enie na neravenka. Intervali Teoremi za ekvivalentni neravenki 9. Re{avawe na linearni neravenki so edna nepoznata 98 SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA. Re{avawe sistem linearni neravenki so edna nepoznata 00 LINEARNI UNKCII 3. Linearna funkcija Grafi~ko pretstavuvawe na linearna funkcija Zaemna polo`ba na graficite na nekoi linearni funkcii 6. Rastewe i opa awe na linearna funkcija 4 7. Grafi~ko re{avawe na linearni ravenki so edna nepoznata 7 8. Slu~ajni nastani. Verojatnost na nastan 0 Proveri go tvoeto znaewe 5

56 LINEARNI RAVENKI RAVENSTVO, RAVENKA, IDENTITET Potseti se! Dva izraza svrzani so znakot "=# (ednakvo) obrazuvaat ravenstvo. Ravenstva se, na primer: = 5 + 8; = 7 + 0; x - 3 = x + ; x - y = (x - y)(x + y). Zapi{i ravenstvo so koe e iskaàno: a) komutativnoto svojstvo na sobiraweto vo Q; b) distributivnoto svojstvo na mno- èweto vo odnos na sobiraweto vo Q. Zapi{i ravenstvo vo koe 4x - 4x e leva strana, a x - 6 e desna strana na ravenstvoto. A. Dadeni se ravenstvata: a) 3 - = - 7; b) 3x - = x + 5; v) x + y = 8; g) 5-6 : = 4-5; d) =. Vo koi od dadenite ravenstva levata i desnata strana se brojni izrazi? Vo koi od dadenite ravenstva levata i desnata strana ili ednata od niv e izraz so promenliva? Sogledaj i zapomni Vo ravenstvata a) i g) levata i desnata strana se brojni izrazi. Ravenstvata vo koi levata i desnata strana se brojni izrazi se vikaat brojni ravenstva. Vo ravenstvata b) i v) levata i desnata strana ili ednata od niv e izraz so promenliva. Ravenstvata vo koi levata i desnata strana ili barem ednata od niv e izraz so promenliva, se vikaat ravenstva so promenlivi. Promenlivite se menuvaat vo mnoèstvoto R ili vo nekoe negovo podmnoèstvo. Za brojnoto ravenstvo se veli deka e to~no, ako vrednosta na izrazot od levata strana e ednakva so vrednosta na izrazot od desnata strana. Koe od brojnite ravenstva a), g) i d) e to~no?. Zapi{i to~no brojno ravenstvo na koe levata strana e: a) 3 + 7; b) 5 - (9 + ). 3. Odredi koi od slednive ravenstva se ravenstva so promenliva. a) 7-0 : = 4 3-0; b) 3x + - x = 8; v) 3x - 5 = x + 3; g) 5 + = 9 : Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

57 Mnoèstvoto vo koe se menuvaat promenlivite se vika definiciono mnoèstvo i naj~esto se ozna~uva so D. Ravenstvo so edna promenliva, vo op{t slu~aj }e ozna~uvame so A(x) = B(x), x D, kade {to A(x) i B(x) se izrazi so promenliva x, definirani vo D. Ponatamu, ako ne e zadadeno definicionoto mnoèstvo }e podrazbirame deka toa e mnoèstvoto R na realnite broevi. 4. Dadeni se ravenstvata so promenlivi: a) 3x - 7 = x +, x N; b) x + y = + 3y; v) 5x - = x - 6, x Z; g) x - 4x = x - 5. Imenuvaj gi promenlivite, a potoa i definicionoto mnoèstvo vo sekoe od tie ravenstva. Vo koi od dadenite ravenstva podrazbirame deka definicionoto mnoèstvo e mnoèstvoto R? Zapomni Ravenstvata so promenlivi se vikaat ravenki. Promenlivite vo ravenkite se vikaat nepoznati. 5. Koi od dadenite ravenstva se ravenki? Poso~i gi nepoznatite vo niv. a) = 3 3; b) x - y = 5; v) 3x - 8 = x + ; g) : - = 3 -. B 6. Dadeni se ravenkite: x - 3 = x -, x + 3 = 4x, 3(x + ) = 3x + 6 i x + 4 = x - 3 so isto definiciono mnoèstvo D = {-, -, 0,,, 3}. Voo~i na tabelata za koja vrednost na promenlivata x raven- x kata preminuva vo to~no brojno x - 3 = x - N N N N T N ravenstvo. x + 3 = 4x N N N T N T Proveri dali e to~no 3(x + ) = 3x + 6 T T T T T T popolneta tabelata za sekoja ravenka i za tri vrednosti na x + 4 = x - 3 N N N N N N nepoznatata x. T - to~no; N - neto~no Od tabelata voo~uva{ deka: ravenkata x - 3 = x - preminuva vo to~no brojno ravenstvo za x = ; ravenkata x + 3 = 4x preminuva vo to~no brojno ravenstvo za x = i x = 3; ravenkata 3(x + ) = 3x + 6 preminuva vo to~no brojno ravenstvo za site vrednosti na x od D; ravenkata x + 4 = x - 3 ne preminuva vo to~no brojno ravenstvo za nitu edna vrednost na x od D. Linearni ravenki 57

58 Zapomni! Ravenka {to preminuva vo to~no brojno ravenstvo za sekoja vrednost na x D se vika identitet. Ravenka koja{to ne preminuva vo to~no brojno ravenstvo za nitu edna vrednost na promenlivata od definicionoto mnoèstvo se vika nevozmo`na ili protivre~na ravenka. 7. Vrz osnova na koe svojstvo moè{ da tvrdi{ deka ravenkata 3(x + ) = 3x + 6, x R e identitet? 8. Koi od slednive ravenki se identiteti: a) x + 5 = 5 + x, x R; b) (x-) (x+) = x -, x Z; v) x - 3 = x -? 9. Odredi koja od slednive ravenki e protivre~na: a) x - = x + ; b) 3 - x = 5 - x; v) x x.. Treba da znae{: da definira{ ravenka i definiciono mnoèstvo na ravenka; da definira{ identitet; da definira{ protivre~na ravenka. Zada~i Odredi koi od slednive ravenstva se to~ni: a) = 0 : 5 + 7; b) 3x + = x - za x = ; v) x - 3 = x + za x = -4.. Odredi koi od slednive ravenstva se ravenki: a) 5-4 = 8 + 3; b) 4x - 5 = 3x - ; v) x - 3 = 4x. 3. Za koja vrednost na x {-, -, 0,, } ravenkata x - 3 = x - preminuva vo to~no brojno ravenstvo? [to e pretstaveno so zapisot 5x - 3 = x +, x Z? Vrz osnova na koe svojstvo moè{ da tvrdi{ deka ravenkata x + 8 = 8 + x e identitet? 4. Proveri dali e identitet nekoja od ravenkite x + 6 = 5x i 5(x - ) = 5x - 5 pri isto definiciono mnoèstvo D = {-, 0,,, 3}. 5. Proveri koi od slednive ravenki se protivre~ni ravenki: a) x - 3 = x + 5, x {0,,, 3}; b) x - = x + 4, x {-, 0,, }; v) 3x - 4 = x +, x {, 3, 4, 5}. 6. Proveri se! Odredi ja vrednosta na a, taka {to za x = 3 ravenkata ax - = x + da premine vo to~no brojno ravenstvo. 58 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

59 VIDOVI RAVENKI Potseti se! Ti u~e{e {to e ravenka. Na primer, ravenki se: 3x - = x + 4; x + y + = x + y; x + y - z = 4. Imenuvaj gi nepoznatite vo sekoja od niv. A. Dadeni se ravenkite: 3x - = x + ; 3x - y = y + ; 5x - y = 3z -4. Odredi go brojot na nepoznatite vo sekoja od dadenite ravenki. Mo`e{ da voo~i{ deka: ravenkata 3x - = x + ima samo edna nepoznata x, ravenkata 3x - y = y + ima dve nepoznati x i y, a ravenkata 5x - y = 3z - 4 ima tri nepoznati x, y i z. Sogleda deka nekoi ravenki imaat edna nepoznata, nekoi dve nepoznati, nekoi tri nepoznati itn. Spored brojot na nepoznatite, ravenkite mo`at da bidat: ravenki so edna nepoznata, ravenki so dve nepoznati, ravenki so tri nepoznati itn.. So kolku nepoznati e sekoja od slednite ravenki: x - 3y = 5 - x; 3x x = + x + 3x? 3. Zapi{i edna ravenka so nepoznati x i y. Potseti se! Stepen na polinom vo normalen vid e najgolemiot od stepenite na monomite {to se ~lenovi na polinomot. Odredi go stepenot na sekoj od polinomite: a) x - x + 3; b) x 3 + x y - x. B 4. Odredi koj od monomite od levata i od desnata strana na ravenkata ima najvisok stepen. a) x + 3 = 5x - ; b) x - x = 5x + 8; v) x 3 - x = 5 + x. Ravenkata x + 3 = 5x - e sostavena od monomite: x, 3, 5x i -. Tie se ~lenovi na ravenkata. Voo~i gi vo tabelata ~lenovite na ravenkite so najvisok stepen. Ravenka ^len so najvisok stepen Stepen na ~lenot x + 3 = 5x - x i 5x od prv stepen x - x = 5x + 8 x od vtor stepen 3 x 3 - x = 5 + x x 3 od tret stepen Linearni ravenki 59

60 Voo~i deka vo nekoi ravenki ~lenovite {to ja sodràt nepoznatata se od prv stepen, vo drugi ima barem eden ~len koj e od vtor stepen, vo treti ima barem eden ~len koj e od tret stepen itn. Zapomni! Spored ~lenot so najvisok stepen, ravenkite moàt da bidat: ravenki od prv stepen ili linearni ravenki, ravenki od vtor stepen ili kvadratni ravenki, ravenki od tret stepen ili kubni ravenki itn. 5. Odredi od koj stepen e sekoja od dadenite ravenki: x + y - 7 = 5; x + 7 = x; x 3 - x = 5x + 8; x y - 3x = 5y -. V 6. Dadeni se ravenkite a) x - = 3; b) 3x + 5y = 4; v) 3x - = 6x; g) 8x - 3 = x +. Odredi koi od niv se so edna nepoznata i od prv stepen. Sogleda deka ravenkite x - = 3 i 8x - 3 = x + se so edna nepoznata i od prv stepen. Op{to, ravenki so edna nepoznata od prv stepen se vikaat linearni ravenki so edna nepoznata. 7. Koja od slednive ravenki e linearna ravenka so edna nepoznata: a) 5x - = 3x; b) x - 3 = 5 - x; v) 5x + y = 7? 8. Dadeni se linearnite ravenki so edna nepoznata x: a) 8 - x = x + ; b) ax + 5 = x; v) ax + b = 0; g) x - = 3x. Vo {to se razlikuvaat ravenkite a) i g) od ravenkite b) i v)? Sogleda deka, ne zemaj}i ja predvid nepoznatata, site ~lenovi na ravenkite a) i g) sodràt samo dadeni realni broevi, a nekoi ~lenovi vo ravenkite b) i v) sodràt op{ti broevi, t.e. bukvi koi{to se zamena za odredeni broevi. Op{to, ravenki vo koi nekoi ~lenovi sodràt op{ti broevi (parametri) se vikaat ravenki so parametri ili parametarski ravenki. 60 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

61 9. Koja od slednive ravenki so nepoznata x e ravenka so parametar: a) ax + = 5x; b) x + 3 = 0; v) x - 6 = p? Treba da znae{: da razlikuva{ i da imenuva{ ravenki: spored brojot na nepoznatite; spored stepenot na nepoznatite; da prepoznae{ linearna ravenka so edna nepoznata so parametar ili bez parametar. Proveri se! Od koj vid e ravenkata 5x - xy = x - 3 spored: brojot na nepoznatite; stepenot?. Zada~i Odredi so kolku nepoznati e sekoja od ravenkite: a) x + y + z = x + 8; b) 3x - 5 = 7 - x; v) 0 xy - y = 0 + x. 4. Odredi koja od slednive ravenki e linearna ravenka. a) x + y = 7 + x; b) xy + y = 3 + 5x; v) 3x - = x Odredi od koj stepen e sekoja od ravenkite: a) x 3 + x = 5 - x; b) 3xy - 5 = x + y; v) x + 3 = 3x Koi od slednive ravenki so promenlivi x ili y se so parametri: a) ax + y = 5 - x; b) 3x + = x; v) ax + c = by + 3; g) 5x - 7 = x - 5? 5. Odredi koja od slednive ravenki e linearna ravenka so edna nepoznata. a) x - + y = 5x + 3; b) x - x + = 0; v) 3x - = 5 + x; g) 3x x = - x. Linearni ravenki 6

62 3 RE[ENIE NA RAVENKA. EKVIVALENTNI RAVENKI Potseti se! Izraz so promenliva preminuva vo broen izraz ako promenlivata se zameni so nekoj broj. Pretstavi go vo broen izraz izrazot so promenliva x + x - za x =. Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot a - a + 5, za a = -3. A. Dadena e ravenkata 3x - = x +, so definicionoto mnoèstvo D = {-3, -,, 3}. Pretstavi ja ravenkata vo brojno ravenstvo za sekoj x D. Za koja vrednost na x D ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo? Sporedi go tvoeto re{enie spored podatocite vo tabelata. Ravenka x Brojno ravenstvo To~no - T Neto~no - N -3 3 (-3) - = (-3) + N 3x - = x (-) - = (-) = + N N = 3 + T Od tabelata moè{e da voo~i{ deka ravenkata 3x - = x + preminuva vo to~no brojno ravenstvo, odnosno levata i desnata strana imaa ednakvi brojni vrednosti samo za x = 3. Zapomni! Sekoja vrednost na nepoznatata za koja ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo se vika re{enie ili koren na ravenkata.. Najdi gi site re{enija na ravenkata - x = x - 3, x {3, 5, 7}. 3. Odredi gi site re{enija na ravenkata x + 6 = 5x, x {0,,, 3}. Vo zada~ite i 3 moè{e da sogleda{ deka re{enie na ravenkata - x = x - 3 e 5, a re{enija na ravenkata x + 6 = 5x se i 3. 6 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

63 Voo~i i zapomni! Da se re{i edna ravenka zna~i da se najdat site nejzini re{enija. Site re{enija na edna ravenka obrazuvaat mnoèstvo koe se vika mnoèstvo re{enija na taa ravenka. Mnoèstvoto re{enija na edna ravenka naj~esto se ozna~uva so M. Na primer, mnoèstvoto re{enija na ravenkata - x = x - 3, x {3, 5, 7} e M = {5}, a na ravenkata x + 6 = 5x, x {0,,, 3} e M = {, 3}. 4. Odredi go mnoèstvoto re{enija na ravenkata, za x {0,,, 3}: a) 4x - = x + 5; b) x + 3 = 4x. B 5. Odredi go mnoèstvoto re{enija na ravenkata 3(x - ) = 3x - 6, ako D = {-, -, 0,, }. Voo~i go od tabelata mnoèstvoto re{enija na ravenkata 3(x - ) = 3x - 6. x Brojno ravenstvo 3(--)=3 (-)-6 3(-- )=3 (-)-6 3(0-)=3 (0)-6 3(-)=3-6 3(-)=3-6 To~no - T Neto~no - N T T T T T Sogleda deka za sekoj x D, ravenkata pominuva vo to~no brojno ravenstvo. Kako se vika ovaa ravenka? Ovaa ravenka se vika identitet. Op{to, identitet e ravenka za koja sekoj broj od definicionoto mnoèstvo D e nejzino re{enie, t.e. M = D. 6. Proveri dali ravenkata x - = (x - ), x {0,,, 3} e identitet. 7. Dadena e ravenkata x + 5 = x - 4 i D = {-, -, 0,, }. Za koja vrednost na x D ovaa ravenka preminuva vo to~no brojno ravenstvo? [to zaklu~uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so podatocite od tabelata. x Brojno ravenstvo = = = = = - 4 To~no - T Neto~no - N N N N N N Linearni ravenki 63

64 Zna~i ne postoi broj x D koj{to e re{enie na ravenkata x + 5 = x - 4, t.e. M =. Op{to, ravenka ~ie{to mnoèstvo re{enija e praznoto mnoèstvo e nevozmo`na, t.e. protivre~na ravenka. 8. Koi od slednive ravenki so D = {,, 3, 4} se nevozmo`ni: a) x + 3 = 7 + x; b) x + = 7; v) 3 + x = x - 5; g) 3x - = x +? 9. Proveri dali ravenkata x + 7 = 4 ima re{enie vo mnoèstvoto a) N; b) Q. Ima li vo mnoèstvoto N broj koj sobran so 7 dava zbir 4? Dali ima takov broj vo mnoèstvoto Q? Vo mnoèstvoto N ne postoi broj koj sobran so 7 dava zbir 4, t.e. ravenkata x + 7 = 4 nema re{enie vo N. Vo mnoèstvoto Q re{enie na ravenkata x + 7 = 4 e x = -3, bidej}i = 4 e to~no ravenstvo. Zapomni Postojat ravenki koi vo edno mnoèstvo imaat re{enie, a vo drugo nemaat re{enie, t.e. se nevozmo`ni. V 0. Odredi go mnoèstvoto re{enija na sekoja od ravenkite: x - = x +, x + = 3x i 4x - 3 = x +, ako definicionoto mnoèstvo na sekoja od niv e D = {0,,, 3}. Sporedi go tvoeto re{enie so podatocite vo tabelata. Voo~i koi vrednosti na x se re{enija na ravenkite. x Ravenka x - = x = x - = 3x = 3 + = x - 3 = x = Koi od dadenite ravenki imaat ednakvi mnoèstva re{enija? Mnoèstvoto re{enija na ravenkata x - = x + e {}, na ravenkata x + = 3x e {, } i na ravenkata 4x - 3 = x + e {}. Ravenkite: x - = x + i 4x - 3 = x + imaat ednakvi mnoèstva re{enija. 64 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

65 Dve ravenki so isto definiciono mnoèstvo {to imaat ednakvi mnoèstva re{enija se vikaat ekvivalentni ravenki.. Odredi koi od ravenkite definirani vo mnoèstvoto A = {0,,, 3} se ekvivalentni: a) 3x - = x + ; b) x - = x; v) (x - )(x - ) = 0; g) 4x - = x +. Treba da znae{: Proveri se! da proveri{ dali daden broj e re{enie na dadena ravenka; da definira{ koi ravenki se ekvivalentni. Dadeni se ravenkite: x + = 3x - i x + 5 = 3x +. Proveri dali nekoja od ovie ravenki e ekvivalentna so ravenkata 3x + = 4x, vo mnoèstvoto A = {,, 3, 4}. Zada~i. Odredi koe od slednive tvrdewa e to~no. a) Brojot - e re{enie na ravenkata 3x - = x +. b) Brojot 4 e re{enie na ravenkata y - = y + 3. v) Brojot 0 e re{enie na ravenkata x - 3 = x Za koja vrednost na parametarot a, brojot 3 e re{enie na ravenkata x - = a? 4. Mnoèstvoto re{enija na ravenkata (x - )(x - ) = 0, x {0,,, 3}, e {, }. Koja od slednite ravenki: a) 3x - = x - ; b) x + = 3x - ; v) x + = 3x - e ekvivalentna so dadenata? 5. Odredi koja od slednive ravenki e nevozmo`na vo mnoèstvoto Z. a) x + 7 = 3; b) x + 5 = x - ; v) x - 4 = -x. 3. Odredi go mnoèstvoto re{enija na sekoja od dadenite ravenki, ako definicionoto mnoèstvo im e A = {, 3, 4}. a) 4x - = 3x + ; b) x + 3 = x; 6. Koja od slednive ravenki e nevozmo`na vo mnoèstvoto N, a ima re{enie vo Z: a) x + 5 = ; b) x - = 3; v) 8 - x = 9? v) x - 3 = x +. Linearni ravenki 65

66 4 TEOREMI ZA EKVIVALENTNI RAVENKI - Potseti se! Dve ravenki se ekvivalentni ako mno- èstvata re{enija im se ednakvi. Proveri dali se ekvivalentni ravenkite, vo definicionoto mnoèstvo D {,, 3, 4}: x - = x + i x + 4 = x +. A. Dadena e ravenkata 3x - = x + 5, x {,, 3, 4} = D, ~ie{to re{enie e brojot 3 i M = {3}. Na levata i na desnata strana na ravenkata dodaj: a) 4; b) -; v) x. Proveri dali dobienite ravenki se ekvivalentni so dadenata. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) b) v) Ravenka 3x - = x + 5 3x = x x - - = x + 5-3x - + x = x x Brojno ravenstvo za x = = 3 + 5; 8 = = ; = = ; 6 = = ; 4 = 4 Re{enie na ravenkata Brojot 3 Brojot 3 Brojot 3 Brojot 3 Proveri deka ravenkite a), b) i v) nemaat drugo re{enie vo mnoèstvoto D, osven brojot 3. Od tabelata voo~i deka so dodavawe ist broj (4 ili -) ili izraz so promenlivata (x) na dvete strani na ravenkata 3x - = x + 5 se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata. Toa vaì op{to za ravenkite. Moè da se iskaè so slednata teorema za dodavawe ist broj ili izraz na dvete strani od ravenkata. Teorema Ako kon levata i desnata strana na ravenkata A(x) = B(x) se dodade ist broj c R ili izraz C(x) so promenliva x, koj{to e opredelen za sekoj x od definicionoto mnoèstvo na ravenkata, se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata. Zapi{uvame: A(x) = B(x) A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Znakot go ~itame "e ekvivalentna so#. 66 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

67 Ne e zadolìtelno... Razgledaj go dokazot na teoremata. Dadena e ravenkata A(x) = B(x) so definiciono mnoèstvo D i izrazot C(x) opredelen za sekoj x D. Treba da se dokaè: A(x) = B(x) A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Za da ja dokaè{ teoremata treba da pokaè{ deka A(x) = B(x) i A(x) + C(x) = B(x) + C(x) imaat ednakvi mnoèstva re{enija, t.e. a) sekoe re{enie na A(x) = B(x) e re{enie na A(x) + C(x) = B(x) + C(x) i b) sekoe re{enie na A(x) + C(x) = B(x) + C(x) e re{enie na A(x) = B(x). a) Neka x D e re{enie na ravenkata A(x) = B(x), t.e. A(x ) = B(x ) e to~no brojno o o o ravenstvo. Bidej}i C(x o ) e realen broj sleduva deka ravenstvoto A(x o ) + C(x o ) = B(x o ) + C(x o ) e to~no brojno ravenstvo. (Zo{to?) Spored toa, x o e re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x), t.e. sekoe re{enie na ravenkata A(x) = B(x) e re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x). b) Neka x D e re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x), t.e. A(x ) + C(x ) = B(x ) + C(x ) e to~no brojno ravenstvo. Ako na dvete strani od ova ravenstvo dodademe sprotiven broj na C(x ), }e dobieme to~no brojno ravenstvo A(x ) = B(x ). Spored toa, x e re{enie na ravenkata A(x) = B(x), t.e. sekoe re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x) e re{enie na ravenkata A(x) = B(x).. Spored T proveri koi od slednive ravenki se ekvivalentni: a) 3x + = 5x - 3 i 3x = 5x ; b) 5y - = 3y + 4 i 5y = 3y ; v) 4x - = 3x - i 4x + 5x - = 3x + 5x -. B So primena na teoremata moè{ da vr{i{ ekvivalentni transformacii na ravenkite. Edna ravenka moè{ da ja transformira{ vo poednostavna ravenka, ekvivalentna na nea. 3. Dadena e ravenkata 3x - 5 = x +. Dodaj go izrazot 5 - x na dvete strani od ravenkata. Dovedi gi vo normalen vid izrazite na dvete strani od ravenkata. Voo~i {to se slu~ilo so x i -5 vo dobienata ravenka. Na {to e ednakov zbirot na sprotivni broevi, odnosno na sprotivni monomi? Zbirot na sprotivni broevi, a isto taka, i na sprotivni monomi e nula. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 3x - 5 = x + 3x x = x x 3x - x = + 5 x = 6. Linearni ravenki 67

68 Sogleda deka so transformacii spored T, od dadenata ravenka 3x - 5 = x + dobi ravenka x = 6, ekvivalentna na nea. Od ravenkata x = 6 moè da se pro~ita re{enieto, t.e. brojot 6 e re{enie na dadenata ravenka. Ravenkata x = a (a R), od koja{to moè da se pro~ita re{enieto, se vika ravenka vo re{ena forma. Voo~uva{ deka vo ravenkata 3x - x = + 5 monomot x e prenesen od desnata na levata strana na ravenkata, no so sprotiven znak (-x), a brojot -5 od levata strana e prenesen na desnata strana na ravenkata, no so sprotiven znak (+5). Toa {to go sogleda za ekvivalentnite ravenki 3x - 5 = x + i 3x - x = + 5 vaì op{to za ravenkite i e poznato kako posledica od T. Taa glasi: P Sekoj ~len na ravenkata moè da se prenese od edna strana na ravenkata na druga, no so sprotiven znak. 4. Vo ravenkata 4x - + x = 7 + 3x - ~lenovite {to ja sodràt nepoznatata prenesi gi na levata strana na ravenkata, a onie {to ne ja sodràt - na desnata strana od ravenkata. 5. Koi od ravenkite se ekvivalentni: a) x + 3 = x - i x - x = - - 3; b) x + 5 = 4x + i x - 4x = - 5; v) 3x + = x + 3 i 3x + x = 3 +? 6. Re{i ja ravenkata 4x - 8 = 3x - 0, a potoa proveri go re{enieto. Kako }e postapi{ vo po~etokot pri re{avaweto na ravenkata? Prvo }e ja primenam posledicata od teorema. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 4x - 8 = 3x - 0 4x - 3x = x = -; M = {-}. Proverka: 4 (-) - 8 = 3 (-) - 0; -8-8 = -6-0; -6 = Re{i ja ravenkata: a) 5x - 7 = 4x + ; b) 3x - 4 = + x; v) x - = - x. V 8. Dadena e ravenkata 4x - + x - = x - + 3x - 5. Voo~i dali ima ednakvi ~lenovi na levata i desnata strani na ravenkata. Izostavi gi ednakvite ~lenovi od dvete strani na ravenkata i proveri dali dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 68 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

69 Dadenata ravenka Dobienata ravenka 4x - + x - = x - + 3x - 5 4x + x - x - 3x = x - 3x = - 5 x = -3 M = {-3} Voo~uva{ deka ako od ravenkata gi izostavi{ ednakvite ~lenovi (x, odnosno -), {to se nao aat na sprotivni strani na ravenkata, se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata. Toa {to go sogleda vaì op{to za ravenkite i e poznato kako posledica na teoremata. Taa glasi: P 4x - = 3x - 5 4x - 3x = - 5 x = -3 M = {-3} Ako na dvete strani na ravenkata ima ednakvi ~lenovi, toga{ tie moè da se izostavat (da se poni{tat). 9. Vo ravenkata 3x - + 4x + 3 = 3 + x + 4x izostavi gi ~lenovite za koi toa e mo`no, za da dobie{ ravenka ekvivalentna so dadenata, a potoa re{i ja dobienata ravenka. Treba da znae{: da ja iskaè{ teoremata za ekvivalentni ravenki; da ja iskaè{ i da ja primeni{ vo zada~i posledicata od teoremata ; da ja iskaè{ i da ja primeni{ posledicata od teoremata. Zada~i. Dadena e ravenkata x - 3 = x +. Dodaj 3x na dvete strani na ravenkata. Proveri dali dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata.. Objasni ja ekvivalencijata: 7x - 3 = 5x + 7x x = 5x + + x. 3. Vo ravenkata x - 5-3x - 4 = 4-3x - 5 izostavi gi ~lenovite za koi toa e mo`no, za da dobie{ ravenka ekvivalentna so dadenata. 4. So ekvivalentni transformacii poka- ì deka: 3x - + x = 5 + x - 3 x = 4. Proveri se! Vo ravenkata 7x x = 5 + x - 3 grupiraj gi ~lenovite {to sodràt nepoznata na levata strana, a ostanatite ~lenovi na desnata strana od ravenkata. Pokaì so ekvivalentni transformacii deka: 3x - + x = 4 + x - + x x = Odredi go m, taka {to da bide to~na ekvivalencijata: 3x - = x - 3 3x - + 5x = x m. 6. Utvrdi dali se ekvivalentni slednive dve ravenki: a) x - = x + 3 i x = x ; b) 4x - = x + 5 i 4x - x = 5 + ; v) 3x - = x + i 3x + x = -. Obrazloì go odgovorot. 7. Re{i ja ravenkata: a) 3-7x = - 8x; b) 3 4 x + + x = 5 + x - 4 x. Linearni ravenki 69

70 5 TEOREMI ZA EKVIVALENTNI RAVENKI - Potseti se! Vo daden proizvod, nepoznatiot mno- ìtel se odreduva, ako proizvodot se podeli so poznatiot mnoìtel. Re{i gi ravenkite: a) x = 4; b) x = 3; v) 3 4 x = 3x. Odredi go NZS(4, 5, 0). Presmetaj: ; A. Dadena e ravenkata x - 3 = x -. Re{i ja dadenata ravenka. Pomnoì gi dvete strani na dadenata ravenka so: a) ; b) -4. Proveri dali dobienite ravenki se ekvivalentni so dadenata. Kako }e proveri{ dali dadenata ravenka e ekvivalentna so dobienata? ]e gi re{am ravenkite so pomo{ na posledicata od teoremata T, a potoa }e gi sporedam nivnite mnoèstva re{enija. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto Dadenata ravenka Dobiena ravenka a) Dobiena ravenka b) x - 3 = x - x - x = x = M = {} x - 3 = x - / () x - 3 = x - 4x - x = x = 4 x = 4 x = M = {} x - 3 = x - / (-4) x (-4) - 3 (-4) = x (-4) - (-4) -8x + = -4x = -4x + 8x 8 = 4x x = 8 4 x = M = {} Voo~i deka dadenata ravenka i dobienite imaat isto mnoèstvo re{enija. Kakvi transformacii izvr{i vo ravenkata x - 3 = x - i kakvi ravenki dobi? Dvete strani na ravenkata gi pomnoìv so, odnosno so -4 i dobiv ravenki ekvivalentni so dadenata. Toa vaì op{to za ravenkite. Moème da iskaème teorema za mnoèwe, odnosno delewe ravenki so nenulti broj. 70 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

71 Teorema Ako dvete strani na ravenkata A(x) = B(x) se pomnoàt ili se podelat so eden ist broj a 0, se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata. A(x) = B(x) A(x) a = B(x) a.. Utvrdi so pomo{ na T dali se ekvivalentni slednive ravenki: a) 5x + 3 = x + 9 i 0x + 6 = 4x + 8; v) x - 3 = x - i x - 3 = 5x - 5; b) 8x - = 4 + 4x i x - 3 = + x; g) 3x - = x + i -6x + = -4x Re{i gi ravenkite: a) 3 - x = -3x - 5; b) -8x + 4 = - 4x. Voo~i ja postapkata a). 3 - x = -3x - 5 -x + 3x = x = -8 / :(-9) x = ; M = {}. Spored P od T. Spored T. B 4. Dadena e ravenkata 5x - = 3x + 4. Re{i ja ravenkata. Pomnoì gi dvete strani na ravenkata so -. Zo{to dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata? Pokaì deka dobienata ravenka e ekvivalentna so ravenkata x = 3. Voo~i gi dadenata i dobienata ravenka. 5x - = 3x + 4 5x - = 3x + 4 / (-) 5x (-) - (-) = 3x (-) + 4 (-) -5x + = -3x - 4 Dadenata ravenka Spored T. Dobienata ravenka Dvete strani na ravenkata 5x - = 3x + 4 gi pomnoì so -. [to zabeleùva{ kaj dobienata ravenka -5x + = -3x - 4? Dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata, spored T. ^lenovite na dadenata i dobienata ravenka se so sprotivni znaci. Linearni ravenki 7

72 Toa vaì op{to za ravenkite. Moème da ja iskaème slednava posledica od T. P Ako site ~lenovi na ravenkata se pomnoàt so -, toga{ se dobiva ravenka ekvivalentna na dadenata, t.e. ako site ~lenovi na ravenkata se zamenat so nivnite sprotivni, se dobiva ravenka ekvivalentna na dadenata. 5. Re{i gi ravenkite: a) x - = 3x - 5; b) 4x + = 5x - ; Sporedi go tvoeto re{enie a). x - = 3x - 5 x - 3x = x = -4 / ( - ) x = 4; M = {4}. 6. Ravenkata x 3x x9 4 3 transformiraj ja vo ravenka bez imeniteli. Kolku e NZS(, 4, 3)? Kako }e se oslobodi{ od imenitelite vo ravenkata? NZS(, 4, 3) =. Dvete strani na ravenkata }e gi pomnoàm so i }e dobijam ravenka bez imeniteli. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x x x x 3x x (x - ) + 3(3x + ) = 4(x - 9) 6x x + 3 = 4x - 36 E E E E NZS (, 3, 4) = 3 =. Dvete strani na ravenkata se pomnoèni so NZS (, 3, 4), t.e. so. Skratuvawe na imenitelite so. Osloboduvawe od zagradite. Pokaì deka ravenkata 6x x + 3 = 4x - 36 e ekvivalentna so ravenkata x = -3. so naj- x x x Voo~uva{ deka so mnoèweto na ~lenovite na ravenkata maliot zaedni~ki sodràtel na imenitelite se dobiva ravenka bez imeniteli 6x x + 3 = 4x - 36, ekvivalentna na dadenata. Toa {to go voo~i za ravenkata x 3x x9 vaì op{to za ravenkite. Moème da 4 3 ja iskaème slednava posledica od teoremata. P Ako nekoi ~lenovi na ravenkata imaat imeniteli, toga{ od imenitelite moème da se oslobodime so mnoèwe na dvete strani od ravenkata so nivniot najmal zaedni~ki sodràtel. 7 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

73 7. Oslobodi se od imenitelite vo ravenkata x x, a potoa re{i ja. 5 4 Treba da znae{: da ja iskaè{ teoremata za ekvivalentni ravenki; da gi iskaè{ posledicite od teoremata ; da gi primeni{ posledicite od teoremata vo re{avawe zada~i. Proveri se! Re{i ja ravenkata: a) 5x - 3 = 3x - ; b) 6x - = 7x. Oslobodi se od imenitelite vo ravenkata 3 i pokaì deka x x x taa e ekvivalentna na ravenkata x = 5. Zada~i. Vo ravenkata 3 - x = 7-3x dvete strani pomnoì gi so -. Pokaì, spored re{enijata, deka dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata.. Vo ravenkata x x = 9x + 3 dvete strani podeli gi so 3 i pokaì deka dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata. (Sporedi gi nivnite re{enija.) 3. Dali se ekvivalentni dadenite dve ravenki? Obrazloì go tvojot odgovor. a) 3x - = x + 3 i 6x + = x + 6; b) -x + 3 = -3x + 5 i x - 3 = 3x - 5; v) 4x - = 3x + i 4x + = 3x Oslobodi se od imenitelite vo ravenkite i re{i gi. a) x x x 3 ; 5 0 x x x b) So koristewe na teoremite za ekvivalentni ravenki i posledicite od niv, pokaì deka: x x x x Obidi se Vo ravenkata x - 3 = 3x - 5 zameni gi site ~lenovi so nivnite sprotivni i proveri spored re{enijata deka dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata. [i{e so tapa ~ini denari, a samo {i{eto (bez tapa) e 0 denari poskapo od tapata. Kolku ~ini {i{eto, a kolku tapata? Linearni ravenki 73

74 6 OP[T VID NA LINEARNA RAVENKA SO EDNA NEPOZNATA Potseti se! Vo izrazot ax + b so promenliva x, a i b se koeficienti. Odredi gi koeficientite vo izrazot so promenliva x: a) x - 5; b) ax. Spored P od T za ekvivalentni ravenki, sekoj ~len od ravenkata moè da se prenese od edna na druga strana na ravenkata, no so sprotiven znak. Dali se ekvivalentni ravenkite: a) 4x - 3 = x + i 4x - x = + 3; b) 4x - 3 = x + i 4x + x = - 3? Obrazloì go odgovorot. A. Dadena e ravenkata 4x - 5 = x -. Site ~lenovi na ravenkata prenesi gi na desnata strana i potoa izvr{i gi operaciite. Dali dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata? Zo{to? Koja posledica od teoremite za ekvivalentni ravenki moè{ da ja primeni{ pri re{avaweto na ovaa zada~a? Spored posledicata od teoremata za ekvivalentni ravenki, ~lenovite od levata strana na ravenkata }e gi prenesam na desnata, no so sprotivniot znak. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 4x - 5 = x - 4x x + = 0 x - 4 = 0. Ravenkata x - 4 = 0 e ekvivalentna so ravenkata 4x - 5 = x -. Za ravenkata x - 4 = 0 se veli deka e normalen vid na ravenkata 4x - 5 = x -. Zapomni! Ravenkata ax + b = 0 se vika op{t ili normalen vid na linearna ravenka so edna nepoznata, kade {to x e nepoznata, a e koeficient pred nepoznatata i b sloboden ~len.. Zapi{i ja vo normalen vid ravenkata x - 3 = x -. Potseti se! Koj od slednive izrazi nema vrednost: 5 0 a) 73 ; b) ? Obrazloì go odgovorot. 5 Za koja vrednost na a izrazot a 3 nema vrednost? Odredi go re{enieto na ravenkata x - 6 = 0. B 3. Dadena e ravenkata ax + b = 0, so nepoznata x i koeficienti a i b, pri {to a 0. Odredi go re{enieto na taa ravenka. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto ax + b = 0 ax = -b x = - b a, t.e. - b a e re{enie na ravenkata ax + b = 0, za a Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

75 Koli~nikot b a, za a 0, e sekoga{ ednozna~no opredelen, pa spored toa ravenkata ax + b = 0 ima samo edno re{enie x = b b, t.e. M = { }. a a 4. Odredi go re{enieto na sekoja od slednive ravenki: a) 3x - 6 = 0; b) x + 3 = 0; v) 3x + = Vo ravenkata ax + b = 0, neka a = 0 i b = 4 (b 0). Odredi go re{enieto na taa ravenka. Sogledaj so koj broj treba da ja deli{ ravenkata. Bidej}i a = 0 i b = 4, ravenkata dobiva vid 0 x + 4 = 0, od kade {to 0 x = -4. So nula ne se deli. Izrazot 4 0 nema vrednost i ravenkata nema re{enie. Voo~i Vo slu~aj koga vo ravenkata ax + b = 0, e dadeno a = 0 i b 0, ravenkata nema re{enie, odnosno M =. Za takva ravenka se veli deka e nevozmo`na ili protivre~na. 6. Koja od slednive ravenki e protivre~na: a) 3x + = 0; b) 0 x - = 0; v) 3x = 0? 7. Neka vo ravenkata ax + b = 0, a = 0 i b = 0. Zapi{i ja taa ravenka. Transformiraj ja dobienata ravenka vo oblik ax = -b. Proveri dali -; 5; ; x = 3,5 se re{enija na transformiranata ravenka 0 x = 0. Voo~i deka -; 5; i 3,5 se re{enija na ravenkata 0 x = 0. Odredi drugo re{enie na ovaa ravenka. Na {to e ednakov proizvodot od nula i koj bilo realen broj? Zo{to sekoj realen broj e re{enie na ravenkata 0 x = 0? Voo~i deka Ravenkata ax + b = 0, za a = 0 i b = 0 ima beskone~no mnogu re{enija, i M = R. Linearni ravenki 75

76 Zapomni! Linearnata ravenka ax + b = 0: b b a) za a 0 ima edinstveno re{enie x = i M = { }. a a b) za a = 0 i b 0 nema re{enie, t.e. M =. v) za a = 0 i b = 0 ima beskone~no mnogu re{enija, pri {to M = R. 8. Zapi{i vrednosti za a i b taka {to ravenkata ax + b = 0 da: a) ima samo edno re{enie; b) nema re{enie; v) ima beskone~no mnogu re{enija. V 9. Re{i ja ravenkata 5x x = + x. Kako }e postapi{ pri re{avaweto na dadenata ravenka? Prvo }e gi prenesam site ~lenovi {to ja sodr- `at nepoznatata na levata strana na ravenkata, a onie {to ne ja sodr`at - na desnata strana. Potoa ravenkata }e ja dovedam vo vid ax = -b i }e go odredam re{enieto. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. 5x x = + x 5x + x - x = + 7 4x = 8 E Primena na P od T. Sveduvawe na izrazite od dvete strani na ravenkata. E x = 8 4 E Primena na T ; dvete strani na ravenkata se podeleni so 4. x = Zna~i, re{enie na ravenkata 5x x = + x e, t.e. M = {}. 0. Re{i ja ravenkata 5x - - x = x x.. Re{i ja ravenkata 3(x - ) + x = x - - (x - 5). Oslobodi se od zagradite. Postapi kako vo zada~ata 9.. x x x Re{i ja ravenkata Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

77 Kako }e ja dovede{ dadenata ravenka vo ravenka bez imenitel, ekvivalentna na nea? Dvete strani na ravenkata }e gi pomno`am so NZS(5, 3, 5) = 5, a potoa }e prodol`am kako vo prethodnite zada~i! Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x3 3x4 4x / (x - 3) - 5(3x - 4) = - 4x 6x - 9-5x + 0 = - 4x 6x - 5x + 4x = x = -0 E Spored P od T. Izvr{eno osloboduvawe od zagradi. E E Spored P od T. E Sveduvawe na dvete strani na ravenkata. x = E Spored T. x = -. Zna~i, re{enie na dadenata ravenka e -, t.e. M={-}. Treba da znae{: da dovede{ linearna ravenka vo op{t (normalen) vid; da re{ava{ linearni ravenki so edna nepoznata; da odredi{ re{enie na ravenkata ax + b = 0 za: a) a 0; b) a = 0, b 0; v) a = 0, b = 0. Proveri se! Dovedi ja vo normalen vid ravenkata 3x + = x - - x. Re{i ja ravenkata 3 x x x Zada~i. Dovedi gi vo normalen vid slednive ravenki: a) 3x + = x + 5; b) 3x - 5 = x +.. Koja od slednive ravenki e nevozmo`na: a) 3x = 0; b) 5x = -; v) 0 x = 4? 3. Re{i gi ravenkite: a) 3x x = 7 + x - 4; b),4x +,8 = 0,7x + 4,; v) x x x Za koja vrednost na promenlivata x izrazite: x - 8 i - x imaat ista brojna vrednost? Linearni ravenki 77

78 5. Re{i gi ravenkite: a) 5(x + 3) = (x + 3); b) (x + ) - 3(x - ) = 4(x + ) + ; v) 5(x - ) - (x + ) = 3(x - ) - (x - 5). 6. Re{i gi ravenkite: 4x x4 x a) 6 3 ; b) x 3 x x 5 x Re{i gi ravenkite: a) (x - ) - = x(x - 3) + ; b) (x - 3)(x + 4) - (3x - ) = (x - 4) ; v) (x - )(x + ) + x = x +. Za koja vrednost na parametarot a ravenkata 8x - 3a - 5 = a + 5x - 6 ima re{enie x = 3? Trik so domino... Pokani go tvojot drugar da izbere (ili da nacrta) edno domino, a ti da ne znae{ koe e. Potoa, zadavaj mu po red da gi izvr{i slednive operacii: Edniot od broevite pomnoì go so. Dodaj 6. Pomnoì go so 5. Dodaj go drugiot broj od dominoto. Odzemi 30. Kaì go brojot {to go dobi. Ti poga a{: cifrite na dobieniot rezultat se broevite na izbranoto domino! Objasni go trikot matemati~ki. 7 PRIMENA NA LINEARNITE RAVENKI SO EDNA NEPOZNATA Potseti se! Vo izu~uvaweto na matematikata ~esto se sretnuva{ so zada~i vo koi zavisnostite me u veli~inite se opi{ani so zborovi, na "govoren jazik. Preveduvaweto na tie zavisnosti na matemati~ki jazik mnogu ~esto se vr{i preku ravenka. Sogledaj go toa vo slednata zada~a: Majkata i sinot imaat zaedno 3 godini. Majkata e za 0 godini postara od sinot. Kolku godini ima majkata, a kolku sinot? A. Majkata sega e tripati postara od }erkata. Po 0 godini majkata }e bide dvapati postara od }erkata. Kolku godini sega ima majkata, a kolku }erkata? Voo~i koi veli~ini i odnosi me u niv se poznati, a koi nepoznati. Poznato e deka majkata e sega tripati postara od }erkata, a po 0 godini majkata }e bide dvapati postara od }erkata. Ne e poznato kolku godini ima }erkata, a kolku majkata. 78 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

79 Ako brojot na godinite na }erkata go ozna~i{ so x, toga{ kako }e go ozna~i{ brojot na godinite na majkata? Kolku godini }e ima sekoja od niv po 0 godini? Ako brojot na godinite na }erkata e x, toga{ majkata sega ima 3x godini. Po 0 godini }erkata }e ima (x + 0) godini, a majkata (3x + 0) godini. Sogledaj vo tabelata koi se zavisnostite pome u veli~inite i kako e sostavena ravenkata. }erkata majkata kolku godini ima sega x 3x Re{i ja ravenkata 3x + 0 = (x + 0). Kolku godini ima }erkata? Kolku godini ima majkata? Re{enieto na ravenkata e 0. kolku godini }e ima po 0 g. x + 0 3x + 0 ravenka 3x + 0 = (x + 0). Majkata sega ima 36 godini, a nejzinata }erka 0 godini. Po kolku godini majkata }e bide tripati postara od }erkata? B Zada~i so tekst uspe{no se re{avaat ako se raboti spored odreden plan. Sogledaj go toa na slednava zada~a. 3. Na kontrolna pismena rabota nastavnikot im zadal na u~enicite 5 zada~i. Za sekoja to~no re{ena zada~a u~enikot dobival po 5 poeni, a za pogre{no re{ena ili nere{avana zada~a u~enikot gubel po poeni. Kolku zada~i re{il to~no u~enik koj na krajot imal 54 poeni?. Razbirawe na zada~ata [to e poznato vo zada~ata, a {to e nepoznato?. Ozna~uvawe na nepoznatite veli~ini Ozna~i go brojot na to~no re{enite zada~i so x. Kako }e go ozna~i{ brojot na nere{enite zada~i? Poznato e deka u~enikot re{aval 5 zada~i; za sekoja to~no re{ena zada~a toj dobival po 5 poeni, a za nere{ena gubel poeni. Na krajot u~enikot osvoil 54 poeni. Ne e poznato kolku zada~i u~enikot re{il to~no. Ako brojot na to~no re{enite zada~i e x, toga{ brojot na nere{enite zada~i e 5 - x. Linearni ravenki 79

80 3. Voo~uvawe na vrskite pome u veli~inite Kolku dobil u~enikot, a kolku izgubil? 4. Sostavuvawe na ravenkata Koja ravenka od voo~enite vrski pome u veli~inite se dobiva? Voo~i gi prethodnite postapki vo tabelata. Zada~i Vkupno To~no re{eni Neto~no re{eni Broj na zada~i 5 5. Re{avawe na ravenkata Voo~i go re{avaweto na ravenkata: 5x - (5 - x) = 54. U~enikot dobil 5x poeni (x zada~i po 5 poeni), a izgubil (5 - x) poeni (5 - x zada~i po poeni) i osvoil vkupno 54 poeni. Od vrskata pome u veli~inite sleduva ravenkata 5x - (5 - x) = 54. 5x - (5 - x) = 54 5x x = 54 5x + x = x = 84 x = 84 7, t.e. x =. 6. Odgovor na postavenoto pra{awe i proverka [to poka`uva re{enieto na ravenkata? x 5 - x Broj na poeni po zada~i 5x (5 - x) Ravenka 5x - (5 - x) = 54 Ako x =, toa zna~i deka u~enikot to~no re{il zada~i, a ne re{il 5 - = 3 zada~i. Napravi proverka na re{enieto. zada~i po 5 poeni e 60 poeni. 3 zada~i po poeni e 6 poeni = 54 poeni. Zna~i, re{enieto na zada~ata e to~no. 4. Vo edna prodavnica za vozila ima avtomobili i motocikli. Tie vkupno imaat 74 trkala. Kolku od vozilata se avtomobili, a kolku motocikli? 5. Vo ramnokrak triagolnik krakot e za cm podolg od osnovata, a negoviot perimetar e 5 cm. Opredeli gi osnovata i krakot na toj triagolnik. 80 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

81 Voo~i go kratkiot zapis na planot za re{avawe na ovaa zada~a.. Krakot b e za cm podolg od osnovata a, a perimetarot e 5 cm.. Ako osnovata a = x, toga{ b = x a + b = L. 4. x + (x + ) = x + (x + ) = 5 x + x + 4 = 5 x + x = 5-4 3x = x = 3 Zna~i, osnovata a = 7 cm, a krakot b = 7 + = 9 cm. 6. Proverka: L = a + b; L = 7 + 9; L = 5 cm. x = 7. Sogledaj ja zavisnosta pome u veli~inite vo ovaa zada~a vo tabelava. Veli~ini Osnova Krak Oznaka na veli~inite a = x b = a + ; b = x + ; Ravenka x + (x + ) = 5 Perimetar L = 5 cm; L = a + b; L = x + (x + ) 6. Dolìnata a na eden pravoagolnik e za 3 cm pogolema od negovata {irina b, a perimetarot mu iznesuva 34 cm. Opredeli gi dolìnata i {irinata na toj pravoagolnik. 7. Od mestoto A kon mestoto B trgnuvaat istovremeno dvajca velosipedisti. Prviot se dvièl so brzina 6 km/h, a vtoriot so brzina km/h. Opredeli go rastojanieto me u mestata A i B, ako prviot velosipedist stignal ~as porano od vtoriot. Voo~i ja zavisnosta pome u veli~inite vo ovaa zada~a vo tabelava. Brzina Vreme Pat Ravenka Prviot velosipedist Vtoriot velosipedist 6 km/~as km/~as x ~asa x + ~asa AB = 6 x AB = (x + ) 6x = (x + ) Re{i ja ravenkata i odredi go rastojanieto me u mestata A i B. Napravi proverka na re{enieto na zada~ata. Treba da znae{: da gi primeni{ ravenkite pri re{avawe tekstualni zada~i; da izvr{i{ proverka na dobienoto re- {enie. Proveri se! Vo eden triagolnik edna od stranite e za cm pogolema od drugata, a za cm pomala od tretata. Odredi gi stranite na triagolnikot, ako negoviot perimetar e 43 cm. Linearni ravenki 8

82 Zada~i. Ako kon nekoj broj se dodade i dobieniot zbir se pomnoì so 5, se dobiva 00. Koj e toj broj?. Zbirot na dva broja e 80. Prviot e za 36 pomal od vtoriot. Koi se tie broevi? 3. Razlikata na dva broja e 46. Koga pogolemiot broj }e se podeli so pomaliot se dobiva koli~nik 4 i ostatok 7. Koi se tie broevi? 4. Vo ramnokrak triagolnik osnovata e za cm pomala od krakot. Odredi gi osnovata i krakot na toj triagolnik ako negoviot perimetar e 43 cm. 8. Eden rabotnik sam moè da zavr{i edna rabota za 6 ~asa, a drug za ~asa. Za kolku ~asa dvajcata }e ja zavr{at istata rabota? 9. Eden bazen se polni od dve cevki. Od prvata cevka bazenot se polni za 4 ~asa, a od vtorata za 6 ~asa. Za kolku ~asa }e se napolni prazniot bazen, ako vo nego istovremeno se otvorat dvete cevki? 0. Dve cevki moàt zaedno da napolnat eden bazen za ~asa. Ednata cevka sama moè da go napolni bazenot za 0 ~asa. Za kolku ~asa vtorata cevka sama }e go napolni prazniot bazen? 5. Milan ima 5 moneti od i od 5 denari ili vkupno 80 denari. Kolku moneti se od denari, a kolku od 5 denari? 6. Stara kineska zada~a. Vo eden kafez ima pitomi zajaci i fazani. Tie zaedno imaat 35 glavi i 94 noze. Kolku se pitomi zajaci, a kolku fazani? 7. Eden kurir go pominuva rastojanieto me u mestata A i B za odredeno vreme. Ako se dviì so brzina 35 km/~as, }e zadocni ~asa, a ako se dviì so brzina 50 km/~as, }e pristigne eden ~as porano. Odredi go rastojanieto pome u mestata A i B. Obidi se... Epitafot na Diofant Na nadgrobnata plo~a na starogr~kiot matemati~ar e zapi{ano: "Patni~e, ovde se pogrebani posmrtnite ostanki na Diofant. Broevite }e re~at, o ~uda, kolku bil dolg negoviot ìvot. Prekrasnoto detstvo mu odzede {estina od ìvotot, a koga pomina u{te edna dvanaesettina od ìvotot, negovoto lice go pokri brada. Otkako pomina u{te edna sedmina od ìvotot, Diofant stapi vo sre}en brak. Koga pominaa 5 godini od brakot, sre}en go napravi ra aweto na negoviot sin prvenec, na kogo sudbinata mu podari samo polovina od godinite na ìvotot na tatko mu. Vo dlaboka bolka starecot go do~eka krajot na zemniot ìvot pre- ìvuvaj}i u{te 4 godini po izgubuvaweto na sinot#. Kolku godini ìveel Diofant? 8 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

83 LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA 8 POIM ZA NERAVENSTVO I NERAVENKA Potseti se! Brojni izrazi se: 5 + 8, 9 : 3 -, 4,6 3,5 -, 8 : 0, i sl. Otkako }e se izvr{at site operacii vo izrazot se dobiva broj koj se vika brojna vrednost na izrazot. Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot ,4 : 0,4. Pri sporeduvaweto na racionalnite broevi si gi koristel znacite: =, . Koj od znacite: > ili < treba da bide vo kruk~eto za da bide to~no sporeduvaweto na broevite: 5 -; 0 3,5; - -5; -4 0? Koi od slednive neravenstva se to~ni: a) 7 > 5; b) -5 > -4; v) -3, < -,3? A. Koj znak treba da bide vo kruk- ~eto, za da bide to~no sporeduvaweto na brojnite vrednosti na izrazite: a) 3 (5 - ) 8-4 3; b) 8,5-0,8 (- 4) +? [to treba prethodno da napravi{ za da gi sporedi{ brojnite izrazi? Prvo treba da gi presmetam brojnite vrednosti na dadenite izrazi, a potoa da odredam koj znak treba da bide vo kruk~eto. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) 3 (5 - ) = 3 3 = 9; = 8 - = -4; 9 > -4, pa 3 (5 - ) > b) 8,5-0,8 = 0-0,8 = 9,; (-4) + = 6 + = 7; 9, < 7 pa 8,5-0,8 < (-4) +. So re{avaweto na zada~ata dvata brojni izrazi: 3 (5 - ) i 8-4 3, odnosno 8,5-0,8 i (-4) + gi svrza so eden od znacite > ili 8-4 3, odnosno 8,5-0,8 < (-4) +. 3 (5 - ) > i 8,5-0,8 > (-4) + se brojni neravenstva.. ormiraj to~no brojno neravenstvo od izrazite: i Odredi koi od slednite brojni neravenstva se to~ni: > ; 7 < 3-5 ; > Linearni neravenki so edna nepoznata 83

84 Potseti se! Izrazi so promenlivi se: x - ; y - 3, x - x + i sl. Kakov izraz }e dobie{ ako vo izrazot y - 3 promenlivata y ja zameni{ so? Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot x - x + za x = 3. B 4. Koj od znacite: > ili < treba da stoi vo kruk~eto za da bide to~no sporeduvaweto na izrazite so promenliva: x - x + x + 3, za x = -? Kakvi izrazi }e dobie{ ako vo dadenite izrazi so promenliva, x go zameni{ so -? [to treba potoa da napravi{? So zamenuvawe na promenlivata x so -, }e dobijam brojni izrazi, koi moàm da gi sporedam i da go postavam potrebniot znak vo kruk~eto. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. x - x + = (-) - (-) + = = 9; x + 3 = (-) + 3 = = -. Bidej}i 9 > -, sleduva deka x - x + > x + 3 za x = -. Neravenstvoto x - x + > x + 3 e neravenstvo so promenliva. Neravenstvo vo koe levata i desnata strana ili barem ednata od niv e izraz so promenliva se vika neravenstvo so promenliva ili neravenka. 5. Odredi koi od slednive neravenstva se neravenki: a) 5 > - 3; v) x + < x - x + 3, x Z; b) x + 3 > 0, x R; g) < Zapomni! Promenlivite vo neravenkite nej~esto se ozna~uvaat so x, y, z,... i tie se menuvaat vo mnoèstvoto R ili vo nekoe negovo podmnoèstvo. So zadavaweto na neravenkata se zadava i mnoèstvoto vo koe se menuvaat promenlivite, t.e. definicionoto mnoèstvo. Ako ne e zadadeno definicionoto mnoèstvo }e smetame deka toa e mnoèstvoto R. Neravenka so edna promenliva, vo op{t slu~aj zapi{uvame: f(x) < g(x), x D, kade {to f(x) i g(x) se izrazi od promenlivata x, definirani vo mnoèstvoto D. 84 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

85 Potseti se! V 6. Dadeni se neravenkite: Koi vidovi ravenki imame spored brojot na nepoznatite? Spored stepenot na nepoznatite ravenkite mo`at da bidat: linearna (od prv stepen), kvadratna (od vtor stepen), kubna (od tret stepen) itn. Od koj stepen e ravenkata: x - 3 = x + ; x - 3x =? x - < 3x + ; x - > x; x - y > 5 - x; x y - < 3x. So kolku nepoznati e sekoja od neravenkite? Kako }e gi imenuva{ neravenkite x - < 3x + i x - > x spored brojot na nepoznatite, a kako neravenkite x - y > 5 - x i x y - < 3x? Koi neravenki se so edna nepoznata, a koi so dve nepoznati? Neravenkite: x - < 3x + i x - > x se so edna nepoznata, a neravenkite: x - y > 5 - x i x y - < 3x so dve nepoznati. Zapomni! Spored brojot na nepoznatite, neravenkite mo`at da bidat: neravenki so edna nepoznata, neravenki so dve nepoznati, neravenki so tri nepoznati itn. 7. Odredi so kolku nepoznati e sekoja od slednive neravenki. a) x - < x + ; b) x + y < 7 - z; v) x + y < x - y + ; g) x > x Dadeni se neravenkite: a) x + > x; b) x y - > 3x; v) x - < x + 3; g) x - y < y + 3. Odredi go najvisokiot stepen na nepoznatite vo sekoja od neravenkite. Spored stepenot na nepoznatite, od koj vid se neravenkite? Odredi go vidot na neravenkite spored stepenot na nepoznatite na na~in kako kaj ravenkite. Neravenkite x - < x + 3 i x -y < y + 3 se od prv stepen; neravenkata x + > x e od vtor stepen, a neravenkata x y - > 3x e od tret stepen. Linearni neravenki so edna nepoznata 85

86 Zapomni! Neravenkite f(x) < g(x) ili f(x) > g(x), vo koi levata i desnata strana se celi racionalni izrazi, spored ~lenot so najvisok stepen mo`at da bidat: neravenki od prv stepen (linearni neravenki), neravenki od vtor stepen (kvadratni neravenki), neravenki od tret stepen (kubni neravenki) itn. 9. Odredi od koj stepen e sekoja od slednive neravenki: a) 5x - < x + 4; b) x - x < 6; v) x y - 5 > x; g) x + y < 7. Treba da znae{: Proveri se! deka dva izraza povrzani so znakot < ili > obrazuvaat neravenstvo; da go definira{ poimot neravenka; da go odredi{ vidot na neravenkata spored brojot na nepoznatite i spored stepenot na nepoznatata. Odredi koi od slednive neravenstva se neravenki: a) > 7 - ;b) x - < 5x; v) 3x + y < y + ; g) 5-3 > 3-4. Odredi koi od navedenite neravenki se linearni neravenki so edna nepoznata: a) x + 6 > 5x; b) x + y < 5x + ; v) y - < 3y; g) x + > x - 5. Zada~i. Odredi koi od slednive neravenstva se to~ni: a) - 5 > 3-8; b) > : 4; v) > Za koja vrednost na x {-, 0, } e to~no neravenstvoto: x - x < x + 5? 3. Odredi go vidot na sekoja od neravenkite spored brojot na nepoznatite: a) x - 3 < x + 5; v) 3x + - x > x + 5; b) x - y + 3 > x; g) x - 5 < y Odredi go vidot na sekoja od slednive neravenki spored stepenot na nepoznatata: a) x - 3 < x - ; v) x + > 6 - x; b) x - - 3x < 5; g) x y - 3x > y Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

87 9 RE[ENIE NA NERAVENKA. INTERVALI Potseti se! Vrednosta na nepoznatata za koja ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo se vika re{enie (koren) na ravenkata. Proveri dali brojot e re{enie na ravenkata: a) x - = x + ; b) 3x - 5 = x + 3. Odredi go re{enieto na ravenkata: a) 3x - = x + 3; b) x + = x + 5. A. Odredi za koi vrednosti na x {-, -, 0,, } = D sekoja od dadenite neravenki preminuva vo to~no brojno neravenstvo: a) 3x + > x - ; b) x - < x + 4; v) x - 3 > x +. Kako od neravenkite }e dobie{ brojni neravenstva? Obidi se re{enieto na zada- ~ata da go prikaè{ so tabela. So zamena na nepoznatata x so vrednostite od definicionoto mnoèstvo D neravenkata }e ja pretvoram vo brojno neravenstvo i }e utvrdam dali toa e to~no (T) ili neto~no ( ). Sporedi go tvoeto re- {enie so dadenoto. Vrednost na x Neravenka 3x + > x - x - < x + 4 x - 3 > x > -3-6 < T -7 > > - -4 < 3 T -5 > 0 > - T - < 4 T -3 > 4 > 0 T 0 < 5 T - > 3 7 > T < 6 T > 4 Od tabelata voo~i deka: neravenkata 3x + > x - preminuva vo to~no brojno neravenstvo za x = 0, x = i x = ; neravenkata x - < x + 4 preminuva vo to~no brojno neravenstvo za sekoja vrednost x od definicionoto mnoèstvo D; neravenkata x - 3 > x + ne preminuva vo to~no brojno neravenstvo za nitu edna vrednost na x od D. Sekoja vrednost na nepoznatata za koja neravenkata preminuva vo to~no brojno neravenstvo se vika re{enie na neravenkata. Site re{enija na edna neravenka f (x) < g (x) obrazuvaat edno mnoèstvo, koe se vika mnoèstvo re{enija na neravenkata i obi~no se ozna~uva so R(f (x) < g(x)). Za neravenkata 3x + > x - od prethodnata zada~a R(3x + > x - ) = {0,, }. Linearni neravenki so edna nepoznata 87

88 . Zapi{i gi mnoèstvata re{enija na neravenkite x - < x + 4 i x - 3 > x + od zada~ata. 3. Odredi go mnoèstvoto re{enija na neravenkata x - 3 < 3x -, ako x {-3, -,,, 3}. Sekako odredi deka mnoèstvoto re{enija e R(x - 3 < 3x - ) = {,, 3}. So toa ja re{i neravenkata x - 3 < 3x -. Zapomni! Da se re{i edna neravenka zna~i da se opredeli mnoèstvoto re{enija na taa neravenka. Potseti se! Za dve ravenki se veli deka se ekvivalentni ako imaat ednakvi mnoèstva re{enija. Proveri dali se ekvivalentni ravenkite: 3x - 4 = x - i x - 5 = x -. B 4. Dadeni se neravenkite: 3x + > x + i x - 3 > x - 4 so definiciono mnoèstvo D = {-, 0,, }. Odredi gi mnoèstvata re{enija na dvete neravenki. Sporedi gi re{enijata na dvete neravenki. [to voo~uva{? Sporedi go tvoeto re{enie spored podatocite vo tabelata. x Neravenka 3x + > x (-) + > (-) > 0 + T 3 + > + T 3 + > + T x - 3 > x - 4 (-) - 3 > > 0-4 T - 3 > - 4 T - 3 > -4 T Voo~i deka R(3x + > x + ) = {0,, }, R(x - 3 > x - 4) = {0,, }, t.e. R(3x + > x + ) = R(x - 3 > x - 4). Za takvi neravenki se veli deka se ekvivalentni vo definicionoto mnoèstvo D i zapi{uvame 3x + > x + x - 3 > x - 4, x D. Zapomni! Dve neravenki so isto definiciono mnoèstvo se ekvivalentni ako nivnite mnoèstva re{enija se ednakvi. 5. Proveri dali neravenkite: 3x - > x + i x + 3 < 3x +, se ekvivalentni vo mno- èstvoto D = {,, 3, 4}. 88 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

89 V 6. Dadena e brojna prava i na nea se ozna~eni to~kite A i B. Na to~kite A i B se pridruèni broevite i 4 soodvetno. - 0 A 3 B 4 5 Bidej}i to~kata A e levo od B, toga{ za nivnite soodvetni broevi vaì: < 4. Koi prirodni broevi se me u i 4? Koj od broevite 3 ; -3; 3 ;,8; 6 3 e me u i 4? Zo{to e me u i 4? Bidej}i,4, toj e desno od, a levo od 4. Site realni broevi {to se me u i 4 obrazuvaat edno mnoèstvo, nare~eno interval so kraevi i 4. Op{to Ako a i b se dadeni realni broevi i a < b, toga{ mnoèstvoto od site realni broevi me u a i b se vika interval, a dadenite broevi a i b - kraevi na toj interval. Ako kraevite a i b ne mu pripa aat na intervalot, toga{ toj se vika otvoren interval. Se ozna~uva (a; b) Se pretstavuva na brojna prava: b Ako kraevite a i b mu pripa aat na intervalot, toga{ toj se vika zatvoren interval. Se ozna~uva [a; b] Se pretstavuva na brojna prava: O O a ( ) a b [ ] 7. Zapi{i interval so kraevi 3 i 5 i pretstavi go na brojna prava: a) zatvoren interval; b) otvoren interval; v) interval koj ne go sodrì g) interval koj ne go sodrì samo leviot kraj; samo desniot kraj. Sporedi go tvoeto re{enie v) i g). v) (3; 5] ( ] g) [3; 5) [ ) 5 Interval pretstavuva i mnoèstvoto od site realni broevi {to se: pogolemi od a; (a; + ) pogolemi ili ednakvi na a; [a; + ) pomali od a; (- ; a) pomali ili ednakvi na a; (- ; a] Linearni neravenki so edna nepoznata 89

90 Voo~i deka na edniot kraj od intervalite e znakot + ili -. Intervalot (a; + ) se ~ita: "a, plus beskone~nost#. Intervalot (- ; a) se ~ita: "minus beskone~nost, a#. Mnoèstvoto R moè da se zapi{e kako interval: (- ; + ). Voo~i deka nemaat smisla oznakite: (3; - ); [; + ]; (+ ; 4). 8. Zapi{i go kako interval, a potoa pretstavi go na brojna prava mnoèstvoto od site realni broevi: a) pogolemi od ; b) pomali ili ednakvi na. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) (, + ) ( b) (-, ] ] G 9. Dadeni se neravenkite: a) x > -; x R; b) x < ; x R. Odredi go mnoèstvoto re{enija na sekoja od dadenite neravenki. Pretstavi go sekoe od tie mnoèstva na brojna prava. So koi broevi treba da se zameni x vo neravenkata x > -, a so koi vo neravenkata x <, za da se dobijat to~ni brojni neravenstva? Promenlivata x vo neravenkata x > - treba da se zameni so koj bilo realen broj, pogolem od -, a vo neravenkata x <, so koj bilo realen broj {to e pomal od, za da se dobijat to~ni brojni neravenstva. Sogleda deka mnoèstvoto re{enija na neravenkata x > - se sostoi od site realni broevi od - do +, a toa e intervalot (-, + ). Voo~i gi mnoèstvata re{enija na dadenite neravenki, na brojna prava. Neravenkite x > - i x < imaat takanare~ena re{ena forma; za takvite neravenki mnoèstvoto re{enija moè da se pro~ita vedna{, direktno. Zapomni! Neravenkite: x > a, x < a i 0 x < a, kade {to a e daden realen broj se zapi{ani vo re{ena forma i se vikaat osnovni neravenki. 90 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

91 0. Re{i ja neravenkata 0 x < -5. Dali postoi realen broj koj pomnoèn so 0 dava proizvod pomal od -5? Bidej}i koj bilo broj pomnoèn so 0 e 0, a 0 ne e pomalo od -5, neravenkata 0 x < -5 nema re{enie.. Re{i ja neravenkata 0 x < 5. Voo~i gi re{enijata na neravenkata 0 x < a: R(0 x < a, za a < 0) = i R(0 x < a, za a > 0) = R.. Zapi{i go mnoèstvoto re{enija na neravenkata: x > -5; x < 4; 0 x < -; 0 x < 3, so pomo{ na interval. Re{enijata na neravenkite od vidot x a x a se intervalite (- ; a]. se intervalite [a; + ), a na neravenkite 3. Pretstavi go so interval i na brojna prava mnoèstvoto re{enija na neravenkata: a) x 3; b) x -. Sogledaj kako se re{ava zada~a od ovoj vid. a) Ako x 3, toga{ x (- ; 3]. b) Ako x -, toga{ x [-; + ). 4. Zapi{i go mnoèstvoto re{enija na neravenkata x - so pomo{ na interval. Treba da znae{: da proveri{ koi vrednosti se re{enija na dadena neravenka; Proveri dali R(x - > x + ) = {, 3, 4} ako x {0,,, 3, 4}. da utvrdi{ dali dve neravenki se ekvivalentni; da objasni{ koga dve neravenki se ekvivalentni; da go pretstavi{ so interval i na brojna prava mnoèstvoto re{enija na dadena neravenka. Proveri se! Utvrdi dali neravenkata 3x - > x + e ekvivalentna so neravenkata 4x - > 3x, ako x {0,,, 3, 4} = D. Pretstavi go so interval re{enieto na neravenkata x < -3. Linearni neravenki so edna nepoznata 9

92 Zada~i. Vo mnoèstvoto D = {-, 0,,, 3} se dadeni neravenkite: a) 3x + > x + ; b) x + 3 > x + 3. Odredi go mnoèstvoto re{enija na sekoja od dadenite neravenki.. Odredi koi od slednive neravenki se ekvivalentni vo mnoèstvoto D = {-, -, 0,, }: a) 3x - > x - 3; v) x + 5 > x + 4. b) x - > x - ; 3. Pretstavi go so interval mnoèstvoto re{enija na neravenkata: a) x > -; b) x < 0; v) x ; g) x Pretstavi go so interval i na brojna prava mnoèstvoto re{enija na neravenkite: a) x > -3; b) x <. 5. Pretstavi go so interval i na brojna prava mnoèstvoto re{enija na neravenkite: a) x -; b) x. 6. Koja od slednive neravenki nema re- {enie? Obrazloì go odgovorot. a) x > 0; v) 0 x > -; b) 0 x < -; g) x < TEOREMI ZA EKVIVALENTNI NERAVENKI Potseti se! A. Za koi dve ravenki se veli deka se ekvivalentni? Proveri dali neravenkite: 3x - > x + 3 i x - > x + se ekvivalentni vo mnoèstvoto D = {,, 3, 4}. Kako glasi teoremata za ekvivalentni ravenki? Vo mnoèstvoto D = {-, -, 0,, } e dadena neravenkata 3x - > x - 3. Odredi go mnoèstvoto re{enija na dadenata neravenka. Dodaj go na dvete strani na neravenkata izrazot x - i proveri dali dobienata neravenka e ekvivalentna so dadenata. Kako }e utvrdi{ dali dadenata neravenka e ekvivalentna so dobienata? ]e gi odredam mnoèstvata re- {enija na dvete neravenki i }e gi sporedam. 9 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

93 Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. Vrednost za x Dadena neravenka 3x - > x - 3 To~no neto~no Dobiena neravenka 3x - + x - > x x - To~no neto~no - 3 (-) - > (-) (-) > (-) (-) - > (-) (-) > (-) > 0-3 T > T 3 - > - 3 T > T 3 - > - 3 T > T Od tabelata voo~i deka: R(3x - > x - 3) = {0,, } i R(3x - + x - > x x -) = {0,, }, odnosno so dodavaweto na izrazot x - na dvete strani na neravenkata 3x - > x - 3 dobivme neravenka 3x - + x - > x x -, ekvivalentna so dadenata. Toa vaì op{to za neravenkite. Spored toa moème da ja iskaème slednava teorema za dodavawe broj ili izraz na dvete strani od neravenkata. Teorema Ako kon dvete strani na neravenkata f (x) > g (x) se dodade ist broj ili racionalen izraz h(x), koj e opredelen za sekoj x od definicionoto mnoèstvo, se dobiva neravenka ekvivalentna na dadenata, t.e. f (x) > g(x) f (x) + h(x) > g(x) + h(x).. Dali se ekvivalentni slednive dve neravenki: a) 5x + > 4x + 3 i 5x + + 3x > 4x x; b) x - 5 > x - i x x - > x - + 5x - ; v) 3x - < x + i 3x - - 4x < x + - 4x? Obrazloì go odgovorot. B 3. Neravenkata 4x - < 3x + svedi ja na neravenka vo re{ena forma. Koj izraz moè{ da go dodade{ na dvete strani na neravenkata za da ja dovede{ vo re{ena forma? Na dvete strani na neravenkata moàm da go dodadam izrazot -3x +. Linearni neravenki so edna nepoznata 93

94 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Spored teoremata imame: 4x - < 3x + 4x - - 3x + < 3x + - 3x + 4x -3x < + x < 3. Od 4x - < 3x + 4x - 3x < + moè{ da voo~i{ deka: ~lenot 3x e prefrlen od desnata na levata strana, no so sprotivniot znak, a ~lenot e prefrlen od levata na desnata strana, isto taka so sprotivniot znak. Toa vaì op{to za neravenkite. Spored toa, moème da ja iskaème slednava posledica od teoremata : P Sekoj ~len od neravenkata moè da se prefrli od ednata strana na drugata, pri {to negoviot znak se menuva vo sprotivniot. So primena na teoremata moè{ da vr{i{ ekvivalentni transformacii na neravenkite, so {to }e gi dovede{ do poednostavni neravenki, ekvivalentni so niv. Voo~i go toa vo slednava zada~a. 4. Transformiraj ja vo neravenka vo re{ena forma neravenkata 4x - > 3x +. Pretstavi go re{enieto na neravenkata so interval. Primeni ja posledicata i grupiraj gi nepoznatite na levata strana, a poznatite na desnata. Spored posledicata vaì: 4x - > 3x + 4x - 3x > + x > 3, a R(4x - > 3x + ) = = (3; + ). 5. Dadena e neravenkata 3x - 5 > x - 3. Transformiraj ja neravenkata vo re{ena forma. Pretstavi go re{enieto na neravenkata so interval. 6. Proveri dali neravenkite 3x - + 4x < x + + 4x i 3x - < x +, definirani vo mnoèstvoto D = {0,,, 3, 4} se ekvivalentni. Odredi gi mnoèstvata re{enija na dvete neravenki i proveri dali tie se ednakvi. R(3x - + 4x < x + + 4x) = {0,, }; R(3x - < x + ) = {0,, }, pa dadenite neravenki se ekvivalentni. Voo~uva{ deka na dvete strani na prvata neravenka ima ist ~len 4x. So izostavawe na 4x od dvete strani e dobiena neravenkata 3x - < x +, ekvivalentna na prvata. Obrazloì kako }e ja primeni{ teoremata za da pokaè{ deka ~lenot 4x koj se nao a na dvete strani na neravenkata moè{ da go izostavi{ i da dobie{ ekvivalentna neravenka na dadenata. 94 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

95 Toa vaì op{to za neravenkite. Spored toa moème da iskaème u{te edna posledica od teoremata : P Ako na razli~ni strani na neravenkata ima ednakvi ~lenovi, toga{ tie moàt da se izostavat. 7. Transformiraj ja vo re{ena forma neravenkata 4x - - 5x < 3x - - 5x. V 8. Dadena e neravenkata 3x - > x + so D = {,, 3, 4, 5}. Pomnoì gi dvete strani na neravenkata so. Proveri dali dobienata neravenka e ekvivalentna so dadenata. Voo~i go vo tabelava re{enieto na zada~ata. Vrednost na x Neravenka 3x - > x + 6x - > 4x + > 3 4 > 6 5 > 5 0 > > 7 T 6 > 4 T 4 > 9 T > 8 T 5 4 > T 8 > T Od tabelata moè{ da voo~i{ deka R(3x - > x + ) = {3, 4, 5} i R(6x - > 4x + ) = = {3, 4, 5}, t.e. 3x - > x + 6x - > 4x +. Toa vaì op{to za neravenkite, samo ako brojot so koj se mnoàt dvete strani na neravenkata e pozitiven. Spored toa, moème da ja iskaème slednava teorema za mnoèwe na neravenka so pozitiven broj: Teorema Ako dvete strani na edna neravenka f (x) > g(x) se pomnoàt so eden ist broj a > 0, toga{ se dobiva neravenka ekvivalentna so dadenata, t.e. f (x) > g(x) a f (x) > a g(x) za a > Obrazloì zo{to slednive neravenki se ekvivalentni: 3x - < x - 3 i 9x - 6 < 6x Dadena e neravenkata 4x - 8 < - 8x, na koja se izvr{eni slednive ekvivalentni transformacii: 4x 8 8x x - < 3 - x; x : 4-8 : 4 < : 4-8x : 4 x - < 3 - x. Obrazloì koi transformacii se napraveni na neravenkata 4x - 8 < - 8x. Sporedi gi dobienite neravenki. [to zabeleùva{? Linearni neravenki so edna nepoznata 95

96 Voo~i deka: ako dvete strani na neravenkata 4x - 8 < - 8x se pomnoàt so 4, toga{ e izvr{ena istata transformacija kako dvete strani na taa neravenka da se podeleni so 4. Moè da se iskaè slednava posledica od teoremata : P Ako dvete strani na edna neravenka imaat zaedni~ki pozitiven mnoìtel, so nego moàt da se podelat dvete strani na neravenkata, pri {to se dobiva nova neravenka ekvivalentna na dadenata.. Dadena e neravenkata 0x - 5 < 5x + 5. Transformiraj ja ovaa neravenka vo poednostavna so primena na posledicata Dadena e neravenkata x x. So koj broj moè{ da gi pomnoì{ dvete strani na neravenkata, za da dobie{ neravenka bez imeniteli? Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. NZS(4,, 8) = 8; 3 x 5 x x 4 5x Transformacijata na neravenkata x x e izvr{ena vrz osnova na teoremata. Voo~i deka moè da se iskaè slednata posledica od T. P Neravenka so drobni numeri~ki koeficienti moè da se transformira vo ekvivalentna neravenka so celi numeri~ki koeficienti, ako dvete strani na neravenkata se pomnoàt so pozitiven zaedni~ki sodràtel na imenitelite (obi~no so nivniot najmal zaedni~ki sodràtel). 3. Transformiraj ja vo neravenka so celi numeri~ki koeficienti neravenkata x 5 x Dadeni se to~nite brojni neravenstva: 7 > 4, -5 < -3 i > -4. Pomnoì gi dvete strani na sekoe od dadenite neravenstva so -. Proveri dali dobienite brojni neravenstva se to~ni. [to voo~uva{? Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. E E E 7 > 4; - 7 > - 4, -4 > -8 neto~no brojno neravenstvo. -5 < -3, - (-5) < - (-3), 0 < 6 neto~no brojno neravenstvo. > -4, - > - (-4), - > 8 neto~no brojno neravenstvo. 96 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

97 Za da se dobie to~no brojno neravenstvo, potrebno e da se promeni znakot na neravenstvoto, t.e. -4 > -8 da se zameni so -4 < -8, 0 < 6 da se zameni so 0 > 6 i - > 8 da se zameni so - < 8. Toa vaì za koi bilo realni broevi a, b i c. Ako a > b i c < 0, toga{ a c b c. Voo~i go dokazot na tvrdeweto. Dadeno e: a > b i c < 0. Treba da se dokaè: a c 0 (za{to a > b), sleduva deka proizvodot (a - b) c e negativen, t.e. a c - b c < 0, pa a c - velime deka imaat sprotivni nasoki. Spored toa, za neravenkite moème da ja iskaème slednava teorema za mnoèwe neravenka so negativen broj: Teorema 3 Ako dvete strani na edna neravenka f (x) > g(x) se pomnoàt ili podelat so eden ist negativen broj c i pritoa se promeni znakot na neravenkata vo sprotiven, }e se dobie neravenka ekvivalentna so dadenata, t.e. za c < 0: f (x) > g(x) c f (x) < c g(x). 5. Transformiraj ja vo re{ena forma neravenkata x - 7 > 5x -. Primeni gi posledicata od teoremata, posledicata od teoremata i teoremata 3. Treba da znae{: da gi iskaè{ teoremite i nivnite posledici za ekvivalentni neravenki; da gi primeni{ teoremite i posledicite za ekvivalentni linearni neravenki vo zada~i. Zada~i. Slednive neravenki svedi gi na neravenki vo re{ena forma. a) 3x - < x + ; b) 4x - 3 > 3x -. x - 7 > 5x - x - 5x > x > 6 -x > x < -, t.e. R(x - 7 > 5x - ) = (-, - ). Proveri se! Obrazloì zo{to se ekvivalentni neravenkite: x - 5 < x - 3 i x x < x x; 3 x - < x + i 4x - 6 < 3x + ; -5x + 3 < -3x - i 5x - 3 > 3x +.. Vo neravenkata x - 3-5x < x - - 5x izostavi dva ~lena taka {to da dobie{ neravenka ekvivalentna na dadenata. Linearni neravenki so edna nepoznata 97

98 3. Slednava neravenka transformiraj ja vo ekvivalentna neravenka bez imeniteli: a) x < x 4 + ; b) 3x 6 > x Neravenkata 3x - 5 < 4x - 3 transformiraj ja vo neravenka vo re{ena forma. Pretstavi go re{enieto na neravenkata so interval. 4. Neravenkata x - < x +, svedi ja na 3 neravenka vo re{ena forma. RE[AVAWE NA LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA Potseti se! Odredi koi od slednive neravenki se linearni neravenki so edna nepoznata: x + 6 > 4x; 3x - < x + 3; x + 5 > 3x -; x + y < 3 - x. Transformiraj ja vo re{ena forma neravenkata 5x - 3 > 3x Obrazlo`i gi slednive ekvivalencii: a) -5x + > x - 3 5x - < -x + 3; b) 4x - < 3x + -4x + > -3x -. A. Re{i ja neravenkata 4x - 3 > x +. Pretstavi go re{enieto so interval na brojna prava. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 4x - 3 > x + 4x - x > + 3 E (spored P od T ) 4x - x > + 3 x > 4 (sveduvawe na dvete strani na neravenkata) x > 4 x > (delewe na neravenkata spored P od T ) R(4x - 3 > x + ) = R(x > ) = (; + ). E E Kako }e ja dovede{ dadenata neravenka vo re{ena forma? ]e gi primenam posledicata od teoremata i posledicata od teoremata.. Re{i gi slednive neravenki: a) x - 4 > 8-3x; b) 3x - 5 < -x + 3. Neravenki se i: f (x) g(x); f (x) g(x); 3. Dadeno e re{avaweto na neravenkata 3(x - ) -(9-8x). Objasni ja sekoja ekvivalentna transformacija primeneta vo tekot na re{avaweto. 3(x - ) -(9-8x) 6x x 6x - 8x x -6 -x -3 x 3; R(3(x - ) -(9-8x)) = R(x 3) = [3, + ). 98 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

99 4. Re{i ja neravenkata x - (3 - x) 5x Re{i ja neravenkata x x. 3 6 Kako }e se oslobodi{ od imenitelite vo dadenata neravenka? Dvete strani na neravenkata }e gi pomnoàm so NZS(3,,6)=6. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x x (x - ) -3 < x + 4x < x + 4x - x < x < 6 x <. x x R( ) = R(x < ) = (- ; ), t.e. x (- ; ) Re{i ja neravenkata x x Treba da znae{: da re{ava{ linearni neravenki so edna nepoznata; da proveri{ dali daden interval e re- {enie na dadena neravenka; da sostavi{ neravenka za dadena zada~a opi{ana so zborovi. Zada~i. Re{i gi slednive neravenki: a) 5x - > 3x + 4; b) x - 7 < 5x +.. Re{i gi slednive neravenki: a) x - 3(x - ) -(5 - x); b) 3x - (x + 3) -3(4 - x); 3. Proveri dali intervalot (-3; + ) e 5x4 x4 re{enie na neravenkata: 4. Proveri se! Re{i ja slednava neravenka: (x - 3) -(9-5x). Za koi vrednosti na x izrazot x - 4 e pozitiven? Re{i ja neravenkata: 3 x x x Re{i gi slednive neravenki: x x a) ; 3 b) x3 x Odredi za koi vrednosti na x izrazot 9x x3 ima pozitivna vrednost Dolìnata na eden pravoagolnik e za 3 cm pogolema od {irinata. Kolkava treba da bide dolìnata na pravoagolnikot za da bide perimetarot pomal od 54 cm? Linearni neravenki so edna nepoznata 99

100 SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA RE[AVAWE SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA Potseti se! Sekoja vrednost na nepoznatata za koja neravenkata preminuva vo to~no brojno neravenstvo se vika re{enie na neravenkata. Proveri dali x = 3 e re{enie na neravenkata 3x - > x - 3. Site re{enija na edna neravenka obrazuvaat mnoèstvo {to se vika mnoèstvo re{enija na taa neravenka. Odredi go mnoèstvoto re{enija na neravenkata 5x - < 3x + 4. A. Dadeni se neravenkite: 3x + > x - i 4x - < 3x +. Re{i gi dadenite neravenki. Pretstavi go mnoèstvoto re{enija na sekoja od neravenkite so interval i na ista brojna prava. Utvrdi dali dadenite neravenki imaat zaedni~ki re{enija. Kako }e utvrdi{ dali dadenite neravenki imaat zaedni~ki re{enija? Dadenite neravenki }e gi dovedam do re{ena forma, potoa re{enijata }e gi pretstavam so interval i na ista brojna prava, od kade {to }e go sogledam presekot na nivnite mnoèstva re{enija. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 3x + > x - 4x - < 3x + 3x - x > - - 4x - 3x < + x > - x < 3 R(3x + > x - ) = (-; + ) R(4x - < 3x + ) = (- ; 3) R(3x + > x - ) R(4x - < 3x + ) Od brojnata prava moè{ da voo~i{ deka broevite {to pripa aat na intervalot (-, 3) se re{enija i na ednata i na drugata neravenka. Za dadenite dve neravenki velime deka obrazuvaat sistem od dve linearni neravenki so edna nepoznata. 00 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

101 . Daden e sistemot neravenki 3xx3 5x3x9. Dovedi go dadeniot sistem vo normalen vid. B Zapomni! Za dve ili pove}e linearni neravenki so edna ista nepoznata, za koi se baraat zaedni~ki re{enija, se veli deka obrazuvaat sistem linearni neravenki so edna nepoznata. Sekoj sistem od dve linearni neravenki so edna nepoznata moè da se svede vo normalen vid, kako na primer: ax b a x b Site vrednosti na nepoznatata x {to se zaedni~ki re{enija na neravenkite od sistemot, odnosno presekot od mnoèstvata re{enija na neravenkite od sistemot, se vika mnoèstvo re{enija na sistemot neravenki i se ozna~uva so R s, t.e. R s = R(ax > b) R(a x > b ). Zapi{i go so interval mnoèstvoto re{enija na dadeniot sistem. Voo~i gi postapkite pri dokaùvaweto. (a, b, a, b R). Odredi gi zaedni~kite re{enija na neravenkite od sistemot na brojna prava. Dva sistema definirani vo isto mnoèstvo se ekvivalentni ako imaat ednakvi mnoèstva re{enija. 3. Daden e sistemot linearni neravenki e ekvivalentna so ax > b. Dokaì deka sistemot neravenki ax b a x b ax b axb i neravenkata a x > b koja{to ax b e ekvivalenten so sistemot ax b. ax b Re{enie na sistemot neravenki e R ax b s = R(ax > b) R(a x > b ). Od ax > b a x > b sleduva R(ax > b) = R(a x > b ). ax b 3 Re{enie na sistemot e R ax b s = R(a x > b ) R(a x > b ). 4 Od R(ax > b) = R(a x > b ) sleduva deka R(a x > b ) R(a x > b ) = R(ax > b) R(a x > b ), ax b t.e. ax b ax b ax b. Sistem linearni neravenki so edna nepoznata 0

102 So toa dokaàvme deka vaì slednava: Teorema Ako vo daden sistem neravenki se zameni koja bilo neravenka so neravenka ekvivalentna na nea, se dobiva sistem neravenki ekvivalenten na dadeniot. 4. Re{i go sistemot neravenki x x x. 4 Re{enieto na sistemot pretstavi go so interval i na brojna prava. Vo kakov vid treba da gi dovede{ neravenkite od sistemot i kako }e go odredi{ negovoto re{enie? Prvo, neravenkite od sistemot }e gi transformiram vo re{ena forma, a potoa }e go odredam presekot od mnoèstvata re{enija na dvete neravenki. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x x x 4 x 90 x4 x x 9 xx4 x 7 3x 3 R s = (- ; 7) (- ; ) = (- ; ) x 7 x. R s = R(x < 7) R(x < ) = (- ; ) 5. Re{i go sistemot neravenki x x 3 6 3x x 4 Re{enieto na sistemot pretstavi go so interval i na brojna prava. Koga sistem od dve linearni neravenki so edna nepoznata moè da nema re{enie? Sistemot }e nema re{enie ako presekot od mnoèstvata re{enija na dvete neravenki e prazno mnoèstvo. 0 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

103 Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. x x 3 6 4x6x 4xx6 3x x 3x 3 x 3x 4x 3xx4 x 3 x 3. 4 R(x > ) = (; + ), R(x < -3) = (- ; -3); R s = R(x > ) R(x < -3) =. Zapomni! Ako presekot na mnoèstvata re{enija na dvete neravenki e prazno mnoèstvo, toga{ se veli deka sistemot nema re{enie ili sistemot e protivre~en. 6. Re{i go sistemot neravenki: x x5 4 x x 3 Treba da znae{: da re{i{ sistem linearni neravenki so edna nepoznata; da go pretstavi{ mnoèstvoto re{enija na sistem linearni neravenki so edna nepoznata na brojna prava i so interval. Proveri se! Re{i go sistemot linearni neravenki so edna nepoznata: [to e re{enie na sistemot linearni neravenki: i R(a x > b ) = (0, + )? ax b axb x 0 3 x x. 4 ako R(ax > b) = (-, -) Sistem linearni neravenki so edna nepoznata 03

104 Zada~i. Re{i go sistemot: x x a) 63 96x 3x; b) 3xx5 xx3. 3. Re{i go sistemot: 3 3 a) x p x x x5 b3x. Re{i go sistemot: x x 7 3 a) x3 x ; 4 3 x x x 3 6 b) x x b) x x x x p 5x. 4. Re{i go sistemot: x x x a) 3 xx xx 4; x x x3 b) x x x LINEARNI UNKCII 3 LINEARNA UNKCIJA Potseti se! Pravata i obratnata proporcionalnost se funkcii. Tie obi~no se zadavaat so formuli. Koja proporcionalnost e iska`ana so formulata y = x? Koja proporcionalnost e iska`ana so formulata? x A. Vo eden sad {to sobira 35 6 ima 5 6 voda. Edna cevka go polni sadot so 3 6 voda vo minuta. Kolku litri voda }e ima vo sadot po: minuta; minuti;,5 minuti; 5 minuti; 0 minuti? Kolku litri voda (y) }e ima vo sadot po izminati (x) minuti? Napravi tabela so dadenite podatoci. Kako }e presmeta{ kolku voda }e ima vo sadot za x = minuta, a kako za x = minuti? Za x = minuta, y = = 8 6; za x = minuti, y = = Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

105 Voo~i deka po x minuti vo sadot }e ima 3x + 5 litri voda, t.e. y = 3x + 5. Sogledaj deka procesot na polnewe na sadot so voda moè da se opi{e kako funkcija f dadena so formulata f(x) = 3x + 5. Spored formulata moè da sostavi{ tabela i za drugi vrednosti na x (vreme), pokraj dadenite. x f(x) = 3x + 5 8,5 9,5,5, Po kolku minuti sadot }e se napolni so voda? 35 Voo~i deka, spored prirodata na problemot, vremeto x moè da se menuva od 0 do 0 minuti. Ako ja razgleda{ samo formulata f(x) = 3x + 5, toga{ x moè da bide koj bilo realen broj. Na sekoj realen broj x se pridruùva odreden broj y, takov {to y = f(x). So formulata f(x) = 3x + 5 e dadena funkcijata f vo mnoèstvoto R i pretstavuva primer za linearna funkcija. Voo~i i zapomni! unkcijata f {to e zadadena so formulata f(x) = kx + n, kade {to k i n se koi bilo dadeni realni broevi, se vika linearna funkcija. Brojot k se vika koeficient pred argumentot x, a n sloboden ~len. Ako linearnata funkcija e zadadena so formula i ako ni{to ne e re~eno za domenot, toga{ }e smetame deka domen na taa funkcija e R.. Zapi{i ja linearnata funkcija vo koja: a) k = 3 i n = 5; v) k = - i n = -; b) k = i n = -3; g) k = 5 i n = 0. Kakov oblik ima funkcijata vo koja k = 5 i n = 0 od zada~ata? Kakva proporcionalnost pretstavuva funkcijata? Ako k = 5 i n = 0, toga{ funkcijata dobiva oblik f(x) = 5x. Toa e prava proporcionalnost. 3. Zapi{i ja linearnata funkcija vo koja: koeficientot pred argumentot e 4, a slobodniot ~len ; koeficientot pred argumentot e -3, a slobodniot ~len ; koeficientot pred argumentot e -, a slobodniot ~len 0. Linearna funkcija 05

106 B 4. Dadena e linearnata funkcija f(x) = x -. Odredi: f (-); f (0); f (). Za koja vrednost na argumentot x, vrednosta f(x) na funkcijata e nula? Za x = se dobiva f(x) = -, t.e. f(x) = 0, za x =. Zapomni! Vrednosta na argumentot x za koja vrednosta na funkcijata y e nula, se vika nula na funkcijata. 5. Proveri dali brojot -3 e nula na funkcijata f(x) = x Odredi ja nulata na funkcijata: a) y = -3x + 6; b) y = x -. Voo~i deka, vo dadenite funkcii, namesto f(x) stoi y. Vaka }e gi zapi{uvame linearnite funkcii i natamu. Kako }e go odredi{ x vo funkcijata y = kx + n za da e y = 0? Sporedi go tvoeto re{enie za funkcijata a). Za da e y = 0, treba kx + n = 0. Ottuka kx = -n, a n x, za k 0. k a) Vrednosta na funkcijata y = -3x + 6 e nula ako: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x =, t.e. brojot e nula na funkcijata y = -3x Odredi ja nulata na sekoja od funkciite: a) y = x - 5; b) y = 5x - 3; v) y = -3x; g) x. Treba da znae{: da definira{ linearna funkcija; da poso~i{ koeficient i sloboden ~len na linearna funkcija; da odredi{ nula na linearna funkcija. Proveri se! Koja od slednive funkcii e linearna funkcija? a) y = 6x; b) 6 ; v) y = x - ; x g) y = -x + ; d) y = x + 3. Odredi ja nulata na funkcijata y = -x Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

107 Zada~i. Odredi koja od slednive funkcii e linearna: a) ; b) y = x x - ; v) y = 3x; g) y = -x + 3; d) x.. Zapi{i ja linearnata funkcija vo koja: a) k = -, n = 3; b) k = -, n = ; v) k = -, n = 0; g) k, n Odredi ja nulata na funkcijata: a) y = 3x - 6; b) x 4 ; v) y = x - 5; g) y = x. 5. Nula na funkcijata y = kx + n e x =, a n = -3. Odredi go koeficientot pred argumentot. 3. Odredi go koeficientot pred argumentot i slobodniot ~len vo funkciite: a) y = x - 3; b) y = x; v) x 3 ; g) x Za funkcijata y = kx + n, x = - e nula na funkcijata, a slobodniot ~len e za 3 pogolem od koeficientot pred argumentot. Odredi gi k i n. 4 GRAI^KO PRETSTAVUVAWE NA LINEARNA UNKCIJA Potseti se! Na crteòt e daden pravoagolen koordinaten sistem Oxy. A. Niz to~kite O i A na crteòt e povle~ena prava. Pokaì deka taa prava e grafik na funkcijata y = x. Kako se vika oskata x, a kako oskata y? Kako se vika to~kata O? Odredi gi koordinatite na to~kata A. Kolku pravi minuvaat niz dve to~ki? Proveri dali to~kite O(0, 0) i A(, ) mu pripa aat na grafikot na funkcijata y = x. Pokaì deka to~kata (, 4) mu pripa a na grafikot na funkcijata y = x. Linearna funkcija 07

108 Kako }e pokaè{ deka to~kite O(0, 0) i A(, ) mu pripa aat na grafikot na funkcijata? Za x = 0, y = 0, y = 0. Za x =, y =, y =. Sledstveno to~kite O i A mu pripa aat na grafikot na funkcijata. Voo~i, na crteòt, deka e povle~ena prava niz to~kite O i A, koi{to mu pripa aat na grafikot na funkcijata y = x. Sogledaj go obrazloènieto deka sekoja to~ka na pravata OA go zadovoluva uslovot y = x, a to~ka {to ne pripa a na OA ne go zadovoluva toj uslov. Da izbereme proizvolna to~ka B(x, y ) {to leì na pravata OA (vidi go crteòt). Voo~i deka ΔONB ~ ΔOMA. Od sli~nosta na tie triagolnici sleduva deka NB : ON MA : OM, t.e. y : x = : ; y = x. Zna~i to~kata B(x, y ) mu pripa a na grafikot na funkcijata y = x. Da izbereme to~ka C {to ne pripa a na pravata OA, a ima ista apscisa so to~kata B (vidi go crteòt). Bidej}i y = x, sleduva deka NB ON. Voo~i deka NC v ON, t.e. to~kata C ne go zadovoluva uslovot y = x. Zna~i to~kata C ne mu pripa a na grafikot na funkcijata. Teorema Moème da kaème deka grafikot na linearnata funkcija y = x e prava {to minuva niz koordinatniot po~etok. Vaì op{to, t.e. vaì slednava Grafikot na linearnata funkcija y = kx, za koj bilo k R e prava {to minuva niz koordinatniot po~etok.. Dadena e funkcijata y = -3x. Proveri dali to~kite: A(, -3) i B(-, 3) mu pripa aat na grafikot na funkcijata. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. B Na crteòt e daden grafikot na funkcijata y = x i niz to~kite P i B e povle~ena prava. Pokaì deka pravata PB e grafik na funkcijata y = x + 3. Odredi gi koordinatite na to~kata P vo koja grafikot na funkcijata y = x + 3 ja se~e y - oskata. Spored crteòt, odredi gi koordinatite na to~kata B koja{to mu pripa a na grafikot na funkcijata y = x + 3. Odredi gi OP i AB. Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

109 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Za x = 0, y = 0 + 3; y = 3. Grafikot na funkcijata y = x + 3, ja se~e y oskata vo to~kata P so koordinati P(0, 3). Za x =, y = + 3; y = 5. To~kata B(, 5) mu pripa a na grafikot na funkcijata y = x + 3. Ako na argumentot x mu dade{ vrednost a, toga{ funkcijata y = x dobiva vrednost a, a funkcijata y = x + 3 ima vrednost a + 3. Voo~i deka ordinatata na sekoja to~ka od grafikot na funkcijata y = x + 3 e za 3 (slobodniot ~len) pogolema od ordinatata so ista apcisa na funkcijata y = x. Otse~kite OP i AB se paralelni i OP AB. Spored toa ~etiriagolnikot OABP e paralelogram, a od toa sleduva deka pravite OA i PB se paralelni. Voo~i deka grafikot na linearnata funkcija y = x + 3 e prava paralelna so grafikot na funkcijata y = x, a ordinatnata oska ja se~e vo to~kata (0, 3). Vaì op{to, t.e. vaì slednava Teorema Grafikot na funkcijata y = kx + n e prava paralelna so grafikot na funkcijata y = kx, a ordinatnata oska ja se~e vo to~kata (0, n). 4. Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata y = x - 3 ja se~e y - oskata. V 5. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = 3x -. So kolku to~ki e opredelena edna prava? Moè{ li toa da go iskoristi{ vo ovaa zada~a? Prava e opredelena so dve to~ki {to pripa aat. Zna~i, treba da gi odredam koordinatite na dve to~ki {to pripa aat na grafikot na funkcijata. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. y = 3x - x y 0 - y = 3 0 -, y = -, A(0, -) y = 3 -, y =, B(, ) Linearna funkcija 09

110 Voo~i i zapomni! Linearna funkcija grafi~ki se pretstavuva na toj na~in {to prvo }e se odredat koordinatite na dve to~ki od nejziniot grafik, potoa tie to~ki se pretstavuvaat vo koordinatnata ramnina i niz niv se povlekuva prava. Taa prava go pretstavuva grafikot na dadenata funkcija. 6. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = -x Na crte`ot grafi~ki e pretstavena funkcijata y = x -. Odredi gi koordinatite na prese~nata to~ka A na grafikot so apscisnata oska. x y 0-0 Odredi ja nulata na funkcijata. Sporedi ja nulata na funkcijata so apscisata na prese~nata to~ka. [to voo~uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Ako y = 0, toga{ 0 = x -, x =, t.e. A(, 0); nula na funkcijata e. Zapomni! Apscisata na prese~nata to~ka na grafikot na linearnata funkcija i x-oskata e nulata na funkcijata. Treba da znae{: da odredi{ dali dadena to~ka mu pripa a na grafikot na dadena funkcija; da gi odredi{ koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata ja se~e ordinatnata oska; grafi~ki da pretstavi{ linearna funkcija; od grafikot na funkcijata da ja odredi{ nulata na funkcijata. Proveri se! Koja od to~kite: A(0, 0), B(, 6) i C(-, 3) mu pripa a na grafikot na funkcijata y = -3x? Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = x -. Od grafikot odredi ja nulata na funkcijata, a potoa izvr{i proverka. Zada~i. Koja od to~kite: A(-, -5), B(-, -), C(0, 3) i D(, -) pripa a na grafikot na funkcijata y = x - 3?. Za koja vrednost na x to~kata A(x, ) mu pripa a na grafikot na funkcijata y = 3x -? 0 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

111 3. Pretstavi gi grafi~ki funkciite: y = 3x; y = 3x + ; y = 3x Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja funkcijata y = x - 4 ja se~e apscisnata oska. 5. Vo funkcijata y = -x + n odredi go n taka {to to~kata P(, 3) da pripa a na nejziniot grafik. 6. Vo funkcijata y = kx - odredi go k taka {to to~kata A(, 0) da pripa a na nejziniot grafik. 5 ZAEMNA POLO@BA NA GRAICITE NA NEKOI LINEARNI UNKCII Potseti se! Grafikot na funkcijata y = kx minuva niz koordinatniot po~etok. Na koja od funkciite: y = 3x, y = x - 3, x, grafikot minuva niz koordinatniot po~etok? Koi od funkciite: x ; y = x + ; x ; imaat ist koeficient pred argumentot? A. Pretstavi gi grafi~ki, vo ist koordinaten sistem, funkciite: y = x; y = x - 3; y = x + 3; Voo~i {to imaat zaedni~ko dadenite funkcii. Vo kakva zaemna polo`ba se graficite na funkciite y = x - 3 i y = x + 3 so grafikot na funkcijata y = x? Na crte`ot se pretstaveni graficite na funkciite. Kakvi se nivnite koeficienti i kakva e zaemnata polo`ba na nivnite grafici? Dadenite funkcii imaat ist koeficient pred argumentot, a nivnite grafici se paralelni pravi. Toa va`i op{to za funkciite so ist koeficient pred argumentot. Zapomni! Graficite na linearnite funkcii so ist koeficient pred argumentot se paralelni pravi.. Dadena e funkcijata x. Na koja od funkciite: x ; x ; x 5 grafikot e prava paralelna so grafikot na dadenata funkcija? Linearna funkcija

112 3. Vo funkcijata y = kx - 3 odredi go k taka {to nejziniot grafik da bide prava paralelna so grafikot na funkcijata y = 5x -. B 4. Pretstavi gi grafi~ki, vo ist koordinaten sistem, funkciite: y = -x + 3; y = x + 3; y = -x + 3. Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na sekoja od funkciite ja se~e y - oskata; Voo~i {to imaat zaedni~ko dadenite funkcii. Voo~i gi slobodnite ~lenovi na funkciite. Kakvi se tie me u sebe? Dadenite funkcii imaat ist sloboden ~len +3 i razli~ni koeficienti pred argumentot. Tie ja se~at ordinatnata oska vo to~ka so koordinati (0, 3). Toa va`i op{to za funkciite so ist sloboden ~len n. Zapomni! Graficite na linearnite funkcii so ist sloboden ~len se pravi koi ordinatnata oska ja se~at vo to~ka so koordinati (0, n). 5. Dadeni se funkciite: y = 3x - ; x ; i y = -x + 3. Koi od graficite na tie funkcii se se~at vo to~ka na y - oskata? Odredi gi koordinatite na taa to~ka. 6. Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata se~e ordinatnata oska. x ja V 7. Zapi{i gi funkciite vo koi: a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = ; i v) k = 0, n = -. Pretstavi gi dobienite funkcii grafi~ki. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) k = 0, n = 3 y = 0 x + 3 y = 3 b) k = 0, n = y = 0 x + y = v) k = 0, n = - y = 0 x - y = - y = 0 x + 3 x y 3 3 y = 0 x + x y y = 0 x - x y - - Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

113 Voo~uva{ deka koeficientot pred argumentot vo dadenite funkcii e 0, a nivnite grafici se pravi paralelni so apscisnata oska. Vo funkcijata y = 0 x + n e y = n, t.e. za sekoja vrednost na x, vrednosta na y e n. unkcijata y = n se vika konstantna funkcija. Voo~i i zapomni! Grafikot na konstantnata funkcija y = n e prava parelelna so x-oskata. Nejziniot grafik ja se~e y-oskata vo to~kata (0, n). Treba da znae{: da objasni{ koga graficite na linearni funkcii se paralelni pravi; da objasni{ koga graficite na funkcii se se~at vo ista to~ka na y-oskata; grafi~ki da pretstavi{ konstantna funkcija. Proveri se! Dadena e funkcijata y = x - 3. Na koja od slednive funkcii y = -x + 3, y = x - i x 3 grafikot e prava koja {to: a) e paralelna so grafikot na dadenata funkcija; b) ja se~e ordinatnata oska vo ista to~ka so grafikot na dadenata prava? Zada~i. Koja od funkciite: y = 3x - ; y = -3x + ; x 3 ima grafik prava paralelna so grafikot na funkcijata y = 3x?. Odredi go k taka {to grafikot na funkcijata y = kx + da bide prava paralelna so grafikot na funkcijata 3x. 4. Vo funkcijata y = x + n odredi go n taka {to to~kata M(0, -) da mu pripa a na grafikot na funkcijata. 5. Odredi gi k i n taka {to grafikot na funkcijata y = kx + n da bide paralelen so grafikot na funkcijata y = -x + i to~kata P(-, 6) da pripa a na grafikot na taa funkcija. 3. Odredi gi k i n taka {to grafikot na funkcijata y = kx + n da bide paralelen so grafikot na funkcijata y = x - i da ja se~e ordinatnata oska vo to~kata M(0, -3). 6. Pretstavi gi grafi~ki, vo ist koordinaten sistem funkciite: y = -3; y = i y = 4. Linearna funkcija 3

114 6 RASTEWE I OPA\AWE NA LINEARNATA UNKCIJA Potseti se! Na crte`ot e pretstaven koordinaten sistem Oxy. A. Dadena e linearnata funkcija y = 3x -. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x {-, -, 0,, }. Pretstavi ja funkcijata grafi~ki. Kako se menuva vrednosta na funkcijata ako argumentot x se zgolemuva? Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. y = 3x - x Kako se menuva goleminata na broevite {to se pretstaveni na x-oskata, odlevo nadesno? y Kako se menuva goleminata na broevite {to se pretstaveni na y-oskata, odozgora nadolu? Od tabelata mo`e{ da voo~i{ deka: ako se zgolemuva vrednosta na argumentot, toga{ se zgolemuva i vrednosta na funkcijata. Poradi toa za funkcijata y = 3x - se veli deka e raste~ka. Op{to Za linearnata funkcija y = kx + n se veli deka e raste~ka, ako so zgolemuvaweto na vrednosta na argumentot x se zgolemuva i vrednosta y na funkcijata.. Dadena e funkcijata y = 4x -. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x {0,,, 3}. Utvrdi dali funkcijata e raste~ka. B 3. Dadena e funkcijata y = -x +. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x {-, -, 0,, } i grafi~ki. Kako se menuva vrednosta na funkcijata, ako vrednosta na argumentot se zgolemuva? 4 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

115 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x y Od tabelata mo`e{ da voo~i{ deka: ako se zgolemuva vrednosta na argumentot x, toga{ vrednosta na funkcijata y se namaluva. Poradi toa za funkcijata y = -x + se veli deka e opadnuva~ka. Op{to Za linearnata funkcija y = kx + n se veli deka e opadnuva~ka, ako so zgolemuvawe na vrednosta na argumentot x vrednosta na funkcijata se namaluva. 4. Dadena e funkcijata y = -3x +. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x {0,,, 3}. Utvrdi dali funkcijata e opadnuva~ka. 5. Kakov broj (pozitiven ili negativen) e koeficientot pred argumentot vo funkciite: y = 3x - i y = 4x - od zada~ite i? Kakov broj e koeficientot pred argumentot vo funkciite: y = -x + i y = -3x + od zada~ite 3 i 4? Koi od funkciite se raste~ki, a koi opadnuva~ki? [to zaklu~i za dadenite funkcii: koga tie se raste~ki, a koga opadnuva~ki? Vo funkciite: y = 3x - i y = 4x - koeficientot pred argumentot e pozitiven broj i tie se raste~ki. Vo funkciite: y = -x + i y = -3x + koeficientot pred argumentot e negativen broj i tie se opadnuva~ki. Toa {to go voo~i za funkciite: y = 3x - i y = 4x -, odnosno za y = -x + i y = -3x + i za konstantnite funkcii y = 3, y =, y = - va`i op{to za linearnite funkcii. Zapomni! Ako vo funkcijata y = kx + n, koeficientot k e pozitiven, toga{ funkcijata e raste~ka, a ako k < 0, funkcijata e opadnuva~ka. Ako k = 0, toga{ funkcijata y = n ni raste ni opa a. 6. Odredi koja od slednive funkcii e raste~ka, a koja opadnuva~ka: a) x 3 ; b) y = x - 5; v) y = -5x + ; g) ; x g) y = -. Linearna funkcija 5

116 Treba da znae{: da utvrdi{ dali edna linearna funkcija e raste~ka ili opadnuva~ka; da ja objasni{ postapkata za utvrduvawe dali edna linearna funkcija e raste~ka ili opadnuva~ka. Proveri se! Odredi od tabelata dali funkcijata e raste~ka ili opadnuva~ka. x 0 3 a) y = 3x - 5; b) x. y -5-4 x y Odredi dali funkcijata y = kx + n e raste~ka ili opadnuva~ka ako: a) k ; b) k = -3; v) k 3 ; g) k = 0. Zada~i. Odredi koja od dadenive funkcii e raste~ka: a) x ; v) y = -x - 3; 5 b) y = -x + 5; g) y = x -.. Odredi koja od dadenive funkcii e opadnuva~ka: a) x ; v) y = 3x - 5; 3 b) y = -3x + ; g) x. 3. Za koja vrednost na k {-, -, 3, 3} funkcijata y = kx + n e a) raste~ka; b) opadnuva~ka? 4. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = px - i utvrdi dali taa e raste~ka ili opadnuva~ka, ako: a) p = ; b) p = Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = (a - 3)x + i utvrdi dali taa e raste~ka ili opadnuva~ka, ako: a) a = 0; b) a = Grafikot na funkcijata y = kx + n ja se~e y - oskata vo to~ka P(0, ) i minuva niz to~kata A(, -). Odredi dali funkcijata e raste~ka ili opadnuva~ka. 6 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

117 7 GRAI^KO RE[AVAWE NA LINEARNI RAVENKI SO EDNA NEPOZNATA Potseti se! Nula na funkcijata e vrednosta na argumentot za koja vrednosta na funkcijata e ednakva na nula. Odredi ja nulata na funkcijata y = x - 4. Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata y = x - 4 ja se~e x-oskata. A. Dadena e funkcijata y = 3x - 6. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. Od grafikot odredi ja nulata na funkcijata. Odredi go re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0. Sporedi ja nulata na funkcijata y = 3x - 6 so re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0. Kako }e go odredi{ re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0 so pomo{ na grafikot na funkcijata y = 3x - 6? unkcijata y = 3x - 6 }e ja pretstavam grafi~ki i }e gi odredam koordinatite na prese~nata to~ka na grafikot so x- oskata. So toa }e ja odredam i nulata na funkcijata, a toj broj e re{enie na ravenkata 3x - 6 = 0. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Prese~nata to~ka na grafikot i x-oskata e M(, 0). Nulata na funkcijata y = 3x - 6 e x =. Re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0 e 3x - 6 = 0 3x = 6 x 6 3, x =. Re{enie na ravenkata 3x - 6 = 0 e apscisata na prese~nata to~ka na grafikot na funkcijata y = 3x - 6 i x - oskata, t.e. x =. Toa va`i op{to za linearnite ravenki. Voo~i i zapomni! Re{enie na ravenkata ax + b = 0, za a 0 e apscisata na prese~nata to~ka na grafikot na funkcijata y = ax + b so x-oskata.. Re{i ja grafi~ki ravenkata x + = 0. Linearna funkcija 7

118 B 3. Re{i ja grafi~ki ravenkata x - 3 = -x + 3. Voo~i deka ravenkata x - 3 = -x + 3 mo`e{ da ja re{i{ grafi~ki ako prethodno ja transformira{ vo op{ta forma ax + b = 0. Postapi spored barawata i sogledaj drug na~in na grafi~ko re{avawe na ravenkata. Re{i ja ravenkata x - 3 = -x + 3. Od izrazite na levata i desnata strana na ravenkata zapi{i gi funkciite y = x - 3 i y = -x + 3, a potoa pretstavi gi grafi~ki. Sporedi go re{enieto na ravenkata so apscisata na prese~nata to~ka na graficite na funkciite. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. y = x - 3 y = -x + 3 x 0 x 0 y -3 - y 3 Voo~uva{ deka graficite na dvete funkcii se se~at vo to~kata M(, ). Apscisata na to~kata M e x =, a toa e i re{enie na ravenkata x - 3 = -x + 3. Koeficientite pred argumentot na dvete funkcii se razli~ni ( -), graficite imaat edna zaedni~ka to~ka i ravenkata ima edinstveno re{enie. 4. Re{i ja grafi~ki ravenkata x - 3 = x Re{i ja grafi~ki ravenkata x - = x + 3. Sporedi gi koeficientite pred argumentot na funkciite {to }e gi dobie{. [to voo~uva{? Vo kakva zaemna polo`ba }e bidat graficite? Dvete funkcii y = x - i y = x + 3 imaat ist koeficient pred argumentot, a slobodnite ~lenovi im se razli~ni. Graficite na ovie funkcii se paralelni pravi, t.e. nemaat zaedni~ka to~ka. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. y = x - y = x + 3 x 0 x 0 - y - y 3 Graficite na funkciite y = x - i y = x + 3 se paralelni pravi. Tie nemaat zaedni~ka to~ka, pa ravenkata nema re{enie. 8 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

119 6. Koja od dadenite ravenki nema re{enie? a) x - 3 = 3x - ; b) 4x - = 4x + ; v) x - 5 = -x Re{i ja grafi~ki ravenkata x + = x +. Sporedi gi koeficientite i slobodnite ~lenovi na funkciite {to gi dobiva{ so izrazite na levata i desnata strana na ravenkata. [to zaklu~uva{? Koeficientite pred argumentot i slobodnite ~lenovi na funkciite: y = x + i y = x + se ednakvi, a graficite na funkciite se sovpa aat. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Voo~i deka ravenkata x + = x + e identitet. y = x + y = x + x y 0 3 x y Graficite na funkciite se pravi {to se sovpa aat i ravenkata ima beskone~no mnogu re{enija Odredi koja od slednive ravenki: 3x - = x + ; 3x - = 3x + ; 5x - = 5x -. a) ima samo edno re{enie; b) nema re{enie; v) ima beskone~no mnogu re{enija. Treba da znae{: grafi~ki da re{i{ linearna ravenka so edna nepoznata; od grafikot da zaklu~i{ dali ravenkata ima edno re- {enie, dali nema re{enie ili ima beskone~no mnogu re{enija. Zada~i. Re{i ja grafi~ki ravenkata: a) x - = 0; b) x - 6 = 0.. Re{i ja grafi~ki ravenkata: a) x + = x - ; b) 3x - = -x + 3. Proveri se! Spored crte`ot odredi go re{enieto na ravenkata x - = x +. Odredi kolku re{enija ima sekoja od dadenite ravenki: x - = x + 3; 3x - = x Vo ravenkata x - 3 = kx +, odredi go k taka {to ravenkata da nema re{enie. Linearna funkcija 9

120 4. Odredi gi k i n vo funkcijata y = kx + n taka {to ravenkata kx + n = x + 3 da ima beskone~no mnogu re{enija. Obidi se... Tolstoevite kosa~i Edna grupa kosa~i trebalo da okosi livadi, od koi ednata e dvapati pogolema od drugata. Polovina den site kosa~i kosele na golemata livada, a potoa se podelile na dve ednakvi grupi. Prvata grupa ostanala da kosi na golemata livada i ja dokosila do krajot na denot, a vtorata grupa kosela na malata livada i na krajot na denot ostanal eden del od livadata. Toj del go okosil eden kosa~, kosej}i celiot nareden den. Kolku kosa~i bile vo grupata? S O R A B O T A P O D A T O C I 8 SLUÂJNI NASTANI. VEROJATNOST NA NASTAN Potseti se! Eden fudbalski tim igra natprevar. Mo`ni ishodi od natprevarot vo vrska so rezultatot se: pobeda, nere{eno, poraz. Vo edna kutija ima beli, crni i crveni top~iwa. Se izvlekuva edno top~e. Koi se mo`nite ishodi od izvlekuvaweto? Edna kocka za igrawe se frla na masa i po nejzinoto zastanuvawe, edna nejzina strana e odozgora. Koi ishodi se mo`ni vo vrska so brojot na to~kite na taa strana? A. Bojan frla moneta vo vozduh. Po nejzinoto pa awe na zemja mo`no e na nejzinata gorna strana da se pojavi "glava# ili "broj#. Kolku mo`ni ishodi ima? Bojan saka da se pojavi "broj#, t.e. povolen ishod za Bojan e "broj#. Kakvi se {ansite da padne "broj# vo odnos na "glava#? Kolku pati moè da se povtori frlaweto moneta vo vozduh? rlaweto moneta vo vozduh e eksperiment. Izvlekuvawe karta od {pil so 5 karti e drug primer na eksperiment. Sekoj rezultat (ishod) vo vrska so daden eksperiment E se vika nastan (ili posledica) {to e vo vrska so toj eksperiment. Pri eksperimentot frlawe moneta vo vozduh {ansata da se pojavi "broj# ili "glava# e ednakva. Za ovie nastani velime deka se ednakvo mo`ni. Eksperimentot E "frlawe moneta vo vozduh# moè da se povtori, pod isti uslovi, kolku {to sakame pati, t.e. moè da se napravi serija od n takvi eksperimenti. 0 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

121 Vo sekoj od tie eksperimenti da go nabquduvame nastanot A: "padna glava#. So r(a) da go ozna~ime brojot od eksperimentite vo koi se pojavil nastanot A vo edna serija od n eksperimenti. Konkretno! Vo slednata tabela e zapi{ano nabquduvaweto na nastanot A: "padna glava# W& vo pet serii od po 00 eksperimenti. Voo~i go koli~nikot n, t.e. W& za sekoja serija. 00 Serija r(a) W& W& Voo~i deka broevite vo kolonata se blisku do brojot n n 5 0,5 0,5. Ako brojot na eksperimentite vo serijata se zgolemuva, toga{ brojot od toj koli~nik }e bide se poblisku do 0,5. Ovoj 49 0,49 broj pretstavuva statisti~ka vrednost za nastanot A , , ,48 W & Brojot do koj se pribliùvaat koli~nicite od izvedenite serii se vika statisti~ka verojatnost na nastanot A. n Se ozna~uva so V(A). Ako razgledame serija od n eksperimenti, toga{ brojot r(a) na pojavuvawe na nastanot A moè da bide najmalku 0, a najmnogu n, t.e. 0 bw& b n. Ako podelime so n, }e dobieme b b, t.e. 0 W& n n n n Voo~i deka brojot W& 0b b. n W & n za sekoja serija od n eksperimenti e pome u 0 i. Spored toa i statisti~kata verojatnost na nastanot A e pome u 0 i, t.e. 0bV & b. Nastanot A: "padna glava# vo eksperimentot "frlawe moneta vo vozduh# se narekuva slu~aen nastan. Op{to Za eden nastan A vo vrska so eksperimentot E se veli deka e slu~aen nastan, ako vaàt slednite dva uslovi:. Eksperimentot E moè da se povtori pri isti uslovi kolku {to sakame pati.. Od pove}e izvr{eni serii na eksperimentot E, pribli`no se ednakvi koli~nicite W & na tie serii. n. Maja ima igra~ka, {to se vika vrtele{ka. Ako ja zavrti strelkata mo`ni se tri nastani: strelkata da zastane na crveno pole, na òlto pole ili na sino pole. Voo~i ja goleminata na sekoe pole. Dali sekoj od nastanite e ednakvo moèn? Ako ne, koj nastan e so najgolema mo`nost? Linearna funkcija

122 Nastanite ne se ednakvo mo`ni bidej}i trite oboeni poliwa ne se so ista golemina. [ansite strelkata da zastane na crveno pole se najgolemi bidej}i crvenoto pole ima najgolema plo{tina. Zna~i, strelkata da zastane na crveno pole e najmoèn ili najverojaten nastan. 3. Razgledaj gi crteìte od eksperimentite. Za sekoj eksperiment zapi{i: mo`ni nastani; dali tie nastani se ednakvo mo`ni; ako nastanite ne se ednakvo mo`ni, koj nastan e najverojaten. Vrtewe strelka na vrtele{ka rlawe kocka so strani ozna~eni so A, B, V, G, D, \ rlawe sina i crvena kocka vo isto vreme (nastanite se podredeni parovi) B rlawe topka vo ko{ Vrtewe strelka na vrtele{ka rlawe moneta od dva denari Nastanot od nekoj eksperiment moè da bide siguren, nevozmoèn ili moèn (verojaten). 4. Razgledaj gi primerite: Dadeni se tri kutii so top~iwa vo boja. Pod sekoja kutija se zapi{ani tvrdewa za nastani od izvlekuvawe top~iwa bez gledawe. SODR@I 0 Sigurno moè da se izvle~e crno top~e. Nevozmo`no e da se izvle~e crveno top~e. SODR@I 0 0 Mo`no e da se izvle~e ili crno ili crveno top~e. Nevozmo`no e da se izvle~e belo top~e. SODR@I 6 4 Mo`no e da se izvle~e ili crno ili crveno top~e. Pove}e e mo`no da se izvle~e crveno otkolku crno top~e. Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

123 Koga e sigurno deka nastanot }e se slu~i, velime deka ima verojatnost ili 00%. Primer, izvle~eno crno top~e od prvata kutija. Koga e nevozmo`no deka nastanot }e se slu~i, velime deka ima verojatnost 0. Primer, izvle~eno belo top~e od vtorata kutija. Site drugi mo`nosti ili verojatnosti se me u 0 i. Primer, izvle~eno crveno top~e od tretata kutija. 5. Voo~i ja skalata na verojatnost. nevozmo`no ednakvo mo`no sigurno malku verojatno pove}e verojatno 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Koristej}i ja skalata na verojatnost za sekoj nastan od listata dadena podolu, odgovori: a) kolkava e verojatnosta za nastanot da se slu~i, opi{i so: nevozmo`no, malku verojatno, ednakvo verojatno, pove}e verojatno ili sigurno; b) nacrtaj skala kako dadenata i na nea ozna~uvaj gi nastanite,, 3,... 0, spored toa kolkava e verojatnosta toj da se slu~i; v) obrazlo`i go sekoj odgovor Nastan Utre patuva{ na Mars. Ve~er }e pi{uva{ doma{na rabota po matematika. Site tvoi drugari }e odat na u~ili{te utre. ]e vrne denes. Eden vulkan }e ima erupcija ovaa godina. ]e zavrne sneg vo avgust. ]e zavrne do`d ovaa godina. Ako frli{ plasti~no {i{e, toa }e se skr{i. ]e patuva{ so brod od Skopje do Bitola. Ako frla{ kocka }e padne brojot 5. sigurno pove}e verojatno ednakvo mo`no malku verojatno nevozmo`no 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% Linearna funkcija 3

124 Treba da znae{: da razlikuva{ mo`ni od nemo`ni nastani; da obrazlo`i{ koj nastan e slu~aen nastan; da navede{ primeri na nastani so verojatnost 0, me u 0 i i verojatnost ; da proceni{ verojatnost na nastan pri ednostaven eksperiment. Proveri se! Zapi{i po eden primer: nastan {to ima verojatnost 0; nastan {to ima verojatnost 0,5; nastan {to ima verojatnost. Zada~i. Voo~i gi vrtele{kite: 3. Zapi{i ja sekoja bukva od zborot ANANAS na posebna karti~ka. Izme{aj gi karti~kite i vle~i karti~ki bez gledawe. a) b) v) g) Koj od redosledot po koj se zapi{ani e soodveten za podreduvawe spored verojatnosta strelkata da zastane na sinoto pole? a b v g; g v b a; a v b g; v b g a. Opi{i ja verojatnosta da izvle~e{: a) bukva N; b) bukva A; v) bukva A ili bukva N; g) bukva S. Kolku najmalku karti~ki treba da izvle~e{ za da bide{ siguren deka }e go dobie{ imeto ANA? Obidi se: Vo edna fioka ima crni i crveni ~orapi.. Vo edno }ese ima sini kocki i 3 portokalovi kocki. Opi{i ja verojatnosta da se izvle~e: sina kocka; portokalova kocka; ili sina kocka ili portokalova kocka; `olta kocka. Kolku najmalku pati Ace treba da zema, bez gledawe, po eden ~orap od fiokata, za da bide{ siguren deka }e izvle~e eden par ~orapi so ista boja? 4 Tema. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

125 UÊ[E ZA LINEARNA RAVENKA, LINEARNA NERAVENKA I ZA LINEARNA UNKCIJA. PROVERI GO TVOETO ZNAEWE. Proveri dali x = 3 e re{enie na ravenkata 3x - = x Ravenkata 5x - 3 = x + 3 ima re{enie x =. Koja od slednive ravenki e ekvivalentna so dadenata: a) x + = 7 - x; b) x - = x + ; v) 3x - = x + 3? 3. Re{i ja ravenkata: a) 3x -,5 = x +,7; b) 4(x - ) - 3(x + ) = -9; 3x x v) Vo ravenkata ax + 4 = 5x - a + opredeli go a taka {to x = - da bide re{enie na taa ravenka. 5. Zbirot na tri posledovatelni prirodni broevi e 84. Koi se tie broevi? 6. Od mestoto A kon mestoto B trgnal kamion koj se dviì so brzina 50 km na ~as. Dva ~asa podocna od A trgnala lesna kola koja se dviì so brzina 75 km na ~as. Lesnata kola go stignala kamionot vo mestoto B. Odredi go rastojanieto me u mestata A i B. 7. Proveri dali x = - e re{enie na neravenkata 3x - x > x Vo mnoèstvoto D = {0,,, 3} se zadadeni neravenkite: x - > x - ; 3x + > x - 3. Proveri dali dadenite neravenki se ekvivalentni. 9. Re{i ja neravenkata: a) 4(x - ) > 3x - ; b) x x x Re{enieto prestavi go so interval i grafi~ki. Re{i go sistemot neravenki: a) ; x x b) x 3x. Re{enieto na sistemot pretstavi go so interval i grafi~ki. Dadena e linearnata funkcija y = x -3. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. Odredi ja nulata na funkcijata. Dadena e funkcijata y = x - 3. Odredi koja od to~kite: A(0, -3), B(, ) i C(, ) pripa a na grafikot na taa funkcija. Vo funkcijata y = x + n odredi go n taka {to to~kata M(, -) da pripa a na grafikot na taa funkcija. Odredi koja od slednive funkcii e raste~ka, a koja spadnuva~ka: y = -3x + ; y = 3x - ; y = x - 3; y = -x -. Re{i ja grafi~ki ravenkata 3x - = x + 3. Proveri go tvoeto znaewe 5

126 6

127 TEMA 3. SISTEM LINEARNI RAVENKI LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI. Linearna ravenka so dve nepoznati 8. Ekvivalentni linearni ravenki so dve nepoznati3 SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI 3. Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati34 4. Grafi~ko re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati Re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati so metod na zamena 4 6. Re{avawe sistem linearni ravenki so dve nepoznati so metod na sprotivni koeficienti Primena na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati Re{avawe problemi so principot na Dirihle 53 Proveri go tvoeto znaewe 57 Linearni ravenki so dve nepoznati 7

128 LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI LINEARNA RAVENKA SO DVE NEPOZNATI Potseti se! Spored brojot na nepoznatite edna ravenka moè da bide: - so edna nepoznata; - so dve nepoznati itn. Spored stepenot na nepoznatite ravenkata moè da bide: - linearna (ravenka od prv stepen); - kvadratna (ravenka od vtor stepen); - kubna (ravenka od tret stepen) itn. Spored toa dali ravenkata sodrì parametri ili ne, taa moè da bide: - parametarska ravenka; - ravenka so posebni koeficienti. Voo~i gi ravenkite: a) x + 3 = 5; b) x + y = 3; v) x = x + ; g) x + y = kx + 3. Na sekoja od ravenkite opredeli ñ go vidot spored brojot na nepoznatite i spored stepenot na nepoznatite. Koja od ravenkite e ravenka so parametar? A. Jovan i Ilija zaedno imaat 9 bonboni. Kolku bonboni ima Jovan, a kolku Ilija? Kolku re{enija ima zada~ata? Voo~i gi slednive re{enija na zada~ata: Jovan Ilija Neka so parot broevi (0,9) e pretstaveno re{enieto: Jovan ima 0 bonboni, a Ilija ima 9 bonboni. Zapi{i gi kako podredeni parovi site drugi re{enija, ako prviot broj vo parot e brojot bonboni na Jovan, a vtoriot broj vo parot e brojot bonboni na Ilija. Neka x e brojot bonboni na Jovan, a y e brojot od bonboni na Ilija. Re~enicata Jovan i Ilija zaedno imaat 9 bonboni, moè da se zapi{te: x + y = Koi vrednosti moè da ima x, a koi y vo ravenkata x + y = 9? Vrednostite na promenlivite x i y se elementi na mnoèstvoto A = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, taka {to nivniot zbir e 9. Mnoèstvoto A = {0,,, 3,..., 9} pretstavuva definiciono mnoèstvo za ravenkata x + y = 9. Mnoèstvoto podredeni parovi R = {(0, 9), (, 8), (, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, ), (8, ), (9, 0)} pretstavuva mnoèstvoto re{enija na ravenkata x + y = 9. Voo~i deka x + y = 9 e ravenka koja spored brojot na nepoznatite e so nepoznati, a spored stepenot na nepoznatite e linearna. Odredi go vidot na ravenkata x - y = 5 spored brojot na nepoznatite i spored stepenot na nepoznatite. 8 Tema 3. Sistem linearni ravenki

129 Ako za ravenkata ne e dadeno definicionoto mnoèstvo, ponatamu }e smetame deka toa e mnoèstvoto R na realnite broevi. Zapomni Ravenkata od vidot ax + by = c, kade {to a, b i c se realni broevi (koeficienti), a x i y se realni nepoznati, se vika linearna ravenka so dve nepoznati. Voo~i ja ravenkata 4x + 3y = 9; taa e linearna so nepoznati x i y, a koeficienti se broevite 4, 3 i 9. B. Dadena e ravenkata 3x + y = 7. Najdi nekolku vrednosti na x i y, za koi ravenkata pominuva vo to~no brojno ravenstvo. Voo~i go primerov: za x = i y = 4. 3x + y = 7; = 7; 7 = 7. Sogledaj deka podredeniot par (x, y) = (, 4) e edno re{enie na ravenkata. Proveri dali podredeniot par (x, y) e re{enie na ravenkata ako: a) x = i y = ; v) x = 4 i y = -5; b) x = i y = 3; g) x = - i y = 0. Re{enie na linearna ravenka so dve nepoznati e sekoj podreden par od realni broevi za koi ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo. 3. Mnoèstvoto M = {(x, y) x, y R i 3x + y = 7}, pretstavuva mnoèstvoto re{enija na ravenkata 3x + y = 7. Proveri dali podredeniot par (x, y) = (4, -6) e re{enie na ravenkata x - 3 y = 0. Dali ravenkata 3(u - ) = ( - v) preminuva vo to~no brojno ravenstvo za u = 0 v = -5? i 4. Dadena e ravenkata x - y = 4. Odredi tri nejzini re{enija. Voo~i ja postapkata. Se izbira proizvolen realen broj za x. Primer: x = 3. Se zamenuva vrednosta za x vo ravenkata: 3 - y = 4. Se re{ava dobienata linearna ravenka so edna nepoznata ~ie re{enie e: 3 - y = 4; -y = 4-3; -y = ; -y = ; y = -. Zna~i, podredeniot par (x, y) = (3, - ) e edno re{enie na dadenata ravenka. Primenuvaj}i ja pokaànata postapka odredi u{te re{enija na dadenata ravenka. Linearni ravenki so dve nepoznati 9

130 Treba da znae{: koja ravenka e linearna ravenka so nepoznati; da odredi{ re{enija na linearna ravenka so dve nepoznati. Proveri se! Koja od ravenkite: x + 5 = y - 3; y - 7x = 0 i 9 = y e linearna ravenka so nepoznati? Dali podredeniot par (, 6) e re{enie na ravenkata 3x - y = -3? Zada~i. Za sekoja od ravenkite zapi{i koi se nejzinite nepoznati, a koi se nejzinite koeficienti: a) x - y = 3; v) y = z - ; b) 3x + y = x - 4y + ; g) 5u + 3v = 6.. Odredi dali podredeniot par: a) (4,-6) e re{enie na ravenkata x - 3 y = 0; b) (0, -5) e re{enie na ravenkata 3(u -) = ( - v). 4. Otkako vo linearna ravenka so dve nepoznati ednata nepoznata se zameni so dadena brojna vrednost, ravenkata preminuva vo: a) to~no brojno ravenstvo; b) linearna ravenka so edna nepoznata; v) linearna ravenka so dve nepoznati; g) linearna neravenka. Koi od ovie tvrdewa se to~ni? 5. Odredi gi re{enijata na ravenkata x + y = - za x {-, -, 0,, }. 3. Odredi ja nepoznatata komponenta vo podredeniot par (x, y) za soodvetnata ravenka da premine vo to~no brojno ravenstvo. a) (, -) za ravenkata y = x; b) (0, ) za ravenkata x + y = ; v) (-6, ) za ravenkata x + y = Dadena e ravenkata 3(x + y) = x - 3. Izvr{i gi slednite barawa spored dadeniot redosled: o oslobodi se od zagradite vo ravenkata; o zapi{i gi ~lenovite so nepoznata od levata strana, a ~lenot bez nepoznata od desnata strana na znakot "= ; 3 o svedi go izrazot na levata strana vo normalen vid. Koja ravenka se dobiva? 30 Tema 3. Sistem linearni ravenki

131 EKVIVALENTNI LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI Potseti se! Koj podreden par od realni broevi e re{enie na edna linearna ravenka so dve nepoznati? Proveri dali podredeniot par (x, y) = (-, ) e re{enie na ravenkata x - y = -4 i na ravenkata 3x - y = x - 4. A. Odredi gi re{enijata na ravenkite A: 4x + y = 6 i B: x + y = 3 za y=4. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. A: 4x + y = 6; 4x + y = 6; 4x + 4 = 6; 4x = 6-4; 4x = ; x = 4 ; x =. Re{enie: (, 4). B: x + y = 3; x + y = 3; x + 4 = 3; x + = 3; x = 3 - ; x = ; x =. Re{enie: (, 4). Voo~i deka podredeniot par (, 4) e re{enie i na ravenkata A i na ravenkata B. Izberi vrednost za x i odredi gi re{enijata na ravenkite A i B. [to zaklu~uva{?. Proveri dali ravenkite: 3(x + y) = 5y + i 3x + y = imaat ednakvi re{enija za x {-, 0,, }. Voo~i ja postapkata za x = -. 3(x + y) = 5y + ; 3x + y = ; 3(- + y) = 5y + ; 3(-) + y = ; y = 5y + ; -3 + y = ; 6y - 5y = + 3; y = + 3; y = 4; y = 4; (x, y) = (-, 4). (x, y) = (-, 4). Voo~i i zapomni Dve linearni ravenki so dve nepoznati se ekvivalentni ako nivnite mno`estva re{enija se ednakvi. Isto kako kaj linearnite ravenki so edna nepoznata, mo`e{ da primenuva{ transformacii na linearna ravenka so dve nepoznati i da ja svede{ vo forma ax + by = c. Voo~i gi transformaciite na ravenkite P : (x + y) - 7 = 3x - i P : ( x 3 ) 3 = 5 - x. Linearni ravenki so dve nepoznati 3

132 Transformacija (T) T: Ednata strana na ravenkata se zamenuva so identi~en izraz T: Sekoj ~len od ravenkata moè da se prenese od ednata na drugata strana, no so sprotiven znak: ~lenovite so nepoznati na levata, a konstantnite ~lenovi na desnata strana. T3: Dvete strani na ravenkata se mnoàt so ist broj razli~en od nula. Ravenka P : (x + y) - 7 = 3x - 4x + y - 7 = 3x - 4x + y - 3x = (4x - 3x) + y = 7 - x + y = 5 Ravenka P : ( x 3 ) = 5 - x 3 4x 6 = 5 - x 3 4x x = 5 3(4 x 6 ) + 3x = x + 6y + 3x = 5 7x + 6y = 5 Voo~i deka so koristewe na transformacii, ravenkite R i R se svedeni vo: x + y = 5 i 7x + 6y = 5, t.e. vo forma ax + by = c. Od ovaa forma moè{ polesno da go odredi{ mnoèstvoto re{enija na ravenkite. Za x = k, k R, se opredeluva mno- èstvoto re{enija na ravenkata: x + y = 5; k + y = 5; y = 5 - k; y = 5 k 5 ; ² k, k k R» žÿ ¼ 7x + 6y = 5; 7k + 6y = 5; 6y = 5-7k; y = 5 7 k ; ² k, k k R ž» Ÿ 6 ¼ Odredi gi re{enijata na R i R za: a) k = 0; b) k = ; v) k = Odredi go mnoèstvoto re{enija na ravenkata: a) y = 3x - 5; b) x - = 3x - y. B 4. Odredi go mnoèstvoto re{enija na ravenkata -x + y =, a potoa pretstavi go grafi~ki vo pravoagolen koordinaten sistem. Voo~i ja postapkata i sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. -x + y = y = x + ; za x = k, k R; y = k +. Mnoèstvoto re{enija na ravenkata e: {(k, k + ) k R}. Zapi{uvame: R(-x + y = ) = {(k, k + ) k R}. x - 0 Odredi gi re{enijata na ravenkata za: a) k = -; b) k = 0; v) k =. y Voo~i deka so ravenkata -x + y = vo mnoèstvoto R (realni broevi) e opredelena linearnata funkcija y = x +. A(-, -) D(, 5) B(0, ) C(, 3) 3 Tema 3. Sistem linearni ravenki {(k, k + ) k R}

133 Na crteòt grafi~ki e pretstavena linearnata funkcija y = x +. Podredenite parovi (x, y) od grafikot na funkcijata se re- {enija na ravenkata y = x +. [to pretstavuvaat tie parovi za ravenkata -x + y =? Bidej}i -x + y = y = x +, toga{ podredeniot par koordinati na koja bilo to~ka od grafikot na funkcijata y = x + e re{enie na ravenkata -x + y =. Voo~i deka so grafikot na linearnata funkcija y = x +, grafi~ki e pretstaveno mnoèstvoto re{enija na ravenkata -x + y =. Velime deka toa e grafik na ravenkata. Proveri dali podredenite parovi koi pretstavuvaat koordinati na to~kite: A(-, -); B(0, ); C(, 3) i D(, 5) se re{enijata na ravenkata -x + y =. 5. Odredi go mnoèstvoto re{enija na ravenkata: 3x - y =. Proveri dali podredeniot par (-, -4) e re{enie na ravenkata. Mnoèstvoto re{enija na ravenkata pretstavi go grafi~ki. Od grafikot na ravenkata odredi ja vtorata koordinata na to~kata S(, deka dobieniot podreden par e re{enie na ravenkata 3x - y =. ). Sogledaj Treba da znae{: koi dve linearni ravenki so dve nepoznati se ekvivalentni; da koristi{ transformacii za da dobie{ ekvivalentna ravenka na dadena linearna ravenka so dve nepoznati; da odredi{ mnoèstvo re{enija na ravenka; grafi~ki da go pretstavi{ mnoèstvoto re{enija na ravenkata. Proveri se! So koristewe na transformacii proveri dali ravenkata x + y = 6 e ekvivalentna so ravenkata 3 x. Mnoèstvoto re{enija {(k, k - ) k R} na edna linearna ravenka so dve nepoznati pretstavi go grafi~ki.. Zada~i Odredi go mnoèstvoto re{enija na ravenkata: a) x + y = 3; b) 3x + y = x - 4y +.. Sekoja od ravenkite dovedi ja vo forma ax + by = c so koristewe na transformacii. a) 3(x + y) = x - 3; b) (x - 3) (y - ) - = xy; v) g) x3 x x; 4 3 x 5( x 3) 8( ) Odredi go mnoèstvoto re{enija na sekoja od ravenkite i pretstavi go grafi~ki: a) x + 3y = 6; b) x 3 ; v) x + 0 y = Odredi ja vrednosta na parametarot p za podredeniot par (0, ) da bide re- {enie na ravenkata: (p - 5)x - (3p - )y = 5 - p. Linearni ravenki so dve nepoznati 33

134 SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI 3 SISTEM OD DVE LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI Potseti se! Koja ravenka se vika linearna ravenka so dve napoznati? Odredi go mnoèstvoto re{enija na linearnata ravenka so dve nepoznati: x + y = 7 Kolku re{enija ima ravenkata? A. Ilija i Martin imaat po eden akvarium so ribi. Zbirot od brojot na ribite vo dvata akvariumi e 0. Razlikata od brojot na ribite vo akvariumot na Ilija i akvariumot na Martin e 4. Kolku ribi ima vo akvariumot na Ilija, a kolku vo akvariumot na Martin? Voo~i go re{enieto: Neka vo akvariumot na Ilija ima x ribi, a vo akvariumot na Martin ima y ribi. Od prviot uslov vo zada~ata sleduva: x + y = 0. Promenlivite x i y se menuvaat vo mnoèstvoto x A={,, 3,..., 9}. Zo{to? Vo tabelata se dadeni re{enijata na ravenkata. y Od vtoriot uslov vo zada~ata sleduva: x - y = 4. x Razgledaj ja tabelata i voo~i gi re{enijata. y Vo edniot akvarium ima 7 ribi (od Ilija), a vo drugiot (od Martin) ima 3 ribi. Nivniot zbir e = 0, a nivnata razlika e 7-3 = 4. Odredi koj od podredenite parovi (x, y) e zaedni~ko re{enie na dvete ravenki. Voo~i deka parot (x, y) = (7, 3) e re{enie na ravenkata x + y = 0 i na ravenkata x - y = 4. Sogledaj deka ovaa zada~a ja re{i taka {to odredi zaedni~ko re{enie na dve linearni ravenki so dve nepoznati, t.e. go odredi presekot na nivnite mnoèstva re{enija. Zapomni Dve linearni ravenki so dve isti nepoznati, za koi se bara zaedni~ko re{enie, odnosno presek na nivnite mnoèstva re{enija, se vika sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati. ax + b = c Se zapi{uva: ax + b = c x i y se nepoznati, a, a, b, b, c i c se realni broevi (koeficienti). 34 Tema 3. Sistem linearni ravenki

135 . Zapi{i gi ravenkite od zada~ata kako sistem i odredi gi nepoznatite i koeficientite na sistemot. 3x 3. Voo~i go sistemot: x 3. 3 Imenuvaj gi nepoznatite. Odredi gi koeficientite na sistemot. B 4. Proveri dali podredeniot par (x, y) = (, -) e re{enie na ravenkata: 3x + y = 4. Proveri dali parot (x, y) = (, -) e re{enie na ravenkata: x - y = 3. Voo~i deka parot (,-) e zaedni~ko re{enie na dvete ravenki od sistemot, t.e. podredeniot par (x, y) = (, -) e re{enie na sistemot: 3 4 x. x 3 Op{to, re{enie na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati e podreden par od realni broevi koj{to e zaedni~ko re{enie na dvete ravenki. 5. Proveri za koj od sistemite podredeniot par (-, 3) e re{enie: a) x 5 x ; b) x 4 3x 5 9; x v) 3 3 x 5. Potseti se! Ako vo daden sistem neravenki edna od neravenkite se zameni so ekvivalentna neravenka na nea, se dobiva sistem neravenki {to e ekvivalenten na dadeniot. Zo{to sistemot 0x 0 x 3 x e ekvivalenten so 5 0 x 3? Ako dve linearni ravenki so dve nepoznati imaat ednakvi mnoèstva re{enija, toga{ tie se ekvivalentni. Proveri dali ravenkata 3(x + y) = 5y + i ravenkata 3x + y = se ekvivalentni. V 6. Dadeni se sistemite: 5 A: x i B: 5 x 3x 3 3x 3. Mnoèstvoto re{enija na sistemot A e presekot na mnoèstvata re{enija za ravenkata x + y = 5: {(k, 5 - k) k R} i za ravenkata 3x - y = 3: {(k, 3(k - ) k R}. Presekot na mnoèstvata re{enija }e go odredi{ so izedna~uvawe na komponentite na podredenite parovi. Prvite komponenti se ednakvi, t.e. k = k. Odredi go k od vtorite komponenti, t.e. re{i ja ravenkata 5 - k = 3(k - ). Proveri dali parot (x, y) = (, 3) e re{enie na sistemot A. Mnoèstvo re{enija na sistemot B e presekot od mnoèstvata re{enija za ravenkata y = 5 - x: {(k, 5 - k) k R} i za ravenkata 3x - y = 3: {(k, 3k - 3) k R}. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 35

136 Koj e presekot na mnoèstvata re{enija na ravenkite vo sistemot B. Proveri dali parot (x, y) = (, 3) e re{enie na sistemot B. Voo~i deka ravenkite vo sistemot B imaat isti mnoèstva re{enija kako ravenkite vo sistemot A. Ovie dva sistemi imaat ednakvi mnoèstva re{enija. Parot (x, y) = (, 3) e re{enie na sistemot A i na sistemot B. Ako dva sistema ravenki imaat ednakvi mnoèstva re{enija, toga{ tie se ekvivalentni. 5 Sistemot A: x 3x 3 i sistemot B: = 5 x 3x = 3 se ekvivalentni. Koja od ravenkite vo sistemot B e ekvivalentna na ravenkata x + y = 5 vo sistemot A, i so koja transformacija e dobiena? Ako nekoja od ravenkite na daden sistem se zameni so ekvivalentna ravenka na nea, se dobiva sistem ekvivalenten na dadeniot. 7. Voo~i i obrazloì zo{to se ekvivalentni sistemite: 5x x4 x 3 i 4x 4 x 3; x 8 x 3 i x 3 x 6. So ekvivalentni transformacii daden sistem se transformira vo ekvivalenten sistem koj ima forma x a b. Od nego neposredno moè da se pro~ita re{enieto na sistemot. Parot (x, y) = (a, b) e re{enie na sistemot. 8. Voo~i go re{avaweto na sistemot: ( x ) 6 5. ( x ) 6 x E x 6 5 E x 6 5 E x 3 5 E Parot (x, y) = (3, 5) e re{enie na sistemot ravenki. Levata strana na prvata ravenka e zameneta so identi~en izraz. ^lenot y e prenesen na levata strana od ravenkata (so sprotiven znak). Izrazot na levata strana na prvata ravenka e doveden vo normalen vid. Prvata ravenka e re{ena po x, t.e. levata i desnata strana se podeleni so. 9. Re{i go sistemot: x 7 ( ) 3x3( x). 36 Tema 3. Sistem linearni ravenki

137 Treba da znae{: {to e sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati i kako se zapi{uva; da proveri{ dali daden podreden par e re{enie na daden sistem ravenki; da opredeli{ ekvivalenten sistem na daden sistem; da re{i{ sistem doveduvaj}i go vo forma od kade neposredno mo`e da se pro~ita re{enieto. Zada~i Proveri se! Odredi ekvivalenten sistem na sistemot 5x3 x, vo koj dvete ravenki }e x 3 imaat forma ax + by = c. Proveri dali podredeniot par (x, y) = (3, ) x e re{enie na sistemot: 6.. Odredi gi nepoznatite i koeficientite vo sekoj od sistemite: x a) 6 x 0 b) ; x ; 3 x v) 0,5 0,04 0 4x Zapi{i gi kako sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati re~enicite: Zbirot na dva broja e 64, a nivnata razlika e 7. Eden vnatre{en agol na triagolnikot ABC e 5 o. Razlikata na drugite dva agli e 8 o. Vo dve kasi~ki ima vkupno 440 denari. Ako od prvata se prfrlat vo vtorata 80 denari, vo kasi~kite }e ima ednakva suma pari. 3. Proveri dali podredeniot par: a) (, 0) e re{enie na sistemot: 3x 4 5; x b) (, ) e re{enie na sistemot: x 4 6 5x 3 4; v) (, ) e re{enie na sistemot: x x Odredi eden ekvivalenten sistem na sistemot: x a) x 5 0; x 0 b) x Odredi ekvivalenten sistem na sistemot: ( x)( x) ( x3) x x, Bojan i Dejan se bra}a. Zbirot od godinite na Bojan i na Dejan e 6. Zbirot od godinite na Bojan i polovinata od godinite na Dejan e. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 37 vo koj dvete ravenki imaat forma ax + by = c. 6. Re{i go sistemot: a) x 4; 7. x b) 3 x 3 x. Zapi{i sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati spored uslovite vo zada~ata. Dali Bojan i Dejan se bliznaci? Obrazlo`i go svojot odgovor.

138 4 GRAI^KO RE[AVAWE NA SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI Potseti se!. Vo ista koordinatna ramnina (na ist crte`), nacrtaj gi graficite Voo~i go grafikot na ravenkata x - 3 = y. na ravenkite: x + y = 5 i 3x - y = 3. Voo~i deka so dadenite ravenki se opredeleni funkciite: y = 5 - x i y = 3x - 3. x y Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto A x + y = 5 y = 5 - x x 0 4 y 5 A(0, 5) B(4, ) Odredi gi koordinatite za sekoja od to~kite A, B, C i D. [to pretstavuvaat koordinatite na tie to~ki za dadenata ravenka? 3x - y = 3 y = 3x - 3 x 0 y -3 0 C(0, -3) D(, 0) Neka to~kata vo koja se se~at graficite na ravenkite e to~kata M. Odredi gi koordinatite na to~kata M. Presekot na mno`estvata re{enija na dvete ravenki e podredeniot par koordinati na to~kata M(, 3). x Parot (x, y) = (, 3) e edinstveno re{enie na sistemot ravenki 5 3x 3.. Grafi~ki re{i go sistemot ravenki: 3x 3 3x 0. Potseti se! Dve pravi vo ramninata mo`at: - da se se~at vo edna to~ka; - da se sovpa aat; - da se zaemno paralelni pravi. Graficite na ravenkite vo eden sistem se pravi, i sistemot ima onolku re{enija kolku {to zaedni~ki to~ki imaat graficite. B Sistemot od dve linearni ravenki so dve nepoznati: ima edno re{enie, ako graficite na ravenkite se se~at; ima beskone~no mnogu re{enija, ako graficite na ravenkite se pravi {to se sovpa aat; nema re{enie, ako graficite na ravenkite se razli~ni paralelni pravi. 38 Tema 3. Sistem linearni ravenki

139 3. Prosledi go grafi~koto re{evawe na sistemot: x 5 x. x + y = 5 x - y = - x - 3 y 3 C D x -3 y - Voo~i deka sistemot ima samo edno re{enie R s = {(, )}, t.e. (x, y) = (, ). 3 A B Zapi{i gi koordinatite na to~kite A, B, C, D i M. Koja od to~kite e presek na graficite? 4. Prosledi go grafi~koto re{evawe na sistemot: x 3 x 4 6. x + y = 3 x + 4y = 6 x 3 y 0 A B x 3 y 0 C D Zapi{i gi koordinatite na to~kite A, B, C i D. Voo~i deka site to~ki od graficite se zaedni~ki i sistemot ima beskone~no mnogu re{enija. 5. Prosledi go grafi~koto re{evawe na sistemot: x 3 x 3 5. x + 3y = x + 3y = 5 x - y 0 A B x 5 y 0 C D Zapi{i gi koordinatite na to~kite A, B, C i D. Dali graficite imaat zaedni~ka to~ka? Voo~i deka graficite se razli~ni paralelni pravi i sistemot nema re{enie, t.e. R s =. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 39

140 Treba da znae{: Proveri se! da gi nacrta{ graficite na dvete ravenki od sistemot linearni ravenki vo edna koordinatna ramnina; grafi~ki da re{i{ sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati; da go proceni{ mnoèstvoto re{enija na sistemot spored graficite na ravenkite. Vo koj slu~aj sistemot od dve linearni ravenki so dve nepoznati: a) ima samo edno re{enie; b) ima beskone~no mnogu re{enija; v) nema re{enie? Obrazloì go svojot odgovor. Zada~i 3. Potseti se!.. Re{i go grafi~ki sekoj od sistemite: x a) 84 b) x 5x ; 3x 6; x v) 6 0 4x. Grafi~ki re{i go sekoj od sistemite. Po kolku re{enija ima sekoj od niv? x a) x b) 3 x; x 6 4; x v) g) x ; x. Grafikot na funkcijata y = ax e prava {to minuva niz koordinatniot po~etok. Grafikot na funkcijata y = ax + b, e prava {to e paralelna so grafikot na funkcijata y = ax. Grafikot na funkcijata y = a e prava paralelna so x-oskata. Grafikot na funkcijata x = a e prava paralelna so y-oskata. Sekoja od ravenkite vo sistemite podolu zapi{i ja kako funkcija: x a) b) x 0 x 3; ; x v) 3 ; x g) 3x 3 6. Za sekoj sistem proceni ja zaemnata polo`ba na graficite na funkciite i proceni go mnoèstvoto re{enija na sistemot. Re{i go grafi~ki sekoj od sistemite i proveri ja svojata procenka. 40 Tema 3. Sistem linearni ravenki

141 5 RE[AVAWE SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI SO METOD NA ZAMENA Potseti se! Koi dva sistemi ravenki se ekvivalentni? Proveri deka podredeniot par (x, y) = (5, ) e re{enie na sistemite: x 83 x 4 6 i x 83 (83 ) 4 6 [to zabele`uva{ za ravenkite vo dvata sistemi? A. A: x 3x 5 Voo~i gi sistemite A i B od dve linearni ravenki so dve nepoznati. x i B:. 3x5( x) Kako se dobieni ravenkite vo vtoriot sistem od ravenkite na prviot sistem? Prvite ravenki vo A i B se ekvivalentni, a vo vtorata ravenka od sistemot B, nepoznatata y e zameneta so izraz od prvata ravenka. Poka`i deka podredeniot par (x, y) = (, -3) e re{enie na sistemite. Ako vo edna od ravenkite vo sistemot, ednata nepoznata se izrazi preku vtorata, i potoa so dobieniot izraz se zameni taa nepoznata vo drugata ravenka, toga{ novodobienata ravenka i prvata ravenka od sistemot obrazuvaat nov sistem {to e ekvivalenten na dadeniot sistem. Ova se vika svojstvo na zamena.. Voo~i go re{avaweto na sistemot 3x 3 3x E 3x 3 so koristewe na svojstvoto na zamena. 5 Vo prvata ravenka, nepoznatata y e zameneta so vrednosta za y od vtorata ravenka. 3x x 30 5 E E Se dobiva sistem ekvivalenten na prethodniot. Se koristi ekvivalentna transformacija (0 se prefrla od drugata strana na znakot "= so sprotiven znak). 3x 3 5 x 5 R s = {(, 5)}. E x a Dobieniot sistem e od vidot od kade b, neposredno se ~ita podredeniot par (x, y) = (, 5) {to e re{enie na sistemot. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 4

142 x Re{i go sistemot ravenki 6 so koristewe na svojstvoto na zamena. x x 5 Odredi go podredeniot par {to e re{enie na sistemot: 5x 4. Voo~i Moè{ da go koristi{ svojstvoto na zamena taka {to vo vtorata ravenka nepoznatata y }e ja zameni{ so izrazot x - 5 ednakov na y od prvata ravenka. x5 x5 5x 4 5x( x5) 4 Ako prodolì{ da re{ava{ pravilno, }e go dobie{ ekvivalentniot sistem: x 5 x 5 x 3 x. E Ako nepoznatata x vo prvata ravenka ja zameni{ so vrednosta za x od vtorata ravenka, }e dobie{ sistem od koj moè{ da go zapi{e{ re{enieto. Proveri dali za podredeniot par (x, y) = (,-3), ravenkite od sistemot se to~ni brojni ravenstva. x Na sli~en na~in re{i go sistemot ravenki: x 3. x 4. Prosledi go re{avaweto na sistemot ravenki: 3 5 x x x 3 4 x 3 4 x E Voo~i: Vo vtorata ravenka nepoznatata x e izrazena preku y. Ponatamu, x vo prvata ravenka se zamenuva so izrazot za x od vtorata i ponatamu se vr{at transformacii / x x x x x x 4 4 x 4 x ili x 4. 4 Tema 3. Sistem linearni ravenki

143 Proveri deka parot (x, y) = (-, 4) e re{enie na sistemot ravenki. Re{i go sistemot ravenki 5x 3 7 x 3. Vakviot na~in na re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati se vika re{avawe na sistemot so metod na zamena. 5. Vo sistemot ravenki: forma ax + by = c. x x 8 3 x x ; 3 4 nitu edna od ravenkite ne e zapi{ana vo Za da se re{i vakov sistem, prethodno e potrebno ravenkite da se dovedat vo forma ax + by = c. Prosledi go re{avaweto: x x 8/ 6 3 x x / 3 4 x x x x 3 4 3( x ) ( x ) 48 4( x ) 3( x ) 3 3x3 x 48 4x4 3x3 3 x x 3 x (48 5 ) Prodol`i so re{avaweto. To~no si re{aval ako si dobil sistem x, odnosno 6 podreden par (x, y) = (8, 6), {to e re{enie na dadeniot sistem ravenki. x 3 Re{i go sistemot ravenki:. x 4 Ako pri re{avaweto na sistem ravenki, po izvr{enite transformacii se dobie sistem vo koj edna od ravenkite nema re{enie (na primer, ako se dobie 0 x = -), toga{ sistemot nema re{enie. Ako, pak, se dobie sistem vo koj sekoj realen broj e re{enie na edna od ravenkite (na primer, 0 y = 0), a drugata ravenka ne e protivre~na, toga{ sistemot ima beskone~no mnogu re{enija. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 43

144 3 6. Re{i go sistemot A: x x 3 i sistemot B: x 5 4x 6. Voo~i deka sistemot A nema re{enie, a sistemot B ima beskone~no mnogu re{enija. Treba da znae{: Proveri se! da odredi{ re{enie na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati so koristewe na metodot na zamena; pravilno da gi koristi{ ekvivalentnite transformacii pri re{avawe na sistem ravenki. Obrazlo`i kako }e postapi{ pri re{avaweto na sistemot: x 5 so koristewe na metodot na x 7, zamena. Zada~i Vo slednite zada~i re{i gi sistemite ravenki so metodot na zamena.. a) 3x 4 4 b) x 3 5 5; 4. a) xx x 8 3 x ; v). a) v) 4x 0 3x 4 x 3x 9 3x 30 x 3 50 b) x ; 5x 4 8 b) 5. a) x 6 3 x. 4 x 5 3 x ; 3. a) v) x 3x 4 3 3x 36 5x 6. b) b) x x 3 3 x Tema 3. Sistem linearni ravenki

145 6 RE[AVAWE NA SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI SO METOD NA SPROTIVNI KOEICIENTI. Dadeni se sistemite ravenki : & x 3 5x 3 9 x i : 3 B x3 5x3 9. Poka`i deka podredeniot par (x, y) = (3, -) e re{enie na dvata sistemi. Voo~i deka sistemite se ekvivalentni. Kako se dobieni ravenkite vo vtoriot sistem od ravenkite vo prviot sistem? Prvite ravenki i vo dvata sistemi se isti, a vtorata ravenka vo sistemot V e dobiena so sobirawe na levite, odnosno desnite strani na prvata i vtorata ravenka od sistemot A. Ako soodvetnite strani na dve ravenki gi sobereme, odnosno odzememe, velime deka sme izvr{ile sobirawe, odnosno odzemawe na ravenkite. Ako vo daden sistem koja bilo ravenka se zameni so zbirot ili razlikata na ravenkite, se dobiva nov sistem {to e ekvivalenten so dadeniot. Ova se vika svojstvo na zbir na ravenkite vo sistemot.. Prosledi go re{avaweto na sistemot na zbir. 5x 5 7x 3 so koristewe na svojstvoto 5x 5 5x 5 7x 3 5x 7x 35 E Na vtorata ravenka od sistemot e dodadena prvata ravenka od sistemot. 5x 5 5x 5 5x 7x 35 x36 5x 5 x x 3 x3 0 5 x3 x3. E E Proveri dali (x, y) = (3, 5) e re{enie na sistemot. Re{i go sistemot ravenki x 3x 9. Se dobiva sistem ekvivalenten na prviot i vtorata ravenka se sveduva na ravenka so edna nepoznata. Se re{ava sistemot so metodot na zamena. E Ravenkite se doveduvaat vo vidot x a b. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 45

146 Va`no e da voo~i{ deka: koeficientite pred x, odnosno pred y vo dvete ravenki treba da bidat sprotivni broevi; pri sobiraweto na soodvetnite strani na ravenkite se dobiva ravenka so edna nepoznata; vo novodobieniot ekvivalenten sistem ednata ravenka e so edna nepoznata, pa sistemot ponatamu se re{ava so metodot na zamena. 3. Re{i go sistemot ravenki: 5x 3 x 3. Koeficientite pred x, odnosno pred y, ne se sprotivni broevi, pa ako gi sobere{ ravenkite nema da dobie{ ekvivalenten sistem vo koj ednata ravenka e so edna nepoznata. Koja transformacija treba da ja izvr{i{ na vtorata ravenka od sistemot za koeficientite pred x ili pred y da bidat sprotivni broevi? Ako dvete strani na vtorata ravenka gi pomnoàm so -5, toga{ koeficientite pred x }e bidat sprotivni broevi. Ako dvete strani na ovaa ravenka gi pomnoàm so -, toga{ koeficientite pred y }e bidat sprotivni broevi. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 5x 3 5x 3 x 3 / 5 5x5 5 E xx 5x5 35 E So mnoèwe na vtorata ravenka so (-5), se dobiva ekvivalenten sistem vo koj koeficientite pred x se sprotivni broevi. Se sobiraat ravenkite i se dobiva sistem vo koj vtorata ravenka se sveduva na ravenka so edna nepoznata. 5x 3 5x E Ponatamu sistemot se re{ava po metod na zamena. Dovr{i go re{avaweto na sistemot. Proveri dali (x, y) = (-, 4) e re{enie na sistemot. Re{i go istiot sistem taka {to koeficientite pred y da bidat sprotivni broevi. x Re{i go sistemot 3 x 3 4. m n 4. Re{i go sistemot ravenki: 7 9 3mn5. Vo ovoj sistem, za da se dobijat ravenki so sprotivni koeficienti pred m (ili pred n) treba da se pomnoì so 3 prvata ravenka, a so (- ) vtorata ravenka (ili so prvata ravenka, a so (-7) vtorata ravenka). 46 Tema 3. Sistem linearni ravenki

147 Dovr{i go re{avaweto na sistemot: m7n9 / 3 6mn7 3mn5 / 6m4n0 6mn7 6mn7 6mn 6m4n 70 7n 7... Proveri deka (m, n) = (, ) e re{enie na sistemot. Re{i go istiot sistem taka {to koeficientite pred n da bidat sprotivni broevi. Vakviot na~in na re{avawe sistem ravenki se vika re{avawe so metod na sprotivni koeficienti. 5. So koristewe na metodot na sprotivni koeficienti re{i go sistemot ravenki: 7x 3 3x Treba da znae{: metodot na sprotivni koeficienti posebno e zgoden za koristewe koga koeficientite pred nepoznatite se sprotivni broevi ili koga so mnoèwe lesno moè da se dovedat do sprotivni broevi; da re{ava{ sistem ravenki so metodot na sprotivni koeficienti. Zada~i Re{i gi sistemite so metodot na sprotivni koeficienti: x3 3 7x3 5x3 9; x3 3. 4x3 4 6x7 44 6x5 7; 5 x4. 7x 8 9 3x x 3 x5 4 x Proceni koj od sistemite e pozgoden za re{avawe so metodot na sprotivni koeficienti: 6x7 40 x 5 NQN 5 x3 0x 9. Obrazloì go odgovorot. x 7x x x ; x ; x. 3x 3x Opredeli go re{enieto na sistemite grafi~ki, a potoa izvr{i proverka re{avaj}i gi so metod na zamena ili sprotivni koeficienti. a) Proveri se! x 3 9 3x 7; x v). 3x 6 6 x 3 3 b) 4x 6 5; Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 47

148 7 PRIMENA NA SISTEM OD DVE LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI Potseti se! Zapi{i ja re~enicata: "Zbirot na dva broja e 6, a razlikata na polovinata od prviot broj i vtoriot broj e 0 so sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati. Sistemot {to treba da go dobie{ e: x 6 So re{avawe na ovoj sistem x 0. }e otkrie{ koi se tie dva broja. Proveri dali parot (x, y) = (4, ) e re{enie na sistemot, t.e. dali dvata barani broja se 4 i. Pri re{avaweto na razli~ni zada~i od matemati- A ka, drugite nauki ili problemski situacii od sekojdnevniot `ivot, ~esto treba da opredeli{ nepoznati vrednosti. Problemite (zada~ite) vo vakvi situacii se iska`ani so zborovi, a za da se re{at potrebno e da se pretstavat matemati~ki vo vid na ravenki.. Voo~i gi upatstvata {to treba da se po~ituvaat pri re{avaweto vakvi zada~i i redosledot na postapkite {to treba da se koristat. Po~etok Vnimatelno se ~ita zada~ata i se opredeluva {to e poznato, a {to e nepoznato. Primer: Po~etok Poznato: brojot na moneti; vkupnata vrednost; vidot na moneti. Nepoznato: po kolku moneti ima od sekoj vid. Ozna~uvawe na veli~inite Nepoznatite se ozna~uvaat (x, y, a, b itn.) i se voo~uvaat nivnite karakteristiki. Voo~uvawe na zaemnite vrski Se voo~uvaat zaemnite vrski me u nepoznatite i poznatite veli~ini. Sostavuvawe sistem Se formiraat ravenki, se sostavuva sistem i sistemot se re- {ava. Jovan ima 7 moneti so vkupna vrednost 67 denari. Monetite se od po denari, i od po 5 denari. Kolku moneti od po denari, a kolki od 5 denari ima Jovan? Re{i go sistemot. Ozna~uvawe so x brojot na moneti od 5 den; so y brojot na moneti od den. Zaemni vrski brojot na moneti e 7; (x + y = 7); vkupnata vrednost e 67 den. (5x + y = 67). Sistem x 7 5x 67 Re{enie na sistemot e (x, y) = (, 6). Proveri dali se to~ni tvrdewata vo zada~ata ako Jovan imal moneti od po 5 denari i 6 moneti od po denari. 48 Tema 3. Sistem linearni ravenki

149 . Na dve polici imalo 4 knigi. Na prvata polica imalo 3 pati pove}e knigi otkolku na vtorata. Po kolku knigi imalo na sekoja polica? 3. Mestoto K i mestoto A se oddale~eni 90 km. Od K kon A trgnal kamion, a po polovina ~as od A kon K trgnal avtobus. Po dva ~asa od trgnuvaweto na kamionot tie se presretnale i prodolìle da se dviàt. Eden ~as po sretnuvaweto avtobusot i kamionot bile oddale~eni 0 km. So koi brzini se dvièle avtobusot i kamionot? Ovaa zada~a e so dvièwa. Za re{avaweto na ovie zada~i polesno e da se voo~uvaat zaemnite vrski ako se napravi crte`. Voo~i go crteòt: P O Z N A T O Od K poa a kamionot, od A poa a avtobusot. kamion (k) Mestoto kade {to se sretnale e vo to~kata C. Od K do C kamionot se dvièl ~asa. Od A do C avtobusot se dvièl,5 ~asa. Od C do D kamionot patuval ~as. Od C do B avtobusot patuval ~as. Rastojanieto od B do D e 0 kilometri. avtobus (a) O Z N A ^ U V A W E Brzinata na kamionot e x. Brzinata na avtobusot e y. ZAEMNI VRSKI Bidej}i dvièwata na kamionot i avtobusot se ramnomerni, se koristi formulata za ramnomerno dvièwe s = v t, odnosno vo na{iov slu~aj v e x ili y. Kamionot od mestoto K do C (za ~asa) izminal pat x. Avtobusot od mestoto A do C (za,5 ~asa) izminal pat,5y. Za ~as od C do D kamionot izminal x. Za ~as od C do B avtobusot izminal y. Spored crteòt: KC + CA =KA ili x +,5y = 90; CD + CB = DB ili x + y=0. SISTEM RAVENKI x 5 90 x 0 Re{i go sistemot. Proveri dali e to~no deka kamionot se dvièl so brzina 50 km/h, a avtobusot so 60 km/h. 4. Eden brod se dviì po te~enieto na rekata so brzina 5 km/h, a sproti te~enieto na rekata so 0 km/h. Opredeli ja brzinata na brodot i brzinata na rekata. Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 49

150 5. Dadeni se dva rastvora kiselini K i K. Rastvorot K e 36%, a rastvorot K e 96%. Po kolku litri treba da se zeme od sekoj od rastvorite, za da se dobie 0 litri rastvor od 80%? P O Z N A T O Rastvorot K e 36%. Rastvorot K e 96%. Noviot rastvor treba da e 80%. O Z N A ^ U V A W E Treba da se potseti{ za procenti. Zapomni deka vo m litri so k% rastvor ima Brojot litri {to treba da se zemat od K neka e x. Brojot litri {to treba da se zemat od K neka e y. ZAEMNI VRSKI Vo x litri rastvor od K ima 36 x litri kiselina. 00 k m 00 litri kiselina. Vo y litri rastvor K ima 96 litri kiselina. 00 Vo 0 litri od noviot rastvor ima x litri K i y litri K ili: x + y = 0. Vo 0 litri od noviot rastvor ima SISTEM RAVENKI litri kiselina ili x 0 36x x x Re{i go sistemot. Proveri dali (x, y) = (3, 88) gi zadovoluva uslovite na zada~ata. 36x Kolku litri voda i kolku litri 90% {piritus treba da se izme{aat za da se dobie 60 litri od 75% {piritus? 7. Zbirot od dolìnite na dvete kateti vo pravoagolen triagolnik e 0 cm. Ako pomalata kateta se prodolì za cm, a pogolemata se skrati za 4 cm, toga{ plo{tinata na triagolnikot }e se namali za 8 cm. Odredi gi dolìnite na katetite na triagolnikot. 50 Tema 3. Sistem linearni ravenki

151 Za da gi re{ava{ vakvite zada~i treba da se potseti{ za formulite i svojstvata na ramninskite geometriski figuri. P O Z N A T O Zbirot od dolìnite na katetite e 0 cm. Kaj pravoagolniot triagolnik katetata e i visina na triagolnikot. Plo{tinata na triagolnikot e P a h, kade {to a e osnova na triagolnikot, a h e soodvetnata visina. O Z N A ^ U V A W E Dolìnata na pomalata kateta e x. Dolìnata na pogolemata kateta e y. ZAEMNI VRSKI Zbirot od dolìnite na katetite e: x + y = 0. Po prodolùvaweto na pomalata kateta, nejzinata dolìna e x +. Po skratuvaweto na pogolemata kateta, nejzinata dolìna e y - 4. x Plo{tinata na triagolnikot na po~etokot e. Plo{tinata na triagolnikot po prodolùvaweto i skratuvaweto na soodvetnite kateti x e 8. SISTEM RAVENKI x 0 x 0 4 x x 8 4x 8 Re{i go sistemot. Proveri dali parot (x, y) = (8, ) se baranite dolìni na katetite na triagolnikot. 8. Visinata na eden trapez e 6 cm, a negovata plo{tina e 96 cm. Dolìnite na paralelnite strani mu se razlikuvaat za 4 cm. Odredi gi dolìnite na paralelnite strani na toj trapez (osnovite). Sistem linearni ravenki so dve nepoznati 5

152 Treba da znae{: da gi iska`e{ i primeni{ postapkite za re{avawe na problemska zada~a koja se sveduva na sistem od dve ravenki so dve nepoznati. Proveri se! Za zada~ata: "Odredi dva broja ~ij zbir e 00, a odnosot im e 4, primeni gi postapkite: Ozna~i gi nepoznatite i zapi{i gi zaemnite odnosi na poznatite i nepoznanite veli~ini. Sostavi sistem ravenki i re{i go. Proveri go re{enieto. Zada~i. Zbirot na dva broja e 7, a nivnata razlika e. Koi se tie broevi?. Vo edna paralelka ima vkupno 8 u~enici. Brojot na mom~iwata e za 4 pogolem od brojot na devoj~iwata. Kolku od u~enicite vo paralelkata bile mom~iwa, a kolku bile devoj~iwa? 3. Eden brod izminal 63 km za 5 ~asa plovej}i sproti te~enieto na rekata. Koga brodot plovel po te~enieto na rekata istoto rastojanie go pominal za 3 ~asa. Kolkava e brzinata na brodot, a kolkava brzinata na rekata? Jovan kupil 8 tetratki (golemi i mali) i platil 50 denari. Golemite tetratki ~inele po 50 denari, a malite po 0 denari. Kolku golemi, a kolku mali tetratki kupil Jovan? Majkata i }erkata zaedno imaat 37 godini. Pred dve godini majkata bila 0 pati postara od }erkata. Kolku godini ima majkata, a kolku }erkata? Odredi gi mernite broevi na ostar i tap agol so paralelni kraci ako nivnata razlika e 36 o. 4. Ako vo 8 litri topla voda se dodadat litri postudena voda, toga{ temperaturata na vodata e 66 o. Ako, pak, vo 7 litri topla voda se dodadat 3 litri postudena voda, temperaturata na izme{anata voda e 59 o. Kolkava bila temperaturata na toplata voda, a kolkava na postudenata voda? 8. Perimetarot na eden ramnokrak triagolnik e 36 cm. Razlikata na dol- `inite na krakot i osnovata e 3 cm. Odredi ja plo{tinata na triagolnikot. 9. Vo eden kafez imalo zajaci i fazani. Ivan izbroil 35 glavi, a 94 noze vo kafezot. Kolku zajaci, a kolku fazani imalo vo kafezot? 5 Tema 3. Sistem linearni ravenki

153 S O R A B O T A P O D A T O C I A 8 RE[AVAWE PROBLEMI SO PRINCIPOT NA DIRIHLE Primer: Sedum top~iwa rasporedi gi vo tri kutii koi ne se posebno ozna~eni. Toa moè{ da go napravi{ na osum na~ini. Voo~i na crteòt. Natamu, na{a cel nema da bide odreduvaweto na brojot na mo`nostite (na~inite) za re{avawe na zada~ata. Na{a cel }e bide po~ituvaweto na eden princip. Voo~i Kako i da se rasporedat sedumte top~iwa, sekoga{ }e postoi kutija vo koja }e ima barem tri top~iwa. Opi{aniot primer pretstavuva ednostavna forma na eden zna~aen princip poznat kako princip na Dirihle. Toj glasi: Ako vo n kutii se rasporedat pove}e od n predmeti, toga{ barem vo edna od kutiite }e ima pove}e od eden predmet. Petar Gustav Leèn Dirihle ( ) germanski matemati~ar. a) Moè li da se tvrdi deka vo paralelka od 34 u~enici sigurno ima najmalku dvajca u~enici ~ii prezimiwa zapo~nuvaat so ista bukva? b) Dali ova tvrdewe vaì ako vo paralelkata ima 30 u~enici? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) Ovde, spored principot na Dirihle, bukvite od azbukata se "kutii#. Niv gi ima 3. Vo najnepovolen slu~aj, za prezimiwata na 3 u~enik bi bile "zazemeni# site 3 bukva. Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati 53

154 So koja bukva zapo~nuvaat prezimiwata na ostanatite trojca u~enici? Tie zapo~nuvaat so nekoja od ve}e "zazemenite bukvi. Na kolku najmalku u~enici prezimiwata zapo~nuvaat so ista bukva? Vo paralelkata ima barem dvajca u~enici ~ii prezimiwa zapo~nuvaat so ista bukva. b) Zo{to tvrdeweto ne vaì koga vo paralelkata bi imalo pomalku od 3 u~enik?. Na edna matemati~ka {kola u~estvuvale 37 u~enici. Dokaì deka me u niv ima barem dvajca u~enici koi vo ist den slavat rodenden. 3. Edno u~ili{te ima 6 paralelki od V do VIII oddelenie. Vo sekcijata "Mladi matemati~ari ~lenuvaat 8 u~enici. Dokaì deka me u niv ima barem dvajca u~enici od ista paralelka. Voo~i Najnepovolen slu~aj e koga od sekoja paralelka vo sekcijata ~lenuva po eden u~enik. No, toa e vkupno 6 u~enici. [to zaklu~uva{ za preostanatite dvajca u~enici od sekcijata? 4. Vo paralelkata ima 30 u~enici. Na pismenata rabota po matematika nekoi u~enici napravile 8 gre{ki, a drugite u~enici napravile pomalku. Dokaì deka vo paralelkata ima najmalku 4 u~enici koi napravile ist broj gre{ki na pismenata rabota. Koj e najgolemiot broj napraveni gre{ki? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Najgolemiot broj napraveni gre{ki e 8. Zna~i, ima u~enici {to napravile 8 gre{ki; mo`no e da ima u~enici so: 7 gre{ki; 6 gre{ki;...; gre{ka, a i u~enici {to ne napravile gre{ka (t.e. napravile nula gre{ki). Site u~enici gi razdeluvame vo 9 grupi: ) u~enici {to napravile 8 gre{ki; ) u~enici {to napravile 7 gre{ki itn. Vo devettata grupa se u~enicite {to ne napravile gre{ka. 54 Tema 3. Sistem linearni ravenki

155 Najnepovolen slu~aj e ako 3 u~enici napravile 8 gre{ki, 3 napravile 7 itn., a 3 u~enici ne napravile gre{ka. Toa se vkupno 3 9 = 7 (imame 9 grupi od u~enici). No, 30 = Preostanatite trojca u~enici napravile 8, 7,...,, ili 0 gre{ki, t.e. spored principot na Dirihle, ima grupa u~enici vo koja ima najmalku 4 u~enici {to napravile ist broj gre{ki ili ne napravile gre{ki. 5. Vo paralelkata ima 34 u~enici. Pri vnesuvawe na ist tekst vo kompjuterot Petar napravil 3 gre{ki, a drugite pomalku. Dokaì deka ima trojca u~enici koi napravile ist broj gre{ki. B Principot na Dirihle e primenliv vo mnogu podra~ja od matematikata. Prosledi nekolku zada~i so negovata primena vo delivost na broevite i vo geometrijata. 6. Dadeni se proizvolni 5 broja. Dokaì deka me u niv ima barem dva broja takvi {to nivnata razlika e deliva so 4. Raboti spored upatstvoto: Kolku i koi ostatoci se dobivaat pri delewe so brojot 4? Se dobivaat 4 ostatoci: 0,,, ili 3. Pri delewe na pette broja so 4 se dobivaat 5 ostatoci. Zna~i, najmalku dva od ostatocite se ednakvi (spored principot na Dirihle). Neka broevite a i b pri delewe so 4 davaat ist ostatok p, kade {to p {0,,, 3}. a = 4m + p; b = 4n + p. Razlikata a - b = (4m + p) - (4n + p) = 4(m - n) = 4k e od oblik 4k, t.e. taa e deliva so 4. Zapi{uvame 4 (a - b). 7. Kolku najmalku prirodni broevi treba da se zemat za da ima me u niv takvi dva broja ~ija razlika e deliva so 7? 8. Na bel list hartija (0 cm x 30 cm) e razleano mastilo. Dokaì deka na ovoj list postojat barem dve to~ki so ista boja koi se oddale~eni 0 cm edna od druga. Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati 55

156 Prosledi go objasnenieto. Konstruiraj ramnostran triagolnik na toj list so strana 0 cm. Voo~i deka od trite temiwa na ovoj triagolnik dve temiwa se beli, a ednoto sino, ili dvete se sini, a ednoto belo, ili trite se beli, ili, pak, trite se sini. Dve temiwa so ista boja se baranite temiwa. 9. Vo ramninata se dadeni 5 pravi od koi nikoi dve ne se paralelni. Dokaì deka postojat dve pravi me u niv koi obrazuvaat agol pomal od 37 o. Raboti na sledniot na~in. Izberi to~ka M vo ramninata i pomesti gi paralelno site pravi taka {to tie da minuvaat niz to~kata M. Voo~i deka pravite niz M ja delat ramninata na 0 agli. Ako aglite se ednakvi, toga{ sekoj ima 360 : 0 = 36 o, a 36 o < 37 o, t.e. sekoga{ ima agol {to e pomal od 37 o. Ako aglite se razli~ni, toga{ ne se site pogolemi od 37 o, bidej}i 0 37 o = 370 o > 360 o. Zna~i nekoj od tie agli e pomal od 37 o. M Zada~i. Vo edno u~ili{te ima 00 u~enici. Dokaì deka: a) najmalku 4 u~enici od toa u~ili{te slavat rodenden vo ist den; b) barem dvajca u~enici imaat isti inicijali. 3. Vo edna paralelka ima 37 u~enici. Dokaì deka ima eden mesec vo godinata vo koj se rodeni ne pomalku od 4 u~enici od paralelkata.. Da se dokaè deka vo Skopje ima barem tri lica koi imaat ist broj vlakna na glavata. (Eden ~ovek na glavata nema pove}e od vlakna.) 4. Vo 5 gajbi ima 3 vida jabolka, no taka {to vo sekoja gajba ima samo eden vid jabolka. Dokaì deka me u niv ima 9 gajbi so jabolka od ist vid. 56 Tema 3. Sistem linearni ravenki

157 U^E[E ZA SISTEM LINEARNI RAVENKI PROVERI GO TVOETO ZNAEWE. [to e re{enie na linearna ravenka so dve nepoznati? 7. Re{i go sistemot so metod na zamena. 4x 5 5x 3. Odredi go parametarot k za podredeniot par (, 6) da bide re{enie na ravenkata (4x - )k - = y - k. 3. Pretstavi go mno`estvoto re{enija na ravenkata x 0 grafi~ki. 8. Re{i go sistemot so metodot na sprotivni koeficienti: x 3 x 3 x3 3x. 4. [to e re{enie na sistem linearni ravenki so dve nepoznati? 5. Odredi ekvivalenten sistem na dadeniot vo koj dvete ravenki imaat forma ax + by = c. x x x Spored grafi~ko re{avawe na sistem linearni ravenki, proceni kolku re{enija ima sistemot: x a) 3x 3 0 ; b) x 0 4x 0 6. Re{i go grafi~ki sistemot: x 7 x Zbirot od godinite na tatkoto i sinot e 46. Po 0 godini tatkoto }e bide dva pati postar od sinot. Po kolku godini imaat sega? Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati 57

158 58 Tema 3. Sistem linearni ravenki

159 TEMA 4. GEOMETRISKI TELA TO^KI, PRAVI I RAMNINI VO PROSTOROT. To~ka, prava i ramnina 60. Dve pravi63 3. Dve ramnini Paralelno proektirawe. Ortogonalna proekcija Pretstavuvawe na geometrisko telo so crte` 7 PRIZMA 6. Prizma. Vidovi prizmi. Dijagonalni preseci74 7. Paralelopiped. Mre`a i plo{tina na prizma Volumen na poliedar. Volumen na kvadar i kocka Volumen na prava prizma 87 PIRAMIDA 0. Piramida. Plo{tina na piramida 90. Volumen na piramida 94 CILINDAR, KONUS, TOPKA. Cilindar; plo{tina i volumen Konus; plo{tina i volumen Topka; plo{tina i volumen Verojatnost 06 Proveri go tvoeto znaewe 08 To~ki, pravi i ramnini vo prostorot 59

Δείτε περισσότερα