Seminar II STRUNE. seminar v slovenskem jeziku. AVTOR: Urban Bitenc MENTOR: dr.matej Pavšič

Transcript

1 Urban Bitenc, FMF - fizika, matematično-fizikalna smer, absolvent Ljubljana, januar 2002 Seminar II STRUNE seminar v slovenskem jeziku AVTOR: Urban Bitenc MENTOR: dr.matej Pavšič 1 Povzetek Teorija strun se je začela kot teorija, ki naj bi pojasnila osnovne delce. Delcev ne obravnava kot točkaste, ampak kot enorazsežne objekte - strune. Kot razlaga osnovnih delcev se teorija strun ni uveljavila. Sedaj fiziki v njej vidijo možno teorijo velepoenotenja vseh štirih znanih sil: močne, elektromagnetne, šibke in gravitacijske. Seminar je v grobem sestavljen iz dveh delov. V prvem (2. in 3. poglavje) bom okvirno predstavil osnovno matematično orodje, ki se uporablja pri opisu strun, v drugem (4. poglavje) pa navedel nekaj zanimivosti, ki jih da ta teorija. Kdor bi rad le zaokroženo osnovno informacijo o strunah, naj si prebere kazalo, si ogleda slike ter prebere komentarje pod njimi. Za ogromno pomoč pri mojem uvajanju v osnove teorije strun in ogromno žrtvovanega časa se zahvaljujem svojemu mentorju dr.mateju Pavšiču. Pri seminarju mi je veliko pomagal tudi prof.dr.janez Strnad, za kar se mu najlepše zahvaljujem. 1

2 Contents 1 Povzetek 1 2 Kako se je začelo Relativističen točkast delec Parametrizacija Akcija in impulz Struna Parametrizacija Akcija in impulza Primer: Reggejeve trajektorije Prehod v kvantno mehaniko Točkast delec Vez Hamiltonjan Kvantizacija Struna Vezi Hamiltonjan Oscilatorni formalizem Kvantizacija Strune danes Današnje ocene za razsežnosti sveta strun Prednost strun Težava kvantne teorije polja Velepoenotenje Supersimetrija Kompaktifikacija Za konec Novo načelo nedoločnosti Membrane Literatura in viri 20 Slika na prvi strani: nihajoča struna. 2

3 2 Kako se je začelo V petdesetih in šestdesetih letih dvajsetega stoletja so fiziki pri trkih v visokoenergijskih pospeševalnikih odkrili na stotine novih elementarnih delcev. To so bili večinoma hadroni, delci, ki so podvrženi močni sili. Pojavila se je potreba po teoriji, ki bi čim bolje opisala močno silo in delce, ki so ji podvrženi. Teorija bi morala nekako urediti armado novih delcev in napovedati sipalne preseke za interakcije med njimi. To je poskušala kvantna teorija polja, a je imela nekaj resnih težav. V teh razmerah je italijanski fizik Gabriele Veneziano leta 1968 preprosto uganil formulo, ki je opisovala mnoge lastnosti interakcij med hadroni. Nato so Nambu, Susskind in Nielsen pokazali, da Venezianova formula sledi iz teorije, ki hadronov ne obravnava kot točkaste delce, ampak kot enorazsežne 1 STRUNE. Namesto točk, ki pri potovanju skozi prostor opišejo krivuljo, so vzeli enorazsežne objekte, ki v prostoru opišejo ploskev. Da bi razumeli ideje in pristop v teoriji strun, bom formalizem najprej uporabil na primeru točkastega delca v teoriji relativnosti, ki ga že poznamo. 2.1 Relativističen točkast delec Izpeljava v poglavjih 2 in 3 večinoma sledi viru [1] Parametrizacija Prost točkast delec v teoriji relativnosti opišemo s točko, ki se giblje po 4-dimenzionalnem prostorčasu in pri tem opiše krivuljo. Položaj točke v prostor-času podamo s četvercem (x 0, x 1, x 2, x 3 ), kjer je x 0 = ct, preostale tri koordinate pa so krajevne. Krivuljo, ki jo opiše delec, parametriziramo s parametrom τ: x µ = x µ (τ), µ {0, 1, 2, 3}, τ [τ 1, τ 2 ]. Ta krivulja je geometrijski objekt, katerega dolžina in ostale lastnosti (npr. ukrivljenost) ne morejo biti odvisne od tega, kako označimo (oštevilčimo) točke na njem. Če si izberemo drugačno parametrizacijo, to samo pomeni, da preimenujemo točke na krivulji. Enačbe gibanja, ki jih bomo dobili iz krivulje, zato ne smejo biti odvisne od parametrizacije. Teorijo moramo torej zgraditi tako, da bo REPARAMETRIZACIJSKO INVARIANTNA, kar pomeni, da lahko namesto s τ koordinate parametriziramo s poljubno 2 funkcijo τ = f(τ) pa se enačbe v teoriji ne bodo spremenile. Najpogosteje sta v uporabi naslednji parametrizaciji: τ = τ 0 + s, kjer je s dolžina krivulje med začetno točko in točko, ki jo označuje τ, in τ = τ 0 + x Akcija in impulz V splošni teoriji relativnosti dobimo enačbe gibanja iz zahteve, da delci potujejo po prostor-času tako, da je njihova pot najkrajša. (Opisujemo PROST delec! Delec, ki ni prost, ampak nanj deluje sila, se ne giblje po najkrajši poti.) V 3-d zapišemo dolžino poti kot integral po poti delca: ds = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dτ ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2. Analogno definiramo akcijo I v 4-d, ob upoštevanju metrike (1,-1,-1,-1): I = mc dτ ẋ µ ẋ µ = dτl. 1 Dodatna razsežnost se razteza v krajevnem delu prostor-časa, ne časovnem. 2 Nekaj omejitev vendarle je; f mora biti zvezno odvedljiva in strogo naraščajoča funkcija τ.[6] 3

4 Akcija je sorazmerna dolžini poti, masa m in hitrost c pa sta dodani zato, da ima akcija enoto Js, kot smo vajeni iz analitične mehanike. Definirali smo lagranžijan L = mc ẋ µ ẋ µ, ki ima enoto energije. Zaradi preprostosti postavimo c = 1. Enačbe gibanja za spremenljivke x µ dobimo iz zahteve, da je variacija akcije enaka 0, δi = 0, kar pomeni, da iščemo najkrajšo pot med začetno in končno točko. 3 Figure 1: Pri obravnavanju točkastega delca iščemo tako pot med začetno in končno točko, da bo njena dolžina najkrajša. Krivulja je v začetni in končni točki torej fiksirana, vmes pa z variiranjem iščemo optimum. Iz tega dobimo gibalne enačbe za točko - enačbe (1). Iz tega ob predpostavki, da sta začetna in kočna točka krivulje določeni (fiksirani) - slika 1, dobimo dobro znane enačbe (v množini zato, ker je µ = 0, 1, 2, 3): L x µ = d L d L dτ ẋ µ oz. = 0, (1) dτ ẋ µ ker je L odvisen le od ẋ µ in ne od x µ. Teh enačb se spomnimo že iz analitične mehanike. Od tam se tudi spomnimo, da nato definiramo impulz: 2.2 Struna p µ = L ẋ µ, v našem primeru p µ = mẋ µ ẋνẋ ν. (2) Točka je 0-dimenzionalen objekt, ki opiše 1-d krivuljo - svetovnico v 4-d prostor-času. Zahteva: krivulja ima najmanjšo možno dolžino. STRUNA je 1-dimenzionalen objekt, ki opiše 2-d PLOSKEV - svetovno ploskev v D-dimenzionalnem prostoru: sliki 2 in 3. Zahteva: ploskev ima najmanjšo možno površino Parametrizacija Svetovno ploskev, ki jo opiše struna, parametriziramo s parametroma τ in σ: x µ = x µ (τ, σ), τ [τ 1, τ 2 ], σ [0, π], µ {0, 1,..., D 1}. 3 Kadar gradimo kvantno teorijo, si vedno pomagamo s klasično analogijo, ki jo formuliramo kot variacijski problem - iskanje ekstremalne akcije. Več o tem v [7]. 4

5 Figure 2: Točkast delec (0-d) zamenjamo z 1-d struno. S tem trajektorija točkastega delca - svetovna krivulja (levo) preide v svetovno ploskev (desno). Na tej sliki vidimo t.i. zaprto struno, ki je sklenjena v zanko. Druga možnost je odprta struna, ki ima konca prosta. Izkaže se [1], da se konca oprte strune gibljeta s svetlobno hitrostjo. Glede mase strune obstajata dva pogleda. Prvi je ta, da struna ima maso in sicer enakomerno porazdeljeno po celi svoji dolžini. Linearna gostota mase strune je 1/2πα c 3. Drugi pogled pa je ta, da je struna brez mase, tedaj delamo brezmasno teorijo polja v 2D prostoru: koordinate x µ (τ, σ) smatramo kot polja v 2D prostoru, energijo, ki je naložena v ta polja, imamo za maso strune. (Vir slike: [2].) Ker je svetovna ploskev sama po sebi fizikalna realnost, spet zahtevamo, da so enačbe neodvisne od parametrizacije - ostati morajo enake, če τ in σ nadomestimo s poljubnima τ = f(τ, σ) in σ = g(τ, σ). Imamo dve vrsti strun (slika 3): a) ODPRTA struna, kjer sta konca prosta (in se, mimogrede, gibljeta s svetlobno hitrostjo), b) ZAPRTA struna, kjer sta konca speta skupaj: x µ (τ, π) = x µ (τ, 0). Dolžino strune nam določajo gibalne enačbe; na primeru bomo videli, kako. Figure 3: Levo: svetovna ploskev zaprte strune. Desno: svetovna ploskev odprte strune. Svetovno ploskev parametriziramo s parametroma τ in σ. Izberemo lahko tako parametrizacijo, da je τ čas, σ pa teče vzdolž strune. Po dogovoru zavzame σ vrednosti med 0 in π. Ker lastnosti svetovne ploskve niso odvisne od tega, kako oštevilčimo točke na njej, morajo biti enačbe, ki jih dobimo s te ploskve, neodvisne od parametrizacije - zahtevamo reparametrizacijsko invariantnost teorije. (Vir: slike [1].) Akcija in impulza Struna se torej giblje tako, da opiše ploskev z minimalno površino. Spet si pomagamo z analogijo iz 3-d. Imejmo ploskev, parametrizirano z r = r(τ, σ). Površino ds majhnega paralelograma 5

6 na tej ploskvi (slika 4) lahko izračunamo kot velikost vektorskega produkta d r 1 d r 2, kjer je d r 1 (τ, σ) = r(τ + dτ, σ) r(τ, σ) in d r 2 (τ, σ) = r(τ, σ + dσ) r(τ, σ): 4 ( ds = x τ, y τ, z τ ) ( x dτ σ, y σ, z ) σ dσ. Figure 4: Delček ploskve, katerega površino izračunamo kot velikost vektorskega produkta d r 1 d r 2. Rezultat, ki ga dobimo, ob metriki (1,-1,-1,...) posplošimo na poljubno število dimenzij. Ob oznakah ẋ µ = xµ τ, in x µ = xµ σ dobimo ds = [ ẋµẋ γdσdτ, kjer je γ = det µ ẋ µ x ] µ x µ ẋ µ x µ x = ẋ 2 x 2 (ẋ x ) 2. µ Akcijo definiramo kot I = 1 2πα c 3 c dτdσ γ = dτdσl, (3) 1 kjer je linearna gostota mase strune. Nekateri govorijo tudi o napetosti strune, saj ima 2πα c 1 3 količina 2πα c enoto N. Akcija I je sorazmerna površini ploskve, zraven pa smo dodali še take konstante, da ima enoto Js. Za potrebe teoretične fizike je priročnejša brezdimenzijska akcija, zato I delimo s, poleg tega pa postavimo tudi = c = 1. Po analogiji s p µ = L ẋ uvedemo momente tudi tu. Ker pa imamo sedaj dva parametra (τ in µ σ), imamo tudi dve veji momentov: π µ = L ẋ µ = 1 2πα ẋ µ x 2 x µ (ẋ x ) γ in π (σ) µ = L x µ (4) Momenta π (σ) µ ne bomo potrebovali, zato ga nisem izpisal. Enako kot prej tudi tu iz zahteve δi = 0 dobimo enačbe gibanja. Variiramo celo svetovno ploskev: slika 5. 4 Račun zlahka ponovi vsakdo z znanjem analize 1. 6

7 Figure 5: Variiramo svetovno ploskev strune in iščemo tako, ki ima najmanjšo površino. V začetni in končni legi je ploskev fiksirana, pa tudi na levem in desnem robu mora zadoščati nekemu pogoju. (Vir slike: [1].) V začetni in končni legi je ploskev pritrjena. Pri zaprti struni to zadošča, pri odprti (slika 5) pa dodatno zahtevamo, da je π µ (σ) na robu enak nič; izkaže se, da to pomeni, da gibalna količina ne odteka s strune. Iz te zahteve sledi, da se konca strune gibljeta s svetlobno hitrostjo ( ẋ 2 = 0). Ker tudi tu lagranžijan ni odvisen od x µ, ampak le od ẋ µ in x µ, so enačbe gibanja naslednje (D enačb 5 ): τ π µ + σ π(σ) µ = 0. (5) Pri točkastem delcu nisem povedal, da od teorije zahtevamo tudi, da so enačbe invariantne na vzporedni premik in rotacijo koordinatnega sistema. V klasični mehaniki iz teh zahtev sledita izreka o ohranitvi gibalne in vrtilne količine. Tu je podobno. Ob ustrezni parametrizaciji se morata ohranjati naslednji količini: P µ = dσπ µ, M µν = dσ[x µ π ν x ν π µ ]. (6) V teh izrazih prepoznamo gibalno količino in vrtilno količino strune. Ob ustrezni parametrizaciji je moment π µ torej ravno linearna gostota gibalne količine strune Primer: Reggejeve trajektorije Račun v tem razdelku ni prepisan iz kakega vira, ampak sem ga izvedel sam. Ena od lastnosti (tedaj novo odkritih) hadronov je tudi ta, da je spin njihovih vzbujenih stanj približno sorazmeren s kvadratom mase delca: slika 6. Krivulje J(m 2 ) so torej premice, t.i. Reggejeve 6 trajektorije. Pomenljivo je tudi to, da so premice, ki ustrezajo različnim delcem, skoraj vzporedne. Teorija strun to zlahka pojasni, medtem ko ima teorija polja (tedaj konkurenčna teorija) tu težave. Ravno struno z dolžino l, ki enakomerno rotira okrog svojega središča v x-y ravnini (slika 6), 5 D je dimenzija prostora. 6 Po italijanskem fiziku z imenom Tullio Regge. 7

8 Figure 6: Levo: Reggejeve trajektorije za barione, ki imajo polovičen spin. Na ordinati je spin v enotah, na abscisi pa masa v enotah GeV 2. Znak N stoji za nukleon (proton ali nevtron). Pri delcu in tistem Σ, ki ima spin 3/2 in 7/2, gre podaljšek premice približno skozi izhodišče (ki ga ni na sliki), kar pomeni, da drži formula J = α m 2. To pomeni, da struna v teh barionih samo rotira. Na drugi strani pa podaljški premic delcev N, Λ in preostalega Σ ne gredo skozi izhodišče. Strune v teh barionih poleg rotiranja tudi nihajo in nekaj energije (mase) dobijo že od samega vibriranja. Zato zanje velja J = α (m m 0 ) 2. Desno: struna, ki rotira okrog svojega središča, ne da bi nihala. Zaradi boljše prostorske predstave je narisana s končno debelino, čeprav imajo strune debelino 0. (Vir slik: [8].) parametriziramo s parametroma τ, ki predstavlja čas, in σ, ki teče vzdolž strune: x 0 = τ ẋ 0 = 1 x 0 = 0 x 1 = l ( σ π 1 ) 2 cos ωτ ẋ 1 = lω ( σ π 1 2) sin ωτ x 1 = l π cos ωτ x 2 = l ( σ π 1 ) 2 sin ωτ ẋ 2 = lω ( σ π 1 2) cos ωτ x 2 = l π sin ωτ x 3 = 0 ẋ 3 = 0 x 3 = 0 Rešitev (7) za rotirajočo struno sem uganil. Nato sem se prepričal, da tako gibanje ustreza enačbam gibanja (5), kar vzame nekaj časa in ni posebej zanimivo. Iz zahteve, da se konca strune gibljeta s svetlobno hitrostjo (v = 1), dobimo: l = 2 ω. Maso strune dobimo kot ničto komponento gibalne količine - P 0. Iz enačb (7) dobimo: ẋ 2 = 1 4(σ π/2) 2 /π 2, x 2 = 4/π 2 ω 2 in ẋ x = 0. Iz enačbe (6) za P µ in (4) za π µ dobimo za maso naslednji izraz: m = P 0 = 1 π dσ π 2 α ω 1 4(σ π/2) 2 /π = 1 2 2α ω. Iz enačbe (6) za M µν pa dobimo spin: J = M 12 = 4 π 4 α ω 2 0 π 0 (σ π/2) 2 dσ 1 4(σ π/2) 2 /π = 1 2 4α ω 2. Vse ostale komponente tenzorja M µν so enake 0. Iz teh dveh rezultatov dobimo enačbo, ki pojasnjuje Reggejeve trajektorije: J = α m 2. Naj vse skupaj zapišem še v obliki z vsakdanjimi enotami: l = 2c ω, m = 1 2α ω c 2, J = 1 4α ω 2, J = α c 4 m 2. Z levega grafa slike 6 za delec odčitamo: α = J 2. Iz tega podatka lahko dobimo dolžino strune. Iz zgornjih enačb izrazimo dolžino kot l = 4 j α c, če je spin J = j. 8 (7)

9 Za najmanjši možni spin (j = 1/2) dobimo: l = m. Sedaj lahko izračunamo tudi napetost strune: 1/2πα c = 141kJ/m. Ob analogiji z vzmetjo (E = kx 2 /2 = F x/2) si lahko predstavljamo, da struno nateza sila F = 282kN. Linearna gostota mase strune pa je 1/2πα c 3 = kg/m. Tu smo sedaj tudi videli, kaj nam določa dolžino strune: to sta spin strune (prek zahteve, da se konca gibljeta s svetlobno hitrostjo) in pa konstanta α, ki je izmerjena količina. 3 Prehod v kvantno mehaniko V prejšnjem poglavju smo si ogledali struno v klasični mehaniki. 7 Vemo, da je klasični opis le približek realnosti, struno hočemo v naslednjem koraku opisati kvantno. Če hočemo preiti v kvantno mehaniko, moramo enačbe zapisati s Hamiltonovim formalizmom. Prvi korak na tej poti je bil narejen že v prejšnjem razdelku, ko smo uvedli lagranžijan. Spet bom pristop najprej razložil na primeru točkastega delca. Postopek pri struni je povsem analogen. 3.1 Točkast delec Vez Iz lagranžijana L smo dobili momente p µ = mẋµ ẋ2. Opazimo naslednje: pµ p µ = mẋµ mẋ µ ẋ2 ẋ2 = m2 ẋ 2 = ẋ 2 m 2. To pomeni, da se velikost četverca gibalne količine ohranja, je konstanta. Dovoljena so samo taka gibanja, ki ustrezajo pogoju p 2 = m 2. Komponente gibalne količine med sabo torej niso neodvisne, ampak so povezane s to zahtevo, ki ji rečemo VEZ in jo priročneje zapišemo v obliki φ p 2 m 2 0. Rečemo, da je φ VEZ v teoriji. Uporabili smo enačaj, ki ga je uvedel P. Dirac [7] in pomeni je šibko enako, je enako v Diracovem smislu. Ta enačaj pomeni, da pri računanju Poissonovih oklepajev {φ, A} upoštevamo enakost φ = 0 šele na koncu, ko oklepaj že izračunamo. Če bi enakost upoštevali že na začetku, bi napačno dobili {φ, A} = {0, A} = Hamiltonjan V analitični mehaniki smo definirali hamiltonjan takole: H C p µ ẋ µ L. (Indeks C pomeni kanonski.) Potem smo dobili enačbe gibanja takole: ẋ µ = {x µ, H C } in ṗ µ = {p µ, H C } 8. V izpeljavi teh enačb smo upoštevali, da so koordinate x µ in momenti p µ vsi med sabo neodvisni. V našem primeru pa to ni res: med komponentami p µ namreč deluje vez φ, momenti med sabo niso neodvisni! Dirac [7] je pokazal, da dobimo enačbe gibanja na enak način (ẋ µ = {x µ, H T } in ṗ µ = {p µ, H T }), če namesto H C uvedemo totalni hamiltonjan: H T H C + λ(τ)φ. Kanonskemu hamiltonjanu torej dodamo še vez, pomnoženo s poljubnim množiteljem λ. Ko v izraz za H C vstavimo izraza za p µ in L, dobimo: H C = mẋµ ẋ2 ẋµ + m ẋ 2 = 0 9 in potem H T = λφ. 7 Pri Reggejevih trajektorijah smo sicer na koncu vzeli spin 1/2, ker iz kvantne mehanike vemo, da imamo le cele in polovične spine, a celotna obravnava je bila klasična. 8 Zaviti oklepaj pomeni Poissonov oklepaj 9 Velja celo splošno, da vedno, kadar akcijo I formuliramo tako, da je neodvisna od parametrizacije, bo H C = 0 [6]. 9

10 Sledijo Hamiltonove enačbe gibanja: ẋ µ = {x µ, H T } = 2λ(τ)p µ, ṗ µ = {p µ, H T } = 0. Množitelj λ(τ) nam določa parametrizacijo krivulje. Poglejmo kako. Iz prve od zgornjih dveh enačb lahko izračunamo ẋ µ ẋ µ = 4λ 2 p µ p µ = 4λ 2 m 2. Po drugi strani je ẋ µ ẋ µ = dxµ dx µ dτ dτ = ds2 dτ = ( ) ds 2. 2 dτ Oboje izenačimo, korenimo (dobimo ±), preuredimo, integriramo in dobimo: τ s s 0 = 2m λ(τ )dτ. 0 Negativni predznak moramo vzeti zato, da velja (2): p µ = mẋµ ẋ2. Dobili smo torej s = s(τ), od koder lahko izrazimo τ = τ(s), ki je določen do konstante natančno (s 0 ). Če si recimo izberemo λ = 1 2m, dobimo τ = s s 0. V tej parametrizaciji je ẋ 2 = ( ) ds 2 dτ = 1 in p µ = mẋ µ. Računajmo še naprej: ṫ 2 ẋ 2 ẏ 2 ż 2 = Pika pomeni odvajanje po τ, mi pa poznamo hitrosti v i kot koordinate odvajane po t, zato naredimo substitucijo d dτ = dt d dτ dt, izpostavimo in dobimo: ( ) dt 2 dτ (1 v 2 ) = 1 ter od tod dτ = 1 v 2 dt. To enačbo poznamo, to je znano podaljšanje časa. Ko substitucijo ẋ µ = dt dx µ dτ dt = vµ 1 v 2 vnesemo še v zvezo p µ = mẋ µ, dobimo znano zvezo med hitrostjo in gibalno količino: p µ = m vµ 1 v 2 Ni težko pokazati, da to zvezo dobimo vedno, ob poljubni parametrizaciji Kvantizacija Sledi prva kvantizacija, ki jo izvedemo na standarden način: količine preidejo v operatorje, Poissonovi oklepaji v komutator z dodatnim faktorjem i, vektor stanja mora ustrezati Schrödingerjevi enačbi, najzanimivejša točka kvantizacije pa je, da vez φ postane operatorska enačba, ki nam iz vseh mogočih stanj ψ izbere tista, ki pridejo v poštev za naš sistem. Tako dobimo Klein-Gordonovo enačbo: φ 0 ˆφ ψ = 0 oz. (ˆp 2 m 2 ) ψ = Struna Vezi Enako kot prej iz lagranžijana dobimo vezi. Prej smo iz izraza za p µ dobili vez p 2 m 2 = 0. Sedaj pa imamo dve veji momentov in iz vsake lahko dobimo svoje vezi. Odločiti se moramo za eno vejo momentov, obeh ne moremo enakovredno vključiti v teorijo. 11 Izberemo si, da bomo gradili teorijo na momentih π µ, ki izvirajo iz parametra τ, kajti ob tem je podobnost s točkastim delcem večja. Ker imamo sedaj dva parametra, dobimo dve vezi, ki pa sta v splošnem odvisni še od σ: G 0 (σ) π µ π µ + x µ x µ (2πα ) 2 0, G 1 (σ) π µ x µ Ali (cṫ) 2 ẋ 2 ẏ 2 ż 2 = c 2 ; v naslednjih vrsticah dobimo običajne enote, če v nadomestimo z v/c. 11 To se vidi na primer že iz definicije Poissonovega oklepaja, v kateri je prostora le za eno vrsto momentov, ne dve. 10

11 3.2.2 Hamiltonjan Enako kot prej hamiltonjan H T tvorimo iz H C = dσ[π µ ẋ µ L] in vezi, ki ju pomnožimo s poljubnima množiteljema λ 0 in λ 1. Tudi tokrat lahko preverimo, da je H C = Če si mislimo struno sestavljeno iz neskončnega števila točkastih delcev, imamo tudi neskončno število vezi - pri vsakem σ po dve vezi. Vse vključimo v H T tako, da integriramo po celi struni: 13 H T = dσ [ λ 0 (σ)g 0 (σ) + λ 1 (σ)g 1 (σ) ] Množitelja λ 0 in λ 1 v hamiltonjanu nam določata parametrizacijo. Prej smo z izbiro λ določili parametrizacijo le do konstante. Tudi sedaj nam izbira λ 0 in λ 1 parametrizacije ne določi popolnoma, ampak nas le omeji na neko množico parametrizacij. Najugodneje je izbrati λ 0 = πα in λ 1 = 0. Ta izbira nas omeji na množico parametrizacij, pri katerih je metrika na svetovni ploskvi sorazmerna z diag(1,-1). Izkaže se, da je preslikava med vsakima dvema parametrizacijama s tako metriko konformna. Zato take parametrizacije imenujemo konformne parametrizacije. Ob konformni parametrizaciji enačba gibanja preide v najpreprostejšo obliko - valovno enačbo: ẍ µ x µ = 0. Naj tu omenim, da primer rotirajoče strune, ki smo ga pogledali v razdelku Reggejeve trajektorije, ne ustreza valovni enačbi, ker tam nismo uporabili konformne parametrizacije Oscilatorni formalizem Pristop, opisan v tem razdelku, nima svojega ekvivalenta pri točkastem delcu, ampak je značilen za strune. V tem in naslednjem razdelku bom obravnaval le odprto struno, ki je preprostejša. Za zaprto struno se namreč izkaže, da vsebuje dve vrsti valov: eni se širijo v smeri urinega kazalca (e i(σ+τ) ) in drugi v nasprotni smeri (e i(σ τ) ), zato je z njo dvakrat več dela. Postopek pa je pri obeh povsem enak. Izbrali smo si torej konformno parametrizacijo, v kateri je enačba gibanja najpreprostejša valovna enačba: ẍ µ x µ = 0. Splošna rešitev te enačbe je vsota sinusov in kosinusov. To nas navede, da koordinate in momente razvijemo v Fourierovo vrsto: x µ (τ, σ) = x µ n(τ)e inσ in π µ (τ, σ) = π n(τ)e µ inσ n= n= Nato definiramo koeficiente a µ n = π 2α ( π n µ + 2πα x µ n), s pomočjo katerih zapišemo splošno rešitev za x µ : x µ (τ, σ) = x µ 0 +i 2α [ 1 n a µ n (τ = 0)e inτ a µ n (τ = 0)e inτ ] cos nσ. Od tod vidimo, kako struna niha v različnih nihajnih načinih (slika 7): če si izberemo a µ N = 1 in vsi ostali aµ n = 0, dobimo x µ (τ, σ) = x µ 8α 0 + sin Nτ cos Nσ, N kjer x µ 0 opisuje gibanje težišča strune. in 12 Kot rečeno, to velja splošno, kadar imamo reparametrizacijsko invarianco (glej [6]). 13 Ker imam sam težave pri nazornem razumevanju tega koncepta, si pomagam s takole prispodobo: ko smo se odločili za vezi, ki pridejo iz π µ, smo na nek način priviligirali parameter τ. Parametru σ se oddolžimo s tem, da po njem integriramo. 14 Za konformno parametrizacijo velja ẋ 2 = x 2, kar v našem primeru ni bilo res. 11

12 Figure 7: V vsaki od D-2 dimenzij (indeks µ) lahko struna niha v različnih nihajnih načinih. V katerem od nihajnih načinov je struna v posamezni dimenziji, nam povedo koeficienti a µ n(τ = 0). Če je, na primer, a 8 4 = 1, vsi ostali pa so aµ n = 0, to pomeni, da struna v osmi dimenziji niha tako, kot je prikazano na najbolj desnem grafu. Kot pri navadni kitarski struni so tudi tu možne različne superpozicije nihajnih načinov. Izkaže pa se [1], da longitudinalno valovanje na struni ni možno. Poissonov oklepaj med koeficienti a µ n je {a µ n, a ν m} = inδ nm η µν, od koder vidimo (najhitreje kar po analogiji z znanim kvantnomehanskim harmonskim oscilatorjem), da bodo ob kvantizaciji postali a µ n anihilacijski, a µ n = aµ n pa kreacijski operatorji. V Fourierovo vrsto razvijemo tudi vezi G 0 in G 1, ki ju združimo v eno vez Π 2 (σ) = G 0 (σ) + G 1 (σ) πα 0: 15 Π 2 (σ) = 1 π 2 α n= L n e inσ. Nazadnje v vrsto razvijemo še množitelja, ki ju tudi združimo: λ = 1 2 (λ0 + πα λ 1 ) = πα λ n (τ)e inσ. 2 n= Končni rezultat vseh teh razvojev je, da Hamiltonko lahko zapišemo kot H T = λ n L n. 16 n BISTVO: v teoriji strun vse razvijemo v Fourierovo vrsto Kvantizacija Kvantiziramo povsem enako kot pri točkastem delcu. Pri tem koeficienti a µ n postanejo kreacijski operatorji â µ+ n, ki nihanje strune v µ-ti dimenziji in n-tem nihajnem načinu dvigne v stanje, ki ima za n α višjo energijo (enako â + dvigne navaden harmonski oscilator v stanje, ki ima za ω višjo energijo). V katerem vzbujenem stanju je struna, povemo tako, da navedemo, s katerimi operatorji â µ+ n smo delovali na njeno osnovno stanje in kakšni so koeficienti v vsoti kombinacij teh operatorjev: ψ[x(σ)] = [φ(x) + A µ (x)a µ+ 1 + h µν (x)a µ+ 1 aν B µ (x)a µ+ 2 + l µν (x)a µ+ 2 aν ]Φ (0), 15 Vse te razvoje izvajamo na intervalu [ π, π]. Ker je G 0 soda, G 1 pa liha, ju lahko združimo. 16 Neobičajni faktorji pri razvoju Π 2 in λ so izbrani ravno tako, da je razvoj za H T tako enostaven. (8) 12

13 kjer je Φ (0) funkcija osnovnega stanja strune. Najzanimivejša je tretja točka kvantizacije: vezi preidejo v operatorske enačbe za vektorje stanj. Imeli smo vezi G 0 0 in G 1 0, ki smo ju združili v Π 2 0, ki smo ga razvili v vrsto s koeficienti L n. Vezi so sedaj torej: L n 0. Te vezi preidejo v operatorske enačbe ˆL n ψ = 0. Zaradi komutacijskih lastnosti operatorjev â µ n pa je L 0 izjema: temu moramo dodati konstanto α 0 (glej [1],[3]). Dobimo torej: (ˆL 0 α 0 ) ψ = 0, ˆL i ψ = 0 ; i > 0. (9) Zahteva se, da je teorija strune Lorentzovo kovarijantna 17 tudi v kvantni mehaniki. Izkaže se ([3]), da je to mogoče le za α 0 = 1 in dimenzijo prostora D = 26! Struna torej ne prebiva v 4-dimenzionalnem, ampak v 26-dimenzionalnem prostoru. Iz pogoja (ˆL 0 α 0 ) ψ = 0 dobimo ([1]) (ˆp 2 N 1 α kvantov 1/α, ki jih prispevajo posamezni â µ+ n z enačbo p 2 m 2 = 0 vidimo: ) ψ = 0, kjer je N vsota vseh energijskih, ˆp pa gibalna količina težišča strune. Iz primerjave m 2 = N 1 α, N m 2 1/α 0 1/α. Tu smo prišli do velikega problema te teorije strun: osnovno stanje ima imaginarno maso, kar pomeni, da naj bi struna potovala z nadsvetlobno hitrostjo. Delec, ki potuje z nadsvetlobno hitrostjo, imenujejo TAHION. Teorija, ki da za osnovno stanje delca tahion, ne more opisovati stvarnega sveta. Če za α vstavimo vrednost iz razdelka o Reggejevih trajektorijah, dobimo za drugo vzbujeno stanje maso m = 1/ α = 1.04GeV, kar je smiselno - nekaj nad maso protona. Da smo določili energijo strune, smo uporabili le prvo od vezi (9). Ko si podrobneje ogledamo [1] še ostale, npr. ˆL1 ψ 1, vidimo naslednje: koeficienti A µ (x), h µν (x),... iz enačbe (8) ne morejo biti poljubni, ampak morajo ustrezati enačbam (9). Predstavljamo si lahko, da na struni ne moremo imeti kakršne koli superpozicije nihajnih načinov, ampak le nekatere - tiste, ki ustrezajo enačbam (9). V posebnih primerih v teh enačbah prepoznamo Maxwellove enačbe elektromagnetizma ( Aµ x = 0 in µ 2 A ν x µ x µ = 0) in linearizirane Einsteinove enačbe gravitacije (v enačbah za h µν (x)). V tem smislu lahko rečemo: Prvo vzbujeno stanje odprte strune vsebuje elektrodinamiko. Prvo vzbujeno stanje zaprte strune vsebuje gravitacijo. Oba pripadajoča delca - foton in graviton - sta brezmasna. 4 Strune danes Teorija strun, ki temelji na akciji (3), nam da le stanja s celim spinom, ki jih lahko vzporedimo bozonom. Zato tako struno imenujemo bozonska struna. Za opis fermionov (delcev s polovičnim spinom) so l konstruirali akcijo 18, iz katere sledi Diracova enačba. Struna, ki bazira na tej akciji, se imenuje supersimetrična struna, na kratko SUPERSTRUNA. Izkaže se, da prostor, v 17 To pomeni, da enačbe ostanejo enake tudi, če transliramo ali rotiramo koordinatni sistem. 18 I = 1 2πα dτdσ γ + 1 4πα dτdσ[ χ µ γ a aχ µ] 13

14 katerem prebiva superstruna, ni 26, ampak le 10-dimenzionalen. Poleg tega njeno osnovno stanje ni tahionsko, ampak brezmasno. Superstruna vsebuje več simetrij kot bozonska struna. Ker si prizadevajo konstruirati čim bolj simetrično teorijo, je to korak naprej. Teorija strun in superstrun je bila ob svojem nastanku le ena od teorij osnovnih delcev in je konkurirala kvantni teoriji polja, vendar se zaradi nekaterih nerazrešenih problemov ni uveljavila. Ena največjih težav je gotovo ta, da prebiva superstruna v 10 dimenzijah, mi pa opazujemo le 4. Danes za opis osnovnih delcev uporabljamo kvantno teorijo polja. Kljub temu pa je ideja superstrune živela naprej, a na drugačnih skalah (4.1) in z drugačnimi (še mnogo ambicioznejšimi) cilji (4.2.2). 4.1 Današnje ocene za razsežnosti sveta strun Teorija strun torej ni postala univerzalna teorija osnovnih delcev, ima pa vseeno nekatere osupljive prednosti pred kvantno teorijo polja, zato matematične raziskave tečejo dalje. Dandanes ocenjujejo, da so skale v svetu strun reda velikosti Planckovih količin. Iz Planckove konstante, svetlobne hitrosti c in gravitacijske konstante κ lahko tvorimo Planckovo razdaljo, Planckov čas, Planckovo maso in Planckovo energijo, ki so naravne enote za te količine: L p = T p = M p = E P = κ κ c 3 = m, c c 5 = s, c 5 κ κ = kg, = 1.956GJ = GeV. Vidimo: razdalje in časovni intervali v svetu strun so izjemno majhni, energije pa izjemno velike. Količina α c naj bi bila (ocenjujejo, glej [2]) reda velikosti L p, kar pomeni, naj bi bila dolžina strun okrog m ali m [4], kar je krat manj, kot smo ocenili iz Reggejevih trajektorij. Mase delcev naj bi bile reda velikosti M p, ustrezne energije pa reda E p. 19 Preverjanje napovedi teorije se zaradi tega zdi malodane nemogoče. V vesolju so vladale razmere, v katerih so do izraza prišli npr. efekti kvantne gravitacije (ki bi jih lahko pojasnila teorija strun), le do s po velikem poku Prednost strun Da bi razumeli prednosti teorije strun pred kvantno teorijo polja (standardnim modelom), moram najprej nekaj povedati o slednji Težava kvantne teorije polja V kvantni teoriji polja računamo sipalne preseke za interakcije med delci s pomočjo Feynmanovih diagramov. Feynmanovi diagrami so sestavljeni iz 1-dimenzionalnih črt, ki se stikajo v nekih točkah - verteksih: slika 8 levo. To so singularne točke (glej [2]), v katerih se pri podrobnejšem obravnavanju pojavijo neskončnosti - divergirajoči integrali. Pri pazljivem računanju se pozitivne in negativne neskončnosti pri močni, elektromagnetni (EM) in šibki interakciji ravno odštejejo Kako pojasnijo mase delcev, ki smo jih opazili do sedaj, bom omenil kasneje. 20 Kako se to naredi, so pokazali Feynman, Schwinger, Tomonaga, Dyson. 14

15 Figure 8: Točke v Feynmanovih diagramih, kjer se stikajo posamezne daljice, so singularne, kar onemogoča, da bi s Feynmanovimi diagrami obravnavali gravitacijo (levo). Če pa enodimenzionalne daljice nadomestimo z dvodimenzionalnimi svetovnimi ploskvami, ki jih opišejo strune, singularnosti izginejo in k preostalim trem interakcijam lahko pridružimo še gravitacijo. Vir: [2]. Pri gravitaciji pa se ne, zato gravitacije v kvantni teoriji polja ne moremo opisati. Pri obravnavanju osnovnih delcev moramo gravitacijo enostavno zanemariti. Gravitacija je daleč najšibkejša interakcija, je pa bistveno drugačna od drugih treh, tudi od EM, čeprav imata enako krajevno odvisnost - obe pojemata kot 1/r 2. EM sila med delcema z nabojem istega predznaka je odbojna, gravitacija med delcema z maso istega predznaka pa privlačna! Sploh je naboj lahko pozitiven ali negativen, masa pa le pozitivna. Imamo torej kvantno teorijo polja, ki opisuje močno, EM in šibko interakcijo, in splošno teorijo relativnosti, ki opisuje gravitacijo. Do sedaj obeh teorij ni uspelo združiti; težava je v tem, da s Feynmanovim pristopom gravitacije ni mogoče obdelati, ker se v Feynamnovih diagramih pojavljajo singularne točke. Figure 9: Svetovna ploskev, ki prikazuje interakcijo 4 delcev, ki jih predstavimo s strunami. Čas teče od leve proti desni. Strune se zddružujejo in razdružujeo - interagirajo. Enako kot pri teoriji točkastih delcev tudi tu verjetnost za nek dogodek dobimo s seštevanjem po vseh možnih Feynmanovih diagramih. Izkaže se, da je to pri strunah celo preprosteje kot pri točkastih delcih, saj so diagrami topološko ekvivalentni (glej sliko 10) krogli, torusu, torusu z mostom in tako dalje torusu dodajamo luknje. Ploskev na sliki, na primer, je topološko ekvivalentna torusu s 5 luknjami. Vir:[4]. 15

16 4.2.2 Velepoenotenje Če si Feynmanove diagrame predstavljamo intuitivno, kot si jih je njihov avtor, nam prikazujejo poti delcev pri interakciji, torej njihove svetovnice (svetovne krivulje). Če delec ni točkast, ampak enorazsežna struna, diagram ni več sestavljen iz nekaj črt, ampak postane ploskev: slika 8 desno, slika 9, slika 10 v sredini. Verteksi izginejo, singularnih točk ni več in težave z neskončnostmi odpadejo. To navaja na misel, da bi se s takimi diagrami in s to teorijo dalo opisati kvantno gravitacijo. Že leta 1972 so opazili, da bi lahko teorija strun bila mnogo več kot le teorija hadronov: začeli so raziskovati možnost, da bi to postala teorija velepoenotenja vseh štirih interakcij. Vendar za to ni primerna niti bozonska niti supersimetrična struna 21, ampak njuna kombinacija: HETEROTIČNA struna. Heterotična struna je zaprta struna in jo dobimo s kombiniranjem elementov bozonske in supersimetrične strune. Valovi, ki se po njej širijo v smeri urinega kazalca, živijo v 10 dimenzijah (kot superstruna), valovi v nasprotni smeri pa v 26 dimenzijah (kot bozonska struna)[4]. 22 Eden temeljnih ciljev fizike je, da bi odkrili temeljno simetrijo, ki stoji v ozadju vseh zakonov. 23 Leta 1984 sta Green in Schwarz pokazala naslednje. Če naj bo velika teorija poenotenja konsistentna, preostaneta za simetrijsko grupo, ki ji mora zadoščati Yang-Millsova sila, le še dve možni grupi. V teoriji poenotenja le treh sil, ki ne zajema gravitacije, je možnih precej več grup. Na poti k iskanju temeljne simetrije nam torej združitev gravitacije z ostalimi tremi silami omogoča velik korak naprej.([4]) Figure 10: V teoriji strun ima pomembno vlogo topologija. Interakcija strun je prikazana s svetovno ploskvijo, ki je topološko ekvivalentna sferi ali torusu. Ploskvi sta zvezni povsod, razen v točkah, ki predstavljajo prihajajoči ali odhajajoči delec (A, B, C, D). Pomembna razlika med sfero in torusom je naslednja: na sferi lahko vsako zaprto krivuljo zvezno zdruznemo v točko, na torusu pa obstajata dve vrsti krivulj (glej spodnjo desno sličico), pri katerih tega ne moremo storiti. Vir:[4]. Levo: ustrezna Feynmanova diagrama za tako interakcijo. 21 Ko govorim o bozonski struni, mislim na dotični matematični model; podobno kot navadno govorimo o relativističnem elektronu, mislimo pa na relativistični opis elektrona. 22 Nikar me ne sprašujte, kako je to mogoče in kako naj si to predstavljamo. 23 Če bi poznali vse zakone, ne bi potrebovali simetrij, ker pa jih ne poznamo... 16

17 4.2.3 Supersimetrija Supersimetrična struna obravnava delce polja in delce snovi na enaki osnovi. Predvideva, da ima vsak delec polja svojega supersimetričnega partnerja med delci snovi in obratno vsak delec snovi bi imel svojega supersimetričnega partnerja med delci polja. Vendar pa naj bi bila masa predvidenih novih delcev veliko večja od mas zdaj znanih delcev. Iz tega razloga jih do sedaj še nismo opazili, vseeno pa že imajo imena: glej tabelo. Vir: [5]. TABELA: Delci in njihovi supersimetrični partnerji: znani delc polja gluon foton W +, W Z graviton pripadajoči delec snovi gluino fotino wino zino gravitino znani delec snovi elektron mion µ tau τ nevtrino ν kvark pripadajoči delec polja selektron smion sµ stau sτ snevtrino sν skvark Pojem simetrije je eden od bistvenih pojmov teorije strun. Mnogi ključni rezultati in bistvene lastnosti prostora izhajajo iz zahtev po različnih simetrijah. Ena od lastnosti simetrije je, da je lahko prisotna samo pri dovolj visokih temperaturah/energijah, pri nižjih temperaturah pa pride do faznega prehoda in se simetrija zlomi. Predvidevajo na primer, da se pri temperaturi K vse 4 znane interakcije združijo in nastopajo kot ena sama sila. Pri nižjih temperaturah je ta simetrija zlomljena in opazimo 4 različne sile. Posledica tega zloma simetrije je tudi, da imajo delci, ki jih danes opazimo (proton, nevtron,...), neničelno maso. Če simetrija ne bi bila zlomljena, bi imeli maso 0, tako pravi teorija strun. Delci prvega vzbujenega stanja imajo energije okrog GeV, n tega pa n-krat toliko. [4] 4.3 Kompaktifikacija Čeprav superstruna živi le v 10 dimenzijah namesto 26, še vedno ostane vprašanje, kako predstaviti rezultate v 4 dimenzijah, kolikor jih opazimo ljudje. Kako kompaktirati neopazljivih 6 dimenzij, je eno do odprtih vprašanj teorije. En pogled, ki nakazuje možno smer rešitve, je naslednji. Predstavljajmo si, da gledamo teniški dvoboj iz helikopterja. Ko smo zelo visoko nad igriščem, vidimo vse premike igralcev in žogice le v dveh razsežnostih, čeprav igra poteka v treh. Šele ko se spustimo na višino, ki je primerljiva z navpičnimi premiki žogice, opazimo tudi tretjo dimenzijo. Na podoben način najbrž ne vidimo presežnih 6 dimenzij, ker gledamo preveč od daleč. Tako naj bi bil prostor sestavljen iz 4 (skoraj?) ravnih dimenzij in šestih zelo majhnih, ki so poleg tega še zvite skupaj. Primer dvorazsežnega prostora, v katerem sta obe dimanziji zviti skupaj, je torus (slika 10). Primer 2-d prostora, kjer je ena dimenzija zvita skupaj, druga pa ravna in neskončna, je plašč neskončnega valja. Če tak valj gledamo zelo od daleč, vidimo le eno njegovo dimenzijo, manjše, ki je zvita skupaj, pa ne. Nekako v takem odnosu so 4 vidne dimenzije s 6 do sedaj neopaženimi in skupaj zvitimi. 24 Prostor, katerega 6 dimenzij je zvitih skupaj, ima neke določene topološke lastnosti. Te lastnosti nudijo posredno možnost za preverjanje napovedi teorije strun, ki se sicer zdi skorajda nepreverljivo matematično preigravanje. Ena od lastnosti skupaj zvitega prostora je Eulerjevo število χ. Na 2-dim. mnogoterosti je χ = 2 2n, kjer je n število lukenj v mnogoterosti. Primer: za sfero je χ = 2, za torus 0, za torus z mostom na sredini -2, ploskev na sliki 9 je χ = 8. To število se posploši na skupaj zvit prostor 6-ih dimenzij; teorija 24 Pravzaprav še nihče ni strogo dokazal, da je preostalih 6 dimenzij res zvitih skupaj, a vse kaže, da mora biti tako. 17

18 napoveduje, da je število generacij kvarkov in leptonov ravno polovica tega Eulerjevega števila. Poznamo 3 generacije, verjetno pa obstaja največ še ena do sedaj neznana generacija. To pomeni, da bi imel 6-d prostor χ = 6 ali 8, s čimer se število možnih prostorov že zelo omeji.to je podobno, kot če bi med različnimi 2-dim. prostori (sfera, torus, torus z mostom...) iskali tistega, ki ima neko določeno Eulerjevo število.[4] Figure 11: Teorija strune je formulirana tako, da obravnava celotno svetovno ploskev, ki jo opiše struna, ne pa struno v teku časa. Če zaprta struna v teku časa potuje skozi prostor, opiše pri tem plašč valja. Teorija pa zajame tudi vse svetovne ploskve, ki so topološko ekvivalentne plašču valja; vse ploskve torej, ki jih iz plašča valja lahko dobimo le z raztegovanjem in preoblikovanjem. Tako teorija zaprte strune že sama v sebi vsebuje tudi interakcijo strune s prostorom, kar je precejšnja prednost. Ploskev na sliki je topološko ekvivalentna plašču valja, če pa si ogledamo časovni potek (preseki pod svetovno ploskvijo), vidimo, kako v vakuumu iz nič nastane struna in se združi z obstoječo struno, ali kako se od strune odcepi delček in izgine v vakuum; oboje predstavlja interakcijo strune s prostorom. Taki pojavi so mogoči le v posebni vrsti prostora. Vir: [4]. 4.4 Za konec Novo načelo nedoločnosti Heisenbergovo načelo nedoločenosti se glasi: x / p. Iz tega sledi, da če nedoločenost gibalne količine zelo povečamo, lahko x v principu poznamo s poljubno natančnostjo. Iz teorije strun (glej [2]) pa dobimo pri načelu nedoločenosti še en člen: x p + α p. Če je načelo nedoločenosti te oblike, niti principielno ne moremo poznati koordinate x s poljubno natančnostjo, kajti pri velikih p se x spet povečuje. Minimalna vrednost x bi bila po novem načelu nedoločenosti reda velikosti x α m Membrane Točka potuje po najkrajši poti. Struna potuje tako, da opiše najmanjšo ploskev. Naslednja stopnja je še za eno razsežnost višja: imejmo membrano, ki potuje po prostoru tako, da opiše najmanjši 18

19 volumen. S tem se ukvarjajo v teoriji membran, ki pa je zaradi nelinearnosti enačb mnogo bolj zapletena od teorije strun. Sočasno raziskujejo tudi še objekte višjih dimenzij. Raziskave potekajo na mnogih področjih, da bi našli čim boljši opis tega, kar opazimo v našem vesolju. 5 Literatura in viri 1. Milutin Blagojevič: Gravitacija i lokalne simetrije, XI poglavje; Institut za fiziku, Beograd, Edward Witten: Reflections on the Fate of Spacetime; Physics Today, April 1996, str Goddard, Goldstone, Rebbi, Thorn: Quantum dynamics of a massless relativistic string; Nuclear Physics B56 (1973), str Michael B. Green: Superstrings; Sci. Am. 255 (1986) no.3 (Sept.), str H.E.Haber, G.L.Kane: Is Nature Supersymmetric?; Sci.Am. 254(1986) no.6 (Jun), str Hanno Rund: The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of variations, 3. poglavje; D.van Nostrand Company, London, Paul Dirac: Lectures on Quantum Field Theory; Yeshiva University, New York, John H. Schwarz: Dual-Resonance Models of Elementary Particles; Sci. Am. 232 (1975) no.2 (Feb.), str