VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME
|
|
- Αταλάντη Λύτρας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Seminar za Numerično analizo VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME Ljubljana, 004 Marjeta Krajnc
2 . Uvod Subdivizija je postala v zadnjih letih zelo pomembno orodje pri konstrukciji krivulj in ploskev. RAZLOGI: enostavna implementacija računska učinkovitost povezava z multiresolucijskimi tehnikami Pomemben problem v računalniški grafiki in geometrijskem modeliranju je konstrukcija krivulj, ki interpolirajo dano množico točk in minimizirajo nek energijski (gladkostni) funkcional.
3 Predstavljen bo nov razred interpolacijskih subdivizijskih shem, kjer na vsakem koraku določimo nove točke tako, da rešimo en optimizacijski problem. V splošnem bodo dobljene sheme globalne. Te sheme je prvi predstavil Leif Kobbelt, v članku: A variational approach to subdivision, Computer Aided Geometric Design 3 (996) Omejili se bomo na sheme za konstrukcijo krivulj.
4 . Interpolacijske subdivizijske sheme V splošnem je problem naslednji: Dane so točke p 0 i Rd, i = 0,,..., N. Radi bi jih interpolirali z gladko krivuljo. Če jih povežemo z odsekoma linearno krivuljo, dobimo poligon P 0 = ( p 0 0, p 0,..., p 0 N) = groba aproksimacija končne krivulje Aproksimacijo izboljšamo tako, da med stare točke vrinemo nove, ki jih moramo seveda naračunati tako, da bo nov poligon izgledal bolj gladko od prejšnega.
5 3 Slika : Začetni poligon Slika : Nova poligona
6 Postopek iterativno ponavljamo. V vsakem koraku generiramo nov poligon P m+, tako da velja p m+ i = p m i. Hočemo konvergenco k gladki krivulji P. DEFINICIJA. Interpolacijska subdivizijska shema je podana z operatorjem S, ki preslika dano zaporedje točk (poligon) P m = { } p m i i v novo zaporedje P m+ = { } p m+ i, tako da velja i p m+ i = p m i. Operator S uporabljamo iterativno in rezultat je limitna krivulja P, ki interpolira začetni P 0.
7 OPOMBA: Izbrati je potrebno še parametrizacijo. Najbolj preprosta je kar enakomerna parametrizacija. Na začetku imamo poligon P 0 = { p 0 i} N i=0. Točka p 0 i naj ustreza parametru i. Na m - te koraku imamo poligon P m = { } p m m N i i=0, kjer točka pm i ustreza parametru m i.
8 DEFINICIJA. Zaporedje funkcij {f n } n na intervalu [a, b] R konvergira enakomerno k limitni funkciji f, če za vsak ǫ > 0 obstaja naravno število n 0 > 0, tako da za vsak n > n 0 velja max t [a,b] f(t) f n(t) < ǫ DEFINICIJA 3. Subdivizijska shema S je enakomerno konvergentna, če za poljubno začetno zaporedje točk P 0 = { } p 0 i i obstaja zvezna funkcija P, tako da za vsak t velja lim P m(t) = P (t) m in to zaporedje P m konvergira k P enakomerno.
9 Naj bo P m = { } p m i i poljuben poligon. Poligon diferenc k P m je poligon, čigar točke so k ( ) k k p m i = ( ) k j p m i+j j. j=0 LEMA 4. Naj bo { P m zaporedje poligonov. Shema, s }m katero so generirani, je interpolacijska subdivizijska shema natanko takrat, ko za vse m, k N velja pogoj k ( ) k k p m i = k p m+ i+j j za vse indekse i. j=0
10 IZREK 5. Naj bo { P m zaporedje poligonov, generirano s }m poljubno interpolacijsko subdivizijsko shemo. Če je km k+l P m < m=0 enakomerno konver- za nek l N, potem zaporedje { P m }m gira k C k - krivulji P.
11 PRIMERI: () Odsekoma linearna subdivizija: p m+ i+ = ( ) p m i + p m i+ Ta shema reproducira začetni poligon. V splošnem hočemo določiti nove točke tako, da nov poligon izgleda bolj gladko od starega. () Konstruiramo kubični interpolacijski polinom na točkah p m i, p m i, p m i+, p m i+, kjer točki p m j ustreza parameter j. Nova točka p m+ i+ je vrednost tega polinoma pri parametru i +. Dobimo pravilo p m+ i+ = 6 ( ) p m i + 9pm i + 9p m i+ pm i+.
12 Koeficienti ( ), 9, 9, 6 so znani kot maska 4 - točkovne interpolacijske subdivizijske sheme. Krajiščne točke moramo obravnavati drugače (ekstrapolacijske metode). Levo krajišče: K zaporedju dodamo dve točki p 0, p0, ki ju izračunamo iz kubičnega polinoma, ki interpolira točke p 0 0, p 0, p 0, p 0 3. Na (m + ) - vem koraku izračunamo p m+ po zgornji formuli, = p m, točko pm pa preprosto odstranimo iz zaporedja. p m+
13 (3) V splošnem skonstruiramo polinom stopnje k + na k + točkah p m i k,..., p m i+k+. Nova točka p m+ i+ je vrednost tega polinoma pri parametru i +. Limitne krivulje so Ck. Te sheme so: stacionarne - isto pravilo je uporabljeno na vseh nivojih lokalne - definirane so z masko a = {a j, j Z} s kompaktnim nosilcem. Pravilo je tedaj p m+ i+ = j Z a j+ p m i j enakomerne - koeficienti maske so neodvisni od indeksa i
14 3. Neenakomerna subdivizija Krivulje, ki jih dobimo z enakomernimi stacionarnimi shemami, so res gladke razreda C k, vseeno pa njihovi grafi ne izgledajo nujno dovolj dobro. Če dopuščamo neenakomerno parametrizacijo, dobimo dodatno svobodo, ki jo bomo uporabili, da bomo izboljšali obliko krivulj. Uteži neenakomerne 4 - točkovne sheme dobimo takole: t m+ i+ = ( ) t m i + t m i+ p m+ i+ = pm i L i,3(t m+ i+ ) + pm i L i,3(t m+ i+ )+ p m i+l i+,3 (t m+ i+ ) + pm i+l i+,3 (t m+ i+ ),
15 kjer so L i+l,3 (t) = i+ j=i j i+l Lagrangevi bazni polinomi. t t m j t m i+l tm j, l =, 0,, Izbrati moramo še začetno parametrizacijo. Pogosto uporabljena je centripetalna parametrizacija: t 0 i+ t0 i := p 0 i+ p0 i
16 4 - točkovna interpolacijska shema: Slika 3: Enakomerna parametrizacija Slika 4: Centripetalna parametrizacija
17 4. Variacijske subdivizijske sheme V veliko aplikacijah diferenciabilnost krivulj do določenih redov ni zadosten pogoj, da bi dobili zadovoljivo obliko krivulj. Včasih hočemo, da krivulje zadoščajo še kakšnim dodatnim pogojem, npr. da minimizirajo kakšno fizikalno količino ( strain energy ). Iščemo sheme, ki iz poligona P m konstruirajo nov poligon P m+. Definirali bomo funkcional E(P m+ ), ki bo meril skupno količino dispozicijske (napetostne, deformacijske) energije poligona P m+. Točke p m+ i+ bomo nato izbrali tako, da bo ta funkcional postal minimalen.
18 Za začetek se bomo omejili na sklenjene poligone. Dan je poligon P m = ( p m 0,..., p m n ). Iščemo poligon na novem koraku P m+ = ( p m+ 0,..., p m+ n ). Energija v posamezni točki poligona P m+ bo podana kot K(p m+ i ) := k j=0 α j p m+ i+j r, kjer so koeficienti α j poljubni, indekse točk p m+ i pa gledamo po modulu n. Vsaka taka diskretna mera K je povezana s karakterističnim polinomom α(z) = k α j z j. j=0
19 Naš cilj bo minimizirati te dispozicijske energije skozi celotni poligon. Definiramo funkcional E(P m+ ) := n i=0 K(p m+ i ) To bo naš energijski funkcional, za katerega hočemo, da bo minimalen. Točke s sodimi indeksi so že določene: p m+ i = p m i. Neznanke: točke z lihimi indeksi p m+ i+.
20 Enačbe: p m+ l+ E(P m+ ) = = = k i=0 p m+ K(p m+ l++r i ) l+ k i=0 k s= k α i k j=0 β s p m+ l++s α j p m+ l+ i+j kjer so β s = β s = k s α j α j+s, s = 0,..., k. Enačbe k i= k j=0 β i p m+ l++i imenujemo Euler - Lagrangeve enačbe. = 0, l = 0,,..., n = 0, l = 0,,..., n ()
21 Energijski funkcional E(P m+ ) bo torej minimalen, če bodo nove točke p m+ i+ rešitev sistema (), ki ga v matrični obliki zapišemo kot: Circ[β 0, β,..., β k, 0,..., 0, β k, β k,..., β ](p m+, p m+ 3,..., p m+ n )T = Circ[β, β, β 3,..., β k, 0,..., 0, β k,..., β 3 ](p m 0, pm,..., pm n )T, če je k sod. Podobno, če je k lih. IZREK 6. Minimizacija funkcionala E(P m+ ) ima dobro definirano rešitev natanko takrat, ko karakteristični polinom α(z) lokalne mere K nima diametričnih ničel z = ±ω na enotskem krogu z Arg(ω) πn/(n), kjer je n moč množice P m.
22 ZAHTEVE: α(z) ne sme imeti nobenih diametričnih ničel na enotskem krogu. α() = k α j = 0 Velja: j=0 k i= k β i = = afina invarianca k i=0 k α i α j = j=0 k j=0 α j
23 5. Implicitne subdivizijske sheme Recimo, da predpišemo poljubne koeficiente β k,..., β k, tako da β i = β i ter i β i = 0 in definiramo shemo, kjer so nove točke določene tako, da so izpolnjene enačbe k i= k β i p m+ l++i Take sheme imenujemo implicitne. = 0, l = 0,,..., n Stacionarne sheme so poseben primer implicitnih shem.
24 IZREK 7. Naj bodo β k,..., β k poljubni realni koeficienti, za katere velja β i = β i. Potem vedno obstaja taka lokalna mera K, da so enačbe k β i p m+ l++i = 0, l = 0,,..., n i= k ravno Euler - Lagrangeve enačbe, ki ustrezajo minimizaciji energijskega funkcionala E(P m+ ) = n i=0 K(p m+ i ). DOKAZ: Definiramo Laurentov polinom β(z) := k i= k β i z i. Povezava s karakterističnim polinomom lokalne mere K: β(z) = α(z)α(z ). Dokazati moramo, da je taka faktorizacija vedno mogoča.
25 Zapišemo k β(z) = β k z k (z z i ) Upoštevamo simetričnost = za vsako ničlo z i obstaja ničla z j, tako da je z i z j =. = vsaka ničla ima svoj par Tedaj je β(z) = ( ) k β k k i= z i i= k (z z i ) i= k (z z i ), i= kjer je vsaka z i ena od ničel v paru. Definiramo α(z) = k (z z i ). i=
26 PRIMER: 4 - točkovna interpolacijska shema: p m+ i+ = 9 ( p m 6 i + pi+) m ( ) p m 6 i + p m i+. To shemo lahko zapišemo v implicitni obliki, kjer je k = 3 in Ničle polinoma β(z) so Dobimo: β 0 = 6, β ± = 9, β ± = 0, β ±3 =. z =... = z 4 =, z 5,6 = ± 3. α(z) = (z ) (z + + 3) = = ( + 3) (3 + )z + 3z + z 3, K(p i ) = ( + 3)p i (3 + )p i+ + 3p m i+ + p m i+3
27 6. Minimizacija diferenc Definiramo kvadratični funkcional Minimizacija: p m+ l+ E k (P m+ ) := E k (P m+ ) = = k i=0 n i=0 k p m+. p m+ l+ i k p m+ k ( k ( ) k i i i=0 l+ i ) k p m+ l+ i = ( ) k k p m+ l+ k = 0
28 Euler - Lagrangeve enačbe: k p m+ l+ k = 0, l = 0,..., n Karakteristični polinom lokalne mere K: k ( ) k α(z) = ( ) k j z j = (z ) k j j=0 IZREK 8. Subdivizijska shema, ki temelji na minimizaciji funkcionala n E k (P m+ ) = k p m+ producira vsaj C k - krivulje. i=0 i Domneva je, da je limitna krivulja razreda C k.
29 Analiza konvergence variacijskih shem v primeru odprtih poligonov je dosti težja. V tem primeru velja: IZREK 9. Interpolacijska subdivizija na odprtih poligonih, ki temelji na minimizaciji k - tih diferenc producira vsaj C k krivulje. Domneva je, da sta gladkosti v primeru odprtih in zaprtih poligonov isti. V posebnem primeru je dokazano: IZREK 0. Interpolacijska subdivizija na odprtih poligonih, ki temelji na minimizaciji drugih diferenc producira vsaj C krivulje.
30 PRIMERI VARIACIJSKIH SUBDIVIZIJSKIH SHEM: Naj bo P m = ( p m 0, pm,..., ) pm n dan odprt poligon. () Minimizacija drugih diferenc: K (p m+ i ) := p m+ i = p m+ E (P m+ ) := n p m+ i=0 Euler - Lagrangeve enačbe: 4 p m+ l i i+ pm+ i+ + pm+ i = 0, l =,,..., n p m+ 0 p m+ = 0 p m+ n p m+ n 3 = 0
31 Sistem enačb na m + - vem koraku: p m+ p m+ 3. p m+ n = p m 0 p m. p m n Te sheme generirajo krivulje, ki minimizirajo spremembe v hitrosti. Limitna krivulja je C glede na enakomerno parametrizacijo.
32 Te sheme se da posplošiti na neenakomerne. Naj bo P 0 = ( p 0 0, p 0,..., p 0 n) začetni poligon, kjer zahtevamo, da točka p 0 i ustreza parametru t i. Kako bi ocenili preskoke v hitrosti pri različnih vrednostih parametrov? Konstruiramo interpolacijski polinom na točkah p 0 i, p0 i, p0 i+ : Drugi odvod p(t j ) = p 0 j, j = i, i, i + p (t) = [t i, t i, t i+ ]P 0 je konstanta, ki jo vzamemo za numerično oceno spremembe v hitrosti pri parametru t i.
33 Velja: [t i, t i, t i+ ]P 0 = p 0 i t i ( t i + t i ) + p 0 i t i t i + p 0 i+ t i ( t i + t i ) Funkcional, ki ga bomo minimizirali, je E (P m+ ) = n i=0 [t m+ i, t m+ i+, tm+ kjer je t m+ i+ = (tm i + t m i+ ), tm+ i = t m i. i+ ]P m+,
34 () Minimizacija tretjih diferenc: K 3 (p m+ i ) := 3 p m+ i = p m+ E 3 (P m+ ) := n 3 3 p m+ i=0 Euler - Lagrangeve enačbe: i i+3 3pm+ i+ + 3pm+ i+ pm+ i 6 p m+ l = 0, l = 0,,..., n p m+ 0 3 p m+ = p m+ n 3 3 p m+ n 4 = 0
35 Sistem enačb na m + - vem koraku: p m+ p m+ 3. p m+ n p m = p m 0 p m n = Te sheme generirajo krivulje, ki minimizirajo spremembe v pospešku.
36 (3) Uteženo povprečje: K spl (p m+ i ) := ( + 3)K (p m+ i ) + ( + 3)K 3 (p m+ E(P m+ ) := ( + 3) (4) Uteženo povprečje: n i=0 n 3 ( + 3) i=0 K (p m+ i )+ K 3 (p m+ i ) i ) K 4pt (p m+ i ) := (3 + 3)K (p m+ i ) + K 3 (p m+ E(P m+ ) := (3 + 3) n i=0 K (p m+ i ) + i ) n 3 i=0 K 3 (p m+ i )
37 Slika 5: Začetni poligon Slika 6: Minimiziramo druge diference
38 Slika 7: Minimiziramo tretje diference
39 Slika 8: Primerjava (črtkana črta... druge diference, polna črta... tretje diference)
40 Slika 9: Začetni poligon Slika 0: Minimiziramo druge diference
41 Slika : Minimiziramo tretje diference
42 Slika : Primerjava (črtkana črta... druge diference, polna črta... tretje diference)
43 DODATEK: IZREK: Interpolacijska subdivizija na odprtih poligonih, ki temelji na minimizaciji drugih diferenc producira vsaj C krivulje. DOKAZ: Naj bo P m = ( p m 0,..., pm n ) odprt poligon. Minimiziramo funkcional E (P m+ ) = n i=0 p m+. Euler - Lagrangeve enačbe, ki ustrezajo notranjim točkam p m+ l+, l =,..., n, so: 4 p m+ l = 0, l =,,..., n. i Iz parcialnih odvodov po prvi p m+ in zadnji p m+ n prosti točki
44 pa dobimo pogoja: Sistem enačb: p m+ 0 = p m+ p m+ n = p m+ n p m+ p m+ 3. p m+ n 4 = p m+ 0 p m+. p m+ n Pri analizi gladkosti bomo uporabili izrek (5), in sicer bomo dokazali ( (3 ) ) m m 4 P m = O. 4
45 Z upoštevanjem leme (4) in Euler - Lagrangevih enačb dobimo 4 p m i = 4 p m+ i p m+ i+ + 4 p m+ i+4, i = 0,,..., n 4. Iz prve in zadnje enačbe pa dobimo še 6 4 p m p m+ = p m p m p m+ n p m+ n 6 = p m n 3 p m n Za m sta desni strani zadnjih dveh enačb enaki nič in neničelne komponente poligona 4 P m+ so rešitev sistema 6 4 p m p m+ 4 p m =. 6 4 p m+ n 6 4 p m 6 4 p m+ n 4 n 4 0
46 Naj bo A = ( ) n α i,j Potem velja i,j=0 inverz matrike na levi strani sistema. Dokaže se še 4 p m+ i = Od tod dobimo in n/ j=0 α i,j+ 4 p m j, i = 0,,..., n. n/ j=0 αi,j P m+ 3 4 P m 6 m 4 P m = O ( (3 ) ) m. 4
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραBézierove krivulje. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani. MARS 2009, Koper, / 54
1 / 54 Bézierove krivulje Emil Žagar Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani MARS 2009, Koper, 18.8.2009 Slika: Prepoznate lik na sliki? 2 / 54 Slika: Kaj pa ta dva? 3 / 54 Slika: In te?
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραTeorija grafov in topologija poliedrov
Teorija grafov in topologija poliedrov Matjaž Željko Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Seminar Razvedrilna matematika Ljubljana, 18. februar 2011 1 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότερα8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραDel 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk
Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότερα