ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ: Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R
|
|
- Ἀναίτις Κορωναίος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ: Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Τα προβλήματα ακεραίου γραμμικού προγραμματισμού αποτελούν μια ειδική κατηγορία προβλημάτων. Ωστόσο, η ιδιαίτερη φύση που έχουν καθώς αναφέρονται σε μεταβλητές που λαμβάνουν ακέραιες τιμές τα καθιστούν βαρύνουσας σημασίας σε πολλά οικονομικά προβλήματα. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος διακλάδωσης και φράγματος και δίνονται απλά παραδείγματα τα οποία επιλύονται και με το λογισμικό R. 8. Εισαγωγή Μία από τις βασικότερες υποθέσεις που διέπει τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού είναι αυτή της διαιρετότητας. Σύμφωνα με αυτήν, όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλοι οι διαθέσιμοι πόροι σε ένα ΠΓΠ μπορούν να λάβουν ρητές τιμές (κλασματικές ή ακέραιες). Ωστόσο, αρκετά από τα προβλήματα που αναφέρονται σαν προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού περιέχουν μεταβλητές οι οποίες υποχρεούνται να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές (π.χ. προβλήματα χωροθέτησης, αποφάσεις χρηματοδότησης ενός επενδυτικού έργου, καταμερισμός εργασίας σε μια επιχείρηση, το πρόβλημα της εφάπαξ χρέωσης, το πρόβλημα σχεδιασμού παραγωγής πολλών προϊόντων, το πρόβλημα της κατάρτισης ενός προγράμματος εργασίας με το ελάχιστο κόστος κ.α.) λαμβάνοντας ευρείας εφαρμογής και ιδιαίτερης προσοχής καθώς απεικονίζουν φυσικές συνθήκες και καταστάσεις. Στην περίπτωση όπου ορισμένες από τις μεταβλητές απαιτείται να είναι ακέραιες και κάποιες όχι, τότε μιλάμε για προβλήματα μικτού ακέραιου προγραμματισμού. Τέτοιου είδους προβλήματα όμως στο πλαίσιο του παρόντος συγγράμματος δεν θα μας απασχολήσουν, καθώς απαιτούν περαιτέρω θεωρητικές προσεγγίσεις οι οποίες ξεφεύγουν από τους διδακτικούς σκοπούς του συγγράματος μας. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να ορίσουμε ότι κάθε μοντέλο βελτιστοποίησης στο οποίο οι μεταβλητές απόφασης λαμβάνουν μη-κλασματικές ή διακεκριμένες τιμές κατατάσσεται ως Πρόβλημα Ακέραιου Προγραμματισμού ΠΑΠ- (αγγλ. Integer Lnear Programmng problem, ILP). Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί δύναται να εκφράζονται γραμμικά ή μη-γραμμικά. Μιλώντας αυστηρά, ο ακέραιος προγραμματισμός είναι μη-γραμμικός ωστόσο εάν χαλαρώσουμε τους ακέραιους περιορισμούς των μεταβλητών εμπίπτει σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού (Gomory, 98). Πριν ξεκινήσουμε με την περιγραφή του προβλήματος ακεραίου προγραμματισμού, θα πρέπει να σημειώσουμε ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος τύπου Smple 9 ο οποίος μπορεί να επιλύσει το συγκεκριμένο πρόβλημα σε μικρό αριθμό επαναλήψεων, όπως στην περίπτωση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού ενώ εάν το ΠΓΠ είναι φραγμένο, η δυνατή περιοχή λύσεων του ΠΑΠ αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Προκειμένου να αποκτήσουμε μια πλήρη και σαφή εικόνα για τα προβλήματα ακεραίου προγραμματισμού, θα θεωρήσουμε το παρακάτω πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού γνωρίζοντας ότι ακολουθούν την δομή των κλασσικών προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, δοθέντος ότι υπάρχουν μερικές μεταβλητές τύπου «-» ως εξής (Taha,97): ή πιο αυστηρά με την μορφή: ma c A + A = b,, ακέραιοι, c M n, M m, A, A M m n, b b 9 Σε γραμμικά μοντέλα ακεραίου προγραμματισμού, η συνθήκη ακεραίου αλλοιώνει τη βασική ιδιότητα του χώρου που είναι η κυρτότητα, και συνεπώς δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθμος Smple ο οποίος αναζητά δυνατές λύσεις στις κορυφές ενός πολυγώνου
2 ' ma c A = c, ακέραιοι, c M, b M, A M, b n m m n Αρκετοί αλγόριθμοι έχουν αναπτυχθεί για προβλήματα ακεραίου προγραμματισμού (αλγόριθμοι cuttng planes-gomory 98; προσεγγιστικές μέθοδοι-taha,97; αλγόριθμοι αναζήτησης και τομών -searchng and roundng methods-). Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται παρουσιάζουν έντονη δυσκολία από υπολογιστική άποψη, ειδικότερα όταν ο αριθμός των μεταβλητών αυξάνεται, σ αντίθεση με τον γραμμικό προγραμματισμό όπου προβλήματα με χιλιάδες μεταβλητές και χιλιάδες περιορισμούς μπορούν να λυθούν σε εύλογο χρονικό διάστημα. Η υπολογιστική αυτή δυσκολία που παρατηρείται στους αλγορίθμους επίλυσης προβλημάτων ακεραίου προγραμματισμού έχει οδηγήσει τους χρήστες να βρουν άλλες μεθόδους επίλυσης τέτοιων προβλημάτων. Μια τέτοια προσέγγιση είναι να λυθεί το πρόβλημα σαν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και στη συνέχεια να στρογγυλοποιηθεί η βέλτιστη λύση στις κοντινότερες ακέραιες τιμές (Branch and Bound algorthm, B&B). 8. Ο αλγόριθμος Διακλάδωσης και Φράγματος (Branch and Bound algorthm, B&B) Ο αλγόριθμος διακλάδωσης και φράγματος εφαρμόζεται στην περίπτωση κατά την οποία οι μεταβλητές απόφασης είναι φραγμένες, παίρνουν δηλαδή ένα περιορισμένο αριθμό ακέραιων τιμών (Land and Dog, 96; Balas, 96). Ας υποθέσουμε ότι επιδιώκουμε να επιλύσουμε το παρακάτω ΠΑΠ το οποίο βρίσκεται σε τυπική μορφή (Papadmtrou and Stegltz, 98): mnz = c' Α b, ακέραιοι j Το πρώτο βήμα ή στάδιο επίλυσης του προβλήματος ακεραίου προγραμματισμού προϋποθέτει την επίλυσή του ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με την γνωστή μέθοδο Smple χωρίς τους περιορισμούς o ακεραιότητας των συγκεκριμένων μεταβλητών απόφασης (Σίσκος, ). Λαμβάνουμε λοιπόν την λύση η οποία γενικά δεν είναι ακέραια (αν είναι ακέραια είναι και η βέλτιστη λύση οπότε ο αλγόριθμος τερματίζει). Συνεπώς, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι εάν η συγκεκριμένη λύση ικανοποιεί τους περιορισμούς ακεραιότητας των μεταβλητών, τότε η λύση αυτή είναι και λύση του προβλήματος ακεραίου προγραμματισμού. Σε o αντίθετη περίπτωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ποσότητα c αποτελεί ένα κάτω όριο της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος ακεραίου προγραμματισμού (στάδιο δεύτερο) και καθορίζεται μια πρώτη λύση έστω με βάση το μη-ακέραιο στοιχείο o o του διανύσματος (στάδιο ). Το αρχικό πρόβλημα διασπάται σε δύο υπό-προβλήματα () και () με εισαγωγή δύο συμπληρωματικών περιορισμών: mnz = c' Α b () o +, ακέραιοι j Η λύση του μηδενικού προβλήματος ανήκει στο χώρο ενός εκ των δύο προβλημάτων προγραμματισμού o o (), (),καθώς μόνο ένας εκ των περιορισμών +, είναι αληθής (στάδιο ) o το - 6 -
3 ακέραιο μέρος. Άρα. για κάθε υποσύνολο λύσεων που προκύπτει, ορίζουμε ως άνω φράγμα την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης της βέλτιστης μη-ακεραίας λύσης. Συνεπώς, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης της καλύτερης μέχρι στιγμής ακέραιης λύσης ορίζεται ως κάτω φράγμα. Με διαδοχικές διαμερίσεις κάθε προβλήματος δημιουργείται ένα δέντρο έμμεσης απαρίθμησης του χώρου των λύσεων. Τα υποσύνολα λύσεων όπου τα άνω φράγματα είναι κατώτερα από το ισχύον κάτω φράγμα δεν εξετάζονται για περαιτέρω διακλάδωση. Κάθε κόμβος στο δενδροδιάγραμμα που δημιουργείται, αντιπροσωπεύει ένα υπό-πρόβλημα, στο οποίο αντιστοιχεί μια χαλαρή λύση (relaed soluton) και ένα κατώτατο όριο της αντικειμενικής συνάρτησης. Εάν υπάρχει πραγματοποιήσιμη ακέραια λύση με τιμή της αντικειμενικής ίσης ή μεγαλύτερης του άνω φράγματος κάθε υποσυνόλου (ή κόμβου στο δένδρο-διάγραμμα), τότε η συγκεκριμένη λύση είναι και η βέλτιστη. Στην αντίθετη περίπτωση, η επιλογή των υποσυνόλων με το καλύτερο άνω φράγμα είναι αναγκαία και προκύπτουν έτσι νέες διακλαδώσεις στο δένδρο-διάγραμμα (Κολέτσος και Στογιάννης, ). Για την πλήρη κατανόηση του συγκεκριμένου αλγορίθμου ακολουθούν δύο παραδείγματα. 8. Παραδείγματα κατανόησης του αλγόριθμου Διακλάδωσης και Φράγματος (Branch and Bound algorthm, B&B) Στην συγκεκριμένη ενότητα, επιχειρείται η παρουσίαση της βασικής ιδέας του αλγορίθμου B&B, μέσω δύο παραδειγμάτων. 8.. Παράδειγμα Θεωρήστε το παρακάτω πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού : I ma Z = ,,, , ακέραιοι Έστω το παρακάτω πρόβλημα: ma Z = ,,, , = /6 T και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης η οποία ισούται με Z = 6.. Η συγκεκριμένη τιμή (6.), αποτελεί άνω φράγμα για την Η βέλτιστη λύση του οποίου δίνεται από το διάνυσμα Θα συμβολίζουμε ως LP και ΙLP τα προβλήματα γραμμικού και ακεραίου γραμμικού προγραμματισμού αντίστοιχα
4 τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης οποιουδήποτε προβλήματος ακολουθήσει (αποτελεί δηλαδή μία αισιόδοξη εκτίμηση της λύσης του ακέραιου προβλήματος). Επειδή όμως υπάρχουν μεταβλητές που δεν λαμβάνουν ακέραιες τιμές στην βέλτιστη λύση του LP προβλήματος, δεν έχουμε ταυτόχρονα λύση και στο αντίστοιχο ILP πρόβλημα. Σε αυτό το σημείο, επιλέγουμε μια από τις ακέραιες μεταβλητές της οποίας η βέλτιστη λύση στο αντίστοιχο LP δεν είναι λαμβάνει ακέραιες τιμές. Παρατηρούμε ωστόσο ότι η μεταβλητή = 6 δεν λαμβάνει ακέραια τιμή στην βέλτιστη λύση του LP και δεν μπορεί να αποτελεί συγχρόνως λύση και του ILP προβλήματος. Επιλέγουμε λοιπόν ως μεταβλητή διακλάδωσης την = 6 με διάστημα τιμών του χώρου των λύσεων το και περιέχει δύο ακέραιες τιμές το και το. Το συγκεκριμένο διάστημα τιμών δεν περιέχει καμία ακέραια τιμή της μεταβλητής και μπορεί να αποκλειστεί. Άρα, το αρχικό μας πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως ισοδύναμο με δύο άλλα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, τα LP και LP, στα οποία προστίθενται οι περιορισμοί και. Για =, το πρόβλημά LP έχει την παρακάτω μορφή: ma Z = +, + +, ακέραιοι Η λύση του παραπάνω προβλήματος είναι στιγμής. Για =, το πρόβλημά Z LP, έχει την παρακάτω μορφή: = και = 9 και αποτελεί την βέλτιστη λύση μέχρι ma Z = ,, , με βέλτιστη λύση και τιμή αντικειμενικής συνάρτησης αυτή την φορά Z =.8.8 και = 6. α αντίστοιχα. Ακολουθώντας την ίδια συλλογιστική, επιλέγουμε για μεταβλητή διακλάδωσης την =.8. Συνεπώς, για = (και στην περίπτωση όπου =), το πρόβλημα μας, LP,δίνεται παρακάτω: ma Z =
5 =.8 T και τιμή αντικειμενικής συνάρτησης αντίστοιχα. Συνεχίζοντας, έχουμε = = και το πρόβλημα LP εκφράζεται ως εξής: με βέλτιστη λύση το διάνυσμα Z =.8 ma Z = + 6 +, με λύση το διάνυσμα + + =. T και τιμή αντικειμενικής συνάρτησης Z = 6. Έπειτα, επανερχόμαστε στο πρόβλημα LP και επιλέγουμε ως μεταβλητή διακλάδωσης την =.8, η οποία φράσσεται ανάμεσα στο και στο. Ακολουθώντας την ίδια λογική και για την τιμή =, η βέλτιστη λύση δίνεται ως Z = και = 9, ενώ για τιμή = δεν έχουμε εφικτή λύση. Με παρόμοιο τρόπο διαχειριζόμαστε την περίπτωση με την τιμή =, όπου επιλέγουμε την μεταβλητή =. και την χρησιμοποιούμε ως μεταβλητή διακλάδωσης. Εάν =τότε έχουμε ότι T ότι 6 = και Z6 = και αποτελεί την βέλτιστη εφικτή λύση ενώ, εάν, = παίρνουμε 7 = T η οποία δεν είναι εφικτή. Επίσης, αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στην περίπτωση κατά την οποία =, δεν έχουμε εφικτή λύση ενώ για =, λαμβάνουμε την προηγούμενη λύση, ήτοι Z =. και = 6. Μια διαγραμματική απεικόνιση του παραπάνω προβλήματος παρουσιάζεται παρακάτω (Σχήμα 8.):
6 m a Z = ,,, , α κ έρ α ιο ι T = / 6, Z = 6. = = maz = +, LP, T + +, ακέραιοι =, Z = 9 maz = , LP,, , = [.8.8 ], Z = 6. = = maz = ,LP , =.8.8, Z = 6. maz = 9 + 6, LP =.8, Z =.8 = = = = Z =, = 9 Μη-εφικτή λύση Μη-εφικτή λύση Z =., = 6 = = 6 Z6 =, = = 7 Μη-εφικτή λύση T Σχήμα 8. Δένδρο του B&B αλγόριθμου για την λύση του παραδείγματος
7 8.. Παράδειγμα Ο ιδιοκτήτης μιας μικρής επιχείρησης παραγωγής άρτου σχεδιάζει να μεγαλώσει την παραγωγή του με την αγορά δύο καινούργιων και διαφορετικού τύπου μηχανών. Ο ιδιοκτήτης έχει υπολογίσει ότι με την αγορά μιας ποσότητας από την μηχανή Α τα κέρδη του θα αυξηθούν κατά την ημέρα ενώ με την αγορά μιας ποσότητας από την μηχανή Β θα αυξηθούν κατά. Ο αριθμός των μηχανών Α και Β που ο ιδιοκτήτης μπορεί να αγοράσει εξαρτάται από το κόστος της κάθε μηχανής καθώς και από τα τετραγωνικά μέτρα του αρτοποιείου. Στοιχεία για το κόστος καθώς και τα τετραγωνικά μέτρα δίνονται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 8.): Τύπος Μηχανής Απαιτούμενος χώρος (m) Τιμή αγοράς Μηχανή Α 8 Μηχανή Β Πίνακας 8. Δεδομένα παραδείγματος. Ο ιδιοκτήτης έχει προϋπολογίσει ένα ποσό για την αγορά των διαφορετικών ποσοτήτων από τα μηχανήματα τύπου Α και Β ενώ ο διαθέσιμος χώρος που έχει είναι m και επιθυμεί να γνωρίσει τις ακριβείς ποσότητες από τα μηχανήματα Α και Β οι οποίες ημερησίως μεγιστοποιούν τα κέρδη του. Απάντηση: Το συγκεκριμένο πρόβλημα εμπίπτει στα πλαίσια των προγραμμάτων ακεραίου προγραμματισμού καθώς ο ιδιοκτήτης δεν μπορεί να αγοράσει ποσοστό ή μέρος από τα μηχανήματα Α και Β παρά μόνο συγκεκριμένες ποσότητες. Θα μπορούσε συνεπώς να διατυπωθεί ως εξής: I ma Z = +, 8 + +, ακέραιοι Η λύση του παραπάνω προβλήματος, υπό την προϋπόθεση ότι αυτό θα επιλυθεί ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, είναι η εξής = [..6] T ενώ η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι Z =.6 και αποτελεί το άνω φράγμα. Θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε και το κάτω φράγμα για το συγκεκριμένο πρόβλημα το οποίο μας δίνει λύση = [ ], Z = 9. Το επόμενο βήμα είναι η δημιουργία των κατάλληλων υπό-προβλημάτων χαλαρώνοντας την συνθήκη για τις μεταβλητές,. Επιχειρώντας να το κάνουμε αυτό με την μεταβλητή, θα πρέπει να εξετάσουμε τις περιπτώσεις όπου, 6. Ξεκινώντας με την πρώτη περίπτωση για την μεταβλητή, έχουμε ότι το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που διαμορφώνεται είναι το κάτωθι: ma = +, Z με λύση =. και =.. Τώρα, στην περίπτωση που επιχειρήσουμε να μιλήσουμε για την δεύτερη περίπτωση για την μεταβλητή, διαμορφώνουμε το παρακάτω πρόβλημα: - 7 -
8 με λύση = ma = +, T και τιμή αντικειμενικής συνάρτησης Z =.. Καθώς δεν έχουμε μέχρι στιγμής κάποια βέλτιστη ακεραία λύση, θα πρέπει να συνεχίσουμε την διαδικασία των περαιτέρω διακλαδώσεων όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Θα πρέπει ωστόσο να σημειώσουμε ότι και για τα δύο υπο-προβλήματα LP και LP, το κάτω φράγμα παραμένει το ίδιο = [ ] και Z = 9.Τώρα, η μεταβλητή είναι ακέραια και συνεπώς το ενδιαφέρον μας θα μετατοπιστεί στην μεταβλητή για την οποία θα αναπτυχθούν και οι καινούργιοι περιορισμοί,.ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, οι λύσεις των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού που περιλαμβάνουν ξεχωριστά τους περιορισμούς για τη μεταβλητή για την περίπτωση της διακλάδωσης όπου =6 έχουν ως εξής: Z με λύση ma Z = +, = 6.7 και = ενώ, ma Z = +, το οποίο παράγει μη-εφικτή λύση. Τέλος, η διαδικασία επαναλαμβάνεται καθώς δεν έχει επιτευχθεί ακόμα λύση για την περίπτωση της διακλάδωσης όπου = σε σχέση με τις τιμές της 6, 7 μεταβλητής. Τα προβλήματα με τις αντίστοιχες λύσεις, δίνονται παρακάτω: - 7 -
9 Z με λύση ma Z = +, = 6 και =,, ενώ το παρακάτω πρόβλημα, έχει μη-εφικτή λύση: 6 ma Z = Η διαγραμματική απεικόνιση του παραπάνω προβλήματος παρουσιάζεται παρακάτω (Σχήμα 8.): - 7 -
10 ma Z = +, ILP, T 8 + +,ακέραιοι =..6, Z =.6 = =6 maz = +, LP, Z =., = maz = +, LP, Z =. 6, =. = = maz = +, LP, Μη-εφικτή λύση maz = +, LP, Z = 6.7, = =6 =7 maz = +, LP, maz = +, LP, Z = 6, = Μ η-εφ ικτή λύσ η Σχήμα 8. Δένδρο του B&B αλγόριθμου για την λύση του παραδείγματος. Με βάση τα παραπάνω, η βέλτιστη λύση για το συγκεκριμένο πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού επι
11 = 6 T με τιμή αντικειμενικής συνάρτησης Z =. Συνεπώς, ο ιδιοκτήτης θα πρέπει να αγοράσει ένα τεμάχιο από την μηχανή Α και 6 τεμάχια από την μηχανή Β. τυγχάνεται για την διακλάδωση που είναι η 8. Λύνοντας προβλήματα Ακεραίου Προγραμματισμού χρησιμοποιώντας το R Η ενότητα αυτή, σκοπό έχει να εισάγει τον αναγνώστη στην επίλυση βασικών προβλημάτων ακεραίου προγραμματισμού χρησιμοποιώντας το λογισμικό R και προορίζεται να αποτελέσει μια εισαγωγή στο θέμα αυτό προκειμένου να λειτουργήσει συμπληρωματικά με τα προηγούμενα κεφάλαια του παρόντος συγγράμματος, ώστε ο αναγνώστης να αποκτήσει μια σφαιρική εικόνα των μεθοδολογιών του γραμμικού προγραμματισμού. Ας υποθέσουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ma Z = + +,, , είναι μη-αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί είναι μη-αρνητικός πραγματικός αριθμός Η διαφορά του συγκεκριμένου προβλήματος από αυτά που έχουμε επιλύσει μέχρι στιγμής, είναι ότι οι περιορισμοί μη-αρνητικότητας εμφανίζονται αλλαγμένοι. Πιο συγκεκριμένα, κάποιες από τις μεταβλητές απόφασης του προβλήματος παίρνουν μόνο ακέραιες τιμές (σε κάποια προβλήματα οι τιμές που παίρνουν κάποιες μεταβλητές ενδεχομένως να έχουν την μορφή και, να είναι δηλαδή δυαδικές μεταβλητές) όπως οι μεταβλητές και παραπάνω. Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση της διαιρετότητας παύει να ισχύει για τις μεταβλητές αυτές και έτσι οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού. Προκειμένου να προχωρήσουμε στην επίλυση του μέσω του R, θα πρέπει να εγκαταστήσουμε διαφορετικά πακέτα από αυτά που έχουμε χρησιμοποιήσει μέχρι στιγμής και να καλέσουμε διαφορετικές βιβλιοθήκες. Ανάλογα με την έκδοση του R που έχει εγκατασταθεί στον υπολογιστή σας, μπορείτε να εγκαταστήσετε το πακέτο Rglpk ή/και το πακέτο slam. Παρακάτω φαίνονται οι εντολές για την πρώτη εγκατάσταση των πακέτων αλλά και η βιβλιοθήκη που θα πρέπει να καλέσετε στην συνέχεια ώστε να χρησιμοποιήσετε την συνάρτηση του R που θα λύσει το πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού: nstall.packages( Rglpk ) ; nstall.packages( slam ) ; lbrary(rglpk) Εκτελώντας τις παραπάνω εντολές, το αποτέλεσμα στην κονσόλα του R, θα είναι το ακόλουθο (Εικόνα 8.): Παραλήφθηκαν κάποια τμήματα του αποτελέσματος που παρουσιάζεται στην κονσόλα του R μόλις εκτελεστούν οι παραπάνω εντολές εγκατάστασης των πακέτων
12 Εικόνα 8. Εγκαθιστώντας τα πακέτα για την λύση προβλημάτων ακεραίου (και μικτού) προγραμματισμού. Το επόμενο βήμα είναι να εισάγουμε το πρόβλημα στο R. Σε γενικές γραμμές, ο τρόπος εισαγωγής είναι περίπου ίδιος με αυτόν που έχει παρουσιαστεί σε προηγούμενες ενότητες, παρόλα αυτά όμως υπάρχουν κάποιες διαφοροποιήσεις εφόσον θα χρησιμοποιήσουμε διαφορετική συνάρτηση. Οι εντολές φαίνονται παρακάτω: cvec = c(,,) ; A = matr(c(-,,,,,-,,-,),nrow=,ncol=,byrow=t) dr = c(«<=»,»<=»,»<=») ; bvec = c(,,) Μέχρι στιγμής, ο τρόπος δημιουργίας του διανύσματος με τους συντελεστές κέρδους, της μήτρας των τεχνολογικών συντελεστών, του διανύσματος με την κατεύθυνση των ανισοτήτων και του διανύσματος με τις διαθέσιμες ποσότητες δεν εμφανίζει διαφοροποιήσεις. Όμως, στο παραπάνω πρόβλημα φαίνεται ότι οι μεταβλητές και παίρνουν μόνο ακέραιες τιμές ενώ η μεταβλητή πραγματικές και ότι πρόκειται για ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης, πληροφόρηση την οποία δεν φαίνεται να έχουμε εισάγει στο R. Για να εισάγουμε στο R τα γνωρίσματα αυτά, θα χρησιμοποιήσουμε τις παρακάτω εντολές: types=c( I, C, I ) ; ma=true Το διάνυσμα types περιλαμβάνει τον τύπο των μεταβλητών απόφασης και πιο συγκεκριμένα δηλώνει στο R ότι οι μεταβλητές και παίρνουν μόνο ακέραιες τιμές ( Ι όπως Integer, δηλαδή ακέραιος) και ότι η μεταβλητή παίρνει συνεχείς τιμές ( C όπως Contnuous, δηλαδή συνεχής). Το όρισμα ma=true δηλώνει ότι πρόκειται για ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης ενώ στην περίπτωση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης, το όρισμα αυτό προφανώς δηλώνεται ως FALSE. Το επόμενο βήμα για να λύσουμε το πρόβλημα είναι να καλέσουμε την συνάρτηση Rglpk(.) αφού εισάγουμε τα ορίσματα (με την σειρά που φαίνονται παρακάτω): Rglpk_solve_LP(cvec, A, dr, bvec, types=types, ma=ma) Αφού εκτελέσουμε τις παραπάνω εντολές, το αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην κονσόλα του R είναι το ακόλουθο (Εικόνα 8.): - 7 -
13 Εικόνα 8. Αποτελέσματα από το λογισμικό R. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα (Εικόνα 8.) παραπάνω, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ($optmum) είναι 6.7, ενώ οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών απόφασης ($soluton) είναι =., =.7 και =. ενώ το R μας επιστρέφει και την κατάσταση του προβλήματος δηλαδή ότι η επίλυση ήταν επιτυχής κάτι που δηλώνεται από το στο τελευταίο τμήμα του παραπάνω πίνακα ($status=). Παρατηρήστε ότι οι μεταβλητές και έχουν πάρει ακέραιες τιμές ενώ η μεταβλητή έχει πάρει μια συνεχή τιμή όπως αρχικά είχαμε δηλώσει. Τέλος, αξίζει να αναφέρουμε ότι το εν λόγω πρόβλημα καλείται πρόβλημα μικτού προγραμματισμού καθώς κάποιες από τις μεταβλητές απόφασης παίρνουν ακέραιες και κάποιες συνεχείς τιμές. Ο μικτός προγραμματισμός στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος δεν θα μας απασχολήσει καθώς η παρουσίαση του ξεφεύγει κατά πολύ από τον εισαγωγικό χαρακτήρα του παρόντος συγγράμματος. 8. Σύνδεση με τον κατάλογο Ανοικτών Μαθημάτων Στα πλαίσια του έργου Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα και συγκεκριμένα όσον αφορά στο Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών, οι συγγραφείς έχουν αναπτύξει ψηφιακό υλικό με μορφή διαφανειών και βίντεο-διαλέξεων, για το μάθημα Επιχειρησιακή Έρευνα (Εφαρμογές με το Λογισμικό R) το οποίο αφορά τόσο στα θέματα που θα παρουσιαστούν στο παρόν σύγγραμμα όσο και στον τρόπο που προσεγγίζεται και διδάσκεται από τους συγγραφείς στο Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών. Το υλικό του μαθήματος είναι ελεύθερο στον ενδιαφερόμενο χρήστη μέσω της πλατφόρμας ασύγχρονης τηλεκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών για το Τμήμα Οικονομικών Επιστημών (ECON8) ενώ το υλικό που σχετίζεται με το παρόν κεφάλαιο μπορεί να βρεθεί εδώ. 8.6 Σύνοψη Ογδόου Κεφαλαίου και Διδακτικοί Σκοποί Το κεφάλαιο αυτό σκοπό είχε να εισάγει τον χρήστη στον τρόπο επίλυσης των προβλημάτων ακεραίου προγραμματισμού με την μέθοδο Branch & Bound και να υπογραμμίσει ότι τέτοιου είδους προβλήματα προκύπτουν όταν χαλαρώσουμε την υπόθεση της αδιαιρετότητας των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Τα δύο παραδείγματα που παρουσιάστηκαν, προσέφεραν μια οπτική αναπαράσταση της στρατηγικής της λύσης των ΠΑΠ. Η ενότητα συμπληρώθηκε με ένα παράδειγμα μικτού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας το λογισμικό R ώστε να παρουσιάσουμε και την περίπτωση όπου κάποιες μεταβλητές απόφασης παίρνουν ακέραιες και κάποιες πραγματικές τιμές. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, μετά το πέρας του κεφαλαίου αυτού, μεταξύ άλλων, ο αναγνώστης θα πρέπει να είναι σε θέση: να αντιλαμβάνεται τις διαφορές μεταξύ του ακέραιου και του γραμμικού προγραμματισμού. να κατηγοριοποιήσει τα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού. να παρουσιάσει την μεθοδολογική προσέγγιση στα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού. να χρησιμοποιεί το λογισμικό R ώστε να λύσει προβλήματα ακεραίου προγραμματισμού και να ερμηνεύσει το αποτέλεσμα
14 Βιβλιογραφία/Αναφορές Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία: Balas, E., (96). An addtve algorthm for solvng lnear programs wth zero-one varables. Operatons Research,, 7-9. Gomory R.E., 98. Outlne of an Algorthm for Integer Soluton to Lnear Programs. Bulletn Amer. Math. Soc., 6, No Land, A., and Dog, A., G., (96). An automatc method of solvng dscrete programmng problems. Econometrca, 8, 97-. Papadmtrou C., K. Stegltz, 98. Combnatoral Optmzaton: Algorthms and Complety. Prentce- Hall, Inc. ISBN --6- Taha H., 97. Integer Programmng: Theory, Applcatons and Computatons. Academc Press. ISBN Ελληνική Βιβλιογραφία: Κολέτσος, Ι. και Στογιάννης, Δ., (). Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα. Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα. Κουνιάς, Σ., και Φάκινος, Δ., (999). Γραμμικός Προγραμματισμός-Θεωρία και ασκήσεις. Εκδόσεις Ζήτη. Σίσκος, Γ., (998). Γραμμικός Προγραμματισμός. Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα. Τσάντας Ν.Δ. και Βασιλείου Γ. Π-Χ (). Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα: Αλγόριθμοι και Εφαρμογές. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Υψηλάντης, Γ. Π., (). Επιχειρησιακή έρευνα: Εφαρμογές στη σημερινή επιχείρηση. η έκδ., Eκδόσεις Προπομπός (Ειδικές Επιστημονικές Εκδόσεις), Αθήνα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει και να υπογραμμίσει τη σημασία της ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2013-2014 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τα προβλήματα τους Ακεραίου γραμμικού Προγραμματισμού (Integer Linear Programming) είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραmax 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ: Το Πρόβλημα της μεταφοράς και οι μέθοδοι επίλυσης του. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ: Το Πρόβλημα της μεταφοράς και οι μέθοδοι επίλυσης του. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το πρόβλημα της μεταφοράς αποτελεί μια ειδική κατηγορία προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού,
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται με πολύ αναλυτικό τρόπο η μεθοδολογία Γραφικής Επίλυσης ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότερα4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.
4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό
Διαβάστε περισσότεραΑναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20
Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Γραμμικές Συναρτήσεις Διάκρισης. ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Βλάμος Π. Αυλωνίτης Μ. ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ: Γραμμικές Συναρτήσεις Διάκρισης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Βλάμος Π. Αυλωνίτης Μ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραmax c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος
Διαβάστε περισσότεραΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΕΡΟΣ III ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 45 ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η γενική μορφή των προβλημάτων μικτού ακέραιου προγραμματισμού είναι: mn, (, ) h g (, ) (, ) R n = {,} q Το διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΞέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.
Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΜέθοδοιΜ& ΔύοΦάσεων
ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2014-2015 ΜέθοδοιΜ& ΔύοΦάσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ (1) Όπως είδαµε και στα προηγούµενα µαθήµατα η ποσότητα z = cj z j j εκφράζει τον ρυθµό µεταβολή της
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 711
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Κ Υ Κ Λ Ο Υ Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Κ Α Ι Υ Π Η Ρ Ε Σ Ι Ω Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 5: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem
Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Μάρτιος 2014 Δρ. Δημήτρης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα