Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο"

Transcript

1 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο

2 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η εταιρία προγραμματίζει τη διαφημιστική της εκστρατεία για την προώθηση των πωλήσεων των εξοχικών της η οποία θα ξεκινήσει τον Ιούνιο και θα διαρκέσει μέχρι το τέλος του Αυγούστου 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 2

3 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Η διαφήμιση θα γίνει στην τηλεόραση και ειδικότερα σε δύο διαφημιστικές ζώνες, την πρωινή και τη βραδινή Το κόστος μιας προβολής στην πρωινή ζώνη είναι , ενώ στη βραδινή ζώνη είναι Δημοσκοπήσεις έχουν δείξει ότι την πρωινή ζώνη στην περιοχή της Αττικής την παρακολουθούν κατά μέσο όρο γυναίκες και άνδρες 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 3

4 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Από την άλλη, τη βραδινή ζώνη την παρακολουθούν κατά μέσο όρο γυναίκες και άνδρες Η εταιρία αποσκοπεί να παρακολουθήσουν τη διαφήμιση κατά την περίοδο προγραμματισμού τουλάχιστον γυναίκες και άνδρες, επιδιώκοντας επαναλήψεις τηλεθέασης της διαφήμισης από τα ίδια άτομα Επίσης, πιστεύει ότι θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 20 προβολές στη βραδινή ζώνη 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 4

5 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Ερώτημα Πόσες προβολές πρέπει να γίνουν σε κάθε ζώνη, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος, αλλά να ικανοποιούνται συγχρόνως οι απαιτήσεις τηλεθέασης καθώς και ο ελάχιστος αριθμός προβολών στη βραδινή ζώνη; 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 5

6 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μεταβλητές απόφασης x 1 : αριθμός προβολών στην πρωινή ζώνη x 2 : αριθμός προβολών στη βραδινή ζώνη 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 6

7 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Αντικειμενική συνάρτηση Συνολικό κόστος προβολών = κόστος προβολών στην πρωινή ζώνη + κόστος προβολών στη βραδινή ζώνη = (κόστος πρωινής προβολής αριθμός πρωινών εκπομπών) + (κόστος βραδινής προβολής αριθμός βραδινών εκπομπών) = x x 2 Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 όπου κάθε μεταβλητή έχει μονάδα μέτρησης τα /11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 7

8 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Περιορισμοί προβλήματος 1 ος περιορισμός σύνολο γυναικών που θα δουν πρωινές προβολές + σύνολο γυναικών που θα δουν βραδινές προβολές ελάχιστος αριθμός γυναικών που θα δουν τη διαφήμιση x x ,3x 1 + 0,2x 2 15 όπου η μονάδα μέτρησης είναι οι εκατοντάδες χιλιάδες γυναίκες 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 8

9 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Περιορισμοί προβλήματος 2 ος περιορισμός σύνολο ανδρών που θα δουν πρωινές προβολές + σύνολο ανδρών που θα δουν βραδινές προβολές ελάχιστος αριθμός ανδρών που θα δουν τη διαφήμιση 5.000x x ,05x 1 + 0,25x 2 9 όπου η μονάδα μέτρησης είναι οι εκατοντάδες χιλιάδες άνδρες 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 9

10 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Περιορισμοί προβλήματος 3 ος περιορισμός ο ελάχιστος αριθμός προβολών που θα πρέπει να γίνουν στη βραδινή ζώνη είναι 20 x 2 20 Περιορισμοί προβλήματος 4 ος περιορισμός και οι δύο μεταβλητές απόφασης παίρνουν τιμές μη αρνητικές x 1, x 2 0 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 10

11 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Συνολικό μοντέλο Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x ,05x 1 + 0,25x 2 9 x 2 20 x 1, x 2 0 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 11

12 Γραφική Επίλυση του Μοντέλου x 1 >0 x 2 >0 Άρα βρισκόμαστε στο 1 ο τεταρτημόριο 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 12

13 Γραφική Επίλυση του Μοντέλου 0,3x 1 + 0,2x 2 = 15 x 2 = -1,5x ,05x 1 + 0,25x 2 = 9 x 2 = -0,2x x 2 = 20 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 13

14 Γραφική Επίλυση του Μοντέλου 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 14

15 Γραφική Επίλυση του Μοντέλου Η βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μία από τις κορυφές της εφικτής περιοχής Κορυφή (x 1, x 2 ) z Α (30, 30) 120 Βέλτιστη Β (80, 20) 170 Γ (0, 75) 187,5 Δ (180, 20) 320 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 15

16 Δεσμευτικοί και μη Δεσμευτικοί Περιορισμοί Μεταβλητή Πλεονασμού Η ποσότητα κατά την οποία υπερβαίνει το αριστερό μέλος του περιορισμού τη σταθερά του δεξιού μέλους σε ένα περιορισμό με φορά (μεγαλύτερο) Έχει μηδενική τιμή για τους δεσμευτικούς πλεονασμούς με φορά και θετικές τιμές για τους μη δεσμευτικούς 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 16

17 Δεσμευτικοί και μη Δεσμευτικοί Περιορισμοί Σε κάθε περιορισμό i αντιστοιχεί μια χαλαρή μεταβλητή πλεονασμού e i, i = 1,, Ν, όπου Ν το πλήθος των περιορισμών Η προσθήκη των μεταβλητών πλεονασμού οδηγεί στην τυποποιημένη μορφή του προβλήματος, όπου όλοι οι περιορισμοί του έχουν μετατραπεί σε ισότητες και τα δεξιά μέλη είναι μη αρνητικά 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 17

18 Δεσμευτικοί και μη Δεσμευτικοί Περιορισμοί Τυποποιημένη μορφή Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 + 0e 1 + 0e 2 + 0e 3 με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x 2 1e 1 = 15 0,05x 1 + 0,25x 2 1e 2 = 9 x 2 1e 3 = 20 x 1, x 2, e 1, e 2, e 3 0 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 18

19 Παραλλαγή Έστω ότι στη βραδινή ζώνη υπάρχει η δυνατότητα καταχώρησης 40 το πολύ προβολών λόγω χρονικού περιορισμού Ο 3 ος περιορισμός παίρνει τη μορφή x /11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 19

20 Παραλλαγή Νέα τυποποιημένη μορφή Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 + 0e 1 + 0e 2 + 0s 3 με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x 2 1e 1 = 15 0,05x 1 + 0,25x 2-1e 2 = 9 x 2 + 1s 3 = 40 x 1, x 2, e 1, e 2, s 3 0 e 1, e 2 : μεταβλητές πλεονασμού s 3 : χαλαρή μεταβλητή 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 20

21 Παραλλαγή 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 21

22 Παραλλαγή Η βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μία από τις κορυφές της εφικτής περιοχής Κορυφή (x 1, x 2 ) z Α (30, 30) 120 Βέλτιστη Β (180, 0) 270 Γ (23,33, 40) 135 Δ (180, 40) 370 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 22

23 Ειδικές Περιπτώσεις Προβλήματα με άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις χωρίς εφικτές λύσεις μη φραγμένα περιπτώσεις όπου η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να πάρει οποιαδήποτε μεγάλη (ή μικρή) τιμή σε προβλήματα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) Οι περιπτώσεις αυτές δεν εμφανίζονται συχνά σε πραγματικά προβλήματα οφείλονται συνήθως σε σφάλματα που ενσωματώθηκαν στο μοντέλο κατά τη φάση της ανάπτυξής του 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 23

24 Παράδειγμα Έστω μια μικρή επιχείρηση δερμάτινων ενδυμάτων με την επωνυμία «Leather» Η εταιρία αναλαμβάνει κυρίως εργασίες για μεγάλες επιχειρήσεις ενδυμάτων που πραγματοποιούν εξαγωγές Η μηνιαία απασχόληση του προσωπικού της σε ώρες είναι 960 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 24

25 Παράδειγμα Για τον επόμενο μήνα έχει αναλάβει την παραγωγή των προϊόντων Ανδρικό δερμάτινο σακάκι Γυναικείο καστόρινο φόρεμα Τα υλικά που χρησιμοποιεί είναι Κατεργασμένα δέρματα Φόδρες 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 25

26 Παράδειγμα Κάθε γυναικείο φόρεμα απαιτεί 5 μέτρα δέρματος 3 μέτρα φόδρας 6 ώρες εργασίας Κάθε ανδρικό σακάκι απαιτεί 4 μέτρα δέρματος 1 μέτρο φόδρας 8 ώρες εργασίας 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 26

27 Παράδειγμα Το περιθώριο κέρδους είναι 200 για κάθε σακάκι 250 για κάθε φόρεμα Η επιχείρηση στην αρχή του μήνα διαθέτει 600 μέτρα δέρμα 297 μέτρα φόδρα 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 27

28 Παράδειγμα Σκοπός Να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής για τον επόμενο μήνα, δηλαδή εκείνο το πρόγραμμα παραγωγής γυναικείων φορεμάτων και ανδρικών σακακιών που μεγιστοποιεί το συνολικό περιθώριο κέρδους, λαμβάνοντας υπόψη τους διάφορους περιορισμούς που υπάρχουν 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 28

29 Παράδειγμα Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Μεταβλητές απόφασης x 1 : τεμάχια γυναικείου φορέματος x 2 : τεμάχια ανδρικού σακακιού 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 29

30 Παράδειγμα Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 25x 1 +20x 2 (δεκάδες ευρώ) με περιορισμούς 3x 1 + x (φόδρα) 5x 1 + 4x (δέρμα) 6x 1 + 8x (εργασία) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 30

31 Παράδειγμα Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις 1 ος περιορισμός 3x 1 + x 2 = 297 x 2 = -3x ος περιορισμός 5x 1 + 4x 2 = 600 x 2 = -(5/4)x ος περιορισμός 6x 1 + 8x 2 = 960 x 2 = -(3/4)x ος περιορισμός x 1,x ο τεταρτημόριο 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 31

32 Παράδειγμα Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Κορυφή (x 1, x 2 ) z Α (0, 0) 0 Β (99, 0) 2475 Γ (84, 45) 3000 Βέλτιστη Δ (60, 75) 3000 Βέλτιστη Ε (0, 120) /11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 32

33 Παράδειγμα Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Στην περίπτωση αυτή έχουμε άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις διότι η ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης είναι παράλληλη με κάποιο από τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα σύνορα της περιοχής των εφικτών λύσεων 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 33

34 Παράδειγμα Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Στην περίπτωση αυτή η επιλογή μιας βέλτιστης λύσης μπορεί να γίνει με τη χρησιμοποίηση ενός επιπλέον κριτηρίου επιλογής Για παράδειγμα Να παράγονται όσο το δυνατόν περισσότερα γυναικεία ενδύματα (σημείο Γ) Να παράγονται όσο το δυνατόν περισσότερα ανδρικά ενδύματα (σημείο Δ) Να υπάρχει σχεδόν ισόποση παραγωγή ανδρικών και γυναικείων ενδυμάτων (σημείο Η) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 34

35 Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση Έστω ότι η εταιρία έχει παραγγελία για τουλάχιστον 110 μονάδες γυναικείων φορεμάτων Νέο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 25x 1 +20x 2 (δεκάδες ευρώ) με περιορισμούς 3x 1 + x (φόδρα) 5x 1 + 4x (δέρμα) 6x 1 + 8x (εργασία) x (παραγγελία) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 35

36 Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση Δεν υπάρχουν σημεία που να ικανοποιούν ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 36

37 Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση Ποιος είναι ο περιορισμός που ουσιαστικά δεν επιτρέπει τη παραγωγή 110 μονάδων γυναικείων φορεμάτων; Ο περιορισμός για τη φόδρα: 3x 1 + x /11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 37

38 Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση Ποια είναι η ελάχιστη αύξηση πόρων που οδηγεί σε εφικτή λύση; 330 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 38

39 Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση Ποια θα είναι η εφικτή περιοχή αν η φόδρα αυξηθεί σε 360 μέτρα; 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 39

40 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα Έστω μία εταιρία κατασκευής τηλεκατευθυνόμενων αερόστατων η οποία χρησιμοποιεί ενισχυμένο νάιλον για την παραγωγή των προϊόντων της Η εταιρία παράγει τηλεκατευθυνόμενα αερόστατα σε δύο μεγέθη Μεγάλο Μικρό 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 40

41 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα Το μοναδιαίο περιθώριο κέρδους είναι 600 για το μεγάλο αερόστατο και 400 για το μικρό Η εταιρία έχει ήδη παραγγελία για 30 μεγάλα αερόστατα Κάθε μικρό αερόστατο απαιτεί 2 μέτρα ενισχυμένου νάιλον Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του νάιλον είναι 280 μέτρα 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 41

42 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα Σκοπός Να προσδιοριστεί πόσα αερόστατα θα πρέπει η εταιρία να παράγει από κάθε μέγεθος, ώστε να μεγιστοποιήσει το συνολικό περιθώριο κέρδους της 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 42

43 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα Μεταβλητές απόφασης x 1 : αριθμός αερόστατων μεγάλου μεγέθους x 2 : αριθμός αερόστατων μικρού μεγέθους Αντικειμενική συνάρτηση Maximize z = 600x x 2 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 43

44 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα Μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 600x x 2 Με περιορισμούς: x 1 30 (μεγάλα αερόστατα) 2x (νάιλον) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 44

45 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 45

46 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα Αν υποθέσουμε ότι κάθε μεγάλο αερόστατο απαιτεί 2.5 μέτρα νάιλον πως τροποποιείται το μοντέλο; Maximize z = 600x x 2 Με περιορισμούς: x 1 30 (μεγάλα αερόστατα) 2.5x 1 + 2x (νάιλον) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 46

47 Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 47

48 Ανάλυση ευαισθησίας Μελέτη των συνεπειών που προκύπτουν στη βέλτιστη λύση από αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων ενός μοντέλου Εύρεση σεναρίων και ερωτημάτων της μορφής Τι θα συμβεί αν υπάρξει μια μεταβολή σε κάποιο στοιχείο του προβλήματος; 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 48

49 Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγματα ερωτημάτων (σχετικά με μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών) 1. Πώς θα επηρεαστεί το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής και το συνολικό κέρδος, αν μειωθεί η τιμή πώλησης ενός προϊόντος κατά ένα ποσοστό; 2. Μήπως πρέπει να αλλάξουμε το συνδυασμό προϊόντων που παράγουμε λόγω της μεταβολής στην τιμή αυτή; 3. Μέσα σε ποια όρια μπορεί να «κινείται» η τιμή πώλησης ενός προϊόντος χωρίς να είναι απαραίτητο να αλλάξουμε το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής; Συνοπτικά Σε ποιο βαθμό επηρεάζει μια μεταβολή ενός αντικειμενικού συντελεστή τη βέλτιστη λύση και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 49

50 Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγματα ερωτημάτων (σχετικά με τη μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών) 1. Υπάρχουν κάποια όρια μέσα στα οποία μπορεί να μεταβάλλεται η διαθέσιμη ποσότητα ενός πόρου χωρίς να επηρεάζονται κάποια από τα στοιχεία της βέλτιστης λύσης που έχει βρεθεί και ποια είναι αυτά; 2. Ποια είναι η οριακή αξία ενός πόρου; Συνοπτικά Σε ποιο βαθμό επηρεάζει τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης πιθανή μεταβολή σε κάποια από τις σταθερές δεξιού μέλους ενός περιορισμού; 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 50

51 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Μεταβολή στην τιμή του αντικειμενικού συντελεστή μιας μεταβλητής απόφασης Εύρος ευαισθησίας / αριστότητας Το διάστημα μέσα στο οποίο μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή ενός αντικειμενικού συντελεστή χωρίς να αλλάζει η βέλτιστη λύση 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 51

52 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x x 2 (αντικειμενική συνάρτηση) με περιορισμούς: x 1 + x (γάλα σε λίτρα) x 1 + 3x (λεπτά εργασίας) 2x 1 + 5x (λεπτά παστερίωσης και ψύξης) x (ζήτηση Προϊόντος 1) x 1, x 2 0 (μη αρνητικές τιμές) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 52

53 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 53

54 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Υπόθεση Έστω ότι για τις τιμές των αντικειμενικών συντελεστών υπάρχει περιθώριο λάθους εκτίμησης 10% Το κέρδος για το Προϊόν 1 κυμαίνεται μεταξύ 135 και 165 λεπτών του Το κέρδος για το Προϊόν 2 κυμαίνεται μεταξύ 180 και 220 λεπτών του 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 54

55 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Διερεύνηση Η αντικειμενική συνάρτηση έχει εξίσωση x 2 = -(3/4)x 1 + (1/200)z, δηλαδή η κλίση της είναι (3/4) Η κλίση του περιορισμού x 1 + 3x είναι (1/3) Η κλίση του περιορισμού x 1 + x 2 = 550 είναι 1 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 55

56 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 56

57 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Κλίση -1 Κλίση =-1/3 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 57

58 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Αν θεωρήσουμε ότι όλες οι άλλες παράμετροι παραμένουν σταθερές θα προσπαθήσουμε να βρούμε το διάστημα τιμών του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής απόφασης x 1 για το οποίο η βέλτιστη λύση δεν μεταβάλλεται 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 58

59 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Η αντικειμενική συνάρτηση είναι x 2 = -(c 1 /200)x 1 + (1/200)z Επομένως πρέπει να ισχύει -1 -(c 1 /200) -(1/3) 200/3 c c 1 = 200 ταύτιση με τον 1 ο περιορισμό c 1 = 200/3 ταύτιση με το 2 ο περιορισμό 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 59

60 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Αν θεωρήσουμε ότι όλες οι άλλες παράμετροι παραμένουν σταθερές θα προσπαθήσουμε να βρούμε το διάστημα τιμών του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής απόφασης x 2 για το οποίο η βέλτιστη λύση δεν μεταβάλλεται 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 60

61 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Η αντικειμενική συνάρτηση είναι x 2 = -(150/c 2 )x 1 + (1/c 2 )z Επομένως πρέπει να ισχύει -1 -(150/c 2 ) -(1/3) 150 c c 2 = 150 ταύτιση με τον 1 ο περιορισμό c 2 = 450 ταύτιση με το 2 ο περιορισμό 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 61

62 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Έστω το παρακάτω τροποποιημένο μοντέλο (αλλαγμένη αντικειμενική συνάρτηση, χωρίς τον 4 ο περιορισμό) Maximize z = 200x x 2 με περιορισμούς: x 1 + x x 1 + 3x x 1 + 5x /11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 62

63 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Κορυφή (x1, x2) z Α (0, 0) 0 Β (550, 0) Βέλτιστη Γ (325, 325) Δ (0, ) /11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 63

64 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Ας διερευνήσουμε το εύρος ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής απόφασης x 1 Η κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης είναι (c 1 /150) Σε ποιο διάστημα μπορεί να «κινηθεί» χωρίς να αλλάξει το βέλτιστο σημείο; 150 c 1 < 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 64

65 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 65

66 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Ερμηνεία αποτελέσματος Η βέλτιστη λύση προτείνει να παράγεται μόνο το Προϊόν 1 που συνεισφέρει 200 λεπτά Αν αυτό το κέρδος αυξάνεται προφανώς δε θα αλλάξει η επιχείρηση την απόφασή της Αντιθέτως, αν το κέρδος του Προϊόντος 1 αρχίσει και μειώνεται, το κομβικό σημείο είναι η τιμή 150 Μόλις πέσει κάτω από 150 δε συμφέρει να παράγεται μόνο το Προϊόν 1 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 66

67 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Επιστροφή στο αρχικό παράδειγμα Η αντικειμενική συνάρτηση έχει εξίσωση x 2 = -(3/4)x 1 + (1/200)z, δηλαδή η κλίση της είναι (3/4) Η κλίση του περιορισμού x 1 + 3x είναι (1/3) Η κλίση του περιορισμού x 1 + x 2 = 550 είναι 1 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 67

68 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Τι γίνεται όταν οι δύο αντικειμενικοί συντελεστές μπορούν να μεταβάλλονται ταυτόχρονα; -1 -(c 1 /c 2 ) -(1/3) 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 68

69 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Μελέτη των αλλαγών που προκαλούν στην εφικτή περιοχή, στη βέλτιστη λύση και στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης πιθανές μεταβολές στα δεξιά μέλη των περιορισμών Εύρος εφικτότητας Είναι το εύρος ευαισθησίας για μια παράμετρο δεξιού μέλους 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 69

70 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Έστω το πρόβλημα της γαλακτοκομικής εταιρίας Χρησιμοποιούμε την τυποποιημένη μορφή του προβλήματος (έξι μεταβλητές, τέσσερις εξισώσεις/περιορισμοί) Maximize z = 150x x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 με περιορισμούς: x 1 + x 2 + 1s 1 = 550 x 1 + 3x 2 + 1s 2 = x 1 + 5x 2 + 1s 3 = 2000 x 1 + 1s 4 = 400 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 70

71 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Στο γραμμικό προγραμματισμό όταν έχουμε n + m συνολικά μεταβλητές (n απόφασης και m βοηθητικές) και m λειτουργικούς περιορισμούς 1. Δίνουμε μηδενικές τιμές σε n μεταβλητές (οι οποίες ονομάζονται μη βασικές μεταβλητές) 2. Επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες m μεταβλητές οι οποίες ονομάζονται βασικές μεταβλητές και μπορούν να πάρουν μη μηδενικές τιμές 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 71

72 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Βασική λύση Μια λύση που προκύπτει με n μηδενικές μεταβλητές και m μη μηδενικές μεταβλητές και σχετίζεται με όλες τις μεταβλητές του προβλήματος (απόφασης και βοηθητικές) Βασική εφικτή λύση Βασική λύση που ανήκει στην εφικτή περιοχή Εκφυλισμένη λύση Βασική εφικτή λύση που έχει μια βασική μεταβλητή με μηδενική τιμή 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 72

73 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση Βασικές εφικτές λύσεις Προκύπτουν από τα ακραία σημεία (κορυφές) της εφικτής περιοχής Βασικές μη εφικτές λύσεις Προκύπτουν από τα ακραία σημεία εκτός της εφικτής περιοχής Είναι σημεία τομής περιορισμών αλλά όχι κορυφές της εφικτής περιοχής 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 73

74 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 74

75 Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση 4/11/2016 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό 75

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Οι στρατηγικές χρηματοοικονομικής δομής αναφέρονται στην επιλογή των μέσων χρηματοδότησης επενδυτικών προγραμμάτων, λειτουργιών της παραγωγής και

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων http://users.uom.gr/~acg 1 Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό (LP) Εντοπισμός της βέλτιστης κατανομής περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (resource allocation problems) Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ εκαετές πρόγραµµα επενδύσεων Οκτώ επενδυτικές ευκαιρίες Έντοκα γραµµάτια δηµοσίου, κοινές µετοχές εταιρειών, οµόλογα οργανισµών κ.ά. H επένδυση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix)

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Εισάγει στην αγορά για την επόµενη χειµερινή περίοδο έξι νέα είδη γυναικείων ενδυµάτων µε µεγάλες προοπτικές πωλήσεων Η ζήτηση για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων θέλει να προγραμματίσει για μια χρονική περίοδο την παραγωγή δύο μοντέλων αυτοκινήτου: του μοντέλου Α και του μοντέλου Β. Κάθε μοντέλο αυτοκινήτου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Γραφική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού και Ανάλυση Ευαισθησίας Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται με πολύ αναλυτικό τρόπο η μεθοδολογία Γραφικής Επίλυσης ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσφορά των Αγαθών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσφορά των Αγαθών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσφορά των Αγαθών Καμπύλη Προσφοράς Υποθέσεις 1. Η επιχείρηση είναι αποδέκτης τιμών (price taker) και όχι διαμορφωτής τιμών (price maker). 2. H επιχείρηση στοχεύει στην μεγιστοποίηση του κέρδους.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 5: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι Εργασία - ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ - ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Παρακάτω δίνονται συνολικά ασκήσεις με πολλαπλά ερωτήματα τις οποίες θα επιλύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0. Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή έρευνα. Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή έρευνα. Επιχειρησιακή Έρευνα ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή Έρευνα Προβλήματα Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Γραφική λύση Επίλυση με τη μέθοδο Simplex Δρ. Ζαχαρούλα Καλογηράτου 1 Πρόβλημα 1. Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΔΕ253 2 η εργασία Προσοχή! Είναι ένα αρχικό version. Κατά την παρουσίαση των βίντεο θα διορθωθούν τυχόν λάθη σε πράξεις στην άσκηση 1.

ΠΔΕ253 2 η εργασία Προσοχή! Είναι ένα αρχικό version. Κατά την παρουσίαση των βίντεο θα διορθωθούν τυχόν λάθη σε πράξεις στην άσκηση 1. ΠΔΕ253 2 η εργασία 2014 15 Προσοχή! Είναι ένα αρχικό version. Κατά την παρουσίαση των βίντεο θα διορθωθούν τυχόν λάθη σε πράξεις στην άσκηση 1. Λύση άσκησης 3 Έστω με Eπείγοντα περιστατικά x "" = o αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα