A A A A B A A A B B B A B B B B A A A B A A B B A A B B A B B B A A B A A B A B A B A B B A B B A B A A A B B A B A A B B B A B
|
|
- Ἀλκαῖος Δεσποτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Τρίγωνο Pascal -Αριθµοί Fiboacci ιοφαντικές εξισώσεις - ιαµερίσεις Προβλήµατα ταξινόµησης Γεννήτριες συναρτήσεις Τρίγωνο Pascal -- ιαίρεση στοιχήµατος Πως να µοιραστεί στοίχηµα σε παιχνίδι που διακόπηκε όταν ο παίκτης Α θέλει m παρτίδες να κερδίσει και ο Β θέλει παρτίδες Για παράδειγµα σε παιχνίδι τάβλι που τελειώνει σε 7 παρτίδες, και έχουν στοιχηµατίσει α δρχ., αναγκάζονται να σταµατήσουν όταν το σκορ είναι 4-5 (ο Α θέλει m=3 παρτίδες και ο Β θέλει = παρτίδες ). A A A A B A A A B B B A B B B B A A A B A A B B A A B B A B B B A A B A A B A B A B A B B A B B A B A A A B B A B A A B B B A B Ανάλογα 5:, δηλ. ο Α τα 5α/6, ο Β τα α/6 Γενικά P(A) : P(B) + m + m : k k + m k= 0 k= Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης
2 Ιδιότητες Οριζόντια: Συντελεστές ιωνύµου Νεύτωνα, π.χ. (α+β) 4 :, 4, 6, 4, η ιαγώνιος: Φυσικοί αριθµοί:,, 3, 4, 5,. η ιαγώνιος: Τρίγωνοι αριθµοί:, 3, 6, 0,... 3η ιαγώνιος: Τετραεδρικοί αριθµοί:, 4, 0, 0, 35,... Ηµιδιαγώνιος: Αριθµοί Fiboacci:,,, 3, 5, 8, 3,... Τρίγωνοι Τριγωνική ιδιότητα Pascal + = + k + k k Τετράεδροι πυραµιδοειδείς Αριθµοί Fiboacci Ας υποθέσουµε ότι σε ένα πληθυσµό κουνελιών κάθε ενήλικο ζευγάρι γεννά κάθε µήνα από ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα νεογέννητα ενηλικιώνονται το δεύτερο µήνα οπότε και γεννούν το πρώτο ζευγάρι τους. Υποθέτουµε ακόµη ότι τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα υπάρχουν στην αρχή του -στού µήνα, όταν αρχικά είχαµε ένα ενήλικο ζευγάρι; Τον + µήνα υπάρχουν όσοι ήταν τον προηγού- µενο µήνα και όσοι γεννιούνται τότε. Αυτοί είναι ίσοι µε όσους υπήρχαν τον -στό µήνα που ενηλικιώθηκαν τώρα ή ήταν ενήλικα από πριν F 0 =, F =, F + = F + +F Παρατηρήστε ότι το 4 µπορεί να γραφεί µε 5 τρόπους ως άθροισµα µε προσθετέους ή, δηλ. 4=+++=++=++=++=+. είξτε ότι οφυσικόςαριθµός γράφεταιµε F τρόπουςωςάθροισµαµεπροσθετέους ή,όπου F οιαριθµοί Fiboacci. Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης
3 Τοποθετήσεις δύο συµβόλων υπό περιορισµούς () Με πόσους τρόπους τοποθετούνται 5 (+) και (-) σε ευθεία; () Σε πόσους από αυτούς δεν υπάρχουν γειτονικά (-); () 5, 7! M 7 = = 5!! () Άρα ( ) = = ( 0) + ( ) + ( ) + ( 3) + ( 4) = = 34= F8 0 (-), (-) έως 4 (-) Θεώρηµα α) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε ευθεία, συµβόλων από τα {+, }, εκ των οποίων τα k, (k=0,,,, [(+)/]), είναι και τα υπόλοιπα -kείναι +, έτσι ώστε ούτε δύο από Q, k = k+ k τα να είναι διαδοχικά, ισούται µε: β)τοπλήθοςτωντοποθετήσεωνσεευθεία, συµβόλωναπότα {+, }, έτσι ώστεούτεδύοαπότα ναείναιδιαδοχικά, ισούταιµε F +,δηλαδήµετον αριθµό Fiboacci τάξης +. α) β) Αθροίζοντας για όλα τα k [( + ) / ] Q = Q = Q + Q, k k= ( )...=F + Β τρόπος (για το β). Οι Q τοποθετήσεις των συµβόλων +, χωρίς ούτε δύο διαδοχικά διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: () αυτές που τελειώνουν σε +, () αυτές που τελειώνουν σε. (τότε τελειώνουν σε + ) Q - + Q - Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 3
4 Πόρισµα. α)τοπλήθοςτωντοποθετήσεωνσεευθεία, kαριθµώναπότους πρώτους φυσικούς αριθµούς, (k=0,,, [(+)/]), έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι διαδοχικοί αριθµοί, ισούται µε Q = k+ ( k ), k β) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε ευθεία οσονδήποτε από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι διαδοχικοί αριθµοί,ισούταιµε F +. Απόδειξη µε αναγωγή στο Θ.. Άλλη διατύπωση: «Το πλήθος των συνδυασµών k αριθµών από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, ώστε να µην υπάρχουν διαδοχικοί αριθµοί στον ίδιο συνδυασµό, είναι...» Πόρισµα α) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε κύκλο, k αριθµών απότους πρώτουςφυσικούςαριθµούς, (k=0,,,, [/]), έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι k διαδοχικοί αριθµοί, ( και θεωρούνται διαδοχικά), k ισούται µε k β) Το πλήθος των τοποθετήσεων σε κύκλο οσονδήποτε από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, έτσι ώστε ούτε δύο από αυτούς να είναι διαδοχικοί αριθµοί, όπου το και θεωρούνται διαδοχικά, ισούται µε F +F. Χωρίς απόδειξη Άλλη διατύπωση είναι: «Το πλήθος των συνδυασµών k αριθµών από τους πρώτους φυσικούς αριθµούς, ώστε να µην υπάρχουν διαδοχικοί αριθµοί στον ίδιο συνδυασµό, όταν και θεωρούνται διαδοχικοί, είναι...» Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 4
5 Αριθµοί Loucas g =F +F -, g = g - +g, µε g =F +F 0 =3και g 3 =F 3 +F =4 Ασκήσεις Αν g = g +g 0 και g 3 = g +g τότε: g = g - +g,, g 0 =, g = g, 0, λέγονται αρ. Loucas ( ) Με πόσους τρόπους 0 άντρες και 6 γυναίκες 6 6+ µπαίνουν σε ουρά αναµονής ώστε να µην έχουµε 6 = 46 γυναίκες σε γειτονικές θέσεις; Υπάρχουν καθίσµατα τοποθετηµένα σε µία σειρά. Βρέστε το πλήθος των τρόπων να διαλέξουµε οσαδήποτε από τα καθίσµατα (έστω και κανένα) µε τρόπο ώστε να µην έχουµε διαλέξει διαδοχικά καθίσµατα. Υπάρχουν καθίσµατα τοποθετηµένα σε κυκλικό τραπέζι. Βρέστε το πλήθος των τρόπων να διαλέξουµε οσαδήποτε από τα καθίσµατα (έστω και κανένα) µε τρόπο ώστε να µην έχουµε διαλέξει διαδοχικά καθίσµατα (εδώ το και το είναι διαδοχικά). Ρυθµός αύξησης της F A G k = F k Fk Γ ΑΒ=α οπότε βρίσκουµε: B Ο α/ Ε Coxeter (96) ΑΓ =ΑΒ ΓΒ ( ) ΓΒ ΑΓ= 5+ =.69ΓΒ και ΑΒ=.69ΑΓ Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 5
6 Ηλιοτρόπιον Φωτογραφία ηλιοτρόπιου που οι σπείρες του είναι 55 προς τη µία πλευρά και 89 προς την άλλη παρατηρούµε ότι F 9 =55, F 0 =89 Προσοµοίωση ηλιοτρόπιου από υπολογιστή. Μετρήστε τις σπείρες του προς τις δύο κατευθύνσεις. Τι παρατηρείτε; Άλλες εφαρµογές των αριθµών F Να αποδειχθεί ότι το πλήθος διαφορετικών τροχιών µε ανακλάσεις ακτίνων σε δύο πλήρως εφαπτόµενα τζάµια είναι F + Η µέλισσα µπαίνει στην κερήθρα από αριστερά και µπορεί να κινηθεί µόνο δεξιά. είξτε ότι µπορεί να φθάσει στο κελί µε F + διαφορετικούς τρόπους. Παιχνίδι Fiboacci-Nim.Υπάρχουν µάρκες και δύο παίκτες Α και Β που παίζουν εναλλάξ. Ο Α στην πρώτη κίνηση παίρνει όσες µάρκες θέλει από έως και -. Στις επόµενες κινήσεις οι παίκτες πρέπει να παίρνουν τουλάχιστον µάρκα αλλά όχι περισσότερες από διπλάσιες απ όσες πήρε ο αντίπαλος την τελευταία φορά.αυτός που παίρνει την τελευταία µάρκα κερδίζει. Αποδεικνύεται, ότι αν το είναι αριθµός Fiboacci, ο Β κερδίζει στα σίγουρα µε κατάλληλη στρατηγική. Αν δεν είναι, τότε κερδίζει ο Aµε ανάλογη στρατηγική Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 6
7 ιοφαντικές εξισώσεις και ιαµερίσεις Θεώρηµα.. Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης: x + x + x x = r, µε x > α, x > α,..., x > α 3 r α α... α δίνονται από τον τύπο: Για την απόδειξη παρατηρείστε ότι η αντικατάσταση των x i µε y i -α i µετασχηµατίζει ως προς y i τη δοθείσα εξίσωση και οι ζητούµενες λύσεις είναι οι µη-αρνητικές λύσεις της νέας Να βρεθούν οι θετικές λύσεις της εξίσωσης: Αρκεί να πάρουµε όλα τα α k =0 x + x+ x x = r, άρα πλήθος θετικών λύσεων r Παράδειγµα Βρέστε το πλήθος των ακεραίων θετικών λύσεων της x+y+z+w=0, όταν: (α) x>6, (β) x>6 και y>6, (γ) x>6, y>6 και z>6, (δ) x 6, y 7, 3 z 9, 4 w. Στο (α) είναι r= = = 86 =4, α =6, α = α 3 = α 4 =0 4 3 (β) = = (δ) Βρίσκουµε πρώτα λύσεις µε x>0, y>0, z>, w>3 (γ) Θέτουµε: α την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει x > 6, α την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει y > 7, α 3 την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει z > 9, και α 4 την ιδιότητα µία από αυτές τις λύσεις να έχει w > = = = = Με ΑΣΕ, βρίσκουµε: 364-( ) =8 λύσεις Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 7
8 Γενίκευση Θ..3. Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης: x + x x = r µε xi α, i=,,..., ισούται µε: r r α r α r 3α ( ) ( )( ) ( )( ) ( 3)( ) Ποια η πιθανότητα ρίχνοντας 4 ζάρια να φέρουµε άθροισµα 8; Σύµφωνα µε το κλασικό ορισµό, η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι p=n(a)/n, όπου Ν=6 4 οι δυνατές περιπτώσεις, ενώ Ν(Α) το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x +x +x 3 +x 4 =8, µε x k 6. Άρα ( 3) ( )( 3 ) ( )( 3 ) ( 3)( 3 ) ( 3) ( )( 3) ( )( 3) N( A) = + = Άρα p=80/96=0.06 = + 0= = 80 ιαµερίσεις ακεραίου Έστω ο ακέραιος αριθµός 6. Οι διάφορες διαµερίσεις του 6 είναι: Συµβολίζουµε p(6)=. (Σηµειώστε ότι δεν µας ενδιαφέρει η σειρά των προσθετέων). Ποιο είναι το p() για τυχαίο ; Παρατηρούµε ότι υπάρχουν: διαµέριση µε 6 προσθετέους διαµέριση µε 5 προσθετέους διαµερίσεις µε 4 προσθετέους 3 διαµερίσεις µε 3 προσθετέους 3 διαµερίσεις µε προσθετέους διαµέριση µε προσθετέους Παρατηρούµε ότι υπάρχουν: διαµ. µε το 6 ως µεγαλ. προσθετέο διαµ. µε το 5 ως µεγαλ. προσθετέο διαµ. µε το 4 ως µεγαλ. προσθετέο 3 διαµ. µε το 3 ως µεγαλ. προσθετέο 3 διαµ. µε το ως µεγαλ. προσθετέο διαµ. µε το ως µεγαλ. προσθετέο Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 8
9 ιαγράµµατα Ferer 6=3++ 9=4+++ fl 9=4+3++ Το 4 είναι ο µεγαλύτερος από τους προσθετέους 4 προσθετέοι Θέτουµε q k () = #(διαµερ. του µε k ή λιγότερους προσθετέους) p k () = #(διαµερ. του µε προσθετέους όχι µεγαλύτερους του k) Είναι q (6)=, q (6)=4, q 3 (6)=7, q 4 (6)=9, q 5 (6)=0, q 6 (6)==p(6) p (6)=, p (6)=4, p 3 (6)=7, p 4 (6)=9, p 5 (6)=0, p 6 (6)==p(6) Είναι φανερό: p ()=q ()=, για όλα τα. p ()=q ()=p(), για όλα τα. Θεώρηµα Για =6, k=3 6=3++ 6=3++ Ισχύει: q k ()=p k () για όλα τα k, και 6=4++ 6=3+++ 6=++ 6=3+3 q 3 ()-q () ακριβώς 3 προσθ. p 3 ()-p () Το 3 µέγιστος προσθ. Γενικά: q k ()-q k- ()=p k ()-p k- () για όλα τα k, και Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 9
10 Θεώρηµα.5 Ισχύει: p k ()= p k- ()+ p k (-k) για όλα τα k, και Έστω < k < (p ()=, p ()=p() για όλα τα ) Με διπλή απαρίθµηση Όλες οι p k () διαµερίσεις διαιρούνται σε δύο είδη, () χωρίς το k (άρα k- ο µεγαλ.), () µε το k ως προσθετέο (αφαιρούµε ένα k από το ) p k- () p k (-k) Να βρεθεί το πλήθος διαµερίσεων του µε ακριβώς δύο προσθετέους. Ζητείται r ()=q ()-q (). Είναι: q ()= p ()= p ()+ p (-)=+p (-) ( + )/, άρτιος Με επαγωγή /, ά p ( ) = r ( ) ( + )/, περιτ. = ρτιος ( )/, περιτ. Επαλήθευση: «µισά από τα:» =+(-)=+(-)= =(-)+ ιαµερίσεις ακεραίων και πολυώνυµα Πρότ... Το πλήθος λύσεων της διοφαντικής εξίσωσης: k +k +3k k =, µε k, k, k 3,..., k =0 ή ισούται µε το πλήθος των διαµερίσεων του µε διακεκριµένους προσθετέους, και υπολογίζεται ως ο συντελεστής της δύναµης x στο πολυώνυµο: (+x) (+x ) (+x 3 )... (+x ) Πρότ... Το πλήθος λύσεων της διοφαντικής εξίσωσης: λ +λ +3λ λ =, µε 0 λ i [ / i] ισούται µε το πλήθος των διαµερίσεων του µε οποιουσδήποτε προσθετέους, και υπολογίζεται ως ο συντελεστής της δύναµης x στο πολυώνυµο: (+x+x +..+x ) (+x +x 4 + +x [/] ) (+x x3 [/3] )... (+x ) Πρότ..3. Γενίκευση για α, β, 3 γ, Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 0
11 Ασκήσεις Γράψτε το πολυώνυµο του οποίου το ανάπτυγµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση του πλήθους: (α) των διαµερίσεων του 38 µε προσθεταίους 6, 7,, 0 (β) των διαµερίσεων του 5 µε προσθεταίους µεγαλύτερους του. α) (+x 6 +x +x 8 +x 4 +x 30 +x 36 )(+x 7 +x 4 +x +x 8 +x 35 )(+x +x 4 +x 36 ) (+x 0 ) β) (+x 3 +x 6 +x 9 +x +x 5 ) (+x 4 +x 8 +x )(+x 5 +x 0 +x 5 ) (+x 6 +x ) (+x 7 +x 4 ) (+x 8 )(+x 9 ) (+x 0 )(+x ) (+x )(+x 3 ) (+x 4 )(+x 5 ) Με πόσους τρόπους µπορούµε να πληρώσουµε έναν λογαριασµό 73 cet του Ευρώ όταν έχουµε διαθέσιµα οσαδήποτε ψιλά χρειαζόµαστε από,, 5, 0, 0 και 50 cet; Θα πρέπει να ισχύει x+y+5z+0w+0s+50 t =73. Αρκεί να υπολογίσουµε το συντελεστή του x 73 στο πολυώνυµο (+x+x +x x 73 ) (+x +x 4 + +x 7 )(+x 5 +x 0 + +x 70 )(+x 0 +x 0 + +x 70 ) (+x 0 +x 40 +x 60 ) (+x 50 ) που είναι 494. Υπολογίστε το και µε πρόγραµµα Pascal ιαµερίσεις του επιπέδου ίνονται ευθείες στο επίπεδο οι οποίες δεν είναι παράλληλες ανά δύο, ούτε υπάρχουν οποιεσδήποτε τρεις απ αυτές που να περνούν από το ίδιο σηµείο. Αν f() συµβολίζει το πλήθος των περιοχών στις οποίες χωρίζεται το επίπεδο, να βρεθεί το f(). Είναι: f()=, f()=4, f(3)=7. Η προσθήκη της -στής γραµµής που τέµνει τις - γραµµές αυξάνει τα χωρία κατά. Άρα ισχύει: f()=f(-)+ Με τηλεσκοπική άθροιση βρίσκουµε Γενίκευση για το χώρο, που χωρίζεται από επίπεδα τεµνόµενα ανά 3 άλλά όχι ανά 4 σε F() χωρία f ( ) = = + F()=F(-)+f(-) F( ) = Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης
12 Προβλήµατα ταξινόµησης όµοια σφαιρίδια σε k διακεκριµένα κελιά x x x.. k x +x + +x k = k διακεκριµένα κελιά Αν επιτρέπονται άδεια κελιά Αν δεν επιτρέπονται άδεια κελιά Είναι p=n A /N= 87/8008=0.6 διότι: + k k k 0 εκλέκτορες ψηφίζουν 7 υποψήφιους για µια θέση προέδρου. Ποια η πιθανότητα ο ος υποψήφιος να πάρει ψήφους; N = = N A = = υποψ.=κελιά, 0 ψήφοι (όµοιες) =σφαιρίδ. διακεκριµένα σφαιρίδια - k διακεκριµένα κελιά k.. k διακεκριµένα κελιά υνατές περιπτώσεις: N=k διότι κάθε σφαιρίδιο έχει kδυνατότητες Έστω f(,k) = πλήθος τοποθετήσεων των διακεκριµένων σφαιριδίων στα k διακεκριµένα κελιά, µε τουλάχιστον ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί Με εφαρµογή Α.Σ.Ε. και µε ιδιότητες α i : το i κελί είναι άδειο, βρίσκουµε εύκολα: k k k f (, k) = k ( k ) + ( k )... + ( ) k k Ν(α k ) Ν(α k α λ ) Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης
13 Παράδειγµα Με πόσους τρόπους 4 σφαιρίδια µπορούν να τοποθετηθούν σε 3 κελιά ώστε (α) κανένα κελί άδειο, (β) ένα ακριβώς άδειο, (γ) δύο άδεια; (α) f (4,3) = 3 + = 36 αβ, γ, δ αβ, δ, γ γ, αβ, δ δ, αβ, γ γ, δ, αβ δ, γ, αβ αγ, β, δ αγ, δ, β β, αγ, δ δ, αγ, β β, δ, αγ δ, β, αγ αδ, β, γ αδ, γ, β β, αδ, γ γ, αδ, β β, γ, αδ γ, β, αδ βγ, α, δ βγ, δ, α α, βγ, δ δ, βγ, α α, δ, βγ δ, α, βγ βδ, α, γ βδ, γ, α α, βδ, γ γ, βδ, α α, γ, βδ γ, α, βδ γδ, α, β γδ, β, α α, γδ, β β, γδ, α α, β, γδ β, α, γδ (β) f (4, ) = 3 = 4 (γ) ( ) (4,) 3 3 f = = διακεκριµένα σφαιρίδια - k όµοια κελιά Έστω G(,k) = πλήθος τοποθετήσεων των διακεκριµένων σφαιριδίων στα k όµοια κελιά και g(,k) = πλήθος τοποθετήσεων των διακεκριµένων σφαιριδίων στα k όµοια κελιά, µε τουλάχιστον ένα σφαιρίδιο σε κάθε κελί Τα άδεια κελιά θα είναι ή 0, ή, ή κλπ ή k-. Άρα: G(,k)=g(,k)+g(,k-)+ +g(,)+g(,) όπου: f (, r) r r r r g(, r) = = r ( r ) + ( r )... + ( ) r! r! r διότι αν τα κελιά ήταν διακεκριµένα, θα µπορούσαν να τοποθετηθούν µε r! διαφορετικούς τρόπους. Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 3
14 Παράδειγµα Με πόσους τρόπους 4 σφαιρίδια µπορούν να τοποθετηθούν σε 3 όµοια κελιά; Να καταγραφούν οι περιπτώσεις συµβολίζοντας τα σφαιρίδια µε α,β,γ,δ. f (4,3) f (4, ) f (4,) 36 4 G(4,3) = g(4,3) + g(4,) + g(4,) = + + = + + = 4 3!!! 6 αβγδ,, αβγ, δ, αβδ, γ, αγδ, β, βγδ, α, αβ, γ, δ αγ, β, δ αδ, β, γ βγ, α, δ βδ, α, γ γδ, α, β αβ, γδ, αγ, βδ, αδ, βγ, Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να παραγοντοποιήσουµε τον αριθµό χρησιµοποιώντας τρεις ακέραιους παράγοντες, όταν: α. το επιτρέπεται ως παράγοντας. β. το δεν επιτρέπεται ως παράγοντας. (Η σειρά των παραγόντων δεν µετράει, δηλ / ) Παρατηρείστε ότι ο έχει 6 διαφορετικούς πρώτους παράγοντες, τους οποίους πρέπει να τους τοποθετήσουµε σε τρία όµοια κελιά (παράγοντες). Στο (α) επιτρέπονται και άδεια κελιά, ενώ στο (β) όχι. (α), (β) 90 ιαµερίσεις συνόλων - Αριθµοί Bell Οι αριθµοί Β που δίνουν το πλήθος των διαµερίσεων ενός συνόλου στοιχείων, λέγονται αριθµοί Bell. = : Β =. = : Β =, ( {{,}}, {{}, {}} ) =3 : Β 3 = 5, {{,,3}}, {{,},{3}}, {{,3},{}}, {{,3},{}}, {{},{},{3}} Έστω Β(,k) = πλήθος διαµερίσεων συνόλου στοιχείων σε k υποσύνολα τότε: Β(,k)=g(,k) (υποσύνολα = κελιά µε τουλάχιστον στ.) άρα Β =Β(,)+Β(,)+ +Β(,)= g(,)+g(,)+ +g(,) Παράδειγµα: Β 4 = g(4,)+g(4,)+g(4,3)+g(4,4)= = Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 4
15 Αριθµοί Stirlig ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...( )... Ισχύει: ( + ) ( ) ( ) (0) () Si = Si Si, S0 = S = k = k k k + = S k+ S k + + S k (* ) α είδους (* ) Ισχύει: ( ) () ( ) () ( ) ( ) = ( + ) ( ) ( ) (0) () si si isi s0 s k s k s k s k = +, = = 4-5 (-50) β είδους Αριθµοί Stirlig β είδους και Bell k Π.χ. r 6 = r () +3 r () +90 r (3) +65 r (4) +5 r (5) + r (6) 90=5+3 5 Β(6,) Αριθµοί Bell: B 5 = =5 B 6 = =03 Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 5
16 Γεννήτριες και Αναδροµικές σχέσεις Ορισµός: Έστω α k, k=0,,, πραγµατικoί ή µιγαδικοί αριθµοί. Η ως προς t συνάρτηση λέγεται k (που ορίζεται σε διάστηµα A( t) = αk t γεννήτρια όπου συγκλίνει η σειρά) k= 0 συνάρτηση ενώ, η k t λέγεται E( t) = αk εκθετική k! k= 0 γεννήτρια Παράδειγµα. Αν τα α k είναι οι πιθανότητες P(X=x k ) µιας διακριτής κατανοµής, τότε η Α(t) λέγεται πιθανογεννήτρια, ενώ, αν τα α k είναι οι ροπές της κατανοµής Χ, τότε η E(t) λέγεται ροπογεννήτρια. Αριθµοί Fiboacci (γεννήτρια) Για τους αριθµούς Fiboacci F ισχύει: Θέτουµε F( t) = F t = 0 Πολλαπλασιάζοντας την αναγωγική σχέση µε t και αθροίζοντας για όλα τα, έχουµε: τελικά: j F( t) = κ ( κt) λ ( λt) 5 j= 0 j= 0 F = F + F, F =, F = 0 τη γεννήτρια των F F t = t F t + t F t = = = ( ) F( t) t= t F( t) + t F( t) κ λ F ( t) = = = t t ( κ t)( λt) κ λ κ t λt όπου: κ =, λ = j + + κ λ F =, N κ λ Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 6
17 Αριθµοί Bell (γεννήτρια) Για τους αριθµούς Bell B ισχύει: B = B k, B0 = k k= Απόδειξη: Αν Χ={,,...,} και έστω µια διαµέριση του Χ. Υπάρχει µοναδικό τµήµα της διαµέρισης που περιέχει το ( Y) µαζί µε το σύνολο Y που περιέχει k- έστω στοιχεία από τα {,,...,-}. Το υπόλοιπο τµήµα της διαµέρισης αποτελεί διαµέριση του συνόλου των υπολοίπων -k στοιχείων του συνόλου {,,..., -}-Y και επιλέγεται µε B -k τρόπους. Το Y επιλέγεται µε τρόπους. k t Θέτουµε B( t) = B! = 0 Πολλαπλασιάζοντας την αναγωγική σχέση µε t - /(-)! και αθροίζοντας για όλα τα, βρίσκουµε: την εκθετική γεννήτρια των B db( t) t = e B( t) dt t t d t e e απ όπου B = e ή B = ( e )! dt = 0 t= 0 Αριθµοί Catala Έστω y= x x x ένα γινόµενο. Το πλήθος των τρόπων υπολογισµού του γινοµένου µε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς δύο όρων κάθε φορά χωρίς αλλαγή της σειράς των αριθµών, συµβολίζεται C. Βρίσκουµε εύκολα: C = διότι το y= x x υπολογίζεται µε µονδικό τρόπο C 3 = διότι y= (x x ) x 3 ή y= x (x x 3 ) C 4 =5 διότι y= ((x x ) x 3 ) x 4 ή y= (x (x x 3 )) x 4 y= x ( x (x 3 x 4 )) ή y= x ((x x 3 ) x 4 ) ή y= ((x x ) (x 3 x 4 )) Οι αριθµοί C, =,, 3, λέγονται αριθµοί Catala Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 7
18 Αριθµοί Catala (γεννήτρια) y=x x...x y=(x )(x...x ) ή y=(x x )(x 3...x )ή...ή y=(x...x -)(x ) C C C C C - C - Με διπλή απαρίθµηση, έχουµε: C = C C + C C C C, µε C = C( t) = C t τη γεννήτρια των C = 0 Θέτουµε Πολλαπλασιάζοντας την αναγωγική σχέση µε t κι αθροίζοντας για όλα τα, βρίσκουµε: Η άλλη ρίζα απορρίπτεται απ όπου αφού πρέπει C(0)=0 ( ) C C( t) C( t) + t = 0 C( t) = ( 4t) C = ή k k / k C( t) = ( ) t k π.χ. C 0 =486 k= Άσκηση Πόσο είναι το πλήθος ν ( 3) των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να χωρίσουµε σε τρίγωνα ένα κυρτό -γωνο µε µη-τεµνόµενες διαγωνίους + κορυφές v + Θέτοντας: ν + =µ ν = ν ν + ν ν ν ν, + 3 µ = µ µ + µ µ µ µ, µε µ = ν = Άρα µ =C εποµένως ν k κορυφές v k +-k κορυφές v +-k 4 = Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 8
19 Άσκηση Σε µία εκλογή εκλέκτορες ψηφίζουν δύο υποψήφιους Α και Β. Μετά την καταµέτρηση των ψήφων βρέθηκε ότι οι υποψήφιοι πήραν από ίσους ψήφους. είξτε ότι: (α). Το πλήθος των δυνατών τρόπων καταµέτρησης των ψήφων ώστε σε όλη τη διαδικασία να προηγείται ο Α ισούται µε C. (β). Το πλήθος των δυνατών τρόπων καταµέτρησης των ψήφων ώστε σε όλη τη διαδικασία ο A να έχει τουλάχιστον τόσους ψήφους όσους και ο Β ισούται µε C + Συµβολίζουµε x το πλήθος στο (α) και y το πλήθος στο (β) Πρέπει η α ψήφος να είναι του Α και η τελευταία του Β A A B B Τα Α είναι. από τα Β x = y Ισοδυναµία µε αριθµούς Catala y x k 3 k k+ - A Για πρώτη φορά ισοπαλία Τα Α είναι >. από τα Β Αρχικές τιµές k=,,- Τα Α είναι. από τα Β x =, x =, x3 = y =, y = y = y = x y + x y x y + x y, 0 y = x+, x+ = x x+ x x x x+ x x, 0 B y -k Άρα x = C, y = C +, Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 9
20 Καταγραφή των x 4, y 4 ABAAABBB ABAABABB ABAABBAB ABABAABB ABABABAB x 4 AAAABBBB AAABABBB AABAABBB AABABABB AAABBABB y 4 AABBAABB AABBABAB AAABBBAB AABABBAB AAAABBBB AAABABBB AABAABBB AABABABB AAABBABB Άσκηση Στο ταµείο ενός θεάτρου υπάρχει µια ουρά ατόµων. από αυτούς έχουν από ένα 5-ευρω, ενώ οι υπόλοιποι έχουν µόνο 0-ευρα. Τα εισιτήρια κάνουν 5 και 5 ευρώ και στην αρχή ο ταµίας δεν έχει καθόλου χρήµατα. Είναι φανερό ότι υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των ατόµων αυτών στην ουρά. Σε πόσους από τους τρόπους αυτούς υπάρχουν πάντα 5-ευρα στο ταµείο του θεάτρου ώστε να µην υπάρξει πρόβληµα; α) Ποια η πιθανότητα να µην υπάρξει πρόβληµα στο ταµείο; β) Ποια η πιθανότητα να µηδενιστεί ακριβώς µία φορά το πλήθος των 5-ευρων στο ταµείο και µάλιστα στο (k)-στόάτοµο; γ) Ποια να µηδενιστεί ακριβώς µία φορά (εκτός του πρώτου και τελευταίου). Ας συµβολίσουµε µε Α αυτούς που έχουν 5-ευρα και µε Β αυτούς που δεν έχουν και ας τους καταγράψουµε σε µία σειρά. Για να συµβαίνει το ζητούµενο θα πρέπει, µετρώντας από την αρχή της λίστας προς το τέλος τα Α να είναι πάντα περισσότερα ή το πολύ ίσα µε τα Β. Άρα σύµφωνα µε το (β) της προηγούµενης άσκησης υπάρχουν C + τρόποι, για να µην υπάρξει πρόβληµα. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: α) β) CkC k p= C+ / = / = + + γ) CkC k = C = k= Συνδυαστική Η Εξάµ. Μαθηµατικών -Ειδικά Θέµατα Απαρίθµησης 0
n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Μωυσιάδης Χρόνης Πιθανοθεωρητική Προσομοίωση και Γραφήματα Ορισμοί Έστω α, =0,,, πραγματικoί ή μιγαδικοί αριθμοί. Η ως προς συνάρτηση (που ορίζεται σε διάστημα A()
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραO n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.
Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΓ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β )
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ /0/0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:ΕΝΝΕΑ (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΑρχές Απαρίθμησης. Αρχές Απαρίθμησης
Αρχές Απαρίθμησης Θεμελιώδης Αρχή Απαρίθμησης Αρχή Συμπερίληψης Εξαίρεσης Αρχή Περιστερώνα Αρχές Απαρίθμησης Θεμελιώδης Αρχή Απαρίθμησης Προσθετική Αρχή Απαρίθμησης Αρχή Συμπερίληψης Εξαίρεσης ή ή...ή...,,
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΣημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +.
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ- ΚΑ B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 3 0 3 3 1 1 1 8 3 Α= + + : και Β= : 4 +. 4 31 8 4 4 1 3 9 Μονάδες (β) Αν ισχύει ότι: 6( αβ + βγ + γα) = 11αβγ και αβγ 0, να βρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότερακ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,
Διαβάστε περισσότεραΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΌμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου
200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
Διαβάστε περισσότεραβ =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α αν δίνεται ότι: 3 β =. 3β + α α 3β 13 Α= 10 +, β α 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Γ= ˆ Α ˆ. Το τετράπλευρο ΑΓΔΕ είναι
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραB τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Αν ισχύει ότι 4x 5y = 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης Η
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΗ Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων Προβληµατα
Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΜ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ
Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις
Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00
Διαβάστε περισσότερα6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότερα,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
Διαβάστε περισσότεραΑ. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127
Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/12/2018 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική
Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται
Διαβάστε περισσότερα