ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ"

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c. β = c Ευθεία / / στον ' (κάθετη στον ' στο = c είναι ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) c ) (Η σχέση γ Αν β = 0 και α 0έχουµε = δηλαδή µορφή = c α Ευθεία / / στον ' (κάθετη στον = c ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) ' στο c ) (Η σχέση = c β γ Αν α 0 και β 0έχουµε = + δηλ. µορφή α α = λ+ β. = λ + β Ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης λ = εϕω Η εξίσωση α + β = γ έχει άπειρες λύσεις (ζεύγη) που αντιστοιχούν στα άπειρα σηµεία της ευθείας. Οι λύσεις έχουν την β γ µορφή : (, + ), R α α Η εξίσωση 0+ 0= 0είναι αόριστη γιατί αληθεύει για κάθε ζεύγος (, ),, R. Η γραφική της παράσταση είναι όλο το επίπεδο. 1

2 ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γραµµικό σύστηµα ( εξισώσεων µε αγνώστους) λέγεται κάθε σύστηµα της µορφής: α + β = γ α+ β = γ ( ε ) ( ε ) Επίλυση του είναι η αναζήτηση ζεύγους ή ζευγών ( 0, 0) που επαληθεύουν και τις δυο εξισώσεις. Αυτό το ζεύγος λέγεται ΛΥΣΗ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ: λέγεται όταν επιδέχεται λύση. Αλλιώς είναι Α ΥΝΑΤΟ. Οι εξισώσεις του συστήµατος, παριστάνουν ευθείες στο καρτεσιανό επίπεδο. 1. Αν οι ευθείες τέµνονται σε ένα σηµείο θα έχουµε 1 µοναδική λύση ( 0, 0).. Αν οι ευθείες ταυτίζονται θα έχουµε άπειρες λύσεις (της λύσεις της µιας εξίσωσης) ( ε1) ( ε ) 3. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες το σύστηµα είναι αδύνατο (Κανένα κοινό σηµείο, καµία κοινή λύση) ( ε 1 ) 4. Το σύστηµα = = 0 είναι αόριστο (Γραφικά, λύση του είναι όλο το επίπεδο. ( ε )

3 ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Να λυθεί το σύστηµα = 1 7 = 11 Ι. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Επιλύουµε την µια από τις εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο και αντικαθιστούµε στην άλλη = = 1 7 = = (, ) = (,1) = = = ΙΙ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Επιλύουµε και τις δυο εξισώσεις ως προς τον ίδιο άγνωστο και εξισώνουµε τις δυο εκφράσεις του ( συναρτήσει του άλλου αγνώστου) = 3+ 5= 1 5 = 5 7 = = = ( ) = = = = = 6 = = 1 (, ) = (,1) = ΙΙΙ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Επιλέγουµε τον άγνωστο που πρόκειται να «απαλείψουµε». Κατόπιν πολλαπλασιάζουµε «χιαστί» κάθε εξίσωση µε τον συντελεστή του αγνώστου στην άλλη, την µια µε τον ίδιο και την άλλη µε τον αντίθετο. Προσθέτοντας κατά µέλη τις δυο νέες εξισώσεις, ο άγνωστος απαλείφεται. Παρατήρηση: Αν οι δυο συντελεστές έχουν κοινό διαιρέτη, τους απλοποιούµε 3

4 3+ 5= 1 7= 11 ( 3) (, ) = (,1) 6+ 10= 3+ 5= 1 ( + ) 6+ 1= 33 = 1 31= 31 = 1 = = 1 Παραδείγµατα 1. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής των συναρτήσεων = 4 3 4( + 1) = 6( + 1) Κατόπιν να δειχθούν αυτά τα σηµεία τοµής γραφικά. ΛΥΣΗ Πρέπει πρώτα να κάνουµε πράξεις για να απλοποιηθεί η µορφή των εξισώσεων = ) = ( 5) + 1= 6(3 4+ ) 4(4 ) 4 4= = = ( + ) 4 6= = = 5 = Για = = 15 4= = 5 =. 4 Άρα, το σηµείο τοµής είναι 5 5 (, ) = (, ) 4 Οι δυο γραφικές παραστάσεις παριστάνουν ευθείες: ε : = ε : 4 6= = 5 4

5 (, 4 5 ) = 15 = 3 = 5. Ποιο σύστηµα παριστάνει το παρακάτω σχήµα; Α(-1, 3) Γ(5, 0) Β(-4, 0) ΛΥΣΗ Οι εξισώσεις των ευθειών είναι της µορφής ε1 : = α1+ β1 και ε : = α+ β. Όµως η ε1διέρχεται από το σηµείο Α(-1,3) και το σηµείο Β(-4,0). Οπότε αυτά τα σηµεία θα την επαληθεύουν µε τις συντεταγµένες τους. ηλ. α1 β1 = 3 3 = α1( 1) + β1 α1+ β1 = 3 ( 1) ( + ) 4α1+ β1 = 0 0 = α1( 4) + β1 4α1 + β1 = 0 (1) 3α = 3 α = 1 Για α1 α1 β1 β1 β1 1 1 = 1 = 3 1 = 3 = 3 1 β1= 4. Άρα, ε : =

6 Οµοίως η ε διέρχεται από τα σηµεία Α(-1,3) και Γ(5,0). Οπότε αυτά τα σηµεία θα την επαληθεύουν µε τις συντεταγµένες τους. ηλαδή : α β = 3 3 = α ( 1) + β α+ β = 3 ( 1) ( + ) 5α + β = 0 0= α 5+ β 5α + β = 0 (1) 6α 1 = 3 α = = 1 = 1 = = + 1 = 5 Για α α β 3 β 3 β 3 β 1 5 Άρα, ε : = + Άρα, το σύστηµα είναι : = = 4 = = + = = 5 3. Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 7. Ο διπλάσιος του είναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον αριθµό που προκύπτει µε εναλλαγή των ψηφίων του αρχικού. Να βρεθεί ο αριθµός. ΛΥΣΗ Έστω α ο ζητούµενος αριθµός, µε το το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των µονάδων του. Τότε α = 10+. Αρκεί να βρούµε τα,. Γνωρίζουµε ότι + = 7 (1) Ο διψήφιος β που προκύπτει µε εναλλαγή των ψηφίων του αείναι ο β = 10+. Από το δεδοµένο ότι ο διπλάσιος του αείναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον β έχουµε την εξίσωση : α= β+ 5 (10 + ) = () Από τις (1) και () έχουµε το σύστηµα + = 7 + = 7 + = 7 (10 + ) = = = 5 = 7 = (7 ) = = 5 αριθµός είναι ο 34. = 7 7= 81 = 4 άρα ο ζητούµενος = 3 6

7 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ης τάξης Ορίζουσα ης τάξης λέγεται ο αριθµός: α β α β α β α β = Παράδειγµα Αν α+ β + γ 0 και α = β = γ. α β γ α γ β α + γ = β τότε να αποδειχθεί ότι: γ α β γ β α ΛΥΣΗ Αν αναπτύξουµε τις ορίζουσες έχουµε: α( α βγ ) + γ ( γ αβ ) = β ( γα β ) α 3 αβγ + γ 3 αβγ = αβγ β α β γ αβγ αβγ αβγ + + = 0 α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = 0 (1) όµως από ταυτότητα Euler έχουµε : (1) α + β + γ 3 αβγ = [( α β ) + ( β γ ) + ( γ α ) ] 1 [( ) ( ) ( ) ] 0 α β + β γ + γ α = ( α β ) + ( β γ ) + ( γ α) = 0 α β = 0 και β γ = 0 και γ α = 0 α = β και β = γ και γ = α α = β = γ 7

8 ΙV. ΜΕΘΟ ΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Σε κάθε σύστηµα ορίζουµε τις ορίζουσες α1+ β1= γ1 α+ β = γ D α β 1 1 =, α β D γ β 1 1 =, γ β D α1 γ1 = α γ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 1. Αν D 0το σύστηµα έχει 1 µοναδική λύση : = D, = D D D. Αν D= 0και µια εκ των D, D είναι 0το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. Αν D= 0 και D = 0 και D = 0το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Ειδικά: Α) Το σύστηµα = 0 έχει 0+ 0= 0 D= D = D = 0και είναι αόριστο. Β)Το σύστηµα 0+ 0= 0 έχει 0 0 γ ( 0) + = D= D = D = 0αλλά είναι αδύνατο (εξαίρεση) Για τη λύση και διερεύνηση ενός συστήµατος 1. Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D, D. Προσπαθούµε να τους δώσουµε παραγοντοποιηµένη µορφή.. Βρίσκουµε τις ρίζες της εξίσωσης D= 0και µελετούµε το σύστηµα γι αυτές τις τιµές του λ (λ παράµετρος). Ερευνούµε τόσες περιπτώσεις όσες και οι ρίζες της D. Θα έχουµε: άπειρες λύσεις, αδύνατο ή αόριστο σύστηµα. 3. Για τις τιµές του λ για τις οποίες D 0έχουµε µια µοναδική λύση που της βρίσκουµε: = D, = D D D Παρατήρηση: Με την παραγοντοποιηµένη µορφή των D, D, D µπορούµε να καταλάβουµε πότε το σύστηµα είναι άπειρων λύσεων ή αδύνατο. Αν οι D, D, D έχουν κοινό παράγοντα ρ, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις για = ρ. Ενώ αν κάποιο παράγοντα ρ της D δεν τον έχει ή η = ρ. D ή η Dτο σύστηµα είναι αδύνατο για 8

9 Παραδείγµατα 1. Να διερευνηθεί και να λυθεί το σύστηµα λ + λ = λ λ = ( ) 5( ) 1 ( ) + (4 ) 1 ΛΥΣΗ Είναι: D= λ λ ( ) 5( ) ( λ ) 4 λ λ λ λ λ = ( ) (4 ) 5( )( ) = λ λ λ = ( ) (4 ) + 5( ) = λ λ + = ( λ ) (9 λ ) = ( ) (4 5) = λ λ + λ = λ λ λ+ ( ) (3 )(3 ) D ( ) ( 3)( 3) D 1 5( λ) = = λ λ = λ + λ λ = λ + λ 1 4 λ 4 5( ) ( )( ) 5( ) ( )( 5) = ( λ)( λ 3) = ( λ )( λ 3) D D ( λ ) 1 = = λ λ = λ λ = λ λ λ 1 ( ) ( ) ( )( 1) D ( )( 3) ιακρίνουµε τις περιπτώσεις Ι. Αν D= 0 λ λ λ ( ) ( 3)( + 3) = 0 λ = ή λ = 3 ή λ = 3 Α. Αν λ= τότε D= 0, D = 0, D = 0 Όµως το σύστηµα είναι αδύνατο καθώς παίρνει τη µορφή : = 1 (η περίπτωση της εξαίρεσης) 0+ 0= 1 Β. Αν λ= 3τότε D= 0, D = 0, D = 0. Άρα, το σύστηµα δέχεται άπειρες λύσεις, αντικαθιστώντας λ= 3στο σύστηµα: 5 = 1 5 = 1 = 5 + 1Ώστε, οι άπειρες λύσεις είναι 5= 1 (, ) = (5+ 1, ), R (το : ελεύθερος άγνωστος) Γ. Αν λ= 3τότε: D= 0ενώ D = ( 3 )( 3 3) = 30 0Αυτό αρκεί για να συµπεράνουµε ότι για λ= 3το σύστηµα είναι αδύνατο. ΙΙ. Αν D 0 λ και λ 3 και λ 3το σύστηµα δέχεται 1 µοναδική λύση D ( λ )( λ 3) 1 = = = D λ λ λ+ λ λ+ D ( ) ( 3)( 3) ( )( 3) ( λ )( λ 3) 1 = = = D λ λ λ+ λ λ+ ( ) ( 3)( 3) ( )( 3) 9

10 . Για ποιες τιµές του µ οι ευθείες ( ε 1) : µ µ 1 + = και ( ε ) : + µ = µ έχουν 1. 1 κοι9νό σηµείο. 1 κοινό σηµείο µε συντεταγµένες (, ) για το οποίο ισχύει + 3 = 3 3. Κανένα κοινό σηµείο. (δεν τέµνονται δηλ. παράλληλες) o o o o ΛΥΣΗ Υπολογίζουµε τις D, D, D για το σύστηµα των ευθειών: µ + µ = 1 + µ = µ µ µ 3 D = = µ µ = µ ( µ 1) = µ ( µ 1)( µ + 1) 1 µ D D 1 µ = = µ µ = µ (1 µ ) = µ ( µ 1) µ µ µ 1 3 = = µ 1 = ( µ 1)( µ + µ + 1) 1 µ Για να έχουν οι ευθείες ε1, ε 1 κοινό σηµείο θα πρέπει το (Σ) να έχει µοναδική λύση. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν: D 0 µ ( µ + 1)( µ 1) 0 µ 0 και µ 1 και µ 1 Στην περίπτωση που το (Σ) έχει µοναδική λύση (δηλ. για µ 0, µ 1, µ 1) αυτή η µοναδική λύση είναι η o D µ ( µ 1) 1 = = = (1) D µ ( µ + 1)( µ 1) µ + 1 o D µ µ µ µ µ = = = D µ ( µ + 1)( µ 1) µ ( µ + 1) ( 1)( + + 1) () Οπότε, (1),() µ + µ + 1 o+ 3o = = 3 µ + 3( µ + µ + 1) = 3 µ ( µ + 1) µ + 1 µ ( µ + 1) µ + 3µ + 3µ + 3= 3µ + 3µ µ = 3 Σχόλιο: Αν προέκυπτε π. χ. µ = 1τότε η τιµή αυτή του µ θα απορριπτόταν αφού για µ = 1το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση. Για να µην έχουν οι ευθείες ε1, ε κανένα κοινό σηµείο, θα πρέπει το (Σ) να είναι αδύνατο. 10

11 Για να είναι το (Σ) αδύνατο, αρχικά πρέπει D= 0 µ ( µ + 1)( µ 1) = 0 µ = 0 ή µ = 1 ή µ = 1 Προσοχή!!!: Όταν D= 0το (Σ) δεν είναι απαραίτητα αδύνατο. Μπορεί να έχει και άπειρες λύσεις. Έτσι, πρέπει να εξετάσουµε για ποιες από τις παραπάνω τιµές του µ (δηλ. µ = 0 ή µ = 1 ή µ = 1) το (Σ) είναι πράγµατι αδύνατο. Για µ = 0το (Σ) γίνεται : = 1 και είναι αδύνατο + 0= 0 Για µ = 1το (Σ) γίνεται : = 1 = 1 και είναι αδύνατο + = 1 Για µ= 1το (Σ) γίνεται : + = 1 = 1 και έχει άπειρες + = 1 λύσεις της µορφής: (, ) = (,1 ) R. Άρα, µόνο όταν µ = 0 ή µ = 1το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. κ + ( λ+ 1) = 3 A. Για ποιες τιµές των κ, λ τα συστήµατα: ( Σ 1 ) 3+ = 3 και κ + 9= 3 ( Σ ) λ+ 3= 1 έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις; B. Για τις τιµές των κ, λ που βρήκατε στο (1) βρείτε τις κοινές λύσεις των ( Σ1) και ( Σ ) ΛΥΣΗ Για να έχουν τα ( Σ 1), ( Σ) άπειρες λύσεις αρχικά πρέπει να έχουν ορίζουσες 0. κ λ+ 1 ηλαδή πρέπει : D1 = 0 = 0 κ 3( λ+ 1) = 0 κ 3λ = 3 (1) 3 κ 9 Και D = 0 = 0 3κ 9λ= 0 κ 3λ = 0 () λ 3 κ 3λ = 3 κ 3λ = 3 ( ) Λύνουµε το σύστηµα των (1), () + κ 3λ = 0 ( 1) κ+ 3λ = 0 κ = 3 Για κ = 3 κ 3λ = 0 3 3λ = 0 3λ = 3 λ= 1 11

12 Προσοχή: Για τις τιµές αυτές των κ, λκαθένα από τα ( Σ 1), ( Σ) έχει ορίζουσα µηδέν. Αυτό, δεν σηµαίνει ότι απαραίτητα τα ( Σ 1), ( Σ) θα έχουν άπειρες λύσεις. Μπορεί κάποιο από αυτά να είναι αδύνατο. Γι αυτό αντικαθιστούµε όπου κ = 3, λ = 1και ελέγχουµε αν πράγµατι τα ( Σ 1), ( Σ) έχουν άπειρες λύσεις. Για κ = 3 και λ= 1το ( Σ1) γίνεται: 3 + = = 3και συνεπώς έχει 3+ = 3 άπειρες λύσεις. Για κ = 3 και λ= 1το ( Σ) γίνεται: = = 1και συνεπώς έχει + 3= 1 άπειρες λύσεις. Άρα, για κ = 3 και λ= 1τα ( Σ 1), ( Σ) έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις. Για τις τιµές των κ, λκοινή λύση των ( Σ 1), ( Σ) σηµαίνει κοινή λύση των 3+ = 3και + 3= 1δηλ. λύση του συστήµατος 3+ = 3 3+ = = 1 ( 3) 3 9= 3 7 = 0 = 0 κοινή λύση είναι η (, ) = (1,0). για = 0 + 3= 1 = 1. Άρα, η 1

13 ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 3 3 α1+ β1+ γ1z= δ1 α+ β + γ z= δ Το λύνουµε ως εξής: α3+ β3+ γ 3z= δ 3 Απαλείφουµε έναν άγνωστο µεταξύ δυο εξισώσεων (µε αντίθετους συντελεστές) και έτσι, δηµιουργούµε σύστηµα που λύνεται κατά τα γνωστά. Κατόπιν αντικαθιστώντας τις τιµές των αγνώστων, στην Τρίτη εξίσωση βρίσκουµε και τον τρίτο άγνωστο. Ουσιαστικά, µ αυτή την διαδικασία παίρνουµε την µορφή: α1 ' + β1 ' + γ1 ' z= δ1 ' β ' + γ ' z= δ ' που λέγεται κλιµακωτή µορφή. z= δ3 ' Ένα σύστηµα 3 3 µπορεί να έχει : 1 µοναδική λύση άπειρες λύσεις ή να είναι αδύνατο. α1+ β1+ γ1z= 0 Το σύστηµα : α+ β + γ z= 0 λέγεται οµογενές και δέχεται πάντοτε τη α + β + γ z= µηδενική λύση (0,0,0). Όµως, µπορεί να έχει και άπειρες λύσεις µέσα στις οποίες σίγουρα υπάρχει και η µηδενική. Στα γραµµικά συστήµατα 3 3και γενικά σε συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους από αγνώστους προσέχουµε τα εξής : 1. Αν κατά τη διάρκεια της επίλυσης του συστήµατος εµφανιστεί εξίσωση της µορφής : ω= α, α 0τότε το σύστηµα είναι αδύνατο και σταµατάµε την επίλυση.. Αν εµφανιστεί εξίσωση της µορφής : ω = 0 (ταυτότητα) παραλείπουµε την εξίσωση αυτή και συνεχίζουµε κανονικά µε τις υπόλοιπες. 3. Αν οι εξισώσεις που αποµένουν στο τέλος είναι όσες και οι άγνωστοι το σύστηµα έχει µοναδική λύση. 4. Αν οι εξισώσεις που αποµένουν στο τέλος είναι λιγότερες από τους αγνώστους, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Τότε όσους αγνώστους περισσεύουν τους µετακινούµε δεξιά από το ίσον και υπολογίζουµε τους υπόλοιπους συναρτήσει αυτών. 13

14 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 4 + 3ω = Να λύσετε το σύστηµα: 3+ 3 ω= ω= 3 ΛΥΣΗ Απαλείφουµε τον µεταξύ πρώτης δεύτερης και πρώτης τρίτης εξίσωσης: 4 + 3ω = ω = 11 ( + ) 3+ 3 ω= 7 ( ) ω = ω = ω = ω = 11 ( + ) + + ω= -3 ( 4) 4 4 4ω = 1 3 7ω = 3 Οπότε το σύστηµα γίνεται: 4 + 3ω = ω= ω = 3 Απαλείφουµε τον µεταξύ δεύτερης και τρίτης εξίσωσης 7 9ω = ω = 9 ( + ) 3 7ω = ω = 161 Οπότε το σύστηµα γίνεται 76ω = 15 ω= 4 + 3ω = ω = ω= ω= ( ) ω= 3 7 = 1 ω= ω= ω= 4+ 3 ω= = 11 = = 3 = 3 = 3 (,, ω) = (, 3, ) ω= ω= ω= λύση Μοναδική 14

15 . Να λύσετε το σύστηµα : ω= ω = ω = 0 ΛΥΣΗ ω= ω= 18 ( + ) + + 3ω = 14 ( ) 4 6ω = 8 5ω = 10 (1) ω= ω= 54 ( + ) ω = 0 ( ) ω = 40 5ω = 14 () 5ω = 10 ( 1) 5ω = 10 ( + ) 5ω = 14 5ω = ω = 4 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. Να λύσετε το σύστηµα : + ω = ω = 3 + ω = 5 ΛΥΣΗ + ω = ω = 3Απαλείφουµε τον µεταξύ πρώτης δεύτερης + ω = 5 + ω= 1 + 4ω = 3 + ω = ( + ) + 4ω = 3 + ω = 5 Οπότε το σύστηµα έγινε + ω= 1 + ω = 5 Απαλείφουµε τον µεταξύ δεύτερης και τρίτης εξίσωσης + ω = 5 + ω = 5 ( 1) ω = 5 ( + ) + ω = 5 + ω = ω = 0 ταυτότητα Οπότε το σύστηµα έγινε: 15

16 5 ω + = 1+ ω + ω= 1 + = 1+ ω + ω = 5 = 5 ω 5 ω = 3 4ω 5 ω (,, ω) = (,, ω) ω R 3 4ω = 5 ω = Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (το ω λέγεται ελεύθερη µεταβλητή). ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ Τα οµογενή συστήµατα δεν είναι ποτέ αδύνατα. έχονται πάντοτε τη µηδενική λύση (0,0,0) ή έχουν άπειρες λύσεις. 4. Να λυθεί το σύστηµα : + + ω= 0 + ω = ω= 0 Λύση + + ω= ω= ω= ω= 0 + ω = 0 3 ω= 0 3 ω= 0 3 ω= ω= 0 4 ωv= 0 10ω = 0 ω= ω= 0 = 0 = 0 = 0 (,, ω) = (0,0,0) ω= 0 ω= 0 Άρα, το σύστηµα έχει µοναδική λύση, τη µηδενική (0,0,0). 5. Να λυθεί το σύστηµα: ω = 0 + 3ω = ω= 0 ΛΥΣΗ ω = ω= ω= ω= 0 + 3ω = 0 + 3ω = 0 5+ ω= ω= ω = 0-5+ ω= 0 5+ ω= 0 16

17 ω 7ω + = ω + = ω + = ω 5 = 5 ω 5= ω = 5 ω ω = = 5 5 7ω ω (,, ω) = (,, ω), ω Rάπειρες λύσεις

18 ΕΙ ΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ίνονται τρεις ειδικές µορφές στα παρακάτω παραδείγµατα I. 3 = = θέτω 1 = κ, 1 = λ και το σύστηµα γίνεται: κ 3λ = 7 κ 3λ = 7 ( + ) 15κ + 3λ = 6 5κ + λ = 3 13κ = 13 κ = 1 Για κ = 1 Για 1 = 1 = λ= 3 = 3 = 3 Για κ = 1 έχουµε 5 1+ λ= λ= 3 II. z = = z 3 4 Θέτω = = = λ οπότε = λ, = 3 λ, z= 4λ z= 8 Αντικαθιστώντας στη η εξίσωση έχουµε: 8 3 λ 5 3λ+ 7 4λ= 8 6λ 15λ+ 8λ = 8 19λ = 8 λ= (λ: 19 βοηθητικός άγνωστος) Τότε : 8 16 = = = 3 = z = 4 z= III. + = α (1) + z= β() Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: z+ = γ (3) α + β + γ + + z = α + β + γ + + z= (4) Αφαιρώντας κάθε εξίσωση από την (4) έχουµε: α+ β+ γ β+ γ α (4) (1) z= α z= 18

19 α+ β + γ α+ γ β (4) () = β = α + β + γ α + β γ ( 4) (3) = γ = IV. + = = 4 ή + = = 4 ή + = = 4 Στις παραπάνω περιπτώσεις θέτουµε: = κ ή = λ = κ ή = λ = κ = λ (όµως, κ, λ 0 ) Και τα συστήµατα παίρνουν τη µορφή : κ+ λ = κ+ 5 λ= 35 ( + ) 3κ 5λ = 4 3κ 5λ = 4 13κ = 39 κ = 3 Για κ = λ = 4 λ= 1 Οπότε: = 3 =± 3 = 1 =± 1 ή = 3 =± 3 = 1 =± 1 ή = 3 = 9 = 1 = 1 Αν έβγαινε κ < 0 ή λ< 0τότε τα παραπάνω συστήµατα θα ήταν αδύνατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να λυθεί η εξίσωση: = ΛΥΣΗ = ( + 11) + ( + 65) = = 0 και + 65= 0 + = 11 + = 65 θέτω : = α = α ( α 0) = β = β ( β 0) Το σύστηµα γίνεται : 19

20 α+ β = 11 α+ β = 11 α+ β = 11 α + β = 65 ( α+ β ) αβ = αβ = 65 α+ β = 11 α+ β = 11 α+ β = αβ = 65 αβ = 56 αβ = 8 Ψάχνουµε αριθµούς α, β που έχουν άθροισµα 11 και γινόµενο 8. Οι αριθµοί είναι ( α = 4, β = 7) ή ( α = 7, β = 4) Για α = 4 = 4 = 16 Για β = 7 = 7 = 49 ή Για α = 7 = 7 = 49 Για β = 4 = 4 = 16 Άρα, οι λύσεις είναι : (, ) = (16, 49) ή (, ) = (49,16). Να λυθεί το σύστηµα: = 14 = 10 ΛΥΣΗ ( ) = 14 διαιρούµε κατά µέλη ( ) = 10 ( ) = = = () ( ) Οπότε η (1) γίνεται: 7 ( ) = 10 = 10 = 50 = 5 =± Για () = 5 = 7 () = 5 = 7 άρα οι λύσεις είναι: (, ) = (7,5) ή (, ) = ( 7, 5) 3. Να λυθεί το σύστηµα: z 18 = + z 5 z 36 = z = + 5 ΛΥΣΗ Αν = = z= 0τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Αν 0 και 0 και z 0τότε έχουµε: 0

21 + z 5 = z 18 z+ 13 = z = 1 z 5 + = z z 18 z 13 + = z z = = z = z = 1 θέτω : 1 = α, 1 = β, 1 = γ και z έχουµε 5 γ + β = α+ γ = 36 5 β + α = 1 Προσθέτω κατά µέλη : α + β+ γ = ( α+ β + γ ) = ( α+ β+ γ ) = ( α+ β+ γ ) = α+ β + γ = (4) Αφαιρούµε κατά µέλη από την (4) διαδοχικά τις (1), (), (3) (4) (1) α = α = = = (4) () β = β = = = (4) (3) γ = γ = γ = = z= z 9 4. Να λυθεί το σύστηµα : z= 4 (1) z= 10 () = 15 (3) ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη : z z z = ( ) = 3600 =± 60 (4) ιαιρώντας διαδοχικά την (4) µε τις (1), (), (3) έχουµε (4) 60 5 =± =±, (4) =± 60 =± 6, (4) z=± 60 z=± 4 (1) 4 () 10 (3) 15 Άρα, οι λύσεις είναι : 5 5 (,, z) = (,6, 4) ή (,, z) = (, 6, 4) 1

22 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λυθεί το σύστηµα : του. + = 65 + = 35 και να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις Λύση + = 65 ( + ) = = = 65 + = 35 + = 35 + = 35 + = = = = 35 + = 35 = ( 35) = = 5> 0 τα, θα είναι ρίζες της εξίσωσης: ω 35ω+ 300= 0 ω 1, 35± 5 35± 5 = = ω1 = = = ω = = = 15 άρα = 0 ή = 15 = 15 = 0 Σχόλιο: Η εξίσωση + = ρ παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ. Άρα, γραφικά η + = 65 + = 5 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=5, ενώ η + = 35παριστάνει ευθεία. Τα σηµεία τοµής τους είναι τα Μ (0,15) και Μ '(15, 0).

23 Άλγεβρα Β Λυκείου. Να λυθεί το σύστηµα + = 10 = 3 Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. και να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις του. ΛΥΣΗ 3 + = 10 + ( ) = 10 + = = 3 = 3 = = = = = = 0 3 Όµως η = = 0είναι διτετράγωνη Θέτουµε 4 = ω ω1 = 1 = 1 =± 1 και γίνεται ω 10ω+ 9= 0 ω = 9 = 9 =± 3 3 Τέλος µε τη βοήθεια της = παίρνουµε τις λύσεις : = 1 ή = 3 = 1 = 3 ή = 3 = 1 ή = 3 = 1 Γραφικά η + = 10 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίναα ρ = 10 (γιατί + = ( 10) ) και η είναι τα Μ (1,3), Μ ( 1, 1 3), Μ (3,1), Μ 3 4 ( 3, 1) 3 = παριστάνει υπερβολή. Τα σηµεία τοµής τους 3. Να λύσετε το σύστηµα + + = 3 ( + ) = 10 3

24 ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι το σύστηµα περιέχει το + και το. Γι αυτό θέτουµε : + = α και = β και το σύστηµα γίνεται α+ β = 3 άρα οι αριθµοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης ω 3ω + 10= 0 που α β = 10 δίνει ω1 = 15, ω = 8. α = 15 Άρα, έχουµε : β = 8 α = 8 + = 15 ή (1) β = 15 = 8 ή + = 8 () = 15 Για το σύστηµα (1) οι αριθµοί, είναι ρίζες της εξίσωσης ω 15ω+ 8= 0 = = ( 15) ω1 = ω = οπότε το σύστηµα (1) έχει λύσεις = = ή = = Για το σύστηµα () οι αριθµοί, είναι ρίζες της εξίσωσης ω ω = 0 = = = ( 8) ω1 = = 5 8 ω = = 3 οπότε το σύστηµα () έχει λύσεις = 5 ή = 3 = 3 Άρα, το σύστηµα έχει 4 λύσεις : = 5 = 5 = 3 ή. = 3 = = ή = = = 4

25 Άλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Σχετικές θέσεις παραβολής και ευθείας Θεωρούµε την ευθεία α + β = γ και την παραβολή = κ και το σ σύστηµα = κ ( Σ) α + β = γ Αν το (Σ) έχει δυο λύσεις (, ), (, ) τότε ευθεία και 1 1 παραβολή έχουν δυο κοινά σηµεία: Α( 1, 1 ), B(, ) Αν το (Σ) έχει µια λύση (, ) τότε ευθεία και παραβολή έχουν ένα κοινό σηµείο M (, ) o o o o Αν το (Σ) είναι αδύνατο τότε ευθεία και παραβολή δεν έχουν κοινά σηµεία. 5

26 4. Να βρείτε τις τιµές του λ, λ R ώστε η ευθεία : = 3+ λ και η παραβολή = 1. να τέµνονται σε δυο σηµεία. Να εφάπτονται σε 1 σηµείο 3. Να µην έχουν κοινά σηµεία ΛΥΣΗ Έχουµε το σύστηµα = 3+ λ 3 + λ = = + + λ= 3 0 (1) Βρίσκουµε τη διακρίνουσα της (1): = = λ Για να τέµνονται σε δυο σηµεία πρέπει: > 0 9 4λ> 0 4λ< 9 λ< 4 9 Για να εφάπτονται σε ένα σηµείο πρέπει: = 0 9 4λ= 0 4λ = 9 λ = 4 9 Για να µην έχουν κοινά σηµεία πρέπει: < 0 9 4λ< 0 λ > 4 λ 6

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Έστω ότι οι εξισώσεις του συστήµατος α + β = γ α ' + β ' = γ ' (Σ) παριστάνουν τις ευθείες ε, ε '. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ) α) Αν D 0τότε οι ευθείες ε, ε ' τέµνονται Σ Λ β) Αν οι ευθείες ε, ε ' είναι παράλληλες τότε D= 0. Σ Λ γ) Αν D= 0 τότε οι ε, ε ' δεν τέµνονται Σ Λ δ) Αν D= 0 τότε οι ε, ε ' είναι παράλληλες. Σ Λ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ) Έστω το σύστηµα α + β = γ α ' + β ' = γ ' Α. Αν το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση τότε D= 0 Σ Λ (Σ) Β. Αν D= 0τότε το (Σ) είναι αδύνατο. Σ Λ Γ. Αν το σύστηµα δεν έχει µοναδική λύση τότε είναι αδύνατο. Σ Λ. Αν το (Σ) δεν έχει άπειρες λύσεις τότε είναι αδύνατο. Σ Λ Ε. Αν το (Σ) είναι αόριστο τότε D= 0 Σ Λ Στ. Αν D= 0τότε το (Σ) είναι αδύνατο ή αόριστο. Σ Λ Ζ. Αν D D = D = 0τότε το σύστηµα είναι αόριστο. Σ Λ = Η. Αν ( D 1) + (D ) = 0το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Σ Λ Θ. Αν D + ( D 1) = 0το σύστηµα είναι αόριστο Σ Λ Ι. Αν D 5 D = 0το σύστηµα είναι αδύνατο. Σ Λ + ΙΑ. Το σύστηµα 0+ 0= = 5 είναι αόριστο Σ Λ ΙΒ. Το σύστηµα α + β= 0 κ+ λ= 0 έχει πάντα λύση την (0,0) Σ Λ 7

28 3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Η γραµµική εξίσωση α + β= γ παριστάνει ευθεία όταν Α. α 0 ή β 0 Β. πάντα Γ. α =β = 0. α = β = γ = 0 Αν οι αριθµοί = 1, = 1είναι λύση του συστήµατος αριθµοί α και β είναι : α + β = 0 τότε οι γ + δ = λ Α. Ίσοι Β. Αντίστροφοι Γ. Αρνητικοί. Αντίθετοι Το σύστηµα 3+ α= 0 είναι αδύνατο όταν: 6 8= 0 Α. α = 0 Β. α = 4 Γ. ποτέ. α = 8 Αν το σύστηµα 3+ = α όπου 6 4= κα κ, α R έχει άπειρες λύσεις τότε το κ είναι Α. 0 Β. 1 Γ Αν D + D D, D 0 και = τότε η λύση του συστήµατος είναι: = Α. (1, 1) Β. (½, ½) Γ. (-1, -1). (0, 0) 6. Αν οι ευθείες = 3και = + κτέµνονται στο σηµείο M ( 1,3) τότε το κ ισούται µε : Α. 1 Β. 5 Γ Για ποια τιµή του λ η εξίσωση λ 6= 0 έχει λύση σηµείο τη ευθείας 8. = ; Α. Β. - Γ Αν το σύστηµα + κ = 0 είναι αδύνατο τότε το κ είναι 6+ 9= 3 Α. 3 Β. -3 Γ Αν D 0και D= D, D= D τότε η λύση του συστήµατος είναι: 10. Α. (1, 1) Β. (1, ½) Γ. (-1, ½). (1, - ½) Αν το σύστηµα είναι + κ = 1, κ Rείναι αδύνατο τότε το σύστηµα + = Α. αδύνατο Β. άπειρες λύσεις + = 1 + κ = Γ. µον. λύση (1, 1). µον. λύση (0, 1) 8

29 4. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε : = λ και ε : 4 λ λ = τέµνονται για κάθε λ R. 5. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε : ( λ 1)+ λ = λ και ε : λ 1 + = να είναι παράλληλες. λ = λ 6. Αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις να δείξετε ότι το σύστηµα λ = λ λ = λ έχει µοναδική λύση. + λ = 1 λ + = 7. Αν το (Σ) + = 1 είναι αδύνατο. είναι αόριστο να δείξετε ότι το σύστηµα λ = λ λ 4= 3 λ 3= 8. Αν το σύστηµα είναι αδύνατο να δείξετε ότι το σύστηµα 3= 1 ( λ 1) = 1 είναι αόριστο. λ = λ 9. Να βρείτε τα λ, µ ώστε τα συστήµατα λ = + 3 = 1 και λ+ = 0 ( λ 1) µ = να είναι συγχρόνως αδύνατα. 10. Αν D η ορίζουσα του συστήµατος ( D ) D= 3 3 = 1 να λύσετε το σύστηµα. 11. Αν D η ορίζουσα του συστήµατος ( D 1) + = 1 D+ 3= να λύσετε το σύστηµα 1. Να βρείτε τις τιµές του α ώστε οι ευθείες ε : + a= και ε : a+ 9= να 1 τέµνονται. 9

30 13. ίνεται το σύστηµα i). κ + 3= 7 κ = 5 Για ποια τιµή του κ R το σύστηµα έχει µοναδική λύση; ii). Αν ( 0, 0) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος να υπολογίσετε το κ αν 1 ισχύει ότι : 0 0 = Να λυθούν τα συστήµατα i). ii). + = = = 3 3( ) = iii). ( + 3) + ( + 8) = (4+ 1) = (3 + ) Κατόπιν να ερευνηθούν γραφικά οι λύσεις τους. 15. i). Να προσδιορισθεί η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(3,) και Β (4,5) ii). Αν το σηµείο Μ (3, λ+ 1) ανήκει στην ευθεία που προσδιορίσατε στο 1) να βρεθεί ο λ. 16. i). Να λυθεί η εξίσωση : (4+ 5 ) + (3 13) = 0 ii). Να λυθεί η ανίσωση : Ποια συστήµατα παριστάνουν τα παρακάτω σχήµατα 30

31 18. Να λυθούν οι εξισώσεις i) = 0 1 λ λ, ii). = 0 1 λ µε λ R Να προσδιοριστεί ο λ R,ώστε οι ευθείες ( ε1) : = + 3λκαι 1 λ λ 4 ( ε ) : = = 4να είναι παράλληλες. λ λ 0. Να λυθούν για τις διάφορες τιµές του λ R τα συστήµατα: i). ii). iii). λ( 1) + 4= λ( + ) = + ( λ ) + ( λ 4) = 5( λ+ ) ( λ 4) ( λ ) = ( λ 4) 3 λ = λ(1 ) + λ = 1 1. Να λυθούν για τις διάφορες τιµές των µ, λ Rτα συστήµατα 31

32 i). ii). ( λ + ) µ = 1 λ + µ = 3 λ+ = λ+ µ + = µ + 1. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε1) : ( λ+ 3) + ( λ 1) = λ+ 1και ( ε ) : ( λ ) ( λ 1) = 3λ+ 7. Να βρεθούν οι τιµές του λ Rώστε οι ευθείες να µην έχουν κανένα κοινό σηµείο (δηλ. να είναι παράλληλες) ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε1) : ( ) ( λ + µ ) = λ + µ 1και λ µ ( ε ) : ( λ ) + ( λ 1) = +. Να βρεθούν οι τιµές των µ, λ Rώστε να µ λ τέµνονται στο σηµείο Μ(1, -1). κ ( λ κ ) = κ+ λ 4. Να αποδείξετε ότι αν το σύστηµα : κ + λ : έχει λύση την ( λ κ ) = 3λ 1 (, ) = (6,1) τότε θα έχει άπειρες λύσεις. 5. Για ποιες τιµές των α, β R το σύστηµα : β + ( β 1) = 8 α α = α έχει µοναδική λύση την (, ) = (1,1) ; 6. Βρείτε τους αριθµούς α R για τους οποίους το σύστηµα (1 α) α = α + ( α 1) = α 4 έχει µια µοναδική λύση (, ) τέτοια ώστε + >. o o o o 7. Να βρεθούν οι τιµές των λ, µ Rγια τις οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα. (λ 1) + 10µ = 3 ( Σ 1 ) + 4= 5 ( λ ) ( µ + 1) = 7 και ( Σ ) 3 6= 5 8. Θεωρούµε τα συστήµατα: 3

33 (λ 1) + µ = µ ( Σ 1) + 4= λ + (1 3 µ ) = 1 και ( Σ ) 10= 3 Να προσδιορισθούν τα λ, µ Rώστε το ( Σ 1) να είναι αόριστο και το ( Σ) αδύνατο. 9. ίνεται η συνάρτηση f ( ) α = + β + γ (παραβολή). Αν ξέρουµε ότι f (1) = 6, f () = 11και f ( ) = 3να βρείτε τα α, β, γ. 30. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = κ 3 + λ µε πεδίο ορισµού το Ζ. Να βρεθούν τα κ, λ όταν f ( 0) = 0 και 11 f ( 1) =. 31. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε τα συστήµατα ( Σ 1 ) και ( Σ ) να είναι συγχρόνως αδύνατα. ( Σ 1 ) : ( α 1) β= α+ β= 0 ( Σ ) : + 3= 1 + α= 3. ίνονται τα συστήµατα ( Σ 1 ) : ( α + 1) β= 1 + = 1 ( Σ ) : + ( β + ) = α 3 ( α 1) = β + 1 είξτε ότι αν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις, τότε το δεύτερο είναι αδύνατο. 3= 11 λ 33. ίνεται το σύστηµα: λ R + 5 λ = 7 i). ii). Αποδείξτε ότι το σύστηµα έχει λύση για οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό λ. Υπολογίστε τα και iii). Για ποια τιµή του λ η λύση (, ) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: 11 + = ίνονται οι ευθείες ( ε 1 ) και ( ε ) µε εξισώσεις = 1και λ = 1 αντίστοιχα λ R 33

34 i). Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιµές του λ R ii). iii). Να βρείτε το λ για το οποίο τέµνονται κάθετα. Για το λ που βρήκατε στο (ii), να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις ευθείες και τον άξονα ' 35. Η λύση ενός συστήµατος µε αγνώστους και είναι : = t, = 3t 1, t R. i). Για ποιες τιµές του t Rοι λύσεις του συστήµατος είναι θετικοί αριθµοί; ii). Υπάρχει γραµµή και ποια πάνω στη οποία βρίσκονται οι λύσεις του συστήµατος; (µ 3) + = µ ίνεται το σύστηµα µ R. Αν το σύστηµα έχει µοναδική 5µ 3= 3µ + λύση την ( 10, t) να βρεθεί ο * t R. 37. Να βρείτε τις λύσεις του συστήµατος: = z αν ξέρουµε ότι + = 3z+,, z είναι ακέραιοι και επιπλέον ότι ο zείναι το υπόλοιπο της διαίρεσης ακέραιου δια του Τα συστήµατα = 7 λ ( Σ 1 ) : λ Rκαι = 3+ λ = 5+ 4µ ( Σ ) : = 7+ 3µ µ R έχουν κοινή λύση το ζεύγος, ). Να υπολογίσετε τα λ και µ και στη συνέχεια να ( o o βρείτε τη λύση του συστήµατος. 39. Για ποιες τιµές των και η εξίσωση + 1+ λ( ) = 0αληθεύει για οποιανδήποτε πραγµατικό αριθµό λ; 40. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D D + D D = D Αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να βρεθεί η λύση αυτή. = 3D 41. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D + D = D D και D 0. Αν + = 6να βρεθούν τα,. 4. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D + D + D = 4D+ D 5 34

35 i). είξτε ότι: ( D ) + ( D 1) + D = 0 ii). Να βρεθούν τα,. Να λυθούν τα συστήµατα + = ω= 15 ω+ = 1 1 = µ = ρ + ω 1 = ν ω+ + z 3= α 45. z+ 3= β + 3z= γ z = = z= 78 3 z 1 = = z= = 10 + = = = 3 z 1 1 = 1 + = z 8 = = = = = 4 = + z= + z z= z+ + = 157 = 66 = 1 + = = = = = = 1 + = Να λυθούν τα συστήµατα 35

36 i). ii). iii). + = = + = 34 = 15 + = = 0 Να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις τους. 60. Να λυθούν τα συστήµατα i). + + = 3 + = ( + ) = 3 v). + = 3 ii). iii). iv). + = = = 9 + = 7 + = = 0 vi). vii) = 36 + = 13 3 = 4 1 z = 0 3 z = 5 36

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y =

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y = ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 +

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β. Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός του συνόλου τιµών, κατάλληλος για τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ 1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση:

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2 1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα