ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ"

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c. β = c Ευθεία / / στον ' (κάθετη στον ' στο = c είναι ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) c ) (Η σχέση γ Αν β = 0 και α 0έχουµε = δηλαδή µορφή = c α Ευθεία / / στον ' (κάθετη στον = c ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) ' στο c ) (Η σχέση = c β γ Αν α 0 και β 0έχουµε = + δηλ. µορφή α α = λ+ β. = λ + β Ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης λ = εϕω Η εξίσωση α + β = γ έχει άπειρες λύσεις (ζεύγη) που αντιστοιχούν στα άπειρα σηµεία της ευθείας. Οι λύσεις έχουν την β γ µορφή : (, + ), R α α Η εξίσωση 0+ 0= 0είναι αόριστη γιατί αληθεύει για κάθε ζεύγος (, ),, R. Η γραφική της παράσταση είναι όλο το επίπεδο. 1

2 ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γραµµικό σύστηµα ( εξισώσεων µε αγνώστους) λέγεται κάθε σύστηµα της µορφής: α + β = γ α+ β = γ ( ε ) ( ε ) Επίλυση του είναι η αναζήτηση ζεύγους ή ζευγών ( 0, 0) που επαληθεύουν και τις δυο εξισώσεις. Αυτό το ζεύγος λέγεται ΛΥΣΗ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ: λέγεται όταν επιδέχεται λύση. Αλλιώς είναι Α ΥΝΑΤΟ. Οι εξισώσεις του συστήµατος, παριστάνουν ευθείες στο καρτεσιανό επίπεδο. 1. Αν οι ευθείες τέµνονται σε ένα σηµείο θα έχουµε 1 µοναδική λύση ( 0, 0).. Αν οι ευθείες ταυτίζονται θα έχουµε άπειρες λύσεις (της λύσεις της µιας εξίσωσης) ( ε1) ( ε ) 3. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες το σύστηµα είναι αδύνατο (Κανένα κοινό σηµείο, καµία κοινή λύση) ( ε 1 ) 4. Το σύστηµα = = 0 είναι αόριστο (Γραφικά, λύση του είναι όλο το επίπεδο. ( ε )

3 ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Να λυθεί το σύστηµα = 1 7 = 11 Ι. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Επιλύουµε την µια από τις εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο και αντικαθιστούµε στην άλλη = = 1 7 = = (, ) = (,1) = = = ΙΙ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Επιλύουµε και τις δυο εξισώσεις ως προς τον ίδιο άγνωστο και εξισώνουµε τις δυο εκφράσεις του ( συναρτήσει του άλλου αγνώστου) = 3+ 5= 1 5 = 5 7 = = = ( ) = = = = = 6 = = 1 (, ) = (,1) = ΙΙΙ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Επιλέγουµε τον άγνωστο που πρόκειται να «απαλείψουµε». Κατόπιν πολλαπλασιάζουµε «χιαστί» κάθε εξίσωση µε τον συντελεστή του αγνώστου στην άλλη, την µια µε τον ίδιο και την άλλη µε τον αντίθετο. Προσθέτοντας κατά µέλη τις δυο νέες εξισώσεις, ο άγνωστος απαλείφεται. Παρατήρηση: Αν οι δυο συντελεστές έχουν κοινό διαιρέτη, τους απλοποιούµε 3

4 3+ 5= 1 7= 11 ( 3) (, ) = (,1) 6+ 10= 3+ 5= 1 ( + ) 6+ 1= 33 = 1 31= 31 = 1 = = 1 Παραδείγµατα 1. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής των συναρτήσεων = 4 3 4( + 1) = 6( + 1) Κατόπιν να δειχθούν αυτά τα σηµεία τοµής γραφικά. ΛΥΣΗ Πρέπει πρώτα να κάνουµε πράξεις για να απλοποιηθεί η µορφή των εξισώσεων = ) = ( 5) + 1= 6(3 4+ ) 4(4 ) 4 4= = = ( + ) 4 6= = = 5 = Για = = 15 4= = 5 =. 4 Άρα, το σηµείο τοµής είναι 5 5 (, ) = (, ) 4 Οι δυο γραφικές παραστάσεις παριστάνουν ευθείες: ε : = ε : 4 6= = 5 4

5 (, 4 5 ) = 15 = 3 = 5. Ποιο σύστηµα παριστάνει το παρακάτω σχήµα; Α(-1, 3) Γ(5, 0) Β(-4, 0) ΛΥΣΗ Οι εξισώσεις των ευθειών είναι της µορφής ε1 : = α1+ β1 και ε : = α+ β. Όµως η ε1διέρχεται από το σηµείο Α(-1,3) και το σηµείο Β(-4,0). Οπότε αυτά τα σηµεία θα την επαληθεύουν µε τις συντεταγµένες τους. ηλ. α1 β1 = 3 3 = α1( 1) + β1 α1+ β1 = 3 ( 1) ( + ) 4α1+ β1 = 0 0 = α1( 4) + β1 4α1 + β1 = 0 (1) 3α = 3 α = 1 Για α1 α1 β1 β1 β1 1 1 = 1 = 3 1 = 3 = 3 1 β1= 4. Άρα, ε : =

6 Οµοίως η ε διέρχεται από τα σηµεία Α(-1,3) και Γ(5,0). Οπότε αυτά τα σηµεία θα την επαληθεύουν µε τις συντεταγµένες τους. ηλαδή : α β = 3 3 = α ( 1) + β α+ β = 3 ( 1) ( + ) 5α + β = 0 0= α 5+ β 5α + β = 0 (1) 6α 1 = 3 α = = 1 = 1 = = + 1 = 5 Για α α β 3 β 3 β 3 β 1 5 Άρα, ε : = + Άρα, το σύστηµα είναι : = = 4 = = + = = 5 3. Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 7. Ο διπλάσιος του είναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον αριθµό που προκύπτει µε εναλλαγή των ψηφίων του αρχικού. Να βρεθεί ο αριθµός. ΛΥΣΗ Έστω α ο ζητούµενος αριθµός, µε το το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των µονάδων του. Τότε α = 10+. Αρκεί να βρούµε τα,. Γνωρίζουµε ότι + = 7 (1) Ο διψήφιος β που προκύπτει µε εναλλαγή των ψηφίων του αείναι ο β = 10+. Από το δεδοµένο ότι ο διπλάσιος του αείναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον β έχουµε την εξίσωση : α= β+ 5 (10 + ) = () Από τις (1) και () έχουµε το σύστηµα + = 7 + = 7 + = 7 (10 + ) = = = 5 = 7 = (7 ) = = 5 αριθµός είναι ο 34. = 7 7= 81 = 4 άρα ο ζητούµενος = 3 6

7 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ης τάξης Ορίζουσα ης τάξης λέγεται ο αριθµός: α β α β α β α β = Παράδειγµα Αν α+ β + γ 0 και α = β = γ. α β γ α γ β α + γ = β τότε να αποδειχθεί ότι: γ α β γ β α ΛΥΣΗ Αν αναπτύξουµε τις ορίζουσες έχουµε: α( α βγ ) + γ ( γ αβ ) = β ( γα β ) α 3 αβγ + γ 3 αβγ = αβγ β α β γ αβγ αβγ αβγ + + = 0 α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = 0 (1) όµως από ταυτότητα Euler έχουµε : (1) α + β + γ 3 αβγ = [( α β ) + ( β γ ) + ( γ α ) ] 1 [( ) ( ) ( ) ] 0 α β + β γ + γ α = ( α β ) + ( β γ ) + ( γ α) = 0 α β = 0 και β γ = 0 και γ α = 0 α = β και β = γ και γ = α α = β = γ 7

8 ΙV. ΜΕΘΟ ΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Σε κάθε σύστηµα ορίζουµε τις ορίζουσες α1+ β1= γ1 α+ β = γ D α β 1 1 =, α β D γ β 1 1 =, γ β D α1 γ1 = α γ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 1. Αν D 0το σύστηµα έχει 1 µοναδική λύση : = D, = D D D. Αν D= 0και µια εκ των D, D είναι 0το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. Αν D= 0 και D = 0 και D = 0το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Ειδικά: Α) Το σύστηµα = 0 έχει 0+ 0= 0 D= D = D = 0και είναι αόριστο. Β)Το σύστηµα 0+ 0= 0 έχει 0 0 γ ( 0) + = D= D = D = 0αλλά είναι αδύνατο (εξαίρεση) Για τη λύση και διερεύνηση ενός συστήµατος 1. Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D, D. Προσπαθούµε να τους δώσουµε παραγοντοποιηµένη µορφή.. Βρίσκουµε τις ρίζες της εξίσωσης D= 0και µελετούµε το σύστηµα γι αυτές τις τιµές του λ (λ παράµετρος). Ερευνούµε τόσες περιπτώσεις όσες και οι ρίζες της D. Θα έχουµε: άπειρες λύσεις, αδύνατο ή αόριστο σύστηµα. 3. Για τις τιµές του λ για τις οποίες D 0έχουµε µια µοναδική λύση που της βρίσκουµε: = D, = D D D Παρατήρηση: Με την παραγοντοποιηµένη µορφή των D, D, D µπορούµε να καταλάβουµε πότε το σύστηµα είναι άπειρων λύσεων ή αδύνατο. Αν οι D, D, D έχουν κοινό παράγοντα ρ, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις για = ρ. Ενώ αν κάποιο παράγοντα ρ της D δεν τον έχει ή η = ρ. D ή η Dτο σύστηµα είναι αδύνατο για 8

9 Παραδείγµατα 1. Να διερευνηθεί και να λυθεί το σύστηµα λ + λ = λ λ = ( ) 5( ) 1 ( ) + (4 ) 1 ΛΥΣΗ Είναι: D= λ λ ( ) 5( ) ( λ ) 4 λ λ λ λ λ = ( ) (4 ) 5( )( ) = λ λ λ = ( ) (4 ) + 5( ) = λ λ + = ( λ ) (9 λ ) = ( ) (4 5) = λ λ + λ = λ λ λ+ ( ) (3 )(3 ) D ( ) ( 3)( 3) D 1 5( λ) = = λ λ = λ + λ λ = λ + λ 1 4 λ 4 5( ) ( )( ) 5( ) ( )( 5) = ( λ)( λ 3) = ( λ )( λ 3) D D ( λ ) 1 = = λ λ = λ λ = λ λ λ 1 ( ) ( ) ( )( 1) D ( )( 3) ιακρίνουµε τις περιπτώσεις Ι. Αν D= 0 λ λ λ ( ) ( 3)( + 3) = 0 λ = ή λ = 3 ή λ = 3 Α. Αν λ= τότε D= 0, D = 0, D = 0 Όµως το σύστηµα είναι αδύνατο καθώς παίρνει τη µορφή : = 1 (η περίπτωση της εξαίρεσης) 0+ 0= 1 Β. Αν λ= 3τότε D= 0, D = 0, D = 0. Άρα, το σύστηµα δέχεται άπειρες λύσεις, αντικαθιστώντας λ= 3στο σύστηµα: 5 = 1 5 = 1 = 5 + 1Ώστε, οι άπειρες λύσεις είναι 5= 1 (, ) = (5+ 1, ), R (το : ελεύθερος άγνωστος) Γ. Αν λ= 3τότε: D= 0ενώ D = ( 3 )( 3 3) = 30 0Αυτό αρκεί για να συµπεράνουµε ότι για λ= 3το σύστηµα είναι αδύνατο. ΙΙ. Αν D 0 λ και λ 3 και λ 3το σύστηµα δέχεται 1 µοναδική λύση D ( λ )( λ 3) 1 = = = D λ λ λ+ λ λ+ D ( ) ( 3)( 3) ( )( 3) ( λ )( λ 3) 1 = = = D λ λ λ+ λ λ+ ( ) ( 3)( 3) ( )( 3) 9

10 . Για ποιες τιµές του µ οι ευθείες ( ε 1) : µ µ 1 + = και ( ε ) : + µ = µ έχουν 1. 1 κοι9νό σηµείο. 1 κοινό σηµείο µε συντεταγµένες (, ) για το οποίο ισχύει + 3 = 3 3. Κανένα κοινό σηµείο. (δεν τέµνονται δηλ. παράλληλες) o o o o ΛΥΣΗ Υπολογίζουµε τις D, D, D για το σύστηµα των ευθειών: µ + µ = 1 + µ = µ µ µ 3 D = = µ µ = µ ( µ 1) = µ ( µ 1)( µ + 1) 1 µ D D 1 µ = = µ µ = µ (1 µ ) = µ ( µ 1) µ µ µ 1 3 = = µ 1 = ( µ 1)( µ + µ + 1) 1 µ Για να έχουν οι ευθείες ε1, ε 1 κοινό σηµείο θα πρέπει το (Σ) να έχει µοναδική λύση. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν: D 0 µ ( µ + 1)( µ 1) 0 µ 0 και µ 1 και µ 1 Στην περίπτωση που το (Σ) έχει µοναδική λύση (δηλ. για µ 0, µ 1, µ 1) αυτή η µοναδική λύση είναι η o D µ ( µ 1) 1 = = = (1) D µ ( µ + 1)( µ 1) µ + 1 o D µ µ µ µ µ = = = D µ ( µ + 1)( µ 1) µ ( µ + 1) ( 1)( + + 1) () Οπότε, (1),() µ + µ + 1 o+ 3o = = 3 µ + 3( µ + µ + 1) = 3 µ ( µ + 1) µ + 1 µ ( µ + 1) µ + 3µ + 3µ + 3= 3µ + 3µ µ = 3 Σχόλιο: Αν προέκυπτε π. χ. µ = 1τότε η τιµή αυτή του µ θα απορριπτόταν αφού για µ = 1το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση. Για να µην έχουν οι ευθείες ε1, ε κανένα κοινό σηµείο, θα πρέπει το (Σ) να είναι αδύνατο. 10

11 Για να είναι το (Σ) αδύνατο, αρχικά πρέπει D= 0 µ ( µ + 1)( µ 1) = 0 µ = 0 ή µ = 1 ή µ = 1 Προσοχή!!!: Όταν D= 0το (Σ) δεν είναι απαραίτητα αδύνατο. Μπορεί να έχει και άπειρες λύσεις. Έτσι, πρέπει να εξετάσουµε για ποιες από τις παραπάνω τιµές του µ (δηλ. µ = 0 ή µ = 1 ή µ = 1) το (Σ) είναι πράγµατι αδύνατο. Για µ = 0το (Σ) γίνεται : = 1 και είναι αδύνατο + 0= 0 Για µ = 1το (Σ) γίνεται : = 1 = 1 και είναι αδύνατο + = 1 Για µ= 1το (Σ) γίνεται : + = 1 = 1 και έχει άπειρες + = 1 λύσεις της µορφής: (, ) = (,1 ) R. Άρα, µόνο όταν µ = 0 ή µ = 1το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. κ + ( λ+ 1) = 3 A. Για ποιες τιµές των κ, λ τα συστήµατα: ( Σ 1 ) 3+ = 3 και κ + 9= 3 ( Σ ) λ+ 3= 1 έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις; B. Για τις τιµές των κ, λ που βρήκατε στο (1) βρείτε τις κοινές λύσεις των ( Σ1) και ( Σ ) ΛΥΣΗ Για να έχουν τα ( Σ 1), ( Σ) άπειρες λύσεις αρχικά πρέπει να έχουν ορίζουσες 0. κ λ+ 1 ηλαδή πρέπει : D1 = 0 = 0 κ 3( λ+ 1) = 0 κ 3λ = 3 (1) 3 κ 9 Και D = 0 = 0 3κ 9λ= 0 κ 3λ = 0 () λ 3 κ 3λ = 3 κ 3λ = 3 ( ) Λύνουµε το σύστηµα των (1), () + κ 3λ = 0 ( 1) κ+ 3λ = 0 κ = 3 Για κ = 3 κ 3λ = 0 3 3λ = 0 3λ = 3 λ= 1 11

12 Προσοχή: Για τις τιµές αυτές των κ, λκαθένα από τα ( Σ 1), ( Σ) έχει ορίζουσα µηδέν. Αυτό, δεν σηµαίνει ότι απαραίτητα τα ( Σ 1), ( Σ) θα έχουν άπειρες λύσεις. Μπορεί κάποιο από αυτά να είναι αδύνατο. Γι αυτό αντικαθιστούµε όπου κ = 3, λ = 1και ελέγχουµε αν πράγµατι τα ( Σ 1), ( Σ) έχουν άπειρες λύσεις. Για κ = 3 και λ= 1το ( Σ1) γίνεται: 3 + = = 3και συνεπώς έχει 3+ = 3 άπειρες λύσεις. Για κ = 3 και λ= 1το ( Σ) γίνεται: = = 1και συνεπώς έχει + 3= 1 άπειρες λύσεις. Άρα, για κ = 3 και λ= 1τα ( Σ 1), ( Σ) έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις. Για τις τιµές των κ, λκοινή λύση των ( Σ 1), ( Σ) σηµαίνει κοινή λύση των 3+ = 3και + 3= 1δηλ. λύση του συστήµατος 3+ = 3 3+ = = 1 ( 3) 3 9= 3 7 = 0 = 0 κοινή λύση είναι η (, ) = (1,0). για = 0 + 3= 1 = 1. Άρα, η 1

13 ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 3 3 α1+ β1+ γ1z= δ1 α+ β + γ z= δ Το λύνουµε ως εξής: α3+ β3+ γ 3z= δ 3 Απαλείφουµε έναν άγνωστο µεταξύ δυο εξισώσεων (µε αντίθετους συντελεστές) και έτσι, δηµιουργούµε σύστηµα που λύνεται κατά τα γνωστά. Κατόπιν αντικαθιστώντας τις τιµές των αγνώστων, στην Τρίτη εξίσωση βρίσκουµε και τον τρίτο άγνωστο. Ουσιαστικά, µ αυτή την διαδικασία παίρνουµε την µορφή: α1 ' + β1 ' + γ1 ' z= δ1 ' β ' + γ ' z= δ ' που λέγεται κλιµακωτή µορφή. z= δ3 ' Ένα σύστηµα 3 3 µπορεί να έχει : 1 µοναδική λύση άπειρες λύσεις ή να είναι αδύνατο. α1+ β1+ γ1z= 0 Το σύστηµα : α+ β + γ z= 0 λέγεται οµογενές και δέχεται πάντοτε τη α + β + γ z= µηδενική λύση (0,0,0). Όµως, µπορεί να έχει και άπειρες λύσεις µέσα στις οποίες σίγουρα υπάρχει και η µηδενική. Στα γραµµικά συστήµατα 3 3και γενικά σε συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους από αγνώστους προσέχουµε τα εξής : 1. Αν κατά τη διάρκεια της επίλυσης του συστήµατος εµφανιστεί εξίσωση της µορφής : ω= α, α 0τότε το σύστηµα είναι αδύνατο και σταµατάµε την επίλυση.. Αν εµφανιστεί εξίσωση της µορφής : ω = 0 (ταυτότητα) παραλείπουµε την εξίσωση αυτή και συνεχίζουµε κανονικά µε τις υπόλοιπες. 3. Αν οι εξισώσεις που αποµένουν στο τέλος είναι όσες και οι άγνωστοι το σύστηµα έχει µοναδική λύση. 4. Αν οι εξισώσεις που αποµένουν στο τέλος είναι λιγότερες από τους αγνώστους, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Τότε όσους αγνώστους περισσεύουν τους µετακινούµε δεξιά από το ίσον και υπολογίζουµε τους υπόλοιπους συναρτήσει αυτών. 13

14 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 4 + 3ω = Να λύσετε το σύστηµα: 3+ 3 ω= ω= 3 ΛΥΣΗ Απαλείφουµε τον µεταξύ πρώτης δεύτερης και πρώτης τρίτης εξίσωσης: 4 + 3ω = ω = 11 ( + ) 3+ 3 ω= 7 ( ) ω = ω = ω = ω = 11 ( + ) + + ω= -3 ( 4) 4 4 4ω = 1 3 7ω = 3 Οπότε το σύστηµα γίνεται: 4 + 3ω = ω= ω = 3 Απαλείφουµε τον µεταξύ δεύτερης και τρίτης εξίσωσης 7 9ω = ω = 9 ( + ) 3 7ω = ω = 161 Οπότε το σύστηµα γίνεται 76ω = 15 ω= 4 + 3ω = ω = ω= ω= ( ) ω= 3 7 = 1 ω= ω= ω= 4+ 3 ω= = 11 = = 3 = 3 = 3 (,, ω) = (, 3, ) ω= ω= ω= λύση Μοναδική 14

15 . Να λύσετε το σύστηµα : ω= ω = ω = 0 ΛΥΣΗ ω= ω= 18 ( + ) + + 3ω = 14 ( ) 4 6ω = 8 5ω = 10 (1) ω= ω= 54 ( + ) ω = 0 ( ) ω = 40 5ω = 14 () 5ω = 10 ( 1) 5ω = 10 ( + ) 5ω = 14 5ω = ω = 4 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. Να λύσετε το σύστηµα : + ω = ω = 3 + ω = 5 ΛΥΣΗ + ω = ω = 3Απαλείφουµε τον µεταξύ πρώτης δεύτερης + ω = 5 + ω= 1 + 4ω = 3 + ω = ( + ) + 4ω = 3 + ω = 5 Οπότε το σύστηµα έγινε + ω= 1 + ω = 5 Απαλείφουµε τον µεταξύ δεύτερης και τρίτης εξίσωσης + ω = 5 + ω = 5 ( 1) ω = 5 ( + ) + ω = 5 + ω = ω = 0 ταυτότητα Οπότε το σύστηµα έγινε: 15

16 5 ω + = 1+ ω + ω= 1 + = 1+ ω + ω = 5 = 5 ω 5 ω = 3 4ω 5 ω (,, ω) = (,, ω) ω R 3 4ω = 5 ω = Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (το ω λέγεται ελεύθερη µεταβλητή). ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ Τα οµογενή συστήµατα δεν είναι ποτέ αδύνατα. έχονται πάντοτε τη µηδενική λύση (0,0,0) ή έχουν άπειρες λύσεις. 4. Να λυθεί το σύστηµα : + + ω= 0 + ω = ω= 0 Λύση + + ω= ω= ω= ω= 0 + ω = 0 3 ω= 0 3 ω= 0 3 ω= ω= 0 4 ωv= 0 10ω = 0 ω= ω= 0 = 0 = 0 = 0 (,, ω) = (0,0,0) ω= 0 ω= 0 Άρα, το σύστηµα έχει µοναδική λύση, τη µηδενική (0,0,0). 5. Να λυθεί το σύστηµα: ω = 0 + 3ω = ω= 0 ΛΥΣΗ ω = ω= ω= ω= 0 + 3ω = 0 + 3ω = 0 5+ ω= ω= ω = 0-5+ ω= 0 5+ ω= 0 16

17 ω 7ω + = ω + = ω + = ω 5 = 5 ω 5= ω = 5 ω ω = = 5 5 7ω ω (,, ω) = (,, ω), ω Rάπειρες λύσεις

18 ΕΙ ΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ίνονται τρεις ειδικές µορφές στα παρακάτω παραδείγµατα I. 3 = = θέτω 1 = κ, 1 = λ και το σύστηµα γίνεται: κ 3λ = 7 κ 3λ = 7 ( + ) 15κ + 3λ = 6 5κ + λ = 3 13κ = 13 κ = 1 Για κ = 1 Για 1 = 1 = λ= 3 = 3 = 3 Για κ = 1 έχουµε 5 1+ λ= λ= 3 II. z = = z 3 4 Θέτω = = = λ οπότε = λ, = 3 λ, z= 4λ z= 8 Αντικαθιστώντας στη η εξίσωση έχουµε: 8 3 λ 5 3λ+ 7 4λ= 8 6λ 15λ+ 8λ = 8 19λ = 8 λ= (λ: 19 βοηθητικός άγνωστος) Τότε : 8 16 = = = 3 = z = 4 z= III. + = α (1) + z= β() Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: z+ = γ (3) α + β + γ + + z = α + β + γ + + z= (4) Αφαιρώντας κάθε εξίσωση από την (4) έχουµε: α+ β+ γ β+ γ α (4) (1) z= α z= 18

19 α+ β + γ α+ γ β (4) () = β = α + β + γ α + β γ ( 4) (3) = γ = IV. + = = 4 ή + = = 4 ή + = = 4 Στις παραπάνω περιπτώσεις θέτουµε: = κ ή = λ = κ ή = λ = κ = λ (όµως, κ, λ 0 ) Και τα συστήµατα παίρνουν τη µορφή : κ+ λ = κ+ 5 λ= 35 ( + ) 3κ 5λ = 4 3κ 5λ = 4 13κ = 39 κ = 3 Για κ = λ = 4 λ= 1 Οπότε: = 3 =± 3 = 1 =± 1 ή = 3 =± 3 = 1 =± 1 ή = 3 = 9 = 1 = 1 Αν έβγαινε κ < 0 ή λ< 0τότε τα παραπάνω συστήµατα θα ήταν αδύνατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να λυθεί η εξίσωση: = ΛΥΣΗ = ( + 11) + ( + 65) = = 0 και + 65= 0 + = 11 + = 65 θέτω : = α = α ( α 0) = β = β ( β 0) Το σύστηµα γίνεται : 19

20 α+ β = 11 α+ β = 11 α+ β = 11 α + β = 65 ( α+ β ) αβ = αβ = 65 α+ β = 11 α+ β = 11 α+ β = αβ = 65 αβ = 56 αβ = 8 Ψάχνουµε αριθµούς α, β που έχουν άθροισµα 11 και γινόµενο 8. Οι αριθµοί είναι ( α = 4, β = 7) ή ( α = 7, β = 4) Για α = 4 = 4 = 16 Για β = 7 = 7 = 49 ή Για α = 7 = 7 = 49 Για β = 4 = 4 = 16 Άρα, οι λύσεις είναι : (, ) = (16, 49) ή (, ) = (49,16). Να λυθεί το σύστηµα: = 14 = 10 ΛΥΣΗ ( ) = 14 διαιρούµε κατά µέλη ( ) = 10 ( ) = = = () ( ) Οπότε η (1) γίνεται: 7 ( ) = 10 = 10 = 50 = 5 =± Για () = 5 = 7 () = 5 = 7 άρα οι λύσεις είναι: (, ) = (7,5) ή (, ) = ( 7, 5) 3. Να λυθεί το σύστηµα: z 18 = + z 5 z 36 = z = + 5 ΛΥΣΗ Αν = = z= 0τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Αν 0 και 0 και z 0τότε έχουµε: 0

21 + z 5 = z 18 z+ 13 = z = 1 z 5 + = z z 18 z 13 + = z z = = z = z = 1 θέτω : 1 = α, 1 = β, 1 = γ και z έχουµε 5 γ + β = α+ γ = 36 5 β + α = 1 Προσθέτω κατά µέλη : α + β+ γ = ( α+ β + γ ) = ( α+ β+ γ ) = ( α+ β+ γ ) = α+ β + γ = (4) Αφαιρούµε κατά µέλη από την (4) διαδοχικά τις (1), (), (3) (4) (1) α = α = = = (4) () β = β = = = (4) (3) γ = γ = γ = = z= z 9 4. Να λυθεί το σύστηµα : z= 4 (1) z= 10 () = 15 (3) ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη : z z z = ( ) = 3600 =± 60 (4) ιαιρώντας διαδοχικά την (4) µε τις (1), (), (3) έχουµε (4) 60 5 =± =±, (4) =± 60 =± 6, (4) z=± 60 z=± 4 (1) 4 () 10 (3) 15 Άρα, οι λύσεις είναι : 5 5 (,, z) = (,6, 4) ή (,, z) = (, 6, 4) 1

22 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λυθεί το σύστηµα : του. + = 65 + = 35 και να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις Λύση + = 65 ( + ) = = = 65 + = 35 + = 35 + = 35 + = = = = 35 + = 35 = ( 35) = = 5> 0 τα, θα είναι ρίζες της εξίσωσης: ω 35ω+ 300= 0 ω 1, 35± 5 35± 5 = = ω1 = = = ω = = = 15 άρα = 0 ή = 15 = 15 = 0 Σχόλιο: Η εξίσωση + = ρ παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ. Άρα, γραφικά η + = 65 + = 5 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=5, ενώ η + = 35παριστάνει ευθεία. Τα σηµεία τοµής τους είναι τα Μ (0,15) και Μ '(15, 0).

23 Άλγεβρα Β Λυκείου. Να λυθεί το σύστηµα + = 10 = 3 Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. και να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις του. ΛΥΣΗ 3 + = 10 + ( ) = 10 + = = 3 = 3 = = = = = = 0 3 Όµως η = = 0είναι διτετράγωνη Θέτουµε 4 = ω ω1 = 1 = 1 =± 1 και γίνεται ω 10ω+ 9= 0 ω = 9 = 9 =± 3 3 Τέλος µε τη βοήθεια της = παίρνουµε τις λύσεις : = 1 ή = 3 = 1 = 3 ή = 3 = 1 ή = 3 = 1 Γραφικά η + = 10 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίναα ρ = 10 (γιατί + = ( 10) ) και η είναι τα Μ (1,3), Μ ( 1, 1 3), Μ (3,1), Μ 3 4 ( 3, 1) 3 = παριστάνει υπερβολή. Τα σηµεία τοµής τους 3. Να λύσετε το σύστηµα + + = 3 ( + ) = 10 3

24 ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι το σύστηµα περιέχει το + και το. Γι αυτό θέτουµε : + = α και = β και το σύστηµα γίνεται α+ β = 3 άρα οι αριθµοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης ω 3ω + 10= 0 που α β = 10 δίνει ω1 = 15, ω = 8. α = 15 Άρα, έχουµε : β = 8 α = 8 + = 15 ή (1) β = 15 = 8 ή + = 8 () = 15 Για το σύστηµα (1) οι αριθµοί, είναι ρίζες της εξίσωσης ω 15ω+ 8= 0 = = ( 15) ω1 = ω = οπότε το σύστηµα (1) έχει λύσεις = = ή = = Για το σύστηµα () οι αριθµοί, είναι ρίζες της εξίσωσης ω ω = 0 = = = ( 8) ω1 = = 5 8 ω = = 3 οπότε το σύστηµα () έχει λύσεις = 5 ή = 3 = 3 Άρα, το σύστηµα έχει 4 λύσεις : = 5 = 5 = 3 ή. = 3 = = ή = = = 4

25 Άλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Σχετικές θέσεις παραβολής και ευθείας Θεωρούµε την ευθεία α + β = γ και την παραβολή = κ και το σ σύστηµα = κ ( Σ) α + β = γ Αν το (Σ) έχει δυο λύσεις (, ), (, ) τότε ευθεία και 1 1 παραβολή έχουν δυο κοινά σηµεία: Α( 1, 1 ), B(, ) Αν το (Σ) έχει µια λύση (, ) τότε ευθεία και παραβολή έχουν ένα κοινό σηµείο M (, ) o o o o Αν το (Σ) είναι αδύνατο τότε ευθεία και παραβολή δεν έχουν κοινά σηµεία. 5

26 4. Να βρείτε τις τιµές του λ, λ R ώστε η ευθεία : = 3+ λ και η παραβολή = 1. να τέµνονται σε δυο σηµεία. Να εφάπτονται σε 1 σηµείο 3. Να µην έχουν κοινά σηµεία ΛΥΣΗ Έχουµε το σύστηµα = 3+ λ 3 + λ = = + + λ= 3 0 (1) Βρίσκουµε τη διακρίνουσα της (1): = = λ Για να τέµνονται σε δυο σηµεία πρέπει: > 0 9 4λ> 0 4λ< 9 λ< 4 9 Για να εφάπτονται σε ένα σηµείο πρέπει: = 0 9 4λ= 0 4λ = 9 λ = 4 9 Για να µην έχουν κοινά σηµεία πρέπει: < 0 9 4λ< 0 λ > 4 λ 6

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Έστω ότι οι εξισώσεις του συστήµατος α + β = γ α ' + β ' = γ ' (Σ) παριστάνουν τις ευθείες ε, ε '. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ) α) Αν D 0τότε οι ευθείες ε, ε ' τέµνονται Σ Λ β) Αν οι ευθείες ε, ε ' είναι παράλληλες τότε D= 0. Σ Λ γ) Αν D= 0 τότε οι ε, ε ' δεν τέµνονται Σ Λ δ) Αν D= 0 τότε οι ε, ε ' είναι παράλληλες. Σ Λ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ) Έστω το σύστηµα α + β = γ α ' + β ' = γ ' Α. Αν το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση τότε D= 0 Σ Λ (Σ) Β. Αν D= 0τότε το (Σ) είναι αδύνατο. Σ Λ Γ. Αν το σύστηµα δεν έχει µοναδική λύση τότε είναι αδύνατο. Σ Λ. Αν το (Σ) δεν έχει άπειρες λύσεις τότε είναι αδύνατο. Σ Λ Ε. Αν το (Σ) είναι αόριστο τότε D= 0 Σ Λ Στ. Αν D= 0τότε το (Σ) είναι αδύνατο ή αόριστο. Σ Λ Ζ. Αν D D = D = 0τότε το σύστηµα είναι αόριστο. Σ Λ = Η. Αν ( D 1) + (D ) = 0το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Σ Λ Θ. Αν D + ( D 1) = 0το σύστηµα είναι αόριστο Σ Λ Ι. Αν D 5 D = 0το σύστηµα είναι αδύνατο. Σ Λ + ΙΑ. Το σύστηµα 0+ 0= = 5 είναι αόριστο Σ Λ ΙΒ. Το σύστηµα α + β= 0 κ+ λ= 0 έχει πάντα λύση την (0,0) Σ Λ 7

28 3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Η γραµµική εξίσωση α + β= γ παριστάνει ευθεία όταν Α. α 0 ή β 0 Β. πάντα Γ. α =β = 0. α = β = γ = 0 Αν οι αριθµοί = 1, = 1είναι λύση του συστήµατος αριθµοί α και β είναι : α + β = 0 τότε οι γ + δ = λ Α. Ίσοι Β. Αντίστροφοι Γ. Αρνητικοί. Αντίθετοι Το σύστηµα 3+ α= 0 είναι αδύνατο όταν: 6 8= 0 Α. α = 0 Β. α = 4 Γ. ποτέ. α = 8 Αν το σύστηµα 3+ = α όπου 6 4= κα κ, α R έχει άπειρες λύσεις τότε το κ είναι Α. 0 Β. 1 Γ Αν D + D D, D 0 και = τότε η λύση του συστήµατος είναι: = Α. (1, 1) Β. (½, ½) Γ. (-1, -1). (0, 0) 6. Αν οι ευθείες = 3και = + κτέµνονται στο σηµείο M ( 1,3) τότε το κ ισούται µε : Α. 1 Β. 5 Γ Για ποια τιµή του λ η εξίσωση λ 6= 0 έχει λύση σηµείο τη ευθείας 8. = ; Α. Β. - Γ Αν το σύστηµα + κ = 0 είναι αδύνατο τότε το κ είναι 6+ 9= 3 Α. 3 Β. -3 Γ Αν D 0και D= D, D= D τότε η λύση του συστήµατος είναι: 10. Α. (1, 1) Β. (1, ½) Γ. (-1, ½). (1, - ½) Αν το σύστηµα είναι + κ = 1, κ Rείναι αδύνατο τότε το σύστηµα + = Α. αδύνατο Β. άπειρες λύσεις + = 1 + κ = Γ. µον. λύση (1, 1). µον. λύση (0, 1) 8

29 4. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε : = λ και ε : 4 λ λ = τέµνονται για κάθε λ R. 5. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε : ( λ 1)+ λ = λ και ε : λ 1 + = να είναι παράλληλες. λ = λ 6. Αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις να δείξετε ότι το σύστηµα λ = λ λ = λ έχει µοναδική λύση. + λ = 1 λ + = 7. Αν το (Σ) + = 1 είναι αδύνατο. είναι αόριστο να δείξετε ότι το σύστηµα λ = λ λ 4= 3 λ 3= 8. Αν το σύστηµα είναι αδύνατο να δείξετε ότι το σύστηµα 3= 1 ( λ 1) = 1 είναι αόριστο. λ = λ 9. Να βρείτε τα λ, µ ώστε τα συστήµατα λ = + 3 = 1 και λ+ = 0 ( λ 1) µ = να είναι συγχρόνως αδύνατα. 10. Αν D η ορίζουσα του συστήµατος ( D ) D= 3 3 = 1 να λύσετε το σύστηµα. 11. Αν D η ορίζουσα του συστήµατος ( D 1) + = 1 D+ 3= να λύσετε το σύστηµα 1. Να βρείτε τις τιµές του α ώστε οι ευθείες ε : + a= και ε : a+ 9= να 1 τέµνονται. 9

30 13. ίνεται το σύστηµα i). κ + 3= 7 κ = 5 Για ποια τιµή του κ R το σύστηµα έχει µοναδική λύση; ii). Αν ( 0, 0) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος να υπολογίσετε το κ αν 1 ισχύει ότι : 0 0 = Να λυθούν τα συστήµατα i). ii). + = = = 3 3( ) = iii). ( + 3) + ( + 8) = (4+ 1) = (3 + ) Κατόπιν να ερευνηθούν γραφικά οι λύσεις τους. 15. i). Να προσδιορισθεί η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(3,) και Β (4,5) ii). Αν το σηµείο Μ (3, λ+ 1) ανήκει στην ευθεία που προσδιορίσατε στο 1) να βρεθεί ο λ. 16. i). Να λυθεί η εξίσωση : (4+ 5 ) + (3 13) = 0 ii). Να λυθεί η ανίσωση : Ποια συστήµατα παριστάνουν τα παρακάτω σχήµατα 30

31 18. Να λυθούν οι εξισώσεις i) = 0 1 λ λ, ii). = 0 1 λ µε λ R Να προσδιοριστεί ο λ R,ώστε οι ευθείες ( ε1) : = + 3λκαι 1 λ λ 4 ( ε ) : = = 4να είναι παράλληλες. λ λ 0. Να λυθούν για τις διάφορες τιµές του λ R τα συστήµατα: i). ii). iii). λ( 1) + 4= λ( + ) = + ( λ ) + ( λ 4) = 5( λ+ ) ( λ 4) ( λ ) = ( λ 4) 3 λ = λ(1 ) + λ = 1 1. Να λυθούν για τις διάφορες τιµές των µ, λ Rτα συστήµατα 31

32 i). ii). ( λ + ) µ = 1 λ + µ = 3 λ+ = λ+ µ + = µ + 1. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε1) : ( λ+ 3) + ( λ 1) = λ+ 1και ( ε ) : ( λ ) ( λ 1) = 3λ+ 7. Να βρεθούν οι τιµές του λ Rώστε οι ευθείες να µην έχουν κανένα κοινό σηµείο (δηλ. να είναι παράλληλες) ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε1) : ( ) ( λ + µ ) = λ + µ 1και λ µ ( ε ) : ( λ ) + ( λ 1) = +. Να βρεθούν οι τιµές των µ, λ Rώστε να µ λ τέµνονται στο σηµείο Μ(1, -1). κ ( λ κ ) = κ+ λ 4. Να αποδείξετε ότι αν το σύστηµα : κ + λ : έχει λύση την ( λ κ ) = 3λ 1 (, ) = (6,1) τότε θα έχει άπειρες λύσεις. 5. Για ποιες τιµές των α, β R το σύστηµα : β + ( β 1) = 8 α α = α έχει µοναδική λύση την (, ) = (1,1) ; 6. Βρείτε τους αριθµούς α R για τους οποίους το σύστηµα (1 α) α = α + ( α 1) = α 4 έχει µια µοναδική λύση (, ) τέτοια ώστε + >. o o o o 7. Να βρεθούν οι τιµές των λ, µ Rγια τις οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα. (λ 1) + 10µ = 3 ( Σ 1 ) + 4= 5 ( λ ) ( µ + 1) = 7 και ( Σ ) 3 6= 5 8. Θεωρούµε τα συστήµατα: 3

33 (λ 1) + µ = µ ( Σ 1) + 4= λ + (1 3 µ ) = 1 και ( Σ ) 10= 3 Να προσδιορισθούν τα λ, µ Rώστε το ( Σ 1) να είναι αόριστο και το ( Σ) αδύνατο. 9. ίνεται η συνάρτηση f ( ) α = + β + γ (παραβολή). Αν ξέρουµε ότι f (1) = 6, f () = 11και f ( ) = 3να βρείτε τα α, β, γ. 30. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = κ 3 + λ µε πεδίο ορισµού το Ζ. Να βρεθούν τα κ, λ όταν f ( 0) = 0 και 11 f ( 1) =. 31. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε τα συστήµατα ( Σ 1 ) και ( Σ ) να είναι συγχρόνως αδύνατα. ( Σ 1 ) : ( α 1) β= α+ β= 0 ( Σ ) : + 3= 1 + α= 3. ίνονται τα συστήµατα ( Σ 1 ) : ( α + 1) β= 1 + = 1 ( Σ ) : + ( β + ) = α 3 ( α 1) = β + 1 είξτε ότι αν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις, τότε το δεύτερο είναι αδύνατο. 3= 11 λ 33. ίνεται το σύστηµα: λ R + 5 λ = 7 i). ii). Αποδείξτε ότι το σύστηµα έχει λύση για οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό λ. Υπολογίστε τα και iii). Για ποια τιµή του λ η λύση (, ) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: 11 + = ίνονται οι ευθείες ( ε 1 ) και ( ε ) µε εξισώσεις = 1και λ = 1 αντίστοιχα λ R 33

34 i). Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιµές του λ R ii). iii). Να βρείτε το λ για το οποίο τέµνονται κάθετα. Για το λ που βρήκατε στο (ii), να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις ευθείες και τον άξονα ' 35. Η λύση ενός συστήµατος µε αγνώστους και είναι : = t, = 3t 1, t R. i). Για ποιες τιµές του t Rοι λύσεις του συστήµατος είναι θετικοί αριθµοί; ii). Υπάρχει γραµµή και ποια πάνω στη οποία βρίσκονται οι λύσεις του συστήµατος; (µ 3) + = µ ίνεται το σύστηµα µ R. Αν το σύστηµα έχει µοναδική 5µ 3= 3µ + λύση την ( 10, t) να βρεθεί ο * t R. 37. Να βρείτε τις λύσεις του συστήµατος: = z αν ξέρουµε ότι + = 3z+,, z είναι ακέραιοι και επιπλέον ότι ο zείναι το υπόλοιπο της διαίρεσης ακέραιου δια του Τα συστήµατα = 7 λ ( Σ 1 ) : λ Rκαι = 3+ λ = 5+ 4µ ( Σ ) : = 7+ 3µ µ R έχουν κοινή λύση το ζεύγος, ). Να υπολογίσετε τα λ και µ και στη συνέχεια να ( o o βρείτε τη λύση του συστήµατος. 39. Για ποιες τιµές των και η εξίσωση + 1+ λ( ) = 0αληθεύει για οποιανδήποτε πραγµατικό αριθµό λ; 40. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D D + D D = D Αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να βρεθεί η λύση αυτή. = 3D 41. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D + D = D D και D 0. Αν + = 6να βρεθούν τα,. 4. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D + D + D = 4D+ D 5 34

35 i). είξτε ότι: ( D ) + ( D 1) + D = 0 ii). Να βρεθούν τα,. Να λυθούν τα συστήµατα + = ω= 15 ω+ = 1 1 = µ = ρ + ω 1 = ν ω+ + z 3= α 45. z+ 3= β + 3z= γ z = = z= 78 3 z 1 = = z= = 10 + = = = 3 z 1 1 = 1 + = z 8 = = = = = 4 = + z= + z z= z+ + = 157 = 66 = 1 + = = = = = = 1 + = Να λυθούν τα συστήµατα 35

36 i). ii). iii). + = = + = 34 = 15 + = = 0 Να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις τους. 60. Να λυθούν τα συστήµατα i). + + = 3 + = ( + ) = 3 v). + = 3 ii). iii). iv). + = = = 9 + = 7 + = = 0 vi). vii) = 36 + = 13 3 = 4 1 z = 0 3 z = 5 36

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y =

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y = ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 +

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Τα θέµατα που συνθέτουν τα σχέδια κριτηρίων που ακολουθούν αντλήθηκαν από τις ερωτήσεις του σχεδιασµού αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. α + 1 Έστω η συνάρτηση f() = ( 3 ), α 1 Αν το σηµείο Μ( 1, 3) βρίσκεται στην γραφική παράσταση της f να βρείτε το α ii ) Αν α = 0 να λύσετε την ανίσωση f() + f(2) > 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα