ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός. Τότε p = p=q p =q q p είναι άρτιος αφού είναι της µορφής k. Άρα και ο p είναι p =4k =q, άρα q=κ Αυτό δείχνει ότι και ο q είναι άρτιος, άρα και ο q είναι άρτιος. Συνεπώς οι p και q είναι άρτιοι, πράγµα ΑΤΟΠΟ αφού αντιφάσκει µε την υπόθεση ότι δεν έχουν κοινό διαιρέτη.. (i) Θέτουµε x=0. Πολλαπλασιάζοντας επί 000 βρίσκουµε000x=. 4 Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις έχουµε : 999x= x= = 999 (ii) Θέτουµε x=.7 και παίρνουµε 0x=7.7 Αφαιρώντας βρίσκουµε : 9x= x= 9 (iii) Θέτουµε x= Πολλαπλασιάζοντας επί 00 βρίσκουµε 00x= Αφαιρώντας έχουµε : 99x=79.74 x= = = (iv) =0.49= = x+. (i) x -x -x Όταν το πηλίκο δύο αριθµών είναι θετικό (ή αρνητικό) τότε και το γινόµενο τους είναι θετικό (ή αρνητικό αντίστοιχα) Άρα αρκεί να ελέγξουµε πότε : f(x)=(x+)(-x) 0, x x - + f(x) Άρα η λύση είναι x -ή x>. Ισοδύναµα x (-,-] (,+ ) (ii) (x- 4)(x+)>0 x (x- 4)(x+) Γενική λύση : x<- ή x>4

2 -x- x+.4 (iii) x+ x- x+ x- (x+)(x-) (x+)(x-) Αρκεί να ελέγξουµε για : f(x)=(x+)(x+)(x-) 0, x -, x - + f(x) Άρα x (, ] (,) (iv) x -x+ = x -x-x+ = x(x -)-(x-) = x(x-)(x+)-(x-) =(x-)(x +x-)=(x-)(x-)(x+)=(x-) (x+) Άρα έχουµε : (x-) (x+) 0 Το (x-) είναι πάντα θετικό άρα αρκεί να ελέγξουµε µόνο το (x+) 0 Άρα λύση : x µε την ισότητα να ισχύει και για x=.4 Εφαρµόζουµε την τριγωνική ανισότητα α+β α +b (i) α-b = α+(-b) α +-b=α +b (ii) α = (α-b)+b α-b + b α b α-b (iii) b = (b-α)+α b-α + α b α b-α = α-b Σε συνδυασµό µε το (ii) έχουµε ότι : α -b α-b. (i) Αδύνατη διότι α 0 α (ii) x+ = x+= ± x = ή x = - 7 (iii) Θέτουµε x-4 = t και η δοσµένη εξίσωση παίρνει τη µορφή : Άρα t = - ή t =. Εποµένως t - 4t-=0 (t - )(t + )=0 x -4 = - (αδύνατη) ή x-4 = x- 4= ±. Άρα x=0 ή x=- (iv) x- x- = = ± x= 7 ή x= x- 4 x- 4 4 (v) 4x+=8x- x=, Αν τα απόλυτα είναι και τα δύο θετικά ή 4x+ = 8x- αρνητικά ταυτόχρονα 4x+= - (8x - ) x= -,Αν το ένα απόλυτο είναι θετικό και το άλλο αρνητικό Άρα η λύση είναι x= ή x= -

3 -x -x. (i) 4-4 4,x +x +x η Περίπτωση : x> - δηλ x+>0 : -x 8+4x x - -x - 8-4x x - H λύση δίνεται από την τοµή των διαστηµάτων x > -, x -, x - ηλαδή x - η Περίπτωση: x<- δηλ x+<0 : -x 8+4x x - -x - 8-4x x - H λύση δίνεται από την τοµή των διαστηµάτων x< -, x -, x - ηλαδή x - (ii) < 0 < x+7 < x- 4,επειδή α 0 όπου x 7,4 x- 4 x+7 x- 4 x+7 Υψώνοντας τη ανίσωση στο τετράγωνο έχουµε : ( ) ( ) x+7 < x- 4 4x+49< -8x+ x< - αλλά x -7.7 Με την χρήση της της τριγωνικής ταυτότητας και της τέλειας επαγωγής αποδεικνύεται ότι : α+ α αn α + α αn (i) x - x +x- 4 x + -x + x = x + x + x + 4 Επειδή x (ii) =8 στο διάστηµα [-,] που µας ενδιαφέρει. Άρα Μ=8 x+ x+-x -4x 8 - = = < = 8 x x x - 4x +4 x +4 4=8 διότι x < 4 στο (,4) x > στο (,4) Άρα < x

4 .8 Θα χρησιµοποιηθούν οι σχέσεις y=λx + γ, y-y 0=λ(x-x 0) (i) λ= -, γ =7. Άρα y= -x + 7 (ii) A(-,), x+y= κλίση= -. Άρα λ= Εποµένως η ζητούµενη ευθεία είναι η : x-y+8=0 (iii) ύο σηµεία της ευθείας είναι Α(,0) και Β(0,) -0 Άρα λ= = Εποµένως y-= - (x-0) x+y-0=0 (iv) Η ζητούµενη ευθεία είναι παράλληλη µε τον άξονα των y και εποµένως η εξίσωση της είναι της µορφής x=α. Επειδή περνά από το (,-) έχουµε x= (v) Υπάρχουν δύο ευθείες που σχηµατίζουν γωνία π φ= 4 µε την ευθεία y=x+4 Επειδή η ζητούµενη ευθεία περνα από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση της µορφής y=λx όπου λ είναι η κλίση της. λ-λ Με την χρήση του τύπου tan φ= έχουµε : +λ λ +λ=λ- λ= - π λ- λ- tan = = ή 4 +λ +λ +λ=-λ λ= Άρα οι δύο ζητούµενες ευθείες είναι : y= -x και y= x A Γ.9 Ax+By+Γ=0, λ= -, τεταγµένη=- B Β x+ky- 4=0 (i) λ== - k= - k (ii) τεταγµένη= 4 = k= 4 k (iii) Αντικαθιστούµε το σηµείο (-,4) στην εξίσωση : (-)+4k=4 4k=0 k= (iv) Η κλίση της ευθείας x-y= είναι άρα αυτή είναι και η κλίση της ζητούµενης ευθείας αφού είναι παράλληλες. Έτσι έχουµε = k= k (v) Η κλίση της ευθείας 4x+y= είναι 4. Άρα η κλίση της ζητούµενης ευθείας είναι 4 αφού είναι κάθετες µεταξύ τους. Έτσι έχουµε = k= 4 k 4

5 .0 (α) Θα µετασχηµατίσουµε την εξίσωση ( x-x ) + ( y-y ) = r όπου ( x,y) x+y+ax+by+c=0 στην µορφή είναι το κέντρο του κύκλου και r η ακτίνα του. A B A B A B A +B - 4C x - + y C=0 x - + y - = A B A +B - 4C x - + y - = A B Άρα -,- είναι το κέντρο του κύκλου και A+B- 4C η ακτίνα του. (β) Θα µετασχηµατίσουµε την εξίσωση y=ax +Bx+C στην µορφή y=α(x-x 0)+y 0 όπου (x 0,y 0) είναι η κορυφή της παραβολής. B B B B B y=ax + Bx + C y=a x + + +C - A y=a x+ + C - A 4A 4A A 4A Άρα η κορυφή της παραβολής έχει συντεταγµένες. Α(-,-) Μ Β(,) B -,C- A B. 4A Το σηµείο Μ έχει συντεταγµένες x M= = -,y M= - = Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει κλίση ίση µε : Άρα η µεσοκάθετος έχει κλίση ίση µε y+= - x+ y= - x (4,) Γνωρίζουµε ότι d (x, y) d -(-) 4 λ= = -(-). - 4 και η αντίστοιχη της εξίσωση είναι d+d=4. Άρα (x-4) +(y-) +(x-) +(y+) =4 x +y -x+4y+ = 0 (x-) +(y+) =, η οποία είναι (,-) εξίσωση κύκλου µε κέντρο (,-) και ακτίνα

6 . Α(-4,) Μήκος της ΑΒ : Μήκος της ΒΓ : Β(0,-) Μήκος της ΓΑ : (0+4) +(--) = (-0) +(+) = (-4-) +(-) = Γ(,) Παρατηρούµε ότι τα µήκη των πλευρών ικανοποιούν το Πυθαγόρειο Θεώρηµα ( ) + = +=0 και =*=0 π o Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, εποµένως η γωνία ΑΒΓ= =90. Επίσης αφού είναι ισοσκελές $ π o ΓΑΒ=ΒΓ Α= =4 4.4 Έστω ότι η εξίσωη του κύκλου είναι x+y+ax+by+c=0 Τα σηµεία (,), (,0) και (-,-) επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Άρα έχουµε το σύστηµα : A+B+C= - A+C= - 4 -A-B+C= -0 Η λύση του συστήµατος µας δίνει Α=0, Β=, C= - 4 Άρα η εξίσωη του κύκλου γράφεται : x +y +y- 4=0 x +(y+) = Άρα ο κύκλος έχει κέντρο (0,-) και ακτίνα.. Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής των ευθειών x+y= και x-4y= - είναι η λύση του συστήµατος x=4 x+y= 8x+y= x= -x x-4y= - x-y=- y= y= Άρα το σηµείο τοµής είναι (,). Τώρα, κλίση της ευθείας y+x= είναι - Άρα η κλίση λ της ζητούµενης ευθείας δίνεται από την σχέση ( ) Άρα η εξίσωη της ευθείας είναι : y-=(x-) y=x- λ - = - λ=

7