Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Transcript

1 Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014

3 A λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 1. Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 1. 1 Πραξεις με πραγματικους αριθμους (επαναληψεις συμπληρωσεις) 1. Μονωνυμο Πραξεις με μονωνυμο 1. 3 Πολυωνυμο Προσθεση και Αφαιρεση πολυωνυμων 1. 4 Πολλαπλασιασμος πολυωνυμων 1. 5 Αξιοσημειωτες ταυτοτητες 1. 6 Παραγοντοποιηση αλγεβρικων παραστασεων 1. 7 Διαιρεση πολυωνυμων 1. 8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραιων αλγεβρικων παραστασεων 1. 9 Ρητες αλγεβρικες παραστασεις Πραξεις ρητων παραστασεων

4 4 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς Α Το συνολο των φυσικων αριθμων: N = { 0, 1,, 3,... } Το συνολο των περιττων αριθμων: { 1, 3, 5,... } η { ν + 1 οπου ν N } Το συνολο των αρτιων αριθμων: { 0,, 4,... } η { ν οπου ν N } Το συνολο των ακεραιων αριθμων: Z = {..., -, - 1, 0, 1,,... } Το συνολο των ρητων αριθμων: Ρητος λεγεται καθε αριθμος που εχει η μπορει να παρει τη μορφη ενος κλασματος μ ν, οπου μ, ν ακεραιοι αριθμοι και ν 0. Q = { ρ ρ = μ ν, με μ Z και ν * Z } Το συνολο των αρρητων αριθμων: { x το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα } Το συνολο των πραγματικων αριθμων: Οι πραγματικοι αριθμοι αποτελουνται απο τους ρητους και τους αρρητους αριθμους. Καθε πραγματικος αριθμος παριστανεται μ ενα σημειο πανω σ εναν αξονα α ρ ν η τ ι κ ο ι α ρ ι θ μ ο ι π 5,3 θ ε τ ι κ ο ι α ρ ι θ μ ο ι Η απολυτη τιμη ενος πραγματικου αριθμου α συμβολιζεται με α και ειναι ιση με την αποσταση του σημειου, που παριστανει τον αριθμο α, απο την αρχη του αξονα. Για παραδειγμα: - 5 = 5, 5 = 5, 0 = 0,

5 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς 5 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς Α Π ρ ο σ θ ε σ η Για να προσθεσουμε δυο ομοσημους αριθμους, προσθετουμε τις απολυτες τιμες τους και στο αθροισμα αυτο βαζουμε ως προσημο το κοινο τους προσημο = = - 5 Για να προσθεσουμε δυο ετεροσημους αριθμους, αφαιρουμε τις απολυτες τιμες τους και στη διαφορα αυτη βαζουμε ως προσημο το προσημο αυτου που εχει τη μεγαλυτερη απολυτη τιμη = = - 1 Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Για να πολλαπλασιασουμε δυο ομοσημους αριθμους, πολλαπλασιαζουμε τις απολυτες τιμες τους, και στο γινομενο αυτο βαζουμε προσημο συν (+). (+ 3) (+ ) = + 6 (- 3) (- ) = + 6 Για να πολλαπλασιασουμε δυο ετεροσημους αριθμους, πολλαπλασιαζουμε τις απολυτες τιμες τους, και στο γινομενο αυτο βαζουμε προσημο πλην (-). (+ 3) (- ) = - 6 (- 3) (+ ) = - 6 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς κ α ι Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετικη α + β = β + α α β = β α Προσεταιριστικη α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ α ( β γ ) = ( α β ) γ Επιμεριστικη α ( β + γ ) = α β + α γ Ουδετερο στοιχειο α + 0 = α α 1 = α Αντιθετος (προσθεση) Αντιστροφος (πολ/σμος) α + ( - α ) = 0 α 1 α = 1, α 0 Σ υ ν ε π ε ι ε ς α = β α + γ = β + δ γ = δ α γ = β δ α ± γ = β ± γ α = β α γ = β γ, γ 0

6 6 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς A α 0 = 0 α β = 0 α = 0 η β = 0 α β 0 α 0 και β 0 α ( - 1 ) = - α ( α ) β = - α β ( α ) ( - β ) = α β ( α + β ) = - α β α β α ± β ± =, γ 0 γ γ γ α γ α δ ± β.γ ± =, β δ 0 β δ β δ =, α β 0 α β α β α γ β δ α γ =, β δ 0 β δ Η α φ α ι ρ ε σ η οριζεται μεσω της προσθεσης: α β = α + ( - β ) Η δ ι α ι ρ ε σ η οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α : β = α 1, β 0 β

7 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς 7 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Α Μεθοδος : Υπολογισμος ρητων παραστασεων. Προκειμενου να υπολογισουμε μια ρητη παρασταση : κανουμε πρωτα τους πολλαπλασιασμους. (στη περιπτωση διαιρεσης πολλαπλασιαζουμε τον διαιρετεο με τον αντιστροφο του διαιρετη) κανουμε ομωνυμα κλασματα ολους τους ορους της παραστασης, αν υπαρχουν κλασματα. χωριζουμε τους θετικους απ τους αρνητικους. βαζουμε + και προσθετουμε ολες τις απολυτες τιμες των θετικων και στη συνεχεια βαζουμε - και προσθετουμε ολες τις απολυτες τιμες των αρνητικων. Εχουμε δυο ετεροσημους, οποτε βαζουμε το προσημο αυτου που εχει μεγαλυτερη απολυτη τιμη και αφαιρουμε τις απολυτες τιμες τους. Στη περιπτωση που η παρασταση περιεχει συνθετο κλασμα, το μετατρεπουμε πρωτα σε α- πλο (αριθμητης: γινομενο ακρων ορων, παρονομαστης: γινομενο μεσων ορων). Στη περιπτωση παρενθεσεων αγκυλων, προηγειται η απαλειφη τους. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α = 7 - [- (- 5)] + (- 4)[- (- 8)] - (- 9)( ) Β = Γ = Α = 7 - [- (- 5)] + (- 4)[- (- 8)] - (- 9)( ) απαλειφη αγκυλων = 7 + (- 5) + (- 4)(+ 8) - (- 9)( ) απαλειφη παρενθεσεων - πολλαπλασιασμοι = (- 9)(- 3) πολλαπλασιασμοι = αθροισμα θετικων - αθροισμα αρνητικων = 7 64 αθροισμα δυο ετεροσημων = : -(- 6): Β = = : -(- 6): : -(- 6): = =

8 8 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Α Τ α κ η ς Γ = = : -(- 6): + = = (- 6) 4 = = - +4 = = - +4 = = - + = = = 4 4 = 4 = = Μεθοδος : Υπολογισμος ρητων παραστασεων με τη βοηθεια γνωστων ισοτητων. Προκειμενου να υπολογισουμε μια ρητη παρασταση που περιεχει γραμματα, απο γνωστες σχεχεις των γραμματων αυτων : κανουμε τις καταλληλες πραξεις, οπως προηγουμενα, με σκοπο να εμφανισουμε τις γνωστες σχεσεις μεταξυ των γραμματων. αντικαθιστουμε τις τιμες των γνωστων σχεσεων στην παρασταση. λυνουμε κατα τα γνωστα. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α = Β = δ 4γ 3 α- +5 β+ -(β+3γ), αν α + β = 7 και γ + δ = α+6δ 9γ-4β + 3 6, αν 3α β = 3 και γ + δ = 4 δ 4γ Α = 3 α- +5 β+ -(β+3γ) = 3 5 6δ 0γ = 3α- +5β+ -β-6γ = 3 5 = 3α-δ+5β+4γ-β-6γ =

9 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς 9 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Α = 3α-δ+3β-γ = = (3α+3β) -(δ+γ) = = 3(α+β) -(δ+γ) = αντικαθιστουμε απ'τα δοσμενα =3 7- (- 3) = 1+6 = 7 4α+6δ 9γ-4β Β = + = 6 3 (4α+6δ) 9γ-4β = + = 6 6 1α+18δ+9γ-4β = = 6 (1α-4β)+(9γ+18δ) = = 6 4( 3α-β)+9( γ+ δ) = = αντικαθιστουμε απ'τα δοσμενα, = = = =

10 10 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Α 1. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α = (- )(- 3)(- 4)(- 5) + (- )(- 3)(- 4)(+ 5) Β = Γ = : : -(- 3): Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α = a-β(3α+β) (α-β)(3α+β) Β = α-β+γ + α+5β-4γ α+3β-γ α+5β-3γ αν α = και β = 1 αν α + β = και β γ = Να βρειτε τους αριθμους α, β, γ αν ειναι γνωστο οτι : α = 3- : α, β ειναι αντιθετοι β, γ ειναι αντιστροφοι

11 Δ υ ν α μ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν 11 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς Β Ο ρ ι σ μ ο ι Για καθε α R και ν Z * + οριζουμε ν ο σ τ η δ υ ν α μ η τ ο υ α τον αριθμο ν α = α α... α, ν > 1 ν παραγοντες * Για καθε α R και ν Z * οριζουμε : α º = 1 και 1 - ν α = α ν Αν α R * και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη x + α και ειναι Ι δ ι ο τ η τ ε ς α α = α μ ν μ + ν μ ν μ - ν α : α = α μ ν ( α ) = α μ ν ( α β) = α β ν ν ν ν α ν α ( ) = ν Τα τριγωνα β ΑΒΔ β και ΒΓΔ ειναι ισα γιατι: ΒΔ = κοινη ν Β α - ν β ( ) = 1 =Δ 1 εντος ν εναλλαξ (Γ - Π Γ) Β β α =Δ κ εντος εναλλαξ κ ( - α ) = α Ετσι και τα υπολοιπα κ + 1 αντιστοιχα κ + 1 στοιχεια τους ειναι ισα, ( - α ) = - α οποτε ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. 8. Να αποδειξετε οτι οι απεναντι πλευρες ενος παραλληλογραμμου ειναι ισες. x α > 0. ν α με :

12 1 Δ υ ν α μ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Β Μεθοδος : Υπολογισμος παραστασης που περιεχει δυναμεις. Προκειμενου να υπολογισουμε παρασταση που περιεχει δυναμεις : ακολουθουμε τη διαδικασια της προτεραιοτητας των πραξεων : Πρωτα υπολογιζουμε τις δυναμεις. Στη συνεχεια κανουμε τους πολλαπλασιασμους και τις διαιρεσεις. Τελος, κανουμε τις προσθεσεις και τις αφαιρεσεις. Οταν η παρασταση περιεχει και παρενθεσεις, εκτελουμε πρωτα τις πραξεις μεσα στις παρενθεσεις με τη σειρα που αναφεραμε παραπανω. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α Β =1+(- 3) (- ) + 3 -(- 3) (- ) 4 3 A=1+(- 3) (- ) - 3 -(- 3) (- ) = = = = = = = = = = B = ( -3 4)+3 (3 :9 +1) = = ( -3 4)+3 (3 :(3 ) +1) = = ( -3 4)+3 (3 :3 +1) = 4 = ( -3 4)+3 (3 +1) = = (16-3 4)+3 (9+1) = = (16-1)+3 (9+1) = = = = 8+30 = = 38 Γ = [ (- 3) 3 ] + (- 5) 48 = = [ (- 7)] = = - 16 ( ) = = = = = = = = = ( -3 4)+3 (3 :9 +1) = Γ = [ (- 3) 3 ] + (- 5) - 48

13 Δ υ ν α μ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν 13 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Β Μεθοδος : Υπολογισμος κλασματος με ορους γινομενα δυναμεων. Προκειμενου να υπολογισουμε (απλοποιησουμε) κλασμα με ορους γινομενα δυναμεων : χρησιμοποιουμε τις ιδοτητες των δυναμεων διαδοχικα. για συντομια μπορουμε να κανουμε τα εξης : γραφουμε σε γινομενο ολες τις διαφορετικες βασεις (μια φορα τη καθεμια) για εκθετη σε καθε βαση βαζουμε το αθροισμα των εκθετων που εχει στον αριθμητη του κλασματος μειον το αθροισμα των εκθετων που εχει η δυναμη στον παρονομαστη του κλασματος. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α Β Α Β (- 1) -(- 1) +(- 1) -(- 1) (- ) + = (- 3) -(- 3) -(- 3) (- 4) +(- 4) = ( :4 ) (3 :9 ) (- 1) -(- 1) +(- 1) -(- 1) (- ) + = (- 3) -(- 3) -(- 3) (- 4) +(- 4) (+ 1)-(- 1)+(+ 1)-(- 1) (- 3)+8 = (- 3)-(+ 9)-(- 7) (- 64)+(+16) = = = = = = ( :4 ) (3 :9 ) = = = = = 6 5 ( ) (3 ) = = = 1 1 = Γραψτε σε απλουστερη μορφη τη παρασταση : Γ = α β γ δα γ α β γ δ Γ = α β γ δα γ α β γ δ = α β γ δ = α β γ δ (- ) (- 4)

14 14 Δ υ ν α μ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Β Μεθοδος : Υπολογισμος παραστασεων δυναμεων με τη βοηθεια γνωστων ισοτητων. Προκειμενου να υπολογισουμε παρασταση δυναμεων που περιεχει γραμματα, απο γνωστες σχεχεις των γραμματων αυτων : κανουμε τις καταλληλες πραξεις, οπως προηγουμενα, με σκοπο να εμφανισουμε τις γνωστες σχεσεις μεταξυ των γραμματων. αντικαθιστουμε τις τιμες των γνωστων σχεσεων στην παρασταση. λυνουμε κατα τα γνωστα Να βρεθει η τιμη της παραστασης : Α = (α+β-γ) +(α+3β-γ) +(3α+5β-γ) αν α + β = και β - γ = A = (α+β-γ) +(α+3β-γ) +(3α+5β-γ) = = (α+β+β-γ) +(α+β+β-γ) +(3α+3β+β-γ) = = [(α+β)+(β-γ)] +[(α+β)+(β-γ)] +[3(α+β)+(β-γ)] = = [+(- 3)] +[ +(- 3)] +[3 +(- 3)] = = (- 1) = = 1+1 = Μεθοδος : Αποδειξη οτι δυο αριθμοι ειναι αντιστροφοι η αντιθετοι. Προκειμενου να δειξουμε οτι δυο αριθμοι, εστω Α και Β, ειναι αντιστροφοι η αντιθετοι : βρισκουμε ξεχωριστα, με τη βοηθεια των ιδιοτητων των δυναμεων, τη τιμη καθενος απ τους αριθμους Α και Β. αποδεικνυουμε οτι Α Β = 1 (αντιστροφοι) η Α + Β = 0 (αντιθετοι). αν βολευει, δειχνουμε απευθειας οτι το γινομενο Α Β ειναι ισο με 1 (αντιστροφοι) η το α- θροισμα Α + Β ειναι ισο με 0 (αντιθετοι). Να αποδειξετε οτι οι αριθμοι A= και B= ειναι αντιστροφοι.

15 Δ υ ν α μ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν 15 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Β A= = = = = = B= = 5 = = = = = = = = 5 Ετσι Α Β = =3 x - 1 = 1, που σημαινει οτι οι αριθμοι Α και Β ειναι αντιστροφοι. Μεθοδος : Ευρεση του αγνωστου x που βρισκεται στον εκθετη δυναμης. Προκειμενου να βρουμε τη τιμη του αγνωστου x που βρισκεται στον εκθετη δυναμης : δημιουργουμε δυο ισες δυναμεις που εχουν ιδια βαση και εξισωνουμε τους εκθετες. αντικαθιστουμε το μελος της ισοτητας που ειναι ισο με 1 και με τη βοηθεια της ιδιοτητας α 0 = 1 το μετατρεπουμε σε δυναμη ιδιας βασης με το αλλο μελος της ισοτητας. Να υπολογιστει ο x σε καθεμια περιπτωση =3 x - 1 η x - 3 =1 x =3 η x 1 = οποτε x = 3 x 9 16 = 4 81 x - 3 =1 η x = η x 3 = 0 οποτε x = 3 x 9 16 = 4 81 η x 4 3 = 3 4 η x 4 3 = 3 η x 4 3 = 3 η x = 4 οποτε x =

16 16 Δ υ ν α μ ε ι ς Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Β 1. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α Β Γ =1+(- 5) (- 3) (- 5) (- 3) = 4 (3-3)+ ( :4-1) = : Να βρεθει η τιμη των παραστασεων, αφου πρωτα τις γραψετε σε απλουστερη μορφη : Α Β x y (x y ) (x y ) = (x y ) = (x : y ) (x :3y ) 3. Να βρεθει η τιμη της παραστασης : Α Β x x x x 1 = - +(5+x) - x- x 3 3 x - 3 x - x = (- 1) 4 3 x για x = (- 10) και y = για x = - 3 για x = 1 4. Να βρειτε τους αριθμους α, β, γ αν ειναι γνωστο οτι : α = 1- : -, α + β = 0 και β γ = Να αποδειξετε οτι : α) β) [(- ) (5 ) +181 ] [10 :(- ) -(- 4) - 4] = (- 9) - +5 = 5 3

17 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 17 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς Γ Ο ρ ι σ μ ο ς Για καθε θετικο πραγματικο αριθμο α, υπαρχει μοναδικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ωστε x = α. Ο αριθμος x ονομαζεται τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η ρ ι ζ α τ ο υ α και συμβολιζεται α. Ειναι : 0 = 0 Σ υ ν ε π ε ι ε ς Για καθε πραγματικο αριθμο x ισχυει : Αν x 0, τοτε Ι δ ι ο τ η τ ε ς ( x ) = x Για δυο μη αρνητικους αριθμου α, β ισχυει α β = α β Αποδειξη x = x. ( α β) = ( α) ( β) = α β οποτε α β = α β ( α β) = α β α β = α β Αποδειξη, β > 0 α = ( α) = α β ( β) β α α οποτε = β β α α = β β Π α ρ α τ η ρ η σ η Για τους θετικους αριθμους α και β ισχυει : α + β α+ β

18 18 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Γ Μεθοδος : Ευκολος υπολογισμος της τετραγωνικης ριζας ενος θετικου αριθμου. Ευκολος υπολογισμος της τετραγωνικης ριζας ενος θετικου αριθμου με το πολυ δυο πολλαπλασιασμους : προσδιοριζουμε απ το τελευταιο ψηφιο του δοσμενου αριθμου ποιο θα ειναι το τελευταιο ψηφιο του ζητουμενου αριθμου ( δυο περιπτωσεις) απ το πινακα Α. απ το πινακα Β βρισκουμε τη δεκαδα που θα εχει ο ζητουμενος αριθμος. ενας απ τους δυο αριθμους που προκυπτουν ειναι ο ζητουμενος. Τελευταιο ψηφιο ζητουμενου Π ι ν α κ α ς Α Τελευταιο ψηφιο δοσμενου Παρατηρουμε οτι τα ζευγαρια που αποτελουν το πιθανο τελευταιο ψηφιο του ζητουμενου αριθμου εχουν αθροισμα 10. Οι αριθμοι (μπλε) της δευτερης στηλης του πινακα Α, ειναι το τελευταιο ψηφιο (ληγοντας) του τετραγωνου του αντιστοιχου αριθμου (μπλε) στη πρωτη στηλη του πινακα Α. Να βρεθει η τετραγωνικη ριζα του 151. Π ι ν α κ α ς Β Τετραγωνο δεκαδας 1 η 9 (1+9=10) 1 (1 = 1, 9 = 81) η 8 (+8=10) 4 ( = 4, 8 = 64) η 7 (3+7=10) 9 (3 = 9, 7 = 49) η 6 (4+6)=10 6 (4 = 16, 6 = 36) (5+5=10) 5 (5 = 5) Το 151 εχει τελευταιο ψηφιο το 1. κλπ Ετσι συμφωνα με το πινακα Α, ο ζητουμενος αριθμος εχει τελευταιο ψηφιο 1 η 9. Ειναι της μορφης...1, η..9 Το 151, συμφωνα με το πινακα Β, ειναι αναμεσα στο 900 και Οποτε η δεκαδα του ζη- τουμενου αριθμου ειναι το 30. Δηλαδη ο ζητουμενος αριθμος ειναι ο 31 η = = 151 Αρα, 151 = 39

19 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 19 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Γ Μεθοδος : Υπολογισμος παραστασης που περιεχει ιδιες τετραγωνικες ριζες. Προκειμενου να υπολογισουμε παρασταση που περιεχει ιδιες τετραγωνικες ριζες: με τη βοηθεια της επιμεριστικης ιδιοτητας, δημιουργουμε γινομενο με ενα ορο τη τετραγωνικη ριζα και δευτερο ορο το αθροισμα των αριθμων που πολλαπλασιαζουν τη τετραγωνικη ριζα στη παρασταση. το ζητουμενο αποτελεσμα ειναι το γινομενο του πιο πανω αθροισματος με την τετραγωνικη ριζα. Να υπολογιστει η παρασταση : Α =( ) 3 Α= ( ) 3 = = 3(1+-3+5) 3 = = = = 5 ( 3) = = 5 3 = 15 Μεθοδος : Υπολογισμος παραστασης που περιεχει διαφορετικες τετραγωνικες ριζες. Προκειμενου να υπολογισουμε παρασταση που περιεχει διαφορετικες τετραγωνικες ριζες: μετατρεπουμε τα υπορριζα σε γινομενο με ενα ορο τελειο τετραγωνο και δευτερο ορο κοινο σε ολες τις ριζες. κανουμε χρηση της ιδιοτητας α β = α β κανουμε χρηση της ιδιοτητας : Αν x 0, τοτε φτανουμε στη προηγουμενη περιπτωση. Να υπολογιστει η τιμη των παραστασεων : Α = Β = Γ = ( x ) = x

20 0 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Γ A = = Τ α κ η ς = = = = = = = = = = = B = = = = = = = = = = = = Γ = = = = = = = = = = = 10 7 (9-+3) 7 = = = =

21 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 1 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Γ Μεθοδος : Τροπη κλασματος, με αρρητο παρονομαστη, σε ισοδυναμο με ρητο παρονομαστη. Ειναι ( α - β)( α + β) = α-β, α,β > 0 Πραγματι ( α - β)( α + β) = ( α ) + α β Ομοια ισχυει ( α - β)( α + β) = α - β, α,β > 0 (α- β)(α+ β) = α - β, α,β > Α = = = = ( 5) β α 1 1 (3+ 5) Β = = = = = 3-5 (3-5) (3+ 5) 3 -( 5) ( 5 +3) Γ = = = = = ( 5-3)( 5 +3) ( 5) ( β) = α - β Προκειμενου να τρεψουμε ενα κλασμα με αρρητο παρονομαστη σε ισοδυναμο κλασμα με ρητο παρονομαστη :. αν ο παρονομαστης αποτελειται απο μια ριζα η γινομενο ενος αριθμου επι μια ριζα, τοτε πολλαπλασιαζουμε αριθμητη και παρονομαστη με τη ριζα αυτη και κανουμε χρηση της ιδιο- τητας : Αν x 0, τοτε ( x ) = x αν ο παρονομαστης αποτελειται απο αθροισμα η διαφορα που περιεχει μια ριζα η δυο ριζες, πολλαπλασιαζουμε αριθμητη και παρονομαστη με το καταλληλο αθροισμα η διαφορα, ωστε να χρησιμοποιησουμε μια απ τις παραπανω σχεσεις. Να τραπουν τα παρακατω κλασματα σε ισοδυναμα με ρητο παρονομαστη :, Α= Β =, Γ =, Δ=, Ε = ( 3-5) Δ = = 3 +5 ( 3 +5) ( 3-5 ) = ( 3) -5 = 3-5 = Ε 1 1 ( 3-5) = = = = = ( 3 + 5) ( 3-5 ) ( 3) -( 5)

22 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Γ Μεθοδος : Υπολογισμος παραστασης πολλαπλων τετραγωνικων ριζων. Προκειμενου να υπολογισουμε παρασταση της μορφης : A= = = = = = = = = = = = = 3+ 1 = = 3+1 = = 4 = = α + β+ γ+...+ κ η α β γ... κ αντικαθιστουμε τη κ με κ ( απαλειφη τελευταιας ριζας). προσθετουμε το κ με το υπορριζο της προηγουμενης ριζας και προκυπτει νεο τελειο τετραγωνο εστω μ και... ( απαλειφη προτελευταιας ριζας). με την ιδια διαδικασια φτανουμε μεχρι τη πρωτη ριζα. α + β α - β κανουμε χρηση της ιδιοτητας α β = α β κανουμε πραξεις στο υπορριζο. Να υπολογιστει η τιμη των παραστασεων : A= B= Γ = B= = = = = = = = = = = = 6 36 = = 6 6 = = 6 6 = = 6 = =6 Γ = = = (3-5) (3+ 5) = = = 9-5 = = 4 = = = = ( 5) =

23 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 3 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Γ 1. Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α =( )( 63-48) Β = ( ): 8 Γ = Δ = Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : Α = Β = Γ = Να βρεθει η τιμη των παραστασεων : A= B= Να τραπουν τα παρακατω κλασματα σε ισοδυναμα με ρητο παρονομαστη : α-1 1- α+1 + α-1 α -β 1 Α=, Β=, Γ =, Δ =, Ε = 1+ α+1 - α-1 α + β α Αν κ, λ ειναι μη αρνητικοι αριθμοι, να δειξετε οτι η παρασταση A= 14+ 3κ+4-9κ -λ+ λ εχει τιμη που δεν εξαρταται απ τους κ και λ. Γ Δ Ζ Η ε

24 4 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς - Μ ο ν ω ν υ μ α Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1.. Α Ο ρ ι σ μ ο ι Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η ειναι εκφραση που περιεχει πραξεις μεταξυ αριθμων μονο. π.χ ,3 + 7 Α λ γ ε β ρ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η ειναι εκφραση που περιεχει πραξεις μεταξυ αριθμων και γραμματων (μεταβλητων). π.χ. - α + 5β + 7x αy Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Τ ι μ η Α λ γ ε β ρ ι κ η ς Π α ρ α σ τ α σ η ς ειναι το αποτελεσμα που προκυπτει, μετα την αντικατασταση των μεταβλητων με αριθμους και εκτελεση των απαιτουμενων πραξεων, σε μια αλγεβρικη παρασταση. π.χ. Αν Α = - α + 5β με α = 1 και β = τοτε Α = = = 18 Κ λ α σ μ α τ ι κ η Α λ γ ε β ρ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η ειναι η αλγεβρικη παρασταση που εχει τουλαχιστον ενα κλασμα με μεταβλητη στον παρονο- μαστη. 3. Γ Στο π.χ. ορθογωνιο - α + 5β τριγωνο + 7 του με διπλανου αx 0 σχηματος, αx να υπολογισετε τους λογους α) ΑΒ β) ΒΓ γ) ΑΓ 1 cm Α ρ ρ η τ η Α λ γ ε β ρ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η ΑΓ ειναι η αλγεβρικη ΑΒπαρασταση ΒΓ που εχει τουλαχιστον μια τετραγωνικη ριζα με μεταβλητη (που Β εχει περιττο εκθετη) στο υπορριζο. Α cm π.χ. 3 α + β 3 Α κ ε ρ α ι α Α λ γ ε β ρ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η ειναι η αλγεβρικη παρασταση που δεν ειναι κλασματικη η αρρητη. π.χ. - α + 5β + 3

25 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς - Μ ο ν ω ν υ μ α 5 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1.. Α Ο ρ ι σ μ ο ι Μ ο ν ω ν υ μ ο ειναι η ακεραια αλγεβρικη παρασταση που εχει τον πολλαπλασιασμο μοναδικη πραξη μεταξυ αριθμου και μιας η περισσοτερων μεταβλητων. π.χ. α β Σ υ ν τ ε λ ε σ τ η ς Μ ο ν ω ν υ μ ο υ ειναι ο αριθμητικος παραγοντας. π.χ. α β Κ υ ρ ι ο Μ ε ρ ο ς Μ ο ν ω ν υ μ ο υ ειναι το γινομενο ολων των μεταβλητων με τους αντιστοιχους εκθετες τους. π.χ. α β Β α θ μ ο ς Μ ο ν ω ν υ μ ο υ ειναι το αθροισμα των εκθετων ολων των μεταβλητων του. ειναι ο εκθετης μιας μεταβλητης (βαθμος του μονωνυμου ως προς τη μεταβλητη αυτη) π.χ. α β : 3 ου βαθμου ως προς α, β 1 ου βαθμου ως προς α ου βαθμου ως προς β. Ο μ ο ι α Μ ο ν ω ν υ μ α ειναι τα μονωνυμα που εχουν το ιδιο κυριο μερος. π.χ. - α β και 5α β Ι σ α Μ ο ν ω ν υ μ α ειναι τα ομοια μονωνυμα που εχουν ιδιους η ισοδυναμους συντελεστες. π.χ. α β και - 4 α β Α ν τ ι θ ε τ α Μ ο ν ω ν υ μ α ειναι τα ομοια μονωνυμα που εχουν αντιθετους συντελεστες. π.χ. α β και 4 α β Σ τ α θ ε ρ α Μ ο ν ω ν υ μ α ειναι οι αριθμοι και ο βαθμος τους μηδενικος. π.χ. Μ η δ ε ν ι κ ο Μ ο ν ω ν υ μ ο ειναι οι αριθμος 0 που δεν εχει βαθμο.

26 6 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς - Μ ο ν ω ν υ μ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1.. Α Μεθοδος : Επιλογη μονωνυμων απο δοσμενες αλγεβρικες παραστασεις. Προκειμενου να επιλεξουμε τα μονωνυμα απο δοσμενες αλγεβρικες παραστασεις : ελεγχουμε αν η μοναδικη πραξη ειναι ο πολλαπλασιασμος. Σε διαφορετικη περιπτωση δεν ειναι μονωνυμο. ελεγχουμε οτι δεν ειναι κλασματικη ( δεν ειναι αρνητικος ο εκθετης της δυναμης με βαση τη μεταβλητη). Σε διαφορετικη περιπτωση δεν ειναι μονωνυμο. ελεγχουμε οτι δεν ειναι αρρητη ( δεν ειναι κλασματικος ο εκθετης της δυναμης με βαση τη μεταβλητη). Σε διαφορετικη περιπτωση δεν ειναι μονωνυμο. Ποιες απο τις παρακατω αλγεβρικες παραστασεις ειναι μονωνυμα ; α) - xy β) 5 - x y γ) Μονωνυμα ειναι οι : (α), (ε), (στ) Το (β) δεν ειναι αφου, δεν εχουμε μονο πολλαπλασιασμο μεταξυ αριθμων - μεταβλητων. Το (γ) δεν ειναι αφου, εχουμε μεταβλητη στον παρονομαστη. Το (δ) δεν ειναι αφου, εχουμε τετραγωνικη ριζα μεταβλητης. Μονωνυμο Βαθμος ως προς x 3 x ω y Μεθοδος : Ευρεση βαθμου μονωνυμου. Βαθμος ως προς y Βαθμος ως προς x και y - xy 1 ου ου 3 ου δ) x yω ε) ( - )xy στ) 3 x ω 3 Προκειμενου να βρουμε το βαθμο του μονωνυμου : ως προς ολες τις μεταβλητες, τοτε αθροιζουμε τους εκθετες ολων των μεταβλητων του. ως προς καποια μεταβλητη, τοτε ο εκθετης αυτης της μεταβλητης ειναι το ζητουμενο. Ποιος ειναι ο βαθμος ως προς x, ως προς y και ως προς x και y των μονωνυμων ; α) - xy β) ( - )xy 3 γ) 3 x y 3 δ) y αβγ ( - )xy 3 1 ου 3 ου 4 ου 3 x y 3 3 ου ου 5 ου y 0 ου ου ου

27 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς - Μ ο ν ω ν υ μ α 7 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1.. Α 1. Ποιες απο τις παρακατω αλγεβρικες παραστασεις ειναι μονωνυμα ; α) ( 3-1)xy + y β) x - y γ) 3 x y. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα 3. Μονωνυμο Συντελεστης 6x y xy 3 3 yx 4-3y Ενα μονωνυμο εχει συντελεστη Κυριο μερος ω - δ) Βαθμος ως προς x 3 x yω 3 ε) Βαθμος ως προς y 1 - και κυριο μερος x 3 y ω 3. Να βρειτε το ισο του και το αντιθετο του μονωνυμο. 8 x yω 3 Βαθμος ως προς x και y 4. Να προσδιορισετε την τιμη του φυσικου αριθμου ν, ωστε το μονωνυμο xy ν α) Να ειναι εκτου βαθμου ως προς y. β) Να ειναι πεμπτου βαθμου ως προς x και y. γ) Να εχει αριθμητικη τιμη - 36 για x = - και y = 3 5. Να προσδιορισετε τους αριθμους κ, λ, μ ωστε τα μονωνυμα: (κ 1) x 3 y και x λ + 1 y μ - α) Να ειναι ισα. β) Να ειναι αντιθετα.

28 8 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Μ ο ν ω ν υ μ α Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1.. Β Ο ρ ι σ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α Μ ο ν ω ν υ μ ω ν Προκειμενου να προσθεσουμε μονωνυμα, αυτα πρεπει να ειναι ομοια. Για να προσθεσουμε ομοια μονωνυμα (αναγωγη ομοιων ορων) προσθετουμε τους συντελε- στες και αφηνουμε ιδιο το κυριο μερος. π.χ. - 3 x 3 y ω x 3 y ω 3 = ( ) x 3 y ω 3 = 1 x 3 y ω 3 Το αθροισμα ομοιων μονωνυμων ειναι μονωνυμο ομοιο με αυτα και εχει συντελεστη το αθροισμα των συντελεστων τους. Γ ι ν ο μ ε ν ο Μ ο ν ω ν υ μ ω ν Το γινομενο μονωνυμων ειναι μονωνυμο με : σ υ ν τ ε λ ε σ τ η το γινομενο των συντελεστων τους κ υ ρ ι ο μ ε ρ ο ς το γινομενο ολων των μεταβλητων με τη βοηθεια της ιδιοτητας των δυναμεων : α μ α ν = α μ + ν. π.χ. - 3x 3 y ω 3 x y 3 = (- 3 ) x y + 3 ω 3 = - 6 x 4 y 5 ω 3 Δ ι α ι ρ ε σ η Μ ο ν ω ν υ μ ω ν Η διαιρεση μονωνυμων, οπως και η διαιρεση αριθμων γινεται, αν πολλαπλασιασουμε το διαι- ρετεο με τον αντιστροφο του διαιρετη. π.χ. - 3x 3 y ω 3 : x y 3 = - 3x 3 y ω xy = - 3x y ω xy 3 3xω = - xy

29 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Μ ο ν ω ν υ μ α 9 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1.. Β 4 5 Ε Ζ Προκειμενου να : 6 7 προσθεσουμε μονωνυμα, απαιτουμε να ειναι ομοια. Το αθροισμα των μονωνυμων ειναι ενα Δ μονωνυμο με συντελεστη το αθροισμα των συντελεστων και κυριο μερος ιδιο με των ομοιων Γ μονωνυμων. πολλαπλασιασουμε μονωνυμα πολλαπλασιαζουμε τους συντελεστες και τα κυρια μερη με τη βοηθεια της ιδιοτητας α μ α ν = α μ + ν. διαιρεσουμε μονωνυμα διαιρουμε τους συντελεστες και τα κυρια μερη με τη βοηθεια της ιδιοτητας α μ : α ν = α μ - ν. 1α) - xy + 4 xy = (- + 4) xy = xy 1β) αx β - αx β + 3αx β = ( )αx β = αx β α) Μεθοδος : Πραξεις μονωνυμων. 1. Να κανετε τις πραξεις α) - xy + 4 xy β) αx β - αx β + 3αx β. Να υπολογισετε τα γινομενα α) - x y 6xy β) x y - x y Να υπολογισετε τα πηλικα α) - α β : α β β) x y : - x y x y 6xy = 3 β) x y - x y = x y = - x y x y = x y Α Β 3α) α β : α β = - α β = - α β = - α β α β 4 3 3β) y x y : - x y = x y - = - x y = - x y = x y x

30 30 7 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Μ ο ν ω ν υ μ α Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1.. Β 1. Να κανετε τις πραξεις, αν γινονται α) x ω 3 y - x ω 3 y + 8x ω 3 y β) -αx β + αx β + 3αxβ. Να υπολογισετε τα γινομενα α) x y 6xy 3xyz β) 3. Να υπολογισετε τα πηλικα α) - αβ γ : α β γ β) xy - x y x y : xy 1 11

31 Π ο λ υ ω ν υ μ α - Π ρ ο σ θ ε σ η κ α ι Α φ α ι ρ ε σ η 8 31 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 3 Ο ρ ι σ μ ο ι Π ο λ υ ω ν υ μ ο ειναι η αλγεβρικη παρασταση που περιεχει αθροισμα ανομοιων μονωνυμων. π.χ. x y + 3 x y 3 O ρ ο ι Π ο λ υ ω ν υ μ ο υ ειναι καθε μονωνυμο που περιεχει. π.χ. x y + 3 x y 3 : Οροι τα μονωνυμα x y και 3 x y 3 Ενα πολυωνυμο που δεν εχει ομοιους ορους ( α ν η γ μ ε ν η μ ο ρ φ η ) λεγεται δ ι ω ν υ μ ο, αν εχει δυο ορους τ ρ ι ω ν υ μ ο, αν εχει τρεις ορους Ενα πολυωνυμο που εχει ομοιους ορους, τους αντικαθιστουμε με το αθροισμα τους ( α ν α γ ω γ η ο μ ο ι ω ν ο ρ ω ν ). Β α θ μ ο ς Π ο λ υ ω ν υ μ ο υ ειναι το αθροισμα των μεγαλυτερων εκθετων ολων των μεταβλητων του. Ειναι διαδοχικα ειναι ο μεγαλυτερος εκθετης μιας μεταβλητης (βαθμος του πολυωνυμου ως προς τη ΑΕ ΒΖ 6 ΒΖ 1 ΒΖ = μεταβλητη η = αυτη) η = η ΒΖ =14 η ΒΖ =7 ΕΔ ΖΓ π.χ x y + 3 x y 3 : 5 ου βαθμου ως προς x, y ου βαθμου ως προς x 3 ου βαθμου ως προς y. Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς Π ο λ υ ω ν υ μ ο υ μ ι α ς Μ ε τ α β λ η τ η ς x συνηθως το συμβολιζουμε με ενα κεφαλαιο γραμμα και τη μεταβλητη σε παρενθεση P(x), Q(x), A(x). για x = α, η αριθμητικη τιμη του πολυωνυμου συμβολιζεται με Ρ(α), Q(α), κλπ Ι σ α Π ο λ υ ω ν υ μ α ειναι αυτα που η διαφορα τους δινει μηδεν. Σ τ α θ ε ρ α Π ο λ υ ω ν υ μ α ειναι οι αριθμοι και ο βαθμος τους μηδενικος. π.χ. Μ η δ ε ν ι κ ο Π ο λ υ ω ν υ μ ο ειναι οι αριθμος 0 που δεν εχει βαθμο. Π ρ ο σ θ ε σ η - Α φ α ι ρ ε σ η Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν προσθετουμε η αφαιρουμε πολυωνυμα χρησιμοποιωντας τις γνωστες ιδιοτητες των πραγ- ματικων αριθμων.

32 3 Π ο λ υ ω ν υ μ α - Π ρ ο σ θ ε σ η κ α ι Α φ α ι ρ ε σ η Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 3 Μεθοδος : Αναγωγη ομοιων ορων και διαταξη κατα τις φθινουσες δυναμεις μεταβλητης. Σε ενα πολυωνυμο : προσθεσουμε τα ομοια μονωνυμα (το αθροισμα των μονωνυμων ειναι ενα μονωνυμο με συντελεστη το αθροισμα των συντελεστων και κυριο μερος ιδιο με των ομοιων μονωνυμων). εστω οτι θελουμε να διαταξουμε κατα τις φθινουσες δυναμεις της μεταβλητης x : γραφουμε πρωτα το μονωνυμο με τη μεταβλητη που εχει το μεγαλυτερο εκθετη στη συνεχεια το μονωνυμο με τη μεταβλητη που εχει τον αμεσως μικροτερο εκθετη τελος το μονωνυμο με τη μεταβλητη που εχει τον μικροτερο εκθετη η αυτο που δεν περιεχει τη μεταβλητη. Να κανετε τις πραξεις x 3 + 3y 3 + 5yx - 3x y + y 3 + 5x 3-4x y - xy και να διαταξετε το πολυωνυμο κατα τις φθινουσες δυναμεις της μεταβλητης α) x β) y Ειναι x 3 + 3y 3 + 5yx - 3x y + y 3 + 5x 3-4x y xy = (x 3 + 5x 3 ) + (3y 3 + y 3 ) + (- 3x y - 4x y ) + (5yx - xy) = 7x 3 + 5y 3-7x y + 4yx α) 7x 3-7x y + 4yx + 5y 3 β) 5y 3-7x y + 4yx + 7x 3 Μεθοδος : Ευρεση αριθμητικης τιμης πολυωνυμου μιας (η περισσοτερων) μεταβλητης. Προκειμενου να βρουμε την αριθμητικη τιμη ενος πολυωνυμου μιας μεταβλητης : φερνουμε το πολυωνυμο στην ανηγμενη του μορφη (μονο ανομοια μονωνυμα). αντικαθιστουμε τη μεταβλητη στο πολυωνυμο, με την τιμη που δινεται. κανουμε πραξεις στο αλγεβρικο αθροισμα που προκυπτει. Δινεται το πολυωνυμο P(x) = x 3x 4 Nα αποδειξετε οτι : α) Ρ(- 1) = Ρ(4) β) Ρ(5) + 3Ρ(3) = 0

33 Π ο λ υ ω ν υ μ α - Π ρ ο σ θ ε σ η κ α ι Α φ α ι ρ ε σ η 33 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 3 α) Ειναι Ρ(- 1) = (- 1) 3(- 1) 4 = = 0 Ρ(4) = = = 0 Οποτε Ρ(- 1) = Ρ(4) β) Ειναι Ρ(5) = = = 6 Ρ(3) = = = - 4 Οποτε Ρ(5) + 3Ρ(3) = (- 4) = 1-1 = 0 Δινεται το πολυωνυμο P(x) = 3x 5x 4 + x 3 x 4 α) Να γραφει το πολυωνυμο κατα τις φθινουσες δυναμεις του x και να βρεθει ο βαθμος του. β) Να βρεθει η αριθμητικη τιμη του πολυωνυμου για x = - 1 και x = 1. γ) Να βρεθουν τα Ρ(- ) και Ρ(0). δ) Nα αποδειξετε οτι : 9Ρ() - Ρ(3) - 1 = 0 α) P(x) = x 4 + x 3 + 3x 5x 4 Ο βαθμος του πολυωνυμου ειναι 4. β) P(- 1) = (- 1) 4 + (- 1) 3 + 3(- 1) 5(- 1) 4 = = 1 P(1) = = = - 5 γ) P(- ) = (- ) 4 + (- ) 3 + 3(- ) 5(- ) 4 = = - 14 P(0) = = = - 4 δ) P() = = = - P(3) = = = - 19 Οποτε 9Ρ() - Ρ(3) - 1 = 9 (- ) - (- 19) 1 = = 0

34 34 Π ο λ υ ω ν υ μ α - Π ρ ο σ θ ε σ η κ α ι Α φ α ι ρ ε σ η Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να βρειτε τον βαθμο των πολυωνυμων ως προς x, ως προς y και ως προς x και y. α) x 3-4x + y β) xy - 4x 5 y + x y 6-4x + y - 3 γ) x 3 y + 3xy 3 4x y + x y + 1. Να κανετε τις πραξεις α) x y + 3xy + 5yx - 3x y + y x + 5x y - 4x y - xy β) 3. Δινεται η παρασταση Α = 3x y - y 3 - x y + y 3 α) Να κανετε την αναγωγη ομοιων ορων. β) Αν 4. x y = 3 δειξτε οτι: Δινονται τα πολυωνυμα : 3 Α- x =0 3 P(x) = 6x 5x + 1 και Q(x) = - 3x + 6x - 7 Να υπολογισετε τα Α(- ) και Β(), αν Α(x) = P(x) + Q(x) και B(x) = P(x) Q(x) α -α β+αβ -α β+αβ -β γ) 4x - 6x x - 3x - 4-3x - 9x Δινονται τα πολυωνυμα : A(x) = x 3 + 6x 5x + 1, B(x) = - x 3-3x + 6x - 7 και Γ(x) = x 4 + x 3 + 3x 5x 4 Να υπολογισετε τα : Α - Β (Α Γ) (Β Γ) Α (Γ Β) Α + Β + Γ

35 Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν 35 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 4 Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Μ ο ν ω ν υ μ ο υ μ ε Π ο λ υ ω ν υ μ ο Για να πολλαπλασιασουμε μονωνυμο με πολυωνυμο, πολλαπλασιαζουμε το μονωνυμο με καθε ορο του πολυωνυμου και προσθετουμε τα γινομενα που προκυπτουν. π.χ. xy (3x y 3 + y 3 - x y) = xy 3x y 3 xy y 3 + xy x y = = 6x 3 y 5 4xy 5 + 4x 3 y 3 Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Π ο λ υ ω ν υ μ ο υ μ ε Π ο λ υ ω ν υ μ ο Για να πολλαπλασιασουμε πολυωνυμο με πολυωνυμο, πολλαπλασιαζουμε καθε ορο του ενος πολυωνυμου με καθε ορο του αλλου πολυωνυμου και προσθετουμε τα γινομενα που προκυπτουν. π.χ. (6x 5x + 1)(- 3x + 6x - 7) = 18x x 3 4x + 15x 3-30x + 35x - 3x + 6x - 7 = = 18x x 3 75x + 41x - 7

36 36 Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 4 Μεθοδος : Αναγωγη ομοιων ορων και διαταξη κατα τις φθινουσες δυναμεις μεταβλητης. Προκειμενου να πολλαπλασιασουμε ενα πολυωνυμο με : μ ο ν ω ν υ μ ο πολλαπλασιαζουμε το μονωνυμο με καθε ορο του πολυωνυμου (επιμεριστικη ιδιοτητα) και στη συνεχεια κανουμε αναγωγη ομοιων ορων. π ο λ υ ω ν υ μ ο πολλαπλασιαζουμε τον καθε ορο του ενος πολυωνυμου με ολους τους ορους του αλλου πολυωνυμου (επιμεριστικη ιδιοτητα) και στη συνεχεια κανουμε αναγωγη ομοιων ορων. Να κανετε τις πραξεις α) (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) x 5 Αφου δ) (x 5)(x 3 x + 5) α) (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) x 5 = x 5 x 4 + x 3 x + x + x 4 x 3 + x x + 1 x 5 = 1 β) (x 1)(x + 4) + 6 x(x + 3) = x + 4x - x x 3x = γ) (κ 3λ)(4κ + 6κλ + 9λ ) 8κ 3 + 7λ = 8κ 3 + 1κ λ + 18κλ - 1λκ - 18κλ - 7λ 3 8κ 3 + 7λ = 10 δ) β) (x 1)(x + 4) + 6 x(x + 3) γ) (κ 3λ)(4κ + 6κλ +9λ ) 8κ 3 +7λ (x 5)(x 3 x + 5) = x 5 x x - 5x x 5 = = x 5 7x x + 10x 5 Αν α 4 = 5 και β 4 = 4 να υπολογισετε την τιμη της παραστασης: Α = (α β)(α 3 + α β + αβ + β 3 ) Ειναι Α = (α β)(α 3 + α β + αβ + β 3 ) = = α 4 + α 3 β + α β + αβ 3 - βα 3 - α β αβ 3 β 4 = = α 4 β 4 = = 5 4 = 1

37 Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν 37 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να κανετε τις πραξεις α) (x + 1)(x 3 - ) β) (x + 4x - 1)(3x - 6x - ) γ) (x - 1)(4x + )(x - 1) δ) (x 5)(x - 1)(x + 1). Να κανετε τις πραξεις α) (3μ ν)(3ν μ) 6(μ + ν)(μ + ν) νμ +15 β) (x + 10)(x + 0x + 100) x (x + 30) 300x γ) (x 4)(x 5) + x(9 x) Αν α, β, γ ειναι τρεις διαδοxικοι περιττοι ακεραιοι αριθμοι να δειξετε οτι το τετραγωνο του β ειναι κατα 4 μοναδες μεγαλυτερο απο το γινομενο των α, γ. Ισxυει το ιδιο για τους αρτιους αριθμους; Υποδειξη : τρεις διαδοχικοι περιττοι αριθμοι γραφονται : ν, ν, ν + η ν, ν +, ν α) Αν για τους αριθμους x, y ισxυει οτι: x 3 - y 3 = 3xy(x y) να δειξετε οτι η τιμη της παραστασης : Α = (x y)(x xy + y ) ειναι ιση με 0. β) Αν x + 5x = y και y + 10y = - 4 να δειξετε οτι η τιμη της παραστασης Α = (x + 1)(x + )(x + 3)(x + 4) ειναι ιση με το 0.

38 38 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 5 Τ α υ τ ο τ η τ α Ταυτοτητα λεγεται καθε ισοτητα που περιεχει μεταβλητες και αληθευει για ολες τις τιμες των μεταβλητων της. Τ ε τ ρ α γ ω ν ο Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς (α + β) = α + αβ+ β Α π ο δ ε ι ξ η (α + β) = (α + β)(α + β) = = α + αβ + βα + β = = α + αβ + β Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Ε ρ μ η ν ε ι α Το τετραγωνο ΑΒΓΔ εχει πλευρα α + β, οποτε το εμβαδον του ειναι: ΕΑΒΓΔ = (α + β) (1) Ομως ΕΑΒΓΔ = ΕΑΚΟΝ + ΕΚΒΛΟ + ΕΟΛΓΜ + ΕΝΟΜΔ (α + β) = α + αβ + β + αβ η (α + β) = α + αβ + β Τ ε τ ρ α γ ω ν ο Δ ι α φ ο ρ α ς (α - β) = α -αβ+ β Α π ο δ ε ι ξ η (α - β) = (α - β)(α - β) = = α - αβ - βα + β = = α - αβ + β Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Ε ρ μ η ν ε ι α λογω (1) η Το τετραγωνο ΑΚΟΝ εχει πλευρα α - β, οποτε το εμβαδον του ειναι: ΕΑΚΟΝ = (α - β) (1) Ομως ΕΑΚΟΝ = ΕΑΒΓΔ - ΕΚΒΛΟ - ΕΟΛΓΜ - ΕΝΟΜΔ (α - β) = α - (α β)β - β - (α β)β η (α - β) = α - αβ + β - β - αβ + β η (α - β) = α - αβ + β λογω (1) η Α α Κ β Β α α αβ Ν Ο Λ β αβ β Δ Μ Γ Α α - β Κ β Β α - β (α β) (α β)β Ν Ο Λ β (α β)β β Δ Μ Γ α α

39 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 39 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 5 Γ ι ν ο μ ε ν ο Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς ε π ι Δ ι α φ ο ρ α (α + β) (α - β) = α - β Α π ο δ ε ι ξ η (α + β)(α β) = α - αβ + βα - β = = α - β Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Ε ρ μ η ν ε ι α Το ορθογωνιο ΑΚΝΡ εχει πλευρες : α + β, α β οποτε το εμβαδον του ειναι: ΕΑΚΝΡ = (α + β)(α β) (1) Ομως ΕΚΒΛΟ = ΕΔΜΝΡ = (α β)β () ΕΑΚΝΡ = ΕΑΚΔΜ + ΕΔΜΝΡ ΕΑΚΝΡ = ΕΑΚΔΜ + ΕΚΒΛΟ η ΕΑΚΝΡ = ΕΑΒΓΔ - ΕΟΛΓΜ (α + β)(α β) = α - β λογω () η λογω (1) η Τ ε τ ρ α γ ω ν ο Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Τ ρ ι ω ν Α ρ ι θ μ ω ν (α + β+γ) = α + β +γ + αβ+ βγ+γα Α π ο δ ε ι ξ η (α + β+γ) = [(α+β)+γ] = = (α+β) +(α+β) γ+γ = = α +αβ+β +αγ+βγ+γ = = α + β +γ + αβ+ βγ + γα Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Ε ρ μ η ν ε ι α Το τετραγωνο ΑΒΓΔ εχει πλευρα α + β + γ, οποτε το εμβαδον του ειναι: ΕΑΒΓΔ = (α + β + γ) (1) Ομως, απ το σχημα δεξια προκυπτει: ΕΑΒΓΔ = α + β + γ + αβ + βγ + αγ () Απο (1) και () : (α + β + γ) = α + β + γ + αβ + βγ + αγ Α α - β Κ β Β α Ο (α β)β α - β β Δ Μ Γ β Ρ Ν Λ β Α α β γ Β α α αβ αγ β αβ β βγ γ αγ βγ γ Δ Δ

40 40 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 5 Κ υ β ο ς Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς (α + β) = α +3α β+3αβ + β Α π ο δ ε ι ξ η (α + β) 3 = (α + β)(α + β) = Κ υ β ο ς Δ ι α φ ο ρ α ς = (α + β)(α + αβ + β ) = = α 3 + α β + αβ + α β + αβ + β 3 = = α 3 + 3α β + 3αβ + β (α - β) = α -3α β+3αβ - β Α π ο δ ε ι ξ η (α - β) 3 = (α - β)(α - β) = Δ ι α φ ο ρ α Κ υ β ω ν = (α - β)(α - αβ + β ) = = α 3 - α β + αβ - α β + αβ - β 3 = = α 3-3α β + 3αβ - β (α - β)(α + αβ+ β ) = α - β Α π ο δ ε ι ξ η (α - β)(α + αβ+ β ) Α θ ρ ο ι σ μ α Κ υ β ω ν 3 =α + α β = α - β 3 3 (α + β)(α - αβ+ β ) = α - β Α π ο δ ε ι ξ η (α + β)(α -αβ+ β ) =α - α β = α + β αβ + αβ - α β + α β - αβ - αβ 3 -β = 3 +β =

41 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 41 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Μεθοδος : Ευρεση αναπτυγματος των ταυτοτητων τετραγωνου αθροισματος - διαφορας. Προκειμενου να βρουμε το αναπτυγμα ταυτοτητας τετραγωνου αθροισματος διαφορας (α + β) = α + αβ + β και (α - β) = α - αβ + β : προσδιοριζουμε τα α (πρωτος στο αθροισμα η διαφορα) και β (δευτερος στο αθροισμα η διαφορα). υψωνουμε στο τετραγωνο τον πρωτο. στη συνεχεια προσθετουμε (στο αθροισμα) το διπλασιο γινομενο του πρωτου με το δευτερο η αφαιρουμε (στη διαφορα) το διπλασιο γινομενο του πρωτου με το δευτερο. τελος (και στο αθροισμα και τη διαφορα) προσθετουμε το τετραγωνο του δευτερου. μπορουμε να χρησιμοποιουμε σε καθε περιπτωση το τετραγωνο αθροισματος, αν θεωρησουμε τους α και β με τα προσημα τους. Να βρειτε τα αναπτυγματα: α) α) α = Ετσι 4 x = x 3 9 β = x- y = x - xy + y β) 5 x a =, β = x 5 5 x 5 x + = + + γ) 3 x- y 3 4 β) 5 x x 5 αβ = = x 5 x 5 5 x + x y = y 4 16 γ) (3x κ y 3λ ) δ) (- 3x y) αβ = 3 x y = xy 3 4 κ 4κ a =(3x ) = 9x β = (y ) = 4y τοτε : (3x -y ) = 9x - 1 x y + 4y κ 3λ κ 3λ αβ = 3x y = 1 x y 3λ 6λ κ 3λ 4κ κ 3λ 6λ δ) (- 3x y) = [(- 3x) + ( y)] = (- 3x) + (- 3x)( y) + ( y) = 9x + 1xy + 4y

42 39 4 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Μεθοδος : Ευρεση τετραγωνου αθροισματος - διαφορας απ το αναπτυγμα των ταυτοτητων. Προκειμενου να βρουμε το τετραγωνο αθροισματος διαφορας απ το αναπτυγμα ταυτοτητας (α + β) = α + αβ + β και (α - β) = α - αβ + β : προσδιοριζουμε τα α και β απ τα δοσμενα α, β (καθενα απ τους δυο ορους που μπορει να ειναι τετραγωνα, τους μετασχηματιζω σε μια συναμη με εκθετη, ωστε η βαση να ειναι ο α η ο β). ελεγχουμε αν ο τριτος ορος ειναι το αβ, συμφωνα με τα α, β που βρηκαμε. γραφουμε σαν δυναμη με εκθετη, το αθροισμα η την διαφορα τους. Παρατηρηση : Αν το διπλασιο γινομενο ειναι ισο με, τοτε οι α, β ειναι αντιστροφοι (αβ = 1) Να γραψετε σαν αθροισματα η διαφορες τετραγωνων τα αναπτυγματα: α) β) γ) α) Ειναι 4 α = x η α = x ετσι α = x αβ = x y = x y 3 4 β) 4 9 x - xy + y x + + x 5 4κ κ 3λ 6λ 9x - 1 x y + 4y β = y η β = y ετσι β = y ετσι : x - xy + y = x- y 5 5 x x a = η α =, β = η β = x x x 5 x + + = + 5 x 5 x 5 x αβ = = x 5 γ) α =9x = (3x ) η α = 3x 4κ κ κ 6λ 3λ 3λ αβ = 3x y =1 x y κ 3λ κ 3λ 4κ κ 3λ 6λ 9x - 1 x y + 4y = (3x κ y 3λ ) β = 4y = (y ) η β= y

43 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Μεθοδος : Ευρεση αναπτυγματος της ταυτοτητας γινομενου αθροισματος με διαφορα. Προκειμενου να βρουμε το αναπτυγμα ταυτοτητας του γινομενου αθροισματος με διαφορα απ το (α + β)( α - β) = α - β : προσδιοριζουμε τα α και β και παιρνουμε τη διαφορα των τετραγωνων τους (α - β ). για α θεωρουμε αυτον που δεν αλλαζει προσημο στους δυο ορους του γινομενου, ενω για β θεωρουμε αυτον που αλλαζει το προσημο του στους δυο ορους του γινομενου. Να βρειτε τα αναπτυγματα: α) a) Eιναι 4 α = x οποτε α = x β = y οποτε β = y 4 Ετσι x+ y x- y = x - y β) Ειναι α = 3x κ οποτε α = 9x κ β = y λ οποτε β = 4y λ Ετσι 3 3 x+ y x- y 3 3 β) (3x κ y λ )(3x κ + y λ ) γ) (x 3 3y )(- x 3 3y ) (3x κ y λ )(3x κ + y λ ) = 9x κ - 4y λ γ) Ειναι α = 3y οποτε α = ( 3y ) = 9y 4 β = x 3 οποτε β = (x 3 ) = 4x 6 Ετσι (x 3 3y )(- x 3 3y ) = 9y 4-4x 6

44 44 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Μεθοδος : Συμπληρωση ορων της ταυτοτητας τετραγωνου αθροισματος διαφορας. Βασικη προυποθεση, προκειμενου να συμπληρωσουμε τους ορους μιας ταυτοτητας, ειναι να προσδιορισουμε τους α και β. Για τις ταυτοτητες : (α + β) = α + αβ + β και (α - β) = α - αβ + β : αν δινεται ο α (η β) και ο β (η α ) : απ το β (η α ) προσδιοριζουμε τον β (η α) και ευκολα συμπληρωνουμε και το αβ. αν δινεται ο α (η β) και το αβ : απ το αβ (οπως δινεται) γραφουμε α (η β) επι αυτο που περισσευει δια. Αυτο που προκυπτει ειναι ο β (η α). π.χ. Αν αβ = 4xy και α = x, τοτε 4xy = x y που σημαινει οτι β = y. α) x 3 4 Ετσι Αν αβ = 3κλ και α = κ, τοτε 3κλ = κ 3 λ που σημαινει οτι β = 3 λ. αν δινεται ο α (η β ) και το αβ : απ το α (η β ) προσδιοριζουμε τον α (η β) στη συνεχεια, οπως προηγουμενως. Παρατηρηση : Αν το διπλασιο γινομενο ειναι ισο με, τοτε οι α, β ειναι αντιστροφοι (αβ = 1) Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες: α) γ) 9 x+... = y y =... + xy β = y = y οποτε β = y x+ y = x + xy + y β) (......) = (x 6κ ) δ) (......) = x β) α = x 6κ = (x 3κ ) οποτε α = x 3κ β = 100 = 10 οποτε β = 10 Ετσι (x 3κ 10) = (x 6κ - 0x 3κ + 100)

45 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 45 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 γ) 3 β = y 4 3 αβ =xy = x y 3 4 οποτε Ετσι α = x δ) x+ y = x + xy+ y α = x 408 = (x 014 ) οποτε α = x αβ = που σημαινει οτι α, β ειναι αντιστροφοι και β = 014 x Ετσι x = x x x Πολλαπλασιασαμε με =1 η = Μεθοδος : Ευρεση τιμης παραστασης απ τη ταυτοτητα γινομενου αθροισματος διαφορας. Προκειμενου να βρουμε την τιμη παραστασης αποτελουμενης απο διαφορα τετραγωνων. αντικαθιστουμε τη διαφορα τετραγωνων με το γινομενο αθροισματος διαφορας, συμφωνα με την ταυτοτητα : α - β = (α + β)(α β). κανουμε τις ευκολες πραξεις στις δυο παρενθεσεις και υπολογιζουμε το γινομενο τους. Να υπολογισετε τις τιμες των παραστασεων: α) Α = 15 5 β) Β = 6,45 3,55 α) Α = 15 5 = (15 + 5)(15 5) = = β) Β = 6,45 3,55 = (6,45 + 3,55)(6,45 3,55) = 10,9 = 9

46 46 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Μεθοδος : Αποδειξη οτι παρασταση της μορφης : κ ± λ μ ειναι τελειο τετραγωνο. α) Α = 6-5 = = 1 + ( 5 ) 1 5 β) Β = = = γ) Προκειμενου να αποδειξουμε οτι η παρασταση της μορφης : κ ± λ μ ειναι τελειο τετραγωνο : αν το λ = τοτε η α = 1 και β = μ, αν κ «σπαει» σε κ = μ + 1 (ταυτοτητα : ((α ± β) = α ± αβ + β ). μ = ν ρ οποτε α = ν και β = ρ, αν κ «σπαει» σε κ = ν + ρ. αν το λ τοτε σχηματιζουμε γινομενο απο τρεις ορους, λ μ ( λ μ αβ = )και αν κ = κ = λ 4 + μ, τοτε α = λ και β = μ (ταυτοτητα : ((α ± β) = α ± αβ + β ). μ λ + 4, τοτε α = λ και β = μ (ταυτοτητα : ((α ± β) = α ± αβ + β ). αλλος συνδιασμος απ τη σχεση ( 3) + Γ = = = 3 + λ μ αβ = Να αποδειξετε οτι οι παρακατω παραστασεις ειναι τελεια τετραγωνα: α) Α = 6-5 β) Β = γ) Γ = δ) Δ = ( 5) ( 5) 3 5 α = 1 και β = 5 = (1-5 ) α = 3 και β = 5 = α = 3 και β = 5 = ( 3 + 5) (3+ 5) δ) Δ = = = = = = = = = ( 3) + ( 6) α = 3 και β = 6 = ( 3 + 6)

47 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 47 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Μεθοδος : Αναπτυγματα κυβων. Προκειμενου να βρουμε το αναπτυγμα κυβου αθροισματος - διαφορας η αθροισματος διαφορας κυβων : προσδιοριζουμε τα α και β. με τη βοηθεια των ταυτοτητων : (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α - β) 3 = α 3-3α β + 3αβ - β 3, α) 3 1 α = x και β = x 1 x- = x - 3 x x β) α 3 + β 3 = (α + β)( α αβ + β ), α 3 - β 3 = (α - β)( α + αβ + β ) προσδιοριζουμε τους ορους : α 3, α β, αβ, αβ, β 3 Να βρειτε τα αναπτυγματα : α) 1 x- x 3 3 β) 1 α = - x και β = - x 1 - x- x x- = (- x) + 3 (- x) x 3 1 x + 3 x 3 1 x = x - 3x+ - x x x (- x) x - x Μεθοδος : Συμπληρωση ορων κυβου αθροισματος - διαφορας x x x = - x - 3x- - Προκειμενου να συμπληρωσουμε ορους στις ταυτοτητες : (α ± β) 3 = α 3 ± 3α β + 3αβ ± β 3, αρκει να προσδιορισουμε τους α και β. αν α 3, β 3 δοσμενα, ευκολα προσδιοριζουμε α και β, αρα και τους ορους α β, αβ. αν α 3 και ενα απ τα α β, αβ ευκολα προσδιοριζουμε το α (απ το α 3 ) και στη συνεχεια το β (απ τα α β, αβ ). αν β 3 και ενα απ τα α β, αβ ευκολα προσδιοριζουμε το β (απ το β 3 ) και στη συνεχεια το α (απ τα α β, αβ ). 3

48 48 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 5 Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες: α) 3 3 (......) = x x 3 1 β) (... 5) 3 = x α) Eιναι α 3 = x 3 οποτε α = x 3 β = οποτε β = 3 x Τοτε 3 α β = 3 x = 3x 3 α β = 3 x = Ετσι = x x x x 3 x- 3x 3 x x x x β) Ειναι β = 5 και 3α β = 60x η 3α 5 = 60x η 15α = 60x η α = 4x η α = x Τοτε 3αβ = 3 x 5 = 150x α 3 = (x) 3 = 8x 3 β 3 = 5 3 = 15 Eτσι (x 5) 3 = 8x 3-60x + 150x - 15

49 Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 49 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να βρειτε τα αναπτυγματα: α). x 3y - 3y 4x β) 1 -xy xy γ) (3x κ y 3λ 5) δ) (- αx βy) Να γραψετε σαν αθροισματα η διαφορες τετραγωνων τα αναπτυγματα: α) 3. 4 α x + αxy + 9y 9 4α Να βρειτε τα αναπτυγματα: α) 4. x 3y x 3y - + 3y 4x 3y 4x β) y y Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες: α) γ) x+... = y α =... + αx Να υπολογισετε τις τιμες των παραστασεων: α) Α = β) Β = γ) 6κ 3κ λ 4λ 4x + 1 x y + 6y β) (x 7 + 3y 3 )( x 7 3y 3 ) γ) (αx βy 3 )(- αx βy 3 ) β) (......) = ( x 1 ) δ) (......) = Να αποδειξετε οτι οι παρακατω παραστασεις ειναι τελεια τετραγωνα: 9x 4y α) Α = β) Β = γ) Γ = δ) Δ = Να βρειτε τα αναπτυγματα : α) (3κ λ) 3 β) (α + 5β) 3 Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες: α) 3 3 x (......) = β) (... 1) 3 = x

50 39 50 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 6 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ειναι η διαδικασια που μια παρασταση αθροισμα, μετατρεπεται σε γινομενο παραγοντων. Π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ς Κ ο ι ν ο ς Π α ρ α γ ο ν τ α ς Στη διαδικασια αυτη μετατρεπουμε το αθροισμα σε ενα γινομενο με πρωτο παραγοντα, το κοινο ορο (στο μικροτερο εκθετη) που ειναι παραγοντας σε καθε ορο του αθροισματος και δευτερο παραγοντα, μια παρενθεση με ορους τα πηλικα της διαιρεσης καθε αρχικου της ορου με το πρωτο παραγοντα (πληθος ορων ιδιο με το αρχικο). Ειναι εφαρμογη της επιμεριστικης ιδιοτητας. π.χ. x 4 y 4x y + 6xy 3 = xy x 3 xy xy + xy 3y = xy (x 3 xy + 3y ) O μ α δ ο π ο ι η σ η Στη διαδικασια αυτη δεν μπορουμε να βγαλουμε αμεσα κοινο παραγοντα απ ολους τους ορους του αθροισματος, που εχει ομως αρτιο (ζυγο) πληθος ορων. χωριζουμε τους ορους του αθροισματος σε ομαδες με ιδιο πληθος ορων. καθεμια απ τις πιο πανω ομαδες εχουν κοινο παραγοντα βγαζουμε κοινο παραγοντα σε καθε ομαδα και το γινομενο που προκυπτει σε καθε περιπτωση ειναι η ιδια παρενθεση παραγοντας. τελος βγαζουμε κοινο παραγοντα την πιο πανω κοινη παρενθεση. π.χ. x 4 + x 3 + x - 4 = (x 4 + x 3 ) + (x 4) = x 3 (x + ) + (x + )(x ) = = (x + )(x 3 + x ) Δ ι α φ ο ρ α Τ ε τ ρ α γ ω ν ω ν Στη διαδικασια αυτη χρησιμοποιουμε την ταυτοτητα του γινομενου αθροισματος επι διαφορα με αλλαγμενα τα μελη της, δηλαδη : α β = (α + β)(α - β) και αρκει να προσδιορισουμε τα α και β. π.χ. x 4-4 = (x ) - = (x + )(x - ) Δ ι α φ ο ρ α - Α θ ρ ο ι σ μ α Κ υ β ω ν Στη διαδικασια αυτη χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες του αθροισματος και διαφορας κυβων, δηλαδη : α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ), α 3 - β 3 = (α - β)(α + αβ + β ) και αρκει να προσδιορισουμε τα α και β. π.χ. x 3-8 = x 3-3 = (x - )(x + x + 4)

51 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 6 Α ν α π τ υ γ μ α Τ ε τ ρ α γ ω ν ο υ Στη διαδικασια αυτη χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες του τετραγωνου αθροισματος και διαφορας με αλλαγμενα τα μελη τους, δηλαδη : α + αβ + β = (α + β), α - αβ + β = (α - β) και αρκει να προσδιορισουμε τα α και β. π.χ. x y 4xy + 4 = (xy) xy + = (xy ) Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Τ ρ ι ω ν υ μ ο υ x + (α + β)x + αβ Στη διαδικασια αυτη χρησιμοποιουμε τη σχεση : x + (α + β)x + αβ = (x + α)(x + β) Α π ο δ ε ι ξ η x + (α + β)x + αβ = x + αx + βx + αβ = x(x + α) + β(x + α) = (x + α) (x + β) π.χ. x + 5x + 6 = x + ( + 3)x + 3 = (x + )(x + 3)

52 5 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 6 Μεθοδος : Κοινος παραγοντας. Προκειμενου να παραγοντοποιησουμε αλγεβρικο αθροισμα με τη μεθοδο του κοινου παραγοντα: μετατρεπουμε το αλγεβρικο αθροισμα σε ενα γινομενο με δυο παραγοντες, τον πρωτο (κοινο παραγοντα) και τον δευτερο μια παρενθεση με το αθροισμα των πηλικων των αρχικων ορων δια του κοινου παραγοντα. Ευρεση κοινου παραγοντα : απο αριθμους (σ ολους τους ορους) βγαζουμε τον μεγαλυτερο που διαιρει τους αριθμους στο αλγεβρικο αθροισμα. απο γραμματα (σ ολους τους ορους) βγαζουμε το κοινο γραμμα με το μικροτερο εκθετη. με τη βοηθεια των πραξεων και των ιδιοτητων τους και των ιδιοτητων των δυναμεων φτια- το διαιρει τους αριθμους σ'ολους τους ορους. κοινο γραμμα με μικροτερο εκθετη σ'ολους τους ορους: α β Ετσι χνουμε το γινομενο Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 6α β -αβ + 1α β Α = 6 α β - α β +1 α β = α β (3 α β -β +6 α ). Μεθοδος : Ομαδοποιηση Προκειμενου να παραγοντοποιησουμε αλγεβρικο αθροισμα με τη μεθοδο της ομαδοποιησης : ομαδοποιουμε τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος ανα δυο η ανα τρεις κλπ (αρα οι οροι του αλγεβρικου αθροισματος ειναι αρτιου πληθους). βγαζουμε κοινο παραγοντα απο καθε μια ομαδα και ο δευτερος παραγοντας απο καθεμια απο αυτες τις παραγοντοποιησεις πρεπει να ειναι ο ιδιος, εστω κ. βγαζουμε κοινο παραγοντα τον κ απ ολο το αλγεβρικο αθροισμα. Ετσι το αλγεβρικο αθροισμα μετασχηματιζεται σε κ μ. Π α ρ α τ η ρ η σ η Στη περιπτωση που εχουμε τρεις ορους (γενικα περιττου πληθους), σε πολλες περιπτωσεις «σπαμε» καταλληλα εναν και χρησιμοποιουμε τη μεθοδο της ομαδοποιησης.

53 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν 53 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 6 Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α= αx + βx -αy - βy. Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Β = 3κ -5κ-. Eιναι Α =αx+βx-αy-βy = =(αx+βx)-(αy+βy) = =x(α+β)-y(α+β) = = (x - y)(α + β) Ειναι Α Ειναι Α =3κ -5κ- = =3κ -6 κ+ κ- =3κ (κ-) + (κ-) = (3κ+ 1) (κ-) Μεθοδος : Διαφορα τετραγωνων Προκειμενου να παραγοντοποιησουμε αλγεβρικο αθροισμα με τη μεθοδο της διαφορας τετραγωνων : προσδιοριζουμε τους α, β στην παρασταση μορφης Α = α β. χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα : α β = ( α β )( α + β ) Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α= 9κ x -4λ y =9κ x -4λ y = 4 5 =(3κ x ) -(λy ) = 4 5 = (α =3κ x και β =λy ) = (3κ x -λy )(3κ x -λy )

54 54 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 6 Μεθοδος : Διαφορα Αθροισμα κυβων Ειναι Προκειμενου να παραγοντοποιησουμε αλγεβρικο αθροισμα με τη μεθοδο της διαφορας τετραγωνων : προσδιοριζουμε τους α, β στις παραστασεις μορφης Α = α 3 β 3, Β = α 3 + β 3. χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες : Α Β α 3 + β 3 = ( α + β )( α - αβ + β ) α 3 β 3 = ( α β )( α + αβ + β ) Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις : Α= 8κ x - λ y Β = 7μ +ν =8 κ x -λ y = =( κ x) -(λ y ) = 3 4 ( α = κ x και β =λ y ) =( κ x-λ y )[( κ x) +( κ x)(λ y )+(λ y ) ]= =( κ x-λ y )(4 κ =7μ +ν = 3 3 =(3μ ) +ν = =(3μ +ν)[(3μ ) -3μ ν+ν ] = =( μ +ν)(9μ -3μ ν+ν ) x + κ x λ y +λ y ) ( α = 3 μ και β =ν )

55 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν 55 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 6 Μεθοδος : Αναπτυγμα τετραγωνων Προκειμενου να παραγοντοποιησουμε αλγεβρικο αθροισμα με τη μεθοδο του αναπτυγματος τετραγωνων : προσδιοριζουμε τους α, β στις παραστασεις μορφης Α = α 3 β 3, Β = α 3 + β 3. χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες : α + αβ + β = (α + β) η α - αβ + β = (α - β) τ ε χ ν α σ μ α Σ αυτη τη περιπτωση εχουμε παρασταση μορφης ταυτοτητας που της λειπει ενας ορος. Προσθετουμε και αφαιρουμε τον ορο που λειπει. Γραφουμε τη ταυτοτητα απ το αναπτυγμα που δημιουργηθηκε. Συνεχιζουμε συμφωνα με τις προηγουμενες περιπτωσεις (συνηθως διαφορα τετραγωνων). Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις : 1 4 Β = κ x +4λ y Ειναι Α B 10 5 Α= x + x = x +x +1 = 5 5 x x = = 5 x = =κ x +4λ y = 4 4 =(κ x ) +(λ y ) = (λειπει ο ορος (κ x ) (λ y ) για να εχουμε ταυτοτητα) =(κ x ) + (κ x ) (λ y ) +(λ y ) - (κ x ) (λ y ) = =(κ x ) + (κ x ) (λ y )+(λ y ) -(κ xλy) = (α =3κ x, β= α + αβ + β = (α + β) λy) 4 =(κ x +λy) -(κ xλy) = (διαφορα τετραγωνων) 4 4 = (κ x +λy + κ xλy)(κ x +λy -κ xλy)

56 56 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 6 Μεθοδος : Παραγοντοποιηση τριωνυμου Προκειμενου να παραγοντοποιησουμε το τριωνυμο x + αx + β : βρισκουμε δυο αριθμους, εστω κ και λ, που το αθροισμα τους ειναι ισο με α Παρατηρουμε οτι : + 3 = 5 3 = 6 Ετσι (κ + λ = α) και το γινομενο τους ειναι ισο με β (κλ = β). χρησιμοποιουμε την ισοτητα : x + αx + β = x + (κ + λ)x + κλ = (x + κ)(x +λ) τ ε χ ν α σ μ α στο πιο πανω τριωνυμο «σπαμε» καταλληλα τον ορο αx σε δυο ορους (αθροισμα η διαφορα).. χρησιμοποιουμε μεθοδο ομαδοποιησης. Να παραγοντοποιηθει το τριωνυμο : x + 5x + 6. x + 5x +6 = x +(+3)x+ 3 = = (x +)(x +3) A λ λ ι ω ς x + 5x +6 Μεθοδος : Παραγοντοποιηση με συνδιασμο περιπτωσεων. Στη περιπτωση αυτη : ελεγχουμε για κοινο παραγοντα. ελεγχουμε για αναπτυγματα ταυτοτητων. συνηθως καταληγουμε σε διαφορα τετραγωνων. Να παραγοντοποιηθoυν οι παραστασεις Α = x - y + ω + ωx Β = x - x + x y - xy 3 = x + x+ 3x+6 = = (x +x)+(3x+6) oμαδοποιηση = x (x+) +3 (x+) = (x + )( x +3) Α = x -y +ω +ωx = = (x +ωx+ω )-y = τετραγωνο αθροισματος = (x+ω) -y = διαφορα τετραγωνων = (x+ω+y)(x+ω-y)

57 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν 57 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Β = x-x +x y-xy = Ειναι Α = x(1-x +xy-y ) = = x[1-( x -xy+y )] = τετραγωνο διαφο = x[1 - ) ] = (x-y = x[1+(x-y)][1-(x-y)] = = x(1+x-y)(1-x+y) = Μεθοδος : Τεχνασμα προσθαφαιρεσης ορου =κ x +4λ y = κοινος παραγοντας ο x ρας διαφορα τετραγωνων Σ αυτη τη περιπτωση εχουμε παρασταση μορφης ταυτοτητας που της λειπει ενας ορος. Προσθετουμε και αφαιρουμε τον ορο που λειπει. Γραφουμε τη ταυτοτητα απ το αναπτυγμα που δημιουργηθηκε. Συνεχιζουμε συμφωνα με τις προηγουμενες περιπτωσεις (συνηθως διαφορα τετραγωνων) Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = κ x + 4λ y. 4 4 =(κ x ) +(λ y ) = (λειπει ο ορος (κ x ) (λ y ) για να εχου =(κ x ) + (κ x ) (λ y ) +(λ y ) - (κ x ) ( λ y ) = με ταυτοτητα) =( κ x ) + (κ x ) (λ y )+(λ y ) -(κ xλy) = (α =3κ x, β =λy) α + αβ + β = (α + β) 4 =(κ x +λy) -(κ xλy) = 4 4 =(κ x +λy+ κ xλy)(κ x +λy-κ xλy) (διαφορα τετραγωνων)

58 58 Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να μετατραπουν σε γινομενα παραγοντων οι παραστασεις : α) 14α + 49αβ +70αβ 3 β) (α + β) 3 α(α β) β(β α) γ) 3α(κ - 3λ) + 6αβ(κ - 3λ) + 1α β(κ - 3λ) δ) x 3 + 3x - 16x - 48 ε) α 5 - α 4 + α 3 - α + α - 1 στ) αβ + βγ + αγ + γ + (β + γ)(α + β) ζ) x 4-64x y θ) (5x + 3y) (3x + 5y) ι) x ν+1 - xy ια) 7α ιβ) 3 9 α β +1 7 ιγ) 4x 4 + 8x 6 + y 3 y ιδ) x 3 + 7x + 3x + 1 ιε) x 3 + 3x + 3x + 1. Να μετατραπουν σε γινομενα παραγοντων οι παραστασεις : α) 5α x + 4xy - 4y β) 4α -4αβ+β -9α β γ) α + x - β - y - αx + βy δ) γ α αβ β 3. Να μετατραπουν σε γινομενα παραγοντων οι παραστασεις : α) x + 10x + 1 β) x + 6x - 7 γ) x ( + 3)x + 6 δ) x + 3xy 4y 4. Να μετατραπουν σε γινομενα παραγοντων οι παραστασεις : α) x x β) 4x 4 + 3x y + y 4 1 γ) + x 5. δ) α 4 + α β + β 4 Να μετατραπουν σε γινομενα τ ρ ι ω ν παραγοντων οι παραστασεις : α) 1 +x x β) x + x

59 Δ ι α ι ρ ε σ η Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν 59 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 7 Π α ρ α δ ε ι γ μ α δ ι α ι ρ ε σ η ς 4x 3-6x + 4x + : x - 1 4x 3-6x + 4x + x - 1-4x 3 + x x x + 1-4x + 4x + + 4x - x + x + - x o β η μ α Γραφουμε τα πολυωνυμα (διαιρετεου διαιρετη) κατα τις φθινουσες δυναμεις. o β η μ α (μ π λ ε) Διαιρουμε τον πρωτο ορο 4x 3 του διαιρετεου με τον πρωτο ορο x του διαιρετη και προκυπτει ο πρωτος ορος του πηλικου, x. Πολλαπλασιαζουμε τον πρωτο ορο του πηλικου, x με τον διαιρετη (x 1) και το γινομενο το αφαιρουμε απ τον διαιρετεο και προκυπτει νεο πολυωνυμο βαθμου κατα ενα μικροτερο ( - 4x + 4x + ). 3 o β η μ α (κ ο κ κ ι ν ο) Διαιρουμε τον πρωτο ορο - 4x του πολυωνυμου - 4x + 4x + με τον πρωτο ορο x του διαιρετη και προκυπτει ο δευτερος ορος του πηλικου, - x. Πολλαπλασιαζουμε τον δευτερο ορο του πηλικου, - x με τον διαιρετη (x 1) και το γινομενο το αφαιρουμε απ το - 4x + 4x + και προκυπτει νεο πολυωνυμο βαθμου κατα ενα μικροτερο (4x + ). 4 o β η μ α (π ρ α σ ι ν ο) Διαιρουμε τον πρωτο ορο 4x του πολυωνυμου 4x + με τον πρωτο ορο x του διαιρετη και προκυπτει ο τριος ορος του πηλικου, + 1. Πολλαπλασιαζουμε τον τριτο ορο του πηλικου, + 1 με τον διαιρετη (x 1) και το γινομενο το αφαιρουμε απ το 4x + και προκυπτει το υπολοιπο της διαιρεσης, 3.

60 60 Δ ι α ι ρ ε σ η Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 7 Τ α υ τ ο τ η τ α Ε υ κ λ ε ι δ ε ι α ς Δ ι α ι ρ ε σ η ς Για καθε ζευγος πολυωνυμων Δ(x) και δ(x) 0 υπαρχουν δυο μοναδικα πολυωνυμα π(x) και υ(x) τετοιαωστε : Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (το υ(x) εχει βαθμο μικροτερο απ'το βαθμο τουδ(x) η ειναι το μηδενικο πολυωνυμο). Δ(x) : ειναι ο δ ι α ι ρ ε τ ε ο ς δ(x) : ειναι ο δ ι α ι ρ ε τ η ς π(x) : ειναι το π η λ ι κ ο υ(x) : ειναι το υ π ο λ ο ι π ο Αν υ(x) = 0 η διαιρεση Δ(x) : δ( x) λεγεται τ ε λ ε ι α και ισχυει: Δ(x) = δ(x) π(x) Στη περιπτωση αυτη το δ(x) λεγεται π α ρ α γ ο ν τ α ς του Δ(x).

61 Δ ι α ι ρ ε σ η Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν 61 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 7 Μεθοδος : Εφαρμογη της διαιρεσης. Αν πρεπει να : κανουμε τη διαιρεση δυο πολυωνυμων Δ(x):δ(x). δειξουμε οτι το πολυωνυμο Δ(x) διαιρουμενο με το πολυωνυμο δ(x) δινει υπολοιπο υ(x). κανουμε τη διαιρεση δυο πολυωνυμων Δ(x):δ(x) και στη συνεχεια να παραγοντοποιησετε το πολυωνυμο Δ(x). δειξουμε οτι το πολυωνυμο δ(x) ειναι παραγοντας του πολυωνυμου Δ(x). βρουμε το πηλικο και το υπολοιπο της διαιρεσης Δ(x):δ(x). βρουμε τον αλλο παραγοντα, αν δ(x) ειναι ο ενας παραγοντας του πολυωνυμου Δ(x), αν οι βαθμοι των Δ(x), δ(x) διαφερουν κατα 1. Τοτε κανουμε τη διαιρεση Δ(x):δ(x). Να : κανετε τη διαιρεση 6x 3 + x - 3x - 1 : x - 1. δειξετε οτι το πολυωνυμο 6x 3 + x - 3x - 1 διαιρουμενο με το πολυωνυμο x 1 δινει υπολοιπο 0. κανετε τη διαιρεση δυο πολυωνυμων 6x 3 + x - 3x - 1 : x 1 και στη συνεχεια να παραγοντοποιησετε το πολυωνυμο 6x 3 + x - 3x - 1. δειξετε οτι το πολυωνυμο x 1 ειναι παραγοντας του πολυωνυμου 6x 3 + x - 3x 1 βρειτε το πηλικο και το υπολοιπο της διαιρεσης 6x 3 + x - 3x - 1 : x - 1. βρειτε τον αλλο παραγοντα, αν x 1 ειναι ο ενας παραγοντας του πολυωνυμου 6x 3 + x - 3x - 1 : x - 1. Ειναι 6x 3 + x - 3x - 1 x - 1-6x 3 + 3x 3x x x πηλικο : 3x + 1 υπολοιπο : 0 παραγοντοποιηση : 6x 3 + x - 3x - 1 = (3x + 1)( x - 1) (3x + 1), ( x - 1) παραγοντες του 6x 3 + x - 3x - 1

62 6 Δ ι α ι ρ ε σ η Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 7 Μεθοδος : Ευρεση παραμετρου απο ταυτοτητα Ευκλειδειας διαιρεσης. Προκειμενου να βρουμε πραγματικο αριθμο α (παραμετρο) που βρισκεται στο διαιρετεο μιας διαιρεσης Δ(x):δ(x) : κανουμε τη διαιρεση κατα τα γνωστα. στο υπολοιπο υ(x) που προκυπτει περιεχεται ο ζητουμενος πραγματικος αριθμος α. αν η διαιρεση ειναι τελεια, βρισκουμε τον ζητουμενο πραγματικο αριθμο α, λυνοντας την εξισωση υ(x) = 0. αν η διαιρεση αφηνει υπολοιπο, εστω κ, βρισκουμε τον ζητουμενο πραγματικο αριθμο α, λυνοντας την εξισωση υ(x) = κ. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο α, αν η διαιρεση x 3 - x - 4x + α : x 1 ειναι τελεια. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο β, αν η διαιρεση x 3 - x - 4x + α : x 1 αφηνει υπολοιπο 4. Ειναι x 3 - x - 4x α x x 3 + x x + x - 3 x - 4x - x + x η διαιρεση τελεια, οποτε : α 3 = 0 η α = 3 η διαιρεση αφηνει υπολοιπο 4, οποτε : β 3 = 4 η β = 7 a - 3x a + 3x - 3 a - 3

63 Δ ι α ι ρ ε σ η Π ο λ υ ω ν υ μ ω ν 63 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να κανετε τις παρακατω διαιρεσεις και να γραψετε την ταυτοτητα της Ευκλειδειας διαιρεσης : α) (x 4-3x 3-4x + 9x + 7) : (x - 3) β) (y 3 - y - 8y - 13) : (y + 3y + 3) γ) (ω 4-6ω ω - 10ω + 7) : (ω - 3ω + ) δ) (- 5α + 6α 3-6 α + 3) : (α - 3α - 1) ε) (1x 4 + 5x 3-33x - 3x + 16) : (4x x - 5) στ) (1x -74αx + 1α ) : (x - 1α) ζ) (6αx 3 - α x - 7α 3 x + 1α 4 ) : (x + 3α) θ) (x 6-1) : (x + 1). Να βρειτε το πολυωνυμο P(x) που αν διαιρεθει με το x 1 δινει πηλικο 4x + 1 και υπολοιπο 4x + 3. Η διαιρεση του πολυωνυμου Ρ(x) με το πολυωνυμο 3x - δινει πηλικο x - 5x + 3 και υπολοιπο 7. Να βρειτε το Ρ(x). 3. Αποδειξτε οτι το Α(x) ειναι παραγοντας του Β(x) σε καθεμια απο τις παρακατω περιπτωσεις : α) Α(x) = x - 1 και Β(x) = x 3 + 5x - 6 β) Α(x) = x + 1 και Β(x) = 5x 3-4x + 3x 4 - γ) Α(x) = x - 5 και Β(x) = x 4 + x Δινεται το πολυωνυμο : Ρ(x) = (x 3 + x + 5)(x - 3) + x - 5x + 1 Να βρειτε το υπολοιπο των διαιρεσεων : Ρ(x) : (x 3 + x + 5) Ρ(x) : (x-3) Δινεται το πολυωνυμο : Ρ(x) = 6x 4 + 7x 3-9x - 7x + 3 Να κανετε τη διαιρεση Ρ(x) : (x + 3). Να παραγοντοποιησετε το Ρ(x). 5. Δινεται το πολυωνυμο : Ρ(x) = x 3 + x + 5. Να γινει η διαιρεση : [Ρ(x) + Ρ(x - 1) + 3Ρ(x - )] : (x + 3)

64 64 Ε Κ Π Μ Κ Δ Α κ ε ρ α ι ω ν Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 1. 8 Ε λ α χ ι σ τ ο Κ ο ι ν ο Π ο λ λ α π λ α σ ι ο ( Ε. Κ. Π. ) δυο η περισσοτερων αλγεβρικων παραστασεων που εχουν αναλυθει σε γινομενο πρωτων παραγοντων ονομαζεται, το γινομενο των κοινων και μη κοινων παραγοντων τους με εκθετη καθενος το μεγαλυτερο απο τους εκθετες του. Μ ε γ ι σ τ ο ς Κ ο ι ν ο ς Δ ι α ι ρ ε τ η ς ( Μ. Κ. Δ. ) δυο η περισσοτερων αλγεβρικων παραστασεων που εχουν αναλυθει σε γινομενο πρωτων παραγοντων ονομαζεται, το γινομενο των κοινων παραγοντων τους με εκθετη καθενος το μικροτερο απο τους εκθετες του.

65 Ε Κ Π Μ Κ Δ Α κ ε ρ α ι ω ν Α λ γ κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν 65 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 8 Μεθοδος : Ευρεση Ε.Κ.Π. - Μ.Κ.Δ. Προκειμενου να βρουμε το Ε.Κ.Π. : σε ενα πολυωνυμο :. βρισκουμε το ΕΚΠ των συντελεστων των μονωνυμων που αποτελουν το πολυωνυμο. (παιρνουμε το μεγαλυτερο συντελεστη και ελεγχουμε αν διαιρειται απ τους υπολοιπους. Αν, οχι παιρνουμε το διπλασιο, τριπλασιο κλπ μεχρι να βρουμε αυτον που διαιρειται απο ολους τους συντελεστες ) βρισκουμε το ΕΚΠ των κυριων μερων των μονωνυμων που αποτελουν το πολυωνυμο. (παιρνουμε το γινομενο των κοινων και μη κοινων παραγοντων τους με εκθετη καθενος το μεγαλυτερο απο τους εκθετες του) σε δυο η περισσοτερων αλγεβρικων παραστασεων αναλυουμε τις αλγεβρικες παραστασεις σε γινομενα πρωτων παραγοντων. παιρνουμε το γινομενο των κοινων και μη κοινων παραγοντων τους με εκθετη καθενος το μεγαλυτερο απο τους εκθετες του. Προκειμενου να βρουμε το Μ.Κ.Δ. : σε ενα πολυωνυμο :. βρισκουμε το ΜΚΔ των συντελεστων των μονωνυμων που αποτελουν το πολυωνυμο. (παιρνουμε το μικροτερο συντελεστη και ελεγχουμε αν διαιρει τους υπολοιπους. Αν, οχι παιρνουμε το υποδιπλασιο, υποτριπλασιο κλπ μεχρι να βρουμε αυτον που διαιρει ολους τους συντελεστες ) βρισκουμε το ΜΚΔ των κυριων μερων των μονωνυμων που αποτελουν το πολυωνυμο. (παιρνουμε το γινομενο των κοινων παραγοντων τους με εκθετη καθενος το μικροτερο απο τους εκθετες του) σε δυο η περισσοτερων αλγεβρικων παραστασεων αναλυουμε τις αλγεβρικες παραστασεις σε γινομενα πρωτων παραγοντων. παιρνουμε το γινομενο των κοινων παραγοντων τους με εκθετη καθενος το μικροτερο απο τους εκθετες του. Να βρειτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παραστασεων : 6x y z 3, 9x 3 y z, 3x y z a β γ, 6α 3 β γ, 1α β γ x 3-8, x - 4, x - 3x + α - α, α - 4 α + 4, α 3-4α

66 66 Ε Κ Π Μ Κ Δ Α κ ε ρ α ι ω ν Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 1. 8 Ειναι E.K.Π. = 18 Μ.Κ.Δ. = , 9, 3 : xy z, x y z, x yz : οποτε Ειναι E.K.Π. = 18x y z xy z, 9x y z, 3x yz : Μ.Κ.Δ. =3xyz E.K.Π. = 1 Μ.Κ.Δ. = 3, 6, 1 : αβ γ, α βγ, α β γ : οποτε 3 3 αβ γ, 6α βγ, 1α β γ : Μ.Κ.Δ. =αβγ Ειναι x -8 = x - = (x-)(x +x+4) x -4 = (x+)(x-) E.K.Π. = 1α β γ x -3x+ = x +(- 1-)x+(- 1) (- ) = (x-1)(x-) οποτε : Μ.Κ.Δ. =(x-) E.K.Π. =(x-1)(x-)(x+)(x +x+4) Ειναι α -α = α(α- ) α -4α+4 = (α-) 3 α -4α = α(α -4) =α(α+)(α-) οποτε : E.K.Π. =α(α+)(α-) Μ.Κ.Δ. =(α-) E.K.Π. = x y z Μ.Κ.Δ. =xyz 3 3 E.K.Π. = α β γ Μ.Κ.Δ. =αβγ 3

67 Ε Κ Π Μ Κ Δ Α κ ε ρ α ι ω ν Α λ γ ε β ρ ι κ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν 67 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Δινονται τα πολυωνυμα : Α(x) = x 3-4x + 5x - και Β(x) = x 3-5x + 8x 4 α) Να αποδειξετε οτι το x - ειναι διαιρετης των Α(x) και Β(x). β) Να βρειτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των Α(x) και Β(x).. Δινεται το πολυωνυμο : Ρ(x) = x 4 - x 3 + x α) Να παραγοντοποιησετε το Ρ(x). β) Να βρειτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των πολυωνυμων Ρ(x), Ρ(x ), Ρ(x + 1). 3. Δινονται τα πολυωνυμα: Ρ(x) = 3x 4-4x 3-4x + 36x και Q(x) = 3x x 3-1x - 16x α) Να αποδειξετε οτι το 3x + 5 ειναι παραγοντας των Ρ(x) και Q(x). β) Να βρειτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των Ρ(x) και Q(x). 4. Να βρειτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παραστασεων : 6x y 3 z, 4x 3 y z, 6xy z 3 4α β γ, 8α 4 β, 1βγ 3 6(x - y ), 3(x y), x 3 - y 3 (x 1)α - α, α - 4 α + 4, α 3-4α

68 68 Ρ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς Ρ η τ η Α λ γ ε β ρ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η η απλα ρ η τ η π α ρ α σ τ α σ η ειναι η αλγεβρικη παρασταση που ειναι κλασμα με τους ορους του πολυωνυμα. Το πολυωνυμο του παρονομαστη ειναι τουλαχιστον 1 ου βαθμου ως προς μια τουλαχιστον μεταβλητη. Η ρητη παρασταση οριζεται αν ο παρονομαστης της ειναι διαφορος του μηδενος. Α π λ ο π ο ι η σ η Ρ η τ η ς Π α ρ α σ τ α σ η ς μια ρητη παρασταση, μπορει να απλοποιηθει, αν ο αριθμητης και ο παρονομαστης της ειναι γινομενα και εχουν κοινο παραγοντα. Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο ς Ρ η τ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Πολλαπλασιαζουμε αριθμητη επι αριθμητη και παρονομαστη επι παρονομαστη και τα γινομε- να τα βαζουμε αντιστοιχα, αριθμητη και παρονομαστη του ισοδυναμου κλασματος που προ- κυπτει. Χ ρ η σ ι μ ε ς Ι δ ι ο τ η τ ε ς β α β α γ α γ α = = γ γ β δ β δ Δ ι α ι ρ ε σ η Ρ η τ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν οπου α, β, γ, δ αλγεβρικες παραστασεις Πολλαπλασιαζουμε τον διαιρετεο (πρωτο κλασμα) με τον αντιστροφο του διαιρετη (δευτερο κλασμα). Χ ρ η σ ι μ ε ς Ι δ ι ο τ η τ ε ς α α γ α δ α δ β α δ : = = = β δ β γ β γ γ β γ δ οπου α, β, γ, δ αλγεβρικες παραστασεις Π ρ ο σ θ ε σ η - Α φ α ι ρ ε σ η Ρ η τ ω ν Π α ρ α σ τ α σ ε ω ν Πολλαπλασιαζουμε τον διαιρετεο (πρωτο κλασμα) με τον αντιστροφο του διαιρετη (δευτερο κλασμα). Χ ρ η σ ι μ ε ς Ι δ ι ο τ η τ ε ς α γ α +γ α γ α -γ + = - = β β β β β β οπου α, β, γ αλγεβρικες παραστασεις

69 Ρ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 69 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : Απλοποιηση ρητης αλγεβρικης παραστασης. Προκειμενου να απλοποιησουμε μια ρητη αλγεβρικη παρασταση : παραγοντοποιουμε τους ορους (αριθμητη και παρονομαστη) της ρητης παραστασης. διαγραφουμε τους κοινους παραγοντες των ορων της ρητης παραστασης. Να γινουν οι απλοποιησεις : 3 x -6x +9x 3 x -4x +3x 3 x -6x +9x x(x -6x+9) = = 3 x -4x +3x x(x -4x+3) 3 x -4x 3 x +3x +x x(x - 3x+3 ) = = x(x +(- 1-3)x+(- 1)(- 3) x (x-3) = x(x- 1)(x- 3) = x-3 = x- 1 3 x -4x x(x -4) x +3x +x 3 3 x -4x 4 = x -16 = = x(x +3x+) x(x+)(x-) = = = x(x +(1+)x+1 ) x (x+)(x-) x(x+1)(x+ ) = x- = x+1 x (x -4) x(x +4)(x -4) 1 = x +4 = 3 x -4x 4 x -16

70 70 Ρ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : Πολλαπλασιασμος διαιρεση ρητων αλγεβρικων παραστασεων. α) Προκειμενου να πολλαπλασιασουμε δυο η περισσοτερες ρητες αλγεβρικες παραστασεις : γραφουμε ενα κλασμα με αριθμητη, το γινομενο των αριθμητων και παρονομαστη το γινομενο των παρονομαστων των ρητων αλγεβρικων παραστασεων. παραγοντοποιουμε τους ορους (αριθμητη και παρονομαστη) της ρητης παραστασης που προεκυψε. διαγραφουμε τους κοινους παραγοντες των ορων της ρητης παραστασης. Προκειμενου να διαιρεσουμε δυο ρητες αλγεβρικες παραστασεις : πολλαπλασιαζουμε το πρωτο κλασμα (διαιρετεο) με το αντιστροφο του δευτερου κλασματος (διαιρετη). στη περιπτωση συνθετου κλασματος εχουμε διαιρεση του αριθμητη δια του παρονομαστη. Απλα, μπορουμε να εξισωσουμε το συνθετο κλασμα με ισοδυναμο κλασμα που εχει για αριθμητη το γινομενο των ακρων ορων του συνθετου και για παρονομαστη το γινομενο των μεσων ορων του συνθετου. α) Να κανετε τους πολλαπλασιασμους : x x -1 x - x 3 x β) Να κανετε τις διαιρεσεις : (α - β) α - β : α - β α + β γ) Να κανετε τις πραξεις : α α + α α -1 3 xy - xy 4 +4y 3 xy - x y 6-6x 1 α - β α -αβ+ β 3 3 α + β α α - β 3 3 x -1 x + x + x : 3 x 3 x x -x x (x -x) x x (x-1) x (x-1) = = = x-1 x x (x-1) x (x-1) x (x-1) 1 = x 1 α -β α -αβ+β 1 (α -β ) (α -αβ+β ) α +β α α-β = = (α +β ) α (α-β) = (α+β) (α-β) (α+β) (α -αβ+β ) (α -αβ+β ) α (α-β) 1 = α

71 Ρ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 71 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν β) (α-β) α-β (α-β) α+β (α-β) (α+β) (α-β) (α+β) : = = = = 1 α -β α+β α -β α-β (α -β ) (α-β) (α+β) (α-β) (α-β) x -1 x +x +x x (x -1) : = = = x x x +x +x x (x +x +x) γ) α α 1 α (α -1) α (α+1) (α-1) = = = = α-1 α +α α +α 1 (α +α) α (α+1) α -1 α -1 xy-xy 3 = = = 3 4+4y (xy-xy ) (6-6x) x y (1-y ) 6 (1-x) 3 3 xy-x y (4+4y) (xy-x y) 4 (1+y) x y (1-x ) 6-6x = x y (1+y) 4 (1+y) (1-y) 6 (1-x) x y (1+x) (1-x) 3(1-y) = (1+x) Μεθοδος : Προσθεση αφαιρεση ρητων αλγεβρικων παραστασεων. 3 3(x-1)(x +x +x) 3 3 x (x +x +x) 3(x-1) = 3 x Προκειμενου να προσθεσουμε-αφαιρεσουμε δυο η περισσοτερες ρητες αλγεβρικες παραστασεις: βρισκουμε το Ε.Κ.Π. ολων των παρονομαστων, αφου πρωτα τους εχουμε παραγοντοποιησει. πολλαπλασιαζουμε καθε αριθμητη με τον ορο του ΕΚΠ που δεν υπαρχει στον παρονομαστη, ενω σε ολα τα κλασματα ο παρονομαστης ειναι το Ε.Κ.Π. (ομωνυμα). γραφουμε ισοδυναμο κλασμα με αριθμητη το αλγεβρικο αθροισμα των αριθμητων και παρονομαστη το Ε.Κ.Π.. κανουμε απλοποιησεις, αν γινονται. Να βρειτε τα αθροισματα : y 1 x + y y + - x - xy x - y α + β β β - + α -αβ α -αβ+ β α(α - β) y 1 y y 1 y + - = + - = x -xy x+y x -y x(x-y) x+y (x+y)(x-y) EKΠ = x(x+y)(x-y) y 1 y = (x+y) + x(x-y) - x = x (x+y)( x-y) x (x+y)(x-y) x(x+y)(x-y)

72 7 Ρ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν y(x+y)+x(x-y)-yx = = x(x+y)(x-y) = yx +y +x - xy x(x+y)(x-y) (x-y) = = x(x+y)(x-y) x-y = x(x+y) -yx = α+β β β α+β β β - + = - + = α -αβ α -αβ+β α(α-β) α(α-β) (α-β) α(α-β) EKΠ = α(α-β) α+β β β = (α-β) - α + = α(α-β) α (α-β) α(α-β) (α-β)(α+β) αβ β = - + = α(α-β) α(α-β) α(α-β) α -β -αβ+β = = α(α-β) α +β -αβ = = α(α-β) = (α-β) α(α-β) 1 = α =

73 Ρ η τ ε ς Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 73 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η α) Να κανετε τους πολλαπλασιασμους : α-β α (β-α) 3 α-β β-α α β) Να κανετε τις διαιρεσεις : 5 α α : - β 5 β γ) Να κανετε τις πραξεις :. x-ω x+ω (x-ω) Να βρειτε τα αθροισματα : y 1 y x -xy x+y x -y 6 1-9x 1x -4x 8x 3 x -8 x +x+4 : 6x 3 3 xy -xy x- 3 x y-xy 4y+4 9x -6x+1 α α α -α+1 α 3 +1 α+1 Ενα ορθογωνιο εχει μηκος x και εμβαδον x - 7x Να βρειτε τo πλατος του. x-3 6x x x +3x x -9 x -3x

74 74 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο 1. Αν α = 4 και β = -, να βρεθει η τιμη της παραστασης a- β(α +3β) A= (α - β)(α +3β). α-β(α+3β) 4-(- )(4+3(- )) 4+ (4-6) 4+ (- ) A = = = = = = = 0 (α-β)(α+3β) (4-(- ))(4+3(- )) (4+ )(4-6) 6(- ) Αν x = 1, να βρεθει η τιμη της παραστασης : Β Δειξτε οτι οι αριθμοι : Γ = Β x - 3 x - x x 1 = (- 1) = (- 1) = = (- 1) = (- 4) +(- ) Υπολογιστε τις παρακατω παραστασεις : - 1 x - 3 x - x = (- 1) = 16 - = (- ) Γ = = = = τοτε Γ Δ = = = Δ = = = = = = και Δ= ειναι αντιστροφοι. α) Ε = β) Ε = γ) Ζ = Να τρεψετε τα παρακατω κλασματα σε ισοδυναμα με ρητο παρονομαστη: 1 3 α) Η = β) Θ = x Ειναι α) Ε = = = = = = =1+ 9 =1+ 9 = 1+3

75 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 75 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο β) Ε = = = = = 5-16 = 9 = 3 γ) Ζ = 3-3+ = (3- ) (3+ ) = ( ) ) = 9- = 7. α) Δινεται η παρασταση Α = 3x y - y 3 - x y + y 3 α) Α = 3x y - y 3 - x y + y 3 = (3x y - x y) + (- y 3 + y 3 ) = x y - y 3 x 3 y = x x 8 3 x x 8x 9x x 8x Α- x =x y-y - x = x - - x = - - = - - = β) Να κανετε την αναγωγη ομοιων ορων. Αν x y = 3 δειξτε οτι: 3 Α- x = 0 3 β) Αν α, β, γ πραγματικοι αριθμοι τετοιοι ωστε: α + β + γ = 10 και 3α + β + 3γ = 7, να προσ- διορισετε την τιμη της παραστασης Β = (α + β + γ)(4α +3β + 4γ). γ) Να κανετε τις πραξεις: (x + 3)(x 3) 4(x ) (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) x δ) Αν α 4 = 10 και β 4 = 9 να υπολογισετε την τιμη της παραστασης: Γ = (α β)(α 3 + α β + αβ + β 3 ) ε) Να υπολογισετε την διαφορα του γινομενου δυο διαδοxικων περιττων ακεραιων απο το γι- νομενο του αρτιου, που προηγειται του μικροτερου περιττου, και του αρτιου που επεται του μεγαλυτερου περιττου. Β = (α + β + γ)(4α +3β + 4γ) = (α + β + γ)(3α +β + 3γ + α + β + γ) = 10 (7 + 10) = 740 γ) 13 (x+3)(x-3)-4 x - = 4x 4-6x+6x -9-4x = -9+13=4 4 δ) Γ = (α β)(α 3 + α β + αβ + β 3 ) = = 10 9 = α + α β + α β 3 + αβ 3 - βα - α β 3 - αβ β =α -β =

76 76 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο ε) Εστω x και x + οι δυο διαδοχικοι περιττοι ακεραιοι. Τοτε ο αρτιος, που προηγειται του μικροτερου περιττου, ειναι ισος με x 1 ο αρτιος, που επεται του μεγαλυτερου περιττου, ειναι ισος με x + 3 Ετσι η ζητουμενη διαφορα : x(x + ) (x 1)(x + 3) = x + x (x + 3x x 3) = x + x x - 3x + x + 3 = 3 α) M = (x-y)(x -x+y ) = (x-y)(x-y) = (x-y) =x - 3x y+3xy -y = β) 3. α) Αν για τους αριθμους x, y ισxυει οτι: x 3 y 3 = 3xy(x y) να δειξετε οτι η τιμη της παρα- στασης: Μ = (x y)(x xy + y ) ειναι ιση με 0. β) Δινονται οι παραστασεις: 3 3 Α= ( ), B = ( 5-3 ), Γ = ( +1), Δ= ( -1) Να υπολογισετε τις τιμες των παραστασεων Α, Β, Γ, Δ Να δειξετε οτι η τιμη της παραστασης Κ = ΑΒ = 4. Να δειξετε οτι η τιμη της παραστασης Λ = ΓΔ = 1. γ) Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες: 64x y 6 80xω y 3 + = (. - ) x = ( - ) δ) Nα υπολογισετε την τιμη των παραστασεων: Ε = Ζ = (3 x) + (3 + x) - (x 9) ε) Αν α + β = x y =, δειξτε οτι οι τιμες των παρακατω παραστασεων Κ, Λ ειναι ισες με 4. Κ = (α 3 + β 3 ) (α + β ) + 4αβ Λ = (x 3 y 3 ) (x + y ) 4xy. 3 3 x - y = 3xy(x-y) 3 3 = (x -y )- 3xy(x-y) = 3xy(x-y)- 3xy(x-y) = 0 Α=( 5 + 3) = ( 5) ( 3) = = B=( 5-3) = ( 5) ( 3) = = Γ =( +1) = ( ) + 3 ( ) = = Δ =( -1) = ( ) - 3 ( ) = = Ετσι

77 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 77 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο ΑΒ = Α λ λ ι ω ς ΑΒ = (8 + 15)(8-15) = 8 -( 15) = = =4 ( 5 + 3) ( 5-3) = [( 5 + 3) ( 5-3)] =[( 5) -( 3) ] = (5-3) = =4 ΓΔ= (7 + 5 )( ) =(5 ) -7 =5-49 =50-49 =1 γ) Α λ λ ι ω ς ΓΔ =( +1) ( -1) =[( +1) ( -1)] =[( ) -1 ] =(-1) =1 =1 Ειναι α = 64x y 6 = (8xy 3 ) οποτε α = 8xy 3 αβ = 80xω y 3 = 8xy 3 (5ω ) οποτε β = 5ω Ετσι 64x y 6 80xωy 3 + 5ω 4 = (8xy 3-5ω ) Ειναι δ) α = x 4004 = (x 00 ) οποτε α = x 00 αβ = = x x Ετσι x x = (x x 1 οποτε β = 00 x Ε = = = (99 + 1) = 100 = ) Ζ = (3 x) + (3 + x) - (x 9) = (x - 3) + (x + 3) - (x 3)(x + 3) = ε) = [(x - 3) - (x + 3)] = (x 3 - x - 3) = (- 6) = 36 Κ = (α 3 + β 3 ) (α + β ) + 4αβ = (α + β)( α - αβ + β ) (α + β ) + 4αβ = = (α - αβ + β ) (α + β ) + 4αβ = ( α + β ) αβ (α + β ) + 4αβ = = (α + β ) + αβ = (α + β) - αβ + αβ = = 4 Λ = (x 3 - y 3 ) (x + y ) 4xy = (x - y)( x + xy + y ) (x + y ) - 4xy = = (x + xy + y ) (x + y ) - 4xy = (x + y ) + xy (x + y ) - 4xy = = (x + y ) xy = (x - y) + xy - xy = = 4

78 78 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο α) x + x + 1 9y = (x + 1) (3y) = (x y)( x + 1-3y) 5α x + 4xy - 4y = (5α) (x - 4xy + 4y ) = (5α) (x - y) = = (5a + x - y)( 5a - x + y) x +6xy + 9y (9x 6xy + y ) = x +6xy + (3y) ((3x) 6xy + y ) = β) = (x + 3y) (3x y) = = (x + 3y + 3x y)(x + 3y - 3x + y) = = (4x + y)(- x + 4y) = (x + y)(- x + y) = = 4(x + y)(- x + y) Α = x + 3x 18 = x + 6x - 3x 18 = x(x + 6) 3(x + 6) = (x + 6)(x - 3) Β = x + 5x 4 = x + 8x - 3x 4 = x(x + 8) 3(x + 8) = (x + 8)(x - 3) Α + Β = (x + 6)(x - 3) + (x + 8)(x - 3) = (x - 3)(x x + 8) = (x - 3)(x + 14) = γ) 4. α) Να κανετε παραγοντοποιηση τις παρακατω παραστασεις : x + x + 1 9y 5α x + 4xy - 4y x +6xy + 9y (9x 6xy +y ) β Δινονται οι παραστασεις: Α = x + 3x - 18 και Β = x + 5x 4. Να παραγοντοποιησετε τις παραστασεις: Α, Β και Α + Β. γ) Δινονται τα τριωνυμα: Ρ(x) = x - x - 0 και Q(x) = x - 5x - 36 Να παραγοντοποιησετε τα Ρ(x) και Q(x) και να λυσετε την εξισωση: P(x) + Q(x) = 0. δ) Να κανετε παραγοντοποιηση τις παρακατω παραστασεις : x 4 + y 4 11x y x x x 8 + 4y 8 x y + 10y + 1 (x + 5x + 4)(x +5x + 6) 3 ε) Να απλοποιησετε τις παρακατω παραστασεις: x -5x +6 3 x -7 = (x - 3)(x + 7) 6 6 x - y (x + y ) - x y Ρ(x) = x - x - 0 = x - 5x + 4x - 0 = x(x 5) + 4(x 5) = (x 5)(x + 4) Q(x) = x - 5x 36 = x - 9x + 4x 36 = x(x 9) + 4(x 9) = (x 9)(x + 4) P(x) + Q(x) = 0 η (x 5)(x + 4) + (x 9)(x + 4) = 0 η (x + 4)( x 5 + x - 9) = 0 η (x + 4)( x 14) = 0 η (x + 4)( x 7) = 0 oποτε x = - 4 η x = 7 δ) x 4 + y 4 11x y = x 4 + y 4 x y 9x y = (x - y ) (3xy) =

79 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 79 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο (x - y + 3xy)( x - y - 3xy) x x = x 4 x + 1 x = (x 1) x = (x 1 + x)( x 1 - x) x 8 + 4y 8 = (x 4 ) + (y 4 ) + 4 x 4 y 4-4 x 4 y 4 = (x 4 + y 4 ) (x y ) = = (x 4 + y 4 + x y )(x 4 + y 4 - x y ) x = (x ) + + 4x - 4x = (x + ) (x) = (x + + x) (x + - x) y + 10y + 1 = y + 10y = (y + 5) = (y ) (y ) = (y + 7)(y + 3) (x + 5x + 4)(x +5x + 6) 3 = [(x + 5x + 5) 1][( x + 5x + 5) + 1] 3 = ε) = (x + 5x + 5) 1 3 = = (x + 5x + 5) 4 = = (x + 5x )( x + 5x ) = = (x + 5x + 7)( x + 5x + 3) x -5x+6 x -x-3x+6 x(x-)-3(x+) (x-)(x-3) x- = = = x -7 x -3 (x-3)(x +3x+9) (x-3)(x +3x+9) = x +3x x -y (x ) -(y ) (x -y )(x +x y +y ) = = 4 4 (x +y ) -x y x +x y +y -x y 4 4 x +x y +y 5. = x -y α) Η διαιρεση του πολυωνυμου Ρ(x) με το πολυωνυμο 3x - δινει πηλικο x - 5x + 3 και υπολοιπο 7. Να βρειτε το Ρ(x). β Αν για τους αριθμους α, β, x, y ισxυει: α x = y - β και x ± yνα δειξετε οτι η παρασταση: α + β 1 Α = : ειναι ιση με 1. x - y x - y γ) Δινονται τα πολυωνυμα: Α(x) = x 3-4x + 5x - και Β(x) = x 3-5x + 8x 4 Να αποδειξετε οτι το x - ειναι διαιρετης των Α(x) και Β(x). Να βρειτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των Α(x) και Β(x). δ) Να κανετε τις πραξεις : α β + -1 β α 3 3 α + β α β ε) Να υπολογισετε την τιμη της παραστασης: 1 1 β α : + β α β α α β β β β α - β α + β α + β α + β 8 8 α - β

80 80 Α λ γ ε β ρ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο α) Ευκλειδεια διαιρεση : P(x) = (3x )(x - 5x + 3) + 7 = 6x 3-15x + 9x - 4x + 10x = 6x 3-19x + 19x + 1 β) Ειναι α x = y β η α + β = x + y (1) α+β 1 α+β (α+β) (x-y) Α = : = (x-y) = x -y x-y (x+y)(x-y) (x+y) (x-y) γ) (1) α+β = =1 x+y Α(x) = x 3-4x + 5x = x 3 - x - x + 4x + x = x (x ) x(x ) + (x -) = = (x )( x x + 1) Β(x) = x 3-5x + 8x 4 = x 3 - x - 3x + 6x + x 4 = x (x ) 3x(x ) + (x -) = = (x )( x 3x + ) = (x )(x 1)(x ) = (x ) (x 1) Δηλαδη ο x ειναι διαιρετης των Α(x) και Β(x). δ) α β α +β -αβ + -1 β α 1 1 αβ β+α (α +β -αβ)(β+α) 1 + = = 3 3 = α +β α β (α+β)(α -αβ+β ) αβ αβ(α+β)(α -αβ+β ) αβ α β β α 1 1 β α α+β α β αβ α -β αβ - : + = - : = - = = β α β α α-β α-β αβ β(α-β) α(α-β) α+β αβ(α-β) α+β α β α β (α-β)(α+β)αβ = =1 αβ(α-β)()α+β ε) 8 8 α -β = 4 4 β β β α-β α+β α +β α +β 8 8 α -β 1 1 α+β-α+β 1 1 = - - = β β β (α-β)(α+β) α +β α +β 8 8 = α -β 1 1 β 1 1 β 4 β β - - = 4 4 α -β α +β α +β α -β 1 α +β -α +β 1 α -β 1 = - = β β (α -β )(α +β ) α +β β β α -β α +β -α +β α -β β = = β (α -β )(α +β ) β α -β β 1 - = α -β α +β

81 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς. Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς. 1 Η εξισωση α x + β = 0. Εξισωσεις ου βαθμου. 3 Προβληματα εξισωσεων ου βαθμου. 4 Κλασματικες εξισωσεις. 5 Ανισοτητες Ανισωσεις με εναν αγνωστο

82 8 Η Ε ξ ι σ ω σ η α x + β = 0 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. 1 Εστω η εξισωση: αx + β = 0 (1) Λ υ σ η η ρ ι ζ α της εξισωσης λεγεται καθε τιμη του πραγματικου αριθμου x, που επαληθευει την (1). Σ υ ν τ ε λ ε σ τ η ς του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α. Σ τ α θ ε ρ ο ς ο ρ ο ς λεγεται ο αριθμος β. Δ ι ε ρ ε υ ν η σ η β Αν α 0 τοτε η (1) εχει μοναδικη λυση, την: x = - α Αν α = 0 και β 0 τοτε η (1) δεν εχει λυση ( α δ υ ν α τ η ) Αν α = 0 = β τοτε η (1) εχει απειρες λυσεις ( α ο ρ ι σ τ η η τ α υ τ ο τ η τ α ) Π α ρ α τ η ρ η σ η Ι σ ο δ υ ν α μ ε ς λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες.

83 Η Ε ξ ι σ ω σ η α x + β = 0 83 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 1 Μεθοδος : Λυση εξισωσης 1ου βαθμου. Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση 1 ου βαθμου : πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων (απαλειφη παρονομαστων. απαλειφουμε τις παρενθεσεις (επιμεριστικη ιδιοτητα). χωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μερος οι αγνωστοι), προσεχοντας να αλλα- ζουμε προσημο σε ο,τι μεταφερουμε απ το ενα μελος στο αλλο. κανουμε πραξεις σε καθε μελος. διαιρουμε με το συντελεστη του αγνωστου. Να λυθει η εξισωση : x + 3 x x - = x Eιναι x+3 x+1 15-x - =x- η 4 3 ΕΚΠ = 1 x+3 x+1 15-x 1-1 = 1 x- 1 η 4 3 6(x+3)-3(x+1) =4x-4(15-x) η 6x+18-3x-3=4x-60+4x η 6x-3x-4x-4x = η - 5x =- 75 η - 75 x = η - 5 x = 3

84 84 Η Ε ξ ι σ ω σ η α x + β = 0 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 1 Μεθοδος : Λυση προβληματος με τη βοηθεια εξισωσης 1ου βαθμου. Προκειμενου να λυσουμε ενα προβλημα με τη βοηθεια μιας εξισωσης 1 ου βαθμου : θεωρουμε οτι το αγνωστο (ζητουμενο) ειναι το x. καταστρωνουμε εξισωση ως προς x, συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος. λυνουμε την εξισωση που προεκυψε. Ενα τουβλο ζυγιζει οσο μισο τουβλο και κιλα. Ποσα κιλα ζυγιζει το τουβλο; Εστω οτι το τουβλο ζυγιζει x κιλα. Toτε, συμφωνα με το προβλημα : x x = + η x x = + η x =x+4 η x-x = 4 x = 4 η Δηλαδη το τουβλο ζυγιζει 4 κιλα.

85 Η Ε ξ ι σ ω σ η α x + β = 0 85 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να λυσετε τις εξισωσεις : 5(3 -x)+10(-5x)+10x=- (6-x) 7x+4 3x-5 -x = 5 x-8 x x-=0 6 3 x-1 x- x = 3 4 x-1 3-x 4+x + = Να βρειτε εναν αριθμο, που το διπλασιο του αυξημενο κατα, ειναι ισο με το τριπλασιο του ελαττωμενο κατα 7. Η ηλικια μου μετα 10 ετη θα ειναι τριπλασια απ την ηλικια μου πριν 10 ετη. Ποια ειναι η ηλικια μου; 3. Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη, γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου ρευματος σε ωρες (χωρις να λειτουργει). Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) αποφορτιζεται σε 4 ωρες. Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παροχη του ρευ - ματος. Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι;

86 86 Ε ξ ι σ ω σ η Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ μ ε ν α ν α γ ν ω σ τ ο, ειναι η εξισωση με : αx² + βx + γ = 0 με α, β, γ R και α 0. Δ ι α κ ρ ι ν ο υ σ α της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση : Δ = β - 4αγ. Λ υ σ η τ η ς ε ξ ι σ ω σ η ς δ ε υ τ ε ρ ο υ β α θ μ ο υ : Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δ υ ο ρ ι ζ ε ς ανισες στο R τις ρ₁ ₂ = - β ± Δ α Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει δ ι π λ η ρ ι ζ α ρ = - β α. Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δ ε ν εχει ριζα στο R, δηλαδη η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η στο R. Π α ρ α τ η ρ η σ η Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν : Δ 0. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ειναι ετε- ροσημοι. Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η Τ ρ ι ω ν υ μ ο υ, Αν ρ 1, ρ ειναι οι ριζες της εξισωσης με : αx² + βx + γ = 0 με α, β, γ R και α 0, τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ παραγοντοποιειται συμφωνα με τον τυπο : αx² + βx + γ = α (x ρ 1) ( x ρ ).

87 Ε ξ ι σ ω σ η Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ 87 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. Μεθοδος : Λυση εξισωσης ου βαθμου (με παραγοντοποιηση). Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση ου βαθμου της μορφης αx + βx + γ = 0 (1): παραγοντοποιουμε το πρωτο μελος της (1) : «σπαμε» καταλληλα τον ορο βx σε αθροισμα η διαφορα. με τη μεθοδο της ομαδοποιησης παραγοντοποιουμε και η εξισωση γινεται της μορφης : α(x + κ)(x + λ) = 0, με α 0, οποτε (x + κ)(x + λ) = 0. βασιζομενοι στην ιδιοτητα «Α Β = 0 τοτε Α = 0 η Β = 0» προκυπτει : x + κ = 0 η x + λ = 0 ετσι, x = - κ η x = - λ. Να λυθoυν οι εξισωσεις : Eιναι x -7x +10 = 0 x -5x -3 = 0 x -7x+10 =0 x -x-5x+10 =0 x(x-)-5(x-) =0 (x-)(x-5) =0 x-=0 η x-5 =0 x = η x = 5 x -5x-3=0-6 x x x+ -3=0 x(x-3)+(x-3) =0 (x-3)(x+1) =0 x-3=0 η x+1=0 x = 3 η 1 x = -

88 88 Ε ξ ι σ ω σ η Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. Μεθοδος : Λυση εξισωσης ου βαθμου (με τυπο). Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση ου βαθμου της μορφης αx + βx + γ = 0 (1): βρισκουμε τη διακρινουσα της (1) απ τον τυπο : Δ = β 4αγ. - β ± Δ βρισκουμε τις λυσεις απ τον τυπο : x =. 1, α Να λυθoυν οι εξισωσεις : x -7x +10 = 0 x -5x -3 = 0 α =1 Δ =β -4αγ =(- 7) = =9 > 0 x -7x+10 =0: β =- 7 τοτε - β± Δ -(- 7)± 9 7 ±3 1 = = = 1, γ =10 x α α = γ =- 3 x Δ =β -4αγ =(- 5) -4 x -5x-3=0: β =- 5 τοτε 1 1, 7 +3 x = =5 x = = (- 3) =5+4 = 49 > x = =3 - β± Δ -(- 5)± 49 5±7 = = = 4 α x = =- 4 Μεθοδος : Λυση εξισωσης ου βαθμου (f (x) g (x) = 0). Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση ου βαθμου της μορφης f (x) g (x) = 0 (1) : Ειναι : f (x) = 0 και... και g (x) = 0 ισοδυναμα f(x) = 0 και... και g(x) = 0 (Αφου αθροισμα τετραγωνων μη αρνητικος αριθμος). Να λυθει η εξισωση : (x + 1) + (5 - x) = 0 Ειναι x+1=0 5-x =0 x = 1 x = 5 (x+1) +(5-x) =0 και και

89 Ε ξ ι σ ω σ η Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ 89 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η. 1. Να λυσετε τις εξισωσεις (με το τυπο και με παραγοντοποιηση): 9x +1x+4 = 0 (x+) -x(6-x) = -(3x-10) - x +3x-7 = 0 (4x+1) -9 = (x+1) x +( -1)x- =0. Να προσδιορισετε τις ριζες των παρακατω εξισωσεων χωρις να υπολογισετε την διακρινουσα τους. x + 6x + 8 = 0 x - 8x + 15 = 0 x + x - 1 = 0 3x - 7x + = 0 3. Να βρεθει ο α R, ωστε η εξισωση x -(α-3)x+16=0 να εχει διπλη ριζα,που θα υπολογισετε.

90 90 Π ρ ο β λ η μ α τ α Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. 3 Τα προβληματα εξισωσεων δευτερου βαθμου βασιζονται συνηθως: Στα εμβαδα γεωμετρικων σχηματων βυ Εμβαδον τριγωνου : Ε =, οπου β =βαση και υ =υψος τριγωνου. Εμβαδον ορθογωνιου :Ε=αβ, οπου α, β=δυο διαδοχικες πλευρες του ορθογωνιου. Εμβαδον τετραγωνου : Εμβαδον τραπεζιου : Στο Πυθαγορειο θεωρημα Ε =α, οπου α = πλευρα του τετραγωνου. Β+β Ε = υ, οπου Β,β =οι βασεις και υ =υψος του τραπεζιου. α =β +γ, οπου α =υποτεινουσα και β,γ =καθετες πλευρες ορθ.τριγωνου ΑΒΓ. Στη Φυσικη για χρονο στην ελευθερη πτωση απ το τυπο : 1 h = gt, οπου h =υψος, g =10m/sec και t =χρονος. Για ευρεση αριθμων... που το τετραγωνο τους... Για ευρεση αντιστροφων αριθμων που το αθροισμα τους.. Για ευρεση αριθμων που το γινομενο τους...

91 Π ρ ο β λ η μ α τ α Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ 91 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 3 Μεθοδος : Λυση προβληματος εξισωσης ου βαθμου. Προκειμενου να λυσουμε ενα προβλημα εξισωσης ου βαθμου : δημιουργουμε εξισωση : θεωρουμε ως x, το ζητουμενο. καταστρωνουμε την εξισωση συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος. λυνουμε την δευτεροβαθμια εξισωση κατα τα γνωστα. στα προβληματα εμβαδων η Φυσικης, απαραιτητη προυποθεση γνωριζουμε τους αντιστοι- χους τυπους. Τα μηκη των τριων πλευρων ενος ορθογωνιου τριγωνου ειναι τρεις διαδοχικοι ακεραιοι αριθμοι. Να βρεθουν οι αριθμοι αυτοι. Eστω x, x+1 και x+ ειναι οι τρεις διαδοχικοι ακεραιοι αριθμοι. Το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα x + (μεγαλυτερη πλευρα). Απ'το Πυθαγορειο θεωρημα στο πιο πανω τριγωνο : (x+) =x +(x+1) η x +4x+4 =x +x +x+1 η Δ =β -4αγ =(- ) -4 1 (- 3) =4+1=16 > 0 a =1 +4 x = =3 γ =- 3 α 1-4 x = =- 1 απορριπτεται x -x-3=0: β =- τοτε - β± Δ -(- )± 16 ±4 1 x = = = 1, (η τιμη - 1 απορριπτεται αφου προκειται περι μηκους πλευρας) Ετσι Οι πλευρες του τριγωνου εχουν μηκος : 3, 4 και 5. Επαληθευση : 5 =3 +4 η 5 =9+16 Να βρειτε εναν αριθμο ο οποιος αυξανομενος κατα 17 γινεται ισος με το εξηκονταπλασιο του αντιστροφου του. Εστω x o ζητουμενος αριθμος. Τοτε συμφωνα με το προβλημα : 1 x + 17 = 60 η x + 17x = 60 η x

92 9 Π ρ ο β λ η μ α τ α Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 3 α =1 Δ =β -4αγ = (- 60) =89+40 =59 > x = =3 x +17x-60 =0: β =17 τοτε - β± Δ - 17 ± ±3 1 x = = = 1, γ =- 60 α Eπαληθευση : 3+17 =60 η 0 = =60 η - 3 = Αν x το πλατος του ορθογωνιου, τοτε x + 3 ειναι το μηκος του. Ετσι απ τα δοσμενα του προβληματος : (x+3)x =180 a =1 x = =- 0 Δ =β -4αγ =3-4 1 (- 180) =9+70 =79 > x = =1 x +3x-180 =0: β =3 τοτε - β± Δ - 3± 79-3±7 1 x = = = 1, γ =- 180 α (η τιμη - 15 απορριπτεται αφου προκειται περι μηκους) Ετσι Οι διαστασεις του ορθογωνιου εχουν μηκος : 1 και 15. Το εμβαδον ενος ορθογωνιου ειναι 180 cm. Αν το μηκος του ειναι 3 cm μεγαλυτερο απο το πλατος του, βρειτε τις διαστασεις του ορθογωνιου. Επαληθευση : 1 15 =180 η 180 =180 x = =- 15 Απο υψος h = 60 m ριχνουμε, κατακορυφα προς τα κατω, ενα σωμα με αρχικη ταχυτητα υ 0 = 0 m s. Na βρειτε σε ποσο χρονο θα φτασει το σωμα στο εδαφος. Ειναι 1 h =u t+ gt η =0t+ 10t η Δ =β -4αγ =4-4 1 (- 1) =16+48=64 > 0 a =1-4+8 t +4t-1=0: β =4 τοτε t = = - β± Δ - 4± 64-4±8 1 t = = = 1, γ =- 1 α t = =- 6 απορριπτεται ( η τιμη - 6 απορριπτεται αφου προκειται για χρονο) Το σωμα φτανει στο εδαφος σε δευτερολεπτα.

93 Π ρ ο β λ η μ α τ α Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν Δ ε υ τ ε ρ ο υ Β α θ μ ο υ 93 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Ενα τριγωνο εχει πλευρες 4 cm, 6 cm και 8 cm. Αν καθε πλευρα του ηταν μεγαλυτερη κατα x cm, τοτε το τριγωνο θα ηταν ορθογωνιο. Να βρειτε τον αριθμο x.. Το αθροισμα ενος αριθμου και του εξαπλασιου του αντιστροφου του ειναι 5. Να βρειτε τον αριθμο. 3. Να βρειτε τρεις διαδοχικους αρτιους ακεραιους αριθμους τετοιους ωστε το τετραγωνο του μεσαιου να ειναι κατα 7 μικροτερο απο το αθροισμα των τετραγωνων των δυο αλλων. 4. Ο αριθμητης ενος κλασματος με ορους θετικους ειναι κατα μικροτερος απο τον παρονομαστη. Αν και οι δυο οροι ελαττωθουν κατα 1, το κλασμα ελαττωνεται κατα 1/1. Να βρειτε το κλασμα. 5. Ενα οικοπεδο εχει σχημα ορθογωνιου με εμβαδον 10 m. Αν το μηκος του ειναι m μεγαλυτερο απο το πλατος του, βρειτε ποσα μετρα συρματοπλεγμα χρειαζονται για την περιφραξη του.. 6. Το πληθος των διαγωνιων ενος πολυγωνου με ν πλευρες δινεται απο τον τυπο: δ ν = Αν το πολυγωνο εχει 54 διαγωνιους, ποσες ειναι οι πλευρες του; 7. ν (ν - 3) Μια μπαλα που πεφτει απ τη ταρατσα της πολυκατοικιας που μενω, περνα απ το μπαλκονι μου με ταχυτητητα 3m/s. Αν το μπαλκονι μου απεχει απ το εδαφος 14 m σε ποσο χρονο απ τη στιγμη που περασε διπλα μου η μπαλα θα φτασει στο εδαφος; Υποδειξη : 1 h =u t+ g t u =αρχικη ταχυτητα, g =10m/s 0 0.

94 94 Κ λ α σ μ α τ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. 4 Ο ρ ι σ μ ο ς Κ λ α σ μ α τ ι κ η ε ξ ι σ ω σ η ειναι αυτη, που περιεχει ενα τουλαχιστον κλασμα με αγνωστο στον παρονομαστη. Για να οριζονται οι οροι μιας κλασματικης εξισωσης πρεπει ολοι οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος. Π α ρ α τ η ρ η σ η Οι κλασματικες εξισωσεις λυνονται με τον ιδιο τροπο που λυνονται οι εξισωσεις που εχουν αριθμο στον παρονομαστη.

95 Κ λ α σ μ α τ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 95 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 4 Μεθοδος : Λυση κλασματικης εξισωσης. Προκειμενου να λυσουμε μια κλασματικη εξισωση : παραγοντοποιουμε τους παρονομαστες. βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων. βρισκουμε τις τιμες της μεταβλητης για τις οποιες δεν οριζεται η εξισωση. Δηλαδη βρι- σκουμε τις τιμες του αγνωστου που μηδενιζουν τους παρονομαστες. Ετσι θετουμε περιορι- σμο με τις τιμες που δεν μπορει να παρει ο αγνωστος. κανουμε απαλειφη παρονομαστων, δηλαδη πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους της εξισω- σης με το Ε.Κ.Π. και κανουμε απλοποιησεις. λυνουμε την εξισωση που προκυπτει. απορριπτουμε εκεινες τις λυσεις που δεν ειναι συμφωνες με το περιορισμο. Επισημανση : Συνηθως, ο πιο πολυπλοκος παρονομαστης, ειναι το γινομενο των υπολοιπων ανομοιων πα- ρονομαστων. Να λυθουν οι εξισωσεις : 1 (x +1) 3x = 1 3x -1 x -1 3x -4x +1 x x = 3(x -) (x +1) x - x - 1 (x+1) 3x =1 3x-1 x-1 3x -4x+1 1 (x+1) 3x =1 3x-1 x -1 (3x-1)( x-1) 1 (3x-1)(x-1) + (3x-1)(x-1) (x+1) - (3x-1)(x-1) 3x-1 x x + 1+ x + 1- x + = 0 1 x x x 1-1+ x 1- x 1+ x 1 Πρεπει :(3x-1)(x-1) 0 η x και x 1 3 3x +1 (3x-1)(x-1) =1 (3x-1)(x-1) x-1+(3x-1)(x+1)-(3x +1) =(3x-1)(x-1) x-1+6x +6x-x--3x -1=3x -3x-x+1 9x =5 5 1 x = δεκτη αφου δεν ειναι 1 η. 9 3

96 96 Κ λ α σ μ α τ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν x 0 και 1-x 0 και x 0 1+x 1+x 1-x =0 Πρεπει : 1 x x x 1- x - 1 και x 1 και x 0 1+x 1-x 1+x x 1+x 1-x =0 1+x-1 x x x 1+x 1-x 1+x x 1+x 1-x =0 x x x x 1+x 1-x 1+x 1+x 1-x 1+x =0 E.K.Π. =x(1+x)(1-x) x(1+ x) x(1+x) x(1-x) x 1+x 1-x 1+x 3 x(1+x)(1-x) + x(1+x)(1-x) + x(1+x)(1-x) + x(1+x)(1-x) =0 x(1+x) x(1+x) x(1-x) x (1+x)(1-x)+(1-x) +(1+x) +3(1+x)(1-x) =0 1-x +-4x+x 0x =- 8 αδυνατη x x = 3(x-) (x+1) x -x- + +4x+x +3-3x =0 x x = Πρεπει : 6(x+1)(x-) 0 η 3(x-) (x+1) (x+1)(x-) x - 1 x x+5 4 6(x+1)(x-) - 6(x+1)(x-) = 6(x+1)(x-) 3(x-) (x+1) (x+1)(x-) 4x(x+1)-3( x-)(x+ 5) =4 4x +4x-3x -15x+6x+30 =4 x -5x+6=0: β =- 5 τοτε 1 και x Δ =β -4αγ =(- 5) =5-4 =1> 0 a =1 5+1 x = =3 δεκτη - β± Δ -(- 5)± 1 5±1 x = = = 1, γ =6 α x = = απορριπτεται

97 Κ λ α σ μ α τ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 97 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να λυσετε τις εξισωσεις : x-3 (x+1) 15 - = x-3 x+ x -x-6 x-1 1 x + = x x -x x- 3x x+5 5x-1 + = x -x- x -x-3 x -5x+6. Να λυσετε τις εξισωσεις : 5 x = x- x+ 4-x = x+ x+3 x +5x x+ x+1 1- x-3 =1 1 x+ x+5 - = x- x-1 x -3x+ x-13 (x-6) 7 10x-78 + = + x-16 x-8 8 3x-4 6-x-x 9+4x 8x =3 3 x x x 1 (x-3) 1 + = x -4x+3 x-1 x-3 1 (x+1) 3x =1 3x-1 x-1 3x -4x+1 x+ x- x - : = x- x+ x-

98 98 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. 5 Ο ρ ι σ μ ο ι Δ ι α τ α ξ η π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν α ρ ι θ μ ω ν λεμε τη τοποθετηση τους στον αξονα των πραγματικων αριθμων. Α ν ι σ ο τ η τ α μια σχεση διαταξης μεταξυ πραγματικων αριθμων. Ο αριθμος α λεγεται μ ε γ α λ υ τ ε ρ ο ς απ τον αριθμο β, αν και μονο η διαφορα α - β ειναι θετικος αριθμος ( α - β > 0 ). Συμβολιζουμε: α > β Ο αριθμος α βρισκεται δ ε ξ ι ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων. - β α + Ο αριθμος α λεγεται μ ι κ ρ ο τ ε ρ ο ς απ τον αριθμο β, αν και μονο η διαφορα α - β ειναι αρνητικος αριθμος ( α - β < 0 ). Συμβολιζουμε: α < β Ο αριθμος α βρισκεται α ρ ι σ τ ε ρ ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων. - α β + Ι δ ι ο τ η τ ε ς Αν α > β και β > γ, τοτε: α > γ. Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ. Α π ο δ ε ι ξ η Για να συγκρινουμε τους αριθμους α + γ και β + γ, βρισκουμε τη διαφορα τους και ε- ξεταζουμε αν ειναι θετικη η αρνητικη η μηδεν. Ετσι εχουμε: (α + γ) - (β + γ) = α + γ - β - γ = α - β. Ειναι ομως α > β, οποτε α - β > 0. Δηλαδη η διαφορα (α + γ) - (β + γ) ειναι θετικος αριθμος, οποτε α + γ > β + γ. Ομοια Για να συγκρινουμε τους αριθμους α - γ και β - γ, βρισκουμε τη διαφορα τους και ε- ξεταζουμε αν ειναι θετικη η αρνητικη η μηδεν. Ετσι εχουμε: (α - γ) - (β - γ) = α - γ - β + γ = α - β. Ειναι ομως α > β, οποτε α - β > 0. Δηλαδη η διαφορα (α - γ) - (β - γ) ειναι θετικος αριθμος, οποτε α - γ > β - γ.

99 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο 99 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. 5 α γ > β γ Αν γ > 0, τοτε: α > β α β > γ γ Α π ο δ ε ι ξ η Για να συγκρινουμε τους αριθμους αγ και βγ, βρισκουμε τη διαφορα τους και εξετα- ζουμε αν ειναι θετικη η αρνητικη η μηδεν. Ετσι εχουμε: αγ - βγ = γ(α - β) (1). Ειναι ομως γ > 0 και α - β > 0, αφου α > β. Αρα οι αριθμοι γ και α - β ειναι θετικοι, οποτε εχουν γινομενο θετικο, δηλαδη γ(α - β) > 0. Απο την ισοτητα (1) εχουμε οτι η διαφορα αγ - βγ ειναι θετικος αριθμος, οποτε αγ > βγ. Ομοια Για να συγκρινουμε τους αριθμους α γ και β, βρισκουμε τη διαφορα τους και εξεταγ ζουμε αν ειναι θετικη η αρνητικη η μηδεν. Ετσι εχουμε: α γ - β γ = α-β γ (). Ειναι ομως γ > 0 και α - β > 0, αφου α > β. Αρα οι αριθμοι γ και α - β ειναι θετικοι, οποτε εχουν πηλικο θετικο, δηλαδη α-β γ > 0. Απο την ισοτητα () εχουμε οτι η διαφορα α γ - β γ ειναι θετικος αριθμος, οποτε α γ > β γ. Αν γ < 0, τοτε: α > β α γ < β γ. Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ. Αν α > β και γ > δ, τοτε: α γ > β δ (α, β, γ, δ θετικοι αριθμοι). Αν α, β θετικοι και ν N *, τοτε: α > β α ν > β ν ΔΕΝ αφαιρουμεδιαιρουμε κατα μελη ανισοτητες Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς το τετραγωνο καθε πραγματικου αριθμου α ειναι μη αρνητικος αριθμος : α 0 αν για τους πραγματικους αριθμους α, β ισχυει α + β = 0, τοτε α = 0 και β = 0. καθε θετικος αριθμος ειναι μεγαλυτερος απο το μηδεν. καθε αρνητικος αριθμος ειναι μικροτερος απο το μηδεν. καθε θετικος αριθμος ειναι μεγαλυτερος απο καθε αρνητικο αριθμο.

100 100 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς. 5 Μ ο ρ φ η : αx + β > 0 με α, β R Αν α > 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x > β - α Αν α < 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x < Αν α = 0 και β > 0 τοτε η ανισωση α λ η θ ε υ ε ι για καθε x R. β < 0 τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η. β = 0 τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η. Μ ο ρ φ η : αx + β < 0 με α, β R β - α β Αν α > 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x < - α β Αν α < 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x > - α Αν α = 0 και β > 0 τοτε η ανισωση ειναι αδυνατη. β < 0 τοτε η ανισωση αληθευει για καθε x R. β = 0 τοτε η ανισωση ειναι αδυνατη. Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς 0 x > κ ειναι αδυνατη αν κ > 0 ενω αληθευει για καθε x R αν κ < 0. 0 x < κ αληθευει για καθε x R αν κ > 0 ενω ειναι αδυνατη αν κ < 0. 0 x > 0 ειναι αδυνατη 0 x < 0 ειναι αδυνατη

101 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο 101 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 5 Μεθοδος : Αποδειξη ανισοτικων σχεσεων. Προκειμενου να συγκρινουμε δυο αριθμους α και β : γραφουμε τη διαφορα α - β. αν α - β > 0 τοτε α > β. αν α - β < 0 τοτε α < β. Προκειμενου να αποδειξουμε ανισοτικη σχεση : μεταφερουμε ολους τους ορους στο 1 ο μελος της ανισοτητας. παραγοντοποιουμε το 1 ο μελος της ανισοτητας. καταληγουμε σε προφανη ανισοτικη σχεση. (α-β) α -αβ+β -(α-β) α -αβ Α-Β =α -αβ+β - = = α +β = 0 Α>Β αν α β η α =β 0 Αρα, Α-Β 0 οποτε Α Β Α=Β αν α =β =0 (α - β) Να συγκρινεται τους αριθμους : Α= α -αβ+ β και Β = Να αποδειξετε οτι : Ειναι α + β α + β α β α + β +γ + 3 (α + β+γ) +, αν α > 0, β > 0 β α +β -α +αβ α +β α+β α +β α +β +αβ η η 4α +4β α +β +4αβ η 4 α +β -4αβ 0 η (α +β -αβ) 0 η (α+β) 0, που αληθευει. α +β +γ +3 (α+β+γ) η α +β +γ + 3 α+β+γ η. -β = (α -α+ 1)+(β -β+ 1)+(γ -γ+ 1) 0 η (α-1) +(β-1) +(γ- 1) 0, που αληθευει. α > 0 α β α β + η αβ +αβ αβ η α +β αβ η α +β -αβ 0 η (α-β) 0, β > 0 β α β α που αληθευει.

102 10 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 5 Μεθοδος : Σε ατοπο αποδειξη. Προκειμενου να αποδειξουμε ανισοτικη σχεση : Υποθετουμε οτι δ ε ν ειναι αληθης η δοσμενη ανισοτητα. Παιρνουμε την αντιστοιχη, που θεωρουμε αληθη της δοσμενης ανισοτητας. Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες Eιναι x+y =4 x =4-y (1) Εστω οτι xy 4 δεν ειναι αληθης. Ετσι λογικης. Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ). Αρα ειναι αληθης η αρχικη ανισοτητα. Αυτη η μεθοδος χρησιμοποιειται για ανισοτητες, για τις οποιες εχουμε ακριβως δυο επιλο- γες π.χ. α > 0 και α 0, β 0 και β < 0 κλπ.. Να δειξετε οτι : xy 4 αν x + y = 4. x = 4 - y xy > 4 η (4-y)y > 4 η 4y-y > 4 η 4y-y -4 > 0 η -(y -4y+4) > 0 η -(y-) > 0 ατοπο Αρα xy 4 ειναι αληθης. Μεθοδος : Συνθεσης Προκειμενου να αποδειξουμε ανισοτικη σχεση : Παιρνουμε δοσμενες και προφανεις ανισοτητες. Απ τις ιδιοτητες της διαταξης καταληγουμε στην προς αποδειξη ανισοτητα. Για τους θετικους αριθμους α, β, γ ειναι α + β = γ. Να αποδειξετε οτι : α + β < γ. α+β =γ β < γ β β < γ β β < γ β β > 0 α > 0 (+) α+ β =γ α < γ α α < γ α α < γ α η η η η α +β < γ α+γ β η α > 0 β > 0 α + β = γ α +β < γ (α+β) η α +β < γ γ η α + β < γ

103 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο 103 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 5 Μεθοδος : Προσθεση - αφαιρεση θετικων ποσοτητων σε ισοτητα η ανισοτητα. Προκειμενου να αποδειξουμε ανισοτικη σχεση : Παιρνουμε προφανη η δοσμενη ισοτητα η ανισοτητα. Προσθετουμε η αφαιρουμε θετικη ποσοτητα στο ενα μελος της ισοτητας η ανισοτητας. Προκυπτει ανισοτητα. α + β α β Για τους θετικους αριθμους α, β, γ να δειξετε οτι : < α + β 1+ α 1+ β Ειναι α α < (αφου β > 0) 1+α+ β 1+α (1) β β < (αφου α > 0) 1+ α+β 1+β Ετσι α+β α β = + 1+α+β 1+α+ β 1+ α+β Μεθοδος : Λυση ανισωσης 1 ου βαθμου. (1) η α + β α β < + 1+ α + β 1+ α 1+ β Προκειμενου να λυσουμε μια ανισωση 1 ου βαθμου : πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων (απαλειφη παρονομαστων. απαλειφουμε τις παρενθεσεις (επιμεριστικη ιδιοτητα). χωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μερος οι αγνωστοι), προσεχοντας να αλλα- ζουμε προσημο σε ο,τι μεταφερουμε απ το ενα μελος στο αλλο. κανουμε πραξεις σε καθε μελος. διαιρουμε με το συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του). Π ρ ο σ ο χ η στην απαλειφη παρονομαστων, αν Ε.Κ.Π. ειναι αρνητικο, οταν διαιρουμε με το συντελεστη του αγνωστου και αυτος ειναι αρνητικος τοτε α λ λ α ζ ε ι φ ο ρ α η α ν ι σ ο τ η τ α.

104 104 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 5 5x + 1 x + 1 x + 1 Να λυθει η ανισωση : < Ειναι 5x+1 x+1 x+1 < + ( Ε.Κ.Π. =6 > 0 ) 6 3 5x+1 x+1 x+1 6 < x+1 <3 (x+1)+ (x+1) 5x+1 <3x+3+4x+ 5x-3x-4x < x < 4 - x 4 > - - x > - Ειναι Μεθοδος : Συναληθευση ανισωσεων. Προκειμενου να βρουμε που συανληθευουν δυο ανισωσεις : Λυνουμε τις ανισωσεις ξεχωριστα. Βρισκουμε τις κοινες τιμες των x που βρηκαμε στις ανισωσεις : Σχηματικα στον αξονα των πραγματικων αριθμων. Σαν διαστημα η ενωση διαστηματων. Σαν διπλη ανισοτητα η ανισοτητες του x. Να βρεθει που συναληθευουν οι ανισωσεις : x + x x x < x+ x x+ x - 1 η η 3(x+)-4x 1 η 3x+6-4x 1 η - x 6 η x - 6 x x+1 x x+1 - <0 η < 0 η 3x-(x+1) < 0 η 3x-x-1 < 0 η x <1 η x <

105 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο 105 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν. 5 Αρα 1-6 x < 1 η x [- 6, ] η Εστω x ο ζητουμενος ακεραιος αριθμος. Τοτε, συμφωνα με τα δοσμενα: x x 3 x+ <16 x+ < 16 x+x <3 3x <3 x < 3 η η η η x x 5x+x > 55 6x > x+ >11 5 x+5 > 5 11 x > <x < η 6 3 x ακεραιος -6 1/ Μεθοδος : Προβλημα που λυνεται με ανισωση 1ου βαθμου. Προκειμενου να λυσουμε προβλημα με τη βοηθεια ανισωσης 1 ου βαθμου : Θετουμε x το ζητουμενο του προβληματος. Συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος, καταστρωνουμε ανισωση ως προς x. Λυνουμε την ανισωση συμφωνα με τα προηγουμενα. Να βρεθει ο ακεραιος αριθμος, για τον οποιο : αν του προσθεσουμε το μισο του γινεται μικροτερος του αν του προσθεσουμε το του γινεται μεγαλυτερος του x = 10 η

106 106 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να αποδειξετε οτι: (α+β) 1 α α+β α -αβ+β <1, αν α >1 και β > Να δειξετε οτι: α 1+αβ α+β β Aν 3α < β να αποδειξετε οτι :α < < 4 3 Αν α,β,γ > 0, τοτε να δειξετε οτι : α +1 α α -4α+5 > 0 β +6β+11 > 0 Αν α >β > γ, τοτε να δειξετε οτι : (α-β)(β-γ)(γ-α) < 0 4. Να λυθουν οι ανισωσεις: (α +1)(β +1)(γ +1) 8αβγ 5x+6 x x-1 x+10 x-7-4 > Να βρεθει που συναληθευουν οι ανισωσεις: x-1 x+1 x x+1 x+ x - και x+1 x+1 (x -1)+5 > x(x-1)+4x και 5 5. Να βρεθουν οι σημερινες ηλικιες του κυριου Τ. και του γιου του, αν: η σημερινη ηλικια του κυριου Τ. ειναι διπλασια της ηλικιας του γιου. το αθροισμα των ηλικιων τους σημερα ειναι μικροτερο του 76. το αθροισμα των ηλικιων τους προπερσι ηταν μεγαλυτερο του Να βρεθουν τρεις διαδοχικοι αρτιοι αριθμοι, για τους οποιους: το αθροισμα τους ειναι μικροτερο του 5. η διαφορα του μεγαλυτερου απ'το αθροισμα των αλλων δυο ειναι μεγαλυτερη του 3.

107 Α ν ι σ ο τ η τ ε ς Α ν ι σ ω σ ε ι ς μ ε ε ν α α γ ν ω σ τ ο 107 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να βρειτε το λαθος στους παρακατω συλλογισμους : Εστω x > 5. Τοτε x > 5 5x >5 5x-x >5-x x(5-x) > (5+x)(5-x) x > 5+x 0 > 5 8. Ο Κωνσταντινος εχει γραψει τρια διαγωνισματα με βαθμους 1, 14, 15. Τι βαθμο πρεπει να γραψει στο επομενο διαγωνισμα για να εχει μεσο ορο πανω απο 15.

108 108 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 1. Να λυθουν οι εξισωσεις : 5x -1 x x 5x -7 x +7 + = x - - = 3x x -4 7x = -3x -5 5x-1 x+4 1-4x + =x x-1 x+4 1-4x = 30 x (5x-1)+6(x+4)=60x+10(1-4x) 75x-15+6x+4 =60x+10-40x 61x = 1 1 x = 61 5x-7 x+7 - =3x x-7 x = 6 3x (5x-7)- (x+7) = 18x x-1-4x-14 = 18x- 84-7x = x = -7 x = 7 x-4 7x = -3x-5 x-4 7x = - 3x- 5 x-4 =7x-6x-10 x-7x+6x =4-10 0x =-6 αδυνατη

109 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς 109 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο. Ο καθηγητης των Μαθηματικων ειπε στους μαθητες του : Σκεφτειτε εναν αριθμο και διπλασιαστε τον Στο αποτελεσμα να προσθεσετε τον αριθμο 10 Το αθροισμα που βρηκατε να το διαιρεσετε με το και απο το πηλικο να αφαιρεσετε τον αριθμο που σκεφτηκατε στην αρχη Καθε μαθητης πρεπει να εχει βρει αποτελεσμα τον αριθμο 5 ανεξαρτητα απο ποιον αριθμο σκεφτηκε στην αρχη Μπορειτε να εξηγησετε τον ισχυρισμο του καθηγητη ; Εστω x ο αριθμος που σκεφτηκε καποιος μαθητης. Τοτε απ τα δοσμενα προκυπτει η παρασταση Α = x x που δινει αποτελεσμα : x + 10 x + 10 x x + 10-x -x = - = = 10 = 5 Δηλαδη Α = 5, για οποιαδηποτε τιμη του x. Α λ λ ι ω ς Λυνουμε την εξισωση x x = 5 x x = 10 x x = 10 0 x = 0 που ειναι ταυτοτητα η αληθευει για οποιαδηποτε τιμη του x. 3. Η γωνια της κορυφης Α ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ ειναι κατα 30 0 μεγαλυτερη καθεμιας απ τις γωνιες της βασης του Β και Γ. Να βρειτε τις γωνιες του τριγωνου. Aν Β=Γ =x (τριγωνο ΑΒΓ ισοσκελες) τοτε Α=x+30. Oμως Α+Β+Γ =180 η x+30+x+x =180 η 3x =150 η x =50 Ετσι

110 110 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 0 0 Β =Γ =50 και Α=80. x -(λ +3)x+λ +4 =0 (Ι) Για να ειναι το ριζα της (Ι), πρεπει : -(λ +3) +λ +4 =0 η 4-λ -6+λ +4 =0 η -λ +=0 η λ = αx +βx+γ =0 (ΙΙ) Για να ειναι το - 1 ριζα της (ΙΙ), πρεπει : α(- 1) +β(-1)+γ =0 η α-β+γ =0 η β =α+γ (λ -3λ+)x +(λ-)x+3=0 (Ι) Ειναι Δ =β -4αγ =(λ-) -4 (λ -3λ +) 3=λ -4λ+4-1λ +36λ-4 =- 11λ +3λ-0 4. Δινεται η εξισωση x -(λ +3)x + λ+4 = 0 (Ι). Να δειξετε οτι η εξισωση αx + βx +γ = 0 (ΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο -1, μονο αν β = α +γ. 5. Αν η μια ριζα της ειναι το, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. Δινεται η εξισωση (λ -3λ+ )x +(λ-)x +3 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε. Για να εχει η (Ι) μια μονο ριζα, πρεπει :λ -3λ+=0 και λ- 0 η λ Ετσι λ a =1 Δ =β -4αγ =(- 3) -4 1 =9-8=1 > λ = = -3λ+=0: β =- 3 τοτε - β± Δ -(- 3)± 1 3±1 1 λ = = = 1, γ = α Για λ =1 η (Ι) γινεται : (1-)x+3=0 η -x+3=0 η x =3 λ = =1 Δεν παιρνουμε και για λ = γιατι απο περιορισμο λ Για να εχει η (Ι) μια διπλη ριζα, πρεπει : Δ =0 η - 11λ +3λ-0 =0 η

111 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς 111 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο a =11 Δ =β -4αγ =(- 3) = =144 > λ = = 11λ -3λ+0 =0: β =- 3 τοτε - β± Δ -(- 3)± 144 3±1 1 λ = = = 1, γ =0 α Διπλη ριζα, οποτε =-, αν λ = (-1) β λ- λ- 1 x =- =- =- =- = α ( λ -3λ+) (λ-1)(λ-) (λ-1) - =, αν λ = ( -1) Να λυθουν οι εξισωσεις : x (x +1)(5 - x) = 0 (x -x +1)+(- 5 +6x - x ) = 0 x 1 4x + = x +3 x -3 x -9 x =0 x = 0 η η x (x+1)(5-x) =0 τοτε x+1=0 η x = - 1 η η 5-x =0 x = 5 (x -x+1)+(- 5+6x-x ) =0 (x-1) -(x -6x+ 5) =0 (x-1) -(x -5x-x+ 5) =0 (x-1) -(x(x-5)-(x- 5)) =0 (x-1) -(x-1)(x-5) =0 (x-1)[(x-1)-(x-5)]=0 (x-1)(x-1-x+5) =0 (x-1) 4 =0 x-1=0 x = 1 λ = = 11 x 1 4x + = x+3 x-3 x -9

112 11 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο x 1 x + = Πρεπει :(x+3)(x-3) 0 η x - 3 και x+3 x-3 (x+ 3)(x-3) x (x+3)(x-3) x+3 + (x+3)(x-3) 1 x = (x+3)(x-3) x-3 (x+3)(x-3) x(x-3)+x+3=x x -3x+x+3-x =0 a =1 x 3 Δ =β -4αγ =(- 4) =16-1=4 > 0 x -4x+3=0: β =- 4 τοτε - β± Δ -(- 4)± 4 4± 1 x = = = 1, γ =3 α x = =3 απορριπτεται x = = 1 Στο πρωταθλημα ποδοσφαιρου μιας χωρας καθε ομαδα εδωσε με ολες τις υπολοιπες ομαδες δυο αγωνες (εντος και εκτος εδρας). Αν εγιναν συνολικα 40 αγωνες, ποσες ηταν οι ομαδες που συμμετειχαν στο πρωταθλημα ; Εστω x το πληθος των ομαδων. Τοτε καθεμια δινει x 1 αγωνες με τις υπολοιπες ομαδες (x 1 οι υπολοιπες). Δηλαδη οι x ομαδες εδωσαν x(x 1) αγωνες. Ετσι x(x 1) = 40 Δ =β -4αγ =(- 1) -4 1 (- 40) =1+960 =961> 0 a = x -x-40 =0: β =- 1 τοτε x = =16 - β± Δ -(- 1)± 961 1±31 1 x = = = 1, γ =- 40 α Δεκτη τιμη η x = 16, οποτε οι ομαδες ειναι x = =- 15 Μια κατασκευαστικη εταιρεια διαθετει δυο μηχανηματα Α και Β. Το μηχανημα Β χρειαζεται 1 ωρες περισσοτερο απο οτι χρειαζεται το μηχανημα Α για να τελειωσει ενα συγκεκριμενο εργο. Ο χρονος που απαιτειται για να τελειωσει το εργο, αν χρησιμοποιηθουν και τα δυο μηχανηματα μαζι ειναι 8 ωρες. Να βρειτε το χρονο που θα χρειαζοταν το καθε μηχανημα για να τελειωσει το εργο αυτο αν εργαζοταν μονο του. Αν t ειναι o χρονος που χρειαζεται το μηχανημα Α για να τελειωσει ενα συγκεκριμενο εργο, τοτε ο αντιστοιχος χρονος για το Β ειναι t + 1. Σε 1 ωρα :

113 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς 113 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο το Α θα εκτελεσει το 1 t του εργου ι 1 το Β θα εκτελεσει το του εργου t+1 Σε 8 ωρες, που τα δυο μαζι τελειωσουν το εργο, το Α θα εκτελεσει το 8 1 του εργου t 1 το Β θα εκτελεσει το 8 του εργου t+1 Ετσι 8 1 t t+1 = 1 8(t + 1) + 8t = t(t + 1) 8t t = t + 1tt 4t 96 = 0 a =1 Δ =β -4αγ =(- 4) -4 1 (- 96) = =400 > t = =1 t -4t-96=0: β =- 4 τοτε - β± Δ -(- 4)± 400 4±0 1 t = = = 1, γ =- 96 α (η τιμη - 8 απορριπτεται αφου προκειται για χρονο) t = =- 8 απορ. Οποτε, το μηχανημα Α χρειαζεται 1 ωρες για να τελειωσειτο εργο, ενω το μηχανημα Β χρειαζεται = 4 ωρες. 9. Nα λυθουν οι εξισωσεις : 1 (x +1) 3x = 1 3x -1 x -1 3x -4x +1 1 (x+1) 3x +1 3x-1 x-1 3x -4x =1 1 (x+1) 3x +1 3x-1 x-1 3x =1 3x-x 1 (x+1) 3x =1 3x-1 x-1 3x(x-1)-(x-1) x +1 x -1-1 x -1 x +1 = x x -1 1 (x+1) 3x =1 Πρεπει (x-1)(3x-1) 0 η x 1 και x 3x-1 x-1 (x-1)(3x-1) 1 3

114 114 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο (x-1)(3x-1) 1 3x-1 + (x-1) (x+ 1) (3x-1) - (x-1)( 3x-1) x-1 3x +1 (x-1)(3x-1) =1 (x-1)(3x-1) x-1+(x+1)(3x-1)-(3x +1) =(x-1)(3x-1) x-1+ 6x 9x =5 5 x = δεκτη 9 -x+6x--3x -1= 3x -x-3x+1 x+1 x-1 - x-1 0 x 1 x 1 x-1 x+1 1 = Πρεπει : x+1 0 η x - 1 η x - 1 η x+1 1+ x+1 x-1+x+1 x x x-1 x-1 x-1 (x+1) -(x-1) (x-1)(x+1) 1 = η x x-1 4x (x-1) 1 = x (x-1)(x+1) Αρα η εξισωση αδυνατη. 10. α α + β β Αν 3α < β να δειξετε οτι : < <. 4 3 Ειναι α+β 16β < 4 48 η (x+1+x-1)(x+1-x+1) 4x (x-1)(x+1) 1 (x-1)(x+1) 1 = η = η x x x-1 x-1 1 =1 η x+1=1 η x =0 απορριπτεται x+1 1 (. ) (+ α) 4 (+ β) 1 1 α+β 3α <β η 3α+α <β+α η 4α <α+β η 4α < (α+β) η α < η α+β α < 4 (+ β) (3α < β) x 1 x - 1 x 0 β +5β α+β α+β α+5β α+β α+β β+15β η α+β < +β η < η < 3 η < η η α+β β < 4 3 Τελικα : α + β β α < < 4 3

115 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς 115 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 11. Αν x + y = 1 και z + ω = 5, να δειξετε οτι : xz + yω 3 Αν 1 α και 3 β 4, μεταξυ ποιων αριθμων βρισκονται οι παραστασεις : α + β Ειναι (x-y) 0 x +y -xy 0 1-xy 0 xy 1 η η η η (z-ω) 0 z + ω -zω 0 5-zω 0 zω 5 (+) xy+zω 1+5 η (xy+zω) 6 η xy+zω 3 Ειναι 1 α 3 β 4 α - β (+) η 1+3 α+β +4 η 4 α+β 6 (+) 1 α 1 α 1 α η η η 1-4 α-β -3 η -3 α-β β β β Να βρειτε που συναληθευουν οι ανισωσεις : - 8 < 3x +1 - < 3-x < 4 4 6x <3x <3x <3x <3x <x 7 - <3-x < 4-4 <x-3< <x-3 +3 <+3-1 <x < <x <x 4 6x x x <6x <x Κοινη λυση : 5 1 < x

116 116 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς - Α ν ι σ ω σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο Eστω x ο βαθμος του μαθητη στο τεταρτο διαγωνισμα. 13. Ενας μαθητης εγραψε τρια διαγωνισματα στα Μαθηματικα με βαθμους 17, 13 και 16. Τι βαθμο πρεπει να παρει στο επομενο διαγωνισμα, ωστε ο μεσος ορος του βαθμου του στα Μαθηματικα να ειναι πανω απο 16; x Ο μεσος ορος των βαθμων στα διαγωνισματα ειναι : 4 Ετσι, συμφωνα με το προβλημα x >16 η x >16 4 η x > η x >18 Δηλαδη ο μαθητης πρεπει να γραψει πανω απο 18.

117 Σ υ σ τ η μ α τ α Γ ρ α μ μ ι κ ω ν Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν 3. Σ υ σ τ η μ α τ α Γ ρ α μ μ ι κ ω ν Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν 3. 1 Η εννοια της γραμμικης εξισωσης 3. Η εννοια του γραμμικου συστηματος και η γραφικη επιλυση του 3. 3 Αλγεβρικη επιλυση γραμμικου συστηματος

118 118 Ε ν ν ο ι α Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 3. 1 Γ ρ α μ μ ι κ η Ε ξ ι σ ω σ η με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: αx + βy = γ με α, β, γ, x, y πραγματικους αριθμους. Λ υ σ η της πιο πανω εξισωσης ειναι καθε ζευγος πραγματικων αριθμων (x, y) που την επαληθευουν. Παριστανει ευθεια γραμμη που τεμνει τους αξονες x x και y y στα σημεια ( γ, 0) και α (0, γ β ) αντιστοιχα. Ε υ θ ε ι α μ ε Σ τ α θ ε ρ η Τ ε τ μ η μ ε ν η Η εξισωση x = λ παριστανει μια ευθεια π α ρ α λ λ η λ η στον αξονα y y που διερχεται απ το σημειο (λ, 0) του αξονα x x. Η εξισωση x = 0 παριστανει τον αξονα y y. Ε υ θ ε ι α μ ε Σ τ α θ ε ρ η Τ ε τ α γ μ ε ν η Η εξισωση y = μ παριστανει μια ευθεια π α ρ α λ λ η λ η στον αξονα x x που διερχεται απ το σημειο (0, μ) του αξονα y y. Η εξισωση y = 0 παριστανει τον αξονα x x. Γρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς Ειναι η παρουσιαση σ ενα συστημα συντεταγμενων, ολων των σημειων Α(x, y) που οι συντεταγμενες τους επαληθευουν την εξισωση. Η γραφικη παρασταση της εξισωσης αx + βy = γ ειναι μια ευθεια γραμμη. Την ισοτητα αx + βy = γ ονομαζουμε ε ξ ι σ ω σ η τ η ς ε υ θ ε ι α ς. Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Αν γ 0, α 0 και β 0, η γραφικη παρασταση της εξισωσης αx + βy = γ ειναι μια ευθεια γραμμη που τεμνει τους δυο αξονες, x x και y y. Αν γ = 0, α 0 και β 0, η γραφικη παρασταση της εξισωσης αx + βy = γ ειναι μια ευθεια γραμμη που διερχεται απ την αρχη των δυο αξονων, x x και y y. Αν γ 0 και α = 0 και β = 0, δεν υπαρχει γραφικη παρασταση της εξισωσης αx + βy = γ και η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η (0 x + 0 y = γ 0). Αν γ = 0 και α = 0 και β = 0, η γραφικη παρασταση της εξισωσης αx + βy = γ δεν ειναι ευθεια (σημεια) και η εξισωση ειναι α ο ρ ι σ τ η (0 x + 0 y = 0). Αν ενα σημειο Α(x, y) ανηκει σε μια ευθεια, εστω ε, τοτε οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση της ευθειας ε και αντιστροφα, Αν οι συντεταγμενες ενος σημειου Α(x, y) επαληθευουν την εξισωση της ευθειας ε, τοτε το σημειο Α ειναι σημειο της ευθειας ε.

119 Ε ν ν ο ι α Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς 119 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 3. 1 Μεθοδος : Ευρεση παραμετρου λ. Στην εξισωση της ευθειας ε : αx + βy = γ (Ι) οι α και β ειναι οι συντελεστες των μεταβλητων και ο γ ο σταθερος ορος. Προκειμενου να βρουμε την παραμετρο λ που βρισκεται στην εξισωση ευθειας ε : για να διερχεται η ευθεια ε απ την αρχη των αξονων, απαιτουμε γ = 0 α η (Ι) γινεται: αx + βy = 0 η y = - x και το (0, 0) ανηκει στην ε. β για να ειναι η ευθεια ε παραλληλη στον αξονα x x, απαιτουμε α = 0 η (Ι) γινεται : γ βy = γ η y = β παραλληλη στον αξονα x x που διερχεται απ το για να ειναι η ευθεια ε παραλληλη στον αξονα y y, απαιτουμε β = 0 η (Ι) γινεται : γ αx = γ η x = α παραλληλη στον αξονα y y, που διερχεται απ το γ (0, ) β γ (, 0) α Προκειμενου να δειξουμε οτι για καθε τιμη της παραμετρου λ η (Ι) παριστανει εξισωση ευθειας δειχνουμε οτι δεν υπαρχει καποιο λ, που μηδενιζει ταυτοχρονα το α και το β. Βρειτε το λ ωστε η εξισωση λ(λ - 1) x + ( λ - 4)y = λ - 7λ + 1 (Ι) να παριστανει ευθεια που ειναι παραλληλη στον αξονα x x ειναι παραλληλη στον αξονα y y διερχεται απ την αρχη των αξονων Δειξτε οτι για καθε τιμη του λ, η (Ι) παριστανει εξισωση ευθειας. Eιναι : α =λ(λ-1), β =λ -4 και γ =λ -7λ+1 Για να ειναι η ε παραλληλη στον αξονα x'x πρεπει: λ =0 λ =0 α =0 η λ(λ-1) =0 η η η η λ-1=0 λ =1 Για να ειναι η ε παραλληλη στον αξονα y'y πρεπει: λ+=0 λ =- λ-=0 λ = β =0 η λ -4 =0 η (λ+)(λ-) =0 η η η η Για να διερχεται η ε απ'την αρχη των αξονων πρεπει :.. γ =0 η λ -7λ +1=0 η λ -3λ-4λ+1=0 η λ(λ-3)-4(λ-3) =0 η λ-3=0 λ =3 (λ-3)(λ-4) =0 η η η η λ-4 =0 λ =4

120 10 Ε ν ν ο ι α Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 3. 1 Συμφωνα με τα παραπανω: α =0 αν λ =0 η λ =1 β =0 αν λ =- η λ = Δηλαδη δεν υπαρχει καποια τιμη του λ, ωστε α και β να μηδενιζουν ταυτοχρονα. Αρα η (Ι) παριστανει εξισωση ευθειας για καθε τιμη του λ. Μεθοδος : Σχεδιαση ευθειας ε σε συστημα συντεταγμενων και εμβαδον τριγωνου. Προκειμενου να σχεδιασουμε ευθεια ε : αx + βy = γ (Ι) σε συστημα συντεταγμενων : αρκει να βρουμε δυο σημεια, αφου η ευθεια οριζεται απο δυο σημεια. ευκολα βρισκουμε τα σημεια τομης της ευθειας ε με τους αξονες : γ για x = 0 η ευθεια ε τεμνει τον y y στο σημειο Α(0, ) β για y = 0 η ευθεια ε τεμνει τον x x στο σημειο B( γ, 0) α Προκειμενου να βρουμε το εμβαδον του τριγωνου που σχηματιζεται απ τους αξονες και τη γραφικη παρασταση της ευθειας ε : γ βρισκουμε τα σημεια τομης της ευεθεις ε με τους αξονες : Α(0, ) β, B ( γ, 0) α 1 γ γ γ το εμβαδον ειναι ισο με : Ε = = α β αβ Αν η ευθεια ε : x + 5y = 10 τεμνει τους αξονες x x και y y στα σημεια Α και Β αντιστοιχως τοτε : Να τη σχεδιασετε. Να υπολογισετε το εμβαδον του τριγωνου OΑΒ, οπου Ο η αρχη των αξονων. Ειναι Για y = 0 η εξισωση γινεται x = 10 η x = 5. Επομενως A(5, 0) Για x = 0 η εξισωση γινεται 5y = 10 η y = 0. Επομενως Β(0, ) Ειναι (ΟΑΒ) = OA OB 5 10 = = = 5 τ.μ. y Β ε Α Ο 5 x Δες το και ετσι : (ΟΑΒ) = γ = = αβ 5 0 = 5 τ.μ.

121 Ε ν ν ο ι α Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς 11 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 3. 1 Μεθοδος : Αποδειξη οτι σημειο Α ανηκει σε ευθεια ε. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι σημειο Α(κ, λ) ειναι σημειο ευθειας ε : αx + βy = γ (Ι) : δειχνουμε οτι οι συντεταγμενες κ, λ του σημειου Α απαληθευουν (ικανοποιουν) την εξισωση της ευθειας ε. Δηλαδη, αντικαθιστουμε τα x, y της (Ι) με τα κ, λ αντιστοιχα και προκυπτει αληθινη ισοτητα : ακ + βλ = γ. Να δειξετε οτι το σημειο Α(-, 1) ειναι σημειο της ευθειας ε : x + 5y = 1. Για να ειναι το σημειο Α σημειο της ευθειας ε, πρεπει οι συντεταγμενες του να επαληθευουν την εξισωση της ευθειας ε. Δηλαδη (- ) = = 1 που αληθευει Αρα το σημειο Α ανηκει στην ευθεια ε. Μεθοδος : Παραλληλες ευθειες. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι οι ευθειες ε : κx + λy = π (Ι) και ζ : μx + νy = ρ ειναι παραλληλες : απλοποιουμε καταλληλα τους συντελεστες των εξισωσεων των δυο ευθειων. αν οι εξισωσεις των ευθειων που προκυπτουν ειναι της μορφης : ε : αx + βy = γ και δ : αx + βy = δ γ τοτε η ευθεια ε ειναι παραλληλη στην ευθεια ζ. Να δειξετε οτι οι ευθειες ε : x - 3y = 1 και ζ : - 4x + 6y = 3 ειναι παραλληλες. Πολλαπλασιαζουμε την εξισωση της ευθειας ε επι. Ετσι ε : - 4x + 6y = Ομως ζ : - 4x + 6y = 3 Οποτε οι δυο ευθειες ειναι παραλληλες.

122 1 Ε ν ν ο ι α Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 3. 1 Μεθοδος : Ευρεση ακεραιων λυσεων της γραμμικης εξισωσης. Προκειμενου να βρουμε τις ακεραιες λυσεις γραμμικης εξισωσης (κυριως σε προβλημα) : Απ τα δοσμενα γραφουμε την εξισωση της ευθειας. αλγεβρικα : δινουμε τιμες στη μια μεταβλητη (εστω x) και βρισκουμε τις αντιστοιχες τιμες της αλλης Εστω x οι κοτες και y τα γουρουνια που εχει ο χωρικος. Οποτε ισχυει x + 4y = 4 (Ι). Δινουμε τιμες, απο 1,..., 11 στο x (αφου ποδια 1 = 4) και βρισκουμε τις αντιστοιχες τιμες y. Τα ζευγη ειναι : (1, 11 ),(, 5), (3, 9 ),( 4, 4), (5, 7 ),( 6, 3), (7, 5 ),( 8, ), (9, 3 ),( 10, 1 ),(11, 1 ). Δεκτα ειναι τα μπλε ζευγη, που ειναι ακεραιοι. Η γραφικη παρασταση της ευθειας (Ι) φαινεται στο σχημα. Eπειδη τα x και y ειναι ακεραιοι αριθμοι, αναζητουμε στο σχημα σημεια της γραφι- κης παραστασης της γραμμικης εξισωσης που ειναι ακεραιοι. Αυτα ειναι τα : μεταβλητης (εστω y) δεκτες ειναι οι λυσεις που τα ζευγη (x, y) ειναι ακεραιοι. απ τη γραφικη παρασταση : σχεδιαζουμε σε συστημα συντεταγμενων την ευθεια που αντιστοιχει στη γραμμικη εξισω- ση με απολυτη ακριβεια. επιλεγουμε τα σημεια της ευθειας που εχουν ακεραιες συντεταγμενες. τα πιο πανω ζευγη συντεταγμενων ειναι οι ζητουμενες λυσεις. Ενας χωρικος εχει κοτες και γουρουνια. Αν τα ζωα εχουν συνολικα 4 ποδια, ποσες κοτες και ποσα γουρουνια ειναι δυνατον να εχει ο χωρικος ; Α(, 5), Β(4, 4), Γ(6, 3), Δ(8, ), Ε(10, 1) Ετσι, ο χωρικος εχει : κοτες και 5 γουρουνια 4 κοτες και 4 γουρουνια 6 κοτες και 3 γουρουνια 8 κοτες και γουρουνια 10 κοτες και 1 γουρουνι y 5 Α(,5) 4 Β(4,4) 3 Γ(6,3) Δ(8,) 1 Ε(10, 1) Ο x

123 Ε ν ν ο ι α Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς 13 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να βρειτε την τιμη του λ ωστε η εξισωση (λ - 3) x + λ( λ - 16)y = λ - 3λ + (Ι) να παρι- στανει ευθεια που ειναι παραλληλη στον αξονα x x ειναι παραλληλη στον αξονα y y διερχεται απ την αρχη των αξονων Να δειξετε οτι για καθε λ η (Ι) παριστανει εξισωση ευθειας.. Αν η ευθεια ε : 5x + 4y = 0 τεμνει τους αξονες x x και y y στα σημεια Α και Β αντιστοιχως τοτε : Να τη σχεδιασετε. Να υπολογισετε το εμβαδον του τριγωνου OΑΒ, οπου Ο η αρχη των αξονων. 3. Δινεται η ευθεια -λ x+(λ-1)y =1 την τιμη του λ. τα σημεια τομης Α και Β της ευθειας με τους αξονες. το εμβαδον του τριγωνου ΟΑΒ. 4. που διερχεται απ το σημειο Μ(3, - ). Να βρειτε : Να βρειτε τη τιμη του λ, ωστε η εξισωση (λ 1)x + (λ 1)y = λ - 4 να παριστανει ευθεια να παριστανει ευθεια παραλληλη στον αξονα x x να παριστανει ευθεια παραλληλη στον αξονα y y να παριστανει ευθεια διερχεται απ την αρχη των αξονων να παριστανει ευθεια διερχεται απ το σημειο Α(1, ) να παριστανει ευθεια παραλληλη στην ευθεια ε : y = - 3x 5. Η ομαδα μπασκετ της πολης, στον πρωτο γυρο του πρωταθληματος, συγκεντρωσε 0 βαθμους. Αν για τη νικη η ομαδα παιρνει βαθμους και την ηττα 1 βαθμο, ποσες νικες και ποσες ηττες ειναι δυνατον να εχει η ομαδα στο πρωτο γυρο του πρωταθληματος ;

124 14 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς Σ υ σ τ η μ α Δ υ ο Γ ρ α μ μ ι κ ω ν Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν με δυο αγνωστους λεγεται καθε συστημα της μορφης : α x + β y = γ α x + β y = γ Λ υ σ η του πιο πανω συστηματος ειναι καθε ζευγος πραγματικων αριθμων (x, y) που επαληθευει και τις δυο εξισωσεις του συστηματος. Η Μ ο ν α δ ι κ η Λ υ σ η ενος συστηματος δυο γραμμικων εξισωσεων με δυο αγνωστους σημαινει : Αλγεβρικα : υπαρχει μ ο ν α δ ι κ ο ζευγος πραγματικων αριθμων (x, y) που επαληθευει και τις δυ- ο εξισωσεις του συστηματος. Γεωμετρικα : το σ η μ ε ι ο τ ο μ η ς των δυο ευθειων, που παριστανουν οι εξισωσεις του συστημα- τος. Α δ υ ν α τ ο λεγεται ενα συστημα, οταν Αλγεβρικα : δεν υπαρχουν ζευγη (x,y) που το επαληθευουν. Γεωμετρικα : σημαινει, οτι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, ει ναι π α ρ α λ λ η λ ε ς. Α ο ρ ι σ τ ο λεγεται ενα συστημα, οταν Αλγεβρικα : υπαρχουν απειρα ζευγη (x,y) που το επαληθευουν. Γεωμετρικα : σημαινει, οτι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστημα- τος, σ υ μ π ι π τ ο υ ν. Ι σ ο δ υ ν α μ α λεγονται τα συστηματα που εχουν ακριβως τις ι δ ι ε ς λυσεις.

125 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 15 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : Γραφικη επιλυση γραμμικου συστηματος δυο εξισωσεων. Προκειμενου να λυσουμε γραφικα ενα γραμμικο συστημα δυο εξισωσεων : Κατασκευαζουμε τις ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος. Αν οι δυο ευθειες τεμνονται, τοτε η λυση του συστηματος ειναι το ζευγος (x,y), οπου x, y οι συντεταγμενες του σημειου τομης. Αν οι δυο ευθειες ειναι παραλληλες, τοτε το συστημα ειναι αδυνατο. Αν οι δυο ευθειες ταυτιζονται, τοτε το συστημα εχει απειρες λυσεις. Να λυθει γραφικα το συστημα : x - 3y = x + y = 0 Για την x 3y = - 5 x 1 - y 1 Για την - x y = 0 x 0 1 y 0 Οι γραφικες παραστασεις των δυο εξισωσεων ειναι: y x - 3y = - 5 M - x + y = 0 To σημειo M(1,) ειναι το σημειο τομης των δυο ευθειων, αρα η λυση του συστηματος ειναι : (x, y) = (1, ) x Μεθοδος : Μεθοδοι Αλγεβρικης επιλυσης γραμμικου συστηματος δυο εξισωσεων. M ε θ ο δ ο ς Α ν τ ι κ α τ α σ τ α σ η ς Λυνουμε την μια εξισωση ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση. Η εξισωση που προκυπτει ειναι ως προς ενα αγνωστο, τον οποιο βρισκουμε και M ε θ ο δ ο ς Α ν τ ι θ ε τ ω ν Σ υ ν τ ε λ ε σ τ ω ν Πολλαπλασιαζουμε με καταλληλους αριθμους τις δυο εξισωσεις, ωστε ο ενας αγνωστος να προκυψει με αντιθετους συντελεστες. Στη συνεχεια προσθετουμε κατα μελη τις δυο εξισωσεις και προκυπτει εξισωση με ενα αγνωστο, τον οποιο βρισκουμε και... M ε θ ο δ ο ς Σ υ γ κ ρ ι σ η ς Λυνουμε και τις δυο εξισωσεις ως προς τον ιδιο αγνωστο και εξισωνουμε τα δευτερα μελη. Η εξισωση που προκυπτει ειναι ως προς ενα αγνωστο, τον οποιο βρισκουμε και

126 16 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Να λυθει αλγεβρικα το συστημα : x -3y = x + y = 0 Με τη μεθοδο της αντικαταστασης : x =3y- 5 x -3y =- 5 x =3y- 5 x =3y- 5 x =3y- 5 η η η η x+ y =0 - ( 3y- 5)+ y =0-6y+10+ y =0-5y =- 10 y = - 5 x=3-5 x =6-5 x = 1 η η y = y = y = Με τη μεθοδο των αντιθετων συντελεστων : (+) x -3y =- 5 x -6y =- 10-5y =- 10 η η η - x+ y =0 - x+ y =0 - x+ y =0 y = y = y = η - η - x =- x = x = 1 - Με τη μεθοδο της συγκρισης : - 10 y = x+ y =0 η y = - x+ =0 y x =3y- 5 x -3y =- 5 =3y- 5 y =6y- 10 5y =10 η y = y η η y η y η - x+ y =0 x= y x = x = x = x = 1 Μεθοδος : Προβλημα με δυο αγνωστους. Προκειμενου να λυσουμε ενα προβλημα με δυο αγνωστους (ζητουμενα) : θετουμε x, y τα ζητουμενα. συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος, καταστρωνουμε δυο εξισωσεις που ειναι συνδια- στικες σχεσεις (ισοτητες) μεταξυ των x, y. λυνουμε το συστημα των δυο πιο πανω εξισωσεων. η λυση του συστηματος ειναι το ζητουμενο. Γενικα αν εχουμε δυο αγνωστους x, y, προκειμενου να τους βρουμε, χρειαζομαστε δυο εξισωσεις με δυο μεταβλητες, τους x, y. η η

127 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 17 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Ενας χωρικος εχει κοτες και γουρουνια. Αν συνολικα τα ζωα ειναι 11 που εχουν συνολικα 4 ποδια, ποσες κοτες και ποσα γουρουνια εχει ο χωρικος ; Εστω x κοτες και y γουρουνια εχει ο χωρικος. Συνολικα, οι κοτες εχουν x ποδια και τα γουρουνια 4y. Τοτε x + y = 11 (1) x + 4y = 4 () Λυνουμε το συστημα των (1), () : x +y =11 x =11-y x =11-y x =11-y η η η η x+4y =4 ( 11-y)+4y =4 -y+4y =4 - y+4y =4- x =11-y x =11-1 x = 11 η η y = y =1 y = 1 Δηλαδη, ο χωρικος εχει 10 κοτες και 1 γουρουνι. Μεθοδος : Ευρεση εξισωσης ευθειας που διερχεται απο γνωστα σημεια. Προκειμενου να βρουμε την εξισωση ευθειας που διερχεται απο σημεια Α και Β : Η εξισωση της ευθειας ειναι γενικα της μορφης : y = αx + β (Ι) Οι συντεταγμενες των Α, Β επαληθευουν την (Ι), οποτε αντικαθιστωντας στην (Ι) παιρνου- με συστημα ως προς α και β. Λυνουμε το συστημα. Βρειτε τα λ, μ ωστε η εξισωση (λ - μ)x + y = λ - μ - 1 (Ι) να παριστανει ευθεια ε που διερχεται απ την αρχη των αξονων ειναι παραλληλη στην ευθεια ζ : 5x + y = 4 Για να διερχεται η ευθεια ε απ την αρχη των αξονων πρεπει : λ - μ 1 = 0 η λ - μ = 1 (1) Για να ειναι η ευθεια ε παραλληλη στην ευθεια ζ πρεπει : λ - μ = 5 () Λυνουμε το συστημα των (1), () : λ-μ =1 λ =μ+1 λ =μ+1 λ =μ+1 λ = 1+1 λ = 3 η η η η η λ-μ =5 ( μ+1)-μ =5 4μ+-μ =5 3μ =3 μ = 1 μ = 1

128 18 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν Βρειτε την εξισωση της ευθειας που διερχεται απ τα σημεια Α(1, ) και Β(- 3, 4). Γενικα, η εξισωση της ευθειας ειναι y = αx + β (Ι) Το σημειο Α ανηκει στην ευθεια, οποτε επαληθευει την (Ι) : = α 1 + β η α + β = (1) Το σημειο Β ανηκει στην ευθεια, οποτε επαληθευει την (Ι) : 4 = α (- 3) + β η - 3α + β = 4 () Λυνουμε το συστημα των (1), () : 1 α =- α+β = α+ 3α+4 = 4α =- α =- η η η 4 η - 3α+β =4 β =3α+4 β =3α+4 1 β =3α+4 β = α =- α =- η 3 5 β =- +4 β = Οποτε η ζητουμενη εξισωση ειναι : 1 5 y =- x+ η y =- x+5 η x + y = 5 η

129 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 19 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να λυθουν γραφικα τα συστηματα: x -y =0 x = 5x -3y =- 1 α) β) γ) - x-y =-3 x+ y =0 - x+y =3. Να λυθουν αλγεβρικα τα συστηματα : x+ 3x-y x+ y y+ +y =3 + =x x - y =- 5 α) β) γ) x+ y+ x+ y x+ 6-1= x- -1= y- 4 x + y = Σ ενα αγροκτημα υπαρχουν κοτες και κουνελια. Αν τα ζωα εχουν ολα μαζι 50 κεφαλια και 140 ποδια, να βρειτε ποσες ειναι οι κοτες και ποσα ειναι τα κουνελια. 4. Βρειτε τα λ, μ ωστε η εξισωση (λ - 3μ)x + y - 5 = λ + μ (Ι) να παριστανει ευθεια ε που διερχεται απ την αρχη των αξονων ειναι παραλληλη στην ευθεια ζ : 3x + y = Να βρειτε την εξισωση της ευθειας y = αx + β, αν αυτη διερχεται απ τα σημεια Α(α, - 1) και Β(1, 3α). Να βρειτε τα κ και λ, ωστε η εξισωση x + κx + λ = 0 να αληθευει για x = 3 και για x = Να βρειτε την εξισωση της ευθειας που διερχεται απ τα σημεια Α(1, ) και Β(, - 1). Να εξετασετε αν το σημειο Γ(3, - 4) ειναι σημειο της ευθειας που οριζουν τα σημεια Α και Β.

130 130 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 3 ο Κ ε φ α λ α ι ο 1. Να βρειτε το σημειο στο οποιο τεμνονται οι ευθειες με εξισωσεις : ε : x -3y + 5 = 0 και ζ : -x + y = 0 Aν η ευθεια δ : (3λ-1)x -(λ-)y -5 = 0 διερχεται απ'το σημειο τομης των ευθειων ε και Για να βρουμε το σημειο τομης των ευθειων ε καιζ, λυνουμε το συστημα των εξισωσεων τους. Ετσι x-3y+5=0 x=3y- 5 x =3y- 5 η η η - x+y =0 - ( 3y- 5) + y =0-6y+ 10+ y =0 x =3-5 x =6-5 x = 1 η η y = y = y = x =3y- 5 x =3y- 5 η y =- 10 y = - 5 Αν η ευθεια δ διερχεται απ'το σημειο Α(1, ) τοτε οι συντεταγμενες του σημειου Α επαληθευουν την εξισωση της ευθειας δ. Ετσι (3λ-1) 1-(λ-) -5=0 3λ-1-λ+4-5=0. ζ, τοτε να βρειτε το λ. λ-=0 λ= α Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο α, αν η ευθεια με εξισωση 3x - y + = 0 διερχεται απ'το σημειο Α(0, ). Για την τιμη του α που βρηκατε, να λυσετε το συστημα : α 3x - y + = 0 y x - -1 = 0 4 η Οι συντεταγμενες του σημειου Α, επαληθευουν την εξισωση της ευθειας. Ετσι α α α 3x-y+ =0 η =0 η = η α =

131 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 131 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 3 ο Κ ε φ α λ α ι ο Για α = το συστημα γινεται : 3. 3x-y+ =0 (+) 3x-y+1=0 3x-y =- 1-3x+y = 1 5x = 5 η η η η η y 8x-y-4 =0 8x-y =4 8x-y =4 8x-y =4 x- -1=0 4 5 x = x = 1 x = 1 x = 1 5 η η η 8 1-y =4 y =8-4 8x-y =4 y = 4 Δινονται οι ευθειες ε1 : x + 4y 5 = 0, ε : 3x - y 1 = 0 και ε3 : 7x - 8y + 1 = 0. Να δειξετε οτι οι τρεις ευθειες διερχονται απ το ιδιο σημειο. Βρισκουμε το σημειο Α(x,y), που ειναι το σημειο τομης των ευθειων ε1 και ε. x+4y =5-3x-1y =-15-14y =-14 y =1 η η η 3x-y =1 3x-y =1 3x-y =1 x =1 Αρα το σημειο τομης ειναι : A(1,1) Θα δειξουμε οτι και η τριτη ευθεια ε 1 διερχεται απ το σημειο Α. Ειναι : = = 0 Δηλαδη οι συντεταγμενες του σημειου Α, επαληθευουν την εξισωση της ευθειας ε3. Αρα οι τρεις ευθειες διερχονται απ το σημειο Α(1, 1). 4. Δινονται οι ευθειες ε : x -3y +5 = 0 και ζ : -x + y = 0 Να βρειτε το σημειο Μ, στο οποιο τεμνονται οι ευθειες ε και ζ. Να βρειτε την εξισωση της ευθειας δ που διερχεται απ'το σημειο Μ και το σημειο που τεμνει η ευθεια ε τον αξονα y'y. Για να βρουμε το σημειο τομης των ευθειων ε και ζ, λυνουμε το συστημα των εξισωσεων τους. Ετσι x =3y- 5 x-3y+5 =0 x =3y- 5 x =3y- 5 x =3y- 5 η η η η - 10 η - x+y =0 - ( 3y- 5)+ y =0-6y+10+ y =0-5y =- 10 y = - 5 x =3-5 x =6-5 x = 1 η η y = y = y = Οποτε Μ(1, )

132 13 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 3 ο Κ ε φ α λ α ι ο Η ευθεια ε: x-3y +5 =0 τεμνει τον αξονα y'y αν x =0. Ετσι α) 5 0-3y+5 =0 η 3y =5 η y = 3 5 Αρα η ευθεια ε τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο Α(0, ) 3 Η ζητουμενη ευθεια με 5 εξισωση δ: y = αx+β, διερχεται απ'τα σημεια Α(0, ) και Μ(1, ). 3 Οποτε οι συντεταγμενες των σημειιων Α και Μ, επαληθευουν την εξισωση της ε. Δηλαδη 5 = α 0+β 3 = α 1+β Αρα = β β = β = η η η = α+ α =- α = δ: y = x+ η δ:3y = x+5 η δ : x -3y + 5 = 0 Δινονται οι ευθειες ε και ζ με εξισωσεις 3x - y = και 4x + y = 5 αντιστοιχα. α) Να βρειτε τους αριθμους α και β, αν η ευθεια ε διερχεται απ'το σημειο Α(α -1, β+1) και η ευθεια ζ διερχεται απ'το σημειο Β(β+, α). β) Να βρειτε την ευθεια δ που διερχεται απ'τα σημεια Α και Β. Η ευθεια ε διερχεται απ'το σημειο Α(α- 1, β + 1), οποτε 3x-y = η 3(α-1)-β+1= η 3α-3-β+1= η 3α-β =4 (1) Η ευθεια ζ διερχεται απ'το σημειο Β(β +, α), οποτε 4x+y =5 η 4(β+)+α =5 η 4β+8+α =5 η α+4β =- 3 () Λυνουμε το συστημα των (1) και () : 4 η η η α+4β =- 3 α+4β =- 3 α+4β =-3 3α-β =4 1α-4β =16 (+) 13α =13 13 α = 13 α+4β =- 3 η α = 1 1+4β =- 3 η

133 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 133 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 3 ο Κ ε φ α λ α ι ο α =1 α =1 α = 1 η - 4 η 4β =- 4 β = β = β) Για α =1 και β =- 1 ειναι : Α(0, 0) και Β(1, 1) Η ευθεια δ ειναι της μορφης δ: y =κ x, αφου διερχεται απ'την αρχη των αξονων. Οι συντεταγμενες του σημειου Β επαληθευουν την εξισωση της ευθειας δ. Ετσι 1=κ 1 η κ =1 Οποτε δ : y = x 6. Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι α και β, αν το συστημα αx +3βy = - 1 αx -βy = 5 εχει λυση : (x, y) = (1, 1) Ειναι η η η η αx-βy =4 αx-βy =4 3 3αx-6βy =1 3αx-6βy =1 (+) αx+3βy =1 αx+3βy =1 4αx+6βy = 7αx =14 14 x = - x =- α x =- x =- 7α η η α 3αx-6βy = 1 η α η 3α - -6βy =1-6-6βy =1 6βy =- 18 α x =- x =- α α η 18 3 y =- y =- 6β β Ομως, (x, y) =(1, 1) Oποτε

134 134 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 3 ο Κ ε φ α λ α ι ο - =1 x =1 α α = - η η y =1 3 - =1 β = - 3 β 7. Τι γραμμες παριστανουν οι εξισωσεις : (x - y +3) -16 = 0 x - y + xy + x -y -1 = 0 Ειναι (x-y+3) -16=0 (x-y+3) -4 =0 (x-y+3-4)(x-y+3+4) =0 (x-y-1)(x-y+7) =0 x - y -1 = 0 x - y +7 = 0 Δηλαδη η εξισωση παριστανει τις δυο πιο πανω ευθειες. Ειναι xy x y 1= 0 x -y x -y =0 xy xy x (x -xy-x)+(xy-y -y)+(x-y-1) =0 x(x-y-1)+y(x-y-1)+(x-y-1) =0 (x-y-1)(x+y+1) =0 x y x - y -1 = 0 x + y +1 = 0 Δηλαδη η εξισωση παριστανει τις δυο πιο πανω ευθειες. y

135 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 4. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 4. 1 Η συναρτηση y = α x με α 0 4. Η συναρτηση y = α x + β x + γ με α 0

136 136 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α 0 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 4. 1 Σ υ ν α ρ τ η σ η Ονομαζουμε π ρ α γ μ α τ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η μια δ ι α δ ι κ α σ ι α ( κ α ν ο ν α ), με την οποια κ α θ ε στοιχειο x αντιστοιχιζεται σε ε ν α μ ο ν ο πραγματικο αριθμο y. To y ονομαζεται τ ι μ η της συναρτησης στο x. Γρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Γ ρ α μ μ ι κ η ς Ε ξ ι σ ω σ η ς Ειναι η παρουσιαση σ ενα συστημα συντεταγμενων, ολων των σημειων Α(x, y) που οι συντε- ταγμενες τους επαληθευουν την εξισωση. Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α 0 Γρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Η γραφικη παρασταση εχει εξισωση π α ρ α β ο λ η. y =α x και παριστανει μια καμπυλη που λεγεται Εχει α ξ ο ν α σ υ μ μ ε τ ρ ι α ς τ ο ν α ξ ο ν α y y και κ ο ρ υ φ η τ η ν α ρ χ η τ ω ν α ξ ο ν ω ν. Αν α > 0 βρισκεται πανω απ τον αξονα x x, ενω αν α < 0 τοτε ειναι κατω απ τον αξο- να x x. Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς : α > 0 α < 0 Για αντιθετες τιμες του α εχουμε δυο παραβολες συμμετρικες ως προς τον x x. Καθως μεγαλωνει η α η παραβολη γινεται πιο κλειστη. Καθως μικραινει η α η παραβολη γινεται πιο ανοικτη. Οι παραβολες y = αx και y = - αx ειναι συμμετρικες ως προς αξονα συμμετριας, τον αξονα x x.

137 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. 1 Μεθοδος : Γραφικη παρασταση της συναρτησης. Προκειμενου να σχεδιασουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης y = αx : παιρνουμε πινακα τιμων, θετοντας στον x τιμες συμμετρικες ως προς το 0. το α προσδιοριζει αν η γραφικη παρασταση ειναι πανω η κατω απ τον αξονα x x αν α > 0, τοτε η γραφικη παρασταση ειναι πανω απ τον αξονα x x και εχει ελαχιστο. αν α < 0, τοτε η γραφικη παρασταση ειναι κατω απ τον αξονα x x και εχει μεγιστο. ο αξονας y y ειναι αξονας συμμετριας της γραφικης παραστασης. οσο μεγαλωνει η απολυτη τιμη του α (και ο x παραμενει σταθερος) μεγαλωνει ο αντιστοιχος y, ετσι ωστε το σημειο της γραφικης παραστασης (x, y) να πλησιαζει τον αξονα y y, δηλαδη η παραβολη «κλεινει». Αναλογα, οσο μικραινει η απολυτη τιμη του α, η παραβολη απομακρυνεται απ τον αξονα y y, δηλαδη η παραβολη «ανοιγει». στη περιπτωση που ο x παιρνει τιμες απο ενα συγκεριμενο διαστημα, τοτε η ζητουμενη γρα- φικη παρασταση ειναι το τμημα της παραβολης που βρισκεται μεταξυ των καθετων απ τα α- κρα του διαστηματος. Να σχεδιασετε τις παραβολες : y = - x αν - x 1 y = 1 x αν - 4 x 4 Για την y = - x x y Για την y = 1 x x y 8 4,5 0,5 0,5 4,5 8 Στο διπλανο σχημα φαινονται οι παραβολες στα δοσμενα διστηματα που αντλει τιμες ο x. y = 1 x y = - x 8 y x -1-4

138 138 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α 0 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. 1 Μεθοδος : Ευρεση παραμετρου λ. Προκειμενου να προσδιορισουμε παραμετρο λ (που περιεχεται στο α της y = αx ) : αν η παραβολη βρισκεται πανω απ τον αξονα x x, χρησιμοποιουμε τη σχεση : α > 0. αν η παραβολη βρισκεται κατω απ τον αξονα x x, χρησιμοποιουμε τη σχεση : α < 0. αν η παραβολη εχει ελαχιστο, χρησιμοποιουμε τη σχεση : α > 0. αν η παραβολη εχει μεγιστο, χρησιμοποιουμε τη σχεση : α < 0. αν οι παραβολες y = αx και y = βx ειναι συμμετρικες ως προς τον αξονα x x, χρησιμο- ποιουμε τη σχεση : α = - β. αν οι παραβολες y = αx και y = βx συμπιπτουν, χρησιμοποιουμε τη σχεση : α = β. αν η παραβολη y = αx πλησιαζει περισσοτερο τον αξονα y y απ τη παραβολη y = βx χρησιμοποιουμε τη σχεση : α > β (αν πλησιαζει λιγοτερο τοτε α < β). αν η παραβολη y = αx διερχεται απο σημειο Α(μ, ν), τοτε μ, ν επαληθευουν την εξισωση της παραβολης, ν = αμ. Να προσδιορισετε τον πραγματικο αριθμο λ σε καθεμια απ τις παρακατω περιπτωσεις : η παραβολη y = (λ - 3)x βρισκεται πανω απ τον αξονα x x. η παραβολη y = (λ - 6)x βρισκεται κατω απ τον αξονα x x. η παραβολη y = Για να ειναι η παραβολη πανω απ τον αξονα x x πρεπει : λ 3 > 0 η λ > 3 λ+ - λ 3 x εχει ελαχιστο. η παραβολη y = - λ 3 x εχει μεγιστο. οι παραβολες y = λ- λ x και y = - 1-λ x συμπιπτουν. η παραβολη y = (λ - 3)x διερχεται απ το σημειο Α(1, ). η παραβολη y = λ x πλησιαζει τον αξονα y y περισσοτερο απ την παραβολη y = (λ - ) x με λ 0 και λ. Για να ειναι η παραβολη κατω απ τον αξονα x x πρεπει : λ 6 < 0 η λ < 6 η λ < 3 Για να εχει η παραβολη ελαχιστο πρεπει : λ + λ+ λ -λ > 0 η 3-3 > 0 η λ+-3λ > 0 η λ < η λ <

139 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. 1 Για να εχει η παραβολη μεγιστο πρεπει : -λ <0 η -λ <0 η λ > 3 Για να συμπιπτουν οι δυο παραβολες πρεπει : λ- λ 1-λ λ- λ 1-λ + = - η = - 30 η 10(λ-)+6λ =- 15(1-λ) η λ-0+6λ = λ η 10λ +6λ-15λ = Για να διερχεται απ το σημειο Α(1, ) η παραβολη : y = (λ - 3)x η = (λ - 3)1 η = λ - 3 η λ = 5 η λ =5 Για να πλησιαζει περισσοτερο τον αξονα y y η παραβολη y = λ x απ την παραβολη y = (λ ) x πρεπει: λ > (λ - ) η λ > λ 4λ + 4 η λ - λ + 4λ - 4 > 0 η 4λ - 4 > 0 η 4λ > 4 > 0 η λ > 1 Για να βρουμε τα κοινα σημεια της παραβολης και της ευθειας, λυνουμε το συστημα των εξισωσεων τους. Ετσι y =x Μεθοδος : Κοινα σημεια παραβολης και ευθειας. Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια της παραβολης y = αx και της ευθειας y = κx + λ : λυνουμε το συστημα των εξισωσεων τους, δηλαδη ισχυει : αx = κx + λ (Ι) αν η (Ι) εχει ανισες ριζες (Δ > 0), τοτε εχουμε κοινα σημεια. αν η (Ι) εχει ισες ριζες (Δ = 0), τοτε εχουμε 1 κοινο σημειο. αν η (Ι) δεν εχει πραγματικες ριζες (Δ < 0), τοτε δεν εχουμε κοινα σημεια. Να βρειτε τα κοινα σημεια της παραβολης y = x και της ευθειας y = 5x 6. x = y =x y =x y =4 η η x = η x =3 y =9 y =5x-6 x =5x-6 (*) x =3 Κοινα σημεια :(, 4) και (3, 9) (*) αφου

140 140 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α 0 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. 1 a =1 Δ =β -4αγ =(- 5) =5-4 =1> x = =3 x -5x+6=0: β =- 5 τοτε - β± Δ -(- 5)± 1 5±1 1 = = = 1, γ =6 x α x = =

141 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x μ ε α Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να σχεδιασετε τις παραβολες : y = - x αν - x y = - 1 x αν - 4 x 4 y = 3x αν - x 1 y = x αν - 3 x 3. Να προσδιορισετε τον πραγματικο αριθμο λ σε καθεμια απ τις παρακατω περιπτωσεις : η παραβολη y = (λ + 1)x βρισκεται πανω απ τον αξονα x x. η παραβολη y = (λ - )x βρισκεται κατω απ τον αξονα x x. η παραβολη y = η παραβολη y = 3. 3λ-1 - λ 3- λ + λ Να βρειτε τα κοινα σημεια x εχει ελαχιστο. x εχει μεγιστο. οι παραβολες y = λ x και y = - ( - 3λ) x συμπιπτουν. η παραβολη y = 1-3λ + λ 4 x διερχεται απ το σημειο Α(, 3). η παραβολη y = (λ - 1) x πλησιαζει τον αξονα y y λιγοτερο απ την παραβολη y = λ x της παραβολης y = x και της ευθειας y = x + 6. της παραβολης y = x και της ευθειας y = x +. της παραβολης y = x και της ευθειας y = x + 3.

142 14 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α 0 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 4. Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α 0 λεγεται τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η. Σ υ μ μ ε τ ρ ι ε ς : Η παραβολη εχει α ξ ο ν α σ υ μ μ ε τ ρ ι α ς την ευθειa x = Σ η μ ε ι α Τ ο μ η ς μ ε Α ξ ο ν ε ς : y y : H παραβολη διερχεται απο τo σημειο (0, γ) x x : H παραβολη διερχεται απ τα σημεια Α κ ρ ο τ α τ α : β Δ αν α > 0 εχει ε λ α χ ι σ τ ο για x = -, το y = - α 4α β Δ αν α <0 εχει μ ε γ ι σ τ ο για x = -, το y = - α 4α Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η : Η γραφικη παρασταση εχει εξισωση καμπυλη που λεγεται π α ρ α β ο λ η. Εχει κ ο ρ υ φ η το σημειο ( β Δ -,- ). α 4α α > 0 α < 0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 - β- Δ - β+ Δ (,0),(,0) α α β - α y =α x + βx + γ και παριστανει μια.

143 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. Μεθοδος : Γραφικη παρασταση της συναρτησης y = αx + βx + γ με α 0. Προκειμενου να σχεδιασουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης y = αx + βx + γ : βρισκουμε τα χαρακτηριστικα σημεια : τις ριζες της εξισωσης αx + βx + γ = 0 (τα σημεια τομης με τον αξονα x x) β Δ την κορυφη της παραβολης (-,- ) α 4α το σημειο (0, γ) (το σημειο τομης με τον αξονα y y) παιρνουμε πινακα τιμων, θετοντας στον x τιμες συμμετρικες ως προς το β - α. το α προσδιοριζει αν η κορυφη της παραβολης ειναι το υψηλοτερο η χαμηλοτερο σημειο αν α > 0, η κορυφη της παραβολης ειναι το χαμηλοτερο σημειο της και εχει ελαχιστο. αν α < 0, η κορυφη της παραβολης ειναι το υψηλοτερο σημειο της και εχει μεγιστο. στη περιπτωση που ο x παιρνει τιμες απο ενα συγκεριμενο διαστημα, τοτε η ζητουμενη γρα- φικη παρασταση ειναι το τμημα της παραβολης που βρισκεται μεταξυ των καθετων απ τα α- κρα του διαστηματος. Να σχεδιασετε τις παραβολες : y = x -x -3, - x 3 y = x -4x +4, 0 x 3 Για x x 3 = 0 Για x 4x + 4 = 0 x - 3 x 0 3 y 5 0 y 4 1 Για την x x 3 = 0 Δ = (- ) 4 1 (- 3) = = 16 β - Δ 16 - =- =1 - =- =- 4 γ =- 3 α 1 4α 4 1 Κορυφη : (1, - 4), τεμνει τον : x x στα (-1, 0), (3, 0) και y y στο (0, -3) 5 4 y x -3-4 Για την x 4x + 4 = 0 Δ = (- 4) β - 4 Δ = = 0 - =- = - =- =0 γ =4 α 1 4α 4 1 Κορυφη : (, 0), τεμνει τον : x x στα (, 0) και y y στο (0, 4)

144 144 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α 0 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. Μεθοδος : Ευρεση παραμετρου. Προκειμενου να λυσουμε ενα προβλημα με δυο αγνωστους (ζητουμενα) : Αν η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x x, τοτε : Δ = 0. Αν η παραβολη ειναι πανω απ τον αξονα x x, τοτε : Δ < 0 και α > 0. Αν η παραβολη ειναι κατω απ τον αξονα x x, τοτε : Δ < 0 και α < 0. Αν η παραβολη διερχεται απ το σημειο (κ, λ), τοτε : κ, λ επαληθευουν το τυπο της συναρτη- σης. (aντικαθιστουμε το x με κ και y με λ στο τυπο της συναρτησης) Αν η παραβολη τεμνει τον αξονα x x στο σημειο (κ, 0), τοτε : κ ριζα της y = 0. (aντικαθιστουμε το x με κ και y με 0 στο τυπο της συναρτησης) Αν η παραβολη τεμνει τον αξονα y y στο σημειο (0, λ), τοτε : λ = γ. Αν η παραβολη εχει μεγιστο (ελαχιστο) στη θεση x = κ, τοτε Αν η παραβολη εχει μεγιστο (ελαχιστο) το μ, τοτε Δινεται η παραβολη y = x - (κ + 1)x + κ. Να βρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις : η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x. η παραβολη δεν τεμνει τον αξονα x'x. η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (,0). η παραβολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,). η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x =. η παραβολη εχει ελαχιστο το - 4. η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 3. Δ - 4α = μ. Αν η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = κ, τοτε Αν η παραβολη εχει κορυφη το σημειο (κ, λ), τοτε β - α = κ και β - α = κ. β - α = κ. Δ - 4α = λ. Ειναι Δ =[- (κ+1)] -4 1 κ =κ +κ+1-4κ =κ -κ+1= β -(κ+1) κ+1 - = - = α Δ (κ-1) - = - 4α 4 γ = κ (κ-1)

145 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x, αν: Δ =0 η (κ-1) =0 η κ-1=0 η κ = 1 η παραβολη δεν τεμνει τον αξονα x'x, αν : Δ < 0 η (κ-1) <0, αδυνατο. Αρα, δεν υπαρχει τιμη του κ, ωστε η παραβολη να μην τεμνει τον x'x. η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (,0), αν ειναι ριζα της. Δηλαδη: -(κ+1) +κ =0 η 4-κ -+κ =0 η κ = η παραβολη τεμνει τον αξονα y'yστο σημειο (0,), αν y = και x =0. Δηλαδη κ = β η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x =, αν- =. α κ+1 Δηλαδη: = η κ+1=4 η κ = 3 Δ η παραβολη εχει ελαχιστο το - 4, αν - =- 4. 4α (κ-1) Δηλαδη:- =- 4 η (κ-1) -16=0 η (κ-1+4)(κ-1-4) =0 η (κ+3)(κ-5) =0 η 4 κ = - 3 κ = 5 β η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x =3, αν - =3. α κ+1 Δηλαδη: =3 η κ+1=6 η κ = 5 Δινεται η παραβολη y = x - (κ + λ)x + 5κ + λ. Να βρειτε τα κ και λ ωστε η παραβολη να εχει ριζα τον αριθμο και να παρουσιαζει ελαχιστο στο x = 4. Αφου ο αριθμος ειναι ριζα της συναρτησης, τοτε -(κ+λ)+5κ+λ =0 η 4-4κ-8λ +5κ+λ =0 η κ-6λ =- 4 (1) Αφου η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x =4, τοτε β - ( x =4 η - =4 η - α κ+λ) =4 η κ+λ =4 ()

146 146 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α 0 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. Απο (1) και (), εχουμε: κ-6λ =- 4 κ = 6λ-4 κ =6λ-4 κ =6 1-4 κ = η η η η κ+λ =4 6λ-4+λ =4 8λ =8 λ =1 λ= 1 Μεθοδος : Ευρεση παραμετρων κ, λ. Προκειμενου να βρουμε τους πραγματικους αριθμους κ και λ αν η παραβολη : διερχεται απο δυο γνωστα σημεια Α, Β. Αφου η παραβολη y =x +κx+λ διερχεται απ'τα σημεια Α(1, ), Β(, 4), τοτε οι συντεταγμενες τους επαληθευουν την εξισωση της παραβολης. Ετσι Οι συντεταγμενες των σημειων Α και Β επαληθευουν την εξισωση της παραβολης, οποτε λυνουμε το συστημα που προκυπτει. και ευθεια ε εχουν γνωστο κοινο σημειο Γ. Το Γ ανηκει και στη παραβολη και στην ευθεια οποτε οι συντεταγμενες του επαληθευουν τις εξισωσεις της παραβολης και της ευθειας. Λυνουμε το συστημα που προκυπτει. Βρειτε τους πραγματικους αριθμους κ και λ, αν η παραβολη y = x + κx + λ διερχεται απ τα σημεια Α(1, ) και Β(, 4). εχει με την ευθεια y = κx + λ κοινο το σημειο Γ(1, 4). =1 +κ 1+λ 4 = +κ +λ κ = - 1 λ= η (+) κ+λ =1 - κ-λ =- 1 κ = - 1 η η η κ+λ =0 κ+λ =0 ( -1)+λ =0 Αφου η παραβολη y =x +κx+λ και η ευθεια y =κx+λ εχουν κοινο το σημειο Γ(1, 4), οι συντεταγμενες του επαληθευουν τις εξισωσεις της παραβολης και της ευθειας. Ετσι (+) 4 =1 +κ 1+λ κ+λ =3 - κ-λ =- 3 κ = 1 η η η η 4 =κ 1+ λ κ+λ =4 κ+λ =4 1+λ =4 κ = 1 λ=

147 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. Μεθοδος : Ευρεση παραμετρου λ απ τη κορυφη παραβολης. Προκειμενου να βρουμε τον πραγματικο αριθμο λ και η κορυφη της παραβολης βρισκεται : β στον αξονα x x στο σημειο (μ, 0) τοτε : - = μ και Δ = 0. α στον αξονα y y στο σημειο (0, ν) τοτε : β = 0 και σε ευθεια ε τοτε : τα Δινεται η παραβολη y = x -(λ-1)x + λ. Να βρειτε το λ ωστε η κορυφη της παραβολης να βρισκεται στον αξονα x'x να βρισκεται στον αξονα y'y να βρισκεται στην ευθεια x +y -7 = 0 Ειναι y =x -(λ-1)x+λ Δ =[- (λ-1)] -4λ =4λ -8λ+4-4λ =- 8λ+4 και β - (λ-1) Δ - 8λ +4 4(λ-1) - =- =λ-1, - =- = =λ-1 α 1 4α Αφου η κορυφη της παραβολης βρισκεται στον αξονα x'x,τοτε Δ 1 β =0 η λ-1=0 η λ = - =λ-1= -1=- 4α α 1 Δηλαδη η κορυφη βρισκεται στο σημειο -, 0 Αφου η κορυφη της παραβολης βρισκεται στον αξονα y'y,τοτε β - =0 η λ-1=0 η α β - α και Δηλαδη η κορυφη βρισκεται στο σημειο (0, 1) Δ - 4α = ν. Δ - 4α επαληθευουν την εξισωση της ευθειας ε. Δ λ =1 - =λ-1= 1-1=1 4α Αφου η κορυφη της παραβολης βρισκεται στην ευθεια x+y-7 =0,τοτε λ-1+(λ-1)-7 =0 η λ-1+4λ--7 =0 η 5λ =10 η λ =5

148 148 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α 0 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 4. Μεθοδος : Ευρεση της παραβολης y = αx + βx + γ απ τη γραφικη της παρασταση. α) β Δ γ =4 - = η β = - 4α - =0 η Δ = 0 α 4α β 0 Δ =0 η β -4α γ =0 η β +βγ =0 η β+4β =0 η β(β+4) =0 η β+4 β = -4α η -4 = -4α η 4α =4 η α =1 β) γ =0 β - = η β = - 4α Δ = β -4αγ =β =16α α Δ 16α - =- 4 η = 4 η 4α =4 η α =1 4α 4α β = - 4α η β =- 4 γ) γ =0 β β x =- η - = - η β = 4α α α Προκειμενου να βρουμε το τυπο της παραβολης απ τη γραφικη παρασταση, αρκει να προσδιορισουμε τους πραγματικους αριθμους α, β και γ : το σημειο τομης της παραβολης με τον αξονα y y προσδιοριζει το γ, αφου ειναι της μορφης (- 1, -3) ανηκει στη παραβολη :-3=α(- 1) + (- 1)+0 η -3α =- 3 η α =1 β = (0, γ). τα σημεια α και β τα προσδιοριζουμε : απ τα : β - α, 4α η β = 4 Δ - 4α και Δ = β - 4αγ απ τις συντεταγμενες γνωστων σημειων της παραβολης. Βρειτε τον τυπο των παραβολων a) β) γ) 4-4 4α x = y = x 4x + 4 =0 η β =- 4 y = x 4x y = x + 4x

149 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β x + γ μ ε α Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Nα γινει η γραφικη παρασταση των συναρτησεων: f(x) =3x -5 f(x) =3(x-) f(x) =3x -1x Δινεται η συναρτηση y =x -(κ+1)x+λ. Να βρειτε τα κ και λ ωστε η παραβολη να εχει ριζα τον αριθμο 1 και να παρουσιαζει ελαχιστο στο x =- 1. Δινεται η συναρτηση y =3x -( λ +1)x-. Να βρειτε το λ ωστε η παραβολη να διερχεται απ'το σημειο Α(1, - 5). Δινεται η συναρτηση y =x -(μ+1)x+μ. Αν η γραφικη της παρασταση διερχεται απ'το σημειο (1,3), τοτε: να προσδιορισετε τον αριθμο μ. για την τιμη του μ που βρηκατε, να βρειτε τα ακροτατα της παραβολης. 4. Δινεται η παραβολη y =f(x) =x +(κ+)x+κ. Να βρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις: η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x. η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x σε δυο σημεια. η παραβολη εχει κορυφη το σημειο με τετμημενη f(3). η παραβολη εχει ακροτατο το 0. η παραβολη εχει ελαχιστο το 4. η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x =. 5. Δινεται η παραβολη y =x -λx+λ+1. Να βρειτε το λ ωστε η κορυφη της παραβολης να βρισκεται στον αξονα x'x στον αξονα y'y στην ευθεια x+y-4 =0.

150 150 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 4 ο Κ ε φ α λ α ι ο 1. Δυο θετικοι αριθμοι εχουν αθροισμα 10. Να βρειτε τους αριθμους αν το γινομενο τους γινεται μεγιστο. το αθροισμα των τετραγωνων τους γινεται ελαχιστο. Αν x ο ενας αριθμος, τοτε 10-x ειναι ο αλλος. Αν y το γινομενο τους y =x(10-x) = -x +10x (Ι) β Aφου α =- 1 <0 η παραβολη (Ι) εχει μεγιστο για x =-. a β 10 x =- =- = 5 a (- 1) Aρα οι ζητουμενοι αριθμοι ειναι οι : 5 και 10-5= 5 Αν x ο ενας αριθμος, τοτε 10-x ειναι ο αλλος. Αν y το αθροισμα των τετραγωνων τους y =x +(10-x) = x x+ x =x -0x+100 (ΙΙ) β Aφου α => 0 η παραβολη (ΙΙ) εχει ελαχιστο για x =-. a β - 0 x =- =- = 5 a Aρα οι ζητουμενοι αριθμοι ειναι οι : 5 και 10-5= 5. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο λ, ωστε το ελαχιστο της συναρτησης y = x -λx - λ+3 να ειναι μεγιστο. H παραβολη εχει ελαχιστο αφου α = 1 > 0 Δ = β 4αγ = (- λ) 4 (- λ + 3) = 4λ + 8λ 4 Η ελαχιστη τιμη της παραβολης ειναι : y = Δ - 4a = H (1) γινεται μεγιστη αν λ = β - a = 4λ +8λ-4-4(- λ -λ +8) - = - = - λ -λ+8 4a = - 1 (- 1) (1)

151 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 151 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 4 ο Κ ε φ α λ α ι ο 3. Δινονται οι παραβολες : (c1 ) : y = - x + λx + 1 και (c ) : y = x - 3x + 5. Για ποιο λ, οι δυο παραβολες εχουν κοινη κορυφη ; Για να εχουν οι δυο παραβολες κοινη κορυφη πρεπει : β β 1 λ =- - =- α α 1 (- 1) 1 και η και Δ Δ =- (- 3) α 4α λ -4 (- 1) =- 4 (- 1) 4 1 λ =3 λ =3 και η και οποτε λ= 3 λ =9 λ =3 η λ = Δινεται η παραβολη y = x - (κ - )x - κ. Να βρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις : η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x. η παραβολη δεν τεμνει τον αξονα x'x. η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (1,0). η παραβολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,4). η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x = 1. η παραβολη εχει ελαχιστο το - 1. η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 1. λ =3 λ =3 η και η και η λ λ +4 =13 =- 4 4 Ειναι Δ =[- (κ-)] -4 1 (- κ) =κ -4κ+4+8κ =κ +4κ+4 = (κ+ ) β -(κ-) κ- Δ (κ+) - = - = - = - γ = - κ α 4α 4 η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x,αν: Δ =0 η (κ+) =0 η κ+=0 η κ = -

152 15 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 4 ο Κ ε φ α λ α ι ο η παραβολη δεν τεμνει τον αξονα x'x, αν : Δ <0 η (κ+) < 0, αδυνατο. Αρα, δεν υπαρχει τιμη του κ, ωστε η παραβολη να μην τεμνει τον x'x. η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (1, 0), αν 1 ειναι ριζα της. Δηλαδη: 1 -(κ-) 1-κ =0 η 1-κ +-κ =0 η 3κ =3 η κ = 1 η παραβολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,4), αν y = 4 και x =0. Δηλαδη, 4 = -κ η κ = - β η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x =1, αν - =1. α -(κ-) Δηλαδη: - =1 η κ- = η κ = 4 Δ η παραβολη εχει ελαχιστο το - 1, αν - =- 1. 4α (κ+) Δηλαδη:- =- 1 η (κ+) -4 =0 η (κ++)(κ+-) =0 η (κ+4)κ =0 η 4 κ = - 4 κ = 0 β η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x =1, αν - =1. α -(κ-) Δηλαδη:- =1 η κ- = η κ = 4 5. Δινεται ορθογωνιο πλατους x cm και περιμετρου 00 cm. Να εκφρασετε το μηκος και το εμβαδον του ορθογωνιου ως προς x. Στη συνεχεια να βρειτε την τιμη του x, για την οποια το εμβαδον γινεται μεγιστο. Εστω y το μηκος του ορθογωνιου. Ετσι, η περιμετρος δινει Π = 00 η x + y = 00 η (x + y) = 00 η x + y = 100 οποτε y = 100 x Το εμβαδον ειναι : Ε = x y = x (100 x) = 100x x = x + 100x a = - 1 < 0 που σημαινει οτι το εμβαδον εχει μεγιστη τιμη, την β 100 x = - = - = 50 cm α (- 1)

153 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 5. Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 5. 1 Συνολα 5. Δειγματικος Χωρος - Ενδεχομενα 5. 3 Η Εννοια της Πιθανοτητας

154 154 Σ υ ν ο λ α Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 5. 1 Σ υ ν ο λ ο Ονομαζουμε μια συλλογη απο αντικειμενα που διακρινονται μεταξυ τους με απολυτη σαφηνεια. Σ τ ο ι χ ε ι ο του συνολου ειναι καθε αντικειμενο που περιεχεται σ ενα συνολο. Το συνολο συμβολιζεται με ενα κεφαλαιο γραμμα της αλφαβητου, π.χ. Α, Β, Γ,.... Για στοιχειο α και ενα συνολο Α, ο συμβολισμος : α Α σημαινει : το στοιχειο α ανηκει στο συνολο Α α Α σημαινει : το στοιχειο α δ ε ν ανηκει στο συνολο Α Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν ο λ ο υ Με α ν α γ ρ α φ η των στοιχειων του. Γραφουμε τα στοιχεια του συνολου μεσα σε αγκιστρα, με τυχαια σειρα και μια φορα το κα- θενα. π. χ. το συνολο των γραμματων της λεξης «καλαμαρι» : Α = { κ, α, λ, μ, ρ, ι} Με π ε ρ ι γ ρ α φ η των στοιχειων του. Γραφουμε την ιδιοτητα που εχουν τα στοιχεια του συνολου μεσα σε αγκιστρα. π. χ. το συνολο των αρτιων φυσικων αριθμων Α = {αρτιοι φυσικοι αριθμοι} η Α = {x N, οπου x αρτιος αριθμος} Με δ ι α γ ρ α μ μ α V e n n. Ενα συνολο μπορουμε να το παραστησουμε εποπτικα και με το εσωτερικο μιας κλειστης γραμμης. Α π. χ. το συνολο των φωνηεντων της Ελληνικης Ι σ α Σ υ ν ο λ α αλφαβητου φαινεται στο διπλανο διαγραμμα, που ονομαζεται διαγραμμα Venn. Ειναι αυτα που εχουν τα ιδια ακριβως στοιχεια. π.χ. Α = {συμφωνα λεξης πατερας), Β = {συμφωνα λεξης περιπτερας} : Α = Β = {π, τ, ρ, ς} Υ π ο σ υ ν ο λ ο Σ υ ν ο λ ο υ α ε υ ι η ο ω Ενα συνολο Α λεγεται υ π ο σ υ ν ο λ ο του συνολου Β, αν καθε στοιχειο του συνολου Α ειναι και στοιχειο του συνολου Β. Συμβολιζουμε : Α Β. Σ υ ν ε π ε ι ε ς Για καθε συνολο Α : Α Α Αν Α Β και Β Γ τοτε Α Γ Αν Α Β και Β Α τοτε Α = Β

155 Σ υ ν ο λ α 155 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 5. 1 Κ ε ν ο Σ υ ν ο λ ο Ονομαζουμε το συνολο που δεν περιεχει κανενα στοιχειο. Συμβολιζεται : η { } Ειναι υποσυνολο καθε συνολου, δηλαδη Α. Β α σ ι κ ο Σ υ ν ο λ ο Ειναι το ευρυτερο συνολο που εχει για υποσυνολα ολα τα συνολα που συνηθως ασχολουμαστε. Το παριστανουμε με ενα ορθογωνιο και συμβολιζεται : Ω. Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Σ υ ν ο λ α Ε ν ω σ η των συνολων Α και Β ειναι το συνολο που εχει σαν στοιχεια τα κοινα και μη κοινα στοιχεια των δυο συν- Α Β ολων. Συμβολιζεται : Α Β Ω Τ ο μ η των συνολων Α και Β ειναι το συνολο που εχει σαν στοιχεια μονο τα κοινα στοιχεια των δυο συνολων. Α Β Συμβολιζεται : Α Β Ω Σ υ μ π λ η ρ ω μ α ενος συνολου Α, ως προς ενα βασικο συνολο Ω, που εχει σαν στοιχεια ολα τα στοιχεια του συνολου Ω που δεν ανηκουν στο συνολο Α. Συμβολιζεται : Α Α Α Ω

156 156 Σ υ ν ο λ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. 1 Μεθοδος : Παρασταση συνολων με αναγραφη. Προκειμενου να παραστησουμε ενα συνολο με αναγραφη : απο συνολο που παριστανεται με περιγραφη : Απο την ιδιοτητα των στοιχειων του δοσμενου συνολου, βρισκουμε ολα τα στοιχεια του και τα βαζουμε σε αγγιστρα, μια φορα το καθενα. Να παρασταθουν με αναγραφη των στοιχειων τους τα συνολα : Α = { λ N, οπου λ πολλαπλασιο του 5 και μικροτερο του 40} Α = { λ N, οπου λ περιττος και 5 < λ 15} Τα πολλαπλασια του 5 : 0, 5, 10, 15,... Τα πολλαπλασια του 5 μικροτερα του 40 : 0, 5, 10, 15, 0, 5, 30, 35 Ετσι Α = {0, 5, 10, 15, 0, 5, 30, 35} Περιττοι φυσικοι : 1, 3, 5, 7,... Περιττοι φυσικοι μεγαλυτεροι του 5 και μικροτεροι η ισοι του 15 : 7, 9, 11, 13, 15 Ετσι Β = {7, 9, 11, 13, 15} Μεθοδος : Ευρεση συνολου απο δυο ιδιοτητες των στοιχειων. Προκειμενου να παραστησουμε ενα συνολο απο δυο ιδιοτητες των στοιχειων: βρισκουμε τα στοιχεια πο ικανοποιου καθεμια απ τις ιδιοτητες. επιλεγουμε τα κοινα απ τα παραπανω στοιχεια. Να γραψετε το παρακατω συνολο με περιγραφη μιας ιδιοτητας : Α = { x R, οπου x + - x 1 και x - x + 1 < 0 } Ειναι x+ x x+ x - 1 η η 3(x+)-4x 1 η 3x+6-4x 1 η - x 6 η x - 6

157 Σ υ ν ο λ α 157 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. 1 x x+1 x x+1 - <0 η < 0 η 3x-(x+1) < 0 η 3x-x-1 < 0 η x <1 η x < Ετσι 1-6 x < Αρα το ζητουμενο συνολο 1 Α = {x R, oπου - 6 x < } Μεθοδος : Πραξεις με συνολα. Μερικα σχολια που βοηθουν στις πραξεις με συνολα : α (Α Β), ειναι στοιχειο : του Α η του Β η του Α και Β (κοινο) α (Α Β), ειναι στοιχειο : Α και Β (κοινο) α Α τοτε το α δεν ανηκει στο Α (Α Β) Α και (Α Β) Β Α (Α Β) και Β (Α Β) (Α Β) = (Β Α) και (Α Β) = (Β Α) Δινεται το βασικο συνολο Ω = { 1,, 3,..., 10} και τα συνολα Α = { 1, 3, 5, 7, 9}, Β = {1,, 3} Να βρειτε : Α, Β, Α Β, Α Β, (Β Α), (Α Β), (Α Β) (Β Α). Α = {, 4, 6, 8, 10 } Β = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } Α Β = { 1,, 3, 5, 7, 9 } Α Β = { 1, 3 } (Β Α) = { 4, 6, 8, 10 } (Α Β) = {, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } (Α Β) (Β Α) = { 1, 3, 4, 6, 8, 10 }

158 158 Σ υ ν ο λ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. 1 Εστω τα συνολα Α = { x Z, οπου 3 < x 3 } και Β = { x Z, οπου x = 9 } Να βρειτε με αναγραφη των στοιχειων τους τα συνολα : Α, Β, Α Β, Α Β. Α = { -, - 1, 0, 1,, 3 } x = 9 οποτε x = - 3 η x = 3 Ετσι Β = { - 3, 3 } Α Β = { - 3, -, - 1, 0, 1,, 3 } Α Β = { 3 }

159 Σ υ ν ο λ α 159 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Να παρασταθουν με αναγραφη των στοιχειων τους τα συνολα : Α = { λ N, οπου λ διαιρετης του 40 μεγαλυτερος του 4} Β = { λ N, οπου λ αρτιος και 5 λ < 15} Να βρειτε τα συνολα : Α Β Α Β. Δινεται το βασικο συνολο Ω = { 1,, 3,..., 1} και τα συνολα Α = {, 4, 6, 8, 10}, Β = {1,, 3, 5} Να βρειτε τα συνολα : Α, Β, Α Β, Α Β, (Β Α), (Α Β), (Α Β) (Β Α). 3. Εστω τα συνολα Α = { x Z, οπου 1 < x 3 } και Β = { x Z, οπου x - 3x + = 0 } Να βρειτε με αναγραφη των στοιχειων τους τα συνολα : Α, Β, Α Β, Α Β

160 160 Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 5. Π ε ι ρ α μ α Τ υ χ η ς λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα, οσες φορες και να επαναληφθει κατω απο τις ιδιες συνθηκες. Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ω : ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη αν ω1, ω,, ων τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγματικος χωρος ειναι: Ω = { ω1, ω,, ων }. Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Α ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα η περισσοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος. Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω : Α Ω Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α). Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι η σ η Ε ν ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι στοιχειο του ενδεχομενου. Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ε υ ν ο ϊ κ ε ς π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς για την πραγματοποιηση του. Δ ι α κ ρ ι σ η τ ω ν Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν Α π λ ο ( η σ τ ο ι χ ε ι ω δ ε ς ) ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που εχει μονο ε ν α στοιχειο. Σ υ ν θ ε τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που εχει δ υ ο η π ε ρ ι σ σ ο τ ε ρ α στοιχεια. Β ε β α ι ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που πραγματοποιειται π α ν τ α (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πειραματος) και τ α υ τ ι ζ ε τ α ι με τον δειγματικο χωρο Ω. Α δ υ ν α τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται π ο τ ε και ταυτιζεται με το κενο συνολο. Α σ υ μ β ι β α σ τ α ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Α κ α ι Β : ειναι αυτα που δεν εχουν κοινα στοιχεια, δηλαδη Α Β =.

161 Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α 161 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 5. Σ υ μ π λ η ρ ω μ α Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Οχι Α η αντιθετο του Α η συμπληρωμα του Α Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α. Ε ν ω σ η Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Β Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Α ενωση Β η Α η Β Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απο τα ενδεχομενα Α η Β. Τ ο μ η Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Β Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Α τομη Β η Α και Β Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β. Α σ υ μ β ι β α σ τ α Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται α σ υ μ β ι β α σ τ α η ξ ε ν α μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν ισχυει: Α Α Α Α Α Ω Β Ω Β Ω Β Α Β = Δηλαδη αυτα που δ ε ν μπορουν να πραγματοποιηθουν σ υ γ χ ρ ο ν ω ς. Ω

162 16 Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. Μεθοδος : Ευρεση δειγματικου χωρου. Προκειμενου να βρουμε δειγματικο χωρο χρησιμοποιουμε : καταγραφη των στοιχειων του. δενδροδιαγραμμα (Η 1η επιλογη τυχαια διαδοχικα). πινακα διπλης εισοδου (1η επιλογη :Επιλεγουμε και απ τα δυο). Εχουμε δυο κουτια α και β.το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα. Επιλεγουμε ενα κουτι στη τυχη και στη συνεχεια μια μπαλα απ'αυτο. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. Α ρ χ η 1 η η δ.χωρος α β Κ Α Μ Α Μ ακ αα αμ βα βμ Να βρεθει ο δειγματικος χωρος στα παρακατω πειραματα τυχης Ριχνουμε ενα νομισμα και βλεπουμε την πανω οψη του. Ριχνουμε ενα ζαρι και βλεπουμε την πανω οψη του. Ω H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα: Ο δειγματικος χωρος ειναι: Ω = {ακ, αα, αμ, βα, βμ} Ειναι Ω = { Κ, Γ } οπου Κ = κεφαλι και Γ = γραμματα Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 }

163 Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α 163 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. Ο δειγματικος χωρος του πειραματος ειναι: Ω = {1,,3,4,5,6}. Εχουμε δυο κουτια α και β.το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια πρασινη (Π) και μια γκρι (Γ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα. Επιλεγουμε μια μπαλα απ'το κουτι α και μια μπαλα απ'το κουτι β. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : α β Α:" ενδειξη αρτια " Β : " ενδειξη μεγαλυτερη του 3 " Α Β, Α Β, Α', Α Β' Α= {,4,6} Κ ΚΑ ΚΒ Π ΠΑ ΠΒ Γ Α ΓΑ Μ ΓΜ Μεθοδος : Ευρεση ενδεχομενων. Προκειμενου να βρουμε ενδεχομενα : Γραφουμε τον δειγματικο χωρο του πειραματος. H κατασταση του πειραματος φαινεται στο πινακα διπλης εισοδου: Ο δειγματικος χωρος ειναι: Ω = { ΚΑ, ΚΒ, ΠΑ, ΠΒ, ΓΑ, ΓΒ } Επιλεγουμε τα στοιχεια του δειγματικο χωρου που ικανοποιουν τις δοσμενες ιδιοτητες. Χρησιμοποιουμε τη γλωσσα των συμβολων (βασικες γνωσεις). Β = {4,5,6} Α Β = {4,6} Α Β = {,4,5,6} (ενδειξη αρτια και μεγαλυτερη του 3) (ενδειξη αρτια η μεγαλυτερη του 3) Α' = {1,3,5} (ενδειξη οχι αρτια, δηλαδη περιττη) Α Β' = {} (ενδειξη αρτια και οχι μεγαλυτερη του 3)

164 164 Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. Μεθοδος : Ευρεση δειγματικου χωρου (χωρις επανατοποθετηση). Προκειμενου να βρουμε δειγματικο χωρο χωρις επανατοποθετηση (μια-μια επιλογη) : χρησιμοποιουμε δεντροδιαγραμμα. Καθε επιλογη, δεν υπολογιζεται στην επομενη φαση, σταματα. Μια καλπη περιεχεις 4 μπαλες με χρωμα, Α = ασπρο, Κ = κοκκινο, Μ = μπλε και Π = πρασινο. Επιλεγουμε δυο μπαλες απ την καλπη. Να βρειτε τον δειγματικο χωρο αν η επιλογη εγινε ταυτοχρονα. εγινε μια-μια μπαλα χωρις επανατοποθετηση. Τ α υ τ ο χ ρ ο ν α Στη περιπτωση αυτη δεν υπαρχει προτεραιοτητα, οποτε επιλογες οπως ΑΚ, ΚΑ ειναι ιδια. Ετσι Ω = { ΑΚ, ΑΜ, ΑΠ, ΚΑ, ΚΜ, ΚΠ } Χ ω ρ ι ς ε π α ν α τ ο π ο θ ε τ η ση Α ρ χ η Α Κ Μ Κ Μ Π Α Μ Π Α Κ Π ΑΚ ΑΜ ΑΠ ΚΑ ΚΜ ΚΠ ΜΑ ΜΚ ΜΠ Ω = { ΑΚ, ΑΜ, ΑΠ, ΚΑ, ΚΜ, ΚΠ, ΜΑ, ΜΚ, ΜΠ, ΠΑ, ΠΚ, ΠΜ } Α ΠΑ Π Κ Μ ΠΚ ΠΜ

165 Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α 165 Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Απο μια τραπουλα (5 φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα 3 φυλλα και τα χαρακτηριζουμε ως προς το χρωμα τους σε μαυρα (Μ) και κοκκινα (Κ). Να βρειτε: Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος.. Το ενδεχομενο Α: " το πολυ μαυρα φυλλα ". Το ενδεχομενο Β :" τουλαχιστον μαυρα φυλλα ". Το ενδεχομενο Γ=Α Β. Ριχνουμε το ζαρι δυο φορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα: Α: " πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη ". Β: " το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμος ". Γ:" η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια ". Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ) 3. Ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης : Ω = { 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 13}. Να παραστησετε με διαγραμμα Venn τα ενδεχομενα A = { x Ω, οπου x πολλαπλασιο του και μικροτερο του 13} και Β = { x Ω, οπου x > 3}, και να προσδιορισετε το ενδεχομενο που πραγματοποιειται οταν Πραγματοποιειται ενα τουλαχιστον απο τα Α, Β Πραγματοποιουνται ταυτοχρονα τα Α και Β Δεν πραγματοποιειται το Β 4. Ριχνουμε ενα νομισμα τρεις φορες. Να βρειτε το δειγματικο χωρο του πειραματος. Να βρειτε τα ενδεχομενα : Α : Να φερουμε το πολυ δυο φορες γραμματα. Β : Να φερουμε τουλαχιστον μια φορα γραμματα. Γ : Να φερουμε την ιδια ενδειξη.

166 166 Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 5. 3 Ε ι σ α γ ω γ η Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχομενο Α του δειγματικου χωρου. Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα μετρο προσδοκιας για την πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελθει εξαρι ειναι μια στις εξι. Αυτο το μετρο προσδοκιας πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται π ι θ α ν ο τ η τ α τ ο υ Α και συμβολιζεται Ρ(Α). Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει. Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τα απλα ενδεχομενα ω 1, ω,, ω ν ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω 1, ω,, ω ν } λεγονται ι σ ο π ι θ α ν α, οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελεση του πειραματος. Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω 1, ω,, ω ν ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω 1, ω,, ω ν }. Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α: ειναι το πηλικο Ρ(Α) = Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ρ(ω ) = 1 ν πληθοςευνοικων περιπτωσεων του Α πληθος δυνατων περιπτωσεων N(A) = N(Ω), = 1,,, ν Ρ(Ω) = 1 Ρ( ) = 0 0 Ρ(Α) 1 Κ α ν ο ν ε ς Λ ο γ ι σ μ ο υ Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: P(A U B) = P(A) + P(B) Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε

167 Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς 167 Β α σ ι κ ε ς Γ ν ω σ ε ι ς 5. 3 P(A U B U Γ) = P(A) + P(B) + P(Γ) Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α (ασυμβιβαστα) ισχυει: P(A') = 1- P(A) Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A B) = P(A)+ P(B)-P(A B) Τ υ π ο ι Ε κ φ ρ α σ ε ω ν Γλωσσα Πιθανοτητων Γλωσσα Συνολων Πιθανοτητα Δειγματικος Χωρος Βασικο Συνολο Ω Ρ(Ω) = 1 Ενδεχομενο Α Α Ω 0 Ρ(Α) 1 Βεβαιο Ενδεχομενο Βασικο Συνολο Ω Ρ(Ω) = 1 Αδυνατο Ενδεχομενο Κενο Συνολο Ρ( ) = 0 Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α Πραγματοποιειται το συνολο Α η το συνολο Β Δεν πραγματοποιειται κανενα τα συνολα Α και Β Πραγματοποιουνται ταυτοχρονα τα συνολα Α και Β Δεν πραγματοποιουνται ταυτοχρονα τα συνολα Α και Β Συνολο Α Συμπληρωμα Α Συνολο (Α Β) Συνολο (Α Β) Συνολο (Α Β) Συνολο (Α Β) Ρ(Α ) = 1 - Ρ(Α) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ[(Α Β) ] = 1 - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ[(Α Β) ] = 1 - Ρ(Α Β)

168 168 Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 5. 3 Μεθοδος : Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου απο ορισμο. Προκειμενου να βρουμε πιθανοτητα ενδεχομενων με γνωστο δειγματικο χωρο : Βρισκουμε το πληθος των δυνατων περιπτωσεων Ν(Ω). Βρισκουμε το πληθος των ευνοικων περιπτωσεων Ν(Α), οπου Α το ενδεχομενο του οποιου Εχουμε ενα κουτι που περιεχει κοκκινες, 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες. Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α: " η μπαλα ειναι κοκκινη " Β :" η μπαλα δεν ειναι ασπρη " τη πιθανοτητα ζητουμε. Χρησιμοποιουμε τη σχεση : Ειναι Γ :" η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη " Ν(Ω) = +4+5= 11 Ν(Α) Ρ(Α) = Ν(Ω). Οι κοκκινες μπαλες ειναι, οποτε Ν(Α) =. Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε Ν(Β) = 4+ = 6. Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπλε ειναι 9 (5+4), οποτε Ν(Γ) = 9. Ετσι Ν(Α) Ν(Β) 6 Ν(Γ) 9 Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = = Ν(Ω) 11 Ν(Ω) 11 Ν(Ω) 11 Μεθοδος : Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου απο κανονες λογισμου. Προκειμενου να βρουμε πιθανοτητα ενδεχομενων χρησιμοποιουμε τους τυπους λογισμου πιθανοτητων : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Α, Β ασυμβιβαστα ενδεχομενα) Ρ(Α ) = 1 - Ρ(Α) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β)