2. Linearna teorija štapa

Transcript

1 2. Lnearna erja šapa Šap je snvn elemen lnjsg nsača. Ia je sudenma, vervan, sasvm jasan pjam šapa, pnvćem defnju šapa j je da. Đurć [5]. Nea je daa przvljna lnja (sla 2.1). Nea su u ravnma n nrmaln na lnju psane zavrene rve γ, je grančavaju pvrš F. Težša pvrš F, čje su dmenzje male u dnsu na duž, leže na lnj. Gemerjs mes ačaa svh rvh γ je zavrena pvrš Γ. Tel grančen pvrš Γ pvršma F u ačama nazvam šapm. Lnja je sa šapa, pvrš F je pprečn prese šapa, a pvrš Γ je mač šapa. Prema blu se razlujem prave rve šapve, a prema blu pprečng presea šapv mgu b nsanng prmenljvg pprečng presea. γ 1 2 n Γ a) F b) Sla 2.1 Sla 2.2 Na sl 2.1 prazan je rv šap, na sl 2.2a prazan je prav šap nsanng pprečng presea, a na sl 2.2b prav šap prmenljvg pprečng presea. Terja nsruja 1 se zasnva na lnearnj erj šapa. U lnearnj erj šapa jednačne veze zmeđu sla, pmeranja defrmaje šapa su lnearne. Lnearzvanje snvnh jednačna erje šapa je psgnu uvđenjem sledećh prepsav: 1. Prepsave malm pmeranjma (prepsava sačj lnearns), 2. Prepsave malm defrmajama (prepsava gemerjsj lnearns), 3. Huvg (He) zana (prepsava fzčj lnearns). U narednm delu esa, zvešćem snvne jednačne lnearne erje pravg šapa u ravn, zlženg ravnj defrmaj. Njh čne 3 grupe jednačna: veze zmeđu sla u presema pmeranja, veze zmeđu pmeranja defrmaje veze zmeđu sla u presema defrmaje pravg šapa. 2.1 Spljašnje sle sle u presema šapa Sle je deluju na šap, zv. spljašnje sle, mgu b avne reavne. Avne sle preavljaju perećenje šapa, d reavne sle čne reaje slnaa ulješenja. P svm araeru spljašnje sle mgu b nzervavne nezervavne. Knzervavne sle

2 18 Terja nsruja 1 su ne čj rad ne zavs d puanje napadnh ačaa sla, već sam d pčeng rajnjeg plžaja sla. Tpčna nzervavna sla je gravan perećenje. Za nzervavn perećenje je araersčn da ne menja prava n velčnu pr defrmaj šapa. Nezervavne sle su ne čj rad zavs d puanje napadnh ačaa. One menjaju prava velčnu sa defrmajm šapa. Tpčn nezervavn perećenje je hdrsač prsa, j deluje upravn na pvršnu jedna je przvdu spefčne ežne ečns dubne. Spljašnje sle Spljašnje perećenje ravng šapa lež u ravnma paraleln ravn šapa. On mže pa d pvršnsh zapremnsh sla. Saglasn Sen-Venanvj prepsav 1 (San- Venan), spljašnje perećenje zamenjujem sač evvalennm slama mmenma raspdeljenm duž se šapa (sla 2.3). Nea je R reduna rezulana a redun mmen svh sla je deluju na elemen šapa s. R p m R s P R Spefčn raspdeljen perećenje p, preavlja slu p jedn dužne se šapa: R dr p = lm =. (2.1) s 0 s Spefčn raspdeljen mmen, preavlja mmen p jedn dužne se šapa: d = lm =. (2.2) s 0 s Sla 2.3 Operećenja velg nenzea p duž dferenjaln malg elemena se šapa zamenjujem nenrsanm slm P nenrsanm mmenm. C p= pdx α dx C 1 Spefčn raspdeljen perećenje mže b zada p jedn dužne se šapa, p, l p jedn dužne prjeje se šapa, p, na jednu d sa glbalng rdnang ssema XOY (sla 2.4). Sla 2.4 Vezu zmeđu perećenja duž se šapa p perećenja p prjej se šapa p dbjam plazeć d čnjene da je sla ja deluje na elemen šapa sg nenzea, bez bzra da l je sazana p jedn dužne se šapa l jedn dužne prjeje, j.: p = pdx (2.3) dx A jednačnu (2.3) pdelm sa, uzmajuć u bzr da je sα =, dbja se: 1 Napn defrmaja šapa zavse sam d rezulan sla je deluju na elemenu šapa, a ne zavse d njhve raspdele p maču [4].

3 2. Lnearna erja šapa 19 gde je α uga j sa šapa zalapa sa X-sm. p = p sα, (2.4) Y C X p x p n p p y p α dx C 1 Raspdeljen perećenje przvljng prava p mžem razlž na mpnene u pravu se šapa upravn na su šapa: p p n, l na hrznalnu veralnu mpnenu: p x p y. A je α uga j sa šapa zalapa sa X-sm, nda se mže la uspsav relaja zmeđu mpnenaa, sla 2.5: p = p sα + p snα p = p sα p snα x y x n p = p snα + p sα p = p sα + p snα (2.5) n x y y n Sla 2.5 Unurašnje sle Spljašnje sle zazvaju u šapu unurašnje sle. Unurašnje sle su pvršnse sle je se prense pre zamšljenh presea u elu. Kd ravng šapa aln napn ρ leže u ravnma paralelnm sa ravn šapa. Psleda ga je da d svh mpnenaa alng napna ρ psje sam nrmalna mpnena napna σ=σ x smčuća mpnena napna τ=τ xy (sla 2.6). z df r σdf ρdf τdf T R N x a) b) H N T V Sla 2.6 Sla 2.7 Redujm svh elemenarnh sla ρdf je deluju na elemenma pvršne df na ežše presea dbjaju se reduna rezulana R redun mmen : R = ρdf = r ρdf (2.6) F y Sla R lež u ravn šapa, a ver mmena je upravan na ravan šapa. Kmpnea sle R nrmalna na ravan pprečng presea nazva se nrmalna sla beležava sa N, d se mpnena u ravn presea, nrmalna na su šapa, beležava sa T nazva ransverzalna sla. Sle N, T nazvam sle u presema šapa. P nvenj nrmalna sla je pzvna ada zaeže prese, ransverzalna sla je pzvna ada ež da brne elemen šapa u smeru azalje na sau, d je mmen pzvan ada zaeže dnje vlan (sla 2.7a). F

4 20 Terja nsruja 1 Sle u preseu se mgu dred z nrmalng smčućeg napna: (2.7) N = σ df T = τ df = σ ydf F F F Sle N T su mpnene rezulane R u pravu prrdnh j. lalnh sa x y. Osa x je sa šapa, d se sa y plapa sa jednm d glavnh sa nerje pprečng presea. Pred njh, čes se rse hrznalna veralna mpnena redune rezulane H V je leže u pravu sa gbalng rdnang ssema X Y (sla 2.7b). Između va dva ssema sla la se mže uspsav veza. Prjevanjem mpnenalnh sla jedng ssema na prave sla drugg ssema (sla 2.8) dbja se: T N H α V N = H sα +V sn α T = H snα + V s α H = N sα -T snα V = N snα + T sα (2.8) Sla 2.8 U pras prv sračunavam sle u presema nsača. Nan ga dređujem napne u preseu na načn j je zlžen u Oprns maerjala [4]. Sle u preseu dbjam redujm svh sla je deluju lev l desn d psmarang presea na ežše presea. mena u psmaranm preseu jedna je redunm mmenu rezulane sla lev j. desn d presea. Nrmalnu ransverzalnu slu dbjam razlaganjem redune rezulane na prava angene nrmale na su šapa u psmaranj ač Uslv ravneže elemena šapa Veze zmeđu spljašnjh unurašnjh sla šapa dbjam z uslva ravneže elemena šapa u jma fguršu sve sle je deluju na aj elemen. Prepsavlja se da pr sačm perećenju sle psepen rasu d nule d načne vredns. Pmeranja ačaa šapa pr defrmaj su ađe psupna, a da ne dlaz d pjave ubrzanja ačaa n d pjave nerjalnh sla. Pres defrmsanja je sač. U svam renuu g presa spljašnje unurašnje sle se nalaze u ravnež. Knačna ravneža se uspsavlja pš je defrmaja šapa završena. Kada b uslve ravneže spsal na defrmsanm šapu, j. na šapu j je zauze načan, defrmsan, plžaj u njma b pred nepznah unurašnjh sla fgursala nepznaa pmeranja ačaa šapa. Uslv ravneže b preavljal nelnearne jednačne u jma se javlja przvd nepznah sla pmeranja. Uvđenjem prepsave da su pmeranja ačaa u dnsu na dmenzje šapa male velčne, da se a ave u uslvma ravneže mgu zanemar, z uslva ravneže elmnšu se nepznaa pmeranja. Uslv ravneže psaju lnearne jednačne u jm fguršu sam nepznae sle u preseu. Zanemarvanjem pmeranja ačaa nsača u uslvma ravneže m sm zaprav prepsavl da su spljašnje unurašnje sle u ravnež na nedefrmsanm šapu. Ova prepsava nazva se prepsava malm pmeranjma. Da b spsal uslve ravneže u dferenjalnm blu, psmarajm elemen šapa CC' dužne perećen spljašnjm slama p n p unurašnjm slama na rajevma C C' (sla 2.9). U preseu C deluju sle N, T. Na dferenjaln malm rasjanju dlaz d prrašaja unurašnjh sla za velčne dn, dt j. d a da u preseu C' deluju sle: N+dN, T+dT +d. Veze zmeđu unurašnjh spljašnjh sla dbćem spsvanjem r uslva

5 2. Lnearna erja šapa 21 ravneže elemena šapa: (1) suma sla u pravu se šapa jednaa je nul; (2) suma sla upravnh na su šapa jednaa je nul (3) suma mmenaa svh sla u dnsu na aču C' jednaa je nul. A u uslvma ravneže zanemarm mmena sle p n u dnsu na aču C', a malu velčnu všeg reda, nan dređenh sraćvanja, dbjaju se uslv ravneže sla je deluju na elemen šapa (uslv ravneže šapa) u blu: Y N T X C p Sla 2.9 p n dn + p = 0 dt + p = 0 d T = 0 C' n +d T+dT N+dN. (2.9) Kada se jednačne (2.9) pdele sa, dbja se: dn = p dt = pn d = T. (2.10) Iz jednačne (2.10) sled: prv zvd nrmalne sle p rdna s duž se šapa jedna je negavnj vredns perećenja u pravu se šapa, prv zvd ransverzalne sle jedna je negavnj vredns perećenja upravn na su šapa, a prv zvd mmena jedna je ransverzalnj sl. Jednačne (2.9) j. (2.10) preavljaju lnearne dferenjalne jednačne prvg reda, š je nepsredna psleda uvđenja prepsave malm pmeranjma. Pš se zahvaljujuć j prepsav dbjaju lnearne veze zmeđu sačh velčna, na se nazva prepsava sačj lnearns. 2.2 Defrmaja šapa u ravn U analz defrmaje ravng šapa prepsavlja se da perećenje šapa lež u ravnma je su paralelne ravn šapa, a da se pmeranja ačaa šapa dvjaju u ravnma je su paralelne j ravn. Tava defrmaja se nazva ravna defrmaja šapa. Zahvaljujuć me dređvanje pmeranja ačaa defrmaje šapa a ela se svde na dređvanje pmeranja ačaa defrmaje u ravn šapa. Pmeranja defrmaja u ravn šapa mgu se jednznačn zraz pre pmeranja defrmaje se šapa. Na sl 2.10 prazana je sa nedefrmsang šapa. Nea je šap dužne l nea sa X-sm zalapa uga α pre defrmaje. Nan defrmaje ača prelaz u aču ' a ača u aču '. Šap se defrmše sa šapa psle defrmaje psaje rva lnja ''. Duž '' preavlja evu šapa psle defrmaje. Dužna eve šapa psle defrmaje prmenla se za velčnu l jednaa je l + l. Velčna l preavlja prmenu dužne eve šapa. Pred ga, pr defrmaj eva šapa se brne za uga ψ u dnsu na evu šapa pre defrmaje. Uga ψ se nazva uga branja eve šapa. Uga j eva šapa '' psle defrmaje zalapa sa x sm jedna je zbru ugla α ugla ψ, j. α +ψ.

6 22 Terja nsruja 1 Y φ X v v u u δ ' α ψ C δ C' φ u δ v u x l v y l + l ' Sla 2.10 Pmeranja ačaa se šapa u glbalnm rdnanm ssemu XOY, jednznačn su dređena verm pmeranja δ = δ ( u, v) uglm branja angene na su šapa φ. Ver pmeranja δ mžem razlž na mpnene u v u pravu sa glbalng rdnang ssema XOY, l na mpnene u v u pravu prrdnh sa x y, sla Između mpnenaa pmeranja u va dva ssema mže se uspsav veza a š se mpnene pmeranja jedng ssema prjeuju na prave mpnenaa pmeranja drugg ssema (sla 2.11): v u α u δ Sla 2.11 v u = u sα +vsn α u = u sα - v snα. (2.11) v = u snα + v s α v = u snα + v sα Uga α je uga j sa šapa zalapa sa X-sm glbalng rdnang ssema. Ver pmeranja δ uga branja φ przvljne ače se šapa nsu čs defrmajse velčne. One u seb sadrže pmeranje branje šapa a rug ela. Velčne je psje sam a se šap defrmše nazvaju se čs defrmajse velčne šapa. Čs defrmajse velčne šapa su: dlaaja se šapa ε, prmena rvne κ lzanje pprečng presea φ. Dlaaja se šapa preavlja prmenu dužne se šapa p jedn dužne se šapa, j. spefčnu prmenu dužne se šapa: ε l l = (2.12) Vezu zmeđu pmeranja branja ačaa se šapa u, v φ dlaaje ε mžem db jednsavnm gemerjsm razmaranjem. Nea je da elemen šapa CC 1 dferenjaln male dužne (sla 2.12). Psle defrmaje ača C prelaz u aču C' a ača C 1 u aču C 1 '. Kmpnene vera pmeranja ače C su u v, a mpnene pmeranja ače C 1 su u+du v+dv, gde su du dv prrašaj mpnenaa pmeranja na dužn. Pr defrmaj sa elemena CC 1 dužne prelaz u rvu lnju C'C 1 '. Dužna eve C'C 1 ' psle defrmaje zns

7 2. Lnearna erja šapa 23 + = (1+ε). Elemen šapa pre defrmaje zalapa uga α sa X-sm. Psle defrmaje eva C'C 1 ' zalapa uga α+φ sa X-sm. Y φ X v C u α dx C' C 1 α φ u+du v+dv dy (1+ε) C 1 ' dy+dv dx+du Sla 2.12 Vezu zmeđu mpnenaa pmeranja u, v dlaaje ε dbjam z uslva mpablns pmeranja. Name prjeje duž CC 1 ' na prave rdnanh sa X Y mraju b se, bl da psmaram elemen šapa pre defrmaje l psle defrmaje. Odale sled da je: dx + u + du = u + (1 + ε ) [s( α + ϕ)] dy + v + dv = v + (1 + ε ) [sn( α + ϕ)]. (2.13) Jednačne (2.13) su nelnearne jer se u njma javljaju przvd pmeranja defrmajsh velčna. One se mgu lnearzva uvđenjem prepsave malm defrmajama, ja glas: pmeranja, branja defrmajse velčne šapa su male velčne, a da se njhv vadra vš sepen, a vš sepen njhvh zvda mgu zanemar. Iz prepsave malm defrmajama sled da je sϕ 1 a snϕ ϕ, a da je: s( α + ϕ) = sα sϕ snα snϕ = sα ϕ snα. sn( α + ϕ) = snα sϕ + sα snϕ = snα + ϕ sα Kada se jednačnu (2.13) uvedu grnj zraz, da jeεϕ 0 da je: dx = s α dy = snα, dbjaju se sledeće veze zmeđu pmeranja defrmaje dferenjalng elemena šapa: du = εdx ϕdy dv = εdy + ϕdx. (2.14) Dbjene jednačne veze zmeđu mpnenaa pmeranja defrmaje (2.14) su lnearne dferenjalne jednačne prvg reda, pa se zbg ga prepsava malm defrmajama

8 24 Terja nsruja 1 nazva prepsava gemerjsj lnearns. Terja u jj važ a prepsava nazva se erja malh defrmaja. Da b dredl defrmaju šapa a ela, pred dlaaje ε prebn je pznava jš dve čs defrmajse velčne: lzanje pprečng presea φ prmenu rvne κ. Klzanje pprečng presea φ preavlja prmenu prvbn pravg ugla zmeđu pprečng presea se šapa psle defrmaje. U Oprns maerjala [4] zlžena je Tehnča erja savjanja šapa ja se zasnva na Ojler-Bernulevj (Euller-Bernull) prepsav. Ta prepsava glas: pr defrmaj šapa pprečn prese saju ravn upravn na defrmsanu su šapa. Prepsava je ačna sam za prave, przmačne šapve perećene na čs savjanje. Zahvaljujuć j prepsav, rdmenznaln prblem defrmaje šapa a ela je sveden na jedndmenznaln prblem defrmaje se šapa. Kd savjanja šapa slama, dlaz d vperenja pprečnh presea, j vše nsu prav, n upravn na defrmsanu su šapa, a da ehnča erja savjanja ne preavlja ačn rešenje. Uaj smčućh sla na defrmaju je relavn mal u velm brju slučajeva mže se ppun zanemar. Taj uaj se mže prblžn dred na snvu prepsave da pprečn prese pr defrmaj saju ravn, al da nsu upravn na defrmsanu su šapa (Ojlerva prepsava). Šap za j važ va prepsava nazva se Tmšenv šap (Tmshen). X Y φ sa šapa y C u u(y) C(y) v(y) v φ C' C'(y) Tehnča erja savjanja šapa φ O φ-φ Tmšenv šap O' Sla 2.13 Psmarajm de pravg šapa pre psle defrmaje (sla 2.13). Nea je ača C na s šapa pre defrmaje prešla u aču C' psle defrmaje. Kmpnene vera pmeranja ače C su u v. Pr ravnj defrmaj pmeranja ačaa se dvjaju u ravnma je su paralelne ravn šapa. Sve ačae je leže na sm rasjanju y d se šapa maće sa pmeranja: u(y) v(y). Osa šapa saje u ravn šapa psle defrmaje, a pprečn prese saju ravn. T znač da rasjanje ačaa C C(y) u ravn šapa saje neprmenjen jedna y. Prepsavm da je uga branja angene na su šapa φ. Prema Bernulevj prepsav pprečn prese su ravn upravn na defrmsanu su šapa, pa je u Tehnčj

9 2. Lnearna erja šapa 25 erj savjanja šapa uga branja pprečng presea jedna uglu φ (sla 2.13). Kd Tmšenvg šapa pprečn prese vše nsu upravn na defrmsanu su šapa. Uga φ, za j se ddan brne pprečn prese usled delvanja smčućh sla, p nvenj je suprng smera d ugla branja šapa φ nazva se lzanje pprečng presea. Zbg ga je uga branja pprečng presea šapa jedna je razl uglva φ φ, j. φ-φ (sla 2.13). Kada je pzna lzanje pprečng presea φ pmeranje ačae C(y), ja se nalaz na rasjanju y d se šapa mže se saza u funj pmeranja ačaa se šapa. Iz sle 2.13, sled da je: u( y) = u y sn( ϕ ϕ ) v( y) = v y [1 s( ϕ ϕ )] Na snvu prepsave malm defrmajama, dbja se da je: sn( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) 1- s( ϕ ϕ ) 0 pa se jednačna (2.15) mže napsa u blu: u( y) = u y ( ϕ ϕ ) v( y) = v (2.15) (2.16) Iz jednačne (2.16) przlaz da su mpnene pmeranja u(y) ačaa na evannm rasjanju y d se šapa lnearna funja rasjanja y, š dgvara prepsav da prese psle defrmaje saju ravn. Pr me su mpnene pmeranja v(y) jednae mpnenama pmeranja v ačaa se šapa. Y φ X y C Cy C 1 C 1y ρ' C' C y' φ π ϕ 2 (1+ε) (1+ε y) C 1 ' y φ +dφ C 1y' φ φ-φ dφ d(φ-φ ) ρ'' O' O'' Sla 2.14 Da b dredl dlaaju elemena šapa na rasjanju y d se šapa, psmarajm zapremns elemen pravg šapa dužne pre defrmaje (sla 2.14). Psle defrmaje sa šapa CC 1 psaje rva lnja C'C 1 '. U prvj faz defrmaje, pprečn prese su ravn upravn na su šapa psle defrmaje. Uga za j se brne pprečn prese u ač C' je φ. Uga branja presea na dferenjaln malm rasjanju će se prmen za velčnu dφ, a da je uga branja pprečng presea u ač C 1 ' jedna φ+dφ. Pprečn prese vše nsu paraleln. Njhv prav zalapaju uga dφ se seu u ač O'. Usled delvanja

10 26 Terja nsruja 1 smčućh sla, pprečn prese u ač C' se ddan brne za uga lzanja pprečng presea φ, a da je φ-φ uga branja pprečng presea u ač C' nan defrmaje. U ač C 1 ' uga lzanja se prmen u dnsu na uga lzanja u ač C' za velčnu dφ, a da je uga lzanja pprečng presea u ač C 1 ' jedna (φ +dφ ). Uga branja pprečng presea C 1 ' nan defrmaje jedna je (φ+dφ) (φ +dφ )= (φ φ )+d(φ φ ). Prav pprečnh presea na rajevma elemena šapa psle defrmaje se seu u ač O'' zalapaju uga d(φ φ ). Pred branja pprečnh presea dlaz d prmene dužne elemena šapa, za velčnu ε, gde je ε dlaaja se šapa. Dužna elemena se šapa C'C 1 ' psle defrmaje zns +ε =(1+ε). Da b dredl prmenu dužne evanng elemena, na rasjanju y d se šapa, učm elemen C y C 1y (sla 2.14). Njegva dužna pre defrmaje je. Nan defrmaje n prelaz u plžaj C y 'C' 1y. Dužna mu se menja jednaa je je [1+ε(y)], gde je ε(y) dlaaja evanng elemena na rasjanju y d se šapa. Dlaaja evanng elemena ε(y) mže se dred z slčns ruglva O''C'C 1 ' O''C y 'C' y1. Prmenm snusne ereme z O''C'C 1 ' se dbja jednačna (2.17a), a z O''C y 'C' y1 jednačna (2.17b): ( y) (1 + ε ) sn d( ϕ ϕ ) 1 + ε sn d( ϕ ϕ ) a ) = b) = ρ '' sn( π / 2 ϕ ) ρ '' y sn( π / 2 ϕ ) Iz prepsave malm defrmajama sled da je: ( ϕ ϕ ) d ( ϕ ϕ ) ( π ϕ ) sn d sn /2-1 na snvu čega se z jednačne (2.17a) dbja da je: ρ '' = ( 1+ ε ) d ( ϕ ϕ ). (2.17) A dbjenu vredns za ρ'' uvrsm u jednačnu (2.17b) dbja se dlaaja evanng elemena u blu: Velčna ε ( y) κ d ( ϕ ϕ ) = ε y. (2.18) d ( ϕ ϕ ) = (2.19) preavlja prmenu rvne šapa. Prmena rvne κ je jednaa negavnj vredns prmene ugla branja zmeđu dva blsa pprečna presea p jedn dužne šapa. A vredns prmene rvne κ unesem u jednačnu (2.18) dbja se zraz za dlaaju evanng elemena u blu: ( y) ε = ε + κ y (2.20) Iz jednačne (2.20) vdm da je prmena dužne vlana na evannm rasjanju d se šapa ε(y) lnearna funja janja y, j. da je raspdela dlaaje lnearna p vsn pprečng presea. T je u sladu sa prepsavm da pprečn prese šapa pr defrmaj saju ravn.

11 2. Lnearna erja šapa Veze zmeđu defrmajsh velčna sla u presema šapa, dnsn emperaurne prmene Veze zmeđu defrmajsh velčna ε, κ φ sla u presema šapa N, T mgu se uspsav e pš defnšem veze zmeđu napna defrmaja maerjala. U lnearnj erj šapa prepsavljam da su veze zmeđu napna defrmaja lnearne, j. da važ Huv zan (He). Na rasjanju y d se šapa dlaaja ε(y) smanje γ(y) su prprnaln dgvarajućm napnma: ( y) ( y) σ τ a) ε ( y) = + α ( y) b) γ ( y) = (2.21) E G U jednačn (2.21) velčna σ ( y) je nrmaln napn, τ(y) je smčuć napn, (y) je emperaurna prmena na rasjanju y d se šapa, E je mdul elasčns, G je mdul lzanja, a α je efjen lnearne emperaurne dlaaje maerjala. Kefjen α preavlja velčnu za ju se maerjal zduž p jedn dužne, ada se zagreje za 1 C (za ben čel α =10-5 1/ C). Temperaurna prmena (y) preavlja prmenu emperaure u dnsu na neu referennu vredns. Prepsavm da se (y) menja lnearn p vsn šapa, d vredns u na dnjem vlanu d vredns na grnjem vlanu (sla 2.15). Nea je emperaurna prmena u s šapa, a emperaurna razla, ja je jednaa razl emperaurnh prmena dnjeg grnjeg vlana: = u -. Predpsavm da se emperaurna prmena menja lnearn duž se šapa. O x y (y) u h Temperaurna prmena na rasjanju y d se šapa mže se praza a funja, rasjanja y: ( ) y = + y. (2.22) h Sla 2.15 Kada se u jednačnu (2.21a) unese zraz za dlaaju ε(y) evanng elemena (2.20) zraz za emperaurnu prmenu (y) (2.22), dbja se da je da je nrmaln napn σ(y) jedna: σ ( y) = E ( ε α ) + E y κ α (2.23) h mena nrmalnu slu dbćem ada u predhdn zvedene veze zmeđu napna presečnh sla (2.7): N = σ df = σ ydf F unesem dbjen zraz za napn (2.23). Pr sračunavanju vredns negrala reba ma u vdu da je: df = F ydf = y df = I 2, 0,, F F F gde je F pvršna pprečng presea, a I mmena nerje pprečng presea. Drug negral preavlja sač mmena pvršne u dnsu na ežše presaa jedna je nul. F

12 28 Terja nsruja 1 Nan negraje dbjaju se veze zmeđu presečnh sla defrmajsh velčna, j. emperaurne prmene emperaurne razle u blu: ( ε α ) N = EF (2.24) = EI α κ h. (2.25) Iz jednačna (2.24) (2.25) dlaaja se šapa ε prmena rvne pprečng presea κ mgu se zraz u funj sla u preseu emperaurne prmene j. emperaurne razle: ε N EF = + α (2.26) κ = + α. (2.27) EI h Veza zmeđu lzanja φ ransverzalne sle T dbja se z jednačne veze zmeđu smčućeg napna defrmaje (2.21b), u jj je smčuć napn τ(y) zamenjen zrazm za napn j važ u Tehnčj erj savjanja grede [4], a sled dren z hpeze Žuravsg: τ ( y) ( ) ( ) = T S y I b y (2.28) U jednačn (2.28) T je ransverzalna sla, S(y) je sač mmen dela presea spd l znad prave y=ns u dnsu na ežše presea, I je mmen nerje pprečng presea, a b(y) je šrna pprečng presea na mesu y=ns (vd slu 2.16a). Iz jednačna (2.21b) (2.28) dbja se da je smanje γ(y) na rasjanju y d se šapa jedna: T S ( y) γ ( y) = (2.29) G I b y gde je G mdul lzanja maerjala. ( ) y h τ max τ(y) 90 -γ max φ φ b(y) τ a) b) ) d) Sla 2.16 Prmena defrmaje smanja γ(y) p vsn presea jednaa je prmen smčućeg napna τ(y) (sla 2.16b). asmalna vredns smanja javlja se u ežšu presea, j. na s šapa pada a vama presea gde je jednaa nul. Psleda ve neravnmerne raspdele defrmaje smanja je vperenje pprečng presea (sla 2.16). A svarnu raspdelu

13 2. Lnearna erja šapa 29 smanja zamenm avm raspdelm γ'(y) pr jj je przvd γ'(y)(y)=ns, nda je elemen šapa zlžen defrmaj prazanj na sl 2.16d. Pr j defrmaj pprečn prese saju ravn relavn smanu na raju elemena dužne za velčnu γ'(y)(y)=φ. Velčna φ je prmena ugla zmeđu pprečng presea se šapa. Uga φ dređujem z uslva da je rad napna smanja τ(y) na psmaranm elemenu šapa dužne pr prepsavljenj raspdel smanja γ'(y) jedna radu h napna pr svarnj raspdel smanja γ(y). Rad napna smanja pr svarnj raspdel defrmaje smanja na elemenu šapa dužne je jedna: da = τ ( y) γ ( y) df (2.30) F A u jednačnu (2.30) unesem vredns za τ(y) γ(y), dau jednačnama(2.28) (2.29), dbja se da je defrman rad jedna: gde je: T S( y) T S( y) T F S( y) T da = df = df = I b( y) GI b( y) GF I b( y) GF (2.31) F 2 2 F 2 2 F 2 F S( y) = df I b( y) (2.32) efjen j zavs d bla pprečng presea (za pravugan prese =1.2). Pr prepsavljenj raspdel smanja defrman rad će b jedna: (2.33) F F da = τ ( y) γ '( y) df = ϕ τ ( y) df = Tϕ Izjednačavanjem zraza za defrman rad da jednačnama (2.31) (2.33) dbja se da je uga lzanja pprečng presea jedna: T ϕ =. (2.34) GF Jednačne (2.26), (2.27) (2.34) preavljaju veze zmeđu defrmajsh velčna ε, κ φ, emperaurne prmene emperaurne razle sla u preseu N, T. Jednačne veze zmeđu sla u preseu, emperaurne prmene defrmaje su lnearne zahvaljujuć Huvm zanu, pa zbg ga prepsavu lnearnj vez zmeđu napna defrmaje nazvam prepsavm fzčj lnearns. 2.4 Reapulaja jednačna šapa Terja šapa u jj važe prve dve prepsave: prepsava sačj lnearns prepsava gemerjsj lnearns, nazva se lnearna erja šapa l erja prvg reda. Zahvaljujuć njma Huvm zanu sve r grupe jednačna veze sla, pmeranja defrmaja šapa su lnearne: jednačne ravneže elemena šapa: dn + p = 0 dt + p = 0 d T = 0 n I)

14 30 Terja nsruja 1 jednačne veze pmeranja defrmaje šapa: du = εdx ϕdy dv = εdy + ϕdx ( ϕ ϕ ) d κ = jednačne veze sla u presema defrmaje, dnsn emperaurne prmene šapa: II) N ε = + α EF κ = + α III) EI h T ϕ = GF A se u uslvma ravneže zanemar prepsava malm pmeranjma, uslv ravneže se psmaraju na defrmsanm šapu. Psleda ga je da nrmalne sle daju mmene u presema šapa, j. u uslvma ravneže se javljaju przvd dveju nepznah velčna - sla pmeranja. Zbg ga jednačne uslva ravneže (grupa jednačna I) psaju nelnearne dferenjalne jednačne. Isvremen, zadržavanjem prepsav malm defrmajama Huvg zana jednačne II III saju lnearne. Terja šapa u jj uvdm avu prepsavu nazva se erja drugg reda. A b pred prepsave malm pmeranjma zanemarl prepsavu malm defrmajama, grupa jednačna II b psala nelnearna. Lnearne b sale sam jednačne III. Tava erja šapa se nazva erja velh defrmaja l erja rećeg reda. Grupe jednačna I, II III lnearne erje šapa čn uupn deve jednačna u jm fgurše deve nepznah velčna šapa. T su: sle u presema:, N T, pmeranja branja: u, v φ, defrmaje: ε, κ φ. Od h deve jednačna, prve dve grupe jednačna (I II) preavljaju šes lnearnh dferenjalnh jednačna prvg reda, d jednačne III čne r lnearne algebarse jednačne. Iz jednačna III se ε, κ φ mgu dren zraz u funj d sla u presema, N T zamen u jednačnama II, pa h zbg ga ne ubrajam u nepznae velčne šapa. Na aj načn se prblem dređvanja sla u presema pmeranja j. branja ačaa šapa svd na šes dferenjalnh jednačna I II u jm fgurše šes nepznah velčna:, N,T, u, v φ. Da b z h šes jednačna mgl da dredm nepznae velčne, prebn je da pred gemerje šapa: l, h, F, I, fzčh nsan maerjala: E, G, α spljašnjh uaja: p, pznajem jš šes negranh nsan. Inegrane nsane se dređuju z grančnh uslva, j. uslva na rajevma šapa. Grančn uslv šapa mgu b zada p slama p pmeranjma. Na sl 2.17a prazane su sle na rajevma šapa. Od prazanh šes sla, r sle se uve mgu dred z uslva ravneže šapa, š znač da masmaln r grančna uslva šapa mgu b zadaa p slama. T mgu b l sle na jednm raju šapa, l sle na drugm raju šapa, l bl je r mbnaje sla u presema. Te sle se nazvaju snvne sač nezavsne velčne šapa.

15 2. Lnearna erja šapa 31 N T T N u φ v φ v u a) grančn uslv p slama b) grančn uslv p pmeranjma Sla 2.17 Grančn uslv šapa Od šes mpnenaa pmeranja branja rajeva šapa (sla 2.17b), prebn je zna r pmeranja ja defnšu pmeranje šapa a rug ela u ravn. Dale, mraju b zadaa najmanje r grančna uslva p pmeranjma, a mže se zada masmaln šes grančnh uslva p pmeranjma. T su bčn pmeranja braanja rajeva šapa, ja nazvam defrmajs nezavsnm velčnama šapa. Dale, d 6 grančnh uslva šapa masmaln 3 grančna uslva mgu b zadaa p slama, a mnmaln 3 grančna uslva mraju b zadaa p pmeranjma. A su r grančna uslva zadaa p slama, a r p pmeranjma, jednačne I II se raspadaju na dva nezavsna ssema d p r dferenjalne jednačne sa p r nepznae. U m slučaju je mguće z uslva ravneže šapa (I) dred sle u presema nezavsn d pmeranja šapa. Kada su pznae sle u presema šapa, z jednačna III se dren mgu dred defrmajse velčne šapa ε, κ φ., a z jednačna II grančnh uslva p pmeranjma mgu se dred pmeranja ačaa branja pprečnh presea šapa. Za aav prblem šapa ažem da je sač dređen. Na slama 2.18a 2.18b su prazana dva šapa d jh su na razlče načne zadaa 3 grančna uslva p slama 3 p pmeranjma. Oba šapa su sač dređena. Šap na sl 2.18a preavlja nzlu, a šap na sl 2.18b preavlja prsu gredu. u =0 v =0 ϕ =0 T N S u =0 a) nzla v =0 b) prsa greda v =0 S Sla 2.18 Sač dređen prblem šapa A je brj grančnh uslva p slama manj d r, prblem dređvanja sla u presema šapa je sač nedređen. Sle u presema se ne mgu dred z uslva ravneže. U m slučaju, da b dredl sle u presema šapa mram uze u bzr pmeranja j. branja šapa. u =0 v =0 ϕ =0 u =0 v =0 ϕ =0 u =0 v =0 ϕ =0 u =0 v =0 a) sv grančn uslv p pmeranjma b) jedan grančn uslv p slama 5 p pmeranjma Sla 2.19 Sač nedređen prblem šapa

16 32 Terja nsruja 1 Na sl 2.19a pazan je šap u me su sv grančn uslv zada p pmeranjma, d je na sl 2.19b, prazan šap d ga je zada jedan grančn uslv p slama a salh 5 p pmeranjma. U lnearnj erj šapa, zahvaljujuć uvedenm prepsavama, rešenje dferenjalnh jednačna šapa je jednznačn. Pračn, znač da srja perećenja defrmaje nema značaja za dređvanje uaja. Zbg ga u lnearnj erj važ prnp superpzje uaja, j glas: A na šap deluje vše razlčh perećenja P 1, P 2, P n, uaj Z u šapu usled svremeng dejsva svh perećenja P=P 1 +P P n mže se db superpzjm uaja Z 1, Z 2, Z n, nasalh usled pjednačng delvanja svag d navedenh perećenja: Z=Z 1 +Z Z n (2.35) 2.5 Uslv ravneže šapa Kada su nam na raju šapa pznaa r grančna uslva p slama (sla 2.20), sle u preseu C se mgu db negrajm uslva ravneže (I) u granama d ače d ače C: N T x dx x -x x C T N Sla 2.20 ( ) dn + p dx = 0 N = N p dx ( ) dt + p dx = 0 T = T p dx n n ( + n ( ) ) = 0 = + ( ) n ( ) d Tdx p x x dx T x x p x x dx (2.36) U negralma je umes velčne uze dx, pš je za prav šap =dx. Inegral jednačna (I), (2.36), ne preavljaju nša drug d uslve ravneže sla na delu šapa d ače d ače C. U sa nsruja se pazal pgdnm da se za snvne sač nezavsne velčne, umes sla na jednm raju šapa, zaberu mmen na rajevma šapa asjalna sla šapa S =(N +N )/2 (sla 2.21a). Sle na rajevma šapa (Z) se mgu dred prmenm prnpa superpzje, a zbr sla usled snvnh sač nepznah velčna (Z s ), ada je perećenje šapa jedna nul (sla 2.21b) sla usled delvanja perećenja (Z ), ada su snvne sač nezavsne velčne šapa jednae nul, sla 2.21: Z=Z s +Z. (2.37)

17 2. Lnearna erja šapa 33 b) S ξ l C l a) ξ l T S S S C l l ξ ξ R x + N N ξ r l ξ r l C T T l R y Sla 2.21 Usled delvanja sač nezavsnh velčna S,, mmen na rajevma šapa su jedna dam mmenma, nrmalne sle su jednae asjalnj sl šapa, d se ransverzalne sle dbjaju z uslva ravneže mmenaa u dnsu na rajnje ače šapa, (sla 2.21b): N, s = S, N, s = S, T, s = T, s =. (2.38) l Usled delvanja perećenja, ada su snvne sač nezavsne velčne jednae nul, mmen na rajevma šapa su jedna nul. Nrmalne sle se dbjaju z uslva ravneže šapa uslva da je S =0, d seransverzalne sle na rajevma šapa dređuju se z uslva ravneže šapa (sla 2.21): Rx N, N, = Rx N, + N, = 0 N, = N, = 2 = 0 T R ξ, = y r. (2.39) = 0 T = R ξ, y r U jednačn (2.39) R x je rezulana perećenja u pravu se šapa, R y rezulana perećenja upravn na su šapa, a ξ r = xr / l ξ r = x r / l su bezdmenznalne rdnae plžaja rezulane R y. Superpzjm uaja d ba sanja, dbjaju se sle na rajevma šapa: Rx Rx N = S + N = S T = + R ξ T = R ξ y r y r l l. (2.40) Sle u przvljnm preseu C dređuju se prnpm superpzje a zbr uaja d sač nezavsnh velčna uaja d perećenja: N = N + S )

18 34 Terja nsruja 1 T = T +, (2.41) l = + ξ + ξ gde su N, T sle u preseu C usled perećenja ada su sve sač nezavsne velčne šapa jednae nul (sanje S =0). Sle N, T su zaprav sle u preseu C jedng pravg šapa, sa hmgenm grančnm uslvma p slama, j u sačm smslu preavlja dgvarajuću prsu gredu. Osal članv u uzrazma za sle preavljaju uaje preseu C usled sač nezavsnh velčna ada je perećenje šapa jedna nul (sanje p=0). Prmenu sla u presema duž se šapa prazujem djagramma presečnh sla. Djagrame presečnh sla duž šapa ram superpzjm djagrama sla usled delvanja sač nezavsnh velčna S, djagrama sla u preseu dgvarajuće prse grede usled spljašnjeg perećenja. Na sl 2.22 prazan su djagram sla u preseu. R y S p R x p n S R x /2 S + R x /2 N T, ( - )/2 + - T, T ξ ξ max Sla 2.22 Kada su pznae sle u šapvma, defrmajse velčne šapa ε, κ φ dređujem z jednačna III, u jm sm sle u presema sazal pre sač nezavsnh velčna spljašnjh uaja: ε S EF N EF = + + α ξ ' ξ κ = α EI EI EI h T ϕ = + GFl GFl GF. (2.42)

19 2. Lnearna erja šapa Kmpnene pmeranja branja ačaa se šapa Pmeranja branja pprečng presea u ač C mgu se dred negrajm jednačna II ada su pznaa r grančna uslva p pmeranjma; rem dve mpnene pmeranja branje pprečng presea na jednm d rajeva šapa. U zavsns d ga j su grančn uslv pzna negraja se sprvd d ače d ače C (a su pznaa pmeranja ače ), l d ače C d ače (a su pznaa pmeranja ače ): ( ε ϕ ) du = dx dy ( ε ϕ ) dv = dy + dx (2.43) d ( ) ϕ ϕ = κ U pras se vaav psupa uglavnm ne rs, već se prmenjuju znan jednsavnje mede za dređvanje raženg pmeranja. U lasčnj sa nsruja prblem dređvanja pmeranja, j. branja ačaa se šapa rešava se prmenm prnpa vrualnh sla, j će b dealjn zlžen u vru Pglavlja 7. Rešenje jednačna (2.43) se mže nać u leraur [5]. Za dređvanje pmeranja branja ačaa se šapa, umes pmeranja branja rajeva šapa, dvljn je pznava bl je r defrmajs nezavsne velčne šapa. Defrmajs nezavsne velčne šapa, je dgvaraju zabranm sač nezavsnm velčnama S,, su l, τ τ. Velčna l je prmena dužne eve šapa, τ je defrman uga u čvru šapa, a τ je defrman uga u čvru šapa. v ψ (φ-φ ) τ α pprečn prese psle defrmaje u δ l u ' ψ δ v l + l τ ψ pprečn prese psle defrmaje Sla 2.23 (φ-φ ) Na sl 2.23 je prazan prav šap pre psle defrmaje. Pre defrmaje sa šapa dužne l zalapa uga α sa X-sm. Psle defrmaje eva šapa '' zarra se za uga branja šapa ψ prmen dužnu za velčnu l. Na snvu sle 2.23 mže se uspsav veza zmeđu mpnenaa pmeranja ačaa se šapa u v defrmajs nezavsne velčne l :

20 36 Terja nsruja 1 l + u = u + ( l + l )sψ. Kada se u grnju jednačnu unese da je sψ 1, dbja se da je l = u u, (2.44) j. prmena dužne eve šapa l jednaa je razl mpnenaa pmeranja u pravu se šapa. Pred ga, sa šapa se defrmše prelaz u rvu lnju, pr čemu se pprečn prese u ač brne za uga (φ-φ ), a pprečn prese u ač se brne za uga (φ-φ ). Uga branja pprečng presea nje čs defrmajsa velčna jer u seb sadrž branje šapa a rug ela. Uga branja pprečng presea u przvljnj ač jedna je zbru ugla branja šapa ψ čs defrmajse velčne τ ja se nazva defrman uga šapa. Shdn me, uglv branja pprečng presea na rajevma šapa su: ( ) ( ) ϕ ϕ = τ + ψ. (2.45) ϕ ϕ = τ + ψ Iz jednačna (2.45) sled da je defrman uga τ jedna razl uglva branja ϕ ϕ eve šapa ψ : pprečng presea ( ) ( ) ( ) τ = ϕ ϕ ψ (2.46) τ = ϕ ϕ ψ. (2.47) Uga branja eve šapa l ra, uga branja šapa, dbja se gemerjsm razmaranjem. Iz sle 2.23 sled da je: Kada se u predhdnu jednačnu unese da je: ψ v v = ( l + l )snψ sn dbja se da je uga branja eve šapa: ψ a l ψ 0, ψ v v =, (2.48) l j. uga branja eve šapa jedna je razl mpnenaa pmeranja rajeva šapa upravnh na su šapa pdeljen sa dužnm šapa. A se u jednačne (2.46) (2.47) unesu zraz za branje šapa (2.48) veze zmeđu mpnenaa pmeranja u lalnm glbalnm ssemu (2.11) dbja se da je: ( ) sα ( ) l = u u + v v snα ( v v ) sα ( u u ) snα τ = ( ϕ ϕ ) (2.49) l ( v v ) sα ( u u ) snα τ = ( ϕ ϕ ). l Jednačne (2.49) preavljaju veze zmeđu defrmajs nezavsnh velčna l, τ τ pmeranja j. branja šapa u, v, ϕ.

21 2. Lnearna erja šapa Veze zmeđu sač nezavsnh defrmajs nezavsnh velčna šapa Veze zmeđu snvnh sač nezavsnh velčna šapa snvnh defrmajs nezavsnh velčna šapa mgu se la uspsav prmenm prnpa superpzje uaja. Na sl 2.24a prazan je prav šap zlžen pjednačnm delvanju sač nezavsne velčne S =1, perećenja emperaurne prmene, d je na sl 2.24b prazan šap zlžen delvanju sač nezavsnh velčna =1 =1, perećenja emperaurne razle. S =1 S =1 ' l l,s p ' τ, τ, =1 -τ, =1 -τ, l l, p n ' τ, l l, τ, a) b) -τ, -τ, Sla 2.24 Na snvu sle 2.24a 2.24b, defrmajs nezavsne velčne l, τ τ dbjaju se superpzjm uaja usled svremeng delvanja sač nezavsnh velčna, perećenja emperaure: l = l S + l + l, s,, τ = τ + τ + τ + τ,,,, τ = τ, + τ, + τ, + τ, gde je: l,s prmena dužne eve usled S =1, l, l, prmena dužne eve usled perećenja, prmena dužne eve usled emperaurne prmene u s šapa, τ, defrman uga u čvru usled =1, τ, defrman uga u čvru usled =1, τ, τ, defrman uga u čvru usled perećenja, defrman uga u čvru usled emperaurne razle,, (2.50)

22 38 Terja nsruja 1 τ, defrman uga u čvru usled =1, τ, defrman uga u čvru usled =1, τ, τ, defrman uga u čvru usled perećenja, defrman uga u čvru usled emperaurne razle. Vredns pjednh članva mgu se db dren, negrajm zraza za prmenu dužne eve prmenu rvne. Za hmgene grančne uslve, ada su pmeranja rajeva šapa jednaa nul (u = u =v =v =0), prmena dužne eve se dbja dren z dlaaje se šapa: S N = = + + l ε dx α dx EF EF, gde je =dx. Grnja jednačna se mže napsa u blu: S N = + + l dx dx α dx EF EF. (2.51) Upređvanjem dbjeng zraza sa zrazm za l u jednačn (2.50) sled da je: N = = = dx l, s, l, dx, l, α dx EF EF. (2.52) Za hmgene grančne uslve uga branja eve šapa ψ = 0, a da su defrman uglv τ τ jedna uglvma branja pprečnh presea u čvrvma, j. τ = ( ϕ ϕ ), τ = ( ϕ ϕ ). Defrman uga τ dbja se negrajm zraza d ( ) ϕ ϕ = κdx j je predhdn pmnžen sa ξ. Kada se prmena rvne κ zraz pre defrmajs nezavsnh velčna spljašnjh uaja, jednačna (2.42), dbja se da je naveden negral jedna: ξ ' ξ d ( ϕ ϕ ) ξ = α ξ dx EI EI EI h. Inegrajm grnje jednačne, dbja se defrman uga τ u sledećem blu: τ = α ξ '2 ' ' ξ ξξ ξ dx dx dx dx EI EI EI (2.53) h Na slčan načn, negrajm zraza d ( ) ϕ ϕ = κdx j je pmnžen sa ξ u me je prmena rvne κ sazana pre defrmajs nezavsnh velčna spljašnjh uaja ξ ' ξ d ( ϕ ϕ ) ξ = α ξ dx EI EI EI h, dbjaja se negavna vredns defrmang ugla τ u sledećem blu: ξξ ξ ξ τ = α ξ 2 dx dx dx dx EI EI EI. (2.54) h

23 2. Lnearna erja šapa 39 Pređenjem dbjenh jednačna sa jednačnama (2.50), mže se zaljuč da je: '2 ' 2 ξ ξξ ξ τ = dx, τ = τ = dx, τ dx, EI = EI EI,,,, ' ξ ξ, = dx,, = dx,, = dx,, = τ τ τ α ξ τ α ξ EI EI h h dx (2.55) Iz jednačna (2.52) (2.55) przlaz da defrmajs nezavsne velčne šapa je nasaju delvanjem sač nezavsnh velčna zavse sam d gemerje šapa da za jedan šap preavljaju nsanne velčne. Za šapve nsanng pprečng presea, drenm negrajm zraza za defrmajs nezavsne velčne šapa, uzmajuć u bzr da je: dbja se da je: l l, S =, τ, τ, EF x dx dx = l ξ = d ξ =, l l 1 l 1 l = =, τ, = τ, =. (2.56) 3 EI 6 EI 2.8 Bazna mara flesbns bazna mara rus šapa Jednačne (2.50) mgu se napsa u marčnm blu: l l, s 0 0 S l, l, τ = 0 τ, τ, + τ, + τ, τ 0 τ, τ, τ, τ, (2.57) U jednačn (2.57) mmena je uze sa negavnm znam rad čuvanja smerje. A uvedem sledeće beležavanje : l l, l, S δ = τ δ = τ, δ = τ, S = (2.58) τ τ, τ, marčna jednačna (2.57) glas: l, s 0 0 F = 0 τ, τ, (2.59) 0 τ, τ, δ = F S + δ + δ. (2.60) Elemen jednačne (2.60) maju sledeća značenja: δ F S je ver snvnh defrmajs nezavsnh velčne šapa, je mara flesblns šapa, je ver snvnh sač nezavsnh velčna šapa, δ je ver defrmajs nezavsnh velčna šapa usled perećenja,

24 40 Terja nsruja 1 δ je ver defrmajs nezavsnh velčna šapa usled uaja emperaure. Kada je šap neperećen, veza zmeđu vera snvnh defrmajs nezavsnh velčna šapa δ vera snvnh sač nezavsnh velčna S šapa glas: δ = F S. (2.61) Veza zmeđu vera snvnh defrmajsh velčna δ vera snvnh sač nezavsnh velčna S neperećeng šapa daa je pre mare flesblns F. Za šap nsanng pprečng presea mara flesblns se dbja ada se u jednačnu (2.59), unesu zraz za defrmajse velčne l,s, τ,, τ, τ, šapa nsanng presea (2.56): l 0 0 EF l l F = 0. (2.62) 3EI 6EI l l 0 6EI 3EI Elemen mare flesblns šapa zavs sam d gemerjsh araersa šapa, l, F I, araerse maerjala, E. gde je Iz jednačne (2.61) dbja se da je ver snvnh sač nezavsnh velčna S jedna: S = K δ, (2.63) K = F -1 (2.64) bazna mara rus šapa. Za šap nsanng presea, bazna mara rus šapa dbja se nverzjm mare flesblns (2.62) u blu: EF 0 0 l 4EI 2EI K = 0. (2.65) l l 2EI 4EI 0 l l Elemen bazne mare rus K maju jasn fzč značenje, je sled z marčne jednačne (2.63). Elemen bazne mare rus preavljaju snvne sače nezavsne velčne šapa S, usled jednčnh vredns dgvarajućh snvnh defrmajs nezavsnh velčna šapa l, τ τ. U vm pglavlju je u ppuns rešen prblem šapa, a snvng elemena ravnh lnjsh nsača. Defnsane su nepznae sače defrmajse velčne šapa zvedene snvne jednačne z jh se ne mgu dred. Pazan je da aj prblem ma rešenje da su uslv pd jma je rešenje mguće.

25 2. Lnearna erja šapa 41 Tes 1. Naves sve r grupe nepznah velčne šapa. 2. Nabrja velčne jma se psuju pmeranja ačaa na s šapa. 3. Defnsa defrmajse velčne šapa ε, κ ϕ. 4. Defnsa sle u presema šapa. 5. Nara sle u dva blsa presea šapa C C', pzvne p nvenj. 6. Naves snvne prepsave Lnearne erje šapa. 7. Kje su pslede h prepsav? 8. Naves 3 grupe jednačna jma se psuju veze zmeđu nepznah velčna šapa. 9. Izves uslve ravneže elemena šapa. 10. Izves jednačne veze zmeđu pmeranja defrmaje elemena šapa. 11. Izves jednačne veze zmeđu sla u presu defrmaje šapa. 12. Kg pa su zvedene jednačne šapa? 13. Na l dferenjalnh jednačna se svd prblem šapa? 14. Ša je prebn pznava da b se rešle dferenjalne jednačne šapa? 15. Naves snvne sač nezavsne velčne šapa. 16. Izves zraze za sle u presema šapa usled svremeng delvanja sač nezavsnh velčna šapa perećenja duž se šapa. 17. Naves snvne defrmajs nezavsne velčne šapa. 18. Izves veze zmeđu pmeranja snvnh defrmajs nezavsnh velčna šapa. 19. Izves veze zmeđu snvnh sač snvnh defrmajs nezavsnh velčna šapa. 20. Ša je bazna mara rus šapa?