# m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx"

## Transcript

1

2 m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx

3 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K = W x x 2 x x 0 x (x) = x 0 F (x )dx x, x 2 x x2 x x2 x x 0 F (x)dx = F (x)dx F (x)dx = (x ) (x 2 ) x 0 K 2 K = 2 K + = K 2 + 2

4 E = K + (x) = 2 mv2 + (x) z m F = mgˆk z0 < z 2 mv2 2 mv2 0 = z z 0 mgdz = mg(z 0 z ) z z 0 = h v = 0 h = v2 0 2g F ( r) c = r(t) n r () r (2) n s i,i+ r (i) r (i+) r (i) = r (i+) r (i) r (i) F ( r(i) ) r (i) W F ( r () ) r () + F ( r (2) ) r (2) + = n i= F ( r (i) ) r (i) n n F ( r (i) ) r (i) n i= c F d r

5 F r F r. ri + r. i r n. ri- F F c = r(t) W = F d r. t c = r(t) c F d r = tn t c F d r tn ( r) dt d t = F ( r) v dt t t t n c m d v dt = F ( r)

6 d r m d v dt d r = F ( r) d r d r = vdt m d v v = F ( r) d r P, P 2 2 m v 2 2 P2 2 m v 2 = F ( r) d r P P P 2 P2 W 2 = F ( r) d r P K 2 K = K = 2 m v 2 2 F d r = W 2 F m l ϕ 0 B = m g N r = l dr = 0 d r = ê r dr + ê ϕ rdϕ = êϕldϕ

7 N N d r = 0 W = B d r g d r = g ê ϕ l dϕ = gl (ϕ π 2 ) ϕ W = mgl ϕdϕ = mgl( ϕ 0 ϕ) ϕ 0 v 0 = 0 2 mv2 = mgl( ϕ 0 ϕ) v = 2mgl( ϕ 0 ϕ) N B=mg

8 ê r v 0 = v 0r ê r + v 0ϕ ê ϕ v = v r ê r + v ϕ ê ϕ ê ϕ v x v x = 0ê r + v ϕx ê ϕ = v ϕx ê ϕ K x K x K 0 = F d r K = 2 m v 2 F = G Mm r 2 êr R r O

9 d r = ê r dr + ê ϕ rdϕ R r r F d r = GMm R ( dr = GMm r2 r ) R 2 m v 2 ( 2 m v 0 2 = GMm r ) R v 2 v 0 2 = 2 GM ( ) ( ) R R R 2 R r 2gR r v 0 2 = v 2 0r + v2 0ϕ v x 2 = v 2 ϕ x ( ) R vϕ 2 x (v0r 2 + v0ϕ 2 ) = 2gR r x r x v ϕx r x L = r p = mrv ϕˆk ˆk ê r, ê ϕ r = R r = r x L = mrv 0ϕ = mr x v ϕ v ϕ v ϕ = R r x v 0ϕ R 2 ( ) R rx 2 v0ϕ 2 (v2 0r + v0ϕ 2 ) = 2gR r x

10 R r x r x g, R h r x = R + h R r x = R R + h h R, R 2 (R + h) 2 2 h R h = v2 0r 2g v 0ϕ = 0 v2 0ϕ gr h = v2 0r 2g

11 F = yî + axĵ (0, 0) (, ) (xy) x : (0, 0) (, 0) y : (, 0) (, ) x = y x = y dx = dy, d r = îdx + ĵdy = (î + ĵ)dx F = x(î + aĵ) W O A (C ) = 0 x(î + aĵ) (î + ĵ)dx = + a 2 y = 0, dy = 0 F d r = 0 x = dx = 0, dr = ĵdy F = yî + aĵ W O A (C 2 ) = a W O A (C ) W O A (C 2 ) 0 dy = a a =

12 a F = yî+xĵ F F W U(r) = r r 0 F d r r 0 r r, r 2 U(r ) U(r 2 ) = r2 r F d r U(r ) U(r 2 ) = K 2 K U(r i ) = U i U + K = U 2 + K 2 E = K + U = 2 mv2 + U F ϵξ

13 P 2 P F ϵξ d r = 0 c a c b P 2 P 2 F ϵξ d r = Fϵξ d r + Fϵξ d r c a,p 2 c b,p 2 Fϵξ d r c b P 2 = Fϵξ d r c b,p 2 Fϵξ d r c b,p 2 = Fϵξ d r c a,p 2 f m f = µmg W = µmgl l U( r) r 0 F

14 U r 0 r r U( r) = F d r r 0 F ( r) = U( r) U( r) F = G Mm r 2 êr r ( U( r) = F d r = GMm ) r 0 r 0 r 0 r 0 = U r = r = x 2 + y 2 + z 2 U(r) = G Mm r U(r) U(r) = k G Mm r = k r = k GMm

15 x 2 + y 2 + z 2 = c 2 U(r) U(r) F ( r) = U(r) h R R = mgh r = R + h r = R + h ( h ) R R (r) = U(r) U(R) = G Mm r + G Mm R GMm R 2 h = mgh m F δ F µδ F = F δ + F µδ W 2 = = 2 2 F d r = K 2 K 2 F δ d r + F µδ d r

16 2 F δ d r = U U 2 W µδ, 2 = 2 F µδ d r E = K 2 + U 2 (K + U ) = W µδ, 2 ϕ v 0 µ B = mg N = mg ϕ f = µ N E = W τρ. K = 2 mv2 0, U = mgh K 2 = 2 mv2, U 2 = 0 f N h B s

17 E = (K + U) = 2 m(v2 v0) 2 mgh s W τρ. = f d r = fs = µmg ϕ s s ϕ = l = h ϕ E = W τρ. v 2 v 2 0 = 2gh( µ ϕ) µ ϕ < v 2 = v gh( µ ϕ) µ ϕ = v = v 0 µ ϕ > h c = v 2 0 2g(µ ϕ ) ( hhc ) v 2 = v 2 0 h < h c h > h c (x) x

18 x W 2 = 2 F x dx F x U(x) = F x dx F x = du dx U(x) h = mgh U = 0 U = 0 U < 0 U = 0 U > 0 E > U K = E U /r 2 /r

19 (r) = a r 6 + r 0 < r < r 0 U r b r 2 (r 0 ) = 0 r 0 = 6 2a b (r 0 ) = a2 4b a = b = E > 0 r min 0 < E < U E = U E < 0 r min, r max E = U r 0 U(r 0 ) = U min E > 0 E < 0

20 r r s K = 2 mṡ2 F = (F t, F n ) F t F t U = F t ds E = K + U F ( r) = f( r) ê r f( r) r f( r)

21 f( r) = f(r) F ( r) = A r 2 êr A = Gm m 2 kq q 2 F = U U U = ê r r + ê U θ r θ + ê U ϕ r θ ϕ ê r U θ = U ϕ = 0 U r U = U(r) F = du(r) ê r = F dr (r) F = f(r)ê r

22 M ρ( r) M i M = i M i M i r i M i m R F i = G mm i R r i ( R r i ) = G mm i 3 r i R ( r 3 i R) F = i G mm i r i R ( r 3 i R) i M i dm = ρd r i r F = Gm r R r R 3 ρ( r)d g = F /m g = G r R r R 3 ρ( r)d dm du = G mdm r R U( R) = Gm ρ( r) r R d (r)

23 U( R) F ( R) = R U( R) = Gm ρ( r) R r R d (r) ( r = Gm ρ( r) ) R r R d (r) 3 R R r m u( R) = U( R)/m u( R) = G ρ( r) r R d (r) u( R) S F S Φ F = F ds S U( R) = c S S U

24 s R = R(s) du ds = 0 du ds = U ê t ê t U ê t = 0 U S U ê t F ( R) = U( R) F F S M ρ( r) Φ = F ds F = GMm r r 3 S Φ = GMm S r r 3 d S r Ω = r 3 d S = 4π S

25 Φ = 4πGMm F ds = S F d F d = 4πGMm M M = ρ( r)d F = m g( r) m ( g + 4πGρ( r)) d = 0 g = 4πGρ( r) g( r) = u( r) 2 u( r) = 4πGρ( r), r 0 2 u( r) = 0, r / 0

26 x = (3 t 2 )at, y = 3at 2, z = (3 + t 2 )at t = [0, t 0 ] k = τ = 3a ( + t 2 ) 2 F = 2xyî + x 2 ĵ m y = x 2 (0, 0) (, ) y = x F = kx k x (x, y) = (0, 0) v 0 y = y(x)

27 m F = f(r)ê r F 2 = k v L 0 L = L 0 e kt/m v = ± m 2 m m + m 2 g r, r r r r r 3 r r r r r r r, r r r r r 3, 2 r r r ρ( r) P oisson 2 u( r) = 4π G ρ( r) ρ( r) = A e r r Laplace P oisson g( r) = F /m ρ( r) r g( r) = 4π G ρ( r)

28 r r r g( r) = G r r 3 ρ( r ) d r M r r r ( r ) r r g( r) = G r r r 3 ρ( r ) d { } 2 r r ρ( r ) d = 4πρ( r) r 2 r r r = 4πδ3 ( r r ) δ 3 ( r r )ρ( r ) d = ρ( r) r r r = r ; R xy z R M σ

29 m r { G mm U(r) = r G mm R r > R r < R m ρ(r) r m U(r) = G mm r, r > R U(r) = G mm(r) r Gm4π R r ρ(r )r dr, r < R M(r) r F (r) = G mm(r) r 2 m R ; N m i U = Mgz cm M z cm v 0 = 0

30 z a σ 0 ( ) U(z) = 2πG N σ 0 z 2 + a 2 z R z F π = G Mm (xî + yĵ 2 zˆk) R3 a) ρ( r) b) x 2 + y 2 + (z ) 2 < 2 z m 0 Ioannina Athens r R

31 m, m 2 v, v 2 v, v 2 m v + m 2 v 2 = m v + m 2 v 2

32 U(r) = G m m 2 r r r 2 F ( r r 2 ) 0 K 2 = K 2 m v m 2v2 2 = 2 m v m 2v 2 2 Q K 2 = K + Q 2 m v m 2v2 2 = 2 m v m 2v Q m m 2 2 r R r 2 2

33 Q > 0 Q = 0 Q < 0 v, v 2 v, v 2 m v + m 2 v 2 = m v + m 2 v 2 2 m v m 2v2 2 = 2 m v m 2v Q Q = 0 m (v v ) = m 2 (v 2 v 2 ) m (v 2 v 2 ) = m2 (v 22 v 2 2 ) v v 0 v 2 v 2 0 v + v = v 2 + v 2

34 v 2 = v + v v 2 v = (m m 2 )v + 2m 2 v 2 m + m 2 v 2 = (m 2 m )v 2 + 2m v m + m 2 v = m v + m 2 v 2 (m m 2 (v v 2 )) + 2 m m 2 (m + m 2 )Q m + m 2 m 2 (m + m 2 ) v 2 = m v + m 2 v 2 (m m 2 (v v 2 )) 2 m m 2 (m + m 2 )Q m + m 2 m (m + m 2 ) v = v 2 (m m 2 (v v 2 )) 2 m m 2 (m + m 2 )Q = 0 Q = m m 2 (v v 2 ) 2 m + m 2 M = m + m 2 v = m v + m 2 v 2 m + m 2 M m R > r h m = m 2 v = v 0, v 2 = 0 m v = m( v + v 2) 2 mv2 0 = 2 mv mv 2 2

35 v 0 v 0 = ( v + v 2) ( v + v 2) v 2 0 = v 2 + v v v 2 v v 2 = 0 R = m r + m 2 r 2 = m r + m 2 r 2 m + m 2 M = m v + m 2 v 2 M v v 2 v c = v m 2 = ( v v 2 ) m + m 2 v 2c = v 2 = m m + m 2 ( v v 2 ) r r 2

36 p c = m v c = m m 2 m + m 2 ( v v 2 ) p 2c = m 2 v 2c = m m 2 m + m 2 ( v v 2 ) µ = m m 2 m + m 2 p c = µ ( v v 2 ) p 2c = µ ( v v 2 ) p = p c + p 2c = 0 p = m v + m 2 v 2 = (m + m 2 ) = constant v 2c, v c v 2c, v c

37 v ic, v ic v 2c = m m 2 v c v 2c = m m 2 v c 2 m vc m 2v2c 2 = 2 m v c m 2v 2c 2 ( ) ( ) m + m2 vc 2 = m + m2 v 2 c m 2 m 2 v c = v c, v 2c = v 2c ` 2c c 2c ` c c 2 2c 2

38 v c = m 2 m v 2c, v c = m 2 m v 2c v 2c = 0 m = v m + m 2 m 2 v c = v m + m 2 v 2c = v c v c Θ v = + v c θ v 2, v 2c θ = v c Θ + v c Θ = v c = v c = m 2 m + m 2 v, = Θ /v c + Θ m m + m 2 v m 2c c

39 /v c = m /m 2 Θ θ = m m 2 + Θ m m 2 < m m 2 + Θ θ (, ) θ m m 2 m m 2 > + Θ θ θ = θ max v v c θ max = v c v, 2 = v 2 + v 2 c ` ` c c θ m m 2 < ` ` c max c θ max m m 2 >

### A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

### m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

### F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

### !"#\$ % &# &%#'()(! \$ * +

,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + ,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + 6 7 57 : - - / :!", # \$ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # \$ %, ) #, '(#,!# \$\$,',#-, 4 "- /,#-," -\$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

### εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

### ( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

### Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

### Ευσταθής - Ασταθής ισορροπία

ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 1 Ευσταθής - Ασταθής ισορροπία Έστω ένα σώμα σε ισορροπία. Του δίνουμε μια μικρή ώθηση Αν το σώμα κινηθεί προς τη θέση ισορροπίας τότε η ισορροπία είναι ευσταθής. Αν το σώμα απομακρυνθεί

Διαβάστε περισσότερα

### ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006

Σειρά Θέση ΦΥΣ. 3 Τελική Εξέταση: 3-Δεκεμβρίου-6 Πριν αρχίσετε συμπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητας). Ονοματεπώνυμο Αριθμός ταυτότητας Σας δίνονται ισότιμα προβλήματα ( βαθμοί

Διαβάστε περισσότερα

### Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

### Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

### Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

### ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

### ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα:

ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα: d F d s Παρατηρήσεις Το έργο εκφράζει την ποσότητα της ενέργειας που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

### είναι το φυσικό µήκος του ελατηρίου, να βρείτε τις συναρτήσεις F = f ( l)

ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η (Παράδοση: 8/04/005 ) Άσκηση Πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται ακίνητη η µάζα m = 4Kg στην οποία είναι δεµένη η µια άκρη του ελατηρίου σταθεράς k = 300N/m. Η µάζα m = Kg κινείται µε ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

### Š Š Œ Š Œ ƒˆ. Œ. Ïµ,.. ÊÏ,.. µ ±Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 7 Š 524.8+[530.12:531.51] Š Š Œ Š Œ ƒˆ. Œ. Ïµ,.. ÊÏ,.. µ ±Ê Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 138 Š Šˆ Š Š ˆ ˆ Š Œ ƒˆˆ 140 Š Œ ƒˆÿ œ 141 Š Ÿ Š Œ ƒˆÿ 143 ˆ Ÿ Š Œ ƒˆÿ ˆ Œ 144 ˆŸ Ä ˆ Œ

Διαβάστε περισσότερα

### Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ Διαλ.19 1

Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 2 Κρούσεις σε 2 διαστάσεις q Για ελαστικές κρούσεις! p 1 + p! 2 = p! 1! + p! 2! όπου p = (p x,p y ) Δηλαδή είναι 2 εξισώσεις, µια για κάθε διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

### Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F! που περιγράφεται από την σχέση:! F = f(r)! r

Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F που περιγράφεται από την σχέση: F fr) r όπου fr) µια συνάρτηση, η οποία δεν ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης r

Διαβάστε περισσότερα

### 5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες

5 η Εργασία Παράδοση /5/7 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες Για ένα συµµετρικό σώµα (για παράδειγµα, ϑεωρείστε ένα κυλινδρικό σώµα) που κυλά προς τα κάτω, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο, να

Διαβάστε περισσότερα

### Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης.

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης 9 ο μάθημα Κεφάλαιο 1 Κινηματική του Στερεού Σώματος Κίνηση στερεού σώματος

Διαβάστε περισσότερα

### Ειδικά κεφάλαια δικτύων αποχέτευσης

Ειδικά κεφάλαια δικτύων αποχέτευσης (συναρµογές, προβλήµατα µεγάλων και µικρών ταχυτήτων) ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών & Θαλάσσιων Έργων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΝΟΨΗ 2 ου Μαθήματος

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

### Μαγνητικοί άνεμοι και απώλεια στροφορμής

8 Μαγνητικοί άνεμοι και απώλεια στροφορμής Σχήμα 8.1: Μορφολογία ενός αστρικού ανέμου στο ισημερινό επίπεδο στα πλαίσια της αντιμετώπισής του από το απλοποιημένο μοντέλο του μαγνητοπεροστροφικού ανέμου

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις Εξετάζοντας την αιώρα παρατηρούμε ότι στα ανώτατα σημεία η ενέργεια μοιάζει να έχει αποθηκευτεί υπό κάποια άλλη μορφή, που συνδέεται με το ύψος της πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

### ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

### ) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr

Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ 211 - Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές.

Διαβάστε περισσότερα

### ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

### σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

### Τεχνολογικό Πανεπιστήµιο Κύπρου

Τεχνολογιό Πανεπιστήµιο Κύπρου Σχολή Μηχανιής αι Τεχνολογίας Τμήμα Πολιτιών Μηχανιών αι Μηχανιών Γεωπληροφοριής ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Διδάσων/ Συντονιστής μαθήματος Εξάμηνο Δρ Ευάγγελος Αύλας

Διαβάστε περισσότερα

### Ποια η ταχύτητά του τη στιγµή που έχει περάσει πλήρως από την τρύπα? Λύση µε διατήρηση της ενέργειας. + K f. ! 0 + 0 = mg " L & \$ !

Παράδειγµα Ενέργειες Το ακόλουθο πρόβληµα µπορεί να λυθεί είτε µε χρήση των νόµων του Newton ( F=mα ) ή Διατήρηση ενέργειας. Ένα µικρό τµήµα σχοινιού κρέµεται προς τα κάτω µέσα από µια τρύπα σε λείο τραπέζι.

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η. Παράδοση 16-3-2009. Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Παράδοση -3-009 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση Δύο σώματα m και m κινούνται χωρίς τριβές στην τροχιά που φαίνεται στο σχήμα με ταχύτητες V και V αντίστοιχα, V f V. Ελατήριο

Διαβάστε περισσότερα

### Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων

ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 1 Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων q Κάντε ένα σκίτσο του προβλήµατος και διαλέξτε το σώµα ή σώµατα που θα αναλύσετε. q Για κάθε σώµα σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται (διάγραµµα ελευθέρου

Διαβάστε περισσότερα

χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)

Διαβάστε περισσότερα

### 6. ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ

6.1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΪΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 6. ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ -Λεπτοµέρειες της ροής Απειροστός όγκος ελέγχου - ιαφορική Ανάλυση Περιγραφή πεδίων ταχύτητας και επιτάχυνσης Euleian, Lagangian U U(x,y,,t)

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

### Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

### 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

### x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4

ΦΥΕ4, 9- - η Εργασία Παράδοση 8.. Πρόβληµα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα (i cos d, (ii ln d, (iii e sin d, (iv e d (i cos d = = ( sin ( sin sin d = ( ( ( cos + C = ( ( sin + sin ( sin d ( cos +

Διαβάστε περισσότερα

### Το πρόβληµα της σκέδασης

Το πρόβληµα της σκέδασης ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 1 q Θεωρήστε μή φραγμένη κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Ø Σωματίδιο έρχεται από το άπειρο και πηγαίνει στο άπειρο q Υποθέστε ότι F( r) 0 καθώς r Ø H τροχιά προσεγγίζει

Διαβάστε περισσότερα

### Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

### Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

### Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

### Η κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση:

Η κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση: K=λs όπου λ θετική και σταθερή ποσότητα και s το µήκος της διαδροµής που διάνυσε το σωµατίδιο. Να

Διαβάστε περισσότερα

### Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης.

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης 4 ο μάθημα Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια Έργο σε μια διάσταση Νόμοι διατήρησης:

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ

Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

### Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

### Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 27 Μαίου 2014

Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαίου 014 Στόχοι διάλεξης Πώς να: υπολογίζει την μεταβολή της μαγνητικής ροής. εφαρμόζει το νόμο του Faraday για τον υπολογισμό της επαγόμενης

Διαβάστε περισσότερα

### Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Α ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ 1-12134 -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 210-5757255

ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ - -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 0-77 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

### Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) ΘΕΜΑ 1

προσπίπτει vb vb το Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (8-7-6) ΘΕΜΑ A. Ένα σωματίδιο μάζας mbb σε σωματίδιο μάζας mbb οποίο είναι ακίνητο και συγκρούεται ελαστικά μαζί του. Τα σωματίδια κινούνται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

### Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

### Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N

Παράδειγµα roller coaster ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 1 Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; y-διεύθυνση:

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2003

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 3 Θέµα 1 (5 µονάδες) Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις µε συντοµία και σαφήνεια Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου (α) Η ταχύτητα ενός

Διαβάστε περισσότερα

### ii) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σωµάτων την χρονική στιγµή t=τ/2, όπoυ Τ η περίοδος ταλάντωσης του Σ 1.

Το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθε ράς k είναι ακλόνητο, ενώ στο άλλο του άκρο έχει στερεωθεί µικρό σώµα Σ µάζας m, το οποίο βρίσκεται σε επαφή µε λείο οριζόντιο έδαφος. Μετατοπίζουµε το σώµα

Διαβάστε περισσότερα

### Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

### Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1

Έργο Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 2 Έργο, Κινητική Ενέργεια και Δυναμική Ενέργεια q Βέλος εκτοξεύεται από ένα τόξο: Ø Η δύναμη μεταβάλλεται καθώς το τόξο επανέρχεται στην αρχική του θέση

Διαβάστε περισσότερα

### Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα

Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα Αυτοκίνητο τρέχει στην πίστα που φαίνεται και έχει κυκλικά τόξα ένα ακτίνας 80m και ένα 40m. Αν οδηγός τρέχει ένα πλήρη κύκλο με σταθερή ταχύτητα 50m/s (80km/h) συγκρίνετε την

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤETAΡΤΗ 6 ΜΑΙΟΥ 010 ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ 1) β) Παρατήρηση: το ερώτημα ζητάει την μεταβολή της περιόδου σαν συνάρτηση του χρόνου. Οχι σε σχέση με την σταθερά απόσβεσης.

Διαβάστε περισσότερα

### 1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Θέµα Α

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική Θέµα Α Α.1. Στην άκρη ενός τραπεζιού ϐρίσκονται δύο σφαίρες Σ 1 και Σ. Κάποια χρονική στιγµή η σφαίρα Σ 1 εκτοξεύεται

Διαβάστε περισσότερα

### 1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble

ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble Σύμφωνα με την Κοσμολογική Αρχή το Σύμπαν είναι σε μεγάλες κλίμακες ομογενές και ισότροπο.

Διαβάστε περισσότερα

### όπου: f.m.r 2 = I η ροπή αδράνειας του σώµατος οπότε: m. g. h = [(1/2). m. v cm 2 ].( 1+ f ) v cm = [(2.g.h)/ ( 1 + f )] 1/2

1 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5. 00-003, ΦΥΕ14 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της ιδίας µάζας

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Θέμα Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

### Νόµοι του Νεύτωνα και εφαρµογή στην κίνηση των σωµάτων

2 Νόµοι του Νεύτωνα και εφαρµογή στην κίνηση των σωµάτων 2.1 Νόµοι του Νεύτωνα Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα Ενα σώµα παραµένει στην ίδια κατάσταση ηρεµίας ή κίνησης µε σταερή ταχύτητα, εάν δεν ασκείται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

### Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση

3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec. Ημερομηνία Παράδοσης: 6//006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

### Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

### Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια.

Έργο - Ενέργεια Βασική έννοια. Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική, Χημική, Θερμική, Πυρηνική, κ.α. Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη. Μηχανική ενέργεια. Λύση προβλημάτων μηχανικής. α) ος νόμος Νεύτωνα,

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Διαταραχών Λογισμού Μεταβολών Άσκηση 3.10, σελίδα 35 από το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

### ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:

Διαβάστε περισσότερα

### K = 1 2 mu2 = 320 kj. U g = mgh = 39.24 kj. 320000 + 0 = 1 2 mu2 f + 39240. 2 280760 u = 4 u = 374.7 m/s. K i = U f 320000 = mgh max h max = 81555 m

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-2: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 9//205 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 23//205 Σηµείωση

Διαβάστε περισσότερα

### i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και

Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον

Διαβάστε περισσότερα

### Πανελλήνιες Εξετάσεις - 29 Μάη Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Β

Πανελλήνιες Εξετάσεις - 29 Μάη 2015 Α.1 (α) Α.2 (ϐ) Α.3 (α) Α.4 (δ) Α.5 Λ,Σ, Σ, Λ, Σ Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Θέµα Β Β.1. (iii) Ο Ϲητούµενος ϱυθµός µεταβολής είναι

Διαβάστε περισσότερα

### Δύναμη F F=m*a kgm/s 2. N = W / t 1 J / s = 1 Watt ( W ) 1 HP ~ 76 kp*m / s ~ 746 W. 1 PS ~ 75 kp*m / s ~ 736 W. 1 τεχνική ατμόσφαιρα 1 at

Δύναμη F F=m*a kgm/s 2 1 kg*m/s 2 ~ 1 N 1 N ~ 10 5 dyn Ισχύς Ν = Έργο / χρόνος W = F*l 1 N*m = 1 Joule ( J ) N = W / t 1 J / s = 1 Watt ( W ) 1 1 kp*m / s 1 HP ~ 76 kp*m / s ~ 746 W 1 PS ~ 75 kp*m / s

Διαβάστε περισσότερα

### ( ) ( 0 ) ( e. ( t) ( ) ( ) λ ( ) λ N λ λ. ln λ / λ. dt = = λ λ. Ιδανική ισορροπία! t, ο λόγος των ενεργοτήτων Β/Α: N b. c b b.

Αλυσίδες Ραδιενεργών ιασπάσεων A B C ιαδοχικές διασπάσεις: λ λ (σταθερός πυρήνας) dn λnd N 0 η ενεργότητα dn λnd λnd Αρχικές συνθήκες: της πηγης N ( 0) 0 N δεν ειναι λ dn λ N d Nc ( 0) 0 c λ N ( ) N (

Διαβάστε περισσότερα

### Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΑΘΟΔΗΓΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΡΟΜΠΟΤ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΑΣΥΡΜΑΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΙΣΘΗΤΗΡΩΝ

ΚΑΘΟΔΗΓΗΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΡΟΜΠΟΤ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΑΣΥΡΜΑΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΙΣΘΗΤΗΡΩΝ ΠΑΝΟΣ ΜΑΡΑΝΤΟΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΩΒΑΙΟΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΠΟΥΛΟΣ, ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΠΑΝΟΥΣΟΠΟΥΛΟΥ και ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΤΖΕΣ 1 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ Παράδοση 4 Ολιγοπωλιακός ανταγωνισμός Εισαγωγή: η αποτελεσματικότητα των τέλεια ανταγωνιστικών αγορών Σημαντική υπόθεση πίσω από την αποτελεσματικότητα των αγορών: Τέλειος ανταγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

### Τα προτεινόμενα θέματα είναι από τις γενικές ασκήσεις προβλήματα του Ι. Δ. Σταματόπουλου αποκλειστικά για το site (δεν κυκλοφορούν στο εμπόριο)

Τα προτεινόμενα θέματα είναι από τις γενικές ασκήσεις προβήματα του Ι. Δ. Σταματόπουου αποκειστικά για το site (δεν κυκοφορούν στο εμπόριο) Θέμα 7 ο Σώμα μάζας m Kg έχει δεθεί στην άκρη κατακόρυφου εατηρίου

Διαβάστε περισσότερα

### Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

### Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ

Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 16, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Διανυσματικές συναρτήσεις & καμπύλες στο χώρο 3..1 Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων....................

Διαβάστε περισσότερα

### Για τον ορισμό της ισχύος θα χρησιμοποιηθεί η παρακάτω διάταξη αποτελούμενη από ένα κύκλωμα Κ και μία πηγή Π:

1. Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα ορίζεται ως ο ρυθμός μιας συνισταμένης κίνησης φορτίων. Δηλαδή εάν στα άκρα ενός μεταλλικού αγωγού εφαρμοστεί μια διαφορά δυναμικού, τότε το παραγόμενο ηλεκτρικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

### Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα

Διαβάστε περισσότερα

### Επί υλικού σηµείου µάζας m ενεργεί κεντρική δύ, η οποία ακολουθεί τον νόµο:

Επί υλικού σηµείου µάζας m ενεργεί κεντρική δύ ναµη F, η οποία ακολουθεί τον νόµο: F = ke r r όπου k θετική σταθερή ποσότητα και r το διάνυσµα θέσεως του υλι κού σηµείου ως πρός το κέντρο Ο, από το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις

Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09

ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Ημερομηνία Παράδοσης: 9/6/9 1. Ένας ομογενώς φορτισμένος μονωτικός κυκλικός δίσκος ακτίνας με συνολικό φορτίο τοποθετείται στο επίπεδο xy. Να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο P που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

### Συνοπτικές λύσεις / Υποδείξεις των θεµάτων του Πανελλήνιου ιαγωνισµού Φυσικής. Α Λυκείου. Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2005

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 005 Συνοπτικές λύσεις / Υποδείξεις των θεµάτων του Πανελλήνιου ιαγωνισµού Φυσικής Α Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέµα ο Α. Η επιτάχυνση θα είναι α=gηµφ οπότε:

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

### Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Κολόνα πέφτει σε γίγαντα. Δίνονται η µάζα του γίγαντα Μ, της κολόνας m, το µήκος της κολόνας l, η ταχύτητα της κολόνας v. H κίνηση γίνεται σε λεία επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

### Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

### 2 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ

2 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ Διαθέτουμε τροχό ο οποίος αποτελείται από έναν ομογενή λεπτό δακτύλιο μάζας m = 1 kg και ακτίνας R και τέσσερις λεπτές ομογενείς ράβδους μάζας Μ ρ = ¾m και μήκους l = 2R η

Διαβάστε περισσότερα

### Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

### Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

### Γυροσκοπικοί υπολογισμοί

Γυροσκοπικοί υπολογισμοί Γυροσκοπικοί υπολογισμοί Α) Εισαγωγή Το γυροσκόπιο είναι μια διάταξη, η οποία μπορεί να διατηρεί σταθερό τον προσανατολισμό της μέσω της περιστροφής των μερών της. Για να μεταβληθεί

Διαβάστε περισσότερα