Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Transcript

1

2

3

4

5

6 a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R:

7 y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t) = p(t)y(t) + q(t); a t b; y(a) = y :

8 p q [a; b]; p; q 2 C [a; b]; Z y(t) = R t t a hy p(s) ds + q(s) R i s a p() d ds ; a t b; a Z y(t) = R t t a p(s) ds y + q(s) R t s p() d ds; a t b: a p = ; y (s) = q(s); [a; t]; a < t b; y(t) y(a) = R t a q(s) ds; y(t) = y(a) + Z t a q(s) ds; a t b: y (s) p(s)y(s) = q(s) R s a p() d y(s) = R s a p() d q(s): a t; q q(t) = ( y (t) = 2ty(t) + t; t 2 R; y() = : p(t) = 2t q(t) = t: a = y = ; y(t) y(t) = t 2h + Z y(t) = R t t h 2s ds + s R i s 2 d ds ; t 2 R: Z t i s s2 ds ; t 2 R:

9 := s 2 ; Z t s s2 ds = 2 y(t) = t 2h 2 Z t 2 d = 2 t 2 ; t 2 i = t 2h t 2 i ; y(t) = 2 3 t 2 ; t 2 R: y (t) = y(t) + 3t; t t: p(t) = /t q(t) = 3t: y() = c; c; y(t) t; y(t) = t hc + Z y(t) = R t t s hc ds + 3s R i s d ds ; t 2 R: Z t i 3s s ds = h Z t i c + 3ss ds = t t (c + t 3 ); y(t) = t 2 + c t ; t > ; c = c : t: y (t) = p(t)y(t) + q(t)[y(t)] ; a t b;

10 2 R; = = y = v(t) := [y(t)] ; v (t) = ( )[y(t)] y (t); [y(t)] v (t) = p(t)y(t) + q(t)[y(t)] ; v (t) = ( )p(t)v(t) + ( )q(t); a t b: v; y v(t) = [y(t)] : [y(t)] [y(t)] [a; b]; y(t) y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; a t b; [a; b]: = 2: y; y(t) = t 2 [a; b]; v(t) := [y(t)] 2 = /y(t); y(t) [a; b]; v (t) = [y(t)] 2 y (t); [y(t)] 2 v (t) = y(t) + [y(t)] 2 v (t) = y(t) +

11 v (t) = v(t) ; a t b: v(t) = c t + ; c 2 R; y(t) = c t + ; a t b; c c t + [a; b]; c t + ; t 2 [a; b]: c t + a b; [a; b]: c [a; b]; a; b; b; a: c [a; b]; a; b; b; a: y (t) = r(t) + p(t)y(t) + q(t)[y(t)] 2 ; a t b: q = r = = 2: y y(t) = y (t) + z(t) ;

12 z; z y t; y (t) = y (t) [z(t)] 2 z (t): y(t) y (t) y (t) h [z(t)] 2 z (t) = r(t) + p(t) y (t) + i h + q(t) y (t) + i 2; a t b; z(t) z(t) y (t)r(t) p(t)y (t) q(t)[y (t)] 2 [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 : y [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 ; a t b; [z(t)] 2 ; z (t) = p(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t); a t b: z y y y (t) = t y(t) [y(t)] 2 ; t 2; 2 t y (t) = /t y

13 y(t) := t + z(t) ; z; z(t) [; 2]; y (t) = t 2 [z(t)] 2 z (t): y(t) y (t) t 2 [z(t)] 2 z (t) = t 2 t t + z(t) t + 2; t 2; z(t) [z(t)] 2 z (t) = 3 tz(t) [z(t)] 2 ; t 2; [z(t)] 2 ; z (t) 3 z(t) = ; t 2: t y (t) = /t z; '(t) ; ' '(t) z (t) 3 t '(t) z(t) = '(t) : ' ' (t) = 3/t; t; '(t) = 3 t; '(t) = /t 3 ; t 3 z(t) = t 3 :

14 t Z t z(t) = 3 t dt = 3 2t + c; 2 z(t) = ct 3 t 2 ; t 2; c; c 2 R: y(t) = t + ct 3 t ; t 2; 2 c: [; 2]; '(t) := ct 2 2 t 2 [; 2]: ' c c < c ; '() '(2) ' [; 2] [; 2]: c ; ' [; 2]; '() c > /2; '(2) c < /8: ' [; 2]; c < /8 c > /2: y y (t) = /t c ct 2 /2; y y (t) = g(t) f (y(t)) :

15 t y; y = g(t) f (y) dy dt = g(t) f (y) : f (y) dy = g(t) dt: Z Z f (y) dy = g(t) dt; F (y) = G(t) + c; c: y t; y(t): dy dy dt dx: y = g(t) f (y) : y t: f (y(t)) f (y(t)) I;

16 f (y(s))y (s) = g(s); s 2 I; a I a t Z t a f (y(s))y (s) ds = Z t a g(s) ds; t 2 I: y I = y(s): y(a) y(t); d = y (s) ds; Z y(t) f () d = Z t y(a) a g(s) ds; t 2 I: F G f g; F (y(t)) F (y(a)) = G(t) G(a); t 2 I: y a; G(t); G(a); F (y(a)) F y: y y: y a; F (y(a)) c F (y(t)) = G(t) G(a) + c; t 2 I; y; G(a); c: y(t) y (t) = t + t 3 ;

17 a t a; Z t a y(s) y (s) ds = Z y(t) y(a) d = Z t a Z t a (s + s 3 ) ds; (s + s 3 ) ds; y(t) y(a) = t t 4 4 a2 2 a4 4 : y a; c y(a) a2 2 a4 4 ; y(t) = t t c: y c; R y(t); y(t) = t t c ; y (t) = 3t 2 + 4t + 2 2[y(t) ] ; t ; y() = ;

18 y ; t: 2[y(s) ]y (s) = 3s 2 + 4s + 2 t; t; Z t 2[y(s) ]y (s) ds = = y(s); Z y(t) 2( ) d = Z t y() Z t (3s 2 + 4s + 2) ds; (3s 2 + 4s + 2) ds; [y(t)] 2 2y(t) [y()] 2 2y() = t 3 + 2t 2 + 2t: y() = ; [y(t)] 2 2y(t) = t 3 + 2t 2 + 2t + 3: y (t) = p t 3 + 2t 2 + 2t + 4; y 2 (t) = + p t 3 + 2t 2 + 2t + 4; t : y 2 (t) y 2 () = 3 y(t) = y (t); t : y (t) = ty(t)[y(t) 2] y(t) = y(t) = 2 y(t) 2 y (s) y(s)[y(s) 2] = s:

19 a a t; Z t := y(s); a y Z (s) t y(s)[y(s) 2] ds = s ds; a Z y(t) y(a) Z t ( 2) d = s ds: a ( 2) = 2 2 ; h Z y(t) Z y(t) 2 y(a) 2 d i Z t y(a) d = s ds; a t 2 jy(t) 2j jy(t)j jy(a) 2j jy(a)j = a2 2 : jy(a)2j jy(a)j a 2 c; a y a; jy(t) 2j jy(t)j = t 2 + c; zc ; ˇ ˇy(t) 2 ˇ = t 2 + c; y(t) ˇ ˇ 2 ˇ = t 2 + c: y(t) ˇ ˇ 2 ˇ = zc t 2 ; y(t) 2 y(t) = C t 2 ;

20 C; y(t) = 2 + C t 2 C : C; y + C t 2 : y 2: C = ; y(t) = 2: y(t) = C; y (t) = g y(t) t f f (t; y) = f (t; y) 8; t; y 2 R: M N f; f (t; y) := M (t; y)/n (t; y); y (t) = f t; y(t) ; M (t; y) dt + N (t; y) dy = ; g(s) := f (; s); f (t; y) = f (t ; t y t ) = t f (; y t ) = f (; y t ):

21 v(t) := y(t)/t; t; y(t) = tv(t); y (t) = tv (t) + v(t); tv (t) = g v(t) v(t); g v(t) v(t) t; v (s) g v(s) v(s) = s : a a t a t Z t a v Z (s) t g v(s) v(s) ds = a s ds; = v(s); Z v(t) v(a) d = jtj jaj: g() G /[g() ]; G(v(t)) G(v(a)) = jtj jaj; t 2 I: y a; G v: v v: v a; G(v(a)) jaj c G(v(t)) = jtj + c; t 2 I;

22 v; v; y y(t) = tv(t): g v(t) v(t) v? 2 R g; g(v) = v; tv (t) = ; v v(t) = v? : y(t) = v? t y (t) = [y(t)]2 + 2ty(t) t 2 v(t) := y(t)/t v(t) + tv (t) = [v(t)] 2 + 2v(t) tv (t) = [v(t)] 2 + v(t): v 2 + v = v = v = : y(t) = y(t) = t v(t) v (s) v(s)[v(s) + ] = s :

23 a a t; Z t a v (s) v(s)[v(s) + ] ds = := v(s); Z v(t) v(a) ( + ) d = Z t Z t a a s ds; s ds: Z v(t) v(a) ( + ) = + ; Z v(t) Z d t v(a) + d = a s ds; jv(t)j jv(t) + j jv(a)j jv(a) + j = jtj jaj: jv(a)j jv(a) + j jaj jcj; c; a v a; jv(t)j jv(t) + j = jtj + jcj; v(t) ˇ ˇ = jctj; v(t) + v(t) v(t) + = ct; c: v(t) = y(t) = tv(t) ct ct ; y(t) = ct 2 ct c: c; y t /c:

24 y M (t; y(t)) (t) = N (t; y(t)) : f (t; y) = M (t; (t; y) = N (t; M (t; y) dt + N (t; y) dy = : f d dt f (t; (t; (t; y(t)) y (t) = M (t; y(t)) + N (t; y(t)) y (t) = ; f (t; y(t)) f (t; y(t)) = c; c: y y; f f: M N 2 f f ;

25 @t : f Z f (t; y) = M (t; y) dt + g(y); = M: Z M y (t; y) dt + g (y) = N (t; y): M y N t ; Z N t (t; y) dt + g (y) = N (t; y) Z g (y) = N (t; y) N t (t; y) dt: y; Z h Z g(y) = N (t; y) i N t (t; y) dt dy + C; C: f M N; M N f; Z Z h Z i f (t; y) = M (t; y) dt + N (t; y) N t (t; y) dt dy + C: y(t) y (t) = t y(t) + 2y(t) :

26 M (t; y) := y N (t; y) := t y (t; (t; y) = y ; f (t; (t; y) @y (t; y) = ty + (t; y) = y f (t; y) = t y + g(y); (t; y) = ty + 2y t y + g (y) = t y + 2y; g (y) = 2y; g(y) = y 2 + c; c: f (t; y) = t y + y 2 + c; c: t y(t) + [y(t)] 2 = c; c: ; y (t; y(t))m (t; y(t)) (t) = (t; y(t))n (t;

27 @t @t : t y; = = (t): d t; y; N : (t) N dt : = = d @t M : y; t; = (y); (y) M N y; M

28 t; = (y); y (t) = y(t) t 2 y(t) t : M (t; y) := y N (t; y) := t 2 (t; y) (t; y) = @y M (t; y) = 2ty + 2 y = 2t + 2 y t; = N (t; y) = 2ty + 2 t 2 y t = 2 t y; = (t) t: d dt (t) = 2 t (t) (t) = 2 t ; j(t)j = 2 jtj = t 2 (t) = t 2 : (t) = /t 2 : /t 2 ; y(t) t 2 y (t) = ; y(t) t

29 f = f (t; y) = y ty (t; y) = (t; y) = y Z H) f (t; y) = (t; y) = t + g (y); t + g (y) = ty t y t 2 dt + g(y) = y t + g(y): g (y) = y; g(y) = 2 y2 + c; c: f (t; y) = y t + 2 y2 + c; y(t) y(t) t c: + 2 [y(t)]2 + c = ; Η γραμμική Δ.Ε. ανάγεται σε πλήρη. y (t) = p(t)y(t) + q(t) y M (t; y(t)) (t) = N (t; y(t)) M (t; y) = p(t)y q(t) N (t; y) = : p; (t; y) = ; p = N (t; (t; (t; y) = p(t)

30 t; (t) (t) = R [p(t)] dt = R p(t) dt ; R p(t) dt y (t) = p(t)y q(t) R p(t) dt = z M (t; y(t)) zn (t; y(t)) ; zm zn : f = f (t; y) = zm (t; y) = p(t)y + q(t) R (t; y) = zn (t; y) = R p(t) dt : f (t; y) = R p(t) dt y + g(t) g: t Z g (t) = q(t) R p(t) dt ; g(t) = q(t) R t a p(s) ds dt; a p q f Z f (t; y) = R p(t) dt y q(t) R t a p(s) ds dt: f (t; y(t)) = C; Z R p(t) dt y(t) q(t) R t a p(s) ds dt = C; C: y(t) y(t) = R h Z p(t) dt C + q(t) R i t a p(s) ds dt ;

31 n n ( y (t) = A(t)y(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : y : [a; b]! R n f : [a; b]! R n y (t); : : : ; y n (t) f (t); : : : ; f n (t); A : [a; b]! R n;n y (t) f (t) a (t) a 2 (t) : : : a n (t) y 2 (t) y(t) = B : A ; f (t) = f 2 (t) B : A ; A(t) = a 2 (t) a 22 (t) : : : a 2n (t) B : : : A ; y n (t) f n (t) a n (t) a n2 (t) : : : a nn (t) t 2 [a; b]: ( y (t) = p(t)y(t) + q(t); a t b; y(a) = y ; p q [a; b]; y(t) = R t a p(s) ds y + Z t a q(s) R t s p() d ds; a t b:

32 A A: A(t) A(s) t s [a; b]; A(t) = p(t)a; p A 2 R n;n : A(t) = A; A t; ( y (t) = Ay(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; a; t = s + a: y () ; y(t) = : ( y (t) = ay(t); t 2 R; y() = y ;

33 y(t) = at y ; y(t) = t y () ; t 2 R; 2 C; : y(t) = t y () H) y (t) = t y () ; y y (t) = Ay(t); t y () = A t y () = t Ay () ; Ay () = y () : y () y () = y(t) = t y () ; t 2 R; A y () y () A ; : : : ; m A x () ; : : : ; x (m) y () = c x () + + c m x (m) ; c ; : : : ; c m : y y(t) = c t x () + + c m mt x (m) ; t 2 R: y (t) = c t x () + + c m m mt x (m)

34 Ax (i) = i x (i) ; i = ; : : : ; m; Ay(t) = c t Ax () + + c m mt Ax (m) = c t x () + + c m mt m x (m) ; y (t) = Ay(t); t 2 R: x () ; : : : ; x (m) c ; : : : ; c m y () 2 R n A 2 R n;n : A n x () ; : : : ; x (n) 2 C n : A A x () ; : : : ; x (n) C n ; y () y () = c x () + + c n x (n) ; c i y () ; n n c i ; (x () ; : : : ; x (n) ); x (i) : y(t) = c t x () + + c n nt x (n) ; t 2 R; i A x (i) a; y(a) = y () ; y(t) = c (ta) x () + + c n n(ta) x (n) ; t 2 R: y () A: y () ; A

35 ( y (t) = ay(t); t 2 R; y() = y ; y(t) = at y ; y(t) = ta y () ; t 2 R; A ; A: z ; z 2 C; A 2 C n;n ; = I n I n A := I n + A + A2 2! + + A` `! + = X `= A` `! : = I n ; ; ta ta = A ta : A B = A+B ; A B AB = BA: y() = A y () = y () = I n y () = y () : y (t) = ta y () = ta y () = A ta y () = Ay(t); t 2 R; a; y(a) = y () ; y(t) = (ta)a y () ; t 2 R:

36 ta y () ( y (t) = Ay(t) + f (t); t 2 R; y() = y () ; ta y () ; y(t) = ta v(t); t 2 R; v: y() = y () v() = y () : y (t) = ta v(t) = ta v(t) + ta v (t) = A ta v(t) + ta v (t) = Ay(t) + ta v (t); y (t) = Ay(t) + f (t) ta v (t) = f (t): sa v (s) = f (s) v (s) = sa f (s); t v() = y () ; v(t) y () = v(t) = y () + Z t Z t sa f (s) ds; sa f (s) ds; t 2 R: Z t y(t) = ta v(t) = ta y () + ta sa f (s) ds; y(t) = ta y () + Z t (ts)a f (s) ds; t 2 R;

37 y (t) = ay(t) + f (t): a; y(a) = y () ; y(t) = (ta)a y () + Z t a (ts)a f (s) ds; t 2 R: ta y () ta y () ta x; x 2 C n ; t 2 R: = x A : A I n I n ; ta x = ti n t(ain) x = t I n t(ain) x = t t(ain) x h = t I n x + t(a I n )x + t 2 i 2! (A I n) 2 x + ; (A I n )x = (A I n )`x = ; `; ta x = t x: y () A: = x (A I n ) m x = ; A m: ta x = t t(ai n) x = t h I n x + t(a I n )x + t 2 + t m i m! (A I n) m x + ; 2! (A I n) 2 x + + t m (m )! (A I n) m x

38 (A I n )`x = ; ` m; ta x = t h I n x + t(a I n )x + t 2 2! (A I n) 2 x + + t m (m )! (A I n) m x i : n A C n A ta y () = A A A C n A A m: x 2 C n (A I n ) m x = A : A m; m C n A: m A ; m (A I n )x = A

39 (A I n ) 2 x = A A; ; (A I n ) 3 x = A A; (A I n )`x = ; ` ; m : n x () ; : : : ; x (n) A: y ()

40 x () ; : : : ; x (n) ; y () = c x () + + c n x (n) ; y(t) y(t) = ta y () = c ta x () + + c n ta x (n) ; t 2 R: = = ta x (i) ; x (i) A; y(t) = ta y () : a; ' (i) (t) := ta x (i) ; t 2 R; i = ; : : : ; n; y (t) = Ay(t) y (t) = Ay(t); y () ' (i) ; i = ; : : : ; n: x (i) ; i = ; : : : ; n: x (i) ; i = ; : : : ; n; A ' (i) ; i = ; : : : ; n: 4 y B C (t) = Ay(t); t 2 R; A 3 2 A: 2 p A p() = : 6 ; 2; 3; p; ; 2; 3: A = ; 2 = 3; 3 = 2: p p: p p:

41 = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = 4 B v v 2 v 3 C A = ; v 2 + 4v 3 = 3v + v 2 v 3 = 2v + v 2 2v 3 = v + v 3 = ; v = v 3 ; v 2 = 4v 3 : v 3 ; v v 2 : B C v 4A: ' () (t) = t B 4A; t 2 R: 2 = 3 v 2 R 3 (A 2 I 3 )v = (A 3I 3 )v = 2 4 B v v 2 v 3 C A = ; ƒ 2v v 2 + 4v 3 = 3v v 2 v 3 = 2v + v 2 4v 3 = v = v 3 ; v 2 = 2v 3 : B C v 2A; ' (2) (t) = 3t B 2A; t 2 R: : ƒ ;

42 3 = 2 v 2 R 3 (A 3 I 3 )v = (A + 2I 3 )v = 3 4 B v v 2 v 3 C A = ; 3v v 2 + 4v 3 = 3v + 4v 2 v 3 = 2v + v 2 + v 3 = v = v 3 ; v 2 = v 3 : B C v A; ' (3) (t) = 2t B A; t 2 R: y(t) c t + c 2 3t c 3 2t y(t) = c t B 4A + c 2 3t B 2A + c 3 2t B C A 4c t + 2c 2 3t + c 3 2t C A; c t + c 2 3t + c 3 2t t 2 R; c ; c 2 c 3 : y(2) = (; 2; 3) T 2 R 3 : c t + c 2 3t c 3 2t B y(t) 4c t + 2c 2 3t + c 3 2t C A; c t + c 2 3t + c 3 2t c ; c 2 ; c 3 c ; c 2 ; c 3 y(2) = (; 2; 3) T : ƒ ;

43 ? c 2 + c 2 6 c 3 4 = ƒ 4c 2 + 2c c 3 4 = 2 : c 2 + c c 3 4 = 3 (?) 2c 2 6 = 4; c 2 = 2 6 : (?) c 2 c 3 4 = c 2 6 = 2 = 4c 2 + c 3 4 = 2 2c 2 6 = 2 4 = 2: ) c 2 c 3 4 = : 4c 2 + c 3 4 = 2 3c 2 = 3; c = 2 : c 3 4 = H) c 3 4 = 2 H) c 3 = 2 4 : c ; c 2 ; c 3 t t6 2 2t+4 B y(t) 4 t t t+4 C A t t t+4 y B C (t) = Ay(t); t 2 R; A A: 2

44 p A p() = (2 )( ) 2 ; A = 2 2 = = 2 v 2 R 3 (A I 3 )v = (A 2I 3 )v = B v v 2 v 3 C A = ; v = v 2 = v 3 v 3 v 3 = ; ' () (t) = 2t B A; t 2 R; 2 = v 2 R 3 (A 2 I 3 )v = (A I 3 )v = v B CB v 2 A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' (2) (t) = t B A; t 2 R; 2 2 v 2 R 3 (AI 3 ) 2 v = (AI 3 )v : (AI 3 ) 2 = ; (A I 3 ) 2 v = v B CB v 2 A = ; v 3 v 3

45 v 3 = v v 2 v = v 2 = 2 : ' (3) (t) = t v + t(a I 2 )v = t B A + t t B CB A = t B A + t t B A; t ' (3) (t) = t B A; t 2 R; y(t) t y(t) = c 2t B A + c 2 t B A + c 3 t B A; (c 2 + c 3 t) t B y(t) c 3 t C A; t 2 R; c 2t c ; c 2 c 3 : x ; x 2 R; n n A := I n + A + A2 2! + + A` `! + = X A 2 R n;n : A A A; B 2 R n;n t; s 2 R `= A` `!

46 ta = ta : (t+s)a = ta sa : t(a+b) = ta tb ; A B AB = BA: A+B = A B ; A B A B t = A B = X `= A` `! X `= B` `! = X `X `= k= A`k (` k)! B k = k! X `= `! (A + B)` = A+B : ta ta = A + ta t ` A`+ `! + = A I n + ta t ` A` `! + ; ta = A ta : ( y (t) = Ay(t); a t b; y(a) = y () ; A = a ij i;j 2 =;:::;n Rn;n t y(t) y(t) = (ta)a y () ; a t b: y y (t) = (ta)a y () = ta aa y () = A ta aa y () = A (ta)a y () = Ay(t):

47 = I n ; y(a) = A y () = I n y () = y () : ( y (t) = Ay(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : y(t) y(t) = (ta)a hy () + y(t) = (ta)a y () + Z t a Z t a i (sa)a f (s) ds ; a t b; (ts)a f (s) ds; a t b: y (t) = ay(t) y (t) = ay(t) + f (t); y(t) = (ta)a v(t); a t b; v(t): y () v(t) t: v(t): y(a) = v(a); v(a) = y () : (ta)a v (t) = f (t) A (ta)a v(t) + (ta)a v (t) = A (ta)a v(t) + f (t); v (t) = (ta)a f (t); a t b:

48 v; v s t; [a; t]; a t b; v(a) = y () ; v(t) = y () + Z t a (sa)a f (s) ds; a t b: (ta)a A: A (ta)a A v; v; A; A p; p() := (A I n ); A: = A A A a ij ; i j; a ii A i A = ( ; : : : ; n ): n y i (t) = iy i (t); A` = (` ; : : : ; ǹ); ` 2 N ; A = ; : : : ; n :

49 y(t) (ta) y () y(t) = 2(ta) y () 2 B : A ; a t b; n(ta) y () n y () ; y () 2 ; : : : ; y () n y () : A A B; S A = S BS SAS = B A B A 2 = (S BS)(S BS) = S B 2 S A` = S B`S; ` 2 N : A = X `= A` `! = X `= S B`S `! = S X `= B` `! S; A = S B S: A = ( ; : : : ; n ) S S AS = : AS = S; A S n n A n A A n A S n; A:

50 A = S ; : : : ; n S : y(t) y(t) = S (ta) ; : : : ; n(ta) S y () ; a t b: A n S AS = ; y (t) = Ay(t) y (t) = SS y(t) S y (t) = S y(t); z(t) := S y(t); z (t) = z(t): z(a) = S y(a) = S y () =: z () : ( z (t) = z(t); a t b; z(a) = z () : n zi (t) = iz i (t); z i (a) = z () i ; z i (t) = i (ta) z () i ; i = ; : : : ; n; z(t) = (ta) ; : : : ; n(ta) z () ; a t b: z(t) S y(t) z () S y () ; = A A A m A m A m = :

51 A` = ; ` m; A` = A`m A m = A`m = : m; A m = ; A: A m n n A n; A m; A = m X `= y(t) y(t) = m X `= A` `! (t a)` A`y () ; a t b: `! A A = I n +M; M m: I n = I n ; I n nn I n n n M; A = I n+m = I n M = I n M = M ; m X A = `= M ` `! : y(t) m X y(t) = (ta) `= (t a)` M `y () ; a t b: `! n n A A J = (J ; J ; : : : ; J k ); J

52 J` ` ` J` = : : : : : : 2 C n`;n`; ` = ; : : : ; k; B ` A ` n n S A = S JS: A J = J ; J ; : : : ; J k : J` J` = `I n` + M n` M n` 2 R n`;n` M n` = : : : : : : : B A M n` M n` x x 2 : x n` x n` x 2 x 3 = : ; C B C x n` A x M n` x = ; n` x 2 C n`; M n` = : n` M n` n`:

53 M k n` M n` M 2 : : : : : : = ; : : : ; M n` n` B A n` = : : : : : : ; M n` = : n` B A Σχετικά με το γεγονός ότι ο πίνακας M n` είναι μηδενοδύναμος. M n` M n` = M n` n`; J = (J ; J ; : : : ; J k ) J ` = (J ` ; J ` ; : : : ; J ` k ); ` 2 N ; A = S J ; J ; : : : ; J k S: J ; J i ; i = ; : : : ; k; y(t) y(t) = B(t)y () ; a t b; B(t) 2 C n;n ; a t b; b ij (t) b ij (t) = mx `= p (i;j ) ` (t) `t ; a t b;

54 ` A p (i;j ) ` (t) `: A v (ta)a v v; A ; y(t) (ta)a y () ; (ta)a : v; y () : y () v () ; : : : ; v (k) : t; 2 R; (ta)a = (ta)i n (ta)(ai n) = (ta) I n (ta)(ai n) = (ta) (ta)(ai n) ; v 2 C n ; (ta)a v = (ta) (t a)` v + (t a)(a I n )v + + (A I n )`v + : `! A: v (A I n )v = (ta)a v = (ta) v: A n y () A C n A: v 2 C n A ; (A I n ) v = : (A I n ) +`v = ; ` 2 N ; (A I n ) +`v = (A I n )`(A I n ) v = (A I n )` = : (ta)a v = (ta) v + (t a)(a I n )v + + (t a) (A I n ) v : ( )!

55 ; A n n A n y () A: A k ; : : : ; k ; : : : ; k ; : : : ; k ; y () y () = v () + + v (k) ; v (i) A i ; i = ; : : : ; k: y(t) y(t) = kx (ta)a v (`) = `= kx `= k X `(ta) m= (t a) m (A I n ) m v (`) ; a t b: m! A: n n y (t) = Ay(t); y n A nn y (t) a a 2 : : : a n y 2 (t) y(t) = B : A ; A := a 2 a 22 : : : a 2n B : : : A : y n (t) a n a n2 : : : a nn

56 t 2 R y () 2 R n ; y(t ) = y () ; y () (t) y (2) (t) y () (t) + y (2) (t) y () (t) + y (2) (t) y () (t) V: V n; V = n: Διάσταση του χώρου λύσεων της. V n; V = n: V n i 2 f; : : : ; ng; ' (i) ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = e (i) ; fe () ; : : : ; e (n) g R n ; e (i) j = ı ij ; i; j = ; : : : ; n: ' () ; : : : ; ' (n) c ' () + + c n ' (n) = ; c ; : : : ; c n ; c ' () () + + c n ' (n) () = ; c e () + + c n e (n) = ; e () ; : : : ; e (n) ; c = = c n = : y y ' () ; : : : ; ' (n) ; c ; : : : ; c n y(): z; z := c ' () + + c n ' (n) ;

57 z z() = c ' () () + + c n ' (n) () = c e () + + c n e (n) = y(); y: y ' () ; : : : ; ' (n) ; n y (t) = ay(t) y(t) = c at ; c; y(t) = t v; v 2 R n : y (t) = t v; t v = t Av; Av = v: y A v p A; p() = (A I n ): ; : : : ; n v () ; : : : ; v (n) v () ; : : : ; v (n) ' (i) (t) = i t v (i) ; i = ; : : : ; n; t 2 R;

58 V y y = c ' () + + c n ' (n) ; c ; : : : ; c n : ; : : : ; n A = a + b A v = u + w A v = uw y(t) = (a+b)t (u + w) y (t) = Ay(t); y y y(t) = at (bt) + (bt) (u + w) h i = at (bt)u (bt)w + (bt)u + (bt)w : y () y (2) ; y () (t) = at (bt)u (bt)w ; y (2) (t) = at (bt)u + (bt)w ; v = u w: at (bt) at (bt) A; A n ; : : : ; n ; n V;

59 ( y (t) = Ay(t); t 2 R; B C A A y () B C A: y() = y () ; p A p() = ( )[( ) 2 + ]; A = ; 2;3 = : = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = B v v 2 v 3 C A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' () (t) = t B A; t 2 R; 2;3 = 2 = + ; 3 = = 2 v 2 C 3 (A 2 I 3 )v = A ( + )I 3 v = B v v 2 v 3 C A = ; v = v 2 = v 3 : v 3 := ; v 2 = ; y(t) = (+)t B A; t 2 R;

60 " # y(t) = (+)t B A = t B C B C ( t + A A " # " # = t B C B C A A + t B C B C A + A ; y(t) = t B ta + t B ta: t t ' (2) (t) = t B ta ' (3) (t) = t B ta; t 2 R; t t y(t) y(t) = c t B A + c 2 t B ta + c 3 t B ta; t 2 R; t t c ; c 2 c 3 : c ; c 2 c 3 t = c B C B C B C B A + c A + c A A c c 3 c 2 C B C A A;

61 c = c 2 = c 3 = : y(t) = t B A + t B ta + t B ta = t B t ta; t 2 R: t t t + t ; : : : ; n A A A n A A k k < n: k t v; v 2 C n : n k n v A ; (A I n ) v = : Πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων. ; : : : ; k A 2 R n;n ; ; : : : ; k ( + + k = n) ; : : : ; k ( j j ); j < j ; (A j I n ) 2 v = j + (A j I n ) m v = ; m < j ; m j (m j < j ) (A j I n ) m+ v = m j + j A j : n A: n

62 = A: A n n t v; A v t v; = A k; k < n; k t v: A; v; (A I n ) 2 v = (A I n )v : v; ta v = t v + t(a I n )v = (A I n ) 3 v = (A I n ) 2 v : v; ta v = t v + t(a I n )v + t 2 2 (A I n) 2 v = n ( y 2 3 (t) = Ay(t); t 2 R; B C A 2 A y () B C 2A: y() = y () ; 2

63 p A p; p() = (2) 3 ; = 2 A v 2 R 3 (A I 3 )v = (A 2I 3 )v = 3 v B CB v 2 A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' () (t) = 2t B A; t 2 R; A; v 2 R 3 (A 2I 3 ) 2 v = (A 2I 3 )v : (A 2I 3 ) 2 = ; (A 2I 3 ) 2 v = B v 3 v v 2 v 3 C A = ; v 3 = v v 2 v = v 2 = A: ' (2) (t) = 2t v + t(a 2I 3 )v 3 = 2t B A + t 2t B CB A = 2t B A + t 2t B A; t ' (2) (t) = 2t B A; t 2 R;

64 (A 2I 3 ) 2 v = ; A v 2 R 3 (A 2I 3 ) 3 v = (A 2I 3 ) 2 v : (A 2I 3 ) 3 = ; v 2 R (A 2I 3 ) 3 v = : v = (; ; ) T (A 2I 3 ) 2 v (A 2I 3 ) 2 v = ' (3) (t) = 2t v + t(a 2I 3 )v + t 2 2 (A 2I 3) 2 v = 2t 6B C B CB C A + A + t 2 B CB A5; t 2 R; 2 3t ' (3) (t) = 2t B t 2 2 t A; t 2 R; y(t) 2 t 3t y(t) = 2t 6 B C B C B t C7 A + c A + c t A5 ; c ; c 2 c 3 : + 5t ' (3) (t) = 2t B t t A; t 2 R;

65 y () (t); : : : ; y (n) (t) y (t) = Ay(t); A 2 R n;n ; y y(t) = c y () (t) + + c n y (n) (t); c ; : : : ; c n ; y(t) = Y (t)c; Y (t) n n y () ; : : : ; y (n) c = (c ; : : : ; c n ) T 2 R n : Θεμελιώδης πίνακας. n n Y (t) Y (t) ta : Θεμελιώδης πίνακας και εκθετική συνάρτηση. Y (t) ta = Y (t)y () : Y (t) t: s y (t) = Ay(t); t 2 R; y(s) = v; v 2 R n ; t = s; Y (s)c = v: v 2 R n ; Y (s) s Y (t) t: Y (t) = y () (t); : : : ; y (n) (t) = Ay () (t); : : : ; Ay (n) (t) = AY (t); Y (t) = AY (t):

66 ta ( ta ) = A ta : Y (t) Z(t) C 2 R n;n ; Z(t) = Y (t)c: y () (t); : : : ; y (n) (t) Y (t) z () (t); : : : ; z (n) (t) Z(t) Z(t) Y (t); z (j ) (t) = c j y () (t) + + c nj y (n) (t); j = ; : : : ; n; Z(t) = Y (t)c C = (c ij ) i;j =;:::;n : ta = Y (t)c: t = ; C = Y () ; ta = Y (t)y () : y (t) = Ay(t) + f (t); A 2 R n;n ; f : R! R n : y y y + y : y : y () (t); : : : ; y (n) (t) y(t) y(t) = c y () (t) + + c n y (n) (t); t 2 R; c ; : : : ; c n c i v i y y (t) = v (t)y () (t) + + v n (t)y (n) (t);

67 y (t) = Y (t)v(t); Y (t) = y () (t); : : : ; y (n) (t) v(t) = v (t); : : : ; v n (t) T : Y (t)v(t) + Y (t)v (t) = AY (t)v(t) + f (t); Y (t) Y (t)v (t) = f (t); v (t) = Y (t) f (t): v Z v(t) = Y (t) f (t) dt: y Z y (t) = Y (t) Y (t) f (t) dt y; c Z B C y(t) = Y : A + Y (t) Y (t) f (t) dt; c n c ; : : : ; c n ( y (t) = Ay(t) + f (t); t 2 R; y(t ) = y () ; y(t) = Y (t)y (t ) y () + Y (t) Z t t Y (s) f (s) ds:

68 t = ; Y (t)y () = ta ; Y (t)y (s) = Y (t)y () Y ()Y (s) = Y (t)y () Y (s)y () = ta sa = (ts)a ; y(t) = ta y () + Z t (ts)a f (s) ds: y (t) = Ay(t) + f (t); B C y() A; B C B C A 2 2A f (t) A; 3 2 t (2t) t 2 R: ta : p A p() = ( )( ); A = 2;3 = 2: = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = B v v 2 v 3 C A = ; v = v 3 v 2 = 3v 3 /2: v 3 = 2; 2 y () (t) = t B 3A; t 2 R; 2 y (t) = Ay(t) 2;3 = 2 2 = + 2; 3 = 2 = 2

69 v 2 C 3 (A 2 I 3 )v = A ( + 2)I 3 v = 2 B v v 2 v 3 C A = ; v = v 3 = v 2 : v 2 := ; v 3 = ; y(t) = (+2)t B A; t 2 R; y(t) = (+2)t B A = t (2t) + (2t) " # B C B A A " # " # = t B C B C A A + t B C B C A + A ; y(t) = t B (2t) A + t B (2t) A: (2t) (2t) y (2) (t) = t B (2t) A y (3) (t) = t B (2t) A; t 2 R; (2t) (2t) y (t) = Ay(t) 2 Y (t) = t B 3 (2t) (2t) A: 2 (2t) (2t)

70 2 Y () B C 3 A 2 2 B 3 C 2 A; ta = Y (t)y () = t C (2t) + (2t) (2t) (2t) 2 2 A: + 3 (2t) (2t) (2t) (2t) 2 y Z t y(t) = ta B A + ta sa f (s) ds Z t = ta B A+ ta s CB C (2s) (2s) (2s) (2s) 2 2 Ads 3 (2s) (2s) (2s) (2s) s (2s) 2 Z t = t B (2t) (2t) A + ta s B (2s) (2s) A ds (2t) + (2t) 2 (2s) = t B (2t) (2t) A + ta B (4t) 8 A; (2t) + (2t) t + (2t) 2 8 y(t) = t (2t) ( + t ) (2t) C 2 A: ( + t ) (2t) + 5 (2t) 2 4 p : [a; b]! R y (t) = p(t)y(t); t 2 [a; b]; C: R t y(t) = C a p(s) ds

71 y u; u(t) = R t a p(s) ds y(t); t 2 [a; b]; u = ; u Η μέθοδος της μεταβολής των σταθερών p; q : [a; b]! R y (t) = p(t)y(t) + q(t); t 2 [a; b]; C ; t y(t) = R a p(s) dsh Z t C + q(s) R i s a p() d ds ; a t b; a y(t) = C (t)r t a p(s) ds ; C C C y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; t 2; y() = y : [a; b] [; 2]; y c < / c > / 2 : y = p /( p ) t 3/2: c = /( p ): y = :

72 y (t) = y(t) [y(t)] 2 ; y() = 2; I; y: y (t) = t 2 y(t) [y(t)] 2 ; t 2; t y() = y : y = 3 t p 2: c = /4: y = 3: y (t) = + [y(t)]2 ; 2ty(t) y (t) = 2t [y(t)] 3 y(t) ; y (t) = 3[y(t)]2 + t 2 : 2ty(t) y() = ; y (t) = 2t + y(t) t + 2y(t) :

73 y (t) = t + [y(t)]2 ; ty(t) = (t): ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; 2 B C A 2 A y () B C 2A: 2 B C A 3 2A y () B C 2A: I R p : I! R A nn p(t)a = p (t)a p(t)a ; t 2 I: X p(t)a [p(t)a]` X = = [p(t)]` A` `! `! `= `= p(t)a = X `= A` `p (t)[p(t)]` `! k= = p (t)a X [p(t)a]` `= X = p [p(t)a] k (t)a = p (t)a p(t)a : k! y ( y (t) = p(t)ay(t); t 2 I; y(a) = y () ; (` )! a I; y(t) = (R t a p() d)a y () ; t 2 I:

74 y ( y (t) = p(t)ay(t) + f (t); t 2 I; y(a) = y () ; a I f : I! R n A n n ; : : : ; k A v () ; : : : ; v (k) v () ; : : : ; v (k) v () v () ; : : : ; v (`) ; ` < k; c v () + + c`+ v (`+) = ; c Av () + + c`+ Av (`+) = ; c v () + + c`+ `+ v (`+) = : `+ c (`+ )v () + + c`(`+ `)v (`) = : c i (`+ i ) = ; i = ; : : : ; `; c = = c` = : c`+ v (`+) = ; c`+ = : v () ; : : : ; v (`+) n n M; M n: M x = (x ; ; : : : ; ) T M (; ; : : : ; ) T = M 2 x = (x ; x 2 ; : : : ; ) T ; M n x = n: x 2 C n M: Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών ενός πίνακα Jordan. nn J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J = ( z ; : : : ; z m ); J` ` = ; : : : ; k:

75 p() := (J I n ) J I n ; p() = ( z ) ( z m )( ) n ( k ) n k : J z ; : : : ; z m ; : : : ; k z i j J J: J J J J ; : : : ; J k ; J J J n n A; A = S JS; A Για κάθε n n μηδενοδύναμο πίνακα A ισχύει A n = : A; B; C nn A C ABC = ; B B = : ABC = A C : nn J; J J n = : x 2 R n ; y := J x y i = x i+ ; J (i; i + ) y i = ; J (i; i + ) J 2 x; : : : ; J n x J n x = ; x 2 R n ; J n = : A nn A A n = :! A = 2 2 ; A = B 5 9 6A; 6 4

76 A; S AS = J: A J S A n S = J n : J n = ; A n = : A n n A A x A`x = `x: A` ; ` 2 N: Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα Jordan. n n J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J = ( z ; : : : ; z m ); J` ` = ; : : : ; k: n J n` J`; ` = ; : : : ; k: J; J J J` ; (J I n ) + : J` + J` I n` (J` I n`) + = : J I n ; J : (J I n ) + J : (J I n ) + (J I n ) + v = ; J J ; n n J C n ; J R n ; J Πλήθος γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων οποιουδήποτε n n πίνακα. S n n v () ; : : : ; v (k) 2 C n Sv () ; : : : ; Sv (k)

77 A nn n A; S AS = J A: A J S (AI n )S = J I n ; S (AI n )`S = (J I n )`; (A I n )`S = S(J I n )`: v () ; : : : ; v (n) 2 C n J; Sv () ; : : : ; Sv (n) 2 C n A;

78

79

80

81

82

83

84

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * +

,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + ,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + 6 7 57 : - - / :!", # \$ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # \$ %, ) #, '(#,!# \$\$,',#-, 4 "- /,#-," -\$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης

KEΦAΛAIO 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 4, η δυναμική μελέτη ενός φυσικού/ χημικού συστήματος οδηγεί συχνά στη διερεύνηση της δυναμικής συμπεριφοράς μιας γραμμικής,

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος,

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!\$ %& ' %( #! )! ' 2003

-! "#!\$ %&' %(#!)!' ! 7 #!\$# 9 " # 6 \$!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&\$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! \$ - (( 6 6 \$ % 7 7 \$ 9!" \$& & " \$! / % " 6!\$ 6!!\$#/ 6 #!!\$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45\$%"67789

TALAR ROSA!"#"\$"%\$&'\$%(" )*"+%(""%\$," *\$ -. / 0"\$%%"\$&'1)2\$3!"\$ ',)45\$%"67789 ," %"(%:,;,"%,\$"\$)\$*2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L \$ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: Σκορδούλης Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 7756 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χαλικιάς Μιλτιάδης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i

Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ 6 Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6 . Το ρεύµα µετατόπισης προστέθηκε θεωρητικά από τον Maxwell στην εξίσωση του Apee ( B = µ j ) προκειµένου η τελευταία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικές μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM. Ανίχνευση μηδενισμών Διευκρίνιση ολίσθησης φάσης Μετατροπή FM σε ΑΜ Ανάδραση συχνότητας

Αποδιαμόρφωση FM Πρακτικές μέθοδοι αποδιαμόρφωσης FM Ανίχνευση μηδενισμών Διευκρίνιση ολίσθησης φάσης Μετατροπή FM σε ΑΜ Ανάδραση συχνότητας Ανίχνευση μηδενισμών Η έξοδος είναι ανάλογη του ρυθμού των μηδενισμών,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

!"#\$ %"&'\$!&!"(!)%*+, -\$!!.!\$"("-#\$&"%-

!"#\$ %"&\$!&!"(!)%*+, -\$!!.!\$"("-#\$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2\$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!\$"!\$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Σεπτεμβρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7/0/009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες Αριθμός Μητρώου

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

γ γ(t) x 2 + y2 tan t. , et e t a 2 t +e t

Εισαγωγή στη Διαφορική Γεωμετρία Καμπυλών και Επιφανειών Σημειώσεις παραδόσεων εαρινού εξαμήνου 011-01 Αντώνιος Μελάς Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 013 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες 1 1.1 Καμπύλες

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ. Παραδείγματα για την 9 η παράδοση Συμβολικές πράξεις

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ Μάθημα: Μέθοδοι Επίλυσης με Η/Υ Ακαδ. Έτος: 2014-2015 Παρασκευή, 15/05/2015 Διδάσκοντες: Ν.Δ. Λαγαρός (Επικ. Καθηγητής), Μ. Φραγκιαδάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS)

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPIONS, BINARY OPIONS, COMPOUND OPIONS, CHOOSER OPIONS, LOOKBACK OPIONS, ASIAN OPIONS) ΣΑΝΣΟΤΛΟΤ ΔΛΔΝΖ ΔΠΗΒΛΔΠΩΝ ΚΑΘΖΓΖΣΖ: ΠΖΛΗΩΣΖ ΗΩΑΝΝΖ ΔΘΝΗΚΟ ΜΔΣΟΒΗΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΗΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις Σηµειώσεις Ε. Στεϕανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές αποτελούν εξέλιξη σηµειώσεων οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν σε παραδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγματα Συσσώρευσης Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, Ιδεών και Καινοτομιών και Ενδογενούς Μεγέθυνσης

Υποδείγματα Συσσώρευσης Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, Ιδεών και Καινοτομιών και Ενδογενούς Μεγέθυνσης Εξωτερικότητες από τη Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου, Συσσώρευση Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, και Παραγωγή Νέων Ιδεών

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Για τον ορισμό της ισχύος θα χρησιμοποιηθεί η παρακάτω διάταξη αποτελούμενη από ένα κύκλωμα Κ και μία πηγή Π:

1. Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα ορίζεται ως ο ρυθμός μιας συνισταμένης κίνησης φορτίων. Δηλαδή εάν στα άκρα ενός μεταλλικού αγωγού εφαρμοστεί μια διαφορά δυναμικού, τότε το παραγόμενο ηλεκτρικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα

Διαβάστε περισσότερα

1 3 5 7 9 11 12 13 15 17 [Nm] 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 155 PS 100 PS 125 PS [kw][ps] 140 190 130 176 120 163 110 149 100 136 125 30 100 20 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 RPM

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Μάθημα 12ο O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Γενική και Ανόργανη Χημεία 201-17 2 Η χημεία ΠΠΠ (= προ περιοδικού πίνακα) μαύρο χάλι από αταξία της πληροφορίας!!! Καμμία οργάνωση των στοιχείων.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις με δύο συντελεστές. Συναρτήσεις παραγωγής. τεχνολογικά σύνολα

Κεφάλαιο Συναρτήσεις παραγωγής Συναρτήσεις παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης για ένα προϊόν (q) δείχνει τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού που μπορεί να παραχθεί με εναλλακτικούς συνδυασμούς

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα