m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21
|
|
|
- Φαίδρος Αλεξανδρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r
3 r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m 2 f(r)ê r ( r 1 r 1 2 = + 1 ) f(r)ê r m 1 m 2 µ 1 µ = 1 m m 2 µ = m 1m 2 m 1 + m 2 µ r = f(r)ê r µ r R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 V = R = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2
4 P = m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) V r, R m 2 r 1 = R + r m 1 + m 2 r 2 = R m 1 r m 1 + m 2 K = 1 2 m 1 r m 2 r 2 2 = 1 ( ) ( ) 2 m m 2 m 2 1 R + r R + r m 1 + m 2 m 1 + m ( ) ( ) 2 m m 1 m 1 2 R r R r m 1 + m 2 m 1 + m 2 = 1 2 (m 1 + m 2 ) R 2 + m 1m 2 m 1 + m 2 ṙ 2 M = m 1 + m 2 V = R, v = r K = 1 2 M V µ v 2 µ v = r L = r 1 m 1 v 1 + r 2 m 2 v 2 L = R (M V ) + r (µ v)
5 R = 0 V = 0 L = r µ r µ r = r 1 r 2 L r, v W 1 2 = 2 1 F d r F = f(r)ê r U(1) U(2) = U(r) = r 2 1 f(r)dr r 0 f(r)dr E = 1 2 µ v 2 + U(r) L = r µ r r F = 0 L = C L = 0
6 r = rê r v = r = ṙê r + r ϕê ϕ K = 1 2 µ (ṙê r + r ϕê ϕ ) (ṙê r + r ϕê ϕ ) = 1 2 µ(ṙ2 + r 2 ϕ2 ) E = 1 2 µṙ µr2 ϕ2 + U(r) L = µr 2 ϕ µ r, ϕ ϕ E = 1 2 µṙ2 + L2 + U(r) 2µr2 r ṙ µ V (r) = L2 + U(r) 2µr2 E = 1 2 µṙ2 + V (r) µ V (r) 1 2 µṙ2 1 2 µṙ2 = E V ṙ = dr/dt dr dt = 2 µ (E V )
7 dt = dr 2 µ (E V ) t t 0 = r r 0 dr 2 µ (E V ) U(r) t = t(r) r = r(t) V (r) r(t) r(ϕ) ϕ = dϕ = L µr 2 dϕ = L µr 2 dt L dr µr 2 2 µ (E V ) ϕ ϕ 0 = L µ r r 0 dr r 2 2 µ (E V ) m 1, m 2 v 1, v 2 r = r 1 r 2 v = v 1 v 2 U(r) = 0 V = 0 + E = 1 2 µ v 2 L2 2µr 2 = L2 2µr 2
8 E = 1 2 µ ṙ2 + θ r, v L = r µ v = µrv θ = µvd V = 1 d2 µv2 2 r 2 L2 2µr 2 E = 1 2 µv2 = r2 d 2 V E = c r = d E = V (d) r < d r = d 1 2ṙ2 = E V ṙ = 0 r = d r > d r 2 > 1 V (r) < E d 2 K = E V > 0 ṙ > 0 1 r d r U(r) = G m 1m 2 r V (r) = G m 1m 2 r + L2 2µr 2
9 E,V r r 1/r 2 1/r r 0 V + r 1/r dv /dr = 0 r 0 = L 2 Gm 1 m 2 µ, V min = L2 2µr 2 0 E > 0 r min E = V (r min ) 1 2 µṙ2 = E V 0 r min ṙ = 0 r min E > 0 E = V (r min ) V min < E < 0 r min, r max E = V (r)
10 E,V r E 0, E 0, E Vmin r V min E < 0 E = V min ṙ = 0 L 0 ϕ 0 µ r = f(r)ê r f(r) = µ r µr ϕ 2 0 = µ(r ϕ + 2ṙ ϕ) L = µr 2 ϕ ϕ = L µr 2 µ r = f(r) + L2 µr 3
11 f(r) f(r) = du dr µ r = d dr ) (U + L2 2µr 2 = dv dr V = U + L2 2µr 2 ṙ ṙ = dr dr = ϕ dt dϕ ϕ 1 dr r 2 dϕ = d 1 dϕ r ṙ = L ( ) d 1 µ dϕ r r = d dtṙ = ϕ d ( dϕṙ = ϕ L µ ) d 1 dϕ r ϕ r = L2 d µ 2 r 2 dϕ 1 r u = 1 r d 2 u dϕ 2 + u = µ 1 L 2 u 2 f( 1 u )
12 f(r) = k r 2 = ku2 µ 1 L 2 u 2 f( 1 u ) = kµ L 2 d 2 u dϕ 2 + u = kµ L 2 ũ = kµ L 2 A (ϕ ϕ 0 ) u(ϕ) = kµ L 2 + A (ϕ ϕ 0) = kµ L 2 (1 + ϵ (ϕ ϕ 0)) ϵ r = 1/u r(ϕ) = L 2 /(kµ) 1 + ϵ (ϕ ϕ 0 ) ϵ ϵ < 1 ϵ = 1 ϵ > 1 ϵ
13 ϵ ϵ r min, r max E = k + r min L2 2µr 2 min E = 1 ( ) L 2 2k 2r min µr min r min = r L ϵ = µk 1 + ϵ E = k2 µ 2L 2 (ϵ2 1) ϵ = 1 + 2L2 E k 2 µ ϵ < 1 ϵ = 0 E = k2 µ 2L 2 r = r 0 = L2 µk ϵ = 0 r = r 0 dv dr = 0 r 0 = L2 kµ V min = E = k2 µ 2L 2
14 ϵ < 1 ϵ < 1 ϕ ϕ ϕ 0 = π, 0 r max = r 0 1 ϵ r min = r ϵ r min, r max r(ϕ) = (ϕ + 2π) ϵ < 1 ϕ 0 = 0 r(1 + ϵ ϕ) = r 0 r = ϵr ϕ = r 0 r 2 = x 2 + y 2, x = r ϕ (x + c) 2 a 2 + y2 b 2 = 1 a = r 0 1 ϵ 2 r 0 b = 1 ϵ 2 c = r 0ϵ 1 ϵ 2 b a = 1 ϵ 2 ϵ
15 c a c = ϵa m 1, m 2 µ = m 1m 2 m 1 +m 2 m 1 = M, m 2 = m p M m p µ = M m p M + m p m p R = M R + m p r p M + m p R L = µr 2 dϕ dt L 2µ dt = 1 2 r2 dϕ da = 1 2 r2 dϕ dt = T A = πab L 2µ T = πab
16 b = a 1 ϵ 2 L 2 4µ 2 T 2 = π 2 a 2 b 2 = π 2 a 4 (1 ϵ 2 ) r 0 = a(1 ϵ 2 ) L 2 4µ 2 T 2 = π 2 a 3 r 0 r 0 = L 2 /(kµ) T 2 = 4π 2 µ k a3 k = Gm 1 m 2 = Gµ(m 1 + m 2 ) T 2 = 4π 2 G(m 1 + m 2 ) a3 m 1 = M A= a b O r+dr r d 1 2 da= r d 2 m 2 = m M m T 2 = 4π2 GM a 3
17 n R s = nr m v2 R s = G Mm R 2 s v2 = G M R 2 R s R 2 Rs 2 = g R2 R 2 s T v = ωr s = 2π T nr T R T = 2π g n3/2 R = 6371 Km T = 2π s 5063 s 84 min 9.81 n T = s T 2/3 3 g R (2π) 2/3 = 6.63 R s 60R T = 2π s60 3/ s 27.3 days 9.81 ω = 2π/T ω
18 Log Ω Log R T = 88/ π π π π π π π π 6019 ϵ = 1 ϵ > 1 r = r (ϕ ϕ 0 )
19 ϕ ϕ 0 = ±π ϵ = 1 ϕ 0 = 0 r = r 0 r ϕ = r 0 x x 2 + y 2 = r 2 0 2r 0 x + x 2 y 2 2r 0 x = r 2 0 ϵ > 1 r = r ϵ (ϕ ϕ 0 ) (x c) 2 a 2 y2 b 2 = 1 a = r 0 ϵ 2 1 b = c = r 0 ϵ 2 1 r 0ϵ ϵ 2 1 E > 0 v 0 b b L = µv 0 b E = 1 2 µv2 0 ϕ 0 = π r 0 r = 1 ϵ ϕ
20 r cosϕ α = 1 ϵ ϵ E ϵ = 1 + 2EL2 µk 2 ( ) 2Eb 2 ϵ = 1 + k r 0 r 0 = L2 µk = 2Eb2 k r = 1 2Eb 2 k 1 + ( 2Eb k ) 2 ϕ ϕ = π r min = 1 + 2Eb k 1 + ( 2Eb k ) 2 b 0 b r min
21 E r min b 0 < r min < b ϕ α = 1 ϵ = ( ) 2Eb 2 k Θ Θ = π 2ϕ α Θ 2 = ϕ α = 1 ϵ Θ 2 = 1 ϵ b ( ) 2Eb 2 ϵ 2 = 1 + = 1 k Θ 2 b = k 2E Θ 2
22 v 0 Θ ϵ = 1 Θ, r 0 = k Θ 2E U(r) = k r, k > 0 F (r) = k r 2 r = r ϵ (ϕ ϕ 0 ) ϕ 0 = 0 ϕ = 0 r min = r 0 ϵ 1 r ϕ α = 1 1 ϵ Θ = π 2ϕ α
23 b θ b = b(θ) θ = θ(b) b N t A n t N t = n t A R σ = π R 2 Σ = n t σ A
24 p = n tσ A A = n tσ N π N σ N σ = n t σn π R π = N π /( t) R σ = n t σr π 1 = m 2 N π d σ ρ m n N σ = n t σn π n t N t m n M = N t m n A V = A d ρ = M V = N tm n A d = N t A mn d = n m n t d n t n t = ρ d m n
25 N σ = ρ d m n σn π N π = 10 4, σ = 1.5barns, ρ = Kg/m 3, m n = Kg, d = 10 4 m R 1, R 2 b < R 1 + R 2 σ = π(r 1 + R 2 ) 2 σ tot = i σ i N σ = σ tot n t N π z θ, ϕ
26 θ, ϕ Ω = A r 2 A r dθ, dϕ θ, ϕ da da = r 2 θ dθ dϕ dω = θ dθdϕ θ, ϕ Ω = dω = 4π N π dω N σ (dω) = N π n t dσ(dω) dσ(dω) dω dω dσ(dω) = dσ(θ, ϕ) dω dω
27 dσ(θ,ϕ) dω σ = dσ(θ, ϕ) π 2π dω dω = θdθ 0 0 dσ(θ, ϕ) dϕ dω z z ϕ b b + db dσ = 2πb db dω = 2π θdθ b = b(θ) dσ dω = b db θ dθ b = b(θ) dσ dω > 0 R b K K K = K v = v L = L µrv α = µrv α = µbv
28 α = α b = b(θ) θ = π 2α b = R α = R θ 2 db = R 2 θ 2 dθ dω = 2π θdθ dσ dω = R2 4 σ = 2π 0 π dϕ 0 R 2 dθ = πr2 4 db b d z d bdb dd
29 F = k qq r 2 = λ r 2 ˆn ϕ ±ϕ a θ = π 2ϕ a b b = b(θ) p = p p p, p p = m v θ p = 2 p θ 2 p = F dt p ˆn p p = F ˆndt = F n dt
30 F n = λ r 2 ϕ λ = kqq λ p = ϕdt r2 ϕ = ϕ(t) dt = dϕ = dϕ ϕ dϕ dt L = µr 2 ϕ = µbv 1 ϕ = r2 bv dt p = λ bv dt = dϕ ϕ = r 2 dϕ bv ϕa ϕ a ϕdϕ = 2λ bv θ 2 θ = π 2ϕ a b = 2λ µv 2 θ 2 θ db dθ = λ 1 2µv 2 2 θ 2 dσ dω = ( kqq 4E 2 θ 2 ) 2 λ E = 1 2 µv2
31 dϕ = ± 1 dr r 2 2µE + 2µk 1 L 2 L 2 r 1 r 2 q 2 = 2µE L 2 + µ2 k 2 L ( 2 1 ω 2 = r µk ) 2 L 2 dϕ = ± 1 dr r 2 q 2 ω = dω 2 q 2 ω 2 ω = q θ q θdθ dϕ = ± q 2 q 2 2 θ = ± θdθ θ dϕ = dθ ϕ ϕ 0 = θ ω = q (ϕ ϕ 0 ) ω, q 1 r µk 2µE L 2 = L 2 + µ2 k 2 L 4 (ϕ ϕ 0 ) r r = L 2 µk EL2 (ϕ ϕ µk 2 0 )
32 F (r) t d 2 r dt 2 = L2 mr 3 + F (r) ϕ d 2 u + κu + λf(u) = 0 dϕ2 κ f(u) F (r) ( 1 F (r) = k r 2 l ) r 3 k, l r(ϕ) ϵ v v R e, R a R e = 1 A.U, R a = 1.5 A.U. d 2 u + u = f(ϕ) dϕ2 f(ϕ) v = u du(ϕ) dϕ = v(ϕ) dv(ϕ) = u(ϕ) + f(ϕ) dϕ
33 w = ( u v ) ( 0 1, J = 1 0 ) ( 0, w 0 = f(ϕ) d dϕ w(ϕ) = J w(ϕ) + w 0(ϕ) ϕ ] w(ϕ) = e [a Jϕ 0 + e Jϕ w 0 (ϕ )dϕ ) 0 = ( c0 d 0 ) ( e Jϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ) (, e Jϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ) ϕ ϕ ( ) ( e Jϕ w 0 (ϕ )dϕ ϕ ϕ 0 = ϕ ϕ f(ϕ) ( ) ϕ ϕ = f(ϕ )dϕ + ϕ ϕ f(ϕ )dϕ ) dϕ ( Is (ϕ) I c (ϕ) ) u(ϕ) = c 0 ϕ + d 0 ϕ I s ϕ + I c ϕ
34 v 0 z = v2 0 2g g 2v 2 0 (x 2 + y 2 ) v 0 c v 2 v = g(1 + v 2 /v 2 τ ) d/dt = vdv/dz ( ) z max = v2 τ 2g 1 + v2 0 vτ 2 t = v τ g (v 0/v τ ) M v = (v x, v y ) m 1, m 2 M = m 1 +m 2 K δ = 1 2 µv2 0 µ = m 1m 2 /(m 1 + m 2 ) v 0 m 1, m 2 fracdmdt = k z(t) = v α t 1 m 2 gt2 v α k m 0 m
35 y M m 1 m 2 x r 0 r = 1 + ϵ ϕ ϵ = 1 ϵ > 1 m r = k ϕ ϕ k ϵ = F C F d r = 0 F R xy z P x dl = R dϕ dm = σrdϕ Q OQ = (R ϕ, R ϕ, 0) OP = (x, 0, z)
36 QP r = OP OQ = (x R ϕ) 2 + R 2 2 ϕ + z 2 = x 2 + R 2 2xR ϕ + z 2 dm P du = G N dm r = G NσR dϕ r 2π dϕ U = G N σr x 2 + R 2 2xR ϕ + z 2 = 2G N σr 0 π 0 dϕ x 2 + R 2 2xR ϕ + z 2 P x a 2 = (x + R) 2 + z 2 b 2 = (x R) 2 + z 2 a 2 + b 2 = x 2 + R 2 + z 2, a2 b 2 = 2Rx 2 2 r r 2 = a2 + b 2 2 a2 b 2 2 = a 2 2 ϕ 2 + b2 2 ϕ 2 ϕ ϕ = π 2θ θ = [0, π 2 ] r r 2 = a 2 2 θ + b 2 2 θ
37 0 U = 2G N σr = 4G N σr a π/2 π/2 0 2dθ a 2 2 θ + b 2 2 θ dθ 2 θ + b2 a 2 θ 2 b/a b/a A, B A, B (xz) x AP B C R C A, B C R 2 C = (CA)(CB) z a = b U = G N 2πσ a = G N m R 2 + z 2 m 0 m a g v a m r = k ϕ ϕ k M V m M v
38 M ω T 3π ρg l ω T l/2 F C C F d r = 0 F M 0 dm/dt = λ, λ > 0 g = g(t) U m E = T + U nabla = ê1 h 1 q 1 + ê2 h 2 q 2 + ê3 h 3 q 3 q 1, q 2, q 3 h 1,2,3 h i = r q i q 1 = r, q 2 = θ, q 3 = ϕ V `
39 ê 1 ê r, ê 2 ê θ, ê 3 ê ϕ h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = r θ divergence [ A 1 = (A 1 h 2 h 3 ) + (A 2 h 3 h 1 ) + ] (A 3 h 1 h 2 ) h 1 h 2 h 3 q 1 q 2 q 3 A = A 1 ê 1 + A 2 ê 2 + A 3 ê 3 F θ = F ϕ = 0 F ( r) = F r (r)ê r θ x 3 z ϕ x 1 x x 1 x 2 xy
40 curl rot A A 1 h 1 ê 1 h 2 ê 2 h 3 ê 3 = h 1 h 2 h 3 q 1 q 2 q 3 h 1 A 1 h 2 A 2 h 3 A 3 A 1 ê 1 rê 2 r θê 3 = r 2 θ r θ ϕ A r ra θ r θa ϕ F ( r) = F r (r)ê r r(ϕ) = r 0 (1 + a ϕ) F = b r p + c r q r 0, a a = 1 k, a U(r) = k e r/a r r = r ϵ ϕ ϵ = 1/2 v v v = 2 3 v
41 2 v = 3 v v = m/s Σ 0 Σ a m v Σ r 0 = r + R F = m r 0 r 0 = r + R = r0 + a
42 m r 0 R 0 R Σ a = R Σ0 m r m r = F m a F α = m a O O O ω = ωˆn ω O v = ω r
43 r O ê dê dt = ω ê Σ 0 Σ Σ ω Σ 0 A ) ( da dt ( da dt : Σ 0 ) 0 : Σ ê 1, ê 2, ê 3 Σ A = A i ê i d A dt = da i dt êi ê i
44 A ( da ) = da i dê i dt dt êi + A i dt 0 ( da ) dt A i dê i dt = A i( ω ê i ) = ω (A i ê i ) = ω A 0 = d A dt + ω A ( da m ) = F dt ( ) d r = d r + ω r dt dt 0 0 ω = 0 ( d 2 ) ( ) ( ) r d d r dt 2 = + ω r 0 dt 0 dt = d2 r dt ω r + ω ( ω r) d2 r dt 2 2 ω r Coriolis ω ( ω r)
45 F = m d2 r dt 2 + 2m ω r + m ω ( ω r) m d2 r dt 2 = F 2m ω r m ω ( ω r) = F + F C + F φ F C = 2 ω r Coriolis F φ = m ω ( ω r) F C, F φ r = a(1 + 3/2 ϕ) m m F = k/r 3, k < 0 m r ϕ = C r d = 1µm N π = A = 0.1mm ρ = Kg/m 3 ω z = ω2 2g ρ2 z ρ
46 r(0) = 0, v(0) = v 0 h = 180 θ = π 6 R ω m O r m ω M v = (v x, v y ) m 1, m 2 M = m 1 + m 2 m 1, m 2 K δ = 1 2 µv2 0 µ = m 1m 2 /(m 1 + m 2 )
47 v 0 m 1, m 2 r(ϕ) = k ϕ n, µϵ k, n > 0 F = F (r) n U(r) U u + u = µ/(ul) 2 F (1/u) ẍ+2αẋ+ω 2 0 x = 0 x(t) : i) (a + bt)e αt, ii) e αt (ω 1 t δ), iii) e αt (βt), a = 1, b = 1, δ = π 2, α = ω 0 2 ω 2 1 = ω2 0 α2 = β 2 r(0) = 0, v(0) = v 0 y M m 1 m 2 O r x ( (
48 x t,v t t 0.2
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Z = 1.2 X 1 + 1, 4 X 2 + 3, 3 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 999 X 5. X 1 X 2 X 2 X 3 X 4 X 4 X 5 X 4 X 4 Z = 0.717 X 1 + 0.847 X 2 + 3.107 X 3 + 0.420 X 4 + 0.998 X 5. X 5 X 4 Z = 6.56 X 1 + 3.26 X 2 + 6.72 X 3
➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I
tr 3 P s tr r t t 0,5A s r t r r t s r r r r t st 220 V 3r 3 t r 3r r t r r t r r s e = I t = 0,5A 86400 s e = 43200As t r r r A = U e A = 220V 43200 As A = 9504000J r 1 kwh = 3,6MJ s 3,6MJ t 3r A = (9504000
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι. ΡΙΖΟΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 9 ΘΕΜΑ.4 μονάδες)
Κεφάλαιο 9. Περιστροφική κίνηση. Ροπή Αδράνειας-Ροπή-Στροφορμή
Κεφάλαιο 9 Περιστροφική κίνηση Ροπή Αδράνειας-Ροπή-Στροφορμή 1rad = 360o 2π Γωνιακή ταχύτητα (μέτρο). ω μεση = θ 1 θ 2 = θ t 2 t 1 t θ ω = lim t 0 t = dθ dt Μονάδες: περιστροφές/λεπτό (rev/min)=(rpm)=
< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
μ μ dω I ν S da cos θ da λ λ Γ α/β MJ Capítulo 1 % βpic ɛ Eridani V ega β P ic F ormalhaut 10 9 15% 70 Virgem 47 Ursa Maior Debris Disk Debris Disk μ 90% L ac = GM M ac R L ac R M M ac L J T
ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για
ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ. ˆ. μé,.. Ö ±μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2016.. 47.. 5 ˆ Œ ƒ ˆŸ Ÿ Š Ÿ ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ. ˆ. μé,.. Ö ±μ ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö ˆ 1622 ˆ 1624 ˆ ˆ ˆ Šˆ Š Ÿ ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ 1626 ˆ ƒ ˆ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ Š ƒ Š 1627 ˆ ƒ ˆ ˆŸ 1631
Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale
POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016
σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.
Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις
Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις
Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,
Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )
Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού
Appendix A. Curvilinear coordinates. A.1 Lamé coefficients. Consider set of equations. ξ i = ξ i (x 1,x 2,x 3 ), i = 1,2,3
Appendix A Curvilinear coordinates A. Lamé coefficients Consider set of equations ξ i = ξ i x,x 2,x 3, i =,2,3 where ξ,ξ 2,ξ 3 independent, single-valued and continuous x,x 2,x 3 : coordinates of point
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές
Παράδειγµα 1 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 Θεωρήστε την κίνηση ενός σώματος,μάζας m σε ελκτικό δυναμικό: V r ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές (α) Σχεδιάστε το για μικρές και μεγάλες τιμές της στροφορμής,, και
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
Ενεργός διατοµή Χρυσός Κανόνας του Fermi
Μαθηµα 3 0 Ενεργός διατοµή Χρυσός Κανόνας του Fermi 12-3-2015 Μετρήσιμες ποσότητες Παρατηρώντας τη φύση για να καταλάβουμε ποιά είναι τα στοιχειώδη σωμάτια και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, έχουμε τα
Κεφάλαιο Η έννοια του στερεού σώματος
Κεφάλαιο 15 1 Η έννοια του στερεού σώματος Ο τεχνολογικός πολιτισμός μας είναι άρρηκτα συνδεδεμένος με την ύπαρξη στερεών σωμάτων τα οποία έχουν συγκεκριμένες διαστάσεις και σχήμα, δηλαδή αντικείμενα των
Δ. Σαμψωνίδης & Κ.Κορδάς. Ανιχνευτές : Μάθημα 1 Ενεργός διατομή αλληεπίδρασης σωματιδίων, μέση ελεύθερη διαδρομή σωματιδίου
Επταχυντές - Ανιχνευτές Δ. Σαμψωνίδης & Κ.Κορδάς Ανιχνευτές : Μάθημα 1 Ενεργός διατομή αλληεπίδρασης σωματιδίων, μέση ελεύθερη διαδρομή σωματιδίου Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Επιταχυντές
Ó³ Ÿ , º 1(199).. 66Ä79 .. Ê 1. Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ±
Ó³ Ÿ. 216.. 13, º 1(199).. 66Ä79 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ Œ Ÿ ƒˆÿ ˆ Œ ƒ ˆ ˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± μé ³± Ì ²ÖÉ É ±μ É μ É Í ³μÉ Î μ ²μ± ²Ó μ³ μ- Éμ± Ö ² ±É ± ³ ÏÉ Ì ±μ²ó± Ì ³ ±, Ò
ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ
ÒÄÆÉÖÌÄ. ÀÒÀßÒ ÉÅÉ ÓÀÌÀÒÈÉ ÖÍØÝÉÏÍÀËÖÒ-ÃÉ ÄÒÄÍÝÉÀËÖÒÉ ÂÀÍÔÏËÄÁÄÁÉÓÈÅÉÓ ÃÀÌÔÊÉ- ÝÄÁÖËÉÀ ÀÌÏÍÀáÓÍÉÓ ÅÀÒÉÀÝÉÉÓ ÏÒÌÖËÄÁÉ, ÒÏÌËÄÁÛÉÝ ÂÀÌÏÅËÄÍÉËÉÀ ÓÀßÚÉÓÉ ÌÏÌÄÍÔÉÓÀ ÃÀ ÃÀÂÅÉÀÍÄÁÄÁÉÓ ÛÄÛ ÏÈÄÁÉÓ Ä ÄØÔÉ, ÀÂÒÄÈÅÄ
Μαγνητικοί άνεμοι και απώλεια στροφορμής
8 Μαγνητικοί άνεμοι και απώλεια στροφορμής Σχήμα 8.1: Μορφολογία ενός αστρικού ανέμου στο ισημερινό επίπεδο στα πλαίσια της αντιμετώπισής του από το απλοποιημένο μοντέλο του μαγνητοπεροστροφικού ανέμου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται
ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ
Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 2(193).. 281Ä298 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± Í Œ Ì ²ÖÉ É ±μ É μ É Í ( ƒ) μ μ²ö É μ μ ÉÓ É ²Ó- ÊÕ ² ±Í
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2 ΗΜ. ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 9//203 2. (α) Υπολογίστε το δείκτη χρώματος ενός αστέρα όταν βρίσκεται σε απόσταση 50pc και το φαινόμενο μέγεθός του είναι mv =7.55 και το ΜΒ =2.007.
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
Pierre Grandemange. To cite this version: HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel
Piégeage et accumulation de positons issus d un faisceau pulsé produit par un accélérateur pour l étude de l interaction gravitationnelle de l antimatière Pierre Grandemange To cite this version: Pierre
11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή
11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό κατά dθ dw F ds = F R dθ
ds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006
Σειρά Θέση ΦΥΣ. 3 Τελική Εξέταση: 3-Δεκεμβρίου-6 Πριν αρχίσετε συμπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητας). Ονοματεπώνυμο Αριθμός ταυτότητας Σας δίνονται ισότιμα προβλήματα ( βαθμοί
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques
Το πρόβληµα της σκέδασης
Το πρόβληµα της σκέδασης ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 1 q Θεωρήστε μή φραγμένη κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Ø Σωματίδιο έρχεται από το άπειρο και πηγαίνει στο άπειρο q Υποθέστε ότι F( r) 0 καθώς r Ø H τροχιά προσεγγίζει
ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ
ΚΑΝΑΡΗΣ Χ. ΤΣΙΓΚΑΝΟΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 - Θερμικά διεγερμένοι αστροφυσικοί άνεμοι ΑΘΗΝΑ 018 i i ``ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ-ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ'' --- 018/5/11 --- 1:6 --- page 1 --- # i 6 Θερμικά Διεγερμένοι Αστροφυσικοί
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,
Σύντομη μαθηματική εισαγωγή
Σύντομη μαθηματική εισαγωγή (ή πώς να γίνουν ομοιογενείς 250 φοιτητές από 130 διαφορετικά Σχολεία δύο διαφορετικούς δασκάλους ο καθένας) με δύο http://www.cc.uoa.gr/~ctrikali http://eclass.uoa.gr Α. Καραμπαρμπούνης,
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Διανυσματική Ανάλυση. Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διανυσματική Ανάλυση Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 9 Ιουνίου 2011 2 Περιεχόμενα 1 Διανυσματικές συναρτήσεις 1 1.1 Γενικά στοιχεία.....................................
Μάθημα 3 Αυθόρητη διάσπαση και χρόνος ζωής, Σκεδάσεις και Ενεργός διατομή
Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 3 Αυθόρητη διάσπαση και χρόνος ζωής, Σκεδάσεις και Ενεργός διατομή Κώστας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
3/5/016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Παραδείγματα Κεραιών Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δίπολο Hetz L d
ITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,
(010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα
692.66:
1 69.66:6-83 05.05.05 -,, 015 .. 7... 8 1.... 19 1.1.,.. 19 1.. 8 1.3.. 1.4... 1.4.1.... 33 36 40 1.4.. 44 1.4.3. -... 48.. 53.,.. 56.1., -....... 56..... 6.3.... 71.. 76 3.,.... 77 3 3.1.... 77 3.1.1....
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
ΚΑΤΑΝΟΜΗ BOLTZMANN ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΚΑΤΑΝΟΜΗ BOLTZMA ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Κατανομή Bltzmann. Ασκήσεις 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 1. Κατανομή Bltzmann
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
1. (a) (5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve. r(t) = 3cost, 4t, 3sint
1. a) 5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve at the point P, π, rt) cost, t, sint ). b) 5 points) Find curvature of the curve at the point P. Solution: a) r t) sint,,
f a o gy s m a l nalg d co h n to h e y o m ia lalg e br coh the oogy lagebr
- - - * k ˆ v ˆ k ˆ ˆ E x ˆ ˆ [ v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E x ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ Ex U U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ M v ˆ v M v ˆ ˆ I U ˆ I 9 70 k k ˆ ˆ - I I 9ˆ 70 ˆ [ ˆ - v - - v k k k ˆ - ˆ k ˆ k [ ˆ ˆ D M ˆ k k 0 D M k [ 0 M v M ˆ
υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger
4 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4.1 Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Θεωρούµε την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου µε µάζα m e και ϕορτίο q e = e µε έναν πυρήνα µε ϕορτίο
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
ˆ ˆ œ - ˆ Š ˆ Š ˆ ˆ Œ ˆ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2016.. 47.. 2 ˆ ˆ œ - ˆ Š ˆ Š ˆ ˆ Œ ˆ Ÿ ˆ Œ.. ŠÊ±² 1, ƒ. ƒ. ³Ö 1,,.. Éμ ±μ 1,2 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 μ³ ± μ² É Ì Î ± Ê É É, μ³ ±, μ Ö ˆ 390 ˆ Š ˆ ˆ 392 ˆ ˆ Š ƒ 397 œ - ˆ Po ˆ Rn 408
ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση
ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο
11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής
11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 7: Διαμόρφωση Γωνίας (1/2) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διαμόρφωση γωνίας Ορισμοί Η έννοια της Στιγμιαίας Συχνότητας Διαμόρφωση Φάσης (Phase
χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)
Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler
ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler q Τρεις οι νόµοι του Kepler: Ø Oι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές µε τον ήλιο σε µια εστία τους. Ø Η επιβατική ακτίνα ενός πλανήτη διαγράφει
f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:
L. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28
L. F avart I.I.H.E. Université Libre de Bruxelles H Collaboration HERA at DESY CLAS Workshop Genova - 4-8 th of Feb. 9 CLAS workshop Feb. 9 - L.Favart p./8 e p Integrated luminosity 96- + 3-7 (high energy)
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 6..5 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων Άσκηση (α) Έστω z το όριο της ακολουθίας z n, δηλ. για κάθε ɛ > υπάρχει N(ɛ) ώστε z n z < ɛ για n > N. Για n > N(ɛ), είναι z n
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen
Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ), y 0, < x < + (1) dx/(1 x 2 ) = 1 ln((1 + x)/(1 x)) για 1 < x < 1. l AB = dx/1 = 2 (2) (5) w 1/2 = ±κx + C (7)
ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Θ. Τομαράς 1. ΤΟ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Το υπερβολικό επίπεδο ορίζεται με τη μετρική ds = 1 y dx + dy ), y 0, < x < + 1) α) Να υπολογίσετε το μήκος της γραμμής της παράλληλης στον
ITU-R M MHz ITU-R M ( ) (epfd) (ARNS) (RNSS) ( /(DME) MHz (ARNS) MHz ITU-R M.
ITU-R M.64- (007-005-003) ITU-R M.64- MHz 5-64 (epfd) (RNSS) ().MHz 5-64 MHz 5-960 (RR) ( () (RNSS) ( /(DME) MHz 5-64 (RNSS) (TACAN) ( ITU-R M.639 MHz 5-64 WRC-000 ( (RNSS) (RNSS) () RNSS WRC-03 ( MHz
Equations. BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1. du dv. FTLI : f (B) f (A) = f dr. F dr = Green s Theorem : y da
BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1 Equations r(t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k r = r (t) t s = r = r (t) t r(u, v) = x(u, v) î + y(u, v) ĵ + z(u, v) k S = ( ( ) r r u r v = u
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 9.1 - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 01. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d
T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc
c 4 (1) Robertson Walker (x 0 = ct) , R 2 (t) = R0a 2 2 (t) (2) p(t) g = (3) p(t) g 22 p(t) g 33
ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Α. Η ΕΞΙΣΩΣΗ EINSTEIN Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς G µν R µν 1 g µν R = κ T µν, κ 8πG N c 4 (1) Β. Η ΕΞΙΣΩΣΗ FRIEDMANN. Για ομογενή και ισότροπο χωρόχρονο έχουμε
mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2
Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, 6 Σεπτεμβρίου 6 Διάρκεια εξέτασης ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα),
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)
![Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)](/thumbs/62/47227735.jpg "Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)")
Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P
Αρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω
Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!
MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.
' ( )* * +,,, ) - ". &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &"&!3, #&- &2!#&, "#4 $!&$3% 2!% #!.1 & &!" //! &-!!
..!! "#$% #&" 535.34 ' ( )* *,,, ) - ". &!: 1.4.7 &/#&$&& &!&11 5.7.1 $#/&! 1!#&, #/&!#&3 &"&!3, #&- &!#&, "#4 $!&$3%!% #!.1 & &!" //! &-!!% 3 #&$&/!: /&!&# &-!!%, "#&&# 56$.., //! &-!!% ).. &$ 13 .
ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. ƒ ÏÉ,.. μ Ê μ, Œ.. Œ É Ï ²,.. ± Î ±μ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2005.. 36.. 5 Š 539.12.01 ˆŸ ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. ƒ ÏÉ,.. μ Ê μ, Œ.. Œ É Ï ²,.. ± Î ±μ ˆ É ÉÊÉ Ë ± Ò μ± Ì Ô, μé μ, μ Ö ˆ 1004 ˆ ˆŠ ƒ ˆ ˆ ƒ Ÿ ˆ ƒ Œ ˆ - ˆŸ 1006 œ ƒ ˆ ƒ ˆ ˆ- ƒ Ÿ 1013 ˆŸ ƒ ˆ ˆ ƒ Ÿ