Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler
|
|
|
- Νικηφόρος Κομνηνός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler
2 Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7.
3 Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio sljedeće četiri transformacije: zrcaljenje s obzirom na os ordinata, zrcaljenje s obzirom na os apscisa, translacija nadolje za 3 jedinice, translacija ulijevo za 2 jedinice. Tako je dobio pravac y = 4x 12. Kojim redoslijedom su izvedene navedene transformacije?
4 Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio sljedeće četiri transformacije: zrcaljenje s obzirom na os ordinata, zrcaljenje s obzirom na os apscisa, translacija nadolje za 3 jedinice, translacija ulijevo za 2 jedinice. Tako je dobio pravac y = 4x 12. Kojim redoslijedom su izvedene navedene transformacije? 4x + 7 (4x + 7) 3 = 4x + 4 4(x + 2) + 4 = 4x ( x) + 12 = 12 4x (12 4x) = 4x 12
5 Primjer Ovisnost koncentracije reaktanta o vremenu u reakciji nultog reda opisana je jednadžbom c = c 0 kt, gdje je c 0 početna koncentracija tog reaktanta, a k pozitivna konstanta. Skicirajte graf te ovisnosti!
6 Primjer Ovisnost koncentracije reaktanta o vremenu u reakciji nultog reda opisana je jednadžbom c = c 0 kt, gdje je c 0 početna koncentracija tog reaktanta, a k pozitivna konstanta. Skicirajte graf te ovisnosti! Zadatak Što je zajedničko, a što razlikuje, sljedeće ovisnosti: brzina objekta koji jednoliko usporava o vremenu, tlak idealnog plina o recipročnom volumenu, cijene vožnje taksijem o prijedenoj udaljenosti, temperatura pića o njegovoj cijeni?
7 Afine funkcije Afina funkcija varijabli pridružuje njezin umnožak s konstantom, uvećan za neku drugu konstantu: x ax + b. Ako je ta druga konstanta b = 0, govorimo o linearnoj funkciji, a ako je prva konstanta a = 0 govorimo o konstantnoj funkciji. Koja je prirodna domena afine funkcije?
8 Afine funkcije Afina funkcija varijabli pridružuje njezin umnožak s konstantom, uvećan za neku drugu konstantu: x ax + b. Ako je ta druga konstanta b = 0, govorimo o linearnoj funkciji, a ako je prva konstanta a = 0 govorimo o konstantnoj funkciji. Koja je prirodna domena afine funkcije? Kako izgleda graf afine funkcije?
9 Afine funkcije Afina funkcija varijabli pridružuje njezin umnožak s konstantom, uvećan za neku drugu konstantu: x ax + b. Ako je ta druga konstanta b = 0, govorimo o linearnoj funkciji, a ako je prva konstanta a = 0 govorimo o konstantnoj funkciji. Koja je prirodna domena afine funkcije? Kako izgleda graf afine funkcije? Može li afina funkcija biti parna? Neparna?
10 Afine funkcije Afina funkcija varijabli pridružuje njezin umnožak s konstantom, uvećan za neku drugu konstantu: x ax + b. Ako je ta druga konstanta b = 0, govorimo o linearnoj funkciji, a ako je prva konstanta a = 0 govorimo o konstantnoj funkciji. Koja je prirodna domena afine funkcije? Kako izgleda graf afine funkcije? Može li afina funkcija biti parna? Neparna? Je li proporcionalna ovisnost primjer afine funkcije?
11 Kvadratne funkcije Koliko iznosi brzina auta u trenutku t ako je početna brzina u i ako se giba pravocrtno s konstantnim ubrzanjem a?
12 Kvadratne funkcije Koliko iznosi brzina auta u trenutku t ako je početna brzina u i ako se giba pravocrtno s konstantnim ubrzanjem a? v = u + at Prema Galileu je udaljenost koju prijede taj auto u vremenu t jednaka s = ut + a 2 t2 s/m t/s
13 Put zaustavljanja od brzine u do brzine 0: v = u at = 0 T = u a s(t ) == u2 2a Ako se trenutna brzina automobila udvostruči, kako će se promijeniti put kočenja?
14 Put zaustavljanja od brzine u do brzine 0: v = u at = 0 T = u a s(t ) == u2 2a Ako se trenutna brzina automobila udvostruči, kako će se promijeniti put kočenja? Opći oblik pravila kvadratne funkcije je f (x) = ax 2 + bx + c. Koja je prirodna domena kvadratne funkcije?
15 Put zaustavljanja od brzine u do brzine 0: v = u at = 0 T = u a s(t ) == u2 2a Ako se trenutna brzina automobila udvostruči, kako će se promijeniti put kočenja? Opći oblik pravila kvadratne funkcije je f (x) = ax 2 + bx + c. Koja je prirodna domena kvadratne funkcije? Kako izgleda graf kvadratne funkcije?
16 Put zaustavljanja od brzine u do brzine 0: v = u at = 0 T = u a s(t ) == u2 2a Ako se trenutna brzina automobila udvostruči, kako će se promijeniti put kočenja? Opći oblik pravila kvadratne funkcije je f (x) = ax 2 + bx + c. Koja je prirodna domena kvadratne funkcije? Kako izgleda graf kvadratne funkcije? Može li kvadratna funkcija biti parna? Neparna?
17 Put zaustavljanja od brzine u do brzine 0: v = u at = 0 T = u a s(t ) == u2 2a Ako se trenutna brzina automobila udvostruči, kako će se promijeniti put kočenja? Opći oblik pravila kvadratne funkcije je f (x) = ax 2 + bx + c. Koja je prirodna domena kvadratne funkcije? Kako izgleda graf kvadratne funkcije? Može li kvadratna funkcija biti parna? Neparna? Gdje graf siječe os apscisa? Os ordinata?
18 Put zaustavljanja od brzine u do brzine 0: v = u at = 0 T = u a s(t ) == u2 2a Ako se trenutna brzina automobila udvostruči, kako će se promijeniti put kočenja? Opći oblik pravila kvadratne funkcije je f (x) = ax 2 + bx + c. Koja je prirodna domena kvadratne funkcije? Kako izgleda graf kvadratne funkcije? Može li kvadratna funkcija biti parna? Neparna? Gdje graf siječe os apscisa? Os ordinata?
19 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?
20 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?
21 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?
22 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?od b?
23 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?od b? Smanjenje c za 5?
24 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?od b? Smanjenje c za 5? Što je zajedničko afinim i kvadratnim funkcijama, te funkcijama tipa f (x) = x n s n N?
25 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?od b? Smanjenje c za 5? Što je zajedničko afinim i kvadratnim funkcijama, te funkcijama tipa f (x) = x n s n N?Kako biste definirali polinome?
26 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?od b? Smanjenje c za 5? Što je zajedničko afinim i kvadratnim funkcijama, te funkcijama tipa f (x) = x n s n N?Kako biste definirali polinome?što im je prirodna domena?
27 Kakav efekt na izgled parabole y = ax 2 + bx + c ima udvostručenje a?udvostručenje svih triju koeficijenata?promjena predznaka od a?od b? Smanjenje c za 5? Što je zajedničko afinim i kvadratnim funkcijama, te funkcijama tipa f (x) = x n s n N?Kako biste definirali polinome?što im je prirodna domena? Monomi su funkcije koje opisuju proporcionalnost s nekom prirodnom potencijom varijable, a polinomi su konačni zbrojevi monoma. Najveći eksponent varijable polinoma je njegov stupanj. Koeficijent uz nultu potenciju varijable zove se slobodni član, a koeficijent uz najveću potenciju zove se vodeći koeficijent.
28 Parne potencije y x
29 Neparne potencije y x
30 Ako znate da neki polinom ima nultočke 1, 1, 2 i 3, znate li o kojem se polinomu radi?
31 Ako znate da neki polinom ima nultočke 1, 1, 2 i 3, znate li o kojem se polinomu radi? Koji mu je najmanji stupanj? Što ako znamo da nema drugih realnih nultočaka?
32 Ako znate da neki polinom ima nultočke 1, 1, 2 i 3, znate li o kojem se polinomu radi? Koji mu je najmanji stupanj? Što ako znamo da nema drugih realnih nultočaka? Što ako još znamo da je stupnja 7?
33 Ako znate da neki polinom ima nultočke 1, 1, 2 i 3, znate li o kojem se polinomu radi? Koji mu je najmanji stupanj? Što ako znamo da nema drugih realnih nultočaka? Što ako još znamo da je stupnja 7?A ako još znamo da ima i kvadratni faktor bez realnih nultočaka i da mu je 1 nultočka kratnosti 2?
34 Ako znate da neki polinom ima nultočke 1, 1, 2 i 3, znate li o kojem se polinomu radi? Koji mu je najmanji stupanj? Što ako znamo da nema drugih realnih nultočaka? Što ako još znamo da je stupnja 7?A ako još znamo da ima i kvadratni faktor bez realnih nultočaka i da mu je 1 nultočka kratnosti 2? A ako dodamo da u 0 ima vrijednost -6?
35 Ako znate da neki polinom ima nultočke 1, 1, 2 i 3, znate li o kojem se polinomu radi? Koji mu je najmanji stupanj? Što ako znamo da nema drugih realnih nultočaka? Što ako još znamo da je stupnja 7?A ako još znamo da ima i kvadratni faktor bez realnih nultočaka i da mu je 1 nultočka kratnosti 2? A ako dodamo da u 0 ima vrijednost -6?Možete li otprilike skicirati graf tog polinoma?
36 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.
37 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.Da, u pravu ste: nrt = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni?
38 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.Da, u pravu ste: nrt = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni?definirajte obrnutu proporcionalnost!
39 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.Da, u pravu ste: nrt = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni?definirajte obrnutu proporcionalnost! Je li ovisnost tlaka o volumenu afina?
40 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.Da, u pravu ste: nrt = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni?definirajte obrnutu proporcionalnost! Je li ovisnost tlaka o volumenu afina? Može li se interpretirati kao linearna?
41 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.Da, u pravu ste: nrt = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni?definirajte obrnutu proporcionalnost! Je li ovisnost tlaka o volumenu afina? Može li se interpretirati kao linearna?ako ju ostavimo u izvornom obliku, kako će izgledati graf ovisnosti p o V?
42 Jednadžba stanja idealnog plina pv = nrt Pretpostavimo da su n i T konstantne, recimo tako da nrt iznosi 100.Da, u pravu ste: nrt = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni?definirajte obrnutu proporcionalnost! Je li ovisnost tlaka o volumenu afina? Može li se interpretirati kao linearna?ako ju ostavimo u izvornom obliku, kako će izgledati graf ovisnosti p o V?
43 Parne negativne potencije y x
44 Neparne negativne potencije y x
45 Horizontalna asimptota krivulje: horizontalni pravac y = L u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više lijevo ili desno, tj. krivulja se približava horizontalnoj asimptoti s porastom i/ili padom vrijednosti apscise (ako je x jako velik ili jako mali, 1 f (x) L). Vertikalna asimptota krivulje: vertikalni pravac x = c u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je ta krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više gore ili dolje, tj. krivulja se sve više približava vertikalnoj asimptoti što je apscisa točke krivulje bliža c (ako je x c, f (x) je jako velik ili jako mali). Vertikalnih asimptota graf funkcije može imati proizvoljno mnogo koliko ih je, ovisi i o pravilu i o domeni. Koliko najviše horizontalnih asimptota može imati graf funkcije? 1 Jako mali broj ne znači da se radi o broju blizu nule, nego o jako negativnom broju.
46 Horizontalna asimptota krivulje: horizontalni pravac y = L u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više lijevo ili desno, tj. krivulja se približava horizontalnoj asimptoti s porastom i/ili padom vrijednosti apscise (ako je x jako velik ili jako mali, 1 f (x) L). Vertikalna asimptota krivulje: vertikalni pravac x = c u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je ta krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više gore ili dolje, tj. krivulja se sve više približava vertikalnoj asimptoti što je apscisa točke krivulje bliža c (ako je x c, f (x) je jako velik ili jako mali). Vertikalnih asimptota graf funkcije može imati proizvoljno mnogo koliko ih je, ovisi i o pravilu i o domeni. Koliko najviše horizontalnih asimptota može imati graf funkcije? A vertikalnih? 1 Jako mali broj ne znači da se radi o broju blizu nule, nego o jako negativnom broju.
47 Horizontalna asimptota krivulje: horizontalni pravac y = L u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više lijevo ili desno, tj. krivulja se približava horizontalnoj asimptoti s porastom i/ili padom vrijednosti apscise (ako je x jako velik ili jako mali, 1 f (x) L). Vertikalna asimptota krivulje: vertikalni pravac x = c u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je ta krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više gore ili dolje, tj. krivulja se sve više približava vertikalnoj asimptoti što je apscisa točke krivulje bliža c (ako je x c, f (x) je jako velik ili jako mali). Vertikalnih asimptota graf funkcije može imati proizvoljno mnogo koliko ih je, ovisi i o pravilu i o domeni. Koliko najviše horizontalnih asimptota može imati graf funkcije? A vertikalnih?može li funkcija s prirodnom domenom [ 2, 3] imati horizontalnu asimptotu? 1 Jako mali broj ne znači da se radi o broju blizu nule, nego o jako negativnom broju.
48 Horizontalna asimptota krivulje: horizontalni pravac y = L u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više lijevo ili desno, tj. krivulja se približava horizontalnoj asimptoti s porastom i/ili padom vrijednosti apscise (ako je x jako velik ili jako mali, 1 f (x) L). Vertikalna asimptota krivulje: vertikalni pravac x = c u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je ta krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više gore ili dolje, tj. krivulja se sve više približava vertikalnoj asimptoti što je apscisa točke krivulje bliža c (ako je x c, f (x) je jako velik ili jako mali). Vertikalnih asimptota graf funkcije može imati proizvoljno mnogo koliko ih je, ovisi i o pravilu i o domeni. Koliko najviše horizontalnih asimptota može imati graf funkcije? A vertikalnih?može li funkcija s prirodnom domenom [ 2, 3] imati horizontalnu asimptotu? Vertikalnu? 1 Jako mali broj ne znači da se radi o broju blizu nule, nego o jako negativnom broju.
49 Horizontalna asimptota krivulje: horizontalni pravac y = L u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više lijevo ili desno, tj. krivulja se približava horizontalnoj asimptoti s porastom i/ili padom vrijednosti apscise (ako je x jako velik ili jako mali, 1 f (x) L). Vertikalna asimptota krivulje: vertikalni pravac x = c u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima svojstvo da je ta krivulja sve bliža tom pravcu što su joj točke više gore ili dolje, tj. krivulja se sve više približava vertikalnoj asimptoti što je apscisa točke krivulje bliža c (ako je x c, f (x) je jako velik ili jako mali). Vertikalnih asimptota graf funkcije može imati proizvoljno mnogo koliko ih je, ovisi i o pravilu i o domeni. Koliko najviše horizontalnih asimptota može imati graf funkcije? A vertikalnih?može li funkcija s prirodnom domenom [ 2, 3] imati horizontalnu asimptotu? Vertikalnu? A ako je domena [ 2, 3? 1 Jako mali broj ne znači da se radi o broju blizu nule, nego o jako negativnom broju.
50 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote.
51 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?
52 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?*
53 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup R kao domenu?
54 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup R kao domenu? Racionalne funkcije su kvocijenti dvaju polinoma. Što im je prirodna domena?
55 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup R kao domenu? Racionalne funkcije su kvocijenti dvaju polinoma. Što im je prirodna domena?može li prirodna domena racionalne funkcije biti cijeli skup R?
56 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup R kao domenu? Racionalne funkcije su kvocijenti dvaju polinoma. Što im je prirodna domena?može li prirodna domena racionalne funkcije biti cijeli skup R?Mora li graf racionalne funkcije imati vertikalnu asimptotu?
57 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup R kao domenu? Racionalne funkcije su kvocijenti dvaju polinoma. Što im je prirodna domena?može li prirodna domena racionalne funkcije biti cijeli skup R?Mora li graf racionalne funkcije imati vertikalnu asimptotu? A horizontalnu?
58 Skicirajte primjer krivulje koja je graf neke funkcije i ima tri vertikalne asimptote. Što joj je domena?predložite formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup R kao domenu? Racionalne funkcije su kvocijenti dvaju polinoma. Što im je prirodna domena?može li prirodna domena racionalne funkcije biti cijeli skup R?Mora li graf racionalne funkcije imati vertikalnu asimptotu? A horizontalnu? Primjer Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = x + 3 x 2 9.
59 Kod racionalnih funkcija se ili pojavljuje jedna obostrana horizontalna asimptota ili je uopće nema. Vrijede sljedeća pravila: Ako je nazivnik racionalne funkcije r strogo većeg stupnja od brojnika, pravac y = 0 je obostrana horizontalna asimptota od r. Ako su nazivnik i brojni racionalne funkcije r jednakih stupnjeva, pravac y = L je obostrana horizontalna asimptota od r, gdje je L kvocijent vodećeg koeficijenta brojnika i vodećeg koeficijenta nazivnika. Ako je nazivnik racionalne funkcije r manjeg stupnja od brojnika, r nema horizontalnu asimptotu.
60 Kod racionalnih funkcija se ili pojavljuje jedna obostrana horizontalna asimptota ili je uopće nema. Vrijede sljedeća pravila: Ako je nazivnik racionalne funkcije r strogo većeg stupnja od brojnika, pravac y = 0 je obostrana horizontalna asimptota od r. Ako su nazivnik i brojni racionalne funkcije r jednakih stupnjeva, pravac y = L je obostrana horizontalna asimptota od r, gdje je L kvocijent vodećeg koeficijenta brojnika i vodećeg koeficijenta nazivnika. Ako je nazivnik racionalne funkcije r manjeg stupnja od brojnika, r nema horizontalnu asimptotu. Kod racionalnih funkcija vertikalne asimptote se pojavljuju kad nazivnik (nakon maksimalnog skraćivanja formule funkcije) ima realnih nultočki (tada su vertikalne asimptote točno pravci x = c gdje su c redom nultočke nazivnika).
61 Zadatak Debyeva jednadžba ε r 1 ε r + 2 = ρn A 3ε 0 M ) (α + µ2 3kT povezuje relativnu permitivnost (dielektričnu konstantu) ε r dipolnim momentom µ i polarizabilnosti α molekula koje sačinjavaju tu tvar. Ako mjerimo ε r u ovisnoti o gustoći ρ pri konstantnoj temperaturi T, kako iz rezultata mjerenja možemo odrediti µ i α? Skicirajte graf ovisnosti ε r o ρ.
62 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0?
63 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?
64 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran?
65 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.
66 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu.
67 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x takav da je x n = y. Za nenegativne y uvijek postoji, a za neparne n je uvijek jedinstveno odreden.
68 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x takav da je x n = y. Za nenegativne y uvijek postoji, a za neparne n je uvijek jedinstveno odreden. Je li vadenje 2. (4., 6.,... ) korijena funkcija?
69 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x takav da je x n = y. Za nenegativne y uvijek postoji, a za neparne n je uvijek jedinstveno odreden. Je li vadenje 2. (4., 6.,... ) korijena funkcija?koja je prirodna domena parnih korijena?
70 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x takav da je x n = y. Za nenegativne y uvijek postoji, a za neparne n je uvijek jedinstveno odreden. Je li vadenje 2. (4., 6.,... ) korijena funkcija?koja je prirodna domena parnih korijena? A neparnih?
71 Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x takav da je x n = y. Za nenegativne y uvijek postoji, a za neparne n je uvijek jedinstveno odreden. Je li vadenje 2. (4., 6.,... ) korijena funkcija?koja je prirodna domena parnih korijena? A neparnih? Kako izgledaju grafovi funkcija korijena?
72 Pritom su Λ m i K konstante. Koje su jedinice tih konstanti? Skicirajte graf ovisnosti molarne provodnosti o koncentraciji. Koji broj realan kubiran daje 8? 1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj?a ako zamijenimo riječ kubiran s kvadriran? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini.skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x takav da je x n = y. Za nenegativne y uvijek postoji, a za neparne n je uvijek jedinstveno odreden. Je li vadenje 2. (4., 6.,... ) korijena funkcija?koja je prirodna domena parnih korijena? A neparnih? Kako izgledaju grafovi funkcija korijena? Primjer Kohlrauschov zakon opisuje ovisnost molarne provodnosti Λ m (u S cm 2 mol 1 ) o koncentraciji c jakog elektrolita i glasi Λ m = Λ m K c.
73 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2
74 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l
75 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l 2c
76 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l 2c c/5
77 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l 2c c/5 c 2
78 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l 2c c/5 c 2 c 3 /(c 0,02 mol/l)
79 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l 2c c/5 c 2 c 3 /(c 0,02 mol/l) 3c 1/2
80 Što od sljedećeg ima smisla računati ako je c = 0,10 mol/l?? c + 2 c 0,02 mol/l 2c c/5 c 2 c 3 /(c 0,02 mol/l) 3c 1/2 2 c
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
![x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x](/thumbs/55/37735885.jpg "x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x")
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?
Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
1 Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija
Slika Limesi, asimptote i neprekidnost funkcija. Limesi funkcija Zajedni ko svim varijantama esa funkcije je da se opisuju (procjenjuju) vrijednosti zadane funkcije u okolini neke vrijednost varijable.
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije