ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, , :00)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00)"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών Θεµατική Ενότητα ιοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισµών ΕΟ Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, ,.0-7:00) Να απαντηθούν τα 6 θέµατα του µέρους Α και από τα 6 θέµατα του µέρους Β Όλα τα θέµατα είναι ισότιµα και το κάθε θέµα αντιστοιχεί στο,% του τελικού βαθµού Η τελική βαθµολογία της εξέτασης δίδεται µε άριστα το 0, µε ένα δεκαδικό ψηφίο. Η σχετική βαρύτητα κάθε υπο-ερώτησης, δίνεται ως ποσοστό (επί του θέµατος). Η χρήση παραδειγµάτων και διαγραµµάτων συνιστάται ακόµη και όπου δεν απαιτείται ρητά. Η συνεργασία ή/και αντιγραφή επισύρουν µηδενισµό των γραπτών των εµπλεκοµένων. ΑΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ ΤΑ ΚΙΝΗΤΑ ΤΗΛΕΦΩΝΑ Λοιπές παρατηρήσεις

2 Μέρος Α Υποχρεωτικά θέµατα (,% ανά θέµα) Θέµα Α. Η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς ενός αγαθού, που ως γνωστόν είναι φθίνουσα και αύξουσα αντίστοιχα, δίνονται από τις πιο κάτω σχέσεις: 0, 4 Q= P + 4P+ 0 Q =, P + 0 όπου PQ>, 0 Να προσδιορισθεί:. Ποια από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι η συνάρτηση ζήτησης και ποια η συνάρτηση προσφοράς. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.... (%). Η τιµή και η ποσότητα ισορροπίας... (%). Οι ελαστικότητες ζήτησης και προσφοράς στο σηµείο ισορροπίας.... (0%) ΛΥΣΗ. Για να δούµε ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης και ποια η συνάρτηση προσφοράς εκ των δυο αυτών συναρτήσεων, θα µελετήσουµε την πρώτη παράγωγό τους. dq Για την πρώτη συνάρτηση έχουµε Q= 0, 4P + 4P+ 0 = 4 + 0,8P> 0, δεδοµένου dp ότι P > 0. ηλαδή, η πρώτη της παράγωγος είναι θετική, άρα η καµπύλη είναι αύξουσα και εποµένως η συνάρτηση Q= 0,4P + 4P + 0 είναι η συνάρτηση προσφοράς. dq Για τη δεύτερη συνάρτηση έχουµε Q=, P + 0 = *,P < 0 δεδοµένου dp ότι P > 0. ηλαδή, η πρώτη της παράγωγος είναι αρνητική, άρα η καµπύλη είναι φθίνουσα και εποµένως η συνάρτηση Q=, P + 0 είναι η συνάρτηση ζήτησης.. Για να υπάρχει ισορροπία στην αγορά θα πρέπει η ζητούµενη ποσότητα να ισούται µε την προσφερόµενη ποσότητα, δηλαδή Q = Qs. Όταν Οι ρίζες της εξίσωσης είναι s + 0 d Q = Q 0, 4P + 4P+ 0 =, P, 6P + 4P 0 = 0 d β ± β 4αγ 4± 4 4*,6*( 0) 4± 44 4± P, = = = = α *,6,, Άρα P = (απορρίπτεται) και P =, (δεκτή) Άρα, η τιµή ισορροπίας είναι P =,. Θέτοντας την τιµή ισορροπίας στη συνάρτηση προσφοράς ή στη συνάρτηση ζήτησης, λαµβάνουµε τις ποσότητες ισορροπίας. Συγκεκριµένα,

3 Q= 0, P = 0, *(,) = 0 7, Q=, Άρα η ποσότητα ισορροπίας είναι Q =,.. Η ελαστικότητα ζήτησης δίδεται από τον τύπο ε d = dq P dp Q dq Στο ερώτηµα. βρέθηκε ότι *,P dp =, άρα dq P P,, εd = = ( *, P) = ( *,*, ) = 6 0,667 dp Q Q,, Η ελαστικότητα προσφοράς δίδεται από τον τύπο ε s = dq P dp Q dq Στο ερώτηµα. βρέθηκε ότι 4 0,8P dp = +, άρα dq P P,, εs = = ( 4+ 0,8P) = ( 4+ 0,8*,) = 6 0,667 dp Q Q,,

4 Θέµα Α. Μια επιχείρηση, η οποία παράγει ένα προϊόν, έχει συνάρτηση οριακού κόστους MC = 0 Q, και συνάρτηση ζήτησης Q = 00 P, όπου Q το επίπεδο παραγωγής και P η τιµή του προϊόντος. Επιπλέον δίνεται ότι το συνολικό κόστος της επιχείρησης για την παραγωγή 00 µονάδων προϊόντος είναι 0 νοµισµατικές µονάδες (ν.µ.).. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση συνολικού κόστους και η συνάρτηση µέσου κόστους της επιχείρησης... (40%). Να προσδιορισθεί η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης (ως συνάρτηση της ποσότητας) και να προσδιορισθούν η ποσότητα και η τιµή που µεγιστοποιούν τα κέρδη της επιχείρησης.... (40%). Αν η επιχείρηση µπορεί να παράγει το πολύ 0 µονάδες προϊόντος, να προσδιορισθεί η τιµή που µεγιστοποιεί τα κέρδη της.... (0%) ΛΥΣΗ Q Q. TC( Q) MC dq = = 0 dq = 0Q + c 0 Όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης.. 00 TC(00) = 0*00 + c = 0 c = 0. 0 Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι: Q TC( Q) = 0Q TC Q 0 Μέσο Κόστος: AC = 0 Q = + 0 Q.. Συνάρτηση Κέρδους: Q Q Q Π ( Q) = P Q TC = 0 Q 0Q + 0 = + 0Q 0 0 Μεγιστοποίηση Κέρδους: 4Q Συνθήκες πρώτης τάξης: Π '( Q) = 0. Άρα Π '( Q) = 0 Q= 0. 4 Συνθήκες δεύτερης τάξης: Π ''( Q) = < 0. Άρα η ποσότητα Q max = 0 µεγιστοποιεί τα κέρδη. Η τιµή η οποία µεγιστοποιεί τα κέρδη είναι: Qmax P max = 0 = 7 ν.µ.

5 . Η συνάρτηση κέρδους Π ( Q) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα Q [0,0]. Στο διάστηµα αυτό η συνάρτηση κέρδους δεν έχει τοπικό µέγιστο, έχει όµως ολικό µέγιστο για Q = 0. Άρα η τιµή που αντιστοιχεί στο ολικό µέγιστο είναι Q P = 0 = 90 ν.µ.

6 Θέµα Α. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι παρατηρήσεις που αφορούν τις ετήσιες πωλήσεις του 006 οκτώ οµοειδών προϊόντων σε χιλιάδες τεµάχια και τις αντίστοιχες διαφηµιστικές δαπάνες για τα προϊόντα αυτά σε χιλιάδες νοµισµατικές µονάδες (ν.µ.). Υ (πωλήσεις σε χιλιάδες τεµάχια) Χ (διαφηµιστικές δαπάνες σε χιλιάδες ν.µ.) ίνεται ότι ο αριθµητικός µέσος της µεταβλητής Χ είναι ίσος µε, χιλ. ν.µ.και η τυπική απόκλιση της µεταβλητής Υ είναι ίση µε,47 χιλ. τεµάχια.. Να συγκριθεί η µεταβλητότητα των δύο µεταβλητών Χ και Υ µε τον υπολογισµό των κατάλληλων µέτρων... (0%). Να υπολογιστεί ο συντελεστής συσχέτισης των δύο µεταβλητών Χ και Υ, και να ερµηνευθεί η τιµή του.... (%). Να υπολογιστούν οι συντελεστές α και β του µοντέλου απλής γραµµικής παλινδρόµησης Y = α + β X... (%) v. Να υπολογισθεί ο συντελεστής προσδιορισµού και να ερµηνευθεί η τιµή του (0%) ΛΥΣΗ Για την σύγκριση της µεταβλητότητας των δύο µεταβλητών θα πρέπει να υπολογίσουµε τους συντελεστές µεταβλητότητας των µεταβλητών αυτών. Για τον υπολογισµό αυτό απαιτείται ο υπολογισµός της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης της µεταβλητής Χ. Υπολογισµός αριθµητικού µέσου Y = n = n Y = 90 8 =, Υπολογισµός τυπικής απόκλισης Υπολογίζουµε κατ αρχήν τη διασπορά. Η διασπορά είναι S n X nx = 84 8, 4 X = = = = 6 n 7 7 Εποµένως η τυπική απόκλιση υπολογίζεται ως εξής:

7 S X =+ S = X Προχωρούµε τώρα στον υπολογισµό των συντελεστών µεταβλητότητας CV και CV X Y S X, = 00 = *00 = 44,6% X, SY,47 = 00 = *00 = 48, 6% Y, Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η µεταβλητότητα της Υ είναι µεγαλύτερη από τη µεταβλητότητα της Χ. Πίνακας X Y X - X ( X - X ) Y -Y ( Y -Y ) ( X - X )*( Y -Y )( X - X ) Y 4 -,, -7,,6, X Y X * Y 6 -, 6, -, 7,6, ,, -,,06,7 -, ,, 0,7 0,6, , 0, -,,6 0, , 6, 6,7 4,6 6, , 0, -0, 0,06-0,, ,, 8,7 76,6 0, , Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων X = = 0,, Y = =, 8 8 S = (X -X) = 4 XX S = (Y -Y ) = 09, YY S =S = (X -X)*(Y-Y) = 9 XY YX Εναλλακτικά:

8 ( X ) ( 44) S XX = X - =84 - = 84-4 = 4 n 8 ( Y ) ( ) 90 SYY = Y - = - = - 0, = 09, n 8 ( X)( Y ) ( 44) * ( 90) SXY = SYX = XY - = 86 - = = 9 n 8 () Ο συντελεστής συσχέτισης είναι: S XY r = = = = = 097, S *S 4* 09, , 0 XX YY Άρα συµπεραίνουµε ότι υπάρχει ισχυρή θετική συσχέτιση µεταξύ της τιµών και ποσοτήτων. () Η ευθεία παλινδρόµησης της Υ πάνω στη Χ είναι Y = α+ βx S XY 9 a = Y - * X = (, ) - *(, ) a = 0, 667 S 4 XX S XY 9 β = = β =, 67 S 4 XX Άρα, Y = 0, 667 +, 67X (v) Ο συντελεστής προσδιορισµού είναι: SXY 9 R = β * =, 67* =, 67* 0, 446 = 0, 94 S 09, YY Άρα συµπεραίνουµε ότι οι διαφηµιστικές δαπάνες ερµηνεύουν το 94,% της µεταβλητότητας των πωλήσεων.

9 Θέµα Α.4 Σε ένα super market έχει αποδειχτεί ότι το ύψος των λογαριασµών που πληρώνουν οι πελάτες του ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή,4 ευρώ και τυπική απόκλιση ευρώ. (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας πελάτης που ψώνισε από το super market και έδωσε στο ταµείο 00 ευρώ να πήρε ρέστα από 0 µέχρι 60 ευρώ... (60%) (β) Το super market θέλει να προσφέρει ένα δώρο στους «καλούς» πελάτες του, δηλ. στους πελάτες που οι αγορές τους ξεπερνούν ένα ποσό. Ποιο πρέπει να είναι το ποσό αυτό, αν το super market θέλει να προσφέρει το δώρο αυτό µόνο στο 4% των πελατών του;... (40%) ΛΥΣΗ (α) Έστω Χ η τ.µ. που εκφράζει το ύψος του λογαριασµού ενός πελάτη. Τότε X N(, 4, ). Για να υπολογιστεί η πιθανότητα να πάρει ρέστα από 0 µέχρι 60 ευρώ θα πρέπει να βρεθεί η πιθανότητα το ύψος του λογαριασµού που θα κάνει να είναι από 40 έως 70 ευρώ. 40, 4 70, 4 P(40 X 70) = P Z = P(, 06 < Z < 0,97) = 0,84 0, = 0, 68. β. Έστω Χ η τ.µ. που εκφράζει το ύψος του λογαριασµού ενός πελάτη. Τότε X N(, 4, ). Ζητάµε να βρούµε το ποσό x 0 για το οποίο ισχύει X µ x0,4 x0,4 P( X x0 ) = 0,04 P = 0,04 P Z = 0,04 σ, όπου Z N(0, ). Όµως από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής x0 βρίσκουµε ότι PZ (,7) = 0,04, συνεπώς,4 =,7 x 8,6 0 =.

10 Θέµα Α. Ένα στέλεχος πωλήσεων προγραµµατίζει τον αριθµό των επισκέψεων που πρέπει να πραγµατοποιήσει τον επόµενο µήνα για την προώθηση δύο προϊόντων Α και Β. Τα δεδοµένα που έχει στη διάθεσή του είναι τα ακόλουθα: Η προµήθεια του για κάθε επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Α είναι 0, ενώ η αντίστοιχη προµήθεια του για την προώθηση του προϊόντος Β είναι. Η επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Α απαιτεί ώρες, ενώ η αντίστοιχη επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Β απαιτεί ώρα. Το στέλεχος έχει στη διάθεσή του τον επόµενο µήνα συνολικά 7 ώρες για την προώθηση των προϊόντων Α και Β. Σύµφωνα µε την πολιτική της εταιρείας θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 0 αλλά όχι περισσότερες από 00 επισκέψεις το µήνα για την προώθηση κάθε προϊόντος. (α) (β) Να διατυπωθεί το µοντέλο γραµµικού προγραµµατισµού που προσδιορίζει τη µέγιστη δυνατή προµήθεια για τον πωλητή και να εξηγηθούν µε σαφήνεια τα στοιχεία του.... (0%) Να χρησιµοποιηθεί η γραφική µέθοδος επίλυσης προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού για να βρεθεί η άριστη λύση και η άριστη τιµή στο παραπάνω πρόβληµα. Να διατυπωθούν τα αποτελέσµατα µε όρους της εκφώνησης του προβλήµατος....(0%) ΛΥΣΗ (α) Σύµφωνα µε την περιγραφή του προβλήµατος, το ζητούµενο είναι ο προσδιορισµός του αριθµού των επισκέψεων που πρέπει να κάνει ο πωλητής για την προώθηση των προϊόντων Α και Β (µεταβλητές απόφασης), έτσι ώστε να µεγιστοποιηθεί η συνολική προµήθεια του (στόχος), λαµβάνοντας υπόψη τις απαιτήσεις σε χρόνο για την προώθηση κάθε προϊόντος και τον διαθέσιµο χρόνο του, καθώς και τα όρια που θέτει η επιχείρηση σε σχέση µε τον αριθµό των επισκέψεων που µπορούν να γίνουν για κάθε προϊόν (περιορισµοί). Για να διατυπώσουµε το µαθηµατικό µοντέλο του προβλήµατος, θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε συµβολικά τις µεταβλητές απόφασης και στη συνέχεια να καταγράψουµε, ως συναρτήσεις των µεταβλητών, το στόχο και τους περιορισµούς. Μεταβλητές. Σύµφωνα µε τα ανωτέρω, µεταβλητές απόφασης είναι ο αριθµός των επισκέψεων x, που πρέπει να κάνει ο πωλητής για την προώθηση του προϊόντος Α x, που πρέπει να κάνει ο πωλητής για την προώθηση του προϊόντος Β Στόχος (αντικειµενική συνάρτηση). Επειδή η προµήθεια του πωλητή για κάθε επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Α είναι 0 Ευρώ, η συνολική προµήθεια από x επισκέψεις ανέρχεται σε 0x. Όµοια, επειδή η προµήθεια του πωλητή για κάθε επίσκεψη για την προώθηση του προϊόντος Β είναι Ευρώ, η συνολική προµήθεια από x τηλεφωνικές επαφές ανέρχεται σε x.

11 Συµβολίζοντας µε το Z τη συνολική προµήθεια του πωλητή, στόχος του µοντέλου είναι η εύρεση εκείνων των τιµών x, x οι οποίες επιτυγχάνουν να το µεγιστοποιήσουν, δηλαδή: maxmze Z = 0x + x σύµφωνα µε τους περιορισµούς που επιβάλλονται σε αυτές. Περιορισµοί. Οι περιορισµοί αφορούν τις απαιτήσεις σε χρόνο για την προώθηση κάθε προϊόντος και τον διαθέσιµο χρόνο του πωλητή, καθώς και τα όρια που θέτει η επιχείρηση σε σχέση µε τον αριθµό των επισκέψεων που µπορούν να γίνουν για κάθε προϊόν. x + x 7 (διαθέσιµος χρόνος του πωλητή) x 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Α) x 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Β) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Α) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Β) Για το συγκεκριµένο πρόβληµα, ισχύει προφανώς και ο περιορισµός της µη αρνητικότητας των µεταβλητών x, x 0 Συνοψίζοντας, το µαθηµατικό µοντέλο για το πρόβληµα βελτιστοποίησης της συνολικής προµήθειας του πωλητή έχει ως ακολούθως: maxmze Z = 0x + x κάτω από τους περιορισµούς x + x 7 (διαθέσιµος χρόνος του πωλητή) x > 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Α) x > 0 (κάτω όρια επιχείρησης για το Β) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Α) x 00 (άνω όρια επιχείρησης για το Β) x, x 0 (β) Αφού χαράξουµε τις περιοριστικές ευθείες που αντιστοιχούν στους επτά περιορισµούς του προβλήµατος, παρατηρούµε ότι ο 4ος περιορισµός είναι πλεονάζων και δεν συµµετέχει στο σχηµατισµό της εφικτής περιοχής του προβλήµατος. Η ευθεία που αντιστοιχεί στον ο περιορισµό τέµνει τους περιορισµούς και στα σηµεία (0,0) και (0,00) αντίστοιχα, προσδιορίζοντας δύο από τις κορυφές της περιοχής των εφικτών λύσεων. Ο πρώτος περιορισµός τέµνει τους περιορισµούς και στα σηµεία (/,0) και (,00) προσδιορίζοντας δύο ακόµα κορυφές της περιοχής των εφικτών λύσεων. Οι συντεταγµένες των σηµείων αυτών βρίσκονται από την επίλυση του συστήµατος x + x = 7 και x = 0 αφενός και αφετέρου από την επίλυση του συστήµατος x + x = 7 και x = 00.

12 Οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης ( 0x x ) + για τις τέσσερις κορυφές της εφικτής περιοχής, µία εκ των οποίων ως γνωστό είναι η βέλτιστη λύση του προβλήµατος, δίνονται στον κατωτέρω πίνακα. ΚΟΡΥΦΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΙΜΗ Ζ Α (0, 0) 00 Β (0, 00) 700 Γ (, 00) 70 (/, 0) 66,67 Συνεπώς, βέλτιστη λύση του προβλήµατος είναι η κορυφή Γ δηλαδή επισκέψεις για το προϊόν Α: x = και επισκέψεις για το προϊόν Β: x = 00 µε αναµενόµενη συνολική προµήθεια 70 ευρώ. Η βέλτιστη λύση θα µπορούσε να βρεθεί επίσης µε παράλληλη µετατόπιση των ευθειών ίσου κέρδους της αντικειµενικής συνάρτησης προς την κατεύθυνση αύξησης οπότε θα εντόπιζε την κορυφή Γ ως άριστη πριν την αποχώρηση από την εφικτή περιοχή.

13 Θέµα Α.6 Ένα σταθµός αυτοκινήτων διαθέτει πλυντήριο που µπορεί να εξυπηρετεί ένα αυτοκίνητο κάθε φορά. Το πλυντήριο λειτουργεί ώρες κάθε µέρα από τις 8 το πρωί µέχρι τις 8 το βράδυ. Οι πελάτες (τα αυτοκίνητα για πλύσιµο) καταφθάνουν τυχαία ακολουθώντας κατανοµή Posson µε µέση τιµή 4 αυτοκίνητα ανά ώρα. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα αυτοκίνητο για να πλυθεί δεν είναι σταθερός αλλά ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 0 λεπτά. Τα αυτοκίνητα που περιµένουν, παρκάρουν στο χώρο στάθµευσης του πλυντηρίου και σε περίπτωση που είναι γεµάτος, στην άκρη του δρόµου (δηλαδή υπάρχει δυνατότητα αναµονής άπειρων αυτοκινήτων). Επιπλέον θεωρούµε ότι η πηγή των πελατών είναι τα διερχόµενα από την περιοχή αυτοκίνητα (µεγάλο πλήθος). (α) Με βάση τα παραπάνω στοιχεία να υπολογισθούν:. Ο µέσος αριθµός των αυτοκίνητων που περιµένουν στην ουρά για να πλυθούν... (0%). Ο µέσος χρόνος που περιµένουν τα αυτοκίνητα µέχρι να µπουν στο πλυντήριο... (0%). Το ηµερήσιο κόστος του πλυντηρίου αν το ωριαίο λειτουργικό κόστος του είναι ευρώ και το ωριαίο κόστος παραµονής ενός αυτοκινήτου στο σύστηµα είναι ευρώ.... (0%) v. Η πιθανότητα ένα αυτοκίνητο που φτάνει για πλύσιµο να βρει τουλάχιστον ένα αυτοκίνητο στο σύστηµα... (%) (β) Αν γνωρίζουµε ότι ο υπεύθυνος του σταθµού έχει ξεκινήσει µια διαφηµιστική εκστρατεία η οποία αναµένεται να αυξήσει τη ζήτηση για πλύσιµο αυτοκινήτων κατά 0% να εξετασθεί αν το πλυντήριο, µε την παρούσα δυναµικότητά του µπορεί να καλύψει τη ζήτηση αυτή.... (%) Σηµείωση: Να χρησιµοποιήσετε ως στοιχειώδη µονάδα µέτρησης του χρόνου την µία ώρα και να διατηρήσετε στις πράξεις τουλάχιστον τρία δεκαδικά ψηφία. ΛΥΣΗ (α) Πρόκειται για ένα σύστηµα Μ/Μ// / µε ρυθµό εισόδου λ = 4 αυτοκίνητα/ ώρα και ρυθµό εξυπηρέτησης µ = 6 αυτοκίνητα/ ώρα.. Ζητείται το L q (µέσο πλήθος πελατών αυτοκινήτων στην ουρά) L q = λ 4 6, µµ ( λ) = 6(6 4) = = αυτοκίνητα. Ζητείται το W q (µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά) W q λ 4 4 = = = = 0, µµ ( λ) 6(6 4) ώρας (0 ). Είναι TC = WC + SC = c w L + c s s.

14 Tο L= λ*w όπου W = = = 0, της ώρας. µ λ 6 4 Άρα L= λ*w = 4*0. =. Οπότε έχουµε ότι TC = * + * = 9 ευρώ το ωριαίο κόστος. Άρα το ηµερήσιο κόστος είναι *9 = 08 ευρώ. v. Η πιθανότητα ένας πελάτης (αυτοκίνητο) που φτάνει να βρει τουλάχιστον έναν στο σύστηµα να πλένει το δικό του είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιµένει και είναι το ρ = - Ρ 0 = 4/6. (β) Αφού ο ρυθµός άφιξης αυξάνεται κατά 0%, αυτό σηµαίνει ότι το λ γίνεται ίσο µε 6 αυτοκίνητα την ώρα. Οπότε λ/µ = και κατά συνέπεια δεν υπάρχει ισορροπία. Πρακτικά η ουρά τείνει στο άπειρο και το πλυντήριο δεν θα είναι σε θέση να εξυπηρετήσει τα αυτοκίνητα που έρχονται για πλύσιµο.

15 Μέρος Β Επιλογή από τα 6 θέµατα (,% ανά θέµα) Θέµα Β. (α) Ο ρυθµός µεταβολής του οριακού κόστους µιας επιχείρησης, η οποία παράγει ένα dmc( Q) προϊόν, δίνεται από τη σχέση = e Q. Επιπλέον δίνεται ότι το συνολικό dq κόστος της επιχείρησης για µηδενικό επίπεδο παραγωγής είναι ίσο µε νοµισµατικές µονάδες (ν.µ.) ενώ το συνολικό κόστος της για την παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος είναι ίσο µε e + ν.µ.. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης.... (70%) (β) Η συνάρτηση του µέσου κόστους µιας επιχείρησης, η οποία παράγει ένα προϊόν. είναι AC = Q 8Q + 7 +, όπου Q το επίπεδο παραγωγής. Να Q προσδιορισθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος της επιχείρησης.... (0%) ΛΥΣΗ (α) (Βλ. Παράδειγµα, σελ. 60 Τόµος Α σχετικά µε ολοκλήρωση εκθετικής συνάρτησης). Ολοκληρώνουµε την παράγωγο του οριακού κόστους για να βρούµε τη συνάρτηση οριακού κόστους ( ) ( ) Q Q MC Q = MC QdQ= e dq= e + c Ολοκληρώνουµε τη συνάρτηση οριακού κόστους ώστε να ανακτήσουµε τη συνάρτηση συνολικού κόστους ( ) ( ) Q Q TC Q MC Q dq e = = + c dq = e + c Q + c ( ) Ο υπολογισµός των σταθερών ολοκλήρωσης c, c γίνεται µέσω των συνθηκών TC (0) = και TC() = +. Έχουµε TC(0) = + c*0 + c = (Α) και TC() e = + c + c = e + (Β) Από την εξίσωση (Α) η c = 0 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση (Β) η σταθερά e c =. Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους δίνεται από την Q TC( Q) = e + Q

16 (β) Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC = AC Q = Q 8Q + 7Q + Η συνάρτηση οριακού κόστους είναι: dtc MC = = Q 6Q + 7. dq Ελαχιστοποίηση οριακού κόστους: 8 Συνθήκη πρώτης τάξης: MC '( Q) = 6Q 6 = 0 Q = Συνθήκη δεύτερης τάξης: MC ''( Q ) = 6 > 0. 8 Άρα η ποσότητα Q = ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος.

17 Θέµα Β. (α) Η συνάρτηση του στιγµιαίου ρυθµού εισροής ποσότητας νερού σε µια δεξαµενή, όταν ανοίγει η βρύση που τη γεµίζει. είναι V ( t ) = t. Η αντίστοιχη συνάρτηση του στιγµιαίου ρυθµού εκροής ποσότητας νερού από τη δεξαµενή όταν ανοίγει η βρύση που την αδειάζει, είναι V ( t) 900 8t = +. Σηµειώνεται ότι ο χρόνος t εκφράζεται σε ώρες και οι ποσότητες νερού V και V σε λίτρα. Οι δύο βρύσες ανοίγουν την ίδια χρονική στιγµή και λειτουργούν παράλληλα για ώρες. Αν τη χρονική στιγµή που ανοίγουν ( t = 0 ) η δεξαµενή περιέχει 00 λίτρα νερό, να υπολογισθεί η ποσότητα του νερού που θα περιέχει µετά από ώρες... (60%) (β) Να υπολογισθεί η παράγωγος dz των συναρτήσεων dx. z = ln(y+ ) και y = x + x. z = y( y ), y = t+ και t = x e x... (40%) ΛΥΣΗ (α) Επειδή η βρύση που τη γεµίζει έχει µεγαλύτερη ροή από την βρύση που την αδειάζει, η συνολική ροή µε την οποία γεµίζει η δεξαµενή είναι V () t = V () t V () t ( ) V ( t) = t t = 00 + t 4 Vt ( ) = 00 + tdt= 00t+ t + c Άρα, ( ) Τη χρονική στιγµή t = 0 η ποσότητα του νερού είναι V (0) = 00 άρα από την πιο πάνω σχέση έχουµε ότι c=00. Μετά από ώρες η ποσότητα νερού θα είναι: 4 V () = 00* = 04,9

18 (β). dz ( ) ( ) = dz dy = * [ x ] x x dx dy dx y + = + = + + y + ( x + x) +. dz dz dy dt e = = [( y ) + y] [ ] x x x dx dy dt dx e e x x = [ y ] x e e x x = [ ( t + ) ] x e x x = [ t + ] x e x x x x x x = + x x e e = x ( x + e )( x x ) e x

19 Θέµα Β. Ένα κατάστηµα χρησιµοποιεί τρεις υπαλλήλους κατά την περίοδο των Χριστουγέννων για τη συσκευασία των δώρων: τη Μαρία, την Κατερίνα και τη Γεωργία. Σύµφωνα µε τα στοιχεία που τηρεί η εταιρεία η Μαρία συσκευάζει το % των δώρων, η Κατερίνα το % των δώρων και η Γεωργία τα υπόλοιπα. Επίσης, είναι γνωστό ότι η Μαρία ξεχνά να σβήσει την τιµή στο 4% των δώρων που συσκευάζει και η Κατερίνα στο %. Το αντίστοιχα ποσοστό για τη Γεωργία ισούται µε το άθροισµα των ποσοστών των δύο άλλων.. Αν ένας παραλήπτης δώρου βρει την τιµή πάνω στο αντικείµενο που του δωρίζεται να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι το συσκεύασε η Μαρία.... (60%). Αν ένας πελάτης αγόρασε από το κατάστηµα αυτό 7 δώρα να υπολογισθεί η πιθανότητα να έµεινε η τιµή σε τουλάχιστον ένα από αυτά.... (40%) ΛΥΣΗ Ορίζω τα ενδεχόµενα: Μ: το δώρο τυλίχτηκε από τη Μαρία Κ: το δώρο τυλίχτηκε από την Κατερίνα Γ: το δώρο τυλίχτηκε από τη Γεωργία και Τ: η τιµή παρέµεινε πάνω στο δώρο. Παρατηρούµε ότι τα ενδεχόµενα Μ, Κ και Γ αποτελούν διαµέριση του δειγµατικού χώρου S (όλα τα τυλιγµένα δώρα) και έχουµε PM ( ) = 0., PK ( ) = 0. και P( Γ ) = 0.4. Ακόµη µας δίνεται ότι PTM ( ) = 0.04, PTK ( ) = 0.0, PTΓ ( ) = () Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η: PTM ( ) PM ( ) PMT ( ) = PT ( ) Όµως, PT ( ) = PTM ( ) PM ( ) + PTK ( ) PK ( ) + PT ( Γ) P( Γ ) = 0,049 0,0 Άρα, PTM ( ) PM ( ) PMT ( ) = =0,8 PT ( ) () Έστω η τ.µ. Υ η οποία εκφράζει το πλήθος των δώρων του εν λόγω πελάτη από τα οποία δε σβήστηκε η τιµή. Προφανώς η Υ µπορεί να πάρει τις τιµές 0,,...,7 και ισχύει Y B(7, p), όπου p=p(t) 0.0. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι

20 7 PY = = = = = ( ) PY ( 0) (0, 0) ( 0, 0) 0, ,07 (από τη διωνυµική κατανοµή).

21 Θέµα Β.4 (α) Σε ένα τµήµα του ΕΑΠ που αποτελείται από 0 φοιτητές και φοιτήτριες πρόκειται να δοθούν υπολογιστές. Αν τα άτοµα που θα πάρουν υπολογιστή επιλεγούν τυχαία να υπολογισθεί η πιθανότητα στην τριάδα αυτή να µετέχει το πολύ µία φοιτήτρια.... (0%) (β) Από τον ποιοτικό έλεγχο της παραγωγής µιας µηχανής διαπιστώνεται ότι κατά µέσο όρο µια µονάδα προϊόντος στις µονάδες που παράγει η µηχανή είναι ελαττωµατική. Εκτιµάται ότι η µηχανή αυτή παράγει σε µια µέρα µονάδες του προϊόντος. Αν η πολιτική της εταιρίας καθορίζει ότι µια µηχανή αποσύρεται από την παραγωγή, όταν η πιθανότητα, να παράγει περισσότερες από ελαττωµατικές µονάδες σε δύο µέρες, ξεπερνά το 70%, να εξετασθεί αν θα αποσυρθεί ή όχι η συγκεκριµένη µηχανή...(0%) ΛΥΣΗ (α) Κατά τη δηµιουργία της τριάδας δεν µας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής των ατόµων που θα την απαρτίζουν και κατά συνέπεια θα χρησιµοποιήσουµε τους τύπους των συνδυασµών. Ζητάµε την πιθανότητα το πολύ µία φοιτήτρια να είναι στην τριάδα, δηλαδή, Ρ(καµία φοιτήτρια ή µία φοιτήτρια στην τριάδα)=ρ(τρεις φοιτητές ή µία φοιτήτρια και δύο φοιτητές στην τριάδα) = + Πλήθος (τριών φοιτητών από 0) Πλήθος (επιλογή τριών φοιτητών από τους ) Πλήθος (επιλογή µιας φοιτήτριας από και επιλογή δύο φοιτητών από 0) Πλήθος (επιλογή τριών φοιτητών από τους ) C C * C 0 0 = + = + = C C 0!! 0! *!(0 )!!( )!!(0 )!!!!( )!!( )! 0!! 0! 8*9* 0 9* 0 * * =!7! +!4!!8! = * * + * =!! * 4* * 4*!!!! * * * * 4 **0 *9 * 0 67 = + = + = 0,4 *4* * 4 * 00 00

22 (β) Έστω Χ ο αριθµός των ελαττωµατικών µονάδων του βιοµηχανικού προϊόντος που παράγει η µηχανή. Η Χ ακολουθεί την κατανοµή Posson µε λ=νρ=40 000*(/0 000)=4 PX ( = x) = e x! 4 x 4 Η πιθανότητα ο αριθµός των ελαττωµατικών να υπερβαίνει τις µονάδες στις δύο ηµέρες είναι [ ] PX ( > ) = PX ( ) = PX ( = 0) + PX ( = ) + PX ( = ) e 4 e 4 e 4 e 4 = = + + x= 0 x! 0!!! 4 x Άρα η µηχανή θα αποσυρθεί = (0, , ,46) = 0, 8 = 0, 76

23 Θέµα Β. Μία εταιρία µεταφορών έχει αναλάβει τη µετακόµιση της οικοσκευής µιας οικογένειας από την πόλη που έµενε µέχρι τώρα, η οποία παριστάνεται µε τον κόµβο του παρακάτω δικτύου, στη νέα της κατοικία σε µια άλλη πόλη, η οποία παριστάνεται µε τον κόµβο 9 του δικτύου. Οι ενδιάµεσοι κόµβοι είναι άλλες πόλεις και οι ακµές είναι οι δυνατές διαδροµές µέσω του εθνικού οδικού δικτύου. Οι τιµές στις ακµές του δικτύου παριστάνουν διάρκεια του ταξιδιού σε ώρες. Όπως είναι φυσικό, η οικογένεια θέλει να ολοκληρώσει τη µετακόµιση όσο γίνεται συντοµότερα. Με βάση τα στοιχεία αυτά να χρησιµοποιήσετε την κατάλληλη µέθοδο της θεωρίας δικτύων για να λύσετε το πρόβληµα. Να αναφέρετε µε σαφήνεια τη µέθοδο που θα εφαρµόσετε και να περιγράψετε επαρκώς τη διαδικασία επίλυσης.... (00%) ΛΥΣΗ Πρόκειται για πρόβληµα εύρεσης της συντοµότερης διαδροµής. Πρώτος λυµένος κόµβος καθίσταται η αφετηρία µε απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Κόµβοι µε προσωρινές διαδροµές: κόµβος, µε απόσταση ώρες από την αφετηρία απευθείας, κόµβος, µε απόσταση ώρες οµοίως και κόµβος 4, µε απόσταση 4 ώρες οµοίως. Στο σύνολο των µονίµων κόµβων εισέρχεται ο κόµβος µε ελάχιστη απόσταση ώρες οπότε το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {, }. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου στους µόνιµους.

24 κόµβος, µε απόσταση 4 ώρες, µέσω του κόµβος 4, µε απόσταση 4 ώρες, απευθείας κόµβος, µε απόσταση 9 ώρες, µέσω του Μόνιµος καθίσταται ο κόµβος που έχει προσωρινή απόσταση από την αφετηρία 4 ώρες µέσω του κόµβου, οπότε το σύνολο των µονίµων είναι τώρα το {,, }. Εδώ θα µπορούσε να µπει ο κόµβος 4 αντί του κόµβου, αυτό όµως δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσµα. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 4, µε απόσταση 4 ώρες, απευθείας κόµβος, απόσταση 9 ώρες, µέσω του κόµβου κόµβος 6, απόσταση ώρες µέσω του Από τους κόµβους µε προσωρινό µήκος διαδροµής µόνιµος γίνεται ο κόµβος 4 µε ελάχιστη απόσταση 4 ώρες. απευθείας από την αφετηρία, οπότε το σύνολο µονίµων είναι τώρα {,,, 4}. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 4 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος, απόσταση 9 ώρες µέσω του κόµβος 6, απόσταση 0 ώρες µέσω του κόµβου 4 κόµβος 7, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 4 Μόνιµος γίνεται ο κόµβος µε απόσταση από την αφετηρία 9 ώρες µέσω του κόµβου και το σύνολο µονίµων γίνεται {,,, 4, }. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 6, απόσταση 0 ώρες µέσω του κόµβου 4 κόµβος 7, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 4 κόµβος 9, απόσταση 9+9 = 8 ώρες, µέσω του κόµβου Μόνιµος γίνεται ο κόµβος 6 µε απόσταση από την αφετηρία 0 ώρες µέσω του 4 και το σύνολο µονίµων γίνεται {,,, 4,, 6}. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 6 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 7, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 6 κόµβος 8, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 6 κόµβος 9, απόσταση 8 ώρες, µέσω του κόµβου Ο κόµβος 7 εισέρχεται στους µονίµους µε ελάχιστη απόσταση ώρες, µέσω του κόµβου 6. Το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {,,, 4,, 6, 7}.

25 Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 7 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 8, απόσταση ώρες µέσω του κόµβου 6 κόµβος 9, απόσταση 8 ώρες µέσω του κόµβου Ο κόµβος 8 εισέρχεται στους µονίµους µε ελάχιστη απόσταση ώρες, µέσω του κόµβου 6. Το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {,,, 4,, 6, 7, 8}. Αναπροσαρµόζουµε τις µεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόµβου 8 στο σύνολο των µονίµων. κόµβος 9, απόσταση 9+9 = 8 ώρες, µέσω του κόµβου κόµβος 9, απόσταση + = 8 ώρες, µέσω του κόµβου 8 Τέλος, στους µονίµους εισέρχεται ο κόµβος 9 µε ελάχιστη απόσταση 8 ώρες, µέσω του κόµβου 8 ή µέσω του κόµβου. Το σύνολο των µονίµων κόµβων γίνεται {,,, 4,, 6, 7, 8, 9}. Εποµένως το ελάχιστο µήκος διαδροµής είναι 8 ώρες. Για να βρούµε το βέλτιστο µονοπάτι ελέγχουµε οπισθοδροµικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόµβο 9 ο οποίος µας παραπέµπει στον κόµβο 8 ή στον κόµβο. Από τον κόµβο 8 οδηγούµαστε στον κόµβο 6, στον κόµβο 4 και από εκεί στην αφετηρία. Ενώ µέσω του κόµβου οδηγούµαστε στον κόµβο και από εκεί στην αφετηρία. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο άριστες διαδροµές, µε µήκος 8 ώρες, και είναι τα µονοπάτια και 9. Στο επόµενο σχήµα δίνουµε τα άριστα µονοπάτια µετάβασης από την αφετηρία στον κόµβο 9 µε τη µορφή έντονων γραµµών µε βέλη

26 Θέµα Β.6 Οι εταιρείες «Χυµός Α.Ε.» και «Φυσικό Νερό Α.Ε.» µονοπωλούν την αγορά ενός συγκεκριµένου τύπου αναψυκτικού. Κάθε µια από τις εταιρίες σχεδιάζει µια διαφηµιστική εκστρατεία προκειµένου να αυξήσει το µερίδιό της στη συγκεκριµένη αγορά (αποσπώντας ουσιαστικά τµήµα του ποσοστού της άλλης). Η εταιρεία «Χυµός Α.Ε.» εξετάζει ως πιθανά µέσα διαφήµισης του προϊόντος της την τηλεόραση (στρατηγική Α) και το ραδιόφωνο (στρατηγική Α). Αντίστοιχα η εταιρεία «Φυσικό Νερό Α.Ε.» έκτος από την τηλεόραση και το ραδιόφωνο (στρατηγική Β και Β αντίστοιχα) εξετάζει και τη δυνατότητα διαφήµισης µέσω του περιοδικού τύπου (στρατηγική Β). Το µερίδιο αγοράς που θα κερδίσει/χάσει η κάθε εταιρεία εξαρτάται από το συνδυασµό διαφηµιστικών µέσων που θα χρησιµοποιήσει αυτή και η ανταγωνίστρια της. Συγκεκριµένα, Αν οι δύο εταιρείες επιλέξουν το ίδιο µέσο διαφήµισης τα µερίδια αγοράς τους θα µείνουν αµετάβλητα. Αν η εταιρεία «Χυµός Α.Ε.» επιλέξει την τηλεόραση τότε το µερίδιο αγοράς της θα αυξηθεί κατά εκ. λίτρα ή κατά εκ. λίτρα ανάλογα µε το αν η ανταγωνίστρια της επιλέξει ραδιόφωνο ή περιοδικό τύπο αντίστοιχα. Αν η εταιρεία «Χυµός Α.Ε.» επιλέξει το ραδιόφωνο τότε το µερίδιο αγοράς της θα µειωθεί κατά εκ. λίτρα ή κατά εκ. λίτρα ανάλογα µε το αν η ανταγωνίστριά της επιλέξει τηλεόραση ή περιοδικό τύπο αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά: (α) Να κατασκευασθεί ο Πίνακας Πληρωµών για την «Χυµός Α.Ε.» και να εξετασθεί εάν υπάρχει σηµείο ισορροπίας... (0%) (β) Ας υποθέσουµε τώρα, ότι σε µία άλλη χρονική συγκυρία, ο Πίνακας Πληρωµών για την «Χυµός Α.Ε.» δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Στρατηγικές της «Φυσικό Νερό Α.Ε.» Β Β Β Στρατηγικές της Α - «Χυµός Α.Ε.» Α - 0. Να εξετασθεί αν υπάρχει σηµείο ισορροπίας.... (0%). Να εφαρµοσθεί η κατάλληλη µεθοδολογία προκειµένου να προσδιοριστεί η άριστη στρατηγική κάθε εταιρείας και το κέρδος ή η ζηµιά που θα έχει αν την ακολουθήσει.... (60%) ΛΥΣΗ (α) Πρόκειται για ένα παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος. Η «Χυµός Α.Ε.» έχει δύο στρατηγικές, άρα: τη στρατηγική Α σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει την τηλεόραση ως µέσο διαφήµισης. τη στρατηγική Α σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει το ραδιόφωνο ως µέσο διαφήµισης. Η «Φυσικό Νερό Α.Ε.» έχει τρεις στρατηγικές στην διάθεσή της, ήτοι:

27 τη στρατηγική Β σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει την τηλεόραση ως µέσο διαφήµισης. τη στρατηγική Β σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει το ραδιόφωνο ως µέσο διαφήµισης. τη στρατηγική Β σύµφωνα µε την οποία θα επιλέξει τον περιοδικό τύπο ως µέσο διαφήµισης. Σύµφωνα µε τα στοιχεία του προβλήµατος ο Πίνακας Πληρωµών για τη «Χυµός Α.Ε.» θα είναι Στρατηγικές της «Φυσικό Νερό Α.Ε.» Β Β Β Στρατηγικές της Α 0 «Χυµός Α.Ε.» Α Υπάρχει σηµείο ισορροπίας και είναι η στρατηγική Α για την «Χυµός Α.Ε.» και η στρατηγική Β για τη «Φυσικό Νερό Α.Ε.». Το σηµείο ισορροπίας µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας το κριτήριο Mnmax/Maxmn ως εξής: Β Β Β Ελάχιστο γραµµών Α 0 0 Α Μέγιστο Στηλών 0 Μέγιστο ελαχίστων =0 Ελάχιστο µεγίστων =0 (β). Πρόκειται για ένα παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος. Για την εφαρµογή του κριτηρίου Mnmax/Maxmn υπολογίζουµε τα ελάχιστα των γραµµών και τα µέγιστα των στηλών του Πίνακα. ηλαδή: Β Β Β Ελάχιστο γραµµών Α - - Α Μέγιστο Στηλών - Παρατηρούµε ότι το µέγιστο του ελάχιστου των γραµµών (-) είναι διαφορετικό από το ελάχιστο του µεγίστου των στηλών (). Εποµένως η χρήση αµιγών στρατηγικών στο παίγνιο (διαφήµιση σε ένα µόνο µέσο και από τις δύο εταιρίες) δεν οδηγεί σε κατάσταση ισορροπίας.. Όπως προκύπτει από την απάντηση στο ερώτηµα β() θα πρέπει να καθοριστούν µεικτές στρατηγικές στο παίγνιο. Έστω Α, Α οι στρατηγικές της εταιρείας «Χυµός Α.Ε.» να διαφηµίσει το αναψυκτικό σε τηλεόραση και ραδιόφωνο, αντίστοιχα. Οι

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση:

Θέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Θέμα (.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Να βρεθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής και στη συνέχεια να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος παραγωγής. (0%) Κριτήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 005-6 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Άσκηση I. (α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 4 ο : Η Προσφορά των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Δίνονται τα διπλανά δεδομένα μιας επιχείρησης στη βραχυχρόνια περίοδο. i. Να κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 013-014 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΓΡΗΓΟΡΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 26/2/2010 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς 26/2/2010 2 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η μελέτη των επιλογών τις οποίες κάνουν οι μικρο-μονάδες μιας οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC Μέσο κόστος µέσο συνολικό κόστος (AC) 3 Προσφορά και κόστος µέσο µεταβλητό κόστος (AVC) µέσο σταθερό κόστος (AFC) Το µέσο σταθερό κόστος µειώνεται, διότι το συνολικό σταθερό κόστος κατανέµεται σε περισσότερη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι

Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι 2η Γραπτή Εργασία: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 (Μονάδες 23) Το συνολικό κόστος μιας επιχείρησης είναι TC=550 ευρώ όταν η παραγωγή είναι Q=100 τεμάχια και το σταθερό κόστος είναι FC=50

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2005

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2005 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις προτάσεις από Α1 µέχρι και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό τη λέξη Σωστό,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του

Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ - ΕΝΝΟΙΕΣ Q ή q : Ποσότητα (Quantity) προϊόντος ρ, Ρ : τιμή (Price) προϊόντος ανά μονάδα προϊόντος. Συνάρτηση τηςζητησης; Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του. Δηλαδή Qd = f(p).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-7 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Άσκηση 1 η 4 η Εργασία ΔEO13 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις προτάσεις από Α.1 µέχρι και Α.5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Κεφάλαιο 11 Τα χαρακτηριστικά των ανταγωνιστικών αγορών! Τα κύρια χαρακτηριστικά των ανταγωνιστικών αγορών είναι: " Στην αγορά συµµετέχουν πολλοί αγοραστές και πωλητές

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΘ : ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2013

ΑΟΘ : ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2013 12 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΟΘ : ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2013 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο (µε 2ο, 3ο και 4ο) ΗΜΕΡΗΣΙΑ 9/2000 ΗΜΕΡΗΣΙΑ 6/2000 ΕΣΜΕΣ 2000 ΕΣΜΕΣ 1998 28. ίνονται οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικό Πρόβλημα &

Οικονομικό Πρόβλημα & Οικονομικό Πρόβλημα & Οικονομική Επιστήμη Ανεπάρκεια Σπανιότητα Οικονομική επιστήμη Πως κατανέμονται οι διαθέσιμοι πόροι για την ικανοποίηση των αναγκών Περιορισμένοι Εργασία Κεφάλαιο Απεριόριστες Πρώτες

Διαβάστε περισσότερα

1. Με βάση τον κανόνα της ψηφοφορίας με απλή πλειοψηφία, η ποσότητα του δημόσιου αγαθού που θα παρασχεθεί είναι η κοινωνικά αποτελεσματική ποσότητα.

1. Με βάση τον κανόνα της ψηφοφορίας με απλή πλειοψηφία, η ποσότητα του δημόσιου αγαθού που θα παρασχεθεί είναι η κοινωνικά αποτελεσματική ποσότητα. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξεταστική περίοδος Ιουλίου Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Η εξέταση αποτελείται από δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 010-011 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερικές αλληλεπιδράσεις

Εξωτερικές αλληλεπιδράσεις η αποτυχία των νόµων της αγοράς Εξωτερικές αλληλεπιδράσεις Εξαιρέσεις και η αποτυχία των νόµων της αγοράς στον τοµέα των µεταφορών 1. Ο ανταγωνισµός είναι αρκετά ισχυρός έτσι ώστε να ωθήσει την τιµή στο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά του Τουρισμού και του Πολιτισμού 2

Οικονομικά του Τουρισμού και του Πολιτισμού 2 Οικονομικά του Τουρισμού και του Πολιτισμού 2 Υπεύθυνοι μαθήματος Κ αθηγητής Μιχαήλ Ζ ουμπουλάκης Επίκουρος Καθηγητής Θεόδωρος Μεταξάς 1 Ο κλάδος παραγωγής τουριστικών προϊόντων Δραστηριότητες που παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα