δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας"

Transcript

1 Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Παίγνια δύο παικτών σταθερού αθροίσματος. Παίγνια n παικτών με n > 2. Παίγνια μη σταθερού αθροίσματος. 1

2 Βασικές Έννοιες Παίγνιο (game): Η κατάσταση εκείνη κατά την οποία δύο ή περισσότεροι ορθολογικοί παίκτες με αντικρουόμενους στόχους επιλέγουν τρόπους ενέργειας, δημιουργώντας συνθήκες ανταγωνιστικής αλληλεξάρτησης Στοιχεία παιγνίου: Παίκτης: αυτόνομη μονάδα λήψης απόφασης. Άτομο, ομάδα, επιχείρηση, κράτος κλπ. Προσπαθεί να βελτιστοποιήσει τη δική του ευημερία έναντι των αντιπάλων του βασιζόμενος στους κανόνες, στους πόρους και στις πληροφορίες που έχει στη διάθεσή του. Είναι ορθολογιστής. Υπάρχουν τουλάχιστον n 2 παίκτες. Για n = 2 Παίγνιο Δύο Παικτών. Στρατηγική: το σύνολο των κανόνων που ορίζουν τις εφικτές επιλογές τις οποίες δύναται να ακολουθεί σε κάθε κίνησή του ο παίκτης μέχρι το τέλος του παιγνίου. Αναζητούμε τις στρατηγικές που βελτιστοποιεί το στόχο του κάθε παίκτη. 2

3 o Αμιγής Στρατηγική: Κάθε παίκτης επιλέγει μία μόνο από τις δυνατές στρατηγικές του με πιθανότητα ίση με τη μονάδα. o Μικτή Στρατηγική: Περιλαμβάνει συνδυασμό στρατηγικών οι οποίες επιλέγονται με πιθανότητα μικρότερη της μονάδας. Πίνακας αποτελεσμάτων (πληρωμών, ανταμοιβών): Δείχνει τα αποτελέσματα του παιγνίου για κάθε συνδυασμό στρατηγικών. Λύση του παιγνίου: Η βέλτιστη στρατηγική όλων των παικτών. 3

4 Παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος Δύο παίκτες: ο Α (παίκτης των σειρών) και ο Β (παίκτης των στηλών). Το παιχνίδι παρίσταται από τον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α. Ο παίκτης Α διαθέτει m στρατηγικές. Ο παίκτης Β διαθέτει n στρατηγικές. Παίκτης Α Παίκτης Β Στρατηγικές 1 2 n 1 α 11 α 12 α 1n 2 α 21 α 22 α 2n m α m1 α m2 α mn Αν ο παίκτης Α επιλέξει τη στρατηγική Α i και ο παίκτης Β τη στρατηγική B j, τότε ο παίκτης Α κερδίζει α ij και ο παίκτης Β χάνει α ij. 4

5 Άλλα στοιχεία Οι δύο παίκτες είναι ορθολογιστές, επιλέγουν τις στρατηγικές τους με αποκλειστικό στόχο τη δική τους ευημερία βάσει των στοιχείων του πίνακα, δεν αντιδρούν συναισθηματικά. Τα στοιχεία του πίνακα αντιπροσωπεύουν κέρδος υπό την ευρεία έννοια Γενικά, είναι η χρησιμότητα (utility) για τον παίκτη Α από κάθε συνδυασμό δύο στρατηγικών. Αρχή κοινής γνώσης. Οι παίκτες γνωρίζουν τη δομή του πίνακα πληρωμών, γνωρίζουν ότι οι αντίπαλοί τους γνωρίζουν τη δομή αυτή, γνωρίζουν ότι οι αντίπαλοί τους γνωρίζουν ότι γνωρίζουν τη δομή αυτή, κ.ο.κ. Οι παίκτες επιλέγουν ταυτόχρονα στρατηγική, χωρίς να επικοινωνούν, χωρίς συνεργασία και χωρίς να έχουν ενημερωθεί εκ των προτέρων για την επιλογή του αντιπάλου τους. 5

6 Παράδειγμα 1 Δύο πολιτικοί επιλέγουν το κύριο θέμα το οποίο θα επικεντρώσουν την προσοχή τους σε τηλεοπτική συζήτηση (debate). Ο καθένας έχει τρεις βασικές επιλογές, όχι κατ ανάγκη ίδιες. Η σχετική αποτελεσματικότητα (αύξηση στις ψήφους του πολιτικού Α ως ποσοστό των συνολικών ψήφων) που θα προκύψει στο τέλος της συζήτησης, εξαρτάται από τους συνδυασμούς των θεμάτων που επιλέγουν και δίνεται στον ακόλουθο πίνακα πληρωμών για τον Α. Πίνακας πληρωμών για τον Α Πολιτικός Β Πολιτικός Α Στρατηγικές Β 1 Β 2 Β 3 Α Α Α

7 Οι παίκτες γνωρίζουν τη δομή του πίνακα, γνωρίζουν ότι οι αντίπαλοί τους το γνωρίζουν κ.ο.κ. Επιλέγουν ταυτοχρόνως στρατηγική χωρίς να επικοινωνούν, χωρίς συνεργασία και χωρίς να έχουν ενημερωθεί εκ των προτέρων για την επιλογή του αντιπάλου τους. Ποια στρατηγική πρέπει να επιλέξει κάθε πολιτικός?? Πίνακας πληρωμών για τον Β Πολιτικός Β Πολιτικός Α Στρατηγικές Α 1 Α 2 Α 3 Β Β Β

8 Διαγραφή υποδεέστερων στρατηγικών Μία στρατηγική είναι υποδεέστερη μίας άλλης (που ονομάζεται υπερέχουσα ή κυρίαρχη) όταν η κυρίαρχη στρατηγική είναι τουλάχιστον τόσο «καλή» όσο και η υποδεέστερη. B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 A A A A A Ο ορθολογιστής παίκτης Α δεν εφαρμόζει ποτέ την στρατηγική 3. 8

9 Συνέχεια παραδείγματος 1 B 1 B 2 B 3 B 1 B 2 A A A A Ο ορθολογιστής παίκτης Β γνωρίζοντας ότι ο Α δεν θα εφαρμόσει ποτέ την στρατηγική 3 (και γνωρίζοντας ότι ο Α γνωρίζει ότι το γνωρίζει κ.ο.κ.) δεν εφαρμόζει ποτέ τη δική του στρατηγική 3 αφού είναι υποδεέστερη της 1 ης Προσοχή! Κατά τη διαδικασία απαλοιφής των υποδεεστέρων στρατηγικών, είναι δυνατό μία στρατηγική που αρχικά δεν ήταν υποδεέστερη, να καταστεί στη συνέχεια υποδεέστερη και να απομακρυνθεί από τον πίνακα πληρωμών. 9

10 Συνέχεια παραδείγματος 1 B 1 B 2 B 1 A A 1-1 A A 2 1 Ο παίκτης Β γνωρίζοντας ότι ο Α δεν θα εφαρμόσει ποτέ την στρατηγική 3 (και γνωρίζοντας ότι ο Α γνωρίζει ότι το γνωρίζει κ.ο.κ.) δεν εφαρμόζει ποτέ τη στρατηγική 2 αφού είναι υποδεέστερη της 1 ης στρατηγικής του. 10

11 Συνέχεια παραδείγματος 1 B 1 B 1 A 1-1 A 2 1 A 2 1 Γνωρίζοντας ο παίκτης Α ότι ο Β γνωρίζει όλα τα προηγούμενα, τότε δεν θα εφαρμόσει την 1 η στρατηγική του αφού είναι υποδεέστερη της 2 ης. Στο παράδειγμα, το σημείο ισορροπίας (saddle point) είναι εκείνο που προκύπτει όταν ο παίκτης Α εφαρμόζει τη 2 η στρατηγική του και ο Β την 1 η. Η πιθανή εφαρμογή άλλης στρατηγικής πέρα από το σημείο ισορροπίας, έχει απάντηση από τον αντίπαλο η οποία δυσχεραίνει τη θέση του. 11

12 Το σημείο ισορροπίας (οριακό σημείο) ονομάζεται τιμή του παιγνίου, συμβολίζεται με V (value of the game) και παρατηρούμε ότι είναι το μεγαλύτερο στη στήλη του και το μικρότερο στη σειρά του (saddle point, σαγματικό σημείο). B 1 B 2 B 3 row min A A * A column max 1* 7 3 V=1 Οι δύο άριστες -αμιγείς- στρατηγικές συνθέτουν τη λύση του παιγνίου σύμφωνα με την οποία το καλύτερο που μπορεί να πετύχει ο Α είναι κερδίσει 1% των ψήφων ενώ το καλύτερο που μπορεί να πετύχει ο Β είναι να χάσει 1% των ψήφων. 12

13 Στρατηγική maximin και minimax B 1 B 2 B 3 min A A * A max 1* 7 3 V=1 Maximin σημείο Minimax σημείο Ο αντικειμενικός σκοπός του Α είναι να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του, και του Β να ελαχιστοποιήσει τη ζημιά του. Θα ισορροπήσουν εκεί όπου ο Α θα μεγιστοποιεί το ελάχιστο κέρδος του και ο Β θα ελαχιστοποιεί τη μέγιστη ζημιά του. Ουσιαστικά, ισορροπούν εκεί όπου και οι δύο ελαχιστοποιούν τη μέγιστη ζημιά που μπορούν να υποστούν. 13

14 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΑ, σύμφωνα με το κριτήριο minimax, σε ένα πίνακα πληρωμών για τον παίκτη Α, ο παίκτης Α επιλέγει, εκείνη τη στρατηγική που θα του δώσει το μεγαλύτερο από τα ελάχιστα των σειρών (maximin τιμή) και ο παίκτης Β επιλέγει εκείνη τη στρατηγική που θα του δώσει το ελάχιστο από τα μέγιστα των στηλών (minimax τιμή). Η maximin τιμή ονομάζεται κατώτερη τιμή και η minimax ανώτερη τιμή του παιγνίου. Όταν οι δύο τιμές ταυτίζονται το παίγνιο έχει λύση με αμιγείς στρατηγικές και η λύση είναι σταθερή (stable) δηλαδή υπάρχει ένα μοναδικό σημείο ισορροπίας που δίνει την τιμή του παιγνίου, V. 14

15 Παράδειγμα 2 B 1 B 2 B 3 min A A * A max 5 0* 6 V=0 Maximin σημείο Minimax σημείο Σύμφωνα με το κριτήριο minimax, και οι δύο παίκτες θα εφαρμόσουν τη 2 η στρατηγική τους. Το παίγνιο αυτό ονομάζεται δίκαιο (V=0). 15

16 Παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος Το άθροισμα των ανταμοιβών των παικτών είναι μία σταθερά c (θετική ή αρνητική). Τιμή της σταθεράς: θετική οι παίκτες μοιράζονται κάποια ανταμοιβή, αρνητική μοιράζονται κάποιο κόστος. Παίγνιο μηδενικού αθροίσματος c = 0. Παράδειγμα 3: Δύο ανταγωνιστικές επιχειρήσεις Α και Β μοιράζονται τις πωλήσεις ενός προϊόντος σε μία περιοχή. Ο συνολικός ετήσιος τζίρος των πωλήσεων είναι περίπου σταθερός και ανέρχεται στα 200 εκατομμύρια ευρώ. Κάθε μία επιχείρηση για να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη, εξετάζει τρία εναλλακτικά σενάρια μάρκετινγκ: (1) βελτίωση ποιότητας, (2) βελτίωση συσκευασίας, (3) αύξηση διαφημιστικής δαπάνης. Το κόστος των τριών λύσεων είναι περίπου ίδιο, αλλά υψηλό, οπότε μία μόνο στρατηγική θα εφαρμοστεί από κάθε επιχείρηση. Ακολουθεί ο πίνακας πληρωμών για την επιχείρηση Α. 16

17 Πίνακας πληρωμών παιγνίου σταθερού αθροίσματος c=200 Α Β Στρατηγικές Β 1 Β 2 Β 3 min Α Α Α * max * 130 V=120 π.χ. αν η Α επιλέξει την 1 η και η Β τη 3 η, η Α θα πραγματοποιήσει πωλήσεις 110 εκ. και η Β πωλήσεις 90 εκ. Η διαδικασία επίλυσης είναι ίδια με τα παίγνια μηδενικού αθροίσματος Σύμφωνα με το κριτήριο minimax, άριστη λύση είναι η: A A 3, B B 2 με V =

18 Μικτή Στρατηγική Παράδειγμα 4 (για λύση δες σελ. 45) Β Στρατηγικές Β 1 Β 2 Β 3 min Α * Α Α Α max 5 4 2* -2 2 Δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας (ασταθής λύση). Η ανώτερη και η κατώτερη τιμή του παιγνίου είναι διαφορετικές, οπότε οι παίκτες δεν ισορροπούν σε ένα κοινό σημείο στο οποίο να ελαχιστοποιούν ταυτόχρονα τη μέγιστη ζημιά που μπορούν να πάθουν. Δηλαδή, γνωρίζοντας κάθε παίκτης τη δομή του πίνακα παρατηρεί ότι για κάθε στρατηγική του αντιπάλου του υπάρχει πάντα μία καλύτερη απάντηση. 18

19 Μεικτή Στρατηγική Κάθε παίκτης ακολουθεί με βάση κάποια κατανομή πιθανοτήτων τις στρατηγικές του, ώστε να μεγιστοποιεί το ελάχιστο προσδοκώμενο κέρδος του (να ελαχιστοποιεί τη μέγιστη προσδοκώμενη ζημιά του), ανεξάρτητα από τις επιλογές του αντιπάλου του. Η κατανομή πιθανοτήτων με βάση την οποία επιλέγει τις στρατηγικές του, ονομάζεται μικτή ή τυχαία maximin (minimax) στρατηγική. x i : η πιθανότητα ο παίκτης Α να εφαρμόσει τη στρατηγική Α i y j : η πιθανότητα ο παίκτης B να εφαρμόσει τη στρατηγική B j 19

20 Πρακτικά, κάθε παίκτης προσδιορίζει το πρόγραμμα βάσει του οποίου θα παίξει το παιγνίδι δίνοντας τέτοιες τιμές στις αντίστοιχες πιθανότητες ώστε να ισχύει ο παραπάνω κανόνας. Τα πιθανά προγράμματα-πολιτικές συμβολίζονται με διανύσματα πιθανοτήτων (x 1, x 2,, x m ) και (y 1, y 2,, y n ) και είναι οι μικτές στρατηγικές m i = 1 x i = 1 και = j n 1 y j = 1 Μία μικτή στρατηγική (x 1, x 2,, x m ) με κάποιο x i = 1 υποδεικνύει ότι εφαρμόζεται η αμιγής στρατηγική i (με πιθανότητα μονάδα). 20

21 Θεώρημα minimax για τις μικτές στρατηγικές Όταν εφαρμόζονται μεικτές στρατηγικές, τότε, για κάθε παίκτη υπάρχει πάντα μία άριστη μικτή στρατηγική (σύμφωνα με το κριτήριο minimax), που οδηγεί σε σταθερή λύση (σαγματικό σημείο), από το οποίο κανείς δεν θέλει να μετακινηθεί (κανένας παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει περεταίρω τη θέση του). V(A): το προσδοκώμενο κέρδος του Α V(B): η προσδοκώμενη ζημιά του Β V(A) = V(B) = V, το σημείο ισορροπίας για τις άριστες μικτές στρατηγικές (αναμενόμενη τιμή του παιγνίου): V = m n i= 1 j= 1 a ij x i y j 21

22 Εντοπισμός Μικτής Στρατηγικής - Περίπτωση 1 - Παίγνιο 2 2 Παράδειγμα 5 Α Β Στρατηγικές Β 1 Β 2 min Α Α * max 5* Δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές. Ορίζουμε πιθανότητες εφαρμογής κάθε στρατηγικής από κάθε παίκτη και συνεχίζουμε για τον εντοπισμό των άριστων μικτών στρατηγικών και της προσδοκώμενης τιμής του παιγνίου. 22

23 Πιθανότητες για κάθε στρατηγική παραδείγματος 5 Α Στρατηγικές Β 1 y Β 2 (1-y) Α 1 x -2 6 Α 2 (1-x) 5 1 Β Προφανώς x=x 1, (1-x) = x 2 και y=y 1, (1-y) = y 2 Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για παίκτη Α: Υπολογίζουμε τις αναμενόμενες πληρωμές στον παίκτη Α, V(A, B 1 ) και V(A, B 2 ), όταν ο παίκτης Β εφαρμόζει τις δύο πιθανές στρατηγικές του. (Επειδή ο Α θέλει το αναμενόμενο κέρδος του να είναι ανεξάρτητο από τη στρατηγική που θα επιλέξει ο Β) εξισώνουμε τις V(A, B 1 ) και V(A, B 2 ) και υπολογίζουμε έτσι τις πιθανότητες x και (1-x). Υπολογίζουμε το V(A) από μία εκ των V(A, B 2 ) ή V(A, B 2 ). 23

24 Εφαρμογή στο παράδειγμα 5 Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Α Ο Α ακολουθεί τη στρατηγική Α 1 με πιθανότητα x, και τη στρατηγική Α 2 με πιθανότητα (1-x). Αν ο Β ακολουθήσει τη στρατηγική Β 1, το προσδοκώμενο κέρδος του παίκτη Α είναι: V(A, B 1 ) = -2 x + 5 (1-x) = -7x + 5. Αν όμως ο Β ακολουθήσει τη Β 2, τότε το αναμενόμενο κέρδος του Α είναι: V(A, B 2 ) = 6 x + 1 (1-x) = 5x + 1. Αφού πρέπει να ισχύει ότι V(A, B 1 ) = V(A, B 2 ), έχουμε για τον υπολογισμό της άριστης μικτής στρατηγικής του Α ότι: -7x + 5 = 5x + 1 δηλαδή 12x = 4, οπότε x=1/3, (1-x)=2/3 24

25 Εφαρμογή στο παράδειγμα 5 Αριστη μικτή στρατηγική για τον παίκτη Α (συνέχεια) Αυτό σημαίνει ότι ο Α θα πρέπει να ακολουθεί τη στρατηγική Α 1 με πιθανότητα x 1 = 1/3 και την Α 2 με πιθανότητα x 2 = 2/3. Προσδοκώμενο κέρδος του Α: V(A) = -2 1/ /3 = 6 1/ /3 =8/3 (αντικατάσταση στο V(A, B 1 ) ή στο V(A, B 2 )). Το αναμενόμενο αυτό κέρδος είναι ανεξάρτητο της μικτής στρατηγικής που χρησιμοποιεί ο παίκτης Β. π.χ. έστω ότι ο Β ακολουθεί (όχι την άριστη μικτή του στρατηγική που δεν βρέθηκε ακόμη) την τυχαία μικτή στρατηγική: για τη Β 1 : y=1/4 και για τη Β 2 : (1-y)=3/4, τότε: V(A)=(1/4)(-2 1/ /3) + (3/4)(6 1/ /3) = 8/3. 25

26 Εντοπισμός άριστης στρατηγικής για τον παίκτη B Ο Β ακολουθεί τη στρατηγική Β 1 με πιθανότητα y, και τη στρατηγική B 2 με πιθανότητα (1-y). Αν ο A ακολουθήσει τη στρατηγική A 1, το προσδοκώμενο κέρδος του παίκτη B είναι: V(B, A 1 ) = -2 y + 6 (1-y). Αν ο Α ακολουθήσει την Α 2, τότε το αναμενόμενο κέρδος του Β είναι: V(Β, Α 2 ) = 5 y + 1 (1-y). Για να ελαχιστοποιεί ο Β τη μέγιστη ζημιά που μπορεί να υποστεί θα πρέπει: V(Β, Α1) = V(Β, Α2), οπότε είναι: -2y + 6(1-y) = 5y + 1(1-y) δηλαδή 12y = 5 που δίνει y=5/12, (1-y)=7/12. 26

27 Εντοπισμός άριστης στρατηγικής για τον παίκτη B (συνέχεια) Αυτό σημαίνει ότι ο Β θα πρέπει να ακολουθεί τη στρατηγική Β 1 με πιθανότητα y 1 = 5/12 και την B 2 με πιθανότητα y 2 = 7/12. Προσδοκώμενη ζημιά του Β: V(Β) = -2 5/ /12 = 5 5/ /12 = 8/3 (αντικατάσταση στο V(Β, Α 1 ) ή στο V(Β, Α 2 )) που είναι ίσο με το V(A). Η αναμενόμενη ζημιά είναι ανεξάρτητη της μικτής στρατηγικής που χρησιμοποιεί ο παίκτης A. 27

28 Σύνοψη άριστης λύσης παραδείγματος 5 Παίκτης Α: (x 1, x 2 ) = (1/3, 2/3) και V(A) = 8/3 Παίκτης B: (y 1, y 2 ) = (5/12, 7/12) και V(B) = V(A) = V = 8/3 Επομένως, μακροπρόθεσμα, αν το παιγνίδι επαναληφθεί πολλές φορές, κάθε 12 επαναλήψεις του παιγνίου ο παίκτης Α πρέπει να ακολουθεί 4 φορές την Α 1 και 8 φορές την Α 2, ενώ ο παίκτης Β να ακολουθεί 5 φορές την Β 1 και 7 φορές την Β 2. Επισήμανση φυσικό νόημα: Η τιμή του παιγνίου V=8/3, δεν σημαίνει πως κάθε φορά που οι δύο παίκτες παίζουν το παίγνιο ο Α κερδίζει 8/3 και ο Β χάνει 8/3, αλλά ότι αν οι δύο παίκτες παίζουν το παίγνιο πολλές φορές το προσδοκώμενο κέρδος του Α θα είναι 8/3, όση και η προσδοκώμενη ζημιά του Β. 28

29 Εντοπισμός Μικτής Στρατηγικής - Περίπτωση 2 - Παίγνιο 2 n Β Β Β Β Παράδειγμα 6 Β Στρατηγικές Β 1 min y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 Α Α 1 x Α 2 x * max * ΝΑΙ θα μπορούσαν να απομακρυνθούν κάποιες υποδεέστερες στρατηγικές, (οι Β 1, Β 2 και Β 3 είναι υποδεέστερες της Β 4 ), αλλά εδώ θα παραμείνουν, για λόγους επεξηγηματικούς. 29

30 Παράδειγμα 6 (συνέχεια) Υπολογισμοί V(A, B 1 ) = x 1 + 4x 2 = x 1 + 4(1-x 1 ) = -3x V(A, B 2 ) = 4x 1 + 3x 2 = 4x 1 + 3(1-x 1 ) = x V(A, B 3 ) = -2x 1 + 5x 2 = -2x 1 + 5(1-x 1 ) = -7x V(A, B 4 ) = -3x 1 + 2x 2 = -3x 1 + 2(1-x 1 ) = -5x V(A, B 5 ) = 5x 1 x 2 = 5x 1 (1-x 1 ) = 6x 1 1 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης Κατασκευάζουμε δύο κάθετους άξονες σε απόσταση μιας μονάδος (η πιθανότητα x 1 ). Εκφράζουν τις στρατηγικές Α 1 και Α 2. Χαράζουμε τις ευθείες V(A, B 1 ), V(A, B 2 ), V(A, B 5 ). 30

31 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης (μείωση της διάστασης του πίνακα) V(A, B 5 ) Κ Ν maximin V(A, B 4 ) 31

32 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης (Παρατηρήστε ότι οι υποδεέστερες στρατηγικές Β 1, Β 2, Β 3 βρίσκονται επάνω από την Β 4 ). Γνωρίζουμε ότι ο Α ακολουθεί μεικτή maxmin στρατηγική και ο Β μεικτή minmax στρατηγική. Ο Α επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα αναμενόμενα κέρδη και ο Β την ελάχιστη από τις μέγιστες αναμενόμενες απώλειες. Το ευθύγραμμο τμήμα ΝΚ παριστά το αναμενόμενο κέρδος του Α, όταν ακολουθεί τη στρατηγική Α1 με πιθανότητα x 1 και την Α2 με x 2, ενώ ο Β τις Β5 με πιθανότητα y 5 και την Β4 με y 4. Ο Β προκειμένου να εξασφαλίσει ότι ο Α δεν θα έχει μεγαλύτερο κέρδος από Κ θα επιλέξει μόνο τις Β 4 και Β 5. Ο Α θα επιλέξει την πιθανότητα x 1 (σημείο Ν) που αντιστοιχεί στο Κ, το ψηλότερο δηλ. σημείο του χαμηλότερου τεθλασμένου ευθύγραμμου τμήματος. 32

33 Παράδειγμα 6 (συνέχεια) Μείωση της διάστασης του πίνακα διαγραφή των υποδεέστερων που εντοπίστηκαν στη γραφική αναπαράσταση Α Β Β Στρατηγικές Β 4 y 4 5 y 5 Α 1 x Α 2 x Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διαδικασία επίλυσης παιγνίου διάστασης

34 Παράδειγμα 6 (συνέχεια) Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Α V(A, B 4 ) = -3 x x 2 και V(A, B 5 ) = 5 x 1 - x 2. Οπότε V(A, B 4 ) = V(A, B 5 ), δηλαδή -3 x x 2 = 5 x 1 - x 2 Άρα, 8x 1 = 3x 2 και επειδή x 1 + x 2 = 1 προκύπτει ότι x 1 =3/11 και x 2 =8/11. Αντικαθιστώντας την άριστη μικτή στρατηγική του Α σε οποιοδήποτε από τα V(A, B 4 ) και V(A, B 5 ) παίρνουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή (μέγιστο προσδοκώμενη κέρδος σύμφωνα με το κριτήριο minimax) για τον παίκτη Α που είναι: V(A) = -3 3/ /11 = 7/11 34

35 Παράδειγμα 6 (συνέχεια) Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Β V(Β, Α 1 ) = V(Β, Α 2 ) δηλαδή -3y 4 + 5y 5 = 2y 4 1y 5 Άρα, 5y 4 = 6y 5 και επειδή y 4 + y 5 = 1 προκύπτει ότι y 4 =6/11 και y 5 =5/11 Αντικαθιστώντας την άριστη μικτή στρατηγική του B σε οποιοδήποτε από τα V(B, A 1 ) και V(B, A 2 ) παίρνουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή (ελάχιστη προσδοκώμενη ζημιά σύμφωνα με το κριτήριο minimax) για τον παίκτη B που είναι: V(Β) = -3 6/ /11 = 7/11 35

36 Σύνοψη της άριστης λύσης του παραδείγματος 6 O παίκτης Α εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: x 1 =3/11, x 2 =8/11, με maximin κέρδος V(A) = 7/11 O παίκτης Β εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: y 1 =y 2 =y 3 =0, y 4 =6/11 και y 5 =5/11, με minimax ζημιά V(Β) = 7/11 Η προσδοκώμενη τιμή παιγνίου είναι: V = V(A) = V(B) = 7/11. 36

37 Εντοπισμός Μικτής Στρατηγικής - Περίπτωση 2 - Παίγνιο m 2 Παράδειγμα 7 Α Β Β Στρατηγικές Β 1 min y 1 2 y 2 Α 1 x Α 2 x Α 3 x * Α 4 x max 5 4*

38 Παράδειγμα 7 (συνέχεια) Υπολογισμοί V(B, A 1 ) = -2y 1 + 4y 2 V(B, A 2 ) = 5y 1 3y 2 V(B, A 3 ) = 4y 1 + 2y 2 V(B, A 4 ) = 2y 1 y 2 38

39 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης (μείωση της διάστασης του πίνακα) V(B, A 2 ) V(B, A 1 ) V(B, A 3 ) Κ Ν minimax 39

40 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης Κατασκευάζουμε τους δύο κάθετους άξονες σε απόσταση μιας μονάδος (η πιθανότητα y 1 ) που εκφράζουν τις στρατηγικές Β 1, Β 2. Χαράζουμε τις ευθείες V(Β, Α 1 ), V(Β, Α 2 ), V(Β, Α 4 ). Ο παίκτης Β ακολουθεί μεικτή minmax στρατηγική, δηλ. επιλέγει την ελάχιστη από τις μέγιστες αναμενόμενες απώλειες. Το χαμηλότερο σημείο της μέγιστης τεθλασμένης γραμμής προκύπτει στην τομή των στρατηγικών Α 1 και Α 3. 40

41 Παράδειγμα 7 (συνέχεια) Μείωση της διάστασης του πίνακα διαγραφή των υποδεέστερων που εντοπίστηκαν στη γραφική αναπαράσταση Α Β Β Στρατηγικές Β 1 y 1 2 y 2 Α 1 x Α 3 x Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διαδικασία επίλυσης παιγνίου διάστασης

42 Παράδειγμα 7 (συνέχεια) Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Β V(Β, Α 1 ) = V(Β, Α 3 ) δηλαδή -2y 1 + 4y 2 = 4y 1 + 2y 2 Άρα, 3y 1 = y 2 και επειδή y 1 + y 2 = 1 προκύπτει ότι y 1 = 1/4 και y 2 = 3/4 Αντικαθιστώντας την άριστη μικτή στρατηγική του B σε οποιοδήποτε από τα V(B, A 1 ) και V(B, A 3 ) παίρνουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή (ελάχιστη προσδοκώμενη ζημιά σύμφωνα με το κριτήριο minimax) για τον παίκτη B που είναι: V(Β) = =

43 Παράδειγμα 7 (συνέχεια) Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Α V(A, B 1 ) = V(A, B 2 ) δηλαδή -2x 1 + 4x 3 = 4x 1 + 2x 3 Άρα, 3x 1 = x 3 και επειδή x 1 + x 3 = 1 προκύπτει ότι x 1 = 1/4 και x 3 = 3/4 Αντικαθιστώντας την άριστη μικτή στρατηγική του A σε οποιοδήποτε από τα V(A, B 1 ) και V(A, B 2 ) παίρνουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή (μέγιστο προσδοκώμενο κέρδος σύμφωνα με το κριτήριο minimax) για τον παίκτη Α που είναι: V(Α) = =

44 Σύνοψη της άριστης λύσης του παραδείγματος 7 O παίκτης Α εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: x 1 = 1/4, x 2 = 0, x 3 = 3/4, x 4 = 0, με maximin κέρδος V(A) = 2.5 O παίκτης Β εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: y 1 = 1/4 και y 2 = 3/4, με minimax ζημιά V(Β) = 2.5 Η προσδοκώμενη τιμή παιγνίου είναι V = V(A) = V(B) =

45 Παράδειγμα 4 (σελ. 18) Α Β Στρατηγικές Β 1 Β 2 Β 3 min Α * Α Α max 5 4 2* -2 2 Δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας (ασταθής λύση). Η άριστη λύση θα μπορούσε να βρεθεί με απαλοιφή των υποδεέστερων στρατηγικών (το σκιασμένο τμήμα του πίνακα δείχνει τις εναπομένουσες στρατηγικές). Αν, χάριν παραδείγματος, διαγράψουμε μόνο την Α 3 τότε η διαδικασία επίλυσης θα ήταν η ακόλουθη. 45

46 Παράδειγμα 4 (επιστροφή - συνέχεια) Υπολογισμοί V(Α, Β 1 ) = 0x 1 + 5(1-x 1 ) = 5 5x 1 V(Α, Β 2 ) = -2x 1 + 4(1-x 1 ) = 4 6x 1 V(Α, Β 3 ) = 2x 1 3(1-x 1 ) = x 1 V = V(A) = V(B) = y 1 (5-5x 1 ) + y 2 (4 6x 1 ) + y 3 (-3 + 5x 1 ) 46

47 Γραφική Μέθοδος Επίλυσης (μείωση της διάστασης του πίνακα) maximin 47

48 Παράδειγμα 4 (επιστροφή - συνέχεια) Μείωση της διάστασης του πίνακα διαγραφή των υποδεέστερων που εντοπίστηκαν στη γραφική αναπαράσταση Στρατηγικές Β 2 Β 3 y 2 y 3 Α Α 1 x Α2 1-x Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διαδικασία επίλυσης παιγνίου διάστασης 2 2 Β 48

49 Παράδειγμα 4 (επιστροφή - συνέχεια) Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Α V(A, B 2 ) = V(A, B 3 ) δηλαδή -4 6x 1 = x 1. Άρα x 1 = 7/11 και 1-x 1 = 4/11 Οπότε: V(Α) = 4-6 (7/11) = 2/11 Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Β V(Β, Α 1 ) = V(Β, Α 2 ) δηλαδή -2y 2 + 2y 3 = 42y 2 3y 3. Άρα y 2 = 5/11 και y 3 =1 - y 2 = 6/11 Οπότε: V(B) = -2 (5/11) + 2 (6/11) = 2/11 49

50 Σύνοψη της άριστης λύσης του παραδείγματος 4 O παίκτης Α εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: x 1 = 7/11, x 2 = 1-x 1 = 4/11, με maximin κέρδος V(A) = 2/11 O παίκτης Β εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: y 1 = 0, y 2 = 5/11 και y 3 = 1-y 2 = 6/11, και V(Β) = 2/11 Η προσδοκώμενη τιμή παιγνίου είναι V = V(A) = V(B) = 2/11 50

51 Παράδειγμα 8 Η Ένωση Καλαθοσφαιριστών (παίκτης Α) διαπραγματεύεται με την Ένωση Σωματείων (παίκτης Β) για την ελάχιστη ετήσια αμοιβή. Κάθε πλευρά έχει τρεις στρατηγικές. Κάθε συνδυασμός, οδηγεί σε ένα ελάχιστο ετήσιο ποσό. Οι στρατηγικές των καλαθοσφαιριστών είναι: 1) καμία διαπραγμάτευση, 2) επιθετική στάση, 3) υποχωρητική στάση. Για τα σωματεία είναι: 1) αποφυγή ρήξης, 2) σθεναρή στάση, 3) «δώστε ό,τι θέλουν». Στον επόμενο πίνακα δίνονται τα ποσά που μπορούν να πετύχουν οι καλαθοσφαιριστές B 1 B 2 B 3 min A A * A max 30 25*

52 Παράδειγμα 10 Επίλυση Η στρατηγική Β 3 του της Ένωσης Σωματείων απαλείφεται ως υποδεέστερη της Β 1. Υπολογισμοί B 1 y 1 B 2 y 2 A 1 x A 2 x A 3 x V(B, A 1 ) = 30y y 2 = 30y (1 y 1 ) = y 1 V(B, A 2 ) = 25y y 2 = 25y (1 y 1 ) = y 1 V(B, A 3 ) = 10y y 2 = 10y (1 y 1 ) = 25 15y 1 52

53 Γραφική επίλυση παραδείγματος 8 V(B, A 3 ) V(B, A 2 ) minimax 53

54 Παράδειγμα 8 (συνέχεια) Μείωση της διάστασης του πίνακα διαγραφή των υποδεέστερων που εντοπίστηκαν στη γραφική αναπαράσταση Α Β Β Στρατηγικές Β 1 y 1 2 y 2 Α 2 x Α 3 x Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διαδικασία επίλυσης παιγνίου διάστασης

55 Παράδειγμα 8 (συνέχεια) Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Β V(Β, Α 2 ) = V(Β, Α 3 ) δηλαδή y 1 = 25 15y 1. Άρα, y 1 =2/5 και y 2 = 3/5 Αντικαθιστώντας την άριστη μικτή στρατηγική του B σε οποιοδήποτε από τα V(B, A 2 ) και V(B, A 3 ) παίρνουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή για τον παίκτη B: V(Β) = /5 = 19 (= /5) 55

56 Εντοπισμός άριστης μικτής στρατηγικής για τον παίκτη Α V(A, B 1 ) = 25 x x 3 και V(A, B 2 ) = 15 x x 3 Οπότε, επειδή πρέπει V(A, B 1 ) = V(A, B 2 ), προκύπτει ότι x 2 = 3/5 και x 3 = 2/5. Αντικαθιστώντας την άριστη μικτή στρατηγική του Α σε οποιοδήποτε από τα V(A, B 1 ) και V(A, B 2 ) παίρνουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή για τον παίκτη Α: V(A) = 25 3/ /5 = 19 56

57 Σύνοψη της άριστης λύσης του παραδείγματος 8 O παίκτης Α εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: x 1 = 0, x 2 = 3/5 και x 3 = 2/5, με maximin κέρδος V(A) = 19 O παίκτης Β εφαρμόζει τη μικτή στρατηγική: y 1 =2/5, y 2 = 3/5 και y 3 =0, με minimax ζημιά V(Β) = 19 Η προσδοκώμενη τιμή παιγνίου είναι V = V(A) = V(B) = 19 57

58 Παίγνιο δύο παικτών μη σταθερού αθροίσματος Το δίλημμα του κρατούμενου Η αστυνομία έχει συλλάβει δύο υπόπτους για συμμετοχή σε ληστεία, τον Σάββα και το Βασίλη. Υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να καταδικαστούν σε 1 χρόνο φυλάκιση για διάφορα πλημμελήματα, αλλά η αστυνομία γνωρίζει ότι είναι μέλη μιας συμμορίας. Δεν έχει όμως αρκετές αποδείξεις για την ενοχή τους και χρειάζεται απαραίτητα την ομολογία τους για την καταδίκη. Όταν συλλαμβάνονται οδηγούνται σε χωριστά δωμάτια και ανακρίνονται χωρίς να μπορούν να έχουν επαφή. Στον καθένα εκ των δύο η αστυνομία κάνει την ακόλουθη πρόταση: Μπορούμε, όπως ξέρεις να σε καταδικάσουμε σε 1 χρόνο φυλάκιση. Αν όμως ομολογήσεις και καρφώσεις το φίλο σου, θα αφεθείς ελεύθερος. Αν ο φίλος σου δεν ομολογήσει θα καταδικαστεί σε 20 χρόνια φυλάκιση. Αν όμως και οι δύο ομολογήσετε, τότε δεν μπορούμε να κάνουμε τίποτε, και οι δύο θα μπείτε φυλακή για 5 χρόνια. 58

59 Το δίλημμα του κρατούμενου (συνέχεια) Σάββας Βασίλης Ομολογεί Δεν ομολογεί Ομολογεί Σ = -5, Β = -5 Σ = 0, Β = -20 Δεν ομολογεί Σ = -20, Β = 0 Σ = -1, Β = -1 Το άθροισμα των αμοιβών στο κάθε κελί δεν είναι σταθερό. Πιο υψηλό είναι το -2 (-1-1) και πιο χαμηλό το -20 (0-20). Ισορροπεί στο σημείο στο οποίο κανένας παίκτης (κρατούμενος) δεν μπορεί να επωφεληθεί από μονομερή αλλαγή στρατηγικής. Σημείο ισορροπίας το (-5, -5) κι όχι το (-1, -1). Αν οι δύο παίκτες συνεργαστούν (δεν ομολογήσουν) τότε κάθε παίκτης μπορεί να κερδίσει ξεγελώντας τον άλλο. Αν και οι δύο επιχειρήσουν να ξεγελάσουν αλλήλους, θα βρεθούν σε δυσχερέστερη θέση από τη στρατηγική της συνεργασίας. 59

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Άσκηση 1 η 4 η Εργασία ΔEO13 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ολιγοπώλιο Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ο ατελής ανταγωνισµός αναφέρεται σε εκείνες τις δοµές µ της αγοράς που κυµαίνονται µεταξύ του τέλειου ανταγωνισµού και του µονοπωλίου. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8

Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8 Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8 Ένα από τα παράδοξα της ισορροπίας Nash που μπορεί να θεωρηθεί και σαν αδυναμία της είναι ότι σε κάποια παίγνια οι παίκτες έχουν μεγαλύτερο όφελος αν δεν διαλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες

Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» Μεταπτυχιακή Διατριβή Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες Στυλιανός Θ. Δρακάτος Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις :

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : Κεφάλαιο 1. ΤΕΛΕΙΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : α) Υπάρχουν πολλές εταιρίες οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Η εξέταση αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΔΕΟ 11-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ 3 Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ ΑΜ.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΔΕΟ 11-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ 3 Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ ΑΜ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΔΕΟ 11-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ 3 Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ ΑΜ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή..σελ. 2 Μέτρηση εργασίας σελ. 2 Συστήματα διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 Διάλεξη 6 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 1 Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέχρι στιγμής το μονοπώλιο έχει θεωρηθεί σαν μια επιχείρηση η οποία πωλεί το προϊόν της σε κάθε πελάτη στην ίδια τιμή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός των νέων δελτίων

Οδηγός των νέων δελτίων Οδηγός των νέων δελτίων 4-7 Νέα εποχή Η ΟΠΑΠ Α.Ε. στο πλαίσιο της δυναμικής της ανάπτυξης, προχωρά στην αναμόρφωση και ανανέωση των παιχνιδιών της. Με ακόμη πιο λειτουργικό σχεδιασμό, μοντέρνα εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων. Εισαγωγικές έννοιες και Τεχνικές

Θεωρία Παιγνίων. Εισαγωγικές έννοιες και Τεχνικές Θεωρία Παιγνίων Εισαγωγικές έννοιες και Τεχνικές Η επιβίωση μας εξαρτάται από την αλληλεπίδραση με άλλα άτομα Η επιβίωση μας εξαρτάται από την αλληλεπίδραση με άλλα άτομα Η επιβίωση μας εξαρτάται από την

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών Θεµατική Ενότητα ιοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισµών ΕΟ Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος 006-7 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 7-06-007,.0-7:00)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2005-6) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 Στόχος Η εργασία επικεντρώνεται σε θέματα προγραμματισμού για Τεχνητή Νοημοσύνη και σε πρακτικά θέματα εξάσκησης σε Κατηγορηματική Λογική. Θέμα 1: Απλές Αναζητήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Να απαντήσετε τα παρακάτω θέματα σύμφωνα με τις οδηγίες των εκφωνήσεων. Η διάρκεια της εξέτασης είναι 3 (τρεις) ώρες.

Να απαντήσετε τα παρακάτω θέματα σύμφωνα με τις οδηγίες των εκφωνήσεων. Η διάρκεια της εξέτασης είναι 3 (τρεις) ώρες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΜΠΣ Χρηματοοικονομικής και Τραπεζικής για Στελέχη Μάθημα: Οικονομική για Στελέχη Επιχειρήσεων Εξέταση Δεκεμβρίου 2007 Ονοματεπώνυμο: Να απαντήσετε τα παρακάτω θέματα σύμφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο Εισαγωγή στην Οικονομική της Διοίκησης

Κεφ. Ιο Εισαγωγή στην Οικονομική της Διοίκησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφ. Ιο Εισαγωγή στην Οικονομική της Διοίκησης 1.1. Τι είναι η Οικονομική της Διοίκησης 1.2. Τι παρέχει η οικονομική θεωρία στην Οικονομική της Διοίκησης 1.3. Οι σχέσεις της οικονομικής της

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Στιγμιαίου Κρατικού Λαχείου

Οδηγός Στιγμιαίου Κρατικού Λαχείου Οδηγός Στιγμιαίου Κρατικού Λαχείου Όνομα Παιγνίου: Στιγμιαίο Κρατικό Λαχείο Φορέας Εκμετάλλευσης του παρόντος παιγνίου είναι η ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΛΑΧΕΙΑ Α.Ε. Όροι Συμμετοχής Απαγορεύεται η συμμετοχή στο παίγνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack Χλης Νικόλαος-Κοσμάς Περιγραφή παιχνιδιού Βlackjack: Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Παύλος Σ. Εφραιμίδης Περιεχόµενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός µαθηµατικού µοντέλου Το δίληµµα του φυλακισµένου Σηµείο ισορροπίας Nash Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων (game theory) µας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Μακροοικονομική - Μικροοικονομική

Μακροοικονομική - Μικροοικονομική Μακροοικονομική Μικροοικονομική Η Μακροοικονομική είναι ο κλάδος της Οικονομικής Επιστήμης που ασχολείται με τη μελέτη του οικονομικού συστήματος στο σύνολό του ή μεγάλων επιμέρους τομέων του Η Μικροοικονομική

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή Διάκριση Τιμών ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) -H διάκριση τιμών 1 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή επιχείρηση γνωρίζει τις ατομικές συναρτήσεις ζήτησης όλων των καταναλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 2. Ψ χ /Β χ = Ψ υ /Β υ 10 - ½ B X = 5 B X * = 10 Β Υ = 10

Λύσεις 2. Ψ χ /Β χ = Ψ υ /Β υ 10 - ½ B X = 5 B X * = 10 Β Υ = 10 Λύσεις 2 1. (α) Όταν η πρόσβαση στις λίµνες είναι ελεύθερη τότε ο κάθε ψαράς κοιτάζει την δικιά του σοδειά που είναι το µέσο προϊόν: Ψ χ /Β χ = 10 - ½ B X για την λίµνη Χ, και Ψ υ /Β υ = 5 για την λίµνη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

1. Με βάση τον κανόνα της ψηφοφορίας με απλή πλειοψηφία, η ποσότητα του δημόσιου αγαθού που θα παρασχεθεί είναι η κοινωνικά αποτελεσματική ποσότητα.

1. Με βάση τον κανόνα της ψηφοφορίας με απλή πλειοψηφία, η ποσότητα του δημόσιου αγαθού που θα παρασχεθεί είναι η κοινωνικά αποτελεσματική ποσότητα. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξεταστική περίοδος Ιουλίου Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Η εξέταση αποτελείται από δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013 2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013 2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013 2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου 1 ο Πακέτο Ασκήσεων. Απαντήσεις Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΔΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ. ΙΩΑΝΝΑ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΥ Διπλωματική εργασία ΠΜΣ.

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΔΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ. ΙΩΑΝΝΑ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΥ Διπλωματική εργασία ΠΜΣ. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΔΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ ΙΩΑΝΝΑ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΥ Διπλωματική εργασία ΠΜΣ.ΔΕ 2004 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΜΕΡΟΣ Β Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Στις παρακάτω 10 ερωτήσεις, να γράψετε τον αριθμό της κάθε ερώτησης στην εργασία σας και δίπλα του το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η κάθε σωστή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου O πύραυλος Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί Στόχοι Οι

Διαβάστε περισσότερα

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της προσφοράς προσδιορίζει την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος ανταγωνισµός. Ηεπιχείρησηστον τέλειο. ύο ακραίες περιπτώσεις. Οι συνθήκες µέγιστου κέρδους

Τέλειος ανταγωνισµός. Ηεπιχείρησηστον τέλειο. ύο ακραίες περιπτώσεις. Οι συνθήκες µέγιστου κέρδους Τέλειος ανταγωνισµός Τέλειος ανταγωνισµός Η συνάρτηση προσφοράς της Η συνάρτηση προσφοράς του κλάδου Βραχυχρόνια ισορροπία Μακροχρόνια ισορροπία Τούψος παραγωγής κάθε µεµονωµένης επηρεάζει ανεπαίσθητα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική Γραπτή Εργασία # 4 (Δημόσια Οικονομική) Ακαδ. Έτος: 2006-7 Οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ

ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ Η επένδυση μπορεί επίσης να ορισθεί ως η απόκτηση ενός περιουσιακού στοιχείου (π.χ. χρηματοδοτικού τίτλου) με την προσδοκία να αποφέρει μια ικανοποιητική απόδοση. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. 2. Τι περιλαμβάνει ο στενός και τι ο ευρύτερος δημόσιος τομέας και με βάση ποια λογική γίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ τους;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. 2. Τι περιλαμβάνει ο στενός και τι ο ευρύτερος δημόσιος τομέας και με βάση ποια λογική γίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ τους; Μάθημα: Εισαγωγή στα δημόσια οικονομικά Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Μαρία Καραμεσίνη Οι παρακάτω ερωτήσεις είναι οργανωτικές του διαβάσματος. Τα θέματα των εξετάσεων δεν εξαντλούνται σε αυτές, αλλά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

HellasFin Α.Ε.Π.Ε.Υ. Επενδύσεις σε :

HellasFin Α.Ε.Π.Ε.Υ. Επενδύσεις σε : ΕΠΕΝ ΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΙΑΘΕΣΙΜΩΝ Απευθύνεται σε επενδυτές, φυσικά και νοµικά πρόσωπα, οι οποίοι επιδιώκουν την καλύτερη δυνατή απόδοση σε συνδυασµό µε άµεση ρευστότητα για βραχυπρόθεσµου χαρακτήρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων. Γιάννης Ρεφανίδης. http://macedonia.uom.gr/~yrefanid/courses/gametheory/

Θεωρία Παιγνίων. Γιάννης Ρεφανίδης. http://macedonia.uom.gr/~yrefanid/courses/gametheory/ Θεωρία Παιγνίων Γιάννης Ρεφανίδης 1 Γενικά Web site: http://macedonia.uom.gr/~yrefanid/courses/gametheory/ Συγγράμματα: (Σ1) Μια εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων (μετάφραση), Martin J. Osborne, Κλειδάριθμoς,

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΣΤΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΠΑΜΕ ΣΤΟΙΧΗΜΑ ΚΑΙ ΚΙΝΟ»

ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΣΤΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΠΑΜΕ ΣΤΟΙΧΗΜΑ ΚΑΙ ΚΙΝΟ» ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ 13.10.2010 ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΑΙΧΝΙΔΙΩΝ ΠΡΟΣ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ ΤΗΣ ΟΠΑΠ Α.Ε. Αρ. Πρωτ.:A/ 21990/ 13-10-2010 ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΣΤΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΠΑΜΕ ΣΤΟΙΧΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ακ. Ετος 2014-15

ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ακ. Ετος 2014-15 ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ακ. Ετος 2014-15 ΕΝΟΤΗΤΑ Νο. 1 ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ : ΣΤΟΧΟΙ, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ, ΒΑΣΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ & ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΕΚΠΤΩΤΙΚΟ ΚΟΥΠΟΝΙ»

ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΕΚΠΤΩΤΙΚΟ ΚΟΥΠΟΝΙ» ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ 4/5/2011 ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΙΩΝ ΠΡΟΣ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ ΤΗΣ ΟΠΑΠ Α.Ε. Αρ. Πρωτ.: Α/11564 ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΕΚΠΤΩΤΙΚΟ ΚΟΥΠΟΝΙ»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ ΚΜ: : 305 ΠΑΤΣΙΑΟΥΡΑΣ ΑΣΤΕΡΙΟΣ

ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ ΚΜ: : 305 ΠΑΤΣΙΑΟΥΡΑΣ ΑΣΤΕΡΙΟΣ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ ΚΜ: : 305 ΠΑΤΣΙΑΟΥΡΑΣ ΑΣΤΕΡΙΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ Η σύνθεση της ομάδας αναφέρεται στον αριθμό των επιθετικών

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Ε. Παρ. Ι(Ι), Αρ. 4470, 7.11.2014 168(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΕΙ ΤΟΝ ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΗΜΑΤΩΝ, ΟΙΚΩΝ ΚΥΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΕΜΠΟΔΙΣΗΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΙΑΣ ΝΟΜΟ

Ε.Ε. Παρ. Ι(Ι), Αρ. 4470, 7.11.2014 168(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΕΙ ΤΟΝ ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΗΜΑΤΩΝ, ΟΙΚΩΝ ΚΥΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΕΜΠΟΔΙΣΗΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΙΑΣ ΝΟΜΟ Ε.Ε. Παρ. Ι(Ι), Αρ. 4470, 7.11.2014 Ν. 168(Ι)/2014 168(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΕΙ ΤΟΝ ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΗΜΑΤΩΝ, ΟΙΚΩΝ ΚΥΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΕΜΠΟΔΙΣΗΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΙΑΣ ΝΟΜΟ Η Βουλή των Αντιπροσώπων ψηφίζει ως ακολούθως:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερώτηση Α.1 (α) (β) www.arnos.gr info@arnos.co.gr

Ερώτηση Α.1 (α) (β) www.arnos.gr info@arnos.co.gr Ερώτηση Α.1 Σε μια κλειστή οικονομία οι αγορές αγαθών και χρήματος βρίσκονται σε ταυτόχρονη ισορροπία (υπόδειγμα IS-LM). Να περιγράψετε και να δείξετε διαγραμματικά το πώς θα επηρεάσει την ισορροπία των

Διαβάστε περισσότερα

2. Σε ένα κλάδο που υπάρχει μονοπώλιο, το βάρος από την επιβολή ενός φόρου μετακυλύεται ολόκληρο στους καταναλωτές.

2. Σε ένα κλάδο που υπάρχει μονοπώλιο, το βάρος από την επιβολή ενός φόρου μετακυλύεται ολόκληρο στους καταναλωτές. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2011-2012 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξεταστική περίοδος Ιουλίου Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Βασίλης Θ. Ράπανος Η εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοδείκτες διάρθρωσης κεφαλαίων 7 φ

Αριθμοδείκτες διάρθρωσης κεφαλαίων 7 φ Αριθμοδείκτες διάρθρωσης κεφαλαίων 7 φ Προκειμένου να εξετάσουμε την οικονομική κατάσταση μίας οικονομικής μονάδας σε μακροχρόνια κλίμακα θα πρέπει να αναλύσουμε την διάρθρωση των κεφαλαίων της. Λέγοντας

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΠΡΑΞΕΙΣ: ΠΑΡΑΒΙΑΣΕΙΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΠΡΑΞΕΙΣ: ΠΑΡΑΒΙΑΣΕΙΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΠΡΑΞΕΙΣ: ΠΑΡΑΒΙΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο την απόκτηση του διπλώματος. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Εάν το ποσοστό υποχρεωτικών καταθέσεων είναι 25% και υπάρξει μια αρχική κατάθεση όψεως 2.000 σε μια εμπορική Τράπεζα, τότε η μέγιστη ρευστότητα που μπορεί να δημιουργηθεί από αυτή την κατάθεση είναι: Α.

Διαβάστε περισσότερα

Βαθμός 1 ου πακέτου. Βαθμός 2 ου πακέτου

Βαθμός 1 ου πακέτου. Βαθμός 2 ου πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

Language: English / Greek

Language: English / Greek Rules of Coerceo by Coerceo Company Greek translation by Chronis Perrakis Κανόνες του Coerceo Language: English / Greek Πνευματικά Δικαιώματα Απαγορεύεται η αναπαραγωγή, αντιγραφή ή αναμετάδοση με οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Ημερομηνία παράδοσης: Ερωτήσεις πολλαπλών

Διαβάστε περισσότερα