5.1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 70-7 A Οµάδας.i) Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() και f () Α(0,) O.ii) Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(), f () + και f () Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την κατακόρυφη µετατόπιση της C f κατά µονάδες προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την κατακόρυφη µετατόπιση της C f κατά µονάδες προς τα κάτω. + O Β(0,) Α(0,) - Γ(0,-)

2 .iii) Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(), f () και f () + 5 Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την οριζόντια µετατόπιση της C f κατά µονάδες προς τα δεξιά. + - Η γραφική παράσταση της f 5 προκύπτει από την οριζόντια µετατόπιση της C f κατά µονάδες προς τα αριστερά. O.iv) Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(), f () + 6 Η γραφική παράσταση της f 6 προκύπτει από τη µετατόπιση της C f, οριζόντια κατά µονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφα κατά µονάδα άνω. O - +

3 .v) Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις g() e, g () e +, g () e, g () e + Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη µετατόπιση της C g, οριζόντια κατά µονάδες προς τα αριστερά. ( ) Επειδή g ( ) e e g(), η γραφική παράσταση της g είναι συµµετρική της C f ως προς τον άξονα e + O e e - e - + Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την κατακόρυφη µετατόπιση της g κατά µονάδες προς τα πάνω..i) ii) 8 8

4 .iii).iv) 8 8.v)

5 5.vi) ( ) ( ) ( ) + ( + ) vii) ( ) ( ) 5 ( ) 5 ( ) viii) , ± 9 ± ή

6 6.i) ( ) 0 Θέτουµε Η εξίσωση γίνεται 0 ( ) 0 0 ή 0 0 ή α) για 0, θα έχουµε β) για θα έχουµε 0 αδύνατη.ii) ( ) ( ) Θέτουµε Η εξίσωση γίνεται , 5 ± 9 α) για, θα έχουµε β) για θα έχουµε 5± ή.iii) Θέτουµε Η εξίσωση γίνεται , α) για 9, θα έχουµε 9 β) για θα έχουµε ( ) ± 78 6± αδύνατη 9 ή

7 7.i) Να λύσετε την ανίσωση < < < < 0 5, ρίζες του τριωνύµου ή Θέλουµε το τριώνυµο αρνητικό, δηλαδή ετερόσηµο του α, άρα ο θα είναι εντός των ριζών, δηλαδή < <.ii) Να λύσετε την ανίσωση > 7 7 > 7 > + > 5.iii) Να λύσετε την ανίσωση + < + < + > 5 > < 5

8 8 5.i) Να λύσετε το σύστηµα (+ ) 5 ( ) (+ ) ( ) (+ ) ( ) ii) + Να λύσετε το σύστηµα 7 Θέτουµε ω, φ ω + φ Το σύστηµα γίνεται ω φ 7 ω 8 ϕ ω 9 ϕ 9

9 9 6.i) Να λύσετε το σύστηµα e :e e.e e e :e e.e e e e e e

10 0 6.ii) Να λύσετε το σύστηµα Θέτουµε ω > 0, φ > 0 Το σύστηµα γίνεται ω ϕ 8 ω + ϕ 6 ω ϕ 8 ϕ 6 ω ω (6 ω) 8 ϕ 6 ω ω (6 ω) 8 ϕ 6 ω 6 ω ω 8 ϕ 6 ω ω 6 ω ϕ 6 ω 6, ω 6 ± 6 ± ή α) για ω, η εξίσωση φ 6 ω φ 6 φ φ ω β) για ω, η εξίσωση φ 6 ω φ 6 φ φ ω

11 7. Να λύσετε την ανίσωση < 0 Ρίζες του τριωνύµου:, 00 w 0w + 00 < 0 < w < 00 < 0 ( ) Θέτουµε 0 w, οπότε η () w 0w + 00 < 0 και στη συνέχεια την ανίσωση < 0 () < 0 < w < 00 < 0 < < 0 < 0 0 < <

12 Β Οµάδας. Να βρείτε τις τιµές του α R, για τις οποίες ορίζεται σε όλο το R η συνάρτηση α f(). Για ποιες από αυτές τις τιµές η συνάρτηση είναι α i) γνησίως φθίνουσα ii) γνησίως αύξουσα Πρέπει α > 0 α ( α)(α ) > 0 α α + α > 0 Ρίζες του τριωνύµου :, α 5α + < 0. Άρα < α < () i) Πρέπει να είναι και α α < Συναλήθευση των (), () < α < α α < 0 α α+ < 0 α α α < 0 ( α) < 0 α ( α)(α ) < 0 α α + α < 0 α α + > 0 α < ή α > () ii) Πρέπει να είναι και α > α Συναλήθευση των (), () : < α < () < α <

13 .i) Θέτουµε Η εξίσωση γίνεται, οπότε ή α) για έχουµε β) για έχουµε 0 0.ii) ( )

14 .iii) iv) ( )

15 5.v) ( ) 8

16 6.i) Να λύσετε το σύστηµα ϕ ω Το σύστηµα γίνεται 6 ϕ + ω Θέτουµε ϕ +ω ωϕ+ 6 ω ω και ϕ +ω ω ( +ω ) + 6 ω ϕ +ω ω+ω + 6 ω ϕ +ω ω ω ϕ +ω ω ή ω8 φ ϕ +ω ω ϕ ω ή ή ϕ +ω ω 8 ϕ 9 ω 8 ή ή

17 7.i) Να λύσετε το σύστηµα (.5) (0) ()

18 8.i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(), όταν 0 f() -, όταν < 0 - Η γραφική παράσταση του κλάδου f() µε 0 προκύπτει από την καµπύλη διαγράφοντας τα σηµεία της που έχουν τετµηµένη < 0, (διακεκοµµένο τµήµα της) O Η γραφική παράσταση του κλάδου f() µε < 0 προκύπτει από την καµπύλη διαγράφοντας τα σηµεία της που έχουν τετµηµένη 0, (διακεκοµµένο τµήµα της).ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(), όταν 0 f(), όταν < 0 Η γραφική παράσταση του κλάδου f() µε 0 προκύπτει από την καµπύλη διαγράφοντας τα σηµεία της που έχουν τετµηµένη < 0, (διακεκοµµένο τµήµα της) - O Η γραφική παράσταση του κλάδου f() µε < 0 προκύπτει από την καµπύλη διαγράφοντας τα σηµεία της που έχουν τετµηµένη 0, (διακεκοµµένο τµήµα της)

19 9 5. Αν f() ( α +α ) και g() ( α α ) f ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) f g α +α ( α α ), να αποδείξετε ότι ( α + α α +α α + α α α ) ( + )

20 0 6. Αν αφήσουµε το καπάκι ενός πεντάλιτρου δοχείου µε βενζίνη ανοικτό, η βενζίνη εξατµίζεται µε ρυθµό 0% ανά εβδοµάδα. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο µετά από t εβδοµάδες. ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση iii) Με τη χρήση υπολογιστή τσέπης να διαπιστώσετε ότι µετά 0 εβδοµάδες µόνο η µυρωδιά της βενζίνης θα υπάρχει στο δοχείο. i) Έστω f(t) η συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο µετά από t εβδοµάδες, σε λίτρα f(0) 5 f() f(0) f(0) 0 00 f(0) 0 00 f() f() f() 0 00 f() f(0) f() f(). 5 5 * * * f(t) 5 5 t ii) f 5 O t iii) f(0) ,0000

21 7. Το ραδιενεργό Ράδιο έχει χρόνο υποδιπλασιασµού 600 χρόνια. Αν η αρχική ποσότητα είναι 5 γραµµάρια, i) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, η οποία δίνει την ποσότητα του Ραδίου µετά από t χρόνια είναι Q(t) 5. ( ) t /60 0,5 ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που θα έχει αποµείνει µετά από 600 χρόνια µε προσέγγιση δεκαδικών ψηφίων iii) να αποδείξετε ότι µετά από 0000 χρόνια µόλις 0,00 γραµµάρια θα έχουν αποµείνει. i) Είναι δεδοµένο ότι Q(t) Q0 Q0 Αλλά Q0 c.600 e Η () Q(t) 5 ii) Q(600) e ct c Q(t) 5( ) t t ( ) 600 c Q(t) 5 8 5,86 e e () t 600 c e 600 iii) Q(0000) ,00

22 8. Ένας πωλητής αυτοκινήτων βεβαιώνει τους πελάτες του ότι η αξία ενός αυτοκινήτου ευρώ ελαττώνεται κατά 5% το χρόνο στα πρώτα 6 χρόνια από την πώλησή του. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την τιµή του αυτοκινήτου µέσα στα 6 χρόνια. ii) Να υπολογίσετε την τιµή του αυτοκινήτου στο τέλος του έκτου χρόνου. i) Έστω f(t) η συνάρτηση που δίνει την τιµή του αυτοκινήτου σε t χρόνια, όπου 0 t 6 f(0) 0 σε χιλιάδες ευρώ f() f(0) f(0) 5 00 f(0) 5 00 f() f() f() 5 00 f() f(0) f() f(). 0 0 * * * 7 f(t) 0 0 ii) 6 7 f(6) 0. σε χιλιάδες ευρώ ευρώ 0 t

23 9. Η ένταση του ηλιακού φωτός σε βάθος µέτρων µίας θολής λίµνης ελαττώνεται εκθετικά σύµφωνα µε τον τύπο Ι() I o e 0,5, 0 όπου Ι ο είναι η ένταση του φωτός στην επιφάνεια της λίµνης i) Να υπολογίσετε το e 0,5 για 0,,,,, 5 ii) Να βρείτε την τιµή του στον πλησιέστερο ακέραιο για την οποία ο λόγος Ι() είναι α), β) 0, I o iii) Να επιβεβαιώσετε γραφικά την τιµή που θα βρείτε i) e 0,5 0,5 e e e οπότε για 0 είναι e 0,5 0, για είναι e 0,5 e 0,606 για είναι e 0,5 για είναι e 0,5 ii) Ι() α) e 0,5 0 Io Ι() β) 0, e 0,5 0, I o από το (i) ερώτηµα ο ζητούµενος πλησιέστερος ακέραιος φαίνεται να είναι ο 5 iii) Aπό την γραφική παράσταση επιβεβαιώνεται η τιµή 5 0, Ο e 0,68 για είναι e 0,5 e 0,5 για 5 είναι e 0,5 5 e 0, e - 0,5 5 5 e 0,08 6

24 0. Η θερµοκρασία Τ(t) (σε ο C) ενός βραστήρα κατέχεται µέχρι να φτάσει την θερµοκρασία Τ ο ενός δωµατίου σύµφωνα µε τον τύπο Τ(t) T o ( + e t ), t 0 i) Να υπολογίσετε το e t για t 0,,, ii) Να βρείτε την τιµή του t στον πλησιέστερο ακέραιο για την οποία ο λόγος T(t) είναι α),, β) T o i) για t 0 είναι e 0, για t είναι e e 0,5 για t είναι e e 0,08, για t είναι e e 0,00 6 ii) T(t) T + e t οπότε α) o T(t) T, + e t, e t 0, o Από το (i) ερώτηµα φαίνεται ότι ο πλησιέστερος ακέραιος για τον οποίο είναι T(t), είναι ο t T o β) Προφανώς T(t) T t 0 o

25 5. Πυκνωτής χωρητικότητας C σε F έχει φορτίο q o σε Cb. Αν συνδέσουµε τον πυκνωτή µε αντίσταση R σε ohm το φορτίο του πυκνωτή ελαττώνεται σύµφωνα µε τον τύπο q(t) q o t / RC e, όπου το t µετράται σε δευτερόλεπτα i) Με µία πρόχειρη γραφική παράσταση να δείξετε πως µεταβάλλεται το φορτίο q ως προς τον χρόνο t ii) Να βρείτε τις τιµές του t της µορφής k RC, k ακέραιος µετά τις οποίες το φορτίο γίνεται α) q o, β) 0 q o i) Συνάρτηση q( t) ακολουθεί τον νόµο της εκθετικής µεταβολής µε σταθερά c < 0 εποµένως είναι γνησίως φθίνουσα. RC Αν στον άξονα των χρόνων επιλέξουµε ως µονάδα το RC έχουµε την διπλανή γραφική παράσταση ii) Από την διπλανή γραφική παράσταση φαίνεται ότι το φορτίο γίνεται q o q q o q(t) q o e-t/ RC α) Μικρότερο από q o όταν q o k,,.. β) Μικρότερο από 0 q o όταν 0 O t k,,