ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι συνρτήσεις: ( a ) κι Ν βρείτε τις τιμές του, ώστε: ) η f ν είνι γνησίως ύξουσ, β) η g ν είνι γνησίως φθίνουσ. f f g ( + a).. Αν οι ριθμοί, β κι γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί, β κι γ είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Αν ισχύει: e + e f ν ποδείξετε ότι f g. κι g e e. Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις: 6 ) β) 8 9 γ) δ) 6 ε) στ) 6. Ν λύσετε την εξίσωση: Ν λύσετε την εξίσωση: συν 9

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8. Ν λύσετε τις νισώσεις: ) ( e + )( e ) > 0 β) Ν λύσετε τις εκθετικές εξισώσεις: ) β) γ) δ) 0. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) + + β) γ) δ) + 8. Ν ποδείξετε ότι:. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) β) β 8 β + β + β Ν λύσετε τ συστήμτ: 6 ) + ( 0 ) + 7 β) + 0. Ν λύσετε τ συστήμτ: + 6 ) + β) 6. Ν λύσετε την εξίσωση: ( ) ( )

3 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ t () ce λ Q Q 6. Δίνετι η συνάρτηση Q t, ώστε κι. Ν βρείτε: ) την τιμή του c, β) τον τύπο της συνάρτησης Q t, γ) τις λύσεις της εξίσωσης Q( t ) Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: λ f + λ ) Ν βρείτε τις τιμές του λ. β) Γι ποιες τιμές του λ η f ( ) είνι γνησίως ύξουσ; γ) Ν βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f ν είνι γνησίως φθίνουσ. δ) Αν λ, ν λύσετε την νίσωση: λ f ( + ) > + λ 8. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) β) γ) ημ δ) 6 συν 6 + 0, [ 0, π ] 9. Ν λύσετε τ συστήμτ: ) β) γ) δ) π Αν ημ κι a κπ + ( κ ), ν ποδείξετε ότι: + + : ( + συν ). Ν λύσετε τ πρκάτω εκθετικά συστήμτ: 6 + ) β) + + ( + ) 6 6

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) β) ( + ) ( + ) +. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) + + iii) iv) v) vi) 8 6 vii) + 96 viii) Ν λυθούν οι εξισώσεις: + i) 8 ii) iii) ( ) 0, iv) v) +, vii) + 7 vi) Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0+ ii) iii) iv) v) vi) Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 9 6 ii) iii) + + iv) v) 0+ vi) + 68 vii) viii) + 7 i) 7 68 )

5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις γι : 8 i) ( ) ( ) + ( ) 0 ii) Ν λυθούν οι εξισώσεις: συν συν + συν + i) ii) ημ συν iii) + iv) v) vi) vii) viii) ( ) 9. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) > ii) > + iii) > 0. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) + < 6 ii) iii) > < 6. Ν λυθεί η νίσωση: > e. Γι ποι τιμή του οι ριθμοί, 0, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου;. a Γι ποιες τιμές του η f,, είνι γνησίως ύξουσ; a + 6

6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ν λυθούν τ συστήμτ: 6 + i) + ii) iii) iv) v). Ν λυθούν τ συστήμτ: 0 i) ii) iii) iv) :7 6. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) Ομοίως: i) ii) Ομοίως: + 0 i) ii) Ν εξετστεί ως προς τη μονοτονί η συνάρτηση f e. 0. ) Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν πρστήσετε τις συνρτήσεις: f κι g β) Ν εξηγήσετε γιτί οι γρφικές πρστάσεις των f κι g είνι συμμετρικές ως προς τον άξον '.. Ν λύσετε τις εξισώσεις: + + ) β) e + e e + e + 6

7 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΧΟΛΙΚΟ. Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις: f κι i. f ii. f, f + κι f iii. + f, f κι f iv. f κι f 6 + v. g e, g +, g κι g e. Ν λύστε τις εξισώσεις: e i. 6 ii. iii. v. π/ 6 7 iv. e 8 8 vi X vii. viii Ν λύσετε τις εξισώσεις: + i. 0 ii. + iii Ν λύσετε τις νισώσεις: i. ii. 7 > 7 iii < + <. Ν λύσετε τ συστήμτ: + 8 i. ii

8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6. Ν βρείτε τις τιμές του R, γι τις οποίες ορίζετι σε όλο το R η συνάρτηση f. Γι ποιες πό υτές τις τιμές η συνάρτηση είνι: i. γνησίως φθίνουσ ii. γνησίως ύξουσ 7. Ν λύστε τις εξισώσεις: i. + 0 iii. v ii. iv Ν λύσετε τ συστήμτ: i. ii Ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις: f f i. ii. 0. ( + ) ( ) [ f ] [ g ] Αν f κι g, ν ποδείξετε ότι.. Αν φήσουμε το κπάκι ενός πεντάλιτρου δοχείου με βενζίνη νοικτό, η βενζίνη εξτμίζετι με ρυθμό 0% νά εβδομάδ. i. Ν βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητ της βενζίνης στο δοχείο μετά πό t εβδομάδες. ii. Ν κάνετε τη γρφική της πράστση. iii. Με τη χρήση υπολογιστή τσέπης ν διπιστώσετε ότι μετά 0 εβδομάδες μόνο η μυρωδιά της βενζίνης θ υπάρχει στο δοχείο.. Ένς πωλητής υτοκινήτων βεβιώνει τους πελάτες του ότι η ξί ενός υτοκινήτου εκτομμυρίων δρχ. ελττώνετι κτά % το χρόνο στ πρώτ 6 χρόνι πό την πώλησή του. i. Ν βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την τιμή του υτοκινήτου μέσ στ 6 χρόνι. ii. Ν υπολογίσετε την τιμή του υτοκινήτου στο τέλος του έκτου χρόνου. 66

9 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Το ρδιενεργό Ράδιο έχει χρόνο υποδιπλσισμού 600 χρόνι. Αν η ρχική ποσότητ είνι γρμμάρι, i. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση, η οποί δίνει την ποσότητ του Ρδίου μετά πό t χρόνι είνι Q () t ( 0,) t / 600. ii. ν υπολογίσετε την ποσότητ που θ έχει πομείνει μετά πό 600 χρόνι με προσέγγιση δεκδικών ψηφίων. iii. ν ποδείξετε ότι μετά πό 0000 χρόνι μόλις 0,00 γρμμάρι θ έχουν πομείνει.. Η έντση του ηλικού φωτός σε βάθος μέτρ, μις θολής λίμνης, ελττώνετι 0, εκθετικά ως προς το, σύμφων με τον τύπο I I o e ( 0), όπου I o είνι η έντση στην επιφάνει του νερού. 0, i. Ν υπολογίσετε το e γι 0,,,,,. ii. Ν βρείτε την τιμή του, στον πλησιέστερο I κέριο, γι την οποί ο λόγος είνι:. β. 0, iii. Ν επιβεβιώσετε κι γρφικά την τιμή που θ βρείτε. I o. Η θερμοκρσί T() t (σε ο C) ενός βρστήρ, κτέρχετι μέχρι ν φτάσει την θερμοκρσί T του δωμτίου, σύμφων με τον τύπο o t i. Ν υπολογίσετε το e γι t 0,,,. ii. Ν βρείτε την τιμή του t, στον πλησιέστερο T( t) κέριο, γι την οποί ο λόγος είνι:., β. T o t ( t) T ( + e ) T ( t 0). o 6. Πυκνωτής χωρητικότητς C (σε F) έχει φορτίο (σε Cb). Αν συνδέσουμε τον πυκνωτή με ντίστση R (σε ohm), το φορτίο του πυκνωτή ελττώνετι σύμφων με τον τύπο. t q t q o e (t σε δευτερόλεπτ) RC i. Με μί «πρόχειρη» γρφική πράστση ν δείξετε πως μετβάλλετι το φορτίο q ως προς το χρόνο t. ii. Ν βρείτε τις τιμές του t της μορφής krc (k κέριος) μετά τις οποίες το φορτίο γίνετι μικρότερο πό:. q o β. q o 0 67 q o

10 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. Ν ποδείξετε ότι: ) β) Ν ποδείξετε ότι: ) + β) + 0 γ) 6 7. Ν ποδείξετε ότι: ) + β) Ν ποδείξετε ότι: 6 8 ) β) + 7. Ν λύσετε την εξίσωση: ( + lgo ( )) 6. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: 7 A Ν βρείτε τις τιμές του θ, ώστε η εξίσωση: ( + θ) + θ 0 ν έχει μί διπλή ρίζ. 8. Αν, ν ποδείξετε ότι: + a a6 68

11 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Αν, > 0 κι +, ν ποδείξετε ότι: + a ( a + a ) Ν ποδείξετε ότι: Δίνοντι οι ριθμοί, κι. + Ν βρείτε τις τιμές του, ώστε οι πρπάνω ριθμοί ν ποτελούν διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου.. Ν ποδείξετε ότι lo g.. Αν οι ριθμοί a, a β κι β είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι, ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί, (β) κι β είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Σε μι γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος όρος είνι ο κι ο δεύτερος ο 8. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ των ν όρων της προόδου δίνετι πό τον τύπο: v S v. Ν ποδείξετε ότι: β γ δ β γ δ 6. Αν > β > 0 κι + β β, ν ποδείξετε ότι: β ( + β ) 7. Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι ln κι ln7. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ S v των ν πρώτων όρων είνι S ln v. v 8. Αν οι ριθμοί: 8, ( + 9) κι ( + ) είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ν βρείτε την τιμή του. 69

12 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9. Γι τη συνάρτηση f() ισχύει ότι: lnf() + β γι κάθε. Αν f(0) κι f : ) ν βρείτε τ κι β, β) ν ποδείξετε ότι f. 0. Αν ν ν, ν βρείτε την τιμή του ν, ώστε: ν. β γ Αν, ν ποδείξετε ότι: β γ γ β ) β β γ γ β) βγ. Ν βρείτε τις τιμές του, ώστε οι ριθμοί:, + κι 6 ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Ν ποδείξετε ότι: ) 00 β). Ν προσδιορίσετε το στις πιο κάτω ισότητες: i) lo g ii) 6 iii) 9 vi) 6 v) κ κ, κ > 0. Στις πιο κάτω ισότητες ν βρείτε το : i) l og 000 ii) 8 6 iii) 8 iv) 6 v) 6 vi) 6 6. Ν βρείτε το στις πιο κάτω ισότητες: 7 i) lo g8 ii) iii) ln iv) ln e 8 v) ln 0 vi) ln ( ln ) 0 70

13 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7. Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες ορίζοντι οι λογάριθμοι: i) lo g ii) iii) + 6 ( ) ( ) iv) v) ( + + ) 8. Ν υπολογίσετε τις πρκάτω εκφράσεις (χωρίς τη βοήθει υπολογιστών). i) l og8 + ii) lo g + 0 iii) iv) l og + 6, Ν δείξετε ότι: i) a a a a 0a. ii) Γι κάθε > 0 κι : , όπου v!... v (ν: πργοντικό). v v! 0. Γι, β, γ > 0 ν εφρμόσετε όλες τις δυντές ιδιότητες των λογρίθμων: a a β γ a β γ i) ii) iii) β a βγ β γ 7 β a βγ. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: 7 i) lo g67 6 ii) iv) lo g + iii) 0, 0, 0, v) 6 8 vi) 0 0, 0, 0,. Ν υπολογίσετε τις ριθμητικές τιμές των πρστάσεων: ( + ) i) K ii) A 0, iii) M

14 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. a β Αν > β > 0 κι + β 7β, ν ποδείξετε ότι ( a + β ).. Ν ποδείξετε ότι: a β β γ γ 00 ) a β) 7. Ν ποδείξετε ότι: Αν, β, γ, δ, ν ποδείξετε ότι: a βγδ + + a a a 7. Ν ποδείξετε ότι: + + 9β β β β β 8 8. Ν ποδείξετε ότι:, κι 8 είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. 9. Αν ισχύει: 0 + a + β γ ν ποδείξετε ότι: ) β) βγ 0. Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί:, κι 8 είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Αν 0 <, β, γ, θ κι οι ριθμοί, β κι γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί θ, θ β κι θ γ είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Αν a κι β 8, ν ποδείξετε ότι β 8. γ δ 7

15 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν βρείτε την τιμή των πρστάσεων: ) Α 6 +,9 + 0 β) B.. Αν, β κι γ, ν ποδείξετε ότι: 0 a βγ 9 a β 0 γ Αν, β > 0 κι + β β, ν ποδείξετε ότι: a + β ln + lnβ ln 6. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ) Α β) Β lo g 00 γ) Γ Ν ποδείξετε ότι: Ν ποδείξετε ότι: 0 0 ) β) Ν ποδείξετε ότι: ) 0 + ( 9 ): ( 97) + β) + 7 /6 7

16 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Ν ποδείξετε ότι: + ( + ) + ( + + ) + ( + ). Ν ποδείξετε ότι: ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ. Ν υπολογισθούν, χωρίς τη χρήση υπολογιστή τσέπης, οι λογάριθμοι: i. 0,00 ii. 0 iii. 0 0 iv. 9 v. 6 vi.. Γι ποι τιμή του ισχύει: i. 0 ii. iii Γι ποι τιμή του ισχύει: i. 6 ii. iii. 0, 8. Ν ποδείξετε ότι: i. + ii. + iii. iv. v ( + ) + ( 6 ) 7 0

17 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο ριθμός των βκτηριδίων που εμφνίζοντι σε μι κλλιέργει μετά πό t ώρες 0,t δίνετι πό τον τύπο Q ( t) Q o e, όπου Q o είνι ο ρχικός ριθμός των βκτηριδίων. Πόσος χρόνος θ περάσει ώστε ο ριθμός των βκτηριδίων ν δεκπλσισθεί; 6. Κάτω πό στθερή θερμοκρσί, η τμοσφιρική πίεση p (σε Pascals), σε ύψος h (σε kh μέτρ) δίνετι πό τον τύπο p 000 e i. Ν βρείτε την τιμή του k, ν σε ύψος 00m η τμοσφιρική πίεση είνι Pascals. ii. Ποι είνι η τμοσφιρική πίεση σε ύψος 000m; 7. Οι στέρες τξινομούντι νάλογ με τη (φινόμενη) λμπρότητά τους σε κτηγορίες που κλούντι μεγέθη. Οι σθενέστεροι στέρες με λμπρότητ L o λέμε ότι έχουν μέγεθος 6. Κάθε άλλος στέρς λμπρότητς L έχει μέγεθος m που κθορίζετι πό τον L τύπο: m 6, L o i. Ν βρείτε το μέγεθος m του στέρ που έχει λμπρότητ L 00 L o. ii. Πόσες φορές λμπρότερος είνι ένς στέρς ου μεγέθους πό ένν στέρ 6 ου μεγέθους; 8. Οι πωλήσεις S(t) (σε χιλιάδες μονάδες) ενός προϊόντος σε διάστημ t χρόνων μετά την kt εισγωγή του στην γορά δίνοντι πό τον τύπο S ( t) 00( e ). i. Ν υπολογίσετε το k, ν οι πωλήσεις κτά το πρώτο έτος νήλθν σε 000 μονάδες. ii. Πόσες θ είνι οι πωλήσεις στ πρώτ χρόνι; 9. Ν υπολογίσετε την τιμή των πρστάσεων: 8 i. ii Αν οι θετικοί ριθμοί θ, θ, θ, είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν ποδείξετε ότι οι θ, θ, θ, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι ντιστρόφως.. Μις ριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είνι ίσος με κι ο δεύτερος όρος με 8. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ Σ ν των ν-πρώτων όρων της δίνετι πό τον τύπο: ν Σ ν 7

18 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ν ποδείξετε ότι: ν... 0 ν ριζικά. Ν ποδείξετε ότι: v v. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε > 0 ισχύει:. Ν ποδείξετε ότι: i. β ii. β iii. β γ 6. Ν ποδείξετε ότι: i. θ + θ 0 ii. β β γ ( β) + ( β) ( β) ( β) \ β β β 6. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) + 6 β) ( ) 6 γ) + ( ) δ) ( ) + ( ) ε) ( ) + 8 στ) ( ) ζ) ( + ) + η) ( ) θ) + ι) 0. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ( ) ( ) ( ) β) + 76

19 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ( ) + ( + ) ( + ) β) ( ) + ( ) γ) ln( + ) ln( + + ) ln δ) ( ) + ( ) +. Ν λύσετε της εξίσωση: ( + ) +. Ν λύσετε την εξίσωση: () Ν λύσετε την εξίσωση: ( + 7) 7. Ν λύσετε τ συστήμτ: + 6 ) + 0 β) 000 γ) + δ) ( + ) 8. Ν λύσετε τ συστήμτ: ) β) γ) δ) + 9. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ( ) + ( ) ( + 8) β) ( ) + (8 ) ( ) 77

20 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Ν λύσετε την εξίσωση:. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) + ( + ) + 6 β) ( + 9) ( + ). Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ( + ) + ( ) β) ( + ) Ν βρείτε τις τιμές του, ώστε οι ριθμοί:,, ( ) ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Δίνετι η συνάρτηση: f ( ) ln + + ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν λύσετε την εξίσωση f ln. γ) Ν λύσετε την νίσωση f < 0. δ) Ν ποδείξετε ότι: f ( ) ( )ln + ln +. Αν, β >, ν ποδείξετε ότι: ( ) + ( + ) + (β + ) + (β ) [(β + ) ( + β) ] 0 6. Ν λύσετε τις νισώσεις: ( 8) ) β) ( ) Ν λύσετε τ συστήμτ: + ) + 6 β) γ)

21 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ δ) Ν χράξετε την γρφική πράστση των συνρτήσεων κι ν βρείτε τη μονοτονί κι το σύνολο τιμών τους. ) f ( ) β) f γ) f ln δ) f ( ) ln( + ) 9. Ν γίνει μελέτη κι γρφική πράστση των συνρτήσεων: i) f() + ii) g() ln( ) iii) d() ( + ) 0. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων: i) f() ( + ) ii) f() ln( ) iii) f() ( + ) iv) f() + ) v) f() ( ( + ). Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() ( + ) ( + + ).. Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες η συνάρτηση f() a ορίζετι κι a+ είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισμού της.. Στο ίδιο σύστημ ξόνων, ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις f(), g() κι h() ( ).. Ν προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() κι τη λογριθμική g(), των οποίων οι γρφικές πρστάσεις περνούν πό το σημείο: Α(, ) Β(, ) Γ(, ) Δ(, ).. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθμοί, ( + ) γεωμετρικής προόδου., ν είνι διδοχικοί όροι 6. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθμοί, ( ), ( + ) ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) lo g 0 0 iii) + + ii) ( 8) iv) + 79

22 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) l og 80 ii) 88 v) 8 iii) ( ) ( ) vi) ( ) + ( ) 6 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) l og 6 ( + ) iv) ( ) + ( ) ( + 8) ii) l og ( + ) + 78 v) lo g ( + 7) + ( + ) iii) ( + ) 0 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) + ii) ( + ) + + iii) a+ a+ β a β ( ) iv) lo g + v) + 6 vi) Ν βρεθούν οι τιμές του ώστε ν ισχύει: i) lo g ( + ii) lo g + + iii) v) ( ) iv) lo g + 7 vi) l og 0 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) i) 00 iv) + ii) iii) v) vi) 00 ( ) 80

23 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν βρεθούν οι τιμές του ώστε ν ισχύει: i) l og ii) + iii) iv) lo g ( + 6) v) ( ) vi) lo g 7 +. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) ( ) ii) 8 ( ) iii) ln ( + ) + ln ( ) ln ( + ). Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) lo gc ca cb c ii) l oga a + a a iii) a a a iv) l og( + ) a a v) a ( a ) a a ( a a ) 6. Ν λυθεί η εξίσωση: a 8 ( ) ( ) v) 8 vi) + 7. Ν βρεθούν οι τιμές του ώστε ν ισχύει: i) l n + 6 e ii) iii) iv) + 8. Ν βρεθούν οι τιμές του ώστε ν ισχύει: i) lo g + 0 iii) + ii) lo g6 ( ) + 0

24 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9. Γι ποιες τιμές του ισχύει: i) ii) + 00 iii) iv) v) vi) ( ) Ν λυθούν οι νισώσεις: i) lo g > iv) ( ) ( ) ii) lo g v) lo g < 0 iii) 8. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) ( + < ) iv) a < < + ln ii) lo g v) > ln iii) / vi) ln + ln < + + a. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) lo g + + >, iii) + ( ) > ( + ) + ( + ) + ( + ) 8 0 ii) lo g 9 iv). 70. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) lo g ( ) > 0 iv) ( 9 ) > ii) iii) + 0, 6, ( ) 6 vi) > v) ( 0, ) +. Ν λυθούν οι νισώσεις: 8 i) < ii) ( ) <

25 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) Ν λυθούν τ συστήμτ: i) + + ii) Ν λυθούν τ συστήμτ: + + i) ii) Ν λυθούν τ συστήμτ: i) + ii) ( + ) ( + ) 0 ( ) Ν λυθούν τ συστήμτ: / + 0 i) ii) a + iii) a, a> 0 iv) Ν λυθούν τ συστήμτ: + i) ii) + ( ) ( + ) iii) / iv) ( ) ( ) 0 9( ) 0. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) 0 ( ) + 8 8

26 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) +. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) 90 0 ii) + 0 iii). Ν ποδείξετε ότι δεν υπάρχει μ ώστε η νισότητ ( a + a μ + a) < 0 με (0, ) ν ληθεύει γι κάθε.. Ν δείξετε ότι 68 > Ν δείξετε ότι γι κάθε > 0 ισχύει: 0 a 0 + a + a a + ( 0) a+ a Γι ποιες τιμές του η εξίσωση a + a 0 έχει πργμτικές ρίζες. + Αν f, > 0, >, ν δείξετε ότι f ( f + f ). 9. Ν βρεθούν οι τιμές της πρμέτρου γι τις οποίες η εξίσωση + a+ a a a έχει λύσεις κι ν λυθεί η εξίσωση. a a 0. Ν βρεθούν οι τιμές του λ γι τις οποίες μετξύ των ριζών της εξίσωσης λ + λ 0 ισχύει η σχέση ( ) + ( ) κ Ν δειχθεί ότι η εξίσωση, κ, έχει μι λύση νεξάρτητη του κ. κ. Αν 8 08 ω ν εκφράσετε τον 8 7 συνρτήσει του ω.. Ν λύσετε την εξίσωση:

27 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) + + β) + 00 γ) + δ) (. Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις: ) ( + ) + ( + ) 6 β) + (9 ) γ) 6 ( + ) + 6 δ) (9 + 7) + ( + ) 8. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) β) γ) + 6 δ) + λευκό ροδάκινο 6. Ν λύσετε την εξίσωση: ( 8) Ν λύσετε την εξίσωση: ( 6 ) + + ). ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΧΟΛΙΚΟ. Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις: κι g f Τι πρτηρείτε; Ν δικιολογήσετε την πάντηση.. Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις: f, g κι h 8. Ν προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f κι τη λογριθμική συνάρτηση g των οποίων οι γρφικές πρστάσεις περνούν πό το σημείο: i. Α (, ) ii. Β (, ) iii. Γ (, ) iv. Δ (, )

28 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ευισθησί ενός φωτογρφικού φιλμ μετριέτι σε μονάδες ASA ή σε μονάδες DIN. Αν μονάδες ASA συνδέοντι με μονάδες DIN με τον τύπο + 0, ν φτιάξετε ένν πίνκ τιμών ης πρπάνω συνάρτησης γι 0, 00, 00, 00, 800, 600 ASA. Τι πρτηρείτε; (Δίνετι ότι 0, ).. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. + ii. iii. ( + ) ( ) + ( ) iv Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. ii Ν συγκριθούν οι ριθμοί: i. κι ii. κι iii. ( ) + κι 0, 0, 7 7 [ H ] + 7 > 0 [ H ] + < 0 8. Έν διάλυμ θεωρείτι όξινο ν κι βσικό ν. Ν βρείτε τις ντίστοιχες νισότητες γι το ph. 9. Ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις: i. f ln ii. f ln iii. ln iv. f 0 0 f 0. Γι ποιες τιμές του R οι ριθμοί ( + ) 78, 8, με τη σειρά που δίνοντι είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου;. Αν β β γ γ ν ποδείξετε ότι β ή β. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i. ii.. Ν ποδείξετε ότι κι στη συνέχει ν λύσετε την εξίσωση + 86

29 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τ συστήμτ: i. ii. iii. +. Ν λύσετε τις νισώσεις: i. ( ) > ii. iii. 0 > 8 ( ) < 6. Ν ποδείξετε ότι > 6 7. Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε, β > 0 με β ισχύει: β β > β β 9 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i. + ii Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο στο Α ν ποδείξετε ότι: γ + γ γ γ ( + β, β ) +β β +β β. β Αν γ γ, ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου ( 0 <, β, > 0) θ, θ κι γ, θ. β θ είνι γ. Αν ριθμοί, β, γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν ποδείξετε ότι θ β θ θ ( 0 <, β, γ, θ, β γ) θ θ θ β γ γ. Ν ποδείξετε ότι κι στη συνέχει ν λύσετε την εξίσωση. ( ) 6. π Ν λύσετε στο 0, την εξίσωση: + ημ + συν ημ συν 0 87

30 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. π ημ συν Ν λύσετε στο 0, την εξίσωση: ( εφ) ( σφ). 8. Ν λύσετε την νίσωση: > 0. 88