ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE Viša (A) razina. Zadaci i rješenja sa nacionalnih ispita i državnih matura

Transcript

1 SŠ AMBROZA HARAČIĆA MALI LOŠINJ ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE Viša (A) razina Zadaci i rješenja sa nacionalnih ispita i državnih matura Prikupio i obradio: Ivan Brzović,prof. Mali Lošinj,rujan 0.

2 SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RAČUNSKE OPERACIJE Koja je vrijednost izraza? 8 : A. B. C. 5 D. 7. Koja je od navedenih tvrdnji istinita? A..5 Z B. Q C. R D. π N. Jedan gigabajt ima 04 megabajta. Na CD stane 700 megabajta podataka. Koliko je najmanje CD-a potrebno da bi se pohranilo 6 gigabajta podataka? A. 6 B. 7 C. 8 D Od maturanata jedne škole tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom. Od onih koji prolaze odličnim uspjehom četvrtina ima odličnu ocjenu iz Matematike. Koliko ih prolazi odličnim uspjehom, ali nemaju odličnu ocjenu iz Matematike? A. 7 B. C. 6 D Lucija je na prvoj zadaći osvojila 64 boda, na drugoj 76, a na trećoj 9 bod. Koliko je bodova Lucija postigla na sljedećoj zadaći ako joj se prosjek bodova, u odnosu na prosjek prvih triju zadaća, povećao za boda? A. 88 B. 89 C. 90 D Aritmetička sredina 6 različitih prirodnih brojeva je 6. Koju najveću moguću vrijednost može imati neki od tih brojeva? A. 0 B. C. D.. Izračunajte: : Izračunajte vrijednost izraza: RJEŠENJA:. C.C. D 4. C 5. B 6. B

3 POSTOTCI. Plin je poskupio 5%. Koliko treba pojeftiniti da bi mu krajnja cijena bila 5.5 % veća od cijene prije poskupljenja? A % B. 8.6 % C % D %. Cijena iznajmljivanja bicikla je najprije povećana 5 % pa snižena %. Što treba učiniti s cijenom da postane jednaka početnoj? A. povećati je % B. sniziti je % C. povećati je.56 % D. sniziti je.56 %. U plesnu se grupu upisalo 0 učenika. Mladići čine 0% grupe. Naknadno su se upisale djevojke i 8 mladića. Koliki je sada postotak mladića u plesnoj grupi? A. 0% B. 8% C. 0% D. 8% 4. Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži % vode. Koliko vode treba uliti u kg kupljene zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 8% vode u zemlji? A. 6 g =.6 dl B. 6 g =.6 dl C. 46 g =.46 dl D. 56 g =.56 dl Povećanje troškova života u travnju u odnosu na ožujak je 4.%, a u svibnju u odnosu na travanj je.5%. Koliki je postotak povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak? Odgovor: % Povećanje troškova života u listopadu u odnosu na rujan je.8%. Za koliko bi se posto morali smanjiti troškovi života u studenome da bi se vratili na stanje u rujnu? Odgovor: %. U voćnjaku je ubrano 960 kg jabuka. Za potrebe je domaćinstva ostavljeno.5% uroda. Domu za nezbrinutu djecu darovano je 5% preostaloga uroda, a ostatak je prodan po cijeni od 5 kn za kilogram... Koliko je kilograma jabuka darovano domu za nezbrinutu djecu? Odgovor: kg.. Koliko je kuna dobiveno za prodane jabuke? Odgovor: kn

4 . U školi je 750 učenika. U zadnjem tjednu prvoga polugodišta.6% učenika se razboljelo, a od razboljelih je imalo gripu. 9.. Koliko je učenika imalo gripu? Odgovor:.. Trećina učenika koja se razboljela, a nije imala gripu i polovica učenika koja je imala gripu nije došla u školu zadnji dan. Koliko posto učenika nije došlo u školu zadnji dan polugodišta? Odgovor: % 4. Kod plaćanja nekoga proizvoda na njegovu osnovnu cijenu dodaje se % PDV-a. 4.. Osnovna cijena proizvoda je kn. Kolika mu je cijena kod plaćanja? Odgovor: kn 4.. Čokoladu smo platili 6.00 kn. Koliko je od toga iznos PDV-a? Odgovor: kn RJEŠENJA:. B. C. C 4. C (0.8(000+x)=40+x).a) 7.847% b).66%.. 6 kg kn % kn 4... kn MJERNE JEDINICE. Svjetski rekord u trčanju na 00 m je 9.58 s. Koliko je to km/h?. Pretvorite dana 5 sati minuta i sekundi u minute? RJEŠENJA: km/h. 9. min

5 OMJERI. U 00 ml sirupa za snižavanje temperature sadržano je.4 g paracetamola. Koliko miligrama paracetamola ima u 5 ml sirupa? A. mg B. 4 mg C. 0 mg D. 40 mg. Iva i Matej dijele iznos od kn u omjeru :5. Koliko je kuna Iva dobila manje od Mateja? A. 6 kn B kn C. 6 6 kn D kn. Od 4 kg vune može se satkati 40 m tkanine širine 0 cm. Koliko je kilograma vune potrebno za 6 m tkanine širine 60 cm? A. 0.8 kg B. 6 kg C. 8 kg D. 8.8 kg 4. Od 8.8 kg konca može se satkati 6 m platna širine 60 cm. Koliko je kilograma konca potrebno za 40 m platna širine 0 cm? A. 0.8 kg B. 4 kg C. 6. kg D. 8 kg Ida i Petar dijele iznos od kn u omjeru 7:5. Koliko je kuna Ida dobila više od Petra? Odgovor: kn RJEŠENJA:. C. C. D 4. B kn 4

6 POTENCIJE. U jednoj tableti je dobrih bakterija.dijete od 0 godina smije popiti najviše dvije takve tablete tri puta na dan. Koliko najviše tih dobrih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednom danu? A B C D Jedna astronomska jedinica iznosi.49 0 m. To je : A. 49 milijardi km B. 4.9 milijardi km C. 49 milijuna km D. 4.9 milijuna km. 5 n - n+ jednako je : A. n B. 4 n C. 8 n D. n 4. Koji od navedenih brojeva nije jednak? A. ( ) B Koja je vrijednost razlomka ? C. 7 D. - A. 0-9 B. 0-7 C. 0-6 D Masa Jupitera približno je jednaka 0 7 kg, a masa Zemlje kg. Masa Zemlje je : A. 0.0% mase Jupitera B. 0.% mase Jupitera C. % mase Jupitera D..% mase Jupitera 7. Koliko je m izraženo u cm? A. 9.5 cm B. 9.5 cm C. 95 cm D. 950 cm Pojednostavite : x y x = y. Izračunajte : = 5

7 . Napišite neki ureñeni par realnih brojeva (a,b) tako da bude 0 a =b-? 4. Izraz 8 5a+ napišite kao potenciju s bazom. Odgovor: RJEŠENJA:. D. C. A 4. B 5. B 6. B 7. B. x npr. (0,4) 4. 5a+6 6

8 ALGEBARSKI IZRAZI.POLINOMI. Skraćivanje izraza a A. 4 a 9 (a 4) 4 a B. a + dobivamo : C. a D. a. Ako je x+y=, koliko je x +4xy+4y +7 A. 8 B. 96 C. 64 D. 49. Skraćivanjem izraza x 0x x dobivamo : A. - B. 0x C. 4. Za sve realne brojeve x i y vrijedi: x + 5 D. 5 x x 5 x + 5 Α. y x= (x+y) Β. y x= (x y) C. y x= ( y x) D. y x= (y x) a 9a 44 6 a + : = 6 + a 6a + 48 A. + (a a 4) a 4 B. + + (a a 4) a 4 C. (a ) a + D. (a + ) a 6. Koja je vrijednost izraza : + : a a a a 7. A. a a B. a a x x : = x + x x + x + C. a a D. a a A. B. x x x y 8. Razlomak jednak je : x y + x y + C. x x + D. + x x A. - B. + xy xy C. xy D. xy xy 7

9 9. Što je rezultat sreñivanja izraza A. a + a + 5 a B. a a + 5 a 0. Koji je rezultat sreñivanja izraza a a a : a a a a C. 5 a a + a + 9 x + D. 8 x x 7 : x + 6 ( x ) za a 0, 5 a a a + za x ±? A. x. Ako je P=6 i ako je B. x x C. 4 a + c P = v, tada je a+c jednako : D. x 4 A. v B. v C. -v D. -v. Odredite h iz formule S = r π (r + h) A. S h = r rπ B. S h = + r rπ C. rπ h = r S D. rπ h = + r S. Ako je x = + onda je: A. x +x-=0 B. x -x+=0 C. x -x+=0 D. x +x-=0 4. Što je od navedenoga točno za broj a =+ 5? A. a + a + 4 = 0 B. a + a 4 = 0 C. a a + 4 = 0 D. a a 4 = 0 5. Koji je rezultat sreñivanja izraza A. ( a ) 4 4a 6a + : a + B. ( a ) ( a + ) 6. Što je rezultat sreñivanja izraza A. d ( ) d d B. 7. Ako je s s A. a = B. t ( + ) d d 4 = at, čemu je jednako a? ( a ) a + C. ( ) a d 8d d 4 za a ±? D. d + :,za d -,0,? C. s a = C. t ( + ) d d D. t a = D. a s a + a d ( ) d 4 t = s 8

10 8. Koji je rezultat sreñivanja izraza A. ( + ) t t B. ( ) t t t t t 4 + : t t + t t + t + C. c 9. Čemu je jednak b ako je k =? a + b c ak ak c A. b = B. b = C. k k ( + ) t t k b = D. c ak D. t ( t ),gdje je t ±? k b = ak c n + 0. Koliko ima cijelih brojeva n za koje je razlomak cijeli broj? n A. B. C. 5 D. 7. Što je rezultat sreñivanja izraza za sve a,b za koje je izraz definiran? ( + ) ( a b) 4 a b a b + a b a + b a + b ( a + b ) A. ( a b) B. a + b ( a b ) C. ( a + b) ( a + b D. ) a b x x + x. Izračunajte : : x + x x 4. Popunite : ( + ) = + +4x. Izrazite a iz jednakosti p=ab+(a+b)v s + r 4. Odredite s ako je t = (s r,t ) s r s= abc 5. Čemu je jednako b ako je P = 4R RJEŠENJA:. D. A.D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 0. D. B. A. D 4.D 5. A 6. C 7. B 8. A 9. A 0. B. A. -8. (+x) =9+x+4x. P bv a = b + v 4. ( + ) r t s = t 5. 4PR b = ac 9

11 LINEARNE JEDNADŽBE. Marija je visoka m cm, a Nives n cm. Izrazom n=m+ 0.5m opisano je: A. Nives je viša od Marije za 0.5 cm B. Nives je viša od Marije za 5% C. Marija je viša od Nives za 5 cm D. Marija je viša od Nives za 0.5%. Koji izraz predočava tvrdnju: Broj a pri dijeljenju sa 7 daje količnik b i ostatak 5. A. a = 7b 5 B. a = 7b + 5 C. 7a = b + 5 D. 7a = b 5. Koje je rješenje jednadžbe x x ( x ) ( x ) = +? A. B. C. D Kompozicija teretnoga vlaka duga je 779 m i sastoji se od lokomotive, vagona cisterni i vagona hladnjača. Vagon hladnjače je za 5 m kraći od vagona cisterne. Lokomotiva je duga koliko su dugi vagon cisterne i vagon hladnjače zajedno. Razmak izmeñu lokomotive i prvoga vagona jednak je razmaku izmeñu vagona i iznosi m. Kompozicija ima 40 vagona cisterni i 0 vagona hladnjača. Kolika je duljina lokomotive? A. 6 m B. 7 m C. 8 m D. 9 m Riješite jednadžbu : (x-4)(+x)=+(x-)?. Riješite jednadžbu : x = x + 5?. Riješite jednadžbu (x-):(x-)=(x+):(x-4)? 4. U trima paketima različitih masa stiglo je 64.kg naranči. Masa drugoga paketa jednaka je 4 7 mase prvoga paketa,a masa trećega paketa je mase drugoga paketa a)koliki je postotak naranči u trećem paketu u odnosu na prvi paket? b)kolika je masa drugoga paketa? 5. Riješite jednadžbu (4-x)(+x)=-(x-)? 6. Riješite jednadžbu x 4x + = +? Odgovor: x = 0

12 7. Odreñenu količinu šećera treba spremiti u pripremljene pakete. Stavi li se u svaki paket 8 kg šećera, ostat će 0 praznih paketa. Ako se u svaki paket stavi 4 kg šećera, ostat će 80 kg šećera koji nije spakiran. a) Koliko paketa imamo na raspolaganju? Odgovor: b) Kolika je ukupna količina šećera? Odgovor: kg 8. Riješite jednadžbu x x = 5 + Odgovor: x = 9. Riješite jednadžbu : ( x ) = ( x 5) 5 4 Odgovor: x = 0. Riješite jednadžbu 5 x = 4 x + Odgovor: x =? RJEŠENJA:. B. B. B 4. D 5. x=4.4. x=-.75. x = 4.a) 4% b) 4 kg 5. x=4 6. x= a) 90 7.b) 440 kg 8. x=- 9. x=- 0. x=-5

13 UREĐAJ NA SKUPU R. Koliko cijelih brojeva zadovoljava uvjet : 4 x + 5 < 8 A. B. 4 C. 5 D. 8. Zbroj rješenja jednadžbe x = 5 iznosi : A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 x + 5. Koliko cijelih brojeva zadovoljava uvjet : < 4 A. B. 4 C. 5 D Koliko se cijelih brojeva nalazi u intervalu 7,? A. četiri B. pet C. šest D. sedam 5. Jednadžba k+5x+=0 ima negativno rješenje za realne brojeve k za koje vrijedi : A. k > B. k < C. k < D. k > 6. Neka je n 9 prirodan broj.u ovisnosti o n odredite koji je od sljedećih brojeva najveći: A. 9 n B. n 9 C. n + 9 D. 9 n 7. Tvrdnja: Realni broj x udaljen je od broja za 5 zapisuje se izrazom. A. x- =5 B. x+ =5 C. x+5 = D. x-5 = 8. Koliko je a b, ako je a < b? A. a b B. a + b C. a - b D. a + b 9. Interval, podskup je skupa realnih brojeva. Što od navedenoga vrijedi za elemente x toga intervala? A. < x B. x < C. x {,,0,,,,4,...,} D. x {.9,.8,...,0.8,0.9,}

14 0. Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadžbama x ili x >? A., B. R \, C. {,,0,, } D.,, Riješite nejednadžbu : x(x-) > 0?. Riješite nejednadžbu : x + x > 0?. Napišite oba rješenja jednadžbe x 5 =? 4 x > 4. Riješite sustav: x Rješenja zapišite pomoću intervala? 5. Riješite nejednadžbu x >. Rješenja zapišite koristeći intervale? 6. Riješite jednadžbu x =? x x > 7. Riješite sustav ( x + 5) 6x Odgovor: i rješenje zapišite s pomoću intervala. RJEŠENJA:. B. A. B 4. B 5. D 6. C 7. A 8. B 9. A 0.D. x,0, +. x > i x 0. x =- ; x = x<- i x>5 6. x = x = 7. x, 4 5 x,

15 KOORDINATNI SUSTAV.VEKTORI r r r. Za vektore a,b, c sa slike vrijedi: r r r A. a + b + c = 0 r r r B. a + b c = 0 r r r C. a b + c = 0 r r r D. a b c = 0 uuur. Odredite vektor AB r ur A. i 4j r ur C. i 4j r ur B. 4i j r ur D. 4i + j. Opseg jednakostraničnog trokuta ABC, gdje je A(,6),B(7,),C(5+,4+ ) jednak je : A. 88 B. 9 C. 4 D POTRES U koordinatnome sustavu ucrtane su tri seizmološke stanice A, B, C koje su registrirale potres. Njihove koordinate zadane su u kilometrima. Epicentar potresa bio je na udaljenosti 9 km od stanice A,7 km od stanice B i 65 km od stanice C. Odredite koordinate epicentra potresa. RJEŠENJA:. D. A. A. (5,) 4

16 LINEARNA FUNKCIJA. Pravcu zadanom tablicom pripada točka: x 0 y - A. (-,-) B. (-,-4) C. (-,-5) D. (-,-6). Koja slika predočava graf funkcije f(x)= x+ + A. B. C. D.. Pri penjanju na neku planinu izmjereno je da na svakih 00 metara visine temperatura zraka pada za 0.7 C. Na vrhu planine temperatura je iznosila 4.8 C.Istodobno je bila 6 C pri tlu na 0 m nadmorske visine.kolika je visina te planine? A. 500 m B. 600 m C. 700 m D. 800 m 4. Pravac prolazi točkom T(,4) i siječe koordinatne osi u točkama s pozitivnim koordinatama.duljina odsječka na y-osi odnosi se prema duljini odsječka na x-osi kao :.Kako glasi jednadžba tog pravca? A. 5 y = x + 9 B. y = x + 9 C. 5 y = x + 6 D. y = x TURISTIČKI AUTOBUS Turistički autobus za razgledavanje grada uveo je novi način plaćanja karata.prvi putnik koji uñe u autobus plaća 8 kn,a svaki sljedeći kn manje. a) Koliko je svoju kartu platio osmi putnik? b) Odredite formulu C(n) za cijenu (u kunama) koju je platio n-ti putnik? c) Koji je po redu ušao putnik koji je platio kn? d) Koliki je najveći mogući broj putnika koji pri ulasku u autobus moraju platiti kartu? 5

17 . Zadan je pravac p kojem je jednadžba y = x 4 a) Nacrtajte pravac p u koordinatnom sustavu b) Odredite udaljenost izmeñu točaka u kojima pravac p siječe koordinatne osi? c) Odredite jednadžbu po volji odabranog pravca q koji u točki (,y) siječe pravac p?.kolač Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu od 55 C. Kad je uključena 0 minuta temperatura će joj biti 87. Pretpostavimo da temperatura pećnice linearno ovisi o vremenu. a) Odredite linearnu funkciju koja opisuje kako temperatura pećnice ovisi o vremenu. b) Kolika je temperatura pećnice nakon pola sata? c) Kolač treba staviti u pećnicu kada joj je temperatura 75. Koliko minuta nakon uključenja pećnice treba u nju staviti kolač (vrijeme zaokružite na cijeli broj)? 4.. Napišite jednadžbu pravca prikazanoga grafom. Odgovor: 4.. Izračunajte površinu trokuta kojega pravac zatvara s koordinatnim osima. Odgovor: P = 6

18 5. Ovisnost temperature T u ledenici i protekloga vremena t nakon uključenja dana je formulom T=-.t+.Temperatura T izražena je u 0 C,a vrijeme t u minutama. 5..Kolika je temperatura u ledenici nakon 0 minuta? 5..Ledenicu treba staviti na tihi rad nakon što temperatura u njoj padne na - C.Koliko vremena nakon uključenja treba ledenicu staviti na tihi rad?(vrijeme izrazite u minutama i sekundama)? 5..Koliko je dugo nakon uključivanja temperatura u ledenici bila iznad 0ºC?(Vrijeme izrazite u minutama i sekundama)? 6. Zadan je pravac y = x Odredite udaljenost ishodišta od zadanoga pravca. Odgovor: 6.. Odredite pravac koji prolazi točkom (4,0) i usporedan je sa zadanim pravcem. Odgovor: 7. Kabelska televizija započela je s radom. Pokazalo se da su prve godine rada broj njezinih korisnika K i broj mjeseci t od početka emitiranja povezani formulom ( ) t +. K = t Koliki je broj korisnika bio u trenutku početka rada ove kabelske televizije? Odgovor: 7.. Nakon koliko je mjeseci broj korisnika bio ? Odgovor: 7.. Napišite formulu ovisnosti broja mjeseci o broju korisnika. (Izrazite t pomoću K.) Odgovor: 8. Zadani su pravci y=-x+ i y=x. a)u koordinatnom sustavu nacrtajte oba pravca y = x + b) Koliko rješenja ima sustav jednadžbi y = x 7

19 RJEŠENJA:. A. D. B 4. D.a) 6 kn b) C(n)=8-(n-) ili C(n)=86-n c) 8 d) 7.a).a) y = x + 5.b) 5 C.c) min..b) 0.c) npr. y = x y = x 4. 7 kv. jed C min. 0 sek min. 0 sek K 6.. y = x mjeseci 7.. t = K a) 8.b) jedno rješenje 8

20 SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI. U košari je 89 kuglica neke su male, a neke velike. Svaka mala kuglica teži g, a svaka velika 5 g. Ukupna težina kuglica u košari je 56 g. Koliko je malih kuglica u košari? A. 5 B. 6 C. 6 D. 5.Broj a je za veći od pozitivnog broja b. Njihov je omjer 5:. Tada je a jednak: A. B. 9 C. 5 D. ( a ) x y =. Sustav ima beskonačno mnogo rješenja ako je: 8x + y = 4 A. a=-5 B. a=- C. a= D. a=5 4. Dvije otopine,jedna 50%-tna i druga 5%-tna,miješaju se u omjeru 4:5.Kolika je postotna otopina tih mješavina? A. 0%-tna B. 5%-tna C. 0%-tna D. 5% -tna ZDRAVA PREHRANA Dnevna potreba odrasle osobe iznosi 50 g ugljikohidrata i 45 g bjelančevina. Kilogram hrane A ima 0 g ugljikohidrata i 60 g bjelančevina, dok kilogram hrane B ima 0 g ugljikohidrata i 0 g bjelančevina. Koliko kilograma hrane A i B treba konzumirati da se zadovolje dnevne potrebe ugljikohidrata i bjelančevina? Odgovor: Hrane A kg Hrane B kg. Za koji realni broj a sustav : 4x + y = x + ay = 5 nema rješenja?. Za koji realni broj a sustav : 4ax + y = 0 x + ay = 5 nema rješenja? 4. Marija je za sedamnaesti roñendan dobila na dar buket od 7 ruža, bijelih i crvenih. Cijena bijele ruže je 8 kn, a crvene 9 kn. Koliko je u buketu bilo crvenih, a koliko bijelih ruža ako je buket plaćen 4 kn? Odgovor: crvenih, bijelih 9

21 5. Škola je za odlazak svojih 708 učenika na izlet osigurala 5 autobusa. Neki su autobusi imali 5, a neki 4 sjedala. U svim autobusima sva sjedala bila su popunjena i na svakome je sjedio samo jedan učenik. 5.. Koliko je bilo autobusa s 5 sjedala? Odgovor: 5.. Koliko je ukupno učenika prevezeno autobusima s 4 sjedala? Odgovor: 6. Neka je a zadani realni broj. x + y = a U sustavu jednadžbi x + y + a = 0 (U rješenju će se pojaviti broj a.) Odgovor: y = 7. Neka je a zadani realni broj. x + y = a U sustavu jednadžbi x + y + 7 = 0 (U rješenju će se pojaviti broj a.) Odgovor: y = 8. Neka je a zadani realni broj. x + y = a U sustavu jednadžbi x + y = 0 (U rješenju će se pojaviti broj a.) Odgovor: x = odredite nepoznanicu y. odredite nepoznanicu y. odredite nepoznanicu x. 9. Neka je a zadani realni broj. x + 4y = a U sustavu jednadžbi x + y = 0 (U rješenju će se pojaviti broj a) Odgovor: x= odredite nepoznanicu x. 0. Izrazite z s pomoću y ako je Odgovor: z = ( ) 5 x y = 4 x = z + 8 RJEŠENJA:. B. C. C 4. B.A 0.4 kg B. kg. 9 a =. 4 a = 4. crvenih 6,bijelih y=-5a 7. y=-a-4 8. x=-a 9. x=-a 0. 4 z = y 6 5 0

22 SUKLADNOST I SLIČNOST. OMJERI. Ako je DE =.6, AC = 6 i CD =, tada je x = AB jednak: A. 7.5 B. 5. C. 5 D Pravci a i b su paralelni. Kolika je mjera kuta β? A. 4 o B. 4 o C. 56 o D. 88 o. Kolika je mjera označenoga kuta na slici? A. a = 4 B. a = 47 C. a = 86 D. ne može se odrediti 4. Duljine stranica trokuta su.5 cm, 0 cm i 8.5 cm. Razlika duljina najdulje i najkraće stranice njemu sličnoga trokuta iznosi 4.8 cm. Koliko iznosi duljina treće stranice (stranice srednje duljine) sličnoga trokuta? A. 8. cm B. 9 cm C. 0.8 cm D. cm 5. Duljine stranica trokuta iznose.5 cm, 0 cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu sličnoga trokuta iznosi 0 cm. Koliki je omjer površina zadanoga i njemu sličnoga trokuta? A. 0. B. 0.9 C. 0.6 D

23 6. Koja je od navedenih tvrdnja istinita? A. Bilo koja dva tupokutna trokuta su slična. B. Bilo koja dva pravokutna trokuta su slična. C. Bilo koja dva jednakostranična trokuta su slična. D. Bilo koja dva jednakokračna trokuta su slična Brod je privezan za obalu zategnutim konopom duljine.5 m. Jedan kraj konopa učvršćenje na obali na visini.4 m iznad razine mora, a drugi kraj na pramcu broda.9 m iznad razine mora. Ako konop potegnemo te se on skrati za 80 cm, za koliko se brod približi obali?. Pravokutan i jednakokračan trokut imaju zajednički vrh. a) Odredite mjeru drugoga šiljastoga kuta u pravokutnome trokutu na slici. b) Odredite mjeru kuta uz osnovicu jednakokračnoga trokuta ABC sa slike.. Kvadrat ABCD na skici ima stranice duljine 7 cm, a kvadrat BEFG stranice duljine 5 cm. a) Kolika je duljina dužine DE? Odgovor: cm b) Odredite omjer duljina dužina BH i HG. Odgovor: BH : HG = RJEŠENJA:. D. C. A 4. D 5. B 6. C. 64 cm.a) 6 b) 77.a) 9 b) 7:5

24 PITAGORIN POUČAK.OPSEZI I POVRŠINE. Na slikama su tri sukladna kvadrata s označenim polovištima stranica. Koji odnos vrijedi za površine P, Q, R osjenčanih likova? A. P < Q = R B. P < Q < R C. P = Q < R D. P = Q = R. Opseg paralelograma na slici je 80 cm. Površina mu je: A. 76 cm B. 44 cm C. 8 cm D. 84 cm. Duljine osnovica jednakokračnoga trapeza su 0 cm i 6 cm, a površina mu je. cm. Kolika je duljina kraka trapeza? A. 4 cm B. cm C. 7.4 cm D..6 cm 4. Opseg pravokutnika sa slike iznosi 54 cm. Koliko iznosi površina trokuta ABC? A. 45 cm B. 90 cm C. 5 cm D. 80 cm

25 5. Dužina AB ima duljinu 80 cm. Točka C je polovište dužine AB. Trokuti ACD i CBG su jednakokračni. Duljina visine iz vrha D na stranicu AC iznosi 0 cm, a visine iz vrha G na stranicu CB je cm.koliki je opseg trokuta GDC? A. 4( )cm B cm C. 0 cm D. 00 cm 6. Duljina osnovice jednakokračnoga trokuta je 0 cm, a kraka 4 cm. Kolika je duljina visine toga trokuta? Rezultat zaokružite na cijeli broj. A. 9 cm B. cm C. cm D. 5 cm. Odredite površinu lika ABCD sa slike, ako je osjenčani lik kvadrat: RJEŠENJA:. D. A. C 4. B 5.B 6. C cm 4

26 KRUŽNICA I KRUG.PRAVILNI POLIGONI. Odredite polumjer kružnice sa slike. A. 50 B. 8 C. D. 5. Promjer kružnice k hipotenuza je trokuta ABC. U trokut ABC upisana je kružnica k sa središtem M. Kolika je mjera kuta AMB? A. 0 o B. 5 o C. 0 o D. 5 o. Razlika mjera kutova α i β sa slike jednaka je: A. 98 B. 90 C. 6 D

27 . Polupravac CA je tangenta kružnice. a) Odredite mjeru kuta ABC b) Odredite mjeru kuta ASD..(4 boda) Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranoga kartona oblika kružnoga vijenca. Dimenzije jedne etikete su l =4.6 cm, l =.6 cm, d = 9.cm. Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnoga vijenca izrezan maksimalni broj etiketa? RJEŠENJA:. D. D. C.a) 44 b) cm 6

28 KOMPLEKSNI BROJEVI. Na kojoj je slici prikazan kompleksan broj -+i? A. B. C. D.. 6 4i + i jednako je : A. -5i B. 5+i C. -0i D. -0i. Svi brojevi koji imaju isti modul kao broj z=+i u koordinatnom sustavu nalaze se : A. u I.kvadrantu B. na imaginarnoj osi C. na realnoj osi D. na kružnici 4. Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnog broja 5+i je: A. 7 B. 5 C. 9 D. 5. U kompleksnoj ravnini zadan je broj z. Broj z jednak je: A. + i C i B. i D. 5 5 i 6. Ako je z=a+bi kompleksni broj koji nije 0, a z njemu konjugiran broj,tada je z z : A. imaginaran broj B. pozitivan realan broj C. negativan realan broj D. 0 7

29 7. Kompleksan broj + i i jednak je : A. i B. i C. i D. + i 8. Koliko iznosi modul (apsolutna vrijednost) kompleksnoga broja ( i) 6? A. 8 B. C. 8 D. 9. Koja je od navedenih tvrdnji istinita? A. Svaki kompleksan broj je ujedno i realan broj. B. Svaki racionalan broj je ujedno i cijeli broj. C. Svaki racionalan broj je ujedno i realan broj. D. Svaki kompleksan broj je ujedno i iracionalan broj. 0. Ako je z =+ 4i, koliko iznosi realni dio broja A. B. z z + z. Ako je z = i, koliko iznosi imaginarni dio broja z 6? C. D. 4 A. 6 B. 8 C. 8 D. 6.Koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede obje jednakosti z i =, z 4i =? A. 0 B. C. D Kompleksan broj (-+i) zapišite u obliku a+bi?. Broj (+i 007 ) zapišite u obliku a+bi?. Odredite a,b R tako da brojevi z=a-+(b+)i i w= a bi + budu konjugirano kompleksni? 4. Za kompleksan broj z=-+5i odredite z z. 5. Napišite 5 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni dijelovi različiti od 0? 8

30 6. Neka je z = + i. Koliko je ( ) 4 iz z? Odgovor: 7. Zadani su kompleksni brojevi z = i i z = i. Koliki je realni dio kompleksnoga broja koji je rezultat dijeljenja broja z brojem z? 8.Zadani su kompleksni brojevi z ( a 5)( i ) = + i Odredite b tako da brojevi z i z budu jednaki? z = bi,za a, b R. RJEŠENJA:. C. A. D 4. C 5. D 6. B 7. B 8. C 9. C 0. B. C. B. -i. -i. a=4, b= npr. +i i -i 6. 4 = b= 4 9

31 KVADRATNA JEDNADŽBA. Zbroj rješenja jednadžbe ( ) x = 0 je: A. -6 B. - C. D. 6. Ako je x = jedno rješenje jednadžbe (x-m) (x+5)=0, tada je m jednako : A. - B. - C. D.. Ako je jedno rješenje jednadžbe x +mx-=0 jednako tada je m jednako : A. 4 B. 5 C. D Računala u jednoj učionici meñusobno su povezana optičkim linijama. Ukupan ( ) n n broj optičkih linija odreñen je funkcijom l(n) = + n gdje je n broj računala u učionici. Ako je ukupan broj linija 8, tada je broj računala u učionici jednak : A. -8 B. -7 C. 7 D. 8 x k + x + k + = 0 9 ima samo jedno (dvostruko) rješenje. Zbroj tih parametara jednak je : 5. Za neke realne parametre k kvadratna jednadžba ( ) A. B. C. D Koja od navedenih tvrdnji vrijedi za kvadratnu jednadžbu 4x - x +9=0? A. Jednadžba ima dva (različita) realna rješenja. B. Jednadžba ima samo jedno (dvostruko) realno rješenje. C. Jednadžba nema realnih rješenja. D. Jednadžba se ne može riješiti. 7. Jednadžba x -x+k=0 ima samo jedno rješenje ako je : A. 6-4k=0 B. 6+8k=0 C. 9+4k=0 D. 9-8k=0 8. Jednadžba x +bx-0=0 ima rješenja x=- i x=5. Tada je b jednako : A. 9 B. 9 C. D

32 9. Ako su i 5 rješenja jednadžbe 5x + kx = 0, koliko je k? A. k = B. k = C. k = D. k = 0. Ako je - jedno rješenje jednadžbe 6x +6x+k=0,koliko je k? A. k=-56 B. k=-8 C. k=8 D. k=56. Koliko iznosi zbroj rješenja jednadžbe (x + 5) 7(x + 5) + 7(x + 5) = 0? 5 A. B. C. D Odredite vrijednost realnog broja k tako da rješenja jednadžbe x +(k-)x-5=0 budu suprotni brojevi.. Zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta je 70 cm, a površina mu je 08 cm. Odredite duljine stranica trokuta?. Opseg pravokutnika je 5 cm, a površina mu je 4 cm. Odredite duljine njegovih stranica? 4. Riješite jednadžbu t -t=? 5. Riješite jednadžbu x(x-)=0? 6.Riješite jednadžbu: x -5x+=0? 7. Odredite zbroj rješenja jednadžbe x + x 6 = Kvadratna jednadžba x + bx + c = 0 ima dvostruko rješenje x =x =-5. Koliki je koeficijent b te kvadratne jednadžbe? Odgovor: b = 9. Odredite sva tri rješenja jednadžbe x + ax x a = 0. Odgovor: x =, x =, x = RJEŠENJA:. C. C. C 4. D 5. B 6. B 7. D 8. D 9. A 0. C. D. k=.,8 i i.5 4. t =- t = 5. x =0 x = 6. x = x = 7. x +x =- 8. b=0 9. x = a,x =,x =

33 KVADRATNA FUNKCIJA. Pravac y=x+ i parabola y=x -6x+7 sijeku se u točkama: A. (,),(6,7) B. (,),(7,6) C. (,),(,4) D. (,),(4,). Funkcija f(x)=-x +bx+c ima nultočke i 7. Maksimalna vrijednost funkcije je: A. -9 B. 4 C. 9 D.. Funkcija f(x)=x + ima : A. nula nultočaka B. jednu nultočku C. dvije nultočke D. tri nultočke 4. Na slikama su grafovi funkcija f(x)=ax +bx+c. Za koju od njih vrijedi : a je pozitivan diskriminanta je negativna A. B. C. D. 5. Na kojoj je slici prikazan graf funkcije f(x)=-(x+)(x-)? A. B. C. D. 6. Koja od navedenih funkcija nema niti jednu nultočku? A. f(x)=(x-) B. f(x)=(x-) + C. f(x)=(x-) - D. f(x)=(x-)(x-) 7. Skup,, + je rješenje nejednadžbe : A. (x-)(x+)>0 B. (x+)(x-)>0 C. -(x-)(x+)>0 D. -(x+)(x-)>0

34 8. Funkcija f(x)=ax +c prikazana je grafom na slici. Koeficijent a jednak je. A. - B. C. 9. Putanja lopte opisana je funkcijom h(x) = x + x +,gdje je h visina lopte iznad 00 5 zemlje, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Veličine h i x izražene su u metrima.visina najvišeg položaja iznad zemlje je: A. 4.5 m B. 5m C. 9m D. 0m D. 0. Visina na kojoj se nalazi projektil t sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom h(t)=-(t-) +0 ( h je izraženo u metrima). Koliko će sekundi projektil biti na visini iznad 8 m? A. 4 B. 0 C. 6 D.. Za x = 4 funkcija f(x)=x +bx+c postiže najmanju vrijednost jednaku 9. Koliki je c? A. 8 B. 7 C. 7 D Odredite koordinate tjemena grafa funkcije f(x)=x +x-8 i sjecišta grafa s koordinatnim osima.nacrtajte graf funkcije. Tjeme: Sjecište s: osi x: osi y:

35 . Na nogometnoj utakmici vratar ispucava loptu.putanja lopte opisana je funkcijom h(x)= -0.05x +0.64x gdje je h visina lopte iznad zemlje,a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja.veličine h ix su izražene u metrima a) Na kojoj je visini lopta kad je njena horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja 5 m? b) Na kojoj udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta padne na zemlju? c) Koju najveću visinu lopta postiže?. Napišite neku kvadratnu funkciju čiji graf prolazi točkom (,)? 4. Odredite drugu nultočku funkcije f(x)=a(x-) + ako je jedna nultočka -? Koje su koordinate tjemena? 5. Riješite nejednadžbu: x +x? 6. Zadana je funkcija f(x)=ax +x-4.5 a) Odredite sjecište grafa funkcije s y-osi? b) Najveća vrijednost te funkcije jednaka je -.Odredite a? 7. Nacrtajte grafove funkcija u zadanom koordinatnom sustavu: a)f(x)=x - b) g(x)= x - 4

36 8. 9. Na slici je prikazan graf kvadratne funkcije f(x)=ax +bx+c. Odredite koeficijente a,b i c? 0. Odredite nultočke,tjeme i nacrtajte graf funkcije f(x)=x -6x+.5?. Riješite nejednadžbu x + 7x + 0. Rješenje zapišite pomoću intervala.. Riješite nejednadžbu -x +x-5 0. Rješenje zapišite pomoću intervala? 5

37 . Projektil je koso ispaljen iz točke na nadmorskoj visini od 50m i kreće se po paraboli. Nakon km postiže nadmorsku visinu od 60 m.nakon sljedeća km nalazi se na nadmorskoj visini od 50 m. U trenutku kada projektil dostiže svoju maksimalnu visinu,500 m iznad njega leti helikopter. Na kojoj se nadmorskoj visini u tom trenutku nalazi helikopter? 4. Riješite nejednadžbu : x(x-)>0 5. Temperatura T (u O C) u stakleniku t sati nakon početka sumraka dana je formulom T(t)= t 5t + 0,0 t. Uzima se da sumrak počinje u 9:00 sati Kolika je temperatura bila u :00 sat? Odgovor: oc 5.. U koliko je sati temperatura bila minimalna? Odgovor: 5.. Koliko je iznosila minimalna temperatura u stakleniku? Odgovor: oc 6. Riješite nejednadžbu x -4 >0? 7. Riješite nejednadžbu x -5x+<0 y = x + 9.Riješite sustav y = x 4 Rješenja sustava zapišite kao ureñene parove (x,y)? 8. DIJAGONALE Ukupan broj dijagonala konveksnoga n-terokuta dan je n(n ) formulom d(n) =.Za konveksne mnogokute odredite: a) ukupan broj dijagonala 0-erokuta b) n-terokut u kojem je ukupan broj dijagonala jednak 9 c) za koje je sve vrijednosti prirodnog broja n broj dijagonala konveksnoga n-terokuta manji od 50? 0. Riješite nejednadžbu x 8x +5 < 0. Rješenje zapišite pomoću intervala. Odgovor:. Riješite nejednadžbu x 5x + 6 < 0. Rješenje zapišite pomoću intervala.. Odredite sve vrijednosti realnoga parametra k za koje funkcija ima vrijednosti manje od 5. f(x) = x kx + x + x + 6

38 . Riješite nejednadžbu x +x - < 0. Rješenje zapišite pomoću intervala? 4. Riješite nejednadžbu x > 7x + 4 i rješenje zapišite s pomoću intervala. Odgovor: 5. Nacrtajte graf funkcije f (x) = x + x. RJEŠENJA:. A. C. A 4. C 5. C 6. B 7. B 8. B 9. B 0. C. C.. a) 6.5 m. b) 4,66 m. c) 6.8 m. npr. f(x)=x + 4. druga n.t. (7,0) tjeme (,) 5. x, 6.a) (0,-4.5) b) 9 a = a) s(t)=-5t +0t+40 8.b) 45 m 8.c) 4 s 9. 8.d) 5 m a = x, 4, + b =. x,5 c =. 55 m 4. x,0, + 7

39 5.. C h C 6. x,, + 7. x, 8.a) 5 b) 7-terokut c) 9. (-,0) i (,5) 0. x,5. x,. k,. x, x, 4, + 8

40 TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA. U pravokutnom trokutu sa slike je b=0 cm a za kut α vrijedi : sinα =, cosα =, tgα = Kateta a jednaka je: A cm B. cm C cm D cm. Na slici je prikazan pravokutan trokut DEF.Kolika je duljina stranice DE? A cm B. 6.7 cm C cm D cm ZMAJ Koliko m tamnoga papira je potrebno za izradbu zmaja (vidite skicu)? 9

41 . NIZ BRDO,UZ BRDO Odmorišta A i B nalaze se na dvama susjednim brežuljcima.put izmeñu njih prikazan je na slici: Koliki put treba prijeći da bi se iz mjesta A stiglo do mjesta B (zaokružite rezultat na cijeli broj metara)?. U trokutu sa slike BC =4 cm. Odredite površinu osjenčanog trokuta ADC? 4. Uzletno slijetna staza (USS) duga je 400 metara. Mlazni avion stoji na stazi udaljen 50 m od njezinoga početka. Avionu je potrebno 450 metara za zalet na tlu prije nego što se odvoji od zemlje. a) Koliki će dio uzletno slijetne staze avion preletjeti? b) Nakon polijetanja na kraju USS avion se nalazi na visini 00 metara iznad zemlje. Odredite kut uzlijetanja pod pretpostavkom da je konstantan sve dok se avion nalazi iznad USS.(Mjeru kuta izrazite u stupnjevima,minutama i sekundama)? 5. Na planparalelnu staklenu ploču debljine d=40 mm pada zraka svjetlosti pod kutom prema okomici 0 α = 60.Indeks loma n iznosi. Koliki je paralelni pomak p zrake svjetlosti? Napomena : Zraka svjetlosti lomi se pod kutom prema okomici β i izlazi iz ploče pod kutom prema okomici α. sinα Indeks loma definiran je jednakošću n = sin β 40

42 6. Zadan je pravokutni trokut duljine hipotenuze 7.5 cm. Izračunajte na decimale duljinu katete nasuprot kuta α =50. Odgovor: cm RJEŠENJA:. C. A m m..4 cm 4.a) 800 m b) 6 0' 5" mm cm 4

43 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE. Iracionalno rješenje jednadžbe 7 x 4 x = jednako je: A. log B. log C. log 4 D. log 4. Koliki je umnožak rješenja jednadžbe 7 x 4 x = : A. B. 6 C. log 6 D. log 9. Ako je log a x= s i log a y x =t, onda je log = a y A. s t B. s t C. s D. t 4. Ako je log a x= s i log a y x =t, onda je log = a y t s A. s B. s t t t C. s D. s t x 9 5. Zbroj svih cjelobrojnih rješenja nejednadžbe + < 0 jednak je : x A. 4 B. 5 C. 6 D n - n+ jednako je : A. n B. 4 n C. 8 n D. n 7. log 5+log 4= A. log 9 B. log C. D Rješenje jednadžbe 5 9 x+ =5 nalazi se u intervalu: A., B., C., D., 9. Izraz log 4a+log a jednak je : A. +log a B. a+ C. 4+log a D. 4a+ 4

44 0. Svemirska sonda putuje prema planeti udaljenoj km od Zemlje. Nakon što je prošla četvrtinu puta, izgubila je vezu s bazom na Zemlji. Veza je ponovno uspostavljena na udaljenosti. 0 9 km od Zemlje. Koliko je kilometara sonda preletjela bez kontakta s bazom? A. 0 8 km B. 0 7 km C. 0 km D. km x +. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe 5 + = 6? 5 A. B. C. D. 0. Za neki realni broj x vrijedi da je x + log x =.Koliko je tada log 9 x A. B. C. D. 4?. Čemu je jednako 4 log x +? A. x- B. x+ C. ( ) + x + D. ( x + ) 4. Koji od ponuñenih brojeva pripada skupu rješenja nejednadžbe 0.5 > 4 x x A..5 B..5 C..5 D Na kojoj je slici prikazan graf funkcije f(x) = x? A. B. C. D. 6. Koja od sljedećih jednadžba ima rješenje u skupu cijelih brojeva? A. x + x + = 0 B. x = C. x+ 5 = 8 D. log x = 7 7. Koja od sljedećih jednadžbi ima rješenje u skupu prirodnih brojeva? A. (x + )(x + 5) = 0 B. x = C. x+ = 4 D. log(x ) = 4

45 8. Prema zakonu zaboravljanja, ako je neko gradivo naučeno s uspješnosti U 0, tada t mjeseci nakon toga uspješnost U rješavanja toga gradiva zadovoljava jednadžbu log U = logu 0 clog(t+), gdje je c konstanta koja ovisi o vrsti gradiva. Uspješnost U mjeri se brojem postignutih bodova na ispitu. Tin je na ispitu iz Matematike postigao 8 boda. Nakon godinu dana ponovno piše ispit koji provjerava isto gradivo. Koliko bi bodova prema zakonu zaboravljanja postigao ako je c = 0.? A. 8 B. 44 C. 59 D Na kojoj je slici prikazan graf funkcije f (x) = x? A. B. C. D. 0. Ako je log a = x i log y =, koliko je a log 4? a A. + x B. + y C. x + y D. x + y. Po nekome biološkome modelu veza broja vrsta V koje žive na nekoj površini P i te površine dana je formulom logv = log c + k log P, gdje su c i k pozitivne konstante koje ovise o vrstama i staništu. Za neki je otok k = 0.. Ako je 50% površine otoka izgorjelo, koliki se postotak broja vrsta očekuje da će ostati na tome području? A. 8.7% B. 44.% C % D. 8.4%. Koja od navedenih jednadžbi ima barem jedno negativno rješenje? A. x 6x = 0 B. x 5 = 4 C. x + 4 = D. 5 = (x ) x(x + ) Riješite jednadžbu: x + 4 x+ - 4 x- = 5. Na slici je graf funkcije f(x)=log b x. Odredite b? 44

46 . Izračunajte : = Ulaganjem 000 kn u banku nakon n godina dobiva se kuna. 4.. Koliki je iznos na računu nakon 5 godina? Odgovor: kn 4.. Za koliko bi godina iznos od 000 kn narastao na kn? Odgovor: n 5. Izračunajte i rezultat napišite kao razlomak. 6. Riješite nejednadžbu log (x )+ log (x ). Rješenje zapišite pomoću intervala? x 9 7. Riješite jednadžbu + = 0 x 8. Riješite nejednadžbu 9. Izračunajte Riješite nejednadžbu x+ 8 4 i rezultat napišite kao razlomak. 5x 0.. Rješenje zapišite pomoću intervala. ( ) log 8x = + log x 5 5. Riješite sustav jednadžbi: y x = 5. Odgovor: x = y =. Riješite nejednadžbu log(x ) >. Odgovor: RJEŠENJA:. A. D. A 4. C 5. C 6. A 7. C 8. C 9. A 0. A. A. A. B 4. A 5. B 6. C 7. D 8. A 9. A 0. C. C. D. x =. b= (ili 5000) kn ,4 god x,5 7. x= x , x =,y=- 45

47 ., + POLIEDRI I ROTACIJSKA TIJELA. Osnovka (baza) uspravne četverostrane piramide je kvadrat. Duljina visine piramide je 8 cm. Mjera kuta izmeñu bočnoga brida i ravnine osnovke je 55. Odredite oplošje te piramide. A. 5.9 cm B cm C. 04. cm D. 4. cm. Puna metalna kocka brida a pretopljena je u kuglu. Koliki je promjer te kugle? A. 0.98a B..4a C..a D..64a. Bazen ima oblik kvadra dimenzija 5mx5mx.5m.Cijev koja puni bazen propušta 750 litara vode u minuti.za koliko će vremena bazen biti pun? A. za 5 sati i 50 minuta B. za 5 sati i 47.5 minuta C. za 9 sati i 7.5 minuta D. za 0 sati i 50 minuta 4. Na slici je prikazana mreža geometrijskoga tijela.koje je to tijelo? A. trostrana piramida B. trostrana prizma C. četverostrana piramida D. četverostrana prizma 5. Duljina prostorne dijagonale drvene kocke je 4 cm. Iz kocke je izrezan valjak najvećega mogućega obujma. Koliki je obujam toga valjka? A. 84 π cm B. 9 π cm C. 77π cm D. 56π cm 6. Zadana je pravilna četverostrana piramida kojoj duljine svih bridova iznose a cm. Kolika je mjera kuta izmeñu baze (osnovke) i strane (pobočke)? A. 5 5'5'' B. 45 7''' C '08'' D. 60 '06'' 7. Valjak je upisan u uspravnu pravilnu peterostranu prizmu kojoj su osnovni bridovi duljine 6 cm, a visina 8 cm. Koliki je obujam (volumen) valjka? 46

48 A cm B cm C cm D cm. KOVANICA OD 50 LIPA Slitina od koje se izrañuje kovanica od 50 lipa sastoji se od nikla i željeza. Omjer nikla prema željezu je :9. Masa kovanice od 50 lipa je.65 g, njezin promjer je 0.5 mm, a gustoća slitine je 6.9 g/cm. a) Koliko je grama željeza potrebno za izradbu jedne kovanice od 50 lipa? (Rezultat ne zaokružujte.) b) Odredite debljinu kovanice od 50 lipa. m (Gustoća slitine je omjer mase i obujma, ρ =.) V. U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija.5 cm cm cm. Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5%... Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda? Odgovor: cm.. Koliko se takvih oblika leda može napraviti od litre vode? (Napomena: litra = dm.). Metalna kugla ima obujam 88π cm. Koliki joj je polumjer? 4.Kuglu polumjera 5 cm treba pretopiti u valjak. Ako će polumjer baze valjka biti 4 cm, odredite visinu valjka zaokruživši rezultat na dvije decimale. 5.Metalnu kuglu obujma 6 π cm treba pretopiti u valjak. Odredite visinu valjka ako je polumjer baze valjka jednak polumjeru kugle. 6.Duljina osnovnog brida pravilne trostrane uspravne piramide jednaka je 4 cm, a pobočnog 7 cm. Odredite mjeru kuta koji pobočka zatvara s ravninom osnovke. Odgovor: o 7. Duljina hipotenuze pravokutnoga trokuta je 9 cm. Izračunajte obujam (volumen) stošca koji nastaje rotacijom toga trokuta oko katete duljine 4 cm. Odgovor: cm 8. Pčelar nakon vrcanja sprema med u posude od 50 litara. Napunio je 4 takve posude, a ostatak je stavio u petu posudu napunivši je 40%. (Napomena: litra je dm ) 8.. Koliko je kilograma meda pčelar dobio ako je specifična gustoća meda ρ =.4kg / dm (m = V ρ ) 8.. Koliko je pčelar zaradio prodavši sav med ako je cijena kilograma meda 5 kuna? 8.. Koliki je obujam (volumen) posude u koju stane točno kg meda? Odgovor: dm RJEŠENJA:. C. B. D 4. C 5. A 6.C 7. C.a).4675 g b).6 mm.. 0 cm cm cm 5. 4 cm ' 7" cm kg kn dm 47

49 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE. 6º6 = A. 6.º B. 6.6º C. 6.6º D. 6.7º. Apscise istaknutih točaka B,C,D,E na slici rješenja su jednadžbe: A. sinx-=0 B. sinx+=0 C. cosx-=0 D. cosx+=0. Mjere kutova trokuta su u omjeru :0 : 4. Najdulja stranica ima duljinu 0 cm. Kolika je tada duljina najkraće stranice zaokružena na jednu decimalu? A.. cm B..6 cm C..0 cm D..4 cm π 4. Ako je t, π i sint = 0.6, koliko je cos t? A. 0.8 B. 0.4 C. 0.4 D Mjera kuta je 6. Koliko je to radijana? A. 9 π 0 B. 0 π 9 C. 9 π 0 D. 0 π 9 6. Duljine stranice trokuta ABC su a = cm i c = 9 cm, a kut izmeñu njih je β = 8 7. Kolika je duljina stranice b? A. 4 cm B. 4.5 cm C. 5.5 cm D. 6 cm 7. U trokutu ABC sa slike omjer kutova je α : β : γ = : :. Za duljine stranica vrijedi a b = cm. Kolika je duljina najkraće stranice toga trokuta? A..9 cm B. 4. cm C cm D. 8.9 cm 48

50 8. Uz koji uvjet za realni broj m 0 jednadžba msin x = 0 ima rješenja? A. m R \{0} B. m R \ [,] C. m R \, D. m [,]\{0} 9. Koja od navedenih funkcija ima svojstvo da su joj na intervalu, sve vrijednosti pozitivne? A. f(x)=-4cosx+ B. f(x)=-4sin(x)+ C. f(x)=4sin(-x)+ D. f(x)=4cos(-x)+ 0. Koji je rezultat sreñivanja izraza : sin(5 π + x ) + tg(7 π x ) cos( π + x ) π za x + kπ, k Z? A. 0 B. C. -tgx D. tgx+. Mjera kuta je 7 π radijana. Koliko je to stupnjeva? 0 A. B. 6 C. 94 D. 6 π π. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe tg x = tg na intervalu 0,π? A. 7 π 6 B. 5 π C. 9 π 6 D. π. Mjere dvaju kutova trokuta su 6 i 75. Duljina najkraće stranice toga trokuta je 0 cm. Kolika je duljina najduže stranice toga trokuta? A.. cm B. 4. cm C. 5. cm D. 6.4 cm 4. Koliko rješenja ima jednadžba sin x = x? A. jedno B. tri C. pet D. sedam 5. U trokutu ABC stranica a je dvostruko dulja od stranice b. Mjera kuta α nasuprot stranice a je 74. Kolika je mjera kuta β nasuprot stranice b? A. 6 B. 8 4'6'' C. 7 D '5'' 6. Kojoj je od istaknutih točaka brojevne kružnice pridružen broj 65π 6? A. A B. B C. C D. D 49

51 .Na slici su prikazani grafovi trigonometrijskih funkcija f i g. a) Odredite funkcije f(x) i g(x)? b) Očitajte s grafa koliko rješenja ima jednadžba f(x)=g(x) na intervalu π,π. c) Za koje vrijednosti x na intervalu π, π vrijedi f(x)>g(x)? d) Na kojem skupu na intervalu π, π funkcija y=g(x) poprima negativne vrijednosti?. Zadana je funkcija f(x)= sin x π. a) Odredite amplitudu, nultočke i osnovni period funkcije b) Skicirajte graf funkcije na intervalu π,4π x π x π. Ispišite sva rješenja jednadžbe sin cos = ,6π? 4. Zadana je funkcija f(x)= sinx + cosx. a) Odredite amplitudu i osnovni period funkcije b) Skicirajte graf funkcije na intervalu π,π? iz intervala 50

52 5. Za koju vrijednost iz intervala 0,π funkcija f(x)=tg π x 4 nije definirana? 6. Na intervalu x 0,5π riješite nejednadžbu x π x π sin cos > 4 4 4? 7..Odredite 7π sin 4? 7.. Za 7π x = odredite vrijednost funkcije 4 f(x) = cosx sinx cos x +? 8.. Odredite amplitudu i period funkcije x f(x) = sin te sve nultočke iz intervala 0, 6π 8.. Na intervalu 0, 6π nacrtajte graf te funkcije 8.. Na brojevnoj kružnici označite sve točke E(t) za koje je sint = 8.4. Neka je sint=-0.6 i π t π,. Koliko je sin t? 8.5. Ako je tgx=a, izračunajte sinx + cosx sinx cosx? 5

53 9. Odredite rješenja jednadžbe cosx cos x = 0 iz intervala 0,π Odgovor: 0. U trokutu ABC je mjera kuta α = 0, AB =6 cm i AC =8cm. 0.. Izračunajte duljinu stranice BC. Odgovor: BC = cm 0.. Izračunajte mjeru kuta β pri vrhu B. Odgovor: β =. Za koju vrijednost iz intervala 0,π funkcija ( ) π f x = tg x nije definirana?. Odredite dva rješenja jednadžbe x π sin = 4 u intervalu 0,6π?. Dubravka i Ivana komuniciraju elektronskim ureñajem dometa 500 m. Dubravka stoji na mjestu, a Ivana hoda kako je prikazano na slici. Koliko metara Ivana može prijeći od trenutka uspostavljanja do trenutka prekida komunikacije Dubravka Ivana Odgovor: m 4. U trokutu ABC zadane su duljine stranica AB = cm, BC = 9 cm i mjera kuta ABC = Odredite površinu trokuta ABC. Odgovor: cm 4.. Odredite duljinu stranice AC i rezultat zaokružite na dvije decimale. Odgovor: AC = cm 5.. Pojednostavnite sin (960 +α ). 5

54 5.. Koje je rješenje jednadžbe sin(x π )sin(x + π ) = cos(x + π ) cos(x 4π ) π iz intervala, π? π π 6. Ako je α + β =,0 β i 4 sin β =, koliko je cosα? 7. Odredite opće rješenje trigonometrijske jednadžbe : cos x=sin 4 x+cos xsin x? 8. Odredite duljine dužina BD i AB sa slike. 9. Na planparalelnu staklenu ploču debljine d=40 mm pada zraka svjetlosti pod kutom prema okomici 0 α = 60.Indeks loma n iznosi. Koliki je paralelni pomak p zrake svjetlosti? Napomena : Zraka svjetlosti lomi se pod kutom prema okomici β i izlazi iz ploče pod kutom prema okomici α. sinα Indeks loma definiran je jednakošću n = sin β 0. Čemu je jednako b ako je b c a = i cosϕ 0? cosϕ 5

55 . Odredite temeljni period funkcije Odgovor: Temeljni period je. πx π f(x) = sin 4. Kolika je maksimalna vrijednost funkcije g(x) = sin x + 9? Odgovor:. Slika prikazuje oblik zemljišta i neke njegove mjere... Izračunajte udaljenost točaka A i C. Odgovor: m.. Izračunajte mjeru kuta BAC. Odgovor:.. Kolika je površina zemljišta sa slike? Odgovor: m 4.. Na slici je prikazan kut AOB mjere α. Koliko je sin α? Odgovor: sin α = 4.. Koliki je temeljni period funkcije čiji je graf prikazan na slici? 54

56 4.. Odredite sva rješenja jednadžbe Odgovor: π cos x = sinx na intervalu 0,. 5. U trokutu ABC duljina stranice AB je cm, a mjera kuta u vrhu A je 5. Stranica BC je dvostruko dulja od stranice AC. Kolika je mjera kuta u vrhu B i duljina stranice AC? Odgovori: Mjera kuta u vrhu B je. Duljina stranice AC je cm. 6. Jednoga ljetnoga dana temperatura u pustinji mijenjala se prema formuli tπ 5π T(t) = 6cos +, gdje je t vrijeme od 0 do 4 sata,a T temperatura u C. 6.. Kolika je temperatura bila u 7 sati ujutro? Odgovor: C 6.. U koje je vrijeme poslijepodne temperatura bila 4 C? Odgovor: 6.. Kolika je bila najviša temperatura toga dana? Odgovor: C 7. Na slici je prikazan trokut ABC kojemu je AD jedna težišnica. Kolike su duljine dužina BD i AC? Odgovor: BD = cm AC = cm π 8.Odredite x 0,π za koji je cos + x =? 9. Grafom je zadana funkcija f (x) = Asin(x +C). Odredite A i C. 55

57 RJEŠENJA:. C. B. D 4. A 5. A 6. A 7. C 8. C 9. A 0. C. D. A. D 4. B 5. B 6. A.a) f(x)=cosx g(x)=cosx b) 5 c). π π, d) π, π π, π π 5π π,, 5. π, 7 π π 5π x, a + a 9. π 4π 0,, cm π 6. π,4π. 5.8 m cm cm 5.. sinα 5.. π 4 π π 6. cosα = 7. x = + k 8. BD =.6 AB = mm b = acosϕ + c m m π 4.. sin α = π π 4.., a) b) 4.9 cm C h4 min C 7. BD =. cm AC =.67cm 8. 5π x = 9. A=,C= 6 π 56

58 VEKTORI uuur r r uuur r r.kut meñu vektorima AB = i 4j i CD = i 4j jednak je: A. 6 5'6'' B. 90 C. 7 44''' D. 80 uuur. Odredite vektor AB? r ur A. i 4j r ur B. 4i j r ur C. i 4j r ur D. 4i + j r r r. Za vektore a,b, c sa slike vrijedi: r r r A. a + b + c = 0 r r r B. a + b c = 0 r r r C. a b + c = 0 r r r D. a b c = r uuur.. Zadane su točke A(,), B(,5) r. Odredite vektor a = AB kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i r i j Odgovor: r r r r i + j i 4j.. Odredite ( ) ( ) Odgovor: r r r r.. Odredite α tako da su vektori α i + j i i 4j okomiti. Odgovor: α =.U koordinatnome sustavu zadane su točke A(5,) i B(6,) uuur a) r ur Prikažite vektor AB kao linearnu uuur kombinaciju jediničnih okomitih vektora i i j? uuur uuur uuur b) Odredite duljine vektora OA i AB tj. koliko je OA i AB? uuur uuur c) Odredite točku C tako da je OC = AB d) Odredite mjeru kuta AOC (zaokružite rezultat na najbliži cijeli stupanj)? e) Odredite površinu četverokuta OABC? f) Odredite udaljenost ishodišta koordinatnog sustava od pravca AB? 57

59 uuur r r.. Točka A(, ) početna je točka vektora AB = i j Koje su koordinate točke B? Odgovor: B(, ) r r r.. Odredite mjeru kuta α izmeñu vektora a = i 4j Odgovor: α = r r r i b = 5i + j 4. Zadane su točke A(,) i B(6,0). uuur r 4.. Vektor AB prikažite kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora i uuur Odgovor: AB = 4.. Na dužini AB zadana je točka C tako da je AC : CB = :. Koje su koordinate točke C? Odgovor: C(, ) uuur 5.. Na slici su zadani vektori AB uuur,cd uuur uuur uuur Ucrtajte točku F tako da je EF = AB + CD i točka E.. r, j r r r 5.. Odredite realan broj k tako da vektori a = 6i 4j budu okomiti. Odgovor: k = r r r b i k 5 j i = + ( + ) 6. Na slici je prikazan trokut ABC. a) Izračunajte mjeru kuta u vrhu C? b) Izračunajte duljinu visine trokuta iz vrha B? uuur c) Vektor AB prikažite kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih r r vektora i, j 58

60 RJEŠENJA:. C. A. D r ur.. i + j r ur uuur uuur.a) i + j b) OA = 6 AB = 5 c) (,) d) 5 e) 9 f) 4.0 uuur r r o..b=(,-).. α = AB = 4i + 9j 4.. C=(0,4) k=- 6.a) r r o b).4 c) i + 4j 59

61 PRAVAC. Jednadžba pravca koji je usporedan s nacrtanim pravcem i prolazi točkom (0,7) je: A. y = x 7 B. y = x + 7 C. y = x 7 D. y = x + 7. Pravac prolazi točkom T(,4) i siječe koordinatne osi u točkama s pozitivnim koordinatama.duljina odsječka na y-osi odnosi se prema duljini odsječka na x-osi kao :.Kako glasi jednadžba tog pravca? A. 5 y = x + 9 B. y = x + 9 C. 5 y = x + 6 D. y = x Pravac je zadan jednadžbom y = x +. a)zadani pravac nacrtajte na sljedećoj slici. b)odredite mjeru kuta koji pravac y = x + zatvara s pozitivnom zrakom x osi. Odgovor: ' ''.a) Napišite jednadžbu pravca prikazanoga grafom. b) Izračunajte površinu trokuta kojega pravac zatvara s koordinatnim osima. Odgovor: P = 60

62 . Zadane su točke A(-,), B(,-). a) Odredite koordinate polovišta dužine AB. b) Odredite koeficijent smjera pravca odreñenoga točkama A i B? c) Odredite jednadžbu simetrale dužine AB. 4. Zadan je pravac y = x + 4 a) Odredite udaljenost ishodišta od zadanoga pravca. Odgovor: b) Odredite pravac koji prolazi točkom (4,0) i usporedan je sa zadanim pravcem. Odgovor: x y 5.. Odredite koeficijent smjera (nagib) pravca + = Odgovor: uuur r ur 5.. Zadana je točka A (, ) i usmjerena dužina AB = 4i 4j Odredite jednadžbu pravca kojemu pripada ta dužina. Odgovor: 6. Dva modela automobila voze po pisti. Koordinate njihova položaja dane su u metrima. Model A polazi iz točke A(, 0), vozi jednolikom brzinom pravocrtno i nakon jedne sekunde nalazi se u točki T(4.4, 0.7). Model B u isto vrijeme polazi iz točke B(0, 4.4) i kreće se jednolikom brzinom po pravcu y = x Modeli A i B su se sudarili. Kolikom je brzinom vozio model B? s (Napomena: Formula za brzinu v kod jednolikoga pravocrtnoga gibanja je v = t gdje je s put, a t vrijeme.) 7.. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(,5) i B(6, ). 7.. Kolika je mjera kuta izmeñu pravaca y = x + i x y + 4 = 0? 6

63 8.. Točke A(, 4), B(, ) i C(, y) leže na istome pravcu. Odredite y. Odgovor: y = 8.. Zadan je pravac x 5y 7 = 0. Odredite jednadžbu pravca koji je okomit na njega i siječe ga u točki s ordinatom y =. Odgovor: 9. Napišite jednadžbu pravca koja prolazi točkom T(6,) i sjecištem pravaca x y x+4y-4=0 i = Odgovor: RJEŠENJA:. D. D 4.a) b) 6.7.a) y = x b) 7 8.a)P=, 4.a).58 b) b) k = c) 4 y = x y = x k= 5.. y=-x+ 6. v=.6 m/s y = x y= y = x y= 6

64 KRIVULJE DRUGOG REDA. Odredite središte i polumjer kružnice zadane jednadžbom x +y +6x-8y+9=0? A. S(,-4),r=4 B. S(-,4),r=6 C. S(-,4),r=4 D. S(,-4),r=6. Asimptota hiperbole je pravac y=x. Na hiperboli je točka (5,8). Jednadžba hiperbole je : A. x = B. 6 9 y x = C. 9 6 y x = D. 6 y x = 6 y. Odredite fokuse elipse zadane jednadžbom x + 8y = 0. A. F ( 4,0),F (4,0) B. F ( 5,0), F (5,0) C. F (0, 5),F (0,5) D. F (0, 4),F (0,4) 4. Točka S(,) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava. Kako glasi jednadžba te kružnice? A. (x + ) + ( y ) = B. (x + ) + ( y ) = 5 C. (x ) + ( y + ) = D. (x ) + ( y + ) = 5 5. Kružnica sa središtem u točki S(-,) prolazi ishodištem koordinatnoga sustava.kako glasi jednadžba te kružnice? A. (x-) +(y+) = B. (x+) +(y-) = C. (x+) +(y-) = D. (x-) +(y+) = 6.Kako glasi jednadžba kružnice kojoj su zadane koordinate krajnjih točaka promjeraa(, ) i B(, 4)? A. x + y x + 6y = 0 B. x + y + x 6y + 5 = 0 C. x + y + 6x 4y 7 = 0 D. x + y 6x + 4y + = 0 7.Kružnica k prolazi točom T(-,) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x+) +(y-5) =0. Koliki je polumjer kružnice k? A. 0 B. C. D Kolika je duljina tetive koju na krivulji x -y = odsijeca pravac y+x 5 = 0? A. 6 jediničnih dužina B. 7 jediničnih dužina C. 8 jediničnih dužina D. 9 jediničnih dužina 6

65 9. Koja krivulja drugoga reda ima jednadžbu 9 x 7y = 0? A. hiperbola B. parabola C. kružnica D. elipsa Skicirajte skup točaka ravnine zadan jednadžbom x +y +6x-8y+9=0.. Usporedno s pravcem x-y+=0 povučene su tangente na elipsu x +4y =48. Odredite njihove jednadžbe?. Elipsa je zadana jednadžbom x +4y =48. a) Odredite duljinu velike poluosi a b) Odredite jednadžbu tangente elipse u njenoj točki T(-,)? 4. Odredite duljinu tetive kružnice x +y +6x-8y+9 = 0 kojoj je polovište točka (-,)? 5. Skup točaka ravnine zadan je jednadžbom 9x +6y -5 = 0. a) Odredite duljinu a velike poluosi b) Skicirajte zadani skup točaka 6. Usporedno s pravcem x-y+8 = 0 povučene su tangente na kružnicu x +(y-) = 0. Odredite njihove jednadžbe? 64

66 7. Zadana je kružnica (x-) +(y+) = 7. a) Točka A(,y), y>0 pripada kružnici. Odredite y? b) Odredite jednadžbu tangente na kružnicu u točki A? 8. Kružnica je zadana jednadžbom (x +) + ( y ) = Odredite točku T(, y) zadane kružnice za koju je y > 0. Odgovor: T(, ) 8.. Odredite jednadžbu tangente u točki A(,6). Odgovor: 9.. Parabola zadana jednadžbom y = px prolazi točkom T(,). Odredite p. Odgovor: p = 9.. Parabola je zadana jednadžbom y =x. Kolika je udaljenost fokusa te parabole od pravca y = x + 5? Odgovor: 9.. Parabola zadana jednadžbom y = px ima fokus F(,0) i prolazi točkom A(x, ). Odredite jednadžbu tangente na tu parabolu u njezinoj točki A. 0. Izračunajte koordinate svih točaka presjeka elipse x + 4y = 5 i pravca x + y 7 = 0 ako takve točke postoje. Odgovor:. Točka T(6, 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a =9. Odredite jednadžbu elipse i udaljenost meñu fokusima. Odgovori: Jednadžba elipse: Udaljenost meñu fokusima:. Napišite jednadžbu kružnice sa slike.. Odredite jednadžbu tangente na kružnicu x + (y-) = 0 koja dira kružnicu u točki iz III. kvadranta i usporedna je s pravcem y = x 65

67 4. Kružnica u prvome kvadrantu ima polumjer 4 i dira os ordinata u točki A(0,5). Napišite jednadžbu te kružnice. Odgovor: 5. Napišite koordinate žarišta (fokusa) hiperbole čija je jednadžba x y =44. Odgovor: F (, ), F (, ) 6. Halleyev komet giba se oko Sunca po eliptičnoj putanji kojoj je numerički ekscentricitet ε = Sunce se nalazi u žarištu (fokusu) te elipse. Najmanja udaljenost kometa od Sunca je m. Koliko iznosi najveća udaljenost Halleyeva kometa od Sunca? Napomena: Numerički ekscentricitet ε računa se prema formuli Odgovor: m e ε = a RJEŠENJA:. C. B. B 4. A 5. B 6. B 7. B 8. D 9. D.. y= x ± 4 ( ili x-y ± 8=0 ).a) a=4 b) y= 4 x ( ili 5.66) 5.a) a=5 b) 6. x-y-8=0 i x-y+=0 ( ili y= 4 x i y= 6 x + ) 7.a) y= b) x+4y=6 (ili y = x + ) T=(-,7) 8.. x+4y=0 9.. p=. a) ( ili 5 5 ) 9.. 4x+6y+9=0 ( ili y = x ) 0. (,) i x y + = b). (x-) +(y+) = F (, 0) F (, 0) , 4 y = x 4. (x-4) +(y-5) =6 66

68 BROJEVI. Koji je od navedenih brojeva najbliži broju : A. π B. 4 C. 0 D..5. Rabeći džepno računalo, odredite koji je od navedenih brojeva najveći. A. log 5 8 B C. tg(78 ) D... Koji od ponuñenih brojeva ima najveću apsolutnu vrijednost? A. 5 π 0 B. log 5 C. sin 60 4 D Koji od brojeva pripada skupu iracionalnih brojeva? A. 4. B. 6 C. 5. Koja je od navedenih tvrdnji istinita? 4 D. 5 7 A..5 Z B. Q C. R D. π N 8 6. Kolika je vrijednost broja zaokružena na tri decimale? A..760 B..76 C..764 D Koji od navedenih brojeva nije jednak? A. ( ) B. 9 C. 7 D Broj (-) 4 jednak je : A. -6 B. -8 C. 8 D Broj 45 jednak je : A B C D Broj jednak je : A B C D Koja je od navedenih tvrdnji istinita? A. Svaki kompleksan broj je ujedno i realan broj. B. Svaki racionalan broj je ujedno i cijeli broj. C. Svaki racionalan broj je ujedno i realan broj. D. Svaki kompleksan broj je ujedno i iracionalan broj. 67

69 . Ako je z = i, koliko iznosi imaginarni dio broja z 6? A. 6 B. 8 C. 8 D Broj ( + i ) 009 zapišite u obliku a+bi?. Kompleksan broj z = i prikažite u trigonometrijskome obliku. Odgovor: z =.. Kompleksan broj z = i prikažite u trigonometrijskome obliku. Odgovor: z =.. Odredite realni dio kompleksnoga broja (+ i) 8. Odgovor: 4. Koliko iznosi član razvoja x + x Pri rješavanju zadatka možete rabiti formulu Odgovor: 6 koji ne sadrži x? n n! k = k! n k! ( ) RJEŠENJA:. A. D. D 4.D 5. C 6.C 7. B 8. D 9. C 0. C. C. C 009. i. z=(cos90 +isin90 ) π π z = cos + isin

70 NIZOVI. Pri penjanju na neku planinu izmjereno je da na svakih 00 metara visine temperatura zraka pada za 0.7 C. Na vrhu planine temperatura je iznosila 4.8 C.Istodobno je bila 6 C pri tlu na 0 m nadmorske visine.kolika je visina te planine? A. 500 m B. 600 m C. 700 m D. 800 m U aritmetičkome nizu, 5,,... odredite zbroj prvih 50 članova. Odgovor:. Tri pozitivna broja čine geometrijski niz. Umnožak prvoga i trećega člana je.44. Koji je drugi član toga niza?. Posljednji, 5. red stadiona može primiti 048 gledatelja. Svaki prethodni red prima 0 gledatelja manje... Koliko gledatelja može primiti prvi red stadiona? Odgovor:.. Koliko je gledatelja na stadionu ako je on popunjen do posljednjega mjesta? Odgovor:.. Svečana loža stadiona može primiti 5 gledatelja, a smještena je unutar područja od 5. do 0. reda. Svaki njezin red, počevši od najnižega, ima pet sjedala više od prethodnoga. Koliko mjesta za gledatelje ima u prvome redu lože? 4. U jezeru je otkriveno 0 grama algi za koje se zna da utječu na porast populacije rakova. Naseobina algi povećava se 5% tjedno. Populacija rakova u jezeru počinje naglo rasti ako je u njemu više od grama algi. 4.. Koliko će grama algi biti u jezeru tjedan dana nakon što su otkrivene? Odgovor: grama 4.. Koliko će grama algi biti u jezeru nakon tjedna? Odgovor: grama 4.. U kojem će tjednu populacija rakova početi naglo rasti? Odgovor: 5. U aritmetičkome nizu, 5, 9,... odredite 7. član. Odgovor: 69

71 6. Broj stanovnika grada u razdoblju od 950. do 000. godine mijenjao se prema ( t 950) pravilu prirodnoga prirastas(t) = 500, gdje je t godina u kojoj odreñujemo broj stanovnika. 6.. Koliko je stanovnika u gradu bilo 958 godine? Odgovor: 6.. Koje je godine u gradu bilo stanovnika? Odgovor: 6.. Ako se pretpostavi da će se broj stanovnika i dalje povećavati na isti način, kada će u gradu biti trostruko više stanovnika nego 950. godine? Odgovor: 7. Zadan je aritmetički niz 97, 9, 89, 85, 7.. Odredite 5. član toga niza. Odgovor: 7.. Odredite zbroj svih pozitivnih članova toga niza. Odgovor: 8. Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O. α je mjera kuta AOB izražena u stupnjevima, a OA = 0cm Na polumjeru OAleži niz točaka A,A,A,... a na polumjeru OB niz točaka B,B,B,. Točka A je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na taj polumjer Točka A je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na taj polumjer itd. Zbroj duljina svih kružnih lukova AB+A B +A B jednak je 5 πα cm. 8 Odredite α? 70

72 9. Zadan je opći član aritmetičkoga niza a n = (n + p) 4, p R 9.. Zapišite prvi član toga niza. Odgovor: 9.. Izračunajte vrijednost realnoga broja p ako je zbroj prvih pet članova toga niza jednak 60. Odgovor: p = RJEŠENJA:. B g g tjedan p- 9.. p=5 7

73 FUNKCIJE. Koji od navedenih grafova prikazuje funkciju koja raste samo na intervalu [0,5]? A. B. C. D.. Zadane su funkcije f(x) = x + 5 A. B Zadane su funkcije f(x) = x + 5 i g(x)=x+.koliko je ( fo g )()? C. 4 i g(x)= x +. (fog)()= A. B. 6 8 C Koji je skup domena funkcije f (x) = log(x + 4)? D. 7 4 D. 4 9 A. R \{,0} B., C. <,+ > D. R \{ } 5. Graf koje funkcije je prikazan na slici? A. B. f(x) = x 8 f(x) = x x C. x + f(x) = x x 6. Koji je skup domena funkcije f(x) = log log( x + ) D. f(x) = log ( x + ) A., 0, B.,0, + C., 0, + D., 0, +? 7.Odredite h(x) = ( fo g)(x) + f (4) ako je f (x) = x(x ), a g(x) = x 5 A. h(x) = 4x 4x + 7 B. h(x) = x 4x 7 C. h(x) = x 4x 4 D. h(x) = 4x 4x

74 . Na slici je prikazan graf funkcije f(x).na istoj slici nacrtajte graf funkcije f(x). Grafovi funkcija f i g prikazani su na slici a) Odredite što je veće f(-) ili g(-)? b) Napišite skup rješenja nejednadžbe f(x) g(x)?. Odredite domene funkcija : a) f(x) = x 7 b) g(x)=log 5 (x-4) c) log (x 4) 5 h(x) = x 7 4. Funkcija je zadana grafom a) Kakvoga je predznaka vrijednost funkcije za x=-? b) Na kojem skupu funkcija,čiji je graf prikazan na slici,poprima pozitivne vrijednosti? 5. Odredite domenu funkcije f(x) = log (x 4) 5 x Na slici je graf funkcije f. U istome koordinatnome sustavu nacrtajte graf funkcije g takve da je g(x) = f (x) +.? 7

75 7. Na slici su prikazani grafovi funkcija f i g. a) Koja je od ovih funkcija linearna? b) Neka je x o realan broj za koji je f(x o )=g(x o ).Kolika je vrijednost f(x o )? 8. Na slici je graf funkcije f. U istome koordinatnome sustavu nacrtajte graf funkcije tako da je g(x) = f (x). 9.. Odredite domenu funkcije f(x) = x +. Rješenje zapišite pomoću intervala Odredite domenu funkcije g(x) = + x + x x Rješenje zapišite pomoću intervala. 0.. Neka je x f = x. Odredite f (4). x Odgovor: f (4) = 0.. Zadana je funkcija f( x) = x. Za koje x iz domene funkcije f vrijedi f (x) <? Rješenje zapišite pomoću intervala.. Zadana je funkcija f (x) = x 8. a)odredite područje definicije funkcije f. Odgovor: b)odredite nultočku funkcije f. Odgovor: c)izračunajte f ( 5). Rezultat zapišite u decimalnome obliku i zaokružite ga na tri decimale. Odgovor: 74

76 . Odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije f(x) = x +? Odgovor:. Zadane su funkcije f(x)=x i Riješite jednadžbu ( o )( ) f g x = 7 g(x) = log x Graf polinoma trećega stupnja prolazi točkama A(-,4),B 0,,C(,5) i D(,0), gdje je A točka lokalnoga minimuma, a C točka lokalnoga maksimuma. Iz zadanih podataka skicirajte graf toga polinoma na intervalu,4. Napomena: Za skiciranje nije potrebno odrediti formulu zadanoga polinoma. RJEŠENJA:. A. A. A 4. C 5. D 6.D 7. D..a) f(-) b),0 5, +.a) x R ; x 7 b) x R ; x > 4 c) x>4 i x 7 4.a) negativna b), 0, 5., 5 5,, a) g(x) 8. b) x, + f(4) = 0.. x,7.a) R b) x= c) x, x, + \{ 0,}. x=

77 DERIVACIJE. Zadana je funkcija f(x) = (x + x 5x) 5 a) odredite nultočke te funkcije? b) odredite derivaciju funkcije f'(x)? c) odredite interval(intervale) na kojima navedena funkcija raste? d) odredite lokalne ekstreme te funkcije? e) nacrtajte graf te funkcije rabeći rezultate prethodnih podzadataka?.(0 bodova) Zadana je funkcija f ( x ) = ( x 6)( x + ) 4.. Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije s osi apscisa... Derivirajte funkciju f... Odredite interval/intervale rasta funkcije f..4. Odredite lokalne ekstreme funkcije f..5. Nacrtajte graf te funkcije rabeći rezultate prethodnih podzadataka. (Napomena: Točke koje nemaju cjelobrojne koordinate ucrtajte približno.) 76