Izračun rizične vrijednosti - VaR
|
|
- Ευσέβιος Φωτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Izračun rizične vrijednosti - VaR DUŠAN MUNĐAR 1 I ANA ZEMLJAK 2 Sažetak. Cilj rada je prikazati jedan model za kvantifikaciju rizika i tri metode za izračun rizične vrijednosti, kvantitativne mjere rizika. Metode izračuna rizične vrijednosti (eng. Value at Risk, skraćeno VaR) su statističke metode pomoću kojih se mjeri i upravlja razinom financijskog rizika investicijskog portfelja kroz određeni vremenski period. U radu ukratko opisujemo povijest kvantitativnog modeliranja rizika i pojam rizične vrijednosti. U nastavku prikazujemo tri metode kvantificiranja rizične vrijednosti: povijesnu metodu, parametarsku metodu (metoda varijance i kovarijance) i pojednostavljenu Monte Carlo simulaciju. Izračuni su prikazani na primjerima. Izračuni rizika gubitka vrijednosti su provedeni na portfelju od pet hrvatskih dionica na dnevnoj osnovi uz razinu vjerojatnosti od 95%. Rezultati triju metoda daju slične rezultate, ali svaki od pristupa ima prednosti i mane. Ključne riječi. rizična vrijednost, VaR (Value at Risk), dobici/gubici, povijesna metoda, parametarska metoda, Monte Carlo simulacija 1. Uvod Upoznavanje rizika kojima su organizacija ili pojedinac izloženi prvi je korak uspješnog upravljanja rizicima te smanjenju njihovih potencijalnih učinaka. Radi uspješnije komunikacije najvažnije komponente rizika, vjerojatnost nastajanja i potencijalni utjecaj na organizaciju, obično se prikazuju tablično. U situaciji gdje događaji nastaju često, ali događajima nije unaprijed poznat intenzitet, pokazala se potreba i mogućnost izrade modela za kvantificiranje rizika. Jedna od takvih situacija jest promjena cijena na tržištu. Tržišni rizik je rizik koji se manifestira uslijed promjena na tržištu, koje mogu dovesti do gubitka vrijednosti investicije (imovine) i samim time organizacija ima interes mjeriti izloženost tom riziku. Model rizične vrijednosti (eng. Value At Risk - VaR) i metode za mjerenje rizične vrijednosti nastali su prvenstveno za kvantifikaciju tržišnog rizika. Tijekom razvijanja sustava mjerenja rizične vrijednosti izdvojila su se tri glavna načina mjerenja rizične vrijednosti, a to su: povijesna metoda, parametarska metoda (metoda varijance i kovarijance) i Monte Carlo simulacija. Kvantifikacija rizične vrijednosti u financijskoj industriji iznimno je bitna za upravljanje portfeljem i izračunom adekvatnosti kapitala, tj. određivanje potrebnih financijskih pričuva za zaštitu od tržišnog rizika. 2. Povijest rizične vrijednosti Početak analiziranja tržišnog rizika kreće razvojem teorije sastavljanja portfelja. Leavens je godine svojim radom objavio jedno od prvih kvantificiranja rizika. Daljnji razvoj kvantifikacije tržišnog rizika napravili su nezavisno Markowitz i Roy u pedesetima. Razvoju teorije kvantifikacije tržišnog rizika u narednim godinama pridonijeli su i drugi znanstvenici, od kojih su neki dobili i Nobelovu nagradu za 1 Dušan Munđar, Fakultet organizacije i informatike, Sveučilište u Zagrebu 2 Ana Zemljak, Fakultet organizacije i informatike, Sveučilište u Zagrebu
2 ekonomiju. Neki od najpoznatijih su William Sharpe, Jack Treynor, John Lintner. Model rizične vrijednosti, u obliku prikazanom u ovom radu, začet je ranih osamdesetih godina prošlog stoljeća kada investicijska banka J. P. Morgan razvija mjerenje rizične vrijednosti unutar svoje kompanije. Tadašnji direktor J. P. Morgana (D. Weatherstone) zahtjeva od analitičara dnevni izračun izloženosti riziku. Jedan od arhitekata koncepta rizične vrijednosti koji se danas koristi bio je Till Guldimann koji je u to vrijeme bio zadužen za analizu imovine i obaveza. U ranim devedesetima model je prezentiran izvan kompanije. Od godine model pod nazivom RiskMetrics, koji se sastojao od detaljnih tehničkih dokumenata uz matricu kovarijance za nekoliko stotina ključnih faktora koji su se dnevno ažurirali, objavljen na Internetu te pobudio značajan interes za metodom i njenom upotrebom. Na daljnju popularizaciju modela utječe Bazelski odbor za superviziju banaka koji je godine izdao direktivu o adekvatnosti kapitala te odredio bankama da moraju biti sposobne podnijeti gubitke na vlastitom tržišnom portfelju, a za što je primjena modela rizične vrijednosti vrlo prikladna. Više o povijesti metode može se između ostalog pročitati u [1]. 3. Pojam rizične vrijednosti Rizična vrijednost je fleksibilna mjera rizika koja je specificirana za razdoblje h (generalno između 1 dana i 1 mjeseca) i sa razinom vjerojatnosti α (između 90 99%), a može se izraziti kao postotak tržišne vrijednosti ili u apsolutnom iznosu (npr. kn). Ona je aproksimacija budućeg maksimalnog potencijalnog gubitka na portfelju s određenom vjerojatnošću pri čemu se maksimalni gubitak iskazuje jednom brojkom. Dakle, radi se o jedinstvenoj, sažetoj statističkoj mjeri mogućih gubitaka vrijednosti portfelja koja određuje graničnu vrijednost za koju vrijedi da se rizični događaji s većim gubitkom događaju s manjom od unaprijed određene vjerojatnosti 1-α. Prema najpoznatijem edukativnom web portalu iz područja financija, Investopedia [2], rizična vrijednost je statistička metoda koja služi za mjerenje i upravljanje razinom financijskog rizika unutar tvrtke ili određenog investicijskog portfelja u određenom vremenskom razdoblju. Rizičnom vrijednosti može se utvrditi izloženost rizicima kao što su: valutni rizik, rizik od promjene kamatne stope, rizik promjene cijene, rizik likvidnosti i mnogi drugi rizici koji se pojavljuju na tržištu kapitalom. Slika 1: Rizična vrijednost (VaR) i raspodjela distribucija rasta/pada vrijednosti portfelja
3 4. Metode izračuna rizične vrijednosti MATEMATIKA IZVAN MATEMATIKE Razvojem sustava za mjerenje rizične vrijednosti, izdvojile su se tri dominantne metode izračuna rizične vrijednosti, a to su: povijesna metoda, parametarska metoda (metoda varijance i kovarijance) te Monte Carlo simulacija. U nastavku, u pojednostavljenom obliku, prikazujemo teorijske osnove i primjer izračuna rizične vrijednosti tim metodama Povijesna metoda Najjednostavnija metoda za izračun rizične vrijednosti je povijesna metoda. Povijesna metoda spada u skupinu neparametarskih metoda procjene rizične vrijednosti. Temelji se na pretpostavci da će prinosi u budućnosti biti vrlo slični prinosima iz nedavne prošlosti tj. da će se moći prognozirati rizik u bliskoj budućnosti pomoću podataka iz prošlosti. Neka se promatrani portfelj sastoji od N vrijednosnica. Za svaku vrijednosnicu i iz portfelja neka postoje opaženi prinosi Ri,t za n razdoblja. Simulirani povrat portfelja za jedno razdoblje (t) tada je: N t i Ri, t i1 R gdje je w i udio imovine uložen u vrijednosnicu i, R it, povrat na vrijednosnicu i u razdoblju t. Navedena formula daje povijesno simulirane scenarije povrata za sadašnji portfelj, te služi kao osnova za izračun rizične vrijednosti putem povijesne metode. Rizična vrijednost na razini vjerojatnosti α% tada je (100-α) percentil, odnosno vrijednost ispod koje se nalazi (100-α)% vrijednosti. Vrijednost parametra α najčešće je Parametarska metoda (metoda varijance i kovarijance) Parametarska metoda je najčešće korištena metoda za izračun rizične vrijednosti. Temelji se na pojednostavljenim pretpostavkama kretanja tržišnih cijena i karakteristika portfelja. Pri izračunu pretpostavlja se da distribucija povrata odgovara jednoj od teoretskih distribucija, poput normalne distribucije. Rizična vrijednost za tržišni rizik jedne dionice, primjenjujući pretpostavku o normalnosti dobitaka/gubitaka ili prinosa, izračunava se procjenom dva parametra: očekivane vrijednosti dobitaka/gubitaka ili stopa prinosa promatranog portfelja i standardne devijacije promatranih dobitaka/gubitaka ili stopa prinosa. Rizična vrijednost se može izračunati za portfelj procjenjujući očekivane vrijednosti i standardne devijacije svake dionice (temeljem povijesnih podataka), ali pri tome uvažavajući korelaciju dobitaka ili povrata među dionicama procjenom matrice korelacije ili matrice varijanci/kovarijanci.
4 Metoda izračuna rizične vrijednosti za portfelj, uz pretpostavku da su opisani multivarijantnom normalnom distribucijom započinje procjenom parametara: utvrđivanje očekivanih prinosa i standardnih devijacija prinosa, procjena matrice varijanci/kovarijanci prinosa, Sljedeći korak je izračunavanje koeficijenta korelacije između standardiziranih pozicija. Koeficijent korelacije izračunava se kao odnos kovarijance prinosa dionica te umnoška standardnih devijacija prinosa promatranih dionica. cov( RR i, j) ( RR i, j) ( R) ( R) i j Kada su poznati udjeli pojedinih dionica u ukupnoj poziciji portfelja w i, standardne devijacije σ 1,, σ n i korelacije ρ ij (i,jє{1,,n}) standardiziranih pozicija, standardna devijacija portfelja izračunava se prema formuli teorije portfelja kao: n n 2 2 p i i 2 i, j i j i j i1 i1 ji Primjerice, Izračun standardne devijacije portfelja koji se sastoji od dvije dionice prikazan je sljedećom formulom. ( ) 2 p R ,2 1 2 Mjera rizične vrijednosti tada se izračunava putem sljedeće formule: VaR=( - p )P pri čemu je prosječni (očekivani) povrat portfelja μ za jedinično razdoblje, P inicijalna tržišna vrijednost portfelja, σ p standardna devijacija portfelja, α vrijednost standardizirane normalne distribucije određene razine vjerojatnosti. Kako je prosječni (očekivani) povrat portfelja za mala razdoblja približno nula nerijetko se izostavlja iz formula za rizičnu vrijednost Monte Carlo Simulacija Monte Carlo simulacija je najpreciznija metoda procjene maksimalnog gubitka, a poznata je još i kao metoda statističke simulacije, gdje se statistička simulacija definira kao bilo koja metoda koja koristi sekvence slučajnih brojeva za izvođenje simulacije. Monte Carlo simulacija je vrlo slična povijesnoj metodi jer se kod izračuna koriste pretpostavke o budućem riziku dobivene na temelju povijesnih podataka. Razlika je što se hipotetske promjene
5 tržišnih faktora ne stvaraju na temelju prošlih opaženih promjena već se statističkom simulacijom na adekvatan način generiraju povrati slični onima iz prošlosti. Također nakon dobivene simulacije rizična vrijednost se određuje uz određenu razinu vjerojatnosti kao u povijesnoj metodi. Metoda dopušta upotrebljavanje procjene parametara teorijskih distribucija temeljem povijesnih podataka uz uvažavanje tržišnih očekivanja čime može postati zahtjevnija i preciznija po potrebi. Za izračun u ovom radu koristimo jednostavnu verziju koja za polazište ima povijesnu metodu, a nadograđena je upotrebom simulacija. 5. Izračun rizične vrijednosti Izračun rizične vrijednosti dionica proveden, prema povijesnoj i parametarskoj metodi te pojednostavljenoj metodi Monte Carlo simulacije, je na dnevnoj osnovi uz razinu pouzdanosti od 95%. Korišteni su podaci za razdoblje od do godine. Cijene dionica su preuzete sa web stranice Zagrebačke burze [4], a odabirane dionice kotiraju na Zagrebačkoj burzi duže od pet godina i uvrštene su u indeks CROBEX na dan Odabrane dionice su: ADRS-P-A: Adris d.d.; ATGR-R-A: Atlantic Grupa d.d.; DDJH-R-A: Đuro Đaković Holding d.d.; ERNT-R-A: Ericsson Nikola Tesla d.d.; KRAS-R-A: Kraš prehrambena industrija d.d Analiza rezultata rizične vrijednosti primjenom povijesne metode Izračun povijesnom metodom za portfelj od 5 odabranih dionica (n=5) uz razinu vjerojatnosti od 95% temelji se na dnevnim promjenama cijena u razdoblju od godine do godine. Povijesni podaci prikupljeni kroz navedeno razdoblje daju dnevnih povrata (N). Izračun rizične vrijednosti provodimo za portfelj inicijalne vrijednosti ,00 kn pri čemu je ulaganje u svaku dionicu ,00 kn. Portfelj Iznos uloga (kn) težinska vrijednost Dionica 1 ADRS-P-A ,00 0,20 Dionica 2 ATGR-R-A ,00 0,20 Dionica 3 DDJH-R-A ,00 0,20 Dionica 4 ERNT-R-A ,00 0,20 Dionica 5 KRAS-R-A ,00 0,20 Zbroj: ,00 1,00 Tablica 1. Prikaz ulaganja u portfelj s pripadajućom težinskom vrijednošću
6 Datum Cijene Dionica 1 Dionica 2 Dionica 3 Dionica 4 Dionica 5 ADRS-P-A ATGR-R-A DDJH-R-A ERNT-R-A KRAS-R-A ,00 822,00 51, ,77 515, ,00 815,55 51, ,06 510, ,50 468,00 70, ,00 400, ,00 468,00 70, ,97 375,06 Tablica 2. Prikaz povijesnih cijena dionica Nakon prikupljanja povijesnih podataka, računajući relativnu promjenu vrijednosti dionica, određeni su dnevni povrati dionica R ti, P P P t, i t1, i t1, i. Dnevni povrati Dionica 1 Dionica 2 Dionica 3 Dionica 4 Dionica 5 ADRS-P-A ATGR-R-A DDJH-R-A ERNT-R-A KRAS-R-A -0,0098 0,0079-0,0076 0,0269 0,0098 0,0166-0,0054-0,0031-0,0027-0, ,0023 0,0000 0,0006-0,0090 0,0678 0,0000 0,0263-0,0034-0,0119-0,0130 Tablica 3. Prikaz dnevnih povrata dionica Sljedeći korak je izračun povrata portfelja. Povrat portfelja je težinski prosjek povrata dionica, pri čemu su težine relativni udjeli pojedinih dionica u portfelju. U našem slučaju relativni udio svake dionice je 20%. n t i Rt, i i1 w i udio imovine trenutno uložen u vrijednosnicu (i) R i,t povrat na vrijednosnicu (i) u razdoblju (t) R. Povrat portfelja Sortirani povrati Redni broj opažanja Dnevni dobitak/gubitak 0,0055-0, ,39-0,0009-0, , ,0114 0, ,09 0,0044 0, ,09 Tablica 4. Prikaz povrata portfelja i dobivenih dobitaka/gubitaka
7 Nakon dobivenih dnevnih povrata portfelja sortiramo povrate prema iznosu te izračunamo dnevni rast/pad vrijednost portfelja. Slika 1. prikazuje histogram i kumulativnu funkciju distribucije dnevnih dobitaka/gubitaka portfelja. Slika 2: Histogram dnevnih dobitaka/gubitaka Za promatrani portfelj postoji 0,1% mogućnosti za gubitak veći od 6.858,39 kn i 0,1 % mogućnosti da će dobitak biti veći od 5.633,09 kn tijekom jednog trgovanja. Rizična vrijednost daje odgovor na pitanje koliki je maksimalni mogući gubitak uz određenu razinu vjerojatnosti. U uzlazno sortiranom nizu vrijednosti očita se vrijednost na 50. mjestu (1000 0,05). Prema izračunu za promatrani portfelj rizična vrijednost uz razinu vjerojatnosti od 95 % iznosi 1.350,95 kn, tj. postoji 5% vjerojatnosti da se u jednom danu izgubi više od 1.350,95 kn.
8 5.2. Analiza rezultata rizične vrijednosti primjenom parametarske metode Izračun rizične vrijednosti primjenom parametarske metode radimo na osnovi parametra: prosječnih povrata, standardnih devijacija povrata i koreliranosti povrata. Za procjenu koristimo podatke iz povijesnih podataka koje smo koristili u povijesnoj metodi. Prosječan povrat dionice računamo na način da uzmemo aritmetičku sredinu povrata dionica iz povijesne metode. Procjenu standardne devijacije povrata dobijemo formulom: i N 1 ( Rt, i Ri ) N1 i1 2 Dionice Vrijednost dionice u portfelju Prosječan povrat Standardna devijacija 1 ADRS-R-A ,072% 1,370% 2 ATGR-R-A ,066% 1,157% 3 DDJH-R-A ,033% 3,614% 4 ERNT-R-A ,009% 1,310% 5 KRAS-R-A ,041% 1,496% Tablica 5. Prikaz podataka za izračun parametarske metode Iz Tablice 5. vidljivo je da povrati treće dionice (DDJH-R-A) imaju najveću pojedinačnu varijabilnost dnevnog povrata. U slučaju gdje se portfelj sastoji od više dionica, za izračun volatilnosti koristi se matrični račun. Matrica varijance-kovarijance uzima u obzir koreliranost povrata dionica. Težinska vrijednost dionica u portfelju pomnožena sa matricom varijance-kovarijance svih dionica se množi sa transponiranom težinskom vrijednošću svih dionica koje su u portfelju. Izračun varijance povrata portfelja može se jednostavnije provesti matričnim računom. Neka je C matrica korelacija povrata dionica koje su u sastavu portfelja. U našem slučaju C matrica iznosi: C
9 Neka je S matrica standardnih devijacija dnevnih povrata dionica koje su u sastavu portfelja. S matrica za naš portfelj iz iznosi: 1.370% % S % % % Matričnim množenjem dolazi se do konačnog rezultata procjene varijance iz koje je kvadratnim korjenovanjem moguće dobiti standardnu devijaciju povrata portfelja. Formula za izračun glasi: 2 t ( ) SCS p R Nakon provedenog matričnog računa dobijemo da varijanca i standardna devijacija povrata portfelja iznose: 2 t ( ) VCV , ( ) 0.958%. Uzimajući u obzir očekivani povrat od p R p R 0,044%, standardnu devijaciju povrata portfelja (0,958%), vrijednost standardizirane normalne distribucije određene razine pouzdanosti α (1,645 za 95%) te inicijalnu vrijednost portfelja možemo pristupiti izračunu VaR-a portfelja. VaR= (0,044%-1,645 0,958%)=1.531,91 kn Prema definiciji VaR-a, rizična vrijednost za portfelj uz razinu vjerojatnosti od 95% iznosi 1.531,91 kn, tj. postoji 5% vjerojatnosti da se u jednom danu izgubi više od 1.531,91 kn Izračun rizične vrijednosti primjenom Monte Carlo simulacije Izračun rizične vrijednosti primjenom Monte Carlo simulacije vršimo na način da koristimo dnevni rast/pad vrijednosti portfelja koji smo izračunali u povijesnoj metodi, te od dobivenih vrijednosti generiramo 100 nasumičnih rezultata za 30 uzoraka. UZORAK 1 UZORAK 2 UZORAK 29 UZORAK , , , , , , , , , , , , , , , ,52 VaR (p=95%) 1.350, , , ,64 Tablica 6. Prikaz simulacije nasumičnih vrijednosti dnevnih povrata portfelja Nakon generiranja 100 dnevnih rasta/pada vrijednosti portfelja te sortiranja istih rizičnu vrijednost na razini vjerojatnosti 95% dobijemo kao prosjek petih po vrijednosti dnevnih rasta/pada vrijednosti stvorenih uzoraka. Prema izračunu, rizična vrijednost za portfelj na razini vjerojatnosti 95 %
10 iznosi 1.414,34 kn, tj. postoji 5% vjerojatnosti da se u jednom danu može izgubiti više od navedenog iznosa. 6. Zaključak Rizična vrijednost se razvila kao alat kojim banke i ostale financijske institucije mogu mjeriti rizik. Uvođenjem metoda mjerenja rizične vrijednosti došlo je do opće mjere financijskog gubitka, odnosno akumuliranog rizika u portfelju. Cilj korištenja rizične vrijednosti je procijeniti i iskazati rizik s obzirom na vremenski period i unaprijed određenu vjerojatnost jednim brojem. Svaka od navedenih metoda ima svoje prednosti i nedostatke. Uzevši u obzir sve prednosti i nedostatke, niti jedna metoda nije najbolja za sva tržišta i uvjete na tržištu. Model rizične vrijednosti je vrlo važan za utvrđivanje rizika jer omogućava konzistentan i integriran pristup upravljanju tržišnim rizicima, što za uzrok ima bolje i sigurnije poslovanje. U ovom radu su provedeni izračuni na temelju povijesne i parametarske metode te pojednostavljene metode Monte Carlo simulacije za portfelj od 5 hrvatskih dionica s ulogom od ,00 kn. Na temelju dobivenih rezultata primjećujemo da razmatrane metode daju sličnu procjenu rizične vrijednosti. Literatura 1. Holton, A.A. History of Value-at-Risk. Dostupno na Histlory.pdf dana Investopedia, dostupno na dana J.P.Morgan/Reuters, RiskMetrics Technical document, J.P. Morgan/Reuters, New York, Zagrebačka burza, dostupno na dana
Valutni rizik Usporedba VaR i Expected Shortfall metode Martina Samac
Valutni rizik Usporedba VaR i Expected Shortfall metode Martina Samac Zagreb, 06. lipnja 2017. Sadržaj Uvod Definicija rizika Rizici u osiguranju Rizici u bankarstvu Mjere rizika Primjena mjera rizika
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραTROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Διαβάστε περισσότεραUPRAVLJANJE RIZICIMA. Sveučilište u Zagrebu EKONOMSKI FAKULTET ZAGREB Katedra za Ekonomiku poduzeća Prof. dr. sc. Danijela Miloš Sprčić
UPRAVLJANJE RIZICIMA Sveučilište u Zagrebu EKONOMSKI FAKULTET ZAGREB Katedra za Ekonomiku poduzeća Prof. dr. sc. Danijela Miloš Sprčić PODACI O NASTAVNIKU Nositelj i izvođač kolegija Prof. dr. sc. Danijela
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραRavnotežni model koji je u osnovi savremene finansijske teorije Izveden primenom principa diversifikacije pod pojednostavljenim pretpostavkama
CAPM Model vrednovanja kapitala (CAPM) Ravnotežni model koji je u osnovi savremene finansijske teorije Izveden primenom principa diversifikacije pod pojednostavljenim pretpostavkama Markowitz, Sharpe,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραSloženo periodično i neprekidno ukamaćivanje
Matematičke financije 1 Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Zadatak 1: Guverner kolonije Nova Nizozemska, Peter Minuit, kupio je 1626. godine od Indijanaca otok Manhattan plativši im u robi čija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραUvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za
Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραAritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina
MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE
1 2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu. Pri tom se pod glavnicom najčešće podrazumijeva određena svota novca,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1 Uvod. 1.1 Jednostavni model
1 Uvod Osnovna ideja ovog kolegija je uvesti modele financijskih tržista u modelima s diskretnim vremenom te razviti vjerojatnosne tehnike i metode za njihovo opisivanje Pretpostavit ćemo da svi modeli
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.
VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako
Διαβάστε περισσότεραVelike fluktuacije na financijskim tržištima
Velike fluktuacije na financijskim tržištima Zvonko Kostanjčar, Sveučilište u Zagrebu, FER svibanj 2011. Investicije i investitori Velike fluktuacije Geometrijsko Brownovo gibanje Zarada na dionicama =
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραKorporativne finansije
Ekonomski fakultet u Podgorici Magistarske studije Smjer Finansije i bankarstvo II generacija Korporativne finansije Prof. Saša Popović Blok 2: Vrijednost, cijena i rizik Osnovna pitanja Zašto se akcije
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραBR. P-MLU-02/2017. Cerium d.o.o. Sjedište: Lašćinska cesta 143 Ured: Koprivnička 70/II Zagreb
PROGRAM MEĐULABORATORIJSKE BR. P-MLU-02/2017 Cerium d.o.o. Sjedište: Lašćinska cesta 143 Ured: Koprivnička 70/II 10 000 Zagreb Tel: +385 1 5805 921 Fax: +385 1 5805 936 e-mail: info@cerium.hr Organizator:
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραSustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017
Διαβάστε περισσότεραISPIT AKTUARSKA MATEMATIKA II
PMF-Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT AKTUARSKA MATEMATIKA II 9. 2. 2004. Vrijeme trajanja ispita: 120 minuta Ukupan broj bodova: 80 Broj
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα