ISPIT AKTUARSKA MATEMATIKA II
|
|
- Ῥαχήλ Παπαδάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PMF-Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT AKTUARSKA MATEMATIKA II Vrijeme trajanja ispita: 120 minuta Ukupan broj bodova: 80 Broj zadataka: 7 Dozvoljeno je korištenje džepnog kalkulatora i Formulae and Tables for Actuarial Examinations.
2 1. Osiguratelj motornih vozila radi po sustavu bonusa sa četiri nivoa: 0%, 20%, 40% i 60%. Puna premija je 2000 Kn. Distribucija broja nezgoda za svakog osiguranika je: P[0 nezgoda] = 0.7 P[1 nezgoda] = 0.2 P[2 nezgode] = 0.1 Pravila kretanja po nivoima popusta su kako slijedi: (a) Ako nije prijavljena šteta u protekloj godini, osiguranik se pomiče na sljedeći viši nivo popusta (ili ostaje na najvišem nivou). (b) Ako je prijavljena jedna šteta u godini, osiguranik ostaje na istom nivou popusta u sljedećoj godini. (c) Ako su prijavljene dvije štete u godini, osiguranik se pomiče na nivo od 0% popusta u sljedećoj godini. Pretpostavlja se da trošak u slučaju nezgode ima eksponencijalnu distribuciju s očekivanjem Prilikom odluke da li će prijaviti štetu u slučaju nezgode, osiguranik razmatra povećanje premije tokom dvije naredne godine uz pretpostavku da više neće imati nezgodu. Na primjer, nakon druge nezgode u godini osiguranik će promatrati razliku u budućim premijama u slučaju prijave jedne ili prijave dviju šteta, uz pretpostavku da je šteta prijavljena nakon prve nezgode, ili razliku u budućim premijama u slučaju ne prijavljivanja štete ili prijave jedne štete, uz pretpostavku da šteta nakon prve nezgode nije prijavljena. (i) Za svaki nivo popusta, izračunajte vjerojatnost da će osiguranik prijaviti štetu nakon nakon prve nezgode u godini. [5] (ii) Za svaki nivo popusta, izračunajte vjerojatnost da će osiguranik prijaviti štetu nakon druge nezgode u godini, uz pretpostavku da je prijavljena šteta nakon prve nezgode. [5] (iii) Osiguranik se početkom godine nalazi na 20% popusta. Nadite vjerojatnosti da će se početkom sljedeće godine naći na 0%, 20%, 40%, odnosno 60% popusta. [6] [Ukupno 16 bodova] 2
3 2. Ukupne štete S neživotnog osigurateljnog portfelja kroz jednu godinu imaju složenu Poissonovu distribuciju: S = X 1 + X X N. Broj šteta svake godine, N, ima Poissonovu distribuciju s očekivanjem 12. Pretpostavlja se da su X 1, X 2,... nezavisne slučajne varijable, nezavisne od N, sa sljedećom distribucijom: f(x) = 0.01 e 0.01x 0 < x < 200 P(X = 200) = e 2. Osiguratelj je sklopio ugovor o reosiguranju pojedinačnog viška štete sa samopridržajem. Ukupni godišnji iznos šteta koje isplati reosiguratelj označen je sa S R. (i) Pokažite da je E[S R ] = , Var[S R ] = i E[(S R E[S R ]) 3 ] = (Možete iskoristiti činjenicu da je treći moment pojedinačnog iznosa štete koji plaća reosiguratelj jednak ) [10] (ii) Izračunajte odgovarajuće vrijednosti parametara translatirane gama distribucije koja aproksimira distribuciju od S R. [4] [Ukupno 14 bodova] 3. U portfelju neživotnog osiguranja, broj šteta u svakom mjesecu ima Poissonovu distribuciju s nepoznatim parametrom λ. Štete se promatraju kroz razdoblje od 50 mjeseci i u prosjeku je opaženo 210 šteta mjesečno. (i) Na temelju poznavanja sličnih portfelja predloženo je da je apriorna distribucija od λ jednaka gama distribuciji s očekivanjem 250 i varijancom 45. Odredite aposteriornu distribuciju od λ i Bayesovski procjenitelj od λ uz kvadratni gubitak. [5] (ii) Alternativni prijedlog za procjenu parametra λ je upotreba broja šteta u jednom danu, za koji se pretpostavlja da ima Poissonovu distribuciju s parametrom λ/30. Predlaže se sljedeća apriorna distribucija za λ: P(λ = 230) = 0.2 P(λ = 250) = 0.5 P(λ = 270) = 0.3 3
4 Ako je u posljednjem danu za koji su dostupni podaci zabilježeno sedam šteta, odredite aposteriornu distribuciju od λ, te Bayesovski procjenitelj za λ uz kvadratni gubitak. [5] (iii) Diskutirajte ukratko razlike izmedu procjenitelja u (i) i (ii), te zaključite koji je bolji. [2] [Ukupno 12 bodova] 4. Štete se dogadaju po Poissonovim procesu s Poissonovim parametrom λ. Distribucija iznosa šteta ima očekivanje µ i varijancu σ 2, a dodatak na premiju je θ. (i) Ukratko navedite na koji način ti parametri utječu na vjerojatnost propasti. [3] (ii) Navedite Lundbergovu nejednakost. [2] U portfelju polica osiguranja, prosječni iznos štete je 2000 Kn. Promatramo dvije moguće distribucije iznosa šteta. To su: I fiksni iznos šteta od 2000 Kn II eksponencijalna distribucija. Koeficijenti prilagodbe označeni su sa R I i R II. (iii) Izvedite jednadžbe za koeficijent prilagodbe za svaki od gornjih slučajeva, I i II. [4] (iv) Koji od koeficijenata prilagodbe je veći? Obrazložite odgovor! [1] (v) Pokažite da je koeficijent prilagodbe rastuća funkcija od θ u oba slučaja. [2] [Ukupno 12 bodova] 5. Donja tablica pokazuje statistike ukupnih godišnjih šteta za 3 rizika kroz 4 godine. Godišnje ukupne štete za rizik i u godini j označene su s X ij. Rizik i Xi = j=1 X ij s 2 i = j=1 (X ij X i )
5 (i) Izračunajte vrijednost faktora povjerenja u empirijskom Bayesovom modelu 1. [4] (ii) Opišite kako podaci utječu na vrijednost faktora povjeranja. Ilustrirajte Vaš odgovor brojevima izračunatim u (i). [4] [Ukupno 8 bodova] 6. Donje tablice pokazuju kumulativne iznose nastalih šteta i broj šteta prijavljen svake godine za izvjesnu grupu polica osiguranja. Pretpostavlja se da su štete u potpunosti riješene do kraja razvojne godine 2. Kumulativni iznosi nastalih šteta RG GNŠ Broj prijavljenih šteta svake godine GNŠ RG Ako je ukupni isplaćeni iznos do danas, s obzirom na godine nastanka štete 0, 1 i 2, bio 2750, izračunajte potrebnu pričuvu upotrebom metode prosječnog troška po šteti. [Ukupno 12 bodova] 7. U okviru generaliziranog linearnog modela promatrajte eksponencijalnu distribuciju s funkcijom gustoće f(x) gdje je f(x) = 1 µ e x/µ (x > 0). (i) Pokažite da se f(x) može napisati u obliku eksponencijalne familije distribucija. [2] (ii) Pokažite da je kanonski parametar, θ, dan s θ = 1 µ. [1] (iii) Odredite funkciju varijance i parametar skaliranja. [3] 5 [Ukupno 6 bodova]
6 PMF-Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT AKTUARSKA MATEMATIKA II Rješenja
7 1. Neka X označava trošak u slučaju nezgode. Tada je X E(λ)i E(X) = 1/λ = 2500 otkud λ = 1/2500. Zato je P(X > x) = e x/2500. Nadalje, premije na pojedinim nivoima su: 0% 2000 Kn 20% 1600 Kn 40% 1200 Kn 60% 800 Kn (i) (ii) nivo šteta nije šteta razlika vjerojatnost prijavljena prijavljena prijave štete 0% P(X > 800) = e 800/2500 = % P(X > 800) = e 800/2500 = % P(X > 400) = e 400/2500 = % P(X > 0) = 1 nivo 2. šteta nije 2. šteta razlika vjerojatnost prijavljena prijavljena prijave druge štete 0% P(X > 0) = 1 20% P(X > 800) = e 800/2500 = % P(X > 1600) = e 1600/2500 = % P(X > 2000) = e 2000/2500 = (iii) Računamo: P[20% 60%] = 0 2
8 P[20% 0%] = P[prijavljene dvije štete] = P[2 nezgode]p[šteta prijavljena nakon 1. nezgode dvije nezgode] P[šteta prijavljena nakon 2. nezgode dvije nezgode i šteta prijavljena nakon 1. nezgode] = = P[20% 40%] = P[0 prijava štete] = P[0 nezgoda] + P[1 nezgoda]p[šteta nije prijavljena nezgoda] + P[dvije nezgode]p[niti jedna šteta nije prijavljena dvije nezgode] = ( ) ( ) 2 = P[20% 20%] = P[prijavljena jedna šteta] = P[jedna nezgoda]p[šteta prijavljena nezgoda] + P[2 nezgode]p[šteta nije prijavljena nakon 1. nezgode nezgoda] P[šteta prijavljena nakon 2. nezgode nezgoda] + P[2 nezgode]p[šteta prijavljena nakon 1. nezgode nezgoda] P[šteta nije prijavljena nakon 2. nezgode nezgoda i šteta prijavljena nakon 1. nezgode] = ( ) ( ) = ili jednostavnije P[20% 20%] = = (i) Pojedinačna šteta koju isplaćuje reosiguratelj je { 0 X < X R = X X 3
9 Slijedi E[X R ] = = (x )0.01e 0.01x dx + e xe 0.01x dx = xe 0.01x = 200e 2 + e 1 + e 2 = (e 1 e 2 ) = Zato je E[S R ] = 12E[X R ] = E[X 2 R] = = 0.01e 0.01x dx + e e 0.01x dx (x ) e 0.01x dx + 2 e x 2 e 0.01x dx 2 = x 2 e 0.01x xe 0.01x dx 2 xe 0.01x dx e 0.01x dx + e 2 xe 0.01x dx 2 e 0.01x e 2 = 00e e e 1 00e e 2 = 20000(e 1 2e 2 ) = Slijedi da je Var[S R ] = 12E[X 2 R ] = Nadalje, E[(S R E[S R ]) 3 ] = 12E[XR 3 ] = = e 0.01x + 2 e 2 (ii) Označimo translatiranu gama varijablu s Y Γ(α, β). Tada je = X + c gdje je X E[Y ] = α β + c Var[Y ] = α β 2 E[(Y E[Y ]) 3 ] = 2α β 3 4
10 Slijedi: = α β + c = α β = 2α β 3 Iz druge i treće jednadžbe prvo slijedi β = , a zatim α = Na kraju iz prve jednadžbe dobivamo c = (i) Apriorna distribucija je Γ(α, β) distribucija s gustoćom f(λ) = βα Γ(α) λα 1 e βλ λ > 0. Očekivanje Γ(α, β) distribucije je α/β, a varijanca α/β 2. Slijedi: α β = 250, α β 2 = 45. Rješavanjem dobivamo β = 50/9 = i α = (50/9)250 = Nadalje: f(λ N) P(N λ)f(λ) λ e 50λ λ e λ = λ e λ Dakle, λ N Γ( , ). Bayesovski procjenitelj (uz kvadratni gubitak) je očekivanje aposteriorne distribucije E[λ N] = = 214 5
11 (ii) Po definiciji uvjetne vjerojatnosti imamo P(λ = 230 N = 7) P(N = 7 λ = 230)P(λ = 230) ( ) e 230/ = P(λ = 250 N = 7) P(N = 7 λ = 250)P(λ = 250) ( ) e 250/ = P(λ = 270 N = 7) P(N = 7 λ = 270)P(λ = 270) ( ) e 270/ = Zbroj desnih strana je = Slijedi da je aposteriorna distribucija od λ jednaka P(λ = 230 N = 7) = P(λ = 250 N = 7) = P(λ = 270 N = 7) = 0.269, a procjenitelj od λ je E[λ N] = = (iii) U prvom slučaju apriorna distribucija je neprekidna što je bolje za modeliranje. U prvom slučaju je očekivanje apriorne distribucije 250, u drugom 252, što je približno isto. U (i) se koristi više podataka nego u (ii), te stoga odabir apriorne distribucije ima manji utjecaj i procjene su pouzdanije. Stoga je procjenitelj u (i) bolji. 4. (i) Utjecaj parametara na vjerojatnost propasti: λ nema utjecaja µ povećanje od µ povećava vjerojatnost propasti σ 2 povećanje od σ 2 povećava vjerojatnost propasti θ povećanje od θ smanjuje vjerojatnost propasti (ii) Lundbergova nejednakost: ψ(u) exp{ RU} gdje je ψ(u) vjerojatnost propasti, U početni kapital, a R koeficijent prilagodbe. 6
12 (iii) Koeficijent prilagodbe R definiran je jednadžbom: odnosno uz c = (1 + θ)λµ, U slučajevma I i II, M X (r) je I M X (r) = e 2000r, II M X (r) = r, r < λ + cr = λm X (r) (r 0), 1 + (1 + θ)µr = M X (r). Tražene jednadžbe za koeficijent prilagodbe su: I (1 + θ)r = e 2000r, II (1 + θ)r = r, odnosno r = θ. 2000(1+θ) (iv) Vrijednost od R u slučaju eksponencijalno distribuiranih šteta R II je manja od vrijednosti od R kada sve štete iznose 2000 (R I ). Obje distribucije iznosa šteta imaju očekivanje 2000, ali eksponencijalna distribucija ima veću varijabilnost. Veća varijabilnost se povezuje s većim rizikom, te se stoga očekuje veća vrijednost od ψ(u) za eksponencijalnu distribuciju, te manja vrijednost od R. (v) Koeficijent prilagodbe jednak je rješenju jednadžbe 1 + (1 + θ)µr = M X (r), Geometrijeski, radi se o presjeku pravca r 1 + (1 + θ)µr i grafa funkcije r M X (r). Kada θ raste, raste i nagib pravca, pa stoga i apscisa presjecišta. 5. (i) Broj rizika je N = 3. Faktor povjerenja dan je formulom Z = n n + E[s 2 (θ)]/var[m(θ)]. 7
13 Ovdje je n = 4, a procjenitelji za E[s 2 (θ)] i Var[m(θ)] dani su sa: (X ij 3 3 X i ) 2 = 1 ( ) = , 3 i=1 j=1 odnosno sa 1 3 ( 2 X i X) i=1 3 i= (X ij X i ) 2 j=1 = 1 ( ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2) = = = gdje je korišteno Slijedi: X = X 1 + X 2 + X 3 3 Z = = = (ii) Faktor povjerenja Z ovisi o n, E[s 2 (θ)] i Var[m(θ)]. E[s 2 (θ)] mjeri varijabilnost podatka unutar rizika, dok Var[m(θ)] mjeri varijabilnost podataka medu rizicima. Može se vidjeti da je varijabilnost medu rizicima relativno velika (Rizik 2 ima znatno veću srednju vrijednost šteta), što znači da veću težinu treba dati pojedinačnim rizicima (Z je blizu 1). Kada bi n bio veći, Z bi takoder bio veći, jer bi o svakom pojedinačnom riziku imali viqv se informacija. 6. Za projiciranje se može se koristiti bilo metoda bruto faktora, bilo razvojnih faktora. Kumulativni broj prijavljenih šteta GNŠ RG
14 Prosječni iznosi šteta i projekcije GNŠ RG krajnje % 91.01% % % 91.01% % Brojevi šteta i projekcije GNŠ RG krajnje % 78.00% % % 78.00% % Projicirane ukupne štete: = = = 2345 Ukupno 4619 manje plaćene štete 2750 pričuva
15 7. (i) f(x) = 1 x µ e µ = exp ( xµ ) log µ ( ) xθ b(θ) = exp + c(x, φ) a(φ) gdje je θ = 1, b(θ) = log( 1 ) = log( θ), a(φ) = 1 i c(x, φ) = 0. µ θ (ii) Kanonski parametar je θ = 1 µ. (iii) Funkcija varijance je V (µ) = b (θ). Zbog b(θ) = log( θ), slijedi b (θ) = 1 = µ 2. Dakle, V (µ) = µ 2. Parametar skaliranja jednak je 1. θ 2 10
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPoslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike ISPIT
PMF-Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Poslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike ISPIT STOHASTIČKO MODELIRANJE 9. 6. 2008. Vrijeme trajanja ispita: 120 minuta Ukupan broj bodova:
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραTABLICE AKTUARSKE MATEMATIKE
Na temelju članka 160. stavka 4. Zakona o mirovinskom osiguranju («Narodne novine», br. 102/98., 127/00., 59/01., 109/01., 147/02., 117/03., 30/04., 177/04., 92/05., 43/07., 79/07., 35/08., 40/10., 121/10.,
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραAktuarska matematika II, 2.dio. Bojan Basrak
Aktuarska matematika II, 2.dio Bojan Basrak 2016 1 1. Bayesovska statistika Apriori i aposteriori razdioba Matematički gledano vjerojatnost je tek funkcija koja na matematički konzistentan način slučajnim
Διαβάστε περισσότεραISPIT MODELI DOŽIVLJENJA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA 12. 5. 23. Vrijeme trajanja ispita: 12 minuta Ukupan broj bodova: 1 Broj zadataka:
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραParametarski zadane neprekidne distribucije
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217. Sveučilište
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραFINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu. Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova.
Zagreb, 24. veljače 2003. FINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova. 1. Efektivna godišnja kamatna
Διαβάστε περισσότερα10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα