Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο ολοκλήρωμα, η οποία «λειτουργεί» ως αντίστροφη διαδικασία από εκείνη της παραγώγισης Παρουσιάζονται οι ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος και αναπτύσσονται οι τεχνικές υπολογισμού του Εισάγεται η έννοια του αθροίσματος Riem, με τη χρήση του οποίου, δίνεται ο ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος (κατά Riem) Διατυπώνεται το θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού και το Θεώρημα Μέσης Τιμής Προαπαιτούμενη γνώση Παράγωγος πραγματικής συνάρτησης, κανόνες παραγώγισης, τύποι παραγώγισης βασικών συναρτήσεων 7 Η έννοια του αόριστου ολοκληρώματος Στο Διαφορικό Λογισμό (βλέπε, Κεφάλαιο 5) είδαμε ως ερμηνεία της παραγώγου μίας συνάρτησης f : A σ ένα σημείο 0 A, τον αριθμό που δίνει την κλίση (ή συντελεστή διεύθυνσης) της εφαπτόμενης ευθείας της καμπύλης y = f( ) στο σημείο ( 0, f( 0) ) Αντίστροφα, αν δοθεί μία συνάρτηση g, της οποίας οι τιμές παριστάνουν την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας κάποιας άγνωστης καμπύλης σε κάθε σημείο της, μπορούμε να βρούμε ποια είναι η καμπύλη με την παραπάνω ιδιότητα ; Για παράδειγμα, έστω ότι η κλίση μίας καμπύλης δίνεται από τη συνάρτηση g ( ) = 5 και ζητούμε να βρούμε ποια είναι η καμπύλη, δηλαδή, αναζητούμε μία συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση σε κάθε σημείο (, f( )) έχει κλίση ίση με 5 Τότε, ως γνωστό, θα ισχύει f '( ) = 5 Οπότε αναζητούμε εκείνη τη συνάρτηση f, της οποίας η παράγωγος σε κάθε σημείο της ισούται με 5 Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε, από τις ιδιότητες παραγώγισης, ότι μία συνάρτηση f, που ικανοποιεί τη σχέση f '( ) = 5, 5 5 είναι η f( ) = Επίσης, θα μπορούσε να παρατηρήσει κάποιος, ότι και η συνάρτηση f( ) = + c, c ικανοποιεί την απαίτησή μας Έτσι οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό Ορισμός 7 Αν για τη συνάρτηση f υπάρχει μία συνάρτηση F, της οποίας η παράγωγος είναι η f, δηλαδή, F' = f σε ένα διάστημα Ι υποσύνολο του, η F ονομάζεται αντιπαράγωγος (ή παράγουσα ή αρχική συνάρτηση) της f και συμβολίζεται με A( f ) Παραδείγματα 7 i) Μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( ) = 5 (στο προηγούμενο παράδειγμα) είναι η συνάρτηση 5 5 A( 5 ) = F( ) = 5, όπως επίσης και οι συναρτήσεις F( ) = + 7, F( ) = είναι αντιπαράγωγοι της f( ), εφόσον επαληθεύεται ο Ορισμός 7 4 ii) Η συνάρτηση F( ) = + 5 είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( ) = 4 + 5

2 iii) Μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( ) = cos( ) είναι η συνάρτηση F( ) = si( ) Επίσης, F( ) = si( ) είναι μία αντιπαράγωγος της f( ) = cos( ) Πρόταση 7 Αν F'( ) = 0, για κάθε (, ), τότε F( ) = c, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός Απόδειξη: Έστω, (, ) με < Από την υπόθεση, η F ως παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) είναι και συνεχής στο ίδιο διάστημα (βλέπε, Πρόταση 5 ) και σε κάθε υποδιάστημα της μορφής (, ) Επομένως, για τη συνάρτηση F στο διάστημα [, ] ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (βλέπε, Θεώρημα 5), οπότε υπάρχει ξ [, ] τέτοιο ώστε να ισχύει: F( ) F( ) = F'( ξ )( ) (7) Επειδή από την υπόθεση προκύπτει F '( ξ ) = 0 η ισότητα στην (7) δίνει F( ) = F( ), για κάθε (, ) Αυτό δηλώνει ότι η F είναι σταθερή συνάρτηση, δηλαδή F( ) = c, για κάποιο c Εφαρμογή 74 Αν για τις συναρτήσεις F και G ισχύει F ( ) = G ( ) για κάθε (, ), τότε για κάποιο c F ( ) = G ( ) + c, Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπτει εύκολα από την Πρόταση 7, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση H ( ) = F ( ) G ( ) Παρατηρήσεις 75 i) Από την Εφαρμογή 74, συμπεραίνουμε ότι, αν F είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f, τότε κάθε συνάρτηση της μορφής F( ) + c, όπου c είναι μία πραγματική σταθερή συνάρτηση, αποτελεί επίσης μία αντιπαράγωγο της f Δηλαδή, η αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f δεν ορίζεται με μοναδικό τρόπο και όλες οι αντιπαράγωγοι διαφέρουν μεταξύ τους κατά τη σταθερά c ii) Η υπόθεση για την παραγωγισιμότητα των συναρτήσεων F και G στο διάστημα (, ) στην Πρόταση 7 είναι απαραίτητη και δεν μπορεί να παραληφθεί Πράγματι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( ) =, για κάθε I I =,,4 και τις συναρτήσεις τότε Όμως, με ( ) ( ) F( ) =, για κάθε I, και G ( ) = F'( ) = G'( ) = f( ), για κάθε I 0, αν (,) G ( ) F ( ) =,, αν (,4), αν [, ] +, αν [, 4] δηλαδή, δεν υπάρχει μοναδική πραγματική σταθερή συνάρτηση c τέτοια ώστε G ( ) = F ( ) + c, για κάθε I

3 Ορισμός 76 Έστω ένα διάστημα Ι υποσύνολο του, και f : I Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της f στο Ι ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα (idefiite itegrl) της f στο Ι και συμβολίζεται με f ( ), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή της f στο Ι Επομένως, αν F παριστάνει μία αντιπαράγωγο της f, τότε (7) f ( ) = F ( ) + c, c Η συνάρτηση f ονομάζεται ολοκληρωτέα ή υπό ολοκλήρωση συνάρτηση και είναι το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής, (βλέπε, Κεφάλαιο 5) Από τον Ορισμό 76 και την (7) είναι φανερό ότι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων αποτελούν συναρτήσεις των οποίων η γραφική παράσταση είναι μετατοπισμένη κατά τη σταθερή c από τη γραφική παράσταση της αντιπαραγώγου F( ) κατά μία διεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα y ' Oy Επιπλέον μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι εφαπτόμενες των καμπυλών F( ) + c στο σημείο είναι παράλληλες, επειδή η παράγωγος όλων των αντιπαραγώγων της f έχουν την ίδια τιμή στο σημείο με τετμημένη και είναι ίση με ( ) F( ) + c ' = f( ) Παράδειγμα 77 Αν η αρχική θέση ενός σώματος είναι s = 0, να βρεθεί η θέση του, όταν η ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t είναι v= 9,8t+ 5 Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα v ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος s στη μονάδα του χρόνου Δηλαδή, ds vt () = s'() t =, dt όπου st () η συνάρτηση η οποία δίνει την απόσταση του σώματος συναρτήσει του χρόνου t από ένα αρχικό σημείο Επομένως, ds s'( t) 9,8t 5 dt = = + Αναζητούμε τη συνάρτηση st () της οποίας η παράγωγος δίνεται από την παραπάνω σχέση Αναζητούμε, δηλαδή, το αόριστο ολοκλήρωμα v() t dt της συνάρτησης vt ( ) = 9,8t+ 5 και συγκεκριμένα, εκείνη την αντιπαράγωγο Avt ( ()), η οποία ικανοποιεί την αρχική συνθήκη s (0) = 0 Από τις ιδιότητες της παραγώγισης, είναι φανερό ότι 9,8 st ( ) = A( 9,8t+ 5) = t + 5t+ c, c 9,8 ή s() t = v() t dt = t + 5t + c Για να ικανοποιείται και η αρχική συνθήκη θα πρέπει 9,8 s(0) = c= 0 c= 0 Τελικά, η ζητούμενη συνάρτηση st () είναι ds Σημείωση Εξισώσεις σαν την 9,8t 5 st ( ) = 4,9t + 5t+ 0 dt = + ή ( 9,8 5) ds = t + dt ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις, οι λύσεις των οποίων ως προς την άγνωστη συνάρτηση (στο Παράδειγμα 77 είναι η st ()) δίνονται με τη βοήθεια αορίστων ολοκληρωμάτων, (βλέπε, Κεφάλαιο 8) Όταν υπάρχει και αρχική συνθήκη, (όπως η s (0) = 0 ) λέμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών ή συνθηκών

4 Η επόμενη πρόταση αναφέρεται στη γραμμική ιδιότητα του αόριστου ολοκληρώματος Πρόταση 78 Αν f και g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα Ι του και έχουν αόριστα ολοκληρώματα στο Ι και, (όχι και οι δύο μηδέν), τότε η συνάρτηση f + g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο Ι και ισχύει ( ) f ( ) + g( ) = f ( ) + g( ) Απόδειξη: Εφαρμόζοντας τους Ορισμούς 7 και 76 η απόδειξη προκύπτει άμεσα Στην επόμενη εφαρμογή γενικεύεται η ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Εφαρμογή 79 Αν c, c,, c και για τις συναρτήσεις f, f,, f υπάρχουν οι αντιπαράγωγοί τους, τότε c f ( ) + c f ( ) + + c f ( ) = c f ( ) + c f ( ) + + c f ( ) ( ) Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπτει από την Πρόταση 78 με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής Κάθε φορά που εφαρμόζεται είτε η Πρόταση 78 είτε η Εφαρμογή 79 κατά τον υπολογισμό αορίστου ολοκληρώματος, δεν είναι αναγκαίο να γράφεται η σταθερά που προκύπτει σε κάθε επιμέρους αόριστο ολοκλήρωμα, επειδή το άθροισμα τελικά όλων των επιμέρους σταθερών είναι ξανά μία σταθερά, η οποία γράφεται μία φορά στο τέλος της συνολικής ολοκλήρωσης Δίνουμε παρακάτω τα αόριστα ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων, τα οποία προκύπτουν από τις παραγωγίσεις των αντίστοιχων συναρτήσεων: 70 Πίνακας ολοκλήρωσης στοιχειωδών συναρτήσεων 0 = c, c = + c, + = + c, { } + 4 = l + c, f ( ) f ( ) f '( ) = + c, { } + 6 '( ) f = l f ( ) + c, f( ) 0 f( ) e = e + c, = + c, 0<, l si( ) = cos( ) + c, cos( ) = si( ) + c, 4

5 t( ) = l cos( ) + c cot( ) = l si( ) + c 4 t( ) cos ( ) = + c π π, kπ, kπ + k, (( k ) π, kπ) cot( ) si ( ) = + c 5 rcsi( ) c si ( ) c = + = +, k, (,) 6 = rc t( ) + c = t ( ) + c, + 7 sih( ) = cosh( ) + c και cosh( ) = sih( ) + c, 8 9 th( ) cosh ( ) = + c + και coth( ) sih ( ) = + c ( ) = + = sih ( ) c l c 0 cosh ( ) = + c, [,], Παραδείγματα 7 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) p( ), όπου p( ) = , i, 0 i ii) iii) iv) 5 + v) vi) 4 + si ( ) cos ( ) i) Εφαρμόζοντας την Εφαρμογή 79 και τον τύπο () του Πίνακα 70 έχουμε p( ) = = ( 0) = = 0 + = c, c + Ακολουθώντας τον παραπάνω τρόπο υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε πολυωνυμικής συνάρτησης ii) Εφαρμόζοντας τον τύπο (5) του Πίνακα 70 για = και f( ) = έχουμε: 5

6 + ( ) ( ) = ( )' = + c = + c, c iii) Εφαρμόζοντας την Πρόταση 78 και τον τύπο (5) του Πίνακα 70 για = και f( ) = έχουμε: 5 ( ' ) 5 5 = 5 = 5 = ( )' = + c, c iv) Εφαρμόζοντας τον τύπο (6) του Πίνακα 70 έχουμε: ( 5 + ' ) = = l c 5+, c v) Εφαρμόζοντας την Πρόταση 78 και στη συνέχεια τον τύπο (6) του Πίνακα 70 έχουμε 4 4+ = = = = 4 + = + = ( 4 + ' ) = + = + l c, c vi) Επειδή si ( ) + cos ( ) =, εφαρμόζοντας τους τύπους () και (4) του Πίνακα 70 και την Πρόταση 78 έχουμε: si ( ) + cos ( ) = = si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) = + = = + cos ( ) = si ( ) = t( ) cot( ) + c, c Επειδή οι ιδιότητες της παραγώγου του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων δίνουν πολύπλοκο τύπο, το αόριστο ολοκλήρωμα τέτοιων συναρτήσεων απαιτεί ανάπτυξη μεθοδολογίας τέτοιας ώστε στο αρχικό αόριστο ολοκλήρωμα να μπορεί να εφαρμοστεί η ιδιότητα της γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος για τις βασικές συναρτήσεις (βλέπε, Πρόταση 78 και Πίνακα 70) Έτσι, στις επόμενες ενότητες παρουσιάζουμε τις σημαντικότερες μεθόδους υπολογισμού αορίστου ολοκληρώματος, που είναι: μέθοδος της αντικατάστασης, μέθοδος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης, μέθοδος ολοκλήρωσης ρητών συναρτήσεων, μέθοδος ολοκλήρωσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων, και μέθοδος αναγωγής σε ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων 6

7 7 Μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση Έστω η συνάρτηση f : I ορισμένη και συνεχής στο διάστημα Ι και = gt (), όπου g συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ' κι επομένως Έτσι, I, τέτοιο ώστε g( I' ) I ( ) ( ) ( ) F g '() t = F' gt () g'() t = f gt () g'() t ( ) ( ) Αν F είναι μία αντιπαράγωγος της f, τότε f g() t g '() t dt = F g() t + c = F( ) + c = f ( ) ( ) f g () t g '() t dt = f ( ) (7) Η σχέση (7) μας επιτρέπει αντί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα f ( ) να υπολογίσουμε το f ( g() t ) g '() t dt, το οποίο προκύπτει αν αντικαταστήσουμε την αρχική ανεξάρτητη μεταβλητή με = gt (), με σκοπό το τελευταίο ολοκλήρωμα να είναι πιο εύκολο στον υπολογισμό του από ό,τι το αρχικό Παρατηρήσεις 7 i) Επειδή g () t dt = d ( g() t ), η σχέση (7) μπορεί να γραφεί κι ως f ( g () t ) g '() t dt = f ( g () t ) dg () t = f ( ) (7) ii) Η συνάρτηση gt () = μέσω της οποίας αλλάζουμε τη μεταβλητή από σε t πρέπει να είναι - Και αυτό γιατί, το ολοκλήρωμα f ( g () t ) g '() t dt είναι μία συνάρτηση (αντιπαράγωγος) του t, ενώ το αρχικό ολοκλήρωμα ζητείται ως συνάρτηση του Έτσι, αν G είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( gt ()) g'() t, τότε f ( g () t ) g '() t dt = G () t + c Επειδή η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη, αφού είναι -, έχουμε t = g ( ), οπότε f ( g() t ) g '() t dt = G() t + c = G( g ( ) ) + c, όπου ( ) G g ( ) = F( ) μία αντιπαράγωγος της f iii) Κατά τη διαδικασία αλλαγής μεταβλητής για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος f ( ) ακολουθούμε τα ακόλουθα βήματα: Βήμα Επιλέγουμε κατάλληλη συνάρτηση g, η οποία είναι παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη, θέτουμε = gt () (το σύμβολο της νέας μεταβλητής μπορεί να είναι u, v, y, z ή όποιο άλλο θελήσουμε) Η επιλογή της g δεν είναι μοναδική (βλέπε, Παράδειγμα 7 (i)) Βήμα Αντικαθιστούμε την «παλιά» μεταβλητή στο f ( ) καθώς και το διαφορικό από τη σχέση = g () t dt Βήμα Υπολογίζουμε το f ( g () t ) g '() t dt και στο τέλος θέτουμε t = g ( ) Παραδείγματα 7 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) 5 ii) 7 + iii) l iv) e 7

8 i) Θέτουμε t = 5, άρα t + 5 = gt () = Τότε dt = ( 5) = Από τον τύπο (5) του Πίνακα 70 για = το ολοκλήρωμα γράφεται : dt = = dt = ( t ) dt = t + c 5 t t, c Επειδή t = 5 (και η g είναι αντιστρέψιμη (γιατί;)), προκύπτει τελικά ότι 5 5 = + c, c Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε, επίσης, να κάνουμε την αντικατάσταση t = 5 (για ( 5) dt = = 5 = t Επομένως, t = dt = dt = t + c = 5 + c 5 t ii) Θέτουμε = t, άρα, c = = () Τότε dt = ( ) = = t dt, t gt επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται: t t 7+ t 7 7+ t 7 dt = dt = dt = dt dt = dt 4 dt 7+ t 7+ t 7+ t 7+ t 7+ t 7+ t Από την ολοκλήρωση στοιχειωδών συναρτήσεων το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται με t dt = t 4l 7 + t + c = 4l c, c 7 + t t iii) Θέτουμε t = l, άρα = e = gt () Τότε dt =, επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται = dt l t c l l c l = = + = + l, c t iv) Θέτουμε = t, οπότε dt = και επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται 5 > ), οπότε t t e = e = e dt = e + c = e + c, c Εφαρμογή 7 i) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν υπολογίζονται, θέτοντας = si( t), όπου >, 0 ii) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν υπολογίζονται, θέτοντας = cosh( t), όπου >, 0 Απόδειξη: i) Έστω ότι I =, με >, 0 Θέτουμε = si( t), οπότε t = si (για κατάλληλα ) και d( ) = d ( si( t) ) = cos( t) dt = cos( t) dt 8

9 Επίσης ( ) t t t = si ( ) = si ( ) = cos ( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και επειδή > 0 καταλήγουμε: I = cos( t) dt = dt t c si c cos ( t) = + = +, c Παρατήρηση: Όταν το ριζικό βρίσκεται στο παρονομαστή, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε και τον τύπο (5) του Πίνακα 70 Δηλαδή, μπορούμε να θέσουμε = t, οπότε = dt και = t = t, > 0 Έτσι, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και εφαρμόζοντας τον τύπο (5), έχουμε I = dt = dt si ( t) c si c t = + = + t, c ii) Έστω ότι I =, με >, 0 Θέτουμε = cosh( t), οπότε d( ) = ( cosh( t) ) dt = sih( t) dt = sih( t) dt, και = cosh ( t) = cosh ( t) = sih ( t) ( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και επειδή > 0 καταλήγουμε: I = sih ( t) sih( t) dt = sih ( t) dt cosh( ) Επειδή sih ( ) = (βλέπε, Εφαρμογή 66) και ( sih( ) ) = cosh( ), έχουμε cosh( t) ( ) I = dt cosh( t) dt dt sih( t) t c sih( t) t c = = + = + = 4 = sih cosh cosh + c, c 4 Ανάλογα εργαζόμαστε για το ολοκλήρωμα I =, που αφήνεται ως άσκηση Παραδείγματα 74 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) I = ii) I = 4 9 i) Θέτουμε = si( t), οπότε 9

10 Επιπλέον, t si = και = cos( t) dt ( ) 4 4 4si ( ) 4 si ( ) 4cos ( ) cos( ) = t = t = t = t Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα () από το Τυπολόγιο 58 έχουμε: 4si ( t) cos( t) I = cos( t) dt = 4 si ( t) dt 4 dt ( dt cos( t) dt) cos( t) = = = dt cos( t) dt = t si( t) + c = = + c c si si si, ii) Η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση περιέχει το ριζικό 9 το οποίο είναι της μορφής και σύμφωνα με την Εφαρμογή 7 (ii) θέτουμε = cosh( t) και ακολουθώντας τα βήματα της απόδειξης της Εφαρμογής 7 (ii) καταλήγουμε I = = t + c = cosh c + 9, c Ένας άλλος τρόπος απόδειξης μπορεί να προκύψει από την εφαρμογή του τύπου (0) του Πίνακα70, επειδή το ριζικό 9 βρίσκεται στον παρονομαστή Συνεπώς, αν θέσουμε = u έχουμε: = du και = = 9 9u 9 u Επομένως μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα έχουμε: I = du = du = cosh ( u) + c = cosh c + u u, c Από τον Ορισμό 67 μπορούμε ακόμη να γράψουμε, για 0, ότι I = l + + c= l c 9, c Εφαρμογή 75 i) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν τη συνάρτηση υπολογίζονται, θέτοντας = sih( t) +, με >, 0, Να αποδείξετε ότι: l I = = c , >, 0, c ii) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν τη συνάρτηση +, με,, υπολογίζονται, θέτοντας = t( t) Να αποδείξετε ότι: t = = +, I c με c,, + 0

11 Απόδειξη: i) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I = + >, 0 Θέτουμε = sih( t), οπότε t = sih (για κατάλληλα ) και = cosh( t) dt = cosh( t) dt Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα > 0 μπορούμε να γράψουμε: cosh ( t) sih ( t) = +, (βλέπε, Εφαρμογή 66 (i)) και επειδή ( ) t t + = sih ( ) + = cosh( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα, αυτό μετασχηματίζεται στο I = cosh( t) dt = dt t c sih c cosh( t) = + = +, c Για κάθε σύμφωνα με τον Ορισμό 6 και την (64) το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται +, c I = = sih + c = l c ii) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I =, με, + Θέτουμε = t( t), οπότε t = t και = dt = dt cos ( t) cos ( t) Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα () από το Τυπολόγιο 58 έχουμε: + = t ( t) + = ( t ( t) + ) = cos ( t) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα, αυτό μετασχηματίζεται στο t I = dt = dt t c t c cos ( t) = + = = +, c cos ( t) Παραδείγματα 76 Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα Παρατηρούμε ότι I = ( ) = + +, συνεπώς, η ολοκληρωτέα συνάρτηση παίρνει τη μορφή των συναρτήσεων της Εφαρμογής 75 Θέτουμε + = sih( t) από όπου προκύπτει d( + ) = d(sih( t)) = cosh( t) dt Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα cosh ( t) sih ( t) = +, (βλέπε, Εφαρμογή 66 (i)) έχουμε:

12 ( ) ( ) + + = 4sih ( t) + 4 = 4 + sih ( t) = cosh ( t) = cosh( t) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα και εφαρμόζοντας τον τύπο (7) του Πίνακα 70 και την ταυτότητα (iv) της Εφαρμογής 66, αυτό μετασχηματίζεται στο + cosh( t) I = cosh( t) cosh( t) dt = cosh ( t) dt = dt = sih( t) = dt + cosh( t) dt = t + + c = + + = sih + sih sih + c, c Παρατήρηση: Χρησιμοποιήσαμε τη δεύτερη μορφή αντικατάστασης επειδή καθιστά ευκολότερο τον υπολογισμό του δοσμένου ολοκληρώματος Αν θέταμε + = t( t), τότε d( + ) = d( t( t)) = dt cos ( t) και + + = + = + = = ( ) t ( t ) 4 t ( ) 4 4 t ( ) cos ( t ) cos( t ) Σε αυτήν την περίπτωση το αρχικό ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται στο I = dt = dt cos( t) cos ( t) cos ( t), το οποίο είναι δυσκολότερο στον υπολογισμό του συγκριτικά με την παραπάνω αντικατάσταση Στην Ενότητα 75, θα προτείνουμε μία μέθοδο υπολογισμού αυτών των ολοκληρωμάτων Στη συνέχεια μελετώνται τριγωνομετρικά ολοκληρώματα, που έχουν τουλάχιστον έναν από τους εκθέτες των si( ),cos( ) περιττό φυσικό αριθμό Η περίπτωση, όπου οι δύο εκθέτες είναι άρτιοι μελετάται στην Ενότητα 75 Εφαρμογή 77 i) Αόριστα ολοκληρώματα της μορφής si k + m I = ( )cos ( ), km,, υπολογίζονται, θέτοντας t = cos( ) ii) Αόριστα ολοκληρώματα της μορφής k+ J = si ( )cos ( ), k,, υπολογίζονται, θέτοντας t = si( ) Απόδειξη: i) Το ολοκλήρωμα Ι γράφεται: k+ m k m I = si ( )cos ( ) = si ( )cos ( )si( ) Θέτουμε t = cos( ), από όπου προκύπτει dt = d(cos( )) = (cos( )) = si( ) dt = si( ) Επιπλέον μπορούμε να γράψουμε: k si ( ) = si ( ) = cos ( ) = t ( ) ( ) ( ) k k k Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα Ι, αυτό μετασχηματίζεται στο k+ m k m I = si ( )cos ( ) = t t dt ( )

13 Για τις διάφορες τιμές των φυσικών αριθμών k, m, στο I η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι πολυωνυμική με ανεξάρτητη μεταβλητή t βαθμού k + m και υπολογίζεται σύμφωνα με το Παράδειγμα 7(i) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τη μεταβλητή t με t = cos( ) ii) Ανάλογα εργαζόμαστε για το ολοκλήρωμα J Θέτουμε t = si( ), από όπου προκύπτει Επιπλέον μπορούμε να γράψουμε: dt = d(si( )) = si( ) = cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k cos ( ) = cos ( ) = si ( ) = t Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα J, αυτό μετασχηματίζεται στο k+ k k si ( )cos ( ) si ( )cos ( )cos( ) ( ) J = = = t t dt Για τις διάφορες τιμές των φυσικών αριθμών k,, στο J η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι πολυωνυμική με ανεξάρτητη μεταβλητή t βαθμού k + και υπολογίζεται σύμφωνα με το Παράδειγμα 7(i) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τη μεταβλητή t με t = si( ) Παράδειγμα 78 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Θέτουμε t = cos( ), οπότε έχουμε 4 I si ( )cos ( ) = dt = si( ) dt = si( ) Επιπλέον μπορούμε να γράψουμε: si ( ) = si ( )si( ) = cos ( ) si( ) ( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα, αυτό μετασχηματίζεται στο 4 4 I = ( cos ( ) ) cos ( )si( ) = ( t ) t dt = t t cos ( ) cos ( ) = ( t t ) dt = + + c = + + c, c

14 7 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ένας τρόπος υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων, όταν η μέθοδος αλλαγής μεταβλητής δεν συμβάλλει στον υπολογισμό τους Η μέθοδος ανάγει ένα ολοκλήρωμα της μορφής f dg σε ένα ολοκλήρωμα της μορφής g df, όπου f, g συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής Πρόταση 7 Έστω f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις ορισμένες σ ένα διάστημα Ι Αν η συνάρτηση f g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο Ι, τότε η συνάρτηση f g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο Ι και ισχύει f( ) g ( ) = f( ) g( ) f ( ) g( ) (7) Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο διάστημα Ι και έστω F μία αντιπαράγωγος αυτής Τότε F ( ) = f ( ) g ( ) Σύμφωνα με τον Ορισμό 75 έχουμε f g f( ) g ( ) = { f g F + c: c } Έστω G f g f ( ) g( ) = { f g F + c: c }, οπότε G = f g F + c, για κάποια σταθερή c Τότε G ( ) = ( f( ) g( ) ) F ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) f ( ) g( ) = f( ) g ( ) Η τελευταία ισότητα σημαίνει ότι η συνάρτηση G είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f g, δηλαδή G f g Επομένως, { } f g f ( ) g( ) = f g F + c : c f ( ) g ( ) (7) Έστω H μία αντιπαράγωγος της f g, δηλαδή, H f ( ) g ( ) και H ( ) = f( ) g ( ) = f ( ) g ( ) + f( ) g ( ) f ( ) g ( ) = = ( f( ) g ( )) f ( ) g ( ) = ( f( ) g ( )) F ( ), όπου F μία αντιπαράγωγος της f ( ) g ( ) Δηλαδή, υπάρχει σταθερή c τέτοια ώστε H = f g F + c, το οποίο υποδηλώνει ότι H f g f ( ) g( ) Άρα, f ( ) g ( ) f g f ( ) g( ) (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις στην (7) και (7) με τον Ορισμό 7 συμπεραίνουμε την ισχύ της (7) Παρατηρήσεις 7 i) Η Πρόταση 7 αναφέρεται σε ολοκλήρωση γινομένου δύο συναρτήσεων, όπου η μία εκ των δύο είναι η παράγωγος μίας γνωστής συνάρτησης Επειδή d ( g( ) ) = g ( ), ο τύπος (7) ανάγει ένα ολοκλήρωμα της μορφής f dg στο ολοκλήρωμα g df του οποίου ο υπολογισμός είναι (πιθανώς) ευκολότερος ii) Σε ένα ολοκλήρωμα της μορφής u( ) v( ), όπου είναι εύκολο να γράψουμε u ( ) = f ( ) και v ( ) = g ( ), ο τύπος στην (7) μπορεί να εφαρμοστεί είτε f ( ) v( ) είτε u( ) g ( ) iii) Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες και η εφαρμογή της (7) μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές χρειάζεται προκειμένου να καταλήξουμε σε απλοποιημένη μορφή ολοκληρώματος (βλέπε, Παράδειγμα 7 (ii)) 4

15 Παραδείγματα 7 i) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = cos( ) Είναι γνωστό ότι cos( ) ( si( )) έχουμε =, οπότε σύμφωνα με τον τύπο (7) της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, I = cos( ) = si( ) = si( ) si( ) = ( ) = si( ) si( ) = si( ) + cos( ) + c, c Παρατήρηση Αν κάποιος, αξιοποιώντας την Παρατήρηση 7 (ii), ορθά γράψει: I = cos( ) cos( ) ( cos( ) ) = = cos( ) ( si( ) ) = = cos( ) + si( ) cos( ) I, = + όπου I = si( ), τότε πρέπει να υπολογίσει το I Στη συνέχεια ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία με την παραπάνω για τον υπολογισμό του I, αν γράψει I = si( ) si( ) ( si( ) ) si( ) cos( ) = = = = si( ) I, 6 όπου I = cos( ), τότε πρέπει να υπολογίσει το I, που για τον υπολογισμό του απαιτείται ένα 6 4 ολοκλήρωμα της μορφής I = cos( ) Όπως είναι φανερό, η παραπάνω υπολογιστική διαδικασία 4 είναι ατέρμονη, επειδή οι δυνάμεις της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνονται διαρκώς, αν και η εφαρμογή του τύπου (7) είναι ορθή Επομένως, μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I = p( ) cos( ), όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας του συνημιτόνου και όχι της πολυωνυμικής συνάρτησης ii) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = e Εφαρμόζοντας δύο φορές τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: I = e = e e = e e = ( ) ( ) ( ) ( ) = e e = e e ( ) e = e e + e = = e e + e + c, c Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του f ( ) ολοκληρώματος I = p( ) e, όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας της εκθετικής συνάρτησης και εφαρμογή του (7) τόσες φορές όσες και ο βαθμός της πολυωνυμικής συνάρτησης p ( ) iii) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = e cos( ) Επειδή ( ) = και ( e ) si( ) cos( ) = έχουμε διπλή δυνατότητα για τη χρήση του τύπου (7) Εφαρμόζοντας δύο φορές τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: e 5

16 ( ) ( ) I = e si( ) = e si( ) e si( ) = e si( ) e si( ) = = e si( ) e cos( ) = e si( ) + e cos( ) = ( ) ( ) ( ) = e si( ) + e cos( ) + c e cos( ) = ( ) ( ) = e si( ) + cos( ) + c e cos( ) = e si( ) + cos( ) + c I Άρα, το αρχικό ολοκλήρωμα Ι επανεμφανίζεται, οπότε I = e ( si( ) + cos( ) ) + c I I = e ( si( ) + cos( ) ) + c I = e ( si( ) + cos( ) ) + c, c, όπου c= c Στην ίδια απάντηση θα καταλήγαμε αν χρησιμοποιούσαμε εξαρχής το ( e ) = στην εφαρμογή του (7) iv) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = l Επειδή = το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί ως I = l Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: I = l l ( l ) = = l = l = l + c, c Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I = p( ) l( f ( )), όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, αρχικά απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας της πολυωνυμικής συνάρτησης p ( ) ii) Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = t ( ) Όπως στο προηγούμενο Παράδειγμα 7(iv) μπορούμε να γράψουμε: ( )' I = t ( ) t ( ) ( t ( ) = ) = t ( ) = + 4 ( + 4 ) = t ( ) t ( ) l ( 4 ) c, c 4 = Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I = p( ) t ( f ( )), όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, αρχικά απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας της πολυωνυμικής συνάρτησης p ( ) e Εφαρμογή 74 Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: si ( ) cos( ) + ( ) I I = si ( ) = (74) Απόδειξη: Επειδή (cos( )) = si( ), από τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: 6

17 I = si ( ) = si ( )si( ) ( ) = si ( ) si( ) = ( ) = si ( ) cos( ) = = si ( )cos( ) + ( ) si ( )cos ( ) = ( ) = si ( )cos( ) + ( ) si ( ) si ( ) = = si ( )cos( ) + ( ) si ( ) ( ) si ( ) = = si ( )cos( ) + ( ) I ( ) I Επομένως, για κάθε έχουμε: si ( )cos( ) + ( ) I I + ( ) I = si ( )cos( ) + ( ) I I = Εφαρμογή 75 Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: I = = + I ( ), (75) + + ( ) με I c ( ) ( ) t = = +, c + Απόδειξη: Για κάθε το ολοκλήρωμα I μπορεί να γραφεί: I = ( + ) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες (7) έχουμε: ( + ) I = = + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Για το τελευταίο ολοκλήρωμα στην (76) έχουμε: + α α + = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (76) = = I I + + ( + ) ( + ) Αντικαθιστώντας την τελευταία ισότητα στην (76) έχουμε I = + ( I I ) = + I I ( + ) ( + ) ή ισοδύναμα, λύνοντας ως προς I + : I + + = + I ( + ) + Επειδή, την παραπάνω ισότητα μπορούμε να την γράψουμε I = + I ( ) ( + ) ( ) Για =, σύμφωνα με την Εφαρμογή 75 (ii) είναι φανερό ότι I = = t c, + c, + το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη Οι τύποι (74) και (75) ονομάζονται αναγωγικοί (ή αναδρομικοί) τύποι, 7

18 74 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων ρητών P ( ) συναρτήσεων, δηλαδή πηλίκων της μορφής, όπου P ( ), Q ( ) είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις Q ( ) Διάφορα ολοκληρώματα, όπως εκείνα αρκετών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ανάγονται σε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων και επομένως, είναι σημαντική η γνώση του υπολογισμού τους Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων βασίζεται στην ανάλυση μίας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων, δηλαδή κλασμάτων της μορφής: A A + B και, όπου m, και p 4q< 0 ( r) m ( + p + q ) Η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων σε συνδυασμό με την ιδιότητα της P ( ) γραμμικότητας του ολοκληρώματος ανάγει τον υπολογισμό του στους υπολογισμούς απλούστερων Q ( ) ολοκληρωμάτων όπως είναι ( r), και A + B Συμβολίζουμε με degp() (αντ degq()) m ( + p + q) το βαθμό του αντίστοιχου πολυωνύμου P() (αντ του Q()) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Ι) deg P ( ) deg Q ( ) και ΙΙ) deg P ( ) < deg Q ( ) Ι) deg P ( ) deg Q ( ) Η περίπτωση αυτή ανάγεται στην περίπτωση (ΙΙ) μετά τη διαίρεση πολυωνύμων P ( ): Q ( ) Επειδή deg P ( ) deg Q ( ) στη διαίρεση P ( ): Q ( ) αντιστοιχεί, ως γνωστό, ένα πηλίκο π ( ) και ένα υπόλοιπο υ ( ), που οι βαθμοί ικανοποιούν τη συνθήκη 0 deg υ( ) < deg Q ( ) και τα πολυώνυμα συνδέονται μεταξύ τους με την ακόλουθη ισότητα P ( ) = Q ( ) π( ) + υ( ) από όπου προκύπτει: P ( ) υ( ) = π ( ) + Q ( ) Q ( ) Επομένως, P ( ) υ( ) ( ) ( ) υ = ( ) Q ( ) π + = π + Q ( ) Q ( ) (74) Η ολοκλήρωση π ( ) αφορά την πολυωνυμική συνάρτηση π ( ) και είναι απλή (βλέπε, Παράδειγμα υ( ) 7 (i)) Η ολοκλήρωση είναι μία ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης, που εντάσσεται στην Q ( ) περίπτωση (ΙΙ), επειδή 0 deg υ( ) < deg Q ( ), η οποία εξετάζεται στη συνέχεια ΙΙ) deg P ( ) < deg Q ( ) P ( ) Ο υπολογισμός του, όταν deg P ( ) < deg Q ( ), απαιτεί τα ακόλουθα βήματα: Q ( ) Βήμα : Ανάλυση του πολυωνύμου Q ( ) σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ( r) m, r είναι ρίζα του Q, ( ) και δευτεροβαθμίων παραγόντων ( + p + q), όταν p 4q< 0 Βήμα : Σε κάθε παράγοντα της μορφής ( r) m, r είναι ρίζα του Q, ( ) αντιστοιχεί το άθροισμα των μερικών (ή απλών) κλασμάτων ως εξής: m A A A Am ( r) , όπου A m, A,, Am r r r r ( ) ( ) ( ) 8

19 Σε κάθε παράγοντα της μορφής ( p q) + + με p 4q< 0 αντιστοιχεί το άθροισμα των μερικών κλασμάτων ως εξής: B+ C B+ C B+ C B + C ( + p + q) p + q + p + q + p + q + p + q, ( ) ( ) ( ) όπου Bi, Ci, i=,,, Βήμα : Επειδή, από την Άλγεβρα είναι γνωστό ότι, κάθε ρητή συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μερικών κλασμάτων, τέτοιων όπως στο Βήμα, απαιτείται το άθροισμα όλων των μερικών κλασμάτων να P ( ) ισούται με τη ρητή συνάρτηση Μετά την άθροιση των μερικών κλασμάτων (κάνοντας πρώτα Q ( ) ομώνυμα τα κλάσματα), προκύπτει ρητή συνάρτηση με παρονομαστή Q ( ) Επομένως, η προηγούμενη απαίτηση, εξισώνει δυο ρητές συναρτήσεις με ίδιο παρονομαστή, Q, ( ) οπότε πρέπει και οι αριθμητές να είναι ίσοι Δηλαδή, ο νέος αριθμητής, ο οποίος είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση, πρέπει να είναι ίσος με P ( ) Η ισότητα των πολυωνύμων οδηγεί σε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους συντελεστές Ai, Bj, C j, από όπου υπολογίζονται Βήμα 4: Σύμφωνα με την Εφαρμογή 79 το ολοκλήρωμα ολοκληρωμάτων είτε της μορφής ( r), είτε m A + B ( + p + q) P ( ) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα Q ( ), για τους διαφορετικούς φυσικούς αριθμούς m και Εφαρμόζοντας τους τύπους () και (4) του Πίνακα 70 υπολογίζονται τα ολοκληρώματα της πρώτης μορφής:, όταν m m m ( r) = m (74) ( r) l r, όταν m= Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος άθροισμα τετραγώνων όπου (υπενθυμίζεται ότι ισχύει A + B ( + p + q) p p, το πολυώνυμο + p + q γράφεται ως + p + q = + + q = ( + c) + d, c, d, (74) 4 p p d = q, με 4 4q< 0) Θέτοντας u = + c, το αόριστο ολοκλήρωμα είτε σε ολοκλήρωμα της μορφής Πίνακα 70 και ισούται με: p c =, (744) u ( u + c ) 4q p 0 >, (745) A + B ανάγεται: ( + p + q) du, το οποίο υπολογίζεται από τους τύπους (5) και (6) του 9

20 είτε σε ολοκλήρωμα της μορφής:, όταν u ( ) ( u + c ) du = (746) ( u + c ) l( u + c ), όταν = du (747) ( u + c ) Το αόριστο ολοκλήρωμα στην (747) αντιμετωπίζεται μέσω του αναδρομικού τύπου (75) της Εφαρμογής 75 Παραδείγματα 74 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) I = ii) I = + iii) I = ( + ) iv) I 4 = v) I5 = i) Επειδή deg P ( ) = deg(4 + 5) < deg Q ( ) = deg( + ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης Έχουμε + = + ( ) ( ) Σύμφωνα με το Βήμα στον παράγοντα ( ) αντιστοιχεί άθροισμα δύο μερικών κλασμάτων, (τόσα κλάσματα όση είναι η πολλαπλότητα της ρίζας r =, δηλαδή, ) ( ) A B +, AB, ( ) και στον παράγοντα + αντιστοιχεί ένα απλό κλάσμα C + + Απαιτούμε A B C A ( )( + ) + B ( + ) + C = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A+ C) + ( A+ B C) + ( A+ B+ C) = ( ) ( + ) από όπου προκύπτει η ισότητα των πολυωνύμων: 4 + 5= ( A+ C) + ( A+ B C) + ( A+ B+ C) Η παραπάνω ισότητα δίνει: A+ C = 4 A= A+ B C = B= A B C = C = Επομένως, η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων είναι: ( ) 0

21 4 + 5 = ( ) Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή των τύπων στην (74) ως ακολούθως: I = + + = + + = ( ) + ( ) + = l + l + + c, c ii) Επειδή deg P ( ) = deg < deg Q ( ) = deg( + ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης ( + ) Ο παρονομαστής ( + ) είναι ένα πολυώνυμο χωρίς πραγματικές ρίζες, οπότε σύμφωνα με το Βήμα η ρητή συνάρτηση γράφεται ως άθροισμα μερικών κλασμάτων ως εξής: A+ B C+ D A + B + ( A + C) + ( B + D) = + = ( + ) + ( + ) ( + ) Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει η ισότητα των πολυωνύμων: = A + B + ( A + C) + ( B + D), το οποίο δίνει: A= A= B 0 = B= 0 A+ C = 0 C = B+ D= 0 D= 0 Επομένως, η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων είναι: = + ( + ) + ( + ) Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου στην (746) ως ακολούθως: I = + = = + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) = l( ) c, c = ( + ) + 4 iii) Επειδή deg P ( ) = deg< deg Q ( ) = deg( ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης 4 Έχουμε 4 = ( )( + )( + ) Σύμφωνα με το Βήμα, η ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων έχει τη μορφή:

22 A B C + D = + + = ( + )( + ) + ( )( + ) + ( + )( + )( ) A B C D = = 4 ( A+ B+ C) + ( A B+ D) + ( A+ B C) + ( A B D) = 4 Από την ισότητα των πολυωνύμων προκύπτει: A = A+ B+ C = 0 4 A B + D = 0 B = 4 A+ B C = 0 C = 0 A B D= D = Επομένως, η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων είναι: = Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή των τύπων στις (74) και (747) ως ακολούθως: I = = = l l + t ( ) + c, c 4 4 iv) Επειδή deg P ( ) = deg< deg Q ( ) = deg( ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης Σύμφωνα με το Βήμα, προσπαθούμε να αναλύσουμε το σε γινόμενο πρωτοβάθμιων ή το πολύ δευτεροβάθμιων παραγόντων Εξετάζουμε ποιοι από τους διαιρέτες του σταθερού όρου (δηλαδή τους ±, ± ) αποτελούν ρίζες του πολυωνύμου Επειδή, το - αποτελεί μία (πραγματική) ρίζα του, το διαιρείται ακριβώς δια του + και έχουμε (μετά τη διαίρεση): = ( + )( + + ) Σύμφωνα με το Βήμα, επειδή το + + δεν έχει πραγματικές ρίζες η ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων έχει τη μορφή: A B + C = = ( ) ( ) Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει η ισότητα των πολυωνύμων: = A B + C + = A + B + A + B + C + A + C, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) από όπου προκύπτει: A = A+ B= 0 A+ B+ C = 0 B= A C + = C = Επομένως, ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I 4 προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή του (74) ως ακολούθως:

23 + I4 = l + = + + I +, (748) + + όπου + I = + + Χρησιμοποιώντας τους τύπους (744) και (745) το τριώνυμο + + μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων και σύμφωνα με την (74) αυτό γράφεται: + + = + + Θέτουμε + = u, οπότε = u και d( ) = d( u ) = du + Μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αόριστο ολοκλήρωμα I =, + + εφαρμόζοντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και χρησιμοποιώντας τους τύπους (746), (747) και (75) της Εφαρμογής 75 το αόριστο ολοκλήρωμα Ι γράφεται: + + I = = = u + u + u = du = du = du du + = u + u + u + u + l u t u c l u + t u + c= = = + + = l ( + + ) + t c, c + Επομένως, το αρχικό ολοκλήρωμα της (748) υπολογίζεται μετά την αντικατάσταση του Ι από το παραπάνω αποτέλεσμα, το οποίο ισούται με: + I4 = l + + I = l + l ( + + ) + t c 6 +, c 4 v) Επειδή deg( + + ) = 4 > deg( + ) = ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (Ι), εκτελώντας αρχικά τη διαίρεση των πολυωνύμων: Επομένως,

24 4 + + = ( + ) ( + ) + ( + ), από όπου μπορούμε να γράψουμε ( ) + = Εφαρμόζοντας την (74) έχουμε: ( + + ) + I5 = ( + ) + = + + = + + ( + ) = + + = + + = + l( + ) + t ( ) + c, c + Παρατηρήστε ότι, η ρητή συνάρτηση δεν αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων και + προσπαθήσαμε να αξιοποιήσουμε τον πίνακα ολοκλήρωσης στοιχειωδών συναρτήσεων Εφαρμογή 74 Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων, τα οποία περιέχουν ρητή παράσταση της e, θέτουμε t = e, οπότε = l t και = dt και οδηγούμαστε σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης του t t Παραδείγματα 74 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: e i) I = ii) I = e e sih( ) cosh( ) i) Πρόκειται για ολοκλήρωμα που περιέχει μία ρητή έκφραση του e Σύμφωνα με την Εφαρμογή 74 θέτουμε t = e και έχουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης: I = dt tt ( ) t Αναλύουμε τη ρητή συνάρτηση σε άθροισμα απλών κλασμάτων: A B C ( A+ Ct ) + ( A+ Bt ) B = = + + = t t t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει: A = A+ C = 0 9 A+ B= 0 B= B = C = 9 Οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται: I = l l 9 dt dt dt t t c t + t 9 = = t 9 t 9 = l e + + l e + c= + + l e + c, c 9 e 9 9 e 9 ii) Θέτουμε t = e, οπότε = l t και = dt Από τον ορισμό των υπερβολικών συναρτήσεων (βλέπε, t Ορισμός 6 και 65) έχουμε: 4

25 t e e t sih( ) t e + e t + = = = και cosh( ) = = t t Επομένως, t t t I = dt = dt = dt = t t + t t 5 ( t 5)( t+ 5) t t = dt + dt = l t 5 + l t c = l t 5 + c = t 5 t+ 5 = l e 5 + c, c επειδή, t = + ( t 5)( t+ 5) t 5 t+ 5 Ένας άλλος τρόπος επίλυσης του παραπάνω ολοκληρώματος μπορεί να είναι : t ( t 5 ) I = dt = dt = l t 5 + c t 5 t 5, c Εφαρμογή 744 Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων, τα οποία περιέχουν μία ρητή παράσταση του και τα +,, c + d θέτουμε + t =, c + d dt από όπου = και, οδηγούμαστε σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης του t ct Γενικότερα, για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων, τα οποία περιέχουν μία ρητή παράσταση του και των + + +,,, s,,,, s, c + d c + d c + d θέτουμε + t =, όπου είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,,, s c + d Παραδείγματα 745 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) I = ii) I = iii) I = + i) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα που περιέχει μία ρητή παράσταση του και του με την Εφαρμογή 744, θέτουμε t t = t = = + + t + και = 4t ( t + ) dt + Σύμφωνα Επομένως, το ολοκλήρωμα I γίνεται: t + 4 t ( ) ( ) t t + + t I = t dt = dt = dt = dt + dt t ( t + ) ( t )( t + ) ( t )( t + ) t t + 5

26 Επειδή t t t+ dt = dt + dt = l t + l t + + c,, c, και Επομένως, όπου c= c + c t ( ) dt t + = t + c, c t I = l t + l t+ + t ( t) + c = l + t ( t) + c= t + + = + + c c l t,, t ii) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 744, θέτουμε t = +, από όπου = και = t dt Επομένως, t + t I = dt = dt = dt dt = + t + t + t = t l + t + c= + l c, c 6 iii) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 744, επειδή εκπ (,) = 6, θέτουμε = t, από όπου προκύπτει 5 = t dt Τότε το ολοκλήρωμα I γράφεται: 8 t 5 t I = t dt = dt t + t + Επειδή από τη διαίρεση πολυωνύμων προκύπτει t = ( t t + t )( t + ) +, από το παραπάνω ολοκλήρωμα έχουμε: t t t I = ( t t + t ) dt + dt = t t ( t) c = t ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) 6 = + + t ( ) 6 + c, c 7 5 6

27 75 Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων των ακόλουθων μορφών: m Ι) si ( )cos ( ), m, ΙΙ) si( k)cos( l), si( k)si( l) και cos( k)cos( l), kl, ΙΙΙ) ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων των si( ) και cos( ) m Ι) si ( )cos ( ), m, α) Όπως αποδείχθηκε στην Εφαρμογή 77, αν ένας από τους m, είναι περιττός, έστω m= k +, θέτουμε t cos( ) dt = d cos( ) = si( ) dt = si( ) Τότε το αόριστο ολοκλήρωμα γράφεται: =, από όπου ( ) k+ k k ( ) ( ) k ( t ) t dt I = si ( )cos ( ) = si ( )si( )cos ( ) = = si ( ) cos ( )si( ) = cos ( ) cos ( )si( ) = = Το τελευταίο ολοκλήρωμα αφορά μία πολυωνυμική συνάρτηση, το οποίο εύκολα υπολογίζεται Αν = k +, θέτουμε t = si( ), και εργαζόμαστε με ανάλογο τρόπο, (βλέπε, Εφαρμογή 77(ii)) Αν και οι δύο m, είναι περιττοί τότε εκτελούμε την ίδια διαδικασία, όπως παραπάνω, είτε για τον m είτε για τον β) Αν οι m, είναι και οι δύο άρτιοι χρησιμοποιούμε τους τριγωνομετρικούς τύπους (βλέπε, Τυπολόγιο 58()) cos( ) + cos( ) si ( ) = και cos ( ) = (75) οι οποίοι υποβιβάζουν τις άρτιες δυνάμεις ΙΙ) si( k)cos( l), si( k)si( l) και cos( k)cos( l), kl, Εφαρμόζοντας τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς τύπους (βλέπε, Τυπολόγιο 58(4)) si( k)cos( l) = ( si( k l) + si( k + l) ) (75) si( k)si( l) = ( cos( k l) cos( k + l) ) (75) cos( k)cos( l) = ( cos( k l) + cos( k + l) ) (754) στα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώματα της (ΙΙ) αυτά γράφονται: (α) si( k)cos( l) = ( si( ) si( )) k l + k + l = = si (( ) ) si (( ) ) k l + k + l = = cos (( k l ) ) cos (( k+ l ) ) + c, ( k l) ( k + l) c (755) (β) si( k)si( l) = ( cos( ) cos( )) k l k + l = = cos (( ) ) cos (( ) ) k l k + l = = si (( k l ) ) si (( k+ l ) ) + c, ( k l) ( k + l) c (756) k 7

28 k l = k l + k + l = = cos (( ) ) cos (( ) ) k l + k + l = = si (( k l ) ) + si (( k+ l ) ) + c, ( k l) ( k + l) c (757) (γ) cos( )cos( ) ( cos( ) cos( ) ΙΙΙ) Όταν έχουμε μία ρητή παράσταση R( si( ), cos( )) των si( ) και cos( ) αξιοποιούμε τους τριγωνομετρικούς τύπους (βλέπε, Τυπολόγιο 58(5)), με τη βοήθεια των οποίων si( ) και cos( ) εκφράζονται συναρτήσει της t, ( ππ, ) : t t si( ) = και cos( ) = (758) + t + t Θέτουμε t = t, από όπου προκύπτουν = t ( t) και = dt, + t οι δε τριγωνομετρικοί αριθμοί στην (758) γράφονται: t t si( ) = και cos( ) = + t + t Επομένως, ένα αόριστο ολοκλήρωμα R( si( ), cos( ) ) εφαρμόζοντας τις παραπάνω αντικαταστάσεις ανάγεται σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης της μεταβλητής t, του οποίου η επίλυση μελετήθηκε στην Ενότητα 74 Παραδείγματα 75 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: 4 i) I = si ( )cos ( ) ii) I = si ( )cos ( ) iii) I = si( )cos(5 ) iv) I4 = cos(7 )cos( ) v) I5 = si( ) + cos( ) i) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα όπως (Ι) (α), όπου ο εκθέτης του συνημιτόνου είναι περιττός Επομένως, 4 I = si ( )cos ( )cos( ) = si ( ) si ( ) cos( ) = si ( ) si ( ) cos( ) ( ) ( ) Θέτουμε t = si( ), από όπου dt = d(si( )) = cos( ) Τότε το αόριστο ολοκλήρωμα γράφεται: t t si ( ) si ( ) ( ), I = t t dt = t dt t dt = + c = + c c 5 5 Έναν άλλο τρόπο υπολογισμού δείτε στο Παράδειγμα 75(i) ii) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα της περίπτωσης (Ι) (β), όπου οι εκθέτες του ημιτόνου και συνημιτόνου είναι και οι δύο άρτιοι αριθμοί Αρχικά έχουμε si ( )( si ( )) (si ( ) si ( )) si ( ) si ( ), όπου I = = = = I I I = και I 4 si ( ) = 6 si ( ) Εφαρμόζοντας τους τριγωνομετρικούς τύπους από την (75) γράφουμε: 8

29 4 cos( ) cos( ) + cos ( ) + cos(4 ) si ( ) = ( si ( ) ) = = = cos( ) Αντικαθιστώντας την παραπάνω ισότητα στο I έχουμε: I = cos( ) ( cos(4 )) si( ) si(4 ) = c = si( ) + si(4 ) + c 8 4 Ανάλογα, 6 si ( ) si ( ) cos( ) cos( ) + cos ( ) cos ( ) = ( ) = = = 8 + cos(4 ) = + = cos( ) cos ( ) cos ( ) cos( ) cos ( ) Αντικαθιστώντας την παραπάνω ισότητα στο I έχουμε: I = cos( ) ( cos(4 )) cos ( ) = 5 = si( ) + + si(4 ) I = si( ) + si(4 ) I, όπου I = cos ( ) = cos ( ) cos( ) = ( si ( ) ) cos( ) Θέτοντας t = si( ), έχουμε dt = d(si( )) = cos( ) dt = cos( ), οπότε t si ( ) I = ( si ( ) ) cos( ) = ( t ) dt t c si( ) c = + = + Αντικαθιστώντας το I στο I έχουμε: 5 I = si( ) + si(4 ) + si ( ) + c, c = c Τελικά, αντικαθιστώντας το I, I στο I προκύπτει: 8 I = I I = si(4 ) si ( ) + c, όπου c= c + c, c με iii) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα όπως (ΙΙ) (α), όπου από την (75) για k = και l = 5 ισχύει si( ) cos(5 ) = ( si( ) + si(8 ) ) = si( ) + si(8 ), επειδή, ως γνωστόν si( ) = si( ) Επομένως, εφαρμόζοντας τον τύπο στην (755) έχουμε: I = si( ) cos(5 ) = cos( ) cos(8 ) + c, c 4 6 iv) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα όπως (ΙΙ)(γ), οπότε εφαρμόζοντας τον (757) για k = 7 και l = έχουμε: I4 = cos(7 ) cos( ) = si(5 ) + si(9 ) + c, c 0 8 v) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα μίας ρητής συνάρτησης R( si( ),cos( ) ) = si( ) + cos( ) 9

30 Όπως αναφέρθηκε στο (ΙIΙ) θέτουμε, t = t, από όπου προκύπτουν t t = t ( t) = t ( t), = dt, και si( ) =, cos( ) = + t + t + t Επομένως, I5 = = dt = dt = si( ) + cos( ) t t + t t + t + + t + t + t = dt = dt = dt = l t + c = l t + c, c t t t Εφαρμογή 75 i) Αόριστα ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων, για τις οποίες ισχύει R( si( ),cos( ) ) = R( si( ),cos( ) ), υπολογίζονται θέτοντας t = cos( ) ii) Αόριστα ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων, για τις οποίες ισχύει R( si( ), cos( ) ) = R( si( ),cos( ) ), υπολογίζονται θέτοντας t = si( ) Παραδείγματα 75 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: si ( ) i) I = si ( )cos ( ) ii) I = cos( ) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση R( si( ), cos( ) ) = si ( )cos ( ) Αν θέσουμε στη θέση του cos( ) το cos( ) έχουμε: R( si( ), cos( ) ) = si ( ) ( cos( ) ) = si ( )cos ( ) = R( si( ), cos( ) ), Σύμφωνα με την Εφαρμογή 75 (ii), για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I, θέτουμε t = si( ) και dt = cos( ) Επομένως, I = si ( )cos ( )cos( ) = si ( ) si ( ) cos( ) = ( )( ) 5 5 t t si ( ) si ( ) = t ( t ) dt = + c = + c, c 5 5 Σύγκρινε με τη μεθοδολογία και το αποτέλεσμα στο Παράδειγμα 75(i) si ( ) ii) Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση R(si( ),cos( )) =, όπου αν θέσουμε το si( ) στη θέση του cos( ) si( ), έχουμε ( ) si ( ) si ( ) R( si( ),cos( )) = = cos( ) cos( ) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 75(i), για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I, θέτουμε t = cos( ), από όπου dt = si( ) Επομένως, 0

31 si ( ) si ( ) ( cos ( ) ) ( si( )) ( si( ) ) I = = = = cos( ) cos( ) cos( ) t t = dt = dt t dt l t c t + t = + + = cos ( ) = l cos( ) + + c, c

32 76 Το ορισμένο ολοκλήρωμα Το ορισμένο ολοκλήρωμα ή ολοκλήρωμα του Riem είναι μία έννοια οριζόμενη με τη βοήθεια του ορίου συνάρτησης και έχει πολλές εφαρμογές, όπως, το εμβαδό επίπεδης περιοχής (που δεν περικλείεται από ευθείες γραμμές), τον όγκο στερεού που παράγεται από περιστροφή επίπεδης περιοχής, το εμβαδό επιφάνειας στερεού από περιστροφή, το μήκος καμπύλης, το έργο μίας μεταβλητής δύναμης, το κέντρο μάζας κλπ Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος συνδέεται άμεσα με τον υπολογισμό του αόριστου ολοκληρώματος μέσω του θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού, με τη χρήση του οποίου τα ορισμένα ολοκληρώματα υπολογίζονται ευκολότερα σε σύγκριση με τον αρχικό ορισμό τους (βλέπε, Ορισμός 76) Για τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος χρειαζόμαστε την έννοια του αθροίσματος του Riem (βλέπε, Ορισμός 76) και για το σκοπό αυτό θα χρειαστούμε τον επόμενο ορισμό Ορισμός 76 Στο κλειστό διάστημα [, ] επιλέγουμε τυχαία σημεία 0,,,,, τέτοια ώστε = 0 < < < < < = Το σύνολο των - υποδιαστημάτων [ 0, ], [, ],,[, ] λέγεται διαμέριση (prtitio) του διαστήματος [, ] Στο [, ] μπορούμε να έχουμε άπειρες διαμερίσεις Το μήκος του υποδιαστήματος [, i i] συμβολίζεται με i και με = m { i : i }, τη μέγιστη από τα μήκη των υποδιαστημάτων της διαμέρισης Για παράδειγμα, μία διαμέριση του διαστήματος [, 4] αποτελεί το σύνολο των υποδιαστημάτων: [, 5 ], [ 5,0 ], [ 0, ], [, 5 ], [ 5, 4] με = 5 Επίσης, τα σύνολα των υποδιαστημάτων {[, ], [, ], [, ], [, 4] } και {[, 4] } αποτελούν δύο διαφορετικές διαμερίσεις του [, 4], με τη δεύτερη να είναι τετριμμένη Για την πρώτη έχουμε = (γιατί;) και για τη δεύτερη = 4 ( ) = 7 Παρατήρηση 76 Μία διαμέριση του διαστήματος [, ] μπορεί να επιλεγεί τέτοια ώστε τα υποδιαστήματα να είναι ίδιου μήκους και ίσου με η διαμέριση λέγεται κανονική Συγκεκριμένα, αν επιλέξουμε μία διαμέριση - υποδιαστημάτων μήκους = Ορισμός 76 Έστω μία φραγμένη συνάρτηση f: [, ] και μία διαμέριση [ 0, ],[, ],,[, ] του [, ] Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο w i στο [, i i] Το άθροισμα f ( wi) i = f ( w) + f ( w) + + f ( w) (76) i= ονομάζεται άθροισμα Riem (Riem sum) για την f στο διάστημα [, ] Παρατήρηση 764 Επειδή η επιλογή των Riem για την f στο διάστημα [, ] w i μπορεί να γίνει με άπειρους τρόπους, προκύπτει ότι υπάρχουν άπειρα αθροίσματα Μπορεί, για παράδειγμα, να επιλέξει κάποιος ως wi = i ή wi = i, δηλαδή, ένα από τα άκρα του υποδιαστήματος [ ], i i Αν wi i = το άθροισμα Riem γίνεται f ( i ) i = f ( 0)( 0) + f ( )( ) + + f ( )( ) (76) i= Ενώ, αν wi = i το άθροισμα Riem είναι

33 f ( i) i = f ( )( 0) + f ( )( ) + + f ( )( ) (76) i= Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις (76), (76), το άθροισμα Riem, δηλώνει ένα άθροισμα εμβαδών ορθογωνίων παραλληλογράμμων, όπου η μία διάσταση τους είναι i = i i (πάνω στον άξονα '0) f, αντίστοιχα Ανάλογα, αν επιλεγεί μία διαμέριση ίδιου και η άλλη (δηλαδή το ύψος) είναι f ( ) ή ( ) μήκους i, όπως η κανονική, το άθροισμα Riem γίνεται i f ( i) = f ( ) + f ( ) + + f ( ) i= Επειδή τα ύψη f ( ) ή ( ) i f i των ορθογωνίων παραλληλογράμμων, που σχηματίζονται με βάση, έχουν τα πέρατά τους πάνω στη γραφική παράσταση της f το άθροισμα Riem είναι ένας αριθμός που προσεγγίζει το εμβαδόν της περιοχής, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα '0 και τις κατακόρυφες = και = Όσο πιο «λεπτή» είναι η διαμέριση, τόσο πιο κοντά στην τιμή, που ισούται με το εμβαδόν, βρίσκεται το αποτέλεσμα Φανταστείτε, για παράδειγμα, την κανονική διαμέριση για πολύ μεγάλο Ορισμός 765 Έστω μία φραγμένη συνάρτηση f: [, ] [ 0, ],[, ],,[, ] του [, ] και w [ ] Το όριο, i i i και έστω μία διαμέριση ( ) lim f wi i = L 0 i = υπάρχει και είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν, για κάθε πραγματικό αριθμό ε > 0 υπάρχει πραγματικός αριθμός δ > 0, τέτοιος ώστε i= ( ) f w L < ε i για όλα τα αθροίσματα Riem της f στο διάστημα [, ] για τα οποία < δ Η τιμή του ορίου (όταν υπάρχει) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα (defiite itegrl) ή ολοκλήρωμα Riem (Riem itegrl) της f από το έως το και συμβολίζεται με f ( ) Δηλαδή, ισχύει f ( ) = lim f w i i (764) 0 i = Όταν το ορισμένο ολοκλήρωμα της f υπάρχει στο διάστημα [, ] η συνάρτηση f ονομάζεται ολοκληρώσιμη κατά Riem στο [, ] ή απλά ολοκληρώσιμη στο [, ] Οι αριθμοί και ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης, ιδιαίτερα ο ονομάζεται κατώτερο όριο (ή άκρο) ολοκλήρωσης και ο ανώτερο όριο (ή άκρο) ολοκλήρωσης Αν < και υπάρχει το f ( ) ορίζουμε f ( ) = f ( ) (765) και για κάθε στο οποίο ορίζεται η f ισχύει: f ( ) = 0 (766) Παρατήρηση 766 Ο Ορισμός 76 είναι ανεξάρτητος από την επιλογή των w i στο [, i i] και θα μπορούσαν να είναι wi = i ή wi = i, (βλέπε, Παρατήρηση 76) Επίσης δεν ενδιαφέρει το πλάτος i των υποδιαστημάτων i ( ) Ο ορισμός οφείλεται στο Γερμανό μαθηματικό του 9 ου αιώνα Georg Friedrich Berhrd Riem

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 5 / / 6 Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό :

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète (540-603) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 7 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα