6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je"

Transcript

1 6 Neodreženi integrali 39 6 Neodreženi integrali Funkcija F (x) na intervalu (a, b) R je primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f(x), ako je x (a, b) F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je F (x) = (sin x) = cos x = f(x). Primetimo da su, na primer, i funkcije sin x+5, sin x 3 i sin x+ π takože primitivne funkcije za cos x na (, + ), jer je i (sin x + 5) = (sin x 3) = (sin x + π) = cos x. Iz prethodnog primera vidi se da primitivna funkcija nije jednoznačno odrežena. Teorema 9 Ako je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x) na (a, b) i C R bilo koji realan broj, tada je i F (x) + C primitivna funkcija funkcije f(x) na (a, b). Dokaz 7 Na osnovu osobina izvoda dobijamo [F (x) + C] = F (x) = f(x) Skup svih primitivnih funkcija funkcije f(x) zove se neodreženi integral funkcije f(x) i označava se sa f(x) pri čemu f(x) predstavlja podintegralnu funkciju ili integrand a f(x) podintegralni izraz. Ako je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x) onda je f(x) = {F (x) + C C R}. Uobičajeno je da se piše f(x) = F (x) + C ( f(x)) = f(x)

2 6.1 Osobine neodreženih integrala Osobine neodreženih integrala 1. d( f(x)) = d(f (x) + C) = F (x) = f(x). df (x) = F (x) = F (x) + C 3. kf(x) = k f(x), k R Kako je, na osnovu osobina diferencijala, d[kf (x)] = kdf (x) to je kf(x) = kdf (x) = dkf (x) = kf (x) + C = k[f (x) + C1 ] = k f(x). 4. [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) Neka je f(x) = F (x) + C i g(x) = G(x) + C. [f(x)+g(x)] = [f(x)+g(x)] = [df (x)+dg(x)] = d[f (x)+ G(x)] = F (x) + G(x) + C = f(x) + g(x) 6. Tablica integrala elementarnih funkcija 1. x α = xα+1 + C, α 1 1 x α+1 = ln x + C, α = 1. a x = ax + C, a > 0, a 1 ln a e x = e x + C, a = e 3. = 1arctg x + C, a 0 a +x a a = arctgx + C, a = 1 1+x 4. = 1 a x a ln a+x a x + C, a 0 = 1 1+x ln + C, a = 1 1 x 1 x 5. a = arcsin x + C, a 0 x a 1 x = arcsin x + C, a = 1 6. x = ln x + x ± a + C, a 0 ±a = ln x + x x ± 1 + C, a = 1 ±1 7. sin x = cos x + C

3 6.3 Osnovne metode integracije cos x = sin x + C 9. cos x = tgx + C 10. sin x = ctgx + C 6.3 Osnovne metode integracije Metoda dekompozicije Metoda se zasniva na navedenim osobinama intergrala. [k 1 f(x) + k g(x)] = k 1 f(x) + k g(x) Primer 39 (x 3e x + 7 x) = x 3 e x + 7 x = 3 x3 3e x x x + C 6.3. Metoda parcijalne integracije Metoda polazi od ideje da se podintegralni izraz podeli na dva dela, odnosno izrazi kao proizvod f(x) = g(x) h(x). Ako se sada uvedu oznake g(x) = u h(x) = dv dobija se dalje da je v = dv = h(x) du = g (x). Formula za parcijalnu integraciju ima oblik udv = uv vdu. Ova formula se može izvesti polazeći od osobine diferencijala d(uv) = udv + vdu. Naime, kada se integrišu leva i desna strana ove jednakosti dobija se d(uv) = udv + vdu odnosno uv = udv + vdu

4 6.3 Osnovne metode integracije 4 i konačno udv = uv vdu. Funkcije u i v moraju biti diferencijabilne, a za udv i vdu moraju postojati integrali. Primer 40 Pri tome smo koristili x ln x = x3 x 3 3 ln x 1 x3 x3 = ln x 3 x C u = ln x, dv = x, v = dv = Metoda smene nezavisno promenljive x = x3 3, du = 1 x. Neka je funkcija x = ϕ(t) definisana i neka ima neprekidni izvod ϕ (t) na nekom intervalu [α, β], i neka je pri tome njen antidomen [a, b]. Konačno, neka postoji inverzna funkcija ϕ 1 : [a, b] [α, β]. Ako je f(x) neprekidna na [a, b] tada je f(x) = f[ϕ(t)]ϕ (t). Naime, diferenciranjem izraza na desnoj strani po x, imajući pri tome u vidu pravila za diferenciranje složene i inverzne funkcije, dobijamo ( f[ϕ(t)]ϕ (t)) x = ( f[ϕ(t)]ϕ (t) 1 ϕ (t) f[ϕ(t)]ϕ (t)) t = = f[ϕ(t)] = f(x). Primer 41 tgx = sin x cos x = pri čemu smo koristili smenu t = ln t + C = ln cos x + C cos x = t, sin x =. Efikasnost smene nezavisno promenljive zavisiće od toga kakva funkcija ϕ(t) je odabrana, odnosno da li je integral na desnoj strani formule za smenu promenljivih jednostavniji za izračunavanje od integrala na levoj strani.

5 6.4 Integrali sa kvadratnim trinomom ax + bx + c Integrali sa kvadratnim trinomom ax + bx + c Prilikom rešavanja nekih tipova integrala koji sadrže kvadratni trinom ax + bx + c (a 0) najpre je potebno ovaj trinom svesti na kanonički oblik, na sledeći način ax + bx + c = a[x + a b x + c a ] = a[x + b ( ) ( ( ) b c b a x + + ] = a a) a ( a x + b a ) + ( ) c a b = a 4a ( x + b ) ± k a gde je ±k = c b = 4ac b. Znak ispred k je pozitivan ako je 4ac b a 4a 4a pozitivno, a negativan ako je 4ac b negativno, odnosno zavisi od toga da li trinom ax + bx + c ima realne ili kompleksne korene. Takože je moguće i da bude k = 0. Prvi tip integrala sa kvadratnim trinomom je I 1 = ax + bx + c = [ (x ) = a + b a ± k ] a(t ± k ) Ovaj integral se dalje svodi na jedan od sledeća dva integrala a(t + k ) = 1 a 1 k arctg t k + C, 4ac b > 0 a(t k ) = a(k t ) = 1 a 1 k ln k + t k t + C, 4ac b < 0. Primer 4 x + 8x + 0 = 1 x + 4x + 10 = 1 (x + ) + 6 = 1 1 arctg x + +C 6 6 x + 8x + 4 = 1 x + 4x + = 1 (x + ) = 1 1 ln + x + +C. x Sledeći tip integrala je I = Ax + B ax + bx + c.

6 6.4 Integrali sa kvadratnim trinomom ax + bx + c 44 Ovaj tip svodi se na prethodni tip (I 1 ) na sledeći način A a I = (ax + b) + (B A b ax + bx + c a ) A a x + A b + B A b a a a ax + bx + c = A a A a ln ax + bx + c + = ( ax + b ax + bx + c + ( B A b ) I 1. a B A b a ) ax + bx + c = Primer x + x + 8x + 0 = (4x + 8) + ( 4 x + 8x ln x + 8x x + 8 x + 8x ) = x + 8x + 0 = 1 arctg x + + C 6 6 Treći tip integrala predstavlja sledeći integral u kome se kvadratni trinom pojavljuje pod kvadratnim korenom I 3 = ax + bx + c U slučaju kada je a > 0, za ovaj integral se svoženjem kvadratnog trinoma na kanonični oblik i uvoženjem smene kao i u prethodnim slučajevima, dobija I 3 = ax + bx + c = 1 a t ± k = 1 a ln t + t ± k + C. Analogno, kada je a < 0, integral se svodi na I 3 = ax + bx + c = 1 a k t = a 1 arcsin t k + C. Primer 44 x + 8x + 0 = 1 (x + ) + 6 = 1 ln x++ x + 4x C

7 6.4 Integrali sa kvadratnim trinomom ax + bx + c 45 x x + 3 = x x = 4 (x + 1) = 1 x + 1 = arcsin + C 1 ( x+1) Sledeći tip integral svodi se na predhotni (I 3 ) na isti način na koji se integral tipa I svodi na integral tipa I 1 I 4 = Ax + B ax + bx + c = A a x + A b + B A b a a a = ax + bx + c A a ( ax + b ax + bx + c + B A b ) a ax + bx + c = = A a ax + bx + c + ( B A b a ) I 3 Primer x 3 x + 8x + 0 = (4x + 8) + ( 3 4 x + 8x ) = x + 8x x + 8 x + 8x x + 8x + 0 = 1 ln x + + x + 4x C Poslednji tip integrala sa kvadratnim trinomom ima sledeći oblik I 5 = ax + bx + c. I za ovaj integral razmotrićemo dva slučaja, kada je a > 0 i kada je a < 0, pri čemu treba naglasiti da je postupak rešavanja u oba slučaja gotovo isti. Posmatraćemo najpre slučaj kada je a > 0. Kao i u prethodnim slučajevima, prvo ćemo kvadratni trinom svesti na kanonični oblik, a zatim uvesti smenu, posle čega dobijamo I 5 = ax + bx + c = a t ± k = ai gde je I = t ± k.

8 6.4 Integrali sa kvadratnim trinomom ax + bx + c 46 U daljem postupku rešavaćemo integral I tako što ćemo ga transformisati i razložiti na dva integrala I = t ± k = t t ± k ± k t ± k Drugi integral je tablični, pa se uz parcijalnu integraciju prvog integrala dobija gde je I = t t ± k t ± k ± k ln t + t ± k t = u = du t t ± k = dv v = t ± k. Sada smo dobili jednačinu u kojoj se integral I pojavljuje i na levoj i na desnoj strani odakle je odnosno I = t t ± k I ± k ln t + t ± k I = t t ± k ± k ln t + t ± k I = 1 [ t t ± k ± k ln t + t ± k ] i konačno a [ I 5 = t t ± k ± k ln t + t ± k ] + C. Analogno, ako važi a < 0 I 5 = ax + bx + c = a k t = a I a zatim se ponovo, korišćenjem parcijalne integracije rešava integral I I = k t = k k t t k t = k [( t) k t k ] t + k t = k arcsin t k + t k t I

9 6.5 Integrali racionalnih funkcija 47 odnosno I 5 = I = 1 (t k t + k arcsin t k ) a (t k t + k arcsin t k ). Primer 46 I = x + 8x + 0 = x + 4x + 10 = (x + ) + 6 = t + 6 (x + = t) I 1 = t + 6 = t t t + 6 = t t + 6 t ln t + t + 6 }{{} I 1 = 1 I 1 [ t t ln t + t + 6 ] I = (x + ) x + 4x ln x + + x + 4x C 6.5 Integrali racionalnih funkcija Pod racionalnom funkcijom ovde podrazumevamo funkciju koja predstavlja količnik dva polinoma R(x) = P m(x) Q n (x) gde su P m (x) i Q n (x) polinomi stepena m i n, respektivno. Ako je m < n i P m (x) i Q n (x) nemaju zajedničkih nula, tada za funkciju R(x) kažemo da je prava racionalna funkcija. Ako za racionalnu funkcija važi da je m n onda se ona može se svesti na zbir polinoma reda l = m n i prave racionalne funkcije. R(x) = S l (x) + T k(x) Q n (x)

10 6.5 Integrali racionalnih funkcija 48 gde je k < m. Integral svake racionalne funkcije se, prema tome, može svesti na integral polinoma (koji se rešava tablično) i integral prave racionalne funkcije, pa ćemo stoga nadalje smatrati da je racionalna funkcija R(x) uvek prava racionalna funkcija. Najpre ćemo konstatovati da se svaki polinom n-tog stepena može predstaviti u obliku: Q n (x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n Q n (x) = a 0 (x x 1 ) k 1 (x x ) k... (x x n1 ) kn 1 (x + p 1 x + q 1 ) l 1 (x + p x + q ) l... (x + p n x + q n ) ln pri čemu su x 1, x,..., x n1 realne nule polinoma Q n (x), a kvadratni trinomi x + px + q nemaju realnih nula, već su u njima sadržani konjugovano kompleksni parovi nula polinoma Q n (x), pa je stoga k 1 + k k n1 + (l 1 + l l n ) = n. Racionalne funkcije A (x a) k i Ax + B (x + px + q) k gde su A, B, a, p, q realni brojevi, a k prirodan broj, i pri čemu polinom x + px + q nema realnih nula, nazivamo prostim racionalnim funkcijama. Ako je R(x) prava racionalna funkcija R(x) = P m(x) Q n (x) m < n i ako se pri tome polinom Q n (x) predstavi u obliku gornjeg proizvoda, tada postoje konstante A 11, A 1,..., A 1k1, A 1, A,..., A k,..., A n1 1, A n1,..., A n1 k n1, B 11, B 1,..., B 1l1, B 1, B,..., B l,..., B n 1, B n,..., B n l n, C 11, C 1,..., C 1l1, C 1, C,..., C l,..., C n 1, C n,..., C n l n takve da je R(x) = A 11 x x 1 + A 1 (x x 1 ) A 1k 1 (x x 1 ) k 1 + A 1 x x + A (x x )

11 6.5 Integrali racionalnih funkcija 49 + A k (x x ) k A n 1 1 x x n1 + A n 1 (x x n1 ) A n 1 k n1 (x x n1 ) kn + B 11x + C 11 x + p 1 x + q 1 + B 1x + C 1 (x + p 1 x + q 1 ) B 1l 1 x + C 1l1 (x + p 1 x + q 1 ) l 1 + B 1x + C 1 x + p x + q + + B x + C (x + p x + q ) B l x + C l (x + p x + q ) l B n 1x + C n 1 x + p n x + q n + + B n x + C n (x + p n x + q n ) B n l x + C n n l n. (x + p n x + q n ) ln To znači da svaka prava racionalna funkcija može da se prikaže kao konačan zbir prostih racionalnih funkcija. Konstante A ij, B ij i C ij odrežuju se množenjem gornjeg izraza faktorizovanim oblikom polinoma Q n (x) pri čemu jednačina prelazi u jednakost dva polinoma. Izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene dobija se sistem linearnih jednačina po nepoznatim A ij, B ij i C ij. Ovaj metod se zove metod neodreženih koeficijenata. Primer 47 odakle je x + x 4 + 3x = x + x (x + 3) = A x + B x + Cx + D / x (x + 3) x + 3 x + = Ax(x + 3) + B(x + 3) + (Cx + D)x = Ax 3 + 3Ax + Bx + 3B + Cx 3 + Dx = (A + C)x 3 + (B + D)x + 3Ax + 3B pa izjednačavanjem koeficijenata uz odgovarajuće stepene dobijamo sistem jednačina odakle je A + C = 0 B + D = 1 3A = 0 3B = A = 0 B = 3 C = 0 D = 1 3 pa je, prema tome, x + x 4 + 3x = 3x + 1 3(x + 3).

12 6.5 Integrali racionalnih funkcija 50 Primer 48 odakle je x 3 + x + (x + ) = Ax + B x + + Cx + D (x + ) x 3 +x + = (Ax+B)(x +)+Cx+D = Ax 3 +Bx +Ax+B +Cx+D = Ax 3 + Bx + (A + C)x + B + D pa sledi A = 1 B = 1 A + C = 0 B + D = odnosno i konačno A = 1 B = 1 C = D = 0 x 3 + x + = x + 1 (x + ) x + x (x + ). Integracija racionalnih funkcija se, kao što smo videli, primenom metode neodreženih koeficijenata svodi na integraciju prostih racionalnih funkcija, pa ostaje da razmotrimo kako se rešavaju integrali racionalnih funkcija. Kako je A (x a) = k A = A ln x a + C x a A(x a) k (x a) k+1 = A + C = k + 1 A (1 k)(x a) k 1 + C k > 1 i kako smo pokazali kako se izračunava Ax + B x + px + q ostaje da pokažemo kako se izračunava

13 6.5 Integrali racionalnih funkcija 51 Ax + B (x + px + q) k kada je k > 1. Najpre ćemo transformisati prostu racionalnu funkciju A Ax + B (x + px + q) = (x + p) Ap + B = k (x + px + q) k Odavde je A x + p (x + px + q) + (B pa k ) 1 (x + px + q) k Ax + B (x + px + q) k = A x + p (x + px + q) +(B pa k ) 1 (x + px + q) k. Za prvi integral se uvodi smena x + px + q = t, (x + p) =, posle čega je x + p (x + px + q) = k t = 1 k (k 1)t = 1 k 1 (k 1)(x + px + q) k 1 Ostaje da rešimo (x + px + q) = k [ (x ) ] + p k = + q p 4 [ (x ) + p + 4q p 4 ] k Kako polinom x + px + q nema realnih nula, to je p 4q < 0 odnosno 4q p > 0, pa možemo uvesti oznaku 4q p = a. Dalje se, smenom x+ p = t 4 dobija (x + px + q) = k Preostaje nam, konačno, rešavanje integrala I k = Za k = 1 dobijamo tablični integral (t + a ) k. (t + a ) k

14 6.5 Integrali racionalnih funkcija 5 I 1 = t + a = 1 a arctg t a + C. Za k > 1 primenom parcijalne integracije dobijamo pri čemu je i dalje = I k = t (t + a ) + k k (t + a ) = t k (t + a ) + k u = t (t + a ) + k k Odavde se dobija da je 1 (t + a ) k dv = kt du = v = t (t + a ) k+1 kt (t + a ) k+1 t (t + a ) = t t k+1 (t + a ) + k + a a = k (t + a ) k+1 = (t + a ) k ka t (t + a ) k + ki k ka I k+1. ka I k+1 = odakle sledi rekurentna formula t (t + a ) k + (k 1)I k (t + a ) k+1 = I k+1 = 1 ka t (t + a ) + k 1 k ka I k k = 1,,... Primer 49 Iz rekurentne formule dobija se direktno (x + a ) = 1 a x x + a + 1 a 1 a arctgx a + C. Primer 50 Rešićemo sada integral racionalne funkcije I = x + x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x.

15 6.5 Integrali racionalnih funkcija 53 Polinom x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x može da se predstavi u vidu proizvoda x(x 1)(x + 1), odakle je I = x + x(x 1)(x + 1). Metodom neodreženih koeficijenata dobijamo odnosno x + x(x 1)(x + 1) = A x + B x 1 + Cx + D x Ex + F (x + 1) x + = A(x 1)(x +1) +Bx(x +1) +(Cx+D)x(x 1)(x +1)+(Ex+F )x(x 1) Odavde se sada može dobiti sistem linearnih jednačina sa 6 nepoznatih. Mi ćemo, mežutim, do nepoznatih koeficijenata doći na drugi način. Najpre ćemo u gornjoj jednakosti promenljivu x zameniti nekim konkretnim vrednostima. Ako se uzme da je x = 0 dobija se = A, odnosno A =. Slično, za x = 1 sledi 3 = 4B, odnosno B = 3 4. Dalje, za x = i dobijamo 1 = (Ei+F )i(i 1) = (1+i)(Ei+F ) = E F + i( E F ), pa je odatle E F = 1, E F = 0, odnosno F = 1 E = 1. Ostalo je, još, da odredimo koeficijente C i D. Kako u polinomu sa desne strane uz x 5 stoji A + B + C a kako sa leve strane x 5 ne postoji, to je A+B+C = 0 pa kada zamenimo dobijene vrednosti za A i B dobijamo C = 0 odnosno C = 5 4. Analogno, kako je uz x 4 sa desne strane A + D C sledi da je A + D C = 0 odnosno D = A + C = = 3 4. Na osnovu dobijenih vrednosti svih nepoznatih koeficijenata, imamo da je pa je x + x(x 1)(x + 1) = x x x 3 4 x = x I = x + x(x 1)(x + 1) x x 3 x x 1 (x + 1) x 1 (x + 1) = ln x ln x x x x x (x + 1) 1 (x + 1)

16 6.6 Integrali nekih iracionalnih funkcija 54 = ln x ln x ln x arctgx 1 4 pri čemu je, kao što smo videli, (x + 1) = 1 x x arctgx. 6.6 Integrali nekih iracionalnih funkcija 1 x (x + 1) Funkcije koje su istovremeno racionalne po x i po y, odnosno koje, ako se posmatraju samo po x, predstavljaju količnik dva polinoma, i ako se posmatraju samo po y takože predstavljaju količnik dva polinoma obeležavamo sa R(x, y). Primer 51 R(x, y) = 5x3 4xy + xy 5 3x y + y 4 4xy 3 + Pojam funkcije R(x, y) možemo generalisati na n promenljivih tako da ćemo pod R(x 1, x,..., x n ) podrazumevati funkciju koja je racionalna za svaki od njenih argumenata x 1, x,..., x n ponaosob, gde svaki od argumenata može uzimati različite oblike, pa i iracionalne. Mi ćemo sada posmatrati neke integrale iracionalnih funkcija koje su oblika R(x 1, x,..., x n ) i koji se različitim smenama mogu svesti na integrale racionalnih funkcija. Posmatrajmo najpre integrale oblika R x, ( ) m ( ax + b n ax + b,..., cx + d cx + d ) r s. Ovi interali se svode na integrale racionalnih funkcija (po t) smenom ax + b cx + d = tk gde je k najmanji zajednički sadržalac imenilaca razlomaka m,..., r. n s Iz smene sledi da je x = k b ct k + a tj. x je racionalna funkcija od t. Zato će i biti racionalna funkcija od t i pa će ceo podintegralni izraz postati R(t) gde je R(t) neka nova racionalna funkcija od t.

17 6.6 Integrali nekih iracionalnih funkcija 55 Primer 5 3x x + 1 Izraz 3x + 1 se pojavljuje sa eksponentom 1 i 1 3 sadržalac za i 3 jednak 6. Smena je pa je najmanji zajednički 3x + 1 = t 6 t = 6 3x = 6t 5. Dobija se integral racionalne funkcije t t t5 = t t = (t 6 t 4 + t t ) = ( t7 7 t5 5 + t3 3 t + arctgt) + C = 7 (3x+1) 6 3x (3x + 1) x x + 1+arctg 6 3x + 1+C. Primer 53 Smena je x (1 + x) 1 + x odakle je odnosno i konačno 1 x 1 + x = t3 1 x = t 3 (1 + x) x(1 + t 3 ) = 1 t 3 x = 1 t3 1 + t 3 = 3t (1 + t 3 ) 3t (1 t 3 ) (1 + t 3 ). Dobijamo sada integral racionalne funkcije 1 6t t 3 ( ) t 3 t (1 + t 3 ) = 6 (1 + t 3 ) 1 (1 + t 3 ) = 1+t 3

18 6.6 Integrali nekih iracionalnih funkcija 56 3 t 3 = 3 8 t4 + C = x 1 x 1 + x x + C. Integrali oblika R(x, ax + bx + c) svode se na racionalne integrale nezavisno promenljive t pomoću jedne od Ojlerovih smena. 1) Ako je a > 0 tada se uvodi smena ax + bx + c = t ax ili ax + bx + c = t + ax odakle se kvadriranjem leve i desne strane (u slučaju prve smene) dobija odakle je ax + bx + c = t atx + ax x = t c b + a t racionalna funkcija po t, a samim tim i je racionalna funkcija po t. Analogan rezultat se dobija u slučaju druge smene. ) Ako je c > 0 uvodi se smena ax + bx + c = xt + c ili ax + bx + c = xt c odakle je (opet u slučaju prve smene) odnosno pa su ax + bx + c = x t + cxt + c ax + b = xt + ct x = ct b a t i racionalne funkcije po t. Analogno, za drugu smenu.

19 6.6 Integrali nekih iracionalnih funkcija 57 3) Ako su α i β realni koreni jednačine ax + bx + c = 0 tada se može uvesti smena ax + bx + c = (x α)t odakle se kvadriranjem leve i desne strane dobija ax + bx + c = (x α) t ili, pošto su α i β nule kvadratnog trinoma a(x α)(x β) = (x α) t Skraćivanjem leve i desne strane sa x α dobija se ax aβ = xt αt odnosno x = dakle racionalna funkcija po t. aβ αt a t Primer 54 I = x + x + x + Primenom prve Ojlerove smene x + x + = t x dobija se odnosno i Odavde je x + = t tx x = t (t + 1) = t (t + 1) (t ) 4(t + 1) = t + 4t + 4 4(t + 1) = t + t + (t + 1). I = Razlaganjem funkcije 1 t t + t + (t + 1) = 1 t + t + t(t + 1). t + t + = A t(t + 1) t + B t C (t + 1)

20 6.6 Integrali nekih iracionalnih funkcija 58 metodom neodreženih koeficijeanata dobijamo odakle je t + t + t(t + 1) = t 1 t (t + 1) t + t + t(t + 1) = t t + 1 = ln t 1 ln t t C = 1 ( ln t t ) + C. t + 1 Primer 55 I = x x Ovde ćemo primeniti drugu Ojlerovu smenu 1 x x = xt 1 i dobiti odnosno Kako je sada to je x x = x t xt x = xt t x = t 1 + t (t + 1) = (1 + t ) t (t 1) (1 + t ) = t + 4t (1 + t ). I = x x = 1 xt = 1 t t 1+t 1 t t t + 4t = (1 + t 1+t ) Primenom metode neodreženih koeficijenata dobijamo odakle je 1 t + t t(t 1)(1 + t ). 1 + t t t(t 1)(t + 1) = A t + B t 1 + Ct + D t + 1 = 1 t + 1 t 1 t + 1 I = ln t + ln t 1 arctgt + C = ln t 1 arctgt + C. t

21 6.7 Integrali nekih trigonometrijskih funkcija Integrali nekih trigonometrijskih funkcija Ovde ćemo rešavati integrale oblika R(sinx, cosx) gde je sada R racionalna funkcija po sinx odnosno po cosx. Ovakvi integrali svode se na integral racionalne funkcije smenom odakle je tg x = t sinx = sin x cosx = sin xcos x sin x + cos x = tg x tg x + 1 = t 1 + t cosx = cos x x sin = cos x sin x sin x + cos x = 1 tg x tg x + 1 = 1 t 1 + t dok je x = arctgt, = t. Navedena smena se naziva univerzalnom trigonometrijskom smenom. Primer 56 sinx = 1 t 1 + t = 1+t t = ln t + C = ln tg x + C Porede univerzalne trigonometrijske smene, u posebnim slučajevima mogu se koristiti i druge smene i to 1. za R(sinx) cosx, smena je sinx = t,. za R(cosx) sinx, smena je cosx = t, 3. za R(tgx), smena je tgx = t, 4. za R(sin x, cos x, sinxcosx), smena je tgx = t. Primer 57 sin 7 xcos 5 x = sin 7 xcos 4 xcosx = sin 7 x(1 sin x) cosx = t 7 (1 t ) = (t 7 t 9 + t 11 ) = t8 8 t t1 1 + C = sin 8 x sin10 x + sin1 x + C 8 5 1

22 6.8 Integrali još nekih transcedentnih funkcija 60 Konačno kada su u pitanju integrali oblika sin ax sin bx, sin ax cos bx, cos ax cos bx, a b tada se ne koriste navedene smene već trigonometrijski identiteti sin ax sin bx = 1 [cos(a + b)x cos(a b)x] sin ax cos bx = 1 [sin(a + b)x + sin(a b)x] cos ax cos bx = 1 [cos(a + b)x + cos(a b)x] kojima se ovi integrali praktično svode na tablične. Primer 58 sin 3x cos 5x = 1 (sin 8x + sin( x)) = 1 (sin 8x sin x) = [ 1 cos 8x + 8 ] cos x + C 6.8 Integrali još nekih transcedentnih funkcija Integrali P (x)e αx, P (x) sin ax, P (x) cos ax gde je P (x) polinom, mogu se izračunati metodom parcijalne integracije stavljajući P (x) = u, e αx = dv, odnosno sin ax = dv, odnosno cos ax = dv. Formula parcijalne integracije se upotrebljava sve dok pod integralom ne iščezne polinom. Primer 59 I = (x 3x + 5) sin x = 1 (x 3x + 5) cos x + 1 (x 3) cos x gde je i dalje x cos x 3x + 5 = u, sin x = dv, (x 3) = du, = 1 (x 3x + 5) cos x (x 3) sin x 1 = v sin x

23 6.8 Integrali još nekih transcedentnih funkcija 61 uz smenu da bismo konačno dobili Integrali x 3 = u, cos x = dv, = du, I = x 3x + 5 cos x + x 3 4 x n e ax sin bx, sin x = v sin x + 1 cos x + C. 4 x n e ax cos bx mogu se rešiti primenom parcijalne integracije stavljajući x n = u, a zatim e ax sin bx = dv, odnosno e ax cos bx = dv. Tom prilikom pojavljuje se problem izračunavanja e ax sin bx, e ax cos bx. Primenom višestruke parcijalne integracije izračunaćemo I = e ax sin bx. Prvom parcijalnom integracijom dobijamo I = e ax sin bx = 1 b eax cos bx + a b e ax cos bx pri čemu je e ax = u, sin bx = dv, ae ax cos bx = du, b = dv pa zatim, primenjujući još jednu parcijalnu interaciju dobijamo gde je i zatim odakle je I = 1 b eax cos bx + a b 1 b eax sin bx a b a b e ax = u, cos bx = dv, ae ax = du, I = aeax sin bx be ax cos bx b I + a a sin bx b cos bx I = b b sin bx b a b I e ax e ax sin bx = dv

24 6.9 Integrali koji se ne mogu izraziti preko elementarnih funkcija 6 i konačno Analogno Integrali I = e ax cos bx = a sin bx b cos bx a + b e ax + C. P (ln x)x n, a cos bx + b sin ax a + b e ax + C. P (arcsin x) gde je P (x) polinom smenom ln x = t odnosno arcsin x = t svode se na P (t)e (n+1)t, dakle integrale tipa koji je već rešen. P (t) cos t Primer 60 I = (arcsin x) = t cos t gde je smena arcsin x = t, x = sin t, = a cos t. Dalje uz primenu parcijalne integracije, dobijamo t cos t = t sin t t sin t = t sint + t cos t cos t = t sin t + t cos t sin t + C = x(arcsin x) + 1 x arcsin x x + C 6.9 Integrali koji se ne mogu izraziti preko elementarnih funkcija Iako svaka neprekidna funkcija na intervalu (a, b) ima primitivnu funkciju, to ne znači da se njena primitivna funkcija može izraziti preko elementarnih funkcija. Dokazano je, na primer, da se integrali e x ln x sin x cos x sin x cos x x x ne mogu izraziti u obliku elementarnih funkcija.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

SADRŽAJ 8. LITERATURA...

SADRŽAJ 8. LITERATURA... SADRŽAJ 1. UVOD 2. Polinomi. 3. Racionalne funkcije. 4. Stepene funkcije... 5. Logaritamske funkcije... 6. Trigonometrijske funkcije.. 7. Inverzne fukcije. 8. LITERATURA... 1 UVOD Elementarne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz Matematike I

Zbirka zadataka iz Matematike I UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET

Διαβάστε περισσότερα

Tejlorova formula i primene

Tejlorova formula i primene MATEMATIQKA GIMNAZIJA Maturski rad iz matematike Tejlorova formula i primene Uqenik Benjamin Linus Mentor mr Srđan OgƬanovi Beograd, 007 Sadrжaj Uvod 3 Tejlorova formula 4 Tejlorova formula za polinome

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα