Μαθηματικές Συναντήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικές Συναντήσεις"

Transcript

1 Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7 Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός / εκδοχή η) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Τ α θέματα του παρόντος σημειώματος Μαθηματικών Συναντήσεων εντάσσονται στην ύλη του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού, των Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ τάξης Γενικού Λυκείου και εκπονήθηκαν για να υποστηρίξουν διδασκαλίες που στοχεύουν στην εμπέδωση, την εμβάθυνση και τη λειτουργική διασύνδεση βασικών εννοιών και προτάσεων από τα κεφάλαια αυτά. Η βασική ιδέα των περισσοτέρων θεμάτων του σημειώματος εστιάζεται είτε στον ορισμό του (ολικού) ακροτάτου μιας συνάρτησης είτε στη σχέση η οποία περιγράφει αλγεβρικά τη θέση της γραφικής παράστασης μιας κυρτής ή κοίλης συνάρτησης ως προς την εφαπτομένη σε κάποιο σημείο της. Να σημειώσουμε εδώ ότι, τα τέσσερα πρώτα θέματα αποτελούν ουσιαστικά εκδοχές του ίδιου θέματος, καθώς, το μόνο που τα ξεχωρίζει μεταξύ τους είναι βασικά οι διαφορετικοί τύποι των συναρτήσεων και που δίνονται εξαρχής. Αυτονόητες επισημάνσεις Ένα θέμα μαθηματικών σε καμιά περίπτωση δεν έχει μια μοναδική τελική μορφή αναφορικά με το πλήθος αλλά και το βάθος των ερωτημάτων που το συγκροτούν: Όλα εξαρτώνται από τους διδακτικούς ή/και εξεταστικούς στόχους για τους οποίους φτιάχνουμε ένα θέμα, από το γνωστικό επίπεδο των μαθητών που θα κληθούν να το διαπραγματευθούν, καθώς και από την εμπειρία και τη μαθηματική διαίσθηση αυτών που το δημιουργούν. Κρίνουμε σκόπιμο να σημειώσουμε εδώ ότι, τα θέματα του παρόντος σημειώματος θα μπορούσαν να αναδιαμορφωθούν αλλά και να εμπλουτισθούν και με δικά σας ερωτήματα, ώστε να συνταιριάζουν περισσότερο προς το επίπεδο και τους στόχους των μαθητών σας. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8

2 ΘΕΜΑΤΑ (-) Θέμα ο Δίνονται οι συναρτήσεις = και ( e )( e ) e α) Να αποδείξετε ότι ( ) + για κάθε R = + +, R β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, και να αποδείξετε ότι υ- πάρχει μοναδικό, = τέτοιο, ώστε γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Θέμα ο ln d Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = + και = ( + ln )( + ), (, + ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε (, + ) = β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,) τέτοιο, ώστε γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία Θέμα 3 ο d = ln, + Δίνονται οι συναρτήσεις = ln + και = ( ln + ) ln, (, + ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία δ) Αν A είναι το σημείο και B( e, ( e )), να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τηc και το ευθύγραμμο τμήμα AB. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8

3 Θέμα 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις e = + και = e e +, R α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία δ) Αν Ε( Ω) είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τους άξονες και yy και την ευθεία =, τότε να αποδείξετε ότι Ε( Ω) < ( e ) Θέμα 5 ο Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ln e =, (, + ) και =, (, + ) α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. β) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από το σημείο Α (,3). Στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. + 3 =,, + έχει ακριβώς γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μία ρίζα ρ στο διάστημα (,e ). lim =, όπου ρ η ρίζα της εξίσωσης του ερωτή- ρ ( ) ( ρ ) ματος (γ) στο διάστημα (,e ). Θέμα 6 ο Έστω συνάρτηση :(, + ) R για την οποία ισχύει: = και + = για κάθε (, + ) Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8

4 ln α) Να αποδείξετε ότι =, (, + ) β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η C έχει ένα μόνο σημείο καμπής. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C η οποία διέρχεται από το σημείο A(, ) δ) Να υπολογίσετε το lim ln + Θέμα 7 ο Έστω συνάρτηση : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια, ώστε: + ( 3) ( 3) = για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η δεν είναι συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι η έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο στο R γ) Να εξετάσετε την ως προς την κυρτότητα και, στη συνέχεια, να υπολογίσετε το lim d< Θέμα 8 ο d Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :(, + ) R η οποία για κάθε (, ) + ικανοποιεί τις σχέσεις: 3 + = + = Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8

5 Θεωρούμε επίσης και τη συνάρτηση =, (, + ) α) Να αποδείξετε ότι =, (, + ) β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της στο ο- ποίο να ορίζεται εφαπτομένη που να είναι παράλληλη προς οποιαδήποτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της α = β α γ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν β = γ β γ = α γ να αποδείξετε ότι α= β= γ= Σχόλιο Το ερώτημα γ) αντιμετωπίζεται και αλγεβρικά, και μάλιστα εντελώς ανεξάρτητα από το πλαίσιο του παραπάνω 8 ου θέματος. Θέμα 9 ο Δίνεται η συνάρτηση = ln, (, + ) α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της e β) Να αποδείξετε ότι + για κάθε (, + ) e γ) Να αποδείξετε ότι e d e δ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση = 4 e + 3, R α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει ένα μόνο σημείο καμπής. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8

6 β) Να αποδείξετε ότι κάθε παράγουσα F της είναι κυρτή συνάρτηση. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, την εφαπτομένη της στο σημείο καμπής της, τον άξονα yy και την ευθεία = 4 Θέμα ο Έστω συνάρτηση :(, ) R + Rτέτοια, ώστε ( e ) ( e )( e ) α) Να αποδείξετε ότι = ( + ln )( + ), (, + ) = + + για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, και να αποδείξετε ότι υ- πάρχει μοναδικό, = τέτοιο, ώστε γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση d = ln = +, R α) Να αποδείξετε ότι το σημείο της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης που απέχει από το σημείο ( 5,) Α τη μικρότερη απόσταση είναι το (,) Μ. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την C, τον ά- ξονα, τον άξονα yy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ. ε που διέρχεται από το σημείο Μ και χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. β α ln d > ln, όπου < α< β Η ΕΠΟΜΕΝΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Η επόμενη ενότητα θεμάτων Ανάλυσης θα δημοσιευτεί στο 3 ο τεύχος του Ευκλείδη Β (Άνοιξη 8), με τίτλο Θεματικές διαδρομές στην Ανάλυση: Μία πορεία από τον Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Υπεύθυνοι τάξης: Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Υπεύθυνοι τάξης: Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Υπεύθυνοι τάξης: Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς Θεματικές διαδρομές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Γιάννης Λουριδάς, Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση

Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον ιαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισµό Γιάννης Λουριδάς, ηµήτρης Ντρίζος Τα θέµατα του παρόντος άρθρου εντάσσονται στην ύλη του ιαφορικού και Ολοκληρωτικού

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εµβαδά Θέµα 1 ίνεται η συνάρτηση x e e, x< 1 (x) = l nx, x 1 x Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Του Δημητρίου Α. Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Στο κείμενο που ακολουθεί διατυπώνουμε μια σειρά προτάσεων, καθεμιά από τις ο- ποίες, αφού

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Στο Σημείωμα αυτό διατυπώνουμε μια σειρά μαθηματικών προτάσεων, καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία

Διαβάστε περισσότερα

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και 13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Περιεχόμενα Συνδυαστικά Θέματα... Προβλήματα... 7 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 206 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

x, οπότε για x 0 η g παρουσιάζει

x, οπότε για x 0 η g παρουσιάζει ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 9 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 33 A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΚΥΡΙΑΚΗ 7 8 ΜΑΡΤΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 0906 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 7-8 ΘΕΜΑ Α (α) Δίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα [ ].Αν η G είναι μια παράγουσα της στο [ ], τότε να αποδείξετε ότι : d

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx ΘΕΜΑ A Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 5 Α. Να

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ Διαγώνισμα Προσομοίωσης Μαθηματικών Προσανατολισμού 11/5/19 Γ Λυκείου ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΟ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία:

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία: Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία: 9-04-07 ΘΕΜΑ Α. Σχολικό βιβλίο σελ.. Σχολικό βιβλίο σελ.. Σχολικό βιβλίο σελ. 4. i) Λ ii) Λ iii) Σ iv) Λ v) Σ ΘΕΜΑ Β B. i) Επειδή //. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γ Λυκείου Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σχολ βιβλίου σελ 99 Α α ψευδής β g Α Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 Ενδεικτικές απαντήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 Ενδεικτικές απαντήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 Ενδεικτικές απαντήσεις Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 35 Α. α. Ψ β. Παράδειγμα η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό. Α3. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ- ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ- ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ- ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α A1 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ο.Π. Γ ΓΕΛ 05/ 05 / 2019 ΘΕΜΑ Α. Α1. Σελίδες Σχολικού Βιβλίου. Α2. Σελίδα 161 Σχολικού Βιβλίου

Μαθηματικά Ο.Π. Γ ΓΕΛ 05/ 05 / 2019 ΘΕΜΑ Α. Α1. Σελίδες Σχολικού Βιβλίου. Α2. Σελίδα 161 Σχολικού Βιβλίου Γ ΓΕΛ 5/ 5 / 9 Μαθηματικά Ο.Π. ΘΕΜΑ Α Α. Σελίδες 4-43 Σχολικού Βιβλίου Α. Σελίδα 6 Σχολικού Βιβλίου Α3. i) Ψ ii) Σελίδα 56 Σχολικού Βιβλίου (Σχόλιο) Α4. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β ' ' ' ( ) ( )( )

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 9//6 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2 1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f () f(), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: (f () + f () ) f () + f (), για κάθε. Γ. Να αποδείξετε ότι f() ln( ),. Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα